高三数学函数的实际应用

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高三数学教学中的实践案例分享

高三数学教学中的实践案例分享在高三数学教学中，提供实践案例的分享可以帮助学生更好地理解和应用数学知识。

通过真实案例的引入，学生能够理解数学知识在实际生活中的应用，提高学习兴趣和动力。

本文将分享一些高三数学教学中的实践案例，帮助教师和学生更好地应对数学学习的挑战。

1. 实践案例一：统计与概率假设有一所学校的校车每天搭载学生上下学。

为了提高运输效率，校方决定针对校车的乘客数量进行统计分析，并计算不同时间段的平均乘客人数。

学生们收集了一周的数据，并绘制了每天上下学时间段内的乘客人数柱状图。

教师可以利用这个实践案例帮助学生掌握统计与概率中的相关概念和方法，比如平均值、极差、频率分布等。

学生们可以通过计算每天的平均乘客人数和分析柱状图，进一步掌握统计数据的分析和解读能力。

2. 实践案例二：函数与图像假设学生们参加了一次数学竞赛，并且获得了一系列关于得分与时间的数据。

他们需要通过这些数据来绘制得分与时间之间的函数关系图，并进一步分析函数的特征。

教师可以利用这个实践案例帮助学生理解函数与图像的关系，并巩固函数的概念和性质。

学生们通过绘制函数图像、计算函数值和分析函数特征，可以更好地理解函数的变化规律和应用。

3. 实践案例三：几何与空间假设学生们参观了一座古建筑，并观察到建筑物中存在着一些几何形状，比如圆柱、球体、锥体等。

学生们需要通过测量和观察，计算这些几何形状的表面积和体积，并进一步分析它们的特征和应用。

教师可以利用这个实践案例帮助学生巩固几何与空间中的相关概念和计算方法。

学生们可以通过测量和计算几何形状的表面积和体积，进一步理解几何形状的性质和应用，提升几何计算能力。

通过以上实践案例的分享与探索，高三学生们可以更好地理解和应用数学知识。

实践案例的引入不仅能够提高学生对数学学习的兴趣和动力，还能够培养学生的实际问题解决能力和数学建模能力。

因此，教师们在高三数学教学中应充分利用实践案例的方法，提供更多真实、生动的案例，引导学生进行实际问题的解决和数学知识的应用。

函数应用问题-学会解题之高三数学多题一解【解析版】

函数应用问题【高考地位】应用题是指利用数学知识解决一些非数学领域中的问题，在近几年全国各地高考中经常出现。

数学的高度抽象性决定了数学应用的广泛性，因而应用题的非数学背景是多种多样的，解应用题往往需要在陌生的情景中去理解、分析给出的有关问题，并舍弃与数学无关的非本质因素，通过抽象转化成相应的数学问题，或许正是这个原因让学生比较惧怕数学应用题。

在高考中要处理好函数应用题，学会数学建模分析的步骤和掌握数学建模的具体方法是关键.方法解函数应用题的一般步骤万能模板内容使用场景函数的实际应用问题解题模板第一步审题——弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系；第二步建模——将文字语言转化成数学语言，用数学知识建立相应的数学模型；第三步解模——求解数学模型，得到数学结论；第四步还原——将用数学方法得到的结论还原为实际问题的意义；第五步反思——对于数学模型得到的数学结果，必须验证这个数学结果对实际问题的合理性.例1.已知某公司生产某产品的年固定成本为100万元，每生产1千件需另投入27万元，设该公司一年内生产该产品x 千件()025x <≤并全部销售完，每千件的销售收入为()R x 万元，且()21108,(010)3{ 17557,(1025)x x R x x x x-<≤=-++<≤.⑴ 写出年利润()f x （万元）关于年产量x （千件）的函数解析式；⑴ 当年产量为多少千件时，该公司在这一产品的生产中所获年利润最大？（注：年利润＝年销售收入-年总成本）.【答案】(1)详见解析;(2) 9千件.【解析】第一步，审题——弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系；某公司的年固定成本为100万元，每生产1千件需另投入27万元，设该公司一年内生产该产品x 千件()025x <≤并全部销售完，每千件的销售收入为()R x 万元，且()21108,(010)3{ 17557,(1025)x x R x x x x-<≤=-++<≤. 第二步，建模——将文字语言转化成数学语言，用数学知识建立相应的数学模型；当010x <≤时，第三步，解模——求解数学模型，得到数学结论；第四步，还原——将用数学方法得到的结论还原为实际问题的意义；第五步，反思——对于数学模型得到的数学结果，必须验证这个数学结果对实际问题的合理性.考点：1、函数的解析式及定义域；2、函数的单调性．【点评】(1)由年利润＝年销售收入-年总成本，结合()R x ，即可得到所求()f x 的解析式；(2)由()1的解析式，我们求出各段上的最大值，即利润的最大值，然后根据分段函数的最大值是各段上最大值的最大者，即可得到结果。

高三幂函数知识点

高三幂函数知识点幂函数是数学中常见的一类函数，其中最为典型的就是高三幂函数。

高三幂函数是指幂指数为3的函数，可以表示为f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d的形式。

在高三数学学习中，掌握高三幂函数的相关知识点对于解题和理解函数的性质非常重要。

本文将从定义、图像、性质以及函数应用等方面来介绍高三幂函数的知识要点。

一、定义高三幂函数是由幂指数为3的变量函数所构成的，函数表达式为f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d，其中a、b、c、d为常数，a≠0。

其中，a决定了函数的开口方向，正值开口向上，负值开口向下；b、c、d分别对应二次项、一次项和常数项的系数。

二、图像特点高三幂函数的图像特点与其系数a的正负值有关。

当a>0时，函数图像开口朝上；当a<0时，函数图像开口朝下。

而且，当幂函数为3次时，其图像可能与x轴交于三个不同的点，也可能与x轴相切于某一点。

这些交点或者切点被称为函数的零点。

三、性质1. 零点和与坐标轴的交点：在图像上，高三幂函数的零点是与x轴交点的横坐标值，也是函数的解；与y轴的交点为函数的截距点，对应的坐标为(0, d)。

2. 单调性：当a>0时，高三幂函数在定义域上单调递增，当a<0时，高三幂函数在定义域上单调递减。

3. 奇偶性：高三幂函数在定义域上为奇函数，即满足f(-x) = -f(x)的性质。

4. 极值点：由于高三幂函数的图像可能存在局部最小值或者最大值，因此其极值点可以通过求导数或者观察图像得到。

5. 函数的拐点：高三幂函数的拐点是函数图像从凹向上凸或者从凸向上凹的点，对应的坐标为(x, f(x))。

四、函数应用高三幂函数在实际问题中具有广泛的应用，下面列举一些常见的应用场景：1. 物体的运动问题：高三幂函数可用于描述物体的运动状态，如自由落体运动、弹性碰撞等。

2. 经济学中的成本、收益分析：高三幂函数可以用来分析成本和收益之间的关系，从而对经济决策进行评估和优化。

高三数学一轮复习知识点专题2-7函数的图象及其应用

高三数学一轮复习知识点专题专题专题2-7函数的图象及其应用【核心素养分析】1.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数；2.会运用基本初等函数的图象分析函数的性质，解决方程解的个数与不等式解的问题.3.培养学生逻辑推理、直观想象、数学运算的素养。

【重点知识梳理】知识点一利用描点法作函数的图象步骤：(1)确定函数的定义域；(2)化简函数解析式；(3)讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性等)；(4)列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等)，描点，连线.知识点二利用图象变换法作函数的图象 (1)平移变换(2)对称变换y ＝f (x )的图象――→关于x 轴对称y ＝－f (x )的图象； y ＝f (x )的图象――→关于y 轴对称y ＝f (－x )的图象； y ＝f (x )的图象――→关于原点对称y ＝－f (－x )的图象；y ＝a x (a >0，且a ≠1)的图象――——————————→关于直线y ＝x 对称y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图象. (3)伸缩变换y ＝f (x )―——————————————————―→纵坐标不变各点横坐标变为原来的1a（a >0）倍y ＝f (ax ).y ＝f (x )―——————————————————―→横坐标不变各点纵坐标变为原来的A (A >0)倍y ＝Af (x ).(4)翻折变换y ＝f (x )的图象―————————————————―→x 轴下方部分翻折到上方x 轴及上方部分不变y ＝|f (x )|的图象；y ＝f (x )的图象―————————————————―→y 轴右侧部分翻折到左侧原y 轴左侧部分去掉，右侧不变y ＝f (|x |)的图象.【特别提醒】记住几个重要结论(1)函数y ＝f (x )与y ＝f (2a －x )的图象关于直线x ＝a 对称. (2)函数y ＝f (x )与y ＝2b －f (2a －x )的图象关于点(a ，b )中心对称.(3)若函数y ＝f (x )对定义域内任意自变量x 满足：f (a ＋x )＝f (a －x )，则函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝a 对称.【典型题分析】高频考点一由函数式判断图像例1．【2020·天津卷】函数241xy x =+的图象大致为（）A BC D 【答案】A【解析】由函数的解析式可得：()()241xf x f x x --==-+，则函数()f x 为奇函数，其图象关于坐标原点对称，选项CD 错误；当1x =时，42011y ==>+，选项B 错误，故选A 。

函数模型及其应用

研动向考纲考向
【答案】 B
切脉搏核心突破
菜单
高三总复习·数学(理)
提素养满分指导
演实战沙场点兵
课时提升练
高三总复习·数学(理)
提
素
[命题规律预测]
养满
分
研
从近几年高考试题分析，对函数的实际应用问题的考指
动
导
向考
命题查多以社会实际生活为背景，涉及一次函数、二次函
纲
考向
规律数、分段函数等模型及其最值；题型以解答题为主，
演实
战
难度中档偏上．
沙场
切
点
脉
预测2016年高考对函数应用题的考查仍会以二次函
兵
搏核心
考向数、分段函数、指数函数模型为主，将与不等式、导
突预测
破
数知识交汇命题.
课时
提
升
练
菜单
高三总复习·数学(理)
提
素
考向一一次函数与二次函数模型的应用
考
演
向利润分别为f(x)，g(x)万元，由题意可知f(x)＝k1x，g(x)＝
实战
k2 x，其中k1，k2为常数．
切
沙场点
脉搏
∴根据图象可得f(x)＝0.25x(x≥0)，g(x)＝2 x(x≥0)．兵
核
心
突
破
课
时
提
升
练
菜单
高三总复习·数学(理)
(2)①由(1)得f(9)＝2.25，g(9)＝2 9＝6，
解得ab＝＝－1.50，.2， c＝－2.0.
实战沙场点兵

