2019届高考数学一轮复习鸭部分不等式选讲第2课时不等式的证明与柯西不等式文

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2019版高考数学(理)一轮总复习作业92不等式的证明与柯西不等式 Word版含解析

题组层级快练(九十二)．设，，是互不相等的正数，则下列不等式中不恒成立的是( )．(＋)<＋＋．＋≥＋．－＋≥－<－答案解析(＋)－(＋＋)＝－－<，故恒成立；在项中不等式的两侧同时乘以，得＋≥＋⇐(－)＋(－)≥⇐(－)－(－)≥⇐(－)(＋＋)≥，所以项中的不等式恒成立；对项中的不等式，当>时，恒成立，当<时，不恒成立；由不等式<恒成立，知项中的不等式恒成立．故选.．已知，，，均为正数，且＋＝，＝，则(＋)(＋)的最小值为．答案解析(＋)(＋)＝＋(＋)＋＝(＋)＋(＋)≥＋(＋)＝＋(＋)＝(＋＋)＝(＋)＝(当且仅当＝＝时等号成立)．．(·沧州七校联考)若＝－，则＋的最小值为．答案解析由＝－，得＝.而＋＝＋＝＋＋≥＝＝，当且仅当＝即＝时取等号．所以＋的最小值为.．若，，∈＋，且＋＋＝，则＋＋的最大值为．答案解析方法一：(＋＋)＝＋＋＋＋＋≤＋＋＋(＋)＋(＋)＋(＋)＝.当且仅当＝＝时取等号成立．方法二：柯西不等式：(＋＋)＝(×＋×＋×)≤(＋＋)(＋＋)＝.．已知，，∈，＋＋＝，则＋＋的最小值为．答案解析由柯西不等式，得(＋＋)(＋＋)≥(＋＋)，即＋＋≥，当＝＝＝时等号成立，所以＋＋的最小值为.．(·江苏南通联考)已知>，>，∈，∈.求证：()≤.答案略证明因为>，>，所以＋>.所以要证()≤，即证(＋)≤(＋)(＋)，即证(－＋)≥，即证(－)≥，而(－)≥显然成立．故()≤.．(·江苏)已知>，>，证明：(＋＋)(＋＋)≥.答案略证明因为>，>，所以＋＋≥>，＋＋≥>.故(＋＋)(＋＋)≥·＝.．(·福建质量检查)若，，∈＋，且满足＋＋＝.()求的最大值；()证明：＋＋≥.答案() ()略解析()因为，，∈＋，所以＝＋＋≥，故≤.当且仅当＝＝＝时等号成立．所以的最大值为.()证明：因为，，∈＋，且＋＋＝，所以根据柯西不等式，可得＋＋＝(＋＋)·(＋＋)＝[()＋()＋()]×[()＋()＋()]≥(×＋×＋×)＝.所以＋＋≥.．(·课标全国Ⅱ，理)已知函数()＝－＋＋，为不等式()<的解集．()求；()证明：当，∈时，＋<＋.答案(){－<<} ()略解析()()＝当≤－时，由()<得－<，解得>－；当－<<时，()<；当≥时，由()<得<，解得<.所以()<的解集＝{－<<}．()由()知，当，∈时，－<<，－<<，从而(＋)－(＋)＝＋－－＝(－)(－)<.因此＋<＋.．(·湖南理)设>，>，且＋＝＋.证明：()＋≥；()＋<与＋<不可能同时成立．答案()略()略解析由＋＝＋＝，>，>，得＝.()由基本不等式及＝，有＋≥＝，即＋≥.()假设＋<与＋<同时成立，则由＋<及>得<<；同理，<<，从而<，这与＝矛盾．故＋<与＋<不可能同时成立．．(·广州综合测试)已知函数()＝＋－＋－.。

高考数学(苏教,理科)复习课：第十六章不等式选讲第二节不等式的证明及柯西不等式

＝131＋3＋ba＋ab＋bc＋bc＋ac＋ac2
≥131＋3＋2
ba·ab＋2
＝13×(1＋9)2＝1030.
bc·bc＋2
ac ·ac 2
当且仅当a＝b＝c＝13时，等号成立． [类题通法]
分析法与综合法常常结合使用，实际是以分析法为主，借
助综合法，使证明的问题明朗化．
[针对训练] 已知a>0，b>0,2c>a＋b，求证：c－ c2－ab<a<c＋ c2－ab. 证明：法一(分析法) 要证c－ c2－ab<a<c＋ c2－ab，即证－ c2－ab<a－c< c2－ab，即证|a－c|< c2－ab，即证(a－c)2<c2－ab，即证a2－2ac<－ab. 因为a>0，所以只要证a－2c<－b，
①先假设要证的命题不成立，以此为出发点，结合已知条件，应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的推理，得到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等)矛盾的结论，以说明假设不正确，从而证明原命题成立，这种方法叫作反证法．
②证明不等式时，通过把不等式中的某些部分的值放大或缩
小，简化不等式，从而达到证明的目的，这种方法叫作放缩法． 2．几个常用基本不等式 (1)柯西不等式： ①柯西不等式的代数形式：设a1，a2，b1，b2均为实数，
[典例] (2014·南通模拟)若正数a，b，c满足a＋b＋c＝1，
则3a1＋2＋3b1＋2＋3c＋1 2的最小值为________．解析：由柯西不等式知：
3a1＋2＋3b1＋2＋3c＋1 2[(3a＋2)＋(3b＋2)＋(3c＋
2)]≥
3a1＋2×
3a＋2＋
3b1＋2×

高考数学一轮总复习第2节不等式的证明课件(选修45)

• (2)分析法：从______推__理___出发，逐步寻求使它成立的 _____条件，直至所要需证条的件结为论已知条件或一个明显成立的事
充实分(定义、公理或已证明的定理、性质等)，从而得出要证的命题成立．
• 3．反证法与放缩法
• (1)反证法
• 证合明__命__题__时__先__假，设应要用证公的理命、题定义__、__不定__成理__立、，性以质此等为，出进发行点正，确结的推已理知，条得件到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等) _____的结论，以说明假设不正确，从而得出原命题成立，我们把这种证明方法称为反证法．矛盾
• 3．能够利用三维的柯西不等式证明一些简单不等式，解决最大(小)值问题．
• 1．比较法方法作差法作商法
【考点自主回扣】 • [要点梳理]
原理 a－b＞0⇔a＞b ab>1⇔a＞b(a＞0，b＞0)
• ．综合法与分析法
• (1)综合法：从___已__知__条__件出发，利用定义、公理、定理、性质等，经过一系列的_____、论证而得出命题成立．
(2) aaab＋b b＝aa－2 bbb－2 a＝aba－2 b， ab 2
当 a＝b 时，aba－2 b＝1；当 a＞b＞0 时，ab＞1，a－2 b＞0，(ab)a－2 b＞1；当 b＞a＞0 时，0＜ab＜1，a－2 b＜0，(ab)a－2 b＞1. 所以 aabb≥(ab)a＋2 b.
• (2)放缩法 • 证明不等式时，通过把不等式中的某些部分的值___放__大_或缩_法小__称__为，放简缩化法不．等式，从而达到证明的目的，我们把这种方
4．三个正数的算术—几何平均不等式 (1)定理如果 a，b，c 均为正数，那么a＋3b＋c_≥_3 abc，当且仅当 _a_＝__b_＝__c__ 时，等号成立．即三个正数的算术平均 _不__小__于__它们的几何平均．

