【精品】2020版江苏高考数学名师大讲坛一轮复习教程：随堂巩固训练3含解析

随堂巩固训练(3)
1. 命题“θ∈⎣⎡⎦⎤π2，π，使得sinθ＋cosθ≥1”的否定是__θ∈⎣⎡⎦
⎤π2，π，使得sin__θ＋cos__θ<1__．
2. 命题“若a>b, 则2a >2b ”的否命题为__若a ≤b ，则2a ≤2b __.
3. 命题“x ∈⎝⎛⎭
⎫0，π2，sinx<1”的否定是__假__命题．(填“真”或“假”) 解析：命题“x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，sinx<1”的否定是“x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，sinx ≥1”．因为x ∈⎝⎛⎭
⎫0，π2，所以sinx ∈(0，1)，所以原命题的否定是假命题．
4. 命题p ：“若ac ＝b ，则a 、b 、c 成等比数列”，则命题p 的否命题是__假__命题. (填“真”或“假”)
解析：命题p ：“若ac ＝b ，则a ，b ，c 成等比数列”的否命题是“若ac ≠b ，则a ，b ，c 不成等比数列”．举出反例，若a ＝－2，b ＝－4，c ＝－8，满足ac ≠b ，但a ，b ，c 是等比数列，故原命题的否命题是假命题．
5. 设x ∈R ，函数y ＝lg(mx 2－4mx ＋m ＋3)有意义，则实数m 的取值范围是__[0，1)__．
解析：由题意得x ∈R ，使得mx 2－4mx ＋m ＋3>0恒成立．当m ＝0时，3>0恒成立；
当m ≠0时，Δ＝(－4m)2－4m(m ＋3)<0，且m>0，解得0<m<1.综上，实数m 的取值范围是
[0，1)．
6. 若命题“x ∈R ，ax 2＋4x ＋a ≤0”为假命题，则实数a 的取值范围是__(2，＋∞)__． 解析：因为“x ∈R ，ax 2＋4x ＋a ≤0”为假命题，则“x ∈R ，ax 2＋4x ＋a>0”为真
命题．当a ＝0时，4x>0，解得x>0，不符合题意；当a ≠0时，⎩
⎪⎨⎪⎧Δ＝42－4a 2<0，a>0，解得a>2，故实数a 的取值范围是(2，＋∞)．
7. 已知命题p ：不等式|x －1|>m 的解集为R ；命题q ：f(x)＝2－m x
在区间(0，＋∞)上是减函数．若命题“p 或q ”为真命题，“p 且q ”为假命题，则实数m 的取值范围是__[0，2)__．
解析：因为不等式|x －1|>m 的解集为R ，所以m<0，即命题p ：m<0；若f(x)＝2－m x
在区间(0，＋∞)上是减函数，则2－m>0，解得m<2，即命题q ：m<2.因为命题“p 或q ”为
真命题，“p 且q ”为假命题，则命题p ，q 一真一假．若p 真，q 假，则⎩
⎪⎨⎪⎧m<0，m ≥2，此时无解；若p 假，q 真，则⎩
⎪⎨⎪⎧m ≥0，m<2，解得0≤m<2.综上，实数m 的取值范围是[0，2)． 8. 已知命题p ：c 2<c ；命题q ：对x ∈R ，x 2＋4cx ＋1>0.若p ，q 中有且仅有一个是真
命题，则实数c 的取值范围是__⎝⎛⎦⎤－12，0∪⎣⎡⎭
⎫12，1__． 解析：由c 2<c ，解得0<c<1，即命题p ：0<x<1；因为x ∈R ，x 2＋4cx ＋1>0，所以Δ＝16c 2－4<0，解得－12<c<12，即命题q ：－12<c<12
.因为命题p ，q 中有且仅有一个是真命题，所以若p 真，q 假，则⎩⎪⎨⎪⎧0<c<1，c ≥12或c ≤－12，解得12≤c<1；若p 假，q 真，则⎩⎪⎨⎪⎧c ≥1或c ≤0，－12<c<12
，解得
－12
<c ≤0.综上所述，实数c 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－12，0∪⎣⎡⎭⎫12，1. 9. 已知命题p ：函数y ＝log a (1－2x)在定义域上单调递增；命题q ：不等式(a －2)x 2＋2(a －2)x －4<0对任意实数x 恒成立．若“p ∨q ”是真命题，则实数a 的取值范围是__(－2，2]__．
