第13章轴对称复习与小结

合集下载

八年级数学上册第十三章轴对称知识点总结新人教版

第十三章轴对称一、知识框架：二、知识清单：1.轴对称：⑴轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形.这条直线称为它的对称轴.⑵两个图形成轴对称：把一个图形沿某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称.这条直线称为这两个图形的对称轴.⑶线段的垂直平分线：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线.2.轴对称的性质：对称的性质：①两个图形关于某一条直线对称，对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.轴对称图形的对称轴是任何一对对应点连线段的垂直平分线.②关于某直线对称的两个图形是全等形.3.线段垂直平分线性质①线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.②与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.③线段垂直平分线的作图a 分别以线段的两个端点为圆心，大于1/2线段的适当长度为半径画弧，两弧交于两个点；b 过两个交点作直线，则直线即为已知线段的垂直平分线.4.画已知图形的轴对称图形（步骤）a 过已知点A 作对称轴l 的垂线，垂足为O ，在垂线上截取OA'，使OA'=OA ，则点A'是点A 的对称点；b 同理分别作出其它关键点的对称点；c 将所作的对称点依次相连，得到轴对称图形.5.关于坐标轴对称的点的坐标性质①关于x 轴对称的点横坐标不变，纵坐标互为相反数；点P (,)x y 关于x 轴对称的点的坐标为'P (,)x y -.②关于y 轴对称的点纵坐标不变，横坐标互为相反数；点P (,)x y 关于y 轴对称的点的坐标为"P (,)x y -.③关于原点对称的点横纵坐标分别互为相反数；点P (,)x y 关于原点对称的点的坐标为P 1()y ,x --.6.等腰三角形（1）等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.相等的两条边叫做腰，另一条边叫做底边，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角.（2）等腰三角形的性质（定理）：①等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）.②等腰三角形的顶角角平分线、底边上的中线，底边上的高相互重合.（简写成“三线合一”）（3）等腰三角形的判定（定理）如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等。

轴对称知识点整理总结

§13．1 轴对称（一）一、轴对称：如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够完全重合，这个图形就叫轴对称图形，这条直线叫对称轴．二、两个图形成轴对称：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称．下列各图，你能找出它们的对称轴吗？(1) (2) (3) (4)(5)§13．1 轴对称（二）一、线段垂直平分线的定义：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做线段的垂直平分线．二、图形轴对称的性质：如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对称点所连线段的垂直平分线．类似地，轴对称图形的对称轴是任何一对对称点所连线段的垂直平分线．三、线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线的点到这条线段两个端点的距离相等；反过来，与这条线段两个端点距离相等的点都在它的垂直平分线上．[探究1]线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等．即AP1=BP1，AP2=BP2，…证明．证法一：利用判定两个三角形全等．如下图，在△APC和△BPC中，△APC≌△BPCPA=PB.证法二：利用轴对称性质．由于点C是线段AB的中点，将线段AB沿直线L对折，线段PA与PB是重合的，•因此它们也是相等的．[探究2]1.作线段AB，取其中点P，过P作L，在L上取点P1、P2，连结AP1、AP2、BP1、BP2．会有以下两种可能．2．讨论：要使L与AB垂直，AP1、AP2、BP1、BP2应满足什么条件？探究过程：1．如上图甲，若AP1≠BP1，那么沿L将图形折叠后，A与B不可能重合，也就是∠APP1≠∠BPP1，即L与AB不垂直．2．如上图乙，若AP1=BP1，那么沿L将图形折叠后，A与B恰好重合，就有∠APP1=∠BPP1，即L与AB重合．当AP2=BP2时，亦然．§12．2作轴对称图形一．如何由一个平面图形得到它的轴对称图形．【探究】四边形ABCD的四个顶点的坐标分别为A(－5,1)、B(－2,1)、C(－2,5)、D(－5,4)，分别作出与四边形ABCD关于x轴和y轴对称的图形．（归纳：与已知点关于y 轴或x轴对称的点的坐标的规律；）【引申】分别作出△PQR关于直线x=1(记为m)和直线y=－1(记为n)对称的图形，你能发现它们的对应点的坐标之间分别有什么关系吗？若△PQR中P(x,y)关于x=1(记为m)轴对称的点的坐标P(x,y) ，则，y= y．若△PQR中P(x,y)关于y=－1(记为n)轴对称的点的坐标P(x,y) ，则x= x，=n．13．3. 1等腰三角形等腰三角形的定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．相等的两边叫做腰，另一边叫做底边，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫底角．同学们在自己作出的等腰三角形中，注明它的腰、底边、顶角和底角．思考：1．等腰三角形是轴对称图形吗？请找出它的对称轴．2．等腰三角形的两底角有什么关系？3．顶角的平分线所在的直线是等腰三角形的对称轴吗？4．底边上的中线所在的直线是等腰三角形的对称轴吗？底边上的高所在的直线呢？结论：等腰三角形是轴对称图形．它的对称轴是顶角的平分线所在的直线．因为等腰三角形的两腰相等，所以把这两条腰重合对折三角形便知：等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是顶角的平分线所在的直线．沿等腰三角形的顶角的平分线对折，发现它两旁的部分互相重合，由此可知这个等腰三角形的两个底角相等，而且还可以知道顶角的平分线既是底边上的中线，也是底边上的高．由此可以得到等腰三角形的性质：1．等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）．2．等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线、•底边上的高互相重合（通常称作“三线合一”）．例题与练习1．如图2其中△ABC是等腰三角形的是 [ ]2．①如图3，已知△ABC中，AB=AC．∠A=36°，则∠C______(根据什么？)．②如图4，已知△ABC中，∠A=36°，∠C=72°，△ABC是______三角形(根据什么？)．③若已知∠A＝36°，∠C＝72°，BD平分∠ABC交AC于D，判断图5中等腰三角形有______．④若已知 AD＝4cm，则BC______cm．3．以问题形式引出推论l______．4．以问题形式引出推论2______．13．3.2等边三角形等边三角形定义：在等腰三角形中，有一种特殊的情况，就是底边与腰相等，这时，三角形三边都相等。

