2.4直线的曲线方程
直线和曲线的简单方程求解方法
直线和曲线的简单方程求解方法一、直线方程求解方法1.1 点斜式方程点斜式方程是直线上任意一点和斜率来表示直线方程的一种形式，其一般形式为：y - y1 = k(x - x1)，其中(x1, y1)为直线上的一点，k为直线的斜率。
1.2 两点式方程两点式方程是利用直线上的两点来表示直线方程的一种形式，其一般形式为：(y - y1)/(y2 - y1) = (x - x1)/(x2 - x1)，其中(x1, y1)和(x2, y2)为直线上的两点。
1.3 截距式方程截距式方程是直线在坐标轴上的截距来表示直线方程的一种形式，其一般形式为：x/a + y/b = 1，其中a为x轴截距，b为y轴截距。
1.4 一般式方程一般式方程是直线方程的通用形式，其一般形式为：Ax + By + C = 0，其中A、B、C为常数，且A、B不同时为0。
二、曲线方程求解方法2.1 圆的方程圆的方程是利用圆心和半径来表示圆的一种形式，其一般形式为：(x - h)² + (y - k)² = r²，其中(h, k)为圆心坐标，r为半径。
2.2 椭圆的方程椭圆的方程是利用椭圆的长轴、短轴和焦距来表示椭圆的一种形式，其一般形式为：x²/a² + y²/b² = 1，其中a为半长轴，b为半短轴。
2.3 双曲线的方程双曲线的方程是利用双曲线的实轴、虚轴和焦距来表示双曲线的一种形式，其一般形式为：x²/a² - y²/b² = 1，其中a为实半轴，b为虚半轴。
2.4 抛物线的方程抛物线的方程是利用抛物线的焦点、准线和顶点来表示抛物线的一种形式，其一般形式为：y² = 4ax 或 x² = 4ay，其中a为焦点到顶点的距离。
三、求解方法3.1 直线方程求解直线方程求解主要是通过解析式来求出直线上任意一点的坐标。
解析几何-吕林根-课后习题解答一到五
第一章矢量与坐标§1.1 矢量的概念1.下列情形中的矢量终点各构成什么图形？（1）把空间中一切单位矢量归结到共同的始点；（2）把平行于某一平面的一切单位矢量归结到共同的始点；（3）把平行于某一直线的一切矢量归结到共同的始点；（4）把平行于某一直线的一切单位矢量归结到共同的始点.解：2. 设点O是正六边形ABCDEF的中心，在矢量OA、OB、OC、OD、OE、OF、AB、BC、CD、DE、EF和FA中，哪些矢量是相等的？[解]：图1-13. 设在平面上给了一个四边形ABCD，点K、L、M、N分别是边ＡＢ、ＢＣ、ＣＤ、ＤＡ的中点，求证：KL＝NM. 当ABCD是空间四边形时，这等式是否也成立？[证明]：.4. 如图1-3，设ABCD-EFGH是一个平行六面体，在下列各对矢量中，找出相等的矢量和互为相反矢量的矢量：(1) AB、CD; (2) AE、CG; (3) AC、EG;(4) AD、GF; (5) BE、CH.解：§1.2 矢量的加法1.要使下列各式成立，矢量b a ,应满足什么条件？ （1=+ （2+=+ （3-=+ （4+=- （5= 解：§1.3 数量乘矢量1 试解下列各题．⑴ 化简)()()()(→→→→-⋅+--⋅-b a y x b a y x ．⑵ 已知→→→→-+=3212e e e a ，→→→→+-=321223e e e b ，求→→+b a ，→→-b a 和→→+b a 23．⑶ 从矢量方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-=+→→→→→→by x ay x 3243，解出矢量→x ，→y ．解：2 已知四边形ABCD 中，→→→-=c a AB 2，→→→→-+=c b a CD 865，对角线→AC 、→BD 的中点分别为E 、F ，求→EF ． 解：3 设→→→+=b a AB 5，→→→+-=b a BC 82，)(3→→→-=b a CD ，证明：A 、B 、D 三点共线． 解：4 在四边形ABCD中，→→→+=baAB2，→→→--=baBC4，→→→--=baCD35，证明ABCD为梯形．解：6. 设L、M、N分别是ΔABC的三边BC、CA、AB的中点，证明：三中线矢量AL, BM, CN可以构成一个三角形.7. 设L、M、N是△ABC的三边的中点，O是任意一点，证明OBOA++OC=OL+OM+ON.解：8. 如图1-5，设M是平行四边形ABCD的中心，O是任意一点，证明OA+OB+OC+OD＝4OM.解：9在平行六面体ABCDEFGH（参看第一节第4题图）中，证明→→→→=++AGAHAFAC2．证明：．10.用矢量法证明梯形两腰中点连续平行于上、下两底边且等于它们长度和的一半．解11. 用矢量法证明，平行四边行的对角线互相平分.解12. 设点O 是平面上正多边形A 1A 2…A n 的中心，证明: 1OA +2OA +…+n OA ＝0.解,13．在12题的条件下，设P 是任意点，证明 证明：§1.4 矢量的线性关系与矢量的分解1．在平行四边形ABCD 中，（1）设对角线,,b BD a AZ ==求.,,,DA CD BC AB 解（2）设边BC 和CD 的中点M 和N ，且q AN P AM ==,求CD BC ,。
直线与曲线的方程
直线与曲线的方程直线和曲线是数学中非常重要且常见的概念。
在解决许多实际问题中，我们需要找到直线和曲线的方程来描述它们的性质和行为。
本文将详细介绍直线和曲线的方程，探讨它们在几何和代数中的应用。
一、直线的方程直线的方程是解析几何中研究的一个重要内容。
解析几何通过代数方法研究几何对象，直线的方程是其中的重要部分。
我们可以使用不同的方法来确定直线的方程，比较常用的有点斜式方程和两点式方程。
1. 点斜式方程点斜式方程利用直线上的一个点和直线的斜率来确定直线的方程。
设直线上一点为P(x, y)，直线的斜率为k，则直线的点斜式方程为：y - y₁ = k(x - x₁)其中(x₁, y₁)为直线上的已知点。
点斜式方程的优点是在已知直线上的一个点和斜率的情况下，可以直接得到直线的方程。
2. 两点式方程两点式方程利用直线上两个不同的点来确定直线的方程。
设直线上两点分别为P₁(x₁, y₁)和P₂(x₂, y₂)，则直线的两点式方程为：(y - y₁)/(x - x₁) = (y₂ - y₁)/(x₂ - x₁)两点式方程的优点是在已知直线上任意两个点的情况下，可以直接得到直线的方程。
二、曲线的方程曲线的方程是非常广泛且复杂的，不同类型的曲线有不同的方程表示。
在这里，我们将讨论常见的曲线方程，包括抛物线、圆、椭圆和双曲线的方程。
1. 抛物线的方程抛物线是一种非常常见的曲线，其方程形式为y = ax² + bx + c，其中a、b、c为常数。
通过调整a、b、c的值，可以改变抛物线的形状、位置和方向。
2. 圆的方程圆是几何中的一个重要概念，其方程表示了圆在坐标系中的几何特征。
设圆心坐标为(h, k)，半径为r，则圆的方程为：(x - h)² + (y - k)² = r²圆的方程可以通过圆心和半径的信息直接得到，用于描述圆的位置和形状。
3. 椭圆的方程椭圆是一种拉伸的圆形，其方程形式为(x - h)²/a² + (y - k)²/b² = 1或(x - h)²/b² + (y - k)²/a² = 1，其中(h, k)为椭圆中心的坐标，a和b分别为椭圆在x轴和y轴上的半轴长度。
北师版选修4-4§2 2.3 直线和圆的极坐标方程 2.4 曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化 2.5
