人教A版必修4 章末复习课2

②字符表示下线性运算的常用技巧： 首尾相接用加法的三角形法则，如A→B＋B→C＝A→C；共起点两 个向量作差用减法的几何意义，如O→B－O→A＝A→B． ③平行向量(共线向量)、相等向量与相反向量、单位向量等， 理解向量的有关概念并进行恰当地应用． ④注意常见结论的应用．如△ABC 中，点 D 是 BC 的中点， 则A→B＋A→C＝2A→D．
答案 1
(2)已知△ABC 是正三角形，若A→C－λA→B与向量A→C的夹角大 于 90°，则实数 λ 的取值范围是________．
解析 因为A→C－λA→B与向量A→C的夹角大于 90°，所以(A→C－ λA→B)·A→C<0，即|A→C|2－λ|A→C|·|A→B|cos 60°<0，解得 λ>2．当A→C－ λA→B与A→C反向时无解．
【例 4】 (1)已知 a，b 为平面向量，若 a＋b 与 a 的夹角为π4， a＋b 与 b 的夹角为π4，则||ab||＝________； 解析 设O→A＝a，O→B＝b(O 为坐标原点)，以 OA，OB 为邻 边作平行四边形 OACB，则O→C＝a＋b，由于 a＋b 与 a 的夹 角为π4，a＋b 与 b 的夹角为π4，所以∠AOC＝π4，∠ACO＝π4， 在△AOC 中，|a|＝|b|，故||ab||＝1．
k＝－1；若A→C⊥B→C，则A→C·B→C＝3＋k2－k＝0，此方程无解，
故 k 的可能值为－6 或－1．
答案 B
要点四 平面向量的模与夹角
(1)利用数量积求解长度的方法 ①|a|2＝a2＝a·a； ②|a±b|2＝a2±2a·b＋b2； ③若 a＝(x，y)，则|a|＝ x2＋y2． (2)求两个非零向量的夹角时要注意 ①向量的数量积不满足结合律； ②数量积大于 0 说明不共线的两个向量的夹角为锐角；数量 积等于 0 说明两个向量的夹角为直角；数量积小于 0 且两个 向量不共线时两个向量的夹角就是钝角．
答案 (2，＋∞)
【训练 4】 已知|a|＝1，a·b＝12，|a－b|2＝1，则 a 与 b 的夹角 等于( )
π
π
A.6
B.4
π
2π
C.3
D. 3
解析 设 a 与 b 的夹角为 θ，
因为 a·b＝|a||b|·cos θ＝12，且|a|＝1，
所以|b|cos θ＝12.
①
又|a－b|2＝|a|2＋|b|2－2a·b＝1，即 1＋|b|2－1＝1，
故|b|＝1.
②
由①②得 cos θ＝12．
又 θ∈[0，π]，所以 θ＝π3，故选 C．
答案 C
(2)平面向量基本定理：如果e1，e2是同一个平面内的两个不共线向量，那么对于这 一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2，其中e1，e2是 一组基底．
3．两个非零向量平行、垂直的等价条件
若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则： (1)a∥b⇔a＝λb(λ≠0)⇔x1y2－x2y1＝0， (2)a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0．
要点二 平面向量的数量积运算
向量数量积的两种运算方法
(1)当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．
(2)当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a·b＝x1x2＋y1y2． 运用两向量的数量积解决长度、夹角、垂直等问题，解题时应灵活选择相应公式求 解．
章末复习课
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核心归纳
1．五种常见的向量 (1)单位向量：模为1的向量． (2)零向量：模为0的向量． (3)平行(共线)向量：方向相同或相反的向量． (4)相等向量：模相等，方向相同的向量． (5)相反向量：模相等，方向相反的向量．
2．两个重要定理
(1)向量共线定理：向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b＝λa．
答案 5
(2)在 Rt△ABC 中，CA＝CB＝2，M，N 是斜边 AB 上的两个 动点，且 MN＝ 2，则C→M·C→N的取值范围为________．
解析 以 C 为坐标原点，CA 所在直 线为 x 轴，CB 所在直线为 y 轴，建立 平面直角坐标系(如图所示)，则 C(0,0)，A(2,0)，B(0,2)，所以直线 AB 的方程为 x＋y－2＝0.设 M(t,2－t)，因 为 MN＝ 2，
要点一 平面向量的线性运算及应用
向量线性运算的基本原则和求解策略 (1)基本原则： 向量的加法、减法和数乘运算统称为向量的线性运算．向量的线性运算的结果仍是 一个向量，因此，对它们的运算法则、运算律的理解和运用要注意向量的大小和方 向两个方面．
(2)求解策略： ①向量是一个有“形”的几何量，因此在进行向量线性运算时，一定要结合图形， 这是研究平面向量的重要方法与技巧．
4．平面向量的三个性质 (1)若 a＝(x，y)，则|a|＝ a·a＝ x2＋y2． (2)若 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|A→B|＝ x2－x12＋y2－y12． (3)若 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ 为 a 与 b 的夹角，则 cos θ ＝|aa|·|bb|＝ x21x＋1x2y＋12 yx122y＋2 y22．
【例 3】 已知向量A→B与A→C的夹角为 120°，且|A→B|＝3，|A→C|＝ 2.若A→P＝λA→B＋A→C，且A→P⊥B→C，则实数 λ 的值为________．
解析 由A→P⊥B→C知A→P·B→C＝0， 即A→P·B→C＝(λA→B＋A→C)·(A→C－A→B) ＝(λ－1)A→B·A→C－λA→B2＋A→C2 ＝(λ－1)×3×2×－12－λ×9＋4＝0，解得 λ＝172．
5．向量的投影 向量 a 在 b 方向上的投影为|a|cos θ＝a|b·b| .