专题15 不等式选讲-2019年高考数学(文)考试大纲解读含解析

选考内容
（二）不等式选讲
1．理解绝对值的几何意义，并能利用含绝对值不等式的几何意义证明以下不等式：
（1）.
（2）.
（3）会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：
.
2．了解下列柯西不等式的几种不同形式，理解它们的几何意义，并会证明.
（1）柯西不等式的向量形式：
（2）.
（3）.
（此不等式通常称为平面三角不等式.）
3．会用参数配方法讨论柯西不等式的一般情形：
4．会用向量递归方法讨论排序不等式.
5．了解数学归纳法的原理及其使用范围，会用数学归纳法证明一些简单问题.
6．会用数学归纳法证明伯努利不等式：
了解当n为大于1的实数时伯努利不等式也成立.
7．会用上述不等式证明一些简单问题.能够利用平均值不等式、柯西不等式求一些特定函数的极值. 8．了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法.
1．从考查题型来看，涉及本知识点的题目主要以选考的方式，在解答题中出现，考查解绝对值不等式、证明不等式等.
2．从考查内容来看，主要考查绝对值不等式的解法、不等式的证明，求最值问题等.
（2）当(0,1)x ∈时成立等价于当(0,1)x ∈时|1|1ax -<成立．
若0a ≤，则当(0,1)x ∈时|1|1ax -≥；
若0a >，|1|1ax -<的解集为20x a <<
，所以21a
≥，故02a <≤．综上，a 的取值范围为(0,2]．考向三不等式的证明样题4 已知函数
的单调递增区间为.
（1）求不等式
的解集；（2）设，证明：.
（2）要证只需证，即证.。

高考数学一轮复习不等式选讲第二节不等式的证明课件理选修45

(定义、公理或已证明的定理、性质等),从而得出要证的命题成立
证……
3.反证法与放缩法
(1)反证法证明命题时先假设要证的命题不成立 ,以此为出发点,结合已知条件,应用公理、定义、定理、性质等,进行正确的推理,得到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实) 矛盾的结论,以说明假设不正确,从而证明原命题成立. (2)放缩法证明不等式时,通过把不等式中的某些部分的值放大或缩小 ,简化不等式,从而达到证明的目的.
考点 2 综合法证明不等式
典例 2 (2015·新课标全国卷Ⅱ)设 a,b,c,d 均为正数,且 a+b=c+d,证明:
(1)若 ab>cd,则 �� + �� > �� + ��; (2) �� + �� > �� + ��是|a-b|<|c-d|的充要条件. 【解题思路】(1)运用配方法证明;(2)从充分性,必要性两方面分别证明. 【参考答案】(1)因为( �� + ��)2=a+b+2 ��,( �� + ��)2=c+d+2 ��, 由题设 a+b=c+d,ab>cd, 得( �� + ��)2>( �� + ��)2. 因此 �� + �� > �� + ��.
�� -��
>1,
故 a2ab2b≥(ab)a+b.

2019年高考数学一轮复习不等式选讲第2节不等式的证明课件理北师大版.pptx

定理 3：如果 a，b，c 为正数，则a＋3b＋c≥3 abc，当且仅当 a＝b＝c 时，等号成立．
定理 4：(一般形式的算术—几何平均不等式)如果 a1，a2，…，an 为 n 个正数，则a1＋a2＋n …＋an≥n a1a2…an，当且仅当 a1＝a2＝…＝an 时，等号成立．
2．柯西不等式 (1)柯西不等式的代数形式：设a，b，c，d都是实数，则(a2＋b2)(c2＋d2)≥ (ac＋bd)2 (当且仅当ad＝bc时，等号成立)． (2)柯西不等式的向量形式：设α，β是两个向量，则|α||β|≥|α·β|，当且仅当β 是零向量，或存在实数k，使α＝kβ时，等号成立．
综合法证明不等式
(2017·全国卷Ⅱ)已知 a>0，b>0，a3＋b3＝2.证明：(1)(a＋b)(a5＋b5)≥4； (2)a＋b≤2. [证明] (1)(a＋b)(a5＋b5)＝a6＋ab5＋a5b＋b6 ＝(a3＋b3)2－2a3b3＋ab(a4＋b4)＝4＋ab(a2－b2)2≥4. (2)因为(a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3＝2＋3ab(a＋b) ≤2＋3a＋4 b2(a＋b)＝2＋3a＋4 b3，所以(a＋b)3≤8，因此 a＋b≤2.
3．若 a＝ 3－ 2，b＝ 6－ 5，c＝ 7－ 6，则 a，b，c 的大小关系为( )
A．a>b>c
B．a>c>b
C．b>c>a
D．c>a>b
A
[“分子”有理化得 a＝
1 3＋
2，b＝
1 6＋
5，c＝
1 7＋
， 6
所以 a>b>c.]
4．已知 a＞0，b＞0 且 ln(a＋b)＝0，则a1＋b1的最小值是________.

高考数学一轮复习不等式选讲第2讲不等式的证明习题课件

S<a＋a b＋a＋b b＋c＋c d＋c＋d d＝2，]若 x1，x2，x3∈(0，＋∞)，则 3
个数xx12，xx23，xx31的值(
)
A．至多有一个不大于 1
B．至少有一个不大于 1
C．都大于 1
D．都小于 1
解析故选 B.
解法一：设 x1≤x2≤x3，则xx12≤1，xx23≤1，xx31≥1.
一、释疑难
对课堂上老师讲到的内容自己想不通卡壳的问题，应该在课堂上标出来，下课时，在老师还未离开教室的时候，要主动请老师讲解清楚。如果老师已经离开教室，也可以向同学请教，及时消除疑难问题。做到当堂知识，当堂解决。
二、补笔记
上课时，如果有些东西没有记下来，不要因为惦记着漏了的笔记而影响记下面的内容，可以在笔记本上留下一定的空间。下课后，再从头到尾阅读一遍自己写的笔记，既可以起到复习的作用，又可以检查笔记中的遗漏和错误。遗漏之处要补全，错别字要纠正，过于潦草的字要写清楚。同时，将自己对讲课内容的理解、自己的收获和感想，用自己的话写在笔记本的空白处。这样，可以使笔记变的更加完整、充实。
2019/5/24
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4．已知 a，b∈R，a2＋b2＝4，则 3a＋2b 的取值范围是____[－__2___1_3_，__2__1_3_]___．
解析根据柯西不等式 (ac ＋ bd)2≤(a2 ＋ b2)·(c2 ＋ d2) ，可得 (3a ＋ 2b)2≤(a2 ＋ b2)·(32＋22) ∴－2 13≤3a＋2b≤2 13. 3a＋2b∈[－2 13，2 13]．
[B 级能力达标]