人教版初二数学13章轴对称图形复习知识点

线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等；（3）线段垂直平分线的判定：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
如图，AD与BC相交于点O，OA=OC，∠A=∠C，BE=DE．求证：OE垂直平分BD．
５．如图，AC＝AD，BC＝BD，则有（）
A
A．AB垂直平分CD
B．CD垂直平分AB
底边上的高互相重合。
(3)判别方法：①有两条边相等（概念）
②等角对等边
2.等边三角形 (1)三边都相等的三角形叫做等边三角形，它是轴对称图形，有三条对称轴。
(2)性质：等边三角形的三个角都是60° (3)判定： ①三个角都相等的三角形是等边三角形 ②有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形 ③有三个边都相等的三角形是等边三角形
∴ AE+EF+AF =BE+EF+CF=10cm
C∠EAF= ∠BAC-∠BAE-∠CAF =120°- ∠B- ∠C=60°
例6 如图，△ABC中，AB=AC，∠A=50°，AB的垂直平分线交AC于D，求∠ FBC的度数。
A
解：∵ AB=AC， ∠A=50°
∴ ∠ABC= ∠C=65°
又∵ AC是线段AB的垂直平分线
；
（x，－y）
（－x，y）
1．已知点P1（a，3）和点P2（4，b）关于y轴对称，则（a+b）2007= -1
2．点A（2，5）与点B（2，-3）关于直线 y=1
对称．
知识点6
•等腰三角形的性质：等边对等角三线合一
• 等腰三角形的判定： ①有两条边相等（概念） ②等角对等边
知识点7
初中阶段五种基本的尺规作图 (1)作一条线段等于已知线段； (2)作一个角等于已知角； (3)作已知角的平分线； (4)作线段的垂直平分线； (5)过直线外一点作已知直线的垂线。

人教版八年级数学上册第13章轴对称小结与复习

则 1=2= 1 BAC. 2
∵ AB = AC，∴ AE⊥BC.
∴∠2 +∠C = 90°.
A
∵ BD⊥AC，∴∠DBC +∠C = 90°. ∴∠2 =∠DBC.
12 D
∴∠BAC = 2∠DBC.
B
E
C
方法总结
在涉及等腰三角形的有关计算和证明中，常见的辅助线的作法是作顶角的平分线(或底边上的高、中线)，然后利用等腰三角形“三线合一”的性质，实现线段或角之间的相互转化.
A D
6. 如图，已知等边△ABC 中，点 D、E B
分别在边 AB、BC 上，把△BDE 沿直线
DE 翻折，使点 B 落在 B1 处，DB1，EB1 D
分别交边 AC 于 M、H 点. 若∠ADM =
50°，则∠HEC 的度数为 70° .
B
AC M B1 H
EC
7. 如图，在△ABC 中，AD 是角平分线，AC = AB + BD.
一、轴对称的相关定义和性质 1.定义 (1) 如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做_轴__对__称__图__形___，这条直线就是它的__对__称__轴___.
(2) 将一个平面图形沿一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对
2. 如图，∠3 = 30°，为了使白球反弹后能将黑球直接
撞入袋中，那么击打白球时，必须保证∠1 的度数为
__6_0_°__.
考点二关于坐标轴对称的点的坐标
例2 按要求完成作图：
y
(1) 作△ABC 关于 y 轴对称的
△A1B1C1； (2) 在 x 轴上找出点 P，使 PA

第十三章轴对称_小结与复习(第1课时)

