作业与参考答案-ch04第四单元 秩和检验
机器人机构学【ch04】串联机器人机构拓扑结构特征与综合 培训教学课件
串联机器人机构拓扑结构特征
4)同一连杆上两运动副轴线相交于 一点，两者共用“⌒”表示。
5)若干个P副平行于同一平面，用 (-P-P-…-P-)表示。
“
6)同一连杆上两运动副轴线垂直，两者之间用“⊥”表示。
i(扭角)：两相邻运动副轴线之间的夹角，即按右手坐标 系，绕xi轴线由zi到zi+1的转角。
串联机器人机构拓扑结构特征
1)两运动副轴线重合，即 αi=0，ai=0。
2)两运动副轴线平行，即 αi=0，ai≠0。
上述机器人连 杆的关节运动 副可特殊配置
如下：
3)两运动副轴线相交于一 点，即αi≠0，ai=0。
”
串联机器人机构拓扑结构特征
串联机器人机构的活动度公式
串联机器人机构的活动度公式为
m
F fi i1
式中，F为机构活动度；m为机构运动副数；fi为第i个运动副自由度数。
串联机器人机构拓扑结构特征
串联机器人机构运动输出特征矩阵
串联机器人机构的位移输出与速度输出
串联机器人机构的位移输出是末端连杆的位置与方向(位姿)，为机构运动输入的函数。串
串联机器人机构运动输出特征方程
4)相互平行(重合)的两个转动必相关， 只对应一个独立转动输出。
5)平行于同一平面的三个转动必 相关。
“ 6)不平行于同一平面的四个转动必相关，三维空间内最多有三个独立的转动输出。 ”
03
串联机器人机构运动 输出特征矩阵运算
串联机器人机构运动输出特征矩阵运算 运动输出特征矩阵运算规则
步骤1 选定单开链的运动 输出特征矩阵MS。
高中数学必修四同步练习及答案(新课标人教A版)
高之邯郸勺丸创作中数学必人修教四A版练习册高中数学人教A 版必修4练习册目录导航人教A 版必修4练习1.1任意角和弧度制 ....................................................... 0 1.2任意角的三角函数 ..................................................... 2 1.3三角函数的诱导公式 ................................................... 4 1.4三角函数的图像与性质 . (6))sin(ϕω+=x A y 的图像与1.6三角函数模型的简单应用...................... 9 第一章 三角函数基础过关测试卷 .......................................... 11 第一章三角函数单元能力测试卷 ........................................... 13 2.1平面向量的实际布景及基本概念与2.2.1向量加法运算 .................... 16 2.2向量减法运算与数乘运算 .............................................. 18 2.3平面向量的基本定理及坐标暗示 ........................................ 20 2.4平面向量的数量积与2.5平面向量应用举例 .............................. 22 第二章平面向量基础过关测试卷 ........................................... 24 第二章平面向量单元能力测试卷 ........................................... 26 3.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式 .................................... 29 3.2简单的三角恒等变换 .................................................. 31 第三章三角恒等变换单元能力测试卷 ....................................... 33 人教A 版必修4练习答案1.1任意角和弧度制 ...................................................... 36 1.2任意角的三角函数 .................................................... 36 1.3三角函数的诱导公式 .................................................. 37 1.4三角函数的图像与性质 (37))sin(ϕω+=x A y 的图像与1.6三角函数模型的简单应用 (38)第一章三角函数基础过关测试卷 ........................................... 39 第一章三角函数单元能力测试卷 ........................................... 39 2.1平面向量的实际布景及基本概念与2.2.1向量加法运算 .................... 40 2.2向量减法运算与数乘运算 .............................................. 40 2.3平面向量的基本定理及坐标暗示 ........................................ 40 2.4平面向量的数量积与2.5平面向量应用举例 .............................. 41 第二章平面向量基础过关测试卷 ........................................... 42 第二章平面向量单元能力测试卷 ........................................... 42 3.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式 .................................... 43 3.2简单的三角恒等变换 .................................................. 43 第三章三角恒等变换单元能力测试卷 (44)一、选择题（每题5分，共50分）1.四个角中，终边相同的角是 （ ）A.,398 -38 B.,398 -142 C.,398 - 1042 D.,1421042α{=A ︱ 90⋅=k α,36 -}Z k ∈，β{=B ︱ 180- 180<<β},则B A 等于（ ）A.,36{ -54} B.,126{ -144} C.,126{ -,36 -,54144}D.,126{ -54}θ{=A ︱θ为锐角}，θ{=B ︱θ为小于 90的角}，θ{=C ︱θ为第一象限角}， θ{=D ︱θ为小于 90的正角}，则（ ）A.B A =B.C B =C.C A =D.D A =α与β终边相同，则一定有 （ ）A.180=+βα B.0=+βαC.360⋅=-k βα，Z k ∈ D.360⋅=+k βα，Z k ∈α为第二象限的角，则2α所在的象限是 （ ）5分钟，则分针转过的弧度数是 （ ）A.3πB.3π-C.2πD.32πcm 2的圆中，有一条弧长为cm 3π，它所对的圆心角为 （ ） A.6π B.3π C.2π D.32π α的终边经过点)1,1(--P ,则角α为 （ ）A.)(45Z k k ∈+=ππα B.)(432Z k k ∈+=ππα C.)(4Z k k ∈+=ππα D.)(432Z k k ∈-=ππα 316π化为)20,(2παπα<<∈+Z k k 的形式 ( )A.35ππ+B.344ππ+C.326ππ-D.373ππ+ α{=A ︱},2Z k k ∈+=ππα，α{=B ︱},)14(Z k k ∈±=πα，则集合A 与B 的关系是 （ ）A.B A =B.B A ⊇C.B A ⊆D.B A ≠ 二、填空题（每题5分，共20分）a 小于 180而大于- 180，它的7倍角的终边又与自身终边重合，则满足条件的角a 的集合为__________.12.写满足下列条件的角的集合.1）终边在x 轴的非负半轴上的角的集合__________； 2）终边在坐标轴上的角的集合__________；3）终边在第一、二象限及y 轴上的角的集合__________； 4）终边在第一、三象限的角平分线上的角的集合__________.cm 8，面积为24cm ，则扇形的圆心角的弧度数是__________.a {∈θ︱a =+πk },4)1(Z k k ∈⋅-π，则角θ的终边落在第__________象限.三、解答题（15、16每题7分，17、18每题8分）a 的终边与y 轴的正半轴所夹的角是 30，且终边落在第二象限，又 720-<a < 0，求角a .45=a ，（1）在区间 720[- 0,)内找出所有与角a 有相同终边的角β；（2）集合x M {=︱ 1802⨯=k x 45+，}Z k ∈,x N {=︱ 1804⨯=kx 45+}Z k ∈ 那么两集合的关系是什么？θ角的终边与3π的终边相同，在]2,0[π内哪些角的终边与3θ角的终边相同？ 30，当它的半径R 和圆心角各取何值时，扇形的面积最大？并求出扇形面积的最大值.一、选择题（每题5分，共40分）α的终边过点()αcos ,2,1-P 的值为 （ ）A.55-B.55 C.552 D.252.α是第四象限角，则下列数值中一定是正值的是 （ ）A.αsinB.αcosC.αtanD.αtan 1α的终边过点()()03,4<-a a a P ，则ααcos sin 2+的值是 （ ）A.52B.52- C.0α的取值有关 4.(),,0,54cos παα∈=则αtan 1的值等于（ ） A.34 B.43 C.34± D.43± x x y cos sin -+=的定义域是 （ ）A.()Z k k k ∈+,)12(,2ππB.Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++,)12(,22πππ C.Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++,)1(,2πππ D.[]Z k k k ∈+,)12(,2ππ θ是第三象限角，且,02cos<θ则2θ是 （ ）,54sin =α且α是第二象限角，那么αtan 的值为 （ ） A.34- B.43- C.43 D.34()ααcos ,tan P 在第三象限，则角α在 （ ）二、填空题（每题5分，共20分）,0tan sin ≥αα则α的取值集合为__________.α的终边上有一点(),5,m P 且(),013cos ≠=m mα则=+ααcos sin __________. θ的终边在直线x y 33=上，则=θsin __________，=θtan __________. (),2,0πα∈点()αα2cos ,sin P 在第三象限，则角α的范围是__________.三、解答题（第15题20分，其余每题10分，共40分）43π的角的正弦，余弦和正切值. ,51sin =α求ααtan ,cos 的值.,22cos sin =+αα求αα22cos 1sin 1+的值.一、选择题（每题5分，共40分） 1.21)cos(-=+απ，παπ223<<,)2sin(απ-值为 ( ) A.23B.21C.23± D.23- ,)sin()sin(m -=-++ααπ则)2sin(2)3sin(απαπ-++等于 （ ）A.m 32-B.m 23- C.m 32 D.m 23,23)4sin(=+απ则)43sin(απ-值为 （ ） A.21B.21- C.23 D.23- ),cos(|cos |π+-=x x 则x 的取值范围是（ ）A.)](22,22[Z k k k ∈++-ππππB.))(223,22(Z k k k ∈++ππππC.)](223,22[Z k k k ∈++ππππD.))(2,2(Z k k k ∈++-ππππ ,)1514tan(a =-π那么=︒1992sin （ ）A.21||aa + B.21aa + C.21aa +-D.211a+-则,635πα-=)(cos )sin(sin 1)cos()cos()sin(222απαπααπαπαπ+--+++--+的值等于 （ ） A.33 B.33- C.3D.－3 ,3cos )(cos x x f =那么)30(sin ︒f 的值为 （ ）A.0B.1C.1- D.23△ABC 中，若)sin()sin(C B A C B A +-=-+，则△ABC 必是 （ ） A .等腰三角形 B .直角三角形 C .等腰或直角三角形 D .等腰直角三角形二、填空题（每题5分，共20分） 9.求值：︒2010tan 的值为．1312)125sin(=-α ,则=+)55sin( α． 11.=+++++76cos 75cos 74cos 73cos 72cos7cos ππππππ． ,1234tan a =︒那么)206cos()206sin(︒-+︒-的值为．三、解答题（每题10分，共40分）3)tan(=+απ,求)2sin()cos(4)sin(3)cos(2a a a a -+-+--πππ的值．14.若32cos =α,α是第四象限角，求sin(2)sin(3)cos(3)cos()cos()cos(4)απαπαππαπααπ-+--------的值．αtan 、αtan 1是关于x 的方程0322=-+-k kx x 的两实根，且,273παπ<< 求)sin()3cos(απαπ+-+的值．4)cos()sin()(++++=βπαπx b x a x f ，（a 、b 、α、β均为非零实数），若5)1999(=f ，求)2000(f 的值．一、选择题(每题5分,共50分)1.)(x f 的定义域为[]1,0则)(sin x f 的定义域为 （ ）A.[]1,0B.)(2,2222,2Z k k k k k ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎥⎦⎤⎢⎣⎡+ πππππππ C.[])()12(,2Z k k k ∈+ππ D.)(22,2Z k k k ∈⎪⎭⎫⎢⎣⎡+πππ 2.函数)652cos(3π-=x y 的最小正周期是（ ） A52 B 25 C π2 D π53.x x y sin sin -=的值域是（ ）A ]0,1-B ]1,0C ]1,1[-D ]0,2[-)44(tan 1ππ≤≤-=x x y 的值域是 ( ) A.[]1,1- B.(][) +∞-∞-,11, C.[)+∞-,1 D.(]1,∞-5.下列命题正确的是 （ ）)3sin(π-=x y )cos(sin x y =既是奇函数,也是偶函数x x y cos =x y sin =既不是奇函数,也不是偶函数()f x 是定义域为R ，最小正周期为32π的函数，若cos ,(0)(),2sin ,(0)x x f x x x ππ⎧-≤<⎪=⎨⎪≤<⎩ 则15()4f π-等于 （ ） A 10 D.2-)3cos(πϖ+=x y 的周期为4π则ϖ值为 ( ) A.8 B.6 C.8± D.4)32sin(π+=x y 的图象( )⎪⎭⎫ ⎝⎛0,12π⎪⎭⎫⎝⎛-0,6π对称 3π=x 6π-=x 对称9.)2sin(θ+=x y 图像关于y 轴对称则 ( ) A.)(,22Z k k ∈+=ππθ B.)(,2Z k k ∈+=ππθC.)(,2Z k k ∈+=ππθD.)(,Z k k ∈+=ππθ21)4sin(≥-πx 的x 的集合是 ( ) A.⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≤≤+Z k k x k x ,121321252ππππ B.⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≤≤+Z k k x k x ,65262ππππ C.⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≤≤-Z k k x k x ,1272122ππππ D.⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≤≤Z k k x k x ,6522πππ 二、填空题(每题5分,共20分))23sin(2x y -=π的单调递增区间是__________.)21(cos log 2-=x y 的定义域是__________.)2sin(x y =的最小正周期为__________.)(x f 为奇函数,且当0>x 时,x x x x f 2cos sin )(+=,则当0<x 时,=)(x f __________.三、解答题(每题10分,共30分) “五点法”画出函数)621sin(π+=x y 在长度为一个周期的闭区间的简图. ⎪⎭⎫⎝⎛-=32tan )(πx x f ，(1)求函数)(x f 的定义域周期和单调区间；(2)求不等式3)(1≤≤-x f 的解集.x 值.(1)1)42sin(2++=πx y (2)),32cos(43π+-=x y ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈6,3ππx (3)5cos 4cos 2+-=x x y (4)2sin sin 1-+=x xy)sin(ϕω+=x A y一、选择题(每题5分，共35分)1)62sin(3)(--=πx x f 的最小值和最小正周期分别是 ( )A.13--，πB.13+-，πC.3-，πD.13--，π2)3sin(2πω+=x y 的图像与直线2=y 的相邻的两个交点之间的距离为π,则ω 的一个可能值为 ( ) A.3 B.2 C.31 D.21 )32sin(π-=x y 的图像,只要将x y 2sin =的图像 ( )3π3π6π6π个单位1)62sin(2++=πx y 的最大值是 （ ）A.1B.2C.3D.4)(x f 的部分图像如图所示，则)(x f 的解析式可能为 （ ）A.)62sin(2)(π-=x x f B.)44cos(2)(π+=x x fC.)32cos(2)(π-=x x f D.)64sin(2)(π+=x x f6.)23sin(2x y -=π的单调增区间为（ ） A.⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-125,12ππππK K B.⎥⎦⎤⎢⎣⎡++127,125ππππK K C.⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-6,3ππππK K D.⎥⎦⎤⎢⎣⎡++1211,125ππππK K []),0(),62sin(3ππ∈--=x x y 为增函数的区间是 （ ）A.⎥⎦⎤⎢⎣⎡125,0π B.⎥⎦⎤⎢⎣⎡32,6ππ C.⎥⎦⎤⎢⎣⎡1211,6ππ D.⎥⎦⎤⎢⎣⎡1211,32ππ二、填空题(每题5分，共15分)))(32sin(4)(R x x x f ∈+=有下列命题：1）有0)()(31==x f x f 可得21x x -是π的整数倍； 2）表达式可改写为)62cos(4)(π-=x x f ；3）函数的图像关于点)0,6(π-对称；4）函数的图像关于直线6π-=x 对称；其中正确的命题序号是__________.60米，从乙楼底望甲楼顶的仰角为 45,从甲楼顶望乙楼顶的俯角为 30，则甲乙两楼的高度分别为__________.10.已知1tan sin )(++=x b x a x f 满足7)5(=πf ，则)599(πf 的值为__________. 三、解答题(每题25分，共50分))421sin(3π-=x y ，1）用“五点法”画函数的图像；2）说出此图像是由x y sin =的图像经过怎样的变换得到的； 3）求此函数的周期、振幅、初相；4）求此函数的对称轴、对称中心、单调递增区间.)32cos(log )(π-=x ax f （其中)1,0≠>a a 且，1）求它的定义域； 2）求它的单调区间； 3）判断它的奇偶性；4）判断它的周期性，如果是周期函数，求出它的周期.第一章三角函数基础过关测试卷一、选择题(每题5分，共40分)240-角终边位置相同的角是 （ ）A.240 B.60 C.150 D.480()21cos -=+απ,则()απ+3cos 的值为 （ ）A.21 B.23± C.21- D.23 x y sin 1-=的最大值为 （ ）A.1B.0C.2D.1-⎪⎭⎫⎝⎛+=321sin x y 的最小正周期是 （ ）A.2πB.πC.π2D.π4 5.在下列各区间上，函数⎪⎭⎫⎝⎛+=4sin 2πx y 单调递增的是 （ ） A.],4[ππB.]4,0[πC.]0,[π-D.]2,4[ππ x y cos 1+=的图象 （ ） x y 2π=x 轴对称x x cos sin <成立的x 的一个区间是 （ ）A.⎪⎭⎫ ⎝⎛-4,43ππ B.⎪⎭⎫ ⎝⎛-2,2ππ C.⎪⎭⎫⎝⎛-43,4ππ D.()π,0 ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=43sin πx y 的图象，可由x y 3sin =的图象 （ ）4π4π个单位 C .向左平移12π个单位 D .向右平移12π个单位二、填空题（每题5分，共20分）β的终边过点()12,5--P ，求=βcos __________．x y tan lg =的定义域是__________．11.()R x x y ∈=sin 的对称点坐标为__________． 12.1cos cos -=x xy 的值域是__________．三、解答题(每题10分，共40分)2tan =β，求1sin cos sin 2+βββ的值． 14.化简：()()()()()()()()πααπαπαπααπααπ6sin sin cos sin 6cos cos cos sin 2222---++---+-++． 15.求证：ααααααααcos sin cos sin 1cos sin 2cos sin 1+=+++++．⎪⎭⎫ ⎝⎛≤≤+=323cos 2sin 2ππx x x y 的最大值和最小值．第一章三角函数单元能力测试卷一、选择题（每小题5分，共60分）α角属于第二象限，且2cos2cosαα-=，则2α角属于 ( ）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.下列值①)1000sin(-；②)2200cos( -；③)10tan(-；④4sin 是负值的为（ ）A.①B.②C.③D.④3.函数sin(2)(0)y x ϕϕπ=+≤≤是R 上的偶函数，则ϕ的值是 （ ） A.0 B4π C 2πD π 4sin 5α=，而且α是第二象限的角，那么tan α的值等于 （ ）A.43-B.34- C.43 D.345.若α是第四象限的角，则πα-是（ ）A 第一象限的角B 第二象限的角C 第三象限的角D 第四象限的角6.将函数sin()3y x π=-的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再所得的图象向左平移3π个单位，得到的图象对应的解析式是 ( )A.1sin 2y x = B 1sin()22y x π=- C.1sin()26y x π=- D.sin(2)6y x π=-7.若点(sin cos ,tan )P ααα-在第一象限,则在[0,2)π内α的取值范围是 ( )A.35(,)(,)244ππππ B 5(,)(,)424ππππC.353(,)(,)2442ππππ D 33(,)(,)244ππππ )42tan(π+=x y 的图像不相交的一条直线是 ( )A.2π=x B 2π-=x C 4π=x D 8π=x y sin =、x y sin =、)322sin(π+=x y 、)322cos(π+=x y 中,最小正周期为π的函数的个数是（ ） A.1个 B 2个 C 个 D 4个1sin 4x x π=的解的个数是 （ ） A B C 7 D 8 11.在)2,0(π内，使x x cos sin >成立的x 取值范围为 （ ） A.)45,()2,4(ππππ B.),4(ππC.)45,4(ππD.)23,45(),4(ππππ12.已知函数()sin(2)f x x ϕ=+的图象关于直线8x π=对称，则ϕ可能是（ ） A.2π B 4π- C 4π D 34π 二、填空题（每小题5分，共20分）13.设扇形的周长为8cm ，面积为24cm ，则扇形的圆心角的弧度数是__________14.若,24παπ<<则αααtan cos sin 、、的大小关系为__________15若角α与角β的终边关于y 轴对称，则α与β的关系是__________x 的函数()cos()f x x α=+有以下命题：①对任意α,()f x 都是非奇非偶函数；②不存在α，使()f x 既是奇函数，又是偶函数；③存在α，使()f x 是偶函数；④对任意α,()f x 都是奇函数其中假命题的序号是__________三、解答题（第17题10分，其余每题12分，共70分） 17.求下列三角函数值: （1）)316sin(π-（2）)945cos( - 18.比较大小:（1） 150sin ,110sin ； （2） 200tan ,220tan19.化简：（1）)sin()360cos()810tan()450tan(1)900tan()540sin(x x x x x x --⋅--⋅-- （2）xx x sin 1tan 1sin 12-⋅++20.求下列函数的值域： （1）)6cos(π+=x y ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,0πx ； (2) 2sin cos 2+-=x x y )32tan(π-=x y 的定义域、周期和单调区间.)631sin(2π-=x y 的图象(1)求函数的振幅、周期、频率、相位； (2)写出函数的单调递增区间；(3)此函数图象可由函数x y sin =怎样变换得到一、选择题（每题5分，共40分）1.把平面上所有的单位向量平移到相同的起点上，那么它们的终点所构成的图形是（ ）2.下列说法中，正确的是 （ ）>,则b a >=，则=b a =，则a ∥b a ≠b ，则a 与b 不是共线向量O 为△ABC 的外心，则、、是 （ ）ABCD 的边长为1，设=，=，=， +=（ ）A.0B.3C.22+D.2258==的取值范围是 （ ）A.[]8,3B.()8,3C.[]13,3D.()13,36.如图，四边形ABCD 为菱形，则下列等式中 A B成立的是A.CA BC AB =+B.BC AC AB =+C.=+D.=+ D C1的正三角形ABC 中，若向量a BA =，b BC =+（ ）A.7B.5C.3D.2a 、b 皆为非零向量，下列说法不正确的是 （ ）与>，则向量+与的方向相同a 与b <，则向量+与a 的方向相同 与同向，则向量+与的方向相同 与同向，则向量+与的方向相同二、填空题（每题5分，共20分）9.ABC ∆是等腰三角形，则两腰上的向量AB 与AC 的关系是__________.C B A ,,是不共线的三点，向量与向量是平行向量，与是共线向量，则=__________.ABCD 中，∠DAB ︒=601==__________.=++BO OP PB __________.三、解答题（13题16分，其余每题12分，共40分）13.化简：（1)FA BC CD DF AB ++++. (2)PM MN QP NQ +++.ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，且OC AO =，OB DO =.求证：四边形ABCD 是平行四边形.h km /5的速度向垂直于对岸的方向行驶，航船实际航行方向与水流方向成︒30 角，求水流速度和船的实际速度.一、选择题(每题5分,共40分)ABCD 中，下列各式中不成立的是 （ ）A.-=AC AB BCB.-=AD BD ABC.-=BD AC BCD.-=BD CD BCO 的有 （ ）①++AB BC CA ②+++OA OC BO CO③-+-AB AC BD CD ④+-+MN NQ MP QPA.①②B.①③C.①③④D.①②③AB 的是 （ ）①+AC CB ②-AC CB ③+OA OB ④-OB OAA.①④B.①②C.②③D.③④ 4. ()()=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+b a b a24822131（ ）A.2a b -B.2b a -C.b a -D.()b a --12,e e ，不共线，且1212()//()k e e e ke ++，则实数k 的值为 （ ）A.1B.1-C.1±D.0△ABC 中，向量BC 可暗示为 （） ①-AB AC ②-AC AB ③+BA AC ④-BA CAA.①②③B.①③④C.②③④D.①②④ABCDEF 是一个正六边形，O 是它的中心，其中===,,OA a OB b OC c 则EF =( )A.a b +B.b a -C.-c bD.-b cC 是线段AB 的中点，则AC BC += （）A.ABB.BAC.ACD.O二、填空题(每题5分,共20分)9.化简：AB DA BD BC CA ++--=__________.km 300后改变航向向西飞行km 400，则飞行的总路程为__________， 两次位移和的和方向为__________，大小为__________.11.点C 在线段AB 上，且35AC AB =，则________AC CB =. 12.把平面上一切单位向量归结到共同的始点，那么这些向量的终点所构成的图形是__________三、解答题(每题10分,共40分) 13.已知点C 在线段AB 的延长线上，且2,,BC AB BC CA λλ==则为何值? 14.如图，ABCD 中,E F 分别是,BC DC 的中点，G 为交点，若AB =a ，AD =b ，试以a ，b 暗示、BF 、CG 15.若菱形ABCD 的边长为2，求AB CB CD -+=? ABCD 中，若AB AD AB AD +=-，则四边形ABCD 的形状是什么？AG EFB D一、选择题（每题5分，共50分）1.已知平面向量),2,1(),1,2(-==b a 则向量b a 2321-等于 （ ） A.)25,21(-- B.)27,21( C.)25,21(- D.)27,21(-2.若),3,1(),4,2(==则BC 等于 （ ）A.)1,1(B.)1,1(--C.)7,3(D.)7,3(-- 3.21,e e 是暗示平面内所有向量的一组基底，下列四组向量中，不克不及作为一组基底的是 （ ） A.21e e +和21e e - B.2123e e -和1264e e - C.212e e +和122e e + D.2e 和21e e +4.已知平面向量),,2(),3,12(m b m a =+=且//，则实数m 的值等于 （ ）A.2或23-B.23C.2-或23D.72- 5.已知C B A ,,三点共线，且),2,5(),6,3(--B A 若C 点的横坐标为6，则C 点的纵坐标为A.13-B.9C.9-D.13 （ ）6.已知平面向量),,2(),2,1(m -==且b a //，则b a 32+等于 （ ）A.)10,5(--B.)8,4(--C.)6,3(--D.)4,2(--7.如果21,e e 是平面内所有向量的一组基底，那么 （ ）21,λλ使2211=+e e λλ，则021==λλ B.21,e e 可以为零向量21,λλ，2211e e λλ+纷歧定在平面内，使=2211e e λλ+的实数21,λλ有无数对8.已知向量)4,3(),3,2(),2,1(===c b a ，且b a c 21λλ+=，则21,λλ的值分别为 ( )A.1,2-B.2,1-C.1,2-D.2,1-9.已知),3,2(),2,1(-==若b n a m -与b a 2+共线（其中R n m ∈,且)0≠n ，则nm 等于 ( ) A.21- B.2 C.21 D.2- 10.在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ,E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F ，若,,== 则 等于（ ） A.b a 2141+ B.b a 3132+ C.b a 4121+ D.b a 3231+ 二、填空题（每题5分，共20分）11.已知),1,(),3,1(-=-=x b a 且//，则=x __________12.设向量)3,2(),2,1(==，若向量+λ与向量)7,4(--=共线，则=λ__________13.已知x 轴的正方向与的方向的夹角为3π4=，则的坐标为__________ 14.已知边长为1的正方形ABCD ，若A 点与坐标原点重合，边AD AB ,分别落在x 轴， y 轴的正向上，则向量++32的坐标为__________三、解答题(第15题6分,其余每题8分,共30分)15.已知向量与不共线，实数y x ,满足等式x x y x 2)74()10(3++=-+，求y x ,的值.16.已知向量21,e e 不共线，（1）若,82,2121e e BC e e AB +=+=),(321e e CD -=则B A ,,D 三点是否共线？（2）是否存在实数k ，使21e e k +与21e k e -共线？17.已知三点),10,7(),4,5(),3,2(C B A 点P 满足)(R AC AB AP ∈+=λλ，（1）λ为何值时，点P 在直线x y =上？（2）设点P 在第一象限内，求λ的取值范围.)1,4(),2,1(),2,3(=-==c b a ，（1）求c b a 23-+；（2）求满足c n b m a +=的实数n m ,；（3)若)2//()(a b c k a -+，求实数k .一、选择题（每题5分，共50分）1.若b a ,是两个单位向量，那么下列四个结论中正确的是 （ ）A.=B.1=⋅C.≠D.= 2.下面给出的关系始终正确的个数是 （ ）①00=⋅a ②a b b a ⋅=⋅③2a =④()()⋅⋅=⋅⋅b a ⋅≤A.0B.1C.2D.3 3.对于非零向量,，下列命题中正确的是 （ ）A.000==⇒=⋅或B. //⇒在bC.()2⋅=⋅⇒⊥ D.=⇒⋅=⋅4.下列四个命题，真命题的是 （ ） ABC ∆中，若,0>⋅BC AB 则ABC ∆是锐角三角形；ABC ∆中，若,0>⋅则ABC ∆是钝角三角形；C.ABC ∆为直角三角形的充要条件是0=⋅；D.ABC ∆为斜三角形的充要条件是.0≠⋅.5.,8=为单位向量，与的夹角为,60o 则在方向上的投影为 （ ） A.34 B.4 C.24 D.238+6.若向量,,1==与b 的夹角为 120，则=⋅+⋅（ ） A.21 B.21- C.23 D.23-7.a ,631==与b 的夹角为,3π则b a ⋅的值为 （ ）A.2B.2±C.1D.1±8.已知()(),5,5,0,3-==则a 与b 的夹角为 （ ） A.4π B.3π C.43π D.32π 9.若O 为ABC ∆所在平面内的一点，且满足()(),02=-+⋅-则ABC ∆ 的形状为 （ ）A.正三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.A ，B ，C 均不是 ()(),1,,2,1x b a ==当向量2+与-2平行时，⋅等于 （ ） A.25 B.2 C.1 D.27 二、填空题（每题5分，共20分）(),2,1,3==且,⊥则的坐标是_____________.(),8,6-=则与平行的单位向量是_____________.21,e e 为两个不共线的向量，若21e e λ+=与()2132e e --=共线，则=λ________.ABCD ，设,,,====+-b __________.三、解答题（每题10分，共30分） ()()61232,34=+⋅-==，求a 与b 的夹角θ.,43==且a 与b 不共线，当k 为何值的时，向量b k a +与b k a -互相垂直？ 