小学奥数第六讲
小学奥数知识讲解第六讲 数字谜
第六讲 数字谜知识要点：猜谜语我们小朋友都喜欢吧。
数字谜通常是给出一个算术运算的式子，但式子中都含有一些图形、数字、字母、符号等，用它们来表示特定的数字。
要小朋友们动脑筋，想办法，找到这些图形所表示的数。
[ 例1 ] 根据所给算式,请推算每个图形各代表哪一个数:分析：根据加法之间的关系，先看个位,两数相加的和是7,其中一个加数是5,就可以推算出另一个加数△代表的数是2; 再看十位数,□＋1=4, 可以推算出□代表的数是3.这个加法算式是:35＋12=47.[ 例2 ] 请你猜一猜,每个算式中的汉字各表示几?分析：根据加法之间的关系，先看个位,要想等于6,可能有两种情况:3＋3=6,8＋8=16. 如果爱是3,十位不可能得到9.因此爱是8. 这个加法算式是:88＋8=96.+ 1 7 4 + 爱 69 爱 爱[ 例3 ] 请你猜一猜,每个算式中的汉字各表示几?分析：根据加法之间的关系，先看个位,要想等于0,可能有两种情况:0＋0=0,5＋5=10. 如果“学”是0,十位0＋( )=10呢?我们发现不可能得到10.那么如果“学”是5,因为有进位,所以十位5＋( )=9就可以了,可以推算出5＋4=9,再加上进位正好是10.因此“学”是5,“数”是4. 这个加法算式是:45＋55=100.[ 例4 ] 根据所给算式,请推算每个图形各代表哪一个数:分析：根据减法之间的关系，先看个位,两数相减等于8， 可能有三种情况：9－1=8，8－0=8，13－5=8。
如果第一种情况☆=9，十位5－9不可能；如果第二种情况☆=8，十位5－8也不可能；那么☆只能是3，□=5，3－5不够，向十位借1，13－5=8。
十位5退1是4，4－3=1。
这个减法算式是:53－35=18。
[ 例5] 请你猜一猜,每个算式中的汉字各表示几?+ 学 00 学 数 1 学 －81 － 0 学5 学 数 2 + 1好分析：先从加法算式想起，个位上学＋1=6,所以推算出“学”表示5；十位上，5＋“好”=7，推算出“好”表示2，再看减法算式，减数个位上的“学”表示5，被减数的个位是0，不够减。
小学奥数第六讲：简单推理
小学奥林匹克数学第一集：第六讲：简单推理一、简单推理（一）小朋友，你知道怎样用天平称东西吗？有这样一道题：1个梨等于2个苹果，1个苹果等于3个香蕉，那么1个梨等于几个香蕉？这是一个简单的推理题，需要小朋友根据已知条件，有条理，有次序地思考；要充分利用每次得出的结论，作为后一步推理的依据。
我们常用推理来解数学题。
例1：已知：+ =12，= + +求：=？，=？分析：因为+ =12，而= + + ，所以+ + + =12。
4个是12，所以=12÷4=3。
因为+ =12，=3，所以=12-3=9（或者= + + =3+3+3=9）解：=9，=3。
例2：如图，已知=6千克，求=？千克分析：因为一个是6千克，所以2个就是6×2＝12（千克）。
因为3个等于2 个，所以3个是12千克，1个是12÷3＝4（千克）。
又因为1个等于4 个，所以的重量是4×4=16（千克）解：=16（千克）例3：已知+ =3。
那么=？=？分析：因为1个是3，所以4个12。
而4个等于1个加1个，所以=12。
因为= + + =12=12÷3=4，=4+4=8。
解：=4，=8。
练习：4．已知×=54，÷=3，=9。
求：=？解：×=54，=9，可以求出=54÷9=6。
又根据÷=3，可以求出=6÷3=2。
5．1只兔子的重量是2只松鼠的重量，又是4只小鸡的重量。
1只松鼠等于几只小鸡的重量？解：因为1只兔子的重量=2只松鼠的重量=4只小鸡的重量。
也就是说2只松鼠的重量=4只小鸡的重量。
所以1只松鼠的重量=2只小鸡的重量。
6．已知：=6，+ = + + ，+ = 。
求：=？解：由=6得+ =12。
因为+ = + + ，所以12= ++ 。
即3个是12；=12÷3=4。
又因为1个= + ，所以=4+4=8。
7．在图中，已知1只鸭子重1千克。
小学奥数 第六讲找规律 切蛋糕(教)
第六讲找规律小朋友们，我们在平时的生活中经常看到刀切西瓜，切蛋糕，切苹果的问题，你想过吗？在这些生活中常常遇到的问题中有很多数学的规律，让我们一起来探索一下吧。
一、切蛋糕的规律，你能想出多少种切法？？例1 我们知道，一个生日蛋糕切一刀只能得到两块蛋糕，那么一个生日蛋糕，切两刀，最多能切多少块？答：切2刀可以得到3块，也可以得到4块例2 一块大饼，切3刀，最多能得到多少块？购得到7块。
例3有11个小朋友分一块皮萨吃，让你来切四刀，皮萨够分吗？到这里总结出一个规律：切一刀：最多得到2块（1+1）切二刀：最多得到4块（1+1+2）切三刀：最多得到7块（1+1+2+3）切四刀：最多得到11块（1+1+2+3+4）……切A刀：最多得到（1+1+2+3+4+。
+A）块例4有16个小朋友分一个很大的蛋糕吃，你切几刀可以保证每个小朋友一块？答：（1+1+2+3+4+5）=16 所以切5刀可以二、找线段的规律小朋友们，你们觉得要你数出上面的图有多少条线段是不是很难呢？掌握了规律过后你会觉得好简单啊！例5 数一数，下图中有几条线段？（复习）1 2 3 4分析：有三种方法，1、1234法，即数由一条线段组成的，两条线段组成的，三条线段组成的，四条线段组成的…. 2、永远向前走法，即站在点1出发，1-2，1-3，1-4，站在点2出发 2-3，2-4…. 3、减1法，即线段总数=3（3条有1条短线段组成的线段）+2（2条由2条短线段组成的线段）+1（1条由3条线段组成的线段）。
结合右图验证一下：例６下面的图形中隐藏了多少线段，请你画出来。
答：６＋５＋４＋３＋２＋１＝２１段，用永远向前走法来画。
例７沿直尺的边缘把纸上的两个点连起来，这个图形就叫做线段.这两个点就叫线段的端点，如图8—1—1所示.不难看出，线段也可以看成是直线上两点间的部分.如果一条直线上标出11个点，如图8—1—2所示，任何两点间的部分都是一条线段，问共有多少条线段？答：按照规律10+9+8+7+6+5+4+3+2+1=55（条）.牛刀小试：1、在剪纸课上，老师让小朋友们把一个圆剪成２２片，请问需要剪多少刀呢？答：（1+1+2+3+4+5+6）=２２所以需要剪６刀。
第6讲《取整问题》(课件)小学奥数六年级上册数学通用版
极限挑战
例题6：解方程：[2x+1]=3x-0.5分析：先把2x+1设为y,采用换元法.答案：
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巩固提升
作业1：计算：（1）([2.1]+{1.5})×[2.75]+{3.8}；（2）[2π]÷[6π]答案：5.8；
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巩固提升
作业2：已知[x]=1,[y]=2,[z]=0,求：（1）[x+y-z]的所有可能值是多少；（2）[3x-y+Байду номын сангаас]的所有可能值是多少.答案：（1）2、3、4（2）0、1、2、3、4
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数学知识点
知识精讲三、关于取整符号的方程：1.有关x、[x]、{x}的方程,我们通常把x拆成[x]+{x},然后利用[x]是整数以及{x}有范围的特点求解.2.一些复杂的含有x、[x]、{x}的方程,有时候用换元的方法来化简求值,例如方程：[5x+2]=3x+3,因为[5x+2]=[5x]+2,然后令5x=y,即有[5x+2]=[y]+2,（其中 ）,于是方程变为 ,把y拆开,有5[y]+10=3y+15=3[y]+3{y}+15,所以2[y]=3[y]+5,容易算出此时 ,所以 .
