高中数学必修5自主学习导学案：2.5 等比数列前n项和
人教a版必修5学案：2.5等比数列的前n项和(1)(含答案)
2.5 等比数列的前n 项和(一)自主学习知识梳理1．等比数列前n 项和公式：(1)公式：S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧＝ (q ≠1)(q ＝1).(2)注意：应用该公式时，一定不要忽略q ＝1的情况． 2．等比数列前n 项和的一个常用性质：在等比数列中，若等比数列{a n }的公比为q ，当q ＝－1，且m 为偶数时，S m ＝S 2m ＝S 3m＝0，此时S m 、S 2m －S m 、S 3m －S 2m 不成等比数列；当q ≠－1或m 为奇数时，S m 、S 2m －S m 、S 3m －S 2m 成等比数列．3．推导等比数列前n 项和的方法叫__________法．一般适用于求一个等差数列与一个等比数列对应项积的前n 项和．自主探究阅读教材后，完成下面等比数列前n 项和公式的推导过程．方法一：设等比数列a 1，a 2，a 3，…，a n ，…，它的前n 项和是S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n .由等比数列的通项公式可将S n 写成S n ＝a 1＋a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1q n －1.① ①式两边同乘以q 得qS n ＝________________________________.②①－②，得(1－q )S n ＝____________，由此得q ≠1时，S n ＝__________，因为a n ＝________，所以上式可化为S n ＝________.当q ＝1时，S n ＝__________.方法二：由等比数列的定义知a 2a 1＝a 3a 2＝…＝a na n －1＝q .当q ≠1时， a 2＋a 3＋…＋a n a 1＋a 2＋…＋a n －1＝q ，即S n －a 1S n －a n ＝q .故S n ＝____________.当q ＝1时，S n ＝____________.方法三：S n ＝a 1＋a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1q n －1＝a 1＋q (a 1＋a 1q ＋…＋a 1q n －2) ＝a 1＋qS n －1＝a 1＋q (S n －a n )当q ≠1时，S n ＝____________＝____________. 当q ＝1时，S n ＝________.对点讲练知识点一 有关等比数列前n 项和的计算例1 在等比数列{a n }中，S 3＝72，S 6＝632，求a n .总结涉及等比数列前n项和时，要先判断q＝1是否成立，防止因漏掉q＝1而出错．变式训练1在等比数列{a n}中，a1＋a n＝66，a3a n－2＝128，S n＝126，求n和q.知识点二利用等比数列前n项和的性质解题例2在等比数列{a n}中，已知S n＝48，S2n＝60，求S3n.总结通过两种解法比较，可看出，利用等比数列前n项和的性质解题，思路清晰，过程较为简捷．变式训练2等比数列的前n项和为S n，若S10＝10，S20＝30，S60＝630，求S70的值．知识点三 错位相减法的应用例3 求和：S n ＝x ＋2x 2＋3x 3＋…＋nx n (x ≠0，n ∈N *)．总结 一般地，如果数列{a n }是等差数列，{b n }是等比数列，求数列{a n b n }的前n 项和时，可采用这一思路和方法．变式训练3 求数列1,3a,5a 2,7a 3，…，(2n －1)a n －1的前n 项和．1．在等比数列的通项公式和前n 项和公式中，共涉及五个量：a 1，a n ，n ，q ，S n ，其中首项a 1和公比q 为基本量，且“知三求二”．2．前n 项和公式的应用中，注意前n 项和公式要分类讨论，即q ≠1和q ＝1时是不同的公式形式，不可忽略q ＝1的情况．3．教材中的推导方法叫做错位相减法，这种方法是我们应该掌握的重要方法之一．它适合数列{a n b n }的求和，其中{a n }代表等差数列，{b n }代表等比数列，即一个等差数列与一个等比数列对应项的乘积构成的新数列的求和可用此法.课时作业一、选择题1．设{a n }是公比为正数的等比数列，若a 1＝1，a 5＝16，则数列{a n }前7项的和为( ) A ．63 B ．64 C ．127 D ．1282．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝2，S 6＝18，则S 10S 5等于( )A ．－3B ．5C ．－31D ．333．已知公比为q (q ≠1)的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前n 项和为( )A.q n S nB.S n q nC.1S n q n －1D.S n a 21qn －1 4．在等比数列{a n }中，公比q 是整数，a 1＋a 4＝18，a 2＋a 3＝12，则此数列的前8项和为( )A ．514B ．513C ．512D ．510 5．在等比数列中，S 30＝13S 10，S 10＋S 30＝140，则S 20等于( ) A ．90 B ．70 C ．40 D ．30题 号 1 2 3 4 5 答 案二、填空题6．设等比数列{a n }的公比q ＝2，前n 项和为S n ，则S 4a 2＝________.7．若等比数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝－512，前n 项和为S n ＝－341，则n 的值是________． 8．如果数列{a n }的前n 项和S n ＝2a n －1，则此数列的通项公式a n ＝________. 三、解答题 9．设等比数列{a n }的公比q <1，前n 项和为S n .已知a 3＝2，S 4＝5S 2，求{a n }的通项公式．10．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，S n ＝13(a n －1) (n ∈N *)．(1)求a 1，a 2；(2)求证：数列{a n }是等比数列．§2.5 等比数列的前n 项和(一)知识梳理1．(1)a 1(1－q n )1－q a 1－a n q 1－qna 13．错位相减 自主探究a 1q ＋a 1q 2＋a 1q 3＋…＋a 1qn －1＋a 1q na 1－a 1q na 1(1－q n )1－q a 1q n －1 a 1－a n q 1－qna 1a 1－a n q1－qna 1 a 1－a n q 1－q a 1(1－q n )1－q na 1 对点讲练例1 解 由已知S 6≠2S 3，则q ≠1，又S 3＝72，S 6＝632，即⎩⎪⎨⎪⎧a 1(1－q 3)1－q＝72， ①a 1(1－q 6)1－q ＝632. ②②÷①得1＋q 3＝9，∴q ＝2.可求得a 1＝12，因此a n ＝a 1q n －1＝2n －2.变式训练1 解 ∵a 3·a n －2＝a 1·a n ， ∴a 1a n ＝128，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧a 1a n ＝128，a 1＋a n＝66，得①⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝64，a n ＝2，或②⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，a n＝64.将①代入S n ＝a 1－a n q 1－q＝126，可得q ＝12，由a n ＝a 1q n －1可解得n ＝6.将②代入S n ＝a 1－a n q1－q ，可得q ＝2，由a n ＝a 1q n －1可解得n ＝6.故n ＝6，q ＝12或2.例2 解 方法一 因为S 2n ≠2S n ，所以q ≠1，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a 1(1－q n )1－q＝48a 1(1－q2n)1－q＝60①②②÷①得1＋q n ＝54，即q n ＝14.③将③代入①得a 11－q ＝64，所以S 3n ＝a 1(1－q 3n )1－q＝64×⎝⎛⎭⎫1－143＝63. 方法二 因为{a n }为等比数列，且q ≠1， 所以S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 也成等比数列， 所以(S 2n －S n )2＝S n (S 3n －S 2n )，所以S 3n ＝(S 2n －S n )2S n ＋S 2n ＝(60－48)248＋60＝63.变式训练2 解 设b 1＝S 10，b 2＝S 20－S 10，…，则b 7＝S 70－S 60.因为q ≠1，所以S 10，S 20－S 10，S 30－S 20，…，S 70－S 60成等比数列，所以b 1，b 2，…，b 7成等比数列，首项为b 1＝10，公比为q ＝b 2b 1＝2010＝2.求得b 7＝10·26＝640.由S 70－S 60＝640，得S 70＝1 270.例3 解 (1)当x ＝1时，S n ＝1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2.(2)当x ≠1时，S n ＝x ＋2x 2＋3x 3＋…＋nx n ，①xS n ＝x 2＋2x 3＋3x 4＋…＋(n －1)x n ＋nx n ＋1，②①－②得，(1－x )S n ＝x ＋x 2＋x 3＋…＋x n －nx n ＋1 ＝x (1－x n )1－x－nx n ＋1.∴S n ＝x (1－x n )(1－x )2－nx n ＋11－x.综上可得S n＝⎩⎪⎨⎪⎧n (n ＋1)2 (x ＝1)x (1－x n)(1－x )2－nxn ＋11－x (x ≠1且x ≠0).变式训练3 解 (1)当a ＝0时，S n ＝1.(2)当a ＝1时，数列变为1,3,5,7，…，(2n －1)，则S n ＝n [1＋(2n －1)]2＝n 2.(3)当a ≠1且a ≠0时，有S n ＝1＋3a ＋5a 2＋7a 3＋…＋(2n －1)a n －1，① aS n ＝a ＋3a 2＋5a 3＋7a 4＋…＋(2n －1)a n ，② ①－②得S n －aS n ＝1＋2a ＋2a 2＋2a 3＋…＋2a n －1－(2n －1)a n ， (1－a )S n ＝1－(2n －1)a n＋2(a ＋a 2＋a 3＋a 4＋…＋a n －1)＝1－(2n －1)a n＋2·a (1－a n －1)1－a＝1－(2n －1)a n＋2(a －a n )1－a，又1－a ≠0，∴S n ＝1－(2n －1)a n 1－a ＋2(a －a n )(1－a )2.