321,,F F F 作用于一点且处于平衡状态，121,226,1F N F N F +==与 2F 的夹角为,45o 求：①3F 的大小；②3F 与1F 的夹角的大小.第二章平面向量基础过关测试卷一、选择题（每题5分，共55分）ABCD 中,,b OB a OA == ,,d OD c OC ==则下列运算正确的是（ ）A.0 =+++d c b aB.0 =-+-d c b aC.0 =--+d c b aD.0 =+--d c b a )1,3(),3,(-==b x a ，且a ∥b ，则x 等于 （ ）A.1-B.9C.9-D.1a =)1,2(-，b =)3,1(，则－2a +3b 等于 （ ）A.)11,1(--B.)11,1(-C.)11,1(-D.)11,1(P 分有向线段21P P 所成定比为1:3，则点1P 分有向线段P P 2所成的比为 （ ）A.34-B.32-C.21-D.23- 5.下列命题中真命题是 （ ）A.000 ==⇒=⋅b a b a 或B.a b a b a 上的投影为在⇒//C.()2b a b a b a ⋅=⋅⇒⊥ D.b a c b c a =⇒⋅=⋅ ABCD 的三个顶点C B A ,,的坐标分别为),3,1(),4,3(),1,2(--则第四个顶点D 的坐标为 ( )A.)2,2(B.)0,6(-C.)6,4(D.)2,4(-21,e e 为两不共线的向量，则21e e λ+=与()1232e e --=共线的等价条件是A.23=λB.32=λC.32-=λD.23-=λ （ ） 8.下面给出的关系式中正确的个数是 （ ） ①00 =⋅a ②a b b a ⋅=⋅③22a a =④)()(c b a c b a ⋅=⋅⑤||||b a b a ⋅≤⋅A.0B.1C.2D.39.下列说法中正确的序号是 AC OD（ ）①一个平面内只有一对不共线的向量可作为基底；②两个非零向量平行，则他们所在直线平行；③零向量不克不及作为基底中的向量；④两个单位向量的数量积等于零.A.①③B.②④C.③D.②③()()5,0,1,221P P -且点P 在21P P 22PP =，则点P 坐标是（ ） A.)11,2(- B.)3,34( C.)3,32( D.)7,2(- k b a 432,1||-+⊥==与且也互相垂直，则k 的值为 （ ）A.6-B.6C.3D.3-二、填空题（每题5分，共15分）)2,1(,3==b a ，且b a ⊥，则a 的坐标是__________.()0,2,122=⋅-==a b a b a ，则b a 与的夹角为__________. 14.ΔABC 中,)1,3(),2,1(B A 重心)2,3(G ，则C 点坐标为__________.三、解答题（每题题10分，共30分）),4,(),1,1(),2,0(--x C B A 若C B A ,,三点共线，求实数x 的值.)1,0(),0,1(,4,23212121==+=-=e e e e b e e a ，求（1）b a b a +⋅,的值；（2）a 与b 的夹角的余弦值.ABCD 的顶点分别为)4,1(),7,2(),4,5(),1,2(-D C B A ,求证：四边形ABCD 为正方形.第二章平面向量单元能力测试卷一、选择题(每题5分，共60分)F E D C B A ,,,,,是平面上任意五点，则下列等式①AB CE AE CB +=+②AC BE BC EA +=-③ED AB EA AD +=+④0AB BC CD DE EA ++++=⑤0AB BC AC +-=其中错误等式的个数是（ ）A.1B.2C.3D.4ABCD 的边长为1，设c AC b BC a AB ===,,=++ ( )A.0B.3C.22+D.221e 、2e 是两个不共线向量，若向量 =2153e e +与向量213e e m -=共线，则m 的值等于 （ ） A.35- B.－59 C.53- D.95- )3,1(),1,2(=-=则32+-等于 ( )A.)11,1(--B.)11,1(-C.)11,1(-D.)11,1(P )6,3(-,Q )2,5(-,R 的纵坐标为9-，且R Q P ,,三点共线，则R 点的横坐标为A.9-B.6-C.9D.6 （ ）6.在ΔABC 中,若0)()(=-⋅+，则ΔABC 为 ( )A.正三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.无法确定7.已知向量，，40-=⋅=8,则向量与的夹角为 （ ）A. 60B. 60-C. 120D. 120-8.已知)0,3(=,)5,5(-=，则与的夹角为 ( ) A.4πB.43πC.3πD.32π b a b a ⊥==,1||||且b a 32+与b a k 4-也互相垂直，则k 的值为 ( )A.6-B.6C.3D.3-a =(2,3),b =(4-,7),则a 在b 上的投影值为 ( )N A B D M C A.13 B.513 C.565 D.65 11.若035=+CD AB ,且BC AD =，则四边形ABCD 是 ( )A.平行四边形B.菱形C.等腰梯形D.非等腰梯形)1,2(1-P ,)5,0(2P 且点P 在线段21P P 的延长线上,||2||21PP P P =, 则P 点坐标为( ) A.)11,2(- B.)3,34( C.(3,32) D.)7,2(- 二、填空题(每题5分，共 20分)13.已知|a |=1,|b |=2,且(a －b )和a 垂直,则a 与b 的夹角为__________.),2(x a -=,)2,(x b -=,且a 与b 同向，则-a b 2=__________.a )2,3(-=,b )1,2(-,c )4,7(-=,且b a c μλ+=，则λ=__________，μ=__________.16.已知|a |=3,｜b ｜=2，a 与b 的夹角为60，则｜a －b ｜=__________.三、解答题（第17题10分，其余每题12分，共70分）17.如图，ABCD 中，点M 是AB 的中点， 点N 在BD 上，且BD BN 31=， 求证：C N M ,,三点共线． C B A ,,三点坐标分别为),2,1(),1,3(),0,1(--AE =31AC ，BF =31BC ， 1）求点E 、F 及向量的坐标；2）求证：∥．19.24==b a a b 夹角为120,求：(1)⋅；(2))()2(+⋅-；(3)b 23+． )2,3(),2,1(-==b a ，当k 为何值时：（1）b a k +与b a 3-垂直；（2）b a k +与b a 3-平行，平行时它们是同向还是反向？21.())sin 3cos ),3(sin(,sin ,cos 2x x x b x x a -+==π,x f ⋅=)(，求：(1)函数()x f 的最小正周期； (2))(x f 的值域； (3))(x f 的单调递增区间.)sin ,(cos ),3,0(),0,3(ααC B A ，（1）若1-=⋅BC AC ，求α2sin 的值；（213=+，且),0(πα∈，求与的夹角.3.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式一、选择题(每题5分,共45分)1.345cos 的值等于 （ ） A.462- B.426- C.462+ D.462+- 2.195sin 75sin 15cos 75cos -的值为 （ ） A.0 B.21 C.23 D.21-1312sin -=θ，)0,2(πθ-∈，则)4cos(πθ-的值为 （ ） A.2627-B.2627C.26217-D.2621753)4sin(=-x π，则x 2sin 的值为 （ ）A.2519B.2516C.2514D.257 31sin cos ),,0(-=+∈ααπα且, 则α2cos 等于 （ ）A.917 B.917± C.917- D.317 是则)(,,sin )2cos 1()(2x f R x x x x f ∈+= （ ）π2π的奇函数 π2π的偶函数 71tan =α，βtan =31，20πβα<<<，则βα2+等于 （ ） A.45π B.4π C.45π或4π D.47π8.ΔABC 中，已知αtan 、βtan 是方程01832=-+x x 的两个根，则c tan 等于 ( ) A.2 B.2- C.4 D.4-56sin2sin 5cos2cos )(ππx x x f -=的单调递增区间是 （ ）A.)(53,10Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++ππππ B.)(207,203Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-ππππ C.)(532,102Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++ππππ D.)(10,52Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-ππππ 二、填空题(每题5分,共20分)的最小正周期是则)(,,sin )cos (sin )(x f R x x x x x f ∈-=__________.11.135)6cos(-=+πx ,则)26sin(x -π的值是__________. 12.231tan 1tan +=+-αα,则α2sin =__________. []则,,0,sin )(π∈=x x x f )2(3)(x f x f y -+=π的值域为__________.三、解答题(14题11分，15、16题12分，共35分)14.求值：(1))32cos(3)3sin(2)3sin(x x x ---++πππ. (2)已知,71tan ,21)tan(-==-ββα且)0,(,πβα-∈，求βα-2的值.x x x f 2sin 3cos 6)(2-=，（1)求)(x f 的最大值及最小正周期； （2)若锐角α满足323)(-=αf ，求α54tan的值. ),,0(,,55cos ,31tan πβαβα∈=-=（1)求)tan(βα+的值； （2)求函数)cos()sin(2)(βα++-=x x x f 的最大值.一、选择题(每题5分，共40分)1.=-︒︒︒︒16sin 194cos 74sin 14sin （ ） A .23 B .23- C .21 D .21-2.下列各式中，最小的是（ ）A .40cos 22B .6cos 6sin 2 C .37sin 50cos 37cos 50sin -D .41cos 2141sin 23- ()R x x y ∈+=2cos 21的最小正周期为 （ ）A .2πB .πC .π2D .π44.︒︒︒︒-+70tan 50tan 350tan 70tan 的值为 （ ）A .21B .23C .21-D .3-5.若316sin =⎪⎭⎫ ⎝⎛-απ，则=⎪⎭⎫⎝⎛+απ232cos （ ） A .97-B .31- C .31 D .976.若函数x x y tan 2sin =，则该函数有 （ ） A .最小值0，无最大值B .最大值2，无最小值C .最小值0，最大值2D .最小值2-，最大值2παπ223<<，则=++α2cos 21212121 （ ） A .2cosαB .2sinα C .2cos α-D .2sin α- 8.若()x x f 2sin tan =，则()=-1f （ ） A .1B .1- C .21D .21-二、填空题（每题5分，共20分）=-+75tan 175tan 1__________.10.要使mm --=-464cos 3sin θθ有意义,则m 取值范围是__________.11.sin 510αβ==且,αβ为锐角，则αβ+＝__________. 12.若函数4cos sin 2++=x a x y 的最小值为1，则a =__________. 三、解答题（每题10分，共40分） 13.化简：)10tan 31(40cos ︒+︒.14.求值：︒︒︒︒++46cos 16sin 46cos 16sin 22. 15.求函数1cos sin 2cos sin +++=x x x x y ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,0πx 的最值. 16.已知函数R x x x x x y ∈++=,cos 2cos sin 3sin 22,(1)求函数的最小正周期； (2)求函数的对称轴； (3)求函数最大值及取得最大值时x 的集合.第三章三角恒等变换单元能力测试卷一、选择题（每题5分 ，共60分）1.︒︒︒︒++15cos 75cos 15cos 75cos 22的值等于 （ ） A.26 B.23 C.45D.431+ 222tan -=θ，πθπ22<<，则θtan 的值为 ( )A.2B.22-C.2D.2或22- ︒︒︒︒++=30tan 15tan 30tan 15tan a ，︒︒-=70sin 10cos 22b ，则a ，b 的大小关系A.b a =B.b a >C.b a <D.b a ≠ （ ）x x x x f cos sin 3sin )(2+=在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,4ππ上的最大值 （ ）A.1B.231+ C.23 D.31+)32cos()62sin(ππ+++=x x y 的最小正周期和最大值分别为 （ ）A.π,1B.π,2C.π2,1D.π2,2 6.xx xx sin cos sin cos -+=（ ） A.)4tan(π-x B.)4tan(π+x C.)4cot(π-x D.)4cot(π+x)3cos()33cos()6cos()33sin(ππππ+++-+=x x x x y 的图像的一条对称轴是 A.6π=x B.4π=x C.6π-=x D.2π-=x （ ）8.)24tan 1)(25tan 1)(20tan 1)(21tan 1(++++的值为 （ ）A.2B.4C.8D.1651)cos(=+βα，53)cos(=-βα，则βαtan tan = （ ）A.2B.21C.1D.0 []0,(cos 3sin )(π-∈-=x x x x f ）的单调递增区间是 （ ）A.⎥⎦⎤⎢⎣⎡--65,ππ B.⎥⎦⎤⎢⎣⎡--6,65ππ C.⎥⎦⎤⎢⎣⎡-0,3π D.⎥⎦⎤⎢⎣⎡-0,6π A 、B 为小于︒90的正角，且31sin =A ，21sin =B ，则)(2sin B A +的值是A.97 B.23 C.1832+ D.183724+ （ ） 22)4sin(2cos -=-παα，则ααsin cos +的值为 （ ） A.27-B.21-C.21D.27二、填空题（每题5分，共20分）32tan=θ，则θθθθsin cos 1sin cos 1+++-=__________. )2sin()3sin(ππ+⋅+=x x y 的最小正周期T =__________.xxx f +-=11)(，若),2(ππα∈则)cos ()(cos αα-+f f 可化简为__________.2cos sin -=+αα，则ααtan 1tan +=__________. 三、解答题（第17题10分，其余每题12分，共70分） 17.（1）已知54cos =α，且παπ223<<，求2tan α. （2）已知1cos )cos()22sin(sin 3=⋅+--θθπθπθ，),0(πθ∈，求θ的值. 135)43sin(=+πα，53)4cos(=-βπ，且434,44πβππαπ<<<<-，求)cos(βα-的值.R x x x x x x f ∈++=,cos 3cos sin 2sin )(22，求：（1）函数)(x f 的最大值及取得最大值的自变量x 的集合；（2）函数)(x f 的单调增区间.α、β),0(π∈，且αtan 、βtan 是方程0652=+-x x 的两根，求：（1）βα+的值；（2）)cos(βα-的值.a x x x x f ++-++=2cos )62sin()62sin()(ππ（a 为实常数），（1）求函数)(x f 的最小正周期；（2）如果当⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,0πx 时，)(x f 的最小值为2-，求a 的值. 16.已知函数R x xx x x f ∈--++=,2cos 2)6sin()6sin()(2ωπωπω（其中0>ω）， （1）求函数)(x f 的值域；（2）若函数)(x f y =的图像与直线1-=y 的两个相邻交点间的距离为2π，求函数 )(x f y =的单调增区间.参考答案一、选择题1-5CCDCC 6-10CADBA 二、填空题11. 120{- 60,- 0, 60, 120,}12.（1）α{︱ 360⋅=k α},Z k ∈ （2）α{︱90⋅=k α},Z k ∈（3）α{︱ 360⋅k <<α 180 360⋅+k },Z k ∈ α{︱ 360⋅=k α270+},Z k ∈ （4）α{︱180⋅=k α45+},Z k ∈ 13.2三、解答题15.解：∵120=α360⋅+k Z k ∈,720,-0<<α ∴240-=α600,16.解：(1)45=β360⋅+k Z k ∈,720-≤ 45 360⋅+k 0<，则2-=k 或1-=k675-=β或 315-=β(2)},45)1({},,45)12({Z k k x x N Z k k x x M ∈+==∈+==所以N M ⊂,,23Z k k ∈+=ππθ所以Z k k ∈+=,3293ππθ所以在]2,0[π内与3θ终边相同的角有：913,97,9πππ302=+R l ,所以4225)215(15)230(212122+--=+-=-==R R R R R lR S当215=R 时，扇形有最大面积4225，此时2,15230===-=RlR l α一、选择题1-4ABAB 5-8BBAB 二、填空题⒐⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+=+<<+<≤Z k k k k k k ,222223222ππαππαπππαπα或或 10.1317或137- 11.33,21 12.⎪⎭⎫⎝⎛47,45ππ 三、解答题 13.22,1,22-- 14.126,562 15.16一、选择题1-4ABCC 5-8CCCC 二、填空题 9.1 10.1312 11.0 12.211aa ++-提示：12.由已知a -=26tan ，于是21126cos a+=；2126sin aa +-=．∴()()21126cos 26sin 206cos 206sin aa ++-=-=-+-．三、解答题 13.33 14.2515.0 16.3 提示：16.()()()42000cos 2000sin 2000++++=απαπb a f ()[]()[]41999cos 1999sin ++++++=αππαππb a ()()841999cos 1999sin +-+-+-=απαπb a ()381999=+-=f一、选择题1-5CDDBB 6-10BCBBA 二、填空题11.{}Z k k x k x ∈+≤≤+,1211125ππππ 12.)](32,32[Z k k k ∈+-ππππ 13.2π 14.x x x 2cos sin -- 三、解答题15.略 16.略17. (1) ⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+=Z k k x ,85ππ，3=大y ；⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈-=Z k k x ,83ππ，1-=小y （2）1,6-=-=小y x π；56==大，y x π(3) 2,10==小大y y（4）20-==小大，y y)sin(ϕω+=x A y一、选择题1-7ABCDCDB二、填空题8.（2）（3） 9.60,32060- 10.5-15.解答题11.（1）略；（2）略；（3）π4=T ，3=A ，4πϕ-= 12.（1）ππππk x k +<<+-6512； （2）⎥⎦⎤⎢⎣⎡++->ππππk k a 6,12,1是单调递增，⎥⎦⎤⎢⎣⎡++ππππk k 65,6是单调递减 10<<a ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-ππππk k 6,12是单调递减，⎥⎦⎤⎢⎣⎡++ππππk k 65,6是单调递增 （3）非奇非偶；（4）π=T。
【高考总复习】高中数学(文)课时作业x4-4-2单元质量评估 word版含答案(新人教版)
单元质量评估(时间：120分钟 分数：150分)一、选择题(本大题共6个小题，每小题5分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的)1．极坐标方程ρ＝cos θ和参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1－t ，y ＝2＋3t(t 为参数)所表示的图形分别是( )A ．圆、直线B ．直线、圆C ．圆、圆D ．直线、直线解析：∵ρ＝cos θ，∴ρ2＝ρcos θ， ∴x 2＋y 2＝x ，即x 2－x ＋y 2＝0表示圆，∵⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1－t ，y ＝2＋3t ，，∴消t 后，得 3x ＋y ＋1＝0，表示直线． 故选A. 答案：A2．直线y ＝ax ＋b 经过第一、二、四象限，则圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋r cos θy ＝b ＋r sin θ(θ为参数)的圆心位于第几象限( ) A ．一 B ．二 C ．三D ．四解析：直线y ＝ax ＋b 经过第一、二、四象限，则a ＜0，b ＞0，而圆心坐标为(a ，b )，位于第二象限，故选B. 答案：B3．直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2ty ＝2－t (t ∈R)，则l 的方向向量d 可以是( )A ．(1，2)B ．(2，1)C ．(－2，1)D ．(1，－2)解析：化参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2ty ＝2－t为一般方程得x ＋2y －5＝0，所以直线l 的斜率为－12，∴方向向量为(－2，1)，选C. 答案：C4．直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋t cos 30°y ＝3－t sin 60°(t 为参数)的倾斜角α为( )A ．30°B ．60°C ．90°D ．135°解析：直线⎩⎨⎧x ＝－2＋32t y ＝3－32t 的普通方程为x ＋y ＝1，即y ＝－x ＋1，故倾斜角为135°.故选D. 答案：D5．在符合互化条件的直角坐标系和极坐标系中，直线l ：y ＋kx ＋2＝0与曲线C ：ρ＝2cos θ相交，则k 的取值范围是( ) A ．k ＜－34B ．k ≥－34C ．k ∈RD ．k ∈R 但k ≠0解析：曲线C 为圆心(1，0)，半径为1的圆，圆心到直线l 的距离为d ＝|k ＋2|k 2＋1.直线与圆相交，∴d ＜r ＝1， 即|k ＋2|k 2＋1＜1， 两边平方得，k ＜－34，故选A.答案：A6．极坐标方程ρ＝a sin θ(a ＞0)所表示的曲线是( )A ．以(a ，0)为圆心，a 为半径的圆B ．以(a ，π2)为圆心，a 为半径的圆C ．以(a 2，0)为圆心，a2为半径的圆D ．以(a 2，π2)为圆心，a2为半径的圆解析：极坐标方程ρ＝a cos θ表示以(a 2，0)为圆心，a2为半径的圆．逆时针旋转π2角时，ρ＝a cos (θ－π2)＝a sin θ. 答案：D二、填空题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分，把答案填在题中的横线上) 7．若点P 的直角坐标为(1，－3)，则点P 的极坐标为________．解析：因为点P (1，－3)在第四象限，与原点的距离为2，且OP 与x 轴所成的角为－π3.答案：(2，－π3)8．(2011年江西)若曲线的极坐标方程为ρ＝2sin θ＋4cos θ，以极点为原点，极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系，则该曲线的直角坐标方程为________．解析：将ρ＝2sin θ＋4cos θ两边同乘以ρ得ρ2＝2ρsin θ＋4ρcos θ，∴曲线的直角坐标方程为x 2＋y 2＝2y ＋4x ， 即x 2＋y 2－4x －2y ＝0. 答案：x 2＋y 2－4x －2y ＝0.9．直线3x －4y －9＝0与圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θy ＝2sin θ(θ为参数)的位置关系是________．解析：把圆的参数方程化为普通方程，得x 2＋y 2＝4，得到半径为2，圆心为(0，0)，圆心到直线的距离d ＝|3×0－4×0－9|32＋（－4）2＝95＜2＝r .∴直线与圆相交． 答案：相交10．圆ρ＝2(cos θ＋sin θ)的圆心坐标为________．解析：可化为直角坐标方程(x －22)2＋(y －22)2＝1或化为ρ＝2cos (θ－π4)，这是ρ＝2r cos(θ－θ0)形式的圆的方程． 答案：(1，π4)11．将参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2cos θy ＝2sin θ(θ为参数)化为普通方程是________．解析：由题意得：⎩⎪⎨⎪⎧x －1＝2cos θ，y ＝2sin θ，平方相加得(x －1)2＋y 2＝4. 答案：(x －1)2＋y 2＝412．在极坐标系(ρ，θ)(0≤θ＜2π)中，曲线ρ＝2sin θ与ρcos θ＝－1的交点的极坐标为________．解析：曲线ρ＝sin θ化为直角坐标方程为 x 2＋y 2＝2y ，即x 2＋(y －1)2＝1，而ρcos θ＝－1化为直角坐标方程为x ＝－1.直线x ＝－1与圆x 2＋(y －1)2＝1的交点坐标为(－1，1)，化为极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，3π4. 答案：⎝⎛⎭⎫2，3π413．在平面直角坐标系中，曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t ＋2a y ＝－t (t 为参数)，曲线C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θy ＝2＋2sin θ(θ为参数)．若曲线C 1、C 2有公共点，则实数a 的取值范围________． 解析：曲线C 1的普通方程为x ＋2y －2a ＝0， 曲线C 2的普通方程为x 2＋(y －2)2＝4，圆心(0，2)到直线x ＋2y －2a ＝0的距离为d ＝|4－2a |5≤2，∴2－5≤a ≤2＋ 5.答案：[2－5，2＋5]14．已知两直线的极坐标方程分别是2ρ＝1sin （π4＋θ）和θ＝π3(ρ∈R)，则两直线交点的极坐标为________．解析：由2ρ＝1sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋θ⇒ρ(sin θ＋cos θ)＝1⇒x ＋y ＝1，直线θ＝π3的普通方程为：y ＝3x ，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1y ＝3x⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3－12y ＝3（3－1）2⇒x 2＋y 2＝(3－1)2，∴ρ＝x 2＋y 2＝3－1，tan θ＝3，∴θ＝π3.答案：⎝⎛⎭⎫3－1，π315．若直线l 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－2t ，y ＝2＋kt (t 为参数)与直线l 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝s ，y ＝1－2s (s 为参数)垂直，则k ＝________．解析：直线l 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－2t ，y ＝2＋kt 的普通方程为kx ＋2y －4－k ＝0.直线l 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝s ，y ＝1－2s的普通方程为2x ＋y －1＝0.由l 1⊥l 2知－k2×(－2)＝－1，∴k ＝－1.答案：－116．设直线l 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t ，y ＝1＋3t (t 为参数)，直线l 2的方程为y ＝3x ＋4，则l 1与l 2间的距离为________．解析：将参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t ，y ＝1＋3t(t 为参数)化为普通方程为3x －y －2＝0. 由两平行线之间的距离公式可知， 所求距离为d ＝|4＋2|（－1）2＋32＝3105.答案：3105三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(10分)已知直线l ：3x ＋4y －12＝0与圆C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋2cos θ，y ＝2＋2sin θ(θ为参数)，试判断它们的公共点个数．解析：圆的方程可化为(x ＋1)2＋(y －2)2＝4， 其圆心为C (－1，2)，半径为2. 由于圆心到直线l 的距离d ＝|3×（－1）＋4×2－12|32＋42＝75＜2，故直线l 与圆C 的公共点个数为2.18．(12分)已知P 为半圆C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θy ＝sin θ(θ为参数，0≤θ≤π)上的点，点A 的坐标为(1，0)，O 为坐标原点，点M 在射线OP 上，线段OM 与C 的弧AP 的长度均为π3.(1)以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求点M 的极坐标； (2)求直线AM 的参数方程．解析：(1)由已知，M 点的极角为π3，且M 点的极径等于π3，故点M 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π3.(2)M 点的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，3π6，A (1，0)，故直线AM 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－1t ，y ＝3π6t .(t 为参数)． 19．(12分)在极坐标系中，已知圆C 的圆心C (3，π6)，半径r ＝3. (1)求圆C 的极坐标方程．(2)若Q 点在圆C 上运动，P 在QO 的延长线上，且OQ ∶OP ＝3∶2，求动点P 的轨迹方程．解析：(1)如图，圆经过极点O .设M (ρ，θ)为圆上任意一点，∠MOx ＝θ，∠AOx ＝π6，在Rt △AMO 中，∠AOM ＝|θ－π6|，|OM |＝|OA |cos (θ－π6)，即ρ＝6cos (θ－π6)．(2)设P (ρ，θ)，依题意得Q (－32ρ，θ)，∴－32ρ＝6cos (θ－π6)，即ρ＝－4cos (θ－π6)．20．(12分)如图所示，已知点M 是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)上在第一象限内的点，A (a ，0)和B (0，b )是椭圆的两个顶点，O 为原点，求四边形MAOB 的面积的最大值．解析：M 是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)上在第一象限内的点，由椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φy ＝b sin φ(φ为参数)，故可设M (a cos φ，b sin φ)，其中0＜φ＜π2，因此，S 四边形MAOB ＝S △MAO ＋S △MOB ＝12|OA |·y M ＋12|OB |·x M＝12ab (sin φ＋cos φ)＝22ab sin (φ＋π4)． 所以，当φ＝π4时，四边形MAOB 面积的最大值为22ab .21．(12分)(2011年课标全国)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos α，y ＝2＋2sin α.(α为参数)M 是C 1上的动点，P 点满足OP →＝2 OM →，P 点的轨迹为曲线C 2. (1)求C 2的方程；(2)在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线θ＝π3与C 1的异于极点的交点为A ，与C 2的异于极点的交点为B ，求|AB |.解析：(1)设P (x ，y )，则由条件知M (x 2，y2)．由于M 点在C 1上，所以⎩⎨⎧x2＝2cos α，y2＝2＋2sin α.即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos α，y ＝4＋4sin α. 从而C 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos α，y ＝4＋4sin α(α为参数)．(2)曲线C 1的极坐标方程为ρ＝4sin θ， 曲线C 2的极坐标方程为ρ＝8sin θ.射线θ＝π3与C 1的交点A 的极径为ρ1＝4sin π3，射线θ＝π3与C 2的交点B 的极径为ρ2＝8sin π3.所以|AB |＝|ρ2－ρ1|＝2 3.22．(12分)在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3－22t ，y ＝5＋22t (t 为参数)．在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，圆C 的方程为ρ＝25sin θ. ①求圆C 的直角坐标方程；②设圆C 与直线l 交于点A ，B .若点P 的坐标为(3，5)，求|PA |＋|PB |. 解析：①由ρ＝25sin θ，得x 2＋y 2－25y ＝0， 即x 2＋(y －5)2＝5.②法一：将l 的参数方程代入圆C 的直角坐标方程，得⎝⎛⎭⎫3－22t 2＋⎝⎛⎭⎫22t 2＝5， 即t 2－32t ＋4＝0.由于Δ＝(32)2－4×4＝2＞0， 故可设t 1，t 2是上述方程的两实根，所以⎩⎨⎧t 1＋t 2＝32，t 1t 2＝4.又直线l 过点P (3，5)， 故由上式及t 的几何意义得 |PA |＋|PB |＝|t 1|＋|t 2|＝t 1＋t 2＝3 2.法二：因为圆C 的圆心为(0，5)，半径r ＝5， 直线l 的普通方程为：y ＝－x ＋3＋ 5.由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋（y －5）2＝5y ＝－x ＋3＋5得x 2－3x ＋2＝0. 解得：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2＋5或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1＋ 5.不妨设A (1，2＋5)，B (2，1＋5)， 又点P 的坐标为(3，5)， 故|PA |＋|PB |＝8＋2＝3 2.。
概率论与数理统计第四章习题解
7.若连续型随机变量ξ的分布密度是：
⎧ax2 + bx + c , (0 < x < 1)
f (x) = ⎨ ⎩
0
， , (x ≤ 0, x ≥ 1)
已知 E(ξ ) ＝1/2， D(ξ ) =3/20,求系数 a 、 b 、 c .
