微积分第二章 极限与连续.
极限与连续的定义与性质
极限与连续的定义与性质极限与连续是微积分中非常重要的概念，它们在数学中具有广泛的应用。
本文将介绍极限及其定义和性质，以及连续函数的定义和性质。
一、极限的定义与性质1. 极限的定义在数学中，极限是数列或函数逐渐接近某个确定值的过程。
对于数列，极限可以通过数学符号来表示，即lim(an)=a，表示数列an当n趋近于无穷时，逐渐趋向于a。
而对于函数，极限可以用lim(f(x))=L来表示，表示当x趋近于某个值时，函数f(x)的值趋近于L。
2. 极限的性质（1）唯一性：若极限存在，那么它是唯一的。
（2）局部有界性：存在极限的数列一定是有界的，即存在一个范围包含该数列的所有项。
（3）保序性：如果数列an逐渐趋近于a，而bn逐渐趋近于b，且an小于等于bn（对于所有的n），则有a小于等于b。
二、连续函数的定义与性质1. 连续函数的定义在数学中，连续函数是指在定义域的每个点上都有定义，并且在该点上的极限等于该点的函数。
形式化地，对于函数f(x)，如果对于任意x0∈定义域D，lim(x→x0)(f(x))=f(x0)，则称函数f(x)在x0上连续。
2. 连续函数的性质（1）极限与连续的关系：若函数f(x)在x=a处连续，那么lim(x→a)(f(x))=f(a)。
（2）连续函数的四则运算：如果函数f(x)和g(x)在x=a处连续，那么它们的和、差、积和商（当g(a)≠0时）也在x=a处连续。
（3）复合函数的连续性：若函数f(x)在x=a处连续，函数g(x)在x=b处连续，并且b=f(a)，那么复合函数g(f(x))在x=a处连续。
三、总结极限是数学中的重要概念，它在数列和函数中都有丰富的应用。
极限的定义和性质使我们能够更加准确地描述数列和函数的收敛性和趋势。
同时，连续函数是一类特殊的函数，其在定义域内不存在断点，平滑地连接着各个点。
连续函数的性质使我们能够进行更加灵活和精确的运算和推导。
通过对极限和连续的定义和性质的学习，我们可以更好地理解数学中的变化和趋势，应用于实际问题的建模和求解中。
微积分-函数的极限
" X"定义 lim f ( x) A x
0,X 0,使当 x X时,恒有 f ( x) A .
微积分
2、另两种情形:
10. x 情形 : lim f ( x) A x
0, X 0, 使当x X时, 恒有 f ( x) A .
问题:函数 y f ( x) 在x x0 的过程中,对应 函数值 f ( x)无限趋近于确定值 A.
f ( x) A 表示 f ( x) A任意小;
0 x x0 表示x x0的过程.
x0
x0
x0 x
点x0的去心邻域, 体现x接近x0程度.
微积分
微积分
dx rx dt
微积分
第二章 极限与连续
• 数列的极限 • 函数的极限 • 变量的极限 • 无穷大量与无穷小量 • 极限的运算法则 • 两个重要的极限 • 函数的连续性
微积分
2.2 函数极限
微积分
1. 自变量趋向无穷大时函数的极限
观察函数 sin x 当 x 时的变化趋势. x
证 函数在点x=1处没有定义.
f (x)
A
x2 1 x1 2
x1
任给 0,
要使 f ( x) A , 只要取 ,
当0
x
x0
时,
就有 x2 1 2 x1
,
lim x2 1 2. x1 x 1
微积分
例5
证明 :当x0
微积分
1、定义：
定义 1 如果对于任意给定的正数 (不论它多么小), 总存在着正数X ,使得对于适合不等式 x X 的一切 x,所对应的函数值 f ( x) 都满足不等式 f ( x) A , 那末常数A就叫函数 f ( x) 当 x 时的极限,记作 lim f ( x) A 或 f ( x) A(当x )
(完整版)赵树嫄微积分第四版第二章极限与连续
x从右侧无限趋近x0 , 记作x x0 (或x x0 0 ) .
左极限：
0, 0,使当x0 x x0时, 恒有 | f ( x) A | .
记作 lim f ( x) A 或 x x0
f ( x0 0) A .
x0
x0
x
左极限：
0, 0,使当x0 x x0时, 恒有 | f ( x) A | .
定义无限接近于无限增大时sinlimsinlim为中心线直线图形完全落在以函数lim不存在arctanlim不存在lim的一条水平渐近线就是那么的距离趋于零这时我们称直线lim的一条水平渐近线就是那么为常数二自变量趋于有限点处时函数的极限问题
第二章 极限与连续
本章介绍极限的概念、性质和运算法则，以及与极 限概念密切相关的，并且在微积分运算中起重要作 用的无穷小量的概念和性质。此外还给出了两个极 其有用的重要极限。随后，运用极限引入了函数的 连续性概念，它是客观世界中广泛存在的连续变化 这一现象的数学描述，微积分学中讨论的函数主要 是连续函数。
x
x
故 lim ex 不存在. x
o
x
一条伸展到无穷远的曲线 y f ( x) ,当点P( x, f ( x)) 沿 曲线无限远离原点时,点 P 到直线 y A 的距离趋于零, 这时我们称直线 y A 是曲线 y f ( x) 的水平渐近线.
如果 lim f ( x) A 或 lim f ( x) A ( A 为常数)，
性质2 有界性
对于数列{an } ，如果存在常数 M 0 ，使对一切 n，有
| an | M , 则称数列{an } 是有界的。
定理2 收敛的数列必定有界。 注1 有界性是数列收敛的必要条件，不是充分条件。
高等数学-第2章--极限与连续
第二章 极限与连续极限是高等数学中最主要的概念之一，也是研究微积分的重要工具，如导数、定积分、重积分等定义都需要用极限来定义，因此，掌握极限的思想和方法是学好微积分学的基本前提．第一节 极限的定义教学目的：1.理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念，以及极限存在与左、右极限之间的关系。
2.理解无穷小、无穷大的概念，掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限。
教学重难点：1.极限的概念和左极限与右极限概念及应用；2.无穷小及无穷小的比较；本节将在中学学习过的数列的极限的基础上学习函数的极限、极限性质、无穷小的定义及性质、无穷大的定义及其与无穷小的关系．一、数列的极限定义 对于数列{}n x ，如果当n 无限增大时)(∞→n ，n x 无限趋近于一个确定的常数A ， 则称A 为数列{}n x 的极限．记作=∞→n n x lim A 或 A x n →（n ∞→）． 亦称数列{}n x 收敛于A ；如果数列{}n x 没有极限，就称数列{}n x 是发散的．数列极限的运算法则为：如果∞→n lim =n x A , ∞→n lim =n y B ，那么 法则1 ∞→n lim (n x ±n y ) ∞→=n lim n x ±∞→n lim =n y A ±B ；法则2 ∞→n lim (nx n y ) ⋅=∞→n n x lim n n y ∞→lim AB =；法则3 ∞→n lim lim n n n Cx C x →∞==CA (C 是常数)； 法则4∞→n lim B A y x y x nn n n n n ==∞→∞→lim lim ()0≠B ． 以上法则1，法则2可以推广到有限个数列的和与积的情形．二、函数的极限1．当∞→x 时，函数)(x f 的极限定义 如果当x 的绝对值无限增大（即∞→x ）时，函数)(x f 无限趋近于一个确定的常数A ，那么A 称为函数)(x f 当∞→x 时的极限，记为 A x f x =∞→)(lim 或 当∞→x 时，A x f →)(． 如图1－5（b ）所示, 函数xx f 1)(=当x 的绝对值无限增大时, 函数xx f 1)(=的图象无限接近于x 轴．也就是，当∞→x 时，)(x f 无限地接近于常数零，即01lim=∞→xx ． 在上述定义中，自变量x 的绝对值无限增大指的是既取正值无限增大（记为+∞→x ），同时也取负值而绝对值无限增大（记为-∞→x ）．但有时自变量的变化趋势只能或只需取这两种变化的一种情形，为此有下面的定义：定义 如果当+∞→x (或-∞→x )时，函数)(x f 无限趋近于一个确定的常数A ，那么A 称为函数)(x f 当+∞→x (或-∞→x )时的极限，记为 lim ()x f x A →+∞=或当x →+∞时，()f x A →； lim ()x f x A →-∞=或当x →-∞时，()f x A →． 由图1－5（b ）可以看出，01lim=+∞→xx 及01lim =-∞→x x ，这两个极限与01lim =∞→x x 相等，都是0．由图1－11（b ）可以看出，2arctan lim π=+∞→x x ，2arctan lim π-=-∞→x x ．由于当+∞→x 和-∞→x 时，函数x y arctan =不是无限趋近于同一个确定的常数，所以x x arctan lim ∞→不存在．由上面的讨论，我们得出下面的定理： 定理 A x f x =∞→)(lim 的充要条件是： )(lim x f x +∞→A x f x ==-∞→)(lim ．（证明略）2．当0x x →时，函数)(x f 的极限定义 设函数()y f x =在点0x 的某个近旁（点0x 本身可以除外）内有定义，如果当x 趋于0x （但0x x ≠）时，函数)(x f 无限趋近于一个确定的常数A ，那么A 称为函数)(x f 当0x x →时的极限，记为A x f xx =→)(lim 0或 当0x x →时，A x f →)(．例1 考察极限C x x 0lim → (C 为常数)和x xx 0lim →． 解 因为当0x x →时，)(x f 的值恒为C ，所以=→)(lim 0x f x x C C xx =→0lim ． 因为当0x x →时，()x ϕx=的值无限接近于x ，所以lim ()x x x ϕ→=00lim x x xx =→． 3．当0x x →时，)(x f 的左、右极限因为0x x →有左右两种趋势，而当x 仅从某一侧趋于0x 时，只需讨论函数的单边趋势，于是有下面的定义：定义 如果当x 从0x 左侧趋近0x （记为0x x -→）时，函数)(x f 无限趋近于一个确定的常数A ，那末A 称为函数)(x f 当0x x →时的左极限，记为 0lim ()x x f x A -→=．如果当x 从0x 右侧趋近0x （记为0x x +→）时，函数)(x f 无限趋近于一个确定的常数A ，那末A 称为函数)(x f 当0x x →时的右极限，记为 0lim ()x x f x A +→=定理 A x f xx =→)(lim 0的充要条件是： 0lim ()lim ()x x x x f x f x A -+→→==． （证明略）例2 讨论函数10()0010x x f x x x x -<⎧⎪==⎨⎪+>⎩当0→x 时的极限．解 观察图2－1可知：0lim ()x f x -→1)1(lim 0-=-=-→x x ，0lim ()x f x +→1)1(lim 0=+=+→x x ．因此，当0→x 时，)(x f 的左右极限存在但不相等，由定理2知，极限 )(lim 0x f x →不存在． 例3 研究当x →0时, x x f =)(的极限．解 观察图2－2可知：⎩⎨⎧≥<-==0)(x x x x x x f 由于)(lim 0x f x -→0)(lim 0=-=-→x x ,=+→)(lim 0x f x 0lim 0=+→x x ．所以当x 0→时，)(x f 的左, 右极限都存在且相等．由定理2知x →0时, x x f =)(的极限存在，且等于0．三、无穷小量实际问题中，常有极限为零的变量．