什么是三角形的外角平分线定理
三角形的外角平分线定理
三角形的外角平分线定理三角形是初中数学中一个重要的概念，它具有很多特殊性质和定理。
其中，三角形的外角平分线定理是一个非常有趣的定理，它涉及到三角形的内角、外角和平分线等概念。
本文将详细介绍三角形的外角平分线定理，包括定义、证明和应用等方面。
一、定义三角形的外角平分线定理是指：在任意一个三角形中，如果一条直线通过一个顶点并且把这个顶点对应的外角分成两个相等的部分，则这条直线称为这个三角形对应顶点的外角平分线。
二、证明为了证明三角形的外角平分线定理成立，我们需要从几何上推导出相关结论。
具体步骤如下：1. 假设我们有一个任意的三角形ABC，并且有一条直线DE通过顶点A并且将∠A对应的外角分成两部分。
2. 我们需要证明DE是∠BAC对应的外角平分线。
为此，我们先将∠BAC画出来，并假设DE交边BC于点F。
3. 我们注意到∠ADE和∠ABC都是同旁内错，则∠ADE=∠ABC。
4. 同样地，我们注意到∠AEF和∠ACB都是同旁内错，则∠AEF=∠ACB。
5. 由于∠ADE=∠ABC，我们可以得出∠ADE+∠AEF=∠ABC+∠ACB。
6. 将上式进行移项得到：∠AEF=∠BAC。
这意味着DE是∠BAC对应的外角平分线，证毕。
三、应用三角形的外角平分线定理在数学中有很多实际应用。
下面列举几个例子：1. 证明等腰三角形的顶角平分线也是底边上的中线。
2. 证明正五边形的每个内角都是108度。
3. 证明正六边形的每个内角都是120度。
4. 在解决几何问题时，可以利用外角平分线来简化计算步骤和推导过程。
总之，三角形的外角平分线定理是一个非常重要且有趣的定理，它涉及到了数学中许多基本概念和方法。
通过深入学习和理解这个定理，我们可以更好地掌握三角形相关知识，并在实际问题中灵活运用。
三角形外角平分线定理证明
三角形外角平分线定理证明1. 引言在几何学中，三角形外角平分线定理是关于三角形外角平分线的一个重要定理。
本文将详细探讨该定理的证明过程，并对其应用进行简要介绍。
2. 三角形外角平分线定理三角形外角平分线定理可以形式化陈述如下：定理：三角形的任意外角的平分线所对应的两个边所成的比等于另一边与底边成的比。
这个定理可以用数学符号表示为：mn =ac，其中m和n分别表示两边所成比例的分子和分母，a表示底边的长度，c表示外角的对边。
3. 证明过程3.1 三角形外角与内角的关系首先，我们需要了解三角形外角和内角的关系。
对于任意三角形ABC，设其外角为D，我们有以下性质： - 内角和外角互补：∠ABC+∠CBD=180∘ - 内角之和：∠ABC+∠BCA+∠CAB=180∘ - 外角之和等于无关角：∠BCD=∠ABC+∠BCA 3.2 三角形外角平分线的定义接下来，我们来定义三角形外角平分线。
对于任意三角形ABC，设角ABC的外角平分线为DE。
根据定义，DE将角ABC的外角BCD平分为两个相等的角，即∠BDE=∠CDE。
3.3 证明过程在证明三角形外角平分线定理之前，我们需要做一些准备工作。
设外角BCD的平分线DE与边AB和AC分别交于点F和G。
我们需要证明AFFB =ACCB。
根据三角形外角与内角的关系，我们知道∠ABC+∠BCD=180∘。
由于DE是外角BCD的平分线，根据定义，∠BDE=∠CDE。
因此，∠ADE=∠BCD2，∠DEA=∠BCD2。
由于平行线切割等比分线，我们可以得到以下比例关系：AFFB =ADDE和AGGC=AEDE我们需要证明AFFB =ACCB，即证明AFFB=AGGC。
将上面的两个比例关系带入AFFB =ACCB中，我们可以得到以下关系：ADDE=ACAE接下来，我们可以利用三角形相似性证明这个关系。
由于∠ADE=∠BCD2，∠DEA=∠BCD2，根据角-边-角相似性，我们可以得到以下相似三角形：△ADE∼△ACB根据相似三角形的性质，我们可以得到以下比例关系：ADAE =ACAB将这个比例关系带入ADDE =ACAE中，我们可以得到ACAB=ACAE，进一步得到AB=AE。
三角形外角平分线定理。
三角形外角平分线定理。
三角形外角平分线定理是指一个三角形的一个外角的平分线与剩下的两个内角的垂直平分线相交于三角形的对边上同一点。
这是一个非常基本而有用的几何定理，适用于很多数学问题，例如计算三角形面积、角度大小和三角形的相似关系等。
一个三角形由三个顶点和三条边组成。
正如我们所知道的，一个三角形的内角和为180度，因此每个角度的平均值为60度。
如果我们从三个顶点出发，画出这个三角形的三个外角，那么这三个外角加起来应该等于360度，即一个圆的角度。
因此，每个外角的平均值也应该为120度，大于三角形内角的平均值。
接下来我们考虑一个特定的外角O。
根据三角形内角和为180度的规则，我们可以将该外角O分解成两个内角AOC和BOC，其中AOC和BOC是外角O所对应的两个内角。
