第14讲第四章 理论力学(十二)
理论力学课件第12章
对球B，应用动能定理，则有
得
1
0 mu22 mgl (1 cos )
2
（d）
u2 2 gl (1 cos )
将式（d）、（e）代入式（c）中，解得
k 2
1 cos
1 cos30
1 2
1 0.353
1 cos
1 cos 45
（e）
小为
v v 3 0.2
a
0
0.002
m/s2 1 400 m/s2
设在敲击时，钉给手锤的力为F，手锤重为G，可写出手锤的
动力学基本方程为
ma F G
由方程解得
F m( g a) 1 409.8 N
可见，碰撞力F远远大于手锤的重量G。如果碰撞时间再短一
些或碰撞前后的速度变化更大一些，则碰撞力将更大。碰撞力
（12-14）
将式（12-13）和（12-14）代入式（12-12），得
mm
1
T T1 T2 (1 k ) 1 2 (v1 v2 )[(v1 u1 ) (v2 u2 )]
2
m1 m2
由式（12-6），得
u1 u2 k (v1 v2 )
于是
T T1 T2
（12-6）化为
u
k
v
若球自由下落，则可通过球距离固定面的高度H和回跳
的高度h来表示k。由自由落体公式可知
| v | 2 gH
于是得
| u | 2 gh
u
k
v
h
H
图12-3
（12-10）
测出球的降落高度H和回跳高度h，即可计算出球和固定面两种材料
理论力学 第12章
P
δW dt
Mz
d
dt
M z
2.功率方程
dT
dt
n δWi i1 dt
n
Pi
i 1
—— 功率方程
即质点系动能对时间的一阶导数,等于作用于 质点系的所有力的功率的代数和.
功率方程常用来研究机器在工作时能量的变 化和转化的问题。
dT P输入 P有用 P无用 dt
或
dT dt P输入 P有用 P无用
mi
即： T
1 2
mvC2
（2）定轴转动刚体的动能
T
1 2mi
vi
2
12mi 2ri2
12
2
Jmz iri2
即：
T
1 2
J z 2
（3）平面运动刚体的动能
速度瞬心为P
T
质心为C
1 2
J pω2
Jp JC md2
T
1 2
mvC2
1 2
JC 2
平面运动刚体的动能等于随质心平移的动能与 绕质心转动的动能之和.
则杆的动能：
§12-3 动能定理
1.质点的动能定理
将 m dvr 两 端Fr 点乘 ，得dr：
dt
m
d
v
dr
F
d
r
dt
由于 dr v，d于t 是有：
mvr
dvr
r F
drr
由于 mvr
dvr
d(1
mv2 ),
r F
drr
δW
2
质点动能的增量 等于作用在质点 上力的元功
d(1 mv2 ) δW —— 质点动能定理的微分形式 2
3.机械效率
理论力学 第十二章 动能定理
2009年12月8日第十二章动能定理具体内容：6 普遍定理的综合应用举例一、常力的功••运动路程SF ⋅W2π正功2π负功2πFM 1M 2M Sθ二、变力的功元功：WδrF d⋅变力的功：∫=WWδM M上）⋅d rF （自然形式）（矢量形式）（直角坐标形式）解析表达式三、几种常见力作的功mgF F F z y x −===,0,0质点重力作功可见：开始终了高度差与运动轨迹的形状无关i (z i 1-z i 2)由质心坐标公式，有)(2112C C z z mg W−=∑质点系重力作功可见：与质心运动轨迹的形状无关弹性力δk F =)(0l r k −=弹性极限)(2222112δδ−=k W 21,δδ可见：起始终了变形量与质点的轨迹形状无关r0)(e l r k −−=[例12-1]解：)(21)(C C P z z mg W−=)(22221)(δδ−=k W F 23. 定轴转动刚体上作用力的功元功F 力F 所作的功1ϕ2ϕ∫=21d 12ϕϕϕz M W 力偶z M r F d ⋅4. 平面运动刚体上力系的功无限小位移=i r d C r d iCr d +iF iM CCr d ϕd iC r d θϕd d ⋅=C M r i iC C r d ϕd 元功r F d ⋅r F d ⋅r F d ⋅=⋅iC i r F d θcos ⋅C M F i i ϕd )(⋅=i C F MiF iM CCr d ϕd iCr d r F d ⋅F 力系元功⋅r F d F r F d ⋅′力系作功∫∫+⋅′=2121d d R 12ϕϕϕC C C C M r F W R F ′主矢C M 质心主矩可见：力系向质心简化所得的力和力偶作功之和一、质点的动能221mv •••动量异：同：平方标量一次方矢量二、质点系的动能T质点系内各质点动能的算术和。
