《电工基础教案》第五章 单相交流电路

理论课授课教案
值——有效值，其依据是交流电流和直流电流通过电阻时，电阻都要消耗电能(热效应)。

设正弦交流电流i (t )在一个周期T 时间内，使一电阻R 消耗的电能为Q R ，另有一相应的
直流电流I 在时间T 内也使该电阻R 消耗相同的电能，即Q R = I 2
RT 。

就平均对电阻作功的能力来说，这两个电流(i 与I )是等效的，则该直流电流I 的数值可以表示交流电流i (t )的大小，于是把这一特定的数值I 称为交流电流的有效值。

理论与实验均可证明，正弦交流电流i 的有效值I 等于其振幅(最大值)I m 的0.707倍，即
m m 707.02
I I
I ==
正弦交流电压的有效值为
m m 707.02
U U
U ==
正弦交流电动势的有效值为
m m 707.02
E E
E ==
例如正弦交流电流 i = 2sin(ωt - 30︒) A 的有效值I = 2 ⨯ 0.707 = 1.414 A ，如果交流电流i 通过R = 10 Ω 的电阻时，在一秒时间内电阻消耗的电能(又叫做平均功率)为P = I 2R = 20 W ，即与I = 1.414 A 的直流电流通过该电阻时产生相同的电功率。

我国工业和民用交流电源电压的有效值为220 V 、频率为50Hz ，因而通常将这一交流电压简称为工频电压。

因为正弦交流电的有效值与最大值(振幅值)之间有确定的比例系数，所以有效值、频率、初相这三个参数也可以合在一起叫做正弦交流电的三要素。

三、相位和相位差
任意一个正弦量y = A sin(ωt + ϕ0)的相位为(ωt + ϕ0)，本章只涉及两个同频率正弦量的相位差(与时间t 无关)。

设第一个正弦量的初相为 ϕ01，第二个正弦量的初相为 ϕ02，则这两个正弦量的相位差为
ϕ12 = ϕ01 - ϕ02
并规定
π≤≤1212 180ϕϕ或
在讨论两个正弦量的相位关系时：
(1) 当 ϕ12 > 0时，称第一个正弦量比第二个正弦量的相位越前(或超前) ϕ12； (2) 当 ϕ12 < 0时，称第一个正弦量比第二个正弦量的相位滞后(或落后)| ϕ12|； (3) 当 ϕ12 = 0时，称第一个正弦量与第二个正弦量同相，如图7-1(a)所示； (4) 当 ϕ12 = ± π 或 ±180︒时，称第一个正弦量与第二个正弦量反相，如图7-1(b)所示；
(5) 当 2
12π
±=ϕ或 ±90︒时，称第一个正弦量与第二个正弦量正交。

例如已知u = 311sin(314t - 30︒) V ，I = 5sin(314t + 60︒) A ，则u 与i 的相位差为 ϕui = (-30︒) - (+ 60︒) = - 90︒，即u 比i 滞后90︒，或i 比u 超前90︒。

图7-1 相位差的同相与反相的波形
第三节交流电的表示法
一、解析式表示法
i(t) = I m sin(ω t+ϕi0)
u(t) = U m sin(ω t+ϕu0)
e(t) = E m sin(ω t+ϕe0)
例如已知某正弦交流电流的最大值是2 A，频率为100 Hz，设初相位为60︒，则该电流的瞬时表达式为
i(t) = I m sin(ωt+ϕi0) = 2sin(2πf t+ 60︒) = 2sin(628t+ 60︒) A
二、波形图表示法
图7-2给出了不同初相角的正弦交流电的波形图。

三、相量图表示法
正弦量可以用振幅相量或有效值相量表示，但通常用有效值相量表示。

1．振幅相量表示法
振幅相量表示法是用正弦量的振幅值做为相量的模(大小)、用初相角做为相量的幅角，例如有三个正弦量为
e = 60sin(ωt+ 60︒) V
u = 30sin(ωt+ 30︒) V
i = 5sin(ωt- 30︒) A
则它们的振幅相量图如图7-3所示。

2．有效值相量表示法
有效值相量表示法是用正弦量的有效值做为相量的模(长度大小)、仍用初相角做为相量的幅角，例如
A
)
sin(
2
41
.0
V
)
53
sin(
2
220t
i
t
uω
ω=
+
=，
则它们的有效值相量图如图7-4所示。

.
图7-2 正弦交流电的波形图举例
图7-4 正弦量的有效值相量图举例
图7-3 正弦量的振幅相量图举例
第四节 纯电阻电路
只含有电阻元件的交流电路叫做纯电阻电路，如含有白炽灯、电炉、电烙铁等电路。

