初中数学 10.3平行线的性质1

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平行线的性质ppt课件

(3) 移：以关键点为起点作与移动方向平行且与移动距离相
等的线段，得到关键点的对应点；
(4) 连：按原图顺次连结对应点 .
知4－讲
特别警示
确定一个图形平行移动后的位置需要三个条件：
(1)图形原来的位置；
(2)平行移动的方向；
(3)平行移动的距离.
这三个条件缺一不可.
知4－练
例4 如图 4.2-33，现要把方格纸(每个小正方形的边长均为
知1－讲
特别警示
1. 两条直线平行是前提，只有在这个前提下才
有同位角相等.
2. 按格式进行书写时，顺序不能颠倒，与判定
不能混淆.
知1－讲
3. 平行线的性质与平行线的判定的区别
(1) 平行线的判定是根据两角的数量关系得到两条直线的位
置关系，而平行线的性质是根据两条直线的位置关系得
到两角的数量关系；
又∵ EG 平分∠ BEF，∴∠ BEG=

∠

BEF=70° .
∵ AB ∥ CD， ∴∠ 2= ∠ BEG=70° ．
答案：A
知2－练
2-1. [中考·烟台]一杆古秤在称物时的状态如图
所示，已知∠ 1=102°，则 ∠ 2 的度数为
78°
______.
感悟新知
知识点 3 平行线的性质3
若是，可直接求出；若不是，还需要
通过中间角进行转化 .
知1－练
1-1. [中考·台州]用一张等宽的纸条折成如图所示的图
140° .
案，若∠ 1=20 ° ，则 ∠ 2的度数为_______
感悟新知
知识点 2 平行线的性质2
知2－讲
1. 性质 2 两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等 .

平行线的性质课件

利用平行线性质解决几何最值问题
平行线定义：在同一平面内，永不相交的两条直线
几何最值问题：求线段、角度、面积等几何量的最大值或最小值
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平行线性质：平行线之间的线段相等
利用平行线性质解决几何最值问题的方法：通过平行线之间的线段相等，找到几何量的最大值或最小值
平行线的性质在解析几何中的应用
面的交点
平行线与平面的夹角：平行线与平面的夹角为直线与平
面的夹角
平行线与平面的平行性：平行线与平面的平行性为直线与平面的
平行性
总结与思考
总结平行线的性质及其应用
平行线的定义：在同一平面内，永不相交的两
条直线
平行线的性质：平行线之间的角度相等，平行线之间的线
段相等
平行线的应用：在几何证明、工程测量、建筑设计等领域
利用平行线性质解决函数问题
平行线与函数的关系：平行线是函数的基本性质之一，可以应用于求解函数问题
平行线性质的应用：利用平行线性质可以求解函数的最大值、最小值、极值等问
题
平行线性质的证明：利用平行线性质可以在更高级的数学领域中也有广泛的应用，如微积分、线性代数等
平行线的性质在代数中的应用
利用平行线性质解决线性方程组问题
平行线性质：两条直线平行，同位角相等
线性方程组：一组线性方程组成的方程组
利用平行线性质解线性方程组：通过观察方程组中的同位角，找出方程组中的平行线，从而解出方程组
应用实例：求解线性方程组，如3x+2y=5，4x+3y=6，通过观察方程组中的同位角，找出方程组中的平行线，从而解出方程组

平行线的性质

平行线在几何计算中的应用
平行线在面积计算中的应用：平行线可以分割图形，从而简化面积计算
平行线在长度计算中的应用：平行线可以形成长度，从而简化长度计算
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平行线在角度计算中的应用：平行线可以形成角度，从而简化角度计算
平行线在相似三角形中的应用：平行线可以形成相似三角形，从而简化相似三角形的计算
平行线的传递性也可以推广到空间中，即如果一条直线与两个平面中的一个平面相交，那么它也与另一个平面相交。
平行线的同位角相等
平行线的定义：在同一平面内，永不相交的两条直线同位角的定义：两条直线被第三条直线所截，在截线同侧的角平行线的性质：平行线的同位角相等证明方法：利用三角形的内角和定理和两直线平行的性质进行证明
02
平行线的性质
平行线的性质
平行线永不相交
平行线之间的距离相等
平行线具有对称性
平行线具有传递性
平行线的传递性
平行线的传递性是指，如果一条直线与两条平行线中的一条相交，那么它也与另一条平行线相交。
平行线的传递性是平行线的一个基本性质，也是几何学中的一个重要概念。
平行线的传递性在几何证明中经常用到，可以用来证明两条直线平行或者垂直。
平行线的性质包括：平行线之间的公垂线长度相等，平行线之间的夹角相等。
平行线的应用包括：在几何证明、几何计算、几何作图中都有广泛的应用。
平行线的表示方法
符号表示：用两条平行线之间的平行符号"||"表示几何表示：用两条平行线之间的平行线表示代数表示：用两条平行线之间的向量表示物理表示：用两条平行线之间的磁场表示
平行线的内错角相等

