2017年春季新版北师大版八年级数学下学期1.4、角平分线同步练习10
八年级下册数学北师大版同步课时作业 1.4角平分线(有答案)
八年级下册数学北师大版同步课时作业 1.4角平分线一、单选题1.如图,已知点P 到,,AE AD BC 的距离相等,下列说法:①点P 在BAC ∠的平分线上;②点P 在CBE ∠的平分线上;③点P 在BCD ∠的平分线上;④点P 在,,BAC CBE BCD ∠∠∠的平分线的交点上.其中正确的是( )A.①②③④B.①②③C.④D.②③2.如图所示,//,AB CD O 为BAC ∠与ACD ∠平分线的交点,OE AC ⊥于,E 若2OE =,则AB 与CD 之间的距离是( )A.2B.4C.8D.无法确定3.如图，已知BG 是ABC ∠的平分线，DE AB ⊥于点,E DF BC ⊥于点,6F DE =，则DF 的长度是( )A.2B.3C.4D.64.如图是三条两两相交的笔直公路，某物流公司现要修建一个货物中转站，使它到三条公路的距离相等，这个货物中转站可选的位置有（ ）A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个5.如图，Rt ABC △中，90C ∠=︒，AD 平分BAC ∠，交BC 于点D ，10AB =，15ABD S =△，则CD 的长为( )A. 3B. 4C. 5D. 66.如图，在ABC 中，3045B C AD ∠=︒∠=︒，，平分BAC ∠交BC 于点,D DE AB ⊥，垂足为E .若1DE =，则BC 的长为( )A.2 C.2+ D.37.如图, 90B C ∠=∠=︒ ,M 是BC 的中点, DM 平分ADC ∠,且110ADC ∠=︒,则MAB ∠= ( )A. 30︒B. 35︒C. 45︒D. 60︒8.如图，AD 是ABC △的角平分线，过点D 作DE AB ⊥于E ，DF AC ⊥于F ，则下列结论：①DE DF =；②BD CD =；③AE AF =；④ADE ADF ∠=∠，其中正确结论的个数有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 9.如图，ABC 中，46AB BC ==，，BD 是ABC 的角平分线，DE AB ⊥于点,E AF BC ⊥于点F.若2DE =，则AF 的长为( )A.3B.103C.72D.154二、填空题10.如图，在ABC △中，,BD CD 是内角平分线，,BD CD 交于点,,D BE CE 是外角平分线，,BE CE 交于点E ,则D ∠与E ∠的关系是 .11.已知60AOB OC ∠=︒，是AOB ∠的平分线，点D 为OC 上一点，过点D 作直线DE OA ⊥，垂足为点E ，且直线DE 交OB 于点F ，如图所示.若2DE =，则=DF __________.12.如图，PA ON ⊥于点,A PB OM ⊥于点B ，且PA PB =，5030MON OPC ∠=︒∠=︒，，则PCA ∠=___________.三、解答题13.如图，在ABC 与AED 中，,,C E BC DE CA EA ∠=∠==，过点A 作AF DE ⊥，垂足为,F DE 交CB 的延长线于点G ，连接AG .（1）求证：GA 平分DGB ∠；（2）若 36,2DGBA S AF ==四边形，求FG 的长.参考答案1.答案：A 解析：点P 到AE AD ，的距离相等，∴点P 在BAC ∠的平分线上，故①正确；点P 到AE BC ，的距离相等，∴点P 在CBE ∠的平分线上，故②正确；点P 到AD BC ，的距离相等，∴点P 在BCD ∠的平分线上，故③正确；∴点P 在BAC CBE BCD ∠∠∠，，的平分线的交点上，故④正确。
北师大版数学八年级下册：1.4 角平分线 同步练习(附答案)
4 角平分线第1课时 角平分线的性质定理及其逆定理1．下列各图中，OP 是∠MON 的平分线，点E ，F ，G 分别在射线OM ，ON ，OP 上，则可以解释定理“角平分线上的点到角的两边的距离相等”的图形是（ ）2．如图，点P 是∠AOB 的平分线上一点，PC ⊥OA 于点C ，PD ⊥OB 于点D ，连接CD 交OP 于点E ，下列结论不一定正确的是（ ）A ．PC ＝PDB ．OC ＝OD C ．OP 垂直平分CDD ．OE ＝CD第2题图 第3题图3．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝8，DC ＝13AD ，BD 平分∠ABC ，则点D 到AB 的距离等于（ ）A ．4B ．3C ．2D ．14．如图，点P 是∠AOC 的平分线上一点，PD ⊥OA ，垂足为D ，且PD ＝3，点M 是射线OC 上一动点，则PM 的最小值为 ．第4题图 第5题图5．如图，BD 平分∠ABC ，DE ⊥BC 于点E ，AB ＝7，DE ＝4，则△ABD 的面积为 ． 6．已知：如图所示，点O 在∠BAC 的平分线上，OD ⊥AC ，OE ⊥AB ，垂足分别为D ，E ，DO ，EO 的延长线分别交AE ，AD 的延长线于点B ，C ，求证：OB ＝OC.7．如图，DA⊥AC，DE⊥BC.若AD＝5 cm，DE＝5 cm，∠ACD＝30°，则∠DCE＝（）A．30°B．40°C．50°D．60°8．如图，BE＝CF，DE⊥AB交AB的延长线于点E，DF⊥AC于点F，且DB＝DC，求证：AD是∠BAC的平分线．9．已知D，E分别是△ABC中AB边，AC边上的一点，在△ABC内有一点O，使OE ＝OD，则AO平分∠CAB吗？解：AO平分∠CAB，理由如下：因为点O到∠CAB两边的距离相等，所以点O在∠CAB的平分线上．所以AO平分∠CAB.以上解法是否正确？若不正确，请说明理由，并写出正确的结论．10．在正方形网格中，∠AOB的位置如图所示，到∠AOB两边距离相等的点应是（）A．M点B．N点C．P点D．Q点第10题图第11题图11．如图，在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝45°，AD平分∠BAC交BC于点D，DE ⊥AB，垂足为E.若DE＝1，则BC的长为（）A．2＋ 2 B.2＋3C．2＋ 3 D．312．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠CAB交BC于点D，DE⊥BA于点E，AB＝6 cm，则△DEB的周长是cm.13．如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，AB∥CD，M为BC边上的一点，且AM 平分∠BAD，DM平分∠ADC.(1)求证：AM⊥DM；(2)若BC＝8，求点M到AD的距离．14．已知：如图，锐角△ABC的两条高BD，CE相交于点O，且OB＝OC.(1)求证：△ABC是等腰三角形；(2)判断点O是否在∠BAC的平分线上，并说明理由．15．如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，AD是∠BAC的平分线，AC＝ 6.若点P是AD上一动点，且作PN⊥AC于点N，则PN＋PC2第2课时三角形三个内角的平分线1．到三角形三条边的距离相等的点是三角形________的交点（）A．三个内角平分线B．三边垂直平分线C．三条中线D．三条高线2．如图，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线相交于点O，下面结论中正确的是（）A．∠1＞∠2 B．∠1＝∠2C．∠1＜∠2 D．∠1＝2∠2第2题图第3题图3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，△ABC的三条内角平分线相交于点O，OM ⊥AB于点M.若OM＝4，S△ABC＝180，则△ABC的周长是．4．如图，在△ABC中，AB＋AC＝20，OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC 于点D，且OD＝3，求图中阴影部分的面积．5．如图所示是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在（）A．△ABC的三条中线的交点B．△ABC三边垂直平分线的交点C．△ABC三条角平分线的交点D．△ABC三条高所在直线的交点6．如图，某市有一块由三条马路围成的三角形绿地，现准备在其中建一小亭供人们小憩，使小亭中心到三条马路的距离相等，试确定小亭中心的位置．7．如图，在△ABC中，AB＝AC，BD，CE分别是∠ABC和∠ACB的平分线，且相交于点F，则下列说法错误的是（）A．BF＝CFB．点F到∠BAC两边的距离相等C．CE＝BDD．点F到A，B，C三点的距离相等第7题图第8题图8．如图，l1，l2，l3表示三条相互交叉的公路，现在要建一个加油站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（）A．1处B．2处C ．3处D ．4处9．如图，BD 垂直平分线段AC ，AE ⊥BC ，垂足为E ，交BD 于点P ，AE ＝7 cm ，AP ＝4 cm ，则点P 到直线AB 的距离是 ．10．如图，在△ABC 中，PD ⊥AC ，PE ⊥AB ，PF ⊥BC ，PD ＝PE ＝PF ，求证：∠BPC ＝90°＋12∠BAC.11．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BD 是Rt △ABC 的一条角平分线，点O ，E ，F 分别在BD ，BC ，AC 上，且四边形OECF 是正方形(四边相等，四个角都是直角)．(1)求证：点O 在∠BAC 的平分线上； (2)若AC ＝5，BC ＝12，求OE 的长．参考答案：第1课时 角平分线的性质定理及其逆定理1．下列各图中，OP 是∠MON 的平分线，点E ，F ，G 分别在射线OM ，ON ，OP 上，则可以解释定理“角平分线上的点到角的两边的距离相等”的图形是(D)2．如图，点P 是∠AOB 的平分线上一点，PC ⊥OA 于点C ，PD ⊥OB 于点D ，连接CD 交OP 于点E ，下列结论不一定正确的是(D)A ．PC ＝PDB ．OC ＝OD C ．OP 垂直平分CDD ．OE ＝CD第2题图 第3题图3．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝8，DC ＝13AD ，BD 平分∠ABC ，则点D 到AB 的距离等于(C)A ．4B ．3C ．2D ．14．如图，点P 是∠AOC 的平分线上一点，PD ⊥OA ，垂足为D ，且PD ＝3，点M 是射线OC 上一动点，则PM 的最小值为3．第4题图 第5题图5．如图，BD 平分∠ABC ，DE ⊥BC 于点E ，AB ＝7，DE ＝4，则△ABD 的面积为14． 6．已知：如图所示，点O 在∠BAC 的平分线上，OD ⊥AC ，OE ⊥AB ，垂足分别为D ，E ，DO ，EO 的延长线分别交AE ，AD 的延长线于点B ，C ，求证：OB ＝OC.证明：∵点O 在∠BAC 的平分线上，OD ⊥AC ，OE ⊥AB ，∴OE ＝OD ，∠BEO ＝∠CDO ＝90°. 在△BEO 和△CDO 中，⎩⎨⎧∠BEO ＝∠CDO ，OE ＝OD ，∠EOB ＝∠DOC ，∴△BEO ≌△CDO(ASA)． ∴OB ＝OC.7．如图，DA ⊥AC ，DE ⊥BC.若AD ＝5 cm ，DE ＝5 cm ，∠ACD ＝30°，则∠DCE ＝(A)A ．30°B ．40°C ．50°D ．60°8．如图，BE ＝CF ，DE ⊥AB 交AB 的延长线于点E ，DF ⊥AC 于点F ，且DB ＝DC ，求证：AD 是∠BAC 的平分线．证明：∵DE ⊥AB ，DF ⊥AC ， ∴∠BED ＝∠DFC ＝90°.在Rt △DEB 和Rt △DFC 中，⎩⎨⎧BE ＝CF ，DB ＝DC ，∴Rt △DEB ≌Rt △DFC(HL)． ∴DE ＝DF.∴AD 是∠BAC 的平分线．9．已知D ，E 分别是△ABC 中AB 边，AC 边上的一点，在△ABC 内有一点O ，使OE ＝OD ，则AO 平分∠CAB 吗？解：AO 平分∠CAB ，理由如下：因为点O 到∠CAB 两边的距离相等，所以点O 在∠CAB 的平分线上．所以AO 平分∠CAB.以上解法是否正确？若不正确，请说明理由，并写出正确的结论．解：不正确．以上解法忽视了OD ，OE 分别垂直于AB ，AC 的条件，故产生错误．正确的结论是“AO 不一定平分∠CAB ”．10．在正方形网格中，∠AOB 的位置如图所示，到∠AOB 两边距离相等的点应是(A) A ．M 点B ．N 点C ．P 点D ．Q 点第10题图 第11题图11．如图，在△ABC 中，∠B ＝30°，∠C ＝45°，AD 平分∠BAC 交BC 于点D ，DE ⊥AB ，垂足为E.若DE ＝1，则BC 的长为(A)A ．2＋ 2 B.2＋3 C ．2＋ 3D ．312．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝BC ，AD 平分∠CAB 交BC 于点D ，DE ⊥BA 于点E ，AB ＝6 cm ，则△DEB 的周长是6cm.13．如图，在四边形ABCD 中，∠B ＝90°，AB ∥CD ，M 为BC 边上的一点，且AM 平分∠BAD ，DM 平分∠ADC.(1)求证：AM ⊥DM ；(2)若BC ＝8，求点M 到AD 的距离．解：(1)证明：∵AM 平分∠BAD ，DM 平分∠ADC ， ∴∠MAD ＝12∠BAD ，∠ADM ＝12∠ADC.∵AB ∥CD ，∴∠BAD ＋∠ADC ＝180°.∴∠MAD ＋∠ADM ＝12(∠BAD ＋∠ADC)＝90°.又∵∠AMD ＋∠MAD ＋∠ADM ＝180°， ∴∠AMD ＝90°. ∴AM ⊥DM.(2)过点M 作MN ⊥AD 于点N. ∵AB ∥CD ，∠B ＝90°，∴∠C ＝90°，即BM ⊥AB ，MC ⊥DC. 又∵AM ，DM 分别平分∠BAD ，∠ADC ， ∴BM ＝MN ，MN ＝MC. ∴MN ＝12BC ＝4.∴点M 到AD 的距离为4.14．已知：如图，锐角△ABC 的两条高BD ，CE 相交于点O ，且OB ＝OC. (1)求证：△ABC 是等腰三角形；(2)判断点O 是否在∠BAC 的平分线上，并说明理由．解：(1)证明：∵BD ，CE 是△ABC 的高， ∴∠BEC ＝∠CDB ＝90°. 又∵∠EOB ＝∠DOC ， ∴∠ABD ＝∠ACE. ∵OB ＝OC ， ∴∠OBC ＝∠OCB. ∴∠ABC ＝∠ACB. ∴AB ＝AC.∴△ABC 是等腰三角形． (2)点O 在∠BAC 的平分线上．理由：∵∠BEO ＝∠CDO ＝90°，∠BOE ＝∠COD ，OB ＝OC ， ∴△BOE ≌△COD(AAS)． ∴OE ＝OD.又∵OD ⊥AC ，OE ⊥AB ，∴点O在∠BAC的平分线上．15．如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，AD是∠BAC的平分线，AC＝ 6.若点P是AD上一动点，且作PN⊥AC于点N，则PN＋PC2第2课时三角形三个内角的平分线1．到三角形三条边的距离相等的点是三角形________的交点(A)A．三个内角平分线B．三边垂直平分线C．三条中线D．三条高线2．如图，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线相交于点O，下面结论中正确的是(B) A．∠1＞∠2 B．∠1＝∠2C．∠1＜∠2 D．