高考数学一轮复习讲练测(新教材新高考)专题3-9函数的实际应用-学生版

专题3.9 函数的实际应用练基础1.（2021·广东高三专题练习）某中学体育课对女生立定跳远项目的考核标准为：立定跳远距离1.33米得5分，每增加0.03米，分值增加5分，直到1.84米得90分后，每增加0.1米，分值增加5分，满分为120分．若某女生训练前的成绩为70分，经过一段时间的训练后，成绩为105分，则该女生训练后，立定跳远距离增加了（）A．0.33米B．0.42米C．0.39米D．0.43米2.（2020·四川省乐山沫若中学高一月考）2019年1月1日起我国实施了个人所得税的新政策，其政策的主要内容包括：（1）个税起征点为5000元；（2）每月应纳税所得额（含税）=收入-个税起征点-专项附加扣除；（3）专项附加扣除包括：①赡养老人费用，②子女教育费用，③继续教育费用，④大病医疗费用等，其中前两项的扣除标准为：①赡养老人费用：每月扣除2000元，②子女教育费用：每个子女每月扣除1000元，新的个税政策的税率表部分内容如下：现有李某月收入为18000元，膝下有一名子女在读高三，需赡养老人，除此之外无其它专项附加扣除，则他该月应交纳的个税金额为（）A．1800 B．1000 C．790 D．5603．（2021·浙江高一期末）为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民实行“阶梯水价”，计费方法如下表：若某户居民本月交纳的水费为54元，则此户居民的用水量为（）A ．36mB ．39mC ．315mD ．318m4．（2021·全国高三其他模拟（理））已知声音强弱的等级()f x (单位：dB)由声音强度x (单位：2W/m )决定．科学研究发现，()f x 与lg x 成线性关系，如喷气式飞机起飞时，声音强度为2100W/m 声音强弱的等级为140dB ；某动物发出的鸣叫，声音强度为21W/m ，声音强弱的等级为120dB ．若某声音强弱等级为90dB ，则声音强度为（）2W/mA ．0.001B ．0.01C ．0.1D ．15．（2021·全国高三其他模拟（理））2021年初我国脱贫攻坚战取得了全面胜利，现行标准下区域性整体贫困得到解决，完成了消除绝对贫困的艰巨任务．经过数据分析得到某山区贫困户年总收入与各项投入之间的关系是：贫困户年总收入y （元）=1200+4.1⨯年扶贫资金（元）+4.3⨯年自投资金（元）900+⨯自投劳力（个）．若一个贫困户家中只有两个劳力，2016年自投资金5000元，以后每年的自投资金均比上一年增长10%，2016年获得的扶贫资金为30000元，以后每年获得的扶贫资金均比上一年减少5000元，则该贫困户在2021年的年总收入约为()51.1 1.6≈（）A ．48100元B ．57900元C ．58100元D ．64800元 6．（2021·全国高三其他模拟（理））生物学家为了了解抗生素对生态环境的影响，常通过检测水中生物体内抗生素的残留量来进行判断．已知水中某生物体内药物残留量y （单位：mg ）与时间t （单位：年）近似满足关系式()1e t y λλ-=-，其中λ为抗生素的残留系数，当23t =时，910y λ=，则λ的值约为（ln10 2.3≈）（）A ．110B ．10C ．100D ．11007．（2021·山东聊城市·高三三模）声强级I L （单位：dB ）由公式1210lg 10I I L -⎛⎫=⎪⎝⎭给出，其中I 为声强（单位：W /m 2）一般正常人听觉能忍受的最高声强级为120dB ，平时常人交谈时声强级约为60dB ，那么一般正常人能忍受的最高声强是平时常人交谈时声强的（）A ．104倍B ．105倍C ．106倍D ．107倍8．（2021·陕西西安市·高三其他模拟（理））现在有红豆、白豆各若干粒.甲乙两人为了计算豆子的粒数，选用了这样的方法：第一轮甲每次取4粒红豆，乙每次取2粒白豆，同时进行，当红豆取完时，白豆还剩10粒；第二轮，甲每次取1粒红豆，乙每次取2粒白豆，同时进行，当白豆取完时，红豆还剩()*1620,n n n ∈<<N粒.则红豆和白豆共有________粒.9．（2021·江苏南通市·高三其他模拟）据观测统计，某湿地公园某种珍稀鸟类以平均每年4%的速度增加.按这个增长速度，大约经过___________年以后，这种鸟类的个数达到现有个数的4倍或4倍以上.(结果保留整数)(参考数据：lg 20.30,lg13 1.11≈≈)10．（2021·浙江高一期末）某公司生产某种电子产品的固定成本为2万元，每生产一台该产品需增加投入100元，已知总收入R （单位：元）关于月产量x （单位：台）满足函数：21400,0400280000,400x x x R x ⎧-≤≤⎪=⎨⎪>⎩（1）将利润()f x （单位：元）表示成月产量x 的函数（2）当月产量x 为何值时，公司所获利润最大，最大利润是多少？（利润+总成本=总收入）1．（2021·四川高三三模（理））一种药在病人血液中的量保持在不低于1500mg ，才有疗效；而低于500mg ，病人就危险．现给某病人的静脉注射了这种药2500mg ，如果药在血液中以每小时0020的比例衰减，则再向这种病人的血液补充这种药物的时间范围是（）A ．5551log 31,1log 41log 4⎛⎤- ⎥--⎝⎦ B ．5551log 31,1log 41log 4⎛⎫- ⎪--⎝⎭ C ．(]51log 3,1- D ．()51log 3,1-2．（2021·湖北武汉市·高三三模）2020年我国832个贫困县全部“摘帽”，脱贫攻坚战取得伟大胜利.湖北秭归是“中国脐橙之乡”，全县脐橙综合产值年均20亿元，被誉为促进农民增收的“黄金果”.已知某品种脐橙失去的新鲜度h 与其采摘后的时间t (天)满足关系式：t h m a =⋅.若采摘后10天，这种脐橙失去的新鲜度为10%，采摘后20天失去的新鲜度为20%，那么采摘下来的这种脐橙在多长时间后失去50%的新鲜度（）(已知lg 20.3≈，结果四舍五入取整数)A ．23天B ．33天C ．43天D ．50天3．（2021·全国高三其他模拟）生物学家为了了解滥用抗生素对生态环境的影响，常通过检测水中生物体内抗生素的残留量来作出判断．已知水中某生物体内抗生素的残留量y （单位：mg ）与时间t （单位：年）近似满足数学函数关系式()1t y e λλ-=-，其中λ为抗生素的残留系数．经测试发现，当23t =时，910y λ=，则抗生素的残留系数λ的值约为（）()ln10 2.3≈练提升A ．10B ．110C ．100D ．11004．（2021·全国高三其他模拟）大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回到自己出生的淡水流域产卵.记鲑鱼的游速为v (单位：m /s )，鲑鱼的耗氧量的单位数为Q .科学研究发现v 与3log 100Q 成正比，且当1m /s v =时，鲑鱼的耗氧量的单位数为900.现有如下说法：①v 与3log 100Q 的正比例系数为13k =； ②当2m/s v =时，鲑鱼的耗氧量的单位数为2700；③当鲑鱼的耗氧量的单位数为100时，游速1m /s v e=. 则说法正确的个数为（）A ．0B ．1C ．2D ．3 5．（2021·全国高三其他模拟）在新冠肺炎疫情初期，部分学者利用逻辑斯蒂增长模型预测某地区新冠肺炎患者数量()P t (t 的单位：天)，逻辑斯蒂增长模型具体为()0.420.4211tt e P t e K =⎛⎫+- ⎪⎝⎭，其中K 为环境最大容量.当()027.31KP t K K e=-+时，标志着已初步遏制疫情，则0t 约为（） A ．63B ．65C ．66D ．69 6．（2021·四川眉山市·高三三模（理））2021年3月20日，“沉睡三千年，一醒惊天下”的三星堆遗址向世人展示了其重大考古新发现——6个三星堆文化“祭祀坑”现已出土500余件重要文物.为推测文物年代，考古学者通常用碳14测年法推算，碳14测年法是根据碳14的衰变程度来计算出样品的大概年代的一种测量方法.2021年，考古专家对某次考古的文物样本上提取的遗存材料进行碳14年代测定，检测出碳14的残留量约为初始量的68%，已知碳14的半衰期（放射性物质质量衰减一半所用的时间）是5730年，且属于指数型衰减.以此推算出该文物大致年代是（）（参考数据：log 19034.7≈-，log 6834881≈-）A ．公元前1400年到公元前1300年B ．公元前1300年到公元前1200年C ．公元前1200年到公元前1100年D ．公元前1100年到公元前1000年7．（2021·山西太原市·太原五中高三二模（理））地震震级根据地震仪记录的地震波振幅来测定，一般采用里氏震级标准．震级M 用距震中100千米处的标准地震仪所记录的地震波最大振幅值的对数来表示．里氏震级的计算公式为：max 0lg A M A =（其中常数0A 是距震中100公里处接收到的0级地震的地震波的最大振幅；max A 是指我们关注的这次地震在距震中100公里处接收到的地震波的最大振幅）．地震的能量E 是指当地震发生时，以地震波的形式放出的能量． 4.8 1.51010M E =⨯（单位：焦耳），其中M 为地震震级．已知甲地地震产生的能量是乙地地震产生的能量的310倍，若乙地地震在距震中100公里处接收到的地震波的最大振幅为A ，则甲地地震在距震中100公里处接收到的地震波的最大振幅为（）A ．2AB ．10AC ．100AD ．1000A8．（2021·安徽合肥市·合肥一中高三其他模拟（文））自新冠病毒爆发以后，各国科技人员都在攻关疫苗的难题，近日我国在这一领域取得重大突破，国产疫苗在国际上受到广泛认可.我国在实验阶段为了研究T 型病毒的变化规律，将T 型病毒注入一个健康的小白鼠体内，根据观测统计的数据分析，小白鼠体内的病毒数y 与天数n 近似满足1*3()n y n N -=∈.已知T 型病毒在体内超过109个时，小白鼠就会死亡，但如果注射了某种药物可有效杀死体内的T 型病毒，为使小白鼠在实验过程中不会死亡，第一次注射该种药物最迟应在第___________天(参考数据：lg30.477=).9．（2021·浙江高一期末）砖雕是江南古建筑雕刻中很重要的一种艺术形式，传统砖雕精致细腻、气韵生动、极富书卷气．如图是一扇环形砖雕，可视为扇形OCD 截去同心扇形OAB 所得部分．已知扇环周长300cm =，大扇形半径100cm OD =，设小扇形半径cm OA x =，AOB θ∠=弧度，则①θ关于x 的函数关系式()x θ=_________．②若雕刻费用关于x 的解析式为()101700w x x =+，则砖雕面积与雕刻费用之比的最大值为________．10．（2021·浙江高一期末）为了响应国家提出的“大众创业，万众创新”的号召，王韦达同学大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业，经过市场调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本为2万元，每生产x 万件，需另投入可变成本()C x 万元，在年产量不足8万件时，21()33C x x x =+（万元）；在年产量不小于8万件时，100()837C x x x=+-（万元）．每件产品售价为7元，假设小王生产的商品当年全部售完．（1）写出年利润()f x （万元）关于年产量x （万件）的函数解析式（注：年利润=年销售收入-固定成本-可变成本）；（2）年产量x 为多少万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？1．（2020·全国高考真题（理））在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压.为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作.已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1600份的概率为0.05，志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者（）A ．10名B ．18名C ．24名D ．32名2．（2021·全国高考真题（文））青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L 和小数记录表的数据V 的满足5lg L V =+．已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据为（）（ 1.259≈） A ．1.5 B ．1.2 C ．0.8 D ．0.63.（2020·全国高考真题（文））Logistic 模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领城．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I (t )(t 的单位：天)的Logistic 模型：0.23(53)()=1e t I Kt --+，其中K 为最大确诊病例数．当I (*t )=0.95K 时，标志着已初步遏制疫情，则*t 约为（）（ln19≈3）A ．60B ．63C ．66D ．694．（2020·山东海南省高考真题）基本再生数R 0与世代间隔T 是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：(e )rtI t =描述累计感染病例数I (t )随时间t (单位:天)的变化规律，指数增长率r 与R 0，T 近似满足R 0 =1+rT .有学者基于已有数据估计出R 0=3.28，T =6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln2≈0.69) （）A ．1.2天B ．1.8天C ．2.5天D ．3.5天 5．（2019·全国高考真题（理））2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就，实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通练真题讯联系．为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日2L 点的轨道运行．2L 点是平衡点，位于地月连线的延长线上．设地球质量为M １，月球质量为M ２，地月距离为R ，2L 点到月球的距离为r ，根据牛顿运动定律和万有引力定律，r 满足方程：121223()()M M M R r R r r R +=++. 设r Rα=，由于α的值很小，因此在近似计算中34532333(1)ααααα++≈+，则r 的近似值为 ABCD6.（2018·上海高考真题）某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时．某地上班族S 中的成员仅以自驾或公交方式通勤．分析显示：当S 中x%（0<x <100）的成员自驾时，自驾群体的人均通勤时间为f (x )={30 ， 0<x ≤302x +1800x−90 ， 30<x <100 （单位：分钟），而公交群体的人均通勤时间不受x 影响，恒为40分钟，试根据上述分析结果回答下列问题：（1）当x 在什么范围内时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间？（2）求该地上班族S 的人均通勤时间g (x )的表达式；讨论g (x )的单调性，并说明其实际意义．。