m柯尼希定理Cmmv∑+即：质心平移坐标系注意：以质心为基点？三、刚体的动能平移221Cmv =定轴转动221ωz J =平面运动221C mv 221ωC J +221ωP J =[例12-2]质心平移解：(定轴转动盘杆系统T T T +=AωOA?=A ωBl v AAθ平移平面运动解：v v v +=BAv Av [例12-3]系统的动能：221cos )(θθ&lv m v m m A A +++22cos θθ&lv m v m A A ++Bl v AAθBAv Av[思考]√一、质点的动能定理d F v =v d F r d ⋅r d ⋅r d =⋅r tvm d d d v v m ⋅d )d(2v v m ⋅=2d 2v m =)21d(2mv =)21d(2mv Wδ=微分形式21222121mv mv −12W =积分形式（某一瞬时）（某一运动过程）二、质点系的动能定理i ∑=iW δ质点系动能定理的微分形式∑=−iW T T 12质点系动能定理的积分形式i d(T d 即：即：∑=i W T δd ∑=−iW T T 12讨论：质点系的内力，因有些情况下内力作功和不等于零。
理论力学第12章
i 1
n
n n (e) (i ) d (mi vi ) Fi dt Fi dt i 1 i 1
×
i 1
n
n n (e) (i ) d (mi vi ) Fi dt Fi dt i 1 i 1
质点系质点相互作用的内 力总是大小相等、方向相 反地成对出现，相互抵消
静反力：电机不转时，基础只有向上的反力；
y
动反力：电机转动时的基础反力；
附加的动反力：动反力与静反力的差值
m1 g
O1
p
Fx 0
Fy (m1 m2 ) g
e
m2 g
Fx m2 e sin t
2
Fy
Mo
Fx
Fy m2 2 e cost
n p mi vi i 1
n为质点数；mi为第i个质点的质量，vi 为质点的速度。 矢量和又称为主矢: 质点系的动量等于质点系动量的主矢。
×
例：三个物块用绳相连，它们都可视为质点，其质量分别为 m1 2 m 2 4 m 3 。绳质量和变形忽略不计，且 45 。求这三个 质点组成的质点系的动量 p.
第十二章 动量定理
沈阳建筑大学 侯祥林
第十二章 动量定理
第十二章引言
§12-1 动量与冲量
§ 12-2 动量定理
动量定理例题
§12-3
质心运动定理
质心运动定理例题
第十二章 动量定理
用质点动力学微分方程分析质点系动力学问题，可以逐个 质点列出动力学基本方程，联立求解困难。
用动力学普遍定理，即： 动量定理 动量矩定理 动能定理 从不同侧面提出质点和质点系的运动变化与其受力之间的 关系，尤其求解质点系动力学问题，很方便。
《理论力学(Ⅰ)》PPT 第12章
Fi δri > 0
与假设矛盾，因此，质点系一定保待平衡。
解题步骤： 1. 选取研究对象，通常为系统； 2. 判断理想约束条件；
3. 列虚功方程； 4. 确定虚位移之间的关系；
5. 将n项求和按照虚位移之间的关系改写
为k项求和
n
Fi
δri
k
=
Q
j
δq
j
=0
，得到方程
i=1
j =1
组；
6. 求解。
δWN FNi δri 0
光滑接触面约束、光滑铰链约束、不可伸 长的柔性约束和刚体内力等都是理想约束。 常见的非理想约束有动滑动摩擦和弹簧。
拉格朗日 (1736‐1813)―意大利数学家， 研究变分法，第一位提出虚位移原理。
12.4 虚位移原理―静力学普遍方程 虚位移原理：具有理想约束的质点系，在给
Q P cot φ 2
xB 2l cos φ δxB 2l sin φδφ
例12-3 螺旋压榨机在手柄上作用一个力偶， 其矩为2pl，螺杆的螺距为h，求平衡时对 被压物体的压力。
P 2l P
解：取手柄、螺杆和压板为研 P 2l
究对象，被压物体对压板的作 用力为N。
