2018年秋高中数学第三章导数及其应用3.2导数的计算3.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法
3.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(课件)
§3.2 导数的计算
3.2.2 基本初等函数的导数公式及导数
的运算法则
1.掌握基本初等函数的导数公式． 2.掌握导数的和、差、积、商的求导法则． 3.会运用导数的四则运算法则解决一些函数的求导问题.
1.导数公式表的记忆．(重点)
2.应用四则运算法则求导．(重点)
3.利用导数研究函数性质．(难点)
x xlna
2.导数的四则运算法则 设f(x)、g(x)是可导的. 公式 语言叙述 两个函数的和(或差)的导数，等于 这两个函数的导数的 和(差)
[f(x)±g(x)]′＝ f′(x)±g′(x)
[f(x)g(x)]′＝ f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)
两个函数的积的导数，等于第一个 函数的导数乘上第二个函数，加上 第一个函数乘上第二个函数的导数
答案： 1± 7 3
4．求下列函数的导数： 1 (1)y＝2x －x＋ x；(2)y＝2xtan x.
3
解析： (1) y′＝(2x
3
1 1 2 )′－x′＋ x ′＝6x －1－x2.
(2)y′＝(2xtan x)′＝(2x)′tan x＋2x(tan x)′ ＝2 ln 2tan x＋2
1.基本初等函数的导数公式
（1）若f(x)=c，则f′(x)=0；
nxn-1 ； （2）若f(x)=xn(n∈Q*)，则f′(x)=_____
（3）若f(x)=sinx，则f′(x)=_____ cosx ；
（4）若f(x)=cosx，则f′(x)=______; -sinx （5）若f(x)=ax，则f′(x)=_____( axlna a>0)； （6）若f(x)=ex，则f′(x)=__ ex； （7）若f(x)=logax，则f′(x)= 1 (a>0且a≠1)； (8)若f(x)=lnx，则f′(x)= 1 .
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导数的运算法则: 法则1:两个函数的和(差)的导数,等于这两个函数的 导数的和(差),即:
法则2:两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数 乘第二个函数,加上第一个函数乘第二个函数的导数 , 即:
法则3:两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数 乘第二个函数,减去第一个函数乘第二个函数的导数 , 再除以第二个函数的平方.即:
公式7.若f
(x)
log a
x, 则f
'( x)
1 (a x ln a
0, 且a
1);
公式8.若f (x) ln x,则f '(x) 1 ; x
[例1] 求下列函数的导数． (1)y＝a2(a为常数)． (2)y＝x12. (3)y＝cosx. [解析] (1)∵a为常数，∴a2为常数， ∴y′＝(a2)′＝0. (2)y′＝(x12)′＝12x11 (3)y′＝(cosx)′＝－sinx.
例2 假设某国家20年期间的年均通货膨胀率为5%， 物 价p(单位：元)与时间t(单位：年)有如下函数关系： 其中p0为t＝0时的物价. 假定某种商品的p0＝1，那么 在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多 少（精确到0.01）？
答:在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度 约0.08元/年.
;
(4) y 6x3 x ; 1 x2
例5.已知y x，1)求y;
2)求曲线在点（1，1）处的切线方程.
解：1）y x x x
Vx
x x x
y lim y lim
1
1.
x0 x x0 x x x 2 x
2) 切线方程 : y 1 1 (x 1).即：y= 1 x 1
第三章 导数及其应用
3.2.2 基本初等函数的导数公 式及导数的运算法则
高中数学 第3章 导数及其应用 几个常用函数的导数 3.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算
高中数学 第3章 导数及其应用 3.2 3.2.1 几个常用函数的导数 3.2.2 基本初等函数的导数公式及导 数的运算法则（一）课件 新人教A版选修1-1
第三章 导数及其应用
3.2.2
3.2 导数的计算 3.2.1 几个常用函数的导数 基本初等函数的导数公式及导数的运算法
则(一)
学习目标 1.能根据定义求函数y＝c，y＝
[思路点拨] 直线PQ的斜率⇒所求切线的斜率⇒切点坐标⇒所 求切线方程．
[解] 因为y′＝(x2)′＝2x，设切点为M(x0，y0)，则y′|x＝x0＝2x0，
又因为PQ的斜率为k＝
4－1 2＋1
＝1，而切线平行于PQ，所以k＝2x0
＝1，即x0＝12.所以切点为M12，41. 所以所求切线方程为y－14＝x－12，即4x－4y－1＝0.
(2)y′＝(5
x3)′＝(x35)′＝53x35－1＝53x－52＝
3 5
5
. x2
(3)∵y＝2sin 2xcos 2x＝sin x，∴y′＝cos x.
(4)y′＝(log1x)′＝ 1 1＝－xln1 2. 2 xln 2
(5)y′＝(3x)′＝3xln 3.
休息时间到啦
同学们，下课休息十分钟。现在是休息时间，你们休息一下眼睛， 看看远处，要保护好眼睛哦~站起来动一动，久坐对身体不好哦~
f′(x)＝_－__s_i_n_x__
f(x)＝ax
f′(x)＝_a_x_ln__a_(a>0)
f(x)＝ex f(x)＝logax
f′(x)＝_e_x__
1 f′(x)＝_x_ln__a_(a>0，且 a≠1)
f(x)＝ln x
1 f′(x)＝__x__
高中数学 第三章 导数及其应用 3.2 导数的计算 第1课时 几个常用函数的导数与基本初等函数的导数
§3.2 导数的计算第1课时 几个常用函数的导数与基本初等函数的导数公式学习目标 1.能根据定义求函数y ＝c ，y ＝x ，y ＝x 2，y ＝1x，y ＝x 的导数.2.能利用给出的基本初等函数的导数公式求简单函数的导数．知识点一 几个常用函数的导数原函数导函数f (x )＝c f ′(x )＝0 f (x )＝x f ′(x )＝1 f (x )＝x 2 f ′(x )＝2x f (x )＝1xf ′(x )＝－1x 2f (x )＝xf ′(x )＝12x知识点二 基本初等函数的导数公式原函数导函数f (x )＝c (c 为常数) f ′(x )＝0 f (x )＝x α(α∈Q *) f ′(x )＝αx α－1 f (x )＝sin x f ′(x )＝cos_x f (x )＝cos x f ′(x )＝－sin_x f (x )＝a x f ′(x )＝a x ln_a (a >0)f (x )＝e x f ′(x )＝e xf (x )＝log a x f ′(x )＝1x ln a(a >0，且a ≠1)f (x )＝ln xf ′(x )＝1x1．若y ＝3，则y ′＝12×3＝32.( × )2．若f ′(x )＝sin x ，则f (x )＝cos x ．( × ) 3．因为(ln x )′＝1x，则⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ′＝ln x ．( × )类型一 利用导数公式求函数的导数 例1 求下列函数的导数．(1)y ＝x 12；(2)y ＝1x4；(3)y 35x(4)y ＝2sin x 2cos x2；(5)y ＝12log x ；(6)y ＝3x.