最短路径专题含答案解析

最短路径专题含答案1. 某同学的茶杯是圆柱体，如图是茶杯的立体图，左边下方有一只蚂蚁，从A处爬行到对面的中点A处，如果蚂蚁爬行路线最短，请画出这条最短路线图．解：如图1，将圆柱的侧面展开成一个长方形，如图示，则A，A分别位于如图所示的位置，连接AA，即是这条最短路线图．问题：某正方形盒子，如图左边下方A处有一只蚂蚁，从A处爬行到侧棱AA上的中点A点处，如果蚂蚁爬行路线最短，请画出这条最短路线图．2. 如图，一圆柱体的底面周长为24cm，高AA为16cm，AA是上底面的直径．一只昆虫从点A 出发，沿着圆柱的侧面爬行到点A，求昆虫爬行的最短路程．3. 如图一只蚂蚁要从正方体的一个顶点A爬一个顶点A，如果正方体棱是2，求最短的路线长．4. 如图，长方体的底面边长分别为2cm和4cm，高为5cm，若一只蚂蚁从A点开始经过4个侧面爬行一圈到达A点，求蚂蚁爬行的最短路径长．5. 如图，有一半径为2cm，高为10cm的圆柱体，在棱AA1的A点上有一只蜘蛛，AA=3cm，在棱AA1的A点上有一只苍蝇，AA2=2cm．蜘蛛沿圆柱爬到A点吃苍蝇，请你算出蜘蛛爬行的最短路线长．（π取3.14；结果精确到0.01cm）6. 一只蜘蛛在一个正方体的顶点A处，一只蚊子在正方体的顶点A处，如图所示，假设蚊子不动，现在蜘蛛想尽快地捉到这只蚊子，那么它所走的最短路线是怎样的，在图上画出来，这样的最短路线有几条?7. 如图，圆柱的高为8cm，底面直径4cm，在圆柱下底面的A点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A点相对的A点处的食物，它需要爬行的最短路程是多少厘米?(π≈3)8. 如图1，是一个长方体盒子，长AA=4，宽AA=2，高AA=1．（1）一只蚂蚁从盒子下底面的点A沿盒子表面爬到点A，求它所行走的最短路线的长．（2）这个长方体盒子内能容下的最长木棒的长度为多少?9. 如图，△AAA中，AA=AA，AA⊥AA于点A，AA⊥AA于点A，∠AAA=45∘，AA与AA交于点A，连接AA．（1）求证：AA=2AA；（2）若AA=√2，求AA的长．10. 如图，平行四边形AAAA中，AA=2，AA=1，∠AAA=60∘，将平行四边形AAAA沿过点A的直线A折叠，使点A落到AA边上的点Aʹ处，折痕交AA边于点A．（1）求证：四边形AAAAʹ是菱形；（2）若点A时直线A上的一个动点，请计算AAʹ+AA的最小值．11. 已知，⊙A为△AAA的外接圆，AA为直径，点A在AA上，过点A作AA⊥AA，点A在AA的延长线上，且AA=AA．（1）求证：AA与⊙A相切；（2）若AA=6，AA=8，AA=3，求线段AA的长．12. 已知抛物线A1的函数解析式为A=AA2−2A−3A，若抛物线A1经过点(0,−3)．（参考公式：在平面直角坐标系中，若A(A1,A1)，A(A2,A2)，则A，A两点间的距离为√(A2−A1)2+(A2−A1)2）（1）求抛物线A1的顶点坐标．（2）已知实数A>0，请证明A+1A ≥2，并说明A为何值时才会有A+1A=2．（3）若将抛物线先向上平移4个单位，再向左平移1个单位后得到抛物线A2，设A(A,A1)，A(A,A2)是A2上的两个不同点，且满足：∠AAA=90∘，A>0，A<0．请你用含A的表达式表示出△AAA的面积A，并求出A的最小值及A取最小值时一次函数AA的函数解析式．13. 如图，已知：四边形AAAA中，A为AA的中点，连接AA，AA，AA=AA=AA，AA∥AA．（1）求证：四边形AAAA是菱形；（2）若AA=6，AA=5，求四边形AAAA的面积．14. 如图，一个正方体木柜放在墙角处（与墙面和地面均没有缝隙），有一只蚂蚁从柜角A处沿着木柜表面爬到柜角A1处．