此外，由于AOC和BOC以及O恰好处于同一平面上，我们可以想象在平面图中分别画出AOC和BOC的垂直平分线L1和L2。
现在我们来考虑这个问题的关键所在：垂直平分线的性质。
由于垂直平分线的定义是将一个角度分成两个等于该角度一半的角度，因此在我们的情况下，垂直平分线L1将AOC分成了两个等于O的一半的角度，即AOP和POB。
同样地，垂直平分线L2将BOC分成了POB和POC两个等于O的一半的角度。
现在我们来思考一下这两个角度：AOP和POC。
由于它们的和正好等于O，也就是外角，因此它们是对应角。
这意味着它们在平面上非常相似，具有相同的大小和形状。
因此，如果我们连接三角形的对边AC和BC，并沿着这条直线延伸垂线AD和BE，那么我们应该能够发现AOP 和POC分别相交于AD和BE上的同一个点P。
这个点P是三角形外角平分线定理的关键。
也就是说，如果我们在三角形的一个外角上画一条平分线，在该线上找到点P，那么连接点P和这个外角所对应的两个顶点，就能够得到两个分别相等的角度。
这个定理是非常有用的，因为它使得我们能够更好地理解三角形的特性，并且可以用于推导更复杂的几何定理。
三角形外角平分线公式
三角形外角平分线公式三角形外角平分线公式是指在一个三角形中，从某个顶点引一条直线，使得该直线与与顶点相对的两边的外角大小相等。
这条直线就被称为三角形的外角平分线。
本文将详细介绍三角形外角平分线的定义、性质以及相关的公式和推导过程。
一、三角形外角平分线的定义和性质三角形外角平分线是从三角形的某个顶点引出的一条直线，使得该直线与与顶点相对的两边的外角大小相等。
三角形的每个顶点都可以引出一条外角平分线，因此一个三角形共有三条外角平分线。
三角形外角平分线的性质如下：1. 外角平分线与与顶点相对的两边的延长线相交于一点，该点称为三角形外心。
2. 外心到三个顶点的连线长度相等，即外心是三角形顶点的等距离点，也是外接圆的圆心。
3. 外角平分线将外接角分成两个相等的内角。
4. 外心到三角形各顶点的连线分别垂直于三角形的对边。
二、三角形外角平分线的公式和推导过程下面我们将推导出三角形外角平分线的公式。
设三角形的三个顶点分别为A、B、C，引出的外角平分线与边AB和AC的交点为D。
我们要证明AD平分∠BAC。
连接CD。
由三角形的内角和定理可得∠ADC + ∠ACD + ∠CDA = 180°，而∠ACD = ∠BAC + ∠ACB（外角的性质）。
代入可得∠ADC + ∠BAC + ∠ACB + ∠CDA = 180°。
又因为∠ADC = ∠ACD（外角平分线的性质），所以上式可改写为∠ACD + ∠BAC + ∠ACB + ∠ACD = 180°，即2∠ACD + ∠BAC + ∠ACB = 180°。
注意到∠ACB + ∠BAC + ∠BCA = 180°（三角形内角和定理），所以上式又可以改写为2∠ACD + ∠BCA = 180°。
将∠ACD = ∠BCD（外角平分线的性质）代入上式得到2∠BCD + ∠BCA = 180°，即2∠BCD = 180° - ∠BCA，再整理得∠BCD = (180° - ∠BCA)/2。
三角形外角平分线的定理
三角形外角平分线的定理三角形外角平分线的定理是在一个三角形中，如果光线从一个外角出发，它会把另外两个内角平分成等角。
这个定理可以用于解决关于三角形的各种问题，包括相似三角形、角度关系、长度关系等等。
首先，我们可以从三角形的定义开始。
一个三角形是一个由三条线段组成的图形，其中每个线段都连接两个顶点。
三角形有三个内角，它们对应于三个顶点。
此外，三角形也有三个外角，它们的补角与内角相加等于180度。
当我们考虑三角形的外角时，我们希望知道它们是如何关联的。
让我们设想一个三角形ABC，并且有一个外角BAC。
我们想要证明外角BAC可以将另外两个内角平分成等角。
首先，让我们来看看外角BAC与内角ABC之间的关系。
由于外角的补角等于180度减去内角的度数，我们可以得到外角BAC的补角等于内角ABC。
那么，我们要如何证明外角BAC可以将另外两个内角平分成等角呢？我们需要找到一个点D，在射线AD上，使得角BAD和角DAC相等。
我们称这个点D为外角BAC的平分线距离顶点A的交点。
现在，我们可以通过构造一条平行于边AC的线段，从而找到点D。
我们将这条线段延长到与边AB相交，在这个交点上我们标记一个新的点E。
我们可以证明，当BD延伸到E时，角BAD和角DAC是相等的。
这是因为我们构造的BD线段与线段AC平行，而平行线之间的对应角是相等的。
现在，我们可以证明角BAD和角DAC是相等的。
首先，我们需要证明角ABD和角ACB是相等的。
这可以通过使用三角形的内角和为180度的性质来得到。
我们知道角ABC和角ACB的和等于180度，因此，角ABC和角BAD的和也等于180度。
而角ABC和角BAD是相等的，因此，角ABD和角ACB是相等的。
同样的推理也适用于角BAD和角DAC。
因此，我们得出结论，角BAD和角DAC是相等的。
