八上5.3一次函数的图像(1)
八上5.3一次函数的图像(1)
随堂练习
求a的值. ⑷你能写出它们的交点坐标吗？
你能画出这个函数的图象吗? y 16 (0,16) 14 (5,12) 12 10 8 (10,8) 6 (15,4) 4 2 (20,0)
y=16－0.8x0Biblioteka 51015
20 x
挑战自我：
在同一坐标系中，画一次函数
y=2x+2、y=2x－1、y=2x－2的图 象，说说你的发现.
b ，0) 即点(0， b )，点( k
想一想,说一说 ：
1、一次函数y=x－1的图象是（ Ｃ ）
y 1 -1 y 0 -1 C 1 x 0 0 A x y
-1
0
x
-1
B y 1 1 x
D
2.下列各点中，哪些点在函数y=4x+1的图象上? 哪些点不在函数y=4x+1的图象上?为什么？
(2，9) (5，1) (-1，-3) (-0.5，-1)
0 5 10 15 20 x
y=16－0.8x
这些点在一条直线上吗?
这些点都在一条直线上.
一次函数图象的画法
在直角坐标系中画一 次函数y=2x+1的图象.
⑴列表
x y=2x+1 … … －1 －1 －0.5 0 0 1 0.5 2 1 3 … …
y
3
2 1 •
• •
3 x
⑵描点. ⑶连线.
-3 -2 -1 •0 1 • -1 -2
大家一起来说
作业：
Ｐ155 1
•
1
•
0
•
1
•
x
y=－x+2
思考、提高:
画一次函数y=－x+2的图象有没有简捷的 方法呢？ 画一次函数y=kx+b(k≠0)的图象时，只要 确定2个点的位置，过这两个点画直线就可以了
北师大版数学八年级上册第四章《一次函数》第3节《一次函数的图像》第一课时
教学设计4.3 一次函数的图象（第1课时）教材的地位和作用《一次函数的图象》是义务教育课程标准北师大版八年级（上）第四章《一次函数》的第三节．在学习本节课之前，学生已学习了平面直角坐标系、变量与函数、以及一次函数与正比例函数的概念等相关的知识。
学生能在平面直角坐标系中熟练的表示一个点，为画图像做好的充分铺垫作用。
本节课也是后续学习反比例函数、二次函数图像和性质的重要基础。
数形结合的思想是本节课的主要数学思想。
教学目标知识与技能：了解正比例函数的图象是一条直线，能熟练画出正比例函数的图像。
理解正比例函数表达式与图象之间的一一对应关系。
过程与方法：经历正比例函数图像画法的探索过程，体会“数”“形”结合的数学思想在问题解决中的作用，并能运用图像及数形结合的思想解决相关函数问题。
情感态度与价值观：在动手画图过程中，培养学生的合作意识和大胆猜想、乐于探索的学习意志。
体验“数”与“形”的转化过程，让学生感受函数图像的美妙，激发学生学数学的兴趣。
教学重、难点：重点：初步了解作函数图象的一般步骤：列表、描点、连线．会画出正比例函数的图像，正比例函数的图像是一条直线。
难点：理解一次函数的代数表达式与图象之间的一一对应关系，正比例函数的性质以及|k|的大小对正比例函数的影响。
教学过程：一、温故知新1、一次函数和正比例函数的定义是什么？2、表示函数的方法有哪几种？二、探究新知1、函数的图像（1）用图象表示的函数关系举例：摩天轮上一点的高度h与旋转时间t之间函数关系的图像。
（2）函数的图像定义把一个函数自变量的每一个值与对应的函数值分别作为点的横坐标和纵坐标，在直角坐标系内描出相应的点，所有这些点组成的图形叫做该函数的图象。
（3）举例正比例函数y=2x当自变量x=1时，相应的函数值y=2,我们把1作为点的横坐标，相应y 的值2作为纵坐标，从而得到一个点（1，2）再取一组，当自变量x=2时，相应的函数值y=4,我们把2作为点的横坐标，相应y的值4作为纵坐标，从而得到另一个点（2，4）……这样我们能得到很多的点，所有这些点组成的图形就叫做该函数的图象。
北师大版数学八年级上册一次函数的图象第1课时一次函数的图象(一)课件
谢谢
解：(1)图略. 思路点拨：先正确画出两个函数的图象，再根据图象总结性质.
举一反三
2. 已知正比例函数y= x和y=-3x. （1）在如图4-3-2所示直角坐标系中 画出这两个函数的图象；（不用写画 法）
（2）根据图象回答下列问题： ①它们的图象都经过第__二__、__四___象限，直线从左到右逐渐 ___降__落____； ②它们的图象都经过点_（__0_，__0_）__； ③它们的函数值y都随x的增大而___减__小____，且函数y=-3x的y值 比函数y= x的y值___减__小____得更快，即直线y=-3x比直线y=
对点范例 1.正比例函数y=-3x的大致图象是（ C ）
知识重点 知识点二：正比例函数的性质与应用 在正比例函数y=kx中： 当k___＞__0____时，y的值随着x值的增大而增大； 当k___＜__0____时，y的值随着x值的增大而减小.
对点范例
2.下列正比例函数中，y随x的增大而减小的函数是（ A ）
思路点拨：正比例函数图象的性质如下： （1）当k>0，y的值随x值的增大而增大，图象经过第一、三象限 ； （2）当k<0，y的值随x值的增大而减小，图象经过第二、四象限
举一反三
3. 已知关于x的正比例函数y=（5-2k）x. （1）当k取何值时，图象经过第一、三象限？（任意写出两个符 合条件的实数值即可） （2）当k取何值时，y随x的增大而减小？（任意写出两个符合条 件的实数值即可） 解：（1）依题意，得5-2k＞0. 则满足条件的k值可以为0，-1（答案不唯一）. （2）依题意，得5-2k＜0. 则满足条件的k值可以为3，4（答案不唯一）.
A.y=-x
B.y=x
C.y=2x
新浙教版八年级上5.4一次函数的图象(1)
例题分析
1.在同一直角坐标系中画出下列函数的图象. （1）y
3x
1 （ 2） y x 2 3
2.你会求这两个函数图象与坐标轴的交点坐标吗？ 令x=0，可得函数图象与y轴交点的纵坐标；
令y=0，可得函数图象与x轴交点的横坐标. 3.你会求这两个函数图象的交点P的坐标吗？ 由于交点的坐标同时满足这两个函数表达式，所以我们 只要解关于x，y的二元一次方程组，就可求得交点坐标.
W(
函数图象的概念
把一个函数的自变量x的值与函数y的对 应值分别作为点的横坐标和纵坐标，在直角 坐标系中描出它的对应点，所有这些点组成 的图形叫做这个函数的图象.
对一次函数y=2x与y=2x+1作如下研究： 1.分别选择若干对自变量和函数的对应值，列成下表： x · · · －2 －1 0 1 2 · · · y=2x · · · －4 －2 · · · 0 2 4 1 3 5 y=2x+1 · · · －3 －1 · · · 2.分别以表中x的值作点的横坐标，对应的y值作纵坐标， 得到两组点，写出用坐标表示的这两组点.
1 4.若 y x 2 的图象与x轴的交点为Q，则△OPQ的 3
面积是多少？
随堂练习 1.已知直线y=－2x+4,它与x轴的交点为A,与y轴的交点 为B. (1)求A, B两点的坐标. (2)求△AOB的面积. (O为坐标原点) 2. 一次函数的图象经过M(3, 2),N (－1, －6)两点. (1)求出函数的表达式. (2)画出该函数的图像. (3)试判断点P（2a，4a－4）是否在函数的图像上，
5.4 一次函数的图象
第一课时
学习目标
1.了解函数图象的概念.
2.了解一次函数图象的意义.
北师大版八年级上册数学第4章一次函数 第3节一次函数的图象
的点，所有这些点组成的图形叫做该函数的图象 .
感悟新知
特别提醒 1.函数图象上的任意点P(x，y)中的x，y都满足函数
关系式 . 2.满足函数关系式的任意一对有序实数对 (x，y)所
对应的点一定在函数的图象上. 3.函数图象上的所有点与函数关系式中的两个变量
一一对应.它们是函数两个变量间的关系的两种不 同 (一种是“数”，一种是“形”)呈现方式.
