第1章有限元方法概述
有限元方法简介
有限元方法在工程中的应用
有限元方法是一种数值分析方法，它将复杂的几何形状和物理系统转化为离散的网格，并对网格上的未知量进行求解，从而达到数值求解的目的。随着计算机技术的不断发展，有限元方法得到了广泛的应用，尤其是在工程领域。
在工程中，有限元方法被广泛应用于结构力学、热传导、动力学、量子力学等领域。在结构力学中，有限元方法可以用来分析结构的力学特性，比如拉伸、压缩、弯曲等。在热传导领域中，有限元方法可以用来分析热传导现象，比如材料热传导、流体热传导等。在动力学领域中，有限元方法可以用来分析物体的运动和动力学特性，比如刚体运动、振动等。在量子力学领域中，有限元方法可以用来分析量子力学现象，比如电子输运、固体材料特性等。
除了上述应用领域，有限元方法还被广泛应用于材料科学、光学、声学、流体力学等领域。可以说，有限元方法已经成为了工程分析的常用工具，在未来的发展中，它将继续发挥着重要的作用。
总结起来，有限元方法是一种先进的数值分析方法，它在工程领域中有着广泛的应用，是工程分析的常用工具。随着计算机技术的不断发展，有限元方法将继续发挥着重要的作用，为工程领域的发展做出更大的贡献。
有限元分析方法
假设：任一横截面为A，长为 l 的杆，承受外力F
的作用，则 杆的平均应力为： F
A
杆的平均应变为： l
l
根据虎克定律有： E
经过简化得： F AE l
l
上述方程与线性弹簧方程 Fkx极为相
似，说明：一个中心点集中受力且横截面相等的 杆可以等效为一个弹簧，其等价刚度为:
k eq
Βιβλιοθήκη BaiduAE l
分别带入变形公式可得精确解为：
u1
0
u
2
27
.5100
u u
3 4
10
6
59 96
.2680 .8290
m
u 5
142 .8000
② 采用数值方法近似求解
将变横截面杆沿 长度方向分成独立的 4 小段等截面直杆， 每一小段称为一个单 元，小段之间通过节 点连接起来，这样变 横截面杆就用 5个节 点和4 个单元组成的 模型来表示。
为 ，应变为 。
根据静力平衡条件： PA(y)0
根据虎克定律：E
任一横截面产生的应变： du dy
而任一横截面面积为：
A(y)(w 1w 2L w 1y)t
将上述方程变换后得：
du P dy EA(y)
沿杆的长度方向进行积分，得到精确解：
0 ud u0yEP (A y)d y0yE(w t1w P 2L w 1y)dy
有限元分析及应用
(1) 物质连续性假定：物质无空隙，可用连续函数来描述； (2) 物质均匀性假定：物体内各个位置的物质具有相同特性； (3) 物质(力学)特性各向同性假定：物体内同一位置的物质在
各个方向上具有相同特性；
(4) 线性弹性假定：物体的变形与外来作用的关系是线性的， 外力去除后，物体可恢复原状；
(5) 小变形假定：物体变形远小于物体的几何尺寸，在建立方 程时，可以高阶小量（二阶以上）。
精选课件
21 21
发展过程： 如何处理
对象的离散化过程
精选课件
22 22
常用单元的形状
.点 (质量)
面 (薄壳, 二维实体,
..
轴对称实体)
. .
...
. .
...
线性
二次
精选课件
. . 线(弹簧，梁，杆，间隙)
.. .体..(三..维实.体..).............