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作业3： 的运算结果是多少？答案：129
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作业4：解方程：4x-6{x}=43.答案：11.5
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作业5：解方程：[2x]=4x-7答案：3.5或3.25
练习4： 的和是__________.答案：20
小学六年级奥数知识点 第六讲 最大与最小问题
对最大与最小问题一要注意变化规律，即弄清思路，又要注意限制条件，对于字母则要根据其特点进行讨论分析.
例2 已知p·q-1=x，其中p、q为质数且均小于1000，x是奇数，那么x的最大值是____.
再设2小时注满水池需要打开x个进水管，根据水池的容量列方程，得
（xa-a）×2＝（2a-a）×15，
化简，得 2ax-2a=15a，
即 2xa=17a.（a≠0）
所以x=8.5
因此至少要打开9个进水管，才能在2小时内将水池注满.
注意：x=8.5，这里若开8个水管达不到2小时内将水池注满的要求；开8.5个水管不切实际.因此至少开9个进水管才行.
其次，根据同样的道理，再将打水需2分钟的人调整到第二位置；将打水需3、4、5分钟的人逐次调整到三、四、五位.所以，将五人按照打水所需时间由少到多的顺序排队，所费的总时间最省，得出5人排队和打水时间总和的最小值是：
1×5＋2×4＋3×3＋4×2＋5×1=35（分钟）.
本题所用的逐步调整法是一个很朴素的数学思想，它使我们思考问题过程简化，更有趣味.
301×64+236=19500（千克）.
恰好符合总重为19.5吨的要求由于
301×5=1505（千克）
即5只重量为301千克的箱子的总和超过1.5吨，因此，每辆汽车最多只能装4只重量为301千克的箱子，15辆汽车最多只能装4×15＝60（只）重量为301千克的箱子，这样，必然有4只重量为301千克的箱子无法再装运了.
解：本题是具有实际意义的工程问题，因没给出注水速度和排水速度，故需引入参数.设每个进水管1小时注水量为a，排水管1小时排水量为b，根据水池的容量不变，我们得方程（4a-b）×5=（2a-b）×15，化简，得：
小学六年级奥数-第6讲 转化单位“1”(一)后附答案
第6讲 转化单位“1”（一）一、知识要点把不同的数量当作单位“1”，得到的分率可以在一定的条件下转化。
如果甲是乙的b a ，乙是丙的dc，则甲是丙的bd ac ；如果甲是乙的b a ，则乙是甲的a b ；如果甲的b a 等于乙的d c ，则甲是乙的d c ÷b a ＝ad bc ，乙是甲的b a ÷dc＝bc ad 。
二、精讲精练【例题1】乙数是甲数的32，丙数是乙数的54，丙数是甲数的几分之几？ 练习1： 1、乙数是甲数的43，丙数是乙数的53，丙数是甲数的几分之几？2、一根管子，第一次截去全长的41，第二次截去余下的21，两次共截去全长的几分之几？3、一个旅客从甲城坐火车到乙城，火车行了全程的一半时旅客睡着了。
他醒来时，发现剩下的路程是他睡着前所行路程的41。
想一想，剩下的路程是全程的几分之几？他睡着时火车行了全程的几分之几？【例题2】修一条8000米的水渠，第一周修了全长的41，第二周修的相当于第一周的54，第二周修了多少米？练习2：用两种方法解答下面各题：1、一堆黄沙30吨，第一次用去总数的51，第二次用去的是第一次的411倍，第二次用去黄沙多少吨？2、大象可活80年，马的寿命是大象的21，长颈鹿的寿命是马的87，长颈鹿可活多少年？【例题3】晶晶三天看完一本书，第一天看了全书的41，第二天看了余下的52，第二天比第一天多看了15页，这本书共有多少页？练习3：1、有一批货物，第一天运了这批货物的41，第二天运的是第一天的53，还剩90吨没有运。
这批货物有多少吨？2、修路队在一条公路上施工。
第一天修了这条公路的41，第二天修了余下的32，已知这两天共修路1200米，这条公路全长多少米？【例题4】男生人数是女生人数的54，女生人数是男生人数的几分之几？练习4：1、停车场里有小汽车的辆数是大汽车的43，大汽车的辆数是小汽车的几分之几？2、如果山羊的只数是绵羊的76，那么绵羊的只数是山羊的几分之几？3、如果花布的单价是白布的531倍，则白布的单价是花布的几分之几？【例题5】甲数的31等于乙数的41，甲数是乙数的几分之几，乙数是甲数的几倍？练习5： 1、甲数的43于乙数的52，甲数是乙数的几分之几？乙数是甲数的几分之几？2、甲数的321倍等于乙数的65，甲数是乙数的几分之几？乙数是甲乙两数和的几分之几？三、课后作业1、加工一批零件，甲先加工了这批零件的52，接着乙加工了余下的94。
小学奥数-第六讲：找规律-切蛋糕(教)
第六讲找规律小朋友们，我们在平时的生活中经常看到刀切西瓜，切蛋糕，切苹果的问题，你想过吗在这些生活中常常遇到的问题中有很多数学的规律，让我们一起来探索一下吧。
一、切蛋糕的规律，你能想出多少种切法例1 我们知道，一个生日蛋糕切一刀只能得到两块蛋糕，那么一个生日蛋糕，切两刀，最多能切多少块答：切2刀可以得到3块，也可以得到4块例2 一块大饼，切3刀，最多能得到多少块答：切三刀，第一种切法可以得到5，第二种切法6，第三种切法能够得到7块，最多能购得到7块。
例3有11个小朋友分一块皮萨吃，让你来切四刀，皮萨够分吗到这里总结出一个规律：切一刀：最多得到2块（1+1）切二刀：最多得到4块（1+1+2）切三刀：最多得到7块（1+1+2+3）切四刀：最多得到11块（1+1+2+3+4）……切A刀：最多得到（1+1+2+3+4+。