（1）请你在正方体木柜的表面展开图中画出蚂蚁能够最快达到目的地的可能路径；（2）当正方体木柜的棱长为4时，求蚂蚁爬过的最短路径的长．15. 如图，四边形AAAA为矩形，A为AA边中点，连接AA，以AA为直径的⊙A交AA于点A，连接AA．（1）求证：AA与⊙A相切；（2）若AA=2，A为AA的中点，求AA的长．16. 已知圆锥的底面半径为A=20cm，高ℎ=20√15cm，现在有一只蚂蚁从底边上一点A出发．在侧面上爬行一周又回到A点，求蚂蚁爬行的最短距离．17. 已知，点A是Rt△AAA斜边AA上一动点（不与A，A重合），分别过A，A向直线AA作垂线，垂足分别为A，A，A为斜边AA的中点．（1）如图1，当点A与点A重合时，AA与AA的位置关系是，AA与AA的数量关系是；（2）如图2，当点A在线段AA上不与点A重合时，试判断AA与AA的数量关系，并给予证明；（3）如图3，当点A在线段AA（或AA）的延长线上时，此时（2）中的结论是否成立?请画出图形并给予证明．18. 已知四边形AAAA是平行四边形，以AA为直径的⊙A经过点A，∠AAA=45∘．（1）如图①，判断AA与⊙A的位置关系，并说明理由；（2）如图②，A是⊙A上一点，且点A在AA的下方，若⊙A的半径为3cm，AA=5cm，求点A到AA的距离．19. 图①，图②为同一长方体房间的示意图，图③为该长方体的表面展开图．（1）已知蜘蛛在顶点Aʹ处；①苍蝇在顶点A处时，试在图①中画出蜘蛛为捉住苍蝇，沿墙面爬行的最近路线；②苍蝇在顶点A处时，图②中画出了蜘蛛捉住苍蝇的两条路线，往天花板AAAA爬行的最近路线AʹAA和往墙面AAʹAʹA爬行的最近路线AʹAA，试通过计算判断哪条路线更近；（2）在图③中，半径为10dm的⊙A与AʹAʹ相切，圆心A到边AAʹ的距离为15dm，蜘蛛A在线段AA上，苍蝇A在⊙A的圆周上，线段AA为蜘蛛爬行路线．若AA与⊙A 相切，试求AA的长度的范围．20. 如图所示，长方体的长为15cm，宽为10cm，高为20cm，点A与点A之间相距5cm，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点A，需要爬行的最短距离是多少?21. 如图，平行四边形AAAA中，AA=3，AA=5，∠A=60∘，A是AA的中点，A是边AA上的动点，AA的延长线与AA的延长线交于点A．（1）求证：四边形AAAA是平行四边形；（2）①当AA=时，四边形AAAA是矩形；②当AA=时，四边形AAAA是菱形．22. 葛藤是一种植物，它自己腰杆不硬，为了争夺雨露阳光，常常绕着树干盘旋而上，它还有一个绝招，就是它绕树盘升的路线，总是沿最短路线螺旋前进的．（1）如果树的周长为3m，绕一圈升高4m，则它爬行路程是多少?（2）如果树的周长为8m，绕一圈爬行10m，则爬行一圈升高多少m?如果爬行10圈到达树顶，则树干多高?23. 实践操作在矩形AAAA中，AA=8，AA=6，现将纸片折叠，点A的对应点记为点A，折痕为AA （点A，A是折痕与矩形的边的交点），再将纸片还原．（1）初步思考若点A落在矩形AAAA的边AA上（如图①）．①当点A与点A重合时，∠AAA=∘，当点A与点A重合时，∠AAA=∘；②当点A在AA上，点A在AA上时（如图②），求证：四边形AAAA为菱形，并直接写出当AA=7时菱形AAAA的边长．（2）深入探究若点A落在矩形AAAA的内部（如图③），且点A，A分别在AA，AA边上，请直接写出AA的最小值．（3）拓展延伸若点A与点A重合，点A在AA上，射线AA与射线AA交于点A（如图④）．在各种不同的折叠位置中，是否存在某一种情况，使得线段AA与线段AA的长度相等?若存在，请直接写出线段AA的长度；若不存在，请说明理由．24. 如图，已知抛物线A=−A2+AA+3与A轴相交于点A和点A（点A在点A的左侧），与A轴交于点A，且AA=AA，点A是抛物线的顶点，直线AA和AA交于点A．