10.3平行线的性质-第2课时-平行线的性质与判定课件数学沪科版七年级下册

线的关系
判定性质
角的关系
同位角相等内错角相等同旁内角互补
角的关系
E 1
解：∠A=∠APC+∠C.理由如下：过点 P 作 PE//AB，则∠1+∠A=180°. 因为 AB//CD，所以 PE//CD，所以∠EPC+∠C=180°，即 ∠1+∠APC+∠C=180°，所以180°-∠A+∠APC+∠C=180°. 所以∠A=∠APC+ ∠C.
1E (4)
线的关系两直线平行
，E2 ，…，∠Em-1，∠D之间的关系吗？
A
F1 F2
B E1
E2
Fn-1 C
Em-1 D
∠A+∠F1 +∠F2 +…+∠Fn-1= ∠E1 +∠E2 +…+∠Em-1+ ∠D
例如图，AB∥CD，猜想∠A、∠P 与∠PCD 之间的关系，并说明理由.
解：如图，过点P作PE ∥ AB. 因为AB∥CD，所以 PE ∥ AB ∥CD. 所以∠EPC=∠PCD,∠APE =∠A. 所以∠APE+∠APC=∠EPC= ∠PCD ，所以∠A+∠APC = ∠PCD.
解：如图，过点 E 作 EF//AB. 所以∠B=∠BEF. 因为AB//CD，所以EF//CD.
A
B
E
F
C
D
所以∠D =∠DEF.
所以∠B＋∠D＝∠BEF＋∠DEF ＝∠DEB，
即∠B＋∠D＝∠DEB.
1.如图，AB//CD，分别探究下面四个图中∠P 与∠A，∠C之间的关系.
E
E
∠P+∠A+∠C=360°

初中数学平行线的性质知识点归纳摘抄

初中数学平行线的性质知识点归纳摘抄初中数学平行线的性质知识点归纳摘抄在同一平面内，永不相交的两条直线互为平行线。

虽然平行线在平面内定义，但也适用于立体几何。

平行线的性质性质1 两条平行线被第三条直线所截，同位角相等。

简单说成：两直线平行，同位角相等。

性质2 两条平行线被第三条直线所截，内错角相等。

简单说成：两直线平行，内错角相等。

性质3 两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补。

简单说成：两直线平行，同旁内角互补。

同时垂直于两条平行线，并且夹在这两条平行线间的线段的长度，叫做着两条平行线的距离。

额外补充的是，在高等数学中的平行线的定义是相交于无限远的两条直线为平行线，因为理论上是没有绝对的平行的!初中数学知识点总结：平面直角坐标系下面是对平面直角坐标系的内容学习，希望同学们很好的掌握下面的内容。

平面直角坐标系平面直角坐标系：在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴，组成平面直角坐标系。

水平的数轴称为x轴或横轴，竖直的数轴称为y轴或纵轴，两坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点。

平面直角坐标系的要素：①在同一平面②两条数轴③互相垂直④原点重合三个规定：①正方向的规定横轴取向右为正方向，纵轴取向上为正方向②单位长度的规定；一般情况，横轴、纵轴单位长度相同；实际有时也可不同，但同一数轴上必须相同。

③象限的规定：右上为第一象限、左上为第二象限、左下为第三象限、右下为第四象限。

相信上面对平面直角坐标系知识的讲解学习，同学们已经能很好的掌握了吧，希望同学们都能考试成功。

初中数学知识点：平面直角坐标系的构成对于平面直角坐标系的构成内容，下面我们一起来学习哦。

平面直角坐标系的构成在同一个平面上互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，简称为直角坐标系。

通常，两条数轴分别置于水平位置与铅直位置，取向右与向上的方向分别为两条数轴的正方向。

水平的数轴叫做X轴或横轴，铅直的数轴叫做Y轴或纵轴，X轴或Y轴统称为坐标轴，它们的公共原点O称为直角坐标系的原点。

10.3平行线的性质

10.3平行线的性质一、教与学目标：1.通过实际操作探索“两条平行线被第三条直线所截，同位角相等”的性质，并通过说理，认识“两条平行线条直线所截，内错角相等”和“同旁内角互补”的性质。

2.会运用平行线的性质，解决与“三线八角”有关的计算问题。

3.经历观察、推理、交流等活动，发展空间观念、有条理的思考和语言表达能力。

二、教与学重点难点：会利用平行线的性质解决一些简单的实际问题。

三、教与学方法自主探究、合作交流。

四、教与学过程：（一）情境导入：老师：我在黑板上画两条直线被第三条直线所截，你能找到哪些角，他们具有怎样的关系哪些是同位角、内错角、同旁内角？有没有相等的角呢？学生：通过观察找出对顶角、邻补角、同位角、内错角、同旁内角等，积极发言说出尽可能多的角（设计意图：让学生在已有知识经验的基础上，形成螺旋式上升）老师:如果是两条平行线呢？老师：这一节课我们研究两条平行线被第三条直线所截得的同位角、内错角、同旁内角之间的关系（二）探究新知：1.学生活动学生画图活动:两条平行线a∥b,再画一条截线c与直线a、b相交,标出所形成的八角ab个性化设计：老师：怎样探究这些角的关系？动手试一试（学生动手操作的过程中巡视）。