高三数学导数的实际应用试题答案及解析

高三数学导数的实际应用试题答案及解析1.已知函数 ().（1）若,求函数的极值;（2）设．①当时,对任意,都有成立,求的最大值;②设的导函数.若存在,使成立,求的取值范围.【答案】（1）参考解析；（2）①－1－e－1，②(－1,+∞)【解析】（1）由函数 ()，且，所以对函数求导，根据导函数的正负性可得到结论（2）①当时,对任意,都有成立，即时，恒成立. 由此可以通过分离变量或直接求函数的最值求得结果，有分离变量可得b≤x2－2x－在x∈(0,＋∞)上恒成立.通过求函数h(x)＝x2－2x－ (x＞0)的最小值即可得到结论.②若存在,使.通过表示即可得到＝，所以求出函数u(x)＝(x＞1)的单调性即可得到结论.（1）当a＝2,b＝1时,f (x)＝(2＋)e x,定义域为(－∞,0)∪(0,＋∞).所以f ′(x)＝e x. 2分令f ′(x)＝0,得x1＝－1,x2＝,列表(0,)(,＋∞)－↗极大值极小值↗由表知f (x)的极大值是f (－1)＝e－1,f (x)的极小值是f ()＝4. 4分（2）①因为g (x)＝(ax－a)e x－f (x)＝(ax－－2a)e x,当a＝1时,g (x)＝(x－－2)e x.因为g (x)≥1在x∈(0,＋∞)上恒成立,所以b≤x2－2x－在x∈(0,＋∞)上恒成立． 7分记h(x)＝x2－2x－ (x＞0),则h′(x)＝.当0＜x＜1时,h′(x)＜0,h(x)在(0,1)上是减函数;当x＞1时,h′(x)＞0,h(x)在(1,＋∞)上是增函数;所以h(x)min＝h(1)＝－1－e－1;所以b的最大值为－1－e－1. 9分解法二：因为g (x)＝(ax－a)e x－f (x)＝(ax－－2a)e x,当a＝1时,g (x)＝(x－－2)e x.因为g (x)≥1在x∈(0,＋∞)上恒成立，所以g(2)＝－e2＞0,因此b＜0. 5分g′(x)＝(1＋)e x＋(x－－2)e x＝．因为b＜0,所以：当0＜x＜1时,g′(x)＜0,g(x)在(0,1)上是减函数；当x＞1时,g′(x)＞0,g(x)在(1,＋∞)上是增函数．所以g(x)min＝g(1)＝(－1－b)e－1 7分因为g (x)≥1在x∈(0,＋∞)上恒成立，所以(－1－b)e－1≥1,解得b≤－1－e－1因此b的最大值为－1－e－1. 9分②解法一：因为g (x)＝(ax－－2a)e x,所以g ′(x)＝(＋ax－－a)e x.由g (x)＋g ′(x)＝0,得(ax－－2a)e x＋(＋ax－－a)e x＝0,整理得2ax3－3ax2－2bx＋b＝0.存在x＞1,使g (x)＋g ′(x)＝0成立.等价于存在x＞1,2ax3－3ax2－2bx＋b＝0成立． 11分因为a＞0,所以＝.设u(x)＝(x＞1),则u′(x)＝．因为x＞1,u′(x)＞0恒成立,所以u(x)在(1,＋∞)是增函数,所以u(x)＞u(1)＝－1,所以＞－1,即的取值范围为(－1,＋∞). 14分解法二：因为g (x)＝(ax－－2a)e x,所以g ′(x)＝(＋ax－－a)e x.由g (x)＋g ′(x)＝0,得(ax－－2a)e x＋(＋ax－－a)e x＝0,整理得2ax3－3ax2－2bx＋b＝0.存在x＞1,使g (x)＋g ′(x)＝0成立.等价于存在x＞1,2ax3－3ax2－2bx＋b＝0成立. 11分设u(x)＝2ax3－3ax2－2bx＋b(x≥1)u′(x)＝6ax2－6ax－2b＝6ax(x－1)－2b≥-2b 当b≤0时,u′(x）≥0此时u(x)在[1,＋∞)上单调递增,因此u(x)≥u(1)＝－a－b因为存在x＞1,2ax3－3ax2－2bx＋b＝0成立所以只要－a－b＜0即可,此时－1＜≤0 12分当b＞0时,令x0＝＞＝＞1,得u(x)＝b＞0,又u(1)＝－a－b＜0于是u(x)＝0,在(1,x)上必有零点即存在x＞1,2ax3－3ax2－2bx＋b＝0成立,此时＞0 13分综上有的取值范围为(－1,+∞)------14分【考点】1.函数的极值.2.函数最值.3.函数恒成立问题.4.存在性的问题.5.运算能力.2.将一个边长分别为a、b(0<a<b)的长方形的四个角切去四个相同的正方形，然后折成一个无盖的长方体形的盒子．若这个长方体的外接球的体积存在最小值，则的取值范围是________．【答案】【解析】设减去的正方形边长为x，其外接球直径的平方R2＝(a－2x)2＋(b－2x)2＋x2，由R′＝0，∴x＝(a＋b)．∵a<b，∴x∈，∴0<(a＋b)< ，∴1<<.3.对于三次函数，给出定义：是函数的导函数，是的导函数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”.某同学经研究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且拐点就是对称中心.若，请你根据这一发现，求：（1）函数的对称中心为__________；（2）=________.【答案】(1)；（2）2013.【解析】，，令，∴，∴∴对称中心为，∴，∴.【考点】1.新定义题；2.导数.4.已知，函数．（1）当时，写出函数的单调递增区间；（2）当时，求函数在区间[1，2]上的最小值；（3）设，函数在（m，n）上既有最大值又有最小值，请分别求出m，n的取值范围（用a表示）．【答案】（1）；（2）；（3）详见解析.【解析】（1）对于含绝对值的函数一般可通过讨论去掉绝对值化为分段函数再解答，本题当时，函数去掉绝对值后可发现它的图象是由两段抛物线的各自一部分组成，画出其图象，容易判断函数的单调递增区间；（2）时，所以，这是二次函数，求其在闭区间上的最小值，一般要分类讨论，考虑对称轴和区间的相对位置关系，从而判断其单调性，从而求出最小值；（3）函数在开区间上有最大值和最小值，必然要使开区间上有极大值和极小值，且使极值为最值，由于函数是与二次函数相关，可考虑用数形结合的方法解答.试题解析：（1）当时，, 2分由图象可知，的单调递增区间为． 4分（2）因为，所以． 6分当，即时，； 7分当，即时，． 8分． 9分（3）， 10分①当时，图象如图1所示．图1由得． 12分②当时，图象如图2所示．图2由得． 14分【考点】含绝对值的函数、二次函数.5.设，当时，恒成立，则实数的取值范围为。

2023版高考数学一轮总复习第二章函数2.7函数的应用第2课时函数模型及其应用课件

70 ≈100r.
若 r＝3%，f(x)≥2a，则 x 的最小整数值为
()
A. 22
B. 25
C. 23
D. 24
解：依题意可得
a(1＋3%)x≥2a，即
ln2
0.693
x≥ln（1＋3%）≈ 3%
15≈1007×03%＝730≈23.
2. 三种函数模型性质比较
性质
在(0，＋∞) 上的单调性
增长速度
图象的变化
y＝ax(a＞1)
增函数
越来越快随 x 值增大，
图象与 y 轴接近平行
函数 y＝logax(a＞1)
增函数
越来越慢随 x 值增大，
图象与 x 轴接近平行
y＝xn(n＞0) 增函数
相对平稳随 n 值变化而不同
3. 用函数建立数学模型解决实际问题的基本过程 (1)分析和理解实际问题的增长情况(是“对数增长”“直线上升”还是“指数爆炸”或其他)； (2)根据增长情况选择函数类型构建数学模型，将实际问题化归为数学问题； (3)通过运算、推理求解函数模型； (4)用得到的函数模型描述实际问题的变化规律、解决有关问题.
利息与本金加在一起作为本金，再计算下一期利息. 假设最开始本金f(x).
若
f(x)≥2a，则
a(1＋r)x≥2a，解得
ln2 x≥ln（1＋r）.
银行业中经常
使用“70 原则”，因为 ln2≈0. 693 15，而且当 r 比较小时，ln(1＋r)≈r，所以ln（l1n＋2 r）≈0.69r3 15
≈3α3，则 r 的近似值为
()
A.
MM21R
B.
2MM21R
C. 3 3MM12R

高三数学学习中的数学探索与发现

高三数学学习中的数学探索与发现数学作为一门智力运用和逻辑推理的学科，对于高三学生来说，既是一种挑战，也是一种机遇。

在数学学习的过程中，学生有机会去探索和发现数学的奥秘，不断提升解题的能力和思维的灵活性。

本文将通过几个重要的数学领域，探讨高三数学学习中的数学探索与发现。

一、函数与方程函数与方程是高中数学的基础，也是高考数学中的重点。

在高三数学学习中，学生将进一步深入理解函数与方程的概念和性质，探索它们之间的联系。

通过解析几何和代数运算的结合，学生可发现函数与方程在实际问题中的应用。

例如，通过解线性方程组的方法，可以解决出行问题中的距离、速度和时间的关系；利用函数的性质，可以描述物体的运动轨迹等。

在学习过程中，学生还会通过解题的过程，发现不同函数类型的特点和变化规律，培养对函数与方程的理解和灵活运用能力。

二、概率与统计概率与统计是实际生活中广泛应用的数学领域。

高三学生在学习概率与统计时，将体会到它的实用性和普适性。

通过分析样本调查、统计数据和现象，学生可以探索概率与统计的规律。

例如，在推断统计问题中，学生可以设计合理的实验方案，积极收集和整理数据，通过统计方法分析数据得出结论。

在解决实际问题时，学生还会遇到复杂统计模型，需要灵活运用概率与统计的知识和技巧。

通过解题实践，学生可以深入理解概率与统计的意义和应用，提升思维的严密性和创新性。

三、数列与数学归纳法数列与数学归纳法是高三数学中的重要内容，也是数学探索的重要途径。

通过研究数列的性质和数学归纳法的运用，学生能够探讨数学中的一些规律和结论。

在数学学习中，学生会遇到各种数列类型，如等差数列、等比数列等，通过观察数列的图形、规律和通项公式，学生可以推测和证明数列的特性。

同时，数学归纳法也是数学证明的重要方法，学生需要通过数学归纳法的推理过程，证明各种数列的性质和结论。

数列与数学归纳法的学习，培养了学生的逻辑思维和证明能力，提升了他们的数学综合素养。

四、解析几何解析几何在高三数学中占有重要地位，是数学学习的重点和难点。

高三数学函数的实际应用

例8 某摩托车生产企业, 上年度生产摩托车的投入成本为 1 万元/辆, 出厂价为 1.2 万元/辆, 年销售量为 1000 辆. 本年度为适应市场需求, 计划提高产品档次, 适度增加投入成本. 若每辆车投入成本增加的比例为 x(0<x<1), 则出厂价相应的提高比例为 0.75x, 同时预计年销售量增加的比例为 0.6x, 已知年利润 =(出厂价-投入成本)×年销售量. (1)写出本年度预计的年利润 y 与投入成本增加的比例 x 的关系式; (2)为使本年度的年利润比上年有所增加, 问投入成本增加的比例 x 应在什么范围内? 解: (1)依题意得: y=[1.2(1+0.75x)-1(1+x)]1000(1+0.6x), 整理得: y=-60x2+20x+200(0<x<1). 此即为所求关系式.
解答函数应用题的一般步骤
1.阅读理解材料读懂题目所叙述的实际问题的意义, 接受题目所约定的临时定义, 理顺题目中的量与量的数量关系、位置关系, 分清变量与常量； 2.建立函数模型正确选择自变量将问题的目标表示为这个变量的函数, 建立目标函数关系式(关键是抓住某些量之间的相等关系列出函数式), 注意不要忘记考察函数的定义域； 3.求解函数模型讨论变量及函数模型的有关性质(单调性).
例5 某租赁公司拥有汽车 100 辆, 当每辆车的月租金为 3000 元时, 可全部租出; 当每辆车的月租金每增加 50 元时, 未租出的车将会增加一辆. 租出的车每辆每月需要维护费 150 元, 未租出的车每辆每月需要维护费 50 元. (1)当每月每辆车的租金定为 3600 元时, 能租出多少辆车? (2)当每辆车的月租金定为多少元时, 租赁公司的月收益最大? 最大收益是多少? 解: (1)当每辆车的月租金定为 3600 元时, 未租出的车辆数为: (3600-3000)50=12, ∴这时租出了 88 辆车. (2)设每辆车的月租金定为 x(x=50k, kN* ) 元, 则租赁公司的月收益 f(x)=(100- x-3000 )(x-150)- x-3000×50 50 50 2 1 x =- 50 +162x-2100 =- 50 (x-4050)2+307050. ∴当 x=4050 时, f(x) 取最大值 307050. 即当每辆车的月租金定为 4050 元时, 租赁公司的月收益最大, 最大月收益是 307050 元.

届高三数学一轮复习-函数的图像及其应用(共58张PPT)

考点贯通
抓高考命题的“形”与“神”
作函数的图象
[例 1] 作出下列函数的图象： (1)y＝12|x|； [解] 作出 y＝12x 的图象，保留 y＝12x 图象中 x≥0 的部分，加上 y＝12x 的图象中 x>0 部分关于 y 轴的对称部分，即得 y＝12|x|的图象，如图中实线部分．
(2)y＝|log2(x＋1)|； (3)y＝2xx－－11； [解] (2)将函数 y＝log2x 的图象向左平移 1 个单位，再将 x 轴下方的部分沿 x 轴翻折上去，即可得到函数 y＝|log2(x＋1)|的图象，如图． (3)因为 y＝2xx－－11＝2＋x－1 1，故函数图象可由 y＝1x的图象向右平移 1 个单位，再向上平移 2 个单位而得，如图．
(2)伸缩变换：
f(ωx) ． y＝f(x)―0―<AA>―<1―，1，―横横―坐坐―标―标不―不变―变，―，纵―纵―坐坐―标标―伸缩―长―短为―为原―原来―来的―的―AA倍―倍→ y＝ Af(x) ．
(3)对称变换： y＝f(x)―关―于―x―轴―对―称→y＝－f(x) ； y＝f(x)―关―于―y―轴―对―称→y＝ f(－x)； y＝f(x)―关―于―原――点―对―称→y＝－f(－x) ． (4)翻折变换： y＝f(x)―去将―掉―y轴y―轴右―左边―边的―图―图， ―象―保翻―留折―y到轴―左―右边―边―去图→y＝ f(|x|) ； y＝f(x)―将―x―轴―下―方保―的留―图x―轴象―上翻―方―折图―到―上―方―去→y＝ |f(x)| .
⊥AB交AB于E，当l从左至右移动(与线段
AB有公共点)时，把四边形ABCD分成两部分，设AE＝x，
左侧部分的面积为y，则y关于x的图象大致是