解析：因为函数y ＝log a (1－2x)在定义域上单调递增，所以0<a<1，即命题p ：0<a<1；因为不等式(a －2)x 2＋2(a －2)x －4<0对任意实数x 恒成立，所以a ＝2或⎩
⎪⎨⎪⎧a －2<0，Δ＝[2（a －2）]2－4（a －2）×（－4）<0，解得－2<a ≤2，即命题q ：－2<a ≤2.因为“p ∨q ”是真命题，所以－2<a ≤2，故实数a 的取值范围是(－2，2]．
10. 若x ∈[1，2]，使得不等式x 2－mx ＋4>0成立，则实数m 的取值范围是__(－∞，5)__．
解析：不等式x 2－mx ＋4>0可化为mx<x 2＋4，即x ∈[1，2]，使得m<x 2＋4x
成立．记函数f(x)＝x 2＋4x ＝x ＋4x ，x ∈[1，2]，只需m 小于函数f(x)的最大值．由f′(x)＝1－4x 2＝0，得x ＝2，当x ∈[1，2]时，f′(x)<0，函数f(x)单调递减，故最大值为f(1)＝5，所以实数m 的取值范围是(－∞，5)．
11. 设命题p ：函数y ＝kx ＋1在R 上是增函数；命题q ：x ∈R ，x 2＋(2k －3)x ＋1＝0，如果“p ∧q ”是假命题，“p ∨q ”是真命题，求实数k 的取值范围．
解析：因为函数y ＝kx ＋1在R 上是增函数，
所以k>0. 因为x ∈R ，x 2＋(2k －3)x ＋1＝0，
所以方程x 2＋(2k －3)x ＋1＝0有解，
所以Δ＝(2k －3)2－4≥0，解得k ≤12或k ≥52
. 因为“p ∧q ”是假命题，“p ∨q ”是真命题，
所以命题p ，q 一真一假．
①若p 真q 假，则⎩⎪⎨⎪⎧k>0，12<k<52，
解得12<k<52； ②若p 假q 真，则⎩⎪⎨⎪⎧k ≤0，k ≤12
或k ≥52，解得k ≤0. 综上所述，实数k 的取值范围为(－∞，0]∪(12，52
)． 12. 设a 为实数，给出命题p ：关于x 的不等式⎝⎛⎭⎫12|x －1|≥a 的解集为；命题q ：函数f(x)
＝lg ⎣
⎡⎦⎤ax 2＋（a －2）x ＋98的定义域为R ，若命题“p ∨q ”为真，“p ∧q ”为假，求实数a 的取值范围．
解析：若p 为真命题，则由0<⎝⎛⎭⎫12|x －1|≤1，解得a>1，即命题p ：a>1.
若q 为真命题，则关于x 的不等式ax 2＋(a －2)x ＋98
>0的解集为R . 当a ＝0时，－2x ＋98>0，即x<916
，不符合题意，舍去； 当a ≠0时，⎩
⎪⎨⎪⎧a>0，Δ＝（a －2）2－4a ×98<0，
解得12<a<8，所以命题q ：12
<a<8. 因为命题“p ∨q ”为真，“p ∧q ”为假，
所以p 和q 中有且仅有一个是真命题，
所以⎩⎪⎨⎪⎧a>1，a ≤12或a ≥8或⎩⎪⎨⎪⎧a ≤1，12
<a<8， 解得a ≥8或12
<a ≤1. 综上所述，实数a 的取值范围为[8，＋∞)∪⎝⎛⎦⎤12，1. 13. 已知m 为实常数，命题p ：方程x 22m －y 2
m －6
＝1表示焦点在y 轴上的椭圆；命题q ：方程x 2m ＋1＋y 2
m －1
＝1表示双曲线． (1) 若命题p 为真命题，求实数m 的取值范围；
(2) 若命题q 为假命题，求实数m 的取值范围；
(3) 若命题“p 或q ”为真命题，命题“p 且q ”为假命题，求实数m 的取值范围．
解析：(1) 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧m －6<0，2m>0，－（m －6）>2m ，
解得0<m<2，故当命题p 为真命题时，实数m
的取值范围为(0，2)．
(2) 若命题q 为真命题，则(m ＋1)(m －1)<0，
解得－1<m<1，故当命题q 为假命题时，实数m 的取值范围为(－∞，－1]∪[1，＋∞)．
(3) 由题意知命题p 与q 一真一假，
当p 真q 假时，⎩
⎪⎨⎪⎧0<m<2，m ≤－1或m ≥1，解得1≤m<2； 当p 假q 真时，⎩
⎪⎨⎪⎧m ≤0或m ≥2，－1<m<1，解得－1<m ≤0. 故实数m 的取值范围是(－1，0]∪[1，2)．。