∠1＝2∠2第2题图第3题图3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，△ABC的三条内角平分线相交于点O，OM ⊥AB于点M.若OM＝4，S△ABC＝180，则△ABC的周长是90．4．如图，在△ABC中，AB＋AC＝20，OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC 于点D，且OD＝3，求图中阴影部分的面积．解：连接OA，过点O作OE⊥AB于点E，OF⊥AC于点F.∵OB平分∠ABC，OD⊥BC，OE⊥AB，∴OE＝OD＝3.同理可得OF＝OD＝3.∴S阴影＝S△AOB＋S△AOC＝12AB·OE＋12AC·OF＝12(AB＋AC)·OE＝12×20×3＝30.5．如图所示是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在(C)A．△ABC的三条中线的交点B．△ABC三边垂直平分线的交点C．△ABC三条角平分线的交点D．△ABC三条高所在直线的交点6．如图，某市有一块由三条马路围成的三角形绿地，现准备在其中建一小亭供人们小憩，使小亭中心到三条马路的距离相等，试确定小亭中心的位置．解：如图所示，分别作三角形绿地两个角的平分线交于点P，点P即为所求．7．如图，在△ABC中，AB＝AC，BD，CE分别是∠ABC和∠ACB的平分线，且相交于点F，则下列说法错误的是(D)A．BF＝CFB．点F到∠BAC两边的距离相等C．CE＝BDD．点F到A，B，C三点的距离相等第7题图第8题图8．如图，l1，l2，l3表示三条相互交叉的公路，现在要建一个加油站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有(D)A．1处B．2处C．3处D．4处9．如图，BD垂直平分线段AC，AE⊥BC，垂足为E，交BD于点P，AE＝7 cm，AP ＝4 cm，则点P到直线AB的距离是3_cm．10．如图，在△ABC中，PD⊥AC，PE⊥AB，PF⊥BC，PD＝PE＝PF，求证：∠BPC＝90°＋12∠BAC.证明：∵PD ⊥AC ，PE ⊥AB ，PF ⊥BC ，PD ＝PE ＝PF ，∴点P 是△ABC 三个内角平分线的交点．∴CP 平分∠ACB ，BP 平分∠ABC.∴∠PCB ＝12∠ACB ，∠PBC ＝12∠ABC. ∴∠BPC ＝180°－∠PCB －∠PBC＝180°－12∠ACB －12∠ABC ＝180°－12(∠ACB ＋∠ABC) ＝180°－12(180°－∠BAC) ＝90°＋12∠BAC. 11．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BD 是Rt △ABC 的一条角平分线，点O ，E ，F 分别在BD ，BC ，AC 上，且四边形OECF 是正方形(四边相等，四个角都是直角)．(1)求证：点O 在∠BAC 的平分线上；(2)若AC ＝5，BC ＝12，求OE 的长．解：(1)证明：过点O 作OM ⊥AB 于点M.∵BD 是△ABC 的一条角平分线，OM ⊥AB ，OE ⊥BC ，∴OE ＝OM.∵四边形OECF 是正方形，∴OE ＝OF ，OF ⊥AC.∴OM ＝OF.∴点O 在∠BAC 的平分线上．(2)∵在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝5，BC ＝12，∴由勾股定理，得AB ＝13.易证BE ＝BM ，AM ＝AF.∵BE ＝BC －CE ，AF ＝AC －CF ，CE ＝CF ＝OE ，∴BE＝12－OE，AF＝5－OE.∵BM＋AM＝AB，∴BE＋AF＝13，即12－OE＋5－OE＝13.解得OE＝2，即OE的长为2.。
北师大版八年级下册第一章《1.4 角平分线》同步培优练习题(含答案解析)
北师大新版八年级下学期《1.4 角平分线》同步培优练习题一．选择题（共10小题）1．如图，已知点O为△ABC的两条角平分线的交点，过点O作OD⊥BC，垂足为D，且OD＝4．若△ABC的面积是34，则△ABC的周长为（）A．8.5B．15C．17D．342．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是△ABC的一条角平分线．若AC＝6，AB＝10，则点D到AB边的距离为（）A．2B．2.5C．3D．43．如图，△ABC的∠B的外角的平分线BD与∠C的外角的平分线CE相交于点P，若点P 到直线AC的距离为4，则点P到直线AB的距离为（）A．4B．3C．2D．14．如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，AB＝20，CD＝6，若∠C＝90°，则△ABD面积是（）A．120B．80C．60D．405．如图，BP为∠ABC的平分线，过点D作BC、BA的垂线，垂足分别为E、F，则下列结论中错误的是（）A．∠DBE＝∠DBF B．DE＝DF C．2DF＝DB D．∠BDE＝∠BDF 6．如图，PM＝PN，∠BOC＝30°，则∠AOB的度数（）A．30°B．45°C．60°D．50°7．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，用尺规作图法作出射线AE，AE交BC于点D，CD＝2，P为AB上一动点，则PD的最小值为（）A．2B．3C．4D．无法确定8．在△ABC内部取一点P，使得点P到△ABC的三边距离相等，则点P是△ABC的（）A．三条高的交点B．三条角平分线的交点C．三条中线的交点D．三边的垂直平分线的交点9．如图，AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，DE＝2，AC＝3，则△ADC 的面积是（）A．3B．4C．5D．610．如图所示，△ABC的两条外角平分线AP、CP相交于点P，PH⊥AC于H．若∠ABC＝60°，则下面的结论：①∠ABP＝30°；②∠APC＝60°；③PB＝2PH；④∠APH＝∠BPC，其中正确结论的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个二．填空题（共5小题）11．如图，点O在△ABC内部，且到三边的距离相等．若∠BOC＝130°，则∠A＝．12．如图，已知△ABC的周长是20，OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，若△ABC的面积是30，则OD＝．13．如图，∠AOP＝∠BOP，PC∥OA，PD⊥OA，若∠AOB＝45°，PC＝6，则PD的长为．14．如图，AB∥CD，点P到AB，BC，CD距离都相等，则∠P＝度．15．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝6，角平分线AE与BF相交于点O，则点O到斜边AB的距离为．三．解答题（共7小题）16．在△ABC中，已知∠A＝90°，AB＝AC，BD平分∠ABC，DE⊥BC于E，请解答下列问题：（1）若AD＝2cm，则D点到BC边的距离是．（2）若BC＝7cm，则△CDE的周长为．（3）连接AE，试判断线段AE与BD的位置关系，并说明理由．17．已知：如图，△ABC的角平分线BE、CF相交于点P．求证：点P在∠A的平分线上．18．在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，BD：DC＝2：1，BC＝7.8cm，求点D到AB的距离．19．已知，如图，∠C＝90°，∠B＝30°，AD是△ABC的角平分线．（1）求证：BD＝2CD；（2）若CD＝2，求△ABD的面积．20．如图：已知OA和OB两条公路，以及C、D两个村庄，建立一个车站P，使车站到两个村庄距离相等即PC＝PD，且P到OA，OB两条公路的距离相等．21．在四边形ABCD中，CE平分∠BCD交AD于点E，点F在线段CE上运动．（1）如图1，已知∠A＝∠D＝90°①若BF平分∠ABC，则∠BFC＝°②若∠BFC＝90°，试说明∠DEC＝∠ABC；（2）如图2，已知∠A＝∠D＝∠BFC，试说明BF平分∠ABC．22．证明命题“角平分线上的点到角两边的距离相等”，要根据题意，画出图形，并用符号表示已知求证，写出证明过程，下面是小明同学根据题意画出的图形，并写出了不完整的已知和求证．（1）已知：如图，OC是∠AOB的角平分线，点P在OC上，，．求证：．（请你补全已知和求证）（2）写出证明过程．参考答案一．选择题（共10小题）1．【分析】根据角平分线的性质得到点O到△ABC各边的距离为4，利用三角形面积公式得到×AB×4+×AC×4+×BC×4＝34，然后计算出AB+AC+BC即可．【解答】解：∵点O为△ABC的两条角平分线的交点，∴点O到△ABC各边的距离相等，而OD⊥BC，OD＝4，∴点O到△ABC各边的距离为4，∵S△ABC＝S△AOB+S△BOC+S△AOC，∴×AB×4+×AC×4+×BC×4＝34，∴AB+AC+BC＝17，即△ABC的周长为17．故选：C．2．【分析】作DE⊥AB于E，如图，先根据勾股定理计算出BC＝8，再利用角平分线的性质得到DE＝DC，设DE＝DC＝x，利用面积法得到10x＝6（8﹣x），然后解方程即可．【解答】解：作DE⊥AB于E，如图，在Rt△ABC中，BC＝＝8，∵AD是△ABC的一条角平分线，DC⊥AC，DE⊥AB，∴DE＝DC，设DE＝DC＝x，S△ABD＝DE•AB＝AC•BD，即10x＝6（8﹣x），解得x＝3，即点D到AB边的距离为3．故选：C．3．【分析】过点P作PF⊥AC于F，作PG⊥BC于G，PH⊥AB于H，然后根据角平分线上的点到角的两边的距离相等即可得解．【解答】解：如图，过点P作PF⊥AC于F，作PG⊥BC于G，PH⊥AB于H，∵BD、CE是△ABC的外角平分线，∴PF＝PG，PG＝PH，∴PF＝PG＝PH，∵点P到AC的距离为4，∴PH＝4，即点P到AB的距离为4．故选：A．4．【分析】根据角平分线的性质得出DE＝CD＝6，进而利用三角形的面积公式解答即可．【解答】解：∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，∠C＝90°，∴CD＝DE＝6，∴△ABD面积＝，故选：C．5．【分析】根据角平分线的性质、全等三角形的判定定理和性质定理判断即可．【解答】解：∵BP为∠ABC的平分线，DE⊥AC，DF⊥AB，∴DE＝DF，B正确，不符合题意；在Rt△DBE和Rt△DBF中，，∴Rt△DBE≌Rt△DBF，∴∠DBE＝∠DBF，∠BDE＝∠BDF，A、D正确，不符合题意，2DF不一定等于DB，C错误，符合题意，故选：C．6．【分析】由角平分线性质定理的逆定理和角的和差直接求出∠AOB的度数为60°．【解答】解：如图所示：∵点P在∠AOB的内部，PM⊥AO，PN⊥OB，PM＝PN，∴点P在∠AOB的角平分线上，∴OC平分∠AOB，∵∠BOC＝30°，∴∠AOB＝60°，故选：C．7．【分析】当DP⊥AB时，根据垂线段最短可知，此时DP的值最小．再根据角平分线的性质定理可得DP＝CD解决问题；【解答】解：当DP⊥AB时，根据垂线段最短可知，此时DP的值最小．由作图可知：AE平分∠BAC，∵DC⊥AC，DP⊥AB，∴DP＝CD＝2，∴PD的最小值为2，故选：A．8．【分析】根据角平分线的性质解答．【解答】解：∵角的平分线上的点到角的两边的距离相等，∴点P到△ABC的三边距离相等，则点P是△ABC的三条角平分线的交点，故选：B．9．【分析】过点D作DF⊥AC于F，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE＝DF，再根据（1）中所求S△ACD＝3列出方程求解即可．【解答】解：如图，过点D作DF⊥AC于F，∵AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，∴DE＝DF＝2．∴S△ACD＝AC•DF＝×3×2＝3，故选：A．10．【分析】如图作，PM⊥BC于M，PN⊥BA于N．利用角平分线的判定定理和性质定理可得PB是∠ABC的平分线，由△P AN≌△P AH，△PCM≌△PCH，推出∠APN＝∠APH，∠CPM＝∠CPH，由∠MPN＝180°﹣∠ABC＝120°，推出∠APC＝∠MPN＝60°，由∠BPN＝∠CP A＝60°，推出∠CPB＝∠APN＝∠APH即可一一判断．【解答】解：如图作，PM⊥BC于M，PN⊥BA于N．∵∠P AH＝∠P AN，PN⊥AD，PH⊥AC，∴PN＝PH，同理PM＝PH，∴PN＝PM，∴PB平分∠ABC，∴∠ABP＝∠ABC＝30°，故①正确，∵在Rt△P AH和Rt△P AN中，，∴△P AN≌△P AH，同理可证，△PCM≌△PCH，∴∠APN＝∠APH，∠CPM＝∠CPH，∵∠MPN＝180°﹣∠ABC＝120°，∴∠APC＝∠MPN＝60°，故②正确，在Rt△PBN中，∵∠PBN＝30°，∴PB＝2PN＝2PH，故③正确，∵∠BPN＝∠CP A＝60°，∴∠CPB＝∠APN＝∠APH，故④正确．二．填空题（共5小题）11．【分析】由条件可知BO、CO平分∠ABC和∠ACB，利用三角形内角和可求得∠A．【解答】解：∵点O到△ABC三边的距离相等，∴BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，∴∠A＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣2（∠OBC+∠OCB）＝180°﹣2×（180°﹣∠BOC）＝180°﹣2×（180°﹣130°）＝80°，故答案为：80°．12．【分析】根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得点O到AB、AC、BC的距离都相等（即OE＝OD＝OF），从而可得到△ABC的面积等于周长的一半乘以3，代入求出即可．【解答】解：如图，连接OA，过O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，∵OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB，∴OE＝OF＝OD，∵△ABC的周长是20，OD⊥BC于D，∴S△ABC＝×AB×OE+×BC×OD+×AC×OF＝×（AB+BC+AC）×OD＝×20×OD＝30，解得：OD＝3，故答案为：313．【分析】过P作PE⊥OB，根据角平分线的定义和平行线的性质易证得△PCE是等腰直角三角形，得出PE＝3，根据角平分线的性质即可证得PD＝PE＝3．【解答】解：过P作PE⊥OB，∵∠AOP＝∠BOP，∠AOB＝45°，∴∠AOP＝∠BOP＝22.5°，∵PC∥OA，∴∠OPC＝∠AOP＝22.5°，∴∠PCE＝45°，∴△PCE是等腰直角三角形，∴PE＝PC＝×6＝3，∵∠AOP＝∠BOP，PD⊥OA，PE⊥OB，∴PD＝PE＝3，故答案为3．14．【分析】根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上可得BP、CP分别是∠ABC和∠BCD的平分线，再根据两直线平行，同旁内角互补和角平分线的定义解答即可．【解答】解：∵点P到AB、BC、CD距离都相等，∴BP、CP分别是∠ABC和∠BCD的平分线，∴∠CBP＝∠ABC，∠BCP＝∠BCD，∴∠CBP+∠BCP＝（∠ABC+∠BCD），∵AB∥CD，∴∠ABC+∠BCD＝180°，∴∠CBP+∠BCP＝×180°＝90°，∴∠P＝180°﹣（∠CBP+∠BCP）＝180°﹣90°＝90°．故答案为：9015．