δφ
P
δr
设手柄虚转角为δφ，压板向下
曲柄连杆机构
y AxA, yA
Oφ
B xB , yB
x
约束方程：
xA2 yA2 r 2
xB xA 2 yB yA 2 l2
yB 0
2. 约束的分类
⑴ 几何约束：约束方程中只含坐标和时间。
f xi , yi ,zi ,t 0 只限制质点系的几何位置
⑵ 运动约束：约束方程中包含坐标对时间
理论力学12章
1 1 1 1 2 2 2 2 T2 (m1 R1 )1 m2vC ( m2 R2 2 )2 2 2 2 2 vC vC , 2 其中 1 2 R1 R2
整理，得
1
vC 2 T2 (2m1 3m2 ) 4
由动能定理，得
T2 T1 W12
因为 得
a b ab cos r 1 1 2 er dr dr d(r r ) d(r ) dr r 2r 2r
W12 k (r l0 )dr
r1
r2
即
k 2 W12 (1 2 2 ) 2
式中
1 r1 l0 ,
2 r2 l0
C1
2
主矢 + 主矩 （力） （力偶）
1
即：平面运动刚体上力系的功，等于刚体上所受各力作功的代
数和，也等于力系向质心简化所得的力和力偶作功之和。
说明: 1、对任何运动的刚体，上述结论都适用；
2、C 点不是质心，而是刚体上任意一点时，上述结论也成立； 3、计算力系的主矢、主矩时，可以不包含不做功的力。
C2
2
1
对于任何运动也适用
§12-2
1、质点的动能
质点和质点系的动能
1 2 T mv 2
单位：J（焦耳）
2、质点系的动能
1 T mi vi 2 2
相似性比较
（1）平移刚体的动能 平动 动能 转动
1 2 1 2 T mi vi vC mi 2 2
即
1 2 mv 2
1 J 2 2
再分析摆锤冲断试件后的上升过程。初始动能为T2（待求），末 动能为 0。重力做负功。由动能定理得
理论力学教程(第四章)
静滑动摩擦力的特点
1 方向：沿接触处的公切线，
与相对滑动趋势反向；
2 大小：
3
（库仑摩擦定律）
④静摩擦系数的测定方法(倾斜法)
两种材料做成物体
和可动平面测沿下面滑
动时的 。
p
F=mgsin =fmgcos
2)、动滑动摩擦
tg f
两物体接触表面有相对运动时,沿接触面产生的切向 阻力称为动滑动摩擦力。
1)、静滑动摩擦
① 定义 两相接触物体虽有相对运动趋势，但仍保持相对静止F时，
给接触面产生的切向阻力，称为静滑动摩擦力或简称静摩 擦力。
满足
0 F Fmax (最大静摩擦力)
当 F Fmax时,则物体处于临界平衡状态
F
P Fmax f N (库仑静摩擦定律)
若物体静止，则 F P
摩擦的现象和概念
在大学物理已经讲到什么是摩擦：当物体与另一物体 沿接触面的切线方向运动或有相对运动的趋势时，在两物 体的接触面之间有阻碍它们相对运动的作用力，这种力叫 摩擦力。接触面之间的这种现象或特性叫“摩擦”。这里 来作更深入的研究，首先来看它的分类：滑动摩擦和滚动 摩擦。
滑动摩擦：相对运动为滑动或具有滑动趋势时的摩擦。
第四章 摩擦
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料群：
引言
前几章我们把接触表面都看成是绝对光滑的，忽略了物体 之间的摩擦，事实上完全光滑的表面是不存在的，一般情况下 都存在有摩擦。 [例]
平衡必计摩擦 3
摩擦
☆§4–1 滑动摩擦 ☆§4–2 摩擦角和自锁现象 ☆§4–3 考虑摩擦时物体的平衡问题 ☆§4–4 滚动摩阻的概念
性质：当物体静止在支承面时，支承面的总反力的偏角
理论力学第四章
同理求解得
F1min
G tan tanjf 1 tanjf tan
G tan(
jf
)
y
F1
x
Fmax
FN G
4、几何法求F1的最小值F1min，受力分析如图。
F1min
画力三角形如图。
由力三角形可得 F1min Gtan( jf )
物块平衡时，F1的大小应满足
FR2
-jf
jf
FR2
G
G F1min
对多数材料，通常情况下
f fs
理论力学
中南大学土木工程学院
3
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§4-2 摩擦角与自锁现象