综上，S n＝⎩⎪⎨⎪⎧1 (a ＝0)n 2(a ＝1)1－(2n －1)a n1－a ＋2(a －a n )(1－a )2(a ≠0且a ≠1).课时作业1．C [设公比为q ，则由a 1＝1，a 5＝16得a 5＝a 1q 4， 即16＝q 4，由q >0，得q ＝2.则S 7＝a 1(1－q 7)1－q ＝1－271－2＝127.]2．D [由题意知公比q ≠1，S 6S 3＝a 1(1－q 6)1－q a 1(1－q 3)1－q＝1＋q 3＝9， ∴q ＝2，S 10S 5＝a 1(1－q 10)1－q a 1(1－q 5)1－q ＝1＋q 5＝1＋25＝33.] 3．D [数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 也是等比数列，且首项为1a 1，公比为1q ，其前n 项和为：1a 1⎝⎛⎭⎫1－1q n 1－1q＝1a 21q n －1·a 1(q n －1)q －1＝S na 21qn －1.] 4．D [由a 1＋a 4＝18和a 2＋a 3＝12，得方程组⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋a 1q 3＝18a 1q ＋a 1q 2＝12，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2q ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝16q ＝12.∵q 为整数，∴q ＝2，a 1＝2，S 8＝2(28－1)2－1＝29－2＝510.]5．C [q ≠1 (否则S 30＝3S 10)，∵⎩⎪⎨⎪⎧S 30＝13S 10S 10＋S 30＝140，∴⎩⎪⎨⎪⎧S 10＝10S 30＝130，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1(1－q 10)1－q ＝10a 1(1－q 30)1－q＝130，∴q 20＋q 10－12＝0.∴q 10＝3或q 10＝－4(舍去)，∴S 20＝a 1(1－q 20)1－q＝S 10(1＋q 10)＝10×(1＋3)＝40.] 6.152解析 由等比数列的定义，S 4＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝a 2q＋a 2＋a 2q ＋a 2q 2，得S 4a 2＝1q ＋1＋q ＋q 2＝152. 7．10解析 ∵S n ＝a 1－a n q1－q ，∴－341＝1＋512q1－q ，∴q ＝－2，又∵a n ＝a 1q n －1，∴－512＝(－2)n －1， ∴n ＝10.8．2n －1解析 当n ＝1时，S 1＝2a 1－1， ∴a 1＝2a 1－1， ∴a 1＝1.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2a n －1)－(2a n －1－1) ∴a n ＝2a n －1，∴{a n }是等比数列，∴a n ＝2n －1，n ∈N *.9．解 方法一 由已知a 1≠0，S n ＝a 1(1－q n )1－q ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 2＝2， ①a 1(1－q 4)1－q＝5×a 1(1－q 2)1－q ， ② 由②得1－q 4＝5(1－q 2)．∴(q 2－4)(q 2－1)＝0.又q <1.∴q ＝－1或q ＝－2.当q ＝－1时，a 1＝2，a n ＝2×(－1)n －1.当q ＝－2时，a 1＝12，a n ＝12×(－2)n －1.方法二 ∵S 4＝5S 2，∴a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝5(a 1＋a 2)．∴a 3＋a 4＝4(a 1＋a 2)．(1)当a 1＋a 2＝0，即a 2＝－a 1， 即q ＝－1时，a 3＋a 4＝0适合；∵a 3＝2，∴a 1＝2(－1)2＝2，∴a n ＝2×(－1)n －1.(2)当a 1＋a 2≠0时，a 3＋a 4a 1＋a 2＝4.即q 2＝4.又q <1，∴q ＝－2，a 1＝2(－2)2＝12，此时，a n ＝12×(－2)n －1. 10．(1)解 由S 1＝13(a 1－1)，得a 1＝13(a 1－1)，∴a 1＝－12.又S 2＝13(a 2－1)，即a 1＋a 2＝13(a 2－1)，得a 2＝14.(2)证明 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1 ＝13(a n －1)－13(a n －1－1)， 得a n a n －1＝－12，又a 2a 1＝－12，所以{a n }是首项为－12，公比为－12的等比数列．。
高二数学必修5导学案：2.5等比数列的前n项和(1)
复习2：已知等比数列中，33a =，681a =，求910,a a .二、新课导学 ◆ 学习探究探究任务： 等比数列的前n 项和故事：“国王对国际象棋的发明者的奖励”[分析问题]如果把各格所放的麦粒数看成是一个数列，我们可以得到一个等比数列，它的首项是1，公比是2，求第一个格子到第64个格子各格所放的麦粒数总合就是求这个等比数列的前64项的和。
新知：等比数列的前n 项和公式设等比数列123,,,n a a a a 它的前n 项和是n S =123n a a a a +++，公比为q ≠0，公式的推导(错位相减法)则22111111n n n nS a a q a q a q a q qS --⎧=++++⎪⎨=⎪⎩(1)n q S ∴-=当1q ≠时，n S = ①或n S = ②当q =1时，n S =当已知1a , q, n 时用公式 ； 当已知1a , q, n a 时，用公式试试：求等比数列12，14，18，…的前8项的和.◆ 典型例题例1在等比数列｛a n ｝中，（１）已知1a ＝－4，q ＝12，求10S ；（２）已知1a ＝１，k a ＝243，q ＝3，求k S变式：13a =，548a =. 求此等比数列的前5项和.◆ 动手试试练1. 已知a 1=27，a 9=1243，q <0，求这个等比数列前5项的和.例2在等比数列｛a n ｝中，263,2763==S S ，求a n .例3设数列}{n a 的前n 项和为a S n n +=3.当常数a 满足什么条件时，}{n a 才是等比数列？例4已知数列｛a n ｝中， a n ＋1＝a n ＋2n ， a 1＝3，求a n .例5在等比数列｛a n ｝中，a 1+a n =66,a 2·a n －1=128,且前n 项和S n =126,求n 及公比q .例6已知等比数列｛a n ｝的各项均为正数，S n ＝80，S 2n ＝6560，且在前n 项中最大项为54，求此数列的公比q 和项数n .◆ 动手试试练1. 求下列等比数列的各项和： （１）１，３，９， (2187)（２）１，21-，41，81-，…，5121-.练2.等比数列中，33139,.22a S a q ==,求及三、学习小结1. 等比数列的前n 项和公式；2. 等比数列的前n 项和公式的推导方法；3. 证明等比数列的方法有：（1）定义法：1n na q a +=； （2）中项法：212n n n a a a ++=.4. 数列的前n 项和构成一个新的数列，可用递推公式111(1)nn n S a S S a n -=⎧⎨=+>⎩表示.◆ 当堂检测1．某厂去年的产值记为１，计划在今后五年内每年的产值比上年增长１０％，则从今年起到第五年，这个厂的总产值为（ ） Ａ．41.1 Ｂ．51.1 Ｃ．)11.1(115-⨯ Ｄ．)11.1(106-⨯4.在等比数列｛a n ｝中，S n 表示前n 项和，若a 3=2S 2＋1，a 4=2S 3+1,则公比q 等于（ ） A.3 B.－3 C.－1 D.15. 等比数列中，已知1220a a +=，3440a a +=，则56a a +=（ ）. A. 30 B. 60 C. 80 D. 1606.等比数列｛a n ｝中，a 3=7,前 3项之和S 3=21, 则公比q 的值为（ ）A.1B.－21C.1或－21D.－1或21。
人教版高中数学必修5导学案 2.5等比数列前n项和(1)
2.5 等比数列前n 项和(1)【学习目标】1. 探索并掌握等比数列的前n 项和公式2. 能够应用其公式解决等比数列的问题. 【重点难点】1．重点:等比数列前n 项和公式的推导过程和思想2．难点:在具体的问题情境中，如何灵活运用这些公式解决相应的实际问题. 【学习过程】 一、自主学习： 任务1:⑴ 等比数列的判断方法：⑵ 等比数列的通项公式： 及变形公式： 任务2：等比数列的前n 项和公式(公式中涉及到哪几个基本量 ，这几个基本量中知道其中几个可以求 出另外几个 ) 二、合作探究归纳展示 探究1：等比数列的前n 项和故事：“国王对国际象棋的发明者的奖励”新知：等比数列的前n 项和公式 设等比数列123,,,na a a a 它的前n 项和是n S =123n a a a a +++，公比为q ≠0，公式的推导方法一：则22111111n n n nS a a q a q a q a q qS --⎧=++++⎪⎨=⎪⎩(1)n q S ∴-= 当1q ≠时，n S = ①或n S = ②当q =1时，n S =公式的推导方法二：由等比数列的定义，32121nn a a a q a a a -====， 有231121n n n n na a a S a q a a a S a -+++-==+++-，即1n n nS a q S a -=-.∴ 1(1)n n q S a a q -=-（结论同上） 公式的推导方法三：n S =123n a a a a +++＝11231()n a q a a a a -++++＝11n a qS -+＝1()n n a q S a +-. ∴ 1(1)n n q S a a q -=-（结论同上）三、讨论交流点拨提升例1已知a 1=27，a 9=1243，q <0，求这个等比数列前5项的和.变式：13a =，548a =. 求此等比数列的前5项和.例2某商场今年销售计算机5000台，如果平均每年的销售量比上一年的销售量增加10%，那么从今年起，大约几年可使总销售量达到30000台(结果保留到个位)?四、学能展示课堂闯关 知识拓展1. 若1q ≠-，*m N ∈，则232,,,m m m m m S S S S S --⋅⋅⋅构成新的等比数列，公比为m q .2. 若三个数成等比数列，且已知积时，可设这三个数为,,aa aq q. 若四个同符号的数成等比数列，可设这四个数为33,,,a aaq aq q q .3. 证明等比数列的方法有：（1）定义法： 1n naq a +=；（2）中项法：212n n n a a a ++=.4. 数列的前n 项和构成一个新的数列，可用递推公式111(1)n n n S a S S a n -=⎧⎨=+>⎩表示.1. 数列1，a ，2a ，3a ，…，1n a -，…的前n 项和为（ ）.A. 11n a a --B. 111n a a+--C. 211n a a +-- D. 以上都不对2. 等比数列中，已知1220a a +=，3440a a +=，则56a a +=（ ）. A. 30 B. 60 C. 80 D. 1603. 设{}n a 是由正数组成的等比数列，公比为2，且30123302a a a a ⋅⋅⋅=，那么36930a a a a ⋅⋅⋅=（ ）.A. 102B. 202C. 1D. 6024. 等比数列的各项都是正数，若1581,16a a ==，则它的前5项和为 .5. 等比数列的前n 项和3n n S a =+，则a ＝五、学后反思1. 等比数列的前n 项和公式；2. 等比数列的前n 项和公式的推导方法；3. “知三求二”问题，即：已知等比数列之1,,,,n n a a q n S 五个量中任意的三个，列方程组可以求出其余的两个．【课后作业】1. 等比数列中，已知1441,64,.a a q S =-=求及2. 在等比数列{}n a 中，32,335261==+a a a a 求6S.。
