电法勘探 勘探 物探

1.3电阻率测深法电阻率测深法(简称电测深)是常用来探明水平(或近似水平)层状岩石在地下分布情况的一种电阻率法。

该法是在同一测点上逐次扩大电极距，观测垂直方向由浅到深的视电阻率变化情况，通过分析电测深曲线来了解测点下部沿垂向变化的地质情况。

与电阻率剖面法相比，电阻率测深法用于了解该测点地下介质电阻率的垂向变化，而电阻率电阻率剖面法是了解沿测线方向地下介质电阻率的横向变化。

这两种方法相辅相成，使电阻率法成为一种能够详细研究地质构造的空间分布状态的方法。

电测深法有不同的装置类型，如三电极测深、对称四极电测深、偶极电测深和五极纵轴测深等。

本节主要讨论应用最广泛的对称四极电测深法。

图1.4.7 对称四极电测深装置1.3.1水平地层上的视电阻率曲线一、水平层状大地上点电流源场的解如图所示，假定地面是水平的，在地面以下有n 层水平层状地层，各层电阻率分别为1ρ、2ρ……n ρ；厚度分别为h 1、h 2、 ……h n-1；每层到地面的距离为H 1、H 2、……H n-1、H n =∞。

在A 点有一点电流源供电，其电流为I 。

引用柱坐标系，将原点设在A 点，Z 轴垂直向下，由于问题的解对Z 轴有对称性，与Φ无关，故电位分布满足如下形式的拉普拉斯方程图1.6.1 多层水平地层012222=∂∂+∂∂+∂∂zUr U r r U （1.6.1） 及如下边界条件：（1）除源点A 外，在空间各处电位应是有限和连续的，在无穷远处电位为零； （2）在岩层分界面处，电位是连续的，即11ii ii z H z H U U ++=== (1,2,21i n =⋅⋅⋅- (1.6.2)（3）在岩层分界处，电流密度法向分量是连续的，即Hiz Hiz zU zU i i i i ==∂∂=∂∂++1111ρρ (1,2,21i n =⋅⋅⋅-(1.6.3)（4）在地表处，由于空气不导电，电流密度法向分量为零010=∂∂=z zU ii ρ (1.6.4)此种边界条件下，方程有解析解。

用分离变量求解上述问题，得通解00(,)()()()mz mzU r z A m e B m e J mr dm ∞-⎡⎤=+⎣⎦⎰ （1.6.8） 式中A(m)和B(m)为待定变量m 的函数。

显然，地电断面一定，U(r ，z)可被唯一确定。

一般地，对于n 层水平介质，第一层中的电位1U （r ,z ）可表示为： 11100(,)()()()mz mz U r z A m e B m e J mr dm ∞-⎡⎤=+⎣⎦⎰ (1.6.9) 根据地面绝缘边界条件，由(1.6.9)式可得到[]111000(,)()()()z U r z mA m mB m J mr dm z ∞=∂=-+∂⎰ []1100()()()0A m B m mJ mr d λ∞=-=⎰(1.6.10)根据贝塞尔函数的性质0)(00=⎰∞dm mr J Cm (1.6.11)式中C 为常数，对比(1.6.10)和(1.6.11)式得C m B m A =-)()(11因此第一层中的电位表达式为[]dmmr J e m B e m B C z r U mz mz )()()((),(00111⎰∞-++=dm mR J e e m B dm mr J e C mz mz mz )())(()(00100++=-∞∞-⎰⎰应用韦伯-莱布尼兹积分()001mze J mr dm R∞-==⎰因此()()()()dm mr J e e m B R C z r U mz mz 00111,++⋅=-∞⎰ (1.6.12) 当0R →时，相当于均匀无限半空间情况，这时有()RI z r U Lim R 12,110πρ=→因此()()⎭⎬⎫⎩⎨⎧++⋅-∞→⎰dm mr J e e m B R C Lim mz mz R 0010)(1 ()()RC Lim dm mr J e e m B Lim R C Lim R mz mz R R 1)(1000100⋅=++⋅=→-∞→→⎰显然有πρ21I C =。

因此第一层中的电位表达式为 ()()()()dm mr J e mr B e m B I z r U mz mz 001111])2[(,⎰∞-++=πρ（1.6.13）当1H ≤z ≤1n H -时，第i 层中的电位表达式为dm mr J e m B e m A z r U mz i mz i i )(])()([),(00⎰∞-+= (1.6.14)当1n z H ->，z →∞，根据极限条件，第n 层中的电位表达式为dm mr J em A z r U mzn n )()(),(00-∞⎰= (1.6.15)我们对于n 层地电断面，有系数A i (i=1,2,……,n)和B i (i=1,2,……,n )共2n 个。