+A）块例4有16个小朋友分一个很大的蛋糕吃，你切几刀可以保证每个小朋友一块答：（1+1+2+3+4+5）=16 所以切5刀可以二、找线段的规律小朋友们，你们觉得要你数出上面的图有多少条线段是不是很难呢掌握了规律过后你会觉得好简单啊！例5 数一数，下图中有几条线段（复习）1 2 3 4分析：有三种方法，1、1234法，即数由一条线段组成的，两条线段组成的，三条线段组成的，四条线段组成的…. 2、永远向前走法，即站在点1出发，1-2，1-3，1-4，站在点2出发 2-3，2-4…. 3、减1法，即线段总数=3（3条有1条短线段组成的线段）+2（2条由2条短线段组成的线段）+1（1条由3条线段组成的线段）。
结合右图验证一下：例６下面的图形中隐藏了多少线段，请你画出来。
答：６＋５＋４＋３＋２＋１＝２１段，用永远向前走法来画。
例７沿直尺的边缘把纸上的两个点连起来，这个图形就叫做线段.这两个点就叫线段的端点，如图8—1—1所示.不难看出，线段也可以看成是直线上两点间的部分.如果一条直线上标出11个点，如图8—1—2所示，任何两点间的部分都是一条线段，问共有多少条线段答：按照规律10+9+8+7+6+5+4+3+2+1=55（条）.牛刀小试：1、在剪纸课上，老师让小朋友们把一个圆剪成２２片，请问需要剪多少刀呢答：（1+1+2+3+4+5+6）=２２所以需要剪６刀。
小学五年级奥数第六讲盈亏问题
小学五年级奥数第六讲一一盈亏问题“老猴子给小猴子分梨。
每只小猴子分6个梨，就多出12个梨；每只小猴子分7个梨，就少∏个梨。
有几只小猴子和多少个梨？”这道应用题是已知两种分配的方法，一次分配有余，一次分配不足，求参加分配的数量及被分配的总量。
这样的应用题，通常叫做盈亏问题（有余时称盈，不足时称万）。
解盈亏问题，常常采用比较的方法。
典型例题例【1】老猴子给小猴子分梨。
每只小猴子分6个梨，就多出12个梨；每只小猴子分7个梨，就少11个梨。
有几只小猴子和多少个梨？分析每只小猴子分6个梨则多12个梨；每只小猴子分7个梨就少∏个梨，这说明小猴子的总只数为：12+11=23（只），也就是说：不足的个数十多余的个数=小猴子的只数解小猴子的只数为：12+11=23（只）梨子的个数为：23X6+12=150（个）或：23×7-11=150（个）答：有23只小猴子，150个梨。
例【2】丽丽阿姨给幼儿园小朋友分苹果。
如果每人分3个，多16个；如果每人分5个，那么就差4个。
有多少个小朋友？有多少个苹果？分析先比较两种分法中各个量之间的关系：每人分3个，余16个苹果。
每人分5个，还差4个苹果。
这两次分苹果，每人相差的个数为：5-3=2（个）。
第1次余16个，第2次少4个，那么第2次与第1次总共相差苹果的个数为：4+16=20（个）。
每人相差2个，结果总数就相差20个。
解有小朋友的人数为：20÷2=10（人）有苹果的个数为：3X10+16=46（个）或5X10—4=46（个）综合算式：（4+16）÷（5-3）=10（人）3X10+16=46（个）答：这个幼儿园有10位小朋友，苹果的总数是46个。
例【3】北京东路小学学生乘汽车到中山陵去春游。
如果没车坐65人，则有15人不能乘车。
如果每车多坐5人，恰好多余了一辆车。
一共有几辆汽车？有多少学生？分析每车多坐5人，也就是每车坐70人，恰好多余了一辆车，也就是还差一辆车的人，即70人。
五年级奥数——第六讲长度与角度
• 例6：图6-14①是两个紧贴的转动较轮的开 始位置（大胶轮上画出的一条直径为竖直 线，小胶轮上画出的一条直径为水平线）。 胶轮周长是小胶轮的3倍，问大胶轮转过多 少度后，两轮的这两条直径第一次平行？ 两轮的这两条直• 例5：纸板上已经画出了一个60 °的角，请 你用一个正方形的模板作工具，在纸板上 画出一个75 °的角？
•例6：图6-14①是两个紧贴的转动较轮的开始位置（大胶轮上画出的 ①是两个紧贴的转动较轮的开始位置（
一条直径为竖直线，小胶轮上画出的一条直径为水平线） 一条直径为竖直线，小胶轮上画出的一条直径为水平线） •胶轮周长是小胶轮的 倍，问大胶轮转过多少度后，两轮的这两条直 胶轮周长是小胶轮的3倍 问大胶轮转过多少度后， 胶轮周长是小胶轮的 径第一次平行？两轮的这两条直径从平行位置转到再次平行，大胶 径第一次平行？两轮的这两条直径从平行位置转到再次平行， 轮要转多少度？ 轮要转多少度？
• 例1：1条1米长的纸条，在距离一端0.618 米的地方有一个红点，把纸条对折起来， 在对准红点的地方涂一个黄点，然后打开 纸条从红点的地方剪断，再把有黄点的一 段对折起来，再对准黄点的地方剪一刀， 使纸条断成三段，问四段纸条中最短的一 段长度是多少米？
• 例2：一把长为9厘米的直尺，你能不能在 上面只刻上三条刻度线，使得这把直尺可 以量出1至9厘米的所有整厘米的长度？
• 例3：图6-3是由风筝形和镖形两种不同的 砖铺设而成，请仔细观察这个美丽的图案， 并且回答风筝形砖的四个内角各是多少度？
• 例4：两条直线相交，四个交角中的一个锐 角或一个直角称为这条直线的“夹角” （见图6-8），现平面上有若干条直线，它 们两两相交，并且“夹角”只能是30°， 60 °或90 ° ，问：至多有多少条直线？
小学三年级奥数第6讲 植树问题(含答案分析)
第6讲植树问题一、知识要点1、基本概念：总长：植树路线的全长。
棵距：两棵数之间的距离。