备战高考数学复习考点知识与题型讲解18---函数模型的应用

备战高考数学复习考点知识与题型讲解第18讲函数模型的应用考向预测核心素养考查根据实际问题建立函数模型解决问题的能力，常与函数图象、单调性、最值及方程、不等式交汇命题，各种题型均有可能，中档难度.数学建模一、知识梳理1．六种常见的函数模型函数模型函数解析式一次函数模型f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0)二次函数模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)指数函数模型f(x)＝ba x＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0)对数函数模型f(x)＝b logax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0)幂函数模型f(x)＝ax n＋b(a，b，n为常数，a≠0，n≠0)“对勾”函数模型y＝x＋ax(a为常数，a>0)2.三种函数模型性质比较y＝a x(a>1)y＝logax(a>1)y＝x n(n>0) 在(0，＋∞)上的单调性增函数增函数增函数增长速度越来越快越来越慢相对平稳图象的变化随x值增大，图象与y轴接近平行随x值增大，图象与x轴接近平行随n值变化而不同3.用函数建立数学模型解决实际问题的基本过程常用结论1．“直线上升”是匀速增长，其增长量固定不变；“指数增长”先慢后快，其增长量成倍增加，常用“指数爆炸”来形容；“对数增长”先快后慢，其增长速度缓慢．2．“对勾”函数f (x )＝x ＋a x(a >0)在(0，＋∞)上的性质：在(0，a ]上单调递减，在[a ，＋∞)上单调递增，当x ＝a 时f (x )取最小值2a .二、教材衍化1．(人A 必修第一册P 152例6改编)某校拟用一种喷雾剂对宿舍进行消毒，需对喷雾完毕后空气中每立方米药物残留量y (单位：毫克)与时间x (单位：时)的关系进行研究，为此收集部分数据并做了初步处理，得到如图散点图．现拟从下列四个函数模型中选择一个估计y 与x 的关系，则应选用的函数模型是( )A ．y ＝ax ＋bB.y ＝a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫14x＋b (a >0)C ．y ＝x a ＋b (a >0) D.y ＝ax ＋b x(a >0，b >0)解析：选 B.由散点图可知，函数在(0，＋∞)上单调递减，且散点分布在一条曲线附近，函数y ＝a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫14x＋b 的图象为一条曲线，且当a >0时，该函数单调递减，符合题意，故选B.2.(多选)(人A 必修第一册P 155习题4.5T 9改编)如图，某池塘里浮萍的面积y (单位：m 2)与时间t (单位：月)的关系为y ＝a t .关于下列说法中正确的是( )A ．浮萍每月的增长率为1B ．第5个月时，浮萍面积就会超过30 m 2C ．浮萍每月增加的面积都相等D ．若浮萍蔓延到2 m 2，3 m 2，6 m 2所经过的时间分别是t 1，t 2，t 3，则t 1＋t 2＝t 3 解析：选ABD.把(1，2)代入y ＝a t ，可得函数解析式为y ＝2t ，因为2t ＋1－2t2t ＝1，所以每月增长率为1，A 对；当t ＝5时，y ＝32>30，所以B 对；第2个月增加2 m 2，第3个月增加4 m 2，C 错；由2t 1＝2，2t 2＝3，2t 3＝6，所以2t 1·2t 2＝2t 3，故t 1＋t 2＝t 3，D 对．3．(人A 必修第一册P 96习题3.4T 5改编)下表是弹簧伸长长度x (单位：cm)与拉力F (单位：N)的相关数据：x 14.2 28.8 41.3 57.5 70.2 F12345写出能反映这一变化现象的函数为________．(不唯一)解析：根据点的分布特征，可以考虑用函数x ＝kF ＋b (k ≠0)作为刻画弹簧伸长长度与拉力关系的函数模型．取两组数据(1，14.2)，(4，57.5)，则⎩⎨⎧k ＋b ＝14.2，4k ＋b ＝57.5，解得⎩⎨⎧k ≈14.4，b ≈－0.2，所以x ＝14.4F －0.2.将已知数据代入上述解析式，或作出函数图象，可以发现，这个函数模型与已知数据拟合程度较好．答案：x ＝14.4F －0.2一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)某种商品进价为每件100元，按进价增加10%出售，后因库存积压降价，若按九折出售，则每件还能获利．( )(2)函数y ＝2x的函数值比y ＝x 2的函数值大．( ) (3)不存在x 0，使ax 0<x n 0<log a x 0.( )(4)“指数爆炸”是指数型函数y ＝a ·b x ＋c (a ≠0，b >0，b ≠1)增长速度越来越快的形象比喻．( )答案：(1)× (2)× (3)× (4)× 二、易错纠偏1．(函数模型选择易误)某电视新产品投放市场后第一个月销售100台，第二个月销售200台，第三个月销售400台，第四个月销售790台，则下列函数模型中能较好地反映销量y 与投放市场的月数x 之间关系的是( )A ．y ＝100x B.y ＝50x 2－50x ＋100 C ．y ＝50×2xD.y ＝100log 2x ＋100解析：选C.根据函数模型的增长差异和题目中的数据可知，应为指数型函数模型，代入数据验证可知选C.2．(指数函数、对数函数性质不明致误)下面对函数f (x )＝log 12x 与g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 在区间(0，＋∞)上的衰减情况的说法中正确的为( )A ．f (x )的衰减速度越来越慢，g (x )的衰减速度越来越快B ．f (x )的衰减速度越来越快，g (x )的衰减速度越来越慢C ．f (x )的衰减速度越来越慢，g (x )的衰减速度越来越慢D．f(x)的衰减速度越来越快，g(x)的衰减速度越来越快解析：选C.在同一平面直角坐标系中画出f(x)与g(x)的图象如图所示，由图象可判断出衰减情况为：f(x)衰减速度越来越慢；g(x)衰减速度越来越慢，故选C.3．(平均增长率概念不清致误)某市生产总值连续两年持续增加．第一年的增长率为p，第二年的增长率为q，则该市这两年生产总值的年平均增长率为________．解析：设年平均增长率为x，则(1＋x)2＝(1＋p)(1＋q)，所以x＝（1＋p）（1＋q）－1.答案：（1＋p）（1＋q）－1考点一用函数图象刻画变化过程(自主练透)复习指导：能将实际问题转化为数学问题，会应用函数图象对实际问题进行描述．1．一种叫万年松的树的生长时间t(年)与树高y(m)之间的散点图如图所示．请你据此判断，拟合这种树生长的年数与树高的关系式，选择的函数模型最好的是( ) A．y＝2t B.y＝log2tC.y＝t3D.y＝2t2解析：选B.由图知，函数的增长速度越来越慢，排除A，C，D.选B.2．(2022·广州市综合检测(一))如图，一高为H且装满水的鱼缸，其底部装有一排水小孔，当小孔打开时，水从孔中匀速流出，水流完所用时间为T. 若鱼缸水深为h时，水流出所用时间为t，则函数h ＝f(t)的图象大致是( )解析：选B.水位由高变低，排除C，D.半缸前下降速度先快后慢，半缸后下降速度先慢后快，故选B.3．设甲、乙两地的距离为a(a>0)，小王骑自行车匀速从甲地到乙地用了20分钟，在乙地休息10分钟后，他又匀速从乙地返回到甲地用了30分钟，则小王从出发到返回原地所经过的路程y和其所用的时间x的函数图象为( )解析：选D.y为“小王从出发到返回原地所经过的路程”而不是位移，故排除A，C.又因为小王在乙地休息10分钟，故排除B，故选D.4．(多选)(2022·福建厦门高三质检)某医药研究机构开发了一种新药，据监测，如果患者每次按规定的剂量注射该药物，注射后每毫升血液中的含药量y(单位：微克)与时间t(单位：小时)之间的关系近似满足如图所示的曲线．据进一步测定，当每毫升血液中含药量不少于0.125微克时，治疗该病有效，则( )A．a＝3B．注射一次治疗该病的有效时间长度为6小时C．注射该药物18小时后每毫升血液中的含药量为0.4微克D．注射一次治疗该病的有效时间长度为53132小时解析：选AD.当t ＝1时，y ＝4，即⎝ ⎛⎭⎪⎫121－a＝4，解得a ＝3，所以y ＝⎩⎨⎧4t ，0≤t <1，⎝ ⎛⎭⎪⎫12t －3，t ≥1，故A 正确，药物刚好起效的时间，当4t ＝0.125，即t ＝132，药物刚好失效的时间⎝ ⎛⎭⎪⎫12t －3＝0.125，解得t ＝6，故药物有效时长为6－132＝53132小时，药物的有效时间不到6个小时，故B 错误，D 正确；注射该药物18小时后每毫升血液含药量为4×18＝0.5微克，故C 错误．判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的方法：(1)构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选图象．(2)验证法：根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择出符合实际情况的答案．考点二已知或选择函数模型解决实际问题(综合研析)复习指导：1.已知函数模型，用待定系数法确定解析式； 2．根据几种常见函数的增长差异选择函数模型．(1)(2022·江西高三月考)果农采摘水果，采摘下来的水果会慢慢失去新鲜度．已知在一定时间内，某种水果失去的新鲜度y 与其采摘后时间t (小时)近似满足的函数关系式为y ＝k ·m t (k ，m 为非零常数)，若采摘后20小时，这种水果失去的新鲜度为20%，采摘后30小时，这种水果失去的新鲜度为40%.那么采摘下来的这种水果大约经过多长时间后失去50%新鲜度(参考数据：lg 2≈0.3，结果取整数)( )A ．33小时 B.23小时 C ．35小时D.36小时(2)某地西红柿上市后，通过市场调查，得到西红柿的种植成本Q (单位：元/100 kg)与上市时间t (单位：天)的数据如下表：时间t60100 180 种植成本Q 11684116根据上表数据，从下列函数中选取一个函数描述西红柿的种植成本Q 与上市时间t 的变化关系：Q ＝at ＋b ，Q ＝at 2＋bt ＋c ，Q ＝a ·b t ，Q ＝a ·log b t . 利用你选取的函数，则①西红柿种植成本最低时的上市天数是________； ②最低种植成本是________元/100 kg. 【解析】 (1)由题意⎩⎨⎧k ·m 20＝20%k ·m 30＝40%，两式相除得m 10＝2，m ＝2110，代入得k ＝5%，所以y ＝5%·2t10，由50%＝5%·2t 10得2t10＝10，取对数得t 10lg 2＝1，t ＝10lg 2≈100.3≈33(小时)． (2)由题意知，种植成本与上市时间的变化关系应该用二次函数Q ＝at 2＋bt ＋c ，即Q ＝a (t －120)2＋m 描述，将表中数据代入可得⎩⎨⎧a （60－120）2＋m ＝116，a （100－120）2＋m ＝84，解得⎩⎨⎧a ＝0.01，m ＝80，所以Q ＝0.01(t －120)2＋80，故当上市天数为120时，种植成本取到最低值80元/100 kg.【答案】 (1)A (2)①120 ②80已知或选择函数模型解决实际问题的注意点(1)已知模型的实际问题，根据待定系数法确定模型，再利用模型求解实际问题．(2)选择模型的问题可结合函数图象，函数值的增长特点(增减、增长快慢)等选用合适的函数模型．|跟踪训练|(多选)纪录片《垃圾围城》真实地反映了城市垃圾污染问题，目前中国城市中有超过23的城市处于垃圾的包围之中，且城市垃圾中的快递行业产生的包装垃圾正在逐年攀升，有关数据显示，某城市从2018年到2021年产生的包装垃圾量如下表：有下列函数模型：①y ＝a ·b x －2 018；②y ＝a sin πx2 018＋b (参考数据：lg 2＝0.301 0，lg 3＝0.477 1)，则( )A ．选择模型①，函数模型解析式y ＝4·⎝ ⎛⎭⎪⎫32x －2 018，近似反映该城市近几年产生的包装垃圾y (万吨)与年份x 的函数关系B ．选择模型②，函数模型解析式y ＝4sin πx2 018＋2 018，近似反映该城市近几年产生的包装垃圾y (万吨)与年份x 的函数关系C ．若不加以控制，任由包装垃圾如此增长下去，从2023年开始，该城市的包装垃圾将超过40万吨D ．若不加以控制，任由包装垃圾如此增长下去，从2024年开始，该城市的包装垃圾将超过40万吨解析：选AD.若选y ＝4·⎝ ⎛⎭⎪⎫32x －2 018，计算可得对应数据近似为4，6，9，13.5，若选y ＝4sin πx2 018＋2 018，计算可得对应数据近似值都大于2 014，显然A 正确，B 错误；按照选择函数模型y ＝4·⎝ ⎛⎭⎪⎫32x －2 018，令y >40，即4×⎝ ⎛⎭⎪⎫32x －2 018>40，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫32x －2 018>10，所以x －2 018>log 3210，所以x －2 018>lg 10lg 32＝1lg 3－lg 2≈5.678 6，所以x >2 023.678 6，即从2024年开始，该城市的包装垃圾将超过40万吨，故C 错误，D 正确．考点三构建函数模型解决实际问题(多维探究)复习指导：1.分析题意，寻找实际问题中起决定作用的两个变量． 2．确定两个变量间的关系，选择合适的函数模型．角度1 构建二次函数、分段函数、“对勾”函数模型(链接常用结论2)小王大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业．经过市场调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本为3万元，每生产x 万件，需另投入流动成本为W (x )万元，在年产量不足8万件时，W (x )＝13x 2＋x (万元)．在年产量不小于8万件时，W (x )＝6x ＋100x－38(万元)．每件产品售价为5元．通过市场分析，小王生产的商品当年能全部售完．(1)写出年利润L (x )(万元)关于年产量x (万件)的函数解析式；(注：年利润＝年销售收入－固定成本－流动成本)(2)年产量为多少万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？【解】 (1)因为每件商品售价为5元，则x 万件商品销售收入为5x 万元，依题意得，当0<x <8时，L (x )＝5x －⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 2＋x －3＝－13x 2＋4x －3；当x ≥8时，L (x )＝5x －⎝ ⎛⎭⎪⎫6x ＋100x －38－3＝35－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋100x . 所以L (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－13x 2＋4x －3，0<x <8，35－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋100x ，x ≥8.(2)当0<x <8时，L (x )＝－13(x －6)2＋9.此时，当x ＝6时，L (x )取得最大值，为9万元．当x ≥8时，L (x )＝35－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋100x ≤35－2x ·100x＝35－20＝15，当且仅当x ＝100x时等号成立，即x ＝10时，L (x )取得最大值，为15万元．因为9<15，所以当年产量为10万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大，最大利润为15万元．角度2 构建指数函数、对数函数模型(1)(2022·长春高三摸底考试)2018年5月至2019年春，在阿拉伯半岛和伊朗西南部，沙漠蝗虫迅速繁衍，呈现几何式的爆发，仅仅几个月，蝗虫数量增长了8 000倍，引发了蝗灾，到2020年春季蝗灾已波及印度和巴基斯坦，假设蝗虫的日增长率为5%，最初有N 0只，则达到最初的16 000倍只需经过(参考数据：ln 1.05≈0.048 8，ln 16 000≈9.680 3)( )A ．191天 B.195天 C.199天D.203天(2)里氏震级M 的计算公式为：M ＝lg A －lg A 0，其中A 是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，A 0是相应的标准地震的振幅．