学生：有的小组通过测量、有的小组剪拼，有的小组叠合的方法（设计意图：让学生用尽可能多的方法进行探究，挖掘学生的潜能，培养学生的动手操作能力和探究能力）2.学生测量这些角的度数,把结果填入表内.2.合作交流学生测量这些角的度数,把结果填入表内. 3.学生根据测量所得数据作出猜想.图中哪些角是同位角?它们具有怎样的数量关系? 图中哪些角是内错角?它们具有怎样的数量关系? 图中哪些角是同旁内角?它们具有怎样的数量关系? 4.生成新知能否将我们发现的结论给予较为准确的文字表述? 平行线具有性质:性质1 性质2 性质3 用符号语言怎样表示？（设计意图：几何初步教学要注意培养学生的几何语言的能力包括图形语言、文字语言、符号语言三种语言）5. 我们能否使用平行线的性质1说出性质2、3成立的道理呢？因为a ∥b,所以∠1=∠4( ); 又∠2= (对顶角相等)所以∠2=∠4.（）。

平行线的性质定理

初中数学《平行线的性质定理》微课精讲+知识点+教案知识点：1. 两条平行线被第三条直线所截，同位角相等.简单说成：两直线平行，同位角相等。

2. 两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补.简单说成：两直线平行，同旁内角互补。

3 . 两条平行线被第三条直线所截，内错角相等.简单说成：两直线平行，内错角相等。

两个角的数量关系两直线的位置关系：1、垂直于同一直线的两条直线互相平行。

2、平行线间的距离，处处相等。

3、如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补。

4、平行线的传递性如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行.5、平行线间的距离两条平行线中，任意一条直线上的所有点到另一条直线的距离都是一个定值，这个定值叫做这两条平行线间的距离.视频教学：练习：1.如图，AB∥CD，射线AE交CD于点F，若∠1=115°，则∠2的度数是( )A.55°B.65°C.75°D.85°2.如图，∠1=∠2，∠3=40°，则∠4等于( )A.120°B.130°C.140°D .40°3.如图，已知AB∥CD，BC平分∠ABE，∠C=33°，则∠BED的度数是( )A.16°B.33°C.49°D.66°4.如图，已知∠1=∠2，若要∠3=∠4，则须( )A.∠1=∠3B.∠2=∠3C.∠1=∠4D.AB∥CD5.如图，AB∥CD∥EF，∠ABE=38°，∠ECD=110°，则∠BEC的度数为( )A.42°B.32°C.62°D.38°6.如图，直线l1∥l2，CD⊥AB于点D，∠1=50°，则∠BCD的度数为( )A.50°B.45°C.40°D.30°7.如图，∠BAC=40°，DE∥AB，交AC于点F，∠AFE的平分线FG交AB于点H，则正确的是( )A.∠AFG=70°B.∠AFG>∠AHFC.∠FHB=100° D.∠CFH =2∠EFG8.如图，在△ABC中，∠C=90°，点D在AC边上，DE∥AB，如果∠ADE=46°，那么∠B等于( )A.34°B.54°C. 46°D.44°9.将一直角三角板与两边平行的纸条如图所示放置.有下列结论：(1)∠1=∠2；(2)∠3=∠4；(3)∠2＋∠4=90°；(4)∠4＋∠5=180°.其中正确的个数为( )A.1B.2C.3D.410.如果两个角的两边分别平行，而其中一个角比另一个角的4倍少30°，那么这两个角是( )A.42°，138°B.都是10°C.42°，138°或42°，10° D.以上都不对课件：教案：在证明过程中,进一步理解证明的步骤,格式和方法.教学重难点重点:平行线三个性质的探究及运用.难点:平行线的性质定理与判定定理的区别及综合运用.教学活动设计课堂导入上一节课我们学习了平行线的判定,也就是说知道角的关系能够判断两条直线是否平行.可是老师从一张轻轨的图片和伸缩门的情景看到的却恰好是另一种有意思的情况,这种情况具有普遍意义吗?自学指导续表探索新知合作探究已知:如图,a∥b,∠1和∠2是直线a,b被直线c截出的同旁内角,求证:∠1和∠2互补.证明:因为a∥b,所以∠3=∠2(两直线平行,同位角相等),因为∠1+∠3=180°(平角的定义),所以∠1+∠2=180°(等量代换).简单说成:两直线平行,同旁内角互补.几何语言:因为a∥b,所以∠1+∠2=180°.教师指导(1)归纳两直线平行的判定与性质两直线平行(2)总结证明的一般思路及步骤当堂训练1. 如图所示,EL∥FK,PG∥QH.找出图中与∠1相等的角.2. 已知∠3=∠4,∠1=47°,求∠2的度数.3.如图,AB∥EF,∠ECD=∠E,试说明CD∥AB.板书设计平行线的性质定理两直线平行⇒教学反思语言是思维的工具,要学好证明,必须学会语言的表达和运用,初学几何证明题时,学生对于几何语言不很清楚,几何语言分为文字语言、符号语言和图形语言,老师有必要强调:将图形语言和符号语言相结合是学好证明的基本功,画图时按要求将符合题意的图形画出来.但要注意以下几点:(1)注意所画图形的多种情况.(2)能根据题意画出简单的图形,掌握“题”与“图”的对应关系,一般图形不要画成特殊图形,否则就意味着人为增加了已知条件,反之,特殊图形也不要画成一般图形,这两种做法都没有真实的表达题意.(3)图形力求准确,便于观察,有利于解题.。