例如，电容器放电时，其电压随着时间的增加而逐渐减小并趋近于零．对于这样的变量，有下面的定义：1．无穷小量的定义定义 极限为零的变量称为无穷小量，简称为无穷小． 如果0lim ()0x x x α→=，则变量()x α是0x x →时的无穷小，如果lim ()0x x β→∞=，则称()x β是x →∞时的无穷小，类似的还有0x x +→，0x x -→，x →+∞，x →-∞等情形下的无穷小．根据定义可知，无穷小是一种变化状态，而不是一个量的大小，无论多么小的一个数都不是无穷小，只有零是唯一的一个可作为无穷小的常数，无穷小是有极限变量中最简单而最重要的一类，在数学史上，很多数学家都致力于“无穷小分析”．2．无穷小量的性质定理 有限个无穷小的代数和为无穷小．（证明略）注意，无穷个无穷小之和未必是无穷小，如n →∞时，21n ，22n ，2nn 都是无穷小，但是222212(1)2n n n n n n n +++⋅⋅⋅+=，当n →∞时2(1)122n n n +→，所以不是无穷小．定理 有界函数与无穷小的积为无穷小． （证明略） 推论1 常数与无穷小的乘积是无穷小. （证明略）图2－1图2－2推论2 有限个无穷小的积为无穷小．（证明略） 例4 求极限01lim sin x x x→． 解 因为x 是当0→x 时的无穷小，而x1sin 是一个有界函数，所以1lim sin0x x x→=． 3．函数极限与无穷小的关系 设A x f xx =→)(lim 0，即0x x →时()f x 无限接近于常数A ，有()f x A -就接近于零，即()f x A -是0x x →时的无穷小，若记()()x f x A α=-，于是有 定理 3 （极限与无穷小的关系）A x f xx =→)(lim 0的充分必要条件是()()f x A x α=+，其中()x α是0x x →的无穷小．例如11x x +→当()x →∞时，有111x x x +=+，其中1x就是()x →∞时的无穷小．四、 无穷大量 1．无穷大的定义定义 6 若当0x x →（x →∞）时，函数()f x 的绝对值无限增大，则称函数()f x 为当0x x →(或x →∞)时的无穷大.函数()f x 当0x x →（或x →∞）时为无穷大，它的极限是不存在的，但为了便于描述函数的这种变化趋势，我们也说“函数的极限为无穷大”，并记为lim ()x x f x →=∞ 或 lim ()x f x →∞=∞． 例如，当0→x 时，x1是一个无穷大，又例如， 当x →+∞时，x e 是一个无穷大．注意，说一个函数()f x 是无穷大，必须指明自变量x 的变化趋向；无穷大是一个函数，而不是一个绝对值很大的常数．2．无穷大与无穷小的关系我们知道，当2x →时，2x -是无穷小，12x -是无穷大；当x →∞时，x 是无穷大，1x是无穷小．一般地，在自变量的同一变化过程中，如果)(x f 为无穷大，则)(1x f 是无穷小；反之，如果)(x f 为无穷小，且)(x f 0≠，则)(1x f 是无穷大． 利用这个关系，可以求一些函数的极限．例5 求极限13lim1-+→x x x ． 解 因为031lim1=+-→x x x ，由无穷大与无穷小的关系，所以∞=-+→13lim 1x x x ．五、无穷小量比较 由无穷小的性质，我们知道两个无穷小的和、差及乘积仍是无穷小．但两个无穷小的商却会出现不同的情况．例如，当0x →时， x 2、2x 、x sin 均为无穷小，而02lim 20=→x x x ，∞=→202lim x x x ，1sin lim 0=→xx x ．两个无穷小之比的极限的不同情况，反映了不同的无穷小趋向于零的“快慢”程度．一般地，对于两个无穷小之比有下面定义：定义 设α和β都是同一过程的两个无穷小量，即lim 0α=，lim 0β=，1．若lim0αβ=，则称α是β的高阶无穷小量；记作()o αβ=，此时也称β是α的低阶无穷小量．2．若lim 0C αβ=≠，则称α与β是同阶的无穷小量．记作()O αβ=．3．若lim 1αβ=，则称α与β是等价无穷小量．记作βα~．例16 当1x →时，比较无穷小1x -与31x -的阶． 解 由于 0)1(lim 1=-→x x ，0)1(lim 31=-→x x ，且 3111limx x x --→3111lim 21=++=→x x x ， 所以当1x →时，1x -与31x -是同阶无穷小．例17 当0→x 时，证明x cos 1-与22x 等价．解 由于 0)cos 1(lim 0=-→x x ，02lim20=→x x ，且=-→2cos 1lim 20xx x 122sin 2lim 220=→x xx ．所以，当0→x 时，x cos 1-与22x 为等价无穷小．习题训练1．利用函数图像，观察函数的变化趋势，并写出其极限： （1）21limx x →∞； （2）lim 2x x →-∞； （3）1lim ()10x x →+∞； （4）1lim(2)x x→∞+；（5）2lim(45)x x →-； （6）2lim sin x x π→． 2．设2,1()1,1x x f x x ⎧≥-=⎨<-⎩，作出它的图象，求出当1-→x 时，()f x 的左极限、右极限，并判断当1-→x 时，()f x 的极限是否存在？3．设1()1x f x x -=-，求(10)f -和 (10)f +，并判断()f x 在1→x 时的极限是否存在？4．设21()1x f x x-=-，求0lim ()x f x →，1lim ()x f x →． 5．下列函数在自变量怎样变化时是无穷小？无穷大？ （1）31y x = ； （2）211y x=+；（3） ln y x =；（4）y =6．求下列函数的极限：（1） sin limx x x →∞； （2）01lim cos x x x→； （3） 1lim1x xx →-； （4）32222lim (2)x x x x →+-．第二节 极限的运算教学目的：1.掌握极限的性质及四则运算法则;2.掌握利用两个重要极限求极限的方法。
微积分中的函数极限与连续性
微积分中的函数极限与连续性在微积分这门学科中，函数极限与连续性是两个极为重要的概念。
它们不仅是微积分理论的基础，也在解决各种实际问题中发挥着关键作用。
让我们先从函数极限说起。
想象一下，有一个函数 f(x)，当 x 趋近于某个特定的值 a 时，函数 f(x) 的值会越来越接近一个确定的数 L ，那么我们就说函数 f(x) 在 x 趋近于 a 时的极限是 L 。
这里的“趋近”可以是从左边趋近，也可以是从右边趋近。
举个简单的例子，比如函数 f(x) ＝（x 1) ／（x 1) ，当 x 趋近于1 时，分母和分子都趋近于 0 。
但是，如果我们直接把 x ＝ 1 代入函数，会得到 0/0 这种不确定的形式。
然而，当 x 非常接近但不等于 1 时，比如 10001 或者 09999 ，我们会发现函数的值非常接近 1 。
所以，我们就说这个函数在 x 趋近于 1 时的极限是 1 。
函数极限的定义是非常严谨和精确的。
用数学语言来表述，就是对于任意给定的一个很小的正数ε ，都存在一个正数δ ，使得当 0 ＜｜x a| ＜δ 时，｜f(x) L| ＜ε 成立。
这个定义虽然看起来有点复杂，但它的核心思想就是说，只要 x 与 a 足够接近（但不等于 a ），那么 f(x) 与 L 的差距就可以任意小。
了解了函数极限，接下来谈谈函数的连续性。
一个函数在某一点处连续，直观地说，就是当自变量在这一点处有一个很小的变化时，函数值也会有一个相应的很小的变化，而且函数在这一点没有“跳跃”或者“断裂”。
比如说，常见的一次函数 y ＝ x ＋ 1 ，在其定义域内的每一点都是连续的。
因为无论 x 怎么变化，只要变化量很小，函数值 y 的变化也会很小，而且图像是一条连续不断的直线。
再看一个稍微复杂点的例子，函数 f(x) ＝｜x| 。
在 x ＝ 0 处，当 x从负数趋近于 0 时，f(x) 的值趋近于 0 ；当 x 从正数趋近于 0 时，f(x)的值也趋近于 0 ，并且 f(0) ＝ 0 。
微积分第2版-朱文莉第2章极限与连续习题祥解
微积分第2版-朱文莉第2章极限与连续习题祥解第二章 极限与连续习题 2.1(A)1. 观察下列数列{}n x ，当n →∞时，极限是否存在，如存在，请写出其极限值.(1) {}(1)1n n x n ⎧⎫-=+⎨⎬⎩⎭； (2) {}1sin n x n ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭；(3) {}1(1)2n n x ⎧⎫+-=⎨⎬⎩⎭； (4) {}11n n x n -⎧⎫=⎨⎬+⎩⎭；(5) {}{}(1)nn x n =-； (6) {}21n n x n ⎧⎫-=⎨⎬⎩⎭.解 (1) 当n →∞时，极限为1；(2) 当n →∞时，极限为0； (3) 当n →∞时，极限不存在； (4) 当n →∞时，极限为1； (5) 当n →∞时，极限不存在； (6) 当n →∞时，极限不存在. 2. 对于数列{}⎭⎬⎫⎩⎨⎧+=1n n x n ),2,1( =n ，给定 (1) 1.0=ε，(2) 01.0=ε， (3) 001.0=ε时，分别取怎样的N ，才能使当N n >时，不等式ε<-1n x 成立? 并利用极限的定义证明此数列的极限为1.解 (1) 要使1.011111=<+=-+=-εn n n x n ，只要101.011=>+n ，9n >，故取9=N 即可.(2) 要使01.011111=<+=-+=-εn n n x n ，只要10001.011=>+n ，99n >，故99=N 即可.(3) 要使001.011111=<+=-+=-εn n n x n ，只要1000001.011=>+n ，999n >，故取999=N 即可.对于任意给定的0>ε，要使ε<+=-+=-11111n n n x n ，即ε11>+n ，11->εn .取正整数⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=11εN ，则当N n >时，恒有ε<-+=-111n nx n ，故lim 11n nn →∞=+. 习题 2.1 (B)1. 用数列极限的定义证明下列极限：(1) 1(1)lim 01nn n →∞+-=+； (2) 1lim313n n n →∞=+. 证明 (1) 对于任意给定的0ε>，要使不等式n x a -=1(1)22011n n n nε+--≤<<++成立，只需2n ε>成立. 取2N ε⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，则当n N >时，恒有ε.所以 1(1)lim 01nn n →∞+-=+.(2) 对于任意给定的0ε>，要使不等式n x a -=1113133(31)9n n n nε--=<<++ 成立，只需19n ε>成立. 取19N ε⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，则当n N >时，恒有 1313n n ε-<+. 所以 1lim313n n n →∞=+.2. 利用数列极限的定义证明：0n →∞=. 证明 对于任意给定的0ε>，要使不等式=-a xn 0ε-=<<成立，只需21n ε>成立. 取112+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=εN ，则当n N >时，恒有0ε-<.所以 )0n →∞=.3. 若数列{}n x 有界，且lim 0n n y →∞=，证明lim 0n n n x y →∞=.