2018年高中数学北师大版必修五课件：3.1 等比数列

做一做
4.已知等比数列{an}，公比为 q(q≠1)，则数列 1 2 ①{2an}②{an}③{ 2 }④{2an}中等比数列的个数 an 是( A．1 C．3
答案：C
) B．2 D．4
典题例证技法归纳
题型探究
题型一
例1
有关等比数列通项公式的计算
在等比数列{an}中，
(1)若a4＝27，q＝－3，求a7； (2)若a2＝18，a4＝8，求a1和q； (3)若a5－a1＝15，a4－a2＝6，求a3.
或
4 a1q －a1＝15 (3) 由已知得 3 a1q －a1q＝6
① ① ，由 得 ② ②
q2＋1 5 ＝ ， q 2 1 ∴q＝ 或 q＝2， 2 1 当 q＝ 时，a1＝－16，a3＝a1q2＝－4； 2 当 q＝2 时，a1＝1，a3＝a1q2＝4.
【名师点评】
a1和q是等比数列的基本量，
只要求出这两个基本量，其他量便可求出， 一是运用通项公式及方程思想建立方程组求a1 和q；二是要注意分类讨论思想的运用．
变式训练
1．已知数列{an}为等比数列，a3＝2，a2＋a4＝ 20 ，求{an}的通项公式． 3
a3 2 解：∵a2＝ ＝ ，a4＝a3q＝2q， q q 2 2 20 1 ∴a2＋a4＝ ＋2q，∴ ＋2q＝ ，∴q＝ 或 q＝3. q q 3 3 1 1 n－ 1 当 q＝ 时，a1＝18，∴an＝18×( ) ＝2×33－n. 3 3 2 2 n－1 当 q＝3 时，a1＝ ，∴an＝ ×3 ＝2×3n－3. 9 9
性质2
性 质 3
性 质 4 性 在等比数列{an}中， 序号成等差数列 质 的项仍成等比数列 5
若{an}，{bn}(项数相同)是等比数列， 1 an 2 则{λan}，{ }，{an}，{an· bn}，{ } an bn 仍是等比数列 在等比数列{an}中距首末两端等距 离的两项的积相等，即 a1an＝a2an－1 ＝a3an－2＝…
题型二
等比数列的判定
例2 (本题满分12分)已知数列{an}的前n项 和为Sn,又有数列{bn}，它们满足关系b1＝a1，
对于n∈N＋，有an＋Sn＝n，bn＋1＝an＋1－an，
求证：{bn}是等比数列，并求其通项公式．
【思路点拨】
先利用 an 与 Sn 的关系，确定
出 an－1 与 an 的关系，然后用 an－1 将 bn＋1，bn bn＋1 分别表示出来，借助 ＝q 进行判断． bn
q<0
0<q<1 递减数列 _________ 递增数列 _________
q＝ 1
q>1
a1>0
a1<0
不具备 单调性 不具备 单调性
不具备 递增数列 _________ 单调性 不具备 递减数列 _________ 单调性
做一做 3.下列选项中正确的是( ) A．在等比数列中，q>1时，数列{an}一定是递 增数列 B．在等比数列{an}中,无论首项a1是正是负， 若q<0，则该数列一定不具有单调性 C．若等比数列{an}不具有单调性，则{|an|}也 不具有单调性 D．以上说法都不正确 答案：B
做一做 2.判断下列说法是否正确． (1)由于数列bn＝2，不能表示成a1qn－1的形 式，故数列bn＝2不是等比数列．( )
(2)若数列 {an} 的通项公式为： an＝ 3×2n，则该
数列是以3为首项，2为公比的等比数列． ( ) (2)× 答案：(1)×
3．等比数列的单调性
公比q 单调性 首项a1
做一做
1.下列数列是等比数列的是(
)
Biblioteka Baidu
A．1，－1,1，－1，…
B．1,1，－1,1，－1…
C．a，a2，a3，a4，…
D．x2，x4，x8，x16，…
答案：A
2．等比数列的通项公式 若等比数列{an}的首项为a1(a1≠0)，公比为
a1qn－1 q(q≠0)，则{an}的通项公式为an＝________.
想一想 能否借助于函数y＝2x的单调性，判 断数列an＝2n的单调性？ 提示：由于函数y＝2x在[1，＋∞)上是递增 的，又由于n∈N＋且n≥1，所以{an}为递增
数列．
4．等比数列的常用性质
性质1
qn－m 通项公式的推广：an＝am·______ (n，m∈N＋) 若{an}为等比数列，且k＋l＝m＋n(k， am· an l，m，n∈N＋)，则ak· al＝______
【解】 (1)法一：由 a4＝a1· q3， 得 27＝a1· (－3)3，得 a1＝－1， ∴a7＝a1· q6＝(－1)×(－3)6＝－729. 法二：a7＝a4· q3＝27×(－3)3＝－729. a1＝27 a1q＝18 (2) 由 已 知 得 3 ，解得 2 q＝ a1q ＝8 3 a1＝－27 . 2 q＝－ 3
3．1
等比数列
学习导航
学习目标
等比数列的 掌握 等比数列通项公式及 实例 ― ― → 定义及性质 ― ― → 性质的应用
理解
重点难点
式的应用．
重点：等比数列的定义及通项公
难点：等比数列的性质的应用．
新知初探思维启动
1．等比数列的概念 第2项 起，每一项与 (1)定义：如果一个数列从_______ 同一个常数 ，那么这个 它的前一项的比都等于___________ 数列叫作等比数列，这个常数叫作等比数列的 公比 ，公比通常用字母q(q≠0)表示． _____ (2) 等比中项：如果在 a 与 b 中间插入一个数 G ， 使a、G、b成等比数列，那么G叫作a与b的 等比中项 ． __________
【证明】 ∵an＋Sn＝n， ① ∴n≥2 时，an－1＋Sn－1＝n－1， 用①－②得 an－an－1＋an＝1， 1 即 an＝ (an－1＋1)(n≥2).4 分 2 ②
1 1 又∵bn＋1＝an＋1－an＝ (an＋1)－ an＝ (1－an)， 2 2 1 1 ∴当 n≥2 时，bn＋1＝ [1－ (an－1＋1)] 2 2 1 ＝ (1－an－1).6 分 4 由 bn＋1＝an＋1－an， 可得当 n≥2 时， 1 1 bn＝an－an－1＝ (an－1＋1)－an－1＝ (1－an－1)． 2 2