柯西不等式专题课件高三数学一轮复习

4b＋1＋ 4c＋1的最大值为 21.
方法总结 1．高幂因式在柯西不等式里位于不等号较大的一侧，所以低幂部分有最大值．这里的高幂、低幂是相对的，比如二次相对于一次是高幂，而一次相对于根式也算高幂． 2．低幂因式在柯西不等式里位于不等号较小的一侧，所以高幂部分有最小值．
跟踪训练
6．已知 a，b∈R＋，且 a＋b＝1，则( 4a＋1＋ 4b＋1)2 的最大值是 ____1_2_____．
[证明] 构造二次函数 f(x)＝(a1x＋b1)2＋(a2x＋b2)2＋…＋(anx＋bn)2
＝(a21＋a22＋…＋a2n)x2＋2(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)x＋(b21＋b22＋…＋b2n)，由构造知 f(x)≥0 恒成立，又∵a21＋a22＋…＋a2n≥0， ∴Δ＝4(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)2－4(a21＋a22＋…＋a2n)(b21＋b22＋…＋b2n)≤0，即(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)2≤(a21＋a22＋…＋a2n)(b21＋b22＋…＋b2n)，当且仅当 aix＋bi＝0(i＝1，2…n)即ab11＝ab22＝…＝abnn时等号成立．
题型三一般形式的柯西不等式及证明柯西不等式：设 a1，a2，a3，…，an，b1，b2，b3，…，bn 是实数，则 (a21＋a22＋a23＋…＋a2n)·(b21＋b22＋b23＋…＋b2n)≥(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)2，当且仅当 bi＝0(i＝1，2，3，…，n)或存在一个数 k，使得 ai＝kbi(i＝1， 2，3，…，n)时，等号成立．例3 利用函数知识证明柯西不等式．
[证明] 由柯西不等式得 a2＋b2· 12＋12≥a＋b，即 2 a2＋b2≥a＋b. 同理 2 b2＋c2≥b＋c， 2 a2＋c2≥a＋c. 将上面三个同向不等式相加得

2019版高考数学一轮复习选修部分不等式选讲第二节不等式的证明实用课件理

综一般地，从已知条件出发，利用定义、公理、定合理、性质等，经过一系列的_推__理__、__论__证___而得出
法命题_成__立__
分析
从__要__证__的__结__论____出发，逐步寻求使它成立的 _充__分__条__件____，直至所需条件为已知条件或一个
法明显成立的事实(定义，公理或已证明的定理，
法二：(1＋2x4)－(2x3＋x2)＝x4－2x3＋x2＋x4－2x2＋1
＝(x－1)2·x2＋(x2－1)2≥0，所以 1＋2x4≥2x3＋x2.
aabb (2)aba＋2 b

＝aa－2 bbb－2 a＝ab
a－b 2
，
∴当 a＝b 时，ab
a－b 2
＝1，
解析：∵a，b∈R ＋，且 a＋b＝2，∴(a＋b)1a＋1b＝2＋ba＋ab ≥2＋2 ba·ab＝4，∴1a＋1b≥a＋4 b＝2，即1a＋1b的最小值为 2(当且仅当 a＝b＝1 足 2ab＝a＋b＋12，则 ab 的最小值是 ________．
(4)设 x＝a2b2＋5，y＝2ab－a2－4a，若 x>y，则实数 a，b 应满足的条件为________________．解析：若 x>y，则 x－y＝a2b2＋5－(2ab－a2－4a) ＝a2b2－2ab＋a2＋4a＋5 ＝(ab－1)2＋(a＋2)2>0， ∴ab≠1 或 a≠－2.
第二节不等式的证明
本节重点突破 1 个知识点：不等式的证明.
突破点不等式的证明
0132全国卷5年真题集中演练——明规律
课时达标检测
01 突破点不等式的证明
自学区抓牢双基· 完成情况
[基本知识]
1．基本不等式