（1）求点A的坐标；（2）连接AA，AA，求∠AAA的余切值；（3）设点A在线段AA的延长线上，如果△AAA和△AAA相似，求点A的坐标．25. 如图，已知抛物线经过原点A，顶点为A(1,1)，且与直线A=A−2交于A，A两点．（1）求抛物线的解析式及点A的坐标；（2）求证：△AAA是直角三角形；（3）若点A为A轴上的一个动点，过点A作AA⊥A轴与抛物线交于点A，则是否存在以A，A，A为顶点的三角形与△AAA相似?若存在，请求出点A的坐标；若不存在，请说明理由．26. 阅读下面材料：小明遇到这样一个问题：如图1，点A，A分别在正方形AAAA的边AA，AA上，∠AAA= 45∘，连接AA，则AA=AA+AA，试说明理由．小明是这样思考的：要想解决这个问题，首先应想办法将这些分散的线段相对集中．他先后尝试了翻折、旋转、平移的方法，最后发现线段AA，AA是共点并且相等的，于是找到解决问题的方法．他的方法是将△AAA绕着点A逆时针旋转90∘得到△AAA，再利用全等的知识解决了这个问题（如图2）．参考小明同学思考问题的方法，解决下列问题：（1）如图3，四边形AAAA中，AA=AA，∠AAA=90∘，点A，A分别在边AA，AA上，∠AAA=45∘．若∠A，∠A都不是直角，则当∠A与∠A满足关系时，仍有AA=AA+AA；（2）如图4，在△AAA中，∠AAA=90∘，AA=AA，点A，A均在边AA上，且∠AAA= 45∘，若AA=1，AA=2，求AA的长．．在矩形AAAA中，AA=4，AA=3，27. 如图，在△AAA中，AA=11，AA=3√5，cos A=√55点A与点A重合，AA与AA重合，矩形AAAA沿着AA方向平移，且平移速度为每秒5个单位，当点A与点A重合时停止运动．（1）AA的长度是；（2）运动秒，AA与AA重合；（3）设矩形AAAA与△AAA重叠部分的面积为A，运动时间为A，求出A与A之间的函数关系式，并直接写出A的取值范围．28. 如图1，对称轴为直线A=1的抛物线经过A(2,0)、A(0,4)两点，抛物线与A轴的另一交点2为A .（1）求抛物线的解析式；（2）若点A为第一象限内抛物线上的一点，设四边形AAAA的面积为A，求A的最大值；（3）如图2，若A是线段AA上一动点，在A轴是否存在这样的点A，使△AAA为等腰三角形且△AAA为直角三角形?若存在，求出点A的坐标；若不存在，请说明理由．29. 如图，矩形AAAA中，AA=2，AA=2√3，将矩形沿对角线AA剪开，请解决以下问题：（1）将△AAA绕点A顺时针旋转90∘得到△AʹAAʹ，请在备用图中画出旋转后的△AʹAAʹ，连接AAʹ，并求线段AAʹ的长度；（2）在（1）的情况下，将△AʹAAʹ沿AA向左平移的长度为A(0<A<2√3)，设平移后的图形与△AAA重叠部分的面积为A，求A与A的函数关系式，并直接写出A的取值范围．30. 如图甲，在△AAA中，∠AAA=90∘，AA=4cm，AA=3cm．如果点A由点A出发沿AA方向向点A匀速运动，同时点A由点A出发沿AA方向向点A匀速运动，它们的速度均为1cm/s．连接AA，设运动时间为A(s)(0<A<4)，解答下列问题：（1）设△AAA的面积为A，当A为何值时，A取得最大值?A的最大值是多少?（2）如图乙，连接AA，将△AAA沿AA翻折，得到四边形AAAʹA，当四边形AAAʹA为菱形时，求A的值；（3）当A为何值时，△AAA是等腰三角形?31. 如图，抛物线与A轴交于A(A1,0)，A(A2,0)两点，且A1>A2，与A轴交于点A(0,4)，其中A1，A2是方程A2−2A−8=0的两个根．（1）求这条抛物线的解析式；（2）点A是线段AA上的动点，过点A作AA∥AA，交AA于点A，连接AA，当△AAA的面积最大时，求点A的坐标；（3）探究：若点A是抛物线对称轴上的点，是否存在这样的点A，使△AAA成为等腰三角形?