线面角基础练习题教学总结

线面角的求法总结

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线面角的三种求法

1．直接法：平面的斜线与斜线在平面内的射影所成的角即为直线与平面所成的角。通常是解由斜线段，垂线段，斜线在平面内的射影所组成的直角三角形，垂线段是其中最重要的元素，它可以起到联系各线段的作用。

例1 （如图1 ）四面体ABCS 中，SA,SB,SC 两两垂直，∠SBA=45°, ∠SBC=60°, M 为 AB 的中点，求（1）BC 与平面SAB 所成的角。

（2）SC 与平面ABC 所成的角。

解:（1） ∵SC ⊥SB,SC ⊥SA,

B

M

H

S

C

A

图1

∴SC ⊥平面SAB 故 SB 是斜线BC 在平面SAB 上的射影， ∴∠SBC 是直线BC 与平面SAB 所成的角为60°。（2）连结SM,CM ，则SM ⊥AB,

又∵SC ⊥AB,∴AB ⊥平面SCM, ∴面ABC ⊥面SCM

过S 作SH ⊥CM 于H, 则SH ⊥平面ABC ∴CH 即为 SC 在面ABC 内的射影。 ∠SCH 为SC 与平面ABC 所成的角。 sin ∠SCH=SH ／SC

∴SC 与平面ABC 所成的角的正弦值为√7／7

（“垂线”是相对的，SC 是面 SAB 的垂线，又是面 ABC 的斜线. 作面的垂线常根据面面垂直的性质定理，其思路是：先找出与已知平面垂直的平面，然后一面内找出或作出交线的垂线，则得面的垂线。） 2. 利用公式sin θ=h ／ι

其中θ是斜线与平面所成的角， h是垂线段的长，ι是斜线段的长，其中求出垂线段的长（即斜线上的点到面的距离）既是关键又是难点，为此可用三棱锥的体积自等来求垂线段的长。

线面角的求法总结

一．直接法：平面的斜线与斜线在平面的射影所成的角即为直线与平面所成的角。通常是解由斜线段，垂线段，斜线在平面的射影所组成的直角三角形，垂线段是其中最重要的元素，它可以起到联系各线段的作用。

例1 （如图1 ）四面体ABCS中，SA,SB,SC 两两垂直，∠SBA=45°, ∠SBC=60°, M 为AB的中点，求（1）BC与平面SAB所成的角。

（2）SC与平面ABC所成的角。

解:（1）∵SC⊥SB,SC⊥SA,

图1

∴SC⊥平面SAB 故SB是斜线BC 在平面SAB上的射影，

∴∠SBC是直线BC与平面SAB所成的角为60°。

（2）连结SM,CM，则SM⊥AB,

又∵SC⊥AB,∴AB⊥平面SCM,

∴面ABC⊥面SCM

过S作SH⊥CM于H, 则SH⊥平面ABC

∴CH即为SC 在面ABC的射影。

∠SCH 为SC与平面ABC所成的角。

sin ∠SCH=SH／SC

∴SC与平面ABC所成的角的正弦值为√7／7

（“垂线”是相对的，SC是面SAB的垂线，又是面ABC 的斜线. 作面的垂线常根据面面垂直的性质定理，其思路是：先找出与已知平面垂直的平面，然后一面找出或作出交线的垂线，则得面的垂线。）

二利用公式sinθ=h／ι

其中θ是斜线与平面所成的角，h是垂线段的长，ι是斜线段的长，其中求出垂线段的长（即斜线上的点到面的距离）既是关键又是难点，为此可用三棱锥的体积自等来求垂线段的长。

例2 （如图2）长方体ABCD-A1B1C1D1 , AB=3 ,BC=2, A1A= 4 ，求AB与面AB1C1D 所成的角。

线面角的求法总结

线面角的三种求法

1．直接法：平面的斜线与斜线在平面内的射影所成的角即为直线与平面所成的角。通常是解由斜线段，垂线段，斜线在平面内的射影所组成的直角三角形，垂线段是其中最重要的元素，它可以起到联系各线段的作用。