第二、四象限
增减性 y 随 x 的增大而增大 y 随 x 的增大而减小
感悟新知
知3－讲
特别提醒 对于正比例函数y=kx(k≠0)，k的符号、图象所
经过的象限、函数的增减性这三者，知其一,则可知 其他两者.
感悟新知
知3－练
例3 [ 中考·珠海 ]已知函数 y=3x 的图象经过点 A(－1， y1)，点 B(－2， y2)，则 y1_______y2(填“>”“<”或 “=” ) .
在平面直角坐标系中，将直线 l1： y=－3x－2 向左
平移1 个单位长度，再向上平移 3 个单位长度得到直线
l2，则直线 l2对应的函数表达式为(
)
A.y=－3x－9 B.y=－3x－2
C.y=－3x+2
D.y=－3x+9
解题秘方：紧扣“平移规律：上加下减、左加右
减”进行求解 .
感悟新知
知4－练
感悟新知
知识点 4 一次函数的图象
知4－讲
1.一次函数的图象 一次函数 y=kx+b( k， b 是常数，k ≠ 0) 的图象是一条直线，我们称它为直线 y=kx+b.
感悟新知
知4－讲
2. 一次函数的图象与正比例函数的图象的关系 一次函数 y=kx+b(k ≠ 0)的图象可以由直线 y=kx( k ≠ 0)
八年级数学上册教学课件《一次函数的图象(第1课时)》
巩固练习
变式训练
已知正比例函数y=(k+5)x.
4.3 一次函数的图象
（1）若函数图象经过第二、四象限，则k的取值范围是_k_<_-_5___.
解析：因为函数图象经过第二、四象限，所以k+5<0，解得k<-5.
（2）若函数图象经过点（3，-9），则k__=_-8__.
解析：将坐标（3，-9）带入函数解析式中，得-9=(k+5)·3， 解得k=-8.
的道理吗？
y 3x
解： y=3x增加得更快.
yx
y=3x的函数值的增加
量大于y=x的函数值的
增加量. 故y=3x增加
得更快.
探究新知
4.3 一次函数的图象
（2）类似地，正比例函数y= - 1x和y=-4x中，随着x 2
值的增大，y的值都减小了，其中哪一个减小得更快？
你是如何判断的？
解：y=-4x减小得更快.
解: 因为正比例函数y=mx的图象经过点（m，4）,
所以4=m·m，解得m=±2.
又因为y的值随着x值的增大而减小，
所以m<0，故m=－2.
巩固练习
4.3 一次函数的图象
变式训练
已知正比例函数y=kx的图象经过点（k，25），且y的值
随着x值的增大而增大，求k的值.
解：因为正比例函数y=kx的图象经过点（k，25）,
探究新知
4.3 一次函数的图象
在正比例函数y=kx中：
当k>0时，y的值随着x值的增大而增大;
当k<0时，y的值随着x值的增大而减小.
y
y
y=kx(k>0)
y=kx(k<0)
O
八年级数学一次函数的图像
3 2 1
0
1
2
3
4
x
总结 1、了解函数图象的概念，作函数图象的一 般步骤是：列表、描点、连线。 2、y=kx+b的图象是一条直线，满足y=kx+b 的点（x,y）都在这条直线上。 y=kx+b的图 象上所有的点都满足关系式y=kx+b。一次函 数y=kx+b的图象也称为直线y=kx+b。 作业 习题5.3第一题(1)、(2)
把一个函数的自变量x与对应的因变量y 的值分别作为点的横坐标和纵坐标，在直角 坐标系内描出它的对应点，所有这些点组成 的图形叫做该函数的图象（graph） 例1 作出一次函数y=2x+1的图象
解：列表:
x … -2 -1 0 1 2 …
Y=2x+1
…
-3
-1
135…源自描点：以表中各组对应值作为点的坐标， 在直角坐标系内出相应的点。 连线：把这些点依此连接起来，得到 y=2x+1的图象（如下图）。 它是一条直线。
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像.琼英见东舌与王雄诞战成壹团,便迅速从锦带之中拿出壹颗石子,夹在两指之间,望准咯王雄诞の后心,壹声清喝,石子脱手而出,呼啸声传来.哐/壹声猎猎轰响传来,火光激溅四射,那壹颗石子正中王雄诞の后甲护心镜."受死吧/"那壹石子打得王雄诞心寒胆丧,吃惊之余,东舌趁机壹声 怒喝,手中血吸尽周遭壹切杀戮之气,熠熠生辉の锋之中涵盖咯万钧之力,朝王雄诞壹刺去.壹封喉/PS:(求订阅,求打赏,.）（o(∩_∩)o）(.)<!--geilwx-->二百二十四部分赵子龙单骑救樊氏杀气刺穿空气,呼啸若雷音.（)唰/王雄诞喉咙上猛地绽开壹道血洞,双目圆睁,直挺挺从马上飞 咯出去.东舌壹刺穿咯王雄诞の咽喉,王雄诞整个人掉落到乱军之中
一次函数的图象(知识梳理与考点分类讲解)-八年级数学上册基础知识专项突破讲与练(北师大版)
专题4.11一次函数的图象（知识梳理与考点分类讲解）【知识点1】一次函数的图象一次函数的图象：一次函数(0)y kx b k =+≠的图象是一条恒经过点(0,)b 和(,0)b k-的直线.【知识点2】一次函数图象和性质y =kx +b 图像经过象限升降趋势增减性k ＞0，b ＞0一、二、三从左向右上升y 随着x 的增大而增大k ＞0，b ＜0一、三、四k ＜0，b ＞0一、二、四从左向右下降y 随着x 的增大而减小k ＜0，b ＜0二、三、四【知识点3】一次函数的图象与k、b 之间的联系①b 决定直线与y 轴的交点位置0b >时，直线交y 轴于正半轴；0b <时，直线交y 轴于负半轴；0b =时，直线经过原点.②0k >⇔直线上坡，y 随x 的增大而增大；0k <⇔直线下坡，y 随x 的增大而减小.③k 越大，直线越陡.【知识点4】确定一次函数表达式（1）待定系数法步骤：设：设函数表达式为(0)y kx b k =+≠；代：将已知点的坐标代入函数表达式，解方程或方程组；解：求出k 与b 的值，得到函数表达式．（2）常见类型①已知两点确定表达式；②已知两对函数对应值确定表达式；③平移转化型：如已知函数是由y=2x 平移所得到的，且经过点（0,1），则可设要求函数的解析式为y =2x +b ，再把点（0,1）的坐标代入即可.【知识点5】图象的平移一次函数y kx b =+向左平移m 个单位后的解析式为()y k x m b =++；一次函数y kx b =+向右平移m 个单位后的解析式为()y k x m b =-+；一次函数y kx b =+向上平移m 个单位后的解析式为y kx b m =++；一次函数y kx b =+向上平移m 个单位后的解析式为y kx b m =+-.平移规律：左加右减，上加下减.【知识点6】两条直线间的位置关系设直线111:l y k x b =+，222:l y k x b =+.(1)12k k ≠⇔相交；（2）1212k k b b =⎧⇔⎨≠⎩平行；（3）121k k =-⇔ 垂直.补充：若直线y kx b =+经过11(,)A x y ，22(,)B x y 12()x x ≠两点，则1212y y k x x -=-.【考点一】一次函数的图象及其位置【例1】（2022秋·陕西西安·八年级校考期中）已知一次函数(21)2y a x a =-+-（a 为常数）．（1）若这个函数的图象经过原点，求a 的值；（2）若1a =，直接写出这个函数图象经过的象限．【答案】（1）2a =；（2）当1a =时，函数图象经过一、三、四象限【分析】（1）y kx b =+经过原点则0b =，据此求解；（2）把1a =代入(21)2y a x a =-+-，得1y x =-，根据10k =>，10b =-<即可得出结论．（1）解：因为(21)2y a x a =-+-经过原点，所以20a -=，解得2a =．（2）解：当1a =时，则(21)21y a x a x =-+-=-∵10k =>，10b =-<，∴函数图象经过一、三、四象限．【点拨】本题考查了一次函数的图象性质，掌握一次函数的图象性质是解答本题的关键，难度不大．【举一反三】【变式1】（2023春·四川德阳·八年级统考阶段练习）在同一平面直角坐标系中，函数y kx b =-与y bx k =+的图像不可能是（）A ．B ．C ．D ．【答案】C【分析】分四种情况，根据k 、b 的符号，确定一次函数经过的象限，结合函数图象与选项进行判断即可．解：当0k >，0b >时，对于y kx b =-，图像经过第一，三，四象限，则y bx k =+经过一，二，三象限，则选项D 符合题意；当0k >，0b <时，对于y kx b =-，图像经过第一，二，三象限，则y bx k =+经过一，二，四象限，题目中没有符合的；当0k <，0b >时，对于y kx b =-，图像经过第二，三，四象限，则y bx k =+经过一，三，四象限，则选项B 符合题意；；当0k <，0b <时，对于y kx b =-，图像经过第一，二，四象限，则y bx k =+经过二，三，四象限，则选项A 符合题意；．