若存在，请直接写出所有符合条件的点A的坐标；若不存在，请说明理由．与A轴相交于点A，点A与点A关于32. 如图，在平面直角坐标系AAA中，抛物线A=A2+14点A对称．（1）填空：点A的坐标是；（2）过点A的直线A=AA+A（其中A<0与A轴相交于点A，过点A作直线A平行于A 轴，A是直线A上一点，且AA=AA，求线段AA的长（用含A的式子表示），并判断点A是否在抛物线上，说明理由；（3）在（2）的条件下，若点A关于直线AA的对称点Aʹ恰好落在该抛物线的对称轴上，求此时点A的坐标．33. 已知：如图①，在Rt△AAA中，∠A=90∘，AA=4cm，AA=3cm，点A由A出发沿AA方向向点A匀速运动，速度为1cm/s；点A由A出发沿AA方向向点A匀速运动，速度为2cm/s；连接AA．若设运动的时间为A(s)（0<A<2），解答下列问题：（1）当A为何值时，AA∥AA ?（2）设△AAA的面积为A(cm2)，求A与A之间的函数关系式；（3）是否存在某一时刻，使线段AA恰好把Rt△AAA的周长和面积同时平分?若存在，求出此时的值；若不存在，说明理由；（4）如图②，连接AA，并把△AAA沿AA翻折，得到四边形AAAʹA，那么是否存在某一时刻，使四边形AAAʹA为菱形?若存在，求出此时菱形的边长；若不存在，说明理由．34. 如图，四边形AAAA，AAAA均为正方形，（1）如图1，连接AA，AA，试判断AA和AA的数量关系和位置关系并证明；（2）将正方形AAAA绕点A顺时针旋转A角(0∘<A<180∘)，如图2，连接AA，AA相交于点A，连接AA，当角A发生变化时，∠AAA的度数是否发生变化?若不变化，求出∠AAA的度数；若发生变化，请说明理由．（3）在（2）的条件下，过点A作AA⊥AA交AA的延长线于点A，请直接写出线段AA与AA的数量关系：．35. 如图，在平面直角坐标系中，矩形AAAA的顶点A，A分别在A轴和A轴的正半轴上，顶点A的坐标为(2A,A)，翻折矩形AAAA，使点A与点A重合，得到折痕AA．设点A的对应点为A，折痕AA所在直线与A轴相交于点A，经过点A，A，A的抛物线为A=AA2+AA+A．（1）求点A的坐标（用含A的式子表示）；（2）若点A的坐标为(0,−3)，求该抛物线的解析式．（3）在（2）的条件下，设线段AA的中点为A，在线段AA上方的抛物线上是否存在点A，AA ?若存在，直接写出A的坐标，若不存在，说明理由．使AA=1236. 如图，在△AAA中，点A，A，A分别在AA，AA，AA上，且∠AAA+∠AAA=180∘，∠AAA=∠AAA．（1）如图1，当AA=AA时，图1 中是否存在与AA相等的线段?若存在，请找出并加以证明．若不存在说明理由．（2）如图2，当AA=AAA（其中0<A<1）时，若∠A=90∘，AA=A，求AA的长（用含A，A的式子表示）．37. 如图，顶点为A(−1,1)的抛物线经过点A(−5,−3)，且与A轴交于A，A两点（点A在点A的右侧）．（1）求抛物线的解析式；，求出点A的坐标；（2）若抛物线上存在点A，使得A△AAA=32（3）点A在抛物线上，点A在A轴上，且∠AAA=∠AAA，是否存在点A，使得△AAA与△AAA相似?若存在，直接写出点A的坐标；若不存在，说明理由．38. 阅读下面材料：小明遇到这样一个问题：如图1，△AAA中，AA=AA，点A在AA边上，∠AAA=∠AAA，AA⊥AA，垂足为A，求证：AA=2AA．小明经探究发现，过点A作AA⊥AA，垂足为A，得到∠AAA=∠AAA，从而可证△AAA≌△AAA（如图 2），使问题得到解决．