例1 （如图1 ）四面体ABCS 中，SA,SB,SC 两两垂直，∠SBA=45°, ∠SBC=60°, M 为 AB 的中点，求（1）BC 与平面SAB 所成的角。

（2）SC 与平面ABC 所成的角。

解:（1） ∵SC ⊥SB,SC ⊥SA,

B

M

H

S

C

A

图1

∴SC ⊥平面SAB 故 SB 是斜线BC 在平面SAB 上的射影， ∴∠SBC 是直线BC 与平面SAB 所成的角为60°。（2）连结SM,CM ，则SM ⊥AB,

又∵SC ⊥AB,∴AB ⊥平面SCM, ∴面ABC ⊥面SCM

过S 作SH ⊥CM 于H, 则SH ⊥平面ABC ∴CH 即为 SC 在面ABC 内的射影。 ∠SCH 为SC 与平面ABC 所成的角。 sin ∠SCH=SH ／SC

∴SC 与平面ABC 所成的角的正弦值为√7／7

（“垂线”是相对的，SC 是面 SAB 的垂线，又是面 ABC 的斜线. 作面的垂线常根据面面垂直的性质定理，其思路是：先找出与已知平面垂直的平面，然后一面内找出或作出交线的垂线，则得面的垂线。） 2. 利用公式sin θ=h ／ι

其中θ是斜线与平面所成的角， h 是垂线段的长，ι是斜线段的长，其中求出垂线段的长（即斜线上的点到面的距离）既是关键又是难点，为此可用三棱锥的体积自等来求垂线段的长。

线面角的求法总结

线面角是立体几何中的一个重要概念，指的是直线与平面之间的夹角。在实际问题中，线面角的求法有多种方法，包括正投影法、平行线交线法、倾斜线投影法等。下面将从这些不同的求法角度，总结线面角的求法方法。

一、正投影法

正投影法是线面角的一种常用求法方法。具体的求法步骤是：首先，

以直线上的两点为基点，分别作两条垂直于平面的直线，将平面上的两个

点投影到这两条垂直线上。然后，连接两个投影点与基点，即可得到线面角。简单来说，就是将线段的两个端点在平面上做垂线，再连接垂线与线

段的两个端点所构成的三角形。

二、平行线交线法

平行线交线法是另一种求解线面角的常用方法。它适用于直线与平面

的交点在平行线上的情况。具体的求法步骤是：首先，找到平行于直线的

两条线，并找出这两条线与交线的交点。然后，以这两个交点为基点，分

别作两条直线与交线相交，再连接交线两个端点与这两个交点，即可得到

线面角。简单来说，就是在平行线上找到与线段相交的两条线，将线段的

两个端点与两个交点连线所构成的三角形。

三、倾斜线投影法

倾斜线投影法是应用于倾斜线与平面的角的求法方法。具体的求法步

骤是：首先，判断倾斜线是否与平面相交，如果相交，则找到交点。然后，以交点为基点，分别作两条垂直于平面的直线，并将交点投影到这两条垂

直线上。最后，连接两个投影点与交点，即可得到线面角。简单来说，就

是将倾斜线段的一个端点与交点连线，再以交点为顶点做一个角的投影。

四、线面角的特殊情况求解

除了以上常用的求解线面角的方法外，还有一些特殊情况需要考虑。例如，如果线段与平面平行，则线面角为无穷大；如果线段垂直于平面，则线面角为直角，即90度；如果线段在平面上，则线面角为0度。这些特殊情况可以根据实际问题的需要灵活运用，以求解线面角。

线面角的求法总结[学习]

一、定义

斜线面角，又称为投影面角，是指在一个平面和另一个平面上投影的两个斜线之间的

夹角。一般我们用斜线来表示斜线面角，用直线来表示竖直面角。

二、求法

1.两斜线角度法

如果两斜线是相互垂直的，则斜线面角等于这两条斜线的夹角，这也是斜线面角最常

使用的求法。

4.斜线特点法

如果斜线有一个特点或异性，则可以用它来求斜线连接线的夹角，进而求出斜线面角。比如说斜线的弦长、半径长I、斜线的最大距离C可以用来求斜线的斜线面角。计算方式

如下：斜线面角=arcsin[(I-C)/C]

