2020年高考数学二轮复习(上海专版) 专题03 函数模型(原卷版)

专题03 函数模型专题点拨随着新高考改革，函数模型的应用题越来越多，新的课程标准中6大学科素养中，其中2个是数学建模和创新能力，这在函数中体现的很明显。

其中数学建模主要是指函数模型的解决，主要有一次函数模型、二次函数模型、分段函数模型、指对数函数模型等。

另外就是构造函数的能力。

真题赏析1．(2017·上海) 定义在上的函数的反函数为，若为奇函数，则的解为_______．2．(2018·上海)已知，若幂函数为奇函数，且在上递减，则_______．3． (2018·上海)已知常数，函数的图像经过点，，若，则_________．例题剖析【例1】已知函数． (1)求函数的值域；()(2)设的最大值为，求的表达式； (3)在条件(2)下，试求满足不等式的实数的取值范围．(0,)+∞()y f x =1()y f x -=31,0()(),0x x g x f x x ⎧-≤⎪=⎨>⎪⎩1()2f x -=111{2,1,,,,1,2,3}232α∈---()f x x α=(0,)+∞α=0a >2()2x x f x ax =+6(,)5P p 1(,)5Q q -236p qpq +=a =()11f x x x =++-()f x [2,2]2()1()F x m x f x =-+()g m ()g m 9()()4mg m ->m【例2】已知函数() (1) 判断函数的奇偶性，并说明理由；(2) 设，问函数的图像是否关于某直线成轴对称图形，如果是，求出的值；如果不是，请说明理由；(3)设，函数，若函数与的图像有且只有一个公共点，求实数的取值范围．【变式训练2】已知函数，若在定义域内存在，使得成立，则称为函数的局部对称点.(1) 若且，证明：函数必有局部对称点； (2) 若函数在区间内有局部对称点，求实数的取值范围； (3) 若函数在上有局部对称点，求实数的取值范围.()22xxf x k -=+⋅x ∈R ()f x 0k >()f x x m =m 1k =-14()223xxh x a a -=⋅--()f x ()h x a ()y f x =0x 00()()f x f x -=-0x ()f x ,a b ∈R 0a ≠2()f x ax bx a =+-()2xf x c =+[1,2]-c 12()423xx f x m m +=-⋅+-R m【例3】(2019·宝山区一模)某温室大棚规定：一天中，从中午12点到第二天上午8点为保温时段，其余4小时为工人作业时段.从中午12点连续测量20小时，得出此温室大棚的温度y (单位：度)与时间t (单位：小时，[0,20]t ∈)近似地满足函数13+2by t t =-+关系，其中，b 为大棚内一天中保温时段的通风量. (1)若一天中保温时段的通风量保持100个单位不变，求大棚一天中保温时段的最低温度(精确到00.1C )； (2)若要保持大棚一天中保温时段的最低温度不小于017C ，求大棚一天中保温时段通风量的最小值.【变式训练3】(2019·静安区二模)某文化创意公司开发出一种玩具(单位：套)进行生产和销售.根据以往经验，每月生产x 套玩具的成本p 由两部分费用(单位：元)构成： a.固定成本(与生产玩具套数x 无关)，总计一百万元； b.生产所需的直接总成本50x +1100x 2．(1)问：该公司每月生产玩具多少套时，可使得平均每套所需成本费用最少？此时每套玩具的成本费用是多少？(2)假设每月生产出的玩具能全部售出，但随着x 的增大，生产所需的直接总成本在急剧增加，因此售价也需随着x 的增大而适当增加.设每套玩具的售价为q 元，q =a +xb (a ，b ∈R).若当产量为15000套时利润最大，此时每套售价为300元，试求a 、b 的值.(利润=销售收入−成本费用)巩固训练一、填空题1. 已知偶函数在区间上的最大值为，则 ________．2. 若函数 (常数)是偶函数，且它的值域为，则该函数的解析式________.3. 若函数为偶函数，则________.4.已知函数()的值域为，若关于的不等式解集为，则实数的值为 _____ ．5. 函数且方程恰有两解，则实数的取值范围是 .