根据地面绝缘边界条件去掉一个A 1,根据极限边界条件去掉一个B n ，这样还剩2（n-1）个。

而根据衔接条件将（1.6.2）和（1.6.3）式代入（1.5.13）、（1.5.14 ）、（1.5.15）式正好可建立2（n-1）个线性方程组。

解此方程组便可求出系数A i (i=1,2,……,n)和B i (i=1,2,……,n )。

由于电测深工作是在地面上进行，故只需列出地面（z=0）上的电位分布，即仅需列出b 1(λ)。

例如两层和三层情况下B 1(2)(λ)和B 1(3)(λ)分别为1122112121221mh mh I k e B k e ρπ---(m )=(1.6.16) 112112222()312231122()21223122321mh m h h mh m h h mh k e k e I B k e k e k k eρπ--+--+-+--+⋅(m )= (1.6.17) 二、电阻率转换函数及视电阻率表达式在地面上，z=0，由（？？？）式可知⎰∞+=00121)()](2[)0,(1dm mr J m B r U Iπρ (1.6.30 )令 )(2)(11m B Im B πρ=则 ⎰∞+=021)()](21[)0,(1dm mr J m B r U I πρ将上式对r 微分，并代入MN →0时的s ρ表达式⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-==r U I r I E r r s 12222)(ππρ便得⎰∞+=0121)()](21[)(mdm mr J m B rr s ρρ令)](21[)(11m B m T +=ρ 则⎰∞=0112)()()(mdm mr J m T rr s ρ)(1m T 定义为电阻率转换函数，)(m B 称为核函数。

电阻率转换函数或核函数只与各层电阻率及厚度有关，与r 无关，因而是一个表征地电断面性质的函数。

为求)(1m T ，可直接解线性方程组，但更有用处的是它们的双曲函数表示法和递推公式。

根据定义，将(1.6.16 )和（1.6.17）代入到（1.6.34）式中，便得到二层和三层情况的)()2(1λT和)()3(1λT112122121)2(111)(mh mh ek e k m T ---+=ρ (1.6.36) 2211221122312)(22321222312)(2232121)3(111)(mh h h m mh mh h h m mh e k k e k e k e k k e k e k m T -+---+--+--+++=ρ (1.6.37) 用数学归纳法可将其写成双曲函数形式，n 层介质下T 1(n)的双曲函数表达式：()1111111221(1)11n cth cth cth cth cth cth T mh mh mh th th n th n n th th th ρμμμ⎧⎫⎡⎤---⎛⎫=++⋅⋅⋅++ ⎪⎨⎬⎢⎥-----⎝⎭⎣⎦⎩⎭(1.6.38) 式中 122ρρμ=，233ρρμ=，…，211--=-n ρn ρn μ，1-=n ρn ρn μ。

当1>i μ时取双曲余切函数，当1<i μ时取双曲正切函数。

电阻率转换函数的递推公式：无论几层介质，T 1(m)总是指地面的电阻率转换函数。

为了用递推公式计算，规定用T i (m)表示在第i 层以上各层(包括i-1，i-2，…，2，1层)全部去掉，只存在i ，i+1，…，n-1，n 层时，在i 层表面的电阻率转换函数。

显然，当n 层以上全去掉时，便剩下均匀半无限介质，因此()n n T m ρ=当存在n -1和n 两层时，T n -1(m )为)1()1()1()1()(111122122111-------------++++-=n n n n mh n mh n mh n mh n n n e e e e m T ρρρρρ这样一层一层地向上加，可以写出任一层的T 函数。

归纳这些函数可得出向上递推公式)1)(()1()1)(()1()(21221211i i mh i mh i mh i mh i i i e m T e e m T e m T -+--+--++++-=ρρρ或者写为)()()]()([)(11i i i i i ii i mh th m T m T mh th m T ++++=ρρρ 由上式可解出向下递推的公式)()()]()([)(1i i i i i ii i mh th m T mh th m T m T --=+ρρρ (1.6.40) 三、电测深曲线的图示对于层参数为已知的n 层地电断面，根据（1.6.33）式可算出()r s ρ随r 变化的关系曲线。

一般地，理论曲线是112~h ABs ρρ的关系曲线，坐标原点为（h 1,1ρ），也就是s ρ=1ρ的水平线（横轴）与12h AB =垂直线（纵轴）之交点。

实测曲线是s ρ~2AB的关系曲线。

理论曲线和实测曲线两者都是绘在一定模数的双对数坐标纸上。

实际工作中，常用6.25cm 模数的对数坐标纸。

（一）电测深曲线类型 （1）二层电测深曲线类型如图（a ）所示，二层水平地层上层岩石电阻率为1ρ，厚度为1h ，基岩的电阻率为2ρ，厚度为无限大。

根据两层岩石电阻率比值（122/ρρμ=）的不同，二层水平地层上的电测深s ρ曲线分为两种类型：若基岩石电阻率2ρ大于上覆岩层电阻率1ρ，即2μ>1，则电测深s μ曲线为G 型。

若基岩电阻率2ρ小于上覆岩电阻率1ρ，即12μ<1，则电测深s ρ曲线为D型。

（2）三层电测深曲线类型如图（b ）所示，三层断面包括五个参数，即1ρ、2ρ、3ρ、h 1及h 2。

三层曲线的基本形态由1ρ、2ρ、3ρ三者相对大小决定的，可划分为以下四种类型。

H 型：1ρ>2ρ<3ρ A 型：1ρ<2ρ<3ρ K 型：1ρ<2ρ>3ρ Q 型：1ρ>2ρ>3ρ图1.6.2 电测深曲线类型（3）四层及多层电测深曲线类型通称三层以上的水平地层断面为n 层断面，N 层曲线总共有2(n-1)种曲线类型。