考点 基本初等函数的导数公式 题点 利用导数公式求函数的导数 解 (1)y ′＝(x 12)′＝12x 12－1＝12x 11.(2)y ′＝(x －4)′＝－4x－4－1＝－4x －5＝－4x5.(3)y ′＝35x )′＝35x ⎛⎫' ⎪⎝⎭＝31535x -＝2535x -255x (4)∵y ＝2sin x 2cos x2＝sin x ，∴y ′＝cos x .(5)y ′＝12log x ⎛⎫' ⎪⎝⎭＝1x ln12＝－1x ln2. (6)y ′＝(3x )′＝3xln3.反思与感悟 若题目中所给出的函数解析式不符合导数公式，需通过恒等变换对解析式进行化简或变形后求导，如根式化成指数幂的形式求导． 跟踪训练1 求下列函数的导数．(1)y ＝(1－x )⎝⎛⎭⎪⎫1＋1x ＋x ；(2)y ＝2cos 2x2－1.考点 基本初等函数的导数公式 题点 利用导数公式求函数的导数解 (1)∵y ＝(1－x )⎝⎛⎭⎪⎫1＋1x ＋x＝1－x x ＋x ＝1x＝12x -，∴y ′＝3212x --.(2)∵y ＝2cos 2x2－1＝cos x ，∴y ′＝(cos x )′＝－sin x . 类型二 导数公式的应用 命题角度1 求切线方程例2 已知点P (－1,1)，点Q (2,4)是曲线y ＝x 2上两点，是否存在与直线PQ 垂直的切线，若有，求出切线方程，若没有，请说明理由． 考点 导数的应用 题意 导数的应用解 因为y ′＝(x 2)′＝2x ，假设存在与直线PQ 垂直的切线． 设切点为(x 0，y 0)，由PQ 的斜率为k ＝4－12＋1＝1，而切线与PQ 垂直，所以2x 0＝－1，即x 0＝－12.所以切点为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，14. 所以所求切线方程为y －14＝(－1)⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12， 即4x ＋4y ＋1＝0. 引申探究若本例条件不变，求与直线PQ 平行的曲线y ＝x 2的切线方程． 解 因为y ′＝(x 2)′＝2x ，设切点为M (x 0，y 0)， 则0'|x x y =＝2x 0，又因为PQ 的斜率为k ＝4－12＋1＝1，而切线平行于PQ ，所以k ＝2x 0＝1，即x 0＝12.所以切点为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，14. 所以所求切线方程为y －14＝x －12，即4x －4y －1＝0.反思与感悟 解决切线问题，关键是确定切点，要充分利用 (1)切点处的导数是切线的斜率． (2)切点在切线上．(3)切点又在曲线上这三个条件联立方程解决．跟踪训练2 已知两条曲线y ＝sin x ，y ＝cos x ，是否存在这两条曲线的一个公共点，使在这一点处两条曲线的切线互相垂直？并说明理由． 考点 导数的应用 题点 导数的应用解 设存在一个公共点(x 0，y 0)，使两曲线的切线垂直，则在点(x 0，y 0)处的切线斜率分别为k 1＝0'|x x y =＝cos x 0，k 2＝0'|x x y =＝－sin x 0.要使两切线垂直，必须有k 1k 2＝cos x 0(－sin x 0)＝－1， 即sin2x 0＝2，这是不可能的．所以两条曲线不存在公共点，使在这一点处的两条切线互相垂直． 命题角度2 求切点坐标例3 求抛物线y ＝x 2上的点到直线x －y －2＝0的最短距离． 考点 导数的应用 题点 导数的应用解 依题意知抛物线y ＝x 2与直线x －y －2＝0平行的切线的切点到直线x －y －2＝0的距离最短，设切点坐标为(x 0，x 20)．∵y ′＝(x 2)′＝2x ，∴2x 0＝1，∴x 0＝12，∴切点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，14， ∴所求的最短距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪12－14－22＝728.反思与感悟 利用基本初等函数的求导公式，可求其图象在某一点P (x 0，y 0)处的切线方程，可以解决一些与距离、面积相关的几何的最值问题，一般都与函数图象的切线有关．解题时可先利用图象分析取最值时的位置情况，再利用导数的几何意义准确计算．跟踪训练3 已知直线l: 2x －y ＋4＝0与抛物线y ＝x 2相交于A ，B 两点，O 是坐标原点，试求与直线l 平行的抛物线的切线方程，并在弧AOB 上求一点P ，使△ABP 的面积最大． 考点 导数的应用 题点 导数的应用解 设M (x 0，y 0)为切点，过点M 与直线l 平行的直线斜率k ＝y ′＝2x 0， ∴k ＝2x 0＝2，∴x 0＝1，y 0＝1.故可得M (1,1)，∴切线方程为2x －y －1＝0.由于直线l: 2x －y ＋4＝0与抛物线y ＝x 2相交于A ，B 两点， ∴|AB |为定值，要使△ABP 的面积最大，只要P 到AB 的距离最大， 故点M (1,1)即为所求弧AOB 上的点P ，使△ABP 的面积最大．1．下列结论：①(sin x )′＝cos x ；②53x ⎛⎫' ⎪⎝⎭＝23x ；③(log 3x )′＝13ln x ；④(ln x )′＝1x .其中正确的有( ) A ．0个 B ．1个 C ．2个D ．3个考点 基本初等函数的导数公式 题点 利用导数公式求函数的导数 答案 C解析 ∵②⎝ ⎛⎭⎪⎫x 53′＝2353x ；③(log 3x )′＝1x ln3，∴②③错误，故选C.2．质点的运动方程是s ＝1t4(其中s 的单位为m ，t 的单位为s)，则质点在t ＝3s 时的速度为( )A ．－4×3－4m/sB ．－3×3－4m/sC ．－5×3－5m/sD ．－4×3－5m/s考点 几个常用函数的导数 题点 几个常用函数导数的应用 答案 D解析 ∵s ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1t4′＝－4t －5，∴s ′|t ＝3＝－4×3－5.则质点在t ＝3s 时的速度为－4×3－5m/s. 3．曲线y ＝ln x 在x ＝1处切线的倾斜角为( ) A ．1 B ．－π4C.π4D.5π4考点 基本初等函数的导数公式 题点 指数函数、对数函数的导数 答案 C解析 y ′|x ＝1＝1，则切线的倾斜角为π4.4．曲线y ＝e x在点(0,1)处的切线方程为________． 考点 基本初等函数的导数公式 题点 常数、幂函数的导数 答案 x －y ＋1＝0 解析 y ′|x ＝0＝1，∴切线方程为y －1＝x ，即x －y ＋1＝0.5．当常数k 为何值时，直线y ＝kx 与曲线y ＝x 2相切？请求出切点． 考点 几个常用函数的导数 题点 几个常用函数导数的应用解 设切点为A (x 0，x 20)，因为y ′＝2x ，所以⎩⎪⎨⎪⎧2x 0＝k ，x 20＝kx 0，所以k ＝0，故当k ＝0时，直线y ＝kx 与曲线y ＝x 2相切，且切点坐标为(0,0)．1．利用常见函数的导数公式可以比较简便地求出函数的导数，其关键是牢记和运用好导数公式．解题时，能认真观察函数的结构特征，积极地进行联想化归． 2．有些函数可先化简再应用公式求导．如求y ＝1－2sin 2x2的导数．因为y ＝1－2sin 2x2＝cos x ，所以y ′＝(cos x )′＝－sin x .3．对于正弦、余弦函数的导数，一是注意函数名称的变化，二是注意函数符号的变化.一、选择题1．下列结论中正确的个数为( )①y ＝ln2，则y ′＝12；②y ＝f (x )＝1x 2，则f ′(3)＝－227；③y ＝2x，则y ′＝2x ln2；④y ＝log 2x ，则y ′＝1x ln2. A ．0B ．1C ．2D ．3考点 基本初等函数的导数公式 题点 基本初等函数的导数公式的应用 答案 D解析 ①中y ＝ln2为常数， 所以y ′＝0.①错．2．