2.1 认识无理数
2.1 认识无理数
2．1 认识无理数
基础题
知识点1 无理数的发现
1．下列各数中，是有理数的是( )
A ．面积为3的正方形的边长
B ．体积为8的正方体的棱长
C ．两直角边分别为2和3的直角三角形的斜边长
D ．长为3，宽为2的长方形的对角线长
2．一个长方形的长与宽分别为6 cm 和3 cm ，它的对角线的长的值是一个( )
A ．整数
B ．分数
C ．有理数
D ．无限不循环小数
3．如图，图中是16个边长为1的小正方形拼成的大正方形，连接CA 、CB 、CD 、CE 四条线段，其中长度既不是整数也不是分数的有________条．
4．把两个长均为1的正方形纸片重新剪拼成一个大的正方形，则大正方形的面积是________，其边长________有
理数(填“是”或“不是”)．
知识点2 无理数的概念
5．(呼和浩特中考)下列数是无理数的是( )
A ．－1
B ．0
C ．Π D.13
6．下列各数：π2，0，0.23·，227
，0.303 003 000 3…(每个3后增加1个0)中，无理数的个数为( ) A ．2个 B ．3个
C ．4个
D ．5个
7．半径是2的圆的周长的值是一个( )
A ．整数
B ．分数
C ．有理数
D ．无理数
8．下列说法中，正确的个数为( )
①无限小数都是无理数；②不循环小数都是无理数；③无理数都是无限小数；④无理数也有负数；⑤无理数分为正无理数、零、负无理数．
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
知识点3 用有理数估计无理数
9．(嘉兴中考)与无理数31最接近的整数是( )
A ．4
B ．5
C ．6
D ．7
北师大版八年级数学上册：2.1《认识无理数》教学设计
北师大版八年级数学上册：2.1《认识无理数》教学设计
一. 教材分析
《认识无理数》是北师大版八年级数学上册第二章的第一节内容。本节内容是
在学生学习了实数、有理数的基础上，引入无理数的概念，使学生了解无理数在生活中的应用和实际意义，培养学生运用数学解决实际问题的能力。教材通过丰富的实例和探究活动，让学生感受无理数的存在，体验数的概念的扩展，培养学生的数感。
二. 学情分析
八年级的学生已经学习了实数和有理数，对数的概念有一定的了解。但是，学
生对无理数的理解可能还比较模糊，需要通过具体的实例和实践活动来加深对无理数概念的理解。此外，学生可能对无理数的存在感到困惑，需要教师通过讲解和引导，让学生逐渐接受无理数的存在。
三. 教学目标
1.了解无理数的概念，理解无理数的存在和实际意义。
2.能够识别常见的无理数，如π、√2等。
3.能够运用无理数解决实际问题，提高运用数学解决实际问题的能力。
4.培养学生的数感，提高学生的数学思维能力。
四. 教学重难点
1.重点：无理数的概念和实际意义的理解。
2.难点：无理数的识别和运用。
五. 教学方法
1.实例教学法：通过具体的实例，让学生感受无理数的存在和实际意义。
2.实践活动法：通过实践活动，让学生加深对无理数概念的理解。
3.问题驱动法：通过提问和引导，让学生主动探索无理数的性质和运用。
六. 教学准备
1.教材和教案。
2.投影仪和教学课件。
3.练习题和测试题。
七. 教学过程
1.导入（5分钟）
利用投影仪展示生活中的实例，如圆的周长和面积的关系，引出无理数的概念。
2.呈现（10分钟）
2.1认识无理数
当堂训练 （二）能力提升
一个直角三角形两条直角边的长分别是3和5,则 斜边a是有理数吗? 解:由勾股定理得:3²+5²=a²
即a2=34.因为34不是完全平方 5
a
数，所以a不是有理数.
3
当堂训练 （二）能力提升
1.设计面积为5π的圆的半径为a.
(1)a是有理数吗?说说你的理由. (2)估计a的值(精确到十分位,并利用你的计算器验证
你的估计. (3)如果精确到百分位呢?
当堂训练 （二）能力提升
解：∵πa2=5π，∴ a2=5 .
(1)a不是有理数,因为a既不是整数,也不是分数,而是 无限不循环小数. (2)估计a≈2.2.