一、电压、电流的瞬时值关系
电阻与电压、电流的瞬时值之间的关系服从欧姆定律。

设加在电阻R 上的正弦交流电压瞬时值为u = U m sin(ω t )，则通过该电阻的电流瞬时值为
)sin()sin(m m t I t R
U R u i ωω===
其中 R
U I m m =
是正弦交流电流的振幅。

这说明，正弦交流电压和电流的振幅之间满足欧姆定律。

二、电压、电流的有效值关系
电压、电流的有效值关系又叫做大小关系。

由于纯电阻电路中正弦交流电压和电流的振幅值之间满足欧姆定律，因此把等式两边同时除以2，即得到有效值关系，即
RI U R
U
I ==
或 这说明，正弦交流电压和电流的有效值之间也满足欧姆定律。

三、相位关系
电阻的两端电压u 与通过它的电流i 同相，其波形图和相量图如图8-1所示。

解：解析式 071.7==R u
i sin(314t + 30︒) A ，大小(有效值)为A 52
07.7==I
第五节 纯电感电路
一、电感对交流电的阻碍作用
1．感抗的概念
反映电感对交流电流阻碍作用程度的参数叫做感抗。

2．感抗的因素
纯电感电路中通过正弦交流电流的时候，所呈现的感抗为X L =ωL =2πfL
式中，自感系数L 的国际单位制是亨利(H)，常用的单位还有毫亨(mH)、微亨(μH)，纳亨(nH)
等，它们与H 的换算关系为1 mH = 10-3 H ，1 μH = 10-6 H ，1 nH = 10-9
H 。

如果线圈中不含有导磁介质，则叫作空心电感或线性电感，线性电感L 在电路中是一常数，与外加电压或通电电流无关。

如果线圈中含有导磁介质时，则电感L 将不是常数，而是与外加电压或通电电流有关的量，这样的电感叫做非线性电感，例如铁心电感。

3．线圈在电路中的作用
用于“通直流、阻交流”的电感线圈叫做低频扼流圈，用于“通低频、阻高频”的电感线圈叫做高频扼流圈。

二、电感电流与电压的关系 1．电感电流与电压的大小关系
图8-1 电阻电压u 与电流i 的
波形图和相量图
【例8-1】在纯电阻电路中，已知电阻R = 44 Ω，交
流电压u = 311sin(314t + 30︒) V ，求通过该电阻的电流大小？并写出电流的解析式。

电感电流与电压的大小关系为
L
X
U
I=显然，感抗与电阻的单位相同，都是欧姆(Ω)。

2．电感电流与电压的相位关系
电感电压比电流超前90︒(或π/2)，即电感电流比电压滞后90︒，如图8-2所示。

解：(1) 电路中的感抗为
X L = ωL = 314 ⨯ 0.08 ≈ 25 Ω
(2) A
2
25
50
=
=
=
L
L
L X
U
I
(3) 电感电流i L比电压u L滞后90°，则
A
)
25
314
sin(
2
2
-
=t
i
L
第六节纯电容电路
一、电容对交流电的阻碍作用
1．容抗的概念
反映电容对交流电流阻碍作用程度的参数叫做容抗。

容抗按下式计算
fC
C
X L
π
=
=
2
1
1
ω容抗和电阻、电感的单位一样，也是欧姆(Ω)。

2．电容在电路中的作用
在电路中，用于“通交流、隔直流”的电容叫做隔直电容器；用于“通高频、阻低频”将高频电流成分滤除的电容叫做高频旁路电容器。

二、电流与电压的关系
1．电容电流与电压的大小关系
电容电流与电压的大小关系为
C
X
U
I=
2．电容电流与电压的相位关系
电容电流比电压超前90︒(或π/2)，即电容电压比电流滞后90︒，如图8-3所示。

解：(1) Ω
=
=25
1
C
X C
ω
图8-2 电感电压与电流的波形图与相量图
图8-3 电容电压与电流的波形图与相量图
【例8-2】已知一电感L = 80 mH，外加电压
u L = 502sin(314t+ 65︒) V。

试求：(1) 感抗X L，
(2) 电感中的电流I L，(3) 电流瞬时值i L。

【例8-3】已知一电容C = 127 μF，外加正弦交流
电压V
)
20
314
sin(
2
20
+
=t
u
C
，试求：(1) 容抗X C；
(2) 电流大小I C；(3) 电流瞬时值C i。