符号语言： ∵ 在△ABC 中，∠B =∠C， ∴ AB =AC．
B
C
• 看图回想等边三角形的性质用数学语言叙述为什么?用符号语言表示为什么？用数学语言叙述为：等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于 60°.
符号语言： ∵ △ABC 是等边三角形， B ∴ ∠A =∠B =∠C =60°．
【提示】∠O的平分线和AB的垂直平分线在S区的交点就是要建的电视塔的位置. ∴点P就是电视塔的位置。
m
D O F M P
B
E N
n
• 三：作轴对称图形。 • 看画图过程回想作轴对称图形的一般步骤是什么？ B 作已知图形关于已知直线对称的图形的一般步骤: C 1.确定图形中的一些特殊点. 2.画出特殊点关于已知直线的对称点. 3.连接对称点.
（1）本节的核心知识有哪些？（2）通过本节课的复习，你认为等腰三角形的性质和判定在解题中有哪些作用？
布置作业
复习题13第4、5、6、7、9、11、12、13、14题．
• 看画图过程回想线段的垂直平分线的尺规作法即对称轴和线段的中点的作法，并口述作法。
已知：线段AB. 求作：线段AB的垂直平分线.
C
（1）分别以点A，B为圆作法：
心，以大于
1 2
AB的长为半
A
B
径作弧，两弧交于C，D两
点. （2）作直线CD. CD即为所求.
D
• 看画图过程回想过直线外一点作已知直线的垂线的方法。 • 已知：直线AB和直线AB外一点C。 C • 求作：直线CF，使CF⊥AB。
A
用符号语言表示为： ∵ 在△ABC 中，AB =AC． ∴∠B=∠C。
Ｂ
D