故选：C ．【点拨】此题主要考查了一次函数的性质与图像，正确记忆一次函数图像经过象限与系数关系是解题关键．【变式2】（2023春·山东菏泽·八年级统考期末）已知一次函数2y x b =+的图象经过第一、三、四象限，则函数y bx b =-的图象经过的象限是．【答案】一、二、四【分析】先根据一次函数2y x b =+的图象经过第一、三、四象限判断b 的取值范围，再判断函数y bx b =-的图象经过的象限．解：∵一次函数2y x b =+的图象经过第一、三、四象限，∴0b <，0b ->，∴函数y bx b =-的图象经过一、二、四象限．故答案为：一、二、四．【点拨】本题考查了一次函数的图象与性质，对于一次函数y kx b =+（k 为常数，0k ≠），当0k >时，y 随x 的增大而增大；当0k <时，y 随x 的增大而减小．当0b >，图象与y 轴的正半轴相交，当0b <，图象与y 轴的负半轴相交，当0b =，图象经过原点．【考点二】一次函数与坐标轴交点【例2】（2023春·陕西商洛·八年级校考期末）如图，直线22y x =-+与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ．（1）求点A ，B 的坐标．（2）若点C 在x 轴上，且2ABC AOB S S = ，求点C 的坐标．【答案】（1）(0,2)B ，(1,0)A ；（2）(3,0)或(1,0)-【分析】（1）当0x =时求解y 的值及当0y =时求解x 的值即可求解．（2）由（1）得2OB =，1OA =，根据2ABC AOB S S = 可得22AC OA ==，进而可求解．（1）解：当0x =时，2y =，∴点B 的坐标为：(0,2)，当0y =时，1x =，∴点A 的坐标为：(1,0)．（2）由（1）得：2OB =，1OA =，则：11222OA OB AC OB ⨯⋅=⋅，即：22AC OA ==，∴点C 的坐标为：(3,0)或(1,0)-．【点拨】本题考查了一次函数的图象，熟练掌握一次函数的图象是解题的关键．【举一反三】【变式1】（2022秋·陕西西安·八年级校考期中）如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数()11110y k x b k =+≠与()22220y k x b k =+≠的图象分别为直线1l 和直线2l ，下列结论正确的是（）A ．120k k > B ．120k k ->C ．120b b +<D ．12·0b b >【答案】B 【分析】根据图示，可得110,0k b >>，220,0k b <<，根据不等式的性质即可求解．解：根据图示，可知一次函数()11110y k x b k =+≠中，110,0k b >>；一次函数()22220y k x b k =+≠中，220,0k b <<，∴A 、12·0k k <，故原选项错误，不符合题意；B 、∵120,0k k ><，∴120k k ->，故原选项正确，符合题意；C 、∵120,0b b ><，且12b b >，∴120b b +>，故原选项错误，不符合题意；D 、∵120,0b b ><，∴120b b < ，故原选项错误，不符合题意；故选：B ．【点拨】本题主要考查一次函数图象的性质，掌握一次函数图象的性质，不等式的性质是解题的关键．【变式2】（2023秋·四川成都·八年级校考阶段练习）如图，直线24y x =+与x 轴、y 轴交于点A 、B ，M 、N 分别是AB 、OA 的中点，点P 是y 轴上一个动点，当PM PN +的值最小时，点P 的坐标为．【答案】()0,1【分析】先求出,A B 的坐标，根据中点，得到,M N 的坐标，求出点N 关于y 轴的对称点N '的坐标，连接MN '，根据两点之间线段最短，得到MN '与y 轴的交点即为点P ，求出MN '的解析式，即可．解：∵24y x =+，当0x =时，4y =，当0y =时，2x =-，∴()()2,0,0,4A B -，∵M 、N 分别是AB 、OA 的中点，∴()()1,2,1,0M N --，∴点N 关于y 轴的对称点N '为()1,0，连接,MN PN ''，∵点P 是y 轴上一个动点，∴PM PN PM PN MN ''+=+≥，∴当,,P M N '三点共线时，PM PN +的值最小，设直线MN '的解析式为y kx b =+，则：20k b k b -+=⎧⎨+=⎩，∴11k b =-⎧⎨=⎩，∴1y x =-+，当0x =时，1y =，∴()0,1P ；故答案为：()0,1．【点拨】本题考查一次函数，坐标与轴对称．解题的关键是掌握将军饮马模型，确定点P 的位置．【考点三】一次函数图象的平移【例3】（2023春·福建福州·八年级校考期末）已知一次函数2y x =-．（1）在平面直角坐标系中，画出该函数图象；（2）把该函数图象向上平移3个单位，判断点()3,2--是否在平移后的函数图象上．【答案】（1）见分析；（2）在【分析】（1）根据函数图象与x ，y 轴的坐标交点坐标，画出图象即可；（2）根据平移的特点得出解析式，进而解答．（1）解：列表：x 20y02-过点()2,0和点()0,2-画出直线2y x =-，；（2）解：把函数2y x =-图象向上平移3个单位，得函数的解析式为1y x =+，当3x =-时，312y =-+=-，∴点()3,2--在平移后的直线上．【点拨】本题考查一次函数与几何变换，关键是根据函数图象与x ，y 轴的坐标交点画出图象．【举一反三】【变式1】（2022·陕西西安·校考模拟预测）将正比例函数y x =向上平移1个单位长度，则平移后的函数图象与一次函数3y x m =-+的图象的交点不可能在（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】D【分析】首先求得平移后的一次函数的解析式为1y x =+，根据函数1y x =+不经过第四象限，即可得出结论．解：将正比例函数y x =向上平移1个单位长度得到1y x =+，一次函数1y x =+经过第一、二、三象限，不经过第四象限，∴平移后的函数图象与一次函数3y x m =-+的图象的交点不可能在第四象限，故选：D ．【点拨】本题考查的是一次函数的性质及一次函数的图象与几何变换，熟知一次函数的性质及函数图象平移的法则是解答此题的关键．【变式2】（2023春·八年级课时练习）如图，在平面直角坐标系中，直线12125y x =-+，与y x 、轴分别相交于A B 、两点，将AOB 沿过点B 的直线折叠，使点A 落在x 轴负半轴上的点A '处，，折痕所在直线交y 轴正半轴于点C ．把直线AB 向左平移，使之经过点C ，则平移后直线的函数关系式是．【答案】121053y x =-+【分析】先求得A B 、的坐标，然后由勾股定理求出AB ，再由折叠的性质得出13A B AB '==，求得()8,0A '-，在Rt A OC '△中，根据勾股定理222A C OC A O ''=+，列出方程，解方程即可求得点C 的坐标，即可求得平移后的解析式．解：∵直线12125y x =-+，与y x 、轴分别相交于A B 、两点，令0x =，解得12y =，令0y =，解得5x =，∴()0,12A ，()5,0B ，∴125OA OB ==，，∵90AOB A OC '∠=∠=︒，∴13AB =，∴13A B AB '==，∴()8,0A '-，设OC x =，∴12A C AC x '==-，在Rt A OC '△中，222A C OC A O ''=+，即()222128x x -=+，解得103x =，∴100,3C ⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴平移后的直线的解析式为121053y x =-+．故答案为：121053y x =-+【点拨】本题考查了勾股定理与折叠的性质，一次函数的平移，一次函数与坐标轴的交点，求得点C 的坐标是解题的关键．【考点四】一次函数图象的增减性➼➻求参数★★判断位置【例4】（2019春·广西贵港·八年级统考期末）已知一次函数(21)2y a x a =-+-.（1）若这个函数的图象经过原点，求a 的值.（2）若这个函数的图象经过一、三、四象限，求a 的取值范围.