2019高考数学(理)一轮复习全套学案

2019高考数学（理）一轮复习全套学案目录第一章集合与常用逻辑用语第1节集合第2节命题及其关系、充分条件与必要条件第3节全称量词与存在量词、逻辑联结词“且”“或”“非”第二章函数、导数及其应用第1节函数及其表示第2节函数的单调性与最值第3节函数的奇偶性、周期性与对称性第4节二次函数与幂函数第5节指数与指数函数第6节对数与对数函数第7节函数的图像第8节函数与方程第9节函数模型及其应用第10节变化率与导数、计算导数第11节第1课时导数与函数的单调性第11节第2课时导数与函数的极值、最值学案第11节第3课时导数与函数的综合问题学案第12节定积分与微积分基本定理第三章三角函数、解三角形第1节任意角、弧度制及任意角的三角函数第2节同角三角函数的基本关系与诱导公式第3节三角函数的图像与性质第4节函数y＝Asin（ωx＋φ）的图像及应用学案第5节两角和与差及二倍角的三角函数第6节正弦定理和余弦定理第6节简单的三角恒等变换第7节正弦定理和余弦定理第8节解三角形实际应用举例第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入第1节平面向量的概念及线性运算第2节平面向量的基本定理及坐标表示第3节平面向量的数量积与平面向量应用举例第4节数系的扩充与复数的引入第五章数列第1节数列的概念与简单表示法第2节等差数列及其前n项和第3节等比数列及其前n项和第4节数列求和第六章不等式、推理与证明第1节不等式的性质与一元二次不等式第2节基本不等式及其应用第3节二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题第4节归纳与类比第5节综合法、分析法、反证法第6节数学归纳法第七章立体几何第1节简单几何体的结构及其三视图和直观图第2节空间图形的基本关系与公理第3节平行关系第4节垂直关系第5节简单几何体的表面积与体积第6节空间向量及其运算第7节第1课时利用空间向量证明平行与垂直第7节第2课时利用空间向量求空间角第八章平面解析几何第1节直线的倾斜角与斜率、直线的方程第2节两条直线的位置关系第3节圆的方程第4节直线与圆、圆与圆的位置关系第5节椭圆第6节抛物线第7节双曲线第8节曲线与方程第9节第1课时直线与圆锥曲线的位置关系第9节第2课时定点、定值、范围、最值问题第九章算法初步、统计与统计案例第1节算法与算法框图第2节随机抽样第3节统计图表、用样本估计总体学案第4节变量间的相关关系与统计案例第十章计数原理、概率、随机变量及其分布第1节分类加法计数原理与分步乘法计数原理第2节排列与组合第3节二项式定理第4节随机事件的概率学案第5节古典概型第6节几何概型第7节离散型随机变量及其分布列第8节二项分布与正态分布第9节离散型随机变量的均值与方差不等式选讲第1节绝对值不等式不等式选讲第2节不等式的证明坐标系与参数方程第1节坐标系坐标系与参数方程第2节参数方程第一节集合[考纲传真] 1.了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系；能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题.2.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；在具体情境中，了解全集与空集的含义.3.(1)理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集．(2)理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集．(3)能使用Venn 图表达集合间的基本关系及集合的基本运算．[基础知识填充]1．元素与集合(1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性． (2)元素与集合的关系是属于或不属于，表示符号分别为∈和∉. (3)集合的三种表示方法：列举法、描述法、Venn 图法． (4)常见数集的记法2.中至少有一AB3.A ∪BA ∩B∁A[(1)若有限集A 中有n 个元素，则A 的子集有2n个，真子集有2n－1个． (2)任何集合是其本身的子集，即：A ⊆A . (3)子集的传递性：A ⊆B ，B ⊆C ⇒A ⊆C . (4)A ⊆B ⇔A ∩B ＝A ⇔A ∪B ＝B .(5)∁U (A ∩B )＝(∁U A )∪(∁U B )，∁U (A ∪B )＝(∁U A )∩(∁U B )．[基本能力自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)任何集合都有两个子集．( )(2){x |y ＝x 2}＝{y |y ＝x 2}＝{(x ，y )|y ＝x 2}．( ) (3)若{x 2,1}＝{0,1}，则x ＝0,1.( ) (4){x |x ≤1}＝{t |t ≤1}．( )(5)对于任意两个集合A ，B ，关系(A ∩B )⊆(A ∪B )恒成立． (6)若A ∩B ＝A ∩C ，则B ＝C .( )[解析] (1)错误．空集只有一个子集，就是它本身，故该说法是错误的．(2)错误．三个集合分别表示函数y ＝x 2的定义域(－∞，＋∞)，值域[0，＋∞)，抛物线y ＝x 2上的点集．(3)错误．当x ＝1时，不满足互异性．(4)正确．两个集合均为不大于1的实数组成的集合． (5)正确．由交集、并集、子集的概念知，正确． (6)错误．当A ＝∅时，B ，C 可为任意集合．[答案] (1)× (2)× (3)× (4)√ (5)√ (6)×2．(教材改编)若集合A ＝{x ∈N |x ≤22}，a ＝2，则下列结论正确的是( )A ．{a }⊆AB ．a ⊆AC ．{a }∈AD ．a ∉A D [由题意知A ＝{0,1,2}，由a ＝2，知a ∉A .]3．若集合A ＝{x |－2＜x ＜1}，B ＝{x |x ＜－1或x ＞3}，则A ∩B ＝( )A ．{x |－2＜x ＜－1}B ．{x |－2＜x ＜3}C ．{x |－1＜x ＜1}D ．{x |1＜x ＜3}A [∵A ＝{x |－2＜x ＜1}，B ＝{x |x ＜－1或x ＞3}， ∴A ∩B ＝{x |－2＜x ＜－1}．故选A.]4．设全集U ＝{x |x ∈N ＋，x ＜6}，集合A ＝{1,3}，B ＝{3,5}，则∁U (A ∪B )等于( )A ．{1,4}B ．{1,5}C ．{2,5}D ．{2,4}D [由题意得A ∪B ＝{1,3}∪{3,5}＝{1,3,5}．又U ＝{1,2,3,4,5}，∴∁U (A ∪B )＝{2,4}．] 5．已知集合A ＝{x 2＋x,4x }，若0∈A ，则x ＝________.－1 [由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ＝0，4x ≠0或⎩⎪⎨⎪⎧4x ＝0，x 2＋x ≠0，解得x ＝－1.](第2页)(1)设集合A ＝{1,2,3}，B ＝{4,5}，M ＝{x |x ＝a ＋b ，a ∈A ，b ∈B }，则M 中的元素个数为( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6(2)已知a ，b ∈R ，若⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ，b a，1＝{a 2，a ＋b,0}，则a 2 019＋b 2 019为( )A ．1B ．0C ．－1D ．±1(1)B (2)C [(1)因为集合M 中的元素x ＝a ＋b ，a ∈A ，b ∈B ，所以当b ＝4，a ＝1,2,3时，x ＝5,6,7. 当b ＝5，a ＝1,2,3时，x ＝6,7,8. 由集合元素的互异性，可知x ＝5,6,7,8. 即M ＝{5,6,7,8}，共有4个元素． (2)由已知得a ≠0，则b a＝0，所以b ＝0，于是a 2＝1，即a ＝1或a ＝－1，又根据集合中元素的互异性可知a ＝1应舍去，因此a ＝－1，故a2 019＋b2 019＝(－1)2 019＋02 019＝－1.]确定集合中的元素是什么，即集合是数集还是点集看这些元素满足什么限制条件根据限制条件列式求参数的值或确定集合中元素的个数，要注意检验集合是否满足元素的互异性[跟踪训练A.92 B.98 C ．0 D ．0或98(2)已知集合A ＝{m ＋2,2m 2＋m }，若3∈A ，则m 的值为________.【79140001】(1)D (2)－32 [(1)若集合A 中只有一个元素，则方程ax 2－3x ＋2＝0只有一个实根或有两个相等实根．当a ＝0时，x ＝23，符合题意；当a ≠0时，由Δ＝(－3)2－8a ＝0得a ＝98，所以a 的取值为0或98.(2)因为3∈A ，所以m ＋2＝3或2m 2＋m ＝3.