线性
二次
23 23
一维波传导问题 点 单元
为微元体。考虑任一微元体的平衡（或运动），可
写出一组平衡（或运动）微分方程及边界条件。但
未知应力的数目总是超过微分方程的数目，所以弹
性力学问题都是超静定的，必须同时考虑微元体的
变形条件以及应力和应变的关系，它们在弹性力学
中相应的称为几何方程和物理方程。平衡（或运动）
方程、几何方程和物理方程以及边界条件，称为弹
有限元分析第一章
第一章引言
§1-1概述
１、有限元方法（The Finite Element Method, FEM）是计算机问世以后迅速发展起来的一种分析方法。众所周知，每一种自然现象的背后都有相应的物理规律，对物理规律的描述可以借助相关的定理或定律表现为各种形式的方程（代数、微分、或积分）。这些方程通常称为控制方程（Governing equation）。针对实际的工程问题推导这些方程并不十分困难，然而，要获得问题的解析的数学解却很困难。人们多采用数值方法给出近似的满足工程精度要求的解答。有限元方法就是一种应用十分广泛的数值分析方法。
图1-1 工程问题的求解思路
有限元方法是处理连续介质问题的一种普遍方法，离散化是有限元方法的基础。然而，这种思想自古有之。齐诺（Zeno公元前5世纪前后古希腊埃利亚学派哲学家）曾说过：空间是有限的和无限可分的。故，事物要存在必有大小。亚里士多德(Aristotle古希腊大哲学家,科学家)也讲过：连续体由可分的元素组成。古代人们在计算圆的周长或面积时就采用了
面积，
有限单元法 有限差分法
图1-3 有限元法与有限差分法比较
近代，这一方法首先在航空结构分析中取得了明显的效果：一种称为框架分析法（framework method ）被用来分析平面弹性体（将平面弹性体描述为杆和梁的组合体）（1941，Hrenikoff ）；在采用三角形单元及最小势能原理研究St.V enant 扭转问题时，分片连续函数被用来在子域中近似描述未知函数（1943, Courant ）。此后，本方法在固体力学、温度场和温升应力、流体力学、流固耦合（水弹性）问题，以及航空、航天、建筑、水工、机械、核工程和生物医学等方面获得了广泛的应用。从而，促成了一个内容十分丰富的新兴分支───计算力学的出现，长期以来在力学中存在的求解手段落后于基本理论的现象得到了根本的扭转。由于拥有了强有力的分析手段，相比之下对物质世界本身（例如本构关系）的了解反而出现了一些新的薄弱环节。有限元方法的第二个关键时期出现于二十世纪六十年代中期，归功于Argyris, 和Kelsey(1960)以及Turner, Clough, Martin 和Topp (1956)。然而，“有限单元”是由Clough 首次提出的(1960)。在众多数学家的共同努力下，有限元方法的基本原理被揭示以后，这种方法摆脱了各种各样的工程背景而成为一种具有普遍意义的数学方法。这样就不仅极大地扩展了该方法的应用范围，而且拓宽了人们的思路，在构造方法时人们不再受工程直觉的束缚。
有限元方法
• 多相流方程：描述多相流运动的基本方程
有限元方法在多相流分析中的应用
• 建立多相流模型：根据实际问题，建立有限元模型
• 施加边界条件：在模型上施加多相流边界条件
• 求解方程：运用有限元方法求解方程，得到多相流速度、压力等未知量的值
• 结果分析：对求解结果进行分析，验证多相流的性能
05
有限元方法在热力学中的
• 模态：结构在无阻尼自由振动时的振型
• 频率：结构在单位时间内振动的次数
有限元方法在结构动力分析中的应用
• 建立结构模型：根据实际问题，建立有限元模型
• 施加激励：在模型上施加周期性激励
• 求解方程：运用有限元方法求解方程，得到振型和频率等未知量的值
• 结果分析：对求解结果进行分析，验证结构的动力性能
有限元方法的基本概念
• 有限元：将复杂的结构分解为简单的有限个单元
• 节点：单元之间的连接点，具有位移和力的自由度
• 单元矩阵：描述单元本身性质的矩阵
• 总体矩阵：描述整个结构性质的矩阵
有限元方法的原理
• 有限元离散化：将连续的结构分解为离散的有限元模型