已知f (x )＝1x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫15等于( ) A ．－25 B ．－125C.125D ．25考点 几个常用函数的导数 题点 几个常用函数导数的应用 答案 B解析 因为f (x )＝1x ，所以f ′(x )＝－1x 2.故f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫15＝－25，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫15＝f (－25)＝－125. 3．已知f (x )＝x a，若f ′(－1)＝－4，则a 等于( ) A ．4B ．－4C ．5D ．－5考点 基本初等函数的导数公式 题点 常数、幂函数的导数 答案 A解析 ∵f ′(x )＝ax a －1，f ′(－1)＝a (－1)a －1＝－4，∴a ＝4.4．正弦曲线y ＝sin x 上切线的斜率等于12的点为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，32 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，－32或⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，32C.⎝⎛⎭⎪⎫2k π＋π3，32 (k ∈Z )D.⎝⎛⎭⎪⎫2k π＋π3，32或⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π－π3，－32 (k ∈Z )考点 基本初等函数的导数公式 题点 正弦、余弦函数的导数 答案 D解析 设斜率等于12的切线与曲线的切点为P (x 0，y 0)，∵y ′|x ＝x 0＝cos x 0＝12，∴x 0＝2k π＋π3或2k π－π3，k ∈Z ，∴y 0＝32或－32. 5．函数y ＝e x 在点(2，e 2)处的切线与坐标轴围成三角形的面积为( ) A.94e 2 B ．2e 2C ．e 2D.e 22考点 基本初等函数的导数公式 题点 指数函数、对数函数的导数 答案 D解析 ∵y ′＝(e x )′＝e x ，∴k ＝e 2，∴曲线在点(2，e 2)处的切线方程为y －e 2＝e 2(x －2)， 即y ＝e 2x －e 2.当x ＝0时，y ＝－e 2，当y ＝0时，x ＝1. ∴S ＝12×1×|－e 2|＝12e 2.6．已知曲线y ＝x 3在点(2,8)处的切线方程为y ＝kx ＋b ，则k －b 等于( ) A ．4B ．－4C ．28D ．－28 考点 基本初等函数的导数公式 题点 常数、幂函数的导数 答案 C解析 ∵点(2,8)在切线上，∴2k ＋b ＝8，① 又y ′|x ＝2＝3×22＝12＝k ，②由①②可得k ＝12，b ＝－16，∴k －b ＝28.7．已知曲线y ＝ln x 的切线过原点，则此切线的斜率为( ) A ．eB ．－eC.1e D ．－1e考点 基本初等函数的导数公式 题点 指数函数、对数函数的导数 答案 C解析 设切点坐标为(x 0，ln x 0)， 则切线的斜率为0'|x x y ＝1x 0，又切线斜率可表示为ln x 0－0x 0－0，∴1x 0＝ln x 0x 0，则x 0＝e ，∴切线的斜率为1e.8．设f 0(x )＝sin x ，f 1(x )＝f ′0(x )，f 2(x )＝f ′1(x )，…，f n ＋1(x )＝f ′n (x )，n ∈N ，则f 2016(x )等于( ) A ．sin x B ．－sin x C ．cos xD ．－cos x考点 基本初等函数的导数公式 题点 正弦余弦函数的导数 答案 A解析 f 1(x )＝f ′0(x )＝(sin x )′＝cos x ，f 2(x )＝f ′1(x )＝(cos x )′＝－sin x ， f 3(x )＝f ′2(x )＝(－sin x )′＝－cos x ， f 4(x )＝(－cos x )′＝sin x ， f 5(x )＝(sin x )′＝f 1(x )， f 6(x )＝f 2(x )，…， f n ＋4(x )＝f n (x )，可知周期为4，∴f 2016(x )＝f 504×4(x )＝sin x . 二、填空题9．已知f (x )＝1x ，g (x )＝mx 且g ′(2)＝1f ′2，则m ＝________.考点 几个常用函数的导数 题点 几个常用函数导数的应用 答案 －4解析 ∵f ′(x )＝－1x 2，g ′(x )＝m ，∴f ′(2)＝－14，又g ′(2)＝1f ′2，∴m ＝－4.10．设曲线y ＝e x在点(0,1)处的切线与曲线y ＝1x(x >0)上点P 处的切线垂直，则P 的坐标为________．考点 基本初等函数的导数公式 题点 指数函数、对数函数的导数 答案 (1,1)解析 因为y ′＝e x，所以曲线y ＝e x在点(0,1)处的切线的斜率k 1＝e 0＝1. 设P (m ，n )，y ＝1x (x >0)的导数为y ′＝－1x2(x >0)，曲线y ＝1x (x >0)在点P 处的切线斜率k 2＝－1m2(m >0)．因为两切线垂直，所以k 1k 2＝－1， 所以m ＝1，n ＝1，则点P 的坐标为(1,1)．11．已知f (x )＝cos x ，g (x )＝x ，则关于x 的不等式f ′(x )＋g ′(x )≤0的解集为___________．考点 基本初等函数的导数公式题点 正弦、余弦函数的导数答案 ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x ＝π2＋2k π，k ∈Z 解析 ∵f ′(x )＝－sin x ，g ′(x )＝1，由f ′(x )＋g ′(x )≤0，得－sin x ＋1≤0，即sin x ≥1，则sin x ＝1，解得x ＝π2＋2k π，k ∈Z ， ∴其解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x ＝π2＋2k π，k ∈Z . 12．若曲线y ＝x －12在点(a ，a －12)处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为18，则a ＝________.考点 几个常用函数的导数题点 几个常用函数导数的应用答案 64解析 ∵y ＝x －12，∴y ′＝－12x －32， ∴曲线在点(a ，a －12)处的切线斜率k ＝－12a －32， ∴切线方程为y －a －12＝－12a －32(x －a )． 令x ＝0，得y ＝32a －12；令y ＝0，得x ＝3a ， ∴该切线与两坐标轴围成的三角形的面积为S ＝12·3a ·32a －12＝94a 12＝18，∴a ＝64.三、解答题13．点P 是曲线y ＝e x 上任意一点，求点P 到直线y ＝x 的最小距离．考点 基本初等函数的导数公式题点 指数函数、对数函数的导数解 如图，当曲线y ＝e x 在点P (x 0，y 0)处的切线与直线y ＝x 平行时，点P 到直线y ＝x 的距离最近，则曲线y ＝e x 在点P (x 0，y 0)处的切线斜率为1，又y ′＝(e x )′＝e x ，所以e x 0＝1，得x 0＝0，代入y ＝e x ，得y 0＝1，即P (0,1)． 利用点到直线的距离公式得最小距离为22. 四、探究与拓展14．设函数f (x )在(0，＋∞)内可导，且f (e x )＝x ＋e x ，则f ′(1)等于( )A ．1B ．2C ．3D ．4 考点 基本初等函数的导数公式题点 指数函数、对数函数的导数答案 B解析 设e x ＝t ，则x ＝ln t (t >0)，∴f (t )＝ln t ＋t ，∴f ′(t )＝1t＋1，∴f ′(1)＝2. 15．下列曲线的所有切线中，存在无数对互相垂直的切线的曲线是( )A ．f (x )＝e xB ．f (x )＝x 3C ．f (x )＝ln xD ．f (x )＝sin x 考点 导数的应用题点 导数的应用答案 D解析 若直线垂直且斜率存在，则其斜率之积为－1.因为A 项中，(e x )′＝e x >0，B 项中，(x 3)′＝3x 2≥0，C 项中，x >0，即(ln x )′＝1x>0，所以不会使切线斜率之积为－1，故选D.。