证明 因为数列{}n x 有界，所以存在0M >，对所有的n x 都有n x M ≤，对于任意给定的0ε>，要使不等式0n n x y -=n n n x y M y ε≤<成立，只需n y M ε<，又因为lim 0n n y →∞=，所以对于给定的0Mεε'=>，存在N ，则当n N>时，恒有n y Mεε'<=. 取},max{N M K =，则当K n >时，恒有εε=<MMy x n n .所以lim 0n n n x y →∞=.4.对于数列}{n x ，若a x k →-12 )(∞→k ，a x k →2)(∞→k ，证明：a x n →)(∞→n .证明 因为a x k →-12 )(∞→k ，所以0>∀ε，1k ∃0>，当1k k >时，有ε<--a x k 12；又因为a x k →2)(∞→k ，所以对上述0>ε，2k ∃0>，当2k k >时，有ε<-a x k 2. 记},max{21k k K =，取K N 2=，则当N n >时，若12-=k n ，则121k K k >+>，得ε<-=--a x a x k n 12，若k n 2=，则2k K k ≥>，得ε<-=-a x a x k n 2. 从而只要N n >，就有ε<-a x n ，即lim n n x a →∞=.习题2.2(A)1. 对下图中所示函数)(x f ，求下列极限，如果极限不存在，说明理由．(1) 2lim ()x f x →-； (2) 1lim ()x f x →-； (3)0lim ()x f x →．解 (1) 2lim ()0x f x →-=；(2)1lim ()1x f x →-=-；(3)0lim ()x f x →不存在，因为)0()0(+-≠f f .2. 对下图中所示函数)(x f ，下列陈述中哪些是对的，哪些是错的？(1) 0lim ()x f x →不存在； (2) 0lim ()0x f x →=；(3) 0lim ()1x f x →=； (4)1lim ()0x f x →=；(5) 1lim ()x f x →不存在； (6) 对每个)1,1(0-∈x ， 0lim ()x x f x →存在．解 (1) 错，因为0lim ()x f x →存在与否，与)0(f 的值无关.(2) 对，因为0)0()0(==+-f f .(3) 错，因为0lim ()x f x →的值与)0(f 的值无关.(4) 错，0)01(=+f ，1)01(-=-f ，故1lim ()x f x →不存在.(5) 对，因为)01()01(-≠+f f . (6) 对.3. 用极限定义证明：(1) 1lim(21)1x x →-=； (2) 224lim 42x x x →--=-+；(3) 23lim2x x x →∞+=； (4) lim 0x =.证明 (1)对于任意给定的0ε>，要使不等式()f x A -(21)121x x ε=--=-<成立，只需12x ε-<成立. 取2εδ=，则当01x δ<-<时，恒有(21)1x ε--<.所以 1lim(21)1x x →-=.(2)对于任意给定的0ε>，要使不等式()f x A -24(2)(2)(4)4222x x x x x x ε--+=--=+=+<++成立，只需取δε=即可. 则当0x δ<+<时，恒有24(2x x ε--+. 所以224lim 42x x x →--=-+.(3)对于任意给定的0ε>，要使不等式()f x A -2332x x xε+=-=< 成立，只需3x ε>成立. 取3M ε=，则当x M >时，恒有232x xε+-<. 所以 23lim2x x x →∞+=.(4)对于任意给定的0ε>，要使不等式()0f x A ε-=<< 成立，只需⎥⎦⎤⎢⎣⎡>21εx 成立. 取⎥⎦⎤⎢⎣⎡=21εM ，则当x M >时， 恒有0ε-<. 所以lim0x =.习题2.2 (B)1. 当2→x 时，4)(2→=x x f ，问δ等于多少，使当δ<-2x 时，001.04)(<-x f ？解 由于2→x ，02→-x ，不妨设12<-x ，即31<<x . 要使25)2)(2(42-<-+=-x x x x0002.02=-x ， 取0002.0=δ，则当δ<-<20x 时，就有001.04)(<-x f .2. 当∞→x 时，2312)(22→++=x x x f ，问X 等于多少，使当X x >时，01.02)(<-x f ？解 因为222253523122)(x x x x x f <+=-++=-. 要使01.0231222<-++x x ，只要01.052<x，即510>x ，取510=X ，则当X x >时，就有01.02)(<-x f . 3. 讨论0x →时，下列函数的极限是否存在.(1) 1,0()0, 01,0x x f x x x x -<⎧⎪==⎨⎪+>⎩； (2) ⎩⎨⎧<<<<-=10 ,0,sin )(x x x x x f π. 解 (1)由于 0lim ()lim (1)1x x f x x --→→=-=-， 00lim ()lim (1)1x x f x x ++→→=+=，故 0lim ()lim ()x x f x f x -+→→≠. 所以 0lim ()x f x →不存在.(2)由于0lim ()lim sin 0x x f x x --→→==，0lim ()lim 0x x f x x ++→→==. 故0lim ()x f x -→0lim ()x f x +→=. 所以0lim ()0x f x →=. 4. 设函数3()53x x f x x x+=-，求：(1) lim ()x f x →+∞； (2) lim ()x f x →-∞；(3) 0lim ()x f x +→； (4) 0lim ()x f x -→.解 34(1)lim ()limlim2532x x x x x xf x x xx→+∞→+∞→+∞+===-.321(2)lim ()limlim5384x x x x x x f x x x x →-∞→-∞→-∞+===-.3(3)lim ()lim 253x x x x x f x x x ++→→→+==-. 0321(4)lim ()lim lim 5384x x x x x x f x x xx ---→→→+===-. 5. 设函数212()22x x f x x a x ⎧+≥=⎨+<⎩，问当a 取何值时，函数)(x f 在2→x 时的极限存在.解 因为 22lim ()lim (2)4x x f x x a a --→→=+=+， 222lim ()lim (1)5x x f x x ++→→=+=. 由极限存在的条件，有 2lim ()x f x -→2lim ()x f x +→=，得1a =.习题2.3(A)1. 下列变量在何种情况下为无穷小，又在何种情况下为无穷大？ (1)11x -； (2) 211x x --； (3) ln(1)x -.解 (1)由于1lim 01x x →∞=-，故x →∞时，变量11x-为无穷小. 由于11lim 1x x →=∞-，故1x →时，变量11x-为无穷大. (2) 由于21lim01x x x →∞-=-，故x →∞时，变量211x x --为无穷小. 由于211lim 1x x x →--=∞-， 故1x →-时，变量211x x --为无穷大.(3) 由于2lim ln(1)0x x →-=，故2x →时，变量为ln(1)x -无穷小.由于lim ln(1)x x →+∞-=+∞，或 1lim ln(1)x x +→-=-∞，故x →+∞或1x +→时变量ln(1)x -为无穷大.2. 根据定义证明：(1) 1-=x y 为当1→x 时的无穷小； (2) xxy sin =为当∞→x 时的无穷小. 解 (1) 因为0)1(-=--x x ，所以0>∀ε，取εδ=，则当δ-<10x 时，就有ε<--0)1(x ，即1-=x y 为当1→x 时的无穷小.(2) 因为xx x 10cos ≤-，所以0>∀ε，取ε1=X ，则当X x >时，恒有ε<-0cos xx， xxy cos =为当∞→x 时的无穷小. 3. 求下列极限.(1) sin lim x x x→∞； (2) 221lim 56x x x x →+-+； (3) 224lim 2x x x →--.解 (1)因为sin x 是有界函数，x →∞时，1x为无穷小. 所以 sin lim0x xx→∞=.(2)当2x →时，1x +有界，256x x -+为无穷小. 所以221lim56x x x x →+=∞-+.(3) 22224(2)(2)lim lim lim(2)422x x x x x x x x x →→→-+-==+=--.习题2.3 (B)1. 举例说明，两个无穷小的商不一定是无穷小；无穷小与无穷大的积不一定是无穷小.解 (1) 例如 0)1(lim 1=-→x x ，0)1(lim 21=-→x x ，但2)1(lim 11lim 121=+=--→→x x x x x . 不是无穷小.(2) 例如 0)1(lim 1=-→x x ，∞=-→11lim21x x ，但是2111lim 11lim 11)1(lim 12121=+=--=--→→→x x x x x x x x 不是无穷小.2. 函数x x y cos =在),(+∞-∞内是否有界？这个函数是否为+∞→x 时的无穷大？解 因为0>∀M ，总有),(0+∞∈M x ，使得1cos 0=x ，从而M x x x y >==000cos ，所以，函数x x y cos =在),(+∞-∞内无界.又存在00>N ，0>∀X ，总有),(0+∞∈X x ，0cos 0=x ，从而0000cos N x x y <==， 所以，函数x x y cos =不是当+∞→x 时的无穷大.3. 根据定义证明：函数xxy 21+=为当0→x 时的无穷大. 问x 应满足什么条件，能使410>y ？证明 因为212121-≥+=+x x x x ，要使M x x >+21，只要M x>-21，即21+<M x . 所以0>∀M ，取21+=M δ，当δ<-<00x 时，就有M xx>+21，即函数xxy 21+=为当0→x 时的无穷大. 令410=M ，取21014+=δ，当2101004+<-<x 时，就能使41021>+xx. 习题2.4(A)1. 简要回答下列问题.(1) 若数列{}n x 收敛，而数列{}n y 发散，则数列{}n n x y ±及数列{}n n x y 是否收敛？ (2) 若数列{}n x ，{}n y 均发散，则数列{}n n x y ±及数列{}n n x y 是否发散？解 (1) 数列{}n n x y ±发散. 如果{}n n x y ±收敛，那么()n n n n y x x y =--或()n n n n y x y x =+-也收敛.数列{}n n x y 不一定收敛. 例如：数列1n x n=收敛，(1)nn y =-发散， 1(1)n n n x y n =-收敛；又数列1n x n=收敛，2n y n =发散， n n x y n =发散. (2) {}n n x y ±及数列{}n n x y 不一定发散. 2. 求下列函数的极限.(1) 322042lim 32x x x x x x→-++； (2) 22132lim 43x x x x x →-+-+；(3) 4x →(4) )limx x →+∞；(5) 3131lim 11x x x →⎛⎫- ⎪--⎝⎭； (6) ()()()2030502332lim 21x x x x →∞-++；(7) 332lim 1x x x x →∞+-+ ； (8) 220()lim h x h x h→+-.