初一数学下——平行线的性质

初中数学平行线的性质编稿老师巩建兵一校黄楠二校林卉审核杨国勇1. 平行线的性质（1）两直线平行，同位角相等．即：如图①，∵a ∥b ，∴∠1＝∠2．a b12a b12a b21①②③（2）两直线平行，内错角相等．即：如图②，∵a ∥b ，∴∠1＝∠2．（3）两直线平行，同旁内角互补．即：如图③，∵a ∥b ，∴∠1＋∠2＝180°． 2. 平行线性质和判定的关系图两直线平行同位角相等内错角相等同旁内角互补互化判定性质性质判定判定性质互化互化3. 应用平行线性质的注意事项（1）数形结合：平行线的性质是由直线的位置关系确定角的数量关系，应用时注意正确识别图形特征及角的关系．（2）新旧结合：平行线的性质往往与以前学习的对顶角、邻补角等知识相结合，计算一些角的度数．（3）搭桥过河：当两条直线没有被同一条直线所截，不能直接利用平行线的性质时，往往要添加辅助线，构造第三条直线作为连接已知直线的桥梁．例题1 （安顺中考）如图，已知a ∥b ，小华把三角板的直角顶点放在直线a 上．若∠1＝40°，则∠2的度数为（）A．100°B．110°C．120°D．130°思路分析：根据两直线平行内错角相等可得∠1＋90°＝∠2，又∵∠1＝40°，∴∠2＝90°＋40°＝130°，故选D．答案：D例题2 （鄂托克旗期末）如图，EF∥AD，AD∥BC，CE平分∠BCF，∠DAC＝120°，∠ACF＝20°，求∠FEC的度数．思路分析：推出EF∥BC，根据平行线性质求出∠ACB，求出∠FCB，根据角平分线求出∠ECB，根据平行线的性质推出∠FEC＝∠ECB，代入即可．答案：∵EF∥AD，AD∥BC，∴EF∥BC，∴∠ACB＋∠DAC＝180°，∵∠DAC＝120°，∴∠ACB＝60°，又∵∠ACF＝20°，∴∠FCB＝∠ACB﹣∠ACF＝40°，∵CE平分∠BCF，∴∠BCE＝20°，∵EF∥BC，∴∠FEC＝∠ECB，∴∠FEC＝20°．例题3（蒙阴县期末）如图，CD⊥AB于D，点F是BC上任意一点，FE⊥AB于E，且∠1＝∠2，∠3＝80°．（1）试证明∠B＝∠ADG；（2）求∠BCA的度数．思路分析：（1）由CD⊥AB，FE⊥AB，则CD∥EF，则∠2＝∠BCD，从而证得BC∥DG，即∠B＝∠ADG；（2）由CD∥EF，则∠3＝∠BCA．答案：（1）证明：∵CD⊥AB，FE⊥AB，∴CD∥EF，∴∠2＝∠BCD，∵∠1＝∠2，∴∠1＝∠BCD，∴BC∥DG，∴∠B＝∠ADG；（2）解：∵DG∥BC，∴∠3＝∠BCA，∵∠3＝80°，∴∠BCA＝80°．（1）两直线被第三条直线所截，两直线平行、同位角相等、内错角相等、同旁内角互补四个条件中，只要有一个成立，则其余三个也成立．（2）平行线的性质是由“位置关系”得到“数量关系”；平行线的判定是由“数量关系”得到“位置关系”．（3）在同一个几何问题的推理求解中，往往会同时用到平行线的判定和性质，有时由性质得到的结论又可作为判定的条件．（答题时间20分钟）1. 如图，已知∠AOB＝70°，OC平分∠AOB，DC∥OB，则∠C为（）A．20°B．35°C．45°D．70°2. 如图，已知∠1＝∠2＝∠3＝62°，则∠4＝（）A．62°B．118°C．128°D．38°**3. 在同一平面内的三条直线a，b和c，如果a∥b，a与b的距离是2cm，并且b上的点P到直线c的距离也是2cm，那么b与c的位置关系是（）A．平行B．相交C．垂直D．不一定*4. 如图，已知l1∥l2，直线l与l1、l2相交于C、D两点，把一块含30°角的三角尺按如图位置摆放．若∠1＝130°，则∠2＝__________．**5. 一副直角三角尺叠放如图1所示，现将45°的三角尺ADE固定不动，将含30°的三角尺ABC绕顶点A顺时针转动，使两块三角尺至少有一组边互相平行．如图2：当∠BAD ＝15°时，BC∥DE．则∠BAD（0°＜∠BAD＜180°）其它所有可能符合条件的度数为__________．*6. 如图，已知AD⊥BC，FG⊥BC，垂足分别为D、G．且∠1＝∠2，猜想：∠BDE与∠C有怎样的关系？说明理由．**7. 如图，直线EF∥GH，点A在EF上，AC交GH于点B，若∠FAC＝72°，∠ACD＝58°，点D在GH上，求∠BDC的度数．ABC DE F G H1. B 解析：∵OC 平分∠AOB ，∴∠AOC ＝∠BOC ＝21∠AOB ＝35°，∵CD ∥OB ，∴∠BOC ＝∠C ＝35°，故选B ．*2. B 解析：∵∠1＝∠3，∴直线m ∥直线n ，∴∠5＝∠2＝62°，∴∠4＝180°﹣∠5＝180°﹣62°＝118°．故选：B ．**3. D 解析：①如图1，当直线a 和直线c 重合时，符合已知条件；②如图2，直线a 和直线c 相交；③如图3，直线c 和直线a 平行．故选项A 、B 、C 都错误，选项D 正确；故选D ．*4. 20° 解析：∵l 1∥l 2，∴∠BDC 与∠1的对顶角互补，又∠1＝130°，∴∠BDC ＝50°，又∵∠ADB ＝30°，∴∠2＝20°，故答案为：20°． **5. 45°，60°，105°，135°解析：如图，当AC ∥DE 时，∠BAD ＝∠DAE ＝45°；当BC ∥AD 时，∠DAB ＝∠B ＝60°；当BC ∥AE 时，∵∠EAB ＝∠B ＝60°，∴∠BAD ＝∠DAE ＋∠EAB ＝45°＋60°＝105°；当AB ∥DE 时，∵∠E ＝∠EAB ＝90°，∴∠BAD ＝∠DAE ＋∠EAB ＝45°＋90°＝135°．故答案为：45°，60°，105°，135°．*6. 解析：由题意可知AD ∥FG ，然后，结合已知条件即可推出∠2＝∠3，推出DE ∥AC ，即可推出结论．答案：∠BDE＝∠C．理由如下：∵AD⊥BC，FG⊥BC，∴AD∥FG，∴∠1＝∠3，∵∠1＝∠2，∴∠2＝∠3，∴DE∥AC，∴∠BDE＝∠C．**7. 解析：可过点C添加一条与EF、GH平行的直线，把已知角和所求角构成平行线间的同位角、内错角或同旁内角，利用平行线的性质求解．答案：过点C作CK∥GH，∵EF∥GH，∴EF∥CK．∴∠FAC＋∠ACK＝180°，∵∠FAC＝72°，∠ACD＝58°，∴∠DCK＝180°－∠FAC－∠ACD＝180°－72°－58°＝50°．∵GH∥CK，∴∠BDC＝∠DCK＝50°．ABC DE F G HK。