段数：总长中共有几个棵距棵数：植树的总棵树2、基本类型以及关系式：（1）路的两端都要植树棵树=线路总长÷棵距+1线路总长=棵距×（棵树－1）棵距=线路总长÷（棵数－1）（2）路的两端都没有植树棵树=线路总长÷棵距－1棵数=段数-1(3)路的一端植树，另一端不植树棵树=线路总长÷棵距棵数=段数另外，生活中还有一些问题，可以用植树问题的方法来解答。
比如锯木头、爬楼梯问题等等，这时解题的关键是要将题目中的条件和问题与植树问题中的“总距离”、“间隔长”、“棵数”对应起来。
二、精讲精练【例题1】小朋友们在路的一边植树，先植一棵树，以后每隔3米植一棵，已经植了9棵，问第一棵和第九棵树相距多少米？练习1：（1）在路的一侧插彩旗，每隔5米插一面，从起点到终点共插了20面，这条道路有多长？（2）在学校的走廊两边，每隔4米放一盆菊花，从起点到终点一共放了20盆，这条走廊长多少米？【例题2】在一条长42米的大路两侧栽树，从起点到终点一共栽了14棵，已知相邻两棵树之间的距离都相等，问相邻两棵树之间的距离是多少米？练习2：在公园一条长30米的路的两侧放椅子，从起点到终点共放了12把椅子，相邻两把椅子的距离相等，相邻两把椅子之间相距多少米？【例题3】把一根钢管锯成小段，一共花了28分钟，已知每锯开一段需要4分钟，这根钢管被锯成了多少段？练习3：一根圆木锯成2米长的小段，一共花了12分钟。
已知每锯下一段要3分钟，这根圆木长多少米？【例题4】甲、乙两人比赛爬楼梯，甲跑到4楼时，乙恰好跑到3楼，照这样计算，甲跑到16楼时，乙跑到了多少楼？练习4：小明和小红两人爬楼梯比赛，小明跑到第4层时，小红跑到第5层，照这样计算，当小明跑到第16层时，小红跑到了第几层？【例题5】一个圆形跑道长300米，沿跑道周围每隔6米插一面红旗，每两面红旗中间插一面黄旗，跑道周围各插了多少面红旗和黄旗？练习5：（1）有一个正方形水池，周长是200米。
小学奥数第六讲
第六讲：组合计数问题（一）1.（☆☆）15个位同学排成一圈。
从中取出3人，恰有两个相邻，有多少种取法？ 2.（☆☆）用1个1，2个2，3个3能组成多少个不同的6位数？ 3.（☆☆☆）有8个同学，把他们分成4组，每组恰好2位同学。
共有多少种分法？ 4.（☆☆☆）1～3998中有多少个自然数的数字和能被4整除？ 5.（☆☆☆）1～2004中含有数字1的自然数有多少个？ 6.（☆☆☆）各位数字和等于50且能被4整除的6位数共有多少个？ 7.（☆☆☆）在自然数1、2、3、…、1000中有多少个自然数n ，使得2n －n 2是7的倍数？ 8. （☆☆☆）有编号为1、2、…、8的8个箱子如右图放置成3列，搬运工每次只能搬走某列中最上面的箱子；问搬走这8个箱子共有多少种不同的顺序？ 9. （☆☆☆☆）经理将要打印的信件交给秘书，每次给一封，且放在信封的最上面，秘书一有空就从最上面拿一封信来打。
有一天共有9封信要打完，经理按1号信，2号信，…，9号信的顺序交给秘书。
午饭时，秘书告诉同事，经理已经给了8封信，她已把8号信打印好了，但未透漏上午工作的其他情况。
根据以上信息，下午打印的信的顺序有多少种可能？10. （☆☆☆☆☆）包含0，1，2，……，9十个数字的十位数称为“十全数”，能被11整除的十全数共有多少个？ 1. （☆☆）如图所示，从A 点出发到B 点，只能向右走、向上走、或向右上走；不同的走法共有多少种？2. （☆☆☆）（1）如图所示，图中每个小方格都是一样的小正方形，从A 点沿格线到B 点的最短路线共有多少条？ （2）如果图中有两条街道禁止通行呢？3. （☆☆）有一段楼梯有8级台阶，规定每一步只能跨一级或两级台阶；问要从楼梯最下面登上第8级台阶有多少种不同走法？4. （☆☆☆）将2×10的卡片纸剪成10张2×1的小卡片，共有多少种不同的剪法？5. （☆☆☆）在如图6×5的网格图的点A 处有一只电子青蛙，它每一步可从一个格点跳到相邻的格点（上下左右斜）；由于画上阴影的小正方形内出现了磁场干扰，电子青蛙不能跳往阴影小正方形的四个顶点。
小学二年级奥数第6讲 间隔趣谈(含答案)
第6讲间隔趣谈【专题简析】两根绳子结起来只要打一个结，两根绳子结成一个圆需要打两个结，一根绳子剪4次被剪成了5段等等，这是日常生活中的比较特殊的问题。
想要做好这类题，需要我们多动脑筋，多动笔画画，才能找到正确的答案。
这一讲是有关绳子打结和剪绳子的问题。
给绳子打结如果不练成一个圆，打结的次数比绳子的根数少1；如果结成1个圆，打结的次数与绳子的根数同样多。
同样，如果是剪绳子，那么剪成的段数比剪得次数多1.【例题1】小刚把4根绳子连起来成一条绳子，一共需要打几个结？思路导航:解这种题，可以画图解答。
如图：打结打结打结从上图中可以看出，4根绳子要结起来成一根绳子，只要打3次结就可以了，可见，打结的次数比绳子的根数少1.解：4-1=3（个）答：小刚把4根绳子连起来成一条绳子，一共需要打3个结练习11．小明把5根绳子连起来成一根长绳，一共需要打几个结？2.把8根绳子连接起来成一根绳子，一共需要打几个结？【例题2】把几根绳子打7个结就能成一个圆？思路导航:根据题意，如图所示：打了7个结，就把一些绳子结成了一个圆，这些绳子应该有7根。
因此，如果把绳子结成圆时，绳子的根数与打结的次数相等。
解：把7根绳子打7个结就能成一个圆练习21．丽丽打了8个结就把一些绳子结成一个圆，你知道丽丽拿了几根绳子吗？2．小红拿10根绳子结成一个圆，她打了几个结？3．把20根绳子连接起来成一根绳子，一共需要打几个结？如果要结成一个圆，需要结几次？【例题3】一根10米长的绳子剪了4次，平均每段长多少米？思路导航:10米长的绳子剪了4次，应该剪成了5段。
求平均每段长多少米，也就是要把10平均分成5份，求每份是多少。