解 (1) 322200424211limlim 32322x x x x x x x x x x →→-+-+==++. (2) 2211132(1)(2)(2)1lim lim lim 43(1)(3)(3)2x x x x x x x x x x x x x →→→-+---===-+---.(3) x x →→=4x x →→===322.(4) 1lim )limlim2x x x x →+∞===. (5) 3211312lim lim 1111x x x x x x x →→+⎛⎫-==⎪--++⎝⎭.(6) 203030203050503223(23)(32)3lim lim (21)212x x x x x x x x →∞→∞⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪-+⎛⎫⎝⎭⎝⎭== ⎪+⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭. (7) 3333232322lim 112lim lim 1111111lim 1x x x x x x x x x x x xx →∞→∞→∞→∞⎛⎫++ ⎪+⎝⎭===-+⎛⎫-+-+ ⎪⎝⎭.(8) 22222000()2limlim lim(2)2h h h x h x x xh h x x h x h h→→→+-++-==+=. 3. 求下列极限.(1) 1123lim 23n nn n n ++→∞++；(2)2n n(3) n →∞； (4) 1111242lim1111393n n n →∞++++++++； (5) 11lim 1335(21)(2n n →∞⎛+++⋅⋅-⎝.解 (1) 11212313lim lim 2332323nn nn n n n n ++→∞→∞⎛⎫+⎪+⎝⎭==+⎛⎫+ ⎪⎝⎭.(2) 2214n n n⎫⎪===. (3) lim n →∞0n ==.(4) 111121111112422lim lim 1111113933113n n n n n n ++→∞→∞⎛⎫- ⎪⎝⎭++++-==⎛⎫++++- ⎪⎝⎭-43. (5) 由于1111(21)(21)22121n n n n ⎛⎫=- ⎪-+-+⎝⎭，有1111323(21)(21)n n +++⋅⋅-+111111111123352121221n n n ⎛⎫⎛⎫=-+-++-=- ⎪ ⎪-++⎝⎭⎝⎭. 于是111111lim lim 11323(21)(21)2212n n n n n →∞→∞⎛⎫⎛⎫+++=-= ⎪ ⎪⋅⋅-++⎝⎭⎝⎭.习题2.4 (B)1. 设222lim 22x x ax bx x →++=--，求常数a ，b 的值.解 因为222lim 22x x ax bx x →++=--，推得b ax x ++2含有因式2x -，否则与已知矛盾.设2x ax b ++(2)()x x c =--，得2,(2)b c a c ==-+.又因为 22222(2)()2lim lim lim 22(2)(1)13x x x x ax b x x c x c cx x x x x →→→++----====---++，得4-=c ，从而得到2a =，8b =-.2. 设511lim 2-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+---∞→b ax x x x ，求常数a ，b 的值. 解 因为511)()1(lim 11lim 22-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛---++-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+---∞→∞→x b x b a x a b ax x x x x ，推得105a ab -=⎧⎨+=-⎩， 得1a =，6b =-.3. 设⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>≤<+≤+=,1,2,10,1,0,23)(2x xx x x x x f 分别讨论0→x 及1→x 的极限是否存在.解 (1) 由于 0lim ()lim (32)2x x f x x --→→=+=，200lim ()lim(1)1x x f x x ++→→=+=. 由于 0lim ()lim ()x x f x f x -+→→≠，所以 0lim ()x f x →不存在. (2) 由于 211lim ()lim(1)2x x f x x --→→=+=， 112lim ()lim 2x x f x x++→→==， 111lim ()lim ()lim ()2x x x f x f x f x -+→→→===， 所以 1lim ()x f x →存在.4. 设1lim ()x f x →存在，且21()2lim ()x f x x x f x →=+，求1lim ()x f x →和()f x .解 设1lim ()x f x A →=，则2()2f x x Ax =+，于是211lim ()lim(2)12x x A f x x Ax A →→==+=+，得1A =-，2()2f x x x =-.习题2.5(A)1. 求下列极限： (1) 0tan 2limsin 5x x x →；(2) 0lim x +→； (3) 02arcsin lim3x x x →； (4) lim 2sin (0)2nnn x x →∞≠；(5) 202lim sin 3x x x→； (6) 0tan sin limx x xx→-.解 (1) 00tan 22tan 222lim lim sin 5sin 5555x x xxx x x x xx→→==.(2) 00022lim limlim 2x x x x x+++→→→===(3) 令t x =arcsin ，则002arcsin 22limlim 33sin 3x t x t x t →→==.(4) sin 22lim 2sin lim sin lim 222nn n n n n n n nx x x x xx x x →∞→∞→∞===. (5) 22002293lim lim 9sin sin 33x x x x x x →→⎛⎫ ⎪⎝⎭==.(6) 0tan sin lim x x x x x →→-= 00sin (1lim lim cos x x x x x→→-=⋅2. 求下列极限：(1) 51lim 1n n n +→∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭； (2) lim 1xx x x →∞⎛⎫⎪+⎝⎭； (3) 21lim 23xx x x →∞-⎛⎫⎪+⎝⎭； (4) 22lim 2xx x →-⎛⎫ ⎪⎝⎭； (5) ()1lim 12sin xx x →+； (6) ()3sec 2lim 1cos xx x π→+.解 (1) 55111lim 1lim 11n nn n e n n n +→∞→∞⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. (2) 11lim lim 111xx x x x x e x →∞→∞⎛⎫== ⎪+⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭. (3) 令423t x -=+，则214lim lim 12323x xx x x x x →∞→∞--⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭2231322220lim(1)lim (1)lim(1)1t tt t t t t t e e ------→→→⎡⎤=+=++=⋅=⎢⎥⎣⎦. (4) 1221002lim lim 122xxx x x x e ---→→⎡⎤--⎛⎫⎛⎫⎢⎥=+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦. (5) 012sin lim20lim(12sin )x xxx x ee →→+==.(6) 3cos 3sec 322lim(1cos )lim(1cos )x xx x x x e ππ→→+=+=.3. 设 21001lim 5xc x x e x →∞+⎛⎫= ⎪-⎝⎭，求c . 解 222012lim 2012510011006lim lim 155x xxxc x x x x e e e x x →∞-→∞→∞+⎛⎫⎛⎫=+=== ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，2012=c .习题2.5 (B)1. 利用极限存在准则，计算下列各题.(1) 222111lim (1)()n n n n n →∞⎡⎤+++⎢⎥++⎣⎦； (2) n →∞. 解 (1)由于222221111()(1)()n n n n n n n n n n<+++<=+++， 又因为 1lim0n n →∞=，2lim 0()n nn n →∞=+，由夹逼准则，有 222111lim 0(1)()n n n n n →∞⎡⎤+++=⎢⎥++⎣⎦. (2) 因为1sin 1n -<<，所以有223311n nn n -<<++，此时23lim 01nn n →∞-=+，23lim 01n n n →∞=+，由夹逼准则，有 0n →∞=. 2. 利用极限存在准则证明：数列2，22+，222++，…的极限存在，并求出该极限.解 归纳证明这个数列是严格单调增加的，并以2为上界.2<，假设1n n a a -<，那么1n n a a +=<=，可见数列是单调增加的. 2<，2n a <，可推出12n a +=<=，所以数列以2为上界. 由准则Ⅱ知，此数列是收敛数列，记极限为a .由在递推公式1n a +1lim n n a +→∞=即a =2a =.3. 某企业计划发行公司债券，规定以年利率6.5%的连续复利计算利息，10年后每份债券一次偿还本息1000元，问发行时每份债券的价格应定为多少元？解 设发行时每份债券的价格应定为0A 元，则65.0010%5.601000e A e A ==⨯，所以05.522100065.00≈⋅=-e A （元）.4. 设本金为p 元，年利率为r . 若一年分n 期，存期t 年，若以复利方式结算，则本金与利息之和是多少？现某人将1000p =元存入某银行，年利率为0.06r =，2t =；请按单利、季度、月利及连续复利等结算方式计算本利和.解 按单利计算：本利和为=00.1120206.010001000=⨯⨯+（元）. 由复利公式有ntn r p ⎪⎭⎫ ⎝⎛+1， 按季度结算方式计算：4n =，利和为49.1126406.011000124≈⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯nt n r p (元)，按月结算方式计算：12n =，本利和为.1511271206.0110001212≈⎪⎭⎫⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯nt n r p (元)，连续复利结算方式计算：本利和为 1000rt rtpe e =1127.49≈(元).5. 根据函数极限的定义，证明极限存在的准则I '.