陕西省西安市昆仑中学高考数学一轮复习讲义 第57课时 曲线与方程 理

443 课题：曲线与方程

考纲要求：了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系.

教材复习

1.曲线的方程与方程的曲线

在直角坐标系中，如果某曲线C （看作适合某种条件的点的集合或轨迹）上的点与一个二元方程(,)0f x y =的实数解建立了如下关系：

()1曲线上的点的坐标都是这个方程的 ；()2以这个方程的解为坐标的点都是 那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线（图形）.

2.两曲线的交点

设曲线1C 的方程为()1,0F x y =，曲线2C 的方程为()2,0F x y =，则曲线12,C C 的交点坐标

即为方程组 的实数解，若此方程组无解，则两曲线12,C C . 3.求动点轨迹方程的一般步骤

①建系：建立适当的坐标系；②设点：设轨迹上的任一点(),P x y ；③列式：列出动点P 所满足的关系式；④代换：依条件的特点，选用距离公式、斜率公式等将其转化为,x y 的方程式，并化简；⑤证明：证明所求方程即为符合条件的动点轨迹方程.

4.求轨迹方程常用方法

()1直接法：直接利用条件建立,x y 之间的关系(),0F x y =；

()2定义法：先根据定义得出动点的轨迹的类别，再由待定系数法求出动点的轨迹方程. ()3待定系数法：已知所求曲线的类型，求曲线的方程.先根据所求曲线类型设出相应曲线的方程，再由条件确定其待定系数；

()4代入法（相关点法）

：动点(),P x y 依赖于另一动点()00,Q x y 的变化而变化，并且()00,Q x y 又在某已知曲线上，则可先用,x y 的代数式表示00,x y ，再将00,x y 带入已知曲线得要求的轨迹方程.

()5参数法：当动点(),P x y 的坐标,x y 之间的关系不易直接找到，也没有相关动点可用时，可考虑将,x y 均用一中间变量（参数）表示，得参数方程，再消去参数得普通方程.

5.对于中点弦问题，常用“点差法”

：其步骤为：设点，代入，作差，整理. 基本知识方法

1.掌握“方程与曲线”的充要关系；

2.求轨迹方程的常用方法：轨迹法、定义法、代入法、参数法、待定系数法、直接法和交轨法、向量法. 要注意“查漏补缺，剔除多余”.

典例分析：

考点一 曲线与方程

问题1．()1(06武汉调研)如果命题“坐标满足方程(,)0f x y =的点都在曲线C 上” 是不正确的，那么下列命题正确的是

.A 坐标满足方程(,)0f x y =的点都不在曲线C 上；

.B 曲线C 上的点不都满足方程(,)0f x y =；

.C 坐标满足方程(,)0f x y =的点有些在曲线C 上，有些不在曲线C 上；

.D 至少有一个点不在曲线C 上，其坐标满足方程(,)0f x y =.

444 ()2如果曲线C 上的点满足方程(,)0f x y =，则以下说法正确的是：

.A 曲线C 的方程是(,)0f x y =；

.B 方程(,)0f x y =的曲线是C ；

.C 坐标满足方程(,)0f x y =的点在曲线C 上；

.D 坐标不满足方程(,)0f x y =的点不在曲线C 上；

()3判断下列结论的正误，并说明理由：

① 过点()3,0A 且垂直于x 轴的直线的方程为3x =；

②到x 轴距离为2的点的直线的方程为2y =-；

③到两坐标轴的距离乘积等于1的点的轨迹方程为1xy =；

④ABC △的顶点()0,3A -，()1,0B ，()1,0C -，D 为BC 的中点，则中线AD 的方程为0x =.

()4

作出方程y =

所表示的曲线.

()5（2011北京）曲线C 是平面内与两个定点()11,0F -和()21,0F 的距离的积等于常数 2(1)a a >的点的轨迹.给出下列三个结论：

① 曲线C 过坐标原点；

② 曲线C 关于坐标原点对称；

③若点P 在曲线C 上，则12F PF △的面积大于212

a . 其中，所有正确结论的序号是

445 考点二 直接法求轨迹方程

问题2．（2011全国新课标）在平面直角坐标系xOy 中，

已知点()0,1A -，B 点在直线3y =- 上，M 点满足//MB OA uuu r uu r ， MA AB MB BA ⋅=⋅uuu r uu u r uuu r uu r ，M 点的轨迹为曲线C .

（Ⅰ）求C 的方程；（Ⅱ）略.

考点三 定义法求轨迹方程

问题3．已知ABC △中，A ∠、B ∠、C ∠所对的边分别为,,a b c ，且a c b >> 成等差数列，2AB =，求顶点C 的轨迹方程.

考点四 代入法（相关点法）求轨迹方程

446 问题4．（2011陕西）如图，设P 是圆22

25x y +=上的动点，点D 是P 在x 轴上投影，M 为PD 上一点，且4||||5

MD PD =． ()1当P 在圆上运动时，求点M 的轨迹C 的方程；

()2求过点()3,0且斜率为

45

的直线l 被C 所截线段的长度．

课后作业： 1.方程()()22

22440x y -+-=表的图形是 .A 两个点.B 四个点.C 两条直线.D 四条直线

2.设曲线C 是到两坐标轴距离相等点的轨迹，那么C 的方程是

.A 0x y -=.B 0x y -=.C ||||0x y -=.D ||y x =和||x y =

3.已知221x y +=点(1,0)A ，ABC △内接于圆，且60BAC ∠=o ，当,B C 在圆上运动时，BC 中点的轨迹方程是