假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1 000，此时标准地震的振幅为0.001，则此次地震的震级为________级；9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的________倍．【解析】(1)设过x天能达到最初的16 000倍，由已知可得，N0(1＋0.05)x＝16 000N0，所以x＝ln 16 000ln 1.05≈198.4，又x∈N，故经过199天能达到最初的16 000倍．(2)M＝lg 1 000－lg 0.001＝3－(－3)＝6.设9级地震的最大振幅和5级地震的最大振幅分别为A1，A2，则9＝lg A1－lg A0＝lg A1A，则A1A＝109，5＝lg A2－lg A0＝lgA2A，则A2A＝105，所以A1A2＝104.即9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的10 000倍．【答案】(1)C (2)6 10 000(1)建模解决实际问题的三个步骤①建模：抽象出实际问题的数学模型．②推理、演算：对数学模型进行逻辑推理或数学演算，得到问题在数学意义上的解．③评价、解释：对求得的数学结果进行深入的讨论，作出评价、解释，返回到原来的实际问题中去，得到实际问题的解．(2)构建函数模型解决实际问题，充分体现了数学建模的核心素养．[提醒] (1)构建函数模型时不要忘记考虑函数的定义域．(2)利用模型f(x)＝ax＋bx求解最值时，注意取得最值时等号成立的条件．|跟踪训练|1．(多选)某杂志以每册2元的价格发行时，发行量为10万册．经过调查，若单册价格每提高0.2元，则发行量就减少5 000册．要使该杂志销售收入不少于22.4万元，每册杂志可以定价为( )A ．2.5元 B.3元 C.3.2元D.3.5元解析：选BC.依题意可知，要使该杂志销售收入不少于22.4万元，只能提高销售价，设每册杂志定价为x (x >2)元，则发行量为⎝ ⎛⎭⎪⎫10－x －20.2×0.5万册，则该杂志销售收入为⎝ ⎛⎭⎪⎫10－x －20.2×0.5x 万元，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫10－x －20.2×0.5x ≥22.4，化简得x 2－6x ＋8.96≤0，解得2.8≤x ≤3.2，故选BC.2．某种茶水用100 ℃的水泡制，再等到60 ℃时饮用可产生最佳口感．已知茶水温度y (单位：℃)与经过时间t (单位：min)的函数关系是：y ＝ka t ＋y 0，其中a 为衰减比例，y 0是室温，t ＝0时，y 为茶水初始温度，若室温为20 ℃，a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1218，茶水初始温度为100 ℃，则k ＝________，产生最佳口感所需时间是________min.解析：由题意，y ＝ka t ＋20，当t ＝0时，有y ＝ka t ＋20＝k ＋20＝100，k ＝80，则y ＝80a t ＋20，当y ＝60时，即80a t ＋20＝60，所以80a t ＝40，所以a t ＝12，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1218t ＝12，所以t ＝8.答案：80 8[A 基础达标]1．某种细菌在培养过程中，每15 min 分裂一次(由1个分裂成2个)，这种细菌由1个分裂成4 096个需经过的时间是( )A ．12 h B.4 h C.3 hD.2 h解析：选C.设这种细菌由1个分裂成4 096个需经过x次分裂，则4 096＝2x，解得x＝12，故所需时间t＝12×1560＝3 h.2．“龟兔赛跑”讲述了这样的故事：兔子和乌龟赛跑，领先的兔子看着慢慢爬行的乌龟，骄傲起来，睡了一觉，当它醒来时，发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟还是先到达了终点．S1，S2分别表示乌龟和兔子所行的路程，t为时间，则下列图象中与故事情节相吻合的是( )解析：选B.选项A表示龟兔同时到达；选项C表示兔子没有追赶乌龟；选项D表示兔子先到达终点．3．某位股民购进某支股票，在接下来的交易时间内，他的这支股票先经历了n次涨停(每次上涨10%)，又经历了n次跌停(每次下跌10%)，则该股民这支股票的盈亏情况(不考虑其他费用)为( )A．略有盈利 B.略有亏损C．没有盈利也没有亏损 D.无法判断盈亏情况解析：选B.设该股民购进这支股票的价格为a元，则经历n次涨停后的价格为a(1＋10%)n＝a×1.1n元，经历n次跌停后的价格为a×1.1n×(1－10%)n＝a×1.1n×0.9n＝a×(1.1×0.9)n＝0.99n·a<a，故该股民这支股票略有亏损．4．在固定电压差(电压为常数)的前提下，当电流通过圆柱形的电线时，其电流强度I与电线半径r的三次方成正比，若已知电流通过半径4毫米的电线时，电流强度为320安，则电流通过半径为3毫米的电线时，电流强度为( )A．60安 B.240安C.75安D.135安解析：选D.由已知，设比例常数为k，则I＝k·r3.由题意，当r＝4时，I＝320，故有320＝k×43，解得k＝32064＝5，所以I＝5r3.故当r＝3时，I＝5×33＝135(安)．故选D.5．(2022·皖南八校联考)某购物网站在2021年11月开展“全部6折”促销活动，在11日当天购物还可以再享受“每张订单金额(6折后)满300元时可减免100元”．某人在11日当天欲购入原价48元(单价)的商品共42件，为使花钱总数最少，他最少需要下的订单张数为________．解析：为使花钱总数最少，需使每张订单满足“每张订单金额(6折后)满300元时可减免100元”，即每张订单打折前原金额不少于500元．由于每件原价48元，因此每张订单至少11件，又42＝11×3＋9，所以最少需要下的订单张数为3.答案：36．某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况．注：“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程．在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为________升．解析：因为每次都把油箱加满，第二次加了48升油，说明这段时间总耗油量为48升，而行驶的路程为35 600－35 000＝600(千米)，故每100千米平均耗油量为48÷6＝8(升)．答案：87．一个容器装有细沙a cm3，细沙从容器底下一个细微的小孔慢慢地匀速漏出，t min后剩余的细沙量为y＝a e－bt(cm3)，经过8 min后发现容器内还有一半的沙子，则再经过________min，容器中的沙子只有开始时的八分之一．解析：当t＝0时，y＝a；当t＝8时，y＝a e－8b＝12a，故e－8b＝12.当容器中的沙子只有开始时的八分之一时，即y＝a e－bt＝18a，e－bt＝18＝(e－8b)3＝e－24b，则t＝24，所以再经过16 min容器中的沙子只有开始时的八分之一．答案：168．某工厂因排污比较严重，决定着手整治，第一个月污染度为60，整治后前四个月的污染度如下表：污染度为0后，该工厂即停止整治，污染度又开始上升，现用下列三个函数模拟从整治后第一个月开始工厂的污染模式：f (x )＝20|x －4|(x ≥1)，g (x )＝203(x －4)2(x ≥1)，h (x )＝30|log 2x －2|(x ≥1)，其中x 表示月数，f (x )，g (x )，h (x )分别表示污染度．(1)试问选用哪个函数模拟比较合理，并说明理由；(2)若以比较合理的模拟函数预测，整治后有多少个月的污染度不超过60? 解：(1)用h (x )模拟比较合理，理由如下：因为f (2)＝40，g (2)≈26.7，h (2)＝30；f (3)＝20，g (3)≈6.7，h (3)≈12.5.由此可得h (x )更接近实际值，所以用h (x )模拟比较合理．(2)因为h (x )＝30|log 2x －2|在x ≥4时是增函数，h (16)＝60，所以整治后有16个月的污染度不超过60.9．某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比，投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比．已知投资1万元时两类产品的收益分别为0.125万元，0.5万元．(1)分别写出两类产品的收益与投资额的函数关系；(2)若该家庭有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎样分配资金能使投资获得最大收益，其最大收益是多少万元？解：(1)设两类产品的收益与投资额的函数关系分别为f (x )＝k 1x ，g (x )＝k 2x . 由已知得f (1)＝18＝k 1，g (1)＝12＝k 2，所以f (x )＝18x (x ≥0)，g (x )＝12x (x ≥0)．(2)设投资股票类产品为x 万元，则投资债券类产品为(20－x )万元．依题意得y ＝f (20－x )＋g (x )＝20－x 8＋12x ＝－x ＋4x ＋208(0≤x ≤20)．所以当x ＝2，即x ＝4时，收益最大，y max ＝3万元．故投资债券类产品16万元，投资股票类产品4万元时获得最大收益，为3万元．[B 综合应用]10．在标准温度和大气压下，人体血液中氢离子物质的量的浓度(单位：mol/L ，记作[H ＋])和氢氧根离子物质的量的浓度(单位：mol/L ，记作[OH －])的乘积等于常数10－14.已知pH 值的定义为pH ＝－lg[H ＋]，健康人体血液的pH 值保持在7.35～7.45之间，那么健康人体血液中的[H ＋][OH －]可以为(参考数据：lg 2≈0.30，lg 3≈0.48)( )A.12B.13C.16D.110解析：选C.因为[H ＋]·[OH －]＝10－14，所以[H ＋][OH －]＝[H ＋]2×1014，因为7.35<－lg[H＋]<7.45，所以10－7.45<[H ＋]<10－7.35，所以10－0.9<[H ＋][OH －]＝1014·[H ＋]2<10－0.7，10－0.9＝1100.9>110，lg 100.7＝0.7>lg 3>lg 2，所以100.7>3>2，10－0.7<13<12，所以110<[H ＋][OH －]<13.故选C.11．(2022·焦作温县一中10月月考)搭载神舟十二号载人飞船的长征二号F 遥十二运载火箭，在酒泉卫星发射中心点火发射成功．此次航天飞行任务中，火箭起到了非常重要的作用．在不考虑空气动力和地球引力的理想情况下，火箭在发动机工作期间获得速度增量v (单位：千米/秒)可以用齐奥尔科夫斯基公式v ＝ωln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋m M 来表示，其中，ω(单位：千米/秒)表示它的发动机的喷射速度，m (单位：吨)表示它装载的燃料质量，M (单位：吨)表示它自身(除燃料外)的质量．若某型号的火箭发动机的喷射速度为5千米/秒，要使得该火箭获得的最大速度v 达到第一宇宙速度(7.9千米/秒)，则火箭的燃料质量m 与火箭自身质量M 之比mM约为( )A ．e 1.58 B.e 0.58 C ．e 1.58－1D.e 0.58－1解析：选C.由题设，5ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋m M ＝7.9，则m M ＝e 7.95－1＝e 1.58－1.12．(多选)小菲在学校选修课中了解到艾宾浩斯遗忘曲线，为了解自己记忆一组单词的情况，她记录了随后一个月的有关数据，绘制图象，拟合了记忆保持量f (x )与时间x (天)之间的函数关系f (x )＝⎩⎨⎧－720x ＋1，0<x ≤1，15＋920x －12，1<x ≤30.则下列说法正确的是( )A ．随着时间的增加，小菲的单词记忆保持量降低B ．第一天小菲的单词记忆保持量下降最多C ．9天后，小菲的单词记忆保持量低于40%D ．26天后，小菲的单词记忆保持量不足20%解析：选ABC.由函数解析式可知f (x )随着x 的增加而减少，故A 正确；由图象可得B 正确；当1<x ≤30时，f (x )＝15＋920x －12，则f (9)＝15＋920×9－12＝0.35，即9天后，小菲的单词记忆保持量低于40%，故C 正确；f (26)＝15＋920×26－12>15，故D 错误．13．燕子每年秋天都要从北方飞往南方过冬，研究燕子的科学家发现，两岁的燕子的飞行速度可以表示为函数v ＝5log 2Q 10，单位是m/s ，其中Q 表示燕子的耗氧量．(1)燕子静止时的耗氧量是________个单位；(2)当一只燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度是________．解析：(1)由题意知，当燕子静止时，它的速度为0，代入v ＝5log 2Q 10中可得0＝5log 2Q10，解得Q ＝10.(2)将耗氧量Q ＝80代入v ＝5log 2Q 10中，得v ＝5log 28010＝5log 28＝15 (m/s)．答案：(1)10 (2)15 m/s14．商家通常依据“乐观系数准则”确定商品销售价格，即根据商品的最低销售限价a ，最高销售限价b (b >a )以及实数x (0<x <1)确定实际销售价格c ＝a ＋(b －a )x .这里，x 被称为乐观系数．经验表明，最佳乐观系数x 恰好使得(c －a )是(b －c )和(b －a )的等比中项．据此可得，最佳乐观系数x ＝________．解析：由题意得x ＝c －ab －a ，(c －a )2＝(b －c )(b －a )，因为b －c ＝(b －a )－(c －a )，所以(c －a )2＝(b －a )2－(b －a )(c －a )，两边同除以(b －a )2，得x 2＋x －1＝0，解得x ＝－1±52.因为0<x <1，所以x ＝5－12. 答案：5－12[C 素养提升]15．某食品的保鲜时间t (单位：小时)与储藏温度x (单位：℃)满足函数关系t (x )＝⎩⎨⎧64，x ≤0，2kx ＋6，x ＞0，且该食品在4 ℃的保鲜时间是16小时． (1)该食品在8 ℃的保鲜时间是________小时；(2)已知甲在某日上午10时购买了该食品，并将其遗放在室外，且当日的室外温度随时间变化如图所示，那么到了当日13时，甲所购买的食品________保鲜时间．(填“过了”或“没过”)解析：(1)因为食品在4 ℃的保鲜时间是16小时，所以24k ＋6＝16，解得k ＝－12.所以t (8)＝2－4＋6＝4.(2)由图象可知在11时之前，温度已经超过了10 ℃，此时该食品的保鲜期少于21＝2小时．而食品在11时之前已放了一段时间，所以到13时，该食品已过保鲜期．答案：(1)4 (2)过了16．(2022·上海高三月考)我国西部某省4A 级风景区内住着一个少数民族村，该村投资了800万元修复和加强民俗文化基础设施，据调查，修复好民俗文化基础设施后任何一个月内(每月按30天计算)每天的旅游人数f (x )与第x 天近似地满足f (x )＝8＋8x(千人)，且参观民俗文化村的游客人均消费g (x )近似地满足g (x )＝143－|x －22|(元)．(1)求该村的第x 天的旅游收入p (x )(单位：千元，1≤x ≤30，x ∈N *)；(2)若以最低日收入的20%作为每一天纯收入的计量依据，并以纯收入的5%的税率收回投资成本，试问该村在两年内能否收回全部投资成本？(一年以365天计算)解：(1)依据题意，有p (x )＝f (x )·g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫8＋8x ·(143－|x －22|)(1≤x ≤30，x∈N *)＝⎩⎪⎨⎪⎧8x ＋968x ＋976（1≤x ≤22，x ∈N *），－8x ＋1 320x ＋1 312（22<x ≤30，x ∈N *）.(2)①当1≤x ≤22，x ∈N *时，p (x )＝8x ＋968x＋976≥28x ·968x＋976＝1 152(当且仅当x ＝11时，等号成立)，因此，p (x )min ＝p (11)＝1 152(千元)．②当22<x≤30，x∈N*时，p(x)＝－8x＋1 320x＋1 312.求导可得p′(x)＝－8－1 320x2<0，所以p(x)＝－8x＋错误!＋1 312在(22，30]上单调递减，于是p(x)min＝p(30)＝1 116(千元)．又1 152>1 116，所以日最低收入为1 116千元．该村两年可收回的投资资金为 1 116×20%×5%×365×2＝8 146.8(千元)＝814.68(万元)，因为814.68万元>800万元，所以，该村在两年内能收回全部投资成本．21 / 21。