一、摩擦角 ①全约束力 即FR= FN + FS ，它与接触面的公法线成一偏 角j ，当物体处于临界平衡状态，即静摩擦力达到最大值 Fmax时,偏角j达到最大值jf，全约束力与法线夹角的最大 值jf叫做摩擦角。
fs2P 1 fs2
代入（3）
得
tan min
1 fs2 2 fs
1 tan2jf 2tanjf
cot 2jf
tan(
2
2jf
)
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FNB
B
FSB Pmin A FSA
几何法求解
当梯子处于向下滑动的临界平衡状态
时，受力如图，显然 FRA FRB ，于是
G tan jf F1 G tan jf
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[例] 梯子长AB=l，重为P，若梯子与墙和地面的静摩擦因数均为 f s=0.5，
求 多大时，梯子能处于平衡？
理论力学精品课程第十二章 动量定理
第十二章 动量定理
3. 质点系动量守恒定律
dp dt
Fie
若作用于质点系的外力的主矢恒等于零， 质点系的动量保持不变。
pp0 恒矢量
dpx dt
Fx(e)
若作用于质点系的外力的主矢在某一轴上 的投影恒等于零，质点系的动量在该轴上的 投影保持不变。
px p0x 恒量
第十二章 动量定理
光滑台面
§12-1 动量与冲量
1动量
质点的动量 —— 质点的质量与质点速度的乘积
pmv
质点的动量是矢量，而且是定位矢量，它的方向与质点速 度的方向一致。其单位为 kg·m/s 或 N·s
质点系的动量 ——质点系中各质点动量的矢量和，称为质点 系的动量，又称为质点系 动量的主矢。
n
p mivi i 1
求： 转轴 O 处的约束力。
解：取杆为研究对象
aC t l; aC nl2
aC xaC t sinaC nco sl(sin2co )s aC yaC t co saC nsinl(co s2sin)
Fx(e) FOxmaCx Fy(e) FOymgmaCy
e 2
cost
yC
m2 m1 m2
e 2
s in t
由质心运动定理得:
Fx(e) Fx mx Fy(e) Fym1gm2gmy
Fx m2e2cost Fy (m1m2)gm2e2si nt
第十二章 动量定理
解法二：分析系统中各刚 体的运动
W。
求：风扇不致滑落的风扇底座与 台面之间的最小摩擦因数。
解：分析质量流的受力
考察刚要进入和刚刚排出的一段空气流，在Oxy坐标系中，空 气流所受叶片的约束力为FNx;这一段空气流都处于大气的包围之 中，两侧截面所受大气的总压力都近似为0。
理论力学课件 第四章
处地面的铅直约束力。
3.8 空间力系的平衡方程
z
FA
FB
O1
E
M
D
x
O2
G
FC
解：
y
取货车为研究对象
O3
∑ Fz = 0, FA + FB + FC − G = 0
∑Mx = 0, FC × O3D − G × EM = 0
∑ M y = 0, G × O1E − FC × O1D − FB × O1O2 = 0
0.6 m
C
2. 销钉B为研究对象
0.8 m
H
A
BF
45o
I
ED
列平衡方程
∑ Fx = 0,
∑ Fy = 0,
−
FBx
+
)iv
+
Fy
(∑ M
y
vj +
)vj +
(∑
Fz
Mz
v k
)kv
=
v 0
=
v 0
投影式
∑ Fx = 0
∑ Fy = 0
∑ Fz = 0
∑Mx =0 ∑My =0 ∑Mz =0
空间汇交力系平衡方程 空间力偶系平衡方程 空间平行力系平衡方程
∑ Fx = 0 ∑Mx =0
∑ Fz = 0
∑ Fy = 0 ∑My =0
F
W
Fs
A FN M f
∑MA = 0: M f − FR= 0 ⇒ M f = FR
不滑动条件： Fs ≤ fFN ⇒ F ≤ fW
不滚动条件： M f ≤ δFN
Fmax
=
min{
fW , δ W }
14理论力学讲义-第十四讲2004.11.02-20页精选文档
ve
C
A
θ
O’ O
2)选动系(与动点不在同一构件上) 凸轮
3)运动分析系(Va、Ve、Vr) x’ ?