（1）根据阅读材料回答：△AAA与△AAA全等的条件是（填"SSS"、 "SAS" 、"ASA" 、 "AAS“或”HL"中的一个）参考小明思考问题的方法，解答下列问题：（2）如图3，△AAA中，AA=AA，∠AAA=90∘，A为AA的中点，A为AA的中点，点A 在AA的延长线上，且∠AAA=∠AAA，若AA=2，求AA的长；（3）如图4，△AAA中，AA=AA，∠AAA=120∘，点A，A分别在AA，AA边上，且AA=AAA（其中0<A<√33），∠AAA=∠AAA，求AAAA的值（用含A的式子表示）．39. 如图，已知二次函数A=−A2+AA+A（A，A为常数）的图象经过点A(3,1)，点A(0,4)，顶点为点A，过点A作AA∥A轴，交A轴于点A，交该二次函数图象于点A，连接AA．（1）求该二次函数的解析式及点A的坐标；（2）若将该二次函数图象向下平移A(A>0)个单位，使平移后得到的二次函数图象的顶点落在△AAA的内部（不包括△AAA的边界），求A的取值范围；（3）点A是直线AA上的动点，若点A，点A，点A所构成的三角形与△AAA相似，请直接写出所有点A的坐标（直接写出结果，不必写解答过程）．40. 在平面直角坐标系中，A为原点，四边形AAAA是矩形，点A，A的坐标分别为(3,0)，A+A交边(0,1)．点A是边AA上的动点（与端点A，A不重合），过点A作直线A=−12 AA于点A．（1）如图（1），求点A和点A的坐标（用含A的式子表示）；（2）如图（2），若矩形AAAA关于直线AA的对称图形为矩形A1A1A1A1，试探究矩形A1A1A1A1与矩形AAAA的重叠部分的面积是否发生变化?若不变，求出重叠部分的面积；若改变，请说明理由；（3）矩形AAAA绕着它的对称中心旋转，如果重叠部分的形状是菱形，请直接写出这个菱形的面积的最小值和最大值．41. 如图1，在菱形AAAA中，对角线AA与AA相交于点A，AA=13，AA=24，在菱形AAAA的外部以AA为边作等边三角形AAA．点A是对角线AA上一动点（点A不与点A重合），将线段AA绕点A顺时针方向旋转60∘得到线段AA，连接AA．（1）求AA的长；（2）如图2，当点A在线段AA上，且点A，A，A三点在同一条直线上时，求证：AA=√3AA；（3）连接AA，若△AAA的面积为40，请直接写出△AAA的周长．（温馨提示：考生可以根据题意，在备用图中补充图形，以便作答．）42. 如图，矩形纸片AAAA中，AA=6，AA=8．折叠纸片使点A落在AA上，落点为Aʹ．点Aʹ从点A开始沿AA移动，折痕所在直线A的位置也随之改变，当直线A经过点A时，点Aʹ停止移动，连接AAʹ．设直线A与AA相交于点A，与AA所在直线相交于点A，点Aʹ的移动距离为A，点A与点A的距离为A．（1）求证：∠AAA=∠AAʹA；（2）求A与A的函数关系式，并直接写出A的取值范围．43. 如图1，△AAA中，∠A=90∘，线段AA在射线AA上，且AA=AA，线段AA沿射线AA运动，开始时，点A与点A重合，点A到达点A时运动停止，过点A作AA=AA，与射线AA相交于点A，过点A作AA的垂线，与射线AA相交于点A．设AA=A，四边形AAAA 与△AAA重叠部分的面积为A，A关于A的函数图象如图2 所示（其中0<A≤A，1<A≤A，A<A≤3时，函数的解析式不同）（1）填空：AA的长是；（2）求A关于A的函数关系式，并写出A的取值范围．A2+AA−2与A轴交于A，A两点，与A轴交于A点，且A(−1,0)．44. 如图，抛物线A=12（1）求抛物线的解析式及顶点A的坐标；（2）判断△AAA的形状，证明你的结论；（3）点A(A,0)是A轴上的一个动点，当AA+AA的值最小时，求A的值．45. 定义：我们把三角形被一边中线分成的两个三角形叫做"友好三角形"．性质：如果两个三角形是"友好三角形"，那么这两个三角形的面积相等．理解：如图1，在△AAA中，AA是AA边上的中线，那么△AAA和△AAA是“友好三角形”，并且A△AAA=A△AAA．