高中数学人教A版必修5导学案：2.5 第1课时 等比数列的前n项和(一)
【自学目标】1.掌握等比数列的前n 项和公式及公式推导思路.2.会用等比数列的前n 项和公式解决有关等比数列的一些简单问题．1．等比数列前n 项和公式：(1)公式：S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧_________q≠1 ________q ＝1 . (2)注意：应用该公式时，一定不要忽略q ＝1的情况．2．等比数列前n 项和公式的变式若{a n }是等比数列，且公比q ≠1，则前n 项和S n ＝a 11－q (1－q n )＝A (q n －1)．其中A ＝a 1q －1. 3．错位相减法推导等比数列前n 项和的方法叫法．一般适用于求一个等差数列与一个等比数列对应项积的前n 项和．[情境导学]国际象棋起源于古代印度．相传国王要奖赏象棋的发明者，问他想要什么．发明者说：“请在象棋的第一个格子里放1颗麦粒，第二个格子放2颗麦粒，第三个格子放4颗麦粒，以此类推，每个格子放的麦粒数都是前一个格子的两倍，直到第64个格子．请给我足够的麦粒以实现上述要求”．国王觉得这个要求不高，就欣然同意了．假定千粒麦子的质量为40 g ，据查目前世界年度小麦产量约6亿吨，根据以上数据，判断国王是否能实现他的诺言． 探究点一 等比数列前n 项和公式的推导思考1 在情境导学中，如果把各格所放的麦粒数看成是一个数列，那么这个数列是怎样的一个数列？通项公式是什么？思考2 在情境导学中，国王能否满足发明者要求的问题，可转化为一个怎样的数列问题？思考3 类比求等差数列前n 项和的方法，能否用倒序相加法求数列1,2,4,8，…，263的和？为什么？思考4 如何求等比数列{a n }的前n 项和S n?例1 求下列等比数列前8项的和：(1)12，14，18，…； (2)a 1＝27，a 9＝1243，q <0.反思与感悟 涉及等比数列前n 项和时，要先判断q ＝1是否成立，防止因漏掉q ＝1而出错． 跟踪训练1 若等比数列{a n }满足a 2＋a 4＝20，a 3＋a 5＝40，则公比q ＝________；前n 项和S n ＝________.探究点二 等比数列前n 项和的实际应用例2 某商场今年销售计算机5 000台，如果平均每年的销售量比上一年的销售量增加10%，那么从今起，大约几年可使总销售量达到30 000台(结果保留到个位)?跟踪训练2 一个热气球在第一分钟上升了25 m 的高度，在以后的每一分钟里，它上升的高度都是它在前一分钟里上升高度的80%.这个热气球上升的高度能超过125 m 吗？探究点三 错位相减法求和思考 教材中推导等比数列前n 项和的方法叫错位相减法．这种方法也适用于一个等差数列{a n }与一个等比数列{b n }对应项之积构成的新数列求和．如何用错位相减法求数列{n 2n }前n 项和？例3 求和：S n ＝x ＋2x 2＋3x 3＋…＋nx n (x ≠0)．跟踪训练3 求数列1,3a,5a 2,7a 3，…，(2n －1)·a n－1的前n 项和．1．等比数列1，x ，x 2，x 3，…的前n 项和S n 为( )A.1－x n1－xB.1－x n －11－xC.⎩⎪⎨⎪⎧ 1－x n 1－x ，x ≠1，n ， x ＝1D.⎩⎪⎨⎪⎧1－x n －11－x ，x ≠1，n ， x ＝1 2．设等比数列{a n }的公比q ＝2，前n 项和为S n ，则S 4a 2等于( ) A ．2 B ．4 C.152 D.1723．等比数列{a n }的各项都是正数，若a 1＝81，a 5＝16，则它的前5项的和是( )A ．179B ．211C ．243D ．2754．某厂去年产值为a ，计划在5年内每年比上一年产值增长10%，从今年起5年内，该厂的总产值为________．[呈重点、现规律]1．在等比数列的通项公式和前n 项和公式中，共涉及五个量：a 1，a n ，n ，q ，S n ，其中首项a 1和公比q 为基本量，且“知三求二”．2．前n 项和公式的应用中，注意前n 项和公式要分类讨论，即q ≠1和q ＝1时是不同的公式形式，不可忽略q ＝1的情况．3．一般地，如果数列{a n }是等差数列，{b n }是等比数列且公比为q ，求数列{a n ·b n }的前n 项和时，可采用错位相减的方法求和．一、基础过关1．设数列{(－1)n }的前n 项和为S n ，则S n 等于( )A.n [(－1)n －1]2B.(－1)n ＋1＋12C.(－1)n ＋12D.(－1)n －122．在各项都为正数的等比数列{a n }中，首项a 1＝3，前3项和为21，则a 3＋a 4＋a 5等于( )A ．33B ．72C ．84D ．1893．设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，8a 2＋a 5＝0，则S 5S 2等于( ) A ．11B ．5C ．－8D ．－114．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 3＝a 2＋10a 1，a 5＝9，则a 1等于( )A.13B ．－13 C.19 D ．－195．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝1，S 6＝4S 3，则a 4＝________.6．如果数列{a n }满足a 1，a 2－a 1，a 3－a 2，…，a n －a n －1，…，是首项为1，公比为2的等比数列，那么a n ＝________.7．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＋S 6＝2S 9，求数列的公比q .8．求和：1×21＋2×22＋3×23＋…＋n ×2n .二、能力提升9．一弹性球从100米高处自由落下，每次着地后又跳回到原来高度的一半再落下，则第10次着地时所经过的路程和是(结果保留到个位)( )A ．300米B ．299米C ．199米D ．166米10．已知数列{a n }满足3a n ＋1＋a n ＝0，a 2＝－43，则{a n }的前10项和等于 ( ) A ．－6(1－3－10) B.19(1－3－10) C ．3(1－3－10) D ．3(1＋3－10)11．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 1,2S 2,3S 3成等差数列，则{a n }的公比为________．12．为保护我国的稀土资源，国家限定某矿区的出口总量不能超过80吨，该矿区计划从2013年开始出口，当年出口a 吨，以后每年出口量均比上一年减少10%.(1)以2013年为第一年，设第n 年出口量为a n 吨，试求a n 的表达式；(2)因稀土资源不能再生，国家计划10年后终止该矿区的出口，问2013年最多出口多少吨？(保留一位小数)参考数据：0.910≈0.35.三、探究与拓展13．已知等差数列{a n }满足a 2＝0，a 6＋a 8＝－10.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n －1的前n 项和．。
高中数学人教版必修5导学案：2.5-等比数列的前n项和(无答案)
§2.5.1 等比数列的前n 项和 第一课时学习目标1.掌握等比数列的前n 项和公式及推导方法.（重点） 2.对前n 项和公式能进行简单应用.（难点）预习导航：认真阅读教材，完成导学案上的预习导航，并将不懂知识进行标注。
1、看课本P55了解古印度国际象棋的“小故事”:2.甲、乙二人约定在一个月（按30天）内甲每天给乙100元钱，而乙则第一天给甲返还一分，第二天给甲返还二分，即后一天返还的钱是前一天的二倍.问谁赢谁亏？ 3、等比数列的前n 项和公式的推导过程中，两个等式相减后，哪些项被消去，还剩下哪些项，剩下项的符号有没有改变？问题探究：探究（一)：等比数列的前n 项和公式：等比数列{}n a 中， 一般地，设等比数列a 1,a 2,a 3,……a n 它的前n 项和是=n S na a a a +++321由⎩⎨⎧=+++=-11321n n n n q a a a a a a S得⎪⎩⎪⎨⎧++++=++++=---n n n n n n q a q a q a q a q a qS q a q a q a q a a S 1113121111212111nn q a a S q 11)1(-=-∴论同上）∴当1≠q 时，q q a S n n --=1)1(1 ① 或q q a a S n n --=11② 当q=1时，1na S n =说明：（1）公式推导的方法：错位相减法。
（2）分段式：即分注意q=1与q ≠1两种情形。
（3）五个量n ，a 1，q ，a n ，Sn 中，解决“知三求二”问题。
(对于基本量的计算，列方程组求解是基本方法，通常用约分或两式相除的方法进行消元，有时会用到整体代换，如q n，a 11－q都可看作一个整体。
方程意识要强，计算要过关。
(1)等比数列前n 项和公式分q ＝1与q ≠1两种情况，因此当公比未知时，要对公比进行分类讨论．(2)q ≠1时，公式S n ＝a 1（1－q n ）1－q 与S n ＝a 1－a n q1－q 是等价的，利用a n ＝a 1q n －1可以实现它们之间的相互转化．当已知a 1，q 与n 时，用S n ＝a 1（1－q n ）1－q 较方便；当已知a 1，q 与a n 时，用S n ＝a 1－a n q1－q 较方便．应用:问题1、古印度国际象棋的“小故事”的结论： 由11,2,64a q n ===可得1(1)1n n a q S q -=-=641(12)12⨯--=6421-。
高中数学 第二章 2.5等比数列的前n项和(一)导学案新人教A版必修5(1)