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导数公式的综合应用 命题角度2 利用导数公式运算法则解决问题
例1
一分党
1 xln a
(a>0，且a≠1)
1 f′(x)＝__x__
知识点三 导数运算法则
典例分析
导数公式的综合应用 命题角度1 利用导数公式解决切线问题
例1（2018全国I卷）设函数
若
为奇函数，则曲线
在点（0,0）处的切线
方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
反思与感2悟.2求. 求过过曲曲线线yy==ff((xx))上上一一点点P(Px(0x，0，y0)y的0)的 切切线线方方程程的的基基本本步骤骤：： （（1）1）求求函函数数yy==ff(x)的的导导数数；；
完 美 型
例2
例3
例4
习1
习2
还有10多天，你还不加油冲刺
导函数 f′(x)＝__0__
f′(x)＝_α_x_α_－_1_
f′(x)＝_c_o_s_x__ f′(x)＝_－__s_i_n_x f′(x)＝_a_x_ln__a_ (a>0)
知识点二 基本初等函数的导数公式
f(x)＝ex f(x)＝logax f(x)＝ln x
f′(x)＝
f′(x)＝__e_x_
x f(x)＝ x
导函数
f′(x)＝_0_
f′(x)＝_1_ f′(x)＝_2_x_ f′(x)＝_－__x_12___
1 f′(x)＝__2__x___
高中数学第3章导数及其应用3.23.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则二课件新人教A版选修
3.2.2
3.2 导数的计算 基本初等函数的导数公式及导数的运算法
则(二)
学习目标 1．理解函数的和、差、积、商
核心素养
的求导法则. 借助导数公式及运算法则求函
2.能够综合运用导数公式和导数 数的导数，培养数学运算素养.
运算法则求函数的导数．(重
点、难点)
自主 预习 探新 知
3利用导数运算法则求导的原则是尽可能化为和、差，能利用 和差的求导法则求导的，尽量少用积、商的求导法则求导.
[跟进训练] 1．求下列函数的导数． (1)y＝e2x；(2)y＝x2＋log3 x；(3)y＝lnxx. [解] (1)y＝e2x＝ex·ex，∴y′＝(ex)′·ex＋ex·(ex)′＝2e2x. (2)y＝x2＋log3 x，∴y′＝2x＋xln1 3. (3)y＝lnx x，∴y′＝lnlnx－x21.
A．x
B．1x
C．ln x＋1
D．ln x＋x
C [y′＝(x)′×ln x＋x×(ln x)′＝ln x＋1.]
2．函数y＝x4＋sin x的导数为( )
Hale Waihona Puke A．y′＝4x3B．y′＝cos x
C．y′＝4x3＋sin x
D．y′＝4x3＋cos x
D [y′＝(x4)′＋(sin x)′＝4x3＋cos x．]
坐标为0，－x60.令y＝x，得y＝x＝2x0，从而得切线与直线y＝x的交
点坐标为(2x0,2x0)，所以点P(x0，y0)处的切线与直线x＝0，y＝x所围 成的三角形面积为21－x60·|2x0|＝6.故曲线y＝f(x)上任一点处的切线与 直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形的面积为定值，此定值为6.
2018年秋高中数学第三章导数及其应用3.3导数在研究函数中的应用3.3.2函数的极值与导数
3.3.2 函数的极值与导数学习目标：1.了解极值的概念、理解极值与导数的关系．(难点)2.掌握利用导数求函数极值的步骤，能熟练地求函数的极值．(重点)3.会根据函数的极值求参数的值．(难点)[自主预习·探新知]1．极小值点与极小值若函数f(x)满足：(1)在x＝a附近其他点的函数值f(x)≥f(a)；(2)f′(a)＝0；(3)在x＝a附近的左侧f′(x)<0，在x＝a附近的右侧f′(x)>0，则点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．2．极大值点与极大值若函数f(x)满足：(1)在x＝b附近其他点的函数值f(x)≤f(b)；(2)f′(b)＝0；(3)在x＝b附近的左侧f′(x)>0，在x＝b附近的右侧f′(x)<0，则点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．思考：(1)区间[a，b]的端点a，b能作为极大值点或极小值点吗？(2)若函数f(x)在区间[a，b]内存在一点c，满足f′(c)＝0，则x＝c是函数f(x)的极大值点或极小值点吗？[提示](1)不能，极大值点和极小值点只能是区间内部的点．(2)不一定，若在点c的左右两侧f′(x)符号相同，则x＝c不是极大值点或极小值点，若在点c的左右两侧f′(x)的符号不同，则x＝c是函数f(x)的极大值点或极小值点．3．极值的定义(1)极小值点、极大值点统称为极值点．(2)极大值与极小值统称为极值．4．求函数y＝f(x)的极值的方法解方程f′(x)＝0，当f′(x0)＝0时，(1)如果在x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是极大值.(2)如果在x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，那么f(x0)是极小值．[基础自测]1．思考辨析(1)导数值为0的点一定是函数的极值点．()(2)函数的极大值一定大于极小值．( )(3)在可导函数的极值点处，切线与x轴平行或重合．( )(4)函数f (x )＝1x有极值．( )[答案] (1)× (2)× (3)√ (4)× 2．函数y ＝x 3＋1的极大值是( )A ．1B ．0C ．2D ．不存在D [y ′＝3x 2≥0，则函数y ＝x 3＋1在R 上是增函数，不存在极大值．] 3．若x ＝－2与x ＝4是函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx 的两个极值点则有( )【导学号：97792153】A ．a ＝－2，b ＝4B ．a ＝－3，b ＝－24C ．a ＝1，b ＝3D ．a ＝2，b ＝－4B [f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，依题意有x ＝－2和x ＝4是方程3x 2＋2ax ＋b ＝0的两个根，所以有－2a 3＝－2＋4，b3＝－2×4，解得a ＝－3，b ＝－24.][合 作 探 究·攻 重 难]求函数的极值函数f (x )的极小值是( )图338A ．a ＋b ＋cB ．3a ＋4b ＋cC ．3a ＋2bD ．c(2)求下列函数的极值： ①f (x )＝13x 3－x 2－3x ＋3；②f (x )＝2xx 2＋1－2. [解析] (1)由f ′(x )的图象知，当x <0时，f ′(x )<0， 当0<x <2时，f ′(x )>0，当x >2时，f ′(x )<0 因此当x ＝0时，f (x )有极小值，且f (0)＝c ，故选D. [答案] D(2)①函数的定义域为R ，f ′(x )＝x 2－2x －3.令f ′(x )＝0，得x ＝3或x ＝－1.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：x (－∞，－1)－1 (－1,3) 3 (3，＋∞)f ′(x ) ＋ 0 － 0 ＋ f (x )↗极大值143↘极小值－6↗∴x ＝－1是f (x )的极大值点，x ＝3是f (x )的极小值点，且f (x )极大值＝143，f (x )极小值＝－6.