证明 仅就0x x →的情形证明准则I '，∞→x 的情形类似证明.0>∀ε，因为A x g x x =→)(lim 0，01>∃δ，当100δ<-<x x ，有ε<-A x g )(，即εε+<<-A x g A )(， (3)又A x h x x =→)(lim 0，对于上面的0>ε，02>∃δ，当200δ<-<x x ，有ε<-A x h )(，即εε+<<-A x h A )(. (4)取},min{21δδδ=，则当δ<-<00x x ，假设(1)及式(3)、(4)同时成立，从而有εε+<≤≤<-A x h x f x g A )()()(，即ε<-A x f )(.因此，0lim ()x x f x →存在，且等于A .习题2.6(A)1. 当0→x 时，下列各函数都是无穷小，试确定哪些是x 的高阶无穷小？同阶无穷小？等价无穷小？(1) x x +2； (2) x x sin +;(3) x x sin -； (4) x 2cos 1-； (5) x arctan ; (6) x 2tan .解 (1) 因为200lim lim(1)1x x x xx x→→+=+=，所以x x +2是与x 等价的无穷小.(2) 因为00sin sin limlim 1112x x x x x x x →→+⎛⎫=+=+= ⎪⎝⎭，所以x x sin +是与x 同价的无穷小. (3) 因为00sin sin limlim 10x x x x x x x →→-⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，所以x x sin -是比x 高价的无穷小. (4) 因为20001sin 1cos 2sin 2lim lim lim sin 02x x x xx x x x x x →→→-⎛⎫==⋅= ⎪⎝⎭，所以x 2cos 1-是比x 高价的无穷小.(5) 因为00arctan limlim 1x x x xx x →→==，所以x arctan 是与x 等价的无穷小.(6) 因为00tan 22limlim 2x x x xxx →→==，所以x 2tan 是与x 同价的无穷小. 2. 当1x →时，无穷小111xx-+是否为等价的无穷小？解1111x x x→→-=. 故11xx -+与1.3. 当1x →时，无穷小1x -与下列无穷小是否同阶，是否等价?(1) 1 (2)2(1.解 (1) 由于11113x x x →→→===故1x -与1.(2) 由于112(1lim11x x x →→==-，故1x -与2(1等价.4. 利用等价无穷小代换原理求下列极限.(1) 0arctan 3lim sin 2x x x →； (2) 0sin lim (,)(sin )mn x x m n x →正数；(3) 201lim 1cos x x e x→--； (4) 201lim 3x x e x x →-+；(5) 21arcsin(1)lim (1)ln(21)x x x x →---； (6) 30tan sin lim ln(1)x x xx →-+；(7) 0x →； (8) 2330235lim 42tan x x x x x x →+-+.解 (1) 00arctan 333limlim sin 222x x x x x x →→==.(2) 00sin lim lim (sin )mmn n x x x x x x→→==0,1,,m n m n m n >⎧⎪=⎨⎪∞<⎩. (3) 222001limlim 21cos 2x x x e x xx →→-==-. (4) 22000111lim lim lim 3333x x x x e x x x x x x →→→-===+++. (5) 2211arcsin(1)(1)1lim lim (1)ln(21)(1)(22)2x x x x x x x x →→--==----.(6) 2333000tan sin tan (1cos )12limlim lim ln(1)ln(1)2x x x x x x x x x x x x →→→⋅--===++.(7) 22lim42x x xx x →→==+.(8) 2330235lim 42tan x x x x x x →+-+2200220lim(235)2352lim 1tan tan 242lim 42x x x x x x x x x x x x x →→→+-+-====⎛⎫++ ⎪⎝⎭.习题2.6 (B)1. 证明当0→x 时，有如下结论：(1) x x ~arctan ； (2) 221~1sec x x -； (3)221~1sin 1x x x -+； (4) 222~11x x x --+. 证明 (1) 令x t arctan =，则t x tan =，当0→x 时，0→t . 于是000arctan cos limlim lim 1sin tan x t t x t tt x tt →→→===，故x x ~arctan .(2) 因为200002222111sec 11cos cos 2lim lim lim lim 11111cos cos 2222x x x x xx x x x x x x x x →→→→---====⋅⋅， 所以，221~1sec x x -.(3)因为0022sin lim 111)22x x x x x x x →→→===， 所以，221~1sin 1x x x -+. (4) 因为20001x x x →→→===，所以222~11x x x --+.2. 证明无穷小的等价关系具有下列性质：(1) αα~（自反性）； (2) 若βα~，则αβ~（对称性）； (3) 若βα~，γβ~，则γα~（传递性）.证明 (1) 因为1lim=αα，所以αα~. (2) 因为βα~，即1lim=βα，所以1lim =αβ，即αβ~.(3) 因为βα~，γβ~，即1lim=βα，1lim =γβ，所以 1lim lim lim lim=⋅=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=γββαγββαγα，即γα~. 3. 当0x →时，变量122(1)1kx +-与变量cos 1x -为等价无穷小，求常数k 的值.解 2122200(1)12lim lim 1cos 12x x kx kx k x x →→+-==-=--. 即 1k =-.解其中x 习题2.7(A)1. 讨论下列函数的连续性.(1) ⎩⎨⎧>≤=0 ,0 ,sin )(2x x x x x f ； (2) ⎪⎩⎪⎨⎧>≤≤--<-=1 ,111 ,1,1)(2x x x x x f .解 (1) 因为，当0<x 时，x x f sin )(=是连续的；当0>x 时，2)(x x f =是连续的，由于lim sin 0x x -→=，20lim 0x x +→=，00sin )0(==f ，故()f x 在0x =处连续. 从而函数)(x f 在) ,(∞+-∞内连续.(2) 因为)(x f 为分函数，当1-<x ，11<<-x ，1>x 时，函数)(x f 均是连续的.在1-=x 处，由于1lim (1)1x -→--=-，21lim 1x x +→-=，所以1-=x 是跳跃间断点；在1=x 处，由于21lim 1x x -→=，1lim11x +→=，且1)1(=f ，所以，函数在1=x 处连续. 综上所述：函数)(x f 在区间) ,1()1 ,(∞+---∞ 内连续.2. 确定常数a ，b 使下列函数连续.(1) ⎩⎨⎧>+≤=0 ,0 ,)(x a x x e x f x ； (2) ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>=<-=0,sin 0 ,20 ,)31ln()(x x axx x bx x x f .解 (1) 当0<x 与0>x 时，函数)(x f 为初等函数，它是连续的. 要使函数)(x f 在) ,(∞+-∞内连续，只需要函数)(x f 在0=x 处连续即可.因为1)0(0==e f ，0lim 1x x e -→=，0lim ()x x a a +→+=，所以当1=a 时，即有 00lim ()lim ()(0)1x x f x f x f -+→→===， 即当1=a 时，函数)(x f 在0=x 处连续. 故当取1=a 时，函数)(x f 在) ,(∞+-∞内连续.(2) 当0<x 与0>x 时，函数)(x f 为初等函数，故它是连续的. 要使函数)(x f 在) ,(∞+-∞内连续，只需要函数)(x f 在0=x 处连续即可.因为00033lim ()lim lim x x x x f x bx b---→→→-==-，000sin lim ()x x x a axf x a x ax +→+→+→==.由函数)(x f 在0=x 处连续知，00lim ()lim ()(0)2x x f x f x f -+→→===，即得，23=-=ba . 故当2=a ，23-=b 时，函数)(x f 在0=x 处连续. 也即函数)(x f 在) ,(∞+-∞内连续.3. 考察下列函数在指定点的连续性. 如果是间断点，指出其属于哪一类；如果是可去间断点，则补充或改变函数的定义使其成为函数的连续点.(1) 23122+--=x x x y ，1=x ，2=x ；(2) xxy sin =， πk x =，),2 ,1 ,0( ±±=k ； (3) xy 1cos 2=，0=x ；(4) ⎩⎨⎧>-≤-=1,31,12x x x x y ，1=x .解 (1) 因为)2)(1()1)(1(23122--+-=+--=x x x x x x x y ，函数在1=x ，2=x 处无定义，所以都是间断点.又因为221lim )2)(1()1)(1(lim 231lim 11221-=-+=--+-=+--→→→x x x x x x x x x x x x ， ∞=+--→231lim 222x x x x ， 所以，1=x 为第一类间断点（可去间断点），重新定义，当1=x 时，令2-=y ，则函数在1=x 处连续.2=x 为第二类间断点（无穷间断点）.(2) 函数xxy sin =在 πk x =，),2 ,1 ,0( ±±=k 处无定义，所以它们都是间断点. 因为1sin lim0=→xxx ，故0=x 是函数y 的第一类间断点（可去间断点）.若令1)0(=y ，则函数在0=x 处连续；若0≠k ，则∞=→xxk x sin lim π，故 πk x =),2 ,1( ±±=k 为函数y 的第二类间断点（无穷间断点）.(3) 对0=x ，因为21lim cos x x -→及201lim cos x x+→均不存在，所以0=x 为函数的第二类间断点.(4) 对1=x ，因为11lim ()lim(21)1x x f x x --→→=-=，11lim ()lim(3)2x x f x x ++→→=-=，所以 1=x 第一类间断点(跳跃间断点).4. 求函数32233()6x x x f x x x +--=+-的连续区间，并求0lim ()x f x →，3lim ()x f x →-，2lim ()x f x →.解 由于323223333()6(3)(2)x x x x x x f x x x x x +--+--==+-+-， 得()f x 的定义域为()()(),33,22,-∞--+∞. 