根据这个结论，我们可以说，外角BAC将内角ABC和内角ACB平分成等角。
这是因为角ABD和角BAD相等，而角DAC和角ACB相等，从而构成了等角。
三角形角平分线相关定理
三角形角平分线相关定理三角形角平分线相关定理是三角形中的一个重要定理，它与三角形内部角平分线的性质有关。
在本文中，将详细介绍角平分线的定义、性质以及相关定理的证明和应用。
一、角平分线的定义与性质角平分线是指从一个角的顶点出发，将这个角平分成两个相等的角的线段。
对于一个三角形ABC，如果从顶点A出发的线段AD将角BAC平分成两个相等的角，那么线段AD就是角BAC的角平分线。
角平分线有以下几个重要性质：1. 角平分线将对边分成两段，这两段的比例等于其他两边的比例。
即AB/AC = BD/CD。
2. 角平分线和三角形的边界相交，且相交点到对边的距离相等。
3. 三角形内部的角平分线都会交于一个点，该点称为三角形的内心。
4. 三角形的内心到三角形三边的距离相等，即内心到三边的距离均相等。
二、角平分线相关定理1. 三角形内角平分线定理：三角形内一条角平分线上的点到三角形其他两边的距离之比等于这两边的长度之比。
即AD/BD = AC/BC。
证明：根据角平分线性质1可得AB/AC = BD/CD，再联立AB/AC = BD/CD和AD/BD = AC/BC两个等式，可以得到AD/BD =AC/BC。
2. 角平分线外角平分线定理：三角形外一条角平分线上的点到三角形其他两边的距离之比等于这两边的长度之比的倒数。
即AE/BE = AC/BC。
证明：根据角平分线性质1可得AB/AC = BD/CD，再联立AB/AC = BD/CD和AE/BE = AC/BC两个等式，可以得到AE/BE = AC/BC。
三、角平分线相关定理的应用角平分线相关定理在解决三角形相关问题时具有重要的应用价值。
以下是一些常见的应用场景：1. 求角平分线的长度：已知三角形两边和夹角的情况下，可以利用角平分线相关定理求角平分线的长度。
2. 求角平分线所分对边的长度比：已知三角形两边和夹角的情况下，可以利用角平分线相关定理求角平分线所分对边的长度比。
角平分线三个定理-概述说明以及解释
角平分线三个定理-概述说明以及解释1.引言1.1 概述角平分线三个定理是解决与角度相关的几何问题时，非常重要且常用的定理。
它们分别应用于角的平分线问题，帮助我们更深入地理解角的性质与构造。
这三个定理不仅在数学学科中有广泛的应用，而且在实际生活中也具有重要的意义。
在解释这三个定理之前，我们先回顾一下角的基本概念。
在几何学中，角是由两条线段或射线共享一个公共端点而形成的图形。
以公共端点为中心，可以将角分为两个部分，分别称为角的两个腿。
角的大小通常用度或弧度来表示，这取决于所用的单位。
第一个定理是角的平分线定理，它指出：如果一条直线将一个角平分成两个相等的角，那么这条直线称为这个角的平分线。
换句话说，平分线将角分为两个相等的部分。
这个定理有广泛的应用，例如在三角形中，利用角平分线定理可以证明角的大小相等，从而推导出三角形的一些特殊性质。
第二个定理是外角平分线定理，它指出：如果一条直线通过一个三角形的外角的顶点，并将外角的两个邻角平分成两个相等的角，那么这条直线称为该三角形的外角平分线。
这个定理在解决外角问题时非常有用，它保证了外角平分线的存在性，并简化了我们分析与推导相关问题的步骤。
第三个定理是内角平分线定理，它指出：如果一条直线通过一个三角形的内角的顶点，并将内角的两个邻角平分成两个相等的角，那么这条直线称为该三角形的内角平分线。
这个定理与外角平分线定理类似，但是涉及的是三角形的内角。
利用内角平分线定理，我们可以简化三角形内角相关问题的分析过程。
角平分线三个定理在几何学中占据着重要的地位，是研究角度关系和解决几何问题的基础。
它们不仅具有理论意义，还具有广泛的应用价值。
通过深入理解和熟练运用这三个定理，我们能够提高问题解决的效率，并在实际生活中更好地应用几何知识。
1.2文章结构文章结构：本文主要介绍了角平分线的三个定理，分为引言、正文和结论三个部分。
引言部分首先概述了角平分线的意义和应用，以及本文的目的。
外角平分线定理口诀
外角平分线定理口诀
三角形外角平分线定理：三角形任意两边之比等于它们夹角的平分线分对边之比。
角平分线定理：
从一个角的顶点引出的把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的角平分线。
三角形的一个角（内角）的角平分线交其对边的点所连成的线段，叫做这个三角形的一
条角平分线。
定理1：角平分线上的点到这个角两边的距离相等。
逆定理：在角的内部到一个角的两边距
离相等的点在这个角的角平分线上。
定理2：三角形一个角的平分线与其对边所成的两条线段与这个角的两边对应成比例。
逆定
理：如果三角形一边上的某个点与这条边所成的两条线段与这条边的对角的两边对应成比
例，那么该点与对角顶点的连线是三角形的一条角平分线。