• 变量转换：将物理变量（如位移、应力等）转换为数学变量（如节点位移）
有限元方法在流体动力学分析中的应用
流体动力学分析的基本概念
• 流体速度：流体在单位时间内移动的距离
第一章--有限单元法的简要介绍和发展历史
发展历史之崛起
❖ K.J. Bathe（导师Ed Wilson），MIT任教，在NONSAP的基础上发 表 了 著 名 的 非 线 性 求 解 器 ADINA (Automatic Dynamic Incremental Nonlinear Analysis)，其源代码因为长时期广泛流传而 容易获得。
ui u j
T
Pi Pj
δe T Pe
(9)
单元节点荷载
Pe
Pi Pj
简单实例
则，整个结构的总势能 为
2 δe T Keδe 2 δe T Pe
e1
e1
在荷载作用下，结构处于平衡状态。
则由最小势能原理
0
ui
ui
2
Ue
e 1
WP
0
，i = 1 , 2 , 3
j
j
o
x
z
y y k
x
x
i
o o
j
x
x
简单实例
为确定系数a,b， 本例使用如图
i
j
局部坐标系统
l
任意常数a、b由单元e内 两节点i、j的位移值确定，
xi
即：
ui i
x
i节点： x 0 : ue (x) ui j节点： x l : ue (x) u j
求得： 代入位移函数：
有限元-第1章
{ε } = [L]{u} = [L][N ]{δ e } = [B]{δ e }
式中 {ε }—单元内的应变列阵。对于二维问题
（1-5）
{ε } = {ε x ε y γ xy }T
P1 P2 M 30 * 10 u i M Pn
K 11 K 21 L = K i1 L K n1
K 12 K 22 L K i2 L K n2
L
K 1i
L K 2i L L L 10 30 L L L K ni
[ ]
Leabharlann Baidu
{ }
[ ]
{ }
式中 [K ] = ∑ K e —— 结构刚度矩阵
{P} = ∑ {P e }——结构的节点载荷列阵
结构处于平衡，根据最小位能原理，位能的一阶变分为零， δΠ = 0 ，得
[K ]{∆} = {P}
这就是结构的平衡方程，也称结构的刚度方程。
（1-11）
上述单元刚度矩阵，单元节点载荷列阵都是相对于整体统一坐标的。若单元刚度矩阵 和单元载荷列阵是对单元局部坐标求得的，必须将它们转换到统一的整体坐标下才能进行 单元的集合。应用坐标变换矩阵 [λ ] ，有
第一章 有限元法的理论基础
♦梯形悬臂梁的有限元分析：
假定单元在y方向的位移函数是x的三次多项式
v ( x ) = α1 + α 2 x + α 3 x 2 + α 4 x 3
α1 ,"α 4 是常数，由单元边界条件决定。
在简单梁的弯曲理论中
dv ( x ) = α 2 + 2α 3 x + 3α 4 x 2 dx d 2v M = EI 2 = EI (2α 3 + 6α 4 x) dx
9/23/2014 北京航空航天大学 4
第1章 有限元法的理论基础__简例
♦二杆结构简例的有限元分析步骤：
(1)结构离散化
9/23/2014
北京航空航天大学
5
第1章 有限元法的理论基础__简例
¾单元特性分析： (2)求单元的节点力和节点位移的关系 状态一：设节点A被固定
节点B作用于单元①上的力为： 节点A作用于单元①上的力为：
♦梯形悬臂梁的有限元分析：
为什么选择多项式作为位移函数？
选择三次多项式能保证单元具有下列运动和变形： (a)保证能具有刚体运动(当 α1 ≠ 0 时) ； (b)具有刚体转动项(当α 2 ≠ 0 时)； (c)具有弯曲应变(当 α 3 ≠ 0 时)； (d)具有剪切应变(在y方向，当α 4 ≠ 0 时)。 v ( x ) = α1 + α 2 x + α 3 x 2 + α 4 x 3
有限元课件第1讲有限元方法概述-PPT精品文档
思路来源于固体力学结构分析矩阵位移法的发 展和工程师对结构相似性的直觉判断。对于不 同结构的杆系、不同的载荷，求解时都能得到 统一的矩阵公式。从固体力学的角度看，桁架 结构等标准离散系统与人为地分割成有限个分 区的连续系统在结构上存在相似性，可以把结 构分析的矩阵法推广到非杆系结构的求解。