人教版八年级上册数学第13章《轴对称》小结与复习.doc

轴对称小结与复习。

•知识梳理1.如果一个平面图形沿一条直线折卺，直线两旁的部分能够 ____________ ，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就足它的对称轴.2.把一•个阁形沿着某一条直线折佥，如果它能够与另一个阁形 __________ ,那么就说这两个阁形欠于这条直线（成轴）对称，这条直线叫做对称轴.温馨提示：把成轴对称的两个图形看成一个整体，它就是一个轴对称图形；把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，这两个图形关于这条对称轴对称.3.经过线段__________ 丼且 _________ 这条线段的直线，叫做这条线段的®直平分线.4. _____________ 上的点与这条线段两个端点的距离相等.与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的___________ .温馨提示：（1）如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的_________ ;⑵轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的_____________ .5. __________________________________________ 点P（x，y）关于x轴对称的点的华标为__________________________________________ ，点P（x: y）关于y轴对称的点的叱标为__________ .6.等腰三角形的性质：（1） __________________________________________等腰三角形的两个底角_（简写成：）.（2） ___________________________________________________________________________________ 等腰三角形的顶角平分线、底边上的屮线、底边上的高____________________________ （简写成：_________ ）.7.等腰三角形的判定：如果一个三角形有W个角相等，那么这两个角所对的边也__________ （简写成“等角对等边”）.8.等边三角形的性质：等边三角形的三个内角___________ ，并且每一个角都等于__________ •9.等边三角形的判定：（1） _____________________ 三个角的三角形是等边三角形.（2） __________________________________ 有一个角是60°的是等边三角形.10. _____________________________________________________________________ 在直角三角形屮，如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的 ______________ .•考点呈现考点1判别轴对称图形例1 （2013年咸宁）下列学习用具中，不是轴对称图形的是（）分析：根据轴对称图形的概念：把-个图形沿一条直线折叠，K 线两旁的部分能够互相重合的图形是轴对称图形，对各选项逐一判断即可.解:选项A 、B 、D 是轴对称图形，选项C 不是轴对称图形.故选C. 考点2线段的垂直平分线的性质例2 （2013年泰州）如图1,在AABC 中，AB+AC=6 cm, BC 的垂直平分线7与AC 相交于点D,则AABD 的周长为分析：根据线段乖直平分线的性质，可得DC=DB,进而可确定AABD 的周长. 解：因为7 :世:直平分BC ，所以DB=DC.所以AABD 的周长=AB+AD+BD=AB+AD+DC=AB+AC=6 cm.故填 6. 考点3画轴对称图形例3 （2013年哈尔滨）如图2所示，在每个小正方形的边长均为1个单位长度的方格纸屮，有线段AB 和直线MN,点A, B, M, N 均在小正方形的顶点上，在方格纸屮画四边形 ABCD （四边形的各顶点均在小正方形的顶点上），使四边形ABCD 是以直线MN 为对称轴的轴对称阁形，点A 的对称点为点D ，点B 的对称点为点C.分析：过点A M 直线MN 的■线，画足为0,在垂线上截収0D=0A ，D 就是A 关于直线. 的对称点；同现，岡出点B 关于直线MN 的对称点C;连接BC ，CD, DA ，即可得到四边形ABCD.cm.r•I 11暴• •f' ' I 1 1 費 1///• •參•• . ••17BA图2解：正确画阁如阁3所示.例4 (2013年重庆)作图题：(不要求写作法)如图4所示，AABC 在平刖直角坐标系中，点 A,B ，C 的坐标分别为 A (―2，1) , B (―4，5)，C (-5, 2).(1)作AABC 关于直线7: x=-l 对称的△A 1B 1C 1，其中,点A, B ，C 的对应点分别为 B,, C 1；⑵写山点A ：, B,, G 的坐标.分析：⑴根椐网格结构找出点A, B, C 关于直线7的对称点A ：, B:, G,然后顺次连接即可;⑵直接根据平面直角坐标系写出点A:, B B (；的坐标.解：如图5所示.(2)A, (0, 1)、B, (2, 5)、C, (3, 2).考点4关于x 轴或y 轴对称的点的坐标例5 (2013年遂宁)将点A (3, 2)沿x 轴向左平移4个单位长度得到点A',点A' 关于y 轴对称的点的坐标是()A. (-3, 2)B. (-1,2)C. (1, 2)D. (-1,-2)分析：先利川平移中点的变化规律求出点A'的嫩标，再根据关于y 轴对称的点的坐标特征即可求解.解：因为将点A (3, 2)沿x 轴叫左平移4个单位长度得到点A',所以点A'的坐标为(一1，2).所以点A'关于y 轴对称的点的坐标是(1, 2).故选C.考点5等腰三角形的性质B\ A/L/ \/ \CA** 1 C r1A ；5o ‘fJB阁6例6 （2013年台湾）如阁6，在长方形ABCD中，M为CD中点，分别以B, M为圆心, BC, MC长为半径画弧，两弧相交于点P.若ZPBO70",则ZMPC的度数为（）A. 20°B. 35°C. 40°D. 55°分析：根据等腰三角形两底角相等求出ZBCP，然后求出ZMCP,再根据“等边对等角” 求解即可.解：因为分别以B，M为圆心，BC, MC长为半径的两弧相交于点P,所以BP=BC, MP=MC.因为ZPBC=70°,所以ZBCP=A （180°— ZPBC）（180°—70°）=55° •2 2在长方形ABCD 中，ZBCD=90° ,所以Z.MCP=90° -ZBCP=90°一55° =35° .所以ZMPC=ZMCP=35°.故选 B.考点6等腰三角形的判定例7 （2013年河北）如图7所示，一艘海轮位于灯塔P的南偏东70°方向的M处，它以每小时40海里的速度向正北方向航行，2小吋后到达位于灯塔P的北偏东40°的N处，则N处与灯塔P 的距离为（）A. 40海.里B. 60海里C. 70海里D. 80海里分析：根裾题意，可得ZM=70°，ZN=40°，在AMXP屮求得ZNPM的度数，证明ANINP 足等腰三角形，即可求解.解：依题意，知MN=2X40=80（海里），ZM=70°，ZN=40°，所以ZNPM=180° -ZM-ZN: 180° -70° -40° =70° .所以ZNPM=ZM.所以XP=MN=80海里.故选D.考点7等边三角形的性质例8 （2013年黔西南州）如|冬|8,己知AABC是等边三角形，点AB, C, D, E 在M—直线上，J1.CG=CD, DF=DE,则ZE 的度数/分析：根裾等边三角形的性质，可知ZACB=60°，根据等腰三角图8形底角相等即可得illZE的度数.解：因为AABC是等边三角形，所以ZACB=60° , ZACD=120° .因为CG=CD,所以ZCDG=30u , ZFDE=150° .因为DF=DE ，所以ZE=15° .故填15° .考点8含30°角的直角三角形的性质例9 （2013年泰安）如图9，在RtAABC 中，ZACB=90°垂直平分线DE 交AC 于点E ，交BC 的延长线于点F ，若ZF=30° 则BE 的长是 ______________ .分析:根据题意推得ZDBE=30° ,则在RtADBE 中由“30° 半”即可求得线段BE 的长度.解：因为 FD 丄AB,所以ZACB=ZFDB=90° . 因为ZF=30° ,所以ZA=ZF=30° .又DE 垂直平分线AB,所以ZEBA=ZA=30° . 因为DE=1,所以HE=2DE=2.故填2.參误区点拨误区1轴对称含义理解不清致错例1如图1中的（1）、（2）两个阁形成轴对称，请画ili 它们的对称轴.错解：如图1所示的直线..剖析：沿直线MX 对折，在直线MN 两旁的图形的确可以互相重合，似这里要求的是画（1）、（2）的对称轴，而MN 并不是这两个阁形的对称轴.画成轴对称的两个阁形的对称轴时耍注意所指的是哪个两个阁形，特别注意当这两个图形木身也是轴对称阁形时，不要把各自图形的对称轴作为两个图形的对称轴.正解：如图1所示的直线PQ. 误区2对轴对称的性质理解不深致误例2如图2,已知A, C 两点关于BD 对称，下列结论：®0A=0C ；②0B=0D;③AD=CD;④AB=CB.其中正确的有 _______________ （填序兮即可）.错解：填①②③④.AB 的 DE=1,3角所对的直角边是斜边的一©(1) (2)图 1阁2剖析：错解“A ，C 两点关于I3D 对称”错误理解为“AC, BD 互相垂直平分”，实际上 OA=OC,AB=CB, AD=CD 成立，但 OB=OD 不一定成立.正解：填①③④.參跟踪训练1. （2013年铁岭）下列图形中，是轴对称图形的有（）2. （2013年山西）如图1所示，正方形地砖的图案是轴对称图形，该图形的对称轴有（）3. （2013年德州）如图2, AB//CD,点E 在BC 上，且CD=CE, ZD=74°，则ZB 的度数为（）A. 68°B. 32°C. 22°D. 16°4. （2013年广州）点P 在线段AB 的垂直平分线上，PA=7，则PB= _________________ .5. 如图3, AABC 与△/VBA 关于直线m 成轴对称，若ZA=35°, ZB=55°,则ZC ：的度数为 ____________ .6. （2013年盐城改编）如图4-①是3X3正方形网格，将M:中两个方格涂黑，井且使得涂黑后的整个图案足轴对称图形，约定绕正方形ABCD 的中心旋转能重合的图案都视为同一种阁案，例如阁4-②中的四幅阁就视为M —种阁案，试画岀W 种不|u 個案（不M 于阁4-②）.1条 B图12条C. 4条②7.若在等腰三角形中作出一些线段（如角平分线、屮线、高等），你能发现其中一些相等的线段吗？你能证明你的的结论吗？（1） ______________________________________________________________________ M答：等腰三角形两条腰上的中线相等吗？答：____________________________________ （填“相等”或“不相等”）；（2）证明⑴中你的结论.耍求：用图5中的符号表达己知、求证，并证明，证明对各步骤要注明依据.轴对称小结与复习知识梳理.•略.跟踪训练：1. D 2. C 3. B4. 75. 90°6.解：答案不唯一，给出两种如图所示.7.解：⑴相等（2）已知:在AABC中，AB=AC, BD, CE分别为中线，求证:BD=CE. 证明：••• BD, CE分别为中线（已知），... AD=-AC, AE=-AB （中线的定义）.2 2••• AB=AC （已知），...AD二AE.在AABD 和AACE 屮，AD=AE, ZA=ZA （公共角相等），AB=AC, ••• AABD^AACE （SAS）./. BD=CE （全等三角形的对应边相等）.。

