河北安平中学2017-2018学年高二下学期第三次月考文科数学试题

河北安平中学2020-2021学年高二下学期第三次月考文科数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．设集合{|12}A x x =-<≤，{|0}B x x =<，则(A B ⋃= ) A ．{|1}x x <-B ．{|2}x x ≤C ．{|10}x x -<<D ．{|02}x x <≤2．已知等比数列{}n a 满足213562,4a a a a ==，则3a 的值为（ ）A ．1B ．2C ．14D ．123．()120x x ⋅->的解集为（ ） A ．()1,00,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C ．1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭D ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭4．已知角α的顶点为坐标原点,始边为x 轴的正半轴,终边过点P )2-,下列等式不正确的是（ ）A ．2sin3B ．2sin()3απ+=C ．5cos α3D ．tan 2α=-5．下列不等式一定成立的是（ ） A ．12(0)x x x+≥≠ B ．2211()1x x R x +≥∈+ C ．212()x x x R +≤∈ D ．2560()x x x R ++≥∈6．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A ．23B ．43C ．3D ．837．已知3a =，5b =，7a b +=，则a 在b 方向上的投影为 A ．12-B ．1C ．32D ．28．已知[x ]表示不超过．．．x 的最大．．整数．执行如图所示的程序框图，若输入x 的值为2，则输出z 的值为( )A ．1B ．05-．C ．05．D ．04-．9．已知函数22()log (3)f x x ax a =-+在区间(2,)+∞上是增函数，则a 的取值范围是（ ） A ．(,4]-∞B ．(,2]-∞C ．(4,4]-D ．[]4,4-10．对任意,x y R ∈,111x x y y -++-++的最小值为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．411．若1x >，则函数21161x y x x x =+++的最小值为（ ） A ．16 B ．8C ．4D ．非上述情况二、填空题12．如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图．正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是___________．13．若关于x 的不等式23ax -<的解集为51|33x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭，则a =________. 14．若存在实数x 使13x a x -+-≤成立，则实数a 的取值范围是___________．15．已知a ，b ，c 均为正数，且a ＋b ＋c ＝1为________．三、解答题16．ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知2cos (cos cos )C a B b A c +=.（1）求角C ；（2）若c =2ABC S ∆=，求ABC ∆的周长. 17．选修4-5：不等式选讲已知函数f(x)=|x −12|+|x +12|，M 为不等式f(x)<2的解集.（Ⅰ）求M ；（Ⅱ）证明：当a ，b ∈M 时，|a +b|<|1+ab|. 18．已知数列{}n a 为等差数列，23a =，59a =. （1） 求数列{}n a 的通项公式; （2）求数列1{3}n n a -⋅的前n 项和n S .19．设函数()|2||2|f x x x =+-- （1）解不等式()2f x ≥；（2）当x ∈R ，01y <<时，证明：11|2||2|1x x y y+--≤+-. 20．选修4－5：不等式选讲 设函数()1f x x x a =-+-． （Ⅰ）若1a =-，解不等式()3f x ≥；（Ⅱ）如果x R ∀∈，()2f x ≥，求a 的取值范围．参考答案1．B 【解析】由题意，{}|2A B x x ⋃=≤，故选B ． 2．