【分析】利用勾股定理列式求出BC，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得点O 到△ABC三边的距离相等，设为h，再利用△ABC的面积列出方程求解即可．【解答】解：∵∠C＝90°，AB＝10，AC＝6，∴BC＝＝＝8，∵角平分线AE与BF相交于点O，∴点O到△ABC三边的距离相等，设为h，则S△ABC＝（10+6+8）h＝×6×8，解得h＝2，即点O到斜边AB的距离为2．故答案为：2．三．解答题（共7小题）16．【分析】（1）根据角平分线的性质定理解答；（2）证明△ABD≌△EBD，得到BA＝BE，根据三角形的周长公式计算即可；（3）根据线段垂直平分线的判定定理解答．【解答】解：（1）∵BD平分∠ABC，DE⊥BC，∠A＝90°，∴DE＝AD＝2cm，故答案为：2cm；（2）在△ABD和△EBD中，，∴△ABD≌△EBD，∴BA＝BE，△CDE的周长＝CD+CE+DE＝CD+AD+CE＝AC+CE＝AB+CE＝BE+CE＝BC＝7cm，故答案为：7cm；（3）∵DA＝DE，BA＝BE，∴BD⊥AE．17．【分析】过点P作PD⊥AB、PM⊥BC、PN⊥AC垂足分别为D、M、N，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得PD＝PM，同理可得PM＝PN，从而得到PD＝PN，再根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上证明即可．【解答】证明：如图，过点P作PD⊥AB、PM⊥BC、PN⊥AC垂足分别为D、M、N，∵BE平分∠ABC，点P在BE上，∴PD＝PM，同理，PM＝PN，∴PD＝PN，∴点P在∠A的平分线上．18．【分析】先要过D作出垂线段DE，根据角平分线的性质求出CD＝DE，再根据已知即可求得D到AB的距离的大小．【解答】解：过点D作DE⊥AB于E．∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DC⊥AC∴CD＝DE又BD：DC＝2：1，BC＝7.8cm∴DC＝7.8÷（2+1）＝7.8÷3＝2.6cm．∴DE＝DC＝2.6cm．∴点D到AB的距离为2.6cm．19．【分析】（1）过D作DE⊥AB于E，依据角平分线的性质，即可得到DE＝CD，再根据含30°角的直角三角形的性质，即可得出结论；（2）依据AD＝BD＝2CD＝4，即可得到Rt△ACD中，AC＝＝2，再根据△ABD的面积＝×BD×AC进行计算即可．【解答】解：（1）如图，过D作DE⊥AB于E，∵∠C＝90°，AD是△ABC的角平分线，∴DE＝CD，又∵∠B＝30°，∴Rt△BDE中，DE＝BD，∴BD＝2DE＝2CD；（2）∵∠C＝90°，∠B＝30°，AD是△ABC的角平分线，∴∠BAD＝∠B＝30°，∴AD＝BD＝2CD＝4，∴Rt△ACD中，AC＝＝2，∴△ABD的面积为×BD×AC＝×4×2＝4．20．【分析】作∠AOB的角平分线和线段CD的垂直平分线，它们的交点为P点．【解答】解：如图，点P为所作．21．【分析】（1）①先根据∠A+∠D＝180°得AB∥CD，可得∠ABC+∠BCD＝180°，根据角平分线和三角形的内角和可得结论；②先根据同角的余角可得：∠CBF＝∠DEC，由①知：AB∥CD，可得结论；（2）如图2，延长BF交于点M，根据四边形的内角和定理和邻补角的性质可得∠DCF ＝∠EMF，根据三角形的内角和定理得∠FEM＝∠CBF，同理得∠FEM＝∠ABF，从而得结论．【解答】解：（1）①∵∠A＝∠D＝90°，∴∠A+∠D＝180°，∴AB∥CD，∴∠ABC+∠BCD＝180°，∵CE平分∠BCD，BF平分∠ABC，∴∠CBF＝，∠BCF＝，∴∠CBF+∠BCF＝＝90°，∴∠BFC＝90°；故答案为：90②∵∠BFC＝90°，∴∠CBF+∠BCF＝90°，∵∠D＝90°，∴∠DCE+∠DEC＝90°，∵CE平分∠BCD，∴∠DCE＝∠BCF，∴∠CBF＝∠DEC，由①知：AB∥CD，∴∠ABC+∠BCD＝180°，∴∠CBF＝∠ABC，∴∠DEC＝∠ABC；（2）如图2，延长BF交于点M，∵∠BFC＝∠D，∠BFC+∠CFM＝180°，∴∠CFM+∠D＝180°，∴∠FMD+∠DCF＝180°，∵∠FMD+∠EMF＝180°，∴∠DCF＝∠EMF，∵CE平分∠BCD，∴∠DCF＝∠BCF，∴∠BCF＝∠EMF，∵∠EFM＝∠BFC，∴∠FEM＝∠CBF，∵∠CFB＝∠A，同理得∠FEM＝∠ABF，∴∠ABF＝∠CBF∴BF平分∠ABC．22．【分析】（1）根据题意、结合图形写出已知和求证；（2）证明△OPD≌△OPE，根据全等三角形的性质证明结论．【解答】解：（1）已知：如图，OC是∠AOB的角平分线，点P在OC上，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，求证：PD＝PE，故答案为：PD⊥OA于D；PE⊥OB于E；PD＝PE；（2）证明：在△OPD和△OPE中，，∴△OPD≌△OPE（AAS）∴PD＝PE．。
北师大版八年级下册数学1.4角平分线同步练习题(含解析)
1.角平分线同步练习2.一.选择题3.，如图AD、BE是△ABC的两条高线，AD与BE交于点O，AD平分∠BAC，BE平分(4)AE＋∠ABC，以下结论：〔1〕CD＝BD, (2)AE＝CE(3)OA＝OB＝OD＝OEBD＝AB，其中正确结论的个数是〔〕3.4.5.6.7.8.9.10.11.12.13.14.2.如图，在△ABC中，AD是角平分线，DE⊥AB于点E，△ABC的面积为7，AB=4，DE=2，15.那么AC的长是〔〕16.17.18.19.20.21.22.A．4B．3C．6D．5如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝30°，∠ACB的平分线与∠ABC的外角平分线交于E点，那么∠AEB＝〔〕°°° D.35°如图，△ABC中，P、Q分别是BC、AC上的点，作PR⊥AB，PS⊥AC，垂足分别是R、S.假设AQ＝PQ，PR＝PS，以下结论：①AS＝AR；②PQ∥AR；③△BRP≌△CSP.其中正确的是〔〕A.①③B.②③C.①②D.①②③5.如图是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在〔〕A．△ABCC．△ABC的三条中线的交点三条高所在直线的交点B．△ABC三边的中垂线的交点D．△ABC三条角平分线的交点6．ABC中，AD是BAC的平分线，且AB ACCD.假设BAC60，那么ABC 的大小为〔〕A．40B．60C．80D．100二.填空题在三角形纸片ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AC＝3.折叠该纸片，使点A与点B重合，折痕与AB、AC分别相交于点D和点E〔如图〕，折痕DE的长为.8.如图，在△ABC中， A 90,AB AC,CD平分ACB，DE BC于E，假设BC15cm，那么△DEB的周长为cm．9.如下列图，△ABC的周长是20，OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD=3，那么△ABC的面积是．12.10.如图△ABC中，AD平分∠BAC，AB=4，AC=2，且△ABD的面积为3，那么△ACD的面13.积为．14.15.16.17.18.19.20.11．在数学活动课上，小明提出这样一个问题：∠B＝∠C＝90°，E是BC的中点，DE平分21.ADC，∠CED＝35°，如图，那么∠EAB是多少度？大家一起热烈地讨论交流，小英第一个得出正确答案，是______．22.23.24.25.26.27.28.29.30.31.如图，在△ABC中，∠ABC＝100°，∠ACB＝20°，CE平分∠ACB,D为AC上一点，假设∠CBD＝20°，那么∠CED＝__________.三.解答题13．：如图，OD平分∠POQ，在OP、OQ边上取OA＝OB，点C在OD上，CM⊥AD于M，CN⊥BD于N.求证：CM＝CN．14.四边形ABCD中，AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，∠ADC+∠B=180°求证：2AE=AB+AD．15．：如图，在ABC中，AD是△ABC并且有∠EDF＋∠EAF＝180°．试判断DE 的角平分线，E、F分别是AB、AC上一点，和DF的大小关系并说明理由．（16．：如图，∠B=∠C=90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC．（1〕求证：AM平分∠BAD；（2〕试说明线段DM与AM有怎样的位置关系？3〕线段CD、AB、AD间有怎样的关系？直接写出结果．17．如图，在ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC，DE⊥AB于E，假设△BCD与△BCA的面积比为3∶8，求△ADE 与△BCA的面积之比．：如图，ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线BF、CF交于点F.求证：一点F必在∠DAE的平分线上．参考答案一.选择题1.【答案】C；【解析】〔1〕〔2〕〔4〕是正确的.2.【答案】B；【解析】解：过点D作DF⊥AC于F，∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DE=DF=2，∴S△ABC=×4×2+AC×2=7，解得AC=3．应选：B．3.【答案】B；【解析】可证EA是∠CAB外角平分线.过点E作EF、EM、EN分别垂直于CB、AB、CA，并且交点分别为F、M、N，所以EF＝EM＝EN.所以EA是∠CAB的外角平分线.4.【答案】C；【解析】依据角平分线的判定定理知AP平分∠BAC，①正确，因AQ＝PQ，∠PAQ＝∠APQ＝∠BAP，所以②正确.5.【答案】D；【解析】解：∵凉亭到草坪三条边的距离相等，∴凉亭选择△ABC三条角平分线的交点．应选D．6.【答案】A；【解析】在AB边上截取AE＝AC，连接DE，可证△ACD≌△AED，可推出CD＝DE＝BE，2∠B＝∠C，所以∠B＝40°.二.填空题【答案】1；【解析】由题意设DE＝CE＝x，BC＝BD＝AD＝3x，AE＝2x，AC＝3x＝3，x＝1.【答案】15；【解析】BC＝CE＋BE＝AC＋BE＝AB＋BE＝AD＋BD＋BE＝DE＋BD＋BE＝15cm.【答案】30【解析】解：如图，连接OA，过O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB，∴OE=OF=OD=3，∵△ABC的周长是22，OD⊥BC于D，且OD=3，∴S△ABC=×AB×OE+×BC×OD+×AC×OF=×〔AB+BC+AC〕×320×3=3010.【答案】；【解析】解：过点D 作DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，AD 平分∠BAC ，∴DE=DF ， AB=4，△ABD 的面积为3， ∴S △ABD = AB?DE= ×4×DE=3，解得DE=；DF=，AC=2，S △ACD =AC?DF=×2×=．故答案为： ．11.【答案】35°； 【解析】作 EF ⊥AD 于F ，证△DCE ≌△DFE 〔HL 〕，再证△AFE ≌△ABE 〔HL 〕，可得 FEB ＝180°－70°＝110°，∠AEB ＝55°，∠EAB ＝35°.12.【答案】10°；【解析】考虑△BDC 中，EC 是∠C 的平分线，EB 是∠B 的外角平分线， 所以E 是△BDC 的一个旁心，于是ED 平分∠BDA.∠CED ＝∠ADE －∠DCE ＝1∠ADB －1∠DCB ＝1∠DBC ＝1×20°＝10°.22 2 2三.解答题 13.【解析】证明：∵OD 平分∠POQ ∴∠AOD ＝∠BOD 在△AOD 与△BOD 中OA OB AOD BOD ODOD∴△AOD ≌△BOD 〔SAS 〕 ∴∠ADO ＝∠BDO又∵CM ⊥AD 于M ，CN ⊥BD 于N.∴CM ＝CN 〔角平分线上的点到角两边的距离相等〕.14.【解析】证明：过C作CF⊥AD于F，AC平分∠BAD，∴∠FAC=∠EAC，CE⊥AB，CF⊥AD，∴∠DFC=∠CEB=90°，∴△AFC≌△AEC，∴AF=AE，CF=CE，∵∠ADC+∠B=180°∴∠FDC=∠EBC，∴△FDC≌△EBCDF=EB，AB+AD=AE+EB+AD=AE+DF+AD=AF+AE=2AE2AE=AB+AD15.【解析】DE＝DF.证明：过点D作DM⊥AB于M，DN⊥AC于N，∵AD是△ABC的角平分线，DM＝DN∵∠EDF＋∠EAF＝180°，即∠2＋∠3＋∠4＋∠EAF＝180°又∵∠1＋∠2＋∠3＋∠EAF＝180°∴∠1＝∠4在Rt△DEM与Rt△DFN中4DMDNEMDFNDRt△DEM≌Rt△DFN〔ASA〕DE＝DF【解析】〔1〕证明：作M E⊥AD于E，∵MC⊥DC，ME⊥DA，MD平分∠ADC，∴ME=MC，∵M为BC中点，∴MB=MC，又∵ME=MC，∴ME=MB，又∵ME⊥AD，MB⊥AB，∴AM平分∠DAB．2〕解：DM⊥AM，理由是：∵DM平分∠CDA，AM平分∠DAB，∴∠1=∠2，∠3=∠4，∵DC∥AB，∴∠CDA+∠BAD=180°，∴∠1+∠3=90°，∴∠DMA=180°﹣〔∠1+∠3〕=90°，即DM⊥AM．3〕解：CD+AB=AD，理由是：∵ME⊥AD，MC⊥CD，∴∠C=∠DEM=90°，在Rt△DCM和Rt△DEM中Rt△DCM≌Rt△DEM〔HL〕，∴CD=DE，同理AE=AB，AE+DE=AD，∴CD+AB=AD．17.【解析】解：∵∠C＝90°，BD平分∠ABC，DE⊥AB于E∴DE＝CD可证Rt△BCD≌Rt△BED〔HL〕设△BCD的面积＝△BED的面积＝3x，△BCA的面积为8x，△ADE的面积为8x－6x＝2x，∴△ADE与△BCA的面积之比为2x：8x＝1:4．【解析】证明：过F点作FM⊥AD，FN⊥AE，FP⊥BC∵ΔABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线BF、CF交于点F.FM＝FP，FN＝FP〔角平分线上的点到角两边的距离相等〕FM＝FN∴点F必在∠DAE的平分线上.〔到角两边的距离相等的点在角的平分线上〕。
北师大版数学八年级下册1.4《角平分线》精选练习(含答案)