八年级数学第13章轴对称知识点

第十三章轴对称知识点总结及常见题型1、轴对称图形：一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能够完全重合。

这条直线叫做对称轴。

互相重合的点叫做对应点。

2、轴对称：两个图形沿一条直线对折，其中一个图形能够与另一个图形完全重合。

这条直线叫做对称轴。

互相重合的点叫做对应点。

3、轴对称图形与轴对称的区别与联系：（1）区别：轴对称图形讨论的是“一个图形与一条直线的对称关系” ；轴对称讨论的是“两个图形与一条直线的对称关系”。

（2）联系：把轴对称图形中“对称轴两旁的部分看作两个图形”便是轴对称；把轴对称的“两个图形看作一个整体”便是轴对称图形。

4、轴对称的性质：（1）成轴对称的两个图形全等。

（2）对称轴与连结“对应点的线段”垂直。

（3）对应点到对称轴的距离相等。

（4）对应点的连线互相平行。

5、线段的垂直平分线：（1）定义：经过线段的中点且与线段垂直的直线，叫做线段的垂直平分线。

如图2，∵CA=CB ，直线m ⊥AB 于C ，∴直线m 是线段AB 的垂直平分线。

（2）性质：线段垂直平分线上的点与线段两端点的距离相等。

如图3，∵CA=CB ，直线m ⊥AB 于C ，点P 是直线m 上的点。

∴PA=PB 。

（3）判定：与线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上。

如图3，∵PA=PB ，直线m 是线段AB 的垂直平分线，∴点P 在直线m 上。

6、等腰三角形：（1）定义：有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形。

①相等的两条边叫做腰。

第三条边叫做底。

②两腰的夹角叫做顶角。

③腰与底的夹角叫做底角。

说明：底角顶角⨯-=2180顶角顶角底角21-902180︒=-︒=可见，底角只能是锐角。

（2）性质：①等腰三角形是轴对称图形，其对称轴是“底边的垂直平分线”，只有一条。

②“等边对等角”：等腰三角形的两个底角相等。

如图5，在△ABC 中 ∵AB=AC∴∠B=∠C 。

③三线合一：顶角平分线、底边上的中线和底边上的高相互重合。

(完整)初二数学八上第十三章轴对称知识点总结复习和常考题型练习,推荐文档

第十三章轴对称、知识框架:二、知识概念：1.基本概念：⑴轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形•⑵两个图形成轴对称：把一个图形沿某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称 •铀对称图形AA\L区別只对f —冲-)ft-fKmr150对裤轴CF 一佥只冇一舉>(“轴对称旳睛(WK 予秤瓚的俭M 工菲.矗麹»JSt :t 鹽个、曲擢：心)只有1一頭〉对務柄联系却晁把射对材囲宼泊对禅轴曲卿撷甘"么卿牛曲癣轶夭于迭条 W 鑽處抽对耕-如杲把.阿十庇抽对秤的国招拼& — 妊呑虑一* 益林.外也亡赣足一亍轴对STSJ 搭-(4) 线段的垂直平分线：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线• (5) 等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形 •相等的两条边叫做腰，另一条边叫做底边，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角(6) 等边三角形：三条边都相等的三角形叫做等边三角形 2.基本性质：⑴对称的性质：① 不管是轴对称图形还是两个图形关于某条直线对称，对称轴都是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.② 对称的图形都全等•③ 如果两个图形的对应点连线被同条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称。