A 【解析】∵等比数列{}n a 满足213562,4a a a a ==，∴22464a a =，又偶数项同号，∴462a a =∴212q =，∴2311a a q =⨯= 故选：A 3．A 【解析】解：很明显0x ≠ ，则不等式等价于：120{0x x ->≠ ，解不等式组可得实数x 的取值范围是：()1,00,2⎛⎫-∞⋃ ⎪⎝⎭. 本题选择A 选项. 4．D 【解析】分析：根据题中所给的角的终边上点的横坐标，利用任意角的三角函数的定义求得sin ,cos ,tan ααα的值，再利用诱导公式求得sin()απ+的值，再将选项逐一对照，得到正确的结果.详解：因为角α的终边过点2)P -，所以3r ==，由三角函数的定义可得：2sin 3y r α==-，cos x r α==，tan5y x α===-2sin()sin 3απα+=-=， 由上可知，A,B,C 选项都是正确的，只有D 选项不正确，故选D.点睛：该题考查的是有关任意角的三角函数的定义的问题，在求解的过程中，需要利用任意角的三角函数的定义，将对应的三角函数值求出来之后与选项一一对照，选出结果即可.5．B 【解析】分析：首先需要对四个选项逐一分析，结合基本不等式成立的条件，再者就是结合二次函数的性质，从而求得正确的结果. 详解：对于A ，当0x >时成立； 对于B ，2211121x x ++-≥+，当且仅当0x =时等号成立； 对于C ，应为212()x x x R +≥∈； 对于D ，2251156()244x x x ++=+-≥-； 综上所述，故选B.点睛：该题考查的是有关基本不等式成立的条件，在解题的过程中，紧紧咬住一正、二定、三相等，结合题意，求得结果. 6．A 【解析】分析：由题意首先确定几何体的空间结构，然后结合三棱锥的体积公式整理计算即可求得最终结果.详解：如图所示，在长宽高分别为1,2,2的长方体1111ABCD A B C D -中， 该三视图对应的几何体为三棱锥F ABE -， 其中,E F 为其所在棱的中点，该几何体的体积：111121223323ABE V SAA ⎛⎫=⨯⨯=⨯⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭. 本题选择A 选项.点睛：(1)求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解；(2)若所给几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等积法、分割法、补形法等方法进行求解． 7．C 【解析】分析：应用首先求得a b ⋅的值，然后求得两向量夹角的余弦值，最后求解a 在b 方向上的投影即可.详解：由题意可得：()2222925249a ba b a b a b +=++⋅=++⋅=，则152a b ⋅=，设向量,a b 的夹角为θ，则1512cos 352a b a b θ⋅===⨯⨯， 则a 在b 方向上的投影为13cos 322a θ⨯=⨯=. 本题选择C 选项.点睛：本题主要考查平面向量数量积的运算法则，向量投影的计算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 8．B 【解析】分析：由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量z 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案.详解：若输入的x 值为2，则2,1y x ==，满足继续循环的条件，1x =； 再次执行循环体，1,0y x ==，满足继续循环的条件，12x =； 再次执行循环体，1,12y x ==-，不满足继续循环的条件， 故10.52z =-=-，故选B. 点睛：该题考查的是有关程序框图的问题，在解题的过程中，需要认真分析框图中涉及到的量的关系，注意循环体执行的条件，模拟程序的运行过程，求得结果. 9．D 【解析】令g （x ）=23x ax a -+，因为函数()()22log 3f x x ax a =-+在区间()2,+∞上是增函数，从复合函数的角度分析，外层是递增的，所以转化为内层函数g （x ）=23x ax a -+在区间()2,+∞上是增函数，且g （x ）>0在()2,+∞上恒成立；224422230aa a a ⎧≤⎪∴-≤≤⎨⎪-⋅+>⎩ 故选D 10．C 【详解】因为111x x y y -++-++(1)(1)(1)123x x y y ≥--+--+=+=，当且仅当01,11x y ≤≤-≤≤时取等号，所以111x x y y -++-++的最小值为3，故选C.