北师大版数学八年级下册1.4《角平分线》精选练习一、选择题1.三角形中到三边距离相等的点是（）A.三条边的中垂线交点B.三条高交点毛C.三条中线交点D.三条角平分线的交点2.如图，△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD平分∠CAB交BC于D，DE⊥AB于E，且AB=6cm，则△DEB的周长为（）A.4cmB.6cmC.10cmD.不能确定3.如图，MP⊥NP，MQ为△MNP的角平分线，MT=MP，连接TQ，则下列结论中不正的是（）A.TQ=PQB.∠MQT=∠MQPC.∠QTN=90°D.∠NQT=∠MQT4.如图在△ABC中，∠ACB=90°，BE平分∠ABC，DE⊥AB于D，如果AC=3 cm，那么AE+DE等于( )A.2cmB.3cmC.4cmD.5cm5.如图，AB=AD，CB=CD，AC、BD相交于点O，则下列结论正确的是（）A.OA=OCB.点O到AB、CD的距离相等C.∠BDA=∠BDCD.点O到CB、CD的距离相等6.已知：△ABC中，∠B=90°，∠A、∠C的平分线交于点O，则∠AOC度数为（）A.60°B.90°C.45°D.135°7.三角形中∠B的角平分线和外角的角平分线的夹角是（）.A.60°B.90°C.45°D.135°8.如图，OP平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB，垂足分别为A，B，下列结论不一定成立的是（）A.PA=PBB.PO平分∠APBC.OA=OBD.AB垂直平分OP9.如图所示，D，E分别是△ABc的边AC.Bc上的点，若△ADB≌△EDB≌△EDC，则∠C的度数为（）A.15°B.20°C.25°D.30°10.如图所示.在ABC中，AC=BC，∠C=90°，AD平分∠CAB交BC于点D，DE⊥AB于点E.若AB=6 cm，则DEB的周长为（）A.12 cmB.8 cmC.6 cmD.4 cm11.小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线.如图，一把直尺压住射线OB，另一把直尺压住射线OA并且与第一把直尺交于点P，小明说：“射线OP就是∠BOA的平分线.”他这样做的依据是( )A.角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上B.角平分线上的点到这个角两边的距离相等C.三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等D.以上均不正确12.如图，直线l1，l2，l3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（）A.1处B.2处C.3处D.4处二、填空题13.到一个角的两边距离相等的点都在_____________14.三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到_______________相等15.点O是△ABC内一点，且点O到三边的距离相等，∠A=60°，则∠BOC度数为_______16.在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于D，若BC=32，且BD∶CD=9∶7，则D到AB的距离为17.△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，交BC于点D；若DC=7，则D到AB距离是______.18.如图，在ΔABC中，BC=5 cm，BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，且PD∥AB，PE∥AC，则ΔPDE的周长是___________ cm三、解答题19.已知：AC=AD,AB是∠CAD的角平分线，求证：BC=BD20.在△ABC中，AB=BC，∠ABC=84°，BD是∠ABC的平分线，DE∥BC；求∠EDB的度数.21.如图，AB⊥AC，BF是∠ABC的角平分线，若∠BFC=110°，求∠C的度数.22.在△ABC中，AB=AC，BD是角平分线，BD=AD，求∠A的度数.23.已知：如图△ABC中，AB=AC，CD、BE是△ABC的角平分线；求证：AD=AE.24.如图（1）所示，OP是∠MON的平分线，请你利用该图形画一对以OP所在直线为公共边的全等三角形.请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题.（1）如图（2）所示，在∠ABC中，∠ACB是直角，∠B=60°，AD，CE分别是∠BAC，∠BCA 的平分线，AD，CE相交于点F，请你写出FE与FD之间的数量关系；（不要求写证明）（2）如图（3）所示，在AABC中，如果∠ACB不是直角，而（1）中的其他条件不变，那么（1）中所得的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由.参考答案25.答案为：D26.答案为：B27.答案为：D28.答案为：B29.答案为：D30.答案为：D31.答案为：B32.答案为：D.33.答案为：D.34.答案为：C.35.答案为：A；36.答案为：D37.答案为：角平分线上38.答案为：三边的距离39.答案为：120°40.答案为：1841.答案为：742.答案为：543.证明：∵AB是∠CAD的角平分线，∴∠BAC=∠BAD，在△ABC和△ABD中，∴△ABC≌△ABD（SAS），∴BC=BD.44.解：因为AB=BC，所以可知三角形ABC是等腰三角形，即∠ABC=∠ACB=84°，因为BD是∠ABC的平分线，所以∠DBC=84°÷2=42°；因为DE∥BC，所以∠EDB=∠DBC=42°45.解：因为∠BFC=110°，根据三角形的外角等于不相邻的两个内角之和，可以得到∠ABF+∠A=110°所以∠ABF=110°—90°=20°，因为BF是∠ABC的角平分线，所以可以得到∠ABC=2∠ABF=40°，即在三角形ABC中∠C=180°—90°—40°=50°46.解：设∠A=x°.∵BD=AD，∴∠A=∠ABD=x°，∠BDC=∠A+∠ABD=2x°，∵BD=BC，∴∠BDC=∠BCD=2x°，∵AB=AC，∴∠ABC=∠BCD=2x°，在△ABC中x+2x+2x=180，解得：x=36，∴∠A=36°47.证明：∵AB=AC（已知），∴∠ABC=∠ACB.∵CD、BE是△ABC的角平分线（已知），∴∠1=∠ABC，∠2=∠ACB，∴∠1=∠2.又∵∠A=∠A（已知），∴△ADC≌△AEB.∴AD=AE.48.解：在OM，ON上分别取OA，OB，使OA=OB，再在OP上任取一点D，连接AD，BD，则△OAD与△OBD全等，如图（1）所示.（1）FE与FD之间的数量关系为FE=FD.（2）（1）中的结论FE=FD仍然成立.证法：如图（2）所示，在AC上截取AG=AE，连接FG，则△AEF≌△AGF，所以∠AFE=∠AFG，FE=FG.由∠B=60°，AD，CE分别是∠BAC，∠BCA的平分线，可得∠2＋∠3＝60°，所以∠AFE=∠AFG=∠CFD=∠2＋∠3=60°，所以∠CFG=180°－60°－60°＝60°，所以∠CFG=∠CFD.由∠3=∠4及FC为公共边，可得△CFG≌△CFD，所以FG=FD，所以FE=FD.。
北师大版初中数学八年级下册1.4 角平分线同步测试
1.4 角平分线1．△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线交于点P，则有（）A．PB=PC B．PB⊥AB C．PC⊥AC D．PA平分∠BAC2．如图1-4-8，已知点P到BE，BD，AC的距离相等，则下列说法不正确的是（）A．P在∠B的角平分线上 B．P在∠ACE的角平分线上C．P在∠DAC的角平分线上 D．P到A，B，C三点的距离相等3.如图1-4-9，AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC交AC于点F．S△ABC=7，DE=2，AB=4，则AC长是（）A．4 B．3 C．6 D．54.如图1-4-10，根据尺规作图的痕迹，判断下列说法不正确的是（）A．AE、BF是△ABC的内角平分线B．CG也是△ABC的一条内角平分线C．点O到△ABC三边的距离相等D．AO=BO=CO5.如图1-4-11所示，点A为∠MON的角平分线上一点，过A任作一直线分别与∠MON的两边交于B、C，P为BC的中点，过P作BC的垂线交OA于点D．∠MON=60°，则∠BDC=（）A．120° B．130° C．140° D．150°6．等边三角形ABC三条角平分线交于点O，点O到三角形一顶点的距离是2，则点O到三边的距离和是______．1-4-91-4-10 1-4-81-4-117．如图1-4-12，△ABC 的外角∠ACD 的平分线CP 与内角∠ABC 平分线BP 交于点P ，若∠BPC=40°，则∠CAP=__________．8.如图1-4-13，OC 是∠AOB 的角平分线，P 是OC 上一点，PD ⊥OA 交于点D ，PE ⊥OB 交于点E ，F 是OC 上除点P 、O 外一点，连接DF 、EF ，则DF 与EF 的关系如何？证明你的结论。
9.如图1-4-14，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，若BD=CD 、BE=CF ．（1）求证：AD 平分∠BAC ；（2）直接写出AB+AC 与AE 之间的等量关系．10. 如图1-4-15所示，AD 是∠BAC 的平分线，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，且BD=CD ，那么BE 与CF 相等吗？为什么？答案1.D2. D3.B ．解析：首先由角平分线的性质可知DF=DE=2，然后由ABC ABD ACD S S S =+V V V 及三角形的面积公式得出结果．1-4-13 1-4-12 1-4-14 1-4-15解：∵AD 是△ABC 中∠BAC 的平分线，DE ⊥AB 于点E ，DF ⊥AC 交AC 于点F ，∴DF=DE=2．∵ABC ABD ACD S S S =+V V V ，AB=4，∴7=12×4×2+12×AC ×2，∴AC=3． 故选B ．4. D ．5. A ．6.答案; 3．解析：连接OA ，作OD ⊥AB 于D ，则∠DAO=30°，因为OA=2，所以OD=1，又因点O 到三边距离相等，所以点O 到三边的距离和是3．7. 50°解：如图1-4-15延长BA ，作PN ⊥BD ，PF ⊥BA ，PM ⊥AC ，设∠PCD=x °，∵CP 平分∠ACD ，∴∠ACP=∠PCD=x °，PM=PN ，∵BP 平分∠ABC ，∴∠ABP=∠PBC ，PF=PN ，∴PF=PM ，∵∠BPC=40°，∴∠ABP=∠PBC=∠PCD-∠BPC=（x-40）°， ∴∠BAC=∠ACD-∠ABC=2x °-（x °-40°）-（x °-40°）=80°，∴∠CAF=100°，在Rt △PFA 和Rt △PMA 中，∵PA ＝PA ，PM ＝PF ，∴Rt △PFA ≌Rt △PMA （HL ），∴∠FAP=∠PAC=50°．故答案为：50°．8.解：DF=EF ．理由如下：∵OC 是∠AOB 的角平分线，P 是OC 上一点，PD ⊥OA 交于点D ，PE ⊥OB 交于点E ，∴PD=PE ，∠DOP=∠EOP ，∠ODP=∠OEP=90°．∵∠DPF 是△ODP 的外角，∠EPF 是△OEP 的外角∴∠DPF=∠DOP+∠ODP ，∠EPF=∠EOP+∠OEP ，∴∠DPF=∠EPF ．在△DPF 与△EPF 中，PD ＝PE∠DPF ＝∠EPFPF ＝PF ，∴△DPF ≌△EPF （SAS ），∴DF=EF （全等三角形的对应边相等）．9.分析：（1）根据全等三角形的判定定理得出△BDE ≌△CDF ，故可得出DE=DF ，所以AD 平分∠BAC ；（2）由（1）中△BDE ≌△CDF 可知BE=CF ，AD 平分∠BAC ，故可得出△AED ≌△AFD ，所以AE=AF ，故AB+AC=AE-BE+AF+CF=AE+AE=2AE ．（1）证明：∵DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，∴∠E=∠DFC=90°，∴△BDE 与△CDE 均为直角三角形，∵BD ＝CD1-4-15BE＝CF∴△BDE≌△CDF，∴DE=DF，即AD平分∠BAC；（2）AB+AC=2AE．证明：∵BE=CF，AD平分∠BAC，∴∠EAD=∠CAD，∵∠E=∠AFD=90°，∴∠ADE=∠ADF，在△AED与△AFD中，∵∠EAD＝∠CADAD＝AD∠ADE＝∠ADF，∴△AED≌△AFD，∴AE=AF，∴AB+AC=AE-BE+AF+CF=AE+AE=2AE．10.解答：BE=CF．理由是：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF，∠DEB=∠DFC=90°，在Rt△BDE和Rt△CDF中BD＝DCDE＝DF，∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），∴BE=CF．。
北师大版八年级数学下册同步练习：1.4.1角平分线
1.4.1角平分线【基础达标】1．如图1，BP为∠ABC的平分线，过点D作BC，BA的垂线，垂足分别为E，F，则下列结论中错误的是()图1A．∠DBE＝∠DBF B．DE＝DFC．2DF＝DB D．∠BDE＝∠BDF2．2018·大庆如图2，∠B＝∠C＝90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC，且∠ADC ＝110°，则∠MAB的度数是()图2A．30°B．35°C．45°D．60°2．如图3，在平面直角坐标系中，AD平分∠OAB，DB⊥AB，BC∥OA，若点B的横坐标为1，点D的坐标为(0，3)，则点C的坐标是()图3A．(0，2) B．(0，5)C．(0，5) D．(0，3＋2)3．如图4，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，已知AC ＝3，AD＝2，则点D到AB边的距离为________．图45．如图5，∠AOE＝∠BOE＝15°，EF∥OB，EC⊥OB.若EC＝1，则EF＝________.图56．如图6，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB.如果DE＝5 cm，∠CAD ＝32°，求CD的长及∠B的度数．图67．现有两条高速公路l1，l2和两个城镇A，B(如图7)，准备建一个加油站，使加油站到两条公路的距离相等，并且到两个城镇的距离相等，请你画出加油站的位置(保留作图痕迹，不写作法)．图7【能力提升】8．如图8，OP平分∠MON，P A⊥ON于点A，Q是射线OM上的一个动点．若P A＝2，则PQ的最小值为()图8A．1 B．2 C．3 D．49．如图9，∠ABC＝60°，点D在AC上，BD＝16，DE⊥BC，DF⊥AB，且DE＝DF.求：(1)∠CBD的度数；(2)DF 的长．图910．已知：如图10，在Rt △ABC 中，∠A ＝90°，CD 平分∠ACB 交边AB 于点D ，DE ⊥BC ，垂足为E ，AD ＝12BD .求证：BE ＝CE .图1011．操作探究题 如图11，在△ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝7，BC ＝24，AC ＝25.△ABC 内是否有一点P 到各边的距离相等？如果有，请用尺规作图找出点P ，并求出这个距离．图111．[答案] C2．[解析] B 过点M 作MN ⊥AD 于点N ，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得MC ＝MN ，然后得出MB ＝MN ，再根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上判断出AM 是∠BAD 的平分线．3．[解析] D ∵AD 平分∠OAB ，DB ⊥AB ，DO ⊥OA ，∴DB ＝OD ＝ 4.∵点B 的横坐标为1，∴BC ＝1，∴CD ＝（3）2－12＝2，∴OC ＝OD ＋DC ＝3＋2，∴点C 的坐标是(0，3＋2)．故选D. 4．[答案] 1 5．[答案] 2[解析] 如图，过点E 作EG ⊥OA 于点G ，根据角平分线的性质定理得到EG 的长，再根据平行线的性质得到∠OEF ＝∠COE ＝15°，然后利用三角形的外角和内角的关系求出∠EFG ＝30°，利用直角三角形中，30°角所对的直角边是斜边的一半解题．6．解：∵AD 平分∠BAC ，DE ⊥AB ，∠C ＝90°， ∴CD ＝DE ＝5 cm. 又∵AD 平分∠BAC ，∴∠BAC ＝2∠CAD ＝2×32°＝64°，∴∠B ＝90°－∠BAC ＝90°－64°＝26°.7.[解析] 画两条高速公路l 1，l 2所夹角的平分线、AB 的垂直平分线，角平分线与AB 的垂直平分线交于点P ，P ′，点P ，P ′就是加油站的位置．解：如图，点P ，P ′就是加油站的位置．8．[答案] B9．解：(1)∵DE ⊥BC ，DF ⊥AB ，且DE ＝DF ，∴BD 平分∠ABC . ∵∠ABC ＝60°，∴∠CBD ＝30°.(2)∵在Rt △BDE 中，∠CBD ＝30°，BD ＝16，∴DF ＝DE ＝12BD ＝12×16＝8.10．[解析] 根据角平分线的性质定理，即可证得AD ＝DE ，则在Rt △BDE 中，即可得到BD ＝2DE ，则∠B ＝30°，根据角平分线的定义求得∠DCE 的度数，根据等角对等边即可证得△BDC 是等腰三角形，依据等腰三角形“三线合一”，即可证得结论．证明：∵∠A ＝90°，DE ⊥BC ，CD 平分∠ACB ，∴AD ＝DE .∵AD ＝12BD ，∴DE ＝12BD .在Rt △BDE 中，∵DE ＝12BD ，∴∠B ＝30°.在Rt △ABC 中，∵∠A ＝90°，∠B ＝30°， ∴∠ACB ＝60°. ∵CD 平分∠ACB ，∴∠BCD ＝12∠ACB ＝30°，∴∠BCD ＝∠B ，∴BD ＝CD .又∵DE ⊥BC ，∴BE ＝CE .11．解：有．过点A 作∠CAB 的平分线，再过点B 作∠ABC 的平分线，它们的交点P 即为符合要求的点．理由：如图，过点P 分别向△ABC 的三边作垂线段PE ，PF ，PD ，垂足分别为E ，F ，D .∵AP 平分∠BAC ，PD ⊥AC ，PE ⊥AB ， ∴PD ＝PE .∵BP 平分∠ABC ，PE ⊥AB ，PF ⊥BC ， ∴PE ＝PF ，∴PD ＝PE ＝PF .连接CP ，设PD ＝PE ＝PF ＝x . ∵S △ABC ＝S △APB ＋S △BPC ＋S △APC ， 即12AB ·BC ＝12AB ·x ＋12BC ·x ＋12AC ·x ， ∴7×24＝(7＋24＋25)·x ， 解得x ＝3.即这个距离为3.。