1956年，波音公司的Turner, Clough, Martin, Topp在纽约举行的航空学会年会上介绍了将矩 阵位移法推广到求解平面应力问题的方法，即 把结构划分成一个个三角形和矩形“单元”， 在单元内采用近似位移插值函数，建立了单元 节点力和节点位移关系的单元刚度矩阵，并得 到了正确的解答。 1960年，Clough在他的名为“The finite element in plane stress analysis”的论文中首次提出了有 限元（Finite Element）这一术语。
ui 1 ui u ( x ) ui ( x xi ) Li ui 第i结点的位移 xi 第i结点的坐标
第i个单元的应变 应力 内力
du ui 1 ui i dx Li
E (ui 1 ui ) i E i Li
EA(ui 1 ui ) N i A i Li
结构分析是有限元分析方法最常用的一个应用 领域。 结构 这个术语是一个广义的概念，它包 括土木工程结构，如桥梁和建筑物；汽车结构， 如车身骨架；海洋结构，如船舶结构；航空结 构，如飞机机身等；同时还包括机械零部件， 如活塞，传动轴等等。 结构分析中计算得出的基本未知量（节点自由 度）是 位移 ，其他的一些未知量，如应变，应 力，和反力可通过节点位移导出。
有限元方法（课件）
有限元⽅法（课件）
第⼀章有限元概貌与发展
有限元⽅法是近似求解数理边值问题的⼀种数值技术。这种⽅法⼤约有60年的历史。它⾸先在本世纪40年代被提出，在50年代开始⽤于飞机设计。后来，该⽅法得到了发展并被⾮常⼴泛地⽤于结构分析问题中。⽬前，作为⼴泛应⽤于⼯程和数学问题的⼀种通⽤⽅法，有限元已相当著名。
有限元法应⽤于电磁场中，最先是⽤结点上的插值基函数来表征该结点上的⽮量电场或磁场分量的，称为结点有限元。但是，在使⽤结点有限元进⾏电磁仿真时，会有⼏个严重的问题。⾸先，⾮物理的或所谓伪解可能会出现。其次，在材料界⾯和导体表⾯强加边界条件很不⽅便。再次，处理导体和介质边缘及⾓也很困难，这是由与这些结构相关的场的奇异性造成的。在这些问题中，最后⼀个问题⽐其它两个问题更严重，因为它缺少通⽤的处理⽅法。即使对前两个问题，⽬前的处理状况也不能完全令⼈满意。因此，有必要探讨其它的可能性或其它⽅法，⽽不仅仅是改进，从⽽将电磁场有限元分析引⼊⼀个新的时代。
幸运的是，⼀种崭新的⽅法已经被发现。这种⽅法使⽤所谓⽮量基或⽮量元，它将⾃由度（未知量）赋予棱边⽽不是单元结点。因为这个原因，它也叫棱边元（edge element ）。虽然Whitney 早在35年前就描述过这些类型的单元，但它们在电磁学中的应⽤及其重要性直到前⼏年才被认识到。在80年代初，Nedelec 讨论了四⾯体和矩形块棱边元的构造。Bossavit 和Verite 将四⾯体棱边元应⽤于三维涡流问题。Hano 独⽴地导出了矩形棱边元，并⽤于介质加载波导的分析。Mur 和de Hoop 考虑了⾮均匀媒质中的电磁场问题。Van Welij 和Kameari 应⽤六⾯体棱边元进⼀步考虑了棱边元在涡流计算中的应⽤。Barton 和Cendes 将四⾯体棱边元应⽤于三维磁场计算，同时，Crowley 提出了⼀种更复杂的单元类型，即所谓的协变（covariant ）投影单元，它允许单元带有弯曲的棱边。在所有这些⼯作中，已经证明：棱边元没有前⾯提到的所有缺点。因为这些缺点困惑了研究者多年，可以想象，棱边元的重要性很快就被认识到了，因此，在过去的⼏年中，开展过⼤量的研究也获得了很多成功的应⽤。
第一章 有限元方法及软件介绍
§2-2 有限元软件介绍
ANSYS 美国ANSYS公司
ANSYS的主要分析功能有：结构分析、热分析、高度非线性瞬态动 力分析、流体动力学分析、电磁场分析、声学分压电分析、多场耦合 分析风。
该软件的企业认同度较高。 有限元软件的选用与行业有关。
11
§2-3 ANSYS软件认知
ANSYS软件分析问题的流程图
3
§2-1 有限元方法概述
有限元方法求解问题的基本步骤 1、结构离散化；