2.3 直线和圆的极坐标方程 2.4 曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化*2.5 圆锥曲线统一的极坐标方程学习目标：1.能在极坐标系中给出简单图形表示的极坐标方程．(重点)2.掌握简单图形的极坐标方程与直角坐标方程的互化．(易错易混点)3.用方程表示平面图形时，会选择适当的坐标系来表示．(难点)教材整理1 曲线的极坐标方程 1．曲线的极坐标方程在极坐标系中，如果曲线C 上的点与一个二元方程φ(ρ，θ)＝0建立了如下的关系：(1)曲线C 上的每个点的极坐标中至少有一组(ρ，θ)满足方程φ(ρ，θ)＝0； (2)极坐标满足方程φ(ρ，θ)＝0的点都在曲线C 上．那么方程φ(ρ，θ)＝0叫作曲线C 的极坐标方程，曲线C 叫作极坐标方程φ(ρ，θ)＝0的曲线．2．常见简单曲线的极坐标方程判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)过极点且垂直于极轴的直线方程为x＝π2.()(2)直线ρcos θ＝2与直线ρsin θ＝2互相平行．()(3)ρ＝cos θ表示一个圆．()[解析](1)√过极点且垂直于极轴的直线上的点的极角都可表示为π2，故正确．(2)×ρcos θ＝2表示直线x＝2，ρsin θ＝2表示直线y＝2，这两直线互相垂直．(3)√ρ＝cos θ可化为x2＋y2＝x，故正确．[答案](1)√(2)×(3)√教材整理2曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化两坐标方程的互化，我们把极轴与平面直角坐标系xOy的x的正半轴重合，且两种坐标系取相同的长度单位．利用把曲线的两种方程进行相互转化．填空：(1)曲线ρ＝1的直角坐标方程为__________________________．(2)方程y＝2x的极坐标方程为___________________________．(3)圆ρ＝2cos θ的直角坐标方程为_____________________．[解析](1)ρ＝1，即ρ2＝1，∴x2＋y2＝1.(2)把y＝ρsin θ，x＝ρcos θ代入y＝2x，得ρsin θ＝2ρcos θ，即tan θ＝2.(3)ρ＝2cos θ即ρ2＝2ρcos θ，所以x2＋y2＝2x，即(x－1)2＋y2＝1.[答案](1)x2＋y2＝1(2)tan θ＝2(3)(x－1)2＋y2＝1教材整理3圆锥曲线统一的极坐标方程设定点为F，定直线为l，过定点F作定直线l的垂线，垂足为K，以F为极点，FK的反向延长线Fx为极轴，建立极坐标系．如图，设定点F到直线l的距离|FK|＝p，M(ρ，θ)为曲线上任意一点，曲线的极坐标方程为ρ＝ep1－e cos θ.①当0＜e＜1时，方程表示椭圆．②当e＝1时，方程表示开口向右的抛物线．③当e＞1时，方程只表示双曲线的右支，定点是它的右焦点．【例1】(1)求过点A(1,0)且倾斜角为π4的直线的极坐标方程；(2)求圆心在A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，3π2处并且过极点的圆的极坐标方程，并判断点⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，sin 5π6是否在这个圆上． [精彩点拨] 解答本题先根据题意画出草图，设点M (ρ，θ)后建立关于ρ与θ的方程化简即可．[尝试解答] (1)如图，设M (ρ，θ)(ρ≥0)为直线上除点A 以外的任意一点，则∠xAM ＝π4， ∠OAM ＝3π4， ∠OMA ＝π4－θ.在△OAM 中，由正弦定理得 OM sin ∠OAM ＝OAsin ∠OMA ，即ρsin 3π4＝1sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ， 所以ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝22，即ρ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π4cos θ－cos π4sin θ＝22， 化简，得ρ(cos θ－sin θ)＝1， 经检验点A (1,0)的坐标适合上述方程，所以满足条件的直线的极坐标方程为ρ(cos θ－sin θ)＝1.(2)由题意知，圆经过极点O ，OA 为其一条直径，设M (ρ，θ)为圆上除点O ，A 以外的任意一点，则|OA |＝2r ，连结AM ，则OM ⊥MA .在Rt △OAM 中，|OM |＝|OA |cos ∠AOM ，即ρ＝2r cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－θ，∴ρ＝－4sin θ.经验证，点O (0,0)，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，3π2的坐标满足上式．所以满足条件的圆的极坐标方程为ρ＝－4sin θ.∵sin 5π6＝12，∴ρ＝－4sin θ＝－4sin 5π6＝－2， ∴点⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，sin 5π6在此圆上．求曲线的极坐标方程通常有以下五个步骤： (1)建立适当的极坐标系； (2)在曲线上任取一点M (ρ，θ)；(3)根据曲线上的点所满足的条件写出等式(因涉及的是长度与角度，所以列等式的实质是解三角形)；(4)用极坐标ρ，θ表示上述等式，并化简得曲线的极坐标方程； (5)证明所得的方程是曲线的极坐标方程．通常第(5)步不必写出，只要对特殊点的坐标加以检验即可．1．(1)求过A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4且平行于极轴的直线方程．(2)在圆心的极坐标为A (4,0)，半径为4的圆中，求过极点O 的弦的中点的轨迹．[解] (1)如图所示，在直线l 上任意取点M (ρ，θ)．∵A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，∴|MH |＝2·sin π4＝2，在Rt △OMH 中，|MH |＝|OM |sin θ，即ρsin θ＝2，所以过A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4且平行于极轴的直线方程为ρsin θ＝2，其中0<θ<π.(2)设M (ρ，θ)是轨迹上任意一点．连结OM 并延长交圆A 于点P (ρ0，θ0)，则有θ0＝θ，ρ0＝2ρ.由圆心为(4,0)，半径为4的圆的极坐标方程为ρ＝8cos θ， 得ρ0＝8cos θ0，所以2ρ＝8cos θ， 即ρ＝4cos θ.故所求轨迹方程是ρ＝4cos θ.它表示以(2,0)为圆心，2为半径的圆.(1)射线y ＝3x (x ≤0)； (2)圆x 2＋y 2＋2ax ＝0(a ≠0)．[精彩点拨] 将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入―→极坐标方程 [尝试解答] (1)将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ， 代入y ＝3x ，得ρsin θ＝3ρcos θ， ∴tan θ＝3，∴θ＝π3或θ＝4π3.又x ≤0，∴ρcos θ≤0，∴θ＝4π3，∴射线y ＝3x (x ≤0)的极坐标方程为θ＝4π3(ρ≥0)． (2)将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入x 2＋y 2＋2ax ＝0，得 ρ2cos 2θ＋ρ2sin 2θ＋2aρcos θ＝0，即ρ(ρ＋2a cos θ)＝0，∴ρ＝－2a cos θ，∴圆x2＋y2＋2ax＝0(a≠0)的极坐标方程为ρ＝－2a cos θ，圆心为(－a,0)，半径为r＝|a|.1．化曲线的直角坐标方程f(x，y)＝0为极坐标方程f(ρ，θ)＝0，只要将x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入到方程f(x，y)＝0中即可．化为极坐标方程时，如果不加特殊说明，就认为ρ≥0.例如x2＋y2＝25化为极坐标方程时，有ρ＝5或ρ＝－5两种情况，由于ρ≥0，所以只取ρ＝5.事实上，这两个方程都是以极点为圆心，以5为半径的圆．2．由直角坐标方程化为极坐标方程最后要化简．2．曲线C的直角坐标方程为x2＋y2－2x＝0，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C的极坐标方程为________．[解析]直角坐标方程x2＋y2－2x＝0可化为x2＋y2＝2x，将ρ2＝x2＋y2，x ＝ρcos θ代入整理得ρ＝2cos θ.[答案]ρ＝2cos θ(1)ρcos θ＝2；(2)ρ＝2cos θ；(3)ρ2cos 2θ＝2；(4)ρ＝11－cos θ.[精彩点拨]极坐标方程――――→ρcos θ＝xρsin θ＝y直角坐标方程―→曲线的形状[尝试解答]根据点的极坐标化为直角坐标的公式：ρ2＝x2＋y2，ρcos θ＝x，ρsin θ＝y.