2018年秋高中数学 第三章 导数及其应用 3.1 变化率与导数 3.1.1 变化率问题

3.1.1 变化率问题 3.1.2 导数的概念

学习目标：1.会求函数在某一点附近的平均变化率.2.会利用导数的定义求函数在某点处的导数．(重点难点)3.了解平均变化率与瞬时变化率的关系．(易混点)

[自 主 预 习·探 新 知]

1．函数的平均变化率 (1)定义式：Δy Δx

＝

f

x 2－f x 1

x 2－x 1

.

(2)实质：函数值的改变量与自变量的改变量之比． (3)作用：刻画函数值在区间[x 1，x 2]上变化的快慢．

(4)几何意义：已知P 1(x 1，f (x 1))，P 2(x 2，f (x 2))是函数y ＝f (x )的图象上两点，则平均变化率

Δy Δx

＝f x 2－f x 1

x 2－x 1

表示割线P 1P 2的斜率．

思考：Δx ，Δy 的取值一定是正数吗？ [提示] Δx ≠0，Δy ∈P .

2．函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率 (1)定义式：lim Δx →0

Δy Δx ＝lim Δx →0

f x 0＋Δx －f x 0

Δx

.

(2)实质：瞬时变化率是当自变量的改变量趋近于0时，平均变化率趋近的值． (3)作用：刻画函数在某一点处变化的快慢． 3．函数f (x )在x ＝x 0处的导数

函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率称为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0，即f ′(x 0)＝lim Δx →0

Δy Δx ＝lim Δx →0

f x 0＋Δx －f x 0

Δx

.

[基础自测]

1．思考辨析

(1)Δy 表示f (x 2)－f (x 1)，Δy 的值可正可负也可以为零．

( )

(2)瞬时变化率是刻画某函数值在区间[x 1，x 2]上变化快慢的物理量．

( ) (3)函数f (x )＝x 在x ＝0处的瞬时变化率为0. ( ) [答案] (1)√ (2)× (3)×

2．已知函数f (x )＝x 2

＋1，则在x ＝2，Δx ＝0.1时，Δy 的值为( ) A ．0.40 B ．0.41 C ．0.43 D ．0.44 B [Δy ＝f (2＋Δx )－f (2)＝2.12

－4＝0.41.]

3．一物体的运动方程是s ＝3＋t 2

，则在一小段时间[2,2.1]内的平均速度为( )

【导学号：97792121】

A ．0.41

B ．3

C ．4

D ．4.1 D [Δ＝Δs Δt ＝

3＋2.12

－＋2

2

2.1－2

＝4.1.]

[合 作 探 究·攻 重 难]

(1)若函数f (x )＝2x 2

－1的图象上一点(1,1)及邻近一点(1＋Δx,1＋Δy )，则Δx ＝( )

A ．4

B ．4x

C ．4＋2Δx

D ．4＋2(Δx )2

(2)汽车行驶的路程s 和时间t 之间的函数图象如图3­1­1，在时间段[t 0，t 1]，[t 1，t 2]，[t 2，t 3]上的平均速度分别为v 1，v 2，v 3，则三者的大小关系为__________．

图3­1­1

(3)球的半径从1增加到2时，球的体积平均膨胀率为__________． [解] (1)Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝2(1＋Δx )2

－1－(2×12

－1) ＝2(Δx )2

＋4Δx ∴

Δy

Δx

＝2Δx ＋4，故选C. (2)由题意知，v 1＝k OA ，v 2＝k AB ，v 3＝k BC . 根据图象知v 1

＝283π.

∴

Δv Δr ＝283

π. [答案] (1)C (2)v 1

3π

x 0＋－x 0

Δx

.

的值可正，可负，但Δx ≠0，Δ

[跟踪训练]

1．(1)函数y ＝f (x )＝3x 2

＋2在区间[x 0，x 0＋Δx ]上的平均变化率为________，当x 0＝2，Δx ＝0.1时平均变化率的值为________．

(2)已知函数f (x )＝－x 2

＋x 的图象上的一点A (－1，－2)及临近一点B (－1＋Δx ，－2＋Δy )，则Δy Δx ＝

________.

(1)6x 0＋3Δx 12.3 (2)－Δx ＋3 [(1)函数y ＝f (x )＝3x 2

＋2在区间[x 0，x 0＋Δx ]上的平均变化率为

f x

0＋Δx －f x 0

x 0＋Δx －x 0

＝

x 0＋Δx

2

＋2]－x 20＋

Δx

＝

6x 0·Δx ＋Δx

2

Δx

＝6x 0＋3Δx .

当x 0＝2，Δx ＝0.1时，

函数y ＝3x 2

＋2在区间[2,2.1]上的平均变化率为6×2＋3×0.1＝12.3. (2)∵Δy ＝f (－1＋Δx )－f (－1)

＝－(－1＋Δx )2

＋(－1＋Δx )－[－(－1)2

＋(－1)] ＝－(Δx )2

＋3Δx ， ∴Δy Δx

＝－Δx 2

＋3Δx

Δx

＝－Δx ＋3.]

若一物体的运动方程为s ＝⎩⎪⎨⎪

⎧29＋t －，0≤t <3，

3t 2

＋2，t ≥3

(路程单位：m ，时间单位：s)．求：

(1)物体在t ＝3 s 到t ＝5 s 这段时间内的平均速度； (2)物体在t ＝1 s 时的瞬时速度．

[思路探究] (1)先求Δs ，再根据v ＝Δs

Δt 求解．

(2)先求Δs Δt ，再求lim Δx →0

Δs

Δt .

[解] (1)因为Δs ＝3×52

＋2－(3×32

＋2)＝48(m)，Δt ＝2 s ，所以物体在t ＝3 s 到t ＝5 s 这段时间内的平均速度为Δs Δt ＝48

2

＝24(m/s)．

(2)因为Δs ＝29＋3[(1＋Δt )－3]2

－29－3×(1－3)2

＝[3(Δt )2

－12Δt ](m)， 所以Δs Δt

＝

Δt

2

－12Δt

Δt

＝3Δt －12(m/s)，