v v v x
a
e
r
退出
vr θ v ve a
vavect gvc3t0 g3v
§9－3 点的速度合成定理
12 12
例9-3： 刨床急回机构如图
所示；曲柄 OA的一端与滑快 A 用铰链联接。当曲柄 OA以匀 角速度ω绕定轴O转动时，滑块 在 摇 杆 O1B 的 槽 中 滑 动 ， 并 带 动 摇 杆 O1B 绕 固 定 轴 O1 转 动 。 设 曲 柄 长 OA=r ， 两 轴 间 距 离 OO1=L ， 求 曲 柄 在 水 平 位 置 的 瞬时，摇杆O1B绕Ol轴转动的角 速度ωl及滑块A对于摇杆O1B的 相对速度。
1)选动点（研究对象：联接点） A(OA上) 2)选动系(与动点不在同一构件上) 摇杆O1B
ωO
va
r
vr
A
3)运动分析系(Va、Ve、Vr)
? ? ve va sin
v v v s 1 a i O n v 1eA e c lro r2s irvs r2 n v va al 2 c orr s2 r2
牵连速度 vr0vave
ve0vavr
§9－3
8 8
点的速度合成定理
点的速度合成定理
动点的绝对速度等于它的牵连速度与相对速度的矢量
和。
vavevr
z
C1
证明：
牵连位移、相对位移、绝
C’
对位移的矢量关系知：
B
CC1CC'C'C1
z’ x’A1 y’
理论力学第十二章 动量矩定理 教学PPT解析
平面内力对点的矩：
z
B
Mz(F) = xFy yFx
MO (mv)
mv
和平面内力对点的矩相似，可
以得到质点动量mv在Oxy平面内 的投影(mv)xy对点O（z轴）的矩
rA
y
O
B
Mz(mv) = (xmvy ymvx) x
(mv)xy A
Mz(mv) = m (xvy yvx)
质点的动量矩
对点的动量矩与对轴的动量矩之间的关系
质点对点O的动量矩矢在z轴上的投影，等于质点 对z轴的动量矩，即：
[Mo (mv)]z M z (mv)
Mo F z Mz F
质点对轴的动量矩是代数量。
质点对点O的动量矩与对z轴的动量矩二者的关系， 同力对点的矩与力对轴的矩的关系相似。
在国际单位制中,动量矩的常用单位是 N • m • s
质点系的动量矩
z
Iz M
回转半径：设想将刚体的质量集中在与 转轴距离为z 处，则此集中质量对转轴 的转动惯量与刚体对转轴的转动惯量相 同。
转动惯量
转动惯量的平行轴定理
刚体对任一轴的转动惯量等于刚体对过质心且与该轴 平行的轴的转动惯量加上刚体质量与两轴之间距离平方 的乘积 记为
说明
J z J Z M d2
由转动惯量的平行轴定理和转动惯量叠加定理，可以 快捷的的求出由几个简单图形组合而成的刚体对任意轴的 转动惯量。有空心刚体=无空心整体-空心部分 (转动惯量）
绕定轴转动刚体的动量矩
Mz(mv) = mrz rz = mrz2
从而整个刚体对轴 z 的动量矩
Lz = ∑mz(mv) = ∑m量矩,等于这刚体对该轴的转动惯 量与角速度的乘积。
例题
理论力学 第十二章
2 ρz = R 5
3 3 2 2 (4r +l ) 80
ρx = ρy
=
π 2 rl 3
圆环
3 2 ρz = R2 + r2 2π2r2R Jz = m(R2 + r ) 4 4
3
椭圆形 薄板
m 2 2 (a +b ) 1 ρz = a2 +b2 4 2 m a Jy = a2 ρx = 4 2 b m 2 ρy = Jy = b 2 4 Jz =
回转半径（惯性半径） 2. 回转半径（惯性半径）
Jz ρz = m
或
Jz = m z ρ2
3．平行轴定理
Jz = JzC +m d 轴平行的轴， 式中 zC轴为过质心且与 z轴平行的轴，d 为 z
2
与 zC 轴之间的距离。 轴之间的距离。 即：刚体对于任一轴的转动惯量，等于刚体对于通过 刚体对于任一轴的转动惯量， 质心并与该轴平行的轴的转动惯量， 质心并与该轴平行的轴的转动惯量，加上刚体的质量 与两轴间距离平方的乘积. 与两轴间距离平方的乘积.
m ,初始角速度 ω0 。
θ 角时的
ω.