函数模型及其应用+课件-2025届高三数学一轮复习

A
a
b
c
A.① B.①② C.①③ D.①②③
[解析] 由题图a,得进水的速度为1,出水的速度为2.在题图c中，时到3时直线的斜率为2,即蓄水量每小时增加2, 只进水不出水（即两个进水口都进水）,故①一定正确;若不进水只出水1小时后,则蓄水量减少2,故②一定错误;若两个进水口和一个出水口同时打开,则蓄水量也可以保持不变,故③不一定正确.故选A.
［思路点拨］（1）根据与的关系图可得正确的选项.
（2）水池有两个相同的进水口和一个出水口,其进水量和出水量随时间的变化如图a, 所示,某天0时到6时该水池的蓄水量如图c所示,给出以下3个说法:①0时到3时只进水不出水;②3时到4时不进水只出水;③4时到5时不进水也不出水.则说法一定正确的是( )
，，为常数，且，
对数函数模型
，，为常数，且，
幂函数模型
，，为常数，，
◆ 对点演练 ◆
题组一常识题
1.［教材改编］已知函数，，，则随着的增大，增长速度的大小关系是_______________.（填关于，，的关系式）
[解析] 根据指数函数、一次函数、对数函数的增长速度关系可得 .
2.［教材改编］在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于的矩形花园（阴影部分），则其中的取值范围是_________.
［思路点拨］（2）蓄水量增加,说明进水速度大于出水速度,蓄水量减少,说明出水速度大于进水速度,再结合具体数据进行分析即可.
[总结反思]判断函数图象与实际问题变化过程是否相吻合时：首先要关注横轴与纵轴所表达的变量的实际意义;其次根据实际问题中两变量的变化快慢等特点,结合图象变化趋势,验证是否吻合,从中排除不符合实际的情况,选出符合实际的答案.

高中数学中函数与方程思想的研究

高中数学中函数与方程思想的研究函数与方程思想是数学学科中的两个重要思想，也是解决实际问题的重要方法。

在高中数学教学中，函数与方程思想的应用对于提高学生的数学素养和解决问题的能力具有重要意义。

本文旨在探讨函数与方程思想在普通高中教学中的实践研究，以期为优化高中数学教学提供参考。

普通高中教学的主要目标是培养学生的创新精神和实践能力，为其未来的发展奠定基础。

在这个过程中，数学学科作为一门重要的基础课程，需要着重培养学生的逻辑思维和解决问题的能力。

函数与方程思想作为数学学科的基本思想，也是解决高中数学教学问题的关键。

在普通高中教学中，函数与方程思想的实践主要包括以下环节：教学准备：教师需要深入理解函数与方程思想的概念和特点，掌握其在解决问题中的应用方法。

同时，教师应结合具体的教学内容和教学目标，准备好相应的教案和学案。

教学目标制定：教师需要明确函数与方程思想的教学目标，包括知识目标、能力目标和情感目标。

同时，教师需要根据学生的实际情况和需求，制定相应的教学计划。

教学实施：教师在课堂上需要采用多种教学方法和手段，如案例教学、探究式教学等，引导学生理解和掌握函数与方程思想，并运用它们解决实际问题。

教学反思：教师需要及时反思自己的教学过程和效果，发现问题并及时改进，以便更好地提高教学质量和效果。

以高中数学中“函数”章节的教学为例，教师可以通过以下方式将函数与方程思想融入教学中：帮助学生理解函数的概念和性质，如定义域、值域、单调性等，为后续的应用奠定基础。