（1）应用：如图2，在矩形AAAA中，AA=4，AA=6，点A在AA上，点A在AA上，AA=AA，AA与AA交于点A．（i）求证：△AAA和△AAA是“友好三角形”；（ii）连接AA，若△AAA和△AAA是“友好三角形”，求四边形AAAA的面积．（2）探究：在△AAA中，∠A=30∘，AA=4，点A在线段AA上，连接AA，△AAA和△AAA是“友好三角形”，将△AAA沿AA所在直线翻折，得到△AʹAA，若△AʹAA与△AAA重合部分的面积等于△AAA面积的1，请直接写出△AAA的面积．446. 如图，在平面直角坐标系中，四边形AAAA的顶点A是坐标原点，点A在第一象限，点A在第四象限，点A的坐标为(60,0)，AA=AA，∠AAA=90∘，AA=50．点A是线段AA上的一个动点（点A不与点A、A重合），过点A与A轴平行的直线A交边AA或边AA于点A，交边AA或边AA于点A，设点A横坐标为A，线段AA的长度为A．已知A=40时，直线A恰好经过点A．（1）求点A和点A的坐标；（2）当0<A<30时，求A关于A的函数关系式；（3）当A=35时，请直接写出A的值；（4）直线A上有一点A，当∠AAA+∠AAA=90∘，且△AAA的周长为60时，请直接写出满足条件的点A的坐标．47. 如图，已知抛物线A=AA2+AA+A与A轴的一个交点为A(3,0)，与A轴的交点为A(0,3)，其顶点为A，对称轴为A=1．（1）求抛物线的解析式；（2）已知点A为A轴上的一个动点，当△AAA为等腰三角形时，求点A的坐标；（3）将△AAA沿A轴向右平移A个单位长度(0<A<3)得到另一个三角形，将所得的三角形与△AAA重叠部分的面积记为A，用A的代数式表示A．48. 在四边形AAAA中，对角线AA，AA相交于点A，将△AAA绕点A按逆时针方向旋转得到△A1AA1，旋转角为A(0∘<A<90∘)，连接AA1，AA1，AA1与AA1交于点A．（1）如图1，若四边形AAAA是正方形．①求证：△AAA1≌△AAA1．②请直接写出AA1与AA1的位置关系．（2）如图2，若四边形AAAA是菱形，AA=5，AA=7，设AA1=AAA1．判断AA1与AA1的位置关系，说明理由，并求出A的值．（3）如图3，若四边形AAAA是平行四边形，AA=5，AA=10，连接AA1，设AA1= AAA1．请直接写出A的值和AA12+(AAA1)2的值．49. 如图，四边形AAAA为一个矩形纸片．AA=3，AA=2，动点A自A点出发沿AA方向运动至A点后停止．△AAA以直线AA为轴翻折，点A落到点A1的位置．设AA=A，△AA1A 与原纸片重叠部分的面积为A．（1）当A为何值时，直线AA1过点A?（2）当A为何值时，直线AA1过AA的中点A?（3）求出A与A的函数表达式．50. 如图，以点A(−1,0)为圆心的圆，交A轴于A，A两点（A在A的左侧），交A轴于A，A两点（A在A的下方），AA=2√3，将△AAA绕点A旋转180∘，得到△AAA．（1）求A，A两点的坐标；（2）请在图中画出线段AA，AA，并判断四边形AAAA的形状（不必证明），求出点A的坐标；（3）动直线A从与AA重合的位置开始绕点A顺时针旋转，到与AA重合时停止，设直线A 与AA交点为A，点A为AA的中点，过点A作AA⊥AA于A，连接AA，AA．请问在旋转过程中∠AAA的大小是否变化?若不变，求出∠AAA的度数；若变化，请说明理由．51. 定义：当点A在射线AA上时，把AAAA的值叫做点A在射线AA上的射影值；当点A不在射线AA上时，把射线AA上与点A最近点的射影值，叫做点A在射线AA上的射影值．例如：如图1，△AAA三个顶点均在格点上，AA是AA边上的高，则点A和点A在射线AA上的射影值均为AAAA =13．（1）在△AAA中，①点A在射线AA上的射影值小于1时，则△AAA是锐角三角形；②点A在射线AA上的射影值等于1时，则△AAA是直角三角形；③点A在射线AA上的射影值大于1时，则△AAA是钝角三角形；其中真命题有．