解：应用密度函数的性质有：
∫1
(ax 2
+
bx
+
c)dx
=
(a
x3
解：(1). E(ξ ) ＝－2×0.4＋0×0.3＋2×0.3＝-0.2 .
(2). E(ξ 2 ) = 4 × 0.4 + 0 × 0.3 + 4 × 0.3 = 2.8，
则： E(3ξ 2 + 5) ＝ 3E(ξ 2 ) + 5 = 3 × 2.8 + 5 = 13.4 . (3).由(1),(2)解：
D(ξ ) = E(ξ 2 ) − E 2 (ξ ) = 2.8 − (−0.2)2 = 2.76 .
11.设随机变量
(ξ
,η)
具有概率密度：
f
( x,
y)
=
⎧1 ⎩⎨0
(| y |< x,0 < x < 1) (其它)
，试求：
-5-
E(ξ ) ， E(η) .
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 解：
E(ξ )
=
解：由连续型随机变量数学期望的定义式：
∫ ∫ ∫ +∞
1500
E(ξ ) = xf (x)dx =
1
x 2dx − 3000 x(x − 3000) dx
−∞
0 15002
1500 15002
秩和检验结果解读
秩和检验结果解读The interpretation of the results of the rank sum test is crucial in statistical analysis, especially when dealing withnon-parametric data. This test, also known as the Mann-Whitney U test or the Wilcoxon rank sum test, is used to assess whether two independent samples come from the same distribution. It does not assume that the data follow a specific distribution, making it a robust tool for a wide range of applications.秩和检验结果的解读在统计分析中至关重要，特别是在处理非参数数据时。
这种检验，也被称为Mann-Whitney U检验或Wilcoxon秩和检验，用于评估两个独立样本是否来自同一分布。
它不假设数据遵循特定的分布，这使得它成为众多应用场景下的强大工具。
The test's output typically includes a statistic value and a corresponding p-value. The statistic value, such as the U statistic in the Mann-Whitney U test, represents the sum of ranks for one of the samples. A low U statistic indicates that the values in one sample tend to be smaller than those in the other, suggesting a difference between the two groups.检验的输出通常包括一个统计量值和相应的p值。
高中数学必修4习题和复习参考题及对应答案
高中数学必修4习题和复习参考题及对应答案A 组1、在0°～360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并指出它们是哪个象限的角： （1）－265°；（2）－1000°；（3）－843°10′；（4）3900°． 答案：（1）95°，第二象限； （2）80°，第一象限； （3）236°50′，第三象限； （4）300°，第四象限．说明：能在给定范围内找出与指定的角终边相同的角，并判定是第几象限角． 2、写出终边在x 轴上的角的集合． 答案：S={α|α=k·180°，k ∈Z }．说明：将终边相同的角用集合表示．3、写出与下列各角终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式－360°≤β＜360°的元素β写出来：（1）60°；（2）－75°；（3）－824°30′；（4）475°；（5）90°；（6）270°；（7）180°；（8）0°．答案：（1）{β|β=60°＋k·360°，k ∈Z }，－300°，60°； （2）{β|β=－75°＋k·360°，k ∈Z }，－75°，285°； （3）{β|β=－824°30′＋k·360°，k ∈Z }，－104°30′，255°30′； （4）{β|β=475°＋k·360°，k ∈Z }，－245°，115°； （5）{β|β=90°＋k·360°，k ∈Z }，－270°，90°； （6）{β|β=270°＋k·360°，k ∈Z }，－90°，270°； （7）{β|β=180°＋k·360°，k ∈Z }，－180°，180°； （8）{β|β=k·360°，k ∈Z }，－360°，0°． 说明：用集合表示法和符号语言写出与指定角终边相同的角的集合，并在给定范围内找出与指定的角终边相同的角．4、分别用角度和弧度写出第一、二、三、四象限角的集合． 答案： 象限 角度制弧度制一 {β|k ·360°＜β＜90°＋k·360°，k ∈Z } 二 {β|90°＋k·360°＜β＜180°＋k·360°，k ∈Z }三 {β|180°＋k·360°＜β＜270°＋k·360°，k ∈Z }四{β|270°＋k·360°＜β＜360°＋k·360°，k ∈Z }说明：用角度制和弧度制写出各象限角的集合． 5、选择题：（1）已知α是锐角，那么2α是（ ） A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．小于180°的正角 D ．第一或第二象限角 （2）已知α是第一象限角，那么2是（ ）、A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第一或第二象限角D ．第一或第三象限角 答案：（1）C 说明：因为0°＜α＜90°，所以0°＜2α＜180°． （2）D说明：因为k·360°＜α＜90°＋k·360°，k ∈Z ，所以180451802k k α︒<<︒+︒，k ∈Z ．当k 为奇数时，2α是第三象限角；当k 为偶数时，2α是第一象限角． 6、一条弦的长等于半径，这条弦所对的圆心角等于1弧度吗？为什么？答案：不等于1弧度．这是因为等于半径长的弧所对的圆心角为1弧度，而等于半径长的弦所对的弧比半径长．说明：了解弧度的概念． 7、把下列各角度化成弧度： （1）36°；（2）－150°；（3）1095°；（4）1440°．答案：（1）5π；（2）56π；（3）7312π-；（4）8π．说明：能进行度与弧度的换算．8、把下列各弧度化成度： （1）76π-；（2）103π-；（3）1.4；（4）23． 答案：（1）－210°；（2）－600°；（3）80.21°；（4）38.2°．说明：能进行弧度与度的换算．9、要在半径OA=100cm 的圆形金属板上截取一块扇形板，使其弧AB 的长为112cm ，求圆心角∠AOB 是多少度（可用计算器，精确到1°）．答案：64°说明：可以先运用弧度制下的弧长公式求出圆心角的弧度数，再将弧度换算为度，也可以直接运用角度制下的弧长公式．10、已知弧长50cm 的弧所对圆心角为200°，求这条弧所在的圆的半径（可用计算器，精确到1cm ）．答案：14cm ．说明：可以先将度换算为弧度，再运用弧度制下的弧长公式，也可以直接运用角度制下的弧长公式．B 组1、每人准备一把扇子，然后与本小组其他同学的对比，从中选出一把展开后看上去形状较为美观的扇子，并用计算器算出它的面积S 1．（1）假设这把扇子是从一个圆面中剪下的，而剩余部分的面积为S 2，求S 1与S 2的比值；（2）要使S 1与S 2的比值为0.618，则扇子的圆心角应为几度（精确到10°）？ 答案：（1）（略）（2）设扇子的圆心角为θ，由2122120.6181(2)2r S S r θπθ==-，可得θ=0.618（2π－θ），则θ=0.764π≈140°．说明：本题是一个数学实践活动．题目对“美观的扇子”并没有给出标准，目的是让学生先去体验，然后再运用所学知识发现，大多数扇子之所以“美观”是因为基本都满足：120.618S S =（黄金分割比）的道理． 2、（1）时间经过4 h （时），时针、分针各转了多少度？各等于多少弧度？（2）有人说，钟的时针和分针一天内会重合24次、你认为这种说法是否正确？请说明理由．（提示：从午夜零时算起，假设分针走了t min 会与时针重合，一天内分针和时针会重合n 次，建立t 关于n 的函数关系式，并画出其图象，然后求出每次重合的时间．）答案：（1）时针转了－120°，等于23π-弧度；分针转了－1440°，等于－8π弧度 （2）设经过t min 分针就与时针重合，n 为两针重合的次数． 因为分针旋转的角速度为2(rad /min)6030ππ=， 时针旋转的角速度为2(rad/min)1260360ππ=⨯，所以()230360t n πππ-=，即72011t n =．用计算机或计算器作出函数72011t n =的图象（如下页图）或表格，从中可清楚地看到时针与分针每次重合所需的时间．n u1 15． 981.82 16． 1047.3 17． 1112.7 18． 1178.2 19． 1243.6 20． 1309.1 21． 1374.5 22．1440.因为时针旋转一天所需的时间为24×60=1440（min ），所以720144011n ≤，于是n≤22．故时针与分针一天内只会重合22次．说明：通过时针与分针的旋转问题进一步地认识弧度的概念，并将问题引向深入，用函数思想进行分析．在研究时针与分针一天的重合次数时，可利用计算器或计算机，从模拟的图形、表格中的数据、函数的解析式或图象等角度，不难得到正确的结论．3、已知相互啮合的两个齿轮，大轮有48齿，小轮有20齿，当大轮转动一周时，小轮转动的角是__________度，即__________rad ．如果大轮的转速为180r/min （转/分），小轮的半径为10.5cm ，那么小轮周上一点每1s 转过的弧长是__________．答案：864°，245π，151.2π cm ． 说明：通过齿轮的转动问题进一步地认识弧度的概念和弧长公式．当大齿轮转动一周时，小齿轮转动的角是4824360864rad.205π⨯︒=︒= 由于大齿轮的转速为3r/s ，所以小齿轮周上一点每1s 转过的弧长是483210.5151.2(cm)20ππ⨯⨯⨯=． P20 习题1.2A 组1、用定义法、公式一以及计算器求下列角的三个三角函数值： （1）173π-；（2）214π；（3）236π-；（4）1500°． 答案：（1）31sin ,cos ,tan 322ααα===； （2）22sin ,cos ,tan 122ααα=-=-=； （3）133sin ,cos ,tan 223ααα===； （4）31sin ,cos ,tan 322ααα===． 说明：先利用公式一变形，再根据定义求值，非特殊角的三角函数值用计算器求．2、已知角α的终边上有一点的坐标是P （3a ，4a ），其中a≠0，求sinα，cosα，tanα的三角函数值．答案：当a ＞0时，434s i n ,c o s,t a n 553ααα===；当a ＜0时，434s i n ,c o s ,t a n 553ααα=-=-=-． 说明：根据定义求三角函数值． 3、计算：（1）6sin （－90°）＋3sin0°－8sin270°＋12cos180°； （2）10cos270°＋4sin0°＋9tan0°＋15cos360°；（3）22322costantan sin cos sin 2446663ππππππ-+-++；（4）2423sincos tan 323πππ+-． 答案：（1）－10；（2）15；（3）32-；（4）94-．说明：求特殊角的三角函数值．4、化简： （1）asin0°＋bcos90°＋ctan180°； （2）－p 2cos180°＋q 2sin90°－2pqcos0°；（3）223cos 2sincos sin 22a b ab ab ππππ-+-； （4）13tan 0cos sin cos sin 222m n p q r ππππ+---．答案：（1）0；（2）（p －q ）2；（3）（a －b ）2；（4）0．说明：利用特殊角的三角函数值化简． 5、根据下列条件求函数3()sin()2sin()4cos 23cos()444f x x x x x πππ=++--++的值．（1）4x π=；（2）34x π=． 答案：（1）－2；（2）2．说明：转化为特殊角的三角函数的求值问题． 6、确定下列三角函数值的符号： （1）sin186°； （2）tan505°； （3）sin7.6π； （4）23tan()4π-； （5）cos940°；（6）59cos()17π-． 答案：（1）负；（2）负；（3）负；（4）正；（5）负；（6）负． 说明：认识不同位置的角对应的三角函数值的符号． 7、确定下列式子的符号： （1）tan125°·sin273°；（2）tan108cos305︒︒；（3）5411sin cos tan 456πππ；（4）511cos tan 662sin 3πππ． 答案：（1）正；（2）负；（3）负；（4）正．说明：认识不同位置的角对应的三角函数值的符号． 8、求下列三角函数值（可用计算器）：（1）67sin()12π-； （2）15tan()4π-；（3）cos398°13′； （4）tan766°15′． 答案：（1）0.9659；（2）1；（3）0.7857；（4）1.045．说明：可先运用公式一转化成锐角三角函数，然后再求出三角函数值． 9、求证：（1）角θ为第二或第三象限角当且仅当sinθ·tanθ＜0；（2）角θ为第三或第四象限角当且仅当cosθ·tanθ＜0；（3）角θ为第一或第四象限角当且仅当sin0 tanθθ>；（4）角θ为第一或第三象限角当且仅当sinθ·cosθ＞0．答案：（1）先证如果角θ为第二或第三象限角，那么sinθ·tanθ＜0．当角θ为第二象限角时，sinθ＞0，tanθ＜0，则sinθ·tanθ＜0；当角θ为第三象限角时，sinθ＜0，tanθ＞0，则sinθ·tanθ＜0，所以如果角θ为第二或第三象限角，那么sinθ·tanθ＜0．再证如果sinθ·tanθ＜0，那么角θ为第二或第三象限角．因为sinθ·tanθ＜0，即sinθ＞0且tanθ＜0，或sinθ＜0且tanθ＞0，当sinθ＞0且tanθ＜0时，角θ为第二象限角；当sinθ＜0且tanθ＞0时，角θ为第三象限角，所以如果sinθ·tanθ＜0，那么角θ为第二或第三象限角．综上所述，原命题成立．（其他小题略）说明：以证明命题的形式，认识位于不同象限的角对应的三角函数值的符号．10、（1）已知3sin2α=-，且α为第四象限角，求cosα，tanα的值；（2）已知5cos13α=-，且α为第二象限角，求sinα，tanα的值；（3）已知3tan4α=-，求sinα，cosα的值；（4）已知cosα=0.68，求sinα，tanα的值（计算结果保留两个有效数字）．答案：（1）1,3 2-；（2）1212,135-；（3）当α为第二象限角时，34 sin,cos55αα==-，当α为第四象限角时，34 sin,cos55αα=-=；（4）当α为第一象限角时，sinα=0.73，tanα=1.1，当α为第四象限角时，sinα=－0.73，tanα=－1.1．说明：要注意角α是第几象限角．11、已知1sin3x=-，求cosx，tanx的值．答案：当x为第三象限角时，222 cos,tan34x x=-=；当x为第四象限角时，222 cos,tan34 x x==-.说明：要分别对x 是第三象限角和第四象限角进行讨论． 12、已知3tan 3,2απαπ=<<，求cosα－sinα的值． 答案：1(31)2- 说明：角α是特殊角． 13、求证： （1）2212sin cos 1tan 1tan cos sin x x xxx x--=+-；（2）tan 2α－sin 2α=tan 2α·sin 2α； （3）（cosβ－1）2＋sin 2β=2－2cosβ； （4）sin 4x ＋cos 4x=1－2sin 2xcos 2x ．答案：（1）2(cos sin )cos sin 1tan (cos sin )(cos sin )cos sin 1tan x x x x xx x x x x x x---===+-++左边； （2）222222222211cos sin sin (1)sin sin sin tan cos cos cos x x x xxx x xxx-=-===左边；（3）左边=1－2cosβ＋cos 2β＋sin 2β=2－2cosβ；（4）左边=（sin 2x ＋cos 2x ）2－2sin 2x·cos 2x=1－2sin 2x·cos 2x ．说明：还可以从右边变为左边，或对左右同时变形．可提倡一题多解，然后逐渐学会选择较为简单的方法．B 组1、化简（1＋tan 2α）cos 2α． 答案：1说明：根据同角三角函数的基本关系，将原三角函数式转化为正余弦函数式．2、化简1sin 1sin 1sin 1sin αααα+---+，其中α为第二象限角．答案：－2tanα说明：先变形，再根据同角三角函数的基本关系进行化简． 3、已知tanα=2，求sin cos sin cos αααα+-的值．答案：3说明：先转化为正切函数式． 4、从本节的例7可以看出，cos 1sin 1sin cos x xx x+=-就是sin 2x ＋cos 2x=1的一个变形．你能利用同角三角函数的基本关系推导出更多的关系式吗？答案：又如sin 4x ＋cos 4x=1－2sin 2x·cos 2x 也是sin 2x ＋cos 2x=1的一个变形；2211tan cos x x=+是sin 2x ＋cos 2x=1和sin tan cos xx x=的变形；等等． 说明：本题要求学生至少能写出每个同角关系式的一个变形．P29 习题1.3A 组1、将下列三角函数转化为锐角三角函数，并填在题中横线上： （1）cos210°=__________； （2）sin263°42′=__________； （3）cos()6π-=__________； （4）5sin()3π-=__________；（5）11cos()9π-=__________；（6）cos （－104°26′）=__________； （7）tan632°24′=__________； （8）17tan6π=__________． 答案：（1）－cos30°； （2）－sin83°42′ （3）cos 6π； （4）sin3π；（5）2cos9π-； （6）－cos75°34′； （7）－tan87°36′； （8）tan6π-．说明：利用诱导公式转化为锐角三角函数． 2、用诱导公式求下列三角函数值： （1）17cos()4π-； （2）sin （－1574°）； （3）sin （－2160°52′）； （4）cos （－1751°36′）； （5）cos1615°8′； （6）26sin()3π-． 答案：（1）22； （2）－0.7193； （3）－0.0151； （4）0.6639；（5）－0.9964； （6）32-说明：先利用诱导公式转化为锐角三角函数，再求值． 3、化简：（1）sin （－1071°）·sin99°＋sin （－171°）·sin （－261°）； （2）1＋sin （α－2π）·sin （π＋α）－2cos 2（－α）． 答案：（1）0；（2）－cos 2α说明：先利用诱导公式转化为角α的三角函数，再进一步化简． 4、求证：（1）sin （360°－α）=－sinα； （2）cos （360°－α）=cosα； （3）tan （360°－α）=－tanα． 答案：（1）sin （360°－α）=sin （－α）=－sinα； （2）略； （3）略．说明：有的书也将这组恒等式列入诱导公式，但根据公式一可知，它和公式三等价，所以本教科书未将其列入诱导公式．B 组1、计算： （1）sin420°·cos750°＋sin （－330°）·cos （－660°）； （2）tan675°＋tan765°－tan （－330°）＋tan （－690°）；（3）252525sincos tan()634πππ++-． 答案：（1）1；（2）0；（3）0．说明：先利用诱导公式转化为锐角三角函数，再求值． 2、已知1sin()2πα+=-，计算： （1）sin （5π－α）； （2）sin()2πα+； （3）3cos()2πα-； （4）tan()2πα-．答案：（1）12； （2）3,,23,;2αα⎧⎪⎪⎨⎪-⎪⎩当为第一象限角当为第二象限角（3）12-； （4）3,,3,αα⎧⎪⎨-⎪⎩当为第一象限角当为第二象限角.说明：先用诱导公式将已知式和待求式都转化为角α的三角函数，然后再根据同角三角函数的基本关系得解． P46 习题1.4A 组1、画出下列函数的简图： （1）y=1－sinx ，x ∈[0，2π]； （2）y=3cosx ＋1，x ∈[0，2π]． 答案：（1） （2）说明：可以直接用“五点法”作出两个函数的图象；也可以先用“五点法”作出正弦、余弦函数的图象，再通过变换得到这两个函数的图象．2、求使下列函数取得最大值、最小值的自变量x 的集合，并分别写出最大值、最小值是什么．（1）11cos ,23y x x π=-∈R ； （2）3sin(2),4y x x π=+∈R ；（3）31cos(),226y x x π=--∈R ； （4）11sin(),223y x x π=+∈R ．答案：（1）使y 取得最大值的集合是{x|x=6k ＋3，k ∈Z }，最大值是32； 使y 取得最小值的集合是{x|x=6k ，k ∈Z }，最大值是12； （2）使y 取得最大值的集合是{|,}8x x k k ππ=+∈Z ，最大值是3；使y 取得最小值的集合是3{|,}8x x k k ππ=-+∈Z ，最小值是－3； （3）使y 取得最大值的集合是{|2(21),}3x x k k ππ=++∈Z ，最大值是32；使y 取得最小值的集合是{|4,}3x x k k ππ=+∈Z ，最小值是32-；（4）使y 取得最大值的集合是{|4,}3x x k k ππ=+∈Z ，最大值是12；使y 取得最小值的集合是5{|4,}3x x k k ππ=-+∈Z ，最小值是12-． 说明：利用正弦、余弦函数的最大值、最小值性质，研究所给函数的最大值、最小值性质．3、求下列函数的周期：（1）2sin 3y x =，x ∈R ； （2）1cos 42y x =，x ∈R ． 答案：（1）3π；（2）2π说明：可直接由函数y=Asin （ωx ＋φ）和函数y=Acos （ωx ＋φ）的周期2T πω=得解．4、利用函数的单调性比较下列各组中两个三角函数值的大小： （1）sin103°15′与sin164°30′； （2）4744cos()cos()109ππ--与； （3）sin508°与sin144°；（4）cos760°与cos （－770°）． 答案：（1）sin103°15′＞sin164°130′； （2）4744cos()cos()109ππ->-； （3）sin508°＜sin144°；（4）cos760°＞cos （－770°）．说明：解决这类问题的关键是利用诱导公式将它们转化到同一单调区间上研究． 5、求下列函数的单调区间： （1）y=1＋sinx ，x ∈R ； （2）y=－cosx ，x ∈R ． 答案：（1）当[2,2]22x k k ππππ∈-++，k ∈Z 时，y=1＋sinx 是增函数；当3[2,2]22x k k ππππ∈++，k ∈Z 时，y=1＋sinx 是减函数． （2）当x ∈[（2k －1）π，2kπ]，k ∈Z 时，y=－cosx 是减函数； 当x ∈[2kπ，（2k ＋1）π]，k ∈Z 时，y=－cosx 是增函数．说明：利用正弦、余弦函数的单调性研究所给函数的单调性． 6、求函数tan()26y x π=-++的定义域．答案：{|,}3x x k k ππ≠+∈Z ．说明：可用换元法． 7、求函数5tan(2),()3122k y x x k πππ=-≠+∈Z 的周期． 答案：2π． 说明：可直接由函数y=Atan （ωx ＋φ）的周期T πω=得解． 8、利用正切函数的单调性比较下列各组中两个函数值的大小：（1）13tan()tan()57ππ--与； （2）tan1519°与tan1493°；（3）93tan 6tan(5)1111ππ-与； （4）7tan tan 86ππ与．答案：（1）13tan()tan()57ππ->-；（2）tan1519°＞tan1493°；（3）93tan 6tan(5)1111ππ>-；（4）7tan tan 86ππ<．说明：解决这类问题的关键是利用诱导公式将它们转化到同一单调区间上研究．9、根据正切函数的图象，写出使下列不等式成立的x 的集合： （1）1＋tanx≥0；（2）tan 30x -≥． 答案：（1）{|,}42x k x k k ππππ-+<+∈Z ≤；（2）{|,}32x k x k k ππππ+<+∈Z ≤．说明：只需根据正切曲线写出结果，并不要求解三角方程或三角不等式． 10、设函数f （x ）（x ∈R ）是以?2为最小正周期的周期函数，且x ∈[0，2]时f （x ）=（x －1）2．求f （3），7()2f 的值．答案：由于f （x ）以2为最小正周期，所以对任意x ∈R ，有f （x ＋2）=f （x ）．于是： f （3）=f （1＋2）=f （1）=（1－1）2=0；273331()(2)()(1)22224f f f =+==-=． 说明：利用周期函数的性质，将其他区间上的求值问题转化到区间[0，2]上的求值问题． 11、容易知道，正弦函数y=sinx 是奇函数，正弦曲线关于原点对称，即原点是正弦曲线的对称中心．除原点外，正弦曲线还有其他对称中心吗？如果有，对称中心的坐标是什么？另外，正弦曲线是轴对称图形吗？如果是，对称轴的方程是什么？你能用已经学过的正弦函数性质解释上述现象吗？ 对余弦函数和正切函数，讨论上述同样的问题．答案：由正弦函数的周期性可知，除原点外，正弦曲线还有其他对称中心，其对称中心坐标为（kπ，0），k ∈Z ．正弦曲线是轴对称图形，其对称轴的方程是,2x k k ππ=+∈Z ．由余弦函数和正切的周期性可知，余弦曲线的对称中心坐标为(,0)2k ππ+，k ∈Z ，对称轴的方程是x=kπ，k ∈Z ；正切曲线的对称中心坐标为(,0)2k π，k ∈Z ，正切曲线不是轴对称图形．说明：利用三角函数的图象和周期性研究其对称性．B 组1、根据正弦函数、余弦函数的图象，写出使下列不等式成立的x 的取值集合：（1）3sin ()2x x ∈R ≥； （2）22cos 0()x x +∈R ≥． 答案：（1）2{|22,}33x k x k k ππππ++∈Z ≤≤； （2）33{|22,}44x k x k k ππππ-++∈Z ≤≤． 说明：变形后直接根据正弦函数、余弦函数的图象写出结果，并不要求解三角方程或三角不等式．2、求函数3tan(2)4y x π=--的单调区间． 答案：单调递减区间5(,),2828k k k ππππ++∈Z ．说明：利用正切函数的单调区间求所给函数的单调区间．3、已知函数y=f （x ）的图象如图所示，试回答下列问题： （1）求函数的周期；（2）画出函数y=f （x ＋1）的图象；（3）你能写出函数y=f （x ）的解析式吗？ 答案：（1）2；（2）y=f （x ＋1）的图象如下；（3）y=|x －2k|，x ∈[2k －1，2k ＋1]，k ∈Z ．说明：可直接由函数y=f （x ）的图象得到其周期．将函数y=f （x ）的图象向左平行移动1个单位长度，就得到函数y=f （x ＋1）的图象．求函数y=f （x ）的解析式难度较高，需要较强的抽象思维能力．可先求出定义域为一个周期的函数y=f （x ），x ∈[－1，1]的解析式为y=|x|，x ∈[－1，1]，再根据函数y=f （x ）的图象和周期性，得到函数y=f （x ）的解析式为y=|x －2k|，x ∈[2k －1，2k ＋1]，k ∈Z ． P57 习题1.5A 组1、选择题：（1）为了得到函数1cos()3y x =+，x ∈R 的图象，只需把余弦曲线上所有的点（ ）A ．向左平行移动3π个单位长度 B ．向右平行移动3π个单位长度C ．向左平行移动13个单位长度D ．向右平行移动13个单位长度（2）为了得到函数cos 5xy =，x ∈R 的图象，只需把余弦曲线上所有的点的（ ）、A ．横坐标伸长到原来的5倍，纵坐标不变B ．横坐标缩短到原来的15倍，纵坐标不变 C ．纵坐标伸长到原来的5倍，横坐标不变D ．纵坐标缩短到原来的15倍，横坐标不变 （3）为了得到函数1cos 4y x =，x ∈R 的图象，只需把余弦曲线上所有的点的（ ）．A ．横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变B ．横坐标缩短到原来的14倍，纵坐标不变 C ．纵坐标伸长到原来的4倍，横坐标不变 D ．纵坐标缩短到原来的14倍，横坐标不变 答案：（1）C ；（2）A ；（3）D ．2、画出下列函数在长度为一个周期的闭区间上的简图（有条件的可用计算器或计算机作图检验）：（1）14sin 2y x =，x ∈R ； （2）1cos32y x =，x ∈R ； （3）3sin(2)6y x π=+，x ∈R ； （4）112cos()24y x π=-，x ∈R ．答案：（1）（2） （3） （4）说明：研究了参数A 、ω、φ对函数图象的影响．3、不画图，直接写出下列函数的振幅、周期与初相，并说明这些函数的图象可由正弦曲线经过怎样的变化得到（注意定义域）：（1）8sin()48x y π=-，x ∈[0,＋∞）； （2）1sin(3)37y x π=+，x ∈[0,＋∞）． 答案：（1）振幅是8，周期是8π，初相是8π-． 先把正弦曲线向右平行移动8π个单位长度，得到函数1sin()8y x π=-，x ∈R 的图象；再把函数y 1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的4倍（纵坐标不变），得到函数2sin()48x y π=-，x ∈R 的图象；再把函数y 2的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的8倍（横坐标不变），得到函数38sin()48x y π=-，x ∈R 的图象；最后把函数y 3的图象在y 轴左侧的部分抹去，就得到函数8sin()48x y π=-，x ∈[0，＋∞）的图象．（2）振幅是13，周期是23π，初相是7π．