北师大新版八年级数学下学期 1.4 角平分线 同步练习 含答案
1.4 角平分线一．选择题（共8小题）1．如图，Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，角平分线AE交CD于H，EF⊥AB于F，则下列结论中不正确的是（）A．∠ACD＝∠B B．CH＝CE＝EF C．AC＝AF D．CH＝HD2．如图，l1，l2，l3表示三条相互交叉的公路，现在要建一个加油站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（）A．1处B．2处C．3处D．4处3．如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，△ABC的面积是28cm2，AB＝16cm，AC＝12cm，则DE的长（）cm．A．16 B．12 C．28 D．24．如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，DE⊥AB交AB于点E，DF⊥BC交BC于点F，若AB＝12cm，BC＝18cm，S△ABC＝90cm2，则DF长为（）A．3cm B．6cm C．9cm D．12cm5．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BE平分∠ABC，DE⊥AB于D，如果AC＝3cm，那么AE+DE 等于（）A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm6．如图，点P在∠MON的角平分线上，A、B分别在∠MON的边OM、ON上，若OB＝3，S△OPB ＝6，则线段AP的长不可能是（）A．3 B．4 C．5 D．67．如图，在△ABC中，AD是角平分线，DE⊥AB于点E，△ABC的面积为7，AB＝4，DE＝2，则AC的长是（）A．4 B．3 C．6 D．58．如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM上一个动点，若PA＝3，则PQ的最小值为（）A．B．2 C．3 D．2二．填空题（共6小题）9．如图，△ABC中，CD是AB边上的高线，BE平分∠ABC，交CD于点E，BC＝7，DE＝4，则△BCE的面积等于．10．如图，DB⊥AB于点B，DC⊥AC于点C，BD＝DC，∠BAC＝110°，则∠BAD＝°．11．如图所示，△ABC中，∠A＝90°，BD是角平分线，DE⊥BC，垂足是E，AC＝10cm，CD ＝6cm，则AD的长为cm；DE的长为cm；EC的长为cm．12．如图，已知AB∥CD，O为∠BAC与∠ACD的平分线交点，过点O作OE⊥AC于E，OG⊥CD 于G，延长GO交AB于F．若OE＝2，则FG的长为．13．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，AD＝5，AC＝4，则D点到AB的距离是．14．△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点O，OD⊥BC于D，△ABC的面积18，AB＝6，AC＝8，OD＝2，则BC的长是．三．解答题（共6小题）15．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，点F在AC上，且BD ＝DF．（1）求证：CF＝EB；（2）请你判断AE、AF与BE之间的数量关系，并说明理由．16．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BD是△ABC的一条角平分线．点O是BD上一点，过点O分别作AC、BC的垂线，垂足分别为F、E，连接OC、OA，若∠FCO＝45°，求证：点O在∠BAC的平分线上．17．如图，在四边形ABCD中，BC＞BA，AD＝CD，BD平分∠ABC，求证：∠A+∠C＝180°．18．如图：在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，F在AC上，BD＝DF，证明：（1）CF＝EB．（2）AB＝AF+2EB．19．如图，四边形ABCD中，∠B＝90°，AB∥CD，M为BC边上的一点，且AM平分∠BAD，DM平分∠ADC．求证：（1）AM⊥DM；（2）M为BC的中点．20．已知，如图，BD是∠ABC的平分线，AB＝BC，点P在BD上，PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分别是M、N．试说明：PM＝PN．。
北师大版八年级下册数学 1.4角平分线(角平分线判定专题) 练习(含解析)
角平分线的判定一、选择题1、如图，已知△ABC，求作一点P，使P到∠A的两边的距离相等，且PA=PB，下列确定P点的方法正确的是( )A .P是∠A与∠B两角平分线的交点B .P为∠A的角平分线与AB的垂直平分线的交点C .P为AC、AB两边上的高的交点D .P为AC、AB两边的垂直平分线的交点二、填空题2、如图，已知∠ABC的平分线与∠BCD的平分线交于点P，过点P分别向OA、OD 做垂线，垂足是M、N．则点P __________ ∠AOD的平分线上．（填“在”或“不在”）3、如图，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，且DE=DF，若∠DBC=50°，则∠ABC=__________（度）．4、如图，在△ABC中，∠ABC=110°，∠ACB=40°，CE是∠ACB的角平分线，D是AC上一点，若∠CBD=40°，则∠CED=__________．5、如图，已知∠CDA=∠CBA=90°，且CD=CB，则点C在∠__________的平分线上，点A在∠__________的平分线上．三、解答题6、已知，如图，PB、PC分别是△ABC的外角平分线，且相交于点P求证：点P在∠A的平分线上。
7、如图，点E，F分别在OA，OB上，DE=DF，∠OED+∠OFD=180°求证：OD平分∠AOB8、如图，BD⊥AC，CE⊥AB，垂足分别为点D和点E，BD与CE相交于点F，BF=CF．求证：点F在∠BAC的平分线上．9、如图，点P是∠AOB内的一点，PD⊥OB于点D，PC⊥OA于C，且PD=PC，点E在OA上，∠AOB=50°，∠OPE=30°，求∠PEC的度数．10、如图，PE⊥AB，PF⊥AC，垂足分别为点E，F，AE=AF．求证：AP是∠BAC的角平分线．11、如图，CF⊥AB于点F，BE⊥AC于点E，且CF，BE交于点D，BD=CD．求证：AD平分∠BAC．12、已知，如图所示，AB=AC，BD=CD，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，求证：DE=DF．13、作图题：如图，在CD上求作一点P，使它到OA，OB的距离相等．14、如图所示，在△ABC中，∠ABC的平分线与∠BAC的平分线交于点D．求证：CD平分∠ACB．15、已知：如图所示，AQ，BM，CN是△ABC的三条角平分线．试说明AQ，BM，CN交于一点．16、如图，BE=CF，DE⊥AB，垂足为E，DF⊥AC，垂足为F，且DB=DC．求证：（1）Rt△BED≌Rt△CFD；（2）AD是∠BAC的平分线．角平分线的判定的答案和解析一、选择题1、答案：B试题分析：根据角平分线及线段垂直平分线的判定定理作答。
北师大版八年级数学下册《1.4角平分线》同步练习(含答案)
北师大版八年级数学下册 1.4 角平分线 同步练习一、单选题（共 10 题；共 20 分）1.如图，OP 平分∠AOB，PA⊥OA,PB⊥OB，垂足分别为 A，B。
下列结论中不一定成立的是（ ）A.PA=PBB.PO 平分∠AOBC.OA=OBD.AB 垂直平分 OP )2.如图， AB∥CD,AP， CP 分别平分∠BAC 和∠ACD， PE⊥AC 于点 E， 且 PE＝3cm， 则 AB 与 CD 之间的距离为(A.3 cmB.6 cmC.9 cmD.无法确定3.如图，以∠AOB 的顶点 O 为圆心，适当长为半径画弧，交 OA 于点 C，交 OB 于点 D，再分别以点 C，D 为圆 心，大于 CD 的长为半径画弧，两弧在∠AOB 内部交于点 E，作射线 OE，连接 CD，以下说法错误的是（ ）A. △ OCD 是等腰三角形 C. CD 垂直平分 OEB. 点 E 到 OA，OB 的距离相等 D. 证明射线 OE 是角平分线的依据是 SSS4.如图,在△ ABC 中,∠ABC 和∠ACB 的平分线相交于点 G,过点 G 作 EF∥BC 交 AB 于 E， 交 AC 于 F， 过点 G 作 GD⊥AC 于 D，下列四个结论：①EF=BE+CF；②∠BGC=90+ AE+AF=n,则△∠A；③点 G 到△ ABC 各边的距离相等；④设 GD=m，=mn.其中正确的结论有()A.1 个B.2 个C.3 个D.4 个5.如图，在△ ABC 中，∠BAC 和∠ABC 的平分线相交于点 O，过点 O 作 EF∥AB 交 BC 于 F，交 AC 于 E，过点 O 作 OD⊥BC 于 D，下列四个结论：① ∠AOB=90°+∠②AE+BF=EF；③当∠C=90°时，E，F 分别是 AC，BC 的中点；④若 OD=a，CE+CF=2b， ) C. ①②④ D. ①③④则 S△ CEF=ab 其中正确的是( A. ①② 则可供选择的地点有（ ）B. ③④6.如图，直线 l1 ， l2 ， l3 表示三条相交叉的公路．现在要建一个加油站，要求它到三条公路的距离相等，A.四处B.三处C.两处D.一处7.如图，△ ABC 的三边 AB、BC、CA 长分别是 20、30、40，其三条角平分线将△ ABC 分为三个三角形，则 S△ ABO ︰S△ BCO︰S△ CAO 等于（ ）A. 1︰1︰1 则 DQ 的最小值（ ）B. 1︰2︰3C. 2︰3︰4D. 3︰4︰58.如图，在 Rt△ ABC 中，∠C=90°，∠ABC 的平分线 BD 交 AC 于点 D，若 CD=3，点 Q 是线段 AB 上的一个动点，A. 5B. 4C. 3D. 29.∠AOB 的平分线上一点 P 到 OA 的距离为 4，Q 是 OB 上任一点，则（ ） B. PQ＞4 D. PQ＜4A. PQ≥4C. PQ≤410.小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平 分线．如图：一把直尺压住射线 OB，另一把直尺压住射线 OA 并且与第一把直尺交于点 P，小明说：“射线 OP就是∠BOA 的角平分线．”他这样做的依据是（）A. 角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上 C. 三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等B. 角平分线上的点到这个角两边的距离相等D. 以上均不正确二、填空题（共 6 题；共 8 分）11.如图，要在河流的南边，公路的左侧 M 区处建一个工厂，位置选在到河流和公路的距离相等，并且到河流 与公路交叉 A 处的距离为 1cm（指图上距离），则图中工厂的位置应在________.12.如图，△ ABC 中，∠ACB=90°，CD⊥AB 于 D，AE 是∠BAC 的平分线，点 E 到 AB 的距离等于 3cm，则 CF=________cm.13.如图，在 Rt△ ABC 中，∠C=90°，AD 是△ ABC 的角平分线，若 CD=4，AC=12，BC=9，则 S△ ABD =________．14.如图， △ ABC 中， ∠A=100°， BI、 CI 分别平分∠ABC， ∠ACB， CM 分别平分∠ABC， 则∠BIC=________， 若 BM、 ∠ACB 的外角平分线，则∠M=________．15.如图，已知相交直线 AB 和 CD 及另一直线 MN，如果要在 MN 上找出与 AB，CD 距离相等的点，则这样的点 至少有________个，最多有________个．16.如图，在△ ABC 中，∠ABC 的平分线与∠ACD 的平分线交于点 A1 ， ∠A1BC 的平分线与∠A1CD 的平分线 交于点 A2 ， 依此类推…．已知∠A=α，则∠An 的度数为________（用含 n、α 的代数式表示）．三、解答题（共 6 题；共 55 分）17.如图，直线 l 及 A、B 两点（保留作图痕迹，不写作法）。
北师大版数学八年级下册 第一章 三角形的证明 1.4.1 角平分线 同步练习含答案