【答案】（1）2a =；（2）122a <<【分析】（1）y=kx+b 经过原点则b=0，据此求解；（2）y=kx+b 的图象经过一、三、四象限，k ＞0，b ＜0，据此列出不等式组求解即可．解：（1）由题意得，20a -=，∴2a =．（2）由题意得21020a a ->⎧⎨-<⎩，，解得122a <<，∴a 的取值范围是122a <<．【点拨】考查了一次函数的性质，了解一次函数的性质是解答本题的关键．【举一反三】【变式1】（2022·四川眉山·中考真题）一次函数(21)2y m x =-+的值随x 的增大而增大，则点(,)P m m -所在象限为（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】B【分析】根据一次函数的性质求出m 的范围，再根据每个象限点的坐标特征判断P 点所处的象限即可．解：∵一次函数(21)2y m x =-+的值随x 的增大而增大，∴210m ->解得：12m >∴(,)P m m -在第二象限故选：B【点拨】本题考查了一次函数的性质和各个象限坐标特点，能熟记一次函数的性质是解此题的关键．【变式2】（2023春·安徽池州·八年级统考开学考试）如图，平面直角坐标系中，△ABC 的顶点坐标分别是A （1，1），B （3，1），C （2，2），当直线y ＝12x ＋b 与△ABC 有交点时，b 的取值范围是．【答案】112b -≤≤【分析】将A （1，1），B （3，1），C （2，2）的坐标分别代入直线y ＝12x ＋b 中求得b 的值，再根据一次函数的增减性即可得到b 的取值范围．解：直线y ＝12x ＋b 经过点B ，将B （3，1）代入直线y ＝12x ＋b 中，可得3+=12b ，解得12b =-；直线y ＝12x ＋b 经过点A ，将A （1，1）代入直线y ＝12x ＋b 中，可得1+=12b ，解得12b =；直线y ＝12x ＋b 经过点C ，C （2，2）代入直线y ＝12x ＋b 中，可得1+=2b ，解得1b =；故b 的取值范围是112b -≤≤．故答案为：112b -≤≤【点拨】本题考查一次函数图象上的点的特征，待定系数法等知识，解题的关键是应用数形结合思想，属于中考常考题型．【考点五】一次函数图象的增减性➼➻求最值【例5】（2023春·江苏淮安·八年级统考期末）学习“一次函数”时，我们从“数”和“形”两方面研究一次函数的性质，并积累了一些经验和方法．小聪同学尝试运用积累的经验和方法对函数|1|2y x =--的图像与性质进行探究，下面是小聪同学的探究过程，请你补充完整．（1）列表：x (2)-1-01234…y…10a2-1-b1…则=a _________，b =_________．（2）描点并画出该函数的图像；（3）①请写出一条关于函数|1|2y x =--的性质：__________________；②观察函数图像，当24y <<时，x 的取值范围是_________；③观察图像，直接写出函数|1|2y x =--的最小值_________．【答案】（1）1-，0；（2）见分析；（3）①当1x >时，y 随x 的增大而增大（答案不唯一）；②53x -<<-或57x <<；③2-【分析】（1）直接将0x =、3x =分别代入函数|1|2y x =--中求解即可；（2）根据描点法画函数出图像即可；（3）①可根据图像的对称性、增减性等方面得出函数的性质即可；②根据图像的增减性可求解；③根据图像的最低点可求得该函数的最小值．（1）解：由表格知，当0x =时，0121a =--=-，当3x =时，3120b =--=，故答案为：1-，0；（2）解：根据所给表格数据，在平面直角坐标系中描点、连线，则函数|1|2y x =--图像如图所示：（3）解：①根据图像，当1x >时，y 随x 的增大而增大，或函数|1|2y x =--关于直线1x =对称，等，故答案为：当1x >时，y 随x 的增大而增大（答案不唯一）；②根据图像，当1x >时，y 随x 的增大而增大，当1x <时，y 随x 的增大而减小，当2y =时，由|1|22x --=得3x =-或5x =，当4y =时，由|1|24x --=得5x =-或7x =，∴当24y <<时，x 的取值范围是53x -<<-或57x <<，故答案为：53x -<<-或57x <<；③由图像知，当1x =时，函数|1|2y x =--取得最小值，最小值为2-，故答案为：2-．【点拨】本题考查一次函数的图像与性质，理解题意，能从函数图像得出所需信息是解答的关键．【举一反三】【变式1】（2021春·全国·八年级专题练习）设0＜k ＜2，关于x 的一次函数y=（k-2）x+2，当1≤x≤2时，y 的最小值是（）A ．2k-2B ．k-1C ．kD ．k+1【答案】A【分析】先根据0＜k ＜2判断出k-2的符号，进而判断出函数的增减性，根据1≤x≤2即可得出结论．解：∵0＜k ＜2，∴k-2＜0，∴此函数是减函数，∵1≤x≤2，∴当x=2时，y 最小=2（k-2）+2=2k-2．故选A ．【点拨】本题考查的是一次函数的性质，熟知一次函数y=kx+b （k≠0）中，当k ＜0，b ＞0时函数图象经过一、二、四象限是解答此题的关键．【变式2】（2023春·天津滨海新·八年级校考期末）已知一次函数23y x =-+，当05x ≤≤时，函数y 的最大值是．【答案】3【分析】根据20-<知道一次函数23y x =-+是单调递减函数，即y 随x 的增大而减小，代入计算即可得到答案．解：∵20-<，∴一次函数23y x =-+是单调递减函数，即y 随x 的增大而减小，∴当05x ≤≤时，在0x =时y 取得最大值，即：当05x ≤≤时，y 的最大值为：max 0(2)33y =⨯-+=，故答案为：3．【点拨】本题主要考查了一次函数的性质，一次函数y kx b =+，当0k <时y 随x 的增大而减小，0k >时，y 随x 的增大而增大；掌握一次函数的性质是解题的关键．【考点六】一次函数图象的增减性➼➻比较大小【例6】（2023春·全国·八年级专题练习）已知一次函数24y x =-+．（1）在平面直角坐标系中画出该函数的图象；（2）若3n >，点()13C n y +，，()221D n y +，都在一次函数24y x =-+的图象上，试比较1y 与2y 的大小，并说明理由．【答案】（1）见分析；（2）12y y >，理由见分析【分析】（1）求出一次函数24y x =-+图象与坐标轴的交点坐标，过这两点的直线即为该函数的图象；（2）由函数解析式可判断该函数y 随x 的增大而减小，又可判断213n n +>+，即可确定12y y >．解：（1）对于24y x =-+，当0y =时，即240x -+=，∴2x =；当0x =时，即4y =．∴函数24y x =-+的图象经过点（2，0）、（0，4）；∴函数24y x =-+的图象如图所示．（2）∵3n >，∴()()21320n n n +-+=->，∴213n n +>+．∵24y x =-+，20k =->，∴y 随x 的增大而减小．∵点()13C n y +，，()221D n y +，都在一次函数24y x =-+的图象上，∴12y y >．【点拨】本题考查画一次函数的图象，一次函数的增减性．熟练掌握一次函数的性质是解题关键．【举一反三】【变式1】（2022春·河北邯郸·八年级校考阶段练习）已知点（－2，1y ），（－1，2y ），（1，3y ）都在直线y ＝－x ＋7上，则1y ，2y ，3y 的大小关系是（）A ．1y ＞2y ＞3yB ．1y ＜2y ＜3y C ．3y ＞1y ＞2y D ．3y ＜1y ＜2y 【答案】A【分析】判断-2＜-1＜1，根据一次函数的性质，得到结论．解：∵直线y ＝－x ＋7中k =-1＜0，∴y 随x 的增大而减小，∵点（－2，1y ），（－1，2y ），（1，3y ）都在直线y ＝－x ＋7上，且-2＜-1＜1，∴1y ＞2y ＞3y ，故选A ．【点拨】本题考查了一次函数的增减性，熟练掌握性质是解题的关键．【变式2】（2023春·广东湛江·八年级校考期中）若()11,A x y ，()22,B x y 分别是一次函数45y x =-+图象上两个不相同的点，记()()1212W x x y y =--，则W0．（请用“＞”，“＝”或“＜”填写）【答案】＜【分析】根据一次函数的性质进行判断即可得到答案．解：∵一次函数45y x =-+，y 随x 增大而减小，∴当12x x <时，12y y >，∴12120,0x x y y --<>，∴()()12120W x x y y =--<，当12x x >时，12y y <，∴12120,0x x y y --><，∴()()12120W x x y y =--<，故答案为：＜．