(e) [ K ] 2、求出各单元的刚度矩阵 [ K ]( e )是由单元节点位移量 {}( e )求单元节点力向量 {F }( e )的转移矩阵，
其关系式
{F }( e ) [ K ]( e ) {}( e )
3、集成总体刚度矩阵 [ K ]并写出总体平衡方程； 总体刚度矩阵[ K ]是由整体节点位移向量 {}求整体节点力向量 {F } 的 转移矩阵，其关系式为 {F } [ K ]{}，此即为总体平衡方程。 4、引入支承条件，求出各节点的位移； 5、求出各单元内的应力和应变。
L 3L 3 2 M M qL ; 节点位置的弯矩： 4 4 32
1 L M qL2 8 2
线性单元
6
二次单元
wk.baidu.com
§2-2 有限元软件介绍
ANSYS软件分析问题的流程图
有限元分析基础
有限元分析基础
第一章有限元法概述
在机械设计中，人们常常运用材料力学、结构力学等理论知识分析机械零构件的强度、刚度和稳定性问题。但对一些复杂的零构件，这种分析常常就必须对其受力状态和边界条件进行简化。否则力学分析将无法进行。但这种简化的处理常常导致计算结果与实际相差甚远，有时甚至失去了分析的意义。所以过去设计经验和类比占有较大比重。因为这个原因，人们
也常常在设计中选择较大的安全系数。如此也就造成所设计的机械结构整体尺寸和重量偏大，而局部薄弱环节强度和刚度又不足的设计缺陷。
近年来，数值计算机在工程分析上的成功运用，产生了一门全新、高效的工程计算分析学科一一有限元分析方法。该方法彻底改变了传统工程分析中的做法。使计算精度和计算领
域大大改善。
§ 1.1有限元方法的发展历史、现状和将来
一，历史
有限元法的起源应追溯到上世纪40年代（20世纪40年代）。1943年R.Courant从数学
的角度提出了有限元法的基本观点。50年代中期在对飞机结构的分析中，诞生了结构分析
的矩阵方法。1960年R.W.CIough在分析弹性力学平面问题时引入了"Finite Element Method ”这一术语，从而标志着有限元法的思想在力学分析中的广泛推广。
60、70年代计算机技术的发展，极大地促进了有限元法的发展。具体表现在：
1）由弹性力学的平面问题扩展到空间、板壳问题。
2）由静力平衡问题一一稳定性和动力学分析问题。
3）由弹性问题一一弹塑性、粘弹性等问题。
二，现状
现在有限元分析法的应用领域已经由开始时的固体力学，扩展到流体力学、传热学和电
第一章概述 有限元法基本原理及应用课件
1.3.1 有限元法的发展
2．有限元法的发展和完善
20世纪80年代后半期到90年代。一方面，在理论上， 非线性有限元技术在固体力学领域中应用逐渐成熟，同 时在其他领域，比如压电分析、电磁场分析方面也取得 了长足的进展。另一方面，大型商用有限元软件在更好 的人机界面、更强的分析功能、更直观结果的显示方面 取得了长足的进步，给工程设计带来巨大的变革，从而 极大地提高了有限元解决实际工程问题的效率。
美国的Daniel S Pipkinsay & Satya N Atlurib提出了 FEAM。
西班牙的Onate E和波兰的Rojek J将DEM 和FEM结 合解决地质力学中的动态分析问题；
瑞典的Birgersson F和英国的Finnveden S针对FEM 在频域中的应用提出了SFEM 。
1.3.1 有限元法的发展
1．有限元法的诞生
1943年Courant第一次提出了单元的概念
1945～1955年，Argyris等人在结构矩阵分析方面 取得了很大进展 1956年Turner等人将刚架分析中的位移法推广到弹性 力学平面问题，并应用于飞机结构的分析
1960年R.W.Clough第一次提出了“有限元法” 名称， 描绘为“有限元法=Rayleigh Ritz法+分片函数”
1.1有限元法的基本思想
3．将两种思想结合转化为具体的解决方法
有限元方法概述
北京航空航天大学
（2）单元分析 用单元节点位移表示单元内部位移－第i个单元 中的位移用所包含的结点位移来表示。
ui 1 ui ( x xi ) u ( x ) ui Li ui 第i结点的位移 xi 第i结点的坐标
