空间向量解决空间距离问题(课堂PPT)

D1A1 n n
14 14
Cy
B
8
四种距离的统一向量形式：
点到平面的距离：
直线到平面的距离：
d
平面到平面的距离： 异面直线的距离：
| AP n | n
9
小结
利用法向量来解决上述立体几何题目，最大 的优点就是不用象在进行几何推理时那样去 确定垂足的位置，完全依靠计算就可以解决 问题。但是也有局限性，用代数推理解立体 几何题目，关键就是得建立空间直角坐标系， 把向量通过坐标形式表示出来，所以能用这 种方法解题的立体几何模型一般都是如：正 （长）方体、直棱柱、正棱锥等。
则 D 1(0 ,0 ,1 ),B (1 ,1 ,0 ),A 1 (1 ,0 ,1 ),E (0 ,1 2,1 )
z
设 n A1 E(x ,y ,1z ,)是 12,与 0A ,1 E ,D D 11 B B 都 垂 1,1 直 , 的 1向 量 ， D 1
则 n A1E 0,
x 1 y 0 , 2
l
P
n
d
A
其中 A P为斜向量， n 为法向量。
O
4
三、平面到平面的距离
d | AP n |
n
A
n
P
d
O
5
四、异面直线的距离
d | AP n | a
n
AP ?
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n?
A
n 是与 a , b 都垂直的向量
n
P
6
作业 1.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为 1，E为D1C1的中点，求下列问题：
空间距离问题的向量解法
1
一、求点到平面的距离
一般方法：
利用定义先作出过 这个点到平面的垂 线段，再计算这个
垂线段的长度。
还可以用等积法求距离.
P
d
O
2
向量法求点到平面的距离
d | AP n |
n
P n
d
O
A
其中 A P为斜向量， n 为法向量。
3
二、直线到平面的距离
d | AP n |
n
10
A1
n D1B 0, x y z 0 ,
E
C1 B1
x 选 即A 1 E 与 zy B 3D 2xx1 的 ,, 取 两 x 点 ＝ 1 向 ， 量 得 为 其 D 中 1 A 一 1 个 1 n , 0 , 0 ( 1 , , 2 , A3 )D
得 A 1E与 BD 1的 距 离d
求异面直线D1B与A1E的距离.
z
D1
A1
D
A
x
E
C1
B1
Cy
B
7
解 ： 1 ) 以 D 为 坐 标 原 点 ， D A 所 在 的 直 线 为 x 轴 ， D C 所 在 的 直 线 为 y 轴 ，
D D 1 所 在 的 直 线 为 z 轴 ， 建 立 空 间 直 角 坐 标 系 D x y z ， 如 图 所 示