导数综合应用复习题经典

导数综合应用复习题

一、知识回顾：

1．导数与函数单调性的关系

设函数()f x 在某个区间内可导，则在此区间内：

（1）0)(>'x f ⇒)(x f ↗，)(x f ↗⇒()0f x '≥；

（2）0)(≠'x f 时，0)(>'x f ⇔)(x f ↗

（单调递减也类似的结论）

2．单调区间的求解过程：已知)(x f y =

（1）分析)(x f y =的定义域；

（2）求导数)(x f y '='；

（3）解不等式0)(>'x f ，解集在定义域内的部分为增区间

（4）解不等式0)(<'x f ，解集在定义域内的部分为减区间

3．函数极值的求解步骤：

（1）分析)(x f y =的定义域；

（2）求导数)(x f y '='并解方程()0f x '=；

（3）判断出函数的单调性；

（4）在定义域内导数为零且由增变减的地方取极大值；

在定义域内导数为零且由减变增的地方取极小值。

4．函数在区间内的最值的求解步骤：

利用单调性或者在求得极值的基础上再考虑端点值比较即可。

二、例题解析：

例1、已知函数321()13

f x x ax ax =

+++ （1）若在R 上单调，求a 的取值范围。

（2）问是否存在a 值，使得()f x 在[]1,1-上单调递减，

若存在，请求a 的取值范围。

解：先求导得2()2f x x ax a '=++

（1）Q ()f x 在R 上单调且()f x '是开口向上的二次函数 ∴()0f x '≥恒成立，即0∆≤ ∴2

440a a -≤，解得01a ≤≤

（2）Q 要使得()f x 在[]1,1-上单调递减

且()f x '是开口向上的二次函数

∴()0f x '≤对[]1,1x ∈-恒成立，

即()()11201120

f a a f a a '-=-+≤⎧⎪⎨'=++≤⎪⎩ 解得a ∈∅

∴不存在a 值，使得()f x 在[]1,1-上单调递减。

例2、已知函数321()313

f x x x x =+-+， 2()2

g x x x a =-++

（1）讨论方程()f x k =（k 为常数）的实根的个数。

（2）若对[]0,2x ∈，恒有()f x a ≥成立，求a 的取值范围。

（3）若对[]0,2x ∈，恒有()()f x g x ≥成立，求a 的取值范围。

（4）若对[]10,2x ∈，[]20,2x ∈，恒有()12()f x g x ≥成立，

求a 的取值范围。

解：

（1）求导得：2

()23f x x x '=+-

令()0f x '> 解得 31x x <->或，此时()f x 递增，

令()0f x '< 解得 31x -<<， 此时()f x 递减， ∴当3x =-时()f x 取极大值为(3)10f -=

当1x = 时()f x 取极小值为2(1)3

f =-

∴方程()f x k =（k 为常数）的实根的个数就是函数()y f x =

与y k =的图象的交点个数 ∴当23

k <-或10k >时方程有1个实根； 当23

k =-或10k =时方程有2个实根； 当2103

k -<<时方程有3个实根。

（2）[]0,2x ∈时，要使得()f x a ≥恒成立，则只需min ()f x a ≥

由（1）可知[]0,2x ∈时()min 2()13

f x f ==- ∴23

a ≤-

（3）[]0,2x ∈时，要使得()()f x g x ≥恒成立，

即()()0f x g x -≥，设()()()h x f x g x =-，

则只需[]0,2x ∈时min ()0h x ≥

∴()()321()2513h x f x g x x

x x a =-=+--+ 令()2450h x x x '=+-=得5x =-或1x = Q []0,2x ∈

∴比较 ()01h a =-

()15125133

h a a =+-+-=-- ()852810133

h a a =+-+-=- 得min 5()3

h x a =-- ∴ 503a --≥ 即 53

a ≤-

（4）要有对[]10,2x ∈，[]20,2x ∈，恒有()12()f x g x ≥成立，

则只需在[]0,2x ∈中()min max ()f x g x ≥

由（1）可知[]0,2x ∈时()min 2()13f x f

==- 而2()2g x x x a =-++的对称轴为1x =且开口向下，

当[]0,2x ∈时()()max 11g x g a ==+

∴213a -≥+即53

a ≤-

三、课堂练习：

已知函数21()ln 4

f x x x =-， 1． 求()f x 在[]0,2上的最值。

2． 若对[]0,2x ∀∈，()ln 2f x m ≤+恒成立，求m 的取值范围。

3． 若对[]0,2x ∀∈，()f x x m ≤+恒成立，求m 的取值范围。

4． 若()g x x m =+，对[]0,2x ∀∈，使得()()f x g x ≤恒成立，求的m 取值范围。

四、作业布置：

自主收集广东近五年的高考试题中涉及导数知识的三道题并解答。