由于初等函数在其定义区间内连续，故函数()f x 的连续区间为()()(),33,22,-∞--+∞.01lim ()(0)2x f x f →==，22333(3)(3)18lim ()lim lim (3)(2)25x x x x x x x f x x x x →-→-→-+-+-===-+--，由于0)3)(1()2)(3(lim )(1lim222=+--+=→→x x x x x f x x ，故 222(3)(3)lim ()lim (3)(2)x x x x x f x x x →→+-+==∞+-.5. 求下列极限(1) 52lim 20+-→x x x ； (2) 34)2(sin lim x x π→;(3) sin 0lim xx x e→；(4) 145lim1---→x xx x .解 (1) 5502052lim 220=+⨯-=+-→x x x .(2) 142sin )2(sin lim 334=⎪⎭⎫ ⎝⎛=→ππx x . (3) e e eex x xxx x ===→→1sin limsin 00lim .(4) )45)(1()1(4lim145lim11x x x x x x x x x +---=---→→21==→x .习题2.7 (B)1. 设2,01()2,1ln(1), 13ax b x f x x bx x ⎧+<<⎪==⎨⎪+<≤⎩， a ，b 为何值时，()f x 在1x =处连续？解 由于211lim ()lim()x x f x ax b a b --→→=+=+，11lim ()lim ln(1)ln(1)x x f x bx b ++→→=+=+. 要使()f x 在1x =处连续，须有ln(1)2,2b a b +=+=.解之得 23a e =-，21b e =-. 2. 讨论下列函数的连续性.(1) 1()lim(0)1n n f x x x →∞=≥+； (2) 221()lim 1nnn x f x x x →∞-=+.解 (1) 1, 0111()lim , 1120, 1nn x f x x x x →∞≤<⎧⎪⎪===⎨+⎪>⎪⎩， 由于 11lim ()lim11x x f x --→→==，11lim ()lim 00x x f x ++→→==，故1x =为间断点. (2) 22, ||11()lim 0, 11,||1n nn x x x f x x x x x x →∞<⎧-⎪===±⎨+⎪>⎩-， 由于 11lim ()lim 1x x f x x --→→==，11lim ()lim()1x x f x x ++→→=-=-. 故1x =为间断点. 同理1x =-也为间断点. 3. 求下列极限.(1) 21limcos ln 1x x x →∞⎡-⎤⎛⎫+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦； (2) sin 0lim xxx e →；(3) 01limarctan x x e x →⎛⎫- ⎪⎝⎭； (4) ()110lim 2x x x x e -→+. 解 (1) 2121limcos ln(1)cos ln lim(1)cosln 3x x x x x x →∞→∞--⎡⎤⎡⎤+=+=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦.(2) 0sin sin limlim x x xxxx eee →→==.(3) 0011limarctan arctan lim arctan14x x x x e e x x π→→⎛⎫⎛⎫--=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. (4) ()()11ln 2ln 2111lim 2lim 2x x e xx x x x x eee +---→→+===. 4. 下列陈述中，哪些是对的，哪些是错的？如果是对的，说明理由；如果是错的，试给出一个反例.(1) 如果函数)(x f 在点0x 连续，那么)(x f 也在点0x 连续； (2) 如果函数)(x f 在点0x 连续，那么函数)(x f 也在点0x 连续. 解 (1) 对. 因为0)()()()(00→-≤-x f x f x f x f )(0x x →，所以)(x f 也在点0x 连续. (2) 错. 例如⎩⎨⎧<-≥=0,10,1)(x x x f ， 则)(x f 在点00=x 连续，但函数)(x f 在点00=x 不连续.习题2.8(A)1. 证明方程3310x x --=在区间(1,2)内至少有一个实根.证明 因为函数3()31f x x x =--在闭区间[1, 2]上连续，又(1)30f =-<，(2)10f =>，根据零点定理，在开区间(1, 2)内至少有一点ξ，使得()0f ξ=，即3310ξξ--=.故方程3310x x --=在区间(1,2)内至少有一个实根ξ.2. 设函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续，且(),()f a a f b b <>，证明：至少有一个(,)a b ξ∈，使()f ξξ=.证明 构造辅助函数x x f x g -=)()(.因为函数()f x 在闭区间[, b]a 上连续，且(),()f a a f b b <>，所以x x f x g -=)()(在闭区间[, b]a 上也连续，且0)()(<-=a a f a g ，0)()(>-=b b f b g . 根据零点定理，x x f x g -=)()(在开区间(, b)a 内至少有一点ξ，使得()()0g f ξξξ=-=，即 ()f ξξ=.3. 设函数()f x 在闭区间[0,2]a 上连续，且(0)(2)f f a =，证明：在[0,]a 至少存在一点ξ，使()()f f a ξξ=+.证明 构造辅助函数：)()()(x f a x f x g -+=.因为函数()f x 在闭区间[0,2]a 上连续，且(0)(2)f f a =，所以)()()(x f a x f x g -+=在闭区间[0,]a 上也连续，且()()0)()2()2()()()0(≤--=a f a f a f a f a g g .根据零点定理，)()()(x f a x f x g -+=在开区间(0,)a 内至少有一点ξ，使得()()()0g f a f ξξξ=+-=，即()()f f a ξξ=+.4. 证明方程 sin x a x b =+（其中0,0a b >>）至少有一正根，并且不超过a b +. 证明 令()sin ,f x a x b x =+-[]0,x a b ∈+，()f x 在[]0,a b +上连续，又(0)0f b =>，()sin()()[sin()1]0f a b a a b b a b a a b +=++-+=+-≤。
极限与连续的总结
极限与连续的总结极限与连续是微积分中的两个重要概念，它们是解析几何、数学分析以及应用数学的基础。
极限是描述函数趋向于某个特定点的行为，而连续则要求函数在一定范围内没有任何的间断点。
本文将对极限与连续的定义、性质以及应用进行总结，以帮助读者更好地理解和应用这两个概念。
首先，我们来看极限的定义。
在数学中，极限是描述函数在某个点或者在无穷远处的行为的概念。
对于函数$f(x)$，当$x$趋向于$a$时，如果$f(x)$的值趋向于一个确定的常数$L$，我们就说$f(x)$的极限为$L$，记作$\lim_{x \to a} f(x) = L$。
这可以用以下等价的定义来描述：对于任意给定的$\epsilon > 0$，存在一个$\delta > 0$，使得当$0 < |x-a| < \delta$时，有$|f(x)-L| < \epsilon$。
简单来说，就是当$x$离$a$足够近时，$f(x)$的值会越来越接近$L$。
极限有一些基本的性质。
首先，如果一个函数在某个点$a$有极限，那么这个极限是唯一的。
其次，如果函数在某个点$a$有极限$L$，那么函数在$a$点连续。
最后，如果两个函数在某点的极限都存在，那么它们的和、差、积以及商的极限也都存在，并且满足一些运算规则。
这些性质是进行极限计算的基础。
极限的应用非常广泛。
在微积分中，极限是求导和积分的基础。
求导可以通过极限的定义来进行计算，而积分则是对函数在某个区间上的极限进行求和。
极限还可以用来研究函数的渐近行为，帮助我们更好地理解函数的性质和图像。
此外，极限还被应用到一些工程和物理问题中，例如极限可以用来解决物体在无限接近某个位置时的行为。
除了极限，连续也是微积分中的重要概念。
在数学中，一个函数在某个点$a$是连续的，意味着函数在$a$点没有任何的间断点，而且当$x$趋向于$a$时，$f(x)$的极限存在且等于$f(a)$。
更正式地说，一个函数$f(x)$在点$a$连续，即满足以下三个条件：1) $f(a)$存在；2) $\lim_{x \to a} f(x)$存在；3) $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$。
人大版_微积分_第二章_极限与连续
微积分
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莫兴德
广西大学 数信学院
Email:moxingde@
微积分
链接目录
第二章 极限与连续
第一章 函数
第三章 导数与微分
第五章 不定积分 第七章 无穷级数(不要求) 第九章 微分方程
第四章 中值定理,导数的应用
第六章 定积分 第八章 多元函数 复习
微积分
指出下列证明lim n n 1 中的错误．
n
n
思考题
1 证明 要使 n 1 , 只要使 ln n ln(1 ) n 1 ln(1 ) ln(1 ) 从而由 n ln n ln 2 得 0, 取 N ln 2 1 ln(1 )
当 n N 时，必有 0 n n 1 成立
lim n n 1
n
微积分
思考题解答
1 n 1 ~ ln n ln(1 ) （等价） n 1 ln(1 ) ln(1 ) 证明中所采用的 n ln n ln 2
n
ln 2 ln n 实际上就是不等式 ln(1 ) n n ln n 即证明中没有采用“适当放大” 的值 n
当n N 2时恒有 x n b ; 取N maxN 1 , N 2 ,
则当n N时有 a b ( x n b) ( x n a )
x n b x n a 2.
上式仅当a b时才能成立. 故收敛数列极限唯一.
微积分
注意： 1.数列对应着数轴上一个点列.可看作一 动点在数轴上依次取 x1 , x2 ,, xn ,.
x3
x1
x 2 x4
极限与连续ppt
. . .. . . . .
...
分成若干充分小（长度无限接近零）曲线段, 这些曲线段也就无限接近（趋于）直线段. 据此,数学家找到一种用直线近似 代替曲线（以直代曲） 的处理曲线的方法，从而创立了微积分方法。
即: 先对曲线段无限细分； 再用直线来近似代替 曲线段（即以直代曲）； 然后取极限（看无穷趋势）的数学方法, 我们称此为
同样可以看出,随着 n 的无限增大时, 上述其它数列的
无限变化趋势。
数列（2.3）,即
{1} n
无限地接近常数0；
数列（2.4）,即
{n} n 1
无限地接近常数1；
数列（2.5）,即{2n} 无限增大;
数列（2.6）,即{( 1) n } 不停地在1与-1之间摆动.
前四个数列（2.1）-（2.4）反映了一类数列的一
因为 12 +22 +
n2 =
1 (2n +1)n(n +1) 6
,所以
原式 limn1来自n(n(n
1)(2n
6n2
1)
)
lim
n
(n
1)(2n 6n2
1)
1
11
lim(1 )(2 )
6 n n
n
1 lim(1 1) lim(2 1) 1 .