二、选择题6. (2019·浦东新区三模)已知函数y =f(x)是定义域为R 的偶函数，当x ≥0时，f(x)={54sin π4x 0≤x ≤2(12)x+1x >2，若关于x 的方程[f(x)]2+af(x)+b =0(a ，b ∈R)有且仅有6个不同实数根，则实数a 的取值范围是( )2()ln()f x x a =-(0,]b 2a b +=()()(2)f a x a bx a =++,a b ∈R (,4]-∞()f x =2()ln()f x x x a x =++a =2()f x x ax b =++,a b ∈R [0,)+∞x ()f x c <(6)m m +，c ()()⎪⎩⎪⎨⎧>-≤+⎪⎭⎫ ⎝⎛=.0,1,0,21x x f x a x f x()x x f =aA. (−52，−1)B. (−52，−94)C. (−52，−94)∪(−94，−1)D. (−94，−1)7. 函数的图像，如图所示，则下列结论成立的是( )A ．a ＞0，b ＞0，c ＜0B ．a ＜0，b ＞0，c ＞0C ．a ＜0，b ＞0，c ＜0D ．a ＜0，b ＜0，c ＜08. 若关于的不等式至少有一个负解，则参数的取值范围为 ( )A ．B ．C ．D ．三、解答题9.共享单车给市民出行带来了诸多便利，某公司购买了一批单车投放到某地给市民使用. 据市场分析，每辆单车的营运累计利润y (单位：元)与营运天数()*x x N ∈满足21608002y x x =-+-.(1)要使营运累计利润高于800元，求营运天数的取值范围； (2)每辆单车营运多少天时，才能使每天的平均营运利润yx的值最大？10. 若函数的定义域为，且对任意都有，则称为“形函数”2()()ax bf x x c +=+x a x x --<22a 5,24⎛⎫- ⎪⎝⎭7,24⎛⎫- ⎪⎝⎭9,24⎛⎫- ⎪⎝⎭7,34⎛⎫- ⎪⎝⎭()f x R 12,R x x Î()()()1212f x x f x f x +?()f x V(1) 当时，判断是否为“形函数”，并说明理由； (2) 当时，证明：是“形函数”；(3) 如果函数为“形函数”，求实数的取值范围．11. 对于函数与常数，若恒成立，则称为函数的一个“数对”；若恒成立，则称为函数的一个“类P 数对”．设函数的定义域为，且．(1) 若是的一个“P 数对”，且当时，求在区间上的最大值与最小值；(2) 若是增函数，且是的一个“类P 数对”，试比较与+2的大小，并说明理由．()2f x x =()f x V ()()2lg 2f x x =+()f x V ()()lg 2x f x a =+V a ()y f x =,a b (2)()f x af x b =+(,)a b )(x f p (2)()f x af x b ≥+(,)a b )(x f )(x f R +(1)3f =(2,0)-()f x [1,2)x ∈()f x =23k x --()f x [1,2)n (*)N n ∈()f x (2,2)-()f x (2)n f -2n -(*)N n ∈12.(2019·徐汇区二模)已知函数y =f 1(x)，y =f 2(x)，定义函数f(x)={f 1(x)，f 1(x)≤f 2(x)f 2(x)，f 1(x)>f 2(x)．(1)设函数f 1(x)=√x ，f 2(x)=(12)x−1(x ≥0)，求函数y =f(x)的值域；(2)设函数f 1(x)=lg(|p −x|+1)(0<x ≤12，p 为实常数)，f 2(x)=lg 1x (0<x ≤12)，当0<x ≤12时，恒有f(x)=f 1(x)，求实常数p 的取值范围；(3)设函数f 1(x)=2|x|，f 2(x)=3⋅2|x−p|，p 为正常数，若关于x 的方程f(x)=m(m 为实常数)恰有三个不同的解，求p 的取值范围及这三个解的和(用p 表示)．新题速递1．(2020•虹口区一模)已知函数()|2|f x x =+，()||g x x t =+，定义函数()()()()()()()f x f xg x F x g x f x g x ⎧=⎨>⎩…，若对任意的x R ∈，都有()(2)F x F x =-成立，则t 的取值为( ) A ．4-B ．2-C ．0D ．22．(2020•徐汇区一模)已知函数241,1()610,1x x f x x x x -+>-⎧=⎨++-⎩…关于x 的不等式()220f x mx m ---<的解集是1(x ，23)(x x ⋃，)+∞，若1230x x x >，则123x x x ++的取值范围是 ．3．(2020•普陀区一模)若M 、N 两点分别在函数()y f x =与()y g x =的图象上，且关于直线1x =对称，则称M 、N 是()y f x =与()y g x =的一对“伴点” (M 、N 与N 、M 视为相同的一对)，已知22(2)()4(4)(2)x x f x x x ⎧--<⎪=⎨--⎪⎩…，()||1g x x a =++，若()y f x =与()y g x =存在两对“件点”，则实数a 的取值范围为 ．