当m ＋2＝3，即m ＝1时，2m 2＋m ＝3，此时集合A 中有重复元素3，所以m ＝1不符合题意，舍去；当2m 2＋m ＝3时，解得m ＝－32或m ＝1(舍去)，此时当m ＝－32时，m ＋2＝12≠3符合题意．所以m ＝－32.](1)已知集合A ＝{x |y ＝1－x 2，x ∈R }，B ＝{x |x ＝m 2，m ∈A }，则( ) A ．A B B ．B A C ．A ⊆BD ．B ＝A(2)已知集合A ＝{x |(x ＋1)(x －3)＜0}，B ＝{x |－m ＜x ＜m }．若B ⊆A ，则m 的取值范围为________． (1)B (2)m ≤1 [(1)由题意知A ＝{x |－1≤x ≤1}，所以B ＝{x |x ＝m 2，m ∈A }＝{x |0≤x ≤1}，因此B A .(2)当m ≤0时，B ＝∅，显然B ⊆A ，当m ＞0时，因为A ＝{x |(x ＋1)(x －3)＜0}＝{x |－1＜x ＜3}．当B ⊆A 时，有所以⎩⎪⎨⎪⎧－m ≥－1，m ≤3，－m ＜m .所以0＜m ≤1.综上所述，m 的取值范围为m ≤1.] 化简集合，从表达式中寻找两集合的关系用列举法或图示法等表示各个集合，从元素或图形中寻找关系2.根据集合间的关系求参数的方法已知两集合间的关系求参数时，关键是将两集合间的关系转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数满足的关系，解决这类问题常常要合理利用数轴、A ≠，应分[跟踪训练] (1)已知集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0，x ∈R }，B ＝{x |0＜x ＜5，x ∈N }，则满足条件A ⊆C ⊆B 的集合C 的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4(2)已知集合A ＝{x |－2≤x ≤7}，B ＝{x |m ＋1＜x ＜2m －1}，若B ⊆A ，则实数m 的取值范围是________． (1)D (2)(－∞，4] [(1)由x 2－3x ＋2＝0，得x ＝1或x ＝2，所以A ＝{1,2}．由题意知B ＝{1,2,3,4}，所以满足条件的C 可为{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}． (2)∵B ⊆A ，∴当B ＝∅时，有m ＋1≥2m －1，则m ≤2. 当B ≠∅时，若B ⊆A ，如图．则⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≥－2，2m －1≤7，m ＋1＜2m －1，解得2＜m ≤4.综上，m 的取值范围为m ≤4.]◎角度1 集合的运算(1)(2017·全国卷Ⅰ)已知集合A ＝{x |x <1}，B ＝{x |3x＜1}，则( ) A ．A ∩B ＝{x |x ＜0} B ．A ∪B ＝R C ．A ∪B ＝{x |x ＞1}D ．A ∩B ＝∅(2)(2018·九江一中)设U ＝R ，A ＝{－3，－2，－1，0,1,2}，B ＝{x |x ≥1}，则A ∩(∁U B )＝( ) A ．{1,2}B ．{－1,0,1,2}C ．{－3，－2，－1,0}D ．{2}(1)A (2)C [(1)∵B ＝{x |3x＜1}，∴B ＝{x |x ＜0}．又A ＝{x |x ＜1}，∴A ∩B ＝{x |x ＜0}，A ∪B ＝{x |x ＜1}．故选A. (2)由题意得∁U B ＝{x |x ＜1}，∴A ∩(∁U B )＝{－3，－2，－1,0}，故选C.] ◎角度2 利用集合的运算求参数(2018·合肥第二次质检)已知A ＝[1，＋∞)，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ∈R ⎪⎪⎪12a ≤x ≤2a －1，若A ∩B ≠∅，则实数a 的取值范围是( )A ．[1，＋∞)B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1 C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞ D ．(1，＋∞)A [集合A ∩B ≠∅，则⎩⎪⎨⎪⎧12a ≤2a －1，2a －1≥1，解得a ≥1，故选A.] ◎角度3 新定义集合问题如果集合A 满足若x ∈A ，则－x ∈A ，那么就称集合A 为“对称集合”．已知集合A ＝{2x,0，x 2＋x }，且A 是对称集合，集合B 是自然数集，则A ∩B ＝______.{0,6} [由题意可知－2x ＝x 2＋x ，所以x ＝0或x ＝－3.而当x ＝0时不符合元素的互异性，所以舍去．当x ＝－3时，A ＝{－6,0,6}，所以A ∩B ＝{0,6}．]看元素组成，集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提看集合能否化简，集合能化简的先化简，再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了，易于求解要借助用数轴表示，并注意端点值的取舍以集合为依托，对集合的定义、运算、性质加以创新，但最终应转化为原来的集合问题来解决[跟踪训练A ．{1，－3} B ．{1,0} C ．{1,3}D ．{1,5}(2)已知全集U ＝R ，集合M ＝{x |(x －1)(x ＋3)＜0}，N ＝{x ||x |≤1}，则阴影部分(如图111)表示的集合是( )图111A ．[－1,1)B ．(－3,1]C ．(－∞，－3)∪[－1，＋∞)D ．(－3，－1)(3)设A ，B 是非空集合，定义A ⊗B ＝{x |x ∈A ∪B 且x ∉A ∩B }．已知集合A ＝{x |0＜x ＜2}，B ＝{y |y ≥0}，则A ⊗B ＝________.【79140002】(1)C (2)D (3){0}∪[2，＋∞) [(1)∵A ∩B ＝{1}， ∴1∈B .∴1－4＋m ＝0，即m ＝3. ∴B ＝{x |x 2－4x ＋3＝0}＝{1,3}．故选C.(2)由题意可知，M＝(－3,1)，N＝[－1,1]，∴阴影部分表示的集合为M∩(∁U N)＝(－3，－1)．(3)由已知A＝{x|0＜x＜2}，B＝{y|y≥0}，又由新定义A⊗B＝{x|x∈A∪B且x∉A∩B}，结合数轴得A⊗B＝{0}∪[2，＋∞)．]第二节命题及其关系、充分条件与必要条件[考纲传真] 1.理解命题的概念；了解“若p，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系.2.理解必要条件、充分条件与充要条件的意义．(第3页)[基础知识填充]1．四种命题及其相互关系(1)四种命题间的相互关系图121(2)四种命题的真假关系①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；②两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系．2．充分条件与必要条件(1)若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；(2)若p⇒q，且⇒/p，则p是q的充分不必要条件；(3)若p⇒/q且q⇒p，则p是q的必要不充分条件；(4)若p⇔q，则p是q的充要条件；(5)若p⇒/q且q⇒/p，则p是q的既不充分也不必要条件．[知识拓展] 集合与充要条件设集合A＝{x|x满足条件p}，B＝{x|x满足条件q}，则有：(1)若A⊆B，则p是q的充分条件，若A B，则p是q的充分不必要条件．(2)若B⊆A，则p是q的必要条件，若B A，则p是q的必要不充分条件．(3)若A＝B，则p是q的充要条件．[基本能力自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)“x 2＋2x －3<0”是命题．( )(2)命题“若p ，则q ”的否命题是“若p ，则﹁q ”．( ) (3)四种形式的命题中，真命题的个数为0或2或4.( ) (4)当q 是p 的必要条件时，p 是q 的充分条件．( )(5)“若p 不成立，则q 不成立”等价于“若q 成立，则p 成立”．( ) [解析] (1)错误．该语句不能判断真假，故该说法是错误的． (2)错误．否命题既否定条件，又否定结论．(3)正确．因为两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性． (4)正确．q 是p 的必要条件说明p ⇒q ，所以p 是q 的充分条件． (5)正确．原命题与逆否命题是等价命题． [答案] (1)× (2)× (3)√ (4)√ (5)√2．