④ 两个图形关于某条直线成轴对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上。

⑵线段垂直平分线的性质：① 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等 ② 与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上 ⑶关于坐标轴对称的点的坐标性质①点(x, y )关于x 轴对称的点的坐标为(x, -y ).②点（x, y ）关于y轴对称的点的坐标为（-x, y ）.③点（x, y ）关于原点对称的点的坐标为（-x,- y ）⑷等腰三角形的性质：①等腰三角形两腰相等•②等腰三角形两底角相等（等边对等角）③等腰三角形的顶角角平分线、底边上的中线，底边上的高相互重合•④等腰三角形是轴对称图形，对称轴是三线合一（1条）.⑸等边三角形的性质：①等边三角形三边都相等•②等边三角形三个内角都相等，都等于60 °③等边三角形每条边上都存在三线合一④等边三角形是轴对称图形，对称轴是三线合一（3条）.（6）三角形三条边的垂直平分线相交于一点，这个点到三角形三个顶点的距离相等3.基本判定：⑴等腰三角形的判定：①有两条边相等的三角形是等腰三角形•②如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（等角对等边）•⑵等边三角形的判定：①三条边都相等的三角形是等边三角形•②三个角都相等的三角形是等边三角形•③有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.4.基本方法：⑴做已知直线的垂线：⑵做已知线段的垂直平分线：⑶作对称轴：连接两个对应点，作所连线段的垂直平分线⑷作已知图形关于某直线的对称图形：⑸在直线上做一点，使它到该直线同侧的两个已知点的距离之和最短•常考例题精选1. （2015 •三明中考）下列图形中，不是轴对称图形的是（）2. （2015 •日照中考）下面所给的交通标志图中是轴对称图形的是（）ABC3. （2015 •杭州中考）下列“表情图”中，属于轴对称图形的是（）4. （2015 •凉山州中考）如图，/ 3=30°,为了使白球反弹后能将黑球直接撞入袋中，那么击打白球时，必须保证/ 1的度数为（）A.30 °B.45 °C.60 °D.755. （2015 •德州中考）如图，动点P从（0，3）出发，沿所示的方向运动，每当碰到矩形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当点P第2013次碰到矩形的边时，点P的坐标为（）771 ~1 ~2 ~~ ~~6 ~7 d F A.（1，4） B.（5，0） C.（6，4）D.（8，3）6. （2015 •南充中考）如图，△ ABC中, AB=AC Z B=70，则/A的度数是（）A.70 ° B.55C.50 °D.407. （2015 •玉溪中考）若等腰三角形的两边长分别为4和8,贝尼的周长为（）A.12B.16C.20D.16 或208. （2014 •海门模拟）如图，在边长为1的正方形网格中，将△ ABC向右平移两个单位长度得到△ A B' C',则与点B'关于x轴对称的点的坐标是（）A.（0，-1） B.（1，1） C.（2，-1）D.（1，-1）9. （2015 •绵阳中考）如图，AC BD相交于O, AB// DC AB=BC / D=40，/ ACB= 35°，则/ AOD= ______ .10. （2015 •丽水中考）如图，在等腰厶ABC中，AB=AC Z BAC=50，/ BAC的平分线与AB的中垂线交于点O,点C沿EF折叠后与点O重合，则/ CEF的度数1. （2015遵义）观察下列图形，是轴对称图形的是（）2. 点P（5，—4）关于y轴的对称点是（）A. （5，4）B. （5，—4）C. （4，—5）D. （—5，—4）3. 如图，△ ABC与厶ADC关于AC所在的直线对称，/ BCD= 70° ，/ BA B C D=80°，则/ DAC的度数为（）D. 854. 如图，在Rt A ABC 中，/ C= 90° ，/ B = 15° ，DE 垂直平分AB 交BC于点E，BE = 4，则AC长为（），第4题图）A. 2B. 3C. 4 D .以上都不对6. 如图是一台球桌面示意图，图中小正方形的边长均相等，黑球放在如图所示的位置，经白球撞击后沿箭头方向运动，经桌边反弹最后进入球洞的序号是8. 如图，D ABC 内一点，CD 平分Z ACB ，BE 丄CD ，垂足为D ，交AC 于点 E ，Z A ABE ，AC = 5，BC = 3，贝U BD 的长为（）9.如图，已知S A ABC = 12, AD 平分Z BAC ，且AD 丄BD 于点D ，则S ^ADC的值是（）5. 如图，AB = AC = AD ,若/ BAD = 80则/ BCD =(C. 140 D . 1607. （2015玉林）如图，在厶ABC正确的是（）EC C . 中，AB = AC ，DE // BC ，则下列结论中不 Z ADE = Z C D . DE = *BC，第5题图）(A . 10 B. 8 C . 610. 如图，C为线段AE上一动点（不与点A , E重合）,在AE同侧分别作正三角形ABC和正三角形CDE, AD 与BE交于点O, AD与BC交于点P，BE 与CD交于点Q,连接PQ.以下五个结论：①AD = BE;②PQ// AE ;③AP= BQ; ④DE= DP;⑤/ AOB = 60° .其中正确的结论的个数是（）A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个12. 如图，D, E ABC两边AB , AC的中点,将厶ABC沿线段DE折叠，使点A落在点F处，若/ B = 55° ,则/BDF等于____________ .A「，第12题图）13. ____________________________________________________________ 如图，在3X 3的正方形网格中，已有两个小正方形被涂黑，再将图中其余小正方形任意涂黑一个,使整个图案构成一个轴对称图形的方法有________________________ 种.14. 如图，在厶ABC中，AB = AC , AB的垂直平分线交BC于点D ,垂足15. _______ 在厶ABC中，AC = BC,过点A作厶ABC的高AD ,若/ ACD = 30 贝B = __________ .16. ____ 如图，△ ABC中，D, E分别是AC , AB上的点，BD与CE交于点O. 给出下列三个条件：①/ EBO = /DCO;②/ BEO = /CDO:③BE = CD.上述三个条件中，哪两个条件可判定△ ABC是等腰三角形（用序号写出一种情形）：.，第16题图）17. _________________________ 如图是由9个等边三角形拼成的六边形，若已知中间的小等边三角形的边长是2,则六边形的周长是 .' ，第17题图）18. __ 如图，已知/AOB = 30° ，OC平分/ AOB，在OA上有一点M，OM =10 cm,现要在OC, OA上分别找点Q，N，使QM + QN最小，则其最小值为.，第18题图）19. 如图，某校准备在校内一块四边形草坪内栽上一棵银杏树，要求银杏树的位置点P到边AB，BC的距离相等，并且点P到点A，D的距离也相等.请用尺规作图作出银杏树的位置点P.不写作法，保留作图痕迹）23.如图，△ ABC，△ ADE是等边三角形，B，求证：(1)CE=AC + DC; (2)Z ECD = 60° . C，D在同一直线上.20. 如图，在平面直角坐标系中，A( —2, 2), B( —3, —2).(1) 若点D与点A关于y轴对称，则点D的坐标为__________ ;(2) 将点B先向右平移5个单位再向上平移1个单位得到点C，则点C的坐标为________ ;(3) 求A，B，C，D组成的四边形ABCD的面积.■I r厂m ! I I_ ■i == = Ji1 l:-一十一4二* t： 1 ER I r21. 如图，在厶ABC 中，AB = AC, D 为BC 为上一点，/ B = 30° ，/ DAB45(1) 求/ DAC的度数；(2)求证：DC = AB.22. (2015潜江)我们把两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”，如图，四边形ABCD是一个筝形，其中AB = CB，AD = CD，角或者对角线有关的一个结论，并证明你的结论.请你写出与筝形ABCD的24. 如图,在等腰Rt A ABC中,/ ACB = 90° , D为BC的中点,DE丄AB , 垂足为E,过点B作BF // AC交DE的延长线于点F,连接CF.(1) 求证：AD丄CF;(2) 连接AF ,试判断△ ACF的形状，并说明理由.25. 如图，已知AE丄FE,垂足为E,且E是DC的中点.(1) 如图①，如果FC丄DC, AD丄DC,垂足分别为C, D,且AD = DC,判断AE是/ FAD的角平分线吗？(不必说明理由)(2) 如图②，如果(1)中的条件“ AD = DC”去掉，其余条件不变，⑴中的结论仍成立吗？请说明理由；(3) 如图③，如果⑴的条件改为“ AD // FC” , (1)中的结论仍成立吗？请说明理由.。