②函数的定义域为R ， f ′(x )＝2x 2＋1－4x 2x 2＋12＝－2x －1x ＋1x 2＋12. 令f ′(x )＝0，得x ＝－1或x ＝1.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：x (－∞，－1)－1 (－1,1) 1 (1，＋∞)f ′(x ) － 0 ＋ 0 － f (x )↘极小值－3↗极大值－1↘当x ＝－1时，函数f (x )有极小值，且f (－1)＝－22－2＝－3；当x ＝1时，函数f (x )有极大值，且f (1)＝22－2＝－1.[规律方法] 函数极值和极值点的求解步骤 (1)确定函数的定义域. (2)求方程f ′(x )＝0的根．(3)用方程f ′(x )＝0的根顺次将函数的定义域分成若干个小开区间，并列成表格． (4)由f ′(x )在方程f ′(x )＝0的根左右的符号，来判断f (x )在这个根处取极值的情况． 提醒：当实数根较多时，要充分利用表格，使极值点的确定一目了然． 1．求下列函数的极值． (1)f (x )＝2x ＋8x；(2)f (x )＝3x＋3ln x .[解] (1)因为f (x )＝2x ＋8x，所以函数的定义域为{x |x ∈R 且x ≠0}，f ′(x )＝2－8x2，令f ′(x )＝0，得x 1＝－2，x 2＝2.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：x (－∞，－2)－2 (－2,0) (0,2) 2 (2，＋∞)f ′(x ) ＋ 0 － － 0 ＋ f (x )↗极大值－8↘↘极小值8↗因此，当x ＝－2时，f (x )有极大值－8； 当x ＝2时，f (x )有极小值8.(2)函数f (x )＝3x＋3ln x 的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝－3x 2＋3x＝3x －1x 2， 令f ′(x )＝0，得x ＝1.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：x (0,1) 1 (1，＋∞)f ′(x ) － 0 ＋ f (x )↘极小值3↗因此，当x ＝1时，f (x )有极小值3，无极大值.已知函数的极值求参数范围(值)【导学号：97792154】[思路探究] f (x )在x ＝－1处有极值0有两方面的含义：一方面x ＝－1为极值点，另一方面极值为0，由此可得f ′(－1)＝0，f (－1)＝0.[解] ∵f ′(x )＝3x 2＋6ax ＋b 且函数f (x )在x ＝－1处有极值0，∴⎩⎪⎨⎪⎧f ′－1＝0，f －1＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧3－6a ＋b ＝0，－1＋3a －b ＋a 2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝9.当a ＝1，b ＝3时，f ′(x )＝3x 2＋6x ＋3＝3(x ＋1)2≥0，此时函数f (x )在R 上为增函数，无极值，故舍去．当a ＝2，b ＝9时，f ′(x )＝3x 2＋12x ＋9＝3(x ＋1)(x ＋3)． 当x ∈(－∞，－3)时，f ′(x )＞0，此时f (x )为增函数；当x ∈(－3，－1)时，f ′(x )＜0，此时f (x )为减函数； 当x ∈(－1，＋∞)时，f ′(x )＞0，此时f (x )为增函数． 故f (x )在x ＝－1处取得极小值． ∴a ＝2，b ＝9.[规律方法] 已知函数的极值情况求参数时应注意两点(1)待定系数法：常根据极值点处导数为0和极值两条件列出方程组，用待定系数法求解．(2)验证：因为导数值为0不一定此点就是极值点，故利用上述方程组解出的解必须验证．[跟踪训练]2．(1)函数f (x )＝x 3－ax 2－bx ＋a 2在x ＝1时有极值10，则a ，b 的值为( ) A ．a ＝3，b ＝－3或a ＝－4，b ＝11 B ．a ＝－4，b ＝2或a ＝－4，b ＝11 C ．a ＝－4，b ＝11 D ．以上都不对C [f ′(x )＝3x 2－2ax －b .由题意知⎩⎪⎨⎪⎧f ′1＝3－2a －b ＝0，f 1＝1－a －b ＋a 2＝10，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝－3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝11.当a ＝3，b ＝－3时，f ′(x )＝3(x ＋1)2≥0，不合题意，故a ＝－4，b ＝11.] (2)函数f (x )＝13x 3－x 2＋ax －1有极值点，求a 的取值范围．[解] f ′(x )＝x 2－2x ＋a ，由题意，方程x 2－2x ＋a ＝0有两个不同的实数根，所以Δ＝4－4a >0，解得a <1.所以a 的取值范围为(－∞，1)．函数极值的综合应用1．如何画三次函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d (a ≠0)的大致图象？提示：求出函数的极值点和极值，根据在极值点左右两侧的单调性画出函数的大致图象． 2．三次函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋c (a ≠0)的图象和x 轴一定有三个交点吗？提示：不一定，三次函数的图象和x 轴交点的个数和函数极值的大小有关，可能有一个也可能有两个或三个．已知a 为实数，函数f (x )＝－x 3＋3x ＋a (1)求函数f (x )的极值，并画出其图象(草图)(2)当a 为何值时，方程f (x )＝0恰好有两个实数根．[思路探究] (1)求出函数f (x )的极值点和极值，结合函数在各个区间上的单调性画出函数的图象．(2)当极大值或极小值恰好有一个为0时，方程f (x )＝0恰好有两个实数根． [解] (1)由f (x )＝－x 3＋3x ＋a ， 得f ′(x )＝－3x 2＋3,令f ′(x )＝0，得x ＝－1或x ＝1. 当x ∈(－∞，－1)时，f ′(x )<0； 当x ∈(－1,1)时，f ′(x )>0； 当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )<0.所以函数f (x )的极小值为f (－1)＝a －2；极大值为f (1)＝a ＋2. 由单调性、极值可画出函数f (x )的大致图象，如图所示，(2)结合图象，当极大值a ＋2＝0时，有极小值小于0，此时曲线f (x )与x 轴恰有两个交点，即方程f (x )＝0恰有两个实数根，所以a ＝－2满足条件；当极小值a －2＝0时，有极大值大于0，此时曲线f (x )与x 轴恰有两个交点，即方程f (x )＝0恰好有两个实数根，所以a ＝2满足条件．综上，当a ＝±2时，方程恰有两个实数根．母题探究：1.本例中条件不变，试求当a 为何值时，方程f (x )＝0有三个不等实根． [解] 由例题解析知，当⎩⎪⎨⎪⎧a －2<0a ＋2>0即－2<a <2时，方程f (x )＝0有三个不等实根．2．若本例条件改为：已知函数f (x )＝x 3－6x ＋5，x ∈R . 试求：(1)函数f (x )的单调区间和极值．(2)若关于x 的方程f (x )＝a 有三个不同的实根，求实数a 的取值范围． [解] (1)f ′(x )＝3x 2－6， 令f ′(x )＝0，解得x 1＝－2，x 2＝ 2.因为当x >2或x <－2时，f ′(x )>0； 当－2<x <2时，f ′(x )<0.所以f (x )的单调递增区间为(－∞，－2)和(2，＋∞)； 单调递减区间为(－2，2)． 