步步高大一轮文科数学2.5全国卷

解析 由 f (x)＝ax b 的图像可以观察出，函数 f (x)＝ax b 在定
－ －
义域上单调递减，所以 0<a<1.函数 f (x)＝ax b 的图像是在 f (x)＝ax
－
的基础上向左平移得到的，所以 b<0，故选 D.
答案 D
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(2)(2017· 河北衡水模拟)若曲线|y|＝2x＋1 与直线 y＝b 没有公 共点，则 b 的取值范围是________．
答案 B
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答案 a>c>b
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题点 2
解简单的指数方程或不等式
1 x－7，x<0， [例 4] 设函数 f (x)＝2 若 f (a)<1，则实数 a x，x≥0，
的取值范围是(
) B．(1，＋∞) D．(－∞，－3)∪(1，＋∞)
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[方法引航] 指数函数的性质及应用问题解题策略
(1)比较大小问题．常利用指数函数的单调性及中间值(0 或 1) 法． (2)简单的指数方程或不等式的求解问题．解决此类问题应利 用指数函数的单调性，要特别注意底数 a 的取值范围，并在必要 时进行分类讨论． (3)解决指数函数的综合问题时，要把指数函数的概念和性质 同函数的其他性质(如奇偶性、周期性)相结合，同时要特别注意底 数不确定时，对底数的分类讨论．
A．(－∞，－3) C．(－3,1)
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解析 当 a<0 时，不等式 f (a)<1
1 1－ 即2a<2 3，因为
1 1 a 可化为2 －7<1，即2a<8，
1 0<2<1，所以 a>－3，此时－3＜a＜0；当 a≥0
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解析：当 a＞1 时，函数 f (x)＝ax＋b 在[－1,0]上为增函数，由
－1 a ＋b＝－1， 题意得 0 a ＋b＝0
无解．当 0＜a＜1 时，函数 f (x)＝ax＋b 1 a＝ ， 解得 2 b＝－2，
－1 a ＋b＝0， 在[－1,0]上为减函数，由题意得 0 a ＋b＝－1，
解析 曲线|y|＝2x＋1 与直线 y＝b 的图 像如图所示，由图像可知：如果 |y|＝2x＋1 与直线 y＝b 没有公共点，则 b 应满足的条 件是 b∈[－1,1]．
答案 [－1,1]
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[方法引航]
(1)已知函数解析式判断其图像一般是取特殊点，
判断选项中的图像是否过这些点，若不满足则排除． (2)对于有关指数型函数的图像问题，一般是从最基本的指数 函数的图像入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到．特别地， 当底数 a 与 1 的大小关系不确定时应注意分类讨论． (3)有关指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数 型函数图像，数形结合求解．
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a>1
0<a<1
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【思考辨析】 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1) a ＝( a)n＝a.( n
n
n
) )
m (2)分数指数幂 a 可以理解为 n 个 a 相乘．( (3)(－1) ＝(－1) ＝ －1.(
－
) )
(4)函数 y＝a x 是 R 上的增函数．(
8 答案：5
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类型二 [例 2]
指数函数的图像及应用
－
(1)函数 f (x)＝ax b 的图像如图所示，其中 a，b 为常 )
数，则下列结论正确的是( A．a>1，b<0 B．a>1，b>0 C．0<a<1，b>0 D．0<a<1，b<0
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解
(1)∵f (x)＝e
x
x
1 －e x，
∴f ′(x)＝e
1 ＋e x，∴f
′(x)>0 对任意 x∈R 都成立，
∴f (x)在 R 上是增函数． ∵f (x)的定义域为 R，且 f (－x)＝e－x－ex＝－f (x)， ∴f (x)是奇函数．
－ － － －
值是( A．1 2 C. 2
) 1 B．4 2 D．3
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解析：选 D.∵a＝(2＋ 3) 1＝2－ 3，b＝(2－ 3) 1＝2＋ 3，
－ －
∴(a＋1)－2＋(b＋1)－2＝(3－ 3)－2＋(3＋ 3)－2 1 1 2 ＝ ＋ ＝ . 12－6 3 12＋6 3 3
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3．(1)(2017· 山东济南模拟)设 y1＝4 ，y2＝8 则( ) A．y3>y1>y2 C．y1>y3>y2 B．y2>y1>y3 D．y1>y2>y3
0.9
0.48
1－ ，y3＝2 1.5，
解析：选 C.y1＝21.8，y2＝21.44，y3＝21.5， ∵1.8>1.5>1.44，∴21.8>21.5>21.44，∴y1>y3>y2.