(3)估计a≈2.24.
把下列各数表示成小数.你发现了什么?
3, 4 , 5 , 8 , 2 . 5 9 45 11
有理数总可以用有限小数或无限循环小数表示。 反过来，任何有限小数或无限循环小数也都是有理数。
无限不循环小ຫໍສະໝຸດ Baidu称为无理数
除了像上面所述的数a，b，c是无 理数外，我们十分熟悉的圆周率 π=3.14159265···也是一个无限不 循环小数，因此它也是一个无理数。 再如0.5858858885···(相邻两个1之 间0的个数逐次加2)，也是无理数。
aaa
(3)a可能是分数吗？为什么？
事实上，我们可以证明：在等式a²=2， a既不是整数，也不是分数。
2.1认识无理数与算术平方根
2.1认识无理数与算术平方根
班级 姓名__________
【新知探究】
一、认识无理数
1、（1）有理数：有理数总可以用 或 表示。
反过来，任何 或 也都是有理数。
（2）无理数： 叫做无理数。
2、常见的无理数有以下几种类型:
第一类：一般的无限不循环小数，如：___________________
第二类: 看似循环而实质不循环的小数,如:______________________
第三类: π及与π有关的代数式.如：______________________
第四类:开方开不尽的数.如5,2
3、下列数中,哪些是有理数,哪些是无理数?
0011010001000.0,75.0,3
4,14.3..-…(相邻两个1之间的0的个数逐次加2), 0.458, .7.3, -π, 7
1- ,18 解:无理数有: 有理数有:
二、算术平方根
1、根据勾股定理，结合图形完成填空：
x 2= ，y 2= ， z 2= ，w 2= ． 以上问题的x 、y 、z 、w 中哪些是有理数？哪些是无理数？
2、算术平方根的概念：
一般地，如果一个正数．．x 的平方等于a ，即x 2=a ，那么这个正数．．x 就叫做a 的算术平方根，记为“a ”
，读作“根号a ”．即正数x = 。
特别地，我们规定0的算术平方根是0，即 ．
思考：怎样的数有算术平方根？一个数的算术平方根是什么数？ 答：a 中的a 是 ,且a 是 .
【例题精讲】
例1、求下列各数的算术平方根：
36，
144
121， 17， 0.81， 610． 解:
D E
例2、自由下落物体的高度h （米）与下落时间t （秒）的关系为h =4.9t 2
认识无理数(知识梳理与考点分类讲解)-2023-2024学年八年级数学上册基础知识专项突破讲与练
专题2.1认识无理数（知识梳理与考点分类讲解）
【知识点1】不是有理数的数（无理数的产生）
如图，用剪拼的方法将两个边长为1的小正方形拼成如图①②③的某个大正方形，若大正方形边长为a，由拼法可知2=2.
我们利用夹逼法进行探索：拼成的面积为2的大正方形的面积夹在面积为1和面积为4的两个正方形的面各之间，它的边形必然在1和2之间，显然a不为整数。
又因为最简分数的平方仍为分数，若a为最简分数n
m，则
2
n
m
⎛⎫
⎪
⎝⎭
仍然是一个分数，也不等于2，
所以a也不为分数。
从上面分析与推理，若
2,
x a a x
=
若当不能写成一个整数或一个分数的平方形式时，就不是有理数。
【知识点2】无理数的概念
1.无理数的概念无限不循环小数称为无理数，如圆周率π≈3.14159265...,1.010010001(相邻两个1之间0的个数依次增加1)等
2.常见的无理的的几种类型
（1）一般的无限不循环小数，如1.4142345...；
（2）有规律的不循环小数，如1.010010001(相邻两个1之间0的个数依次增加1)；
（3）含π的一些数，如5π；
（4）开方开不尽的数，
（5）无理数与有理数的和，如π+4；
（6）无理数乘以或除以一个不为0的有理数，结果是无理数，如3
π.
【考点一】无理数➼➻无理数的产生与证明
【例1】证明：2=2中x 不是有理数．【分析】假设x 是有理数，则x 可以表示为a b
（,a b 均为整数且互质），从而可得222a b =，由此判断出a 是偶数，再设2a c =（c 为整数），从而可得222b c =，由此判断出b 是偶数，据此得出假设不成立，即可得证．
北师大版初中数学八年级上册第二章 实数2.1 认识无理数(第1课时) 课件
②没有两个相同的分数相乘得5，故b不可能是分数. ③因为没有一个整数或分数的平方为5，所以b不是有理数.