考点：含绝对值不等式性质 11．B 【解析】试题分析：根据题意，由于1x >，则函数222116116116116()()()1111x x x y x x x x x x x x x x x x x=++≥++=++=++++++18,4x x≥=+=成立，故答案为B考点：均值不等式点评：解决该试题的关键是根据已知的变量为正数，利用均值不等式的思想求解最值，属于基础题． 12．8π 【解析】分析：根据图形的对称性求出黑色图形的面积，即为圆的面积的一半，利用几何概型的概率公式进行计算即可.详解：根据图形的对称性知，黑色部分为圆面积的一半， 设圆的半径为1，则正方形的边长为2， 所以黑色部分的面积为21122S ππ=⋅=， 则所求的概率为2228P ππ==，故答案为8π. 点睛：该题考查的是有关几何概型的概率求解问题，在解题的过程中，需要分析得出黑色图形的面积等于圆的面积的一半，之后应用相关的公式求得结果. 13．3- 【解析】试题分析：因为等式23ax -<的解集为51|33x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭,所以51,33-为方程23ax -=的根,即3a ⇒=-,故填3-.考点：绝对值不等式 绝对值方程14．2 4.a -≤≤【考点定位】 本题主要考察绝对值不等式的性质及其运用 【解析】试题分析：本题的几何意义是：存在在数轴上到的距离与到的距离之和小于的点.有13a -≤，24a ∴-<<.考点：含绝对值的不等式的解法.【易错点晴】本题主要考查了含绝对值不等式的解法.含有多个绝对值符号的不等式，一般可用零点分段法求解，对于形如或，利用实数绝对值的几何意义求解较简便．选择或填空题可采用绝对值几何意义的方法，解答题要采用零点分段求解的方法.本题难度不大，属于中档题.15．【解析】分析：根据柯西不等式2222222112233123123()()()x y x y x y x x x y y y ++≤++++，将原式进行配凑，并结合已知条件1a b c ++=加以计算，大值.详解：根据柯西不等式，可得22(111=222222(111]≤++++3[3()3]18a b c =+++=，==即13a b c ===时，2的最大值为18，=.点睛：该题考查的是应用柯西不等式求最值的问题，在解题的过程中，需要对柯西不等式的形式要熟悉，并能对式子进行正确的配凑，从而求得结果.16．（1）3C π=（2）5+【详解】试题分析：（1）根据正弦定理把2cos (cos cos )C a B b A c +=化成2cos (sin cos sin cos )sin C A B B A C +=，利用和角公式可得1cos ,2C =从而求得角C ；（2）根据三角形的面积和角C 的值求得6ab =，由余弦定理求得边a 得到ABC ∆的周长. 试题解析：（1）由已知可得2cos (sin cos sin cos )sin C A B B A C +=12cos sin()sin cos 23π∴+=⇒=⇒=C A B C C C （2）11sin 622∆=⇒=⇒=ABC S ab C ab ab 又2222cos +-=a b ab C c2213a b ∴+=，2()255∴+=⇒+=a b a bABC ∆∴的周长为5+考点：正余弦定理解三角形.17．（Ⅰ）M ={x|−1<x <1}；（Ⅱ）详见解析.【解析】试题分析：（I ）先去掉绝对值，再分x ≤−12，−12<x <12和x ≥12三种情况解不等式，即可得Μ；（II ）采用平方作差法，再进行因式分解，进而可证当a ，b ∈Μ时，|a +b|<|1+ab|．试题解析：（I ）f(x)={−2x,x ≤−12,1,−12<x <12,2x,x ≥12. 当x ≤−12时，由f(x)<2得−2x <2,解得x >−1；当−12<x <12时，f(x)<2；当x ≥12时，由f(x)<2得2x <2,解得x <1. 所以f(x)<2的解集M ={x|−1<x <1}.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当a,b ∈M 时，−1<a <1,−1<b <1，从而(a +b)2−(1+ab)2=a 2+b 2−a 2b 2−1=(a 2−1)(1−b 2)<0，因此|a +b|<|1+ab|.【考点】绝对值不等式，不等式的证明.