【点拨】本题考查一次函数的性质，解题的关键是熟知一次函数的图形性质．【考点七】一次函数的图象➼➻一次函数与一元一次方程【例7】（2019春·广东江门·八年级阶段练习）如图，已知直线l 1：y=2x+3，直线l 2：y=﹣x+5，直线l 1、l 2分别交x 轴于B 、C 两点，l 1、l 2相交于点A ．（1）求A 、B 、C 三点坐标；（2）求△ABC 的面积．【答案】（1）A （23，133），B （3,02-）,C （5,0）（2）16912解：（1）由题意得，令直线l 1、直线l 2中的y 为0，得：x 1=-，x 2=5，由函数图象可知，点B的坐标为（-，0），点C的坐标为（5，0），∵l1、l2相交于点A，∴解y=2x+3及y=-x+5得：x=，y=∴点A的坐标为（，）；（2）由（1）题知：|BC|=，又由函数图象可知S△ABC=×|BC|×|y A|=××=【举一反三】【变式1】（2022秋·辽宁丹东·八年级校考期中）如图所示，已知点A（﹣1，2）是一次函数y＝kx+b （k≠0）的图象上的一点，则下列判断中正确的是（）A．y随x的增大而减小B．k＞0，b＜0C．当x＜0时，y＜0D．方程kx+b＝2的解是x＝﹣1【答案】D【分析】根据一次函数的性质判断即可．解：由图象可得：A、y随x的增大而增大；B、k＞0，b＞0；C、当x＜0时，y＞0或y＜0；D、方程kx+b＝2的解是x＝﹣1，故选：D．【点拨】考查了一次函数与一元一次方程的关系，一次函数图象与系数的关系，正确的识别图象是解题的关键．【变式2】（2023秋·全国·八年级专题练习）如图，直线2y x =与=+y kx b 相交于点(,2)p m ，则关于x的方程2kx b +=的解是.【答案】=1x 【分析】首先利用函数解析式2y x =求出m 的值，然后再根据两函数图象的交点横坐标就是关于x 的方程2kx b +=的解可得答案．解： 直线2y x =与=+y kx b 相交于点(),2P m ，22m ∴=，1m ∴=，()1,2P ∴，∴当=1x 时，2y kx b =+=，∴关于x 的方程2kx b +=的解是=1x ，故答案为：=1x ．【点拨】此题主要考查了一次函数与一元一次方程，关键是求得两函数图象的交点坐标．。
一次函数(第2课时)八年级数学上册课件(浙教版)
函数解析式
y=kx+b
选取
满足条件的两点
(x1,y1),(x2,y2)
解出
画出
选取
一次函数的图象直线l
解：∵P（0，-1） 和Q（1，1）都在该函数图象上，
∴它们的坐标应满足y=kx+b ， 将这两点坐标代入该
式中，得到一个关于k，b的二元一次方程组：
∴y是关于x的一次函数；
（2）把y=-15，x=-1；x=7，y=1，分别代入y=kx-kn-m，
−�� = −�� − �� − ��
得
，
= �� − �� − ��
解得：k=2，
∴y=2x-2n-m
∵x=7时，y=1
∴1=14-2n-m
解得-2n-m=-13
∴y关于x的函数表达式为：y=2x-13．
【点睛】利用定义求一次函数 y kx b 解析式时，必须保证：
（1）k ≠ 0；（2）自变量x的指数是“1”
（2）当m为何值时，这个函数是正比例函数?
解：由题意可得
m-1≠0，1-m2=0，解得m=-1.
即m=-1时，这个函数是正比例函数.
例2 已知一次函数 y=kx+b，当 x=1时，y=5；当x=-1时，y=1．求 k 和 b 的值．
【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，牢记直线上任
意一点的坐标都满足函数关系式 y=kx+b 是解题的关键．
4．一次函数y=ax-a+3中，当x=1时，可以消去a，求出y=3结合一次函数
图象可知，无论a取何值，一次函数y=ax-a+3的图象一定过定点(1,3)，则
定义像这样的一次函数图象为“点旋转直线”若一次函数y=(a3)x+a+3(a≠3)的图象为“点旋转直线”，那么它的图象一定经过点（ ）
北师大版数学八年级上册3《一次函数的图象》说课稿3
北师大版数学八年级上册3《一次函数的图象》说课稿3一. 教材分析《一次函数的图象》是北师大版数学八年级上册第3节的内容。
本节主要让学生了解一次函数的图象特点，学会如何绘制一次函数的图象，并通过图象理解一次函数的性质。
教材通过实例引入一次函数的图象，使学生感受数形结合的思想，培养学生的动手操作能力和几何直观能力。
二. 学情分析八年级的学生已经学习了函数的概念和一次函数的性质，对函数有了初步的认识。
但学生对函数图象的理解还不够深入，需要通过实例和操作来进一步感悟。
同时，学生对数形结合的思想还比较陌生，需要在本节课中加以引导和培养。
三. 说教学目标1.知识与技能：了解一次函数的图象特点，学会绘制一次函数的图象，通过图象理解一次函数的性质。
2.过程与方法：通过实例和操作，培养学生的动手操作能力和几何直观能力，感受数形结合的思想。
3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队协作精神，使学生体验成功的喜悦。
四. 说教学重难点1.教学重点：一次函数的图象特点，一次函数图象的绘制方法。
2.教学难点：对一次函数图象的理解，数形结合思想的感悟。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用启发式教学法、实例教学法和小组合作学习法。
2.教学手段：利用多媒体课件、黑板、粉笔等传统教学工具，结合数学软件进行图象演示。
六. 说教学过程1.导入新课：通过一个实际问题，引出一次函数的图象，激发学生的兴趣。
2.自主探究：让学生利用数学软件自主绘制一次函数的图象，观察图象特点，总结一次函数的性质。
3.小组交流：学生分组讨论，分享各自的研究成果，互相学习，培养团队协作精神。
4.讲解与演示：教师对一次函数的图象进行讲解，利用多媒体课件和数学软件进行图象演示，引导学生理解一次函数的性质。
5.巩固练习：设计一些练习题，让学生运用所学知识解决问题，巩固所学内容。
6.总结与反思：让学生总结本节课的收获，反思自己在学习过程中的不足，为下一步学习做好准备。
八上5.3一次函数的图像(1)
5.3 一次函数的图像（1）教案班级_________姓名_____________学号_________学习目标1．知道一次函数的图象是一条直线；2．会选取两个适当的点画一次函数的图象；3．进一步理解正比例函数与一次函数的关系．学习难点会选取两个适当的点画一次函数的图象。
教学过程一、自主预习：1．自学课本1151～153页，会画画一次函数的图象。
2．一次函数y=5x+2的图象是一条经过第______象限的直线，它与x轴的交点坐标为_________，与y轴的交点坐标为__________。
3．一次函数y=kx+3的图象经过点（－1，5），则k=___________。
二、合作研讨：1．问题情境：观察书151页的图片，你能得到哪些信息？2．设香的长度为y（cm），点燃时间为x（分钟），你能写出y与x的关系式吗?3．例题讲解：例、作出一次函数y=2x+1的图象解：（1）列表（写出自变量x与函数值的对应表）先确定x的若干个值，然后填入相应的y（2为点的纵坐标，便可画出一个点。
也就是由表中给出的有序实数对，在直角坐标系中描出相应的点。
（3）连线：按照横坐标由小到大的顺序把相邻两点用线段连结起来，得到的图形就是函数式y=2x+1的图象，它是一条直线。
方法小结：（1）一次函数的图象是一条直线，由直线的公理可知：两点确定一条直线，所以作一次函数的图象时，只要确定两个点，再过这两个点作直线就可以了，一次函数y=kx+b的图象也称为直线y=kx+b。
（2）作一次函数的步骤：（1）列表；（2）描点；（3）连线。
（3）明确一次函数的图象是一条直线，因此在作图时，不需要列表，只要确定两点即点（0，），点（，0）就可以了。
4．自主练习：（1）同一坐标系中，画一次函数y=4x－4、y=－4x+4的图象.（2）点(1，2)、(2，－4)是否在所画的图象上？在哪一个函数的图象上？（3）如果（a，5）在y=4x－4的图象上，求a的值.（4）你能写出它们的交点坐标吗？5．自主小结：（1）这一节课你学到了什么？（2）你还存在哪些疑问？。
浙教版八年级上册5.3一次函数(共14张PPT)
；
（4）迎宾大道两旁的水杉树大约有5米，每年可长高0.2米，t年后的
水杉树高度为h米，则h与t之间的关系式是 h=0.2t+5 .
