江苏省2015届高考数学解答题每日一练系列——应用题,解析几何10

1、某厂生产一种仪器，由于受生产能力和技术水平的限制，会产生一些次品．根据经验知道，该厂生产这种仪器，
次品率P 与日产量x （件）之间大体满足关系：()()()1 1,96 962 ,3x c x N x P x c x N ⎧≤≤∈⎪⎪-=⎨⎪>∈⎪⎩其中c为小于的正常数．)()()1 1,96 962 ,3x c x N x P x c x N ⎧≤≤∈⎪⎪-=⎨⎪>∈⎪⎩其中c为小于的正常数 注：次品率P =次品数生产量
，如0.1P =表示每生产10件产品，约有1件为次品．其余为合格品． 已知每生产一件合格的仪器可以盈利A 元，但每生产一件次品将亏损2
A 元，故厂方希望定出合适的日产量． （Ⅰ）试将生产这种仪器每天的盈利额T （元）表示为日产量x （件）的函数； （Ⅱ）当日产量为多少时，可获得最大利润？
2、已知圆C 过点)1,1(P ,且与圆M :222(2)
(2)(0)x y r r +++=>关于直线20x y ++=对称.
(Ⅰ)求圆C 的方程； (Ⅱ)设Q 为圆C 上的一个动点,求PQ MQ ⋅的最小值；
(Ⅲ)过点P 作两条相异直线分别与圆C 相交于B A ,,且直线PA 和直线PB 的倾斜角互补,O 为坐标原点,试判断直线OP 和AB 是否平行?请说明理由.
1、讲解：（Ⅰ）当x c >时，23P =，所以，每天的盈利额120332A T xA x =-⋅=． 当1x c ≤≤时，196P x =-，所以，每日生产的合格仪器约有1196x x ⎛⎫- ⎪-⎝⎭件，次品约有196x x ⎛⎫ ⎪-⎝⎭
件．故，每天的盈利额
()113196962296A x T xA x x A x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--⋅=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝
⎭ 综上，日盈利额T （元）与日产量x （件）的函数关系为：
()3, 12960, x x A x c T x x c
⎧⎡⎤-≤≤⎪⎢⎥=-⎨⎣⎦⎪>⎩．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当x c >时，每天的盈利额为0． 当1x c ≤≤时，()3296x T x A x ⎛⎫=- ⎪ ⎪-⎝⎭
． 为表达方便，令96x t -=，则09695c t <-≤≤．故
()39611441144147969797202222t T t A t A t A A t t t ⎛⎫-⎛⎫⎛⎫=--=--≤-⋅=> ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎝⎭⎝⎭)39611441144147969797202222t T t A t A t A A t t t ⎛⎫-⎛⎫⎛⎫=--=--≤-⋅=> ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
．（等号当且仅当144t t =，即()1288t x ==即时成立）
．所以，
（1）当88c ≥时，max 1472T A =（等号当且仅当88x =时成立）． （2） 当188c ≤<时，由1x c ≤≤得129695c t <-≤≤，易证函数()144g t t t =+
在(12,)t ∈+∞上单调递增（证明过程略）．
所以，()()96g t g c ≥-．所以，
()21144114497979602296T t A c A A t c ⎛⎫⎛⎫=--≤---=> ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭211441144189297970221922c c T t A A t c ⎛⎫+-⎛⎫⎛=--≤-> ⎪ ⎪ -⎝⎭⎝⎝⎭
． 即2max 14418921922c c T A c ⎛⎫+-= ⎪-⎝⎭
．（等号当且仅当x c =时取得） 综上，若8896c ≤<，则当日产量为88件时，可获得最大利润；若188c ≤<，则当日产量为c 时，可获得最大利润．
2、解:(Ⅰ)设圆心C (,)a b ,则222022212a b b a --⎧++=⎪⎪⎨+⎪=⎪+⎩
,解得00a b =⎧⎨=⎩ (3分) 则圆C 的方程为2
22x y r +=,将点P 的坐标代入得22r =,故圆C 的方程为222x y +=………(5分)
(Ⅱ)设(,)Q x y ,则222x y +=,
且(1,1)(2,2)PQ MQ x y x y ⋅=--⋅++=224x y x y +++-=2x y +- 所以PQ MQ ⋅的最小值为4-(可由线性规划或三角代换求得)…(10分)
(Ⅲ)由题意知, 直线PA 和直线PB 的斜率存在,且互为相反数,故可设:1(1)PA y k x -=-,
:1(1)PB y k x -=--,由221(1)2
y k x x y -=-⎧⎨+=⎩,得222(1)2(1)(1)20k x k k x k ++-+--= (11分) 因为点P 的横坐标1x =一定是该方程的解,故可得22211A k k x k
--=+ (13分) 同理,22
211B k k x k +-=+, 所以(1)(1)2()1B A B A B A AB B A B A B A
y y k x k x k k x x k x x x x x x ------+====---=OP k 所以,直线AB 和OP 一定平行… ………(16分)。