北京航空航天大学
第i个单元的应变 应力 内力
du ui 1 ui i dx Li
北京航空航天大学
1.3 有限元分析主要应用领域
结构分析 热分析 电磁分析 流体分析 耦合场分析
- 多物理场
北京航空航天大学
结构分析
结构分析是有限元分析方法最常用的一个应用 领域。 结构 这个术语是一个广义的概念，它包 括 土 木 工 程 结 构 ， 如 桥 梁 和建筑物；汽车结 构，如车身骨架；海洋结构，如船舶结构；航 空结构，如飞机机身等；同时还包括机械零部 件，如活塞，传动轴等等。 结构分析中计算得出的基本未知量（节点自由 度）是 位移 ，其他的一些未知量，如应变，应 力，和反力可通过节点位移导出。
北京航空航天大学
主要工学硕士数学课程
工程数学 计算方法（数值分析） 随机过程 矩阵论 运筹学（最优化方法） 图论 模糊数学 有限元方法 小波分析 应用泛函分析
北京航空航天wenku.baidu.com学
数学课程在研究生培养中的重要性
科技发展日新月异，数学科学地位不断提
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数学课程在研究生培养中的重要性
科技发展百度文库新月异，数学科学地位不断提 高，在自然科学和工程技术方面广泛应用。
数学的面貌发生很大变化，现代数学在理 论上更加抽象、方法上更加综合、应用上 更加广泛。
综合运用数学的能力关系到研究生的创新 能力和研究水平的提高，对研究生的论文 质量至关重要。
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工程师方面
思路来源于固体力学结构分析矩阵位移法和工 程师对结构相似性的直觉判断。对于不同结构 的杆系、不同的载荷，求解时都能得到统一的 矩阵公式。从固体力学的角度看，桁架结构等 标准离散系统与人为地分割成有限个分区的连 续系统在结构上存在相似性，可以把杆系结构 分析的矩阵法推广到非杆系结构的求解。
有限元方法
Finite Element Method
金朝海 jch666@vip.sina.com
北京航空航天大学
课程目标
1) 系统学习有限单元法的基本思想、概念 和原理—包括变分法、等参单元、高斯 积分等。
2) 能从较高层次(数力原理)上理解有限元 方法的实质，掌握有限元分析的工具， 并具备初步处理工程问题的能力。
三类传热边界条件：略
通常只能得到少数简单边界条件问题的解析解 （通过严格的数学推导求出问题的精确解）。 对于大多数实际的工程问题，需要用近似算法 来求出问题的近似解。
北京航空航天大学
有限元法形成的背景
结构分析的有限元方法是由一批工业界和 学术界的研究者在二十世纪五十年代到六 十年代创立的。
工程师和数学家们在寻找近似求解方法的 过程中，他们从两条不同的路线得到了相 同的结果，即有限单元法（Finite Element Method)。
杜平安等编著. 有限元法—原理、建模及应用. 北京 : 国防工业出版社, 2006
Ted Belytschko著, 庄茁（译）. 连续体和结构 的非线性有限元. 北京 : 清华大学出版社, 2002
北京航空航天大学
主要工学硕士数学课程
工程数学 计算方法（数值分析） 随机过程 矩阵论 运筹学（最优化方法） 图论 模糊数学 有限元方法 小波分析 应用泛函分析
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课程评估
出勤率
10%
课堂作业
60%
期末大作业
30%
北京航空航天大学
参考书籍
1. 曾攀. 有限元分析及应用. 北京：清华大学出版 社, 2004
2. 王勖成,邵敏编著. 有限单元法基本原理和数值 方法 . 北京 : 清华大学出版社, 1997
3. 朱伯芳著. 有限单元法原理与应用（第2版）. 北京: 中国水利水电出版社, 1998