§2.5 等比数列的前n 项和(一)课时目标1．掌握等比数列前n 项和公式的推导方法．2．会用等比数列前n 项和公式解决一些简单问题．1．等比数列前n 项和公式：(1)公式：S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a 1－q n1－q ＝a 1－a n q 1－qqna 1 q ＝.(2)注意：应用该公式时，一定不要忽略q ＝1的情况． 2．若{a n }是等比数列，且公比q ≠1，则前n 项和S n ＝a 11－q(1－q n )＝A (q n－1)．其中A ＝a 1q －1. 3．推导等比数列前n 项和的方法叫错位相减法．一般适用于求一个等差数列与一个等比数列对应项积的前n 项和．一、选择题1．设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，8a 2＋a 5＝0，则S 5S 2等于( ) A ．11 B ．5 C ．－8 D ．－11 答案 D解析 由8a 2＋a 5＝0得8a 1q ＋a 1q4＝0，∴q ＝－2，则S 5S 2＝a 1＋25a 1－22＝－11.2．记等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝2，S 6＝18，则S 10S 5等于( ) A ．－3 B ．5 C ．－31 D ．33 答案 D解析 由题意知公比q ≠1，S 6S 3＝a 1－q 61－q a 1－q 31－q＝1＋q 3＝9，∴q ＝2，S 10S 5＝a 1－q 101－q a 1－q1－q＝1＋q 5＝1＋25＝33.3．设等比数列{a n }的公比q ＝2，前n 项和为S n ，则S 4a 2等于( ) A ．2 B ．4 C.152 D.172答案 C解析 方法一 由等比数列的定义，S 4＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝a 2q＋a 2＋a 2q ＋a 2q 2，得S 4a 2＝1q ＋1＋q ＋q 2＝152. 方法二 S 4＝a 1－q 41－q ，a 2＝a 1q ，∴S 4a 2＝1－q 4－q q ＝152. 4．设{a n }是由正数组成的等比数列，S n 为其前n 项和，已知a 2a 4＝1，S 3＝7，则S 5等于( )A.152B.314C.334D.172 答案 B解析 ∵{a n }是由正数组成的等比数列，且a 2a 4＝1，∴设{a n }的公比为q ，则q >0，且a 23＝1，即a 3＝1.∵S 3＝7，∴a 1＋a 2＋a 3＝1q2＋1q＋1＝7，即6q 2－q －1＝0.故q ＝12或q ＝－13(舍去)，∴a 1＝1q2＝4.∴S 5＝－1251－12＝8(1－125)＝314.5．在数列{a n }中，a n ＋1＝ca n (c 为非零常数)，且前n 项和为S n ＝3n＋k ，则实数k 的值为( )A ．0B ．1C ．－1D ．2 答案 C解析 当n ＝1时，a 1＝S 1＝3＋k ，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(3n ＋k )－(3n －1＋k ) ＝3n －3n －1＝2·3n －1.由题意知{a n }为等比数列，所以a 1＝3＋k ＝2， ∴k ＝－1.6．在等比数列{a n }中，公比q 是整数，a 1＋a 4＝18，a 2＋a 3＝12，则此数列的前8项和为( )A ．514B ．513C ．512D ．510 答案 D解析 由a 1＋a 4＝18和a 2＋a 3＝12，得方程组⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 1q 3＝18a 1q ＋a 1q 2＝12，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2q ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝16q ＝12.∵q 为整数，∴q ＝2，a 1＝2，S 8＝8－2－1＝29－2＝510.二、填空题7．若{a n }是等比数列，且前n 项和为S n ＝3n －1＋t ，则t ＝________.答案 －13解析 显然q ≠1，此时应有S n ＝A (q n－1)，又S n ＝13·3n＋t ，∴t ＝－13.8．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝1，S 6＝4S 3，则a 4＝________. 答案 3解析 S 6＝4S 3⇒a 1－q 61－q ＝4·a 1－q 31－q⇒q 3＝3(q 3＝1不合题意，舍去)．∴a 4＝a 1·q 3＝1×3＝3. 9．若等比数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝－512，前n 项和为S n ＝－341，则n 的值是________． 答案 10解析 S n ＝a 1－a n q 1－q ，∴－341＝1＋512q1－q，∴q ＝－2，又∵a n ＝a 1q n －1，∴－512＝(－2)n －1， ∴n ＝10.10．如果数列{a n }的前n 项和S n ＝2a n －1，则此数列的通项公式a n ＝________.答案 2n －1解析 当n ＝1时，S 1＝2a 1－1，∴a 1＝2a 1－1，∴a 1＝1. 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2a n －1)－(2a n －1－1) ∴a n ＝2a n －1，∴{a n }是等比数列，∴a n ＝2n －1，n ∈N *. 三、解答题11．在等比数列{a n }中，a 1＋a n ＝66，a 3a n －2＝128，S n ＝126，求n 和q .解 ∵a 3a n －2＝a 1a n ，∴a 1a n ＝128，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧a 1a n ＝128，a 1＋a n ＝66，得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝64，a n ＝2，①或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，a n ＝64.②将①代入S n ＝a 1－a n q 1－q ，可得q ＝12， 由a n ＝a 1q n －1可解得n ＝6.将②代入S n ＝a 1－a n q1－q，可得q ＝2，由a n ＝a 1qn －1可解得n ＝6.故n ＝6，q ＝12或2.12．求和：S n ＝x ＋2x 2＋3x 3＋…＋nx n(x ≠0)． 解 分x ＝1和x ≠1两种情况．(1)当x ＝1时，S n ＝1＋2＋3＋…＋n ＝n n ＋2.(2)当x ≠1时，S n ＝x ＋2x 2＋3x 3＋…＋nx n， xS n ＝x 2＋2x 3＋3x 4＋…＋(n －1)x n ＋nx n ＋1，∴(1－x )S n ＝x ＋x 2＋x 3＋…＋x n －nx n ＋1＝x －x n 1－x－nx n ＋1.∴S n ＝x －x n －x 2－nx n ＋11－x .综上可得S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧n n ＋2 x ＝x －xn－x2－nx n ＋11－xx ≠1且x .能力提升13．已知S n 为等比数列{a n }的前n 项和，S n ＝54，S 2n ＝60，求S 3n . 解 方法一 由题意S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 成等比数列，∴62＝54(S 3n －60)，∴S 3n ＝1823.方法二 由题意得a ≠1，∴S n ＝a 1－q n1－q＝54 ①S 2n ＝a 1－q 2n1－q＝60 ②由②÷①得1＋q n＝109，∴q n＝19，∴a 11－q ＝9×548，∴S 3n ＝a 1－q 3n 1－q ＝9×548(1－193)＝1823.14．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2n ＋2－4. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝a n ·log 2a n ，求数列{b n }的前n 项和T n .解 (1)由题意，S n ＝2n ＋2－4，n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n ＋2－2n ＋1＝2n ＋1，当n ＝1时，a 1＝S 1＝23－4＝4，也适合上式，∴数列{a n }的通项公式为a n ＝2n ＋1，n ∈N *.(2)∵b n ＝a n log 2a n ＝(n ＋1)·2n ＋1，∴T n ＝2·22＋3·23＋4·24＋…＋n ·2n ＋(n ＋1)·2n ＋1， ①2T n ＝2·23＋3·24＋4·25＋…＋n ·2n ＋1＋(n ＋1)·2n ＋2. ② ②－①得，T n ＝－23－23－24－25－…－2n ＋1＋(n ＋1)·2n ＋2＝－23－23－2n －11－2＋(n ＋1)·2n ＋2＝－23－23(2n －1－1)＋(n ＋1)·2n ＋2＝(n ＋1)·2n ＋2－23·2n －1＝(n ＋1)·2n ＋2－2n ＋2＝n ·2n ＋2.1．在等比数列的通项公式和前n 项和公式中，共涉及五个量：a 1，a n ，n ，q ，S n ，其中首项a 1和公比q 为基本量，且“知三求二”．2．前n 项和公式的应用中，注意前n 项和公式要分类讨论，即q ≠1和q ＝1时是不同的公式形式，不可忽略q ＝1的情况．3．一般地，如果数列{a n }是等差数列，{b n }是等比数列且公比为q ，求数列{a n ·b n }的前n 项和时，可采用错位相减的方法求和．。
人教A版高中数学必修5第二章数列2.5等比数列的前n项和导学案
2
＋
1.008
4
)
；
… A12＝ x(1 ＋1.008 2＋ 1.008 4＋ 1.008 6＋ 1.008 8＋1.008 10) ． ∵年底付清欠款，∴ A12＝5 000 ×1.008 12， 即 5 000 ×1.008 12＝x(1 ＋ 1.008 2＋ 1.008 4＋…＋ 1.008 10) ，
n项
和 Sn 是由关于 n 的一个指数式与一个常数的和构成的， 而指数式的系数与常数项互为相反数． 当公比 q＝ 1 时，因为 a1≠0，所以 Sn＝ na1 是 n 的正比例函数 ( 常数项为 0 的一次函数 ) ． 思考 在数列 { an} 中， an＋ 1＝ can( c 为非零常数 ) 且前 n 项和 Sn＝ 3n－ 1＋ k，则实数 k 等于 ________ ．
( S6－ S3) 2＝ S3( S9－ S6) ，解得
S9 7 S9＝ 7S3，所以 S6＝ 3.
