2015年高考第一轮复习数学：5.5 向量的应用

5.5 向量的应用

●知识梳理

理解向量的几何、代数、三角及物理方面的应用，能将当前的问题转化为可用向量解决的问题，培养学生的创新精神和应用能力.

特别提示 许多代数、几何中的问题都可以转化为向量来处理.它不仅能解决数学学科本身的问题，跨学科应用也是它的一个特点.

●点击双基

1.若O 是△ABC 内一点，OA +OB +OC =0，则O 是△ABC 的 A.内心

B.外心

C.垂心

D.重心

解析：以、为邻边作平行四边形OBDC ，则=+.

A

O

E

又++=0， ∴+=－.

∴－OA =OD .∴O 为AD 的中点，且A 、O 、D 共线. 又E 为OD 的中点，∴O 是中线AE 的三等分点，且OA =

3

2

AE . ∴O 是△ABC 的重心. 答案：D

2.将椭圆x 2+6y 2－2x －12y －13=0按向量a 平移，使中心与原点重合，则a 的坐标是

A.（－1，1）

B.（1，－1）

C.（－1，－1）

D.（1，1） 解析：椭圆方程变形为（x －1）2+6（y －1）2=20. 需按a =（－1，－1）平移，中心与原点重合. 答案：C

3.平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点A （3，1）、B

（－1，3），若点C 满足OC =αOA +βOB ，其中α、β∈R ，且α+β=1，则点C 的轨迹方程为

A.3x +2y －11=0

B.（x －1）2+（y －2）2=5

C.2x －y =0

D.x +2y －5=0

解析：C 点满足=α+β且α+β=1，∴A 、B 、C 三点共线.∴C 点的轨迹是直线AB . 答案：D

4.在四边形ABCD 中，AB ²BC =0，BC =AD ，则四边形ABCD 是 A.直角梯形

B.菱形

C.矩形

D.正方形

解析：由AB ²=0知AB ⊥.由=AD 知BC AD .∴

四边形ABCD 是矩形. 答案：C

5.（2004年全国Ⅱ，理9）已知平面上直线l 的方向向量e =（－

54，5

3），点O （0，0）和A （1，－2）在l 上的射影分别是O '和A ′，则A O '=λe ，其中λ等于

A.

511

B.－

5

11

C.2

D.－2 解析：如图所示，令e 过原点，A O '与e 方向相反，排除A 、C ，验证D 即可.

答案：D ●典例剖析

【例1】 已知a 、b 是两个非零向量，当a +t b （t ∈R ）的模取最小值时，

（1）求t 的值；

（2）求证：b ⊥（a +t b ）.

剖析：利用|a +t b |2=（a +t b ）2进行转换，可讨论有关|a +t b |的最小值问题，若能计算得b ²（a +t b ）=0，则证得了b ⊥（a +t b ）.

（1）解：设a 与b 的夹角为θ，则

|a +t b |2=（a +t b ）2=|a |2+t 2|b |2+2a ²（t b ）=|a |2+t 2|b |2+2t |a ||b |cos θ=|b |2（t +|

|||b a cos θ）2+|a |2sin 2θ，

所以当t =－||||b a cos θ=－2||cos ||||b b a θ=－2|

b |b

a ⋅时，|a +t

b |有最小值.

（2）证明：因为b ²（a +t b ）=b ²（a －

2

|b |b a ⋅²b ）=a ²b －a ²b =0，

所以b ⊥（a ⊥t b ）.

评注：用向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直等几何问题，向量的坐标运算为处理这类问题带来了很大的方便.

思考讨论 对|a +t b |的变形，有两种基本的思考方法：一是通过|a +t b |2=（a +t b ）2

进行向量的数量积运算；二是设a 、b 的坐标，通过向量的坐标运算进行有目的的变形.读者可尝试用后一方法解答本题.

深化拓展

已知OA =a ，OB =b ，a ²b =|a －b |=2，当△AOB 面积取最大值时，求a 与b 的夹角. 解：因为|a －b |2=4，所以a 2－2a ²b +b 2=4.所以|a |2+|b |2=4+2a ²b =8，

S △AOB =2

1

OA ²OB sin θ =21

|a ||b |θ2cos 1- =21222||||）

（b a b a ⋅- =

2

14||||22-b a

≤2

1

42||||222-+）（b a =3，

（当且仅当|a |=|b |=2时取等号）

所以当|a |=|b |=2时，△AOB 的面积取最大值，这时，cos θ=|b ||a |b a ⋅=222⨯=2

1，所以θ=60°. 【例2】 如图，四边形MNPQ 是⊙C 的内接梯形，C 是圆心，C 在MN 上，向量CM 与PN 的夹角为120°，²=2.

Q

P

M

C

（1）求⊙C 的方程；

（2）求以M 、N 为焦点且过点P 、Q 的椭圆的方程.

剖析：需先建立直角坐标系，为了使所求方程简单，需以C 为原点，MN 所在直线为x 轴，求⊙C 的方程时，只要求半径即可，求椭圆的方程时，只需求a 、b 即可.

解：（1）以MN 所在直线为x 轴，C 为原点，建立直角坐标系xOy .∵CM 与PN 的夹角为120°，故∠QCM =60°.于是△QCM 为正三角形，∠CQM =60°.

又QC ²QM =2，即|QC ||QM |cos ∠CQM =2，于是r =|QC |=2. 故⊙C 的方程为x 2+y 2=4.

（2）依题意2c =4，2a =|QN |+|QM |， 而|QN |=2224-=23，|QM |=2， 于是a =3+1，b 2=a 2－c 2=23.