通过实例让学生了解函数在解决实际问题中的应用，如利用函数解析式解决行程问题、利润问题等。

引导学生通过方程或不等式的方式描述实际问题，然后利用函数的性质和相关算法求解。

例如，帮助学生理解以下题目：某公司为了营销一款产品，计划在三个方面进行投入（x1, x2, x3），已知产品总成本为C元。

试求C关于x1, x2, x3的函数关系式。

教师可以引导学生列出成本与投入之间的方程，然后通过调整方程的形式，使学生理解函数关系式的意义和应用。

新高考数学一轮复习考点知识专题讲解与练习 15 函数的实际应用

新高考数学一轮复习考点知识专题讲解与练习考点知识总结15函数的实际应用高考概览高考在本考点的常考题型多为选择题、填空题，分值为5分，中等难度考纲研读1.了解指数函数、对数函数、幂函数的增长特征，结合具体实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义2．了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用一、基础小题1．一根蜡烛长20 cm，点燃后每小时燃烧5 cm，燃烧时剩下的高度h(cm)与燃烧时间t(小时)的函数关系用图象表示正确的是()答案 B解析蜡烛剩下的长度随时间增长而缩短，根据实际意义选B.2．某种计算机病毒是通过电子邮件进行传播的，表格中是某公司前5天监测到的数据：() A．y＝12x B．y＝6x2－6x＋12C．y＝6·2x D．y＝12log2x＋12答案 C解析由表格中数据可知，每一天的计算机被感染台数大约是前一天的2倍，故增长速度符合指数型函数．故选C.3．国家相继出台多项政策控制房地产行业，现在规定房地产行业收入税如下：年收入在280万元及以下的税率为p%，超过280万元的部分按(p＋2)%征税，有一公司的实际缴税比例为(p＋0.25)%，则该公司的年收入是()A．560万元B．420万元C．350万元D．320万元答案 D解析设该公司的年收入为a万元，则280p%＋(a－280)(p＋2)%＝a(p＋0.25)%，解得a＝320.故选D.4.某观察者站在点O观察练车场上匀速行驶的小车P的运动情况，小车P从点A 出发的运动轨迹如图所示．设观察者从点A开始随小车P变化的视角为θ＝∠AOP，练车时间为t，则函数θ＝f(t)的图象大致为()答案 D解析根据小车P 从点A 出发的运动轨迹可得，视角θ＝∠AOP 的值先增大，然后又减小，接着基本保持不变，然后又减小，最后又快速增大．故选D.5．建筑学中必须要对组合墙的平均隔声量进行设计．组合墙是指带有门或窗等的隔墙，假定组合墙上有门、窗及孔洞等几种不同的部件，各种部件的面积分别为S 1，S 2，…，S n (单位：m 2)，其相应的透射系数分别为τ1，τ2，…，τn ，则组合墙的平均隔声量应由各部分的透射系数的平均值τ－确定：τ－＝S 1τ1＋S 2τ2＋…＋S n τn S 1＋S 2＋…＋S n，于是组合墙的平均隔声量(单位：dB)为R ＝10lg 1τ－.已知某墙的透射系数为1104，面积为20 m 2，在墙上有一门，其透射系数为1102，面积为2 m 2，则组合墙的平均隔声量为( )A ．10 dB B ．20 dBC ．30 dBD ．40 dB答案 C解析由题意知组合墙的透射系数的平均值τ－＝S 1τ1＋S 2τ2S 1＋S 2＝20×10－4＋2×10－220＋2＝10－3，所以组合墙的平均隔声量R ＝10lg 1τ－＝10lg 110－3＝30 dB.故选C. 6．某企业准备投入适当的广告费对甲产品进行促销宣传，在一年内预计销售量y (万件)与广告费x (万元)之间的函数关系为y ＝1＋3x x ＋2(x ≥0).已知生产此产品的年固定投入为4万元，每生产1万件此产品仍需再投入30万元，且能全部售完．若每件甲产品售价(元)定为“平均每件甲产品所占生产成本的150%”与“年平均每件甲产品所占广告费的50%”之和，则当广告费为1万元时，该企业甲产品的年利润为( )A ．30.5万元B ．31.5万元C ．32.5万元D ．33.5万元答案 B解析由题意，得甲产品的生产成本为(30y ＋4)万元，销售单价为30y ＋4y ×150%＋x y ×50%，故年销售收入为z ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫30y ＋4y ×150%＋x y ×50%y ＝45y ＋6＋12x .所以年利润W ＝z －(30y ＋4)－x ＝15y ＋2－x 2＝17＋45x x ＋2－x 2(万元).所以当广告费为1万元时，即x ＝1，该企业甲产品的年利润为17＋451＋2－12＝31.5(万元).故选B. 7．某工厂产生的废气经过过滤后排放，在过滤过程中，污染物的数量p (单位：毫克/升)不断减少，已知p 与时间t (单位：小时)满足p (t )＝p 02－t 30，其中p 0为t ＝0时的污染物数量．又测得当t ∈[0，30]时，污染物数量的平均变化率是－10ln 2，则p (60)＝( )A ．150毫克/升B ．300毫克/升C ．150ln 2毫克/升D ．300ln 2毫克/升答案 C解析因为当t ∈[0，30]时，污染物数量的平均变化率是－10ln 2，所以－10ln 2＝12p 0－p 030－0，所以p 0＝600ln 2，因为p (t )＝p 02－t 30，所以p (60)＝600ln 2×2－2＝150ln 2(毫克/升).8．某公司为了实现1000万元销售利润的目标，准备制订一个激励销售人员的奖励方案：在销售利润达到10万元时，按照销售利润进行奖励，且奖金y (单位：万元)随销售利润x 的增加而增加，但奖金不超过5万元，同时奖金不超过销售利润的25%，则下列函数最符合要求的是( )A ．y ＝14xB ．y ＝lg x ＋1C ．y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32x D ．y ＝x 答案 B解析由题意知，x ∈[10，1000]，符合公司要求的模型需同时满足：①函数为增函数；②函数的最大值不超过5；③y ≤x ·25%.对于y ＝14x ，易知满足①，但当x >20时，y >5，不满足要求；对于y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32x ，易知满足①，因为⎝ ⎛⎭⎪⎫324>5，故当x >4时，不满足要求；对于y ＝x ，易知满足①，但当x >25时，y >5，不满足要求；对于y ＝lg x ＋1，易知满足①，当x ∈[10，1000]时，2≤y ≤4，满足②，再证明lg x ＋1≤x ·25%，即4lg x ＋4－x ≤0，设F (x )＝4lg x ＋4－x ，则F ′(x )＝4x ln 10－1<0，x ∈[10，1000]，所以F (x )为减函数，F (x )max＝F(10)＝4lg 10＋4－10＝－2<0，满足③.故选B.9．(多选)一辆赛车在一个周长为3 km的封闭跑道上行驶，跑道由几段直道和弯道组成，图1反映了赛车在“计时赛”整个第二圈的行驶速度与行驶路程之间的关系．以下四个说法中正确的是()A．在这第二圈的2.6 km到2.8 km之间，赛车速度逐渐增加B．在整个跑道上，最长的直线路程不超过0.6 kmC．大约在这第二圈的0.4 km到0.6 km之间，赛车开始了那段最长直线路程的行驶D．在图2的四条曲线(注：s为初始记录数据位置)中，曲线B最能符合赛车的运动轨迹答案AD解析由图1知，在2.6 km到2.8 km之间，曲线上升，故在这第二圈的2.6 km到2.8 km之间，赛车速度逐渐增加，故A正确；在整个跑道上，高速行驶时最长为(1.8，2.4)km之间，但直道加减速也有过程，故最长的直线路程有可能超过0.6 km，故B不正确；最长直线路程应在1.4 km到1.8 km之间开始，故C不正确；由图1可知，跑道应有三个弯道，且两长一短，故D 正确．故选AD.10.(多选)某医药研究机构开发了一种新药，据监测，如果患者每次按规定的剂量注射该药物，注射后每毫升血液中的含药量y (微克)与时间t (小时)之间的关系近似满足如图所示的曲线．据进一步测定，当每毫升血液中含药量不少于0.125微克时，治疗该病有效，则( )A ．a ＝3B ．注射一次治疗该病的有效时间长度为6小时C ．注射该药物18小时后每毫升血液中的含药量为0.4微克D ．注射一次治疗该病的有效时间长度为53132小时答案 AD解析把点M 的坐标代入y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12t －a ，得⎝ ⎛⎭⎪⎫121－a ＝4，解得a ＝3，A 正确；易知当0≤t <1时，y ＝4t ，4×18＝0.5，C 错误；由于y ＝⎩⎨⎧4t ，0≤t <1，⎝ ⎛⎭⎪⎫12t －3，t ≥1，令y ≥0.125＝18，得⎩⎪⎨⎪⎧0≤t <1，4t ≥18或⎩⎨⎧t ≥1，⎝ ⎛⎭⎪⎫12t －3≥18，解得132≤t ≤6，6－132＝53132，所以注射一次该药物治疗该病的有效时间长度为53132小时，B 错误，D 正确．11.小菲在学校选修课中了解到艾宾浩斯遗忘曲线，为了解自己记忆一组单词的情况，她记录了随后一个月的有关数据，绘制图象，拟合了记忆保持量f (x )与时间x (天)之间的函数关系：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－720x ＋1，0<x ≤1，15＋920x －12，1<x ≤30.某同学根据小菲拟合后的信息得到以下结论：①随着时间的增加，小菲的单词记忆保持量降低；②9天后，小菲的单词记忆保持量低于40%；③26天后，小菲的单词记忆保持量不足20%.其中正确结论的序号有________．(请写出所有正确结论的序号) 答案 ①②解析由函数的图象可知f (x )随着x 的增加而减少，故①正确；当1<x ≤30时，f (x )＝15＋920x －12，则f (9)＝15＋920×9－12＝0.35，即9天后，小菲的单词记忆保持量低于40%，故②正确；f (26)＝15＋920×26－12>15，故③错误．12．已知投资x 万元经销甲商品所获得的利润为P ＝x 4，投资x 万元经销乙商品所获得的利润为Q＝a2x(a＞0).若投资20万元同时经销这两种商品或只经销其中一种商品，使所获得的利润不少于5万元，则a的最小值为________．答案 5解析设投资乙商品x万元(0≤x≤20)，则投资甲商品(20－x)万元．则利润分别为Q＝a2x(a＞0)，P＝20－x 4，由题意得P＋Q≥5，0≤x≤20时恒成立，则化简得a x≥x2，在0≤x≤20时恒成立．①x＝0时，a为一切实数；②0＜x≤20时，分离参数得a≥x2，0＜x≤20时恒成立，所以a≥5，a的最小值为 5.二、高考小题13．(2022·新高考Ⅱ卷)北斗三号全球卫星导航系统是我国航天事业的重要成果．在卫星导航系统中，地球静止同步卫星的轨道位于地球赤道所在平面，轨道高度为36000 km(轨道高度是指卫星到地球表面的距离).将地球看作是一个球心为O，半径r为6400 km的球，其上点A的纬度是指OA与赤道平面所成角的度数．地球表面上能直接观测到一颗地球静止同步轨道卫星点的纬度最大值为α，记卫星信号覆盖地球表面的表面积为S＝2πr2(1－cos α)(单位：km2)，则S占地球表面积的百分比约为() A．26% B．34% C．42% D．50%答案 C解析由题意可得，S占地球表面积的百分比约为2πr2（1－cos α）4πr2＝1－cos α2＝1－64006400＋360002≈0.42＝42%.故选C.14．(2022·新高考Ⅰ卷)基本再生数R0与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数．基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间．在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：I(t)＝e rt描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位：天)的变化规律，指数增长率r与R0，T近似满足R0＝1＋rT.有学者基于已有数据估计出R0＝3.28，T＝6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln 2≈0.69)()A．1.2天B．1.8天C．2.5天D．3.5天答案 B解析因为R0＝3.28，T＝6，R0＝1＋rT，所以r＝3.28－16＝0.38，所以I(t)＝e rt＝e0.38t.设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间为t1天，则e0.38(t＋t1)＝2e0.38t，所以e0.38t1＝2，所以0.38t1＝ln 2，所以t1＝ln 20.38≈0.690.38≈1.8天．故选B.15．(2022·北京高考)为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改．设企业的污水排放量W与时间t的关系为W＝f(t)，用－f（b）－f（a）b－a的大小评价在[a，b]这段时间内企业污水治理能力的强弱，已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如图所示．给出下列四个结论：①在[t1，t2]这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强；②在t2时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强；③在t3时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标；④甲企业在[0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]这三段时间中，在[0，t1]的污水治理能力最强．其中所有正确结论的序号是________．答案①②③表示区间端点连线的斜率的相反数，在[t1，t2]这段时间内，解析－f（b）－f（a）b－a甲的斜率比乙的小，所以甲的斜率的相反数比乙的大，因此甲企业的污水治理能力比乙企业强，①正确；在t2时刻，甲对应图象的切线的斜率比乙的小，所以切线的斜率的相反数比乙的大，所以甲企业的污水治理能力比乙企业强，②正确；在t3时刻，甲、乙两企业的污水排放量都在污水达标排放量以下，所以都已达标，③正确；甲企业在[0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]这三段时间中，在[t1，t2]这段时间内的斜率最小，其相反数最大，即在[t1，t2]的污水治理能力最强，④错误．三、模拟小题16．(2022·北京交通大学附属中学高三开学考试)在交通工程学中，常作如下定义：交通流量Q(辆/小时)：单位时间内通过道路上某一横断面的车辆数；车流速度V(千米/小时)：单位时间内车流平均行驶过的距离；车流密度K (辆/千米)：单位长度道路上某一瞬间所存在的车辆数．一般的，V 和K 满足一个线性关系，即V ＝v 0⎝ ⎛⎭⎪⎫1－K k 0(其中v 0，k 0是正数)，则以下说法正确的是( )A ．随着车流密度增大，车流速度增大B ．随着车流密度增大，交通流量增大C ．随着车流密度增大，交通流量先减小，后增大D ．随着车流密度增大，交通流量先增大，后减小答案 D解析由V ＝v 0⎝ ⎛⎭⎪⎫1－K k 0，得V 随K 的增大而减小，K ＝k 0－k 0v 0V ，由单位关系，得Q ＝VK ＝V ⎝ ⎛⎭⎪⎫k 0－k 0v 0V ＝－k 0v 0V 2＋k 0V ，可以看成是Q 关于V 的二次函数，图象开口向下，所以随着车流速度V 的增大，交通流量Q 先增大后减小．故选D.17．(2022·河北秦皇岛第二次模拟)为了保证信息安全传输，有一种秘密密钥密码系统，其加密、解密原理如图：明文x ――→加密密钥系统密文t ――→发送密文t ――→解密密钥系统明文y .现在加密密钥为t ＝2a x ＋1(a ＞0且a ≠1)，解密密钥为y ＝3t －5，如下所示：发送方发送明文“1”，通过加密后得到密文“18”，再发送密文“18”，接收方通过解密密钥解密得明文“49”，问若接收方接到明文“4”，则发送方发送的明文为( )A ．－log 32B ．log 332＋1C ．162D ．log 372－1答案A解析由加密密钥为t ＝2a x ＋1(a ＞0且a ≠1)，解密密钥为y ＝3t －5，且x ＝1时，t ＝2·a 1＋1＝18，解得a ＝3，所以y ＝3×18－5＝49；当y ＝3t －5＝4时，t ＝3，令2·3x ＋1＝3，解得x ＝log 332－1＝－log 32，所以发送方发送的明文是－log 32.故选A.18．(2022·辽宁沈阳高三年级质量监测)5G 技术的数学原理之一是著名的香农公式：C ＝W log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋S N .它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速度C 取决于信道带宽W ，信道内信号的平均功率S ，信道内部的高斯噪声功率N 的大小，其中S N 叫做信噪比．当信噪比较大时，公式中真数中的1可以忽略不计．假设目前信噪比为1600，若不改变带宽W ，而将最大信息传播速度C 提升50%，那么信噪比S N 要扩大到原来的约( )A ．10倍B ．20倍C ．30倍D ．40倍答案 D解析由已知条件可知C ＝W log 21600，设将最大信息传播速度C 提升50%，那么信噪比S N 要扩大到原来的t 倍，则32C ＝W log 2(1600t )，可解得t ＝40.故选D.19．(多选)(2022·山东省德州市高三检测)如图所示，一座小岛距离海岸线上最近的P 点的距离是2 km ，从P 点沿海岸正东12 km 处有一个城镇．假设一个人驾驶的小船的平均速度为3 km/h ，步行的速度为5 km/h ，时间t (单位：h)表示他从小岛到城镇的时间，x (单位：km)表示此人将船停在海岸处距P 点的距离．设u ＝x 2＋4＋x ，v ＝x 2＋4－x ，则( )A ．函数v ＝f (u )为减函数B ．15t －u －4v ＝32C ．当x ＝1.5时，此人从小岛到城镇花费的时间最少D ．当x ＝4时，此人从小岛到城镇花费的时间不超过3 h答案 AC解析 ∵u ＝x 2＋4＋x ，v ＝x 2＋4－x ，∴u v ＝()x 2＋4＋x ()x 2＋4－x ＝4，∴v ＝4u 是减函数，故A 正确；由题意可知t ＝x 2＋43＋12－x 5，0≤x ≤12，∴15t ＝5x 2＋4＋3(12－x )＝5x 2＋4－3x ＋36＝()x 2＋4＋x ＋()4x 2＋4－4x ＋36＝u ＋4v ＋36，∴15t－u －4v ＝36，故B 错误；∵t ＝x 2＋43＋12－x 5，0≤x ≤12，∴t ′＝13×2x 2x 2＋4－15＝5x －3x 2＋415x 2＋4，令t ′＝0，得x ＝32，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32时，t ′＜0，t (x )单调递减；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12时，t ′＞0，t (x )单调递增，∴当x ＝32时，t (x )最小，且最短时间为4415h ，故C 正确；当x ＝4时，t ＝253＋85＞3，故D 错误．故选AC.20．(2022·石家庄二模)某工厂常年生产红木家具，根据预测可知，该产品近10年的产量平稳增长．记2022年为第1年，且前4年中，第x 年与年产量f (x )(单位：万件)之间的关系如下表所示：若f (x )x )＝2x ＋a ，③f (x )＝log 12x ＋a .则你认为最适合的函数模型的序号为________．答案 ①解析若模型为f (x )＝2x ＋a ，则由f (1)＝21＋a ＝4，得a ＝2，即f (x )＝2x ＋2，此时f (2)＝6，f (3)＝10，f (4)＝18，与表格数据相差太大，不符合；若模型为f (x )＝log 12x ＋a ，则f (x )是减函数，与表格数据相差太大，不符合；若模型为f (x )＝ax ＋b ，由已知得⎩⎨⎧a ＋b ＝4，3a ＋b ＝7，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝32，b ＝52，所以f (x )＝32x ＋52，x ∈N *，将x ＝2，x ＝4代入验证可得f (x )的值与表中数据较为接近，所以最适合的函数模型的序号为①.21．(2022·广东广州荔湾区高三上调研考试)把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是θ1℃，空气的温度是θ0℃，则t min 后物体的温度θ(单位：℃)可由公式θ＝θ0＋(θ1－θ0)e －kt 求得，其中k 是一个随着物体与空气的接触状况而定的正常数，现有52 ℃的物体，放在12 ℃的空气中冷却，2 min 以后物体的温度是32 ℃，则再经过6 min 该物体的温度可冷却到________．答案 14.5 ℃解析依题意得，32＝12＋(52－12)e －2k ，整理得到e －2k ＝12，解得k ＝ln 22；那么6 min后，即t＝8时，θ＝12＋(52－12)＝12＋40×1＝14.5.16。