第一章三角形的证明 1.4.1 角平分线1．如图，点P是∠AOB平分线OC上一点，PD⊥OB，垂足为D，若PD＝2，则点P到边OA的距离是( )A．1 B．2 C． 3 D．42．如图，已知点D是∠ABC的平分线上一点，点P在BD上，PA⊥AB，PC⊥BC，垂足分别为A、C，下列结论无法得出的是( )A．AD＝CP B．△ABP≌△CBP C．△ABD≌△CBD D．∠ADB＝∠CDB3．如图，DA⊥AC，DE⊥BC，若AD＝5cm，DE＝5cm，∠ACD＝30°，则∠DCE为( )A．30° B．40° C．50° D．60°4. 在正方形网格中，∠AOB的位置如图所示，到∠AOB两边距离相等的点应是( )A．M点B．N点C．P点D．Q点5. 如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM上的一个动点，若PA ＝2，则PQ的最小值为( )A．1 B．2 C．3 D．46. 角平分线上的点到这个角的两边的距离．7. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD是∠CAB的角平分线，DC＝3，则点D 到AB的距离是 .8. 在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的上．9．如图，点P在∠AOB内部，PC⊥OA于C，PD⊥OB于D，PC＝3cm，当PD＝cm时，P点在∠AOB的平分线上．10. 如图，AB∥CD，点P到AB、BC、CD的距离相等，则∠BPC的度数是 .11. 在△ABC中，AB＝4，AC＝3，AD是△ABC的角平分线，则△ABD与△ACD的面积之比是 .12．如图，点P是∠BAC的平分线上一点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F.有下列结论：①PE＝PF；②AE＝AF；③∠APE＝∠APF；④AE＞PE.其中一定成立的有(填序号)．13. 如图，在△ABC中，点P是AC上一点，连接BP，求作一点M，使得点M到AB和AC两边的距离相等，并且到点B和点P的距离相等．(不写作法，保留作图痕迹)14. 如图，BD是∠ABC的平分线，AB＝BC，点P在BD上，PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分别是点M、N、求证：PM＝PN.15.已知：如图，CE⊥AB，BF⊥AC，CE与BF相交于点D，且BD＝CD.求证：点D在∠BAC的平分线上．16. 如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于点E，若AC＝6，BC＝8，CD＝3.(1)求DE的长；(2)求△ADB的面积．。
2017-2018学年北师大版数学八年级下册同步训练：1.4 角平分线 课时2 三角形的角平分线
2017-2018学年北师大版数学八年级下册同步训练：1.4角平分线课时2三角形的角平分线一、填空题1.三角形的三条内角平分线相交于一点,并且这一点到相等.+2.如图,点P为△ABC三条角平分线的交点,PD⊥AB,PE⊥BC,PF⊥AC,则PDPE PF.+3.如图,小林已经画出了一个三角形的两条角平分线,他说:“我不用再将第三个角平分,就能画出第三条角平分线.”他说的有道理吗?他会怎样做?答:.他这样做的理由是什么?答: .+二、选择题4.如图,在△ABC中,∠ABC,∠ACB的平分线相交于O,下列结论正确的是( )A、∠1>∠2B、∠1=∠2C、∠1<∠2D、不能确定∠1与∠2的大小关系+5.如图是尺规作图的痕迹,下列说法不正确的是( )A、AE,BF是△ABC的内角平分线B、CG也是△ABC的一条内角平分线C、点O到△ABC三边的距离相等D、AO=BO=CO+6.已知△ABC,求作一点P,使P到∠A的两边的距离相等,且PA=PB.下列确定P点的方法正确的是( )A、P为∠A与∠B的平分线的交点B、P为∠A的平分线与AB的垂直平分线的交点C、P为AC,AB两边上的高的交点D、P为AC,AB两边的垂直平分线的交点+7.如图,△ABC的三边AB,BC,CA的长分别是20,30,40,其三条角平分线将△ABC 分为三个三角形,则S△ABO∶S△BCO∶S△CAO等于( )A、1∶1∶1B、1∶2∶3C、2∶3∶4D、3∶4∶5+8.如图,在△ABC中,∠ABC,∠ACB的平分线的交点P恰好在BC边的高AD上,则△A BC一定是( )A、直角三角形B、等边三角形C、等腰三角形D、等腰直角三角形+三、解答题9.如图,BP,CP分别是△ABC的外角平分线,且相交于点P.求证:点P在∠BAC的平分线上.+10.如图,OE,OF分别是△ABC中AB,AC边的中垂线(即垂直平分线),∠OBC,∠OCB 的平分线相交于点I,试判断OI与BC的位置关系,并给出证明.+。
北师大版八年级下册数学 1.4角平分线 同步练习 (含解析)
1.4角平分线同步练习一．选择题1．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AD是△ABC的一条角平分线．若CD＝3，则△ABD的面积为（）A．15B．30C．12D．102．如图，BM是∠ABC的平分线，点D是BM上一点，点P为直线BC上的一个动点．若△ABD的面积为9，AB＝6，则线段DP的长不可能是（）A．2B．3C．4D．5.53．如图，OC是∠AOB的平分线，P是OC上一点，PD⊥OA于点D，PD＝6，则点P到边OB的距离为（）A．5B．6C．3D．44．小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角的平分线．如图：一把直尺压住射线OB，另一把直尺压住射线OA并且与第一把直尺交于点P，小明说：“射线OP就是∠BOA的角平分线．”他这样做的依据是（）A．角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上B．角平分线上的点到这个角两边的距离相等C．三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等D．以上均不正确5．如图，为了促进当地旅游发展，某地要在三条公路AB，AC，BC两两相交围成的一块平地内修建一个度假村．要使这个度假村到三条公路的距离相等，则度假村应该修在何处？可供选择的位置有（）处．A．一B．二C．三D．四6．如图，点O是△ABC的两个外角平分线的交点，下列结论：①点O在∠A的平分线上；②点O到△ABC的三边的距离相等；③OB＝OC．以上结论正确的有（）A．②③B．①②C．①③D．①②③7．如图，P是△ABC的三条角平分线的交点，连接P A、PB、PC，若△P AB、△PBC、△P AC 的面积分别为S1、S2、S3，则S1（）S2+S3．A．＞B．＝C．＜D．无法确定8．如图，在△ABC中，∠C＝90°，D，E是AC上两点，且AE＝DE，BD平分∠EBC，那么下列说法中不正确的是（）A．BE是△ABD的中线B．BD是△BCE的角平分线C．∠1＝∠2＝∠3D．S△AEB＝S△EDB9．如图，在△ABC中，BD是AC边上的高，AE平分∠CAB，交BD于点E，AB＝8，DE ＝3，则△ABE的面积等于（）A．15B．12C．10D．1410．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是BC边上的高，BE是AC边的中线，CF是∠ACB的角平分线，CF交AD于点G，交BE于点H，下面说法正确的是（）①△ABE的面积＝△BCE的面积；②∠F AG＝∠FCB；③AF＝AG；④BH＝CH．A．①②③④B．①②③C．②④D．①③二．填空题11．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，交BC边于点D，若AB＝12，CD＝4，则△ABD的面积为．12．如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8，BD为△ABC的角平分线，则点D 到边AB的距离为．13．如图，在△ABC中，CD是它的角平分线，DE⊥AC于点E．若BC＝6cm，DE＝2cm，则△BCD的面积为cm2．14．如图，△ABC的外角∠MBC和∠NCB的平分线BP、CP相交于点P，PE⊥BC于E且PE＝3cm，若△ABC的周长为14cm，S△BPC＝7.5，则△ABC的面积为cm2．15．如图所示，已知P是△ABC三条角平分线的交点，PD⊥AB于点D，若PD＝5，△ACB 的周长为20，则△ABC的面积是．三．解答题（共3小题）16．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于点E，点F在AC上，BE ＝FC．求证：BD＝DF．17．如图，在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的外角平分线交于点P，PD⊥AC于点D，PH⊥BA于点H．（1）若PH＝8cm，求点P到直线BC的距离；（2）求证：点P在∠HAC的平分线上．18．如图，△ABC中，点D在BC边上，∠BAD＝100°，∠ABC的平分线交AC于点E，过点E作EF⊥AB，垂足为F，且∠AEF＝50°，连接DE．（1）求∠CAD的度数；（2）求证：DE平分∠ADC；（3）若AB＝7，AD＝4，CD＝8，且S△ACD＝15，求△ABE的面积．参考答案一．选择题1．解：过D点作DE⊥AB于E，如图，∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DC⊥AC，∴DE＝DC＝3，∴S△ABD＝×10×3＝15．故选：A．2．解：过点D作DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，∵△ABD的面积为9，AB＝6，∴DE＝，∵BM是∠ABC的平分线，∴DE＝3，∴DP≥3，故选：A．3．解：如图，过点P作PE⊥OB于E，∵OC是∠AOB的平分线，PD⊥OA，∴PE＝PD＝6，∴点P到边OB的距离为6．故选：B．4．解：（1）如图所示：过两把直尺的交点P作PE⊥AO，PF⊥BO，∵两把完全相同的长方形直尺，∴PE＝PF，∴OP平分∠AOB（角的内部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上），故选：A．5．解：∵度假村到三条公路的距离相等，∴度假村在三条公路AB，AC，BC所组成的角的平分线上，∵△ABC的三条角平分线相交于一点，∴度假村可供选择的位置有一处，故选：A．6．解：过O点作OD⊥AB于D，OE⊥BC于E，OF⊥AC于F，如图，∵BO平分∠DBC，OD⊥BD，OE⊥BC，∴OD＝OE，同理可得OE＝OF，∴OD＝OF，∴点O在∠A的平分线上，所以①正确；OD＝OE＝OF，所以②正确；∵不能确定∠ABC＝∠ACB，∴不能确定∠OBE＝∠OCE，∴不能确定OB＝OC，所以③错误．故选：B．7．解：过P点作PD⊥AB于D，PE⊥AC于E，PF⊥BC于F，如图，∵P是△ABC的三条角平分线的交点，∴PD＝PE＝PF，∵S1＝•AB•PD，S2＝•BC•PF，S3＝•AC•PE，∴S2+S3＝•（AC+BC）•PD，∵AB＜AC+BC，∴S1＜S2+S3．故选：C．8．解：A．∵AE＝DE，∴BE是△ABD的中线，故本选项不符合题意；B．∵BD平分∠EBC，∴BD是△BCE的角平分线，故本选项不符合题意；C．∵BD平分∠EBC，∴∠2＝∠3，但不能推出∠2、∠3和∠1相等，故本选项符合题意；D．∵S AEB＝AE×BC，S△EDB＝DE×BC，AE＝DE，∴S△AEB＝S△EDB，故本选项不符合题意；故选：C．9．解：过点E作EF⊥AB于点F，如图：∵BD是AC边上的高，∴ED⊥AC，又∵AE平分∠CAB，DE＝3，∴EF＝3，∵AB＝8，∴△ABE的面积为：8×3÷2＝12．故选：B．10．解：∵BE是AC边的中线，∴AE＝CE，∵△ABE的面积＝，△BCE的面积＝AB，∴△ABE的面积＝△BCE的面积，故①正确；∵AD是BC边上的高，∴∠ADC＝90°，∵∠BAC＝90°，∴∠DAC+∠ACB＝90°，∠F AG+∠DAC＝90°，∴∠F AG＝∠ACB，∵CF是∠ACB的角平分线，∴∠ACF＝∠FCB，∠ACB＝2∠FCB，∴∠F AG＝2∠FCB，故②错误；∵在△ACF和△DGC中，∠BAC＝∠ADC＝90°，∠ACF＝∠FCB，∴∠AFG＝180°﹣∠BAC﹣∠ACF，∠AGF＝∠DGC＝180°﹣∠ADC﹣∠FCB，∴∠AFG＝∠AGF，∴AF＝AG，故③正确；根据已知不能推出∠HBC＝∠HCB，即不能推出HB＝HC，故④错误；即正确的为①③，故选：D．二．填空题11．解：作DH⊥AB于D，如图，∵AD平分∠BAC，DH⊥AB，DC⊥AC，∴DH＝DC＝4，∴S△ABD＝AB×DH＝×12×4＝24．故答案为：24．12．解：过D作DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，∵BD为△ABC的角平分线，∴DE＝DF，设DE＝DF＝R，∵∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8，∴S△ABC＝＝＝24，∴S△ABD+S△DBC＝24，∵AB＝6，BC＝8，∴R+＝24，解得：R＝，即DF＝，∴点D到边AB的距离是，故答案为：．13．解：作DF⊥BC于F，∵CD是它的角平分线，DE⊥AC，DF⊥BC，∴DF＝DE＝2，∴△BCD的面积＝×BC×DF＝6（cm2），故答案为：6．14．解：如图，过点P作PF⊥AN于F，作PG⊥AM于G，连接AP，∵∠GBC和∠FCB的平分线BP、CP交于P，PE⊥BC，∴PF＝PG＝PE＝3，∵S△BPC＝7.5，∴BC•3＝7.5，解得BC＝5，∵△ABC的周长为14cm，∴AB+AC+BC＝14，∴AB+AC＝9，∴S△ABC＝S△ACP+S△ABP﹣S△BCP＝（AB+AC﹣BC）×3＝×（9﹣5）×3＝6（cm2）．故答案为：6．15．解：作PE⊥BC于E，PF⊥AC于F，如图，∵点P是△ABC三条角平分线的交点，∴PE＝PF＝PD＝5，∴S△ABC＝S△P AB+S△PBC+S△P AC＝PD•AB+PE•BC+PF•AC＝（AB+BC+AC）＝×20＝50，故答案为：50．三．解答题（共3小题）16．证明：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，∠C＝90°，∴DC＝DE，在△DCF和△DEB中，，∴△DCF≌△DEB，（SAS），∴BD＝DF．17．（1）解：作PQ⊥BE于Q，如图，∵BP平分∠ABC，∴PH＝PQ＝8，即点P到直线BC的距离为8cm；（2）证明：∵PC平分∠ACE，∴PD＝PQ，而PH＝PQ，∴PD＝PH，∴点P在∠HAC的平分线上．18．（1）解：∵EF⊥AB，∠AEF＝50°，∴∠F AE＝90°﹣50°＝40°，∵∠BAD＝100°，∴∠CAD＝180°﹣100°﹣40°＝40°；（2）证明：过点E作EG⊥AD于G，EH⊥BC于H，∵∠FEA＝∠DAE＝40°，EF⊥BF，EG⊥AD，∴EF＝EG，∵BE平分∠ABC，EF⊥BF，EH⊥BC，∴EF＝EH，∴EG＝EH，∵EG⊥AD，EH⊥BC，∴DE平分∠ADC；（3）解：∵S△ACD＝15，∴×AD×EG+×CD×EH＝15，即×4×EG+×8×EG＝15，解得，EG＝EH＝，∴EF＝EH＝，∴△ABE的面积＝×AB×EF＝×7×＝．。
北师大版八年级下册数学 1.4角平分线 同步测试(含解析)
