高中数学 第二章 变化率与导数及导数的应用 典型例题导数的几何意义素材 北师大版选修11

3.2 导数的几何意义
【例1】曲线f(x)=x3+2x+1在点M处的切线的斜率为2，求M的坐标
【例2】由原点O向三次曲线y=x3-3a x2+b x(a≠0)引切线，切于不同于O的点P1(x1,y1).再由P1引曲线的切线，切于不同于P1的点P2(x2,y2),…,如此继续地作下去,得到点列{P n(x n,y n)}，试回答下列问题：
(1)求x1;
(2)求x n与x n+1的关系；
(3)当a＞0时，求证：当n为正偶数时有x n＜a,当n为正奇数时有x n＞a.
参考答案
例1：
【分析】求f (x )的导数f ′(x )，根据斜率为2，先求出M 的横坐标，再代入到f (x )中得到纵坐标.
【解】∵f (x )=x 3+2x +1， ∴x x f x x f x f x ∆-∆+='→∆)()(lim )(0 ])(323[lim )()(3)23(lim )12(1)(2)(lim 220
3
220330x x x x x
x x x x x x
x x x x x x x x x ∆+∆++=∆∆+∆+∆+=∆++-+∆++∆+=→∆→∆→∆ =3x 2+2.
∴f ′(x )=3x 2
+2=2,x =0.
又f (0)=1,
∴M 的坐标为(0，1)
【点拨】先根据导数公式求出点的横坐标，再将横坐标代入函数式子求出纵坐标.
例2：
【分析】过P n (x n ,y n )的切线的斜率k n =f ′(x n )，利用点斜式写出直线方程.
又由于点P n +1(x n +1,y n +1)也在直线上，所以坐标满足方程.
于是建立x n 与x n +1的递推关系.对于第(1)问,设P 0(x 0,y 0)即为P 0(0，0).
因为原点也在曲线上，于是应该满足递推关系，求出x 1.利用递推数列的知识求解x n 的通项公式，最后运用分类思想给予证明.
【解】(1)原点(0，0)，
k n =f ′(x n )，
∵f (x )=x 3-3ax 2+bx ,∴f ′(x )=3x 2-6ax +b ， f ′(x n )=3x n 2-6a x n +b.
∴k 1=f ′(x 1)=3x 12
-6ax 1+b .
∴过P 1的切线l 1的方程为y -f (x 1)=f ′(x 1)(x -x 1).
∵l 1过点O (0，0)，
∴-f (x 1)=f ′(x 1)(0-x 1).
∴x 13-3ax 12+bx 1=(3x 12-6ax 1+b )x 1.
又∵x 1≠0，
∴x 12-3ax 1+b =3x 12-6ax 1+b .
∴2x 12-3ax 1=0.又x 1≠0，∴231a x =
. (2)过P n 的切线l n 的方程为 y -f (x n )=f ′(x n )(x -x n ),
又∵l n 过点P n-1(x n-1,y n-1),
∴f (x n-1)-f (x n )=f ′(x n )(x n-1-x n ).
∴x n -13-3ax n -12+bx n -1-x n 3+3ax n 2-bx n =(3x n 2
-6ax n +b )(x n -1-x n ).
∴(x n -13-x n 3)-3a (x n -12-x n 2)+b (x n -1-x n )=(3x n 2-6a x n +b )(x n -1-x n ).
又∵x n-1≠x n ,
∴x n-12+x n x n-1+x n 2-3a(x n +x n-1)+b=3x n 2-6a x n +b,
∴x n-12+x n x n -1-2x n 2+3a(x n -x n -1)=0.
∴(x n -1-x n )(x n -1+2x n )-3a (x n -1-x n )=0.
∴x n -1+2x n -3a =0, 即a x x n n 2
3211+-
=-. 同理a x x n n 2
3211+-=+. (3)a x x n n 2
3211+-=+, ∴x n +1-a =-21(x n -a ). ∴数列{x n -a }是等比数列，且公比为-21，首项为2
1a . ∴x n -a =
21a ·(-2
1)n -1. ∴x n =a -a ·(-21)n . 当n 为正偶数时，x n =a -a ·(
2
1)n ＜a ; 当n 为正奇数时，x n =a +a ·(21)n ＞a . 【点拨】本题考查的知识点较多，需要在以前学习的知识的基础上解决.。