第1章有限元方法概述
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北京航空航天大学
1956年，波音公司的Turner, Clough, Martin, Topp在纽约举行的航空学会年会上介绍了将矩 阵位移法推广到求解平面应力问题的方法，即 把结构划分成一个个三角形和矩形“单元”，在 单元内采用近似位移插值函数，建立了单元节 点力和节点位移关系的单元刚度矩阵，并得到 了正确的解答。
北京航空航天大学
课程评估
出勤率
10%
课堂作业
60%
期末大作
1. 曾攀. 有限元分析及应用. 北京：清华大学出版 社, 2004
2. 王勖成,邵敏编著. 有限单元法基本原理和数值 方法 . 北京 : 清华大学出版社, 1997
3. 朱伯芳著. 有限单元法原理与应用（第2版）. 北京: 中国水利水电出版社, 1998
北京航空航天大学
预备知识
线性代数 数值分析 材料力学 弹性力学 弹塑性力学
北京航空航天大学
第1章 有限元法简介(绪论)
1.1 有限元方法形成的背景 1.2 有限元方法的基本原理和思路 1.3 有限元分析主要应用领域 1.4 常用有限元分析软件介绍 1.5 有限元分析的作用及地位 1.6 相关数值方法介绍
北京航空航天大学
数学课程在研究生培养中的重要性
科技发展日新月异，数学科学地位不断提 高，在自然科学和工程技术方面广泛应用。
数学的面貌发生很大变化，现代数学在理 论上更加抽象、方法上更加综合、应用上 更加广泛。
综合运用数学的能力关系到研究生的创新 能力和研究水平的提高，对研究生的论文 质量至关重要。
北京航空航天大学
1965年O.C.Zienkiewicz和Y.K.Cheung（张佑启 ）发现只要能写成变分形式的所有场问题，都 可以用与固体力学有限元法的相同步骤求解。
杜平安等编著. 有限元法—原理、建模及应用. 北京 : 国防工业出版社, 2006
Ted Belytschko著, 庄茁（译）. 连续体和结构 的非线性有限元. 北京 : 清华大学出版社, 2002
北京航空航天大学
主要工学硕士数学课程
工程数学 计算方法（数值分析） 随机过程 矩阵论 运筹学（最优化方法） 图论 模糊数学 有限元方法 小波分析 应用泛函分析
北京航空航天大学
1952，Clough在Boeing公司进行小展弦比飞机 三角形机翼振动分析，应用传统一维梁理论计 算得到的机翼结构挠度计算结果与小比例机翼 模型试验数据相差甚远，工作失败。
1953， Clough由杆系结构的矩阵位移法获得灵 感，采用三角形片离散的方法，先计算一片片 小三角形板的刚度性能，然后将所有的三角形 片汇合成整体机翼进行计算。机翼结构挠度计 算结果与小比例模型试验数据吻合。
1954-1955年，德国斯图加特大学的Argyris在航 空工程杂志上发表了一组能量原理和结构分析 论文，为有限元研究奠定了重要的基础。
1963 年 前 后 ， 经 过 J. F. Besseling, R.J. Melosh, R.E. Jones, R.H. Gallaher, T.H.H. Pian（卞学磺） 等许多人的工作，认识到有限元法就是变分原 理中Ritz近似法的一种变形，发展了用各种不同 变分原理导出的有限元计算公式。
1960年，Clough在他的名为“The finite element in plane stress analysis”的论文中首次提出了有 限元（Finite Element）这一术语。
北京航空航天大学
数学家方面
数学家们则发展了微分方程的近似解法，包括 有限差分方法，变分原理和加权余量法。
EI
d2y dx2
P(x
L)
x
和边界条件
y |x0 0
dy dx
|x0
0
M
(x)
EI
d2y dx2
M (x) P(x L)
北京航空航天大学
再如对于弹性力学问题，可以建立起基本方程与 边界条件，如下：
平衡方程： 几何方程： 物理方程： 边界条件：
北京航空航天大学
再如热传导问题，物体的瞬态温度场
北京航空航天大学
工程师方面