1.4角平分线同步测试一．选择题1．已知：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于D，若BC＝20，且BD：DC＝3：2，则点D到AB边的距离为（）A．8B．12C．10D．152．如图，AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC＝7，DE＝2，AB＝4，则AC长是（）A．3B．4C．5D．63．如图，在△ABC中，BD是AC边上的高，AE平分∠CAB，交BD于点E，AB＝8，DE ＝3，则△ABE的面积等于（）A．15B．12C．10D．144．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，AB＝10，∠CAB和∠ABC的平分线交于点O，OM⊥BC于点M，则OM的长为（）A．1B．2C．3D．45．如图，四边形ABCD中，∠A＝90°，AD＝2，连接BD，BD⊥CD，垂足是D且∠ADB ＝∠C，点P是边BC上的一动点，则DP的最小值是（）A．1B．1.5C．2D．2.56．如图，∠ACD是△ABC的外角，∠BAC＝80°，∠ABC和∠ACD的平分线相交于点E，连接AE，则∠CAE的度数是（）A．35°B．40°C．50°D．55°7．如图，AE是△ABC的角平分线，AD⊥BC于点D，点F为BC的中点，若∠BAC＝104°，∠C＝40°．则有下列结论：①∠BAE＝52°；②∠DAE＝2°；③EF＝ED；④S△ABF ＝S△ABC．其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个8．如图，在CD上求一点P，使它到OA、OB的距离相等，则P点是（）A．线段CD的中点B．OA与∠CDB的平分线的交点C．OB与∠DCA的平分线的交点D．CD与∠AOB的平分线的交点9．如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，DE＝DG，△ADG和△AED的面积分别为60和35，则△EDF的面积为（）A．25B．5.5C．7.5D．12.510．如图，Rt△ACB中，∠ACB＝90°，△ABC的角平分线AD、BE相交于点P，过P作PF⊥AD交BC的延长线于点F，交AC于点H，则下列结论：①∠APB＝135°；②BF ＝BA；③PH＝PD；④连接CP，CP平分∠ACB，其中正确的是（）A．①②③B．①②④C．①③④D．①②③④二．填空题11．如图，在△ABC中，CD是它的角平分线，DE⊥AC于点E．若BC＝6cm，DE＝2cm，则△BCD的面积为cm2．12．如图，在△ABC中，CD平分∠BCA，DE⊥BC于点E，且DE＝3cm，BC＝8cm，AC＝4cm，则△ABC的面积是cm2．13．如图，△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，若DC＝2，则点D到线段AB的距离等于．14．如图，△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，BD：DC＝2：1，BC＝12cm，则D到AB的距离为cm．15．如图，在△ABC中，AD⊥DE，BE⊥DE，AC、BC分别平分∠BAD和∠ABE．点C在线段DE上．若AD＝5，BE＝2，则AB的长是．三．解答题16．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠C＝90°，DE⊥AB于点E，点F在AC上，BD ＝DF．（1）求证：CF＝EB．（2）若AB＝12，AF＝8，求CF的长．17．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，D为垂足，BE平分∠ABC．（1）若∠A＝40°，求∠BEC的度数；（2）若DE＝2，BC＝6，求△BCE的面积．18．如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AD，BE分别为△ABC的角平分线，连结DE．求证：点E到DA，DC的距离相等．参考答案一．选择题1．解：∵BC＝20，BD：DC＝3：2，∴CD＝8，∵∠C＝90°AD平分∠BAC∴D到边AB的距离＝CD＝8．故选：A．2．解：过D作DF⊥AC于F，∵AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，DE＝2，∴DE＝DF＝2，∵S△ABC＝7，∴S△ADB+S△ADC＝7，∴＝7，∴＝7，解得：AC＝3，故选：A．3．解：过点E作EF⊥AB于点F，如图：∵BD是AC边上的高，∴ED⊥AC，又∵AE平分∠CAB，DE＝3，∴EF＝3，∵AB＝8，∴△ABE的面积为：8×3÷2＝12．故选：B．4．解：过O作OD⊥AC于D，OE⊥AB于E，∵AO平分∠CAB，OB平分∠ABC，∴OD＝OE＝OM，∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，AB＝10，∴S△ABC＝AC•BC＝×AB•OE+AC•OD+BC•OM，∴＝+•OM+，∴OM＝2，故选：B．5．解：过点D作DE⊥BC于E，则DE即为DP的最小值，∵∠BAD＝∠BDC＝90°，∠ADB＝∠C，∴∠ABD＝∠CBD，∵∠ABD＝∠CBD，DA⊥AB，DE⊥BC，∴DE＝AD＝2，故选：C．6．解：∵∠BAC＝80°，∴∠ABC+∠BCA＝180°﹣80°＝100°，∴∠BAC的外角＝100°，∵∠ABC和∠ACD的平分线相交于点E，∴AE是∠BAC的外角平分线，∴∠CAE＝50°，故选：C．7．解：AE是△ABC的角平分线，∠BAC＝104°，∴∠BAE＝∠CAE＝52°，∴①正确；∵∠C＝40°，AD⊥BC，∴∠CAD＝50°，∴∠DAE＝∠CAE﹣∠CAD＝52°﹣50°＝2°，∴②正确；∵没有条件能证得EF＝DE，∴EF不一定等于ED，∴③错误；∵点F为BC的中点，∴BF＝BC，∴S△ABF＝S△ABC，∴④正确；故选：C．8．解：∵点P到OA、OB的距离相等，∴点P在∠AOB平分线上，∴点P是CD与∠AOB平分线的交点，故选：D．9．解：如图，过点D作DH⊥AC于H，∵AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，∴DF＝DH，在Rt△ADF和Rt△ADH中，，∴Rt△ADF≌Rt△ADH（HL），∴S Rt△ADF＝S Rt△ADH，在Rt△DEF和Rt△DGH中，∴Rt△DEF≌Rt△DGH（HL），∴S Rt△DEF＝S Rt△DGH，∵△ADG和△AED的面积分别为60和35，∴35+S Rt△DEF＝60﹣S Rt△DGH，∴S Rt△DEF＝．故选：D．10．解：在△ABC中，∵∠ACB＝90°，∴∠BAC+∠ABC＝90°，又∵AD、BE分别平分∠BAC、∠ABC，∴∠BAD+∠ABE＝（∠BAC+∠ABC）＝45°，∴∠APB＝135°，故①正确．∴∠BPD＝45°，又∵PF⊥AD，∴∠FPB＝90°+45°＝135°，∴∠APB＝∠FPB，又∵∠ABP＝∠FBP，BP＝BP，∴△ABP≌△FBP，∴∠BAP＝∠BFP，AB＝FB，P A＝PF，故②正确．在△APH和△FPD中，∵∠APH＝∠FPD＝90°，∠P AH＝∠BAP＝∠BFP，P A＝PF，∴△APH≌△FPD，∴PH＝PD，故③正确．∵△ABC的角平分线AD、BE相交于点P，∴点P到AB、AC的距离相等，点P到AB、BC的距离相等，∴点P到BC、AC的距离相等，∴点P在∠ACB的平分线上，∴CP平分∠ACB，故④正确．故选：D．二．填空题11．解：作DF⊥BC于F，∵CD是它的角平分线，DE⊥AC，DF⊥BC，∴DF＝DE＝2，∴△BCD的面积＝×BC×DF＝6（cm2），故答案为：6．12．解：过D点作DF⊥AC于F，如图，∵CD平分∠BCA，DE⊥BC，DF⊥AC，∴DF＝DE＝3，∴S△ABC＝S△DBC+S△DAC＝×8×3+×4×3＝18（cm2）．故答案为18．13．解：过D作DE⊥AB于E，∵∠C＝90°，AD平分∠BAC，DC＝2，∴DE＝DC＝2，即点D到线段AB的距离等于2，故答案为：2．14．解：过点D作DE⊥AB于E，∵BD：DC＝2：1，BC＝12，∴DC＝4，∵AD平分∠BAC，DC⊥AC，DE⊥AB，∴DE＝DC＝4，即D到AB的距离为4cm，故答案为：4．15．解：如图，过点C作CF⊥AB于F，∵AC，BC分别平分∠BAD，∠ABE，∴∠DAC＝∠F AC，∠FBC＝∠EBC，在△ADC和△AFC中，∵，∴△ADC≌△AFC（AAS），∴AD＝AF，在△CBE≌△CBF中，∵，∴△CBE≌△CBF（AAS），∴BE＝BF，∴AB＝AF+BF＝AD+BE＝5+2＝7，故答案为：7．三．解答题16．（1）证明：∵AD平分∠BAC，∠C＝90°，DE⊥AB于E，∴DE＝DC．在Rt△CDF与Rt△EDB中，，∴Rt△CDF≌Rt△EDB（HL），∴CF＝EB．（2）解：设CF＝x，则AE＝12﹣x，∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，∴CD＝DE．在Rt△ACD与Rt△AED中，，∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），∴AC＝AE，即8+x＝12﹣x，解得x＝2，即CF＝2．17．解：（1）在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝40°，则∠ABC＝90°﹣40°＝50°，∵BE平分∠ABC，∴∠DBE＝∠ABC＝25°，∴∠BEC＝∠DBE+∠BDE＝115°；（2）作EF⊥BC于F，∵BE平分∠ABC，CD⊥AB，EF⊥BC，∴EF＝ED＝2，∴△BCE的面积＝×BC×EF＝×6×2＝6．18．证明：过E作EH⊥BA的延长线于H，EF⊥BC于F，EG⊥AD于G，∵AD平分∠BAC，∠BAC＝120°，∴∠BAD＝∠CAD＝60°，∵∠CAH＝180°﹣120°＝60°，∴AE平分∠HAD，∴EH＝EG，∵BE平分∠ABC，EH⊥AB，EF⊥BC，∴EH＝EF，∴EF＝EG，∴点E到DA、DC的距离相等．。
北师大版八年级下册1.4角平分线同步练习题(word无答案)
1.4角平分线同步练习一、选择题1．如图，直线l、l′、l″表示三条相互交叉的公路，现计划建一个加油站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（）A．一处B．二处C．三处D．四处2．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，有下列结论：①CD＝ED；②AC+BE＝AB；③∠BDE＝∠BAC；④AD平分∠CDE；其中正确的是（）个．A．1 B．2 C．3 D．43．三条公路将A、B、C三个村庄连成一个如图的三角形区域，如果在这个区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，那么这个集贸市场应建的位置是（）A．三条高线的交点B．三条中线的交点C．三条角平分线的交点D．三边垂直平分线的交点4．如图，OC是∠AOB的平分线，PD⊥DA于点D，PD＝2，则P点到OB的距离是（）A．1 B．2 C．3 D．45．如图，点E是BC的中点，AB⊥BC，DC⊥BC，AE平分∠BAD，下列结论：①∠AED＝90°②∠ADE＝∠CDE③DE＝BE④AD＝AB+CD，四个结论中成立的是（）A．①②④B．①②③C．②③④D．①③6．如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在（）A．△ABC的三条中线的交点B．△ABC三条角平分线的交点C．△ABC三条高所在直线的交点D．△ABC三边的中垂线的交点7．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC交AC于点D，AB＝12，CD＝3，则△DAB的面积为（）A．12 B．18 C．20 D．248．如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC＝10，DE＝2，AB＝4，则AC 长是（）A．9 B．8 C．7 D．6二、填空题9．如图，三角形ABC中，BD平分∠ABC，AD垂直于BD，三角形BCD的面积为45，三角形ADC的面积为20，则三角形ABD的面积等于．10．如图所示，P是∠AOB的角平分线OC上的任意一点，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E，则PD与PE的大小关系是PD PE．11．如图，已知△ABC的周长是32，OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD＝6，△ABC的面积是．12．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，若CD＝4，AB＝15，则△ABD的面积是．三、解答题13如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝∠ABC，BD平分∠ABC，DE⊥AB，CD＝4cm，求AB的长．14．已知：如图，∠B＝∠C＝90°，M是BC的中点，且DM平分∠ADC．（1）求证：AM平分∠DAB．（2）试说明线段DM与AM有怎样的位置关系？并证明你的结论．15．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BE平分∠ABC，DE⊥AB于D，如果AC＝3cm，那么AE、AC、DE这三条线段之间有怎样的数量关系？请说明理由．16．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，∠ABC的平分线BF交AD于点E，交AC于点F，FH⊥BC于点H，求证：AE＝FH．17．如图，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，S△ABC＝7，DE＝2，AB＝4（1）则S△ACD＝；（2）求AC的长．18．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AC，垂足为点E，∠C＝48°，∠ADE＝∠B，求∠B的度数．。
北师大版八年级下册数学 1.4角平分线 同步练习 (含解析)