(教材改编)命题“若α＝π4，则tan α＝1”的逆否命题是( )A ．若α≠π4，则tan α≠1B ．若α＝π4，则tan α≠1C ．若tan α≠1，则α≠π4D ．若tan α≠1，则α＝π4C [“若p ，则q ”的逆否命题是“若﹁q ，则﹁p ”，显然﹁q ：tan α≠1，﹁p ：α≠π4，所以该命题的逆否命题是“若tan α≠1，则α≠π4”．]3．“x ＝1”是“(x －1)(x ＋2)＝0”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件A [若x ＝1，则(x －1)(x ＋2)＝0显然成立，但反之不一定成立，即若(x －1)(x ＋2)＝0，则x ＝1或－2.]4．命题“若a ＞－3，则a ＞－6”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中真命题的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4B [原命题正确，从而其逆否命题也正确；其逆命题为“若a ＞－6，则a ＞－3”是假命题，从而其否命题也是假命题．因此4个命题中有2个真命题．]5．(2017·天津高考)设x ∈R ，则“2－x ≥0”是“|x －1|≤1”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 B [∵2－x ≥0，∴x ≤2. ∵|x －1|≤1，∴0≤x ≤2.∵当x ≤2时不一定有x ≥0，当0≤x ≤2时一定有x ≤2， ∴“2－x ≥0”是“|x －1|≤1”的必要而不充分条件．故选B.](第4页)(1)命题“若a 2＞b 2，则a ＞b ”的否命题是( ) A ．若a 2＞b 2，则a ≤b B ．若a 2≤b 2，则a ≤b C ．若a ≤b ，则a 2＞b 2D ．若a ≤b ，则a 2≤b 2(2)(2017·河南开封二十五中月考)下列命题中为真命题的是( ) A ．命题“若x ＞1，则x 2＞1”的否命题 B ．命题“若x ＞y ，则x ＞|y |”的逆命题 C ．命题“若x ＝1，则x 2＋x －2＝0”的否命题 D ．命题“若1x＞1，则x ＞1”的逆否命题(1)B (2)B [(1)根据命题的四种形式可知，命题“若p ，则q ”的否命题是“若﹁p ，则﹁q ”．该题中，p 为a 2＞b 2，q 为a ＞b ，故﹁p 为a 2≤b 2，﹁q 为a ≤b .所以原命题的否命题为：若a 2≤b 2，则a ≤b .(2)对于A ，命题“若x ＞1，则x 2＞1”的否命题为“若x ≤1，则x 2≤1”，易知当x ＝－2时，x2＝4＞1，故为假命题；对于B ，命题“若x ＞y ，则x ＞|y |”的逆命题为“若x ＞|y |，则x ＞y ”，分析可知为真命题；对于C ，命题“若x ＝1，则x 2＋x －2＝0”的否命题为“若x ≠1，则x 2＋x －2≠0”，易知当x ＝－2时，x 2＋x －2＝0，故为假命题；对于D ，命题“若1x＞1，则x ＞1”的逆否命题为“若x ≤1，则1x≤1”，易知为假命题，故选B.]联系已有的数学公式、定理、结论进行正面直接判断利用原命题与逆否命题，逆命题与否命题的等价关系进行判断易错警示：写一个命题的其他三种命题时，需注意：判断一个命题为真命题，要给出推理证明；判断一个命题是假命题，只需举出反例[跟踪训练个等于0”，在该命题的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为( )【79140007】A．0 B．1C．2 D．3D[原命题为真命题，逆命题为“已知a，b，c为实数，若a，b，c中至少有一个等于0，则abc＝0”，也为真命题．根据命题的等价关系可知其否命题、逆否命题也是真命题，故在该命题的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为3.](1)(2017·北京高考)设m，n为非零向量，则“存在负数λ，使得m＝λn”是“m·n<0”的( )A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件(2)(2017·安徽百所重点高中二模)“a3＞b3”是“ln a＞ln b”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件(1)A(2)B[(1)法一：由题意知|m|≠0，|n|≠0.设m与n的夹角为θ.若存在负数λ，使得m＝λn，则m与n反向共线，θ＝180°，∴m·n＝|m||n|cos θ＝－|m||n|<0.当90°<θ<180°时，m·n<0，此时不存在负数λ，使得m＝λn.故“存在负数λ，使得m＝λn”是“m·n<0”的充分而不必要条件．故选A.法二：∵m＝λn，∴m·n＝λn·n＝λ|n|2.∴当λ<0，n≠0时，m·n<0.反之，由m ·n ＝|m ||n |cos 〈m ，n 〉<0⇔cos 〈m ，n 〉<0⇔〈m ，n 〉∈⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，π，当〈m ，n 〉∈⎝⎛⎭⎪⎫π2，π时，m ，n 不共线．故“存在负数λ，使得m ＝λn ”是“m ·n <0”的充分而不必要条件．故选A.(2)由a 3＞b 3可得a ＞b ，当a ＜0，b ＜0时，ln a ，ln b 无意义；反之，由ln a ＞ln b 可得a ＞b ，故a 3＞b 3.因此“a 3＞b 3”是“ln a ＞ln b ”的必要不充分条件．]定义法：根据集合法：根据断问题.等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把判断的命题转化为其逆否命题进行判断，适用于条件和结论带有否定性词语的命题[跟踪训练] (1)(2017·天津高考)设θ∈R ，则“⎪⎪⎪⎪⎪⎪θ－12<12”是“sin θ<2”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件(2)(2018·合肥第一次质检)祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．它是中国古代一个涉及几何体体积的问题，意思是两个同高的几何体，如在等高处的截面积恒相等，则体积相等．设A ，B 为两个同高的几何体，p ：A ，B 的体积不相等，q ：A ，B 在等高处的截面积不恒相等，根据祖暅原理可知，p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件(1)A (2)A [(1)∵⎪⎪⎪⎪⎪⎪θ－π12<π12，∴－π12<θ－π12<π12，即0<θ<π6.显然0<θ<π6时，sin θ<12成立．但sin θ<12时，由周期函数的性质知0<θ<π6不一定成立．故0<θ<π6是sin θ<12的充分而不必要条件．故选A.(2)由祖暅原理可得﹁q ⇒﹁p ，即p ⇒q ，则充分性成立；反之不成立，如将同一个圆锥正放和倒放，在等高处的截面积不恒相等，但体积相等，∴p 是q 的充分不必要条件，故选A.]m 的取值范围为________．[0,3] [由x 2－8x －20≤0得－2≤x ≤10， ∴P ＝{x |－2≤x ≤10}，由x ∈P 是x ∈S 的必要条件，知S ⊆P . 则⎩⎪⎨⎪⎧1－m ≤1＋m ，1－m ≥－2，1＋m ≤10，∴0≤m ≤3.即所求m 的取值范围是[0,3]．]1．把本例中的“必要条件”改为“充分条件”，求m 的取值范围．[解] 由x ∈P 是x ∈S 的充分条件，知P ⊆S ，则⎩⎪⎨⎪⎧1－m ≤1＋m ，1－m ≤－2，1＋m ≥10，解得m ≥9，即所求m 的取值范围是[9，＋∞)．2．本例条件不变，问是否存在实数m ，使x ∈P 是x ∈S 的充要条件？并说明理由．[解] 不存在．理由：若x ∈P 是x ∈S 的充要条件，则P ＝S ，∴⎩⎪⎨⎪⎧1－m ＝－2，1＋m ＝10，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3，m ＝9，无解，∴不存在实数m ，使x ∈P 是x ∈S 的充要条件．组求解易错警示：求解参数的取值范围时，一定要注意区间端点值的检验，尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象[跟踪训练] (1)已知p ：x ≥k ，q ：x ＋1＜1，如果p 是q 的充分不必要条件，则实数k 的取值范围是( ) A ．[2，＋∞) B ．(2，＋∞) C ．[1，＋∞)D ．(－∞，－1)(2)已知条件p ：2x 2－3x ＋1≤0，条件q ：a ≤x ≤a ＋1.