思路来源于固体力学结构分析矩阵位移法和工 程师对结构相似性的直觉判断。对于不同结构 的杆系、不同的载荷，求解时都能得到统一的 矩阵公式。从固体力学的角度看，桁架结构等 标准离散系统与人为地分割成有限个分区的连 续系统在结构上存在相似性，可以把杆系结构 分析的矩阵法推广到非杆系结构的求解。
三类传热边界条件：略
通常只能得到少数简单边界条件问题的解析解 （通过严格的数学推导求出问题的精确解）。 对于大多数实际的工程问题，需要用近似算法 来求出问题的近似解。
北京航空航天大学
有限元法形成的背景
结构分析的有限元方法是由一批工业界和 学术界的研究者在二十世纪五十年代到六 十年代创立的。
工程师和数学家们在寻找近似求解方法的 过程中，他们从两条不同的路线得到了相 同的结果，即有限单元法（Finite Element Method)。
3) 能够对有限元分析结果的有效性和准确 性进行评估，同时要认识到有限元方法 的局限性。
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进度安排
第1章 有限元方法概述 第2章 数理力学基础 第3章 弹性问题有限元方法 第4章 等参单元和高斯积分 第5章 结构单元 第6章 有限元建模专题 第7章 非线性专题 第8章 热传导与热应力分析专题
有限元方法
Finite Element Method
金朝海 jch666@
北京航空航天大学
课程目标
1) 系统学习有限单元法的基本思想、概念 和原理—包括变分法、等参单元、高斯 积分等。
2) 能从较高层次(数力原理)上理解有限元 方法的实质，掌握有限元分析的工具， 并具备初步处理工程问题的能力。
北京航空航天大学
1.1 有限元方法形成的背景
微分方程边值问题 有限元法形成的背景
工程师的角度 数学家的角度
我国力学工作者的贡献
北京航空航天大学
微分方程边值问题
工程中的许多问题都可以
用微分方程和相应的边界
条件来描述。例如弹性力
学问题，热传导问题，电
磁场问题等。例如等截面
悬臂梁在自由端受集中力 P作用时，其变形挠度y满 足微分方程
1956年，波音公司的Turner, Clough, Martin, Topp在纽约举行的航空学会年会上介绍了将矩 阵位移法推广到求解平面应力问题的方法，即 把结构划分成一个个三角形和矩形“单元”，在 单元内采用近似位移插值函数，建立了单元节 点力和节点位移关系的单元刚度矩阵，并得到 了正确的解答。
北京航空航天大学
课程评估
出勤率
10%
课堂作业
60%
期末大作
1. 曾攀. 有限元分析及应用. 北京：清华大学出版 社, 2004
2. 王勖成,邵敏编著. 有限单元法基本原理和数值 方法 . 北京 : 清华大学出版社, 1997
3. 朱伯芳著. 有限单元法原理与应用（第2版）. 北京: 中国水利水电出版社, 1998
北京航空航天大学
预备知识
线性代数 数值分析 材料力学 弹性力学 弹塑性力学
北京航空航天大学
第1章 有限元法简介(绪论)
1.1 有限元方法形成的背景 1.2 有限元方法的基本原理和思路 1.3 有限元分析主要应用领域 1.4 常用有限元分析软件介绍 1.5 有限元分析的作用及地位 1.6 相关数值方法介绍
北京航空航天大学
数学课程在研究生培养中的重要性
科技发展日新月异，数学科学地位不断提 高，在自然科学和工程技术方面广泛应用。
数学的面貌发生很大变化，现代数学在理 论上更加抽象、方法上更加综合、应用上 更加广泛。
综合运用数学的能力关系到研究生的创新 能力和研究水平的提高，对研究生的论文 质量至关重要。
北京航空航天大学
1965年O.C.Zienkiewicz和Y.K.Cheung（张佑启 ）发现只要能写成变分形式的所有场问题，都 可以用与固体力学有限元法的相同步骤求解。
杜平安等编著. 有限元法—原理、建模及应用. 北京 : 国防工业出版社, 2006
Ted Belytschko著, 庄茁（译）. 连续体和结构 的非线性有限元. 北京 : 清华大学出版社, 2002
北京航空航天大学
主要工学硕士数学课程