当x ＝－2时，f (x )有极大值5＋42； 当x ＝2时，f (x )有极小值5－4 2.(2)由(1)的分析知y ＝f (x )的图象的大致形状及走向如图所示．所以，当5－42<a<5＋42时，直线y＝a与y＝f(x)的图象有三个不同的交点，即方程f(x)＝a有三个不同的实根．[规律方法]利用导数研究方程根的个数利用导数可以判断函数的单调性，研究函数的极值情况，并能在此基础上画出函数的大致图象，从直观上判断函数图象与x轴的交点或两个函数图象的交点的个数，从而为研究方程根的个数问题提供了方便．1．下列四个函数中，能在x＝0处取得极值的是( )①y＝x3；②y＝x2＋1；③y＝cos x－1；④y＝2x.A．①②B．②③C．③④ D．①③B[①④为单调函数，不存在极值．]2．函数f(x)的定义域为R，导函数f′(x)的图象如图339所示，则函数f(x)( )图339A．无极大值点，有四个极小值点B．有三个极大值点，两个极小值点C．有两个极大值点，两个极小值点D．有四个极大值点，无极小值点C[当f′(x)的符号由正变负时，f(x)有极大值，当f′(x)的符号由负变正时，f(x)有极小值．由函数图象易知，函数有两个极大值点，两个极小值点．]3．函数y＝－3＋48x－x3的极小值是__________；极大值是________．－131 125[y′＝－3x2＋48＝－3(x＋4)(x－4)，∵当x∈(－∞，－4)∪(4，＋∞)时，y′<0；当x∈(－4,4)时，y′>0，∴x＝－4时，y取到极小值－131，x＝4时，y取到极大值125.]4．已知函数f (x )＝x 3＋3ax 2＋3(a ＋2)x ＋1既有极大值又有极小值，则实数a 的取值范围是________．(－∞，－1)∪(2，＋∞) [f ′(x )＝3x 2＋6ax ＋3(a ＋2)， ∵函数f (x )既有极大值又有极小值， ∴方程f ′(x )＝0有两个不相等的实根． ∴Δ＝36a 2－36(a ＋2)＞0.即a 2－a －2＞0，解之得a ＞2或a ＜－1.] 5．已知函数f (x )＝ax 2＋b ln x 在x ＝1处有极值12.(1)求a ，b 的值．(2)判断函数f (x )的单调区间，并求极值.【导学号：97792155】[解] (1)因为f (x )＝ax 2＋b ln x ， 所以f ′(x )＝2ax ＋b x. 又函数f (x )在x ＝1处有极值12.故⎩⎪⎨⎪⎧f ′1＝0，f 1＝12，即⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＝0，a ＝12，解得a ＝12，b ＝－1.(2)由(1)可知f (x )＝12x 2－ln x .其定义域为(0，＋∞)． 且f ′(x )＝x －1x＝x ＋1x －1x.令f ′(x )＝0，则x ＝－1(舍去)或x ＝1. 当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如表：x (0,1) 1 (1，＋∞)f ′(x ) － 0 ＋ f (x )↘极小值↗上只有极小值f (1)＝12，无极大值．。
高中数学 第三章 导数及其应用 3.2 导数的运算 3.2.1
3.2.1 常数与幂函数的导数 3.2.2 导数公式表课堂探究探究一 利用导数公式求函数的导数利用导数定义求导是求导数的基本方法，但过于烦琐，通常若所求函数符合求导公式，则利用导数公式求导数可简化求导过程，但需要准确记忆公式，恰当选择公式；对于不能直接用公式的类型，关键是将其进行适当变形，转化为可以直接应用公式的基本初等函数形式，如y ＝5x 3可以写成y ＝35x 等，就可以直接使用幂函数的求导公式求导． 【典型例题1】 求下列函数的导数：(1)y ＝x 7； (2)y ＝x x ； (3)y ＝log 3x ； (4)y ＝2sin x 2·cos x 2；(5)y ＝1x 2. 思路分析：对于基本初等函数的求导，直接利用导数公式求导，应注意将所给函数关系式转化为能直接应用公式的形式．解：(1)y ′＝7x 6；(2)因为y ＝x x ＝32x ，所以y ′＝3212x ＝32x ； (3)y ′＝1x ln 3； (4)因为y ＝2sin x 2·cos x 2＝sin x ，所以y ′＝cos x ； (5)因为y ＝1x 2＝x －2，所以y ′＝－2x －3＝－2x3. 探究二 导数的应用利用导数来求曲线在某点处的切线斜率是一种非常有效的方法，它适合于任何可导函数，这就为导数和解析几何的沟通搭建了桥梁，利用切线的斜率建立相应的未知参数的方程来解决．【典型例题2】 若曲线y ＝12x -在点(a ，12a -)处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为18，求a 的值．思路分析：先求出切线方程，再求出切线在x 轴、y 轴上的截距，利用三角形面积公式列方程求a . 解：y ′＝－1232x -(x ＞0)，故在点(a ，12a -)处的切线的斜率k ＝－1232a -， 所以切线方程为y －12a -＝－1232a - (x －a )，易得切线在x 轴、y 轴上的截距分别为3a ，3212a -， 所以切线与两坐标轴围成的三角形的面积为S ＝12×3a ×3212a -＝9412a ＝18. 所以a ＝64.。
高中数学第三章导数及其应用3.2导数的运算3.2.1常数与幂函数的导数3.2.2导数公式表bb
3．2 导数的运算
3．2.1 常数与幂函数的导数 3．2.2 导数公式表
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第三章 导数(dǎo shù)及其应用
1.了解基本初等函数的导数公式． 2.理解函数 y ＝C(C 为常数)、y＝x、y＝x2、y＝1x的导数公式的推导过 程． 3．掌握基本初等函数的导数公式的应用．
答案：(3，9)
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内容(nèiróng)总结
第三章 导数(dǎo shù)及其应用
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y＝f(x) y＝ex y＝logax(a>0，a≠1，x>0)
y＝ln x y＝sin x y＝cos x
y′＝f′(x) y′＝__e_x_
1 y′＝_x_l_n_a___
1 y′＝__x____ y′＝____c_o_s_x__ y′＝____－__s_in_x___
＝－12x－32＝－2 1x3，
所以 f′(1)＝－2×1 1＝－12，
所以函数 f(x)在 x＝1 处的导数为－12.
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利用导数公式研究切线问题 求曲线 y＝cos x 在(π4， 22)处的切线方程．
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【解】 因为 y′＝(cos x)′＝－sin x， 所以 y′|x＝π4＝－sinπ4＝－ 22. 所以曲线 y＝cos x 在(π4， 22)处的切线方程为 y－ 22＝－ 22(x－π4)， 即 x＋ 2y－1－π4＝0.
高中数学 第3章 导数及其应用 3.2.13.2.2 几个常用函数的导数、基本初等函数的导数公式及导
1 C.2 x
∴f′(3)＝2 1
3＝
3 6.
12345
3 D. 2
解析答案
12345
3.设正弦曲线y＝sin x上一点P，以点P为切点的切线为直线l，则直线l的
倾斜角的范围是( A ) A.[0，π4]∪[34π，π)
B.[0，π)
C.[π4，34π]
D.[0，π4]∪[π2，34π]
解析 ∵(sin x)′＝cos x， ∵kl＝cos x，∴－1≤kl≤1， ∴αl∈[0，π4]∪[34π，π).