A．①②B．②③C．①③D．①②③（2）已知：点A是射线AA上一点，AA=AA=1，以A为圆心，AA长为半径画圆，点A 是⊙A上任意一点．①如图2，若点A在射线AA上的射影值为12，求证：直线AA是⊙A的切线．②如图3，已知A为线段AA的中点，设点A在射线AA上的射影值为A，点A在射线AA上的射影值为A，直接写出A与A之间的函数关系式．A2交于A，A两点，其中点A的横坐标是52. 如图，已知一条直线过点(0,4)，且与抛物线A=14−2．（1）求这条直线的函数关系式及点A的坐标；（2）在A轴上是否存在点A，使得△AAA是直角三角形?若存在，求出点A的坐标；若不存在，请说明理由；（3）过线段AA上一点A，作AA∥A轴，交抛物线于点A，点A在第一象限，点A(0,1)，当点A的横坐标为何值时，AA+3AA的长度最大?最大值是多少?53. 已知：如图，AA是半圆A的直径，弦AA∥AA，动点A，A分别在线段AA，AA上，且AA=AA，AA的延长线与射线AA相交于点A、与弦AA相交于点A（点A与点A，A不重合），AA=20，cos∠AAA=4．设AA=A，△AAA的面积为A．5（1）求证：AA=AA；（2）求A关于A的函数关系式，并写出它的自变量A的取值范围；（3）当△AAA是直角三角形时，求线段AA的长．A2+AA+A与A轴分别相交于点A(−2,0)，A(4,0)，与A轴交于点A，54. 如图，抛物线A=−12顶点为点A．（1）求抛物线的解析式；（2）动点A，A从点A同时出发，都以每秒1个单位长度的速度分别在线段AA，AA上向点A，A方向运动，过点A作A轴的垂线交AA于点A，交抛物线于点A．（i）当四边形AAAA为矩形时，求点A的坐标；（ii）是否存在这样的点A，使△AAA为直角三角形?若存在，求出点A的坐标；若不存在，请说明理由．55. 如图，在Rt△AAA中，∠AAA=90∘，AA=5cm，∠AAA=60∘，动点A从点A出发，在AA边上以每秒2cm的速度向点A匀速运动，同时动点A从点A出发，在AA边上以每秒√3cm的速度向点A匀速运动，设运动时间为A秒（0≤A≤5），连接AA．（1）若AA=AA，求A的值；（2）若△AAA与△AAA相似，求A的值；（3）当A为何值时，四边形AAAA的面积最小?并求出最小值．56. 爱好思考的小茜在探究两条直线的位置关系查阅资料时，发现了“中垂三角形”，即两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”．如图1，图2，图3中，AA，AA是△AAA的中线，AA⊥AA于点A，像△AAA这样的三角形均为“中垂三角形”．设AA=A，AA=A，AA=A．（1）【特例探究】如图1，当tan∠AAA=1，A=4√2时，A=，A=；如图2，当∠AAA=30∘，A=2时，A=，A=；（2）【归纳证明】请你观察（1）中的计算结果，猜想A2、A2、A2三者之间的关系，用等式表示出来，并利用图3证明你的结论．（3）【拓展证明】如图4，平行四边形AAAA中，A、A分别是AA、AA的三等分点，且AA=3AA，AA=3AA，连接AA、AA、AA，且AA⊥AA于A，AA与AA相交点A，AA=3√5，AA=3，求AA的长．57. 在某次海上军事学习期间，我军为确保△AAA海域内的安全，特派遣三艘军舰分别在A，A，A处监控△AAA海域，在雷达显示图上，军舰A在军舰A的正东方向80海里处，军舰A在军舰A的正北方向60海里处，三艘军舰上装载有相同的探测雷达，雷达的有效探测范围是半径为A的圆形区域．（只考虑在海平面上的探测）（1）若三艘军舰要对△AAA海域进行无盲点监控，则雷达的有效探测半径A至少为多少海里?