210=÷（米），因此平均每段长2米5解：4+1=5（段）210=÷（米）5答：平均每段长2米练习31．一根8米长的绳子，剪了3次，平均每段长多少米？2．一根9分米长的绳子，剪了2次，平均每段长多少分米？3．一根绳子剪了5次后，平均每段长3米，这根绳子原来长多少米？【例题4】一根10米长的绳子，把它剪成2米长的一段，可以剪多少段？要剪几次？思路导航:（1）10米长的绳子，剪成每段2米长，要求可剪多少段，这里求10里面有几个2，5210=÷（段），可以剪5段。
六年级奥数-第6讲-时钟问题
时钟问题【知识点拔】时钟问题就是研究钟面上时针和分针关系的问题，钟面的一周分为60格，分针每走60格，时针正好走5格。
因为时针与分针的速度不同，并且都沿顺时针方向转动，所以经常将时钟问题转化为追及问题来解。
【典型例题】【例1】现在是2点正，什么时刻时针与分针第一次重合?练习：从时钟指向4点开始,再经过多少分钟，时针正好与分针重合？（迎新春初赛试题）例2：晚上7到8点之间电视里播出一部动画片，开始时分针与时针正好在成一条直线上,结束时两针正好重合.这部动画片最少播出了多长时间? 练习:在3点与4点之间,时针与分针在什么时刻相互垂直？在什么时刻位于一条直线上？【3】3点过多少分时，时针和分针离“3"的距离相等,并且在“3”的两边？练习:5时以后的什么时刻，时针和分针在“5”字两边并且与“5”字等距离？【例4】胖胖家有一个闹钟,每小时比标准时间慢1分钟。
有一天晚上8点整时,胖胖对准了闹钟,他想第二天早上5点55分起床,于是他就将闹钟定在了5点55分。
请问；这个闹钟将在标准时间的什么时刻响铃？【竞赛题选】李老师家有两只挂钟，一只每天快20分，另一只每天慢30分。
现在将这两只挂钟调到标准时间，它们至少再经过多少天才能再次同时显示标准时间？【习题精练】【A组】1、钟面上三时多少分时，分针与时针恰好重合？2、在5点与6点之间，时针与分针在什么时刻相互垂直？3、在6点与7点之间,时针与分针在什么时刻位于一条直线上？4、7点过多少分时，时针与分针离“7"的距离相等并且在“7”的两边？5、东东家有一个闹钟，每小时比标准时间快2分钟.星期天上午9点整时,东东对准了闹钟，他想让闹钟在了标准时间的11点30分响起。
请问：他应该将闹钟定在什么时刻?6、东东的手表每小时比标准时间慢30秒。
早上6点时，东东把手表与标准时间对准。
请问：标准时间中午12点时，东东的手表是几点几分?7、0点0分时，时针与分针重合。
高斯小学奥数二年级(上)第06讲-有趣的除法
第六讲有趣的除法前续知识点：二年级第一讲；XX模块第X讲后续知识点：X年级第X讲；XX模块第X讲把里面的人物换成相应红字标明的人物．萱萱墨莫小高阿呆墨莫小高阿呆萱萱墨莫小高阿瓜卡莉娅阿呆【提示】除法和乘法是逆运算。
用乘法口诀求商是数学计算中一块重要的基石，它在整个计算领域中起着举足轻重的作用。
要求我们在熟练掌握乘法口诀的基础上，理解两个数量之间的倍数关系，会用乘法口诀求商的技能解决实际问题。
计算：例题2 （1）6÷2＝（ ） （2）8÷4＝（ ）（3）9÷（ ）＝3 （4）40÷5＝（ ）（5）56÷（ ）＝7 （6）63÷9＝（ ）（7）（ ）÷9＝2 （8）（ ）÷4＝ 4练习1 填空：（1）一（ ）得九 （2）（ ）三得六 （3）（ ）五二十五（4）七（ ）五十六 （5）二（ ）一十四 （6）六（ ）四十二（7）三（ ）二十四 （8）（ ）八四十八 （9）（ ）九三十六填空：例题1 （1）一（ ）得四 （2）（ ）五一十（3）（ ）六三十 （4）八（ ）六十四（5）七（ ）六十三 （6）三（ ）二十一（7）五（ ）三十五 （8）（ ）七二十八【提示】将除法转化为乘法来运算。
认识除法中的所有元素：被除数÷除数＝商。
10÷2＝5，其中，10是 ，2是 ，5是 。
平均分，就说分成数量相等的几份。
那么想一想，如果给你一堆的糖果，怎么分才能保证每个人分到的数量是一样多的？平均分就是除法。
把总数平均分成几份，就是把总数除以几，得到的数应该是每一份的数量。
做一做下面的题目，尝试一下用除法来解答。
【提示】几个4等于8？ 把8支铅笔平均分成4份，每一份有几支铅笔？请列出除法算式。
例题3练习2 计算：（1）3÷3＝（ ） （2）10÷5＝（ ） （3）12÷（ ）＝2（4）20÷5＝（ ） （5）36÷（ ）＝4 （6）45÷9＝（ ）（7）（ ）÷9＝1 （8）（ ）÷8＝4 （9）（ ）÷7＝3【提示】用平均分的思想去理解除法。
高斯小学奥数六年级下册含答案第06讲_变速行程问题
第六讲 变速行程问题本讲知识点汇总：一．普通变速问题的求解普通变速问题的求解 1．分段比较分段比较 在变速点把前后的行程分开，这样一个变速过程被分成两个不变速过程．在变速点把前后的行程分开，这样一个变速过程被分成两个不变速过程． 2．假设法比较假设法比较 假设不变速，然后对假设前和假设后的运动过程之间的差别进行比较．假设不变速，然后对假设前和假设后的运动过程之间的差别进行比较．3．方程方程 设未知数，以路程相同或者时间相同为等量关系列方程．设未知数，以路程相同或者时间相同为等量关系列方程．二．带有往返的变速问题带有往返的变速问题 1．熟记“甲乙异侧出发”与“甲乙同侧出发”这两类多次往返问题的特点：熟记“甲乙异侧出发”与“甲乙同侧出发”这两类多次往返问题的特点： （1） 甲乙异侧出发：当路程和为1、3、5、…个全长时，两人迎面相遇；、…个全长时，两人迎面相遇；当路程差为1、3、5、…个全长时，两人追上；、…个全长时，两人追上；（2） 甲乙同侧出发：当路程和为2、4、6、…个全长时，两人迎面相遇；、…个全长时，两人迎面相遇；当路程差为2、4、6、…个全长时，两人追上；、…个全长时，两人追上；（3） 注意“相遇”和“迎面相遇”的区别，“相遇”包括迎面相遇和背后追上．