《概率论》计算题作业答案

计算题解答概要

1. 在长度为a 的线段内任取两点将其分为三段，求此三线段能构成三角形的概率。 解：设y x 、分别表示其中二条线段的长度，第三条线段的长度为)(y x a +-，则 {}

a y x a y a x y x ≤+<≤≤≤≤=Ω0,0,0),(， 又设A =“三条线段能构成一个三角形”

={}

x y x a y y y x a x y x a y x y x >+-+>+-++->+)(,)(),(),( =()⎭

⎬⎫⎩⎨⎧<<>

+2,2,2,a y a x a y x y x , A 的面积为8

)2(212

2a a =⋅，

则所求概率为4

1

2

81)(22

==Ω=a a

A A P 的面积的面积。

2. 设随机变量的分布函数为

，

求（1）

；（ 2）

。

解：（1）因为分布函数，故应满足分布函数的三个性质。由

解得

（2）由（1）知

。

3. 设随机变量的分布密度为

⎪⎩⎪

⎨⎧<-=其它

10

1)(2

x x A x p

试求（1）函数；（2）

落在内的概率；（3）

的分布函数。

解： （1） 解得

；

（2）由（1）知，⎪⎩

⎪

⎨⎧

<-=其它

1011)(2

x x x p π

（3）

4. 将3个球随机地放入4个杯子中去，设ξ表示杯子中球的最大个数，

求（1）ξ的分布律； （2）E ξ； (3) ξ 的特征函数)(t f . 解：（1）可求得

（2）可求得E ξ=….=16

27

。 (3) ξ的特征函数为 16

1169166)(32t i t i it e e e t f ++=

5. 设连续型随机变量X 的分布函数为：⎪⎩

⎪⎨⎧>≤≤<=1 110

0)(2

x x Ax x x F (1)确定常数A 及P(-1

解：(1) 因()x F 是连续型随机变量X 的分布函数，所以()x F 在1处连续

故 F （1）= F （1+0）= F （1－0） 可得A=1 ()41041121211=-=--⎪

⎭

⎫

⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛

<

<-F F X P (2) Y 的分布函数为()()⎪⎭⎫

⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛≤=≤=22y F y X P y Y P y F X Y

⎪⎪⎩⎪⎪⎨

⎧>≤≤<=2

1

2040

2y y y

y Y 的密度函数为()⎩

⎨⎧<<=其他02

02/y y y f Y

6. 设随机变量ξ的概率密度函数为⎪⎩⎪⎨

⎧≤>=-0

)(2

x x Cxe x p x

， 求（1）常数C ； （2）概率)21(<<ξP ； （3）2

ξη=的密度函数)(y p η。

解：（1）可求得常数C =2 . （2）41

)21(---=<

P ξ；

（3）,2

1,0,2

1

2

-='=

⇒>=y x y x x x y 故

0,2

1)()(21

>=⋅=--y e y y p y p y

η

7. 从1，2，3，4中随机取一数记为ξ，再从1，2，…，ξ中任取一数记为η，

求

的联合分布列及概率)(ηξ=P 。

解：ξ取值为1，2，3，4，…，η取值为1，2，3，4，则 ,4

1141)11()1()1,1(=⋅=======ξηξηξP P P 同理有……

从而 )(ηξ=P =…=25/48.

8. 设),(ηξ的联合密度函数为其他

1

0,0

1),(<<<⎩⎨

⎧=x x y y x p ，求（1）ξ的边际密度函

数)(x p ξ，η的边际密度函数)(y p η，并说明ξ与η是否独立？（2）条件密度函数)(x y p .

解：（1）可求得其他

1

00

2)(<<⎩⎨

⎧=x x

x p ξ，

其他

10

1)(<⎩⎨

⎧-=y y y p η；

因为)()(),(y p x p y x p ηξ≠，故ξ与η不独立。

（2）当10<

x

y x

x y p <⎪⎩⎪

⎨⎧=0

21)(。

9. 若的密度函数为

试求：（1）常数；（2）；（3）的边际分布；

（4）；（5）。

解：（1）

解得

（2）

（3）

（4）

（5）

当时，

10. 设ηξ,在平面上以原点为心1为半径的圆内服从均匀分布，（1）求ηξ,的联合密度函数 ),(y x p ； （2）ηξ,是否相互独立？为什么？ (3)求ηξ,的协方差),cov(ηξ.

解：（1）联合密度函数为()其他

,

101

,22≤+⎪⎩⎪

⎨⎧=y x y x p π

（2）()其他,11012

2

≤<-⎪⎩

⎪⎨⎧-=x x x p π

ξ， ()其他

,

110122

≤<-⎪⎩

⎪⎨⎧-=y y y p π

η

())()(,y p x p y x p ηξ≠

故ηξ,不相互独立。

（3）0=ξE ，0=ξηE ，故0),cov(

=ηξ.

11. 设二维随机变量),(Y X 的联合密度函数为

⎩⎨

⎧<<<<=其他1

00

),(2x y x k

y x p

求：（1）常数k ；（2）)21(>X P ；（3）)(x p X ；（4）)2

1

31(=>X Y P 。

解：（1）66

),(1=⇒==⎰⎰+∞∞

-+∞∞-k k dxdy y x p （2）21

6)21(212

1==>⎰⎰dy dx X P x x

（3）10)

(66),()(22<<-===

⎰⎰

+∞

∞

-x x x dy dy y x p x p x

x

X

（4）当10<

x y x x

x x p y x P x y p X <<-==

2

2

,1)(),()(，2

1

41,4)21(<<==y x y p 故32

4)21()2131(21

3

131=====>⎰⎰∞+dy dy x y p X Y P 。