工程数学 计算方法（数值分析） 随机过程 矩阵论 运筹学（最优化方法） 图论 模糊数学 有限元方法 小波分析 应用泛函分析
北京航空航天大学
1952，Clough在Boeing公司进行小展弦比飞机 三角形机翼振动分析，应用传统一维梁理论计 算得到的机翼结构挠度计算结果与小比例机翼 模型试验数据相差甚远，工作失败。
1953， Clough由杆系结构的矩阵位移法获得灵 感，采用三角形片离散的方法，先计算一片片 小三角形板的刚度性能，然后将所有的三角形 片汇合成整体机翼进行计算。机翼结构挠度计 算结果与小比例模型试验数据吻合。
1954-1955年，德国斯图加特大学的Argyris在航 空工程杂志上发表了一组能量原理和结构分析 论文，为有限元研究奠定了重要的基础。
1963 年 前 后 ， 经 过 J. F. Besseling, R.J. Melosh, R.E. Jones, R.H. Gallaher, T.H.H. Pian（卞学磺） 等许多人的工作，认识到有限元法就是变分原 理中Ritz近似法的一种变形，发展了用各种不同 变分原理导出的有限元计算公式。
1960年，Clough在他的名为“The finite element in plane stress analysis”的论文中首次提出了有 限元（Finite Element）这一术语。
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数学家方面
数学家们则发展了微分方程的近似解法，包括 有限差分方法，变分原理和加权余量法。
EI
d2y dx2
P(x
L)
x
和边界条件
y |x0 0
dy dx
|x0
0
M
(x)
EI
d2y dx2
M (x) P(x L)
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再如对于弹性力学问题，可以建立起基本方程与 边界条件，如下：
平衡方程： 几何方程： 物理方程： 边界条件：
北京航空航天大学
再如热传导问题，物体的瞬态温度场
北京航空航天大学
工程师方面
思路来源于固体力学结构分析矩阵位移法和工 程师对结构相似性的直觉判断。对于不同结构 的杆系、不同的载荷，求解时都能得到统一的 矩阵公式。从固体力学的角度看，桁架结构等 标准离散系统与人为地分割成有限个分区的连 续系统在结构上存在相似性，可以把杆系结构 分析的矩阵法推广到非杆系结构的求解。
三类传热边界条件：略
通常只能得到少数简单边界条件问题的解析解 （通过严格的数学推导求出问题的精确解）。 对于大多数实际的工程问题，需要用近似算法 来求出问题的近似解。
北京航空航天大学
有限元法形成的背景
结构分析的有限元方法是由一批工业界和 学术界的研究者在二十世纪五十年代到六 十年代创立的。
工程师和数学家们在寻找近似求解方法的 过程中，他们从两条不同的路线得到了相 同的结果，即有限单元法（Finite Element Method)。
3) 能够对有限元分析结果的有效性和准确 性进行评估，同时要认识到有限元方法 的局限性。
北京航空航天大学
进度安排
第1章 有限元方法概述 第2章 数理力学基础 第3章 弹性问题有限元方法 第4章 等参单元和高斯积分 第5章 结构单元 第6章 有限元建模专题 第7章 非线性专题 第8章 热传导与热应力分析专题
有限元方法
Finite Element Method
金朝海 jch666@
北京航空航天大学
课程目标
1) 系统学习有限单元法的基本思想、概念 和原理—包括变分法、等参单元、高斯 积分等。
2) 能从较高层次(数力原理)上理解有限元 方法的实质，掌握有限元分析的工具， 并具备初步处理工程问题的能力。
北京航空航天大学
1.1 有限元方法形成的背景
微分方程边值问题 有限元法形成的背景
工程师的角度 数学家的角度
我国力学工作者的贡献
北京航空航天大学
微分方程边值问题
工程中的许多问题都可以
用微分方程和相应的边界
条件来描述。例如弹性力
学问题，热传导问题，电
磁场问题等。例如等截面
悬臂梁在自由端受集中力 P作用时，其变形挠度y满 足微分方程