若﹁p 是﹁q 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是________.【79140008】(1)B (2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12 [(1)∵3x ＋1＜1，∴3x ＋1－1＝2－x x ＋1＜0，即(x －2)(x ＋1)＞0，∴x ＞2或x ＜－1， ∵p 是q 的充分不必要条件，∴k ＞2.(2)命题p 为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪12≤x ≤1，命题q 为{x |a ≤x ≤a ＋1}．﹁p 对应的集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＞1或x ＜12，﹁q 对应的集合B ＝{}x |x ＞a ＋1或x ＜a .∵﹁p 是﹁q 的必要不充分条件，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1＞1，a ≤12或⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1≥1，a ＜12，∴0≤a ≤12.]第三节全称量词与存在量词、逻辑联结词“且”“或”“非”[考纲传真] 1.了解逻辑联结词“且”“或”“非”的含义.2.理解全称量词与存在量词的意义.3.能正确地对含有一个量词的命题进行否定．(第5页) [基础知识填充]1．简单的逻辑联结词(1)命题中的“且”“或”“非”叫作逻辑联结词． (2)命题p 且q ，p 或q ，﹁p 的真假判断2.(1)常见的全称量词有：“任意一个”“一切”“每一个”“任给”“所有的”等．(2)常见的存在量词有：“存在一个”“至少有一个”“有些”“有一个”“某个”“有的”等．3．全称命题与特称命题(1)含有全称量词的命题叫全称命题． (2)含有存在量词的命题叫特称命题.4．命题的否定(1)全称命题的否定是特称命题；特称命题的否定是全称命题． (2)p 或q 的否定为：﹁p 且﹁q ；p 且q 的否定为：﹁p 或﹁q .[基本能力自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)命题“5＞6或5＞2”是假命题．( )(2)命题﹁(p 且q )是假命题，则命题p ，q 中至少有一个是假命题．( ) (3)“长方形的对角线相等”是特称命题．( )(4)命题“对顶角相等”的否定是“对顶角不相等”．( ) [解析] (1)错误．命题p 或q 中，p ，q 有一真则真． (2)错误．p 且q 是真命题，则p ，q 都是真命题．(3)错误．命题“长方形的对角线相等”可叙述为“所有长方形的对角线相等”，是全称命题． (4)错误．“对顶角相等”是全称命题，其否定为“有些对顶角不相等”． [答案] (1)× (2)× (3)× (4)×2．(教材改编)已知p ：2是偶数，q ：2是质数，则命题﹁p ，﹁q ，p 或q ，p 且q 中真命题的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4B [p 和q 显然都是真命题，所以﹁p ，﹁q 都是假命题，p 或q ，p 且q 都是真命题．] 3．下列四个命题中的真命题为( )A ．存在x 0∈Z,1＜4x 0＜3B ．存在x 0∈Z,5x 0＋1＝0C ．任意x ∈R ，x 2－1＝0 D ．任意x ∈R ，x 2＋x ＋2＞0D [选项A 中，14＜x 0＜34且x 0∈Z ，不成立；选项B 中，x 0＝－15，与x 0∈Z 矛盾；选项C 中，x ≠±1时，x 2－1≠0；选项D 正确．]4．命题：“存在x 0∈R ，x 20－ax 0＋1＜0”的否定为________．任意x ∈R ，x 2－ax ＋1≥0 [因为特称命题的否定是全称命题，所以命题“存在x 0∈R ，x 20－ax 0＋1＜0”的否定是“任意x ∈R ，x 2－ax ＋1≥0”．]5．若命题“任意x ∈R ，ax 2－ax －2≤0”是真命题，则实数a 的取值范围是________．[－8,0] [当a ＝0时，不等式显然成立．当a ≠0时，依题意知⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，Δ＝a 2＋8a ≤0，解得－8≤a ＜0.综上可知－8≤a≤0.](第6页)(1)(2018·东北三省四市模拟(一))已知命题p：函数y＝lg(1－x)在(－∞，1)上单调递减，命题q：函数y＝2cos x是偶函数，则下列命题中为真命题的是( )A．p且q B．(﹁p)或(﹁q)C．(﹁p)且q D．p且(﹁q)(2)若命题“p或q”是真命题，“﹁p为真命题”，则( )A．p真，q真B．p假，q真C．p真，q假D．p假，q假(1)A(2)B[(1)命题p中，因为函数u＝1－x在(－∞，1)上为减函数，所以函数y＝lg(1－x)在(－∞，1)上为减函数，所以p是真命题；命题q中，设f(x)＝2cos x，则f(－x)＝2cos(－x)＝2cos x＝f(x)，x∈R，所以函数y＝2cos x是偶函数，所以q是真命题，所以p且q是真命题，故选A.(2)因为﹁p为真命题，所以p为假命题，又因为p或q为真命题，所以q为真命题．]确定命题的构成形式；判断依据“或”——一真即真，p”等形式命题的真假是y＝|tan x| [跟踪训练] (2018·呼和浩特一调)命题p：x＝2π是函数y＝|sin x|的一条对称轴，q：2的最小正周期，下列命题①p或q；②p且q；③p；④﹁q，其中真命题有( )【79140013】A．1个B．2个C．3个D．4个C[由已知得命题p为真命题，命题q为假命题，所以p或q为真命题，p且q为假命题，﹁q为真命题，所以真命题有①③④，共3个，故选C.]◎角度1 全称命题、特称命题的真假判断下列命题中，真命题是( ) A ．任意x ∈R ，x 2－x －1＞0B ．任意α，β∈R ，sin(α＋β)＜sin α＋sin βC ．存在x ∈R ，x 2－x ＋1＝0D ．存在α，β∈R ，sin(α＋β)＝cos α＋cos βD [因为x 2－x －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122－54≥－54，所以A 是假命题．当α＝β＝0时，有sin(α＋β)＝sin α＋sin β，所以B 是假命题．x 2－x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34≥34，所以C 是假命题．当α＝β＝π2时，有sin(α＋β)＝cos α＋cos β，所以D 是真命题，故选D.] ◎角度2 含有一个量词的命题的否定命题“任意n ∈N ＋，f (n )∈N ＋且f (n )≤n ”的否定形式是( ) A ．任意n ∈N ＋，f (n )∉N ＋且f (n )>n B ．任意n ∈N ＋，f (n )∉N ＋或f (n )>n C ．存在n 0∈N ＋，f (n 0)∉N ＋且f (n 0)>n 0 D ．存在n 0∈N ＋，f (n 0)∉N ＋或f (n 0)>n 0D [写全称命题的否定时，要把量词“任意”改为“存在”，并且否定结论，注意把“且”改为“或”．]要判断一个全称命题是真命题，必须对限定集合x 成立；但要判断全称命题是假命题，只要能找出集合x 0不成立即可要判断一个特称命题是真命题，只要在限定集合中，至少能找到一个＝x 0，使x 0成立即可，否则，这一特称命题就是假命题2.全称命题与特称命题的否定改写量词：确定命题所含量词的类型，省去量词的要结合命题的含义加上量词，再对量词进行改写否定结论：对原命题的结论进行否定[跟踪训练] (1)已知命题p ：存在x ∈⎝⎭⎪⎫0，2，使得cos x ≤x ，则﹁p 为( )A ．存在x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，使得cos x ＞xB ．存在x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，使得cos x ＜xC ．任意x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，总有cos x ＞xD ．任意x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，总有cos x ≤x(2)下列命题中的假命题是( ) A ．存在x 0∈R ，lg x 0＝0 B ．存在x 0∈R ，tan x 0＝ 3 C ．任意x ∈R ，x 3＞0D ．任意x ∈R,2x＞0(1)C (2)C [(1)原命题是一个特称命题，其否定是一个全称命题，而“cos x ≤x ”的否定是“cos x ＞x ”．