1.4角平分线同步练习一．选择题1．如图所示，D是∠AOB平分线上的一点，DE⊥OA，DF⊥OB，垂足分别是E，F．下列结论不一定成立的是（）A．DE＝DF B．OE＝OF C．∠ODE＝∠ODF D．OD＝DE+DF 2．P、Q为∠AOB内两点，且∠AOP＝∠POQ＝∠QOB＝∠AOB，PM⊥OA于M，QN⊥OB于N，PQ⊥OP，则下面结论正确的是（）A．PM＞QM B．PM＝QN C．PM＜QN D．PM＝PQ3．点O是△ABC中∠BCA，∠ABC的平分线的交点，已知△ABC的面积是12，周长是8，则点O到边BC的距离是（）A．1B．2C．3D．44．△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，角平分线AD、BE相交于点O，则四边形OECD 的面积为（）A．5B．C．D．85．已知如图，∠GBC，∠BAC的平分线相交于点F，BE⊥CF于H，若∠AFB＝40°，∠BCF的度数为（）A．40°B．50°C．55°D．60°6．∠AOB的平分线上一点P到OA的距离为3，Q是OB上任一点，则（）A．PQ＞3B．PQ≥3C．PQ＜3D．PQ≤37．在锐角三角形ABC中，AD是它的角平分线，AB＝8cm，AC＝6cm，则S△ABD：S△ACD等于（）A．4：3B．3：4C．16：9D．9：168．如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，DE＝DG，△ADG和△AED的面积分别为60和48，则△EDF的面积为（）A．4B．6C．10D．129．如图，∠BAC和∠BCA的角平分线相交于点N，∠BDE和∠BED的角平分线相交于点M，连接MN．下列说法错误的是（）A．直线MN平分线段AC B．直线MN平分∠ABCC．∠ANC＝∠DME D．∠ADE+∠DEC＝180°+∠B10．如图，在△ABC中，P是BC上的点，作PQ∥AC交AB于点Q，分别作PR⊥AB，PS ⊥AC，垂足分别是R，S，若PR＝PS，则下面三个结论：①AS＝AR②AQ＝PQ③△PQR≌△CPS，其中正确的是（）A．①③B．①②C．②③D．①②③二．填空题11．AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，若S△ABC＝10，DE＝2，AB＝4，则AC的长是．12．如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC＝10，DE＝2，AB＝4，则AC 长是．13．在直角△ABC中，已知∠ACB＝90°，AB＝13，AC＝5，BC＝12．在△ABC的内部找一点P，使得P到△ACB的三边的距离相等，则这个距离是．14．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，BD平分∠ABC，交AC于点D．若AB＝8，BD＝10，则点D到BC的距离是．15．如图，四边形ABCD中，AB⊥AD，CD＝CB，∠ACB＝∠ACD，AE⊥BC于点E，AE 交BD于点F，AC＝DF，CE＝5，BE＝12，则AE＝．三．解答题16．如图所示，在四边形ABCD中，AC平分∠DAB，若AC＝7，AD＝6，∠B＝60˚，S△ADC ＝，求BC和AB的长．17．如图所示，已知△ABC中，∠C＝90°，AB＝5cm，AC＝3cm，BC＝4cm，AD是∠CAB 的平分线，与BC交于D，DE⊥AB于E，则（1）图中与线段AC相等的线段是；（2）与线段CD相等的线段是；（3）△DEB的周长为cm．18．如图，△ABC与△AED中，∠E＝∠C，DE＝BC，EA＝CA，过A作AF⊥DE垂足为F，DE交CB的延长线于点G，连接AG．（1）求证：GA平分∠DGB；（2）若S四边形DGBA＝6，AF＝，求FG的长．参考答案一．选择题1．解：∵D是∠AOB平分线上的一点，DE⊥OA，DF⊥OB，∴DE＝DF，故A选项成立，在Rt△ODE和Rt△ODF中，，∴Rt△ODE≌Rt△ODF（HL），∴OE＝OF，∠ODE＝∠ODF，故B、C选项成立，OD＝DE+DF无法证明，不一定成立．故选：D．2．解：作PC⊥OQ于C，∵∠AOP＝∠POQ＝∠QOB，∴MP＝CP，PQ＝NQ，∵在Rt△PCQ中，PC＜PQ，∴PM＜QN．故选：C．3．解：如图所示，过O作OE⊥AB，OF⊥AC，连接AO，∵点O是△ABC中∠BCA，∠ABC的平分线的交点，∴OE＝OD＝OF，∵△ABC的面积是12，周长是8，∴AB×OE+BC×OD+AC×OF＝12，即×8×OD＝12，即OD＝3，故选：C．4．解：如图，作OM⊥AB于M，OJ⊥BC于J，OK⊥AC于K，DH⊥BC于H，连接OC．在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，∴AB＝10，∵点O是△ABC的内心，∴OM＝OJ＝OK＝＝2，∵∠DCA＝∠DHA＝90°，AD＝AD，∠DAC＝∠DAH，∴△DAC≌△DAH（AAS），∴CD＝DH，AC＝AH＝8，∴BH＝10﹣8＝2，设CD＝DH＝x，在Rt△BDH中，∵BD2＝BH2+DH2，∴（6﹣x）2＝x2+22，∴x＝，同法可求：EC＝3，∴S四边形CDOE＝S△COD+S△COE＝•CD•OJ+•EC•OK＝××2+×3×2＝，故选：C．5．解：作FZ⊥AE于Z，FY⊥CB于Y，FW⊥AB于W，∵AF平分∠BAC，FZ⊥AE，FW⊥AB，∴FZ＝FW，同理FW＝FY，∴FZ＝FY，FZ⊥AE，FY⊥CB，∴∠FCZ＝∠FCY，∵∠AFB＝40°，∴∠ACB＝80°，∴∠ZCY＝100°，∴∠BCF＝50°．故选：B．6．解：如图，过点P作PE⊥OB于E，∵OP是∠AOB的平分线，∴PD＝PE＝3，∵Q是OB上任一点，∴PQ≥PE，∴PQ≥3．故选：B．7．解：作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF，∴S△ABD：S△ACD＝8：6＝4：3，故选：A．8．解：如图，过点D作DH⊥AC于H，∵AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，∴DF＝DH，在Rt△ADF和Rt△ADH中，，∴Rt△ADF≌Rt△ADH（HL），∴S Rt△ADF＝S Rt△ADH，在Rt△DEF和Rt△DGH中，∴Rt△DEF≌Rt△DGH（HL），∴S Rt△DEF＝S Rt△DGH，∵△ADG和△AED的面积分别为60和48，∴48+S Rt△DEF＝60﹣S Rt△DGH，∴S Rt△DEF＝6．故选：B．9．解：A．只有当AB＝BC时，直线MN才平分线段AC，根据已知条件不能推出直线MN 平分线段AC，故本选项符合题意；B．过N作NG⊥BC于G，NH⊥AC于H，NF⊥AB于F，∵∠BAC和∠BCA的角平分线相交于点N，∴NF＝NH，NH＝NG，∴NF＝NG，∴BN平分∠ABC，即直线MN平分∠ABC，故本选项不符合题意；C．∵∠BAC和∠BCA的角平分线相交于点N，∴∠NAC＝BAC，∠NCA＝BCA，∵∠ABC+∠BCA+∠BAC＝180°，∴∠NAC+∠NCA＝（∠BAC+∠BCA）＝（180°﹣∠ABC）＝90°﹣ABC，∴∠ANC＝180°﹣（∠NAC+∠NCA）＝180°﹣（90°﹣ABC）＝90°+ABC，同理，∠DME＝90°+ABC，∴∠ANC＝∠DME，故本选项不符合题意；D．∵∠ADE＝∠ABC+∠BED，∠DEC＝∠ABC+∠BDE，∠ABC+∠BDE+∠BED＝180°，∴∠ADE+∠DEC＝∠ABC+∠BED+∠ABC+∠BDE＝180°+∠ABC，故本选项不符合题意；故选：A．10．解：连接AP，∵PR＝PS，PR⊥AB，垂足为R，PS⊥AC，垂足为S，∴AP是∠BAC的平分线，∠1＝∠2，∠ARP＝∠ASP＝90°，∴PR＝PS，∴△APR≌△APS，∴AS＝AR，故①正确；又QP∥AC，∴∠2＝∠3，又∠1＝∠2，∴∠1＝∠3，∴AQ＝PQ，故②正确；没有办法证明△PQR≌△CPS，③不成立．故选：B．二．填空题11．解：作DF⊥AC交AC于点F，∵AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC交AC于点F，∴DF＝DE＝2．又∵S△ABC＝S△ABD+S△ACD，AB＝4，∴10＝×4×2+×AC×2，∴AC＝6．故答案为：612．解：过点D作DF⊥AC于F，∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DF＝DE＝2，∵S△ABC＝10，∴×AB×DE+×AC×DF＝10，即×4×2+×AC×2＝10，解得，AC＝6，故答案为：6．13．解：设P到△ACB的三边的距离为x，由三角形的面积公式得，×5×12＝×5×x+×12×x+×13×x，解得，x＝2，故答案为：2．14．解：如图，过点D作DE⊥BC于E，∵AB＝8，BD＝10，∠A＝90°，∴AD＝＝＝6，∵∠A＝90°，BD平分∠ABC，∴DE＝AD＝6，即点D到BC的距离是6．故答案为：6．15．解：∵CD＝CB，∠ACB＝∠ACD，CA＝CA，∴△CAB≌△CAD（SAS），∴AD＝AB，∠DAC＝∠BAC，∵AB⊥AD，∴∠BAD＝90°，∴∠DAC＝∠BAC＝45°，∵CD＝CB，AD＝AB，∴AC垂直平分线段BD，∴DG＝BG＝AG，∵AC＝DF，∴CG＝GF，设CG＝GF＝x，AG＝BG＝DG＝y．∵AE⊥BC，∴∠AEC＝∠BGC＝∠AGF＝90°，∴∠BCG+∠CBG＝90°，∠BCG+∠F AG＝90°，∴∠CBG＝∠F AG，∵BG＝AG，∴△BGC≌△AGF（ASA），∴AF＝BC＝CE+BE＝5+12＝17，则有x2+y2＝172①，由△BEF∽△AGF，可得＝，∴＝，∴12×17＝y（y﹣x）②，①×12得到：172×12＝12x2+12y2，②×17得到172×12＝17y2﹣17xy，∴12x2+12y2＝17y2﹣17xy，∴12x2+17xy﹣5y2＝0，∴（3x+5y）（4x﹣y）＝0，∵3x+5y≠0∴y＝4x，∴12×17＝4x×3x，∴x2＝17，连接CF，可得CF2＝2x2＝34，∴EF＝＝＝3，∴AE＝EF+AF＝3+17＝20，故答案为20．三．解答题16．解：过C点作CE⊥AD于E，CF⊥AB于F，如图，∵S△ADC＝，∴×AD×CE＝，∴CE＝＝，∵AC平分∠DAB，CE⊥AD于E，CF⊥AB于F，∴CF＝CE＝，∵∠B＝60°，∴BF＝CF＝×＝，∴BC＝2BF＝5，在Rt△ACF中，AF＝＝，∴AB＝AF+BF＝+＝8．即BC的长为5，AB的长为8．17．解：（1）在△ACD和△AED中，，∴△ACD≌△AED，∴AE＝AC，故答案为：AE；（2）∵AD是∠CAB的平分线，DE⊥AB，∠C＝90°，∴DE＝CD，故答案为：DE；（3）∵AB＝5cm，AC＝3cm，AE＝AC，∴BE＝AB﹣AE＝2cm，∴△DEB的周长＝DE+DB+BE＝CD+DB+BE＝CB+BE＝6cm，故答案为：6．18．解：（1）过点A作AH⊥BC于H，∵△ABC与△AED中，∠E＝∠C，DE＝BC，EA＝CA，∴△ABC≌△ADE（SAS），∴S△ABC＝S△AED，又∵AF⊥DE，即×DE×AF＝×BC×AH，∴AF＝AH，又∵AF⊥DE，AH⊥BC，AG＝AG，∴Rt△AFG≌Rt△AHG（HL），∴∠AGF＝∠AGH，即GA平分∠DGB；（2）∵△ABC≌△ADE，∴AD＝AB，又∵AF⊥DE，AH⊥BC，AF＝AH，∴Rt△ADF≌Rt△ABH（HL），∴S四边形DGBA＝S四边形AFGH＝6，∵Rt△AFG≌Rt△AHG，∴Rt△AFG的面积＝3，∵AF＝，∴×FG×＝3，解得FG＝4．。
北师大版八年级下册 第一章 1.4 角平分线 同步练习题(无答案)
角平分线的性质与判定学习目标熟练掌握角平分线的定义，利用角平分线的性质及判定解三角形定义：1从一个角的顶点引出一条射线，把这个角平均分成两个相同的角，这条射线就是这个角的角平分线2三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，连结这个角的顶点和与对边交点的线段叫做三角形的角平分线性质：1.角平分线分得的两个角相等，都等于该角的一半。
（定义）2·角平分线上的点到角的两边的距离相等。
3，角平分线是射线；三角形的角平分线是线段判定：角的内部到角的两边距离相等的点，都在这个角的平分线上。
随堂练习一、填空题1.如图（1），AD平分∠BAC，点P在AD上，若PE⊥AB，PF⊥AC，则PE__________PF.2.如图（2），PD⊥AB，PE⊥AC，且PD=PE，连接AP，则∠BAP__________∠CAP3.如图（3），∠BAC=60°，AP平分∠BAC，PD⊥AB，PE⊥AC，若AD=3，则PE=__________.(1)(2) (3)4.已知，如图（4），∠AOB=60°,CD⊥OA于D，CE⊥OB于E，若CD=CE，则∠COD+∠AOB=_______度.5.如图（5），已知MP⊥OP于P，MQ⊥OQ于Q，S△DOM=6 cm2，OP=3 cm，则MQ=__________cm.(4)(5)二、选择题1.下列各语句中，不是真命题的是A.直角都相等B.等角的补角相等C.点P在角的平分线上D.对顶角相等2.下列命题中是真命题的是A.有两角及其中一角的平分线对应相等的两个三角形全等B.相等的角是对顶角C.余角相等的角互余D.两直线被第三条直线所截，截得的同位角相等3.如左下图，在△ABC中，∠ACB=90°,BE平分∠ABC，DE⊥AB于D，如果AC=3 cm，那么AE+DE等于( )A.2 cmB.3 cmC.4 cmD.5 cm4.如右上图，已知AB=AC，AE=AF，BE与CF交于点D，则①△ABE≌△ACF②△BDF≌△CDE③D在∠BAC的平分线上，以上结论中，正确的是( )A.只有①B.只有②C.只有①和②D.①，②与③四、解答题1.如右图，已知BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，BE、CF相交于点D，若BD=CD.求证：AD平分∠BAC同步练习：1、如图1，∠B=∠C=90°，根据角平分线的性质填空：①若∠1=∠2，则= ；②若∠3=∠4，则= 。
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角平分线
第1课时
知能演练提升
能力提升
1.如图,∠AOP=∠BOP=15°,PC∥OA,PD⊥OA,若PC=4,则PD等于()
A.4
B.3
C.2
D.1
2.如图,已知∠AOB和一条定长线段a,在∠AOB内找一点P,使P到角两边OA,OB的距离都等于a.
作法:(1)作OB的垂线NH,使NH=a,H为垂足;
(2)过N作MN∥OB;
(3)作∠AOB的平分线OP,与MN交于点P;
(4)点P即为所求.
其中(3)的依据是()
A.平行线间的距离处处相等
B.到角的两边等距离的点在角的平分线上
C.角的平分线上的点到角的两边距离相等
D.到线段两端等距离的点在这条线段的垂直平分线上
3.
如图,点A,B,C在同一条直线上,△ABD,△BCE均为等边三角形.连接AE和CD,AE分别交CD,BD于点M,P,CD交BE于点Q.连接PQ,BM.下列结论:①△ABE≌△DBC;②∠DMA=60°;③△BPQ为等边三角形;
④MB平分∠AMC,其中正确的结论有()
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
4.在△ABC中,AB=4,AC=3,AD是△ABC的角平分线,则△ABD与△ACD的面积之比是.
5.如图,OC是∠AOB的平分线,P,Q在OC上,PE垂直OA于点E,PF垂直OB于点F,QM垂直OA于点M,QN垂直OB于点N,若PE+QN=4,则PF+QM=.
6.如图,在∠AOB的两边OA,OB上分别取OM=ON,OD=OE,DN和EM相交于点C.求证:点C在∠AOB的平分线上.
7.如图,已知AB∥CD,∠BAC的平分线与∠DCA的平分线交于点M,经过M的直线EF与AB垂直,垂足为F,且EF与CD交于点E.
求证:点M为EF的中点.
创新应用
8.如图,AC平分∠BAD,CE⊥AB于点E,且2AE=AB+AD,请通过探究猜测∠ADC和∠ABC的关系,并对你的猜测作出证明.
答案：能力提升
1.C
2.B
3.D
4.4∶3
5.4由角平分线的性质定理可得PE=PF,QM=QN,因此PF+QM=PE+QN=4.
6.证明:作CP⊥OA于点P,CF⊥OB于点F,∵OM=ON,OE=OD,∠MOE=∠NOD, ∴△MOE≌△NOD(SAS).
∴S△MOE=S△NOD.
∴S△MOE-S四边形ODCE=S△NOD-S四边形ODCE,即S△MDC=S△NEC.
∵OM=ON,OD=OE,
∴DM=EN.
∴CP=CF.∴点C在∠AOB的平分线上.
7.证明:过M作MN⊥AC于点N.
∵CD∥AB,EF⊥AB,
∴EF⊥CD.
∵CM平分∠DCA,
MN⊥AC,ME⊥CD,
∴MN=ME.
∵AM平分∠BAC,MN⊥AC,MF⊥AB,
∴MN=MF.∴ME=MF.
∴点M为EF的中点.
创新应用
8.解:∠ADC+∠ABC=180°.证明如下:过C点作AD的垂线,垂足为H.
∵AC平分∠BAD,CE⊥AB,CH⊥AD,
∴CE=CH.又∵AC=AC,
∴Rt△ACE≌Rt△ACH.
∴AE=AH.
又∵2AE=AB+AD,
∴AE+AH=AB-BE+AD+DH=AB+AD.
∴BE=DH.又∵CE=CH,
∴Rt△CBE≌Rt△CDH.∴∠CDH=∠ABC.
又∵∠ADC+∠CDH=180°,
∴∠ADC+∠ABC=180°.。