2018-2019版课堂讲义人教B版数学必修一文档：第二单元 函数2-4-1 含答案 精品

2.4函数与方程

2.4.1函数的零点

[学习目标] 1.理解函数零点的概念.2.会求一次函数、二次函数的零点.3.初步了解函数的零点、方程的根、函数图象与x轴交点的横坐标之间的关系.

[知识链接]

考查下列一元二次方程与对应的二次函数：

(1)方程x2－2x－3＝0与函数y＝x2－2x－3；

(2)方程x2－2x＋1＝0与函数y＝x2－2x＋1；

(3)方程x2－2x＋3＝0与函数y＝x2－2x＋3.

请列表表示出方程的根，函数的图象及图象与x轴交点的坐标.

答案

x＝－1，x＝3x＝x＝1无实数根

[

1.函数的零点

(1)定义：一般地，如果函数y＝f(x)在实数α处的值等于零，即f(α)＝0，则α叫做这个函数的零点.

(2)性质

①当函数图象通过零点且穿过x轴时，函数值变号.

②两个零点把x轴分为三个区间，在每个区间上所有函数值保持同号.

2.二次函数零点与二次方程实根个数的关系

要点一 求函数的零点 例1 求下列函数的零点： (1)f (x )＝－x 2－2x ＋3； (2)f (x )＝x 4－1.

解 (1)∵f (x )＝－x 2－2x ＋3＝－(x ＋3)(x －1)， ∴方程－x 2－2x ＋3＝0的两根分别是－3和1. 故函数的零点是－3,1.

(2)∵f (x )＝x 4－1＝(x 2＋1)(x ＋1)(x －1)， ∴方程x 4－1＝0的实数根是－1和1. ∴函数的零点为±1.

规律方法 函数零点的求法： (1)代数法：求方程f (x )＝0的实数根；

(2)几何法：对于不能用求根公式的方程f (x )＝0，可以将它与函数y ＝f (x )的图象联系起来，图象与x 轴的交点的横坐标即为函数的零点. 跟踪演练1 求函数y ＝(ax －1)(x ＋2)的零点. 解 (1)当a ＝0时，令y

＝0得x ＝－2； (2)当a ≠0时，令y ＝0得，x ＝1

a 或x ＝－2.

①当a ＝－1

2时，函数的零点为－2；

②当a ≠－12时，函数的零点为1

a ，－2.

综上所述：(1)当a ＝0或－1

2时，零点为－2；

(2)当a ≠0且a ≠－12时，零点为1

a ，－2.

要点二 函数零点个数的判断

例2 若函数f (x )＝ax 2－x －1仅有一个零点，求实数a 的取值范围.

解 ①若a ＝0，则f (x )＝－x －1为一次函数，易知函数仅有一个零点；

②若a ≠0，则函数f (x )为二次函数，若其只有一个零点，则方程ax 2－x －1＝0仅有一个实数根(也可说成有两个相等的实数根)， 故判别式Δ＝1＋4a ＝0，a ＝－1

4

.

综上，当a ＝0或a ＝－1

4

时，函数仅有一个零点.

规律方法 判断或求形如函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的零点时，首先对a 分a ≠0和a ＝0两种情况讨论，然后对a ≠0的情况，利用判别式法判别相应一元二次方程根的情况，即可判断函数零点的情况.

跟踪演练2 判断下列函数的零点个数： (1)f (x )＝x 2－7x ＋12； (2)f (x )＝x 2－1

x

.

解 (1)由f (x )＝0即x 2－7x ＋12＝0， 得Δ＝49－4×12＝1＞0，

∴方程x 2－7x ＋12＝0有两个不等的实数根. ∴函数f (x )有两个零点.

(2)方法一 由x 2－1x ＝0得x 2＝1

x ，

令h (x )＝x 2(x ≠0)，g (x )＝1

x

，

在同一坐标系中画出h (x )和g (x )的图象知两图象只有一个交点， 故函数有一个零点.

方法二 令f (x )＝0得x 2－1

x ＝0

即x 3－1＝0(x ≠0)， ∴x ＝1，即方程只有一个根. ∴函数有一个零点.

要点三 函数零点性质的应用

例3 已知关于x 的二次方程ax 2－2(a ＋1)x ＋a －1＝0有两个根，且一个根大于2，另一个根小于2，试求实数a 的取值范围.

解 令f (x )＝ax 2－2(a ＋1)x ＋a －1，依题意知，函数f (x )有两个零点，且一个零点大于2，一个零点小于2.

∴f (x )的大致图象如图所示：

则a 应满足⎩⎪⎨⎪⎧ a ＞0，f (2)＜0或⎩⎪⎨⎪⎧

a ＜0，

f (2)＞0，

即⎩⎪⎨⎪⎧

a ＞0，

4a －4(a ＋1)＋a －1＜0， 或⎩

⎪⎨⎪⎧

a ＜0，4a －4(a ＋1)＋a －1＞0， 解得0＜a ＜5， ∴a 的取值范围为(0,5).

规律方法 解决此类问题可设出方程对应的函数，根据函数的零点所在的区间分析区间端点函数值的符号，建立不等式，使问题得解.当函数解析式中含有参数时，要注意分类讨论. 跟踪演练3 已知关于x 的二次方程x 2＋2mx ＋2m ＋1＝0.若方程有两根，其中一根在区间(－1,0)内，另一根在区间(1,2)内，求m 的取值范围.

解 由已知抛物线f (x )＝x 2＋2mx ＋2m ＋1的图象与x 轴的交点分别在区间(－1,0)和(1,2)内，画出示意图，得

⎩⎪⎨⎪⎧

f (0)＝2m ＋1＜0，

f (－1)＝2＞0，f (1)＝4m ＋2＜0，f (2)＝6m ＋5＞0

⇒⎩⎪⎨⎪⎧

m ＜－12

，

m ∈R ，m ＜－1

2

，

m ＞－56

，

∴－56＜m ＜－12，故m 的取值范围是(－56，－12

).

1.函数y ＝x 2－4的图象与x 轴的交点坐标及其函数的零点分别是( ) A.(0，±2)；±2

B.(±2,0)；±

2