第十三章轴对称小结

（A ）（—1，2）（B ）（－1，－2）（C ）（1，－2）（D ）（2，－1） 5．下列说法正确的是( D )A ．等腰三角形的高、中线、互相重合,角平分线不重合B ．顶角相等的两个等腰三角形全等C ．等腰三角形一边不可以是另一边的二D ．等腰三角形的两个底角相等6．等腰三角形的一个角是80°,则它的底角是（ D ） (A) 50°或80° (B) 80°(C) 50° (D) 20°或80°7.如图（2）,是屋架设计图的一部分,点D 是斜梁AB 的中点,立柱BC 、DE 垂直于横梁AC,AB=8m,∠A=30°,则DE 等于 ( B ) (A)1m (B) 2m (C)3m (D) 4m8.如图（3）,五角星的五个角都是顶角为36°的等腰三角形,则∠AMB 的度数为( C )(A)144° (B)120° (C)108° (D)100°9.若等腰三角形腰上的高是腰长的一半,则这个等腰三角形的底角是（ A ）（A ）75°或15° （B ）75° （C ）15° （D ）75°和30° 一、填空题1、如图（4）,△ABC 中,AB=AC,AD ⊥BC,BD=5cm ,则CD=___5__cm .2、等腰三角形一个底角是30°,则它的顶角是__120__度.3、等腰三角形的腰长是6，则底边长3，周长为___________15___________。

4、等腰三角形一个外角为50°，则此等腰三角形顶角是__130__度，底角是__25__度。

5、如图（5），△ABC 中,∠A=36°，AB=AC ，BD 平分∠ABC,DE∥BC ,则图中等腰三角形有_______5____个.6、如图（6）,△ABC 中,DE 是AC 的垂直平分线,AE=3cm,△ABD 的周长为13cm,则△ABC 的周长为____19cm _____.ABDCEABDC AEB C D7、到三角形各顶点距离相等的点是三角形三边垂直平分线的交点。