八年级数学平行线的性质

该公式可用于计算两条平行线间的距离，其中法向量和常数项可通过平行线的方程求得。
02
平行线与相交线关系
平行线与相交线判定定理
内错角相等，两直线平行
同旁内角互补，两直线平行
同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行
同位角相等，两直线平行
平行线与相交角关系
02
01
03
两直线平行，同位角相等两直线平行，内错角相等两直线平行，同旁内角互补
公式、平行线间的角关系等。这些知识可以帮助我们更深入地理解平行
线的性质和应用。
THANK YOU
感谢聆听
通过同位角、内错角或同旁内角的关系，可以判定两条直线是否平行。
平行线在几何图形中的应用
平行线在三角形、四边形等几何图形中有广泛应用，如平行四边形的对边平行、三角形的中位线与底边平行等。
学生自我评价报告
知识掌握情况
通过本次课程的学习，我掌握了平行线的定义、性质以及判定方法，能够运用所学知识解决相关问题。
坐标系中平行线间距离计算
距离公式
两条平行线 $Ax + By + C1 = 0$ 和 $Ax + By + C2 = 0$ 之间的距离 $d$ 可以用公式 $d = frac{|C1 - C2|}{sqrt{A^2 + B^2}}$ 来计算。
特殊情况
当平行线垂直于x轴时，它们之间的距离等于纵截距之差的绝对值。
坐标系中平行线与方程关系
平行于x轴
当一条直线平行于x轴时，它的方程可以表示为 $y = k$，其中 $k$ 是常数。
平行于y轴
当一条直线平行于y轴时，它的方程可以表示为 $x = k$，其中 $k$ 是常数。