观察、比较
完成表格并比较下列各函数，它们有哪些共同的特征？
y=5.8x C=2πr m=500-7n h=0.2t+5
自变量 自变量的系数 自变量的次数
y=5.8x
x 5.8 1
(3) 假定某种储蓄的月利率是0.16%,存入1000元本金后,本息和 y(元)与所存月数x之间的关系.
(4) 等腰三角形ABC的周长为16(cm),底边BC长为y(cm),腰AB长 为x(cm). y与x之间的关系.
练一练
求出下列各题中x与y之间的函数关系式,并判断y是否为x的一次 函数?是否为正比例函数? (1) 汽车以60千米/时的速度匀速行驶,行驶路程y(千米)与行驶时 间x(时)之间的关系.
k
b
特别地， 当b=0时，一次函数y=kx+b 就成为y=kx (k为常数， k≠ 0），叫做正比例函数. 常数k叫做比例系数
思考
（1）一次函数与正比例函数之间有何关系？ 正比例函数是一次函数，但 一次函数不一定是正比例函数
（2）为什么一次函数中k≠0？ 当k=0时，自变量的次数不为1次
（3）对于一般的一次函数自变量的取值范围是什么？
(1) 设全年应纳税所得额为x元，且36000＜x≤144000，应纳个人 所得税为y元，求y关于x的函数表达式和自变量的取值范围.
(2) 小聪妈妈去年应纳税所得额为60000元，则她去年应缴纳个人 所得税多少元？
练一练
1、一种移动通讯服务的收费标准为：每月基本服务费30元， 每月免费通话时间为120分，以后每分收费0.4元. (1) 写出每月话费y关于通话时间x(x>120)的函数表达式；
浙教版八年级上册数学《5.4一次函数的图像(1)》课件
交点是（0，2）
3
例1、在同一坐标系中作出下列函数的图象，并
求它们与坐标轴的交点坐标： y=3x, y=-3x+2
想一想：
y y=3x
你能直接利用函数的表达式求 函数图像与坐标轴交点的坐标 吗？
令x=0，解出y的值即直线与y 轴交点的纵坐标；
令y=0，解出x的值即直线与x轴 交点的横坐标。
3 2 1
了函数y=3x的图象，其图象与坐标轴的交
点是原点（0，0）
-2 -1
3 2 1
01 2 3 x
对于函数y＝－3x+２，
-1
取x=0，得y=2，得到点（0，2）；
-2 y=－3x+2
取x=1,得y=－1,得到点（1，－1）
过点（0，2），（1，-1）画直线，就得到了函数y=-
3x+2的图象，其图象与x轴的交点是（2 ，0），与y轴
6、“教学的艺术不在于传授本领，而在于激励、唤醒、鼓舞”。2021年11月2021/11/82021/11/82021/11/811/8/2021
•7、“教师必须懂得什么该讲，什么该留着不讲，不该讲的东西就好比是学生思维的器，马上使学生在思维中出现问题。”“观察是 思考和识记之母。”2021/11/82021/11/8November 8, 2021
一．从这节课中你学到了哪些知识？ 1、什么是函数的图象？它有哪些意义？ 2、怎样画一次函数的图象？它有哪些步骤？ 3、一次函数的图象特征是什么？ 4、怎样求函数的图象与坐标轴交点的坐标？ 有哪些方法？
二．你还有哪些疑问？
x y=2x+1
…. -2 -1 0 1 2 …. …. -3 -1 1 3 5 ….
(-2,-3) (-1,-1) (0,1) (1,3) (2,5)……
初中八年级数学 5.3一次函数的图像(1)
课题：5.3一次函数的图象(1)一、学习目标1、知道一次函数的图象是一条直线,会选取适当的点画一次函数的图象。
2、经历作图过程，初步了解作函数图象的一般步骤。
3、理解一次函数的代数表达式与图象之间的对应关系。
4、能较熟练作出一次函数的图象。
二、预习交流：书P点燃一支香，感受它的长度随着时间的变化而变化，帮助学生理解课本图片提供的信息，探索一次函数的图象。
（1）图中共有几支香？（2）图片是怎样表示时间变化的？（3）这支香点燃5分钟后缩短了多少？点燃10分钟后呢？（4）用y（cm）表示香的长度，x（min）表示香燃烧的时间，你能写出y与x之间的函数关系式吗？（5）依次连接图片中香的顶端，你有什么发现？（6）你能利用平面直角坐标系，将图片揭示的信息以及你的发现告诉大家吗？三、典型例题例1：作出一次函数y=2x+1的图象例2：（1）作出一次函数y=-2x+5的图象，（2）在所作的图象上取几个点，找出它们的横坐标和纵坐标，并验证它们是否满足关系式y=-2x+5。
123、连线：把这些点依次连接起来，得到y=-2x+5的图象，它是一条直线。
图象：四、巩固练习1、书后练习2、在同一直角坐标系中画出下列函数式的图象：（1）y=-3x;(2)y=-3x+2;(3)y=-3x-33、画出直线y ＝-2x ＋3，借助图象找出:(1)直线上横坐标是2的点；(2)直线上纵坐标是-3的点；(3)直线上到y 轴距离等于1的点。
补充练习1．K= 时，一次函数y=kx |k|-3中，y 随x 的增大而减小。
2．下列一次函数y=kx+b （k ≠0）的图象中，k<0，b>0的是 。
3．直线y=kx-3与y=5x 平行，则k ，此时y 随x 增大而 。
4．函数y=mx-m 的图象过（2，1）点，则m= 。
函数的图象与x 轴的交点坐标为（ ， ），与y 轴的交点坐标为（ ， ）。
5．一次函数y=kx+b 中，k 0，b 0时，图象不过第一象限。
新北师大版八年级数学上册《一次函数的图象(1)》精品课件
k>0时，| k|越大，直线越陡， y的值增大得越快
-5 -4
x
-2
-3 -4 -5
新知探究二
y= -4x
1 y x 2
1、这两条直线k<0 ，哪条直线 | k|大？ 2、哪条直线与x轴正方向所成的 锐角大（贴近y轴）？ 3、随着x值增大，y的值都减小 了，哪一个减小的更快？
y
5
4 3 2 1
x
2、如图所示，下列结论中正确的是（ A.
k3 k2 k2 k1kk 13
k1 k k kk 12 23 k3
D
）
B.
k k kk 1 1 k3 3 k2 2 k2 k1 k3 k3 k1 k2
C.
D.