三角形内角平分线定理：三角形内角平分线性质定理：在ΔABC中,若AD是∠A的平分线,则
BD/DC=AB/AC。
应用：不用计算即可将一条线段按要求分成任意比例。
三角形内角平分线内分对边，所得的
两条线段与这个角的两边对应成比例。
三角形外角平分线的性质定理：三角形外角平分线外
分对边，所得的两条线段与其内角的两边对应成比例。
Classified as Internal。
三角形内角角平分线和外角角平分线的定义
三角形内角角平分线和外角角平分线的定义一、三角形内角角平分线的定义1. 什么是三角形内角角平分线？三角形内角角平分线是指从一个三角形的一个内角的顶点出发，经过该内角的对边的中点并且与对边相交于对边的中点的线段。
2. 三角形内角角平分线的性质a. 三角形内角角平分线把对应内角分成两个等角，而且它还把对应的对边分成两个相等的线段。
b. 三角形内角角平分线的交点称为内心，内角角平分线也称之为内心角平分线。
c. 三角形的三条内角角平分线相交于同一个点，即三角形的内心。
3. 三角形内角角平分线的作用三角形内角角平分线是解决三角形内部各类角度相关问题的基础，通过利用三角形内角角平分线的性质，可以有效地求解相关的角度大小，并且可以推导出其他的重要性质和定理。
二、三角形外角角平分线的定义1. 什么是三角形外角角平分线？三角形外角角平分线是指三角形的一个外角的顶点出发，经过它的对边的中点并且与其它两条边相交于对应边的中点的线段。
2. 三角形外角角平分线的性质a. 三角形外角角平分线把对应外角分成两个等角，而且它还把对应的对边分成两个相等的线段。
b. 三角形外角角平分线的交点称为外心，外角角平分线也称之为外心角平分线。
c. 三角形的三条外角角平分线相交于同一个点，即三角形的外心。
3. 三角形外角角平分线的作用三角形外角角平分线同样也是解决三角形外部各类角度相关问题的基础，通过利用三角形外角角平分线的性质，可以有效地求解相关的角度大小，并且可以推导出其他的重要性质和定理。
总结通过上面的讨论，我们可以得出结论：三角形内角角平分线和外角角平分线是解决三角形问题的重要工具。
在解决三角形问题的时候，我们可以利用它们的性质，通过角度的分割和等分的方法，来求解出我们需要的角度大小。
三角形内角角平分线的交点叫内心，而三角形外角角平分线的交点叫外心，它们分别具有特定的性质和功能。
在学习和研究三角形的性质和相关问题的时候，我们需要深入理解和掌握三角形内角角平分线和外角角平分线的定义、性质和应用。
三角形外角平分线定理
三角形外角平分线定理三角形是我们初中数学课程中最基础的几何形状之一。
它由三条线段组成，每条线段都连接两个角。
在研究三角形的性质时，外角平分线定理是一个非常重要的定理。
本文将介绍外角平分线定理的概念、证明和应用。
一、外角平分线定理的概念外角平分线是指从三角形的一个顶点向对边所在直线上引出的线段，使得该线段与对角所成的两个角相等。
外角平分线定理指出，当三角形的某条外角的平分线与对边相交时，这个交点将把对边分成两段，且两段对边的比等于相应的两个其他对边的比。
二、外角平分线定理的证明首先，我们假设有一个三角形ABC，其中∠BAC是一个外角，并且外角平分线BD将∠BAC平分成两个角∠BAD和∠DAC。
我们需要证明：$\frac{AB}{AC}=\frac{BD}{DC}$。
首先，延长AC线段，使之与外角平分线BD相交于E点。
那么，由相交线分线段成比例的性质可知，有$\frac{AB}{AC}=\frac{BE}{EC}$。
（式1）接下来，我们来证明BE与EC相等。
根据外角平分线的定义，∠BAD与∠DAC是等角，那么在三角形ABE和ACE中，有∠BAE=∠CAD。
又因为∠BAC是一个外角，所以∠BAE=∠DAC。
综合以上两个等角关系，可以得出三角形ABE与ACE相似。
据此，我们可以得到：$\frac{BE}{AB}=\frac{EC}{AC}$。
（式2）结合式1和式2，可以得到：$\frac{AB}{AC}=\frac{BE}{EC}=\frac{BE}{AB}=\frac{BD}{DC}$。
以上证明了外角平分线定理。
三、外角平分线定理的应用外角平分线定理在解决几何问题时具有重要的应用价值。
下面通过几个具体的例子来展示其应用。
例一：已知三角形ABC的两边AB和AC分别为3cm和4cm，且∠BAC的外角平分线BD与BC相交于点D。
求证：$\frac{AB}{AC}=\frac{BD}{DC}$。
解：根据已知情况，我们可以得到∠BAC的外角平分线BD将BC分成了两段，记为BD和DC。
三角形外角平分线定理证明
三角形外角平分线定理证明三角形外角平分线定理是一个基本的几何定理，它给出了一个关于三角形外角平分线的性质。
这个定理可以用多种方法证明，其中一种最常用的方法是使用三角形内部和外部的角度和。
首先，让我们来看一下三角形外角平分线的定义。
在一个三角形ABC 中，如果有一条从顶点A出发且与边BC不重合的直线DE，使得∠BAD=∠CAE，则称DE为三角形ABC中∠BAC的外角平分线。