先把正弦曲线向左平行移动7π个单位长度，得到函数1sin()7y x π=+，x ∈R 的图象；再把函数y 1的图象上所有点的横坐标缩短到原来的13倍（纵坐标不变），得到函数2sin(3)7y x π=+，x ∈R 的图象；再把函数y 2的图象上所有点的纵坐标缩短到原来的13倍（横坐标不变），得到函数31sin(3)37y x π=+，x ∈R 的图象；最后把函数y 3的图象在y 轴左侧的部分抹去，就得到函数1sin(3)37y x π=+，x ∈[0，＋∞）的图象．说明：了解简谐振动的物理量与函数解析式的关系，并认识函数y=Asin （ωx ＋φ）的图象与正弦曲线的关系．4、图 1.5－1的电流i （单位：A ）随时间t （单位：s ）变化的函数关系是5sin(100),[0,)3i t t ππ=+∈+∞．（1）求电流i 变化的周期、频率、振幅及其初相； （2）当t=0，1171,,,(:s)60015060060单位时，求电流i ． 答案：（1）周期为150，频率为50，振幅为5，初相为3π．（2）t=0时，532i =；1600t =时，i=5；1150t =时，i=0；7600t =时，i=－5；160t =时，i=0．说明：了解简谐振动的物理量与函数解析式的关系，并求函数值．5、一根长为l cm 的线，一端固定，另一端悬挂一个小球．小球摆动时，离开平衡位置的位移s （单位：cm ）与时间t （单位：s ）的函数关系是3cos(),[0,)3g s t t l π=+∈+∞． （1）求小球摆动的周期；（2）已知g≈980cm/s 2，要使小球摆动的周期是1s ，线的长度l 应当是多少？（精确到0.1cm ）答案：（1）2lgπ；（2）约24.8cm ． 说明：了解简谐振的周期．B 组1、弹簧振子的振动是简谐运动．下表给出了振子在完成一次全振动的过程中的时间t与位移s 之间的对应数据，根据这些数据求出这个振子的振动函数解析式． t 0t 02t 03t 0 4t 05t 06t 07t 08t 09t 0 10t 011t 012t 0s－20.0 －17.8 －10.10.110.3 17.7 20.0 17.7 10.30.1－10.1 －17.8 －20.0答案：根据已知数据作出散点图（如图）．由散点图可知，振子的振动函数解析式为020sin()62x y t ππ=-，x ∈[0，＋∞）．说明：作出已知数据的散点图，然后选择一个函数模型来描述，并根据已知数据求出该函数模型．2、弹簧挂着的小球作上下运动，它在t 秒时相对于平衡位置的高度h 厘米由下列关系式确定：2sin()4h t π=+．以t 为横坐标，h 为纵坐标，作出这个函数在一个剧期的闭区间上的图象，并回答下列问题：（1）小球在开始振动时（即t=0）的位置在哪里？（2）小球的最高点和最低点与平衡位置的距离分别是多少？ （3）经过多少时问小球往复运动一次？ （4）每秒钟小球能往复振动多少次？答案：函数2sin()4h t π=+在[0，2π]上的图象为（1）小球在开始振动时的位置在(0,2)； （2）最高点和最低点与平衡位置的距离都是2； （3）经过2π秒小球往复运动一次； （4）每秒钟小球能往复振动12π次． 说明：结合具体问题，了解解析式中各常数的实际意义．3、如图，点P 是半径为r cm 的砂轮边缘上的一个质点，它从初始位置P 0开始，按逆时针方向以角速度ω rad/s 做圆周运动．求点P 的纵坐标y 关于时间t 的函数关系，并求点P 的运动周期和频率．答案：点P 的纵坐标关于时间t 的函数关系式为y=rsin （ωt ＋φ），t ∈[0，＋∞）；点P 的运动周期和频率分别为2πω和2ωπ． 说明：应用函数模型y=rsin （ωt ＋φ）解决实际问题． P65 习题1.61、根据下列条件，求△ABC 的内角A ：（1）1sin 2A =；（2）2cos 2A =-； （3）tanA=1；（4）3tan 3A =-．答案：（1）30°或150°；（2）135°；（3）45°；（4）150°．说明：由角A是△ABC的内角，可知A∈（0°，180°）．2、根据下列条件，求（0，2π）内的角x：（1）3sin2x=-；（2）sinx=－1；（3）cosx=0；（4）tanx=1．答案：（1）4533ππ或；（2）32π；（3）322ππ或；（4）544ππ或．说明：可让学生再变换角x的取值范围求解．3、天上有些恒星的亮度是会变化的．其中一种称为造父（型）变星，本身体积会膨胀收缩造成亮度周期性的变化、下图为一造父变星的亮度随时间的周期变化图、此变星的亮度变化的周期为多少天？最亮时是几等星？最暗时是几等星？答案：5.5天；约3.7等星；约4.4等星．说明：每个周期的图象不一定完全相同，表示视星等的坐标是由大到小．4、夏天是用电的高峰时期，特别是在晚上．为保证居民空调制冷用电，电力部门不得不对企事业拉闸限电，而到了0时以后，又出现电力过剩的情况．因此每天的用电也出现周期性的变化．为保证居民用电，电力部门提出了“消峰平谷”的想法，即提高晚上高峰时期的电价，同时降低后半夜低峰时期的电价，鼓励各单位在低峰时用电．请你调查你们地区每天的用电情况，制定一项“消峰平谷”的电价方案．答案：先收集每天的用电数据，然后作出用电量随时间变化的图象，根据图象制定“消峰平谷”的电价方案．说明：建立周期变化的模型解决实际问题．B组1、北京天安门广场的国旗每天是在日出时随太阳升起，在日落时降旗、请根据年鉴或其他的参考资料，统计过去一年不同时期的日出和日落时间．（1）在同一坐标系中，以日期为横轴，画出散点图，并用曲线去拟合这些数据，同时找到函数模型；（2）某同学准备在五一长假时去看升旗，他应当几点到达天安门广场？答案：略．说明：建立周期变化的函数模型，根据模型解决实际问题．2、一个城市所在的经度和纬度是如何影响日出和日落的时间的？收集其他有关的数据并提供理论证据支持你的结论．答案：略．说明：收集数据，建立周期变化的函数模型，根据模型提出个人意见．然后采取上网、查阅资料或走访专业人士的形式，获取这方面的信息，以此来说明自己的结论． P69复习参考题A 组1、写出与下列各角终边相同的角的集合S ，并且把S 中适合不等式－2π≤β≤4π的元素β写出来：（1）4π； （2）23π-；（3）125π； （4）0．答案：（1）79{|2,},,,4444k k ππππββπ=+∈-Z ； （2）22410{|2,},,,3333k k ββπππππ=-+∈-Z ；（3）128212{|2,},,,5555k k ββπππππ=+∈-Z ；（4）{β|β=2kπ，k ∈Z }，－2π，0，2π． 说明：用集合表示法和符号语言写出与指定角终边相同的角的集合，并在给定范围内找出与指定的角终边相同的角．2、在半径为15cm 的圆中，一扇形的弧含有54°，求这个扇形的周长与面积（π取3.14，计算结果保留两个有效数字）．答案：周长约44cm ，面积约1.1×102cm 2．说明：可先将角度转化为弧度，再利用弧度制下的弧长和面积公式求解． 3、确定下列三角函数值的符号： （1）sin4； （2）cos5； （3）tan8； （4）tan （－3）． 答案：（1）负；（2）正；（3）负；（4）正．说明：将角的弧度数转化为含π的形式或度，再进行判断．4、已知1cos 4ϕ=，求sinφ，tanφ． 答案：当φ为第一象限角时，15sin ,tan 154ϕϕ==； 当φ为第四象限角时，15sin ,tan 154ϕϕ=-=-． 说明：先求sinφ的值，再求tanφ的值．5、已知sinx=2cosx ，求角x 的三个三角函数值． 答案：当x 为第一象限角时，tanx=2，525cos ,sin 55x x ==； 当x 为第三象限角时，tanx=2，525cos ,sin 55x x =-=-． 说明：先求tanx 的值，再求另外两个函数的值．6、用cosα表示sin 4α－sin 2α＋cos 2α． 答案：cos 4α．说明：先将原式变形为sin 2α（sin 2α－1）＋cos 2α，再用同角三角函数的基本关系变形． 7、求证：（1）2（1－sinα）（1＋cosα）=（1－sinα＋cosα）2； （2）sin 2α＋sin 2β－sin 2α·sin 2β＋cos 2α·cos 2β=1． 答案：（1）左边=2－2sinα＋2cosα－2sinαcosα=1＋sin 2α＋cos 2α－2sinα＋2cosα－2sinαcosα =右边．（2）左边=sin 2α（1－sin 2β）＋sin 2β＋cos 2αcos 2β=cos 2β（sin 2α＋cos 2α）＋sin 2β =1=右边．说明：第（1）题可先将左右两边展开，再用同角三角函数的基本关系变形． 8、已知tanα=3，计算： （1）4sin 2cos 5cos 3sin αααα-+；（2）sinαcosα； （3）（sinα＋cosα）2． 答案：（1）57；（2）310；（3）85． 说明：第（2）题可由222sin tan 9cos ααα==，得21c o s 10α=，所以23sin cos tan cos 10αααα==．或222s incs i n c10sin cos tan 131αααααααα====+++．9、先估计结果的符号，再进行计算． （1）252525sincos tan()634πππ++-； （2）sin2＋cos3＋tan4（可用计算器）．答案：（1）0；（2）1.0771．说明：先根据各个角的位置比较它们的三角函数值的大小，再估计结果的符号． 10、已知1sin()2πα+=-，计算： （1）cos （2π－α）；（2）tan （α－7π）．答案：（1）当α为第一象限角时，3cos(2)2πα-=， 当α为第二象限角时，3cos(2)2πα-=-； （2）当α为第一象限角时，3tan(7)3απ-=，当α为第二象限角时，3tan(7)3απ-=-． 说明：先用诱导公式转化为α的三角函数，再用同角三角函数的基本关系计算． 11、先比较大小，再用计算器求值： （1）sin378°21′，tan1111°，cos642.5°； （2）sin （－879°），313ta n (),c o s ()810ππ--；（3）sin3，cos （sin2）．答案：（1）tan1111°=0.601，sin378°21′=0.315，cos642.5°=0.216； （2）sin （－879°）=－0.358，3313tan()0.414,cos()0.588810ππ-=--=-； （3）sin3=0.141，cos （sin2）=0.614．说明：本题的要求是先估计各三角函数值的大小，再求值验证． 12、设π＜x ＜2π，填表：x sinx －1cosx tanx答案：x sinx －1 cosx 0 tanx1不存在－1说明：熟悉各特殊角的三角函数值． 13、下列各式能否成立，说明理由： （1）cos 2x=1.5；（2）3sin 4x π=-．答案：（1）因为cos 1.5x =，或cos 1.5x =-，而 1.51, 1.51>-<-，所以原式不能成立；（2）因为3sin 4x π=-，而3||14π-<，所以原式有可能成立．说明：利用正弦和余弦函数的最大值和最小值性质进行判断．14、求下列函数的最大值、最小值，并且求使函数取得最大、最小值的x 的集合： （1）sin 2xy π=+，x ∈R ；（2）y=3－2cosx ，x ∈R ． 答案：（1）最大值为12π+，此时x 的集合为{|2,}2x x k k ππ=+∈Z ；最小值为12π-，此时x 的集合为{|2,}2x x k k ππ=-+∈Z ；（2）最大值为5，此时x 的集合为{x|x=（2k ＋1）π，k ∈Z }；最小值为1，此时x 的集合为{x|x=2kπ，k ∈Z }．说明：利用正弦、余弦函数的最大值和最小值性质，研究所给函数的最大值和最小值性质．15、已知0≤x≤2π，求适合下列条件的角x 的集合： （1）y=sinx 和y=cosx 都是增函数； （2）y=sinx 和y=cosx 都是减函数；（3）y=sinx 是增函数，而y=cosx 是减函数； （4）y=sinx 是减函数，而y=cosx 是增函数．答案：（1）3{|2}2x x ππ≤≤； （2）{|}2x x ππ≤≤；（3）{|0}2x x π≤≤；（4）3{|}2x x ππ≤≤．说明：利用函数图象分析．16、画出下列函数在长度为一个周期的闭区间上的简图： （1）1sin(3),;23y x x π=-∈R （2）2sin(),;4y x x π=-+∈R （3）1sin(2),;5y x x π=--∈R（4）3sin(),.63xy x π=-∈R 答案：（1） （2） （3） （4）说明：可要求学生在作出图象后，用计算机或计算器验证． 17、（1）用描点法画出函数y=sinx ，[0,]2x π∈的图象．（2）如何根据第（1）小题并运用正弦函数的性质，得出函数y=sinx ，x ∈[0，2π]的图象？（3）如何根据第（2）小题并通过平行移动坐标轴，得出函数y=sin （x ＋φ）＋k ，x ∈[0，2π]的图象？（其中φ，k 都是常数）答案：（1）x 0 sinx0.170.340.500.640.770.870.940.981（2）由sin （π－x ）=sinx ，可知函数y=sinx ，x ∈[0，π]的图象关于直线2x π=对称，据此可得函数y=sinx ，[,]2x ππ∈的图象；又由sin （2π－x ）=－sinx ，可知函数y=sinx ，x ∈[0，2π]的图象关于点（π，0）对称，据此可得出函数y=sinx ，x ∈[π，2π]的图象．（3）先把y 轴向右（当φ＞0时）或向左（当φ＜0时）平行移动|φ|个单位长度，再把x 轴向下（当k ＞0时）或向上（当k ＜0时）平行移动|k|个单位长度，最后将图象向左或向右平行移动2π个单位长度，并擦去[0，2π]之外的部分，便得出函数y=sin （x ＋φ）＋k ，x ∈[0，2π]的图象．说明：学会用不同的方法作函数图象．18、不通过画图，写出下列函数的振幅、周期、初相，并说明如何由正弦曲线得出它们的图象：（1）sin(5),;6y x x π=+∈R（2）12sin,.6y x x =∈R 答案：（1）振幅是1，周期是25π，初相是6π． 把正弦曲线向左平行移动6π个单位长度，可以得函数sin()6y x π=+，x ∈R 的图象；再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的15倍（纵坐标不变），就可得出函数sin(5)6y x π=+，x ∈R 的图象．（2）振幅是2，周期是2π，初相是0．把正弦曲线上所有点的横坐标伸长到原来的6倍（纵坐标不变），得到函数1sin6y x =，x ∈R 的图象；再把所得图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），就可得到函数12sin()6y x =，x ∈R 的图象．说明：会根据解析式求各物理量，并理解如何由正弦曲线通过变换得到正弦函数的图象．B 组1、已知α为第四象限角，确定下列各角的终边所在的位置：（1）2α； （2）3α； （3）2α． 答案：（1）3(1)42k k παππ+<<+，所以2α的终边在第二或第四象限；（2）9012030901203k k α︒+︒<<︒+︒+︒，所以3α的终边在第二、第三或第四象限；（3）（4k ＋3）π＜2α＜（4k ＋4）π，所以2α的终边在第三或第四象限，也可在y 轴的负半轴上．说明：不要求探索α分别为各象限角时，nα和nα的终边所在位置的规律． 2、一个扇形的弧长与面积的数值都是5，求这个扇形中心角的度数． 答案：约143°说明：先用弧度制下的扇形面积公式求出半径，再求出中心角的弧度数，然后将弧度数化为角度数．。
高中数学选修2-3北师大版独立性检验的基本思想课后作业(含答案)
04课后课时精练1. 在吸烟与患肺病是否相关的研究中，有下面的说法：①若χ2＝6.635，我们有99%的把握判定吸烟与患肺病有关联，那么在100个吸烟的人中必有99个人患肺病；②从独立性检验可知有99%的把握判定吸烟与患肺病有关联时，若某人吸烟，那么他有99%的可能患有肺病；③从统计量中求出有95%的把握判定吸烟与患肺病有关联，是指有5%的可能性使得推断出现错误．其中说法正确的个数为()A. 0B. 1C. 2D. 3解析：χ2是检验吸烟与患肺病相关程度的量，是一种相关关系，而不是确定关系，只能反映有关和无关的概率．故①②错误，③正确．答案：B2. 下列关于χ2的说法中正确的是()A. χ2越大，“变量A，B有关联”的可信度越小B. χ2越大，“变量A，B无关”的可信度越大C. χ2越小，“变量A，B有关联”的可信度越小D. χ2越小，“变量A，B无关”的可信度越小解析：χ2越大，“变量A，B有关联”的可信度越大，“变量A，B无关”的可信度越小；相反，χ2越小，“变量A，B有关联”的可信度越小，“变量A，B无关”的可信度越大．答案：C岳阳高二检测]为了评价某个电视栏目的改革效果，在改3. [2014·革前后分别从居民点抽取了100位居民进行调查，经过计算χ2≈0.99，根据这一数据分析，下列说法正确的是()A．有99%的人认为该栏目优秀B．有99%的人认为该栏目是否优秀与改革有关系C．在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为电视栏目是否优秀与改革有关系D．没有理由认为电视栏目是否优秀与改革有关系解析：结合χ2的含义及实际意义可知，D正确．答案：D4. 某高校《统计》课程的教师随机给出了选该课程的一些情况，具体数据如下：非统计专业统计专业男1310女720为了判断选修统计专业是否与性别有关，根据表中数据，得χ2≈4.844，因为χ2>3.841，所以可以判定选修统计专业与性别有关．那么这种判断出错的可能性为()A．5%B．95%C．1% D．99%解析：若χ2>3.841，说明有95%的把握认为选修统计专业与性别有关，即有5%的把握认为选修统计专业与性别无关，也就是“选修统计课程与性别有关”出错的可能性为5%.答案：A5. 调查某医院某段时间内婴儿出生的时间与性别的关系，得出下面的数据表出生时间晚上白天合计性别男婴203050女婴92130合计295180据表分析婴儿的性别与出生时间()A. 密切相关B. 没有必然的关系C. 有关系的概率为50%D. 有关系的概率为95%解析：由公式得χ2＝80×20×21－30×9229×51×30×50≈0.811.因为0.811<3.841，所以婴儿的性别与出生时间没有关系．答案：B6. 在一个2×2的列联表中，由其数据计算得χ2＝13.097，则其两个变量间有关系的可能性为()A. 99%B. 95%C. 90%D. 无关系解析：χ2的估计值χ2>6.635，就有99%的把握认为“x与y有关系”，故选项A最适合．答案：A7. [2014·广东高二检测]某电视台在一次对收看文艺节目的新闻节目观众的抽样调查中，随机抽取了100名电视观众，相关的数据如下表所示：文艺节目新闻节目总计20至40岁401858大于40152742。
CH-YY04多种经营管理策划(新改)
项目工作要点工作标准管理控制责任人工作记录支持文件1规划制订点位规划预算编制制定实施方案1.每年11月前按照营运中心下发的年度多种经营指标数额完成下一年度多种经营预算分解，并上报集团商管总部审批。
2.根据实际情况变化和业态需求对预算进行调整。
3.根据广场周边店铺的业态布局确定多种经营品类，合理开发利用点位。
4.结合市场情况确定租金水平。
5.每月对预算与实际的差异部分要在多种经营月报表中详细注明，包括具体的项目及数字分析。
多种经营合同及收费须建立台账，做好归档管理，每月与财务部进行月报表核对，确保数据一致性，并于每月5日前上报营运中心备案。
1.多种经营管理小组（营运副总、财务负责人、业务经理）制定年度规划。
2.由总经理主持对整个规划进行评审报集团商业管理公司备案。
3调整规划需报集团商业管理公司审批。
4.营运部根据集团商管公司审批后的年度预算按月进行分解。
5. 内场多种经营点位设置须符合股份公司管理规定，并按商管总部制定的统一标准进行编号，如超出规定要求设置点位必须逐级上报分管商管副总裁批准后方可执行。
6.非经营中心批准不得在场内外摆设特卖花车和举行各类商品打折特卖活动。
7.外场如设置固定摊位须上报股份公司规划院批准。
营运副总营运经理多种经营主管《多种经营创收年度预算表》《多种经营创收月报表》《集团商业管理制度》《多种经营管理规范》2招商管理选择商户1.根据规划选择合适商户进行招商、洽谈。
2.严格多种经营租户的资质管理，确保租户提报资料的有效性、合法性，注重维护租户资料的私密性，不得随意泄露租户资料或作他用。
对于没有合法手续、没有经营实力的小租户今后不予审批。
特殊商品（如金银制品、香烟、食品、化妆品等）租户须多种经营主管营运经理《万达广场多种经营品牌审批表》《多种经营促销管理规定》《活动场地租赁管理规定》项目工作要点工作标准管理控制责任人工作记录支持文件按国家要求提供相关证明材料（特种经营许可证、卫生许可证、检验证明等）。
苏教版高中数学选修4-4课时作业【1】及答案
1．已知点Q(1,2)，求Q 点关于M(3,4)的对称点．【解】 设点P 的坐标为(x ，y)，由题意知，M 是PQ 的中点，因此⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1＝6，y ＋2＝8，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝5，y ＝6，∴点P 的坐标为(5,6)．2．设△ABC 的三个顶点坐标分别为A(3，－1)，B(8,2)，C(4,6)，求△ABC 的面积．【解】 如图，作直线l ：y ＝－1，过点B 、C 向l 引垂线，垂足分别为B 1、C 1，则△ABC 的面积为S ＝S △AC 1C ＋S 梯形C C 1B 1B －S △AB 1B ＝12×1×7＋12(7＋3)×4－12×5×3＝16. 3．已知点P(0,4)，求P 点关于直线l ：3x －y －1＝0的对称点．【解】 设P 点关于l 的对称点Q 的坐标为(a ，b)，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ 3·b －4a ＝－1，3×a 2－b ＋42－1＝0， 即⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋3b －12＝0，3a －b －6＝0， 解之得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝3，b ＝3，∴P 点关于直线l 的对称点坐标为(3,3)．4．已知一条长为6的线段两端点A ，B 分别在x ，y 轴上滑动，点M 在线段AB 上，且AM ∶MB ＝1∶2，求动点M 的轨迹方程．【解】 如图，设A(x A,0)，B(0，y B )，M(x ，y)，∵AB ＝6，∴x 2A ＋y 2B ＝6，即x 2A ＋y 2B ＝36，①又∵AM ∶MB ＝1∶2，∴x ＝x A 1＋12，y ＝12y B 1＋12， 即⎩⎪⎨⎪⎧ x A ＝32x ，y B ＝3y ，代入①得94x 2＋9y 2＝36， 即x 2＋4y 2＝16.得动点M 的轨迹方程为x 2＋4y 2＝16.5．设点P 是矩形ABCD 所在平面上任意一点，试用解析法证明：PA 2＋PC 2＝PB 2＋PD 2.【证明】 如图，以(矩形的)顶点A 为坐标原点，边AB 、AD 所在直线分别为x 轴与y 轴建立平面直角坐标系，并设B(b,0)、D(0，d)，则点C 的坐标为(b ，d)．又设P(x ，y)，则PA 2＋PC 2＝x 2＋y 2＋(x －b)2＋(y －d)2，PB 2＋PD 2＝(x －b)2＋y 2＋x 2＋(y －d)2.比较两式，可知PA 2＋PC 2＝PB 2＋PD 2.6．有相距1 400 m 的A 、B 两个观察站，在A 站听到爆炸声的时间比在B 站听到时间早4 s ．已知当时声音速度为340 m/s ，试求爆炸点所在的曲线．【解】 由题知：爆炸点P 到B 的距离比到A 的距离多340×4＝1 360米．即PB －PA ＝1 360＜1 400，PB ＞PA.故P 在以A 、B 为焦点的双曲线上，且离A 近的一支．以A 、B 两点所在直线为x 轴，AB 的垂直平分线为y 轴，建立直角坐标系，由题意得，2a ＝1 360,2c ＝1 400，故a ＝680，c ＝700，b 2＝7002－6802＝27 600，故爆炸点所在曲线为x 2462 400－y 227 600＝1(x ＜0)． 7．在黄岩岛海域执行渔政执法的渔政310船发现一艘不明船只从离小岛O 正东方向80海里的B 处，沿东西方向向O 岛驶来．指挥部立即命令在岛屿O 正北方向40海里的A 处的我船沿直线前往拦截，以东西方向为x 轴，南北方向为y 轴，岛屿O 为原点，建立平面直角坐标系并标出A ，B 两点，若两船行驶的速度相同，在上述坐标系中标出我船最快拦住不明船只的位置，并求出该点的坐标．【解】 A ，B 两点如图所示，A(0,40)，B(80,0)，∴OA ＝40(海里)，OB ＝80(海里)．我船直行到点C 与不明船只相遇，设C(x,0)，∴OC ＝x ，BC ＝OB －OC ＝80－x.∵两船速度相同，∴AC ＝BC ＝80－x.在Rt △AOC 中，OA 2＋OC 2＝AC 2，即402＋x 2＝(80－x)2，解得x ＝30.∴点C 的坐标为(30,0)．教师备选8．x 2100＋y 225＝1，变轨(即航天器运行轨迹由椭圆变为抛物线)后返回的轨迹是以y 轴为对称轴，M(0，647)为顶点的抛物线的实线部分，降落点为D(8,0)．观测点A(4,0)，B(6,0)．(1)求航天器变轨后的运行轨迹所在的曲线方程；(2)试问：当航天器在x 轴上方时，航天器离观测点A 、B 分别为多远时，应向航天器发出变轨指令？【解】 (1)设曲线方程为y ＝ax 2＋647， ∵ 点D(8,0)在抛物线上，∴a ＝－17， ∴曲线方程为y ＝－17x 2＋647. (2)设变轨点为C(x ，y)，根据题意可知⎩⎪⎨⎪⎧ x 2100＋y 225＝1， ①y ＝－17x 2＋647， ②得4y 2－7y －36＝0.y ＝4或y ＝－94(舍去)， ∴y ＝4.得x ＝6或x ＝－6(舍去)．∴C 点的坐标为(6,4)，AC ＝25，BC ＝4.所以当航天器离观测点A 、B 的距离分别为25、4时，应向航天器发出变轨指令．。
秩和检验复习题及答案
秩和检验复习题及答案秩和检验复习题及答案秩和检验是一种非参数统计方法，用于比较两个独立样本的中位数是否存在显著差异。
它的优势在于不对数据的分布做出任何假设，适用于各种类型的数据。
接下来，我们将提供一些秩和检验的复习题，并给出相应的答案，希望能够帮助大家更好地理解和掌握这一统计方法。
1. 以下是两组独立样本的数据，要比较它们的中位数是否存在显著差异，请使用秩和检验进行分析。
组别A：8, 6, 5, 9, 7组别B：4, 3, 2, 1, 5答案：首先，我们需要对数据进行合并，并对合并后的数据进行排序，得到如下结果：合并后的数据：1, 2, 3, 4, 5, 5, 6, 7, 8, 9接下来，我们需要为每个数据赋予秩次，相同的数据取平均秩次。
得到如下结果：秩次：1, 2, 3, 4, 5.5, 5.5, 7, 8, 9, 10然后，我们计算组别A和组别B的秩和，得到如下结果：组别A的秩和：1 + 2 + 3 + 4 + 5.5 = 15.5组别B的秩和：6 + 7 + 8 + 9 + 10 = 40最后，我们使用秩和检验的公式计算检验统计量，如下所示：U = n1 * n2 + (n1 * (n1 + 1) / 2) - 秩和A - (n1 * (n1 + 1) / 2)= 5 * 5 + (5 * (5 + 1) / 2) - 15.5 - (5 * (5 + 1) / 2)= 25 + 15 - 15.5 - 15= 9.5根据秩和检验的原假设，我们假设组别A和组别B的中位数相等。
根据大样本理论，当样本量较大时，U的分布近似于标准正态分布。
因此，我们可以查找标准正态分布表，得到U=9.5对应的P值为0.0001。
由于P值小于0.05，我们可以拒绝原假设，认为组别A和组别B的中位数存在显著差异。
2. 假设我们有两组独立样本的数据，每组样本量分别为10和15。
我们进行秩和检验后，得到了检验统计量U=100。
秩和检验复习题及答案
秩和检验复习题及答案1. 秩和检验的定义：- 秩和检验是一种非参数检验方法，它不依赖于数据的分布形态，适用于小样本数据或不满足正态分布的数据。
2. 秩和检验的适用条件：- 当数据不满足正态分布假设或样本量较小时，可以使用秩和检验。
3. 秩和检验的基本步骤：- 将所有数据按大小顺序排列，并赋予秩次。
- 计算每个样本的秩和。
- 使用秩和检验公式计算检验统计量。
4. 秩和检验的假设检验：- 零假设（H0）：两个独立样本的中位数相等或多个样本的中位数相同。
- 对立假设（H1）：至少有一个样本的中位数与其他样本不同。
5. 秩和检验的计算公式：- 对于两个独立样本的秩和检验，检验统计量 \( T \) 可以用以下公式计算：\[T = \sum_{i=1}^{n_1} R_{i1} - \frac{n_1(n_1+1)}{2}\]其中 \( R_{i1} \) 是来自第一个样本的第 \( i \) 个观测值的秩次，\( n_1 \) 是第一个样本的大小。
6. 秩和检验的P值解释：- 如果P值小于显著性水平（例如0.05），则拒绝零假设，认为至少有一个样本的中位数与其他样本不同。
7. 秩和检验的应用实例：- 假设我们想要比较两种药物对头痛缓解效果的影响。
我们收集了两组数据，每组数据包含10名患者的疼痛评分。
使用秩和检验来确定两种药物是否具有统计学上显著的差异。
8. 秩和检验的局限性：- 秩和检验不能提供关于效应大小的信息。
- 当数据的分布差异很大时，秩和检验可能不如参数检验方法敏感。
答案1. 秩和检验的定义：- 秩和检验是一种非参数统计方法，它允许研究者比较两个或多个独立样本的分布，而不需要假设数据遵循特定的分布。
2. 秩和检验的适用条件：- 当数据不服从正态分布，或者样本量较小，或者数据的分布未知时，秩和检验是合适的选择。
3. 秩和检验的基本步骤：- 将所有数据合并并按大小排序，赋予秩次（相同数值赋予平均秩次）。
苏教版高中数学必修4 同步练习作业及解析4.docx