(1)∵ρcos θ＝2，∴x ＝2，是过点(2,0)，垂直于x 轴的直线． (2)∵ρ＝2cos θ，∴ρ2＝2ρcos θ， ∴x 2＋y 2－2x ＝0，即 (x －1)2＋y 2＝1. 故曲线是圆心在(1,0)，半径为1的圆． (3)∵ρ2cos 2θ＝2，∴ρ2(cos 2θ－sin 2θ)＝2， 即ρ2cos 2θ－ρ2sin 2θ＝2，∴x 2－y 2＝2.故曲线是中心在原点，焦点在x 轴上的等轴双曲线． (4)∵ρ＝11－cos θ，∴ρ＝1＋ρcos θ，∴x 2＋y 2＝1＋x ，两边平方并整理， 得y 2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12.故曲线是顶点为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0，焦点为F (0,0)，准线方程为x ＝－1的抛物线．1．将ρ2＝x 2＋y 2，ρcos θ＝x ，ρsin θ＝y 代入曲线的极坐标方程，整理即得曲线的直角坐标方程．2．解决此类问题常常通过方程变形，构造出形如ρcos θ，ρsin θ，ρ2的式子，进行整体代换．方程的两边同乘以(或同除以)ρ或方程两边平方是常用的变形方法．3．在极坐标系中，点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6到直线ρsin θ＝2的距离等于________．[解析] 极坐标系中点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6对应的直角坐标为(3，1)．极坐标系中直线ρsinθ＝2对应直角坐标系中直线y ＝2.故所求距离为1.[答案] 1[1．在极坐标系中，求圆的极坐标方程的一般思路是什么？求直线的极坐标方程呢？[提示] 在圆上设M (ρ，θ)为任意一点，连结OM ，构造出含OM 的三角形，再利用解直角三角形或解斜三角形的正弦、余弦定理求OM ，即把OM 用θ表示，从而得到圆的极坐标方程．求直线的极坐标方程时，首先在直线上设任意一点M (ρ，θ)，构造直角三角形，利用勾股定理建立方程．2．在极坐标系内，如何确定某一个点P 是否在某曲线C 上？[提示] 在直角坐标系内，曲线上每一点的坐标一定适合它的方程，可是在极坐标系内，曲线上一点的所有坐标不一定都适合方程，所以在极坐标系内，确定某一个点P 是否在某一曲线C 上，只需判断点P 的极坐标中是否有一对坐标适合曲线C 的方程即可．3．我们由曲线的直角坐标方程很容易知道它是哪种曲线，那如何由曲线的极坐标方程确定其是哪一种曲线呢？[提示] 如果对简单的直线和圆的极坐标方程及圆锥曲线统一的极坐标方程熟练的话，可由其判断，否则一般是将其化成直角坐标方程再判断其是哪种曲线．【例4】 在极坐标系中，从极点O 作直线与另一直线l ：ρcos θ＝4相交于点M ，在OM 上取一点P ，使|OM |·|OP |＝12.(1)求点P 的轨迹方程；(2)设R 为l 上任意一点，试求RP 的最小值．[精彩点拨] 解答本题可以设出动点P ，M 的极坐标，然后代入条件等式求解即可，也可以转化为直角坐标方程解决．[尝试解答] 法一：(1)设动点P 的极坐标为(ρ，θ)，点M 为(ρ0，θ)． ∵|OM |·|OP |＝12，∴ρ0ρ＝12，得ρ0＝12ρ. ∵M 在直线ρcos θ＝4上， ∴ρ0cos θ＝4，即12ρcos θ＝4，于是ρ＝3cos θ(ρ＞0)为所求的点P 的轨迹方程． (2)由于点P 的轨迹方程为ρ＝3cos θ＝2·32cos θ，所以点P 的轨迹是圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，半径为32的圆(去掉极点)．又直线l ：ρcos θ＝4过点(4,0)且垂直于极轴，点R 在直线l 上，由此可知RP 的最小值为1.法二：(1)直线l ：ρcos θ＝4的直角坐标方程为x ＝4，设点P (x ，y )为轨迹上任意一点，点M (4，y 0)，由O P →∥OM →得y 0＝4yx (x ＞0)． 又|OM |·|OP |＝12， 则|OM |2·|OP |2＝144， ∴(x 2＋y 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫16＋16y 2x 2＝144， 整理得x 2＋y 2＝3x (x ＞0)，这就是点P 的轨迹的直角坐标方程．(2)由上述可知，点P 的轨迹是圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，半径为32的圆(去掉原点)．又点R 在直线l ：x ＝4上，由此可知RP 的最小值为1.建立适当的极坐标系，有时会使某些曲线的极坐标方程具有比直角坐标方程更为简洁的形式．可是，由于同一种类型的曲线的极坐标方程的形式多样性，且不同位置的同一曲线的极坐标方程存在较大差异，这给由极坐标方程确定曲线的形状、位置与性质带来不便，为此，往往把极坐标方程化为直角坐标方程，再根据平面直角坐标系中曲线的相关知识将问题求解．4．过极点O 作圆C ：ρ＝8cos θ的弦ON ，求ON 的中点M 的轨迹方程． [解] 法一：如图，圆心C (4,0)，半径r ＝|OC |＝4，连结CM . ∵M 为弦ON 的中点，∴CM ⊥ON ，故M 在以OC 为直径的圆上．所以，动点M 的轨迹方程是ρ＝4cos θ.法二：设M 点的坐标是(ρ，θ)，N (ρ1，θ1)．N 点在圆ρ＝8cos θ上，∴ρ1＝8cos θ1. ①∵M 是ON 的中点，∴⎩⎨⎧ρ1＝2ρ，θ1＝θ，代入①式得2ρ＝8cos θ，故M 的轨迹方程是ρ＝4cos θ.1．极坐标方程ρ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ表示的曲线是( ) A ．双曲线B ．椭圆C ．抛物线D ．圆[解析] 方程可化为ρ2＝22ρcos θ＋22ρsin θ，即x 2＋y 2－22x －22y ＝0，所以曲线表示圆．[答案] D2．过点A (2,0)，并且垂直于极轴的直线的极坐标方程是( )A ．ρcos θ＝2B ．ρsin θ＝2C ．ρcos θ＝1D ．ρsin θ＝1[解析] 如图所示，设M (ρ，θ)为直线上除点A (2,0)外的任意一点，连结OM ，则有△AOM 为直角三角形，并且∠AOM ＝θ，|OA |＝2，|OM |＝ρ，所以有|OM |cosθ＝|OA |，即ρcos θ＝2，显然当ρ＝2，θ＝0时，也满足方程ρcos θ＝2，所以所求直线的极坐标方程为ρcos θ＝2.[答案] A3．在极坐标系中，极点到直线ρcos θ＝2的距离是________．[解析] ρcos θ＝2，即x ＝2.所以极点到直线的距离为2.[答案] 24．两直线ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝2 016，ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝2 015的位置关系是________．(判断垂直或平行或斜交)[解析] 两直线方程可化为x ＋y ＝2 0162，y －x ＝2 0152，故两直线垂直．[答案] 垂直5．求以C (4,0)为圆心，半径等于4的圆的极坐标方程．[解] 设P (ρ，θ)为圆C 上任意一点(不与O ，A 点重合)，圆C 交极轴于另一点A ，则|OA |＝8.在Rt △AOP 中，|OP |＝|OA |cos θ，即ρ＝8cos θ，经验证点O ，点A 也满足该等式，所以ρ＝8cos θ.这就是圆C 的极坐标方程．。
用直线方程构造的二次曲线方程
用直线方程构造的二次曲线方程【摘要】本文介绍了如何利用直线方程构造二次曲线方程，首先阐述了直线方程与二次曲线方程的关系，然后详细讲解了利用直线方程的方法来构造二次曲线方程，并通过实例分析展示了具体操作步骤。
接着讨论了直线方程构造二次曲线方程在实际应用领域中的潜力，以及其优势与局限性。
最后总结了直线方程构造二次曲线方程的重要性，展望了未来研究方向，并强调了这一研究的意义。
通过本文的研究，读者将更加深入了解直线方程如何在构造二次曲线方程中发挥作用，为相关领域的进一步研究提供了有益的参考。