“相遇”包括迎面相遇和背后追上．（4） 当在两端相遇时，既算迎面相遇也算背后追上．当在两端相遇时，既算迎面相遇也算背后追上．2．对次数比较少的迎面相遇或追上，注意进行估算何时会相遇；对次数比较少的迎面相遇或追上，注意进行估算何时会相遇； 3．对次数比较多的迎面相遇或追上，先计算周期，再看在一个周期内，两人会相遇几次．几次．三．环形路线中的变速问题，和前面类似，重点依然是估算和周期．例1．骑自行车从公主坟校区到望京校区，以每小时10千米的速度行进，下午1时到；以每小时15千米的速度行进，上午11时到．时到．（1）公主坟校区与望京校区的距离是多少千米？）公主坟校区与望京校区的距离是多少千米？（2）如果希望中午12时到，应以怎样的速度行进？时到，应以怎样的速度行进？「分析」（1）可以利用行程中的正反比例解题；（3）确定出发时间很重要．）确定出发时间很重要．练习1、小红帽去姥姥家，途中要经过上坡、平路和下坡各一段，路程比是3:2:1．已知小红帽在三种路段上走的速度比为3:4:5，且在平路上行走的时间是10分钟．分钟．那么小那么小红帽去姥姥家路上一共花了多少分钟？红帽去姥姥家路上一共花了多少分钟？例2． 八戒和沙僧兄弟俩去巡山．八戒先走5分钟，沙僧出发25分钟后追上了八戒．如果沙僧每分钟多走500米，那么出发20分钟后就可以追上八戒．八戒每分钟走多少米？分钟后就可以追上八戒．八戒每分钟走多少米？ 「分析」本题可以利用行程中的正反比例解题．本题可以利用行程中的正反比例解题．练习2、一辆汽车从甲地开往乙地，若车速提高20%，可提前25分钟到达；若以原速行驶半小时，再将车速提高30千米/小时，可提前30分钟到达，甲乙两地的距离是多少千米？少千米？例3． 某人开汽车从A 城到相距200千米的B 城．开始时，他以56千米/时的速度行驶，但途中因汽车故障停车修理用去半小时．为了按原定计划准时到达，他必须在后面的路程中将速度增加14千米/时．他修车的地方距A 城多少千米？城多少千米？「分析」本题可以画出线段图，然后结合线段图进行分段比较解决问题．本题可以画出线段图，然后结合线段图进行分段比较解决问题．练习3、叔叔开车回家，原计划按照40千米/时的速度行驶．行驶到路程的一半时发现之前的速度只有30千米/时，那么在后一半路程中，速度必须达到多少千米/时才能准时到家？时到家？例4．喜羊羊乘飞船从地球村到火星村．如果将速度提高五分之一，就可比预定时间提前半小时赶到；如果先按原速度行驶720万千米，再将速度提高三分之一，再将速度提高三分之一，也可以比预定时也可以比预定时间提前半小时到．请问地球村与火星村之间的路程是多少万千米？「分析」画出线段图，结合正反比例解题．练习4、一支解放军部队从驻地乘车赶往某地抗洪抢险，如果行驶1个小时后，将车速提高五分之一，提高五分之一，就可比预定时间提前就可比预定时间提前20分钟赶到；如果先按原速度行驶72千米，再将车速提高三分之一，就可比预定时间提前30分钟赶到．问：这支解放军部队一共需要行多少千米？例5．甲、乙两人分别从A 、B 两地同时出发，相向而行，在途中C 点相遇．如果甲的速度增加10%，乙每小时多走300米，也在C 点相遇；如果甲早出发1小时，乙每小时多走1000米，则仍在C 点相遇．那么两人相遇时距B 多少千米？「分析」画出线段图，结合正反比例解题，途中每次相遇均在C 点这个条件很重要．例6．甲乙两人骑自行车同时从A 地出发去B 地，甲的车速是乙的车速的1.2倍．乙骑了4千米后，自行车出现故障，耽误的时间可以骑全程的六分之一．排除故障后，乙提高车速60%，结果甲乙同时到达B 地．那么A 、B 两地之间的距离是多少千米？两地之间的距离是多少千米？「分析」这道题目可以采用列方程的办法解题．数学家欧几里得亚历山大里亚的欧几里得（希腊文：Ευκλειδης，约公元前330年—前275年），古希腊数学家，被称为“几何之父”．他活跃于托勒密一世（公元前323年－前283年）时期的亚历山大里亚，他最著名的著作《几何原本》是欧洲数学的基础，提出五大公设，发展欧几里得几何，发展欧几里得几何，被广泛的认为是历史上最成功的教科书．被广泛的认为是历史上最成功的教科书．被广泛的认为是历史上最成功的教科书．欧几里得也写了一些关欧几里得也写了一些关于透视、圆锥曲线、球面几何学及数论的作品，是几何学的奠基人．最早的几何学兴起于公元前7世纪的古埃及，后经古希腊等人传到古希腊的都城，又借毕达哥拉斯学派系统奠基．在欧几里得以前，人们已经积累了许多几何学的知识，然而这些知识当中，存在一个很大的缺点和不足，就是缺乏系统性．大多数是片断、零碎的知识，公理与公理之间、证明与证明之间并没有什么很强的联系性，更不要说对公式和定理进行严格的逻辑论证和说明．因此，随着社会经济的繁荣和发展，特别是随着农林畜牧业的发展、特别是随着农林畜牧业的发展、土地开发和利用的增多，土地开发和利用的增多，土地开发和利用的增多，把这些几何学知识加以条理把这些几何学知识加以条理化和系统化，成为一整套可以自圆其说、前后贯通的知识体系，已经是刻不容缓，成为科学进步的大势所趋．欧几里德通过早期对柏拉图数学思想，尤其是几何学理论系统而周详的研究，已敏锐地察觉到了几何学理论的发展趋势．他下定决心，要在有生之年完成这一工作．为了完成这一重任，欧几里德不辞辛苦，长途跋涉，从爱琴海边的雅典古城，来到尼罗河流域的埃及新埠—亚历山大城，为的就是在这座新兴的，但文化蕴藏丰富的异域城市实现自己的初衷．文化蕴藏丰富的异域城市实现自己的初衷．