【名师点睛】形如|x −a|+|x −b|≥c （或≤c ）型的不等式主要有两种解法：（1）分段讨论法：利用绝对值号内式子对应的方程的根，将数轴分为(−∞,a]，(a,b]，(b,+∞)（此处设a <b ）三个部分，在每个部分去掉绝对值号并分别列出对应的不等式进行求解，然后取各个不等式解集的并集．（2）图象法：作出函数y 1=|x −a|+|x −b|和y 2=c 的图象，结合图象求解． 18．（1）21n a n =-；（2）n nS (n 1)31. 【解析】试题分析：利用等差数列通项公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出数列{}n a 的 通项公式；（2）由（1）可得()113213n n n a n --⋅=-⋅，利用错位相减法及等比数列前n 项和公式能求出数列{}13n n a -⋅的前n 项和n S . 试题解析： (1)设数列{}n a 的公差为d ，依题意得方程组11349a d a d +=⎧⎨+=⎩解得11,2a d ==. 所以{}n a 的通项公式为21n a n =-.（2）由（1）可得()113213n n n a n --⋅=-⋅，()0121133353213n n S n -=⋅+⋅+⋅++-⋅ ①()()12313133353233213n n n S n n -=⋅+⋅+⋅++-⋅+-⋅ ②①－②得()()()()1123131321233332131221313n n n nn S n n ----=+++++--=+⨯--⋅- 所以()131n n S n =-⋅+. 【 方法点睛】本题主要考查等差数列的通项公式、等比数列的求和公式以及错位相减法求数列的前n 项和，属于中档题.一般地，如果数列{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，求数列{}n n a b 的前n 项和时，可采用“错位相减法”求和，一般是和式两边同乘以等比数列{}n b 的公比，然后作差求解, 在写出“n S ”与“n qS ” 的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“n n S qS -”的表达式.19．（1）解集为{}|1x x ≥；（2）见解析.【分析】(1)零点分区间，去掉绝对值，写成分段函数的形式，分段解不等式即可；(2) 由（1）知，224x x +--≤,()11111 12111y y y y y y y y y y⎛⎫-⎡⎤+=++-=++ ⎪⎣⎦---⎝⎭，之后利用均值不等式可证明.【详解】（1）由已知可得：()4,22,224,2x f x x x x ≥⎧⎪=-<<⎨⎪-≤-⎩，当2x ≥时，42＞成立；当22x -<<时，22x ≥，即1x ≥，则12x ≤＜．所以()2f x ≥的解集为{|1}x x ≥.（2）由（1）知，224x x +--≤，由于01y ＜＜， 则()1111112224111y y y y y y y y y y⎛⎫-⎡⎤+=++-=++≥+= ⎪⎣⎦---⎝⎭，当且仅当1=1y y y y --，即12y =时取等号， 则有11221x x y y+--≤+-． 【点睛】利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，证明思路是从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理最后转化为需证问题．若不等式恒等变形之后与二次函数有关，可用配方法．20．（Ⅰ）3322x x x ⎧⎫≤-≥⎨⎬⎩⎭或 （Ⅱ）(][),13,-∞-⋃+∞【解析】试题分析：（Ⅰ）当1a =- 时，利用零点分段法，分1,11,1x x x ≤--<<≥ 三段去绝对值解不等式；（Ⅱ）利用绝对值的三角不等式()()111x x a x x a a -+-≥---=- ，令最小值12a -≥ 求a 的取值范围.试题解析：解：（Ⅰ）当1a =-时，()|1||1|f x x x =-++.由()3f x ≥得|1||1|3x x -++≥.当1x ≤-时，不等式可化为113x x -++≥，即23x -≥，其解集为3(,]2-∞-； 当11x -<<时，不等式可化为113x x -++≥，不可能成立，其解集为∅；当1≥x 时，不等式可化为113x x -++≥，即23x ≥，其解集为3[,)2+∞.综上所述，()3f x ≥的解集为33(,][,)22-∞-+∞.（Ⅱ）∵()11f x x x a a =-++≥-，∴要x R ∀∈，()2f x ≥成立.则12a -≥，∴1a ≤-或3a ≥.即a 的取值范围是(,1][3,)-∞-⋃+∞.。