探究新知
2.1 认识无理数/
归纳总结
用生命换来的新数
像上面讨论的数a，b都不是有理数，而是另一类数—无理数.
早在公元前，古希腊数学家毕达哥拉斯认为万物皆“数”，即“宇宙 间的一切现象都能归结为整数或整数之比”.但是这个学派中的一个叫希 伯索斯的成员却发现边长为1的正方形的对角线的长不能用整数或整数之 比来表示，这个发现动摇了毕达哥拉斯学派的信条，据说为此希伯索斯 被投进了大海，他为真理而献出了宝贵的生命，但真理是不可战胜的， 后来古希腊人终于正视了希伯索斯的发现.也就是a2=2中的a不是有理数.
探究新知
2.1 认识无理数/
素养考点 1 利用勾股定理识别非有理数
例 如图，在△ABC中，CD⊥AB，垂足为D，AC=6，AD=5，
问：CD可能是整数吗？可能是分数吗？可能是有理数吗？
解：在Rt△ACD中，AC为斜边，AC=6， AD=5，所以CD2=AC2-AD2=11. 因为11是质数，大于1的整数的平方都是
非有理数 的发现
利用勾股定理发现非有理数
非有理数的识别
课后作业
作业 内容
2.1 认识无理数/
教材作业 从课后习题中选取 自主安排 配套练习册练习
八年级数学 2.1认识无理数
北师大版数学八年级上册
第二章 实数
1.认识无理数
八年级数学
把两个边长为1的小正方形通过 剪、拼，设法得到一个大正方形
1 1
1 1
.
a2 2
小组讨论：
a
a 可能是整数吗？
aaaa
a 可能是分数吗？
C
b
1源自文库
A1
1B
b是有理数吗？
用16个边长为1的小正方形拼成 了如图的网格，任意连接两个格点， 就得到一条线段，
试分别画出一条长度 是有理数的 线段和一条长度不是有理数的线 段．
a
1
aa 1
a2 2
a 是多少？
它是一个无限不循环小数
1.通过拼图活动，感受有理数 又不够用了.
2.判断一个数是否为有理数.
3.探索不是有理数的数的大小.
1.估计面积为5的正方形的边长b的 值（结果精确到十分位）.
2.结果精确到百分位呢？
1.把下列各数表示成小数，你发现 什么？
3, 4 , 5 , 8 , 2 . 5 9 45 11
无限不循环小数叫做无理数.
例1 下列各数中，哪些是有理数？ 哪些是无理数？
3.14,
4
..
,0.5 7,
3
0.1010001000001
（相邻两个1之间的0的个数逐次加2个）
数学课件-2.1 认识无理数
图1
图2
··
··
解:( 1 )∵0.17×100=17.17,
∴0.1·7·×100-0.1·7·=17.1·7·-0.1·7·,
··
0.17×(
100-1
ห้องสมุดไป่ตู้
··
)=17,∴0.17
=
1979.
··
··
( 2 )∵0.313×10=3.13, ①
··
··
0.313×1000=313.13, ②
··
4.如图,在3×3的方格中,有一个阴影正方形,设每一个小方格的边长为1个单位,请解决下面 的问题.
( 1 )阴影正方形的面积是多少? ( 2 )阴影正方形的边长介于哪两个整数之间?
解:( 1 )5. ( 2 )2和3之间.
知识点 2 无理数
5.下列各数中,是无理数的是( C )
A.0
B.1.010010001
其中,是有理数的是
-1,32
,
3.14,3,0,2,
7 2
,
5 2
,无理数的是
-π,-
0.2020020002…( 每两个 2 之间多 1 个 0 ) ;在上面的有理数中,分
数是
3 2
,
3.14,
7 2
,
5 2
,整数是
-1,3,0,2
2.1 第1课时 认识无理数(教学设计——精品教案)
2.1认识无理数
教学目标
【知识与能力】
感受无理数产生的实际背景和引入的必要性.
【过程与方法】
经历动手拼图过程,发展动手能力和探索精神.