在此地的无数个日日夜夜里，在此地的无数个日日夜夜里，在此地的无数个日日夜夜里，他一边收集他一边收集以往的数学专著和手稿，向有关学者请教，一边试着著书立说，阐明自己对几何学的理解，哪怕是尚肤浅的理解．经过欧几里德忘我的劳动，终于在公元前300年结出丰硕的果实，这就是几经易稿而最终定形的《几何原本》一书．这是一部传世之作，几何学正是有了它，不仅第一次实现了系统化、条理化，而且又孕育出一个全新的研究领域——欧几里得几何学，简称欧氏几何．课 堂 内 外作业作业1． 哼哼去奶奶家，途中要经过泥路、土路和水泥路各一段，路程比是3:6:15．已知哼哼在三种路段上的行走的速度比为2:3:5，且在土路上行走的时间是20分钟．分钟．那么哼哼去奶那么哼哼去奶奶家路上一共花了多少分钟？奶家路上一共花了多少分钟？2． （1）丽丽从家走到学校，如果速度提高五分之一，会早5分钟到，按原来的速度需要多长时间到？多长时间到？ （2）丽丽从学校走到家，如果速度减少五分之一，会晚6分钟到，按原来的速度需要多长时间到？多长时间到？3． （1）墨莫从金源走到海文，如果速度增加5米/秒，时间减少六分之一，原来的速度是多少？多少？（2）墨莫从金源走到海文，如果速度减少6米/秒，时间增加六分之一，原来的速度是多少？多少？4．路三三开车回家，原计划按照10千米/时的速度行驶．行驶到路程的一半时发现之前的速度只有5.5千米/时，那么在后一半路程中，速度必须达到多少千米/时才能准时到家？5．喜羊羊乘飞船从地球村到火星村，如果将车速提高五分之一，就可比预定时间提前半小时赶到；如果先按原速度行驶720万千米，再将车速提高三分之一，再将车速提高三分之一，也可比预定时间提也可比预定时间提前半小时到．那么地球村与火星村之间的路程是多少万千米？前半小时到．那么地球村与火星村之间的路程是多少万千米？第六讲 变速行程问题例7． 答案：（1）60（2）12．解答：（1）速度之比是10:15，即2:3，所以时间之比是3:2，所以1份时间是2小时，即以速度是10千米每小时会6小时到，即距离是60千米，且出发时间是上午7点；（2）60除以5即可，所以，速度是12千米/时．时．例8．答案：10000． 解答：第一种情况下时间之比是30:25，即6:5，所以速度之比是5:6；第二种情况下时间之比是25:20，即5:4，所以速度之比是4:5．八戒的速度没有改变，所以有20:24和20:25，一份即500米，所以八戒每分钟走10000．例9．答案：60． 解答：故障前后的速度比是56:70，即4:5，时间比是5:4，时间相差半小时，即按原速的时间走完剩下的路程需要2.5小时，所以路程是140千米，那么修车的地方距离A 城60千米．千米．例1010．． 答案：13806、94365．解答：最小且数字不同，则前三位只能是138，再根据9的整除特性，所以最小是13806；最大且数字不同，则前三位只能是943，再根据9的整除特性，所以最大是94365．例1111．． 答案：648．例1212．． 答案：83．解答：这是一个首项为1，公差为3的等差数列，由题意知第1n +个数应为125的倍数，即31125n k +=，可知k 取2时符合要求，此时n 为83．练习：练习：练习1、答案：30．简答：路程除以速度等于时间，所以时间之比是2:3:1，平路是3份时间花了15分钟，所以一共要30分钟．分钟．练习2、答案：225．简答：第一种情况下速度之比是5:6，时间之比是6:5，提前25分钟到，即原来所用的时间是2.5小时；第二种情况下时间比是2:1.5，即时间比是4:3，速度比是3:4，此时车速提高了30千米每小时，所以原来的速度是90千米每小时．则路程是225千米．千米．练习3、答案：60．简答：根据：=总路程平均速度总时间，结合设数法可得：设全程为240千米，后半程速度要达到240120120=604030⎛⎫÷- ⎪⎝⎭千米/时．时．练习4、答案：216．简答：本题解法类似例4．作业作业1. 答案：65分钟．分钟．简答：时间之比是3:4:6，所以时间是65分钟．分钟．2. 答案：30分钟；24分钟．分钟．简答：（1）速度比是5:6，所以时间比是6:5，时间是30分钟；分钟； （2）速度比是5:4，所以时间比是4:5，时间是24分钟．分钟．3. 答案：25米/秒；42米/秒．秒．简答：（1）时间比是6:5，所以速度比是5:6，时间是25米/秒；秒； （2）速度比是6:7，所以时间比是7:6，时间是42米/秒．秒．4. 答案：55千米/小时．小时．简答：设路程为1，则一半路程就是二分之一，列方程可得答案是55．5.答案：2160万千米．万千米． 简答：车速比是5:6，时间比是6:5，所以预定时间是3小时；车速提高三分之一时，速度比是3:4， 时间比是4:3，所以按原速除了720千米的路程需要2小时，小时，所以速度是所以速度是720万千米每小时，万千米每小时，所以地球村所以地球村和火星村之间的路程是2160万千米．万千米．。
小学奥数知识讲解 第六讲 等差数列求和
解：S＝（a＋b）×n÷2 ＝（2＋198）×99÷2 ＝200×99÷2 ＝100×99 ＝9900
典型例题
例4：求297＋294＋291＋……＋9＋6＋3的和。
分析：297＋294＋291＋……＋9＋6＋3＝3＋6＋9＋……＋291＋294＋297
，对于重新排列的这列数，首项a＝3，末项b＝297，公差d＝3， 项数n＝（297－3）÷3＋1＝98＋1＝99。
解：S＝（a＋b）×n÷2 ＝（3＋297）×99÷2 ＝300×99÷2 ＝150×99 ＝14850
典型例题
例5：求9000－124－128－132－……－272－276的和。