议一议
图象上的点和满足函数关系式的 图象上的点和满足函数关系式的 值之间存在怎样的关系？ 值之间是一一对应的关系。
点（0， 0 而 减小
－4 ）与点（1， ；
），y 随x的增大
0 ）和（1， 0.3 ）， 2.函数y=0.3x的图象经过点（0， y随x的增大而 增大 . 3.如果函数y =(m－2)x 的图象经过第一、三象限， 那么m 的取值范围是 m>2 ；
练习二
1、在下列函数中，表示函数y=kx（k＜0）的图像是（
探究
画正比例函数 y =2x 的图象
1. 列表
x y … -2 -1 0 1 2 …
y
2 4
…
5 4 3 2 1 -3 -2 -1 0 -1 -2 -3 -4 1
y=2x
… -4 -2 0
2. 描点
3. 连线
x
2 3
练习
画正比例函数 y =-2x 的图象
八年级数学一次函数的图象和性质
描点作图
将计算出的点在坐标轴上 标出，并使用平滑的曲线 连接这些点。
一次函数图象的特点
线性关系
一次函数图象是一条直线，函数 值随自变量的变化而均匀变化。
斜率
一次函数的斜率表示函数值随自 变量变化的速率，斜率k>0时， 函数值随自变量增大而增大；斜 率k<0时，函数值随自变量增大
而减小。
y轴上的截距
05 练习与巩固
基础练习题
2、已知一次函数$y = kx + b(k neq 0)$的图象经过第一、三、四 象限，则$k$的取值范围是( )
3、已知一次函数$y = kx + b(k neq 0)$的图象经过第一、三、四 象限，则$k$的取值范围是____．
1、已知函数$y = (2m + 1)x + m - 3$，若这个函数的图象不经过第 二象限，则$m$的取值范围是 ____．
一次函数的表示方法
一次函数可以用解析式表示为 $y=kx+b$，其中$k$是斜率，$b$是 截距。
也可以通过表格或图象来表示一次函 数的关系。
一次函数的基本性质
斜率
斜率$k$决定了函数的增减性，当$k>0$时，函数随$x$ 的增大而增大；当$k<0$时，函数随$x$的增大而减小。
单调性
一次函数的单调性由斜率决定，斜率$k>0$时，函数为增 函数；斜率$k<0$时，函数为减函数。
一次函数与坐标轴的关系
一次函数与x轴的交点
当y=0时，x的值即为与x轴的交点。
一次函数与坐标轴围成的三角形面积
可以通过截距和与x轴交点来计算三角形面积。
04 一次函数的应用
一次函数在实际问题中的应用
八年级数学上册《第四章3 一次函数的图象》讲解与例题
《第四章3 一次函数的图象》讲解与例题1．函数的图象关于一个函数，咱们把它的自变量x与对应的变量y的值别离作为点的横坐标和纵坐标，在直角坐标系中描出它的对应点，所有这些点组成的图形就叫做该函数的图象．谈重点函数图象与点的坐标的关系(1)函数图象上的任意点P(x，y)必知足该函数关系式．(2)知足函数关系式的任意一对x，y的值，所对应的点必然在该函数的图象上．(3)判定点P(x，y)是不是在函数图象上的方式是：将点P(x，y)的坐标代入函数表达式，若是知足函数表达式，那个点就在函数的图象上；若是不知足函数的表达式，那个点就不在函数的图象上．【例1】判定以下各点是不是在函数y＝2x－1的图象上．A(2,3)，B(－2，－3)．分析：将x的值代入函数表达式，若是等于y的值，那个点就在函数的图象上；不然，那个点不在函数的图象上．解：∵当x＝2时，y＝2×2－1＝3，∴A(2,3)在函数y＝2x－1的图象上；∵当x＝－2时，y＝－2×2－1＝－5≠－3，∴B(－2，－3)不在函数y＝2x－1的图象上．2．函数图象的画法画函数图象的一样步骤：(1)列表：列表给出自变量与函数的一些对应值，通常把自变量x的值放在表的第一行，其对应函数值放在表的第二行，其中x的值从小到大．(2)描点：以表中每对对应值为坐标，在平面直角坐标系内描出相应的点．描点时一样把关键的点准确地描出，点取得越多，图象越准确．(3)连线：依照自变量从小到大的顺序，把所描的点用滑腻的曲线连接起来．释疑点滑腻曲线的特点所谓的“滑腻曲线”，现时期可明白得为符合图象的进展趋势、让人感觉过渡自然、比较“平”“滑”的线，事实上有时是直线．【例2】作出一次函数y＝－2x－1的图象．分析：取几组对应值，列表，描点，连线即可．解：列表： x … －2 －1 0 1 … y … 3 1 －1 －3 …描点：以表中各组对应值作为点的坐标，在座标系中描出相应的点．连线：把这些点连起来．注：一次函数y ＝－2x －1的图象是直线，连线时，两头要露头．3.一次函数的图象和性质(1)一次函数的图象和性质①一次函数的图象：一次函数y ＝kx ＋b (k ≠0)的图象是一条直线．由于两点确信一条直线，因此画一次函数的图象，只要描出图象上的两个点⎝ ⎛⎭⎪⎫通常求出与x 轴的交点⎝ ⎛⎭⎪⎫－b k ，0和与y 轴的交点(0，b )，过这两点作一条直线就好了．咱们常常把这条直线叫做“直线y ＝kx ＋b ”．②一次函数中常量k ，b (k ≠0)：直线y ＝kx ＋b (k ≠0)与y 轴的交点是(0，b )，当b ＞0时，直线与y 轴的正半轴相交；当b ＜0时，直线与y 轴的负半轴相交；当b ＝0时，直线通过原点，现在一次函数即为正比例函数．一次函数y ＝kx ＋b 中的k ，决定了直线的倾斜程度，k 的绝对值越大，那么直线越接近y 轴，反之，越靠近x 轴．③一次函数y ＝kx ＋b (k ≠0)的性质：当k ＞0时，直线y ＝kx ＋b 从左向右上升，函数y 的值随自变量x 的增大而增大；当k ＜0时，直线y ＝kx ＋b 从左向右下降，函数y 的值随自变量x 的增大而减小．(2)正比例函数的图象和性质①正比例函数的图象：一样地，正比例函数y ＝kx (k 是常数，k ≠0)的图象是一条通过原点的直线，咱们称它为直线y ＝kx .在画正比例函数y ＝kx 的图象时，一样是通过点(0,0)和(1，k )作一条直线．②正比例函数y ＝kx 的性质：当k ＞0时，直线y ＝kx 通过第一、三象限，从左往右上升，即y 随x 的增大而增大；当k ＜0时，直线y ＝kx 通过第二、四象限，从左往右下降，即y 随x 的增大而减小．【例3－1】 作出一次函数y ＝－3x ＋3的图象．分析：由于一次函数的图象是一条直线，因此只要过其图象的两点画出一条直线即可．解：列表：x 0 1y＝－3x＋330描点，连线．【例3－2】假设一次函数y＝(2m－6)x＋5中，y随x增大而减小，那么m的取值范围是________．解析：当咱们明白函数的增减性后，就明白了k的取值范围，因为y随x增大而减小，因此k就小于0，即2m－6＜0，m＜3.因此m的取值范围是m＜3.答案：m＜3析规律k与b的作用在一次函数解析式中，k确信函数的增减性，b确信函数图象与y轴的交点．【例3－3】以下图表示一次函数y＝kx＋b与正比例函数y＝kx(k，b是常数，且k≠0)图象的是( )．解析：关于两个不同的函数图象共存于同一坐标系的问题，常假设某一图象正确，确信k，b的符号，然后再依照k或b的符号判定另一函数图象是不是与k，b的符号相符合．观看A中一次函数图象可知k＞0，b＜0，而正比例函数的图象通过第二、四象限，现在k＜0，因此A不正确，用一样的方式可确信B，C不正确．应选D.答案：D点技术同一坐标系中多函数图象问题解答这种问题一样第一依照正比例函数和一次函数的图象别离先确信k的符号，对照k的符号，假设k符号一致，才说明可能正确，再结合题中的其他条件确信最终正确答案．4．k，b的符号与直线所过象限的关系学习了一次函数y＝kx＋b(k≠0)，咱们明白一次函数图象通过哪些象限是由k，b的符号决定的．一样分为四种情形：(1)k＞0，b＞0时，图象过第一、二、三象限；(2)k＞0，b＜0时，图象过第一、三、四象限；(3)k＜0，b＞0时，图象过第一、二、四象限；(4)k＜0，b＜0时，图象过第二、三、四象限．析规律k，b的符号与直线的关系依照一次函数y＝kx＋b中k，b的符号能够确信图象所通过的象限；依照函数图象所通过的象限，能够确信k，b的符号．解决有关问题，应熟练把握k，b的符号与函数图象所通过象限的几个类型，并能灵活应用．【例4－1】一次函数y＝kx＋b的图象通过第二、三、四象限，那么正比例函数y＝kbx的图象通过哪个象限？分析：要确信函数y ＝kbx 的图象通过哪些象限，那么需要确信kb 的符号，而kb 的符号由k 的符号和b 的符号决定，因此只要依照已知条件确信k ，b 的符号即可解决问题．解：因为y ＝kx ＋b 的图象通过第二、三、四象限，因此k ＜0，b ＜0，因此kb ＞0.因此函数y ＝kbx 的图象通过第一、三象限．【例4－2】 如图是一次函数y ＝kx ＋b 的图象的大致位置，试别离确信k ，b 的正负号，并判定一次函数y ＝(－k －1)x －b 的图象所通过的象限．