【情感态度价值观】
通过现实中的实例,让学生认识到无理数与实际生活是紧密联系的,数学是来源于实践又应用于实践的.
教学重难点
【教学重点】
感受无理数产生的背景.
【教学难点】
会判断一个数是不是无理数.
教学准备
两张边长为1的正方形纸片,多媒体课件.
教学过程
第一环节：情境引入
导入一:
七年级的时候,我们学习了有理数,知道了整数和分数统称为有理数,考虑下面的问题:
(1)一个整数的平方一定是整数吗?
(2)一个分数的平方一定是分数吗?
[设计意图]做必要的知识回顾,为第二环节埋下伏笔,便于后续问题的说理,为后续环节的进行起了很好的铺垫作用.
导入二:
一个等腰直角三角形的直角边长为1,那么它的斜边长等于多少?利用勾股定理计算一下.
【总结】我们在小学学了非负数,在七年级发现数不够用了,引入了负数,即把小学学过的正数、零扩充到有理数的范围,有理数包括整数和分数,那么有理数范围是否能满足我们实际生活的需要呢?
第二环节：新知构建
探究活动
问题:x是整数(或分数)吗?
2.把边长为1的两个小正方形,通过剪、拼,设法拼成一个大正方形,你会吗?
出示教材P21图2 - 1.
图2 - 1是两个边长为1的小正方形,剪一剪、拼一拼,设法得到一个大的正方形.
问题1:拼成后的正方形是什么样的呢?
问题2:拼成后的大正方形面积是多少?
问题3:若新的大正方形边长为a,a2=2,则:①a可能是整数吗?②a可能是分数吗?
2.1 认识无理数
19．(阿凡题：1071109)如图，在长方形ABCD中，∠DAE＝∠CBE＝ 45°，AD＝3. (1)求△ABE的面积； (2)AE的长是有理数还是无理数？请说明理由．你能估计它的大小吗？ (精确到0.1)
解：(1)∵∠DAE＝∠CBE＝45°，∴∠DEA＝∠CEB＝45°，∴AD ＝DE＝CE＝BC＝3，∠AEB＝90°，∴AB＝CD＝3＋3＝6，∴S△
17．一养鱼专业户欲将面积为288 m2的长方形鱼塘改为等面积的边长为l m的正方形． (1)l满足什么条件？l是有理数吗？请说明理由； (2)求l的值．(精确到0.1) 解：(1)由题意得l2＝288.∵162＝256<288，172＝289>288，∴16<l<17， ∴l不是整数．若l是分数，则平方应为分数，∴l不是分数，∴l不是有理 数 (2)∵16.972＝287.9809<288，16.982＝288.3204>288，∴16.97<l<16.98， ∴l≈17.0
12．在等式x2＝11中，下列说法正确的是( D ) A．x可能为整数 B．x可能为分数 C．x可能是有理数 D．x不是有理数 13．一个高为2 m，宽为1 m的长方形大门，对角线的长在两个相邻 的整数之间，这两个整数是__2__和__3__.
14．如图，在6×6的网格(小正方形的边长为1)中有一个三角形 ABC，则三角形ABC的周长是___8_.6_0_6___．(精确到0.001)
2.1认识无理数
赵荣山
无理数的由来：
如图：正方形ABCD中，边长 为 1 ，对角线长为 X ，那么由 勾股定理可知： X
X 2
2
1、那么X是整数吗？ 2、那么X是分数吗？
边长x
1<x<2 1.4<x<1.5 1.41<x<1.42 1.414<x<1.415 1.4142<x<1.4143
面积s
例 下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？
, 0.57，0.1010001000001….（相邻两个 1之间0的个数逐次加2） ．． 4 解：有理数有： 3.14， 3 ，0.57 无理数有： 0.1010001000001….
4 3.14， 3
．．
本节课你有学习了什么什么？
1.无理数的定义.
举出任意一分数，另一同学将此分数
化成小数.并总结此小数的形式? 结论：分数只能化成有限小数或 无限循环小数.
即任何有限小数或无限循环小数都是有理数.