【关键词】直线方程、二次曲线方程、构造、关系、方法、实例分析、应用领域、优势、局限性、重要性、发展、研究意义。
1. 引言1.1 介绍直线方程构造二次曲线方程的背景直线方程构造二次曲线方程的背景首先要回顾一下直线方程和二次曲线方程的定义。
直线方程通常表示为y = mx + b，其中m是斜率，b是y轴截距。
而二次曲线方程则可以表示为y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c是系数。
直线方程与二次曲线方程之间存在着密切的联系。
实际上，通过直线方程构造二次曲线方程是一种常见的数学方法，可以帮助我们更好地理解曲线的形状和性质。
通过直线方程的研究，我们可以推导出相应的二次曲线方程，从而更深入地探讨曲线的特征和行为。
在数学和工程领域，直线方程构造二次曲线方程的方法被广泛应用。
在图像处理和模式识别中，我们常常需要通过直线方程构造二次曲线方程来拟合数据点，从而实现图像的分析和识别。
直线方程构造二次曲线方程还可以用于解决最优化和拟合等问题。
直线方程构造二次曲线方程是一项重要的数学技术，具有广泛的应用价值。
通过研究直线方程构造二次曲线方程的方法，我们可以更好地理解和应用数学知识，为解决实际问题提供有力的支持。
1.2 阐明文章的研究目的本文的研究目的是阐明直线方程构造二次曲线方程的方法和原理，探讨这种方法在数学和科学领域中的应用及其重要性。
直线与曲线的性质和计算
直线与曲线的性质和计算在数学中，直线和曲线是几何学中最基本的图形之一。
它们具有不同的性质和计算方式，本文将探讨直线和曲线的定义、性质以及如何进行相关计算。
一、直线的性质和计算1. 直线的定义：直线是由无限多个点组成的，这些点位于同一条直线上，并且直线上的任意两个点可以用直线段来连接。
直线可以用斜率和截距来表示。
2. 斜率：直线的斜率定义为$y$轴的变化量除以$x$轴的变化量。
斜率可以用以下公式表示：$k = \frac{{y_2 - y_1}}{{x_2 - x_1}}$，其中$(x_1, y_1)$和$(x_2, y_2)$是直线上的两个点。
斜率可以帮助我们理解直线的倾斜程度。
3. 截距：直线的截距指直线与$y$轴的交点在$y$轴上的坐标值。
截距可以用以下公式表示：$b = y - kx$，其中$(x, y)$是直线上的一个点，$k$是斜率。
4. 平行与垂直直线：两条直线如果斜率相等，则它们是平行的；如果两条直线的斜率的乘积为-1，则它们是垂直的。
5. 直线的方程：直线的方程可以用两点式、点斜式和斜截式表示。
两点式方程：$y - y_1 = \frac{{y_2 - y_1}}{{x_2 - x_1}}(x - x_1)$；点斜式方程：$y - y_1 = k(x - x_1)$；斜截式方程：$y = kx + b$。
6. 直线的计算：利用直线的斜率和截距，我们可以进行直线的计算。
例如，已知一条直线的斜率为2，截距为3，我们可以得到直线的方程为$y = 2x + 3$。
通过直线的方程，我们可以计算直线上的点的坐标，或者根据坐标计算直线上的点。
二、曲线的性质和计算1. 曲线的定义：曲线是由一系列连续的点组成的，这些点的位置不在同一条直线上。
曲线可以是封闭的（如圆）或非封闭的（如抛物线、双曲线等）。
2. 曲线的类型：根据曲线的方程和形状，我们可以将曲线分为不同的类型，如抛物线、双曲线、椭圆等。
3. 曲线的方程：不同类型的曲线有不同的方程表示。
曲线上一点到直线的最短距离-概述说明以及解释
曲线上一点到直线的最短距离-概述说明以及解释1.引言1.1 概述在数学中，我们经常会遇到求解曲线上一点到直线的最短距离的问题。
这个问题在不同领域都有着广泛的应用，如工程设计、物理学和经济学等。
了解如何求解曲线上一点到直线的最短距离，可以帮助我们更好地理解曲线与直线之间的关系，并应用到实际问题中。
本文将介绍曲线方程与直线方程的基本概念，并详细讨论如何求解曲线上一点到直线的最短距离的方法。
首先，我们会学习曲线方程和直线方程的一般形式，并通过具体的例子来说明它们之间的区别和联系。
然后，我们将介绍常用的最短距离求解方法，包括垂直距离法和求解最优化问题的方法。
通过这些方法，我们可以准确地计算出曲线上任意一点到直线的最短距离。
在结论部分，我们将总结所得的结果，并探讨曲线上一点到直线的最短距离在实际应用中的前景。
我们会通过实例来阐述这个问题的具体应用场景，以及如何利用最短距离的求解结果来解决实际问题。
最后，我们还会提出一些进一步的研究方向，以期在该领域做出更深入的探索和应用。
通过本文的阅读，读者将能够全面了解曲线上一点到直线的最短距离的求解方法，以及它在实际问题中的应用。
同时，读者也将更深入地理解曲线与直线之间的关系，并能够运用所学知识解决类似的几何问题。
希望本文能够对读者的学习和研究有所启发，为他们在相关领域的进一步探索提供参考和指导。
1.2文章结构1.2 文章结构本文将按照以下结构展开讨论曲线上一点到直线的最短距离的问题：第一部分引言，旨在引入读者对本文的主题进行一个概括性的了解。
首先，我们将给出整篇文章的背景和动机，解释为什么研究曲线上一点到直线的最短距离是一个值得关注的问题。
接着，我们将介绍整篇文章的结构，简要概括每个部分的内容，并给出我们的研究目的。
第二部分正文，将着重讨论曲线方程与直线方程，这是解决问题的基础。
我们将简要介绍曲线方程和直线方程的一般形式，然后给出两者之间的关系。
接着，我们将详细探讨如何求解曲线上一点到直线的最短距离。
论文 参数及参数方程在中学数学中的应用 精品
【标题】参数及参数方程在中学数学中的应用【作者】石胜军【关键词】参数参数方程向量参数【指导老师】白永娟【专业】数学教育【正文】1 引言在解数学题的过程中，往往会遇到一些不能直接求解或直接求解困难，或较繁的变数问题，这时往往要通过引入条件中原来没有的辅助交数(也称为参数)使问题转化从而解决问题，这种应用参数解题的方法称作参数方法．参数起源于曲线的参数方程，然而当人们仔细领会了参数的作用后，逐渐形成了解决数学问题的一种方法．数学中的待定系数法、参数过渡法和参数方程法等都是参数法的具体体现．应用参数法的关键在于恰当地选取参数，只有参数引入恰当，问题才能迎刃而解，收到事半功倍的效果．在实际问题中，选取参数的方法常常不只一种，但最基本的原则是引进参数后，能使问题获解．其次还要考虑引进参数的合理性，除了要考虑条件和结论的特点外，还要注意某些量的取值范围，任何变量都有取值范围，参数也不例外，另外还要注意原问题并非关于参数的问题，参数并不是直接研究对象，它只是起“桥梁”和转化作用，所以当求得间接解后要倒回去确定原问题的解，这就可能要消去参数而用问题中原有的交数表示结果．自恢复高考以来，老师及其专家们对参数和参数方程的研究甚多，例如同济大学数学教研室主编用空间坐标的形式对复合函数的参数方程的几何意义的研究与探讨，解释了空间坐标中复合函数的参数方程的几何意义，便应用到高中数学来解释导数的几何意义，这丰富了参数在初等数学中的应用，也使参数领域发展到更高的阶段；张小燕中学数学研究参数法在解题中的魅力展示，着点研究了参数法在数学中应用，总结了参数解决数学问题的方法，使学者应用更方便；丁猛虎研究了参数方程与普通方程的转化,主要解释参数方程与普通方程的转化中变量的关系；季冬青在直线参数方程中t的应用阐述了直线参数t的几何意义，并且应用到解析几何中等等，这些文献很好的说明了参数及参数方程问题的发展历程，也见证了那些数学工作者的研究成果.但是这些学者都用高中数学的知识研究参数及其参数方程（在中学范围），高等数学思想解决初等数学问题这方面这有待我们去研究.本文利用高等数学思想结合参数解决初等数学问题，也将从用参数解决空间立体几何的距离问题方面为本质，加以探讨和研究.2 预备知识2.1 参数的定义在数学问题中有这样的量，它在每一个指定情形下是不变的，但在不同的指定形下(或某一过程中)它又可以取不同的值，这样的量称为参变量，它的值简称为参数．2.2 参数方程的定义我们把含有参数的等式叫做参数方程。
2.4、2.5平摆线及其参数方程;平摆线及其参数方程
x＝cos 得 y＝sin
π π ＋ sin 2 2 π π － cos 2 2
π π ＝ ， 2 2 π ＝1. 2
数学 选修4-4(F版)
课前·自主学习
课堂·互动探究
反馈·当堂达标
课后·自主演练
π ∴A2，1 .