6．向量的运算律 (1)交换律：a＋b＝b＋a，a·b＝b·a． (2)结合律：a＋b＋c＝(a＋b)＋c，a－b－c＝a－(b＋c)，(λa)·b＝λ(a·b)＝ a·(λb)． (3)分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb，(a＋b)·c＝a·c＋b·c． (4)重要公式：(a＋b)·(a－b)＝a2－b2，(a±b)2＝a2±2a·b＋b2．
(2)设 D 为△ABC 所在平面内一点，则B→D＝3C→D，则( )
A．A→D＝－13A→B＋43A→C
B．A→D＝43A→B－13A→C
C．A→D＝32A→B－12A→C
D．A→D＝－12A→B＋32A→C
解析 ∵B→D＝3C→D，∴A→D－A→B＝3(A→D－A→C)，∴2A→D＝3A→C
－A→B，∴A→D＝32A→C－12A→B．
所以 N(t＋1,1－t)(0≤t≤1)，所以C→M·C→N＝t(t＋1)＋(2－t)(1 －t)＝2t2－2t＋2＝2t－122＋32.因为 0≤t≤1.所以C→M·C→N的取 值范围为32，2．
答案 [32，2]
【训练 2】 已知两个单位向量 e1，e2 的夹角为π3，若向量 b1＝ e1－2e2，b2＝3e1＋4e2，则 b1·b2＝________．
答案 D
【训练 1】 已知 A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)，设A→B＝ a，B→C＝b，C→A＝c． (1)求 3a＋b－3c； (2)求满足 a＝mb＋nc 的实数 m，n． 解 由已知得 a＝(5，－5)， b＝(－6，－3)，c＝(1,8)． (1)3a＋b－3c＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,8)＝(15－6－3， －15－3－24)＝(6，－42)． (2)因为 mb＋nc＝(－6m＋n，－3m＋8n)，a＝mb＋nc， 所以－ －63mm＋ ＋n8＝ n＝5－，5， 解得mn＝＝－－11.，
答案
7 12
【训练 3】 直角坐标系 xOy 中，A→B＝(2,1)，A→C＝(3，k)，若
△ABC 是直角三角形，则 k 的可能值个数是( )
A．1
B．2
C．3
D．4
解析 B→C＝A→C－A→B＝(1，k－1)，若A→B⊥A→C，则A→B·A→C＝6
＋k＝0 得 k＝－6；若A→B⊥B→C，则A→B·B→C＝2＋k－1＝0，得
【例1】 (1)已知向量a＝(2,1)，b＝(－3,4)，则2a－b的结果是( ) A．(7，－2) B．(1，－2) C．(1，－3) D．(7,2) 解析 ∵a＝(2,1)，b＝(－3,4)，∴2a－b＝2(2,1)－(－3，4)＝(4,2)－(－3,4)＝(4 ＋3,2－4)＝(7，－2)，故选A． 答案 A
【例 2】 (1)如图所示，在平面四边形 ABCD 中，若 AC＝3，BD＝2，则(A→B＋D→C)·(A→C ＋B→D)＝________； 解析 由于A→B＝A→C＋C→B，D→C＝D→B＋B→C， 所以A→B＋D→C＝A→C＋C→B＋D→B＋B→C＝A→C－B→D． (A→B＋D→C)·(A→C＋B→D)＝(A→C－B→D)·(A→C＋B→D) ＝|A→C|2－|B→D|2＝9－4＝5．
解析
b1·b2
＝
(e1
－
2e2)·(3e1
＋
4e2)
＝
3e
2 1
－
2e1·e2
－
8e
2 2
＝பைடு நூலகம்
3
－
2×1×1×12－8＝－6．
答案 －6
要点三 平面向量的平行与垂直问题 1．证明共线问题常用的方法
(1)向量a，b(a≠0)共线⇔存在唯一实数λ，使b＝λa． (2)向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)共线⇔x1y2－x2y1＝0． (3)向量a与b共线⇔存在不全为零的实数λ1，λ2，使λ1a＋λ2b＝0． 2．证明平面向量垂直问题的常用方法 a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0， 其中a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)．