2.1向量的概念及表示［学业水平训练］1. （2014-天津高一检测）下列结论中，正确的是 ______ .（只填序号）① 零向量只有大小而没有方向；② 对任一向量a, |a|>0总是成立的；③ 丽=|前.解析：对于①，零向量有方向且方向是任意的，故①不正确.对于②，V|0| = 0,对 任一向量a, |a|>0总成立，故②不正确.对于③，I 石|, I 励I 分别与线段48, 的长度相 等，且4B=BA,故③正确.答案：③2. 下列结论中，正确的是 ________ .（只填序号）① 向量姑，前共线与向量石〃前的意义是相同的；② 若為=3）,则Ai//Ct>；③ 若向量屈=迁），贝!|向量刃=炭.解析：由共线向量、相等向量的定义知①②正确.对于③，当Ah=cb^,石与辽）的 模相等且方向相同，这时动与万卍的模也相等且方向相同，故③正确.答案：①②③3. 如图所示，D, E, F 分别是LABC 的三边AB, BC, /C 的中点，则图中与向量詡相等的向量为 _______ .解析：大小相等、方向相同的向量才是相等向量.答案：St ）与4. 有两个人，同时从同一地点按相反的方向沿直线行走，若他们的速度相同，在某一 时刻这两个人的位移分别为向量a, b,则这两个向量的模 ___________ ,方向 _________ ,它们 的关系是 _______ •解析：两人从同一地点按相反的方向沿直线行走，说明位移方向相反，又他们的速度相 同，故在某一时刻两个人的位移向量具有相等的模，再由定义知这两个向量互为相反向量.答案：相等相反互为相反向量5. 如图所示，B 、C 是线段2D 的三等分点，分别以图中各点为起点或终点，最多可以 写出 ______ 个互不相等的非零向量.A B C D解析：互不相等的非零向量为励、花、At ）,说、励、动共6个.答案：66. 如图所示，四边形MCD 和BCEF 都是平行四边形.⑴写出与貳相等的向量： _________ ；（2）写出与貳共线的向量： ______ .莖课时作业 >»生*生用书申.此内容单纯成册©解析：两个向量相等，要求这两个向量不仅长度相等，而且方向相同.平行向量是指方向相同或相反的向量.这样只要两个向量平行，就一定可以平移到同一条直线上，所以平行向量也是共线向量.答案：就、Ab 处、Ab. E P.鬲、ch7.在等腰梯形4BCD中，AB//CD,对角线"C与劝相交于点O, EF是过点0且平行于48的线段，在所标的向量中：A B⑴写出与石共线的向量；(2)写出与房方向相同的向量；(3)写出与前，(3方的模相等的向量；(4)写出与前相等的向量.解：等腰梯形/BCD 中，AB//CD//EF, AD=BC,⑴图中与石共线的向量有万乙，Eb, Op, Ep,恥,cb,徒,Fb, Fk.(2)图中与彷方向相同的向量有石，炭，Eb, OP.(3)图中与前的模相等的向量为花，前，Bb,与筋的模相等的向量为Cb, Db.(4)图中与前相等的向量为前.8.如图是中国象棋的半个棋盘，“马走日”是中国象棋的走法，“马”可以从/跳到4或A.,用向量越1、着2表示“马”走了一步•试在图中画岀“马”在B、C分别走了一步的所有情况.［咼考水平训练］1.如图所示，四边形48CD和ABDE都是平行四边形.A BE D C(1)图中所标的向量中，与向量筋相等的向量有__________(2)若丽=3,则向量荒的模等于_____________ .解析：(1)四边形ABCD和四边形ABDE都是平行四边形，根据平行四边形的性质及向量相等的定义，可知乔=命,心=晩,:•訪=晚.(2)由⑴中的分析可知笳=盘)=可?.又E, D, C三点在同一条直线上，A\Et\ = \Et)\ + | 炭|=2|Z§|=6.答案：⑴心,Dt (2)62. __________________________________ 如图所示，O是正方形ABCD的中心，则®Ab=ot-,②花〃花；③石与前共线; ®Ab=Bb.其中，所有表示正确的序号为.解析：•••正方形的对角线互相平分，.•.花=売，①正确；花与花的方向相同，所以花〃花，②正确；石与卫＞的方向相反，所以石与卫＞共线，③正确；尽管I花|=|貳|,然而花与施的方向不相同，所以花共詰，④不正确.答案：①②③3.设在平面内给定一个四边形ABCD, E、F、G、H分别为48、BC、CD、DA的中点，求证：Ep=Hb.证明：A H DB如图所示，连结"C.在KABC中，由三角形中位线定理知，EF=^AC, EF//AC,同理HG=^AC, HG//AC.所以|窈| = |/7引且曲和屋同向，所以前=月&4.一架飞机从/点向西北飞行200 km到达B点，再从B点向东飞行10丽km到达C点，最后从C点向南偏东60。
7-2秩和检验(习题)
等级资料的比较宜用 （ ）
（1）t检验 （2）秩和检验 （3）F检验 （4）四格表卡方检验
在进行成组设计两样本秩和检验 时，以下检验假设正确的是（ ）
（1）H0：两样本对应的总体均数相同 （2）H0：两样本均数相同 （3）H0：两样本对应的总体分布相同 （4）H0：两样本的中位数相同
于掌握 （3）适用于等级资料 （4）检验效能总是低于参数检验
设配对设计资料的变量值为X1和X2， 则配对资料的秩和检验（ ）
（1）把X1和X2的差值绝对值从小到 大编秩
（2）把X1和X2综合从小到大编秩
（3）把X1和X2综合按绝对值从小到 大编秩
（4）把X1和X2的差数从小到大编秩
秩和检验和t检验相比,其优点是（ ）
（2）对正秩和有2，对负秩和有-2 （3）对正秩和有3件是（ ）
（1）总体是正态分布 （2）若两组比较，要求两组的总体
方差相等 （3）不依赖于总体分布 （4）要求样本例数很大
下列哪些不是非参数统计的特点（ ）
（1）不受总体分布的限定 （2）多数非参数统计方法简单，易
（1）计算简便，不受分布限制 （2）公式更为合理 （3）检验效能高 （4）抽样误差小
成组设计两样本比较的秩和检验 中，描述不正确的是（ ）
（1）将两组数据统一由小到大编秩 （2）遇有相同数据,若在同一组,按顺序编秩 （3）遇有相同数据，若不在同一组，按顺序
编秩 （4）遇有相同数据，若不在同一组，取其平
在进行Wilcoxon配对法秩和检验时， 以下检验假设正确的是（ ）
（1）H0：两样本对应的总体均数相同 （2）H0：两样本的中位数相同 （3）H0：两样本对应的总体分布相同 （4）以上都不正确
高中数学必修四同步练习及答案(新课标人教A版)之欧阳法创编
高中数学必人修教四A版练习册高中数学人教A 版必修4练习册目录导航人教A 版必修4练习1.1任意角和弧度制 ...................................................... 0 1.2任意角的三角函数 .................................................... 3 1.3三角函数的诱导公式 .................................................. 5 1.4三角函数的图像与性质 (7)1.5函数)sin(ϕω+=x A y 的图像与1.6三角函数模型的简单应用 ............. 10 第一章 三角函数基础过关测试卷 ......................................... 13 第一章三角函数单元能力测试卷 .......................................... 152.1平面向量的实际背景及基本概念与2.2.1向量加法运算 ................... 18 2.2向量减法运算与数乘运算 ............................................. 20 2.3平面向量的基本定理及坐标表示 ....................................... 22 2.4平面向量的数量积与2.5平面向量应用举例 ............................. 25 第二章平面向量基础过关测试卷 .......................................... 28 第二章平面向量单元能力测试卷 .......................................... 313.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式 ................................... 34 3.2简单的三角恒等变换 ................................................. 37 第三章三角恒等变换单元能力测试卷 ...................................... 39 人教A 版必修4练习答案1.1任意角和弧度制 ..................................................... 43 1.2任意角的三角函数 ................................................... 44 1.3三角函数的诱导公式 ................................................. 44 1.4三角函数的图像与性质 .. (45)1.5函数)sin(ϕω+=x A y 的图像与1.6三角函数模型的简单应用 ............. 45 第一章三角函数基础过关测试卷 .......................................... 47 第一章三角函数单元能力测试卷 .......................................... 47 2.1平面向量的实际背景及基本概念与2.2.1向量加法运算 ................... 48 2.2向量减法运算与数乘运算 ............................................. 48 2.3平面向量的基本定理及坐标表示 ....................................... 48 2.4平面向量的数量积与2.5平面向量应用举例 ............................. 50 第二章平面向量基础过关测试卷 .......................................... 51 第二章平面向量单元能力测试卷 .......................................... 51 3.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式 ................................... 52 3.2简单的三角恒等变换 ................................................. 52 第三章三角恒等变换单元能力测试卷 .. (53)1.1任意角和弧度制一、选择题（每题5分，共50分）1.四个角中，终边相同的角是 （ ）A.,398- 38 B.,398- 142 C.,398-1042 D.,14210422.集合α{=A ︱90⋅=k α,36-}Z k ∈，β{=B ︱180- 180<<β},则B A 等于 （ ）A.,36{- 54} B.,126{-144} C.,126{-,36-,54144}D.,126{- 54}3.设θ{=A ︱θ为锐角}，θ{=B ︱θ为小于90的角}，θ{=C ︱θ为第一象限角}，θ{=D ︱θ为小于 90的正角}，则（ ）A.B A =B.C B =C.C A =D.D A = 4.若角α与β终边相同，则一定有 （ ）A.180=+βα B.0=+βαC.360⋅=-k βα，Z k ∈ D.360⋅=+k βα，Z k ∈ 5.已知α为第二象限的角，则2α所在的象限是 （ ）A.第一或第二象限B.第二或第三象限C.第一或第三象限D.第二或第四象限6.将分针拨慢5分钟，则分针转过的弧度数是 （ ）A.3πB.3π-C.2πD.32π 7.在半径为cm 2的圆中，有一条弧长为cm 3π，它所对的圆心角为（ ） A.6π B.3π C.2π D.32π 8.已知角α的终边经过点)1,1(--P ,则角α为 （ ）A.)(45Z k k ∈+=ππαB.)(432Z k k ∈+=ππα C.)(4Z k k ∈+=ππα D.)(432Z k k ∈-=ππα9.角316π化为)20,(2παπα<<∈+Z k k 的形式( ) A.35ππ+B.344ππ+C.326ππ-D.373ππ+ 10.集合α{=A ︱},2Z k k ∈+=ππα，α{=B ︱},)14(Z k k ∈±=πα，则集合A 与B 的关系是（ ）A.B A =B.B A ⊇C.B A ⊆D.B A ≠ 二、填空题（每题5分，共20分）11.角a 小于180而大于-180，它的7倍角的终边又与自身终边重合，则满足条件的角a 的集合为__________. 12.写满足下列条件的角的集合.1）终边在x 轴的非负半轴上的角的集合__________； 2）终边在坐标轴上的角的集合__________；3）终边在第一、二象限及y 轴上的角的集合__________； 4）终边在第一、三象限的角平分线上的角的集合__________. 13.设扇形的周长为cm 8，面积为24cm ，则扇形的圆心角的弧度数是__________.14.已知a {∈θ︱a =+πk },4)1(Z k k∈⋅-π，则角θ的终边落在第__________象限.三、解答题（15、16每题7分，17、18每题8分）15.已知角a 的终边与y 轴的正半轴所夹的角是30，且终边落在第二象限，又 720-<a <0，求角a .16.已知角45=a ，（1）在区间720[-0,)内找出所有与角a 有相同终边的角β；（2）集合x M {=︱ 1802⨯=kx 45+，}Z k ∈,x N {=︱ 1804⨯=kx 45+}Z k ∈ 那么两集合的关系是什么？ 17.若θ角的终边与3π的终边相同，在]2,0[π内哪些角的终边与3θ角的终边相同？18.已知扇形的周长为30，当它的半径R 和圆心角各取何值时，扇形的面积最大？并求出扇形面积的最大值.1.2任意角的三角函数一、选择题（每题5分，共40分）1.已知角α的终边过点()αcos ,2,1-P 的值为 （ ） A.55-B.55C.552 D.252.α是第四象限角，则下列数值中一定是正值的是 （ ）A.αsinB.αcosC.αtanD.αtan 13.已知角α的终边过点()()03,4<-a a a P ，则ααcos sin 2+的值是 （ ） A.52 B.52- C.0 D.与α的取值有关 4.(),,0,54cos παα∈=则αtan 1的值等于 （ ） A.34 B.43 C.34± D.43± 5.函数x x y cos sin -+=的定义域是（ ）A.()Z k k k ∈+,)12(,2ππB.Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++,)12(,22πππ C.Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++,)1(,2πππ D.[]Z k k k ∈+,)12(,2ππ 6.若θ是第三象限角，且,02cos<θ则2θ是 （ ）A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角 7.已知,54sin =α且α是第二象限角，那么αtan 的值为（ ） A.34-B.43- C.43 D.348.已知点()ααcos ,tan P 在第三象限，则角α在 （ ）A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角二、填空题（每题5分，共20分）9.已知,0tan sin ≥αα则α的取值集合为__________. 10.角α的终边上有一点(),5,m P 且(),013cos ≠=m mα则=+ααcos sin __________.11.已知角θ的终边在直线x y 33=上，则=θsin __________，=θtan __________.12.设(),2,0πα∈点()αα2cos ,sin P 在第三象限，则角α的范围是__________.三、解答题（第15题20分，其余每题10分，共40分）13.求43π的角的正弦，余弦和正切值. 14.已知,51sin =α求ααtan ,cos 的值.15.已知,22cos sin =+αα求αα22cos 1sin 1+的值.1.3三角函数的诱导公式一、选择题（每题5分，共40分） 1.21)cos(-=+απ，παπ223<<,)2sin(απ-值为 ( ) A.23B.21C.23± D.23- 2.若,)sin()sin(m -=-++ααπ则)2sin(2)3sin(απαπ-++等于 （ ） A.m 32-B.m 23-C.m 32D.m 23 3.已知,23)4sin(=+απ则)43sin(απ-值为 （ ） A.21B.21- C.23 D.23-4.如果),cos(|cos |π+-=x x 则x 的取值范围是（ ）A.)](22,22[Z k k k ∈++-ππππB.))(223,22(Z k k k ∈++ππππC.)](223,22[Z k k k ∈++ππππD.))(2,2(Z k k k ∈++-ππππ 5.已知,)1514tan(a =-π那么=︒1992sin（ ） A.21||aa + B.21aa + C.21aa +-D.211a+-6.设角则,635πα-=)(cos )sin(sin 1)cos()cos()sin(222απαπααπαπαπ+--+++--+的值等于 （ ）A.33 B.33- C.3D.－3 7.若,3cos )(cos x x f =那么)30(sin ︒f 的值为 （ ） A.0B.1C.1- D.238.在△ABC 中，若)sin()sin(C B A C B A +-=-+，则△ABC 必是 （ ）A .等腰三角形B .直角三角形C .等腰或直角三角形D .等腰直角三角形 二、填空题（每题5分，共20分） 9.求值：︒2010tan 的值为．10.若1312)125sin(=-α,则=+)55sin(α． 11.=+++++76cos 75cos 74cos 73cos 72cos 7cos ππππππ．12.设,1234tan a =︒那么)206cos()206sin(︒-+︒-的值为． 三、解答题（每题10分，共40分） 13.已知3)tan(=+απ,求)2sin()cos(4)sin(3)cos(2a a a a -+-+--πππ的值．14.若32cos =α,α是第四象限角，求sin(2)sin(3)cos(3)cos()cos()cos(4)απαπαππαπααπ-+--------的值．15.已知αtan 、αtan 1是关于x 的方程0322=-+-k kx x 的两实根，且,273παπ<<求)sin()3cos(απαπ+-+的值．16.记4)cos()sin()(++++=βπαπx b x a x f ，（a 、b 、α、β均为非零实数），若5)1999(=f ，求)2000(f 的值．1.4三角函数的图像与性质一、选择题(每题5分,共50分)1.)(x f 的定义域为[]1,0则)(sin x f 的定义域为 （ ）A.[]1,0B.)(2,2222,2Z k k k k k ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎥⎦⎤⎢⎣⎡+πππππππ C.[])()12(,2Z k k k ∈+ππ D.)(22,2Z k k k ∈⎪⎭⎫⎢⎣⎡+πππ 2.函数)652cos(3π-=x y 的最小正周期是（ ）A52πB 25πC π2D π53.x x y sin sin -=的值域是（ ）A ]0,1[-B ]1,0[C ]1,1[-D ]0,2[-4.函数)44(tan 1ππ≤≤-=x x y 的值域是 ( )A.[]1,1-B.(][) +∞-∞-,11,C.[)+∞-,1D.(]1,∞-5.下列命题正确的是（ ） A.函数)3sin(π-=x y 是奇函数 B.函数)cos(sin x y =既是奇函数,也是偶函数C.函数x x y cos =是奇函数D.函数x y sin =既不是奇函数,也不是偶函数6.设()f x 是定义域为R ，最小正周期为32π的函数，若cos ,(0)(),2sin ,(0)x x f x x x ππ⎧-≤<⎪=⎨⎪≤<⎩ 则15()4f π-等于 （ ） A 10 D.2- 7.函数)3cos(πϖ+=x y 的周期为4π则ϖ值为 ( )A.8B.6C.8±D.48.函数)32sin(π+=x y 的图象( ) A.关于点⎪⎭⎫⎝⎛0,12π对称 B.关于点⎪⎭⎫ ⎝⎛-0,6π对称C.关于直线3π=x 对称 D.关于直线6π-=x 对称9.)2sin(θ+=x y 图像关于y 轴对称则 ( ) A.)(,22Z k k ∈+=ππθ B.)(,2Z k k ∈+=ππθC.)(,2Z k k ∈+=ππθD.)(,Z k k ∈+=ππθ 10.满足21)4sin(≥-πx 的x 的集合是 ( ) A.⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≤≤+Z k k x k x ,121321252ππππ B.⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≤≤+Z k k x k x ,65262ππππC.⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≤≤-Z k k x k x ,1272122ππππ D.⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≤≤Z k k x k x ,6522πππ 二、填空题(每题5分,共20分) 11.函数)23sin(2x y -=π的单调递增区间是__________.12.函数)21(cos log 2-=x y 的定义域是__________. 13.函数)2sin(x y =的最小正周期为__________.14.若)(x f 为奇函数,且当0>x 时,x x x x f 2cos sin )(+=,则当0<x 时,=)(x f __________.三、解答题(每题10分,共30分) 15.利用“五点法”画出函数)621sin(π+=x y 在长度为一个周期的闭区间的简图.16.已知函数⎪⎭⎫⎝⎛-=32tan )(πx x f ，(1)求函数)(x f 的定义域周期和单调区间；(2)求不等式3)(1≤≤-x f 的解集.17.求下列函数的最大值和最小值及相应的x 值. (1)1)42sin(2++=πx y(2)),32cos(43π+-=x y ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈6,3ππx (3)5cos 4cos 2+-=x x y (4)2sin sin 1-+=x xy1.5函数)sin(ϕω+=x A y 的图像与1.6三角函数模型的简单应用一、选择题(每题5分，共35分) 1.函数1)62sin(3)(--=πx x f 的最小值和最小正周期分别是( )A.13--，πB.13+-，πC.3-，πD.13--，π2 2.若函数)3sin(2πω+=x y 的图像与直线2=y 的相邻的两个交点之间的距离为π,则ω 的一个可能值为 ( )A.3B.2C.31D.21 3.要得到)32sin(π-=x y 的图像,只要将x y 2sin =的图像( ) A.向左平移3π个单位 B.向右平移3π个单位C.向左平移6π个单位 D.向右平移6π个单位 4.函数1)62sin(2++=πx y 的最大值是（ ）A.1B.2C.3D.45.已知函数)(x f 的部分图像如图所示，则)(x f 的解析式可能为（ ）A.)62sin(2)(π-=x x f B.)44cos(2)(π+=x x fC.)32cos(2)(π-=x x fD.)64sin(2)(π+=x x f6.)23sin(2x y -=π的单调增区间为（ ） A.⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-125,12ππππK K B.⎥⎦⎤⎢⎣⎡++127,125ππππK K C.⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-6,3ππππK KD.⎥⎦⎤⎢⎣⎡++1211,125ππππK K 7.函数[]),0(),62sin(3ππ∈--=x x y 为增函数的区间是（ ） A.⎥⎦⎤⎢⎣⎡125,0π B.⎥⎦⎤⎢⎣⎡32,6ππ C.⎥⎦⎤⎢⎣⎡1211,6ππ D.⎥⎦⎤⎢⎣⎡1211,32ππ 二、填空题(每题5分，共15分)8.关于))(32sin(4)(R x x x f ∈+=有下列命题： 1）有0)()(31==x f x f 可得21x x -是π的整数倍； 2）表达式可改写为)62cos(4)(π-=x x f ；3）函数的图像关于点)0,6(π-对称；4）函数的图像关于直线6π-=x 对称；其中正确的命题序号是__________.9.甲乙两楼相距60米，从乙楼底望甲楼顶的仰角为45,从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30，则甲乙两楼的高度分别为__________. 10.已知1tan sin )(++=x b x a x f 满足7)5(=πf ，则)599(πf 的值为__________.三、解答题(每题25分，共50分)11.已知函数)421sin(3π-=x y ，1）用“五点法”画函数的图像；2）说出此图像是由x y sin =的图像经过怎样的变换得到的； 3）求此函数的周期、振幅、初相；4）求此函数的对称轴、对称中心、单调递增区间. 12.已知函数)32cos(log )(π-=x ax f （其中)1,0≠>a a 且，1）求它的定义域； 2）求它的单调区间； 3）判断它的奇偶性；4）判断它的周期性，如果是周期函数，求出它的周期.第一章三角函数基础过关测试卷一、选择题(每题5分，共40分)1.与240-角终边位置相同的角是 （ ）A.240 B.60 C.150 D.480 2.已知()21cos -=+απ,则()απ+3cos 的值为 （ ） A.21 B.23± C.21- D.233.函数x y sin 1-=的最大值为 （ ）A.1B.0C.2D.1- 4.函数⎪⎭⎫⎝⎛+=321sin x y 的最小正周期是 （ ） A.2πB.πC.π2D.π4 5.在下列各区间上，函数⎪⎭⎫⎝⎛+=4sin 2πx y 单调递增的是 （ ） A.],4[ππB.]4,0[πC.]0,[π-D.]2,4[ππ 6.函数x y cos 1+=的图象 （ ）A.关于x 轴对称B.关于y 轴对称C.关于原点对称D.关于直线2π=x 轴对称7.使x x cos sin <成立的x 的一个区间是（ ） A.⎪⎭⎫ ⎝⎛-4,43ππ B.⎪⎭⎫ ⎝⎛-2,2ππ C.⎪⎭⎫⎝⎛-43,4ππ D.()π,08.函数⎪⎭⎫⎝⎛+=43sin πx y 的图象，可由x y 3sin =的图象 （ ）A.向左平移4π个单位 B.向右平移4π个单位 C .向左平移12π个单位 D .向右平移12π个单位二、填空题（每题5分，共20分）9.已知角β的终边过点()12,5--P ，求=βcos __________． 10.函数x y tan lg =的定义域是__________． 11.()R x x y ∈=sin 的对称点坐标为__________． 12.1cos cos -=x xy 的值域是__________．三、解答题(每题10分，共40分) 13.已知2tan =β，求1sin cos sin 2+βββ的值．14.化简：()()()()()()()()πααπαπαπααπααπ6sin sin cos sin 6cos cos cos sin 2222---++---+-++． 15.求证：ααααααααcos sin cos sin 1cos sin 2cos sin 1+=+++++．16.求函数⎪⎭⎫⎝⎛≤≤+=323cos 2sin 2ππx x x y 的最大值和最小值．第一章三角函数单元能力测试卷一、选择题（每小题5分，共60分） 1.设α角属于第二象限，且2cos2cosαα-=，则2α角属于 ( ）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.下列值①)1000sin( -；②)2200cos(-；③)10tan(-；④4sin 是负值的为 （ ）A.①B.②C.③D.④3.函数sin(2)(0)y x ϕϕπ=+≤≤是R 上的偶函数，则ϕ的值是 （ ） A.0 B4π C 2πD π 4.已知4sin 5α=，并且α是第二象限的角，那么tan α的值等于 （ ） A.43-B.34-C.43D.34 5.若α是第四象限的角，则πα-是 （ ）A 第一象限的角B 第二象限的角C 第三象限的角D 第四象限的角6.将函数sin()3y x π=-的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再 所得的图象向左平移3π个单位，得到的图象对应的解析式是 ( ) A.1sin2y x = B 1sin()22y x π=- C.1sin()26y x π=- D.sin(2)6y x π=-7.若点(sin cos ,tan )P ααα-在第一象限,则在[0,2)π内α的取值范围是 ( )A.35(,)(,)244ππππ B 5(,)(,)424ππππC.353(,)(,)2442ππππ D 33(,)(,)244ππππ 8.与函数)42tan(π+=x y 的图像不相交的一条直线是( ) A.2π=x B 2π-=x C 4π=x D 8π=x9.在函数x y sin =、x y sin =、)322sin(π+=x y 、)322cos(π+=x y 中,最小正周期为π的函数的个数是（ ） A.1个 B 2个 C 3个 D 4个10.方程1sin 4x x π=的解的个数是 （ ）A 5B 6C 7D 811.在)2,0(π内，使x x cos sin >成立的x 取值范围为 （ ） A.)45,()2,4(ππππ B.),4(ππ C.)45,4(ππD.)23,45(),4(ππππ12.已知函数()sin(2)f x x ϕ=+的图象关于直线8x π=对称，则ϕ可能是（ ） A.2π B 4π- C 4π D 4π 二、填空题（每小题5分，共20分）13.设扇形的周长为8cm ，面积为24cm ，则扇形的圆心角的弧度数是__________14.若,24παπ<<则αααtan cos sin 、、的大小关系为__________15若角α与角β的终边关于y 轴对称，则α与β的关系是__________16.关于x 的函数()cos()f x x α=+有以下命题：①对任意α,()f x 都是非奇非偶函数；②不存在α，使()f x 既是奇函数，又是偶函数；③存在α，使()f x 是偶函数；④对任意α,()f x 都是奇函数其中假命题的序号是__________三、解答题（第17题10分，其余每题12分，共70分）17.求下列三角函数值: （1）)316sin(π-（2）)945cos( - 18.比较大小:（1） 150sin ,110sin ； （2）200tan ,220tan19.