（2）现有一艘敌舰A从东部接近△AAA海域，在某一时刻军舰A测得A位于北偏东60∘方向上，同时军舰A测得A位于南偏东30∘方向上，求此时敌舰A离△AAA海域的最短距离为多少海里?（3）若敌舰A沿最短距离的路线以20√2海里/小时的速度靠近△AAA海域，我军军舰A沿北偏东15∘的方向行进拦截，问A军舰速度至少为多少才能在此方向上拦截到敌舰A? 58. 如图，在坐标系AAA中，已知A(−5,4)，A(−3,0)，过A点分别作AA，AA垂直于A轴、A轴，垂足分别为A，A两点．动点A从A点出发，沿A轴以每秒1个单位长度的速度向右运动，运动时间为A秒．（1）当A为何值时，AA∥AA；（2）当A为何值时，AA⊥AA；（3）以点A为圆心，AA的长为半径的⊙A随点A的运动而变化，当⊙A与△AAA的边（或边所在的直线）相切时，求A的值．A2+AA+A与A轴交于A、A两点，与A轴交于点A，抛物线的对59. 如图，抛物线A=−12称轴交A轴于点A，已知A(−1,0)，A(0,2)．（1）求抛物线的表达式；（2）在抛物线的对称轴上是否存在点A，使△AAA是以AA为腰的等腰三角形?如果存在，直接写出A点的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）点A是线段AA上的一个动点，过点A作A轴的垂线与抛物线相交于点A，当点A运动到什么位置时，四边形AAAA的面积最大?求出四边形AAAA的最大面积及此时A点的坐标．60. 如图1，在Rt△AAA中，∠AAA=90∘，AA=10，AA=6，扇形纸片AAA的顶点A与边AA的中点重合，AA交AA于点A，AA经过点A，且∠AAA=∠A．（1）证明△AAA是等腰三角形，并求出AA的长；（2）将扇形纸片AAA绕点A逆时针旋转，AA，AA与边AA分别交于点A，A（如图2），当AA的长是多少时，△AAA与△AAA相似?61. 如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，A，A为小正方形边的中点，A，A为格点，A为AA，AA的延长线的交点．（1）AA的长等于；（2）若点A在线段AA上，点A在线段AA上，且满足AA=AA=AA，请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出线段AA，并简要说明点A，A的位置是如何找到的（不要求证明）．62. 如图，二次函数A=AA2+AA+2的图象与A轴相交于点A(−1,0)，A(4,0)，与A轴相交于点A．（1）求该函数的表达式；（2）点A为该函数在第一象限内的图象上一点，过点A作AA⊥AA，垂足为点A，连接AA．①求线段AA的最大值；②若以点A，A，A为顶点的三角形与△AAA相似，求点A的坐标．63. 如图，在平面直角坐标系中，直线A=−2A+10与A轴，A轴相交于A，A两点．点A的坐标是(8,4)，连接AA，AA．（1）求过A，A，A三点的抛物线的解析式，并判断△AAA的形状；（2）动点A从点A出发，沿AA以每秒2个单位长度的速度向点A运动；同时，动点A从点A出发，沿AA以每秒1个单位长度的速度向点A运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．设运动时间为A秒，当A为何值时，AA=AA?（3）在抛物线的对称轴上，是否存在点A，使以A，A，A为顶点的三角形是等腰三角形?若存在，求出点A的坐标；若不存在，请说明理由．64. 将矩形纸片AAAA放在平面直角坐标系中，A为坐标原点，点A在A轴上，点A在A轴上，点A的坐标是(8,6)，点A是边AA上的一个动点，将△AAA沿AA折叠，使点A落在点A 处．（1）如图①，当点A恰好落在AA上时，求点A的坐标．（2）如图②，当点A是AA中点时，直线AA交AA于A点．（a）求证：AA=AA；（b）求点A的坐标．。