而像0.585885888588885…，1.41421356…
2.2360679…等这些数的小数位数都是无限的,
但又是不循环的. 像这样无限不循环小数叫无理数.(以前我们 知道的圆周率π 就是一个无限不循环小数,故π 是无理数)
1<s<4
人教版八年级数学上册 认识无理数
第二章实数
2.1 认识无理数
第一环节：质疑
【想一想】
⑴一个整数的平方一定是整数吗？
⑵一个分数的平方一定是分数吗？
第二环节：课题引入
【算一算】
已知一个直角三角形的两条直角边长分别为1和2，算一算斜边长x的平方，问题：x是整数（或分数）吗？
【剪剪拼拼】
把边长为1的两个小正方形通过剪、拼，设法拼成一个大正方形，你会吗？第三环节：获取新知
【议一议】：已知22
a=，请问：①a可能是整数吗？②a可能是分数吗？
【释一释】：释1．满足22
a=的a为什么不是整数？
释2．满足22
a=的a为什么不是分数？
【忆一忆】：回顾“有理数”概念，既然a不是整数也不是分数，那么a一
定不是有理数，这表明：有理数不够用了，为“新数”（无
理数）的学习奠定了基础
【找一找】：在下列正方形网格中，先找出长度为有理数的线段，再找出
长度不是有理数的线段
第四环节：应用与巩固
【画一画1】：在右1的正方形网格中，画出两条线段：
1．长度是有理数的线段
2．长度不是有理数的线段（右1）
【画一画2】：在右2的正方形网格中画出四个三角形
2．三边长都是有理数 2．只有两边长是有理数
3．只有一边长是有理数 4．三边长都不是有理数
【仿一仿】：例：在数轴上表示满足()220x x =>的x
解： （右2）
仿：在数轴上表示满足()250x x =>的x
【赛一赛】：右3是由五个单位正方形组成的纸片，请你把
它剪成三块，然后拼成一个正方形，你会吗？试试看！ （右3）
第五环节：课堂小结
内容：
1．通过本课学习，感受有理数又不够用了， 请问你有什么收获与体会？
2．客观世界中，的确存在不是有理数的数，你能列举几个吗？
北师大版八年级数学上册：2.1《认识无理数》说课稿
北师大版八年级数学上册：2.1《认识无理数》说课稿
一. 教材分析
《认识无理数》是北师大版八年级数学上册第2.1节的内容。本节内容是在学
生已经掌握了有理数的概念和实数的概念的基础上进行的，是学生对实数系统的一次重要扩展。无理数是实数的一个子集，它不能表示为两个整数的比例，其小数部分是无限不循环的。这个概念的引入，不仅丰富了学生的数的概念，也为后续的三角函数、微积分等数学分支的学习打下了基础。
二. 学情分析
八年级的学生已经具备了一定的数学基础，对实数和有理数有一定的了解。但是，对于无理数的概念和性质，他们可能是初次接触，理解起来可能会有一定的困难。因此，在教学过程中，我将会注意通过生活中的实例和具体的数学问题，引导学生理解和接受无理数的概念。
三. 说教学目标
1.知识与技能：使学生理解无理数的概念，掌握无理数的性质，能够识
别和估算无理数。
2.过程与方法：通过观察、实验、推理等方法，让学生体验发现和探究
的过程，培养学生的数学思维能力。
3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的耐心和细心，
使学生体验到数学的乐趣。
四. 说教学重难点
1.教学重点：无理数的概念和性质。
2.教学难点：无理数的理解和应用。
五. 说教学方法与手段
1.教学方法：采用问题驱动法、案例教学法和小组合作学习法。
2.教学手段：利用多媒体课件、实物模型和数学软件辅助教学。
六. 说教学过程
1.导入：通过一个生活中的实例，如测量物体长度时遇到无法精确测量
的情况，引出无理数的概念。
2.新课讲解：讲解无理数的概念，通过具体的例子和数学性质，使学生
2.1认识无理数(副本)
1.999396<s<2.002225
1.4142< a<1.4143 1.99996164<s<2.00024449
事实上，a=1.41421356……
它是一个无限不循环小数。
• 面积为7的正方形的边长为x，请你 回答下列问题：
• （1）x的整数部分是多少？ • （2）把x的值精确到十分位时是多
少？精确到百分位呢？
• （3）x是有理数吗？并说明理由。
把下列各数划成小数， 你能发现什么？
3, 4 , 5 , 8 , 2 . 5 9 45 11
有理数总可以用有限小数或无限 循环小数表示.