(2) 一个项数为偶数的等比数列，各项之和为偶数项之和的
4 倍，前 3 项之积为 64，求通项
公式．
解 设数列 { an} 的首项为 a1，公比为 q，全部奇数项、偶数项之和分别记为 S 奇、S 偶，由题意
＋…＋ 800×
1 n－ 1
1－ 5
＝4 000 ×
1－
4 5
n
( 万元 ) ．
1
1 n－ 1
同理，第 1 年收入
400 万元，第 2 年收入
400×
1＋ 4
万元， …，第
n
年收入
400×
1＋ 4
万元．
1 所以总收入 bn＝400＋400× 1＋ 4 ＋…＋ 400×
1 n－ 1
人教版高中数学必修(五)2.5等比数列的前n项和教案(3)
2.5 等比数列的前n 项和（导学案）一、学习目标1、掌握等比数列的前n 项和公式及公式证明思路；会用等比数列的前n 项和公式解决有关等比数列的一些简单问题。
2、经历等比数列前n 项和的推导与灵活应用，总结数列的求和方法，并能在具体的问题情境中发现等比关系建立数学模型、解决求和问题。
二、本节重点等比数列的前n 项和的公式及应用.三、本节难点等比数列的前n 项和公式的推导过程四、知识储备[等比数列的概念][定义]如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q 表示（0≠q ）。
[等比中项]如果在a 与b 之间插入一个数G ，使a ，G ，b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项。
也就是，如果是的等比中项，那么Gb a G =，即ab G =2。
[等比数列的判定方法] 1． 定义法：对于数列{}n a ，若)0(1≠=+q q a a nn ，则数列{}n a 是等比数列。
2．等比中项：对于数列{}n a ，若212++=n n n a a a ，则数列{}n a 是等比数列。
[等比数列的通项公式]如果等比数列{}n a 的首项是1a ，公比是q ，则等比数列的通项为11-=n n q a a 。
五、通过预习掌握的知识点1．公式推导 已知等比数列{}na ，公比为q ，求前n 项和n na a a S+++= 21。
分析：先用q n a ,,1表示各项，每项的结构有何特点和联系？如何化简与求和？ 2．公式与公式说明1(1)(1)1n n a q S q q-=≠-（1）公式推导方法：错位相减法特点：在等式两端同时乘以公比q 后两式相减。
（2）1=q时，)1(1==q na S n（3）另一种表示形式qqa a S n n --=11六、知识运用1．在等比数列{}na 中1030140S S +=，301013S S =，求20S2．在等比数列{}n a 中，14,a =5q =，求使725n S >最小的n 的值。
人教版高中数学必修(五)2.5等比数列的前n项和教案(2)
等比数列的前n 项和(一)教学目标1、 知识与技能：掌握等比数列的前n 项和公式，并用公式解决实际问题2、 过程与方法：由研究等比数列的结构特点推导出等比数列的前n 项和公式3、 情态与价值：从“错位相减法”这种算法中，体会“消除差别”，培养化简的能力（二）教学重、难点重点：使学生掌握等比数列的前n 项和公式，用等比数列的前n 项和公式解决实际问题 难点：由研究等比数列的结构特点推导出等比数列的前n 项和公式（三）学法与教学用具学法：由等比数列的结构特点推导出前n 项和公式，从而利用公式解决实际问题 教学用具：投影仪（四）教学设想教材开头的问题可以转化成求首项为1，公比为2的等比数列的前64项的和.类似于等差数列，我们有必要探讨等比数列的前n 项和公式。
一般地，对于等比数列a 1，a 2，a 3，．．．, a n ,．．．它的前n 项和是Sn= a 1+a 2+a 3+．．．+a n由等比数列的通项公式,上式可以写成Sn= a 1+a 1q + a 1q 2 +．．．+a 1q n-1 ①① 式两边同乘以公比q 得qSn= a 1q+ a 1q 2 +．．．+a 1q n-1+ a 1q n ②①,②的右边有很多相同的项,用①的两边分别减去②的两边,得(1-q)Sn= a 1－a 1q n当ｑ≠１时，Sn=qq a n --1)1(1 （q ≠1） 又a n =a 1q n-1 所以上式也可写成Sn=qq a a n --11（q ≠1） 推导出等比数列的前n 项和公式，本节开头的问题就可以解决了[相关问题]①当q=1时，等比数列的前n 项和公式为Sn=n a 1② 公式可变形为Sn=q q a n --1)1(1=1)1(1--q q a n （思考q >1和q <1时分别使用哪个方便） ③ 如果已知a 1, a n,q,n,Sn 五个量中的任意三个就可以求出其余两个[例题分析]例1 求下列等比数列前8项的和:(1)21,41,81,．．．；(2) a 1=27, a 9=2431,q <0 评注:第(2)题已知a 1=27,n=8,还缺少一个已知条件,由题意显然可以通过解方程求得公比q,题设中要求q <0,一方面是为了简化计算,另一方面是想提醒学生q 既可以为正数,又可以为负数.例2 某商场今年销售计算机5000台,如果平均每年的销售量比上一年的销售量增加10%,那么从今年起,大约几年可使总销售量达到30000台(结果保留到个位)?评注:先根据等比数列的前n 项和公式列方程,再用对数的知识解方程[随堂练习]第66页第1.2.3题[课堂小结](1) 等比数列的前n 项和公式中要求q ≠1;这个公式可以变形成几个等价的式子(2) 如果已知a 1, a n,q,n,Sn 五个量中的任意三个就可以求出其余两个(五)评价设计(1)课后阅读:课本67页[阅读与思考](2)课后作业:第69页1,2,4题。
高中数学必修五2.5等比数列前n 项和学案
2.5等比数列的前n 项和预习指导2.等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，则k k k k k S S S S S 232,,--组成等比数列，即有等式： ；热身练习1. 在等比数列{}n a 中，259,243a a ==，则{}n a 的前4项和为( )A.81B.120C.168D.1922. 已知在等比数列{}n a 中，公比q 是整数，142318,12a a a a +=+=，则此数列的前8项和为( )A.514B.513C.512D.5103. 已知等比数列{}n a 的前三项依次为1,1,4a a a -++,则n a = .4. 在等比数列{}n a 中，252,16a a ==，则10S = .5. 已知{}n a 为等差数列，且366,0a a =-=,(1)求{}n a 的通项公式；(2)若等比数列{}n b 满足121238,b b a a a =-=++,求{}n b 的前n 项和．6.已知等差数列{}n a 的公差0d ≠,它的第1、5、17项顺次成等比数列,则这个等比数列的公比是 .课后作业1. 已知在等比数列{}n a 中，1346510,4a a a a +=+=，则等比数列{}n a 的公比q 的值为( ) A.41 B. 21 C. 2 D. 8 2. 已知某等比数列的前n 项和4n n S a =+，则a 等于 ( )A ．-4 B.-1 C.0 D.13. 已知{}n a 是等比数列，2512,4a a ==，则12231n n a a a a a a ++++=L ( ) A.()1614n -- B. ()1612n -- C. ()32143n -- D. ()32123n -- 4. 设n S 表示等比数列{}()n a n N *∈的前n 项和,已知1053SS =,则155S S ＝__________.5. 若正项等比数列{}()n a n N*∈满足24331,13,log n n a a S b a ===，则数列{}n b 的前10项和是 .6.已知等比数列{}()n a n N*∈中,1310a a +=,前4项和为40. (1)求数列{}()n a n N *∈的通项公式;(2)若等差数列{}n b 的各项为正,其前n 项和为n T ，且315T =,又112233,,a b a b a b +++成等比数列,求n T 。
人教版高中数学必修五探究式导学案1：2.5等比数列的前n项和
