2017-2018学年高中数学人教B版必修三 课时跟踪检测(十九) 几何概型 随机数的含义与应用含解析

课时跟踪检测（十九） 几何概型 随机数的含义与应用

1．已知地铁列车每10 min 一班，在车站停1 min ，则乘客到达站台立即乘上车的概率是

( )

A.110

B.19

C.111

D.18 解析：选A 试验的所有结果构成的区域长度为10 min ，而构成事件A 的区域长度为1 min ，故P (A )＝110

. 2.如图，矩形ABCD 中，点E 为边CD 的中点，若在矩形ABCD

内

部随机取一个点Q ，则点Q 取自△ABE 内部的概率等于( )

A.14

B.13

C.12

D.23 解析：选C △ABE 的面积是矩形ABCD 面积的一半，由几何概型知，点Q 取自△ABE

内部的概率为12

. 3.如图所示，一半径为2的扇形(其中扇形中心角为90°)，在其内部

随机地撒一粒黄豆，则它落在阴影部分的概率为( )

A.2π

B.1π

C.12

D ．1－2π 解析：选D S 扇形＝14

×π×22＝π， S 阴影＝S 扇形－S △OAB ＝π－12

×2×2＝π－2， ∴P ＝π－2π＝1－2π. 4．在区间[－1,1]上任取两数x 和y ，组成有序实数对(x ，y )，记事件A 为“x 2＋y 2＜1”，则P (A )为( )

A.π4

B.π2 C ．π D ．2π

解析：选A 如图，集合S ＝{(x ，y )|－1≤x ≤1，－1≤y ≤1}，则S 中

每个元素与随机事件的结果一一对应，而事件A 所对应的事件(x ，y )与圆

x 2＋y 2＝1内的点一一对应，所以P (A )＝π4

.

5．方程x 2＋x ＋n ＝0(n ∈(0,1))有实根的概率为________．

解析：由于方程x 2＋x ＋n ＝0(n ∈(0,1))有实根，

∴Δ≥0，即1－4n ≥0，∴n ≤14

， 又n ∈(0,1)，∴有实根的概率为P ＝141－0＝14

. 答案：14

6．在400毫升自来水中有一个大肠杆菌，今从中随机取出2毫升水样放到显微镜下观察，则发现大肠杆菌的概率为________．

解析：大肠杆菌在400毫升自来水中的位置是任意的，且结果有无限个，属于几何概型．设取出2毫升水样中有大肠杆菌为事件A ，则事件A 构成的区域体积是2毫升，全部试验结果构成的区域体积是400毫升，

则P (A )＝2400

＝0.005. 答案：0.005

7．在棱长为a 的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1内任取一点P ，则点P 到点A 的距离小于等于a 的概率为________．

解析：点P 到点A 的距离小于等于a 可以看做是随机的，点P 到点A 的距离小于等于a 可视作构成事件的区域，棱长为a 的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1可视做试验的所有结果构成的区域，可用“体积比”公式计算概率．

P ＝18×43πa 3a 3＝16

π. 答案：16

π 8.如图，射箭比赛的箭靶涂有五个彩色的分环．从外向内依次为白

色、黑色、蓝色、红色，靶心为金色．金色靶心叫“黄心”．奥运会的

比赛靶面直径为122 cm ，靶心直径为12.2 cm.运动员在70 m 外射箭．假

设运动员射的箭都能中靶，且射中靶面内任一点都是等可能的，那么射

中黄心的概率为多少？

解：记“射中黄心”为事件B ，由于中靶点随机地落在面积为14

×π×1222 cm 2的大圆内，而当中靶点落在面积为14

×π×12.22 cm 2的黄心时，事件B 发生，于是事件B 发生的概率为P (B )＝14×π×12.2214

×π×1222＝0.01. 即“射中黄心”的概率是0.01.

9．已知圆C：x2＋y2＝12，直线l：4x＋3y＝25.

(1)求圆C的圆心到直线l的距离；

(2)求圆C上任意一点A到直线l的距离小于2的概率．

解：(1)由点到直线l的距离公式可得d＝

25

42＋32

＝5.

(2)由(1)可知圆心到直线l的距离为5，要使圆上的点到直线的距离小于2，设与圆相交且与直线l平行的直线为l1，其方程为4x＋3y＝15.则符合题意的点应在l1：4x＋3y＝15与圆相交所得劣弧上，由半径为23，圆心到直线l1的距离为3可知劣弧所对圆心角为60°.

故所求概率为P＝60°

360°＝1 6.