集合与简易逻辑知识点

集合、简易逻辑

知识梳理：

1、 集合：某些指定的对象集在一起就构成一个集合。集合中的每一个对象称为该集合的元素。 元素与集合的关系：A a ∈或A a ∉

集合的常用表示法： 列举法 、 描述法 。集合元素的特征： 确定性 、 互异性 、 无序性 。

常用一些数集及其代号：非负整数集或自然数集N ；正整数集*N ，整数集Z ；有理数集Q ；实数集R

2、子集：如果集合A 的任意一个元素都是集合B 的元素，那么集合A 称为集合B 的子集，记为A ⊆B

3、真子集：如果A ⊆B ，并且B A ≠，那么集合A 成为集合B 的真子集，记为A ⊄B ，读作“A 真包含于B 或B 真包含A ”，如：}{}{b a a ,⊆。 注：空集是任何集合的子集。是非空集合的真子集

结论：设集合A 中有n 个元素，则A 的子集个数为n 2个，真子集个数为12-n 个 4、补集：设A ⊆S ，由S 中不属于A 的所有元素组成的集合称为S 的子集A 的补集，记为A C s ，读作“A 在S 中的补集”，即A C s =}{A x S x x ∉∈且,|。

5、全集：如果集合S 包含我们所要研究的各个集合，这时S 可以看作一个全集。通常全集记作U 。

6、交集：一般地，由所有属于集合A 且属于B 的元素构成的集合，称为A 与B 的交集，记作B A ⋂即：B A ⋂=}{B x A x x ∈∈且,|。

7、并集：一般地，由所有属于集合A 或属于B 的元素构成的集合，称为A 与B 的并集，记作B A ⋃即：B A ⋂=}{B x A x x ∈∈或,|。

记住两个常见的结论：B A A B A ⊆⇔=⋂；A B A B A ⊆⇔=⋃；

9、命题：可以判断真假的语句叫做命题。（全称命题 特称命题）

⑴全称量词——“所有的”、“任意一个”等，用“∀”表示；

全称命题p ：)(,x p M x ∈∀； 全称命题p 的否定⌝p ：)(,x p M x ⌝∈∃。 ⑵存在量词——“存在一个”、“至少有一个”等，用“∃”表示；

特称命题p ：)(,x p M x ∈∃； 特称命题p 的否定⌝p ：)(,x p M x ⌝∈∀；

10、“或”、“且”、“非”这些词叫做逻辑联结词；不含有逻辑联结词的命题是简单命题；由简单命题和逻辑联结词“或”、“且”、“非”构成的命题是复合命题。构成复合命题的形式：p 或q ；p 且q ；非p(记作┑q) 。 11、“或”、“且”、“非”的真值判断： 非p 与p 真假相反；“p 且q”：同真才真， 一假即假；“p 或q”：同假才假，一真即真 12、命题的四种形式与相互关系： • 原命题：若P 则q ； • 逆命题：若q 则p ； • 否命题：若┑P 则┑q ； • 逆否命题：若┑q 则┑p

• 原命题与逆否命题互为逆否命题，同真假； • 逆命题与否命题互为逆否命题，同真假； 13、从逻辑推理关系上看：

若q p ⇒，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件，即“前者为后者的充分，后者为前者的必要”。

若q p ⇔，则p 是q 的充分必要条件，简称p 是q 的充要条件。

若q p ⇒，且q p ，那么称p 是q 的充分不必要条件。

若p q ， 且q ⇒p ，那么称p 是q 的必要不充分条件。 若p

q ， 且q

p ，那么称p 是q 的既不充分又不必要条件。

从集合与集合之间的关系上看： 条件p 、q 对应集合分别为A 、B ，则

若B A ⊆，则p 是q 的充分条件，若B A ⊂，则p 是q 的充分非必要条件 若B A ⊇，则p 是q 的必要条件，若B A ⊃，则p 是q 的必要非充分条件 若A=B ，则p 是q 的充要条件