2.5 等比数列的前n项和【学习目标】1．理解并掌握等比数列前n项和公式及其推导过程；2．能够应用前n项和公式解决等比数列的有关问题；3．进一步提高解方程(组)的能力，以及整体代换思想的应用能力.【重、难点】重点：探索并掌握等差数列前n项和公式.难点：等差数列前n项和公式的推导思路的获得【知识链接】完成下面的因式分解：（1）q3−1=______________________________；（2）q3−3q+2=______________________________.【答案】（1）(q−1)(q2+q+ 1)；（2）(q−1)2(q+2).【新知探究】探究一. 等比数列的前n项和公式问题1. 已知等比数列{a n}中，公比为q.（1）若a1+a2+a3+⋯+a n−1=m，①求a2+a3+⋯+a n的值；②求a n−a1.（2）若已知a1=a，a n=b，求S n.解：（1）①a2+a3+⋯+a n−1+a n=q(a1+a2+a3+⋯+a n−1)=qm②a n−a1=(a2+a3+⋯+a n)−(a1+a2+a3+⋯+a n−1)=qm−m（2）S n=a1+a2+a3+⋯+a n−1+a nqS n=a2+a3+⋯+a n−1+a n+qa n以上两式相减，得(1−q )S n =a 1−qa n∵ q ≠1，即1−q ≠0 ∴ S n =a 1−qa n 1−q.问题2. 当q ≠1 时，把等比数列通项公式代入上式，你会得到什么呢？答：S n =a 1−qa n 1−q=a 1−q(a 1q n−1)1−q=a 1(1−q n )1−q【获取新知】（1）等比数列前n 项和公式：_______________________________________.（2）上面推导等比数列前n 项和公式的方法是:_______________【答案】（1）S n ={na 1 ，q =1a 1−qa n 1−q =a 1(1−q n )1−q ，q ≠1（2）错位相减法 【典例突破】典例突破（一）等比数列前n 项和公式的基本运算 例1.（1）求下列等比数列前8项的和：① 12，14，18，…； ② a 1＝27，a 9＝1243；（2）已知等比数列{a n }中，a 1＝2，S 3＝6，求a 3和q . 【解析】（1）① 由条件易得 a 1=12， q =12 ∴ S 8=12[1−(12)8]1−12=255256② 由a 1＝27，a 9＝1243，可得 27q 8=1243，解得q =±13当q =13 时，S 8=27[1−(13)8]1−13=328081； 当q ＝－13 时，S 8=27[1−(−13)8]1+13=164081.（2） 若q ＝1，则S 3＝3a 1＝6，符合题意，此时，q ＝1，a 3＝a 1＝2.若q ≠1，则由等比数列的前n 项和公式得S 3=2(1−q 3)1−q=6，即q 3−3q +2=0，化简整理得(q −1)2(q +2)=0，解得q ＝1(舍去)或q ＝－2. 此时，a 3＝a 1q 2＝2×(－2)2＝8.综上所述，q ＝1，a 3＝2或q ＝－2，a 3＝8.【解题反思】（1）等比数列前n 项和公式的使用条件是什么？利用该公式解题时，需要注意什么问题？ （2）在等比数列的五个基本量a 1，a n ，n ，q ，S n 中，至少要知道几个量才能求其他的量呢？答：（1）等比数列前n 项和公式的使用条件是q ≠1. 利用该公式解题时，要注意对公比q 是否为1进行讨论.（2）在等比数列的通项公式及前n 项和公式中共有a 1，a n ，n ，q ，S n 五个量，知道其中任意三个量，都可通过方程组求出其余两个量．变式1. 在等比数列{a n }中，S 3＝72，S 6＝632，求a n . 【解析】由已知 S 6≠2S 3 ∴ q ≠1又S 3＝72，S 6＝632∴ {a 1(1−q 3)1−q=72a1(1−q 6)1−q=632，解得a 1＝12，q ＝2. ∴ a n ＝a 1q n －1＝2n －2典例突破（二）等比数列前n 项和公式的实际应用例2．某商场今年销售计算机5000台，如果平均每年的销售量比上一年的销售量增加 10%，那么从今起，大约几年可使总销售量达到30000台(结果保留到个位)?【解析】根据题意，每年销售量比上一年增加的百分率相同．所以，从今年起，每年的销售量组成一个等比数列{a n }，其中a 1＝5000，q ＝1＋10%＝1.1，S n ＝30000.于是得到5000（1−1.1n ）1−1.1=30000，整理，得1.1n ＝1.6.两边取对数，得n lg 1.1＝lg 1.6. 用计算器算得n =lg1.6lg1.1≈5n (年)．∴大约5年可使总销售量达到30 000台【解题反思】如何求解以等比数列为模型的应用题？建立数列的模型，首先要确定数列类型，然后根据题意找准首项、公比和项数或者首项、末项和项数，特别关于年份的问题，一定要找准n 的取值与年份的对应．变式2. 水土流失是我国西部大开发中最突出的生态问题．已知西部某地区有耕地3 000万亩需要退耕还林，国家确定2000年在该地区退耕还林的土地面积为300万亩，以后每年退耕还林的土地面积比上一年递增20%.那么从2000年起，到哪一年该地区基本解决退耕还林问题？(计算时取log 1.23＝6)【解析】设该地区从2000年起每年退耕还林的面积组成一个数列{a n }，由题意，得a n ＋1＝a n (1＋20%)，∴ {a n }是首项为a 1＝300，公比为1.2的等比数列． 设 {a n }的前n 项和为S n ，则S n ＝3 000. ∴5000（1−1.2n ）1−1.2=3000，即1.2n ＝3，解得n ＝log 1.23＝6.∴到2005年该地区基本解决退耕还林问题．问题3. 类比等差数列前n项和的性质，你能否得出等比数列前n项和的性质? 请完成下表.一．前n项和公式与函数的关系二．性质对比典例突破（二）等比数列前n 项和性质的应用例3. 在正项等比数列{a n }中，S n 是其前n 项和，若S 10＝10，S 30＝130，则S 20的值为________．【答案】40【解析】由S 10，S 20－S 10，S 30－S 20 成等比数列，得 (S 20－S 10)2＝S 10(S 30－S 20)，即 (S 20－10)2＝10(130－S 20)，解得S 20＝40或S 20＝－30 又 S 20>0 ∴ S 20＝40.变式3. 在等比数列{a n }中，已知a 2=2，a 5=14，则a 1a 2+a 2a 3+⋯+a n a n+1=( )A ．16(1−4−n )B ．16(1−2−n )C ．323(1−4−n )D ．323(1−2−n )【答案】C【解析】∵ q 3=a 5a 2=18 ∴ q =12 ∴ a 1=a 2q=4 ∴ a 1a 2=8又 {a n a n+1} 也是等比数列，且首项为a 1a 2=8，公比为q 2=14 ∴ a 1a 2+a 2a 3+⋯+a n a n+1=8[1−(14)n ]1−14=323(1−4−n ) .。
人教A版高中数学必修五高二学案：2.5《等比数列的前n项和》(新)
高中数学学习材料金戈铁骑整理制作等比数列前n 项和(1)一、学习目标（1）掌握等比数列的前n 项和公式及公式证明思路；（2）会用等比数列的前n 项和公式解决有关等比数列前n 项和的一些简单问题．二、学法指导推导等比数列前n 项和公式的方法称为错位相减法。
一般地，设等比数列123,,,,,n a a a a 的前n 项和是=n S 123n a a a a ++++，由12311n n n n S a a a a a a q -=++++⎧⎨=⎩ 得2211111123111111n n n n n n S a a q a q a q a q qS a q a q a q a q a q---⎧=+++++⎪⎨=+++++⎪⎩ ∴11(1)n n q S a a q -=-,当1≠q 时，q q a S n n --=1)1(1 或11n n a a q S q-=- 当q=1时，1na S n =（错位相减法）说明：（1）n S n q a ,,,1和n n S q a a ,,,1各已知三个可求第四个；（2）注意求和公式中是n q ，通项公式中是1-n q 不要混淆；（3）应用求和公式时1≠q ，必要时应讨论1=q 的情况．三、课前预习1．等比数列的前n 项和：等比数列{}n a 中123,,,,n a a a a 的和，即=n S 123n a a a a ++++2. 推导等比数列前n 项和公式的方法：------------------------3．等比数列前n 项和公式：---------------------------------------------------------------------三、课堂探究如何推导等比数列前n 项和公式的方法四．数学运用例1．求等比数列{}n a 中，（1）已知；14a =-，12q =，求10S ；（2）已知；11a =，243k a =，3q =，求k S ．例2．求等比数列{}n a 中，372S =，6632S =，求n a ；例3．求数列11111,2,3,,,2482n n ++++的前n 项和．例4．（选讲）设{}n a 是等比数列，求证：232,,n n n n n S S S S S --成等比数列．四、巩固训练 （一）当堂练习（52页书后练习）（二）课后作业选做1．{a n }为等比数列，前n 项和为S n ，248=a a ，S 4=4，求S 8 2．在等比数列{}n a 中，n S 表示该数列的前n 项和，若1049S =，20112S =，求30S五、反思总结等比数列前n 项和(2)一、学习目标（1）能运用等比数列的有关知识解决一些与数列相关的实际应用问题；（2）理解分期付款中的有关规定，掌握分期付款中的有关计算．能运用等差、等比数列的有关知识解决一些与数列相关的实际应用问题。
高中数学必修5教案2.5等比数列的前n项和(2)
进一步熟练掌握等比数列的通项公式和前n项和公式
难点
灵活使用公式解决问题
教
学
过
程
及
方
法
问题与情境及教师活动
学生活动
Ⅰ.课题导入
首先回忆一下前一节课所学主要内容：
等比数列的前n项和公式：
当 时， ①或 ②
当q=1时，
当已知 , q, n时用公式①；当已知 , q, 时，用公式②
练习：
Ⅱ.讲授新课
等比数列的前n项和性质：
河北武中·宏达教育集团教师课时教案
备课人
授课时间
课题
§2.5等比数列的前n项和（2）
课标要求
熟练掌握等比数列的通项公式和前n项和公式
教
学
目
标
知识目标
会用等比数列的通项公式和前n项和公式解决有关等比数列的 中知道三个数求另外两个数的问题；
技能目标
提高分析、解决问题能力
情感态度价值观
对学生进行思维的严谨性的训练，培养他们实事求是的科学态度.