第十三章轴对称章末复习小结(3)基本技能、基本思想方法和基本活动经验

∴ CD⊥BE
知识归纳
如果等腰直角三角形共顶点，那么将两条边
分配到不同的两个三角形中会得到全等三角形
，会发现某些线段在数量和位置上有着特殊的
关系.
小试牛刀
2. 如图，△ABC和
△ADE是等腰直角三角形，
∠BAC＝∠DAE＝90°，BE、
CD交于F，
求证：⑴BE＝CD；⑵
BE⊥CD；
小试牛刀
证明：（1）和△ADE是等腰直角三角形
中的结论还成立吗？
为什么？
F
图2
拓展提高
（2）成立
如图，过点D作DF∥AB，交BC于点F.
∴ ∠BDF=∠
∵DE=DB
则 ∠ = ∠ ∴ ∠=∠BDF
∵ △ABC是等边三角形
则： ∠ = ∠ = ∠ = 60°，AC=BC
∴ ∠CDF=∠BAC=60°，∠DAE=120°
人教版.八年级上册
第十三章章末复习小结（3）
基本技能、基本思想方法和基
本活动经验
知识梳理
轴对称
轴
对
称
有关概念
线段的垂直平分线
轴对称的有关性质
画法
画轴对称图形
成轴对称的点的坐标之间的关系
等腰三角形
最短路
径问题
等腰三角形的性质
等腰三角形的判定
等边三角形
含30°角的直角三角形的性
质
直击考点
例1 如图，△ ，△ 是等边三角形，∠CBE=90°.
∴ ∠ = ∠
在△ACD和△ABE中，
=
ቐ∠ = ∠
=
∴△ACD≌△ABE
直击考点
（2）由（1）知，CD=BE.
如图，延长CD，交BE于点F，

(人教版)八年级数学上册第13章轴对称单元小结与复习课件

证明:∵AD是高,∴AD⊥BC,
∵BD=DE， ∴AD垂直平分线段BE， ∴AB=AE，
B DE
C
线段的∴垂AB直+B平D=分AE线+D一E，般会与中点,90º角,等腰三角形一同出现,
在求角∵度AB,+三BD角=D形C，的∴周D长C=,A或E+证DE明，线段之间的等量关系时,要注意 ∴DE+EC=AE+DE ∴EC=AE，
简称“_三__线__合__一___”.
知识点四等腰三角形的性质和判定
2.判定： ⑴三条边都相等的三角形是等边三角形. ⑵三个角都相等的三角形是等边三角形. ⑶有一个角是60º的_等__腰__三__角__形__是等边三角形.
要点归纳
六、有关作图 1.过已知直线外的一点作该直线的垂线 2.作线段的垂直平分线 3.最短路径：(1)牧人饮马问题；(2)造桥选址马问题
应点所连线段的_垂__直__平__分__线__；
(3)轴对称图形的_对__称__轴__,是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.
知识点一
轴对称及轴对称图形
典型例题
【例1】下列“禁止行人通行,注意危险,禁止非机动车通行,限速
60”四个交通标志图中,为轴对称图形的是( B )
A
B
C
D
知识点一
轴对称及轴对称图形
是∵作B顶D⊥角A的C,角∴平∠分DB线C+,∠而A后CB利=9用0º等.腰三角形三线合一的性质,可 ∴∠2=∠DBC.
以∴实∠现B线AC段=2或∠角DB之C.间的相互转化.
知识点四等腰三角形的性质和判定典型例题
【例4-2】等腰三角形的一个内角是另一个内角的2倍,
求该等腰三角形的顶角的度数.

人教版八年级数学上册--第13章轴对称复习与小结-课件

直线l于点C），此时点C就是所求作的点.
∙B
l
B’
知识梳理
15.最短路径问题
（2）两点一线型问题.
P2
l2
如图，在直线l1和直线l2上分别找到点M， N，使得∆PMN的周长最小.
作法：分别作点P关于直线l1，l2 的对称点P1，P2，连接P1P2分别交直线l1， l2于点M，N，则点M，N即为所求.
知识梳理
11.关于坐标轴对称的点的坐标规律
1.点（x，y）关于x轴对称的点的坐标是（x，-y），特点是横坐标相同，纵坐标互为相反数.
2.点（x，y）关于y轴对称的点的坐标是（-x，y），特点是纵坐标相同，横坐标互为相反数.
知识梳理 12.在直角坐标系中画与已知图形关于某直线成轴对称的图形的方法
l1 M
P1
课堂练习
4.如图，AD⊥BC，D是BC的中点，那么下列结论错误的是（ C ）
A.△ABD≌△ACD
B.∠B=∠C
C.△ABC是等边三角形
D.△ABC是等腰三角形
分析：∵AD⊥BC，D是BC的中点，
A
∴△ABD和△ACD关于直线AD对称.
由对称性可知： △ABD≌△ACD，
∴∠B=∠C ， △ABC是等腰三角形. B
┐
DC
课堂练习
5.如图,将一个含45°角的三角尺ABC的直角顶点A放在一张宽为3 cm的纸带边沿上,另一个顶点C在纸带的另一边沿上,测得三角尺的一边AC与纸带的一边所在的直线成30°角,则三角尺的直角边长为 6 cm.
解：如图,过点C作CD⊥AD于点D,CD=3 cm. 在Rt△ADC中, ∵∠CAD=30°, ∴AC=2CD=6 cm, 即三角尺的直角边长为6 cm.

第13章 轴对称复习与小结

八年级数学上册 第十三章 轴对称知识点总结 新人教版