接下来，我们将证明这个定理：在任意一个三角形中，如果有一条从某个顶点出发并且与另外两边不重合的直线，使得它将该顶点对应的外角平分成两个相等的内角，则这条直线必然经过另外一个顶点。
假设我们有一个三角形ABC，并且有一条从顶点A出发且与边BC不重合的直线DE，使得∠BAD=∠CAE。
我们需要证明DE经过另外一个顶点。
首先，我们可以利用三角形内部和外部的所有角度之和为180度这一事实来推导。
根据这个事实，在三角形ABC中：∠BAC+∠ABC+∠ACB=180同时，在三角形ABD和ACE中：∠BAD+∠ABD+∠ADB=180∠CAE+∠ACE+∠ECB=180由于我们知道∠BAD=∠CAE，因此可以将上面两个等式合并为：∠ABD+∠ADB=∠ACE+∠ECB现在我们来考虑三角形ADE。
根据这个三角形的内部和外部的所有角度之和为180度这一事实，有：∠DAE+∠ADE+∠DEA=180由于我们知道DE是三角形ABC中的外角平分线，因此可以得出：2×(90−∠BAC)+2×(90−∠ABC)=180化简后得到：4×90−2×(∠BAC+∠ABC)=180化简后得到：2×(90−(∠BAC+∠ABC))=180化简后得到：90−(∠BAC+∠ABC)=90化简后得到：−(∠BAC+∠ABC)=0这意味着两个角度之和等于零，因此它们必须都等于零。
换句话说，我们有：- ∠BAC=0- ∠ABC=0这显然是不可能的，因为一个三角形中的任何一个角度都不可能为零。
外外角平分线定理
外外角平分线定理外外角平分线定理概述：外外角平分线定理是指在一个三角形中，如果一条直线通过一个角的外侧，且与另外两条边相交，那么这条直线将这个角的外部分成两个等于另外两个内角和的部分。
这条直线被称为该角的外角平分线。
定义：设△ABC 中∠A 的外角平分线交 BC 所在直线于点 D，则有 BD/DC = AB/AC。
证明：根据三角形内部和为 180 度的性质，我们可以得到：∠A + ∠B + ∠C = 180 度。
因此，我们可以得到：∠A + ∠B = 180 度 - ∠C。
同时，根据同位角相等的原理，我们可以得到：∠AED = ∠C。
接下来，我们需要证明BD/DC = AB/AC。
首先，根据正弦定理可得：BD/sin∠BAD = AB/sin∠ABDDC/sin∠CAD = AC/sin∠ACD因为∠BAD = ∠CAD 和∠ABD = ∠ACD（由于 AD 是∆ABC 的一条直线），所以：BD/DC = (sin∠BAD/sin∠ABD)/(sin∠CAD/sin∠ACD)= (AB/AC)*(sin∠ACD/sin∠ABD)/(sin∠CAD/sin∠BAD)= AB/AC因此，我们证明了 BD/DC = AB/AC，即得证。
推论：由外外角平分线定理可得以下推论：1. 如果一个三角形的两个外角的大小相等，则这两个外角所对的两条边相等。
2. 如果一个三角形的两个内角和相等，则这两个内角所对的两条边相等。
3. 如果一个四边形中一对对边上的内角和相等，则这个四边形是平行四边形。
应用：外外角平分线定理在解决三角形问题时非常有用。
例如，在解决三角函数问题时，我们可以使用该定理来简化计算。
此外，该定理还可以用于证明其他几何定理。
总结：外外角平分线定理是解决三角形问题时非常有用的一条几何定理。
通过该定理，我们可以得到许多有用的结论，并且能够简化计算过程。
因此，在学习几何学时，我们需要深入了解该定理及其应用。
什么是三角形的外角平分线定理
什么是三角形的外角平分线定理？如何证明？三角形外角平分线定理：三角形两边之比等于其夹角的外角平分线外分对边之比。
已知：如图8-5甲所示，AD是△ABC中∠BAC的外角∠CAF的平分线。
求证：BA/AC=BD/DC思路1：作角平分线AD的平行线，用平行线分线段成比例定理证明。
证明1：过C作CE∥DA与BA交于E。
则：BA/AE=BD/DC∵∠DAF=∠CEA；（两线平行，同位角相等）∠DAC=∠ECA；（两线平行，内错角相等）∠DAF=∠DAC；（已知）∴∠CEA=∠ECA；（等量代换）∴ AE=AC；∴BA/AC=BD/DC 。
结论1：该证法具有普遍的意义。
思路2：利用面积法来证明。
已知：如图8-5乙所示，AD是△ABC内角∠BAC的外角∠CAF的平分线。
求证：BA/AC=BD/DC.证明2：过D作DE⊥AC于E，DF∥⊥BA的延长线于F；∵∠DAC=∠DAF；（已知）∴ DE=DF；∵BA/AC=S△BAD/△DAC；（等高时，三角形面积之比等于底之比）BD/DC=S△BAD/△DAC ；（同高时，三角形面积之比等于底之比）∴BA/AC=BD/DC结论：使用面积法时，要善于从不同的角度去看三角形的底和高。
在该证法中，我们看△BAD和△DAC 的面积时，先以BA和AC作底，而以DF、DE为等高。
然后以BD和DC为底，而高是同高，图中并没有画出来。