6 n
bn )
lim
n
an
lim
n
bn
;
(2) (3)
lnim(an
bn
)
lim
n
an
lim
n
bn ;
若还满足 bn 0 ,且
极限与连续知识点总结
极限与连续知识点总结
极限与连续是微积分中的重要概念，对于深入学习微积分起到了关键作用。
本文将从基本概念、性质和应用等方面对极限与连续进行总结介绍，帮助读者更好地理解和应用这些知识。
一、极限的基本概念
1. 函数的极限：当自变量趋于某个特定值时，函数的取值是否趋于一个确定的数值。
2. 极限存在的条件：数列极限必须存在，且函数在该点左右两侧的极限值相等。
3. 极限的计算方法：通过代数运算、洛必达法则等方法来计算函数的极限。
二、连续的基本概念
1. 连续的定义：函数在某一点处的极限等于该点本身，即函数在该点处连续。
2. 连续的性质：连续函数的性质包括介值定理、零点存在定理、最值定理等。
3. 连续函数的运算：连续函数的和、差、积、商仍然是连续函数。
三、极限与连续的应用
1. 极限的应用：极限在计算曲线的切线斜率、计算数列极限等方面有着广泛的应用。
2. 连续的应用：连续函数的应用包括函数的最值问题、优化问
题等。
综上所述，极限与连续是微积分中不可或缺的核心概念。
通过本文的总结，读者可以更加深入地理解和掌握这些知识点，并能够有效地应用于实际问题的解决中。
极限与连续函数知识点
极限与连续函数知识点在微积分学中，极限和连续函数是两个重要的概念。
它们在数学领域的应用极为广泛，对于理解和解决各种问题都起着关键作用。
本文将介绍极限和连续函数的基本概念、性质以及它们在实际问题中的应用。
一、极限的概念极限是微积分学中最基本的概念之一。
通俗地说，极限可以理解为一个数列或者函数在某一点无限接近于某个确定的值。
在数学符号中，我们用lim表示极限。
一个数列或者函数的极限有两种可能情况：正向极限和负向极限。
1.1 正向极限设函数f(x)在x→a的过程中，当x从a的右侧无限接近a时，f(x)的值趋于L。
我们将此时的极限称为正向极限。
数学上表示为：lim┬(x→a⁺)f(x)=L其中，x→a⁺表示x趋于a的右侧。
1.2 负向极限类似地，设函数f(x)在x→a的过程中，当x从a的左侧无限接近a时，f(x)的值趋于L。
我们将此时的极限称为负向极限。
数学上表示为：lim┬(x→a⁻)f(x)=L其中，x→a⁻表示x趋于a的左侧。
二、极限的性质在研究极限的过程中，我们需要掌握一些重要的性质。
2.1 极限的唯一性一个函数在某一点的极限值是唯一确定的。
也就是说，如果一个函数在某一点的极限存在，那么它只能有一个确定的值。
2.2 极限的四则运算对于两个函数f(x)和g(x)，如果它们在某一点的极限存在，那么它们的和、差、积和商的极限也存在，并且可以通过以下公式计算：lim┬(x→a)(f(x)±g(x))=lim┬(x→a)f(x)±lim┬(x→a)g(x)lim┬(x→a)(f(x)g(x))=lim┬(x→a)f(x)⋅lim┬(x→a)g(x)lim┬(x→a)(f(x)/g(x))=lim┬(x→a)f(x)/lim┬(x→a)g(x) (其中lim┬(x→a)g(x)≠0)三、连续函数的概念连续函数是一类与极限相关的函数。
在数学中，我们称一个函数f(x)在某一点x=a处连续，如果满足以下条件：1) f(a)存在；2) lim┬(x→a)f(x)存在；3) lim┬(x→a)f(x)=f(a)。
微积分--极限与连续 ppt课件
考虑当
x
，函数
y1 x
的变化情况
y
O
x
lim 1 0. x x
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15
定义：对任意的正数，如果总存在一个正数X， 使得当 x >X时，f (x)-A < ,则称当x 时， f (x)以A为极限，记为 lim f (x)=A.
x
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16
x 的理解：
10. x 情形 : lim f ( x) A x
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35
§2.5 极限运算法则
一、极限运算法则
定理 设 lim f ( x) A,lim g( x) B,则 (1) lim[ f ( x) g( x)] A B; (2) lim[ f ( x) g( x)] A B; (3) lim f ( x) A , 其中B 0.
记作 lim f ( x) A 或 x x0 0
f ( x0 0) A.
(
x
x
0
)
右极限 0, 0,使当x0 x x0 时,
恒有 f (x) A .
记作 lim f ( x) A 或 x x0 0 ( x x0 )
注意 :{x 0 x x0 }
f ( x0 0) A.
x0时的极限,
记作
lim
x x0
f (x)=A.
" "定义
0, 0,使当0 x x0 时,恒有 f ( x) A .
注意 :{x 0 x x0 } { x 0 x x0 } { x x x0 0}
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24
注意：1.函数极限与f ( x)在点x0是否有定义无关; 2.与任意给定的正数有关.
ppt课件
33
微积分第2章极限与连续
2. 用定义只能验证极限，不能求极限.
第二章 极限与连续
7
三、数列极限的运算法则 (课本p.66§2.5 )
定理 设
则
会应用
证明
特别地，
第二章 极限与连续
8
例2 求极限：
注意: 极限四则运算只适用于 有限项运算，且各项极限存在!
(上下同除以n3)
例3 设函数
(先求括号内各项之和)
，求极限 (考研题)
例4 证明方程 x3 - 4x2 + 1=0 在 (0,1) 内至少有一个根.
函数极限的计算方法
1. 图像观察 2. 按定义验证 3. 四则运算（拆分后各部分极限应存在） 4. 夹逼准则 5. 两个重要极限及其应用 6. 无穷小、无穷大的性质 7. 无穷小等价代换 8. f 在连续点 x0 处的极限为 f(x0) 9. 多重复合函数，遇连续函数，极限符号可向内移位 10. 变量替换
例2 比较 x→0 时下列各无穷小量的阶：
1) sinx 与 x, tanx 与 x；
等价
2)
与 x；
同阶
3)
与 x (x→0+) ；
4) 1-cos x 与 x2/2；
等价
x→0 时常用等价无穷小量
要记
x ~ sin x ~ tan x ~ arcsin x ~ arctan x ~ ln(1+x) ~ ex -1
一、无穷小量 二、无穷大量 三、无穷小量的阶 四、无穷小量等价代换
一、无穷小量
定义 若
，则称 f(x) 为当x→X 时的无穷小量.
若 f(x) 在 X 某邻域内有界，则称 f(x) 为x→X 时的有界量.
例: x2, sinx, 0 是 x→0 时的无穷小量；
2020高中数学竞赛-微积分(联赛版)极限与连续-附：习题课(含答案)(共43张PPT)
x)
f ( x0 )]
0
那末就称函数 f ( x)在点x 0 连续,x 0 称为 f ( x)的连
续点.
定义2
lim
x x0
f (x)
f ( x0 ).
2. 单侧连续
若函数f ( x)在(a, x0 ]内有定义,且f ( x0 0) f ( x0 ),
则
称f
(
x
)在
点x
处左
0
连续;
若函数f ( x)在[ x0 , b)内有定义,且f ( x0 0) f ( x0 ), 则称f ( x)在点x0处右连续.
3. 连续的充要条件
定理 函数f ( x)在 x0 处连续 是函数f ( x)在 x0 处 既左连续又右连续.
4. 间断点的定义
函数f ( x)在点x0处连续必须满足的三个条件: (1) f ( x)在点x0处有定义;
(2) lim f ( x)存在; x x0
(3) lim x x0
f (x)
x
0
x0
x
第二类间断点 如果f ( x)在点x0处的左, 右极限
至少
有
一个
不存
在,
则
称
点x
为
0
函数f
(
x
)的
第二
类间断点.
y
第
二
类
间
断
0
x0
x
点
无穷型
y
0
x
振荡型
6. 闭区间的连续性
如果函数在开区间(a, b)内连续,并且在左端点 x a处右连续, 在右端点x b处左连续,则称 函数f ( x)在闭区间[a, b]上连续.
《微积分》复习大纲1
《微积分》复习大纲第二章、极限与连续第一节、数列的极限教学目的和要求：1、通过割圆术和截杖问题的计算实例引入数列极限的概念，从中领会极限的基本思想。
2、使学生了解的极限定义和性质，并通过例题学会如何处理和解决相应的数学问题。
重点：数列极限的概念教学过程：一、问题的提出1、刘徽的割圆术2、截杖问题二、数列极限的定义注：1、数列是否有极限，与其前面的有限项无关•而与从某项以后的变化情况有关，因此改变一个数列的有限项的值或去掉或添加有限项，均不改变{ X n} 的收敛与发散性；2、在证明数列有极限时，不一定要找到最小的正整数N,只要证明其存在即可.显然，如果证明了存在符合要求的正整数N,那么这种就有无穷多个.3、数列极限的定义未给出求极限的方法.第二节、函数的极限教学目的和要求：1、理解函数极限的概念，了解；-X ,；定义。
2、使学生了解的函数极限性质重点：函数极限的概念教学过程：一、函数极限的定义1、自变量趋于无穷大时函数的极限注：讨论当自变量X的绝对值|X无限增大（X r ,X r 一，X））时，函数f （X）无限趋近于一个常数A的情形.2、自变量趋于有限值时函数的极限注：研究自变量x无限趋近于一个常数x o,(x— x0,x_. x0,x_. \7),函数f (x) 无限趋近于一个常数A的情形.三、例题分析例1证明lim叱=0.x注：1本题考察用定义验证函数极限的一般过程2、若|im f x =c，则直线y = c是函数y= f x的图形的水平渐近线。
例2:证明lim c =c ( c为常数).X—注：常数在任一点的极限是常数。
例3:证明lim x = x0.X—sxo例4:证明lim匸1 =2.一x—1注：函数在某一点是否有极限，与该点是否有定义无关。
\+1, x c0例5:设f (x)=彳0, x =0证验当X T0时，f (x )的极限不存在.x2 -1, x 0注：函数f X当x > X。
微积分中的函数极限与连续性
微积分中的函数极限与连续性在微积分这一数学领域中，函数极限与连续性是两个至关重要的概念。
它们不仅是微积分理论的基石，也是解决各种实际问题的有力工具。
让我们先从函数极限开始说起。
简单来讲，函数极限描述的是当自变量趋近于某个值时，函数值的变化趋势。
想象一下，我们有一个函数 f(x)，当 x 越来越接近某个特定的数 a 时，f(x) 会趋近于一个确定的值 L，那么我们就说函数 f(x) 在 x 趋近于 a 时的极限是 L。
举个例子，比如函数 f(x) ＝（x 1) ／（x 1)，当 x 趋近于 1 时，分母和分子都趋近于 0。
但是，如果我们直接约分，就会得到 f(x) ＝ 1。
所以，当 x 趋近于 1 时，这个函数的极限就是 1。
这是一个比较简单直观的例子，但在实际情况中，函数可能会复杂得多。
函数极限的存在与否以及具体的值，对于理解函数的性质有着重要的意义。
如果函数在某个点的极限存在，那么它在这个点附近的行为就会相对比较“规律”。
再来说说函数的连续性。
一个函数在某一点是连续的，意味着当自变量在这一点有微小的变化时，函数值也会有相应微小的变化，而不会出现突然的跳跃或者中断。
用更通俗的话来说，如果我们能够一笔不间断地画出函数在某一点及其附近的图像，那么这个函数在这一点就是连续的。
比如说，常见的一次函数 y ＝ 2x ＋ 1 在其定义域内的每一点都是连续的。
因为无论 x 怎么变化，y 都能随之平滑地变化，不会出现突然的断开或者跳跃。
那函数的极限和连续性之间有着怎样紧密的联系呢？实际上，如果一个函数在某一点是连续的，那么它在这一点的极限就等于这一点的函数值。
反之，如果函数在某一点的极限存在，并且等于这一点的函数值，那么这个函数在这一点就是连续的。
这种联系为我们研究函数的性质提供了极大的便利。
通过判断函数的极限是否存在以及是否等于函数值，我们可以迅速确定函数在某一点是否连续，进而了解函数在这一点附近的行为特征。
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lim x x0 .
x x0
在定义2.2.2中, 极限过程 x →x0包括了x 同时从 x0的左、右 两侧无限的趋于x0 . 但是, 有时我们只能或只需考虑 x 仅从 x0 的左侧或右侧趋于 x0 （记为 x →x0- 或 x →x0 +）时, f(x)的变 化趋势. 例如函数
只能从2的右侧趋于2, 从而就必须引进函数左、右极限的概念.