∴ 即
解得：
∴
2
河北武中·宏达教育集团教师课时教案
教
学
过
程
及
方
法
问题与情境及教师活动
学生活动
解2：∵
∴
即有 ∴
∴
解3：由于 构成等比数列
因此48，60-48， 成等比数列
所以 解得
Ⅳ课堂练习:
教ห้องสมุดไป่ตู้
学
小
结
等比数列的前n项和性质：
课后
反思
3
推导过程:
1
河北武中·宏达教育集团教师课时教案
教
学
过
高二新课程数学《2.5等比数列的前n项和》导学案(新人教A版)必修五
2．5等比数列的前n 项和班级： 组名： 姓名： 设计人：乔晓丽 审核人：魏帅举 领导审批：【学习目标】1.掌握等比数列前n 项和公式及其获取思路；2.会用等比数列的前n 项和公式解决一些简单的与前n 项和有关的问题【研讨互动 问题生成】 1.等比数列的前n 项和公式1 2.等比数列的前n 项和公式2 【合作探究 问题解决】当1≠q 时，qq a S n n --=1)1(1 ① 或q q a a S n n --=11 ②当q=1时，1na S n =当已知1a , q, n 时用公式①；当已知1a , q, n a 时，用公式② 【点睛师例 巩固提高】例1. 求和：132)12(7531--+⋅⋅⋅++++=n n x n x x x S例2.求数列⋅⋅⋅⋅⋅⋅,22,,26,24,2232nn前n 项的和.例3.求数列的前n 项和：231,,71,41,1112-+⋅⋅⋅+++-n a a a n ，…例4．求数列⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++,11,,321,211n n 的前n 项和.【要点归纳 反思总结】等比数列求和的公式 【多元评价】自我评价: 小组成员评价: 小组长评价: 学科长评价: 学术助理评价: 【课后训练】1.在等比数列{}n a 中，5,6144117=+=⋅a a a a ，则=1020a a （ ） 2.等比数列{}n a 中，已知121264a a a =，则46a a 的值为3.实数12345,,,,a a a a a 依次成等比数列，其中a 1=2，a 5=8，则a 3的值为4.设等比数列{ n a }的前n 项和为n S ，若63S S =3 ，则 69S S =5.等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若242S S =，则公比为6.已知等比数列{a n }的公比为2，前4项的和是1，则前8项的和为7.已知等比数列{}n a 的首项为8，n S 是其前n 项的和，某同学经计算得S 2=20，S 3=36，S 4=65，后来该同学发现了其中一个数算错了，则该数为8.已知数列{}n a 的前n 项和n n S aq =(0a ≠,1q ≠,q 为非零常数),则数列{}n a 为( )A.等差数列B.等比数列C.既不等比也不等差D.既是等差又是等比9. 若a n ＞0，q=2，且a 1·a 2·a 3…a 30=230，则a 3·a 6·a 9…a 30=_____． 10.已知1, a 1, a 2, 4成等差数列，1, b 1, b 2, b 3, 4成等比数列，则=+221b a a ______．11.等比数列{n a }的公比0q >, 2a =1，216n n n a a a +++=则数列{n a }的4S = 12.等比数列{}n a 的前n 项和n S =22-+⋅a a n ，则n a =_______. 13.已知数列{a n }中，a 1=1,a 2=2,a n+2=)(31321++∈-N n a a n n (1)求证：{a n+1-a n }是等比数列。
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2.5 等比数列的前n 项和（学生版）1．新课引入国际象棋起源于印度，相传国王要奖励国际象棋的发明者，问他要什么，发明者说：“请在棋盘的第1个格子里面放1颗麦粒，第2个格子里面放2颗麦粒，第3个格子里面放上4颗麦粒，依次类推，每个格子里面放的麦粒数是前一个格子里放的麦粒数的2倍，直到第64个格子．”国王觉得这个要求不高，就欣然同意了．假定千粒麦子的质量为40克，根据调查，目前世界年度小麦产量约为6亿吨，根据以上数据，判断国王是否能够实现他的诺言．探讨1: 发明者西萨要求的麦粒总数是多少？23631222+2++++探讨2: 上面式子有什么特点？是一个以1为首项，2为公比的等比数列的前64项之和，可以记为 2363641222+2S =++++ ① 如果①式两边同乘以2得 2S 64=2+22+23+···+263+264 ② 探讨3: 比较①、②两式，有什么关系？两式上下相对的项完全相同，把两式相减，就可以消去相同的项，得到：646421S =-． 思考1： 纵观全过程，①式两边为什么要乘以2 ？思考2：你能求出该数列的前n 项和2311222+2n n S -=++++ 吗？ 分析： 2311222+2n n S -=++++ ①公式两边同时乘以等比数列的公比2，可得：23n-1n 2222+22n S =++++ ② 两式相减可得：21n n S =-． 2．等比数列前n 项和的推导问题：设等比数列{}n a ，首项a 1，公比q ，如何求前n 项和n S ？说明：这种求和方法称为错位相减法．思考3：当公比1q ≠时，有人推导出数列{}n a 前n 项和公式为11n n a a qS q-=-，你知道如何推导的吗？思考4：当公比1q =时，数列{}n a 是什么数列？此时数列{}n a 的前n 项和n S 怎么求？等比数列前n 项和公式：()11(1)111 1.n n a q q S q na q ⎧-≠⎪=-⎨⎪=⎩，，， ()11112 1.n n a a qq q S na q -⎧≠⎪-=⎨⎪=⎩，，，思考：这两个公式有什么区别，分别在什么情况下使用？※ 典型例题考点1．求等比数列的通项公式【例1 】已知等比数列：1111 (24816)，，，，（1）求其前8项和；（2）该数列前多少项和是6364？（3）求该数列第5项到第10项的和．练习1．已知等比数列{}n a 中，96n a =，2q =，189n S =，则n =________． 练习2．已知等比数列{}n a 中 ，14a =-，12q =，则6S =_____________．考点2． 等比数列前n 项和公式的基本运算练习1：已知等比数列{}n a 中，37S =，663S =，求9a =____________． 练习2：已知等比数列{}n a 中，33S =，31a =，则6S =___________．练习3：在等比数列{a n }中，a 1＋a n ＝66，a 2a n －1＋a 3a n －2＝256，且前n 项和S n ＝126，求n 及公比q .考点3．错位相减法求数列的前n 项和【例3】设{}n a 是等差数列，{}n b 是各项都为正数的等比数列，且111a b ==，3521a b +=，5313a b +=． （1）求{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）求数列n n a b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S ．点评：(1)如果数列{a n }是等差数列，{b n }是等比数列且公比为q ，求数列{a n ·b n }的前n 项和时，可采用错位相减法．特别注意等比数列公比为负数的情形．(2)在写出“S n ”与“qS n ”的表达式时，应特别注意将两式“错项对齐”，以便于下一步准确写出“S n －qS n ”的表达式．(3)应用等比数列求和公式必须注意公比q ≠1这一前提条件．如果不能确定公比q 是否为1，应分两种情况讨论． 练习1．数列}{n a 的通项1(21)2n n a n -=+⋅，前n 项和为n S ，求n S ．练习2．求数列{nx n }的前n 项和S n .思维启迪：讨论x 的取值，根据x 的取值情况，选择恰当方法．考点4．等比数列前n项和公式的实际应用考点5．等比数列前n项和的性质练习1．（1）在等比数列{}n a 中，前n 项和为n S ，若233=a ，293=S ，求公比q . （2）在等比数列{}n a 中，前n 项和为n S ，若105S =，2015S =，求30S .1．某厂去年的产值记为1，计划在今后五年内每年的产值比上年增长10%，则从今年起到第五年，这个厂的总产值为（ ）A ．41.1 B ．51.1 C ．511(1.11)⨯- D ．610(1.11)⨯- 2．等比数列{}n a 中，29,a = 5243a =，则{}n a 的前4项和为 （ ） A ．81 B ．120 C ．168 D ．1923．在等比数列{a n }中，公比q ＝－2，S 5＝44，则a 1的值为( )A ．4B ．－4C ．2D ．－24．数列{}n a 的通项公式为42n n a -=()n N *∈，则它的前5项和等于（ ）A ．52B ．1152C ．40D ．821- 5．若数列{}n a 的通项公式为n n na 2=，则前n 项和为( )A ．112n n S =-B ．11222n n n nS -=-- C ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-=nn n S 211 D ．n n n n S 22121+-=-13．已知{}n a 是公比为2的等比数列，若14797100a a a a +++⋅⋅⋅+=，则36999a a a a +++⋅⋅⋅+的值是 __ 14．在等比数列{}n a 中，设前n 项和为n S ，若3221a S =+，4321a S =+，则公比q =15．若数列{}n a 满足()1lg 1lg n n a a n N *+=+∈，且123100100a a a a ++++= ，则101102103200lg()a a a a ++++ 等于16．已知数列{}n a ，n S 是其前n 项的和，且172n n a S -=+(2)n ≥，21=a ． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求14732n a a a a -+++⋅⋅⋅+关于n 的表达式子．17．在公差不为零的等差数列{a n }和等比数列{b n }中，已知a 1＝b 1＝1，a 2＝b 2，a 6＝b 3.(1)求等差数列{a n }的通项公式a n 和等比数列{b n }的通项公式b n ； (2)求数列{a n ·b n }的前n 项和S n .18．