你学会这种变换角度看问题的方法了吗？什么是三角形的内角平分线定理？如何证明三角形的内角平分线定理？三角形内角平分线定理：三角形任意两边之比等于它们夹角的平分线分对边之比。
已知：如图8-4甲所示，AD是△ABC的内角∠BAC的平分线。
求证：BA/AC=BD/DC;思路1：过C作角平分线AD的平行线，用平行线分线段成比例定理证明。
证明1：过C作CE∥DA与BA的延长线交于E。
则：BA/AE=BD/DC;∵∠BAD=∠AEC；（两线平行，同位角相等）∠CAD=∠ACE；（两线平行，内错角相等）∠BAD=∠CAD；（已知）∴∠AEC=∠ACE；（等量代换）∴ AE=AC；∴BA/AC=BD/DC 。
高一-三角形内角和外角平分线定理
1.在VABC中,AD是ABC的平分线，35AB=5cm， AC=4cm，BC=7cm，则BD=___9____
2.在VABC中，AD是ABC的平分线， 55 AB-AC=5, BD-CD=3, DC=8，则AB=____3___
3.RtVABC中,B 90, AB 12, BC 5, DE AC于E,
F
CD PAB，AD PBC
A
B
DE EF（平行于三角形一边的直线截其他两边，
AE EB 所得的对应线段成比例）
同理可得 : EF DF
EB DC
DE DF AE DC
例2：如图,
在VABC中，E为中线AD上的一点，DE AE
1 2
, 连结BE,
延长BE交AC于点F.求证 : AF=CF
DH DH AF CF
AF CF
例3 如图，已知：AB PCD,AC,BD交于O,OE PAB交BC于E.求证：
11 1 AB DC OE
证明：Q OE P AB
OE CE K K (1) AB BC
Q OE PDC
OE BE K K (2) DC BC
（1）（2）得：OE OE CE BE BC 1 AB DC BC BC BC
1gABgADgsin BAD 2
SVDAC
1 gCDgh 2
1gDAgACgsin DAC 2
SVABD BDgh ABgADgsin BAD SVDAC DCgh ACgADgsin DAC
Q AD为BAC的平分线 BAC DAC
AB BD
B
AC DC
D在AB边上,且
外外角平分线定理
外外角平分线定理
外外角平分线定理是初中数学中的一个重要定理，它是指一个三角形的外角平分线，将其对应的两个内角分成相等的两部分。
这个定理在解决三角形相关问题时非常有用，下面我们来详细了解一下。
我们需要了解什么是外角和内角。
在一个三角形中，每个角都有一个对应的外角和内角。
内角是指三角形内部的角度，而外角则是指三角形外部的角度。
对于每个内角，都有一个对应的外角，它们的和等于360度。
接下来，我们来看看外外角平分线定理的具体内容。
这个定理指的是，如果在一个三角形的两个外角上分别作出一条平分线，那么这两条平分线的交点将会把这个三角形的第三个外角平分成两个相等的部分。
这个定理的证明可以通过几何推理来完成。
我们可以将三角形的两个外角分别标记为A和B，它们的平分线分别为AC和BD。
这样，我们就可以得到两个相似的三角形，即ABD和ABC。
这两个三角形的对应角度相等，因此我们可以得出结论，即C点将角ACB平分成两个相等的部分。
外外角平分线定理在解决三角形相关问题时非常有用。
例如，如果我们知道一个三角形的两个外角的度数，我们就可以通过这个定理来计算出第三个外角的度数。
这个定理还可以用来证明一些三角形
的性质，例如等腰三角形的两个底角相等。
外外角平分线定理是初中数学中非常重要的一个定理，它可以帮助我们更好地理解三角形的性质和解决相关问题。
在学习数学时，我们应该认真掌握这个定理，并且在实际问题中灵活运用。
三角形外角平分线定理证明方法
三角形外角平分线定理证明方法三角形外角平分线定理是指：一个三角形的任一外角的平分线与另外两个内角的平分线相交，且相交点与顶点连线所形成的两条线段相等。
下面我们来证明这个定理。
假设有一个三角形ABC，其中∠BAC是一个外角，记其平分线为BD，与AC相交于点D。
我们需要证明∠BAD = ∠DAC。
我们可以通过构造副线段BD和CD，并延长它们，使其与AB和BC相交于点E和F。
这样，我们得到了两个新的三角形ABD和ACD。
根据三角形内角和定理，我们知道∠ABD + ∠BAD + ∠BDA = 180°，同理，∠ACD + ∠DAC + ∠CDA = 180°。
由于BD是∠BAC的平分线，根据平分线定义，我们知道∠BAD = ∠DAC。
接下来，我们需要证明线段AD = AD。
我们可以利用三角形的边长关系来证明这一点。
根据三角形内角和定理，我们有∠CAB + ∠ABC + ∠BCA = 180°，而∠CAB和∠ABC 是三角形ABC的内角，因此它们的和为180°。
又根据三角形外角和定理，我们有∠CAB = ∠BDA + ∠ABD，∠ABC= ∠CDA + ∠ACD。