将 θ＝π
x＝cos θ＋θsin 代入 y＝sin θ－θcos
课堂互动探究数学选修44f版课前自主学习反馈当堂达标课后自主演练设圆的半径为8沿x轴正向滚动开始时圆与x轴相切于原点o记圆上动点为m它随圆的滚动而改变位置写出圆滚动一周时点m的轨迹方程画出相应曲线求此曲线上纵坐标y的最大值说明该曲线的对称轴
第2章 参数方程
2.4 2.5
平摆线及其参数方程 渐开线及其参数方程
的柔顺细线，在此细线的外端系上一支铅笔，把此线拉紧保持
相切 与此圆__________ 地逐渐展开，铅笔画出的曲线称为此圆周的
基圆 渐开线，此圆称为渐开线的__________.
x＝rcos θ＋θsin θ， y＝rsin θ－θcos θ (2)圆渐开线的参数方程：___________________.
θ， θ 为参数． θ，
数学 选修4-4(F版)
课前·自主学习
课堂·互动探究
反馈·当堂达标
课后·自主演练
x＝cos π 当 θ＝ 时， 2 y＝sin
π π ＋ sin 2 2 π π － cos 2 2
π π ＝ ， 2 2 π ＝1. 2
π ∴A2，1 .
课堂·互动探究
反馈·当堂达标
课后·自主演练
圆的平摆线、渐开线参数方程的应用
设圆的半径为8，沿x轴正向滚动，开始时圆与x轴 相切于原点 O，记圆上动点为 M ，它随圆的滚动而改变位置，
高中数学2-4曲线与方程新人教B版选择性必修第一册
跟踪训练3 一个动点P到直线x＝8的距离是它到点A(2，0)的距离的
2倍．求动点P的轨迹方程．
解析：设P(x，y)，则|8－x|＝2|PA|.
则|8－x|＝2 x − 2 2 + y − 0 2 ，
化简，得3x2＋4y2＝48，
故动点P的轨迹方程为3x2＋4y2＝48.
题型4 代入法求曲线的方程
题型1 曲线与方程的概念
例1 (1)命题“以方程f(x，y)＝0的解为坐标的点都在曲线C上”是
命题“曲线C的方程是f(x，y)＝0”的(
)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案：B
解析：根据曲线方程的概念，“曲线C的方程是f(x，y)＝0”
包含“曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解”和“以方
ON为两边作平行四边形MONP，求点P的轨迹．
状元随笔 方法一：由平行四边形性质可知|MP|＝|ON|＝2，满足圆
的定义，注意去掉不满足条件的点；
方法二：根据对角线互相平分，利用代入法可求出轨迹方程．
题型3 直接法求曲线方程
例3 已知两定点A(－2，0)，B(1，0)，如果动点P满足条件|PA|＝
2|PB|，则动点P的轨迹所围成的图形的面积等于(
)
A．9π
B．8π
C．4π
D．π
答案：C
解 析 ： 设 P(x ， y) ， 由 |PA| ＝ 2|PB| ， 知 x + 2 2 + y 2 ＝
2 x − 1 2 + y 2 ，化简整理，得(x－2)2＋y2＝4，
【思考探究】
1．为什么说“建立平面直角坐标系是解析几何的基础”？
直线与曲线的方程
直线与曲线的方程直线与曲线是数学中的基本概念，它们在几何学和代数学中起着重要的作用。
直线是两点之间的最短路径，它具有一阶方程，而曲线则是在平面或空间中的曲线路径，具有高阶方程。
本文将探讨直线和曲线的方程以及它们的几何特性。
一、直线的方程直线可以通过斜率和截距来描述。
斜率表示直线的倾斜程度，截距表示直线与坐标轴的交点。
直线的一般方程为 y = mx + b，其中 m 是斜率，b 是 y 轴截距。
通过两点法，我们可以找到直线的方程。
给定直线上两个点的坐标(x₁, y₁) 和 (x₂, y₂)，我们可以计算出斜率 m 的值：m = (y₂ - y₁) /(x₂- x₁)。
然后，我们可以选择一个已知点，将其坐标代入直线方程，解出截距 b 的值。
最后，我们将斜率和截距代入直线方程，得到完整的直线方程。
此外，直线还可以以非一般形式的方程表示。
例如，一般方程可以化简为 Ax + By + C = 0 的形式。
在这种表示方式中，A、B、C 是常数，且满足A² + B² ≠ 0。
这种形式的方程可以提供直线的法线和距离等信息。
二、曲线的方程曲线的方程则比直线的方程更加复杂，因为曲线的路径可以是非直线的。
曲线可以用高阶方程表示，其中最常见的是二次曲线方程。
1. 二次曲线方程二次曲线方程是形如 y = ax² + bx + c 的方程。
其中 a、b、c 是常数，且a ≠ 0。
二次曲线可以是抛物线、椭圆、双曲线等等。
- 抛物线是二次曲线的一种形式，它的方程为 y = ax² + bx + c。
a 的正负决定了抛物线的开口方向，a>0 时抛物线开口向上，a<0 时抛物线开口向下。
b 决定了抛物线的位置，c 影响了抛物线的纵坐标轴截距。
- 椭圆是另一种二次曲线，它的方程为 (x-h)²/a² + (y-k)²/b² = 1。
其中(h, k) 是椭圆中心的坐标，a 和 b 是半轴的长度。
高中数学 第一章 坐标系 1-2-4 曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化课件 北师大版选修4-4
3．将直角坐标方程 x2＋y2＋2x＋2y＝0 化为极坐标方程为
()
A．ρ＝－2cosθ
B．ρ＝－2sinθ
C．ρ＝－2(cosθ＋sinθ)
π D．ρ＝－2cos(θ＋ 4 )
答案 C 解析 依题意得 ρ2＋2ρcosθ＋2ρsinθ＝0， 所以 ρ＋2cosθ＋2sinθ＝0 或 ρ＝0， 又曲线 ρ＋2cosθ＋2sinθ＝0 经过极点， 所以 ρ＝－2(cosθ＋sinθ)．故选 C.
π ∴这是过极点且倾斜角为 3 的射线的极坐标方程．
π ∴射线 y＝ 3x(x≥0)的极坐标方程为 θ＝ 3 (ρ≥0)．
(2)将 x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入 x2＋y2＝r2，得 ρ2cos2θ＋ρ2sin2θ＝r2，∴ρ2＝r2(r>0)． ∵ρ≥0，∴ρ＝r 为所求．
题型二 极坐标方程化为直角坐标方程
(2)圆心为(2，23π)，半径为 3.
π (3)圆心为(2， 3 )，半径为 3.