初中数学知识归纳平行线的性质与判定

初中数学知识归纳平行线的性质与判定平行线是数学中最基础的概念之一，在初中数学中也占据了重要的地位。

平行线的性质和判定方法具有一定的规律性和逻辑性，掌握了这些知识，对于解题和推理都有很大的帮助。

本文将对初中数学中与平行线相关的性质和判定进行归纳和总结。

一、平行线的性质1. 平行线性质一：同位角性质同位角是指两条平行线被一条第三条线（称为横线）所切割所形成的内角和外角。

同位角性质可以概括为：当直线与两条平行线相交时，同位角相等。

例如，图1中的直线l与平行线m、n相交，角A和角B、C都是同位角。

根据同位角性质，可知∠A = ∠B = ∠C。

2. 平行线性质二：内错角性质内错角是指两条平行线被一条第三条线所切割所形成的内角。

内错角性质可以概括为：当直线与两条平行线相交时，内错角相等。

例如，图2中的直线l与平行线m、n相交，角A和角B是内错角。

根据内错角性质，可知∠A = ∠B。

3. 平行线性质三：同旁内角性质同旁内角是指两条直线与两条平行线相交所形成的内角。

同旁内角性质可以概括为：当两条直线与两条平行线相交时，同旁内角互补。

例如，图3中的直线a、b与平行线m、n相交，角A和角B、C是同旁内角。

根据同旁内角性质，可知∠A + ∠B = 180°和∠A + ∠C = 180°。

二、平行线的判定方法1. 直线平行判定法一：同位角相等法如果一条直线与另外两条直线相交时，同位角相等，则这两条直线平行。

例如，图4中的直线l与线段AB、CD相交，∠1 = ∠2，则可判定线段AB与线段CD是平行的。

2. 直线平行判定法二：内错角相等法如果一条直线与两条平行线相交时，内错角相等，则这条直线与这两条平行线平行。

例如，图5中的直线l与平行线m、n相交，∠A = ∠B，则可判定直线l与平行线m、n是平行的。

3. 直线平行判定法三：同旁内角互补法如果一条直线与两条平行线相交时，同旁内角互补，则这条直线与这两条平行线平行。

平行线的性质

平行线的性质1．两直线平行的条件（1）同位角相等，两直线平行．（2）内错角相等，两直线平行．（3）同旁内角互补，两直线平行．（4）垂直于同一条直线的两条直线互相平行．（5）平行于同一条直线的两条直线互相平行．2．平行线的性质（1）两直线平行，同位角相等．（2）两直线平行，内错角相等．（3）两直线平行，同旁内角互补．3．解决问题的方法（1）三角形外角的性质（2）延长线段构造同位角、内错角或同旁内角（3）构造平行线当图形中有两条平行线，且涉及到两直线外的角的计算问题时，往往需要构造平行线．4类型1：平行线的性质【例题1】（1）如图，AC ∥BE ，∠ABE ＝70°，则∠A 的度数为（）．A ．70°B ．65°C ．50°D ．140°【答案】A ．（2）如图，已知直线a ∥b ，∠1＝50°，则∠2的度数为（）．A ．40°B ．50°C ．130°D ．150° 【答案】C ．（3）一副直角三角板如图放置，点A 在DF 延长线上，已知：∠D ＝∠BAC ＝90°，∠E ＝30°，∠C ＝45°，BC ∥DA ，那么∠ABF 的度数为（）．A ．15°B ．20°C ．25°D ．30° 【答案】A ．（提示：）（4）如图，已知a ∥b ，三角板的直角顶点在直线b 上，若∠1＝40°，则∠2＝_________度．【答案】130．（5）如图是婴儿车的平面示意图，其中AB ∥CD ，∠1＝120°，∠2＝80°，那么∠3的度数为（）．A ．40°B ．50°C ．60°D ．70°【答案】A ．AB CD Eba12ABCEF Dba2113ABC DE F2（6）如图所示，若直线BC ∥DE ，AD ⊥DF ，垂足为点D ，∠α＝30°，∠β＝50°，则∠A ＝________．【答案】70°．（7）如图所示，直线a 、b 、c 、d 的位置如图所示，若∠1＝115°，∠2＝115°，∠3＝124°，则∠4的度数为（）．A ．56°B ．60°C ．65°D ．66° 【答案】A ．（提示：同位角相等，两直线平行）（8）如图，AB ∥CD ∥EF ，且∠ABE ＝70°，∠ECD ＝150°，则∠BEC 的度数为_________．【答案】40°．（提示：两次运用平行的性质，∵AB ∥EF ，∴∠ABC ＝∠BEF ＝70°，∵CD ∥EF ，∴∠ECD ＋∠CEF ＝180°，∵∠ECD ＝150°，∴∠CEF ＝30°，∴∠BEC ＝∠BEF －∠CEF ＝40°）【例题2】（1）如图，直线EF 分别交AB 、CD 于点E 、F ，EG 平分∠BEF ，AB ∥CD ．若∠1＝72°，则∠2的度数为（）．A ．