高三数学导数的实际应用试题答案及解析

高三数学导数的实际应用试题答案及解析1.已知函数，．（Ⅰ）若曲线在点处的切线与直线垂直，求的值；（Ⅱ）求函数的单调区间；（Ⅲ）设，当时，都有成立，求实数的取值范围．【答案】（Ⅰ），（Ⅱ）当时，的单调增区间为；当时，的单调增区间是，的单调减区间是．（Ⅲ）.【解析】（Ⅰ）利用导数的几何意义，曲线在点处的切线斜率为在点处的导数值. 由已知得．所以．，（Ⅱ）利用导数求函数单调区间，需明确定义域，再导数值的符号确定单调区间. 当时，,所以的单调增区间为．当时,令，得，所以的单调增区间是；令，得，所以的单调减区间是．（Ⅲ）不等式恒成立问题，一般利用变量分离转化为最值问题. “当时，恒成立”等价于“当时，恒成立．”设，只要“当时，成立．”易得函数在处取得最小值，所以实数的取值范围．（Ⅰ）由已知得．因为曲线在点处的切线与直线垂直，所以．所以．所以． 3分（Ⅱ）函数的定义域是，．（1）当时，成立，所以的单调增区间为．（2）当时，令，得，所以的单调增区间是；令，得，所以的单调减区间是．综上所述，当时，的单调增区间为；当时，的单调增区间是，的单调减区间是． 8分（Ⅲ）当时，成立，．“当时，恒成立”等价于“当时，恒成立．”设，只要“当时，成立．”．令得，且，又因为，所以函数在上为减函数；令得，，又因为，所以函数在上为增函数．所以函数在处取得最小值，且．所以．又因为，所以实数的取值范围． 13分（Ⅲ）另解：（1）当时，由（Ⅱ）可知，在上单调递增，所以．所以当时，有成立．（2）当时，可得．由（Ⅱ）可知当时，的单调增区间是，所以在上单调递增，又，所以总有成立．（3）当时，可得．由（Ⅱ）可知，函数在上为减函数，在为增函数，所以函数在处取最小值，且．当时，要使成立，只需，解得．所以．综上所述，实数的取值范围．【考点】利用导数求切线，利用导数求单调区间，利用导数求最值2.已知y=f（x）与y=g（x）都为R上的可导函数，且f′（x）＞g′（x），则下面不等式正确的是（）A．f（2）+g（1）＞f（1）+g（2）B．f（1）+f（2）＞g（1）+g（2）C．f（1）﹣f（2）＞g（1）﹣g（2）D．f（2）﹣g（1）＞f（1）﹣g（2）【答案】A【解析】∵f'（x）＞g'（x），∴f'（x）﹣g'（x）＞0，∴[f（x）﹣g（x）]′＞0，∴函数f（x）﹣g（x）在R上为增函数．∵1＜2，∴f（1）﹣g（1）＜f（2）﹣g（2），移向即得f（2）+g（1）＞f（1）+g（2）故选A3.某公司生产一种产品，固定成本为20000元，每生产一单位的产品，成本增加100元，若总收入R与年产量x的关系是，则当总利润最大时，每年生产产品的单位数是()A．150B．200C．250D．300【答案】D【解析】∵总利润由P′(x)＝0，得x＝300，故选D.4.一个圆柱形圆木的底面半径为1m，长为10m，将此圆木沿轴所在的平面剖成两个部分．现要把其中一个部分加工成直四棱柱木梁，长度保持不变，底面为等腰梯形（如图所示，其中O为圆心，在半圆上），设，木梁的体积为V（单位：m3），表面积为S（单位：m2）．（1）求V关于θ的函数表达式；（2）求的值，使体积V最大；（3）问当木梁的体积V最大时，其表面积S是否也最大？请说明理由．【答案】(1)；(2)；（3）是.【解析】（1）本题求直四棱柱的体积，关键是求底面面积，我们要用底面半径1和表示出等腰梯形的上底和高，从图形中可知高为，而，因此面积易求，体积也可得出；（2）我们在（1）中求出，这里的最大值可利用导数知识求解，求出，解出方程在上的解，然后考察在解的两边的正负性，确定是最大值点，实质上对应用题来讲，导数值为0的那个唯一点就是要求的极值点）；（3），上（2）我们可能把木梁的表面积用表示出来，，由于在体积中出现，因此我们可求的最大值，这里可不用导数来求，因为，可借助二次函数知识求得最大值，如果这里取最大值时的和取最大值的取值相同，则结论就是肯定的.试题解析：（1）梯形的面积=，． 2分体积． 3分（2）．令，得，或（舍）．∵，∴． 5分当时，，为增函数；当时，，为减函数． 7分∴当时，体积V最大． 8分（3）木梁的侧面积=，．=，． 10分设，．∵，∴当，即时，最大． 12分又由（2）知时，取得最大值，所以时，木梁的表面积S最大． 13分综上，当木梁的体积V最大时，其表面积S也最大． 14分【考点】（1）函数解析式；（2）用导数求最值；（3）四棱柱的表面积及其最值.5.一火车锅炉每小时煤的消耗费用与火车行驶速度的立方成正比，已知当速度为20 km/h时，每小时消耗的煤价值40元，其他费用每小时需400元，火车的最高速度为100 km/h，火车以何速度行驶才能使从甲城开往乙城的总费用最少？【答案】速度为20 km/h时，总费用最少【解析】设火车的速度为x km/h，甲、乙两城距离为a km.由题意，令40＝k·203，∴k＝，则总费用f(x)＝(kx3＋400)·＝a.∴f(x)＝a (0＜x≤100)．由f′(x)＝＝0，得x＝20.当0＜x＜20时，f′(x)＜0；当20＜x＜100时，f′(x)＞0.∴当x＝20时，f(x)取最小值，即速度为20 km/h时，总费用最少．6.已知函数（Ⅰ）若对任意，使得恒成立，求实数的取值范围；（Ⅱ）证明：对，不等式成立.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）详见解析.【解析】(Ⅰ) 利用导数分析单调性，进而求最值；(Ⅱ)利用不等式的放缩和数列的裂项求和试题解析：（I）化为易知，，设，设，，，上是增函数，（Ⅱ）由（I）知：恒成立，令，取相加得：即证明完毕【考点】查导数，函数的单调性，数列求和，不等式证明7.设等差数列{an }的前n项和为Sn，已知(a5－1)3＋2 011·(a5－1)＝1，(a2 007－1)3＋2 011(a2 007－1)＝－1，则下列结论正确的是()A．S2 011＝2 011，a2 007<a5B．S2 011＝2 011，a2 007>a5C．S2 011＝－2 011，a2 007≤a5D．S2 011＝－2 011，a2 007≥a5【答案】A 【解析】令，在R上单调递增且连续的函数所以函数只有唯一的零点，从而可得，同理∵(a5－1)3＋2 011·(a5－1)＝1，(a2 007－1)3＋2 011(a2 007－1)＝－1两式相加整理可得，由，可得＞0，由等差数列的性质可得【考点】函数性质与等差数列及性质点评：本题的入手点在于通过已知条件的两数列关系式构造两函数，借助于函数单调性得到数列中某些特定项的范围，再结合等差数列中的相关性质即可求解，本题难度很大8.已知定义在上的函数满足，且，，若数列的前项和等于，则＝A．7B．6C．5D．4【答案】B【解析】由得，即为R上的减函数，所以，由，得，即，解得或，又，所以，故，数列即，其前项和为，整理得，解得，故选B．【考点】本题考查了导数与数列的综合运用点评：此类问题常常利用导数法研究函数的单调性，然后再利用数列的知识求解9.已知f（x）=x-（a>0），g（x）=2lnx+bx且直线y=2x－2与曲线y=g（x）相切．（1）若对[1，+）内的一切实数x，小等式f（x）≥g（x）恒成立，求实数a的取值范围；（2）当a=l时，求最大的正整数k，使得对[e，3]（e=2．71828是自然对数的底数）内的任意k个实数x1，x2，，xk都有成立；（3）求证：．【答案】（1）；（2）的最大值为．（3）当时，根据（1）的推导有，时，，即．令，得，化简得，。

高三指数函数知识点总结

高三指数函数知识点总结在高三数学学习过程中，指数函数是一个重要的知识点。

它广泛应用于科学、经济等领域，并且在解决实际问题中具有重要作用。

下面将对高三指数函数的相关内容进行总结，帮助同学们更好地理解和掌握。

一、指数函数的定义和性质指数函数是以常数e为底的幂函数，可以表示为f(x) = a^x，其中a是底数，x是指数。

指数函数具有以下性质：1. 当a>1时，指数函数是递增函数；当0<a<1时，指数函数是递减函数。

2. 指数函数的图像在y轴正半轴单调递增或递减，并且通过点(0,1)。

3. 指数函数的定义域是实数集，值域是正实数集。

4. 当a>1时，指数函数的图像在y轴上方趋于正无穷；当0<a<1时，指数函数的图像在y轴上方趋于0。

二、指数函数的运算规律1. 幂运算法则：a^m * a^n = a^(m+n)，a^m / a^n = a^(m-n)，(a^m)^n = a^(m*n)。

2. 乘法法则：a^m * b^m = (ab)^m。

3. 除法法则：(a/b)^m = a^m / b^m。

4. 幂函数和指数函数的复合：(a^x)^m = a^(x*m)。

三、指数函数与对数函数的互逆关系指数函数和对数函数是互逆函数，互为反函数。

设f(x) = a^x，g(x) = logₐx，则有以下关系：1. f(x)和g(x)的图像关于直线y=x对称。

2. a^logₐx = x，logₐa^x = x。

3. 指数函数和对数函数的定义域和值域互为对应。

四、指数函数的应用指数函数在实际问题中有着广泛的应用，以下是其中的一些例子：1. 人口增长问题：人口的增长常常符合指数增长模型，可以用指数函数来描述。

2. 货币的增长问题：货币的贬值通常符合指数函数模型，可以用指数函数来进行计算和预测。

3. 电路中的电流问题：电流在电路中的传播过程可以用指数函数来描述，有助于对电路特性进行分析。

4. 生物学中的衰变问题：放射性元素的衰变过程也符合指数函数模型，可以用指数函数来研究放射性物质的衰变过程。

高三知识点归纳数学公式总结

高三知识点归纳数学公式总结数学作为一门基础学科，在高三的学习中扮演着重要的角色。

高三阶段，我们需要对前几年学习过的各个知识点进行总结和归纳，特别是数学公式的应用。

下面将对高三数学知识点进行分类，并总结重要公式的应用。

一、函数与方程在高三的数学学习中，函数与方程是数学中的基础内容。

其中，二次函数和一次函数是较为重要的知识点。

1. 二次函数二次函数的一般形式是y=ax²+bx+c，其中a、b、c为常数，且a≠0。

我们常用到的公式有：1) 顶点坐标：函数的顶点坐标为(-b/2a, f(-b/2a))。

2) 对称轴：对称轴的方程为x=-b/2a。

3) 判别式：判别式Δ=b²-4ac的大小可以判断二次函数的图像与x轴的关系（大于0与x轴相交，等于0与x轴相切，小于0与x轴无交点）。

4) 函数的增减性：若a>0，则二次函数开口向上，如果a<0，则开口向下。

2. 一次函数一次函数的一般形式是y=kx+b，其中k、b为常数。

我们可以根据函数图像和方程求解线性方程的一些性质：1) 斜率：一次函数的斜率等于k。

2) 常数项：一次函数的常数项等于b。

3) 函数图像：一次函数的图像是一条直线。

二、平面几何与向量平面几何与向量是高三数学的一大难点，其中，平面几何主要包括三角函数和圆的相关知识，而向量则是利用数学工具解决几何问题的重要方法。

1. 三角函数高三阶段，我们常用到的三角函数有正弦函数、余弦函数和正切函数，它们在解决几何问题时大显身手：1) 正弦定理：a/sinA=b/sinB=c/sinC。

2) 余弦定理：a²=b²+c²-2bc×cosA。

3) 正弦函数：sinA=对边/斜边，cosA=邻边/斜边，tanA=对边/邻边。

2. 圆的相关知识圆是高中数学中的一个重要知识点，我们常见的公式和性质有：1) 圆的方程：圆的一般方程为(x-a)²+(y-b)²=r²，其中(a,b)为圆心坐标，r为半径长度。

一次函数知识点总结_高三数学知识点总结

一次函数知识点总结_高三数学知识点总结一次函数是高中数学中最基础的函数之一，也是解决实际问题中最常用的数学模型之一。

本文将对一次函数的定义、性质、解题方法及实际应用进行总结。

一、定义一次函数是指形如 y=kx+b 的函数，其中 k 和 b 是常数，且k≠0。

其中 k 称为函数的斜率或比例系数，表示 y 增加 1 个单位时，x 增加了多少个单位。

当 k>0 时，函数是递增的，当 k<0 时，函数是递减的。

如果 k=0，则函数是一条水平线。

在一次函数中，b 表示 y 截距，当 x=0 时，y 的值即为 b。

二、性质1.一次函数的图像是一条直线。

2.一次函数可以分类讨论：（1）当 k>0 时，函数是递增的，直线向右上方倾斜。

（3）当 k=0 时，函数是一条水平线。

3.两条不同的直线可以表示两个不同的一次函数。

4.一次函数的图像可以借助定义式 y=kx+b 来确定，也可以用两个点来确定。

当已知一次函数的斜率和截距时，可以很容易地画出它的图像。

三、解题方法1. 求斜率一次函数 y=kx+b 的斜率 k 可以确定函数的性质和图像，求 k 的方法有以下两种：（1）利用两个已知点计算斜率：设 A(x1, y1) 和 B(x2, y2) 是一次函数上的两个不同点，则其斜率为：k=(y2-y1)/(x2-x1)（2）通过函数式求出斜率：y=kx+b 恒成立，所以当 x 增加 1 时，y 增加 k 个单位。

因此，y 的增量与 x 的增量之比即为 k。

k=y/x 或 k-b/x2. 求 y 截距当 x=0 时，函数的值为 y=b，这个点位于 y 轴上。

因此，可以通过已知的一个点的坐标和斜率来求 y 截距 b。

例如，已知一次函数 y=-2x+5 通过点 (3, -1)，则其 y 截距为：y=kx+b-1=-2×3+bb=52x-4=0四、实际应用一次函数的应用非常广泛，下面介绍其两个常见的实际应用。