三、总结

以上就是斜线面角的求法总结：1.两斜线角度法；2.斜线直线角度法；3.斜线圆心角法；4.斜线特点法。此外，也可以把斜线面角写成三角形的标准式求出，只要知道斜线面

角上两个边长，以及所角的度数就可以求出三角形的剩余一边所构成的总面角，也就是斜

线面角。

高中数学必修2立体几何专题线面角典型例题求法总结

高中数学必修2立体几何专题线面角典型

例题求法总结

求法

线面角的求法可以使用直接法和公式法。直接法是通过斜线与平面内射影所成的角来求解，而公式法则是利用sinθ=h/ι

的公式来求解。

直接法

直接法通常是解由斜线段、垂线段和斜线在平面内的射影所组成的直角三角形，其中垂线段是最重要的元素，它可以起到联系各线段的作用。例如，对于四面体ABCS中，SA、SB、SC两两垂直，∠SBA=45°，∠SBC=60°，M为AB的中点，

需要求解BC与平面SAB所成的角和SC与平面ABC所成的角。

解：（1）由于XXX，SC⊥SA，所以SC⊥平面SAB，

因此∠XXX是直线BC与平面SAB所成的角，其值为60°。

2）连接SM、CM，则SM⊥AB，又∵SC⊥AB，所以

AB⊥平面SCM，因此面ABC⊥面SCM。过S作SH⊥CM于H，则SH⊥平面ABC，因此CH即为SC在面ABC内的射影。因此，∠SCH为SC与平面ABC所成的角，其正弦值为√7/7.

公式法

公式法是利用sinθ=h/ι的公式来求解线面角。其中θ是斜

线与平面所成的角，h是垂线段的长，ι是斜线段的长。关键

和难点在于求出垂线段的长，即斜线上的点到面的距离。为此，可以使用三棱锥的体积自等来求解垂线段的长。

例如，对于长方体ABCD-A1B1C1D1，AB=3，BC=2，

A1A=4，需要求解AB与面ABC1D1所成的角。

解：设点B到ABC1D1的距离为h，由于VB-

ABC1D1=VA-BB1C1，所以

1/3S△AB1C1·h=1/3S△BB1C1·AB，因此h=12/5.设AB与面ABC1D1所成的角为θ，则sinθ=h/AB=4/5，因此AB与面

线面角的求法总结

一．直接法：平面的斜线与斜线在平面内的射影所成的角即为直线与平面所成的角。通常是解由斜线段，垂线段，斜线在平面内的射影所组成的直角三角形，垂线段是其中最重要的元素，它可以起到联系各线段的作用。

例1 （如图1 ）四面体ABCS 中，SA,SB,SC 两两垂直，∠SBA=45°, ∠SBC=60°, M 为 AB 的中点，求（1）BC 与平面SAB 所成的角。

（2）SC 与平面ABC 所成的角。

解:（1） ∵SC ⊥SB,SC ⊥SA, B M

H

S

C

A 图1

∴SC ⊥平面SAB 故 SB 是斜线BC 在平面SAB 上的射影，

∴∠SBC 是直线BC 与平面SAB 所成的角为60°。

（2）连结SM,CM ，则SM ⊥AB,

又∵SC ⊥AB,∴AB ⊥平面SCM,

∴面ABC ⊥面SCM

过S 作SH ⊥CM 于H, 则SH ⊥平面ABC

∴CH 即为 SC 在面ABC 内的射影。

∠SCH 为SC 与平面ABC 所成的角。

sin ∠SCH=SH ／SC

∴SC 与平面ABC 所成的角的正弦值为√7／7

（“垂线”是相对的，SC 是面 SAB 的垂线，又是面 ABC 的斜线. 作面的垂线常根据面面垂直的性质定理，其思路是：先找出与已知平面垂直的平面，然后一面内找出或作出交线的垂线，则得面的垂线。）

二利用公式sin θ=h ／ι

其中θ是斜线与平面所成的角， h 是垂线段的长，ι是斜线段的长，其中求出垂线段的长（即斜线上的点到面的距离）既是关键又是难点，为此可用三棱锥的体积自等来求垂线段的长。