(2)y＝5x；
解 y′＝(5x)′＝5xln 5； (3)y＝x13； 解 y′＝(x－3)′＝－3x－4；
解析答案
(4)y＝4 x3；
解
y′＝(4
x3)′＝(
3
x4
)′＝
3
x
1
4＝
3
；
4
4
4x
(5)y＝log3x.
解 y′＝(log3x)′＝xln1 3.
反思与感悟
解析答案
跟踪训练2 求下列函数的导数：
1 f′(x)＝ xln a (a>0，且a≠1)
f(x)＝ln x
1
f′(x)＝_x_
答案
返回
题型探究
题型一 利用导数定义求函数的导数
例1 利用导数的定义求函数f(x)＝2 016x2的导数.
2 016x＋Δx2－2 016x2
解 f′(x)＝lim Δx→0
x＋Δx－x
2 016[x2＋2x·Δx＋Δx2]－2 016x2
分析 如图，设l是与直线y＝x平行，且与曲线y＝ex相切的直线，
则切点到直线y＝x的距离最小.
【精编】高中数学第三章导数及其应用3.2导数的计算3.2.1几个常用函数的导数3.2.2基本初等函数的导数公式及
母题探究：1.是否存在与直线PQ垂直的切线，若有，求出切线方程，若 没有，说明理由．
[解] 假设存在与直线PQ垂直的切线，因为PQ的斜率为k＝42－ ＋11＝1， 所以与PQ垂直的切线斜率k＝－1， 设切点为(x1，y1)，则y′|x＝x1＝2x1， 令2x1＝－1，则x1＝－12，y1＝14， 切线方程为y－14＝－x＋12，即4x＋4y＋1＝0.
1 f′(x)＝___x__
思考：你能根据导数公式(xn)′＝nxn－1，求f(x)＝ x的导数吗？
[提示]
f(x)＝
1
x＝x2，则
f′(x)＝12x12－1＝12x－12＝2
1
x.
[基础自测] 1．思考辨析 (1)(log3π)′＝πl1n 3. (2)若f(x)＝1x，则f′(x)＝ln x． (3)因为(sin x)′＝cos x，所以(sin π)′＝cos π＝－1.
C．－5×3－5 m/s
D．－4×3－5 m/s
D [s＝t14＝t－4，则s′＝－4t－5，从而s′|t＝3＝－4×3－5，故选D.]
3．曲线y＝ex在点(0,1)处的切线方程为__________．
x－y＋1＝0 [y′＝ex，y′|x＝0＝e0＝1，故切线方程为y－1＝x，即x－y ＋1＝0.]
y′＝21
，从而 x
y′|x＝14＝
1 1＝1，
24
即切线的斜率为 1，故切线的倾斜角 α＝π4.
[答案] B
(2)①y′＝(x20)′＝20x20－1＝20x19.
②y′＝(x－4)′＝－4x－4－1＝－4x－5.
③y′＝(log6x)′＝xln1 6.
④y′＝sin
π3′＝0.
高中数学《第三章导数及其应用3.2导数的计算3.2.2基本初等函数的...》62PPT课件 一等奖名师
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自
[解析] (1)y′＝xx＋－11′＝x＋1′×x－1x－－1x2＋1×x－1′＝x－－212，
当
主
堂
预 习 •
则y′|x＝3＝－12，又切线与直线ax＋y＋1＝0垂直，
达 标 •
探
固
新 知
故1a＝－12，所以a＝－2，故选D.
双 基
合 作
(2)设P(x0，y0)，由y′＝(xln x)′＝ln x＋1，得
2．设f(x)＝x3＋ax2＋bx＋1的导数f′(x)满足f′(1)＝2a，f′(2)＝－b，
标 •
探
固
新 其中常数a，b∈R，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程．
双
知
基
合
[解] 因为f(x)＝x3＋ax2＋bx＋1，
作 探
所以f′(x)＝3x2＋2ax＋b.
究
• 攻
令x＝1，得f′(1)＝3＋2a＋b，
C [y′＝(x)′×ln x＋x×(ln x)′＝ln x＋1.]
•
攻
重
课 时 分 层 作 业
难
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自
当
主
堂
预
达
习
标
• 探
3．函数y＝x4＋sin x的导数为( )
• 固
新
双
知
A．y′＝4x3
B．y′＝cos x
基
合
C．y′＝4x3＋sin x
D．y′＝4x3＋cos x
作
探
究 •
D [y′＝(x4)′＋(sin x)′＝4x3＋cos x．]
习
标
• 探
数组合成的，确定求导法则，基本公式．
高中数学第三章导数及其应用3.2导数的运算3.2.1常数与幂函数的导数3.2.2导数公式表课堂探究新人教B版选修1-
3.2.1 常数与幂函数的导数 3.2.2 导数公式表课堂探究探究一 利用导数公式求函数的导数利用导数定义求导是求导数的基本方法，但过于烦琐，通常若所求函数符合求导公式，则利用导数公式求导数可简化求导过程，但需要准确记忆公式，恰当选择公式；对于不能直接用公式的类型，关键是将其进行适当变形，转化为可以直接应用公式的基本初等函数形式，如y ＝5x3可以写成y ＝等，就可以直接使用幂函数的求导公式求导． 【典型例题1】 求下列函数的导数： (1)y ＝x 7； (2)y ＝x x ； (3)y ＝log 3x ；(4)y ＝2sin x 2·cos x 2；(5)y ＝1x2. 思路分析：对于基本初等函数的求导，直接利用导数公式求导，应注意将所给函数关系式转化为能直接应用公式的形式．解：(1)y ′＝7x 6；(2)因为y ＝x x ＝，所以y ′＝32＝32x ； (3)y ′＝1xln 3； (4)因为y ＝2sin x 2·cos x 2＝sin x ，所以y ′＝cos x ； (5)因为y ＝1x2＝x －2，所以y ′＝－2x －3＝－2x3. 探究二 导数的应用利用导数来求曲线在某点处的切线斜率是一种非常有效的方法，它适合于任何可导函数，这就为导数和解析几何的沟通搭建了桥梁，利用切线的斜率建立相应的未知参数的方程来解决．【典型例题2】 若曲线y ＝在点(a ，)处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为18，求a 的值．思路分析：先求出切线方程，再求出切线在x 轴、y 轴上的截距，利用三角形面积公式列方程求a .解：y ′＝－12(x ＞0)，故在点(a ，)处的切线的斜率k ＝－12， 所以切线方程为y －＝－12 (x －a )，易得切线在x 轴、y 轴上的截距分别为3a ，32，所以切线与两坐标轴围成的三角形的面积为S ＝12×3a ×32＝94＝18.所以a ＝64.。
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3.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(二)学习目标：1.理解函数的和、差、积、商的求导法则.2.能够综合运用导数公式和导数运算法则求函数的导数．(重点、难点)[自 主 预 习·探 新 知]导数的运算法则(1)设两个函数f (x )，g (x )可导，则 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f x g x ′＝f x g x －f x gx[g x2(g (x )≠0)[cf (x )]′＝cf ′(x )(c 为常数)思考：根据商的导数的运算法，试求函数y ＝1x的导数．[提示] y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x′＝x －xx 2＝－1x2.[基础自测]1．思考辨析(1)若f (x )＝a 2＋2ax ＋x 2，则f ′(a )＝2a ＋2x . ( ) (2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤1f x ′＝－fx [f x 2(f (x )≠0)．( ) (3)运用法则求导时，不用考虑f ′(x )，g ′(x )是否存在． ( )[答案] (1)× (2)√ (3)× 2．函数y ＝x ·ln x 的导数是( )A ．x B.1xC ．ln x ＋1D ．ln x ＋xC [y ′＝(x )′×ln x ＋x ×(ln x )′＝ln x ＋1.] 3．函数y ＝x 4＋sin x 的导数为( ) A ．y ′＝4x 3 B ．y ′＝cos x C ．y ′＝4x 3＋sin xD ．y ′＝4x 3＋cos xD [y ′＝(x 4)′＋(sin x )′＝4x 3＋cos x ．] 4．函数y ＝9x的导数为__________.