结束 语 同学们，你们要相信梦想是价值的源泉，相信成
功的信念比成功本身更重要，相信人生有挫折没 有失败，相信生命的质量来自决不妥协的信念， 考试加油。
【答案】 (1)(x－12)2＋(y＋ 23)2＝1， (2)(x－ 23)2＋(y－12)2＝1， (3)x－ 3y－2＝0， (4) 3x＋y－2＝0
题型三 极坐标方程的应用
例 3 (2015·新课标全国Ⅰ)在直角坐标系 xOy 中，直线 C1: x ＝－2，圆 C2：(x－1)2＋(y－2)2＝1，以坐标原点为极点， x 轴 的正半轴为极轴建立极坐标系．
π 由此题总结：直线 ρcosθ＝1 绕极点逆时针旋转 3 ，即得直线
π
π
ρcos(θ－ 3 )＝1，其中点(1，0)转到(1， 3 )．
直线和曲线的区分
直线和曲线的区分直线和曲线是几何学中常见的两种曲线形态。
在数学和物理学等学科中，对于直线和曲线的区分有着重要的作用。
本文将从数学和物理学的角度出发，详细讨论直线和曲线的定义、特点以及区别。
一、直线的定义直线是一条在平面上无限延伸的路径，它由无数个连续的相邻点所组成，且任意两点之间的线段无弯曲。
直线可以用函数方程形式或斜率截距形式进行表达。
1.1 函数方程形式直线的函数方程形式通常表示为y = kx + b，其中k是直线的斜率，b是直线与y轴的截距。
1.2 斜率截距形式直线的斜率截距形式表示为y = mx + c，其中m是直线的斜率，c 是直线与y轴的截距。
二、曲线的定义曲线是一条在平面上弯曲或曲折的路径，它的形态可以多样化，可以闭合，也可以无限延伸。
曲线常常由曲线方程或参数方程来描述。
2.1 曲线方程形式曲线方程形式一般为F(x, y) = 0，其中F(x, y)是一个关于x和y的函数。
2.2 参数方程形式参数方程形式表示为x = f(t)，y = g(t)，其中f(t)和g(t)是关于参数t 的函数。
三、直线和曲线的特点直线和曲线具有以下特点，可以通过这些特点来区分它们：3.1 直线的特点（1）直线是无限延伸的，具有无数个点。
（2）直线的斜率是唯一的，可以通过斜率来判断直线的趋势和方向。
（3）直线的弯曲度为0，所有点到直线的距离都相等。
3.2 曲线的特点（1）曲线可以是有限的也可以是无限的，形态可以各异。
（2）曲线的斜率是局部变化的，可以通过斜率的变化来描述曲线的形状。
（3）曲线的弯曲度不为0，所有点到曲线的距离不相等。
四、直线和曲线的区别直线和曲线在形态、特点和使用上有着明显的区别。
4.1 形态上的区别直线在平面上呈现直的形态，没有弯曲或曲折；而曲线则可以呈现弯曲、曲折以及闭合等多种形态。
4.2 特点上的区别直线的斜率是常数，具有唯一性；而曲线的斜率随着曲线的形状而变化，不具有唯一性。
4.3 使用上的区别直线在几何学、物理学等学科中广泛应用，用于描述直线运动、轨迹等问题；曲线则在曲线积分、曲线拟合、曲线生成等问题中得到广泛应用。
解析几何的直线与曲线方程计算
解析几何的直线与曲线方程计算解析几何是数学中的一个重要分支，它研究的是几何图形与代数方程之间的关系。
在解析几何中，直线和曲线是最基本的图形，它们的方程计算是解析几何的重要内容之一。
本文将通过举例、分析和说明的方式，帮助中学生和他们的父母更好地理解和应用直线和曲线的方程计算。
一、直线的方程计算直线是解析几何中最简单的图形之一，它的方程计算也相对简单。
直线的方程一般形式为y = kx + b，其中k为斜率，b为截距。
斜率表示直线的倾斜程度，截距表示直线与y轴的交点。
我们通过一个具体的例子来说明直线的方程计算。
假设有一条直线过点(2, 3)且斜率为2，我们可以使用点斜式来计算直线的方程。
点斜式的一般形式为y - y1 =k(x - x1)，其中(x1, y1)为直线上的一点。
根据给定条件，我们可以得到直线的方程为y - 3 = 2(x - 2)。
将方程进行整理，得到y = 2x - 1。
所以，通过给定的点和斜率，我们可以计算出直线的方程为y = 2x - 1。
二、曲线的方程计算曲线是解析几何中稍微复杂一些的图形，它的方程计算需要更多的步骤和技巧。
在解析几何中，常见的曲线包括圆、椭圆、抛物线和双曲线等。
我们以圆为例，来说明曲线的方程计算。
圆的方程一般形式为(x - h)² + (y - k)²= r²，其中(h, k)为圆心坐标，r为半径。
假设有一个圆心坐标为(3, 4)，半径为5的圆，我们可以使用圆的标准方程来计算圆的方程。
将给定的圆心坐标和半径代入标准方程，可以得到(x - 3)² + (y - 4)² =25。
将方程进行整理，得到x² - 6x + y² - 8y + 16 = 0。
所以，通过给定的圆心坐标和半径，我们可以计算出圆的方程为x² - 6x + y² - 8y + 16 = 0。
除了圆，其他曲线的方程计算也有各自的方法和技巧。
直线与曲线的方程
直线与曲线的方程在数学中，直线与曲线是两种不同的图形类型，它们可以通过方程来描述它们的形状和特性。
本文将探讨直线和曲线的方程，以及它们在数学和实际生活中的应用。
一、直线的方程直线是由无数个点组成的，在二维平面中可以用一条方程来表示。
一般来说，直线的方程可以由斜率（k）和截距（b）来确定。
1. 斜率截距式直线的斜率截距式可以表示为：y = kx + b其中，y是直线上任意一点的纵坐标，x是该点的横坐标，k是斜率，b是截距。
斜率（k）表示直线上的任意两个点之间的垂直距离与水平距离之比。
截距（b）表示直线与纵轴的交点。
例如，如果直线的斜率为2，截距为3，则直线的方程可以写为：y = 2x + 3这个方程表示了一条斜率为2，与纵轴交点为3的直线。
2. 两点式除了斜率截距式，直线还可以用两点式来表示。
两点式可以用两个点的坐标来确定直线的方程。
设直线上两个点分别为(x₁, y₁)和(x₂, y₂)，则直线的方程可以表示为：(y - y₁) = [(y₂ - y₁) / (x₂ - x₁)] * (x - x₁)这个方程可以通过两点的坐标计算出斜率，并将其代入方程中得到。
二、曲线的方程曲线是不规则的形状，无法用直线的方程来描述。
不同的曲线有不同的方程形式。
1. 抛物线抛物线的方程可以用二次方程来表示：y = ax² + bx + c其中，a、b、c是常数，决定了抛物线的形状。
如果a大于0，则抛物线开口向上；如果a小于0，则抛物线开口向下。
2. 椭圆椭圆是一种闭合曲线，可以用椭圆的标准方程来表示：[(x - h)² / a²] + [(y - k)² / b²] = 1其中，(h, k)是椭圆的中心点，a和b分别是椭圆长轴和短轴的长度。
3. 双曲线双曲线也是一种闭合曲线，可以用标准方程表示为：[(x - h)² / a²] - [(y - k)² / b²] = 1和椭圆相似，(h, k)是双曲线的中心点，a和b分别是双曲线长轴和短轴的长度。
高三最难数学公式汇总
高三最难数学公式汇总学习高中数学知识点的时候需要讲究方法和技巧，更要学会对高中数学知识点进行归纳整理。