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(2)已知函数 f (x)＝a|x＋1|(a>0， a≠1)的值域为[1， ＋∞)， 则 f (－ 4)与 f (1)的大小关系是________．
解析：∵|x＋1|≥0，函数 f (x)＝a|x 1|(a>0，a≠1)的值域为[1，
＋
＋∞)，∴a>1.由于函数 f (x)＝a|x＋1|在(－1，＋∞)上是增函数，且 它的图像关于直线 x＝－1 对称， 则函数在(－∞， －1)上是减函数， 故 f (1)＝f (－3)，f (－4)>f (1)．
分数指数幂，以便利用法则计算，还应注意：①必须同底数幂相 乘，指数才能相加；②运算的先后顺序． (2)当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数． (3)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母 又含有负指数．
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答案：0
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答案：f (－4)>f (1)
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[思想与方法系列] 换元法在和指数函数有关的复合函数中的应用(四) 典例 ________． (2)函数 f
1 (x)＝2
(1) 函数
1 1 x y ＝ 4 － 2 x ＋ 1
在区间 [ － 3,2] 上的值域是
2．指数函数的图像与性质
y＝ax 图像 定义域 值域 性质 (1) R (2)(0，＋∞) (3)过点 (0,1) ，即 x＝0 时，y＝ 1 (4)当 x>0 时， y>1 ； (5)当 x>0 时，0<y<1 ； 当 x<0 时， 0<y<1 当 x<0 时， y>1 (6)是 R 上的 增函数 (7)是 R 上的 减函数
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(5)函数 y＝ax2＋1(a>1)的值域是(0，＋∞)．( (6)函数 y＝2x－1 是指数函数．( )
)
答案：(1)× (2)× (3)× (4)× (5)× (6)×
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[基础自测] 1．若 a＝(2＋ 3) 1，b＝(2－ 3) 1，则(a＋1) 2＋(b＋1) 2 的
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(2)存在．由(1)知 f (x)在 R 上是增函数和奇函数，则 f (x－t)＋f (x2－t2)≥0 对一切 x∈R 都成立 ⇔f (x2－t2)≥f (t－x)对一切 x∈R 都成立 ⇔x2－t2≥t－x 对一切 x∈R 都成立 ⇔t ＋t≤x
2 2 2
12 1 ＋x＝x＋2 －4对一切
答案：(－∞，0]
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类型三 指数函数的图像和性质 题点 1 比较指数式的大小 [例 3] (1)下列各式比较大小正确的是( A．1.72.5>1.73
－
)
B．0.6 1>0.62
－
C．0.8 0.1>1.250.2 D．1.70.3<0.93.1 解析 A 中，∵函数 y＝1.7x 在 R 上是增函数，
(a>0，
m，n∈N＋，且 n>1)；0 的正分数指数幂等于 0；0 的负分数指数 幂 没有意义．
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m＋n n n mn (2)幂的运算性质：aman＝a ，(am)n＝ a ，(ab)n＝ a b ，
其中 a>0，b>0，m，n∈R.
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1 2．函数 f (x)＝a －a(a>0，a≠1)的图像可能是(
x
)
解析： 选 D.函数 f (x)的图像恒过(－1,0)点， 只有图像 D 适合．
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4．(2015· 高考山东卷)已知函数 f (x)＝ax＋b(a＞0，a≠1)的定 义域和值域都是[－1,0]，则 a＋b＝________.
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(2)若函数 y＝|3x－1|在(－∞，k]上单调递减，则 k 的取值范围 是________．
解析：函数 y＝|3x－1|的图像是由函数 y＝3x 的图像向下平移一个单位后，再把位于 x 轴下方 的图像沿 x 轴翻折到 x 轴上方得到的，函数图像 如图所示． 由图像知，其在(－∞，0]上单调递减，所以 k 的取值范围是(－∞，0]．
时，不等式 f (a)<1 可化为 a<1，所以 0≤a＜1.故 a 的取值范围是 (－3,1)，故选 C.
答案 C
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题点 3
和指数函数有关的复合函数的性质
[例 5] (2017· 天津模拟)已知函数 f (x)＝ex－e－x(x∈R， 且e为 自然对数的底数)． (1)判断函数 f (x)的单调性与奇偶性； (2)是否存在实数 t，使不等式 f (x－t)＋f (x2－t2)≥0 对一切 x ∈R 都成立？若存在，求出 t；若不存在，请说明理由．
的单调减区间为________．
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思维点拨
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2．(1)(2017· 山东临沂模拟)函数 f (x)＝1－e|x|的图像大致是 ( )
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解析：选 A.将函数解析式与图像对比分析，因为函数 f (x)＝1 －e|x|是偶函数，且值域是(－∞，0]，只有 A 满足上述两个性质．
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基础 考点
知识导航 典例领航
智能
提升反航
课时规范训练
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§ 2.5
指数与指数函数
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[知识梳理] 1．分数指数幂 (1)规定：正数的正分数指数幂的意义是 a ＝
n
am(a>0，m，n
1 n am
∈N＋，且 n>1)；正数的负分数指数幂的意义是 a ＝
2
x∈R 都成立
1 2 1 1 2 ⇔t ＋t≤(x ＋x)min＝－4⇔t ＋t＋4＝t＋2 ≤0，
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12 又t＋2 ≥0， 12 ∴t＋2 ＝0，
1 ∴t＝－2， 1 ∴存在 t＝－2，使不等式 f (t)＋f (x2－t2)≥0 对一切 x∈R 都成立．
3 所以 a＋b＝－2. 3 答案：－2
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答案：{x|－1<x<2}(或(－1,2))
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答案 (1)ab
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－1
167 (2)－ 9
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[方法引航]
(1)指数幂的运算首先将根式、 分数指数幂统一为
2.5<3，∴1.72.5<1.73，错误； B 中，∵y＝0.6x 在 R 上是减函数，－1<2， ∴0.6 1>0.62，正确；
－
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C 中，∵(0.8)－1＝1.25， ∴问题转化为比较 1.250.1 与 1.250.2 的大小． ∵y＝1.25x 在 R 上是增函数，0.1<0.2， ∴1.250.1<1.250.2，即 0.8－0.1<1.250.，错误； D 中，∵1.70.3>1,0<0.93.1<1， ∴1.70.3>0.93.1，错误．故选 B.