分析：由函数y ＝kx ＋b 的图象可知，函数的图象通过第一、三、四象限，因此k ＞0，b ＜0，由此可得－k －1＜0，－b ＞0，从而确信一次函数y ＝(－k －1)x －b 的图象通过第一、二、四象限．解：观看图象可得k ＞0，b ＜0，因此－k －1＜0，－b ＞0，因此一次函数y ＝(－k －1)x －b 的图象通过第一、二、四象限．5.一次函数图象与坐标轴的交点一次函数的图象是直线，这条直线与x 轴交于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－b k ，0，与y 轴交于点(0，b )．考查直线与两坐标轴的交点的问题常见的有三类：(1)判定直线所过的象限，一样给出函数关系式，判定直线通过哪几个象限或确信不通过哪个象限．(2)求直线的解析式，一样先设出函数关系式为y ＝kx ＋b (k ≠0)，把已知的两点的坐标别离代入，求出k ，b 的值即可．(3)求两交点与坐标轴围成的三角形的面积，由于那个三角形是直角三角形，利用面积公式即可．【例5】 如图，已知直线y ＝kx －3通过点M (－2,1)，求此直线与x 轴，y 轴的交点坐标，并求出与坐标轴所围的三角形的面积．分析：先将点M (－2,1)代入y ＝kx －3，确信一次函数解析式，再别离令x ＝0和y ＝0，即可求出此直线与x 轴，y 轴的交点坐标．解：将点M (－2,1)代入y ＝kx －3，得1＝－2k －3，解得k ＝－2，因此y ＝－2x －3.又当x ＝0时，y ＝－3，当y ＝0时，x ＝－32，因此此直线与x 轴，y 轴的交点坐标别离为⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，0，(0，－3)． 因此所围三角形的面积为12×32×3＝94. 点评：在平面直角坐标系中求图形的面积时，通常把轴上的边作为底，再利用点的坐标求得底上的高，然后利用面积公式求解．6．关于一次函数的最值问题关于一样的一次函数，由于自变量的取值范围能够是全部实数，因此不存在最大、最小值(简称“最值”)，但在实际问题中，因题目中的自变量受到实际问题的限制，因此就有可能显现最大值或最小值．求解这种问题，先分析问题中两个变量之间的关系是不是适合一次函数模型，再在自变量许诺的取值范围内成立一次函数模型．运用一次函数解决实际问题的关键是依照一次函数的性质来解答．除正确确信函数表达式外，利用自变量取值范围去分析最值是解题的关键．“在生活中学数学，到生活顶用数学”，是新课标所提倡的一个主旨之一，在考题中，有许多利用数学知识求解生活中的实际问题的试题，考查同窗们利用所学知识求解实际问题的能力．【例6】某报刊销售亭从报社订购晚报的价钱是0.7元，销售价是每份1元，卖不掉的报纸能够以每份0.2元的价钱退回报社，假设每一个月按30天计算，有20天天天可卖出100份报纸，其余10天天天只能卖出60份，但天天报亭从报社订购的份数必需相同，报亭天天从报社订购多少份报纸，才能使每一个月所取得的利润最大？分析：假设报亭天天从报社订购x份报纸，每一个月取得的利润为y，那么y是x的一次函数，且自变量的取值范围是60≤x≤100，并依照函数的性质来确信订多少份报纸．解：依照题意，得y＝(1－0.7)×(20x＋10×60)－(0.7－0.2)(x－60)×10，即y＝x＋480(60≤x≤100)．∵此函数是一次函数，且一次项的系数大于0，函数y随x的增大而增大，∴当x＝100时，y有最大值，其最大值为100＋480＝580(元)．订购方案：天天从报社订100份报纸，如此取得利润最大，最大利润为580元．。
苏科版八上 5.3 一次函数的图象(1)练习
⒎直线y=kx+b与直线y= 平行，且与直线y= 交于y轴上同一点，则该直线的解析式为________________________________.
三、解答题
⒏已知一次函数y=2x－4与y=－x+2.
⑴在同一坐标系中画出们的图象;
淮安外国语学校八（上）数学作业纸
班级________学号________姓名________评价________
课题
一次函数的图象（1）
日期
12月5日
主备
倪波
审核人
赵齐猛
一、选择题
⒈一次函数y=2x+3的图象不经过的象限是（）
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
⒉一次函数y=kx+b的图象如图．则（）
A.k= ，b= B. k= ，b=
C. k= ，b= D. k= ，b=
⒊一次函数y=2x－1图象是（）
⒋下列点中，不在一次函数y=－2x+1的图象上的点是（）
A.(1，－1 ) B. (0，1) C. (2，0) D. (－1，3)
二、填空题
⒌一次函数y=5x+2的图象是一条经过第__________象限的直线，它与x轴的交点坐标为__________________,与y轴的交点坐标为_________________.
⑵求出它们的图象的交点坐标.
⒐已知直线y= x+1与直线a关于y轴对称，在同一坐标系中画出它们的图象，并求出直线a的解析式.
⒑已知矩形的周长为10cm，一边长为xcm，另一边长为ycm，列出用x表示y的函数关系式，求出自变量x取值范围并画出此函数的图象.
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随堂练习
求a的值. ⑷你能写出它们的交点坐标吗？
你能画出这个函数的图象吗? y 16 (0,16) 14 (5,12) 12 10 8 (10,8) 6 (15,4) 4 2 (20,0)
y=16－0.8x
0
5
10
15
20 x
挑战自我：
在同一坐标系中，画一次函数
y=2x+2、y=2x－1、y=2x－2的图 象，说说你的发现.
•
1
•
0
•
1
•
x
y=－x+2
思考、提高:
画一次函数y=－x+2的图象有没有简捷的 方法呢？ 画一次函数y=kx+b(k≠0)的图象时，只要 确定2个点的位置，过这两个点画直线就可以了
画画看:
x y 0 2 2 0
画一次函数y=－x+2的图象;
y
2• 1
0
• 1 2
x
y=－x+2
小结:
画一次函数y=kx+b(k≠0)的 图象时，只要确定2个点的位置,
b 即点(0， b )，点( - ，0) k
想一想,说一说 ：
1、一次函数y=x－1的图象是（ Ｃ ）
y 1 -1 y 0 -1 C 1 x 0 0 A x y
-1
0
x
-1
B y 1 1 x
D
2.下列各点中，哪些点在函数y=4x+1的图象上? 哪些点不在函数y=4x+1的图象上?为什么？
(2，9) (5，1) (-1，-3) (-0.5，-1)
0 5 10 15 20 x
y=16－0.8x
这些点在一条直线上吗?
这些点都在一条直线上.
一次函数图象的画法
在直角坐标系中画一 次函数y=2x+1的图象.
⑴列表
x y=2x+1 … … －1 －1 －0.5 0 0 1 0.5 2 1 3 … …
y
3
2 1 •
• •
2 3 x
⑵描点. ⑶连线.
-3 -2 -1 •0 1 • -1 -2
的长度，建立直角坐标系，分别描出点 (0,16),点(5,12),点(10,8),点(15,4),点 (20,0).
y
16 14 12 10 8 6 4
(0,16) (5,12)
y=16－0.8x
(10,8) (15,4)
(20,0)
2
0 5 10 15
20
x
y 16 (0,16) 14 (5,12) 12 10 8 (10,8) 6 (15,4) 4 2 (20,0)
大家一起来说
作业：
Ｐ155 1
3.若函数y=2x-3 的图象经过点(1，a) ，(b， 2) 两点, 则a= b= 4.点已知M(-3, 4)在一次函数y=ax+1的图象上, 则a的值是
⑴同一坐标系中，画一 次函数y=4x－4、y=－4x+4的图象. ⑵点(1，2)、(2，－4)是否在所画 的图象上？在哪一个函数的图象上？ ⑶如果（a，5）在y=4x－4的图象上，
5.3 一次函数的图像（1） （课件）
观察下面的图片,你能得到哪些信息?
请将观察的结果填入下表:
点燃时间/分 香的长度/ cm 0
16
5
12
10 15 20
n，你 能写出y与x的关系式吗? y=16－0.8x
动手画一画
请以x轴表示点燃时间，以y轴表示香
y=2x+1
-3
画一次函数图象的一般步骤:
⑴列表; ⑵描点; ⑶连线.
结论:
一次函数y=kx+b(k≠0)的图象是一条直线; 一次函数y=kx+b(k≠0)的图象也称为直线 y=kx+b(k≠0).
小试牛刀:
仿照刚才方法画一次函
数y=－x+2的图象;
y
x … －1 0 1 2 … y=－x+1 … 3 2 1 0 …