下面就是给大家带来的高三数学公式，希望能帮助到大家！高三数学公式1乘法与因式分a2-b2=(a+b)(a-b)a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)a3-b3=(a-b(a2+ab+b2) 三角不等式|a+b||a|+|b||a-b||a|+|b||a|b=-bab|a-b||a|-|b|-|a|a|a|一元二次方程的解-b+(b2-4ac)/2a-b-(b2-4ac)/2a根与系数的关系x1+x2=-b/ax1x2=c/a注：韦达定理判别式b2-4ac=0注：方程有两个相等的实根b2-4ac0注：方程有两个不等的实根b2-4ac0注：方程没有实根，有共轭复数根三角函数公式两角和公式sin(a+b)=sinacosb+cosasinbsin(a-b)=sinacosb-sinbcosacos(a+b)=cosacosb-sinasinbcos(a-b)=cosacosb+sinasinbtan(a+b)=(tana+tanb)/(1-tanatanb)tan(a-b)=(tana-tanb)/(1+tanatan b)ctg(a+b)=(ctgactgb-1)/(ctgb+ctga)ctg(a-b)=(ctgactgb+1)/(ctgb-ctga) 倍角公式tan2a=2tana/(1-tan2a)ctg2a=(ctg2a-1)/2ctgacos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a半角公式sin(a/2)=((1-cosa)/2)sin(a/2)=-((1-cosa)/2)cos(a/2)=((1+cosa)/2)cos(a/2)=-((1+cosa)/2)tan(a/2)=((1-cosa)/((1+cosa))tan(a/2)=-((1-cosa)/((1+cosa))ctg(a/2)=((1+cosa)/((1-cosa))ctg(a/2)=-((1+cosa)/((1-cosa))和差化积2sinacosb=sin(a+b)+sin(a-b)2cosasinb=sin(a+b)-sin(a-b)2cosacosb=cos(a+b)-sin(a-b)-2sinasinb=cos(a+b)-cos(a-b)sina+sinb=2sin((a+b)/2)cos((a-b)/2cosa+cosb=2cos((a+b)/2)sin((a-b) /2)tana+tanb=sin(a+b)/cosacosbtana-tanb=sin(a-b)/cosacosbctga+ctgbsin(a+b)/sinasinb-ctga+ctgbsin(a+b)/sinasinb某些数列前n项和1+2+3+4+5+6+7+8+9++n=n(n+1)/21+3+5+7+9+11+13+15++(2n-1)=n 22+4+6+8+10+12+14++(2n)=n(n+1)12+22+32+42+52+62+72+82++n2 =n(n+1)(2n+1)/613+23+33+43+53+63+n3=n2(n+1)2/41_+2_+3_+4_+5_+6_++n(n+1) =n(n+1)(n+2)/3正弦定理a/sina=b/sinb=c/sinc=2r注：其中r表示三角形的外接圆半径余弦定理b2=a2+c2-2accosb注：角b是边a和边c的夹角圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2注：(a，b)是圆心坐标圆的一般方程x2+y2+dx+ey+f=0注：d2+e2-4f0抛物线标准方程y2=2pxy2=-2p_=2pyx2=-2py直棱柱侧面积s=c_斜棱柱侧面积s=c_正棱锥侧面积s=1/2c_正棱台侧面积s=1/2(c+c)h圆台侧面积s=1/2(c+c)l=pi(r+r)l球的表面积s=4pi_2圆柱侧面积s=c_=2pi_圆锥侧面积s=1/2__=pi__弧长公式l=a_a是圆心角的弧度数r0扇形面积公式s=1/2__ 锥体体积公式v=1/3__圆锥体体积公式v=1/3_i_2h斜棱柱体积v=sl注：其中，s是直截面面积，l是侧棱长柱体体积公式v=s_圆柱体v=pi_2h高三数学公式2平面解析几何包含一下几部分：一直角坐标1.1有向线段1.2直线上的点的直角坐标1.3几个基本公式1.4平面上的点的直角坐标1.5射影的基本原理1.6几个基本公式二曲线与议程2.1曲线的直解坐标方程的定义2.2已各曲线，求它的方程2.3已知曲线的方程，描绘曲线2.4曲线的交点三直线3.1直线的倾斜角和斜率3.2直线的方程Y=kx+b3.3直线到点的有向距离3.4二元一次不等式表示的平面区域3.5两条直线的相关位置3.6二元二方程表示两条直线的条件3.7三条直线的相关位置3.8直线系高三数学公式3等比数列求和公式算法想了解无穷递减等比数列求和的算法，需要先介绍一下等比数列求和公式设一个等比数列的首项是a1,公比是q，数列前n项和是Sn，当公比不为1时Sn=a1+a1q+a1q^2+...+a1q^(n-1)将这个式子两边同时乘以公比q，得qSn=a1q+a1q^2+...+a1q^(n-1)+a1q^n两式相减，得(1-q)Sn=a1-a1q^n所以，当公比不为1时，等比数列的求和公式为Sn=[a1(1-q^n)]/(1-q)对于一个无穷递减数列，数列的公比小于1,当上式得n趋向于正无穷大时，分子括号中的值趋近于1，取极限即得无穷递减数列求和公式S=a/(1-q)高三数学公式4π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系：sin(π/2+α)=cosαcos(π/2+α)=-sinαtan(π/2+α)=-cotαcot(π/2+α)=-tanαsin(π/2-α)=cosαco s(π/2-α)=sinαtan(π/2-α)=cotαcot(π/2-α)=tanαsin(3π/2+α)=-cosαcos(3π/2+α)=sinαtan(3π/2+α)=-cotαcot(3π/2+α)=-tanαsin(3π/2-α)=-cosαcos(3π/2-α)=-sinαtan(3π/2-α)=cotαcot(3π/2-α)=tanα(以上k∈Z)注意：在做题时，将a看成锐角来做会比较好做。
2.3-2.4：母线平行于坐标轴的柱面和空间曲线方程ppt课件
z 0
25
z a2 x2 y2
例4
方程组 ( x
a )2 2
y2
a2 4
表示怎样的曲线？
解
z a2 x2 y2
上半球面,
( x a )2 y2 a2 圆柱面,
2
4
交线如图.
这个曲线称为维维安 尼(Viviani)曲线.
26
二、空间曲线的参数方程
在空间取定一个标架(坐标系)
点P是空间中一个动点, 它
uuuv
z QP vt bt
oP
t A
x
Qy
记 =t
所求参数方程为 x a cos , y a sin , z b.
30
(关于用矢量方法推导参数方程,可以参见书中92页) 上面的轨迹称为圆柱螺旋线. 它可以看作是质点在
一个半径为a 的圆柱面上盘旋而成.(见图)
z
参数方程
x a cos , y a sin , z b.
H1 ( x, H2( y,
y) z)
0 0
表示什么?
曲线
同样, 方程
HH13((xx,,
y) z)
0 0
和
H2( y, z) 0
H
3
(
x,
z
)
0
也分别表示曲线.
F(x, y,z) 0 G( x, y, z) 0
34
例6
求曲线L:
2 y2 z2 4x 4z
y2
3z 2
8x
12
的投影柱面.
过P而平行于z轴的
直线上.
过P点作直线s垂直于xoy面, 垂足为Q. 则Q的坐标(x1,y1).