要使不等式
成立, 只需
则当n > N时, 恒有
根据数列极限的定义：
2018/10/7 13
练习：P90， （ 2 3） .
微积分I 第二章 极限与连续
1 证明： lim 0. n n
证明：对 0,
1 1 | 0 | , 成立. n n 1 1 只需 n 2 . 因此，取 N [ 2 ], 当n N时，有 1 | 0 | 成立 n 1 lim 0. n n
研究运动、变化过程的新工具，这是促进极限发展、建立微积
分的社会背景。
2018/10/7 2 微积分I 第二章 极限与连续
起初牛顿和莱布尼茨以无穷小概念为基础建立微积分，后来
因遇到了逻辑困难，所以在他们的晚期都不同程度地接受了 极限思想。当时缺乏严格的极限定义，微积分理论才受到人 们的怀疑与攻击。到了18世纪，罗宾斯、达朗贝尔与罗依里 埃等人先后明确地表示必须将极限作为微积分的基础概念，
定义2.5 设函数ƒ(x)在点x0右侧某个去心邻域内有定义,
如果存在常数A, 对于任意给定的ε > 0, 总存在δ > 0, 使得
当x 满足不等式
恒成立, 那么常数A就叫做函数ƒ(x)当 记做
时的右极限,
类似地, 在
的定义中, 把
改为
就可以得到在 x0处的左极限. 记为
左极限和右极限统称为单侧极限. 由极限定义易知以下的 充要条件成立. 定理2.1 函数 y = ƒ(x) 当 x→ x0 时极限存在且为 A 的充 要条件是函数y = ƒ(x) 的左极限和右极限都存在且等于A. 即
n→ ∞ 等.
一.无穷小
定义2.3.1 如果在自变量 则称函数 f(x)为 的某个变化过程中 , 在该变化过程中的无穷小量, 简称无穷小.
简单地说, 以零为极限的变量称为无穷小量. 例如
例1 证明 证明
如果 义中的 同样,
且无限增大 (记作 改为 而 改为 就可得
) 那么只要 把上面定 的定义. ) 那么只要把 的定义.
无限增大 (记作 便得
由定义2.2.1可以证明： 的充要条件是
2.
定义2.4
果存在常数A,
时, 函数 ƒ(x) 的极限
设函数 ƒ(x) 在x0 的某个去心邻域内有定义, 如
当 x > 0 时, 有
因此
不存在.
二. 函数极限的性质
由于函数极限的定义按自变量的变化过程不同有各种不 同的形式，下面仅以 这种形式给出关
于函数极限性质的一些定理. 至于其他极限形式的性质, 只 要相应地作一些修改便可得出. 定理2.2.2(唯一性) 若 存在, 则极限值 A 唯一.
注 若极限不唯一, 变化趋势不定. 例如
数列{yn}是发散的.
2018/10/7 10 微积分I 第二章 极限与连续
例1: 用极限定义证明：
证明 对任意给定的
, 要使不等式
成立, 只需
即可. 若取
则对于任意给定的
0, 当n>N时, 恒有
故
2018/10/7 11 微积分I 第二章 极限与连续
注 (1) 在数列极限定义中,ε 可以任意给定是很重要 的,
定理2.2.3 (局部有界性) 若 常数M>0和δ>0，使得当 时,
存在, 那么存在
证 当
取ε =1, 因为 时,
则存在
于是, 当
时
取
当
有
定理2.2.4 (局部保号性) 若
则存在 δ>0, 使得当 证 设 A > 0取正数
且 A > 0 (或 A < 0).
时, ƒ(x) > 0 (或ƒ(x) < 0).
恒成立, 则称常数A为当 x →x0 时函数ƒ(x)的极限. 记为
注
表示
x →x0 时 ƒ(x) 有没有极限, 与
ƒ(x) 在点 x0 是否有定义并无关系 , 我们关心的是 x →x0 时, ƒ(x) 的变化趋势而不是 ƒ(x) 在点 x0 处是否有意义.
例3 证明 由于当 x=1 时, 要使 , 即 无定义, 则当 x≠1 时,
2018/10/7
1
微积分I 第二章 极限与连续
到了16世纪，荷兰数学家斯泰文在考察三角形重心的过程中改
进了古希腊人的穷竭法，他借助几何直观，大胆地运用极限思
想思考问题，放弃了归缪法的证明。如此，他就在无意中“指 出了把极限方法发展成为一个实用概念的方向”。 极限思想的进一步发展是与微积分的建立紧密相联系的。 16世纪的欧洲处于资本主义萌芽时期，生产力得到极大的发展， 生产和技术中大量的问题，只用初等数学的方法已无法解决， 要求数学突破只研究常量的传统范围，而提供能够用以描述和
只须
故可取
恒有
成立. 即
例：利用定义证明 lim x x0 .
x x0
证明: 设f ( x) x, 对于任意给定的 0, 要使
| f ( x) x0 || x x0 | 成立
只需取 就可以了 . 当0 | x x0 | 时，
| f ( x) x0 | 成立
考察数列
, 不难看出, 当n → ∞ 时, yn 无限地趋近于常
数0, 此时, 我们就说数列 { yn }以 0为极限. 与常数 0的接近程度可用
2018/10/7
7
微积分I 第二章 极限与连续
由此可见, 对于数列
无论给定多么小的正数, 在 n无限增大的变化过程中, 总有那 么一个时刻N , 在这个时刻以后（即n>N 或 n 充分大以后）,
2018/10/7 6 微积分I 第二章 极限与连续
二. 数列极限
对于数列 { yn }, 我们需要研究的问题是:当n无限增大时(记 为n → ∞), 数列的一般项 yn 的变化趋势. 特别地, 当n无限增 大时, 如果 yn 能与某个确定的常数a无限接近, 则称常数a为数 列 { yn } 当 n → ∞时的极限.
显然， lim f ( x) lim f ( x).
x 0 x 0
根据定理 2.1， lim f ( x)不存在 .
x 0
例 4 讨论当 解 当 x < 0 时, 有
时, 函数
的极限.
当 x > 0 时, 有
由于
，所以
不存在.
例5
设函数
, 讨论
是否存在?
解
当 x < 0 时, 有
由 limƒ(x)= A 的定义,
必存在那么一个时刻, 在此时刻以后, 就恒有
即
§2.3 无穷小与无穷大
一.无穷小
二.无穷大
三.无穷小的性质
本节将讨论在理论和应用上都比较重要的两种变量： 无穷小量和无穷大量. 为叙述简便我们用 来表示在
自变量各种变化过程中函数的极限.自变量的变化过程, 包
括x→x0 ， x→x0 +， x→x0 - ， x→ ∞ ， x→+ ∞ , x→ -∞ ，
2018/10/7 4 微积分I 第二章 极限与连续
第二章、极限与连续
第一节：数列的极限
一. 数列概念 二. 数列极限
三．数列极限的性质
一.数列概念
定义2.1 是定义在正整数集合上的函数, 当自变 相应排列成的一串 量n 按正整数的顺序取值时, 称函数值 数
为数列, 简记为 {f(n)}, 数列中的每个数叫做数列的项, 第n项 f(n)叫做数列的一般项(或通项). 1 1 1 1 1 ,... yn n , , , , 例1： 2 2 4 8 16 1 1 1 1 例2：yn , 1, 2 , 3 , 4 ,... n 1 (1) n yn , 0 , 1, 0 ,1,... 例3： 2
都小于那个正数.
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8
微积分I 第二章 极限与连续
小于某个正数 ε 来表示. 若令
要使
则当 n>10 时, xn都能满足与0的距离小于 以后的任一项 y11, y12 , …都能满足 若再取一个更小的正数
即对于第10项
要使 xn 0
1 2, n
则当 n>100时, 即自第100项后的任一项 y101, y102, … 都满足
1, x 0, 例：设f ( x) 研究当x 0时, f ( x)的极限是否存在？ 0
1 . lim f ( x ) lim 1
x 0 x 0
lim f ( x) lim x 0.
x 0 x 0
1. 当 x →∞ 时, 函数ƒ(x)的极限
仿照数列极限的定义, 下面我们给出 x →∞ 时, ƒ(x)的极限 的定义. 定义2.3 设函数 ƒ(x)当 大于某一正数时有定义， 如果存在
常数 A, 对于任意给定的
式 时, 不等式
, 总存在
使得当x 满足不等
恒成立, 则称常数 A为当 x →∞ 时函数ƒ(x) 的极限, 或称当 x →∞ 时ƒ(x) 收敛于A,记作 或 （当 x →∞ ）
定理2.1.3 (保号性) 如果
则存在正整数N, 当 时, 恒有
,且
§2.2 函数的极限
一. 函数极限的概念
二. 函数极限的性质
一. 函数极限的概念
在§2.1中, 我们讨论了特殊函数─数列{f(n)}的极限, 现在我