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1956年，波音公司的Turner, Clough, Martin, Topp在纽约举行的航空学会年会上介绍了将矩 阵位移法推广到求解平面应力问题的方法，即 把结构划分成一个个三角形和矩形“单元”，在 单元内采用近似位移插值函数，建立了单元节 点力和节点位移关系的单元刚度矩阵，并得到 了正确的解答。
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1965年O.C.Zienkiewicz和Y.K.Cheung（张佑启 ）发现只要能写成变分形式的所有场问题，都 可以用与固体力学有限元法的相同步骤求解。
EI
d2y dx2
P(x
L)
x
和边界条件
y |x0 0
dy dx
|x0
0
M
(x)
EI
d2y dx2
M (x) P(x L)
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再如对于弹性力学问题，可以建立起基本方程与 边界条件，如下：
平衡方程： 几何方程： 物理方程： 边界条件：
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再如热传导问题，物体的瞬态温度场
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1952，Clough在Boeing公司进行小展弦比飞机 三角形机翼振动分析，应用传统一维梁理论计 算得到的机翼结构挠度计算结果与小比例机翼 模型试验数据相差甚远，工作失败。
1953， Clough由杆系结构的矩阵位移法获得灵 感，采用三角形片离散的方法，先计算一片片 小三角形板的刚度性能，然后将所有的三角形 片汇合成整体机翼进行计算。机翼结构挠度计 算结果与小比例模型试验数据吻合。
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1.1 有限元方法形成的背景
微分方程边值问题 有限元法形成的背景
工程师的角度 数学家的角度
我国力学工作者的贡献
北京航空航天大学
微分方程边值问题
工程中的许多问题都可以
用微分方程和相应的边界
条件来描述。例如弹性力
学问题，热传导问题，电
磁场问题等。例如等截面
悬臂梁在自由端受集中力 P作用时，其变形挠度y满 足微分方程
3) 能够对有限元分析结果的有效性和准确 性进行评估，同时要认识到有限元方法 的局限性。
北京航空航天大学
进度安排
第1章 有限元方法概述 第2章 数理力学基础 第3章 弹性问题有限元方法 第4章 等参单元和高斯积分 第5章 结构单元 第6章 有限元建模专题 第7章 非线性专题 第8章 热传导与热应力分析专题
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预备知识
线性代数 数值分析 材料力学 弹性力学 弹塑性力学
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第1章 有限元法简介(绪论)
1.1 有限元方法形成的背景 1.2 有限元方法的基本原理和思路 1.3 有限元分析主要应用领域 1.4 常用有限元分析软件介绍 1.5 有限元分析的作用及地位 1.6 相关数值方法介绍
1954-1955年，德国斯图加特大学的Argyris在航 空工程杂志上发表了一组能量原理和结构分析 论文，为有限元研究奠定了重要的基础。
1963 年 前 后 ， 经 过 J. F. Besseling, R.J. Melosh, R.E. Jones, R.H. Gallaher, T.H.H. Pian（卞学磺） 等许多人的工作，认识到有限元法就是变分原 理中Ritz近似法的一种变形，发展了用各种不同 变分原理导出的有限元计算公式。
1960年，Clough在他的名为“The finite element in plane stress analysis”的论文中首次提出了有 限元（Finite Element）这一术语。
北京航空航天大学
数学家方面
数学家们则发展了微分方程的近似解法，包括 有限差分方法，变分原理和加权余量法。