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2n 2＋n ，n ∈N *，数列{b n }满足a n ＝4log 2b n ＋3，n ∈N *.(1)求a n ，b n ；(2)求数列{a n ·b n }的前n 项和T n ．2.5 等比数列的前n 项和（教师版）1．新课引入国际象棋起源于印度，相传国王要奖励国际象棋的发明者，问他要什么，发明者说：“请在棋盘的第1个格子里面放1颗麦粒，第2个格子里面放2颗麦粒，第3个格子里面放上4颗麦粒，依次类推，每个格子里面放的麦粒数是前一个格子里放的麦粒数的2倍，直到第64个格子．”国王觉得这个要求不高，就欣然同意了．假定千粒麦子的质量为40克，根据调查，目前世界年度小麦产量约为6亿吨，根据以上数据，判断国王是否能够实现他的诺言．探讨1: 发明者西萨要求的麦粒总数是多少？ 1+2+22+···+263探讨2: 上面式子有什么特点？是一个以1为首项，2为公比的等比数列的前64项之和，可以记为 S 64=1+2+22+···+263 ① 如果①式两边同乘以2得 2S 64=2+22+23+···+263+264 ② 探讨3: 比较①、②两式，有什么关系？两式上下相对的项完全相同，把两式相减，就可以消去相同的项，得到：646421S =-． 思考1： 纵观全过程，①式两边为什么要乘以2 ？思考2：你能求出该数列的前n 项和2311222+2n n S -=++++ 吗？ 分析： 2311222+2n n S -=++++ ① 公式两边同时乘以等比数列的公比2，可得23n-1n 2222+22n S =++++ ②两式相减可得：21n n S =-． 2．等比数列前n 项和的推导问题：设等比数列{}n a ，首项a 1，公比q ，如何求前n 项和n S ？说明：这种求和方法称为错位相减法．思考3：当公比1q ≠时，有人推导出数列{}n a 前n 项和公式为11n n a a qS q-=-，你知道如何推导的吗？思考4：当公比1q =时，数列{}n a 是什么数列？此时数列{}n a 的前n 项和n S 怎么求？等比数列前n 项和公式：()11(1)111 1.n n a q q S q na q ⎧-≠⎪=-⎨⎪=⎩，，，()11112 1.n n a a qq qS na q -⎧≠⎪-=⎨⎪=⎩，，， 思考：这两个公式有什么区别，分别在什么情况下使用？※ 典型例题考点1．求等比数列的通项公式【例1 】已知等比数列：1111 (24816)，，，，（1）求其前8项和；（2）该数列前多少项和是6364？（3）求该数列第5项到第10项的和． 解：依题意，该数列的前n 项和为：11(1())1221()1212n n n S ⨯-==--． （1）()88811(1())12552211()1225612S ⨯-==-=-； （2）1631()264n n S =-=，解得6n =；（3）依题意，5132a =，所以6567891011(1())633221102412a a a a a a ⨯-+++++==-． 练习1：已知等比数列{}n a 中，96n a =，2q =，189n S =，则n =____6_____． 练习2、已知等比数列{}n a 中 ，14a =-，12q =，则6S =_____638-________．考点2． 等比数列前n 项和公式的基本运算 【例2 】在等比数列{a n }中，练习1：已知等比数列{}n a 中，37S =，663S =，求9a ．解: 6363927S S ==≠ ，1q ∴≠，3161(1)71(1)631a q q a q q ⎧-=⎪-⎪∴⎨-⎪=⎪-⎩，，，两式相除得391q =+，解得12,1q a == 88912256a a q ∴===．练习2：已知等比数列{}n a 中，33S =，31a =，则6S =____216或_______．考点3．错位相减法求数列的前n 项和【例3】设{}n a 是等差数列，{}n b 是各项都为正数的等比数列，且111a b ==，3521a b +=，5313a b +=．（1）求{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）求数列n n a b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S ．解：（1）设{}n a 的公差为d ，{}n b 的公比为q ，则依题意有0q >且4212211413d q d q ⎧++=⎪⎨++=⎪⎩，，解得2d =，2q =．所以1(1)21n a n d n =+-=-，112n n n b q --==． （2）11211(21)()22n n n n a n n b ---==-⋅． 1221111113()5()(23)()(21)()2222n n n S n n --=+⋅+⋅++-⋅+-⋅ ， ①1231111111()3()5()(23)()(21)()222222n n n S n n -=+⋅+⋅++-⋅+-⋅ ，② ①－②得122111111112[()()()()](21)()222222n n nn S n --=+++⋅⋅⋅++--，2211111211222222n n n n ---⎛⎫=+⨯++++- ⎪⎝⎭ 1121211212nn --=+--，所以12362n n n S -+=-． 点评：(1)如果数列{a n }是等差数列，{b n }是等比数列且公比为q ，求数列{a n ·b n }的前n 项和时，可采用错位相减法．特别注意等比数列公比为负数的情形．(2)在写出“S n ”与“qS n ”的表达式时，应特别注意将两式“错项对齐”，以便于下一步准确写出“S n －qS n ”的表达式．(3)应用等比数列求和公式必须注意公比q ≠1这一前提条件．如果不能确定公比q 是否为1，应分两种情况讨论．练习1．数列}{n a 的通项1(21)2n n a n -=+⋅，前n 项和为n S ，求n S ． 解析：()0121325272212n n S n -=⋅+⋅+⋅+++⋅两边乘2得 2n S = ()()1213252212212n n n n -⋅+⋅++-⋅++⋅两式相减得()233222212nnn S n -=++++-+⋅ ()121212n n n +=--+⋅，故()1212nn S n =+-⋅．考点4．等比数列前n项和公式的实际应用考点5． 等比数列前n 项和的性质练习1．（1）在等比数列{}n a 中，前n 项和为n S ，若23=a ，23=S ，求公比q . （2）在等比数列{}n a 中，前n 项和为n S ，若105S =，2015S =，求30S .解：（1）当1q =时，{}n a 为常数数列，1332a a ==，31932S a ==；符合题意； 当1q ≠时，213132(1)912a q a q q⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪-⎩，求得12q =-．综上，1q =或12q =-． （2）当1q =时，{}n a 为常数数列，20110120210S a S a ==，与题意不合，所以1q ≠， 此时()()101201(1)511(1)1521a q q a q q⎧-=⎪-⎪⎨-⎪=⎪-⎩，两式相除，得201011515q q -=-，102q =， 代入①得151a q =--，所以30301130(1)(1)3511a q aS q q q-==-=--1．某厂去年的产值记为1，计划在今后五年内每年的产值比上年增长10%，则从今年起到第五年，这个厂的总产值为（ ） A ．41.1 B ．51.1 C ．511(1.11)⨯- D ．610(1.11)⨯-1．C 提示：55 1.1(1 1.1)1 1.1S ⨯-=-2．等比数列{}n a 中，29,a = 5243a =，则{}n a 的前4项和为 （ ） A ．81 B ．120 C ．168 D ．192 2．B ． 解：由已知，35227a q a ==，得公比3q =，13a =，故4120S =．4．数列{}n a 的通项公式为42n n a -=()n N *∈，则它的前5项和等于（ ） A ．52 B ．1152C ．40D ．821-4．B 提示：数列{}n a 为等比数列，18a =，12q = 5．若数列{}n a 的通项公式为nn na 2=，则前n 项和为( ) A ．n n S 211-= B ．n n n n S 22121--=- C ．⎪⎭⎫⎝⎛-=nn n S 211 D ．nn n n S 22121+-=- 5．B 提示：1()nn a n =⋅，用错位相减法求和．13．已知{}n a 是公比为2的等比数列，若14797100a a a a +++⋅⋅⋅+=，则36999a a a a +++⋅⋅⋅+的值是 __ 13．25 提示：236999147971()100254a a a a q a a a a +++⋅⋅⋅+=+++⋅⋅⋅+=⨯=．14．在等比数列{}n a 中，设前n 项和为n S ，若3221a S =+，4321a S =+，则公比q =14．3 提示：3221a S =+，4321a S =+，两式相减，得4332a a a -=，433a a =． 15．若数列{}n a 满足()1lg 1lg n n a a n N *+=+∈，且123100100a a a a ++++= ，则101102103200lg()a a a a ++++ 等于15．102 提示：110n na a +=，100101102103200100a a a a q ++++=⋅ ．16．已知数列{}n a ，n S 是其前n 项的和，且172n n a S -=+(2)n ≥，21=a ． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求14732n a a a a -+++⋅⋅⋅+关于n 的表达式子． 16．（1）由已知172n n a S -=+① 172n n a S +=+②②-①，得()n n n n n a S S a a 7711=-=--+(2)n ≥ ∴n n a a 81=+(2)n ≥，又21=a ，217216a S =+=，218a a = 所以数列{}n a 是一个以2为首项，8为公比的等比数列 ∴128n n a -=⨯ （2）14732,,,,n a a a a -⋅⋅⋅为等比数列，公比为3512q =，共n 项求和114732(1512)2(5121)1512511n n n a a a a a --+++⋅⋅⋅+==--。