将这两个等式代入上面的等式中，我们得到∠BDA + ∠ABD + ∠CDA + ∠ACD + ∠BCA = 180°。
根据三角形内角和定理，我们知道∠BDA + ∠ABD + ∠CDA + ∠ACD + ∠BCA = 180°。
所以我们有∠BDA + ∠ABD + ∠CDA + ∠ACD + ∠BCA = ∠BDA + ∠DAC + ∠CDA + ∠DAC + ∠BCA。
根据等角对应定理，我们得到∠ABD = ∠DAC。
同理，我们可以得到∠CDA = ∠BAD。
因此，根据∠ABD = ∠DAC和∠CDA = ∠BAD，我们得出结论：线段AD = AD。
我们证明了三角形外角平分线定理。
这个定理的重要性在于它可以帮助我们解决一些与三角形外角有关的问题，例如证明两个角相等、计算角度大小等。
三角形内外角平分线定理
三角形内外角平分线定理【三角形内外角平分线定理】是指在一个三角形中，如果一条直线既是一内角的角平分线，又是另外一个外角的角平分线，那么它将平分这个三角形的第三个内角。
这个定理在解决一些与三角形相关的几何问题时非常有用。
通过运用该定理，我们能够更深入地理解三角形的内外角关系，拓展我们对三角形性质的认识。
让我们来详细解释一下三角形内外角平分线定理的几何意义。
假设我们有一个三角形ABC，其中角A是一个内角，角D是一个外角，线段DE是角A的内角平分线，同时也是角D的外角平分线。
根据这个定理，我们可以得出结论：线段DE将平分角B的度数。
这意味着角BED和角CEA的度数相等。
那么，如何证明三角形内外角平分线定理呢？我们可以运用一些基本的几何知识和性质来推导。
我们知道在三角形ABC中，三个内角的和为180度。
假设角A的度数为x，角BED和角CEA的度数都设为y。
根据内角的性质，我们可以得到以下等式：x + y + (180 - x) = 180x + y = x + 180 - xy = 180从上述推导中可以看出，我们无法得出具体的角度度数。
在具体问题中，我们可以将该定理与其他定理、关系和性质结合使用，以解决更复杂的问题。
三角形内外角平分线定理不仅具有几何意义，还深刻影响着我们对数学抽象概念的理解。
这个定理揭示了三角形内外角的平分线之间的关系，通过思考和探索，我们可以发现更多有趣且深入的现象。
通过应用这个定理，我们能够更好地解决与三角形相关的问题。
总结来说，三角形内外角平分线定理是一个重要的几何性质。
它揭示了三角形内外角平分线之间的关系，并为我们解决与三角形相关的问题提供了有力的工具。
在解决问题时，我们可以从简单的情况出发，逐步深入，灵活运用不同的原理和方法。
通过不断学习和思考，我们能够提高对三角形性质的理解和运用能力。
对于我个人而言，三角形内外角平分线定理是几何学中一条重要的定理。
它不仅仅是数学知识的一部分，更是一种思维方式和解决问题的工具。
相似三角形的外角平分线定理与外角平分点
相似三角形的外角平分线定理与外角平分点相似三角形是初中数学中的一个重要概念，它在解决图形问题和证明几何命题时具有重要的作用。
本文将介绍相似三角形的外角平分线定理以及外角平分点的性质。
一、相似三角形的外角平分线定理相似三角形的外角平分线定理是指：如果在两个相似三角形的两个对应的顶点上引出外角平分线，那么这两条外角平分线将会相交于一个点，并且与两个对应的边相交的两个部分，其比值等于相似三角形边长的比值。
具体而言，设在∆ABC与∆DEF中，∠A和∠D是对应角，∠A的外角平分线交BC于点P，∠D的外角平分线交EF于点Q，那么有以下结论：1. 点P、Q和F在一条直线上；2. 点P、Q和B在一条直线上；3. \(\frac{BP}{PF} = \frac{AB}{DE}\)；4. \(\frac{BQ}{QF} = \frac{BC}{DF}\)。
这个定理的证明可以通过相似三角形的基本性质以及直角三角形的性质来完成，这里就不进行详细叙述了。
二、相似三角形的外角平分点的性质在相似三角形中，我们还可以得到外角平分点的一个重要性质：设在∆ABC与∆DEF中，∠A和∠D是对应角，∠A的外角平分线交BC于点P，∠D的外角平分线交EF于点Q，点X是线段PQ的中点，那么：1. 点X是线段BC的中点；2. 点X是线段EF的中点；3. 点X是线段BP的中点；4. 点X是线段QF的中点。
这个性质可以通过相似三角形的外角平分线定理以及中点的性质来进行证明。
由此可见，相似三角形的外角平分线定理以及外角平分点的性质在解决图形问题和证明几何命题时具有重要的作用。
我们可以利用这些性质来简化证明过程，加快解题速度。
结语：相似三角形的外角平分线定理和外角平分点的性质是初中数学中的重要内容。
通过熟练掌握这些性质和定理，我们可以更加灵活地运用相似三角形的概念来解决问题。
但在实际应用中，还需要注意题目给出的条件，做好逻辑推理，才能得到正确的结论。
三角形外角角平分线的定理
三角形外角角平分线的定理好嘞，今天咱们聊聊三角形外角角平分线的定理。
这名字听起来高大上，其实说白了就是一个简单的道理，跟我们日常生活中很多事情都能联系上。