分析：9000－124－128－132－……－272－276＝9000－（124＋
分析：首项a＝111，末项b＝9，公差d＝1，
项数n＝（289－111）÷1＋1＝178＋1＝179。
解：4S＝（a＋b）×n÷2 ＝（111＋289）×179÷2 ＝400×179÷2 ＝200×179 ＝35800
典型例题
例3：求2＋4＋6＋……＋196＋198的和。
分析：首项a＝2，末项b＝198，公差d＝2，
128＋132＋……＋272＋276），对于124＋128＋132＋……＋272＋ 276，可以利用等差数列的求和公式先计算出来，a＝124，b＝276， d ＝4，n＝（276－124）÷4＋1＝38＋1＝39。
解：124＋128＋132＋……＋272＋276
＝（124＋276）×39÷2
＝400×39÷2
＝200×39
＝7800
9000-7800=1200
小结
对于简单的整数等差数列求和，要熟练掌握其求和公式和 求项数的公式。区分a，b，d代表的数字分别是多少，有时要 将数列顺序调换，才能使得后项减去前项等差。
小学四年级奥数第六讲 算式之谜(二)
16
12 9 2 7 72
①由除数是两位数，被除数的最高位是1， 则除数的十位是1，商十位是1。
②由没有余数可知除数个位和商个位 相乘个位数是2，有以下几种情况： 1×2 3×4 2×6 4×8 8×9
③可检验一下除数是12、商是16的情况。
④经检验除数是13、商是14成立。
18 14
11 2
①由除数是两位数，被除数的最高位是1， 则除数的十位是1，商十位是1。
①两个三位数相加，和是四位数，那么F=1
②个位两个数的和是11，这两个数可能是 2和9 3和8 4和7 5和6
③经试验，G=3,E=8
8
1
3
42 85 7
1
1
2
12
42 8 57
4
2
8
5
7
⑶
1 2 3 45 6 7
9
23 4 5 67 8
9
盼
1 11111111
1
2
5
6
3
4
7
9
相差22
相差1
②除数个位和商个位相乘个位数是8，有 以下几种情况： 1×8 2×9 3×6 6×8
③经尝试除数的个位是2，商的个位是9。
9 80 1 1 08 9 1 089
①两个四位数相加，和是五位数，那么A=1 ②A+D个位数出现0，则D=9 ③百位C+B=C没有进位，则B=0 ④B+C+1=D，则C=8
A=1 B=0 C=8 D=9
（1）7×9＋12÷(3－2)= 75 （2）7×( 9＋12)÷3－2 = 47 （3）( 88＋33－11)÷(11×2)= 5
1 2 3＋4 5－6 7＋8－9 = 100
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第六讲：组合计数问题（一）
1.
（☆☆）15个位同学排成一圈。
从中取出3人，恰有两个相邻，有多少种取法？ 2.
（☆☆）用1个1，2个2，3个3能组成多少个不同的6位数？ 3.
（☆☆☆）有8个同学，把他们分成4组，每组恰好2位同学。
共有多少种分法？ 4.
（☆☆☆）1～3998中有多少个自然数的数字和能被4整除？ 5.
（☆☆☆）1～2004中含有数字1的自然数有多少个？ 6.
（☆☆☆）各位数字和等于50且能被4整除的6位数共有多少个？ 7.
（☆☆☆）在自然数1、2、3、…、1000中有多少个自然数n ，使得2n －n 2是7的倍数？ 8. （☆☆☆）有编号为1、2、…、8的8个箱子如右图放置成3
列，搬运工每次只能搬走某列中最上面的箱子；问搬走这8个
箱子共有多少种不同的顺序？
9. （☆☆☆☆）经理将要打印的信件交给秘书，每次给一封，且
放在信封的最上面，秘书一有空就从最上面拿一封信来打。
有一天共有9封信要打完，经理按1号信，2号信，…，9号信的顺序交给秘书。
午饭时，秘书告诉同事，经理已经给了8封信，她已把8号信打印好了，但未透漏上午工作的其他情况。
根据以上信息，下午打印的信的顺序有多少种可能？
10. （☆☆☆☆☆）包含0，1，2，……，9十个数字的十位数称为“十全数”，能被11整除的十全数共有多少个？ 1. （☆☆）如图所示，从A 点出发到B 点，只能向右走、
向上走、或向右上走；不同的走法共有多少种？
2. （☆☆☆）
（1）如图所示，图中每个小方格都是一样的小正方形，从A 点沿格线到B 点的最短路
线共有多少条？
（2）如果图中有两条街道禁止通行呢？
3. （☆☆）有一段楼梯有8级台阶，规定每一
步只能跨一级或两级台阶；问要从楼梯最下面登上第8级台阶有多少种不同走法？
4. （☆☆☆）将2×10的卡片纸剪成10张2×1的小卡片，共有多少种不同的剪法？
5. （☆☆☆）在如图6×5的网格图的点A 处有一只电子青蛙，它每一步可从一个格点跳到相邻的格点（上下左右斜）；由于画上阴影的小正方形内出现了磁场干扰，电子青蛙不能跳往阴影小正方形的
四个顶点。
问：有多少种不
同的跳动路线使这只电子
青蛙跳4步后回到点A ？
6. （☆☆☆）4个人互相传球，
由甲开始传第一次，问经过6次传球后球回到甲手中的传球方法共有多少种？
7. （☆☆☆）用2，4，6三个数字来构造四位数，但是不允许有两个连着的2出现在四位数中（例如6442是允许的，2264就不允许），问这样的四位数共有多少个？
8. （☆☆☆☆）由数字3或5或7组成的6位数中，3和5不相邻的共有多少个？
9.（☆☆）5条直线最多能将平面分成多少个区域？
10.（☆☆☆）5个圆最多能将平面分成多少个区域？
11.（☆☆☆☆）一个正方形能将平面分为内、外两部分，三个大小相同的正方形最多能将
平面分成多少个部分呢？。