若A B B A ⊄⊄且，则p 是q 的非充分必要条件

9.充要条件。关键是分清条件和结论（划主谓宾），由条件可推出结论，条件是结论成立的充分条件；由结论可推出条件，则条件是结论成立的必要条件。从集合角度解释，若B A ⊆，则A 是B 的充分条件；若B A ⊆，则A 是B 的必要条件；若A=B ，则A 是B 的充要条件。如（1）给出下列命题：①实数0=a 是直线12=-y ax 与322=-y ax 平行的充要条件；②若0,,=∈ab R b a 是b a b a +=+成立的充要条件；③已知R y x ∈,，

“若0=xy ，则0=x 或0=y ”的逆否命题是“若0≠x 或0≠y 则0≠xy ”；④“若a 和b 都是偶数，则b a +是偶数”的否命题是假命题 。其中正确命题的序号是_______（答：①④）；（2）设命题p ：|43|1x -≤；命题

q:0)1()12(2

≤+++-a a x a x 。若┐p 是┐q 的必要而不充分的条件，则实数a 的取值范围是 （答：1

[0,]2

）

10. 一元一次不等式的解法：通过去分母、去括号、移项、合并同类项等步骤化为ax b >的形

式，若0a >,则b x a >

；若0a <,则b

x a

<；若0a =,则当0b <时，x R ∈；当0b ≥时，x ∈∅。如已知关于x 的不等式0)32()(<-++b a x b a 的解集为)3

1

,(--∞，则关于x 的不等式

0)2()3(>-+-a b x b a 的解集为_______（答：{|3}x x <-）

11. 一元二次不等式的解集（联系图象）。尤其当0∆=和0∆<时的解集你会正确表示吗？设

0a >,12,x x 是方程20ax bx c ++=的两实根，且12x x <，则其解集如下表：

如解关于的不等式：01)1(<++-x a ax 。（答：当时，；当时，或

1x a <

；当01a <<时，11x a <<；当1a =时，x ∈∅；当1a >时，1

1x a

<<） 12. 对于方程02=++c bx ax 有实数解的问题。首先要讨论最高次项系数a 是否为0，其次若0≠a ，则一定有042≥-=∆ac b 。对于多项式方程、不等式、函数的最高次项中含有参数时，

你是否注意到同样的情形？如：（1）()()2

22210a x a x -+--<对一切R x ∈恒成立，则a 的取值范围是_______（答：(1,2]）；（2）关于x 的方程()f x k =有解的条件是什么？(答：k D ∈，其中D 为()f x 的值域)，特别地，若在[0,

]2

π

内有两个不等的实根满足等式

cos 221x x k +=+，则实数k 的范围是_______.（答：[0,1)）

13.一元二次方程根的分布理论。方程2

()0(

0)f x ax bx c a =++=>在),(+∞k 上有两根、在(,)m n 上有两根、在),(k -∞和),(+∞k 上各有一根的充要条件分别是什么？

0()0()0

2f m f n b m a

n ∆≥>><-<⎧⎪⎪

⎨⎪

⎪⎩、()0f k <）。根的分布理论成立的前提是（0()02f k b

k a

∆≥>->⎧

⎪⎪

⎨⎪⎪⎩、

0)=x 有实数解的情况，可先利用在开区间),(n m 上实根分布的情况，得出结果，再令n x =和m x =检查端点的情况．如实系数方程220x ax b ++=的一根

大于0且小于1，另一根大于1且小于2，则12--a b 的取值范围是_________（答：（4

1

，1））

14.二次方程、二次不等式、二次函数间的联系你了解了吗？二次方程20ax bx c ++=的两个根即为二次不等式2

0(0)ax bx c ++><的解集的端点值，也是二次函数2

y ax bx c =++的图象与x

轴的交点的横坐标。如（1）32

ax >+的解集是(4,)b ，则a =__________（答：18）；（2）

若关于x 的不等式02

<++c bx ax 的解集为),(),(+∞-∞n m ，其中0<

式02<+-a bx cx 的解集为________（答：),1()1,(+∞---∞n

m ）；（3）不等式2

3210

x bx -+≤对[1,2]x ∈-恒成立，则实数b 的取值范围是_______（答：∅）。