54°B ．59°C ．72°D ．108° 【答案】A ．（2）如图，一束光线从点C 出发，经过平面镜AB 反射后，沿与AF 平行的线段DE 射出（此时∠1＝∠2）．若测得∠DCF ＝100°，则∠A ＝（）．βFED C BA α3412abd c FED CB A GFEDCBA12A ．50°B ．60°C ．70°D ．80° 【答案】A ．（提示：解：∵DE ∥CF ，∠DCF ＝100°，∴∠EDC ＋∠DCF ＝180°，即∠EDC ＋100°＝180°，∴∠EDC ＝80°，∵∠1＝∠2，∴∠1＝∠2＝（180°－80°）÷2＝50°，∵DE ∥CF ，∴∠A ＝∠2＝50°）（3）如图所示，AB ∥CD ，AB ∥EF ，EG 平分∠BED ，∠B ＝45°，∠D ＝30°，则∠GEF ＝_________．【答案】7.5°．（提示：）【例题3】（1）如图，将三角板的直角顶点放在直尺的一边上，∠1＝30°，∠2＝45°，则∠3的度数是（）．A ．15°B ．25°C ．35°D ．45° 【答案】A ．（提示：外角的性质，∵∠2＝45°，纸条的两边互相平行，∴∠4＝∠2＝45°，∵∠1＝30°，∴∠3＝∠4－∠1＝45°－30°＝15°．）（2）将一副直角三角板如图放置，使含30°角的三角板的短直角边和含45°角的三角板的一条直角边重合，则∠1的度数为__________度．【答案】75°．（提示：外角的性质）（3）如图，已知AB ∥CD ，CD ∥EF ，∠A ＝105°，∠ACE ＝51°，则∠E ＝___________．【答案】24°．（提示：外角的性质）【例题4】有两个角，它们的两边分别平行，并且其中一个角比另一个角的3倍少50°，求这两个角的大小．【答案】25°，25°或57.5°，122.5°．（提示：分类讨论，两个角相等或互补）A BCDE FG 1231A BCDF E类型2：构造平行线【例题5】（1）如图，b ∥c ，a ⊥b ，∠1＝130°，则∠2等于（）．A ．30°B ．40°C ．50°D ．60°【答案】B ．（提示：过点作a 的平行线d ）（2）如图所示，AB ∥CD ，下列结论中正确的是（）．A ．∠1＋∠2＋∠3＝180°B ．∠1＋∠2＋∠3＝360°C ．∠1＋∠3＝2∠2D ．∠1＋∠3＝∠2 【答案】D ．（3）如图，直线AB ∥CD ，AE ⊥CE ，∠1＝125°，则∠C 等于（）．A ．35°B ．45°C ．50°D ．55° 【答案】A ．（提示：过点E 作CD 的平行线）（4）如图，将一副三角板和一张对边平行的纸条按下列方式摆放，两个三角板的一直角边重合，含30°角的直角三角板的斜边与纸条一边重合，含45°角的三角板的一个顶点在纸条的另一边上，则∠1的度数是__________．【答案】15°．（提示：如图所示，构造平行线，或者延长线段构造内错角）（5）如图，AB ∥CD ，EF 与AB 、CD 分别相交于点E 、F ，EP ⊥EF ，与∠EFD 的平分线FP 相交于点P ，且∠BEP ＝40°，则∠EPF 的度数是（）．2a1cbEDCBA2131F EDCBA111PFEDCBAA ．25°B ．65°C ．75°D ．85° 【答案】B ．（提示：过点P 作AB 的平行线）【例题6】（1）如图，AB ∥CD ，∠BAE ＝140°，∠DCE ＝30°，则∠AEC ＝（）度．A ．70B ．80C ．90D ．100 【答案】A ．（提示：过点E 作AB 的平行线）（2）如图，如果AB ∥CD ，那么角α，β，γ之间系式为（）．A ．α＋β＋γ＝360°B ．α－β＋γ＝180°C ．α＋β＋γ＝180°D ．α＋β－γ＝180° 【答案】D ．（3）如图所示，ABCDEF 是赛车跑道的一段示意图，其中AB ∥DE ，测得∠B ＝140°，∠D ＝120°，则∠C 的度数是___________．【答案】100°．（提示：过点C 作FC ∥AB ）（4）如图，已知AB ∥CD ，∠E ＝28°，∠C ＝52°，则∠EAB 的度数是_________．【答案】80°．（提示：法一，过点E 作FE ∥AB ；法二，如图所示延长线段，根据外角的性质）（5）如图所示，若FD ∥BE ，则∠1＋∠3－∠2＝_________．【答案】180°．（提示：过点A 作AC ∥BE ）E DCBA βγαE D CBA E DCBAE DCB AA B CDEF3FEDBA 12G（6）如图，已知AC ∥DE ，∠B ＝24°，∠D ＝58°，则∠C ＝（）．A ．24°B ．34°C ．58°D ．82°【答案】B ．（提示：过点作B 的平行线BF ）AB C DE。