4．(2020•奉贤区一模)根据相关规定，机动车驾驶人血液中的酒精含量大于(等于)20毫克/100毫升的行为属于饮酒驾车．假设饮酒后，血液中的酒精含量为0p 毫克/100毫升，经过x 个小时，酒精含量降为p 毫克/100毫升，且满足关系式0(rx p p e r =g 为常数)．若某人饮酒后血液中的酒精含量为89毫克/100毫升，2小时后，测得其血液中酒精含量降为61毫克/100毫升，则此人饮酒后需经过 小时方可驾车．(精确到小时)5．(2020•奉贤区一模)某纪念章从某年某月某日起开始上市，通过市场调查，得到该纪念章每1枚的市场价y (单位：元)与上市时间x (单位：天)的数据如表：(1)根据上表数计，从下列函数中选取一个恰当的函数描述该纪念章的市场价y 与上市时间x 的变化关系并说明理由：①y ax b =+；②2y ax bx c =++；③log b y a x =g ；④x y k a =g ； (2)利用你选取的函数，求该纪念章市场价最低时的上市天数及最低的价格．6．(2020•浦东新区一模)某贫困村共有农户100户，均从事水果种植，平均每户年收入为1.8万元，在当地政府大力扶持和引导下，村委会决定2020年初抽出5x 户*(x N ∈，9)x …从事水果销售工作，经测算，剩下从事水果种植的农户平均每户年收入比上一年提高了4%x ，而从事水果销售的农户平均每户年收入为1(3)5x -万元．(1)为了使从事水果种植的农户三年后平均每户年收入不低于2.4万元，那么2020年初至少应抽出多少农户从事水果销售工作？(2)若一年后，该村平均每户的年收入为()f x (万元)，问()f x 的最大值是否可以达到2.1万元？7．(2020•青浦区一模)某企业生产的产品具有60个月的时效性，在时效期内，企业投入50万元经销该产品，为了获得更多的利润，企业将每月获得利润的10%再投入到次月的经营中，市场调研表明，该企业在经销这个产品的第n 个月的利润是10,110(*)(),1160(*)n n N f n n n n N ∈⎧=⎨∈⎩剟剟(单位：万元)．记第n 个月的当月利润率为()n g n n =第个月的利润截止到第个月投入的资金总和，例g (3)(3)50((1)(2))10%f f f =++⨯．(1)求第n 个月的当月利润率；(2)求该企业在经销此产品期间，哪一个月的当月利润率最大，并求出该月的当月利润率．8．(2020•虹口区一模)某企业接到生产3000台某产品的甲、乙、丙三种部件的订单，每台产品需要这3种部件的数量分别为2、2、1(单位：件)，已知每个工人可生产甲部件6件，或乙部件3件，或丙部件2件，该企业计划安排200名工人分成三组分别生产这3种部件，生产乙部件的人数与生产甲部件的人数成正比例，比例系数为(2k k …为正整数)．(1)设生产甲部件的人数为x ，分别写出完成甲、乙、丙3种部件生产需要的时间；(2)假设这3种部件的生产同时开工，试确定正整数的值，使完成订单任务的时间最短，并给出时间最短时具体的人数分组方案．9．(2020•崇明区一模)某辆汽车以x 公里/小时速度在高速公路上匀速行驶(考虑到高速公路行车安全要求60120)x 剟时，每小时的油耗(所需要的汽油量)为14500(100)5x x-+升．(1)欲使每小时的油耗不超过9升，求x 的取值范围；(2)求该汽车行驶100公里的油耗y 关于汽车行驶速度x 的函数，并求y 的最小值．10．(2020•松江区一模)汽车智能辅助驾驶已得到广泛应用，其自动刹车的工作原理是用雷达测出车辆与前方障碍物之间的距离(并结合车速转化为所需时间)，当此距离等于报警距离时就开始报警提醒，等于危险距离时就自动刹车，某种算法(如图所示)将报警时间划分为4段，分别为准备时间0t 、人的反应时间1t 、系统反应时间2t 、制动时间3t ，相应的距离分别为0d 、1d 、2d 、3d ，当车速为v (米/秒)，且[0v ∈，33，3]时，通过大数据统计分析得到如表(其中系数k 随地面湿滑成都等路面情况而变化，[0.5k ∈，0.9])．(1)请写出报警距离d (米)与车速v (米/秒)之间的函数关系式()d v ，并求0.9k =时，若汽车达到报警距离时人和系统均不采取任何制动措施，仍以此速度行驶，则汽车撞上固定障碍物的最短时间(精确到0.1秒)； (2)若要求汽车不论在何种路面情况下行驶，报警距离均小于80米，则汽车的行驶速度应限制在多少米/秒以下？合多少千米/小时？。