化简：（1）)sin()360cos()810tan()450tan(1)900tan()540sin(x x x x x x --⋅--⋅--（2）xx x sin 1tan 1sin 12-⋅++20.求下列函数的值域： （1）)6cos(π+=x y ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,0πx ； (2) 2sin cos 2+-=x x y21.求函数)32tan(π-=x y 的定义域、周期和单调区间.22.用五点作图法画出函数)631sin(2π-=x y 的图象(1)求函数的振幅、周期、频率、相位； (2)写出函数的单调递增区间；(3)此函数图象可由函数x y sin =怎样变换得到2.1平面向量的实际背景及基本概念与2.2.1向量加法运算一、选择题（每题5分，共40分）1.把平面上所有的单位向量平移到相同的起点上，那么它们的终点所构成的图形是（ ）A.一条线段B.一段圆弧C.两个孤立点D.一个圆2.下列说法中，正确的是 （ ）A.>,则b a >B.=，则=C.若b a =，则a ∥bD.若a ≠b ，则a 与b 不是共线向量3.设O 为△ABC 的外心，则AB 、、是 （ ）A.相等向量B.平行向量C.模相等的向量D.起点相等的向量4.已知正方形ABCD 的边长为1，设=，=，=， 则+=（ ）A.0B.3C.22+D.225.58==的取值范围是 （ ）A.[]8,3B.()8,3C.[]13,3D.()13,36.如图，四边形ABCD 为菱形，则下列等式中 A B成立的是( )A.=+B.=+C.=+D.=+ D C7.在边长为1的正三角形ABC 中，若向量=，=+= （ ）A.7B.5C.3D.28.向量a 、b 皆为非零向量，下列说法不正确的是 （ ）A.向量与>，则向量+与的方向相同B.向量与<，则向量+与的方向相同C.向量与同向，则向量b a +与的方向相同D.向量与同向，则向量+与的方向相同二、填空题（每题5分，共20分）9.ABC ∆是等腰三角形，则两腰上的向量AB 与的关系是__________.10.已知C B A ,,是不共线的三点，向量与向量是平行向量，与是共线向量，则=__________.11.在菱形ABCD 中，∠DAB ︒=601=，则=+__________.12.化简=++BO OP PB __________.三、解答题（13题16分，其余每题12分，共40分）13.化简：（1)++++. (2)PM MN QP NQ +++.14.已知四边形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，且OC AO =，=.求证：四边形ABCD 是平行四边形.15.一艘船以h km /5的速度向垂直于对岸的方向行驶，航船实际航行方向与水流方向成︒30 角，求水流速度和船的实际速度.2.2向量减法运算与数乘运算一、选择题(每题5分,共40分)1.在菱形ABCD 中，下列各式中不成立的是 （ ）A.-=AC AB BCB.-=AD BD ABC.-=BD AC BCD.-=BD CD BC2.下列各式中结果为O 的有 （ ）①++AB BC CA ②+++OA OC BO CO③-+-AB AC BD CD ④+-+MN NQ MP QPA.①②B.①③C.①③④D.①②③3.下列四式中可以化简为AB 的是 （ ）①+AC CB ②-AC CB ③+OA OB ④-OB OAA.①④B.①②C.②③D.③④ 4. ()()=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+b a b a 24822131 （ ）A.2a b -B.2b a -C.b a -D.()b a --5.设两非零向量12,e e ，不共线，且1212()//()k e e e ke ++，则实数k 的值为 （ ）A.1B.1-C.1±D.06.在△ABC 中，向量BC 可表示为 （ ）①-AB AC ②-AC AB ③+BA AC ④-BA CAA.①②③B.①③④C.②③④D.①②④7.已知ABCDEF 是一个正六边形，O 是它的中心，其中===,,OA a OB b OC c 则EF =( )A.a b +B.b a -C.-c bD.-b c8.当C 是线段AB 的中点，则AC BC += （ ）A.ABB.BAC.ACD.O二、填空题(每题5分,共20分)9.化简：AB DA BD BC CA ++--=__________.10.一架飞机向北飞行km 300后改变航向向西飞行km 400，则飞行的总路程为__________， 两次位移和的和方向为__________，大小为__________.11.点C 在线段AB 上，且35AC AB =，则________AC CB =. 12.把平面上一切单位向量归结到共同的始点，那么这些向量的终点所构成的图形是__________ 三、解答题(每题10分,共40分) 13.已知点C 在线段AB 的延长线上，且2,,BC AB BC CA λλ==则为何值?14.如图，ABCD 中,E F 分别是,BC DC 的中点，G 为交点，若AB =a ，AD =b ，试以a ，b 表示DE 、BF 、CG 15.若菱形ABCD 的边长为2，求AB CB CD -+=? 16.在平面四边形ABCD 中，若AB AD AB AD +=-，则四边形ABCD 的形状是什么？A GE FB D2.3平面向量的基本定理及坐标表示一、选择题（每题5分，共50分）1.已知平面向量),2,1(),1,2(-==b a 则向量b a 2321-等于 （ ） A.)25,21(-- B.)27,21( C.)25,21(- D.)27,21(- 2.若),3,1(),4,2(==则等于 （ ）A.)1,1(B.)1,1(--C.)7,3(D.)7,3(-- 3.21,e e 是表示平面内所有向量的一组基底，下列四组向量中，不能作为一组基底的是 （ ） A.21e e +和21e e - B.2123e e -和1264e e - C.212e e +和122e e + D.2e 和21e e +4.已知平面向量),,2(),3,12(m m =+=且b a //，则实数m 的值等于 （ ）A.2或23-B.23C.2-或23D.72- 5.已知C B A ,,三点共线，且),2,5(),6,3(--B A 若C 点的横坐标为6，则C 点的纵坐标为A.13-B.9C.9-D.13 （ ）6.已知平面向量),,2(),2,1(m -==且b a //，则b a 32+等于 （ ）A.)10,5(--B.)8,4(--C.)6,3(--D.)4,2(--7.如果21,e e 是平面内所有向量的一组基底，那么 （ ）A.若实数21,λλ使2211=+e e λλ，则021==λλB.21,e e 可以为零向量C.对实数21,λλ，2211e e λλ+不一定在平面内D.对平面中的任一向量a ，使=2211e e λλ+的实数21,λλ有无数对8.已知向量)4,3(),3,2(),2,1(===c b a ，且b a c 21λλ+=，则21,λλ的值分别为 ( )A.1,2-B.2,1-C.1,2-D.2,1-9.已知),3,2(),2,1(-==b a 若n m -与2+共线（其中R n m ∈,且)0≠n ，则nm 等于 ( ) A.21- B.2 C.21 D.2- 10.在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ,E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与 CD 交于点F ，若,,b BD a AC == 则AF 等于 （ ） A.b a 2141+ B.b a 3132+ C.b a 4121+ D.b a 3231+ 二、填空题（每题5分，共20分）11.已知),1,(),3,1(-=-=x 且b a //，则=x __________12.设向量)3,2(),2,1(==，若向量b a +λ与向量)7,4(--=共线，则=λ__________13.已知x 轴的正方向与a 的方向的夹角为3π4=，则a 的坐标为__________ 14.已知边长为1的正方形ABCD ，若A 点与坐标原点重合，边AD AB ,分别落在x 轴，y 轴的正向上，则向量++32的坐标为__________三、解答题(第15题6分,其余每题8分,共30分)15.已知向量与不共线，实数y x ,满足等式x x y x 2)74()10(3++=-+，求y x ,的值.16.已知向量21,e e 不共线，（1）若,82,2121e e BC e e AB +=+=),(321e e CD -=则B A ,,D 三点是否共线？（2）是否存在实数k ，使21e e k +与21e k e -共线？17.已知三点),10,7(),4,5(),3,2(C B A 点P 满足)(R ∈+=λλ，（1）λ为何值时，点P 在直线x y =上？（2）设点P 在第一象限内，求λ的取值范围.18.平面内给定三个向量)1,4(),2,1(),2,3(=-==，（1）求23-+；（2）求满足n m +=的实数n m ,；（3)若)2//()(k -+，求实数k .2.4平面向量的数量积与2.5平面向量应用举例一、选择题（每题5分，共50分）1.若,是两个单位向量，那么下列四个结论中正确的是 （ ）A.=B.1=⋅≠ D.= 2.下面给出的关系始终正确的个数是 （ ）①00=⋅②⋅=⋅③2④()()⋅⋅=⋅⋅⋅≤A.0B.1C.2D.3 3.对于非零向量,，下列命题中正确的是 （ ）A.000==⇒=⋅或B. b a //⇒在C.()2⋅=⋅⇒⊥D.b a c b c a =⇒⋅=⋅4.下列四个命题，真命题的是 （ ）A.在ABC ∆中，若,0>⋅则ABC ∆是锐角三角形；B.在ABC ∆中，若,0>⋅则ABC ∆是钝角三角形；C.ABC ∆为直角三角形的充要条件是0=⋅BC AB ；D.ABC ∆为斜三角形的充要条件是.0≠⋅BC AB .5.,8=为单位向量，a 与e 的夹角为,60o 则a 在e 方向上的投影为（ ） A.34 B.4 C.24 D.238+6.若向量b a ,,1==与的夹角为 120，则=⋅+⋅（ ）A.21B.21- C.23 D.23-7.a ,631==与的夹角为,3π则⋅的值为 （ ）A.2B.2±C.1D.1±8.已知()(),5,5,0,3-==b a 则与的夹角为 （ ） A.4π B.3π C.43π D.32π 9.若O 为ABC ∆所在平面内的一点，且满足()(),02=-+⋅-则ABC ∆ 的形状为 （ ）A.正三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.A ，B ，C 均不是10.设向量()(),1,,2,1x ==当向量b a 2+与b a -2平行时，b a ⋅等于 （ ） A.25 B.2 C.1 D.27 二、填空题（每题5分，共20分）11.(),2,1,3==且,⊥则的坐标是_____________.12.若(),8,6-=则与平行的单位向量是_____________.13.设21,e e 为两个不共线的向量，若21e e λ+=与()2132e e --=共线，则=λ________.14.有一个边长为1的正方形ABCD ，设,,,c AC b BC a AB ====+__________.三、解答题（每题10分，共30分）15.()()61232,34=+⋅-==，求与b 的夹角θ.16.,43==且与不共线，当k 为何值的时，向量k +与b k a -互相垂直？17.平面上三个力321,,F F F 作用于一点且处于平衡状态，121,226,1F N F N F +==与 2F 的夹角为,45o 求：①3F 的大小；②3F 与1F 的夹角的大小.第二章平面向量基础过关测试卷一、选择题（每题5分，共55分）1.如图在平行四边形ABCD 中,,b OB a OA ==,,d OD c OC ==则下列运算正确的是（ ）A.0=+++d c b a B.0 =-+-d c b a C.0 =--+d c b a D.0 =+--d c b a2.已知)1,3(),3,(-==b x a ，且a ∥b ，则x 等于 （ ）A.1-B.9C.9-D.13.已知a =)1,2(-，b =)3,1(，则－2a +3b 等于 （ ）A.)11,1(--B.)11,1(-C.)11,1(-D.)11,1(4.若点P 分有向线段21P P 所成定比为1:3，则点1P 分有向线段P P 2所成的比为 （ ） A.34-B.32-C.21-D.23- 5.下列命题中真命题是 （ ）A.000 ==⇒=⋅b a b a 或B.a b a b a 上的投影为在⇒//C.()2b a b a b a ⋅=⋅⇒⊥ D.b ac b c a =⇒⋅=⋅6.已知ABCD 的三个顶点C B A ,,的坐标分别为),3,1(),4,3(),1,2(--则第四个顶点D 的坐标为 ( )A.)2,2(B.)0,6(-C.)6,4(D.)2,4(-7.设21,e e 为两不共线的向量，则21e e λ+=与()1232e e b --=共线的等价条件是ACODA.23=λ B.32=λ C.32-=λ D.23-=λ （ ）8.下面给出的关系式中正确的个数是 （ ）①00 =⋅a ②a b b a ⋅=⋅③22a a =④)()(c b a c b a ⋅=⋅⑤||||b a b a⋅≤⋅A.0B.1C.2D.39.下列说法中正确的序号是 （ ）①一个平面内只有一对不共线的向量可作为基底； ②两个非零向量平行，则他们所在直线平行； ③零向量不能作为基底中的向量； ④两个单位向量的数量积等于零.A.①③B.②④C.③D.②③10.已知()()5,0,1,221P P -且点P 在21P P22PP =，则点P 坐标是（ ）A.)11,2(-B.)3,34(C.)3,32( D.)7,2(-11.若b a k b a b a b a 432,1||||-+⊥==与且也互相垂直，则k 的值为 （ ）A.6-B.6C.3D.3-二、填空题（每题5分，共15分）12.已知向量)2,1(,3==b a，且b a ⊥，则a 的坐标是__________.13.若()0,2,122=⋅-==a b a b a，则b a 与的夹角为__________.14.ΔABC 中,)1,3(),2,1(B A 重心)2,3(G ，则C 点坐标为__________. 三、解答题（每题题10分，共30分）15.已知),4,(),1,1(),2,0(--x C B A 若C B A ,,三点共线，求实数x 的值.16.已知向量)1,0(),0,1(,4,23212121==+=-=e e e e b e e a，求（1）b a b a+⋅,的值；（2）a 与b 的夹角的余弦值.17.已知四边形ABCD 的顶点分别为)4,1(),7,2(),4,5(),1,2( D C B A ,求证：四边形ABCD 为正方形.第二章平面向量单元能力测试卷一、选择题(每题5分，共60分)1.设F E D C B A ,,,,,是平面上任意五点，则下列等式①AB CE AE CB +=+②AC BE BC EA +=-③ED AB EA AD +=+ ④0AB BC CD DE EA ++++=⑤0AB BC AC +-=其中错误等式的个数是（ ） A.1 B.2 C.3 D.42.已知正方形ABCD 的边长为1，设c AC b BC a AB ===,,则=++ ( )A.0B.3C.22+D.223.设1e 、2e 是两个不共线向量，若向量 =2153e e +与向量213e e m -=共线，则m 的值等于（ ） A.35-B.－59C.53-D.95-4.已知)3,1(),1,2(=-=b a 则32+-等于 ( )A.)11,1(--B.)11,1(-C.)11,1(-D.)11,1(5.设P )6,3(-,Q )2,5(-,R 的纵坐标为9-，且R Q P ,,三点共线，则R 点的横坐标为A.9-B.6-C.9D.6 （ ）6.在ΔABC 中,若0)()(=-⋅+CB CA CB CA ，则ΔABC 为 ( )A.正三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.无法确定7.已知向量，，40-=⋅=8,则向量与的夹角为 （ ）A. 60B. 60-C. 120D.120-8.已知)0,3(=a ,)5,5(-=b ，则与的夹角为 ( ) A.4πB.43πC.3πD.32π 9.若b a b a⊥==,1||||且b a 32+与b a k 4-也互相垂直，则k 的值为( )A.6-B.6C.3D.3-10.已知a =(2,3),b =(4-,7),则a 在b上的投影值为( )A.13B.513 C.565 D.6511.若35=+,=，则四边形ABCD 是 ( )A.平行四边形B.菱形C.等腰梯形D.非等腰梯形 12.己知)1,2(1-P ,)5,0(2P 且点P 在线段21P P 的延长线上,||2|21PP P P =, 则P 点坐标为 ( )A.)11,2(-B.)3,34( C.(3,32) D.)7,2(- 二、填空题(每题5分，共 20分)13.已知|a |=1,|b |=2,且(a －b )和a 垂直,则a 与b的夹角为__________.14.若向量),2(x -=,)2,(x -=,且a 与b 同向，则-a b 2=__________.15.已知向量)2,3(-=,)1,2(-,)4,7(-=,且b a cμλ+=，则λ=__________，μ=__________.16.已知||=3,｜｜=2，与的夹角为60，则｜－｜NABDM C=__________.三、解答题（第17题10分，其余每题12分，共70分） 17.如图，ABCD 中，点M 是AB 的中点，点N 在BD 上，且BD BN 31=，求证：C N M ,,三点共线． 18.已知C B A ,,三点坐标分别为),2,1(),1,3(),0,1(--=31，=31， 1）求点E 、F 及向量的坐标； 2）求证：∥．19.24==b a a b 夹角为120,求：(1)⋅；(2))()2(+⋅-；(3)b a 23+．20.已知)2,3(),2,1(-==b a，当k 为何值时：（1）b a k +与b a 3-垂直；（2）b a k +与b a3-平行，平行时它们是同向还是反向？21.())sin 3cos ),3(sin(,sin ,cos 2x x x b x x a -+==π,b a x f ⋅=)(，求：(1)函数()x f 的最小正周期； (2))(x f 的值域； (3))(x f 的单调递增区间.22.已知点)sin ,(cos ),3,0(),0,3(ααC B A ， （1）若1-=⋅，求α2sin 的值；（213=+OC OA ，且),0(πα∈，求与的夹角.3.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式一、选择题(每题5分,共45分)1.345cos 的值等于 （ ） A.462- B.426- C.462+ D.462+- 2.195sin 75sin 15cos 75cos -的值为 （ ）A.0B.21C.23D.21- 3.已知1312sin -=θ，)0,2(πθ-∈，则)4cos(πθ-的值为 （ ） A.2627-B.2627C.26217-D.262174.已知53)4sin(=-x π，则x 2sin 的值为 （ ）A.2519B.2516C.2514D.257 5.若31sin cos ),,0(-=+∈ααπα且, 则α2cos 等于（ ） A.917 B.917± C.917- D.317 6.已知函数是则)(,,sin )2cos 1()(2x f R x x x x f ∈+= （ ）A.最小正周期为π的奇函数B.最小正周期为2π的奇函数 C.最小正周期为π的偶函数 D.最小正周期为2π的偶函数7.已知71tan =α，βtan =31，20πβα<<<，则βα2+等于（ ） A.45π B.4π C.45π或4π D.47π8.ΔABC 中，已知αtan 、βtan 是方程01832=-+x x 的两个根，则c tan 等于 ( )A.2B.2-C.4D.4-9.函数56sin 2sin 5cos 2cos )(ππx x x f -=的单调递增区间是（ ） A.)(53,10Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++ππππ B.)(207,203Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-ππππ C.)(532,102Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++ππππ D.)(10,52Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-ππππ 二、填空题(每题5分,共20分)10.已知函数的最小正周期是则)(,,sin )cos (sin )(x f R x x x x x f ∈-=__________.11.135)6cos(-=+πx ,则)26sin(x -π的值是__________. 12.231tan 1tan +=+-αα,则α2sin =__________. 13.已知函数[]则,,0,sin )(π∈=x x x f )2(3)(x f x f y -+=π的值域为__________.三、解答题(14题11分，15、16题12分，共35分)14.求值：(1))32cos(3)3sin(2)3sin(x x x ---++πππ. (2)已知,71tan ,21)tan(-==-ββα且)0,(,πβα-∈，求βα-2的值.15.设x x x f 2sin 3cos 6)(2-=，（1)求)(x f 的最大值及最小正周期；（2)若锐角α满足323)(-=αf ，求α54tan 的值.16.已知),,0(,,55cos ,31tan πβαβα∈=-= （1)求)tan(βα+的值； （2)求函数)cos()sin(2)(βα++-=x x x f 的最大值.3.2简单的三角恒等变换一、选择题(每题5分，共40分)1.=-︒︒︒︒16sin 194cos 74sin 14sin （ ） A .23 B .23- C .21 D .21- 2.下列各式中，最小的是 （ ）A .40cos 22B .6cos 6sin 2 C .37sin 50cos 37cos 50sin -D .41cos 2141sin 23- 3.函数()R x x y ∈+=2cos 21的最小正周期为 （ ）A .2πB .πC .π2D .π44.︒︒︒︒-+70tan 50tan 350tan 70tan 的值为 （ ）A .21B .23C .21-D .3-5.若316sin =⎪⎭⎫ ⎝⎛-απ，则=⎪⎭⎫ ⎝⎛+απ232cos （ ） A .97-B .31- C .31 D .976.若函数x x y tan 2sin =，则该函数有 （ ） A .最小值0，无最大值B .最大值2，无最小值C .最小值0，最大值2D .最小值2-，最大值2 7.若παπ223<<，则=++α2cos 21212121 （ ） A .2cosαB .2sinαC .2cosα-D .2sinα-8.若()x x f 2sin tan =，则()=-1f （ ）A .1B .1-C .21D .21-二、填空题（每题5分，共20分）9.计算=-+75tan 175tan 1__________. 10.要使mm --=-464cos 3sin θθ有意义,则m 取值范围是__________.11.sin 510αβ==且,αβ为锐角，则αβ+＝__________. 12.若函数4cos sin 2++=x a x y 的最小值为1，则a =__________.三、解答题（每题10分，共40分） 13.化简：)10tan 31(40cos ︒+︒.14.求值：︒︒︒︒++46cos 16sin 46cos 16sin 22. 15.求函数1cos sin 2cos sin +++=x x x x y ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,0πx 的最值. 16.已知函数R x x x x x y ∈++=,cos 2cos sin 3sin 22,(1)求函数的最小正周期；(2)求函数的对称轴； (3)求函数最大值及取得最大值时x 的集合.第三章三角恒等变换单元能力测试卷一、选择题（每题5分 ，共60分）1.︒︒︒︒++15cos 75cos 15cos 75cos 22的值等于 （ ） A.26 B.23 C.45 D.431+2.已知222tan -=θ，πθπ22<<，则θtan 的值为 ( )A.2B.22-C.2D.2或22- 3.设︒︒︒︒++=30tan 15tan 30tan 15tan a ，︒︒-=70sin 10cos 22b ，则a ，b 的大小关系A.b a =B.b a >C.b a <D.b a ≠（ ）4.函数x x x x f cos sin 3sin )(2+=在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,4ππ上的最大值 （ ） A.1 B.231+ C.23 D.31+5.函数)32cos()62sin(ππ+++=x x y 的最小正周期和最大值分别为（ ）A.π,1B.π,2C.π2,1D.π2,2 6.xx xx sin cos sin cos -+=（ ） A.)4tan(π-x B.)4tan(π+x C.)4cot(π-x D.)4cot(π+x 7.函数)3cos()33cos()6cos()33sin(ππππ+++-+=x x x x y 的图像的一条对称轴是A.6π=x B.4π=x C.6π-=x D.2π-=x（ ）8.)24tan 1)(25tan 1)(20tan 1)(21tan 1(++++的值为 （ ）A.2B.4C.8D.169.若51)cos(=+βα，53)cos(=-βα，则βαtan tan = （ ） A.2 B.21C.1D.010.函数[]0,(cos 3sin )(π-∈-=x x x x f ）的单调递增区间是 （ ） A.⎥⎦⎤⎢⎣⎡--65,ππ B.⎥⎦⎤⎢⎣⎡--6,65ππ C.⎥⎦⎤⎢⎣⎡-0,3π D.⎥⎦⎤⎢⎣⎡-0,6π 11.已知A 、B 为小于︒90的正角，且31sin =A ，21sin =B ，则)(2sin B A +的值是A.97 B.23C.1832+D.183724+（ ） 12.若22)4sin(2cos -=-παα，则ααsin cos +的值为 （ ） A.27-B.21-C.21D.27二、填空题（每题5分，共20分） 13.已知32tan=θ，则θθθθsin cos 1sin cos 1+++-=__________.14.函数)2sin()3sin(ππ+⋅+=x x y 的最小正周期T =__________. 15.已知xxx f +-=11)(，若),2(ππα∈则)cos ()(cos αα-+f f 可化简为__________.16.若2cos sin -=+αα，则ααtan 1tan +=__________. 三、解答题（第17题10分，其余每题12分，共70分） 17.（1）已知54cos =α，且παπ223<<，求2tan α.（2）已知1cos )cos()22sin(sin 3=⋅+--θθπθπθ，),0(πθ∈，求θ的值. 18.已知135)43sin(=+πα，53)4cos(=-βπ，且434,44πβππαπ<<<<-， 求)cos(βα-的值.19.已知函数R x x x x x x f ∈++=,cos 3cos sin 2sin )(22， 求：（1）函数)(x f 的最大值及取得最大值的自变量x 的集合； （2）函数)(x f 的单调增区间.20.已知α、β),0(π∈，且αtan 、βtan 是方程0652=+-x x 的两根，求：（1）βα+的值；（2）)cos(βα-的值. 21.已知函数a x x x x f ++-++=2cos )62sin()62sin()(ππ（a 为实常数），（1）求函数)(x f 的最小正周期；（2）如果当⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,0πx 时，)(x f 的最小值为2-，求a 的值. 16.已知函数R x xx x x f ∈--++=,2cos 2)6sin()6sin()(2ωπωπω（其中0>ω），（1）求函数)(x f 的值域；。
第4章习题答案
第4章形状与位置公差习题答案一、1．＿A B＿。
2．＿A C D 。
3．＿A B＿。
4．＿B D 。
5．＿B D 。
6．＿C D E 。
7．＿A C E 。
8. B C E 。
?9．B D 。
10．＿A D E 。
11．＿A D 。
二、1．公差带的形状相同（为半径差等于公差值t的两同轴圆柱面所限定的区域），圆柱度不涉及基准，其方向和位置可随实际要素不同而浮动，只能控制被测要素形状误差的大小，跳动公差涉及基准，跳动公差带的位置是固定的。
2．距离等于公差值t的两平行平面。
直径等于公差值φt的圆柱面所限定的。
3．半径差等于公差值t的两同心圆所限定的区域，半径差等于公差值t的两同轴圆柱面所限定的区域。
4．距离等于公差值t，对称于基准中心平面（或基准轴线）的两平行平面所限定的区域。
5．直径等于公差值φt 、轴线垂直于基准平面的圆柱面所限定的区域。
:6．径向圆跳动误差，径向圆跳动误差。
7．同轴度公差不小于跳动公差。
8．是相同的，浮动的，固定的。
9．直径等于公差值φt的圆柱面所限定的区域。
该圆柱面的轴线按给定的角度倾斜于基准平面，直径等于公差值φt的圆柱面所限定的区域。
10．0.025 mm。
11．Φ，Φ ，Φ。
12．Φ，Φ，Φ。
13．Φ，Φ。
14．Φ，Φ。
15．最大实体边界，Φ20 ，0 。
<四、五、1、图4-36 2、&图4-37 3、a) b)20H7（c ） （d ）图4-38"4、。
人教版高中数学选修4-5：单元质量评估(四) Word版含答案