解：
θ = 0 时, Lz1 = 2maω0a = 2ma2ω0
θ ≠0
时,
Lz2 = 2m(a +l sin θ)2ω
a2ω0 ω= 2 (a +l sin θ)
Lz1 = Lz2
§12-3 刚体绕定轴的转动微分方程 12主动力: 主动力:
F, F ,⋯ , F ⋯ n 1 2
v dv 由 ω= = a ,得 R dt
M − mgR2 sin θ R a= J + mR2
例12-2：已知 12求:（1） α
理论力学第12章(动能定理)
理论力学
20
§12-3
动能定理
一、质点的动能定理： dv m F 牛顿定律 dt dv dr F dr 两边点乘以 dr ，有 m dt
3.刚体沿固定面作纯滚动 4.联接刚体的光滑铰链（中间铰）
dW F
R
dr FR dr FR dr 0 dr FR
5.柔索约束（不可伸长的绳索） 拉紧时，内部拉力的元功之和恒等于零。
理论力学 10
[ 例 1] 如图所示滑块重 P ＝ 9.8 N ，弹 簧刚度系数 k ＝ 0.5 N/cm ，滑块在 A 位置时弹簧对滑块的拉力为 2.5 N， 滑块在 20 N 的绳子拉力作用下沿光 滑水平槽从位置 A 运动到位置 B，求 作用于滑块上所有力的功的和。
理论力学
1 2
3 2
1 6
4 3
7 2
19
[例5]滑块A以速度 vA在滑道内滑动，其上铰接一质量 为m，长为l的均质杆AB，杆以角速度 绕A转动，如 A 图。试求当杆AB与铅垂线的夹角为j 时，杆的动能。
解：AB杆作平面运动，其质心C的速度为
vA
j
l
vC v A vCA
速度合成矢量图如图。由余弦定理
AB
O1
AB作平面运动，用绕速度瞬心转动的公式 求动能：
J O1 J C mAB O1C 2
1 2m (2a)2 12
vC
8 3
C
2m a 2 ma 2
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（2009年真题）均质圆盘质量为Ⅲ，半径为R，在铅垂图面内绕D轴转动，图所示瞬时角速度为国，则其对o轴的动量矩和动能的大小为( )。
解：此题关键是要求出均质圆盘对转轴O的转动惯量J0，则其对
O轴的动量矩，动能
答案：(D)
（2007年真题）忽略质量的细杆OC=l，其端部固结均质圆盘。
杆上点C为圆盘圆心。
盘质量为m，半径为r。
系统以角速度∞绕轴0转动(见图)。
系统的动能是( )。
解：忽略质量的细杆动能不计，只需计算做定轴转动的均质圆盘的动能，其对转轴D的转动惯量为
，系统的动能为
答案：(D)
（2013年真题）A块与B块叠放如图示，各接触面处均考虑摩擦。
当B块受力F作用沿水平面运动
时，A块仍静止于B块上，于是( )。
(A)各接触面处的摩擦力都做负功
(B)各接触面处的摩擦力都做正功
(C)A块上的摩擦力做正功
(D)B块上的摩擦力做正功
提示：当A、B两物体在力F作用下向右运动时，作用在A块上的摩擦力与A块运动方向相同，摩擦力做正功；而作用在B块上的摩擦力与B块运动方向相反，摩擦力做负功。
答案：(c)
2016—55真题质点受弹簧力作用而运动，为弹簧自然长度， k 为弹簧刚度系数，质点由位置 1 到位置 2 和由位置 3 到位置 2 弹簧力所做的功为（）。
答案：C
2．动力学三大普遍定理
动力学普遍定理（包括动量定理、质心运动定理，对固定点和相对质心的动量矩定理、动能定理）及相应的守恒定理的表达式、适用范围见表4-9。
2016—56真题如图所示圆环以角速度ω绕铅直轴 AC 自由转动，圆环的半径为 R ，对转轴的转动惯量为 I ，在圆环中的 A 点放一质量为 m的小球，设由于微小的干扰，小球离开 A 点，忽略一切摩擦，则当小球达到 B 点时，圆环的角速度是（）。