【导学号：97792139】y ′＝－9x2 [y ′＝9′×x －9×x ′x2＝－9x2][合 作 探 究·攻 重 难](1)y ＝1x 2＋sin x 2cos x 2；(2)y ＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－32x －6＋2；(3)y ＝cos x ln x ； (4)y ＝xex . [解] (1)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x2＋sin x 2cos x 2′＝(x －2)′＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin x ′＝－2x －3＋12cos x＝－2x 3＋12cos x .(2)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3－32x 2－6x ＋2′＝(x 3)′－⎝ ⎛⎭⎪⎫32x 2′－(6x )′＋(2)′＝3x 2－3x －6.(3)y ′＝(cos x ln x )′＝(cos x )′ln x ＋cos x (ln x )′ ＝－sin x ln x ＋cos xx.(4)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x e x ′＝x x－xxx2＝e x－x e xe 2x＝1－x ex .1．(1)已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足f (x )＝2xf ′(1)＋ln x ，则f ′(1)＝( )A ．－eB ．－1C ．1D ．eB [f ′(x )＝2f ′(1)＋1x，则f ′(1)＝2f ′(1)＋1，所以f ′(1)＝－1.](2)求下列函数的导数． ①y ＝x 3·e x.②y ＝cos x x.【导学号：97792140】[解] ①y ′＝(x 3·e x )＝(x 3)′·e x ＋x 3·(e x)′ ＝3x 2·e x ＋x 3·e x ＝e x (x 3＋3x 2)． ②y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x x ′＝xx －cos x xx 2＝－x ·sin x －cos x x2＝－x sin x ＋cos xx2.(1)设曲线y ＝x －1在点(3,2)处的切线与直线ax ＋y ＋1＝0垂直，则a 等于( ) A ．2 B.12 C ．－12D ．－2(2)若曲线y ＝x ln x 上点P 处的切线平行于直线2x －y ＋1＝0，则点P 的坐标为__________．[思路探究] (1)切线与直线ax ＋y ＋1＝0垂直⇒切线的斜率为1a.(2)切线与直线2x －y ＋1＝0平行⇒切线的斜率为2.[解析] (1)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x －1′＝x ＋x －－x ＋x －x －2＝－2x －2，则y ′|x ＝3＝－12，又切线与直线ax ＋y ＋1＝0垂直，故1a ＝－12，所以a ＝－2，故选D. (2)设P (x 0，y 0)，由y ′＝(x ln x )′＝ln x ＋1，得y ′|x ＝x 0＝ln x 0＋1，由题意知ln x 0＋1＝2解得x 0＝e ，y 0＝e ，故P (e ，e) [答案] (1)D (2)(e ，e)2．设f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋1的导数f ′(x )满足f ′(1)＝2a ，f ′(2)＝－b ，其中常数a ，b ∈R ，求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程．[解] 因为f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋1， 所以f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b . 令x ＝1，得f ′(1)＝3＋2a ＋b ，又因为f ′(1)＝2a ，所以3＋2a ＋b ＝2a ，解得b ＝－3. 令x ＝2，得f ′(2)＝12＋4a ＋b . 又因为f ′(2)＝－b ，所以12＋4a ＋b ＝－b ，解得a ＝－32.所以f (x )＝x 3－32x 2－3x ＋1，f (1)＝－52.又因为f ′(1)＝2a ＝－3，所以曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为y －⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝－3(x －1)，即6x ＋2y －1＝0.若曲线C 上存在一点P 到直线l 的距离最短，则曲线C 在点P 处的切线和直线l 有怎样的关系？提示：平行设点P 是曲线y ＝e x＋1上任意一点，求点P 到直线y ＝x －1的最小距离． [思路探究] 与直线y ＝x －1平行且与曲线y ＝e x＋1相切的切线上的切点即为所求． [解] 设与直线y ＝x －1平行的直线与曲线y ＝e x ＋1相切于点P (x 0，y 0)， 由y ′＝e x得y ′|x ＝x 0＝e x 0，由题意知e x 0＝1， 解得x 0＝0，代入y ＝e x＋1得y ＝2，所以P (0,2)， 故点P 到直线y ＝x －1的最小距离为d ＝|0－2－1|2＝322.3．求抛物线y ＝x 2上的点到直线x －y －2＝0的最短距离.【导学号：97792141】[解] 依题意知抛物线y ＝x 2与直线x －y －2＝0平行的切线的切点到直线x －y －2＝0的距离最短，设切点坐标为(x 0，x 20)．∵y ′＝(x 2)′＝2x ，∴2x 0＝1，∴x 0＝12，∴切点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，14，∴所求的最短距离为 d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪12－14－22＝728.[当 堂 达 标·固 双 基]1．下列运算中正确的是( )A ．(ln x －3sin x )′＝(ln x )′－3′·(sin x )′B ．(ax 2＋bx ＋c )′＝a (x 2)′＋bx ′C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x x 2′＝sin x ′－x 2′x 2D ．(cos x ·sin x )′＝(sin x )′cos x ＋(cos x )′cos x B [根据导数的运算法则知B 正确．]2．已知f (x )＝x 3＋3x＋ln 3，则f ′(x )为( )A ．3x 2＋3xB ．3x 2＋3xln 3＋13C ．3x 2＋3x ln 3D ．x 3＋3xln 3C [f ′(x )＝(x 3)′＋(3x)′＋(ln 3)′＝3x 2＋3xln 3，故选C.] 3．函数f (x )＝x e x的导函数f ′(x )＝__________. (1＋x )e x[f ′(x )＝(x e x)′＝e x＋x e x＝(1＋x )e x.]4．直线y ＝12x ＋b 是曲线y ＝ln x (x ＞0)的一条切线，则实数b ＝________.ln 2－1 [设切点为(x 0，y 0)， ∵y ′＝1x ，∴12＝1x 0，∴x 0＝2，∴y 0＝ln 2，ln 2＝12×2＋b ，∴b ＝ln 2－1.]5．设f (x )＝ax 2－b sin x ，且f ′(0)＝1，f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝12，求a ，b 的值.【导学号：97792142】[解] f ′(x )＝2ax －b cos x ，则⎩⎪⎨⎪⎧f ＝－b ＝1，f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝2a π3－b cos π3＝12，即⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－1，2a 3π－12b ＝12，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－1，a ＝0.。