你想啊，三角形就像我们生活中的一个小小社区，里面有三个小朋友，一个个热热闹闹。
外角呢，就像是在社区外面的一条马路，咱们平常走路的时候，常常得留意。
你要是遇到外角的角平分线，那就更有意思了。
想象一下，咱们在社区里，三角形的每个角都各有特点。
A点喜欢唱歌，B点爱跳舞，C点则总是讲笑话。
可这条外角的角平分线，嘿，就是把他们的兴趣爱好一分为二的神奇线条。
它不仅仅是把外角分成两个部分，更像是在说：“嘿，大家都要公平对待，不能偏心哦！”有意思吧？就像咱们玩游戏的时候，大家要公平竞争，不能让谁输得太惨。
说到这里，咱们再深入一点。
这个外角的角平分线有什么特别的地方呢？它的终极目标，哈哈，就是找到那个跟三角形另一边相对应的点。
这听起来有点复杂，其实就是在说，这条线最终会和三角形的另一边相交，形成一种神秘的连接。
就像咱们的生活一样，很多事情看起来不相关，其实它们之间有一种看不见的联系，偶尔一碰，就能产生奇妙的化学反应。
我们来想象一下，如果没有这个外角的角平分线，社区的小朋友们就像无头苍蝇，四处乱撞，根本不知道该往哪里去。
可能A点想去公园，B点想去游乐场，C点又想去看电影。
没有一个明确的方向，大家都在自说自话，闹得不可开交。
但是，有了这个角平分线，它就像一个导航器，让大家的活动有了条理，找到了一条合适的道路。
是不是感觉一下子明亮起来了？再说说这个定理的实际应用吧。
比如在建筑设计中，设计师常常需要利用这些几何关系来保证建筑的稳固和美观。
外角的角平分线能够帮助他们找到最佳的结构方式，保证每一根支柱都能恰如其分地承担起重量。
就像我们在生活中，许多事情都是要找到一个平衡点，才能把事情做好。
试想一下，假如设计师没考虑到这些几何关系，建筑岂不是要“塌”了吗？外角的角平分线也常常被用在地图上，帮助我们找到最短的路线。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
什么是三角形的外角平分线定理？如何证明？
三角形外角平分线定理：三角形两边之比等于其夹角的外角平分线外分对边之比。
已知：如图8-5甲所示，AD是△ABC中∠BAC的外角∠CAF的平分线。
求证：BA/AC=BD/DC
思路1：作角平分线AD的平行线，用平行线分线段成比例定理证明。
证明1：过C作CE∥DA与BA交于E。
则：BA/AE=BD/DC
∵∠DAF=∠CEA；（两线平行，同位角相等）
∠DAC=∠ECA；（两线平行，内错角相等）
∠DAF=∠DAC；（已知）
∴∠CEA=∠ECA；（等量代换）
∴ AE=AC；
∴BA/AC=BD/DC 。
结论1：该证法具有普遍的意义。
思路2：利用面积法来证明。
已知：如图8-5乙所示，AD是△ABC内角∠BAC的外角∠CAF的平分线。
求证：BA/AC=BD/DC.
证明2：过D作DE⊥AC于E，DF∥⊥BA的延长线于F；
∵∠DAC=∠DAF；（已知）
∴ DE=DF；
∵BA/AC=S△BAD/△DAC；（等高时，三角形面积之比等于底之比）
BD/DC=S△BAD/△DAC ；（同高时，三角形面积之比等于底之比）
∴BA/AC=BD/DC
结论：使用面积法时，要善于从不同的角度去看三角形的底和高。
在该证法中，我们看△BAD和△DAC 的面积时，先以BA和AC作底，而以DF、DE为等高。
然后以BD和DC为底，而高是同高，图中并没有画出来。
你学会这种变换角度看问题的方法了吗？
什么是三角形的内角平分线定理？如何证明三角形的内角平分线定理？
三角形内角平分线定理：三角形任意两边之比等于它们夹角的平分线分对边之比。
已知：如图8-4甲所示，AD是△ABC的内角∠BAC的平分线。
求证：BA/AC=BD/DC;
思路1：过C作角平分线AD的平行线，用平行线分线段成比例定理证明。
证明1：过C作CE∥DA与BA的延长线交于E。
则：BA/AE=BD/DC;
∵∠BAD=∠AEC；（两线平行，同位角相等）
∠CAD=∠ACE；（两线平行，内错角相等）
∠BAD=∠CAD；（已知）
∴∠AEC=∠ACE；（等量代换）
∴ AE=AC；
∴BA/AC=BD/DC 。
结论1：该证法具有普遍的意义。
思路2：利用面积法来证明。
已知：如图8-4乙所示，AD是△ABC的内角∠BAC的平分线。
求证：BA/AC=BD/DC
证明2：过D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F；
∵∠BAD=∠CAD；（已知）
∴ DE=DF；
∵BA/AC=S△BAD/S△DAC；（等高时，三角形面积之比等于底之比）
BD/DC=S△BAD/S△ABCDAC；（同高时，三角形面积之比等于底之比）
∴BA/AC=BD/DC
结论2：遇到角平分线，首先要想到往角的两边作平行线，构造等腰三角形或菱形，其次要想到往角的两边作垂线，构造翻转的直角三角形全等，第三，要想到长截短补法，第四，你能想到用该定理解决问题吗？。