平行线的性质初中

平行线的表示方法
在几何学中，平行线通常用符号 “//”或“||”表示。
平行线的表示方法不能用于曲线或折线。
表示平行线的符号必须放在相应直线的上方或下方，不能放在内
部。
平行线的性质公理
平行线的性质公理是指在同一平面内，如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。
平行线的性质公理是平行线理论的基础，也是解决几何问题的重要依据。
逆定理
如果两个角相等或互补，那么这两条直线互相平行。简单说成：如果两个角相等或互补，那么这两条直线互相平行。
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平行线的内错角相等
总结词
如果两条直线平行，那么它们的内错角相等。
详细描述
在平行线性质中，两条平行的直线会形成一组内错角，它们的大小是相同的。这个性质可以用来证明一些角相等的问题。
平行线的同位角相等
总结词
如果两条直线平行，那么它们的同位角相等。
详细描述
在平行线性质中，两条平行的直线会形成一组同位角，它们的大小是相同的。这个性质可以用来证明一些角相等的问题。
平行线的性质初中
汇报人：日期:
目录
• 平行线的定义 • 平行线的性质 • 平行线的判定 • 平行线在实际生活中的应用 • 平行线在数学中的重要性 • 复习与总结
01
平行线的定义
平行的定义
在同一平面内，两条直线不相交时称为平行线。
平行线的定义是相对的，不是绝对的。
平行线是针对直线而言的，不能用于曲线或折线。
平行线的定义逆定理
描述
如果两条直线互相平行，那么它们不相交。
证明
根据平行线的定义，两条平行的直线在同一个平面内，因此它们不会相交。

10.3平行线的性质

阅读课本P32
教学过程
教学环节
教师活动（教法）
学生活动（学法）
我们刚刚学习了“三线八角”，如果是两条平行的直线被第三条直线所截，所成的同位角、同旁内角、内错角之间有什么关系？这就是本节所要研究的问题————平行线的性质。
提出问题：如图所示，C D
利用三角尺和直尺画直线AB‖D，直线EF与AB、CD相交量出
主备人：审核人：教学时间：年月日
教学内容
10.3平行线的性质
总课时数
10
教学目标
1.能准确说出平行线的三个性质。
2.会运用平行线的性质，解决与“三线八角”有关的计算问题。
3.发展学生空间观念，有条理地思考和语言表达能力。
教学重点
平行线的性质
教学难点
平行线的性质的探索过程及应用
教学准备
三角尺、量角器
课前预习
教学过程
教学环节
教师活动（教法）
学生活动（学法）
教学过程
教学环节
教师活动（教法）
学生活动（学法）
课后反思

第13讲：平行线的性质

平行线的性质1.理解平行线的概念；2.掌握平行线的公理及其推论；3.能熟练掌握平行线的应用.1．平行线的概念在同一个平面内，不相交的两条直线叫做平行线。

平行用符号“∥”表示，如“AB∥CD”，读作“AB 平行于CD”。

同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：______________。

注意：（1）平行线是无限延伸的，无论怎样延伸也不相交。

（2）当遇到线段、射线平行时，指的是线段、射线所在的直线平行。

2.平行线公理及其推论平行公理：经过直线外一点，____________一条直线与这条直线平行。

推论：如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。

3.平行线的性质（1）两直线平行，_________相等。

（2）两直线平行，_________相等。

（3）两直线平行，__________互补。

1.平行线的性质【例1】如图，直线a∥b，被直线c所截，已知∠1=70°，那么∠2的度数为．【例2】如图，把矩形沿对折后使两部分重合，若，则=（）A．110°B．115° C．120°D．130°【例3】如图，AB∥CD，EF与AB、CD分别相交于点E、F，EP⊥EF，与∠EFD的平分线FP相交于点P，且∠BEP=50°，则∠EPF=（）度．A．70 B．65 C．60 D．55练习1.如图，将直线l1沿着AB的方向平移得到直线l2，若∠1=50°，则∠2的度数是（）A．40°B． 50°C． 90°D． 130°练习2.将直尺和直角三角板按如图方式摆放，已知∠1=30°，则∠2的大小是（）A．30°B．45°C．60°D．65°练习3.如图，直线l1∥l2，直线l3与l1，l2分别交于A，B两点，若∠1=70°，则∠2=（）A．70°B．80°C．110°D．120°练习4.如图，在△ABC中，点D、E、F分别是三条边上的点，EF∥AC，DF∥AB，∠B=45°，∠C=60°．则∠EFD=（）A．80°B．75°C．70°D．65°练习5.如图，将一块三角板的直角顶点放在直尺的一边上，当∠2=38°时，∠1=（）A．52°B．38°C．42°D．60°练习6.如图，在△ABC 中，∠C ＝90°．若BD ∥AE ，∠DBC ＝20°，则∠CAE 的度数是A ．40°B ．60°C ．70°D ．80°练习7. 如图，l ∥m ，∠1＝115º，∠2＝ 95º，则∠3＝（） A ．120º B ．130º C ．140º D ．150º练习8.如图，直线AB ∥CD ，∠A ＝70︒，∠C ＝40︒，则∠E 等于（A ）30° （B ）40° （C ）60° （D ）70°练习9.如图，已知//AB ED ，65ECF ∠=，则BAC ∠的度数为（）（A ）115 （B ）65 （C ）60 （D ）25 练习10.如图，已知∠1=070，如果CD ∥BE ，那么∠B 的度数为（）A ．070 B ．0100 C ．0110 D ． 0120AC BD E 第2题图A BC D E练习11.如图，在△ABC 中，∠B=40°，过点C 作CD ∥AB ，∠ACD=65°，则∠ACB 的度数为（）A ．60°B ．65°C ．70°D ．75°2.平行线的应用【例4】已知：如图，AB ∥CD ，求证：∠B+∠D=∠BED 。