由于P是曲面上的点, 所以它的坐标满足方程(1), 即14
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
每一个人的成功之路或许都不尽相同，但我相信，成功都需要每一位想成功的人去努力、去奋斗，而每一条成功之路，都是充满坎坷的，只有那些坚信自己目标，不断努力、不断奋斗的人，才能取得最终的成功。
但有一点我始终坚信，那就是，当你能把自己感动得哭了的时候，你就成功了!2.4直线的参数方程[学习目标]1．掌握直线的参数方程．2．能够利用直线的参数方程解决有关问题． [知识梳理] 1．直线的参数方程过点M 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)． 2．参数的几何意义直线的参数方程中参数t 的几何意义是：参数t 的绝对值表示参数t 对应的点到定点M 0(x 0，y 0)的距离．当M 0M →与e (直线的单位方向向量)同向时，t 取正数；当M 0M →与e 反向时，t 取负数；当点M 与点M 0重合时，t 为零. 例题讲解要点一 直线参数方程的标准形式例1已知直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3＋32t ，y ＝2＋12t(t 为参数)．(1)分别求t ＝0，2，－2时对应的点M (x ，y )； (2)求直线l 的倾斜角；(3)求直线l 上的点M (－33，0)对应的参数t ，并说明t 的几何意义．跟踪演练1 直线l 经过点M 0(1，5)，倾斜角为π3，且交直线x －y －2＝0于M 点，则|MM 0|＝________．每一个人的成功之路或许都不尽相同，但我相信，成功都需要每一位想成功的人去努力、去奋斗，而每一条成功之路，都是充满坎坷的，只有那些坚信自己目标，不断努力、不断奋斗的人，才能取得最终的成功。
但有一点我始终坚信，那就是，当你能把自己感动得哭了的时候，你就成功了!要点二 利用直线的参数方程求曲线的弦长例2 已知抛物线y 2＝8x 的焦点为F ，过F 且斜率为2的直线 交抛物线于A 、B 两点．(1)求|AB |；(2)求AB 的中点M 的坐标及|FM |.跟踪演练2 以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的单位长度．已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12＋t cos α，y ＝t sin α(t 为参数，0<α<π)，曲线C 的极坐标方程为ρ＝2cos θsin 2θ. (1)求曲线C 的直角坐标方程；(2)设直线l 与曲线C 相交于A 、B 两点，当α变化时，求|AB |的最小值．要点三 直线参数方程的综合应用例3 过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫102，0作倾斜角为α的直线与曲线x 2＋12y 2＝1交于点M ，N ，求|PM |·|PN |的最小值及相应的α值．每一个人的成功之路或许都不尽相同，但我相信，成功都需要每一位想成功的人去努力、去奋斗，而每一条成功之路，都是充满坎坷的，只有那些坚信自己目标，不断努力、不断奋斗的人，才能取得最终的成功。
但有一点我始终坚信，那就是，当你能把自己感动得哭了的时候，你就成功了!跟踪演练3 (2014·玉溪一中质检)在直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建坐标系，已知曲线C ：ρsin 2θ＝2a cos θ(a ＞0)，已知过点P (－2，－4)的直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋22t y ＝－4＋22t ，直线l 与曲线C 分别交于M ，N 两点． (1)写出曲线C 和直线l 的普通方程；(2)若|PM |，|MN |，|PN |成等比数列，求a 的值． 课堂小结课后反思：求一些距离问题，特别是求直线上某一定点与曲线交点距离时使用参数的几何意义更为方便．答案例1 解(1)由直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3＋32t ，y ＝2＋12t(t 为参数)知当t ＝0，2，－2时，分别对应直线l 上的点(－3，2)，(0，3)，(－23，1)．(2)法一化直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3＋32t ，y ＝2＋12t(t 为参数)为普通方程为y －2＝33(x ＋3)，其中k ＝tan α＝33，0≤α<π.∴直线l 的倾斜角α＝π6.法二由于直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3＋t cos π6，y ＝2＋t sin π6(t 为参数)，这是过点M 0(－3，2)，且倾斜角α＝π6的直线，故π6为所求．每一个人的成功之路或许都不尽相同，但我相信，成功都需要每一位想成功的人去努力、去奋斗，而每一条成功之路，都是充满坎坷的，只有那些坚信自己目标，不断努力、不断奋斗的人，才能取得最终的成功。
但有一点我始终坚信，那就是，当你能把自己感动得哭了的时候，你就成功了!(3)由上述可知直线l 的单位方向向量 e ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π6，sin π6＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12.∵M 0(－3，2)，M (－33，0)，∴M 0M →＝(－23，－2)＝－4⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12＝－4e ， ∴点M 对应的参数t ＝－4，几何意义为|M 0M →|＝4， 且M 0M →与e 方向相反(即点M 在直线l 上点M 0的左下方)． 规律方法 (1)一条直线可以由定点M 0(x 0，y 0)，倾斜角α(0≤α<π)唯一确定，直线上的动点M (x ，y )的参数方程为⎩⎨⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)，这是直线参数方程的标准形式．特别地，当α＝π2时，直线的参数方程为⎩⎨⎧x ＝x 0，y ＝y 0＋t (t 为参数)．(2)直线参数方程的形式不同，参数t 的几何意义也不同，过定点M 0(x 0，y 0)，斜率为ba 的直线的参数方程是⎩⎨⎧x ＝x 0＋at y ＝y 0＋bt(a 、b 为常数，t 为参数)．跟踪演练1 答案 6(3＋1)解析 由题意可得直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12 t ，y ＝5＋32t(t 为参数)，代入直线方程x －y －2＝0，得1＋12t －⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋32t －2＝0，解得t＝－6(3＋1)．根据t 的几何意义可知|MM 0|＝6(3＋1)． 要点二 利用直线的参数方程求曲线的弦长 例2 解 抛物线y 2＝8x 的焦点为F (2，0)，依题意，设直线AB 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋15t ，y ＝25 t (t 为参数)，其中tan α＝2，cos α＝15，sin α＝25，α为直线AB 的倾每一个人的成功之路或许都不尽相同，但我相信，成功都需要每一位想成功的人去努力、去奋斗，而每一条成功之路，都是充满坎坷的，只有那些坚信自己目标，不断努力、不断奋斗的人，才能取得最终的成功。
但有一点我始终坚信，那就是，当你能把自己感动得哭了的时候，你就成功了!斜角，代入y 2＝8x 整理得t 2－25t －20＝0.设F A →＝t 1e ，FB →＝t 2e ，其中e ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫15，25，则 t 1＋t 2＝25，t 1t 2＝－20. (1)|AB →|＝|FB →－F A →|＝|t 2e －t 1e | ＝|t 2－t 1||e |＝|t 2－t 1|＝（t 1＋t 2）2－4t 1t 2＝（25）2＋80＝10. (2)由于AB 的中点为M ，则AM →＝MB →， ∴FM →－F A →＝FB →－FM →，即FM →＝12(F A →＋FB→)， 又FM →＝12(F A →＋FB →)＝t 1＋t 22e ， 故点M 对应的参数为t 1＋t 22＝5，∴M (3，2)，|FM |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪t 1＋t 22＝ 5. 规律方法 设二次曲线C ：F (x ，y )＝0，直线l ：⎩⎨⎧x ＝x 0＋t cos αy ＝y 0＋t sin α(t 为参数)，如果l 与C 相交于A 、B 两点，那么将l 的方程代入F (x ，y )＝0后可得at 2＋bt ＋c ＝0，则该方程有两个不等实数根t 1、t 2，此时M 0A →＝t 1e ，M 0B →＝t 2e ，e ＝(cos α，sin α)，于是易得以下两个常见的公式： (1)|AB |＝|t 1－t 2|；(2)线段AB 的中点M 对应的参数t ＝t 1＋t 22，且|M 0M |＝|t 1＋t 2|2. 跟踪演练2 解 (1)由ρ＝2cos θsin 2θ，得(ρsin θ)2＝2ρcos θ， 所以曲线C 的直角坐标方程为y 2＝2x .(2)将直线l 的参数方程代入y 2＝2x ，得t 2sin 2α－2t cos α－1＝0.设A 、B 两点对应的参数分别为t 1、t 2，则 t 1＋t 2＝2cos αsin 2α，t 1t 2＝－1sin 2α， ∴|AB |＝|t 1－t 2|＝（t 1＋t 2）2－4t 1t 2＝4cos 2αsin 4α＋4sin 2α＝2sin 2α，当α＝π2时，|AB |取最小值2.每一个人的成功之路或许都不尽相同，但我相信，成功都需要每一位想成功的人去努力、去奋斗，而每一条成功之路，都是充满坎坷的，只有那些坚信自己目标，不断努力、不断奋斗的人，才能取得最终的成功。
但有一点我始终坚信，那就是，当你能把自己感动得哭了的时候，你就成功了!要点三 直线参数方程的综合应用例3 解设直线为⎩⎨⎧x ＝102＋t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)，代入曲线并整理得(1＋11sin 2α)t 2＋(10cos α)t ＋32＝0.则|PM |·|PN |＝|t 1t 2|＝321＋11sin 2α.所以当sin 2α＝1时，|PM |·|PN |的最小值为18，此时α＝π2.跟踪演练3 解 (1)由C ：ρsin 2θ＝2a cos θ，得(ρsin θ)2＝2aρcos θ，所以曲线的普通方程为y 2＝2ax .由直线l 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋22t ，y ＝－4＋22t 消去参数t ，得x －y －2＝0. (2)直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋22t ，y ＝－4＋22t(t 为参数)，代入y 2＝2ax ，得到t 2－22(4＋a )t ＋8(4＋a )＝0， 则有t 1＋t 2＝22(4＋a )，t 1·t 2＝8(4＋a )．因为|MN |2＝|PM |·|PN |，所以(t 1－t 2)2＝(t 1＋t 2)2－4t 1·t 2＝t 1·t 2.解得a ＝1.。