任何有限小数或无限循环小数都 是有理数.
形成概念
无限不循环小数叫做无理数.
剖析：有理数与无理数的主要区别： ①无理数是无限不循环小数，有理
拓展
3、面积为6的长方形，长是宽 的2倍，则宽为（ C ） A、小数 B、分数 C、无理数 D、不能确定
拓展
4、下列结果中，一定是无理数的是 （ D） A、等腰三角形的高的长度 B、体积为有理数的正方体的边长 C、长方形的对角线的长度 D、边长为4的正方形的对角线的长度
谈谈收获
❖对自己说，你有什么收获！ ❖对教师说，你有什么疑惑！ ❖对同学说，你有什么提示！
探索真理
前一章我们学习了勾股定理，我们 知道，勾股定理在西方也叫毕达哥拉斯 定理。
(课件)2.1认识无理数
新知归纳
(2)有理数和无理数的区别：
有限小数 有理数 无限循环小数 小数 无限不循环小数——无理数
例1、下列各数中，哪些是有理数？
哪些是无理数？
. . 4 3.14, ,0. 5 7, 3
0.1010001000001
（相邻两个1之间的0的个数逐次加2个）
首先从一个与该问题的实质内容有着本质联系
的较大范围开始进行解决，再逐步缩小范围，
wenku.baidu.com
逐步逼近，以致最后达到问题所要求的解．在
解决比较困难的数学问题时，“逐次逼近法” 可以起到化难为易、化繁为简的作用．
你今天学到了什么？
作业：
全品相应课时
2.1 认识无理数
复习引入
整数 分数 统称为有理数． 1．有理数的概念：________和________ 无限循环小数表示，反 有限小数 或_______________ 2．有理数总可以用___________ 有限小数 过来，任何_______ _或_______________ 无限循环小数 也都是有理数．
但后来，这学派的一位年轻成员 希伯索斯(Hippasus) 发现边长为1的正 方形的对角线的长不能用有理数来表 示，这就动摇了毕达哥拉斯学派的信 条，引起了信徒们的恐慌，他们试图 封锁这一发现，然而希伯索斯偷偷将 这一发现传播出去，这为他招来了杀 身之祸，在他逃回家的路上，遭到毕 氏成员的围捕，被投入大海。
北师大版八年级数学上册：2.1《认识无理数》教案
北师大版八年级数学上册：2.1《认识无理数》教案
一. 教材分析
《认识无理数》是北师大版八年级数学上册第二章的第一节内容。本节课的主要内容是让学生了解无理数的概念，理解无理数与有理数的关系，以及掌握一些估算无理数大小方法。教材通过引入π和√2等实际例子，帮助学生建立起无理数的直观印象，进而引导学生通过观察、思考、探究，发现无理数的特点和性质。
二. 学情分析
学生在学习本节课之前，已经学习了有理数的相关知识，对数的概念有一定的了解。但是，学生对无理数的概念和性质可能感到陌生，理解起来有一定难度。因此，在教学过程中，教师需要关注学生的认知水平，通过生动具体的例子和实际操作，帮助学生理解和掌握无理数的概念。
三. 教学目标
1.了解无理数的概念，理解无理数与有理数的关系。
2.能够运用逼近法估算无理数的大小。
3.培养学生的观察能力、思考能力和动手能力。
四. 教学重难点
1.重点：无理数的概念和性质。
2.难点：理解无理数与有理数的关系，以及运用逼近法估算无理数的大
小。
五. 教学方法
1.采用情境教学法，通过引入实际例子，激发学生的学习兴趣。
2.采用探究教学法，引导学生通过观察、思考、动手操作，自主发现无
理数的特点和性质。
3.采用讲解法，教师详细讲解无理数的概念和性质，引导学生理解和掌
握。
4.采用小组合作学习法，鼓励学生互相讨论、交流，共同解决问题。
六. 教学准备
1.准备相关课件和教学素材。
2.准备计算器、纸张等学习工具。
七. 教学过程
1.导入（5分钟）
利用课件展示π和√2的实际应用场景，如圆的周长和物体尺寸的测量等，引发学生对无理数的兴趣。同时，提出问题：“你们认为π和√2是什么类型的数？”让学生思考并发表观点。