线面角的求法总结

线面角的三种求法

1．直接法：平面的斜线与斜线在平面内的射影所成的角即为直线与平面所成的角。平面的斜线与斜线在平面内的射影所成的角即为直线与平面所成的角。通常是通常是解由斜线段，垂线段，斜线在平面内的射影所组成的直角三角形，斜线在平面内的射影所组成的直角三角形，垂线段是其中最重要的元垂线段是其中最重要的元素，它可以起到联系各线段的作用。素，它可以起到联系各线段的作用。

例1 （如图1 ）四面体ABCS 中，SA,SB,SC 两两垂直，两两垂直，∠∠SBA=45°SBA=45°,

, ∠SBC=60°SBC=60°, , M 为 AB 的中点，求（1）BC 与平面SAB 所成的角。所成的角。

（2）SC 与平面ABC 所成的角。所成的角。

解:（1） ∵SC ⊥SB,SC ⊥SA,

B

M

H

S

C

A

图1

∴SC ⊥平面SAB 故 SB 是斜线BC 在平面SAB 上的射影，上的射影， ∴∠SBC 是直线BC 与平面SAB 所成的角为60°。（2）连结SM,CM ，则SM ⊥AB,

又∵SC ⊥AB,∴AB ⊥平面SCM, ∴面ABC ⊥面SCM

过S 作SH ⊥CM 于H, 则SH ⊥平面ABC

∴CH 即为即为 SC 在面ABC 内的射影。内的射影。 ∠SCH 为SC 与平面ABC 所成的角。所成的角。 sin ∠SCH=SH ／SC

∴SC 与平面ABC 所成的角的正弦值为√7／7

（“垂线”是相对的，SC 是面是面 SAB 的垂线，又是面的垂线，又是面 ABC 的斜线. 作面的垂线常根据面面垂直的性质定理，垂直的性质定理，其思路是：其思路是：先找出与已知平面垂直的平面，先找出与已知平面垂直的平面，然后一面内找出或作出交线的然后一面内找出或作出交线的垂线，则得面的垂线。） 2. 利用公式sin sinθθ=h ／ι

线面角的求法总结

线面角的三种求法

1．直接法：平面的斜线与斜线在平面内的射影所成的角即为直线与平面所成的角。通常是解由斜线段，垂线段，斜线在平面内的射影所组成的直角三角形，垂线段是其中最重要的元素，它可以起到联系各线段的作用。

例1 （如图1 ）四面体ABCS 中，SA,SB,SC 两两垂直，∠SBA=45°, ∠SBC=60°, M 为 AB 的中点，求（1）BC 与平面SAB 所成的角。

（2）SC 与平面ABC 所成的角。

解:（1） ∵SC ⊥SB,SC ⊥SA,

B

M

H

S

C

A

图1

∴SC ⊥平面SAB 故 SB 是斜线BC 在平面SAB 上的射影， ∴∠SBC 是直线BC 与平面SAB 所成的角为60°。（2）连结SM,CM ，则SM ⊥AB,

又∵SC ⊥AB,∴AB ⊥平面SCM, ∴面ABC ⊥面SCM

过S 作SH ⊥CM 于H, 则SH ⊥平面ABC ∴CH 即为 SC 在面ABC 内的射影。 ∠SCH 为SC 与平面ABC 所成的角。 sin ∠SCH=SH ／SC

∴SC 与平面ABC 所成的角的正弦值为√7／7

（“垂线”是相对的，SC 是面 SAB 的垂线，又是面 ABC 的斜线. 作面的垂线常根据面面垂直的性质定理，其思路是：先找出与已知平面垂直的平面，然后一面内找出或作出交线的垂线，则得面的垂线。） 2. 利用公式sin θ=h ／ι

其中θ是斜线与平面所成的角， h 是垂线段的长，ι是斜线段的长，其中求出垂线段的长（即斜线上的点到面的距离）既是关键又是难点，为此可用三棱锥的体积自等来求垂线段的长。