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单元质量评估(四)(第四讲)(90分钟120分)一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.(2016·广州高二检测)如果命题P(n)对n=k成立,那么它对n=k+2成立,又若P(n)对n=2成立,则P(n)对所有( )A.正整数n成立B.正偶数n成立C.正奇数n成立D.大于1的自然数n成立【解析】选B.根据数学归纳法的意义可知,命题P(n)对所有正偶数n都成立.2.用数学归纳法证明“(n+1)(n+2)…(n+n)=2n·1·2·(2n-1)(n∈N+)”时,从“n=k到n=k+1”时,左边应增加的式子是( )A.2k+1B.2k+3C.2(2k+1)D.2(2k+3)【解析】选C.当n=k时,左边=(k+1)(k+2)…(k+k).当n=k+1时,左边=(k+2)(k+3)…(k+k)(k+k+1)(k+1+k+1).可见从“n=k到n=k+1”,左边增加了2(2k+1).3.(2016·金华高二检测)用数学归纳法证明n(n+1)(2n+1)能被6整除时,由归纳假设推证n=k+1时命题成立,需将n=k+1时的原式表示成( )A.k(k+1)(2k+1)+6(k+1)B.6k(k+1)(2k+1)C.k(k+1)(2k+1)+6(k+1)2D.以上都不对【解析】选C.因为假设当n=k时命题成立,即k(k+1)(2k+1)能被6整除,当n=k+1时,(k+1)(k+2)(2k+3)=(k+1)(2k2+7k+6)=k(k+1)(2k+1)+6(k+1)2.4.(2016·大连高二检测)在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为n(n-3)条时,第一步检验第一个值n0等于( )A. 1B.2C.3D.0【解析】选C.因为凸n边形中,边数最少的是三角形,边数为3.5.在数列{a n}中,a n=1-+-+…+-,则a k+1= ( )A.a k+B.a k+-C.a k+D.a k+-【解析】选D.a1=1-,a2=1-+-,…,a n=1-+-+…+-,a k=1-+-+…+-,所以a k+1=a k+-.6.已知数列{a n}中,a1=1,a2=2,a n+1=2a n+a n-1(n∈N+),用数学归纳法证明a4n能被4整除,假设a4k能被4整除,然后应该证明( )A.a4k+1能被4整除B.a4k+2能被4整除C.a4k+3能被4整除D.a4k+4能被4整除【解析】选D.由假设a4k能被4整除,则当n=k+1时,应该证明a4(k+1)=a4k+4能被4整除.7.(2016·烟台高二检测)设f(n)=1++++…+,则f(k+1)-f(k)等于( )A. B.++C.+D.+【解析】选D.当n=k时,f(k)=1+++…+.当n=k+1时,f(k+1)=1+++…+++….所以f(k+1)-f(k)=+.8.已知n为正偶数,用数学归纳法证明:1-+-+…+=2时,若已假设n=k(k≥2且为偶数)时,等式成立,则还需要利用归纳假设再证( ) A.n=k+1时等式成立 B.n=k+2时等式成立C.n=2k+2时等式成立D.n=2(k+2)时等式成立【解析】选B.偶数k的后继偶数为k+2,故应再证n=k+2时等式成立.【误区警示】解答本题易忽视k的限制条件:k≥2且为偶数,而错选A.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.请把正确答案填在题中横线上)9.观察等式1=12,2+3+4=32,3+4+5+6+7=52,4+5+6+7+8+9+10=72,…,推测第n个等式应该是.【解析】观察等式1=12,2+3+4=32,3+4+5+6+7=52,4+5+6+7+8+9+10=72知,第n个等式左端是2n-1个连续自然数的和,其中最小的自然数是n,右端是(2n-1)2.即第n个等式应该是n+(n+1)+(n+2)+…+(3n-2)=(2n-1)2.答案:n+(n+1)+(n+2)+…+(3n-2)=(2n-1)210.(2016·大连高一检测)用数学归纳法证明cosα+cos3α+…+cos(2n-1)α=(sinα≠0,n∈N+),在验证n=1时,等式右边的式子是.【解析】当n=1时,右边===cosα.答案:cosα11.设f(n)=…,用数学归纳法证明f(n)≥3.在“假设n=k时成立”后,f(k+1)与f(k)的关系是f(k+1)=f(k)·_________.【解析】当n=k时,f(k)=…;当n=k+1时,f(k+1)=…,所以f(k)应乘·.答案:·12.已知数列{a n},其中a2=6,且满足=n,则a1=,a3=,a4=,猜想a n=.【解析】由已知可得=1,=2,=3,将a2=6代入以上三式,解得:a1=1,a3=15,a4=28.由于a1=1,a2=2×3,a3=3×5,a4=4×7,猜想得a n=n(2n-1).答案:1 15 28 n(2n-1)三、解答题(本大题共6小题,共60分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)13.(10分)(2016·石家庄高二检测)用数学归纳法证明:当n∈N+时,++…+=.【证明】(1)当n=1时,左边==,右边==,左边=右边,所以等式成立.(2)假设当n=k(k≥1)时,等式成立,即++…+=.则当n=k+1时,++…++=+====.即当n=k+1时,等式也成立.由(1),(2)可知对一切n∈N+等式都成立.14.(10分)对于n∈N+,用数学归纳法证明:1·n+2·(n-1)+3·(n-2)+…+(n-1)·2+n·1=n(n+1)(n+2).【证明】设f(n)=1·n+2·(n-1)+3·(n-2)+…+(n-1)·2+n·1.(1)当n=1时,左边=1,右边=1,等式成立;(2)设当n=k(k≥1)时,等式成立,即1·k+2·(k-1)+3·(k-2)+…+(k-1)·2+k·1=k(k+1)(k+2),则当n=k+1时,f(k+1)=1·(k+1)+2+3+…+·3+·2+(k+1)·1=f(k)+1+2+3+…+k+(k+1)=k(k+1)(k+2)+(k+1)(k+1+1)=(k+1)(k+2)(k+3).所以由(1)(2)可知当n∈N+时,等式都成立.15.(10分)(2016·南京高二检测)用数学归纳法证明:f(n)=(2n+7)·3n+9(n∈N*)能被36整除.【证明】(1)当n=1时,f(1)=(2×1+7)×31+9=36,能被36整除.(2)假设n=k(k≥1,k∈N*),f(k)=(2k+7)·3k+9能被36整除,当n=k+1时,f(k+1)=(2k+9)·3k+1+9=3+18(3k-1-1)=3f(k)+18(3k-1-1)又因为3k-1-1是偶数,所以f(k+1)能被36整除,即当n=k+1时,f(n)=(2n+7)·3n+9也能被36整除.由(1)(2)知,对n∈N*,f(n)=(2n+7)·3n+9都能被36整除.16.(10分)(2016·苏州高二检测)已知正项数列{a n}和{b n}中,a1=a(0<a<1),b1=1-a.当n≥2时,a n=a n-1b n,b n=.(1)证明:对任意n∈N+,有a n+b n=1.(2)求数列{a n}的通项公式.【解析】(1)用数学归纳法证明.①当n=1时,a1+b1=a+(1-a)=1,命题成立;②假设n=k(k≥1)时命题成立,即a k+b k=1,则当n=k+1时,a k+1+b k+1=a k b k+1+b k+1=(a k+1)·b k+1=(a k+1)·===1.所以当n=k+1时,命题也成立.由①②可知,a n+b n=1对n∈N+恒成立.(2)因为a n+1=a n b n+1===,所以==+1,即-=1.数列是公差为1的等差数列,其首项为=,=+(n-1)×1,从而a n=(0<a<1).17.(10分)(2016·太原高二检测)求证:用数学归纳法证明2n+2>n2(n∈N+).【证明】(1)当n=1时,21+2>12,不等式成立;当n=2时,22+2>22,不等式成立;当n=3时,23+2>32,不等式成立.(2)假设当n=k(k≥3)时不等式成立,即2k+2>k2.则当n=k+1时,2k+1+2=2(2k+2)-2>2k2-2=(k+1)2+k2-2k-3因为k≥3,所以k2-2k-3=(k-3)(k+1)≥0,(*)从而2k+1+2>(k+1)2+k2-2k-3≥(k+1)2,所以2k+1+2>(k+1)2.即当n=k+1时,不等式也成立.由(1)(2)可知,2n+2>n2对一切n∈N+都成立.18.(10分)(2016·广州高二检测)在数列{a n},{b n}中,a1=2,b1=4,且a n,b n,a n+1成等差数列,b n,a n+1,b n+1成等比数列(n∈N+).(1)求a2,a3,a4及b2,b3,b4,由此猜测{a n},{b n}的通项公式,并证明你的结论.(2)证明:++…+<.【解析】(1)由条件得2b n=a n+a n+1,=b n b n+1.由此可得a2=6,b2=9,a3=12,b3=16,a4=20,b4=25.猜测a n=n(n+1),b n=(n+1)2.用数学归纳法证明:①当n=1时,由上可得结论成立.②假设当n=k(k≥1)时,结论成立,即a k=k(k+1),b k=(k+1)2.那么当n=k+1时,a k+1=2b k-a k=2(k+1)2-k(k+1)=(k+1)(k+2),b k+1==(k+2)2.所以当n=k+1时,结论也成立.由①②,可知a n=n(n+1),b n=(n+1)2对一切正整数都成立.(2)=<.当n≥2时,由(1)知a n+b n=(n+1)·(2n+1)>2(n+1)·n.故++…+<+=+=+<+=.关闭Word文档返回原板块。
2019-2020学年高中数学人教A版选修4-4同步作业与测评：2.2.1 直线的参数方程 Wor
姓名，年级：时间：2．1 直线的参数方程直线的参数方程(1）经过点P（x0，y0)，倾斜角是α的直线的参数方程为错误!（t为参数)．①其中M（x，y)为直线上的任意一点，参数t的几何意义是错误!从点P到M的位移，可以用有向线段错误!的数量来表示．当错误!与e（直线的单位方向向量）同向时，t取错误!正数．当错误!与e反向时,t取错误!负数．当M与P重合时,t＝错误!0．(2）经过两个定点Q(x1，y1），P(x2，y2）(其中x1≠x2）的直线的参数方程为错误!（λ为参数，λ≠－1)．其中M（x，y)为直线上的任意一点，参数λ的几何意义与参数方程①中的t显然不同，它所反映的是动点M分有向线段错误!的数量比错误!．当λ＞0时,错误!M为内分点;当λ＜0时，且λ≠－1时，错误!M为外分点；当λ＝0时，错误!点M与Q重合．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”）（1)过M（1，5)且倾斜角为错误!的直线的参数方程为错误!（t为参数)．（）(2)直线l的参数方程为错误!(t为参数）,则直线l的斜率为1．( ）（3）当0〈α〈π时,sinα>0,所以直线l的单位方向向量e的方向总是向上的．( )答案(1)√（2）×(3）√2．做一做（1)直线的参数方程为错误!（t为参数)，M0（－1，2）和M（x，y）是该直线上的定点和动点，则t的几何意义是（)A．有向线段错误!的数量B．有向线段错误!的数量C．|错误!|D．以上都不是答案B（2）已知直线l的方程错误!(t为参数），那么直线l的倾斜角为( ）A．65° B．25° C．155° D．115°答案D（3）曲线的参数方程为错误!(t是参数)，则曲线是( )A．线段 B．双曲线的一支C．圆 D．射线答案D（4)经过点Q（1，2），P(3，7)的直线的参数方程为________．答案错误!(λ为参数，λ≠－1）．探究错误!直线的参数方程的求法例1 （1）已知直线l的方程为3x－4y＋1＝0，点P（1，1)在直线l上，写出直线l的参数方程,并求点P到点M（5,4)的距离．(2）已知两点A（2，1）,B（－1，2）和直线l：x＋2y－5＝0．求过点A，B的直线的参数方程，并求它与直线l的交点的坐标．解（1）由直线方程3x－4y＋1＝0可知，直线的斜率为错误!，设直线的倾斜角为α，则tanα＝错误!,sinα＝错误!，cosα＝错误!．又点P(1，1）在直线l上，所以直线l的参数方程为错误!(t为参数)．因为3×5－4×4＋1＝0，所以点M在直线l上．由1＋错误!t＝5，得t＝5，即点P到点M的距离为5．（2)设直线AB上动点P(x,y)，选取参数λ＝错误!，则直线AB的参数方程为错误!（λ为参数)．①把①代入x＋2y－5＝0得λ＝－错误!．把λ＝－错误!代入①得错误!即交点坐标为（5,0）．求直线的参数方程时，若已知所过的定点与其倾斜角时，利用错误!（t为参数）求；若已知两个定点，利用错误!(λ为参数，λ≠－1）求．理解并掌握直线参数方程的转化，弄清参数的几何意义，解决此类问题的关键．【跟踪训练1】（1）设直线l过点A(2,－4)，倾斜角为错误!，则直线l的参数方程为________；（2）一直线过P0(3，4），倾斜角α＝错误!，求此直线与直线3x＋2y＝6的交点M 与P0之间的距离．答案(1)错误!(t为参数) （2）见解析解析（1）直线l的参数方程为错误!（t为参数)，即错误!(t为参数)．（2)设直线的参数方程为错误!(t为参数)，将它代入已知直线3x＋2y－6＝0,得3错误!＋2错误!＝6,解得t＝－错误!，所以｜MP0｜＝｜t｜＝错误!．探究错误!直线与圆的参数方程的综合应用例2 已知直线l经过点P(1，1)，倾斜角α＝错误!，（1)写出直线l的参数方程；(2)设l与圆x2＋y2＝4相交于两点A，B，求点P到A，B两点的距离之积．解（1)∵直线l过点P（1，1），倾斜角为错误!,∴直线的参数方程为错误!即错误!(t为参数)为所求．（2)因为点A,B都在直线l上，所以可设它们对应的参数为t1和t2，则点A，B的坐标分别为A错误!，B错误!，将直线l的参数方程代入圆的方程x2＋y2＝4，整理得到t2＋(错误!＋1)t－2＝0，①因为t1和t2是方程①的解，从而t1t2＝－2．所以|PA｜｜PB|＝｜t1t2|＝|－2|＝2．(1)由直线参数方程的概念可直接写出方程．(2）充分利用参数几何意义求解．求解直线与圆或圆锥曲线有关的弦长时，不必求出交点坐标,根据直线参数方程中参数t的几何意义即可求得结果，与常规方法相比较，较为简捷．【跟踪训练2】直线l通过P0(－4,0)，倾斜角α＝错误!，l与圆x2＋y2＝7相交于A，B两点．（1)求弦长｜AB|；（2)求A，B两点坐标．解(1)∵直线l通过P0(－4，0），倾斜角α＝错误!,∴可设直线l的参数方程为错误!（t为参数)，代入圆方程，得错误!2＋错误!2＝7，整理得t2－4错误!t＋9＝0．＊设A，B对应的参数分别为t1和t2，由根与系数的关系得t1＋t2＝4错误!，t1t2＝9，∴|AB|＝｜t2－t1｜＝错误!＝2错误!．（2)解＊得t1＝3错误!，t2＝错误!，代入直线参数方程错误!得A点坐标错误!，B点坐标错误!．探究错误!直线与圆锥曲线的参数方程的综合应用例3 已知抛物线y2＝8x的焦点为F，过F且斜率为2的直线交抛物线于A,B两点．(1)求｜AB|；（2）求AB的中点M的坐标及｜FM|．解抛物线y2＝8x的焦点为F（2，0)，依题意，设直线AB的参数方程为错误!(t为参数)，其中tanα＝2,cosα＝错误!，sinα＝错误!,α为直线AB的倾斜角，代入y2＝8x整理得t2－2错误!t－20＝0．设F错误!＝t1e，F错误!＝t2e，其中e＝错误!，则t1＋t2＝2错误!,t1t2＝－20．（1)｜A错误!｜＝|F错误!－F错误!｜＝｜t2e－t1e｜＝|t2－t1|｜e|＝｜t2－t1|＝错误!＝错误!＝10．(2）由于AB的中点为M,则A错误!＝M错误!，∴F错误!－F错误!＝F错误!－F错误!，即F错误!＝错误!(F错误!＋F错误!)，又F错误!＝错误!(F错误!＋F错误!）＝错误!e，故点M对应的参数为错误!＝错误!，∴M（3，2),｜FM｜＝错误!＝错误!．设二次曲线C:F（x，y）＝0，直线l：错误!(t为参数），如果l与C相交于A，B两点，那么将l的方程代入F（x，y)＝0后可得at2＋bt＋c＝0，则该方程有两个不等实数根t1，t2，此时错误!＝t1e，错误!＝t2e，e＝（cosα,sinα)，于是易得以下两个常见的公式：（1)｜AB|＝｜t1－t2|；（2)线段AB的中点M对应的参数t＝错误!，且｜M0M|＝错误!．【跟踪训练3】以直角坐标系的原点O为极点，x轴正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的单位长度．已知直线l的参数方程为错误!(t为参数，0<α<π)，曲线C的极坐标方程为ρ＝错误!．（1)求曲线C 的直角坐标方程；（2)设直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，当α变化时，求｜AB ｜的最小值． 解 （1)由ρ＝错误!，得(ρsin θ）2＝2ρcos θ， 所以曲线C 的直角坐标方程为y 2＝2x (x ≠0）． （2）将直线l 的参数方程代入y 2＝2x ， 得t 2sin 2α－2t cos α－1＝0．设A ，B 两点对应的参数分别为t 1，t 2，则t 1＋t 2＝错误!，t 1t 2＝－错误!，所以由参数t 的几何意义得 |AB |＝|t 1－t 2|＝错误! ＝ 错误!＝错误!，当α＝π2时，｜AB |取最小值2．1．经过点M 0（x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程为{ x ＝x 0＋t cos α，，y ＝y 0＋t sin α（t 为参数)．其中t 表示直线l 上以定点M 0为起点，任意一点M （x ,y ）为终点的有向线段错误!的数量，可为正，为负，也可为零．2．在直线参数方程中，如果直线上的点M 1,M 2所对应的参数值分别为t 1和t 2，则线段M 1M 2的中点所对应的参数值为t 中＝错误!（t 1＋t 2）．1．直线错误!（t 为参数)的倾斜角是（ ) A ．20° B．70° C．110° D．160° 答案 B解析 将t ＝错误!代入x ＝3＋t sin20°，得x ＝3＋y tan20°,即x －y tan20°－3＝0．设直线的倾斜角为α，则tan α＝错误!＝tan70°．又α∈［0°,180°）,∴α＝70°．2．已知直线l 的普通方程是2x －y ＋1＝0，则直线l 的参数方程的标准形式为( ）A．错误!（t为参数)B．错误!(t为参数)C．错误!(t为参数）D．错误!(t为参数)答案C解析由直线l的普通方程,知直线l的斜率为2．设直线l的倾斜角为α，则tanα＝2，且α为锐角，∴cosα＝错误!＝错误!，sinα＝cosαtanα＝错误!．又直线l经过点（0，1)，∴直线l的参数方程的标准形式为错误!（t为参数）．3．直线l经过点M0（1,5），倾斜角为错误!，且交直线x－y－2＝0于点M，则｜MM0|＝( )A．3＋1 B．6(错误!＋1)C．6＋ 3 D．6错误!＋1答案B解析由题意可得直线l的参数方程为错误!(t为参数），代入直线方程x－y－2＝0,得1＋错误!t－5＋错误!t－2＝0，解得t＝－6（错误!＋1)．根据t的几何意义可知｜MM0｜＝6（3＋1）．4．直线错误!(t为参数）与曲线交于A，B两点，A，B对应的参数值分别为t1,t2,则｜AB|等于（）A．|t1＋t2| B．|t1|＋｜t2|C．|t1－t2｜ D．错误!答案C解析由参数t的几何意义可知,|AB｜＝|t1－t2|，故选C．5．直线错误!（t为参数）上与点P(－2，4)距离等于4的点Q的坐标为________．答案（－4，4＋2错误!）或（0，4－2错误!）解析因为直线的参数方程为标准形式，所以由t的几何意义可知|PQ｜＝｜t|＝4,所以t＝±4，当t＝4时,错误!当t＝－4时，错误!A级：基础巩固练一、选择题1．若直线错误!（t为参数）与圆错误!(φ为参数）相切,那么直线倾斜角α为( ) A．错误! B．错误! C．错误! D．错误!或错误!答案D解析直线化为错误!＝tanα，即y＝tanα·x，圆方程化为(x－4）2＋y2＝4,∴由错误!＝2⇒tan2α＝错误!，∴tanα＝±错误!，又α∈[0，π）,∴α＝错误!或错误!．2．直线错误!(t为参数)和圆x2＋y2＝16交于A，B两点，则AB的中点坐标为（）A．（3,－3） B．（－3，3）C．(错误!，－3) D．(3，－错误!)答案D解析错误!2＋错误!2＝16，得t2－8t＋12＝0，t1＋t2＝8，错误!＝4,AB中点为错误!⇒错误!3．过点（0，2)且与直线错误!（t为参数）互相垂直的直线方程为（）A．错误! B．错误!C．错误! D．错误!答案B解析直线错误!化为普通方程为y＝错误!x＋1－2错误!,其斜率k1＝错误!，设所求直线的斜率为k，由kk1＝－1，得k＝－错误!，故参数方程为错误!（t为参数)．4．已知直线l的参数方程为错误!（t为参数），则过点(4，－1）且与l平行的直线在y轴上的截距是( )A．－1 B．－2 C．－3 D．－4答案D解析由题意知，过点（4，－1)且与l平行的直线的参数方程为错误!（t为参数)．令x＝0，得t＝－5．把t＝－5代入y＝－1＋错误!t，得y＝－1＋错误!×(－5)＝－4,故所求截距为－4．5．已知直线l过点A(2，1),且与向量a＝（－1,1)平行,则点P（－1，－2）到直线l的距离是( ）A．错误! B．2错误! C．3错误! D．2答案C解析由已知得直线l的参数方程为错误!(t为参数)．因为直线l上的任意一点M 的坐标可表示为（2－t，1＋t)，所以｜PM|＝2－t＋12＋1＋t＋22＝2t2＋9，当t＝0时，｜PM|有最小值，最小值是32，此时｜PM|为点P到直线l的距离．6．过抛物线y2＝4x的焦点F作倾斜角为错误!的直线交抛物线于A，B两点，则弦AB的长是( ）A．16 B．3 C．错误! D．错误!答案C解析抛物线y2＝4x的焦点F的坐标为(1,0)，又倾斜角为错误!，所以弦AB所在直线的参数方程为错误!(t为参数），代入抛物线方程y2＝4x得到错误!2＝4错误!，整理得3t2－8t－16＝0．设方程的两个实根分别为t1，t2，则有错误!所以|t1－t2|＝t1＋t22－4t1t2＝错误!＝错误!，故弦AB的长为错误!．二、填空题7．设直线的参数方程为错误!（t为参数），点P在直线上，且与点M0(－4，0)的距离为错误!，若该直线的参数方程改写成错误!(t为参数），则在这个方程中P点对应的t 值为________．答案±1解析由|PM0|＝错误!知，t＝±错误!，代入第一个参数方程,得点P的坐标分别为（－3，1)或(－5，－1），再把点P的坐标代入第二个参数方程可得t＝1或t＝－1．8．过点(6，7），倾斜角的余弦值是错误!的直线l的参数方程为________．答案错误!(t为参数）解析设倾斜角为α，∵cosα＝错误!，∴sinα＝错误!，∴错误!(t为参数)．9．已知曲线C1的参数方程是错误!(t为参数）．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程是ρ＝2,则C1与C2交点的直角坐标为________．答案（错误!，1)解析由错误!消去t得y＝错误!x(x≥0),即曲线C1的普通方程是y＝错误!x（x≥0)；由ρ＝2,得ρ2＝4，得x2＋y2＝4，即曲线C2的直角坐标方程是x2＋y2＝4．联立错误!解得错误!故曲线C1与C2的交点坐标为（错误!，1)．三、解答题10．设直线的参数方程为错误!（t为参数）．(1)求直线的普通方程;（2)将参数方程的一般形式化为参数方程的标准形式．解(1)把t＝错误!代入y的表达式得y＝10－错误!，化简得4x＋3y－50＝0，所以直线的普通方程为4x＋3y－50＝0．（2)把参数方程变形为错误!令t′＝－5t，即错误!（t′为参数)为参数方程的标准形式．B级：能力提升练1．已知直线的参数方程为错误!(t为参数），它与曲线（y－2）2－x2＝1交于A，B 两点．(1）求｜AB|的长;（2）求点P（－1，2）到线段AB中点C的距离．解(1）把直线的参数方程代入曲线方程并化简得7t2＋6t－2＝0．设A,B对应的参数分别为t1，t2，则t1＋t2＝－错误!,t1t2＝－错误!．所以，线段｜AB｜的长为错误!｜t1－t2|＝5错误!＝错误!．（2)根据中点坐标的性质可得AB中点C对应的参数为错误!＝－错误!．所以,由t的几何意义可得点P（－1,2)到线段AB中点C的距离为32＋－42·错误!＝错误!．2．在直角坐标系xOy中，圆C的方程为(x＋6)2＋y2＝25．（1）以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程;（2）直线l的参数方程是错误!(t为参数）,l与C交于A，B两点，｜AB｜＝错误!，求l的斜率．解（1)由x＝ρcosθ,y＝ρsinθ可得圆C的极坐标方程为ρ2＋12ρcosθ＋11＝0．(2)在（1）中建立的极坐标系中，直线l的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R)．设A，B所对应的极径分别为ρ1，ρ2,将l的极坐标方程代入C的极坐标方程得ρ2＋12ρcosα＋11＝0．于是ρ1＋ρ2＝－12cosα，ρ1ρ2＝11．|AB|＝|ρ1－ρ2|＝错误!＝错误!．由｜AB｜＝错误!得cos2α＝错误!，tanα＝±错误!．所以l的斜率为错误!或－错误!．。
北师大版高中数学选修4-4章末综合测评(二).docx
高中数学学习材料唐玲出品章末综合测评(二)(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.曲线⎩⎨⎧x ＝－1＋cos θ，y ＝2＋sin θ(θ为参数)的对称中心( )A.在直线y ＝2x 上B.在直线y ＝－2x 上C.在直线y ＝x －1上D.在直线y ＝x ＋1上【解析】 曲线可化为(x ＋1)2＋(y －2)2＝1，其对称中心为圆心(－1,2)，该点在直线y ＝－2x 上，故选B.【答案】 B2.直线⎩⎨⎧x ＝t sin 70°＋3，y ＝－t cos 70°(t 为参数)的倾斜角是( )A.20°B.70°C.110°D.160°【解析】 令t ′＝－t ，直线的参数化为标准形式：⎩⎨⎧x ＝t ′cos 160°＋3，y ＝t ′sin 160°(t ′为参数)，则直线的倾斜角为160°，故选D. 【答案】 D3.双曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3tan φ，y ＝1cos φ( φ为参数)，那么它的两条渐近线所成的锐角是( )A.30°B.45°C.60°D.75°【解析】 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3tan φ，y ＝1cos φ⇒y 2－x 23＝1，两条渐近线的方程是y ＝±33x ，所以两条渐近线所夹的锐角是60°.【答案】 C4.直线⎩⎨⎧ x ＝4t ，y ＝2－2t (t 为参数)与椭圆⎩⎨⎧x ＝4cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)的交点坐标是( )A.(0,2)或(2,0)B.(4,0)或(0,4)C.(0,2)或(4,0)D.(4,2)【解析】 法一：直线参数方程消去参数t ，得x ＋2y －4＝0. 椭圆参数方程消去θ，得x 216＋y 24＝1. 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －4＝0，x 216＋y 24＝1，解得⎩⎨⎧ x ＝4，y ＝0或⎩⎨⎧x ＝0，y ＝2.∴直线与椭圆的交点坐标为(4,0)或(0,2). 法二：∵两曲线相交∴⎩⎨⎧ 4t ＝4cos θ，2－2t ＝2sin θ，即⎩⎨⎧t ＝cos θ，1－t ＝sin θ.两式平方相加，消去θ，得 t 2＋(1－t )2＝1. 整理，得2t (t －1)＝0. 解得t 1＝0，t 2＝1.分别代入直线的参数方程，得交点坐标为(0,2)或(4,0). 【答案】 C5.若直线l 与圆C ：⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝－1＋2sin θ(θ为参数)相交于A ，B 两点，且弦AB的中点坐标是N (1，－2)，则直线l 的倾斜角为( )A.π6B.π4C.π3D.2π3【解析】 圆的标准方程为x 2＋(y ＋1)2＝4，圆心为M (0，－1)，半径为2.因为弦AB 的中点坐标是N (1，－2)，所以直线垂直MN ，k MN ＝－2－(－1)1－0＝－1，所以直线l 的斜率为1，所以直线l 的倾斜角为π4.【答案】 B6.下列参数方程(t 为参数)中与普通方程x 2－y ＝0表示同一曲线的是( )【导学号：12990036】A.⎩⎨⎧x ＝tan t ，y ＝1＋cos 2t 1－cos 2tB.⎩⎨⎧x ＝tan t ，y ＝1－cos 2t 1＋cos 2tC.⎩⎨⎧ x ＝|t |，y ＝t2 D.⎩⎨⎧x ＝cos t ，y ＝cos 2t【解析】 普通方程中的x ∈R ，y ≥0，A 中y ＝2cos 2t 2sin 2t ＝1tan 2t ＝1x 2，得x 2y ＝1，故A 不正确；C 中x ＝|t |≥0，不正确；D 中x ＝cos t ∈[－1,1]，不正确，故选B.【答案】 B7.已知A (4sin θ，6cos θ)，B (－4cos θ，6sin θ)，当θ为一切实数时，线段AB 的中点轨迹为( )A.直线B.圆C.椭圆D.双曲线【解析】 设线段AB 的中点为M (x ，y )， 则⎩⎨⎧x ＝2sin θ－2cos θ，y ＝3sin θ＋3cos θ(θ为参数)，∴⎩⎨⎧3x ＋2y ＝12sin θ，3x －2y ＝－12cos θ， ∴(3x ＋2y )2＋(3x －2y )2＝144， 整理得x 28＋y 218＝1，表示椭圆. 【答案】 C8.参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1t ，y ＝1t t 2－1(t 为参数)所表示的曲线是( )【解析】 由x ＝1t 得t ＝1x ， 代入y ＝1t t 2－1，得当x ＞0时，x 2＋y 2＝1，此时y ≥0；当x ＜0时，x 2＋y 2＝1，此时y ≤0，对照选项，可知D 正确.【答案】 D9.设Q (x 1，y 1)是单位圆x 2＋y 2＝1上一个动点，则动点P (x 21－y 21，x 1y 1)的轨迹方程是( )A.⎩⎨⎧x ＝cos 2θ，y ＝sin 2θ B.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12cos 2θ，y ＝sin 2θC.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos 2θ，y ＝12sin 2θD.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12cos 2θ，y ＝12sin 2θ【解析】 把x 2＋y 2＝1化为参数方程为⎩⎨⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ.设P 点坐标为(x ，y )，则⎩⎨⎧x ＝x 21－y 21，y ＝x 1y 1，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos 2 θ－sin 2 θ＝cos 2θ，y ＝sin θcos θ＝12sin 2θ，故选C.【答案】 C10.设曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋3cos θ，y ＝－1＋3sin θ(θ为参数)，直线l 的方程为x－3y ＋2＝0，则曲线C 上到直线l 距离为71010的点的个数为( )A.1B.2C.3D.4【解析】 ∵曲线C 的方程为⎩⎨⎧x ＝2＋3cos θ，y ＝－1＋3sin θ(θ为参数)化为普通方程为(x －2)2＋(y ＋1)2＝9，而l 为x －3y ＋2＝0，∴圆心(2，－1)到l 的距离d ＝|2＋3＋2|1＋9＝710＝71010.又∵71010＜3，141010＞3， ∴有两个点. 【答案】 B11.在极坐标系中，过点A (6，π)作圆ρ＝－4cos θ的切线，则切线长为( ) A.2 B.6 C.2 3D.215 【解析】 圆ρ＝－4cos θ化为(x ＋2)2＋y 2＝4，点(6，π)化为(－6,0)，所以切线长＝42－22＝12＝2 3.【答案】 C12.已知点(4,2)是直线l 被曲线⎩⎨⎧x ＝6cos θ，y ＝3sin θ所截的线段中点，则l 的方程是( )A.x ＋2y ＝0B.x ＋2y －4＝0C.2x ＋3y ＋4＝0D.x ＋2y －8＝0【解析】 曲线化为普通方程是x 236＋y 29＝1. 设曲线l 的交点坐标为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 2136＋y 219＝1，x 2236＋y 229＝1.①②①－②得：136(x 1－x 2)(x 1＋x 2)＝－19(y 1－y 2)(y 1＋y 2)， ∴y 1－y 2x 1－x 2＝－936·x 1＋x 2y 1＋y 2＝－936×2×42×2＝－12， ∴直线l 的斜率为－12，由点斜式方程可得l 方程. 【答案】 D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在题中的横线上)13.圆锥曲线⎩⎨⎧x ＝t 2，y ＝2t (t 为参数)的焦点坐标是________.【解析】 将参数方程化为普通方程为y 2＝4x ，表示开口向右，焦点在x 轴正半轴上的抛物线，由2p ＝4⇒p ＝2，则焦点坐标为(1,0).【答案】 (1,0)14.若x 2＋y 2＝4，则x －y 的最大值是________.【解析】 设圆上一点P (2cos θ，2sin θ)，θ∈R ，则x －y ＝2cos θ－2sin θ＝－22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ.当⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝1时，(x －y )max ＝2 2.【答案】 2 215.已知抛物线的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2pt 2，y ＝2pt(t 为参数)，其中p >0，焦点为F ，准线为l .过抛物线上一点M 作l 的垂线，垂足为E .若|EF |＝|MF |，点M 的横坐标是3，则p ＝________.【导学号：12990037】【解析】 根据抛物线的参数方程可知抛物线的标准方程是y 2＝2px ， 依题意知△MEF 为正三角形，由⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2＋3cos 60°＝p ，得p ＝2.【答案】 216.在平面直角坐标系xOy 中，若直线l 1：⎩⎨⎧x ＝2s ＋1，y ＝s (s 为参数)和直线l 2：⎩⎨⎧x ＝at ，y ＝2t －1(t 为参数)平行，则常数a 的值为________. 【解析】 由⎩⎨⎧x ＝2s ＋1，y ＝s ，消去参数s ，得x ＝2y ＋1.由⎩⎨⎧x ＝at ，y ＝2t －1，消去参数t ，得2x ＝ay ＋a . ∵l 1∥l 2，∴2a ＝12，∴a ＝4. 【答案】 4三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分)极坐标的极点是直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋12t ，y ＝32t (t 为参数).⊙O 的极坐标方程为ρ＝2，若直线l 与⊙O 相切，求实数x 0的值.【解】 由直线l 的参数方程消参后可得直线l 的普通方程为y ＝3(x －x 0). ⊙O 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝4.∵直线l 与⊙O 相切，∴圆心O (0,0)到直线l ：3x －y －3x 0＝0的距离为2， 即|3x 0|2＝2，解得x 0＝±433.18.(本小题满分12分)已知曲线C ：⎩⎨⎧x ＝4cos φ，y ＝3sin φ(φ为参数).(1)将C 的方程化为普通方程；(2)若点P (x ，y )是曲线C 上的动点，求2x ＋y 的取值范围. 【解】 (1)由曲线C ：⎩⎨⎧x ＝4cos φ，y ＝3sin φ，得∴⎝ ⎛⎭⎪⎫x 42＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 32＝1，即x 216＋y 29＝1. (2)2x ＋y ＝8cos φ＋3sin φ＝73sin(φ＋θ)(θ由tan θ＝83确定). ∴2x ＋y ∈[－73，73]，∴2x ＋y 的取值范围是[－73，73].19.(本小题满分12分)已知一个参数方程是⎩⎨⎧x ＝2＋t cos α，y ＝2＋t sin α，如果把t 当成参数，它表示的图形是直线l (设斜率存在)，如果把α当成参数(t >0)，它表示半径为t 的圆.(1)请写出直线和圆的普通方程；(2)如果把圆平移到圆心在(0，t )，求出圆对应的摆线的参数方程.【解】 (1)如果把t 看成参数，可得直线的普通方程为y －2＝tan α(x －2)，即y ＝x tan α－2tan α＋2，如果把α看成参数且t >0时，它表示半径为t 的圆，其普通方程为(x －2)2＋(y －2)2＝t 2.(2)由于圆的圆心在(0，t )，圆的半径为t ，所以对应的摆线的参数方程为⎩⎨⎧x ＝t (α－sin α)，y ＝t (1－cos α)(α为参数). 20.(本小题满分12分)已知经过A (5，－3)且倾斜角的余弦值是－35的直线与圆x 2＋y 2＝25交于B ，C 两点.(1)求BC 的中点坐标；(2)求过点A 与圆相切的切线方程及切点坐标.【解】 (1)直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5－35t ，y ＝－3＋45t(t 为参数)，代入圆的方程得t 2－545t ＋9＝0.设BC 的中点为M ，∴t M ＝t 1＋t 22＝275，则x M ＝4425，y M ＝3325，中点坐标为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫4425，3325.(2)设切线方程为⎩⎨⎧x ＝5＋t cos α，y ＝－3＋t sin α(t 为参数)，代入圆的方程得t 2＋(10cos α－6sin α)t ＋9＝0，Δ＝(10cos α－6sin α)2－36＝0， cos α＝0或tan α＝815.∴过A 点的切线方程为x ＝5,8x －15y －85＝0. 又t 切＝－b2a ＝3sin α－5cos α，t 1＝3，t 2＝－3.将t 1，t 2代入切线的参数方程知，相应的切点为(5,0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫4017，－7517.21.(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12t ，y ＝32t(t 为参数)，椭圆C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数).设直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，求线段AB 的长.【解】 椭圆C 的普通方程为x 2＋y 24＝1.将直线l 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12t ，y ＝32t 代入x 2＋y 24＝1，得⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12t 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32t 24＝1，即7t 2＋16t ＝0，解得t 1＝0，t 2＝－167.所以AB ＝|t 1－t 2|＝167.22.(本小题满分12分)已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋t cos α，y ＝t sin α⎝ ⎛⎭⎪⎫t 为参数，α为倾斜角，且α≠π2，与曲线x 216＋y 212＝1交于A ，B 两点.(1)写出直线l 的一般方程及直线l 通过的定点P 的坐标； (2)求|P A |·|PB |的最大值.【解】 (1)∵⎩⎨⎧x ＝2＋t cos α，y ＝t sin α⎝ ⎛⎭⎪⎫t 为参数，α为倾斜角，且α≠π2， ∴y x －2＝t sin αt cos α＝tan α， ∴直线l 的普通方程为x tan α－y －2tan α＝0. 直线l 通过的定点P 的坐标为(2,0).(2)∵l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋t cos α，y ＝t sin α，椭圆的方程为x 216＋y 212＝1，右焦点的坐标为P (2,0)，∴3(2＋t cos α)2＋4(t sin α)2－48＝0， 即(3＋sin 2α)t 2＋12cos α·t －36＝0. ∵直线l 过椭圆的右焦点， ∴直线l 恒与椭圆有两个交点， ∴t 1·t 2＝－363＋sin 2α，由直线参数方程t 的几何意义， ∴|P A |·|PB |＝|t 1·t 2|＝363＋sin 2α，∵0≤α<π，且α≠π2，则0≤sin 2α<1， 因此|P A |·|PB |的最大值为12.。
2019-2020学年高中数学人教A版选修4-4同步作业与测评：学期综合测评 Word版含答案
姓名，年级：时间：学期综合测评本试卷分第Ⅰ卷（选择题)和第Ⅱ卷(非选择题）两部分．满分110分，考试时间90分钟．第Ⅰ卷（选择题，共50分）一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的)1．在极坐标系中，点P（ρ，－θ)关于极点对称的点的一个坐标是（)A．(－ρ，－θ） B．(ρ，－θ)C．（ρ,π－θ） D．（ρ,π＋θ）答案C解析关于极点对称即为反向延长，故其坐标（ρ，π－θ）．2．直线错误!(t为参数,θ是常数）的倾斜角是（）A．105° B．75° C．15° D．165°答案A解析参数方程错误!⇒错误!消去参数t得,y－cosθ＝－tan75°（x－sinθ），即k＝－tan75°＝tan（180°－75°)＝tan105°．故直线的倾斜角是105°．3．在极坐标系中，点A的极坐标是(1，π)，点P是曲线C：ρ＝2sinθ上的动点,则|PA|的最小值是( ）A．0 B． 2 C．2＋1 D．错误!－1答案D解析A的直角坐标为(－1，0)，曲线C的直角坐标方程为x2＋y2＝2y即x2＋（y －1)2＝1,｜AC｜＝错误!,则|PA|min＝错误!－1．4．在同一坐标系中，将曲线y＝2cos x变为曲线y＝cos2x的伸缩变换是（）A．错误! B．错误!C．错误! D．错误!答案 B解析 把y ＝2cos x 化为y2＝cos x ，则令错误!＝y ′，x ＝2x ′即可．5．化极坐标方程ρ2cos θ－ρ＝0为直角坐标方程为( ） A ．x 2＋y 2＝0或y ＝1 B ．x ＝1 C ．x 2＋y 2＝0或x ＝1 D ．y ＝1 答案 C解析 ρ2cos θ－ρ＝0即ρ(ρcos θ－1)＝0，∴ρ＝0或ρcos θ－1＝0，即ρ＝错误!＝0,x 2＋y 2＝0或ρcos θ＝x ＝1．6．已知直线l 的极坐标方程为ρsin 错误!＝6,圆C 的参数方程为错误!(θ为参数）,若直线l 与圆C 相切,则r 的值为( ）A ．6B ．12C ．12错误!D ．36 答案 A解析 直线l 的直角坐标方程为错误!x －y ＋12＝0，圆C 的普通方程为x 2＋y 2＝r 2，圆心到该直线的距离d ＝6，所以r ＝6．7．已知直线l 1的极坐标方程为错误!ρsin 错误!＝2014,直线l 2的参数方程为错误!(t 为参数），则l 1与l 2的位置关系为( ）A ．垂直B ．平行C ．相交但不垂直D ．重合 答案 A解析 由错误!ρsin 错误!＝2014， 得错误!ρ错误!＝2014，即ρsin θ－ρcos θ＝2014， 所以y －x ＝2014,即y ＝x ＋2014． 把直线l 2的参数方程化为普通方程为错误!＝错误!＝－1，即y ＝－x ，所以kl 1·kl 2＝1×（－1）＝－1,所以l 1⊥l 2．8．直线l ：y ＋kx ＋2＝0与曲线C ：ρ＝2cos θ相交，则k 满足的条件是（ ) A ．k <－错误! B ．k ≥－错误!C．k∈R D．k∈R且k≠0答案A解析 由题意可知直线l 过定点(0,－2）， 曲线C 的普通方程为x 2＋y 2＝2x ，即（x －1)2＋y 2＝1．由图可知，直线l 与圆相切时，有一个交点，此时错误!＝1,得－k ＝34．若满足题意，只需－k >错误!．即k <－错误!即可．9．若直线错误!（t 为参数)与直线错误!(s 为参数)互相垂直，那么a 的值等于（ ） A ．1 B ．－错误! C ．－错误! D ．－2 答案 D解析 直线错误!(t 为参数）的斜率为错误!＝－错误!，直线错误!(s 为参数)的斜率为错误!＝－1，由两直线垂直得－错误!×(－1）＝－1，得a ＝－2．10．过椭圆C :错误!（θ为参数)的右焦点F 作直线l 交C 于M ，N 两点，|MF |＝m ，｜NF |＝n ，则错误!＋错误!的值为（ ）A ．错误!B ．错误!C ．错误!D ．不能确定 答案 B解析 曲线C 为椭圆错误!＋错误!＝1，右焦点为F (1,0)，设l ：错误!(t 为参数),代入椭圆方程得（3＋sin 2θ)t 2＋6cos θt －9＝0，t 1t 2＝－错误!，t 1＋t 2＝－错误!，∴错误!＋错误!＝错误!＋错误!＝错误! ＝错误!＝错误!．第Ⅱ卷(非选择题，共60分)二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分．把答案填写在题中横线上)11．已知O 为原点，当θ＝－错误!时，参数方程错误!(θ为参数）上的点为A ,则直线OA 的倾斜角为________．答案错误!解析 当θ＝－错误!时，x ＝错误!，y ＝－错误!，∴k OA ＝tan α＝yx＝－3，且0≤α<π，因此α＝错误!．12．在极坐标系中，圆ρ＝4sin θ的圆心到直线θ＝π6（ρ∈R ）的距离是________．答案错误!解析 将ρ＝4sin θ化成直角坐标方程为x 2＋y 2＝4y ，即x 2＋（y －2）2＝4，圆心为（0,2）．将θ＝错误!（ρ∈R )化成直角坐标方程为x －错误!y ＝0，由点到直线的距离公式可知圆心到直线的距离d ＝错误!＝错误!．13．已知P 为椭圆4x 2＋y 2＝4上的点，O 为原点,则|OP |的取值范围是________． 答案 ［1，2]解析 由4x 2＋y 2＝4，得x 2＋错误!＝1．令错误!（φ为参数)，则｜OP |2＝x 2＋y 2＝cos 2φ＋4sin 2φ＝1＋3sin 2φ．∵0≤sin 2φ≤1,∴1≤1＋3sin 2φ≤4，∴1≤｜OP |≤2．14．已知曲线C 的参数方程为错误!(t 为参数），C 在点(1,1）处的切线为l ，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,则l 的极坐标方程为________．答案 ρcos θ＋ρsin θ－2＝0（或ρ(cos θ＋sin θ）＝2)解析 曲线C 的普通方程为x 2＋y 2＝(错误!cos t )2＋（错误!sin t )2＝2（cos 2t ＋sin 2t ）＝2,由圆的知识可知,圆心(0,0）与切点（1，1)的连线垂直于切线l ，从而l 的斜率为－1，由点斜式可得直线l 的方程为y －1＝－（x －1），即x ＋y －2＝0．由ρcos θ＝x ，ρsin θ＝y ，可得l 的极坐标方程为ρcos θ＋ρsin θ－2＝0．三、解答题(本大题共4小题，满分40分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．（本小题满分10分）设抛物线y 2＝4x 有内接三角形OAB ，其垂心恰为抛物线的焦点，求这个三角形的周长．解 抛物线y 2＝4x 的焦点为F （1，0)，F 为△OAB 的垂心，所以AB ⊥x 轴且A ,B 关于x 轴对称．设A (4t 2，4t ）(t 〉0),则B （4t 2，－4t ）． 所以k AF ＝错误!，k OB ＝－错误!＝－错误!． 因为AF ⊥OB ，所以k AF ·k OB ＝错误!·错误!＝－1, 所以t 2＝错误!． 由t 〉0得t ＝错误!． 所以A (5，25)．所以｜AB ｜＝45，｜OA |＝|OB |＝35． 故这个三角形的周长为105．16．（本小题满分10分)在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为错误!（t 为参数)，椭圆C 的参数方程为错误!(θ为参数）．设直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，求线段AB 的长．解 椭圆C 的普通方程为x 2＋y 24＝1．将直线l 的参数方程错误!代入x 2＋错误!＝1,得错误!2＋错误!＝1,即7t 2＋16t ＝0，解得t 1＝0，t 2＝－错误!．所以｜AB |＝｜t 1－t 2｜＝错误!．17．（本小题满分10分）在直角坐标系xOy 中,圆C 1：x 2＋y 2＝4，圆C 2:（x －2）2＋y 2＝4．（1）在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆C 1,C 2的极坐标方程，并求出圆C 1，C 2的交点坐标（用极坐标表示）;(2)求圆C 1与C 2的公共弦的参数方程．解 (1)圆C 1的极坐标方程为ρ＝2，圆C 2的极坐标方程为ρ＝4cos θ．解错误!得ρ＝2，θ＝±错误!．故圆C1与圆C2交点的坐标为错误!或错误!．注：极坐标系下点的表示不唯一．（2)解法一：将x＝1代入错误!得ρcosθ＝1,从而ρ＝错误!．于是圆C1与C2的公共弦的参数方程为错误!错误!．解法二：由错误!得圆C1与圆C2交点的直角坐标分别为(1，－错误!)或(1，错误!）．故圆C1与C2的公共弦的参数方程为错误!(－错误!≤t≤ 错误!)．18．(本小题满分10分)在直角坐标系xOy中,曲线C1：错误!（t为参数,t≠0），其中0≤α<π．在以O为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ＝2sinθ，C3：ρ＝23cosθ．(1）求C2与C3交点的直角坐标；(2)若C1与C2相交于点A，C1与C3相交于点B，求｜AB｜的最大值．解（1)曲线C2的直角坐标方程为x2＋y2－2y＝0，曲线C3的直角坐标方程为x2＋y2－2错误!x＝0．联立错误!解得错误!或错误!所以C2与C3交点的直角坐标为（0,0)和错误!．(2)曲线C1的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R，ρ≠0)，其中0≤α〈π．因此A的极坐标为(2sinα，α），B的极坐标为（23cosα，α）．所以|AB|＝｜2sinα－2错误!cosα｜＝4错误!．当α＝错误!时,｜AB｜取得最大值,最大值为4．。
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《医学统计学》【教材】倪宗瓒主编.医学统计学.北京;高等教育出版社.2004.【作业】教材附录二【习题解答】第四单元秩和检验分析计算题4.1解：本题为配对设计的定量资料，采用Wilcoxon符号秩和检验。
(1) 建立检验假设，确定检验水准H0：服药前后精液中精子浓度差值的总体中位数为零H1：服药前后精液中精子浓度差值的总体中位数大于零单侧 =0.05(2) 计算检验统计量1) 求各对测量值的差值d，并按d的绝对值从小到大编秩，按差值的正负给秩次冠以正负，见表4.1.1。
表4.1.1 8名健康男子服药前后的精液中精子浓度/(万·mL-1) 编号服药前服药后差值d 秩次1 6000 660 5340 62 22000 5600 16400 73 5900 3700 2200 34 4400 5000 -600 -25 6000 6300 -300 -16 6500 1200 5300 57 26000 1800 24200 88 5800 2200 3600 4T+ = 33 T- =32) 求秩和，确定检验统计量T。
本例取T=3。
(3) 确定P值，作出统计推断本例n=8，T=3，查T界值表（配对比较的符号秩和检验用），得单侧P=0.025，按α=0.05水准，拒绝H0，接受H1，差别有统计学意义，可以认为服药后精液中精子浓度下降。
4.2解：本题为配对设计的等级资料，采用Wilcoxon符号秩和检验。
对治疗效果赋值：1为好，0为中，-1为差。
(1) 建立检验假设，确定检验水准H0：两种方法治疗效果无差异H1：两种方法治疗效果有差异α=0.05(2) 计算检验统计量1) 求各对测量值的差值并编秩，见表4.2.1。
表4.2.1 甲、乙两法治疗扁平足的效果病例号(1)甲法(2)乙法(3)差值d(4)=(2)–(3)秩次(5)1 1 -12 102 1 1 0 -3 1 -1 2 104 1 0 1 4.55 -1 0 -1 -4.56 0 -1 1 4.57 1 0 1 4.58 1 -1 2 109 0 0 0 -10 -1 -1 0 -11 1 1 0 -12 -1 -1 0 -13 1 0 1 4.514 0 -1 1 4.515 1 0 1 4.516 0 -1 1 4.5T+ =61.5 T- =4.52) 求秩和，确定检验统计量T。
本例取T=4.5。
(3) 确定P值，作出统计推断本例n=11，T=4.5，查T界值表（配对比较的符号秩和检验用）得P<0.01，按α=0.05水准，拒绝H0，接受H1，差别有统计学意义，可以认为两种方法治疗效果有差异，甲法治疗扁平足的效果优于乙法。
4.3 解：本题采用成组设计两样本比较的Wilcoxon秩和检验。
(1) 建立检验假设，确定检验水准H0：铅作业与非铅作业工人的血铅值总体分布无差异H1：铅作业工人的血铅值高于非铅作业工人的血铅值单侧α=0.05(2) 计算检验统计量1) 编秩，见表4.3.1。
表4.3.1 某工厂铅作业与非铅作业工人的血铅值/(μmol•L-1)铅作业工人非铅作业工人血铅值秩次血铅值秩次0.82 9 0.240.240.290.330.440.580.63 1.50.87 10.5 1.50.97 12 31.21 14 41.64 15 52.08 16 62.13 17 70.72 80.87 10.51.01 13n1 =7 T1 =93.5 n2 =10 T2 =59.52) 求秩和，确定检验统计量T。
本例T=93.5。
(3) 确定P值，作出统计推断本例n1＝7，n2–n1=3，查T界值表（两样本比较的秩和检验用），得P<0.005。
按α=0.05水准拒绝H0 ，接受H1，差别有统计学意义，可以认为铅作业工人的血铅值高于非铅作业工人。
4.4解：本题为等级资料，采用成组设计的两样本比较的Wilcoxon秩和检验。
(1) 建立检验假设，确定检验水准H0：4%人参浸液无镇静作用H1：4%人参浸液有镇静作用单侧α=0.05(2) 计算检验统计量1) 编秩，见表4.4.1。
表4.4.1 4%人参浸液镇静作用的实验结果镇静等级 实验小鼠数秩次范围平均秩次 秩和人参组 对照组 合计 人参组 对照组 (1)(2)(3)(4)(5) (6)(7)=(2)(6)(8)=(3)(6)- 5 64 69 1~69 35 175 2240 ± 8 12 20 70~89 79.5636 954 + 17 9 26 90~115 102.5 1742.5 922.5 ++ 20 7 27 116~142 129 2580 903 +++70 1 71 143~21317812460178合计n 1=120n 2=93213T 1=17593.5 T 2=5197.52) 求秩和，确定检验统计量T 。
本例n 1=120，n 2=93，检验统计量T =5197.5。
3) 计算u 值：10.6542==u()9243.02132137171)2727()2626()2020()6969(1)/()(133333333=--+-+-+-+--=---=∑N N t t C j j 0821192430654210../.C /u u c === (3) 确定P 值，作出统计推断查t 界值表（ν=∞）得P <0.0005，按α=0.05水准，拒绝H 0，接受H 1，差别有统计学意义，可以认为4%人参浸液有镇静作用。
4.5解：针对本题的设计及资料类型，采用成组设计的多样本比较的秩和检验。
(1) 建立检验假设，确定检验水准H 0：健康人和各期矽肺病人的血清粘蛋白含量总体分布相同H 1：健康人和各期矽肺病人的血清粘蛋白含量总体分布不同或不全相同α=0.05(2) 计算检验统计量1) 编秩，求秩和。
见表4.5.1。
表4.5.1 健康人与各期矽肺病人的血清粘蛋白含量/ (mg ·dL -1)正常人 0~I 期I 期 Ⅱ期Ⅲ期 含量 秩次含量秩次含量秩次含量秩次含量秩次64.26 7 62.01 6 64.44 8 74.97 14.5 77.11 16 42.84 2 67.33 9 69.63 11 88.06 25 82.48 21 42.48 1 70.40 13 69.73 12 93.47 28 83.43 22 48.19 3.5 78.91 17 74.97 14.594.1029 89.01 26 80.22 18 84.68 23.5 80.44 19.5 100.67 34 97.4833 69.61 10 84.68 23.5 80.44 19.5 101.14 35 103.81 36 48.19 3.5 91.14 27 94.20 30 113.42 38 107.10 37 48.905 94.82 31 96.39 32 118.98 39 178.42 40 R i50150146.5242.52312) 计算H 值：()22222212()3(1)(1)1250150146.5242.52313404018888840122.088=-++=++++-⨯⨯+⎛⎫+= ⎪⎝⎭∑i iR H N N N n(3) 确定P 值，作出统计推断k >3且n i >5，此时H 分布近似服从于ν=k –1=5-1=4的2χ分布，查2χ界值表得P <0.005，按α=0.05水准拒绝H 0，接受H 1，差别有统计学意义，故可以认为健康人和各期矽肺病人的血清粘蛋白含量分布不全相同。
为比较健康人和各期矽肺病人的血清粘蛋白含量的差异，进一步作多个样本两两比较的秩和检验。
本例中，875.283125.303125.1875.1825.654321=====R R R R R ，，，，C =1–[(23–2)+ (23–2) +(23–2)+ (23–2)]/ (403–40)＝0.9996按ν=k –1=5–1=4，α=0.05查2χ界值表，得21,-k αχ=4,05.02χ=9.49，24,01.0χ=13.28计算结果见表4.5.2。
表4.5.2 健康人和各期矽肺病人的血清粘蛋白含量的两两比较对比组 A 与B样本含量 A n B n两组平均秩次之差B A R R -α=0.05 α=0.01P正常人与0~I 期 8 8 12.5000 18.00 21.30 >0.05 正常人与I 期 8 8 12.0625 18.00 21.30 >0.05 正常人与Ⅱ期 8 8 24.0625 18.00 21.30 <0.01 正常人与Ⅲ期8 822.625018.0021.30<0.01由表4.5.2可见，按α=0.05水准，可以认为正常人与0~I 期、正常人与I 期矽肺病人的血清粘蛋白含量的差异无统计学意义；正常人与Ⅱ期、Ⅲ期矽肺病人的血清粘蛋白含量的差异有统计学意义，且Ⅱ期、Ⅲ期矽肺病人的血清粘蛋白含量均高于正常人。
4.6 解：本题采用成组设计等级资料的多样本比较秩和检验。
(1) 建立检验假设，确定检验水准H 0：3种复方小叶枇杷对老年性慢性支气管炎治疗效果的总体分布相同 H 1：3种复方小叶枇杷对老年性慢性支气管炎治疗效果的总体分布不全相同α=0.05(2) 计算检验统计量1) 编秩，求秩和。
见表4.6.1。
表4.6.1 3种复方小叶批杷对老年性慢性支气管炎疗效的比较疗效例 数秩次平均秩 和 (R i )老复方 复方I复方Ⅱ 合计范围 秩次 老复方 复方I 复方Ⅱ近控 36 5 1 42 1~4221.5774 107.5 21.5 显效 114 18 9 141 43~183 113 12882 2034 1017 好转 185 44 24 253 184~436 310 57350 13640 7440 无效 合计47 34 5 86 437~522 479.5 22536.5163032397.5 38210139522－－93542.5 32084.5108762) 计算H 值：()()2222123(1)(1)1293542.532084.510876()3522152252213821013919.16=-++=++-⨯+⨯+=∑i iR H N N N n 本例相同秩次较多，需要校正。
8614.0)522522/()]8686()253253()141141()4242[(1)/()(13333333=--+-+-+--=---=∑N N t t C jj 2429.228614.0/16.19/===C H H C(3) 确定P 值，作出统计推断因组数k =3，5>i n ，ν=k –1=2，C H 近似服从ν=2的2χ分布，查2χ界值表，得P<0.005。