故选C.(2)当x ＝1时，lg x ＝0，故命题“存在x 0∈R ，lg x 0＝0”是真命题；当x ＝π3时，tan x ＝3，故命题“存在x 0∈R ，tan x 0＝3”是真命题；由于x ＝－1时，x 3＜0，故命题“任意x ∈R ，x 3＞0”是假命题；根据指数函数的性质，对任意x ∈R,2x＞0，故命题“任意x ∈R,2x＞0”是真命题．]给定命题p ：对任意实数x 都有ax 2＋ax ＋1＞0成立；q ：关于x 的方程x 2－x ＋a ＝0有实数根．如果p 或q 为真命题，p 且q 为假命题，求实数a 的取值范围．[解] 当p 为真命题时，“对任意实数x 都有ax 2＋ax ＋1＞0成立”⇔a ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，Δ＜0，∴0≤a ＜4.当q 为真命题时，“关于x 的方程x 2－x ＋a ＝0有实数根”⇔Δ＝1－4a ≥0，∴a ≤14.∵p 或q 为真命题，p 且q 为假命题， ∴p ，q 一真一假．∴若p 真q 假，则0≤a ＜4，且a ＞14，∴14＜a ＜4；若p 假q 真，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0或a ≥4，a ≤14，即a ＜0.故实数a 的取值范围为(－∞，0)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫14，4.先求出每个简单命题是真命题时参数的取值范围再根据复合命题的真假确定各个简单命题的真假情况有时不一定只有一种情况最后由的结果求出满足条件的参数取值范围[跟踪训练] (1)(2018·太原模拟(二))若命题“任意x ∈(0，＋∞)，x ＋x≥m ”是假命题，则实数m 的取值范围是________.【79140014】(2)已知p ：存在x 0∈R ，mx 20＋1≤0，q ：任意x ∈R ，x 2＋mx ＋1＞0，若p 或q 为假命题，则实数m 的取值范围为( ) A ．m ≥2B ．m ≤－2C ．m ≤－2或m ≥2D ．－2≤m ≤2(1)(2，＋∞) (2)A [(1)由题意，知“存在x ∈(0，＋∞)，x ＋1x＜m ”是真命题，又因为x ∈(0，＋∞)，所以x ＋1x≥2，当且仅当x ＝1时等号成立，所以实数m 的取值范围为(2，＋∞)．(2)依题意知，p ，q 均为假命题．当p 是假命题时，任意x ∈R ，mx 2＋1＞0恒成立，则有m ≥0；当q 是假命题时，则有Δ＝m 2－4≥0，m ≤－2或m ≥2.因此，由p ，q 均为假命题得⎩⎪⎨⎪⎧m ≥0，m ≤－2或m ≥2，即m ≥2.]第一节函数及其表示[考纲传真] 1.了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域，了解映射的概念.2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图像法、列表法、解析法)表示函数.3.了解简单的分段函数，并能简单应用(函数分段不超过三段)．(第8页) [基础知识填充]1．函数与映射的概念2.(1)函数的定义域、值域：数集A 叫作函数的定义域；函数值的集合{f (x )|x ∈A }叫作函数的值域． (2)函数的三要素：定义域、对应关系和值域．(3)相等函数：如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数为相等函数． (4)函数的表示法：表示函数的常用方法有解析法、图像法和列表法． 3．分段函数若函数在其定义域内，对于定义域的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫作分段函数．分段函数是一个函数，分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集．[知识拓展]1．函数与映射的本质是两个集合间的“多对一”和“一对一”关系．2．分段函数是高考必考内容，常考查(1)求最值；(2)求分段函数单调性；(3)分段函数解析式；(4)利用分段函数求值，解题的关键是分析用哪一段函数，一般需要讨论．[基本能力自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数是特殊的映射．( )(2)函数y ＝1与y ＝x 0是同一个函数．( )(3)与x 轴垂直的直线和一个函数的图像至多有一个交点．( ) (4)分段函数是两个或多个函数．( ) [答案] (1)√ (2)× (3)√ (4)×2．(教材改编)函数y ＝2x －3＋1x －3的定义域为( ) A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞ B ．(－∞，3)∪(3，＋∞) C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，3∪(3，＋∞) D ．(3，＋∞)C [由题意知⎩⎪⎨⎪⎧2x －3≥0，x －3≠0，解得x ≥32且x ≠3.]3．如图211所示，所给图像是函数图像的有( )图211A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个B [(1)中，当x ＞0时，每一个x 的值对应两个不同的y 值，因此(1)不是函数图像；(2)中，当x ＝x 0时，y 的值有两个，因此(2)不是函数图像；(3)(4)中，每一个x 的值对应唯一的y 值，因此(3)(4)是函数图像，故选B.]4．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≤1，2x，x ＞1，则f (f (3))＝________.139 [f (3)＝23，f (f (3))＝⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋1＝139.]5．(2015·全国卷Ⅱ)已知函数f (x )＝ax 3－2x 的图像过点(－1,4)，则a ＝________.－2 [∵f (x )＝ax 3－2x 的图像过点(－1,4)， ∴4＝a ×(－1)3－2×(－1)，解得a ＝－2.](第9页)(1)(2018·济南一模)函数f (x )＝2x－12＋3x ＋1的定义域为________．(2)若函数y ＝f (x )的定义域为[0,2]，则函数g (x )＝f x x －1的定义域是________．(1)(－1，＋∞) (2)[0,1) [(1)由题意得⎩⎨⎧2x －12≥0，x ＋1≠0，解得x ＞－1，所以函数f (x )的定义域为(－1，＋∞)．(2)由0≤2x ≤2，得0≤x ≤1，又x －1≠0，即x ≠1，所以0≤x ＜1，即g (x )的定义域为[0,1)．]已知函数解析式，构造使解析式有意义的不等式组求解实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式组求解抽象函数：①若已知函数x 的定义域为g x 的定义域由不等式x b 求出；②若已知函数g x 的定义域为x 的定义域为x 在时的值域.x 定义域为[m x 定义域，先求φx 值域[a a ≤h xb ，.[跟踪训练] (1)函数f (x )＝1－x＋lg(3x ＋1)的定义域是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，1 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，＋∞C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，13 D.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－13 (2)已知函数f (2x)的定义域为[－1,1]，则f (x )的定义域为________.【79140019】(1)A (2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2 [(1)由题意可知{ 1－x ＞0，x ＋1＞0，解得⎩⎨⎧x ＜1，x ＞－13，∴－13＜x ＜1，故选A.(2)∵f (2x)的定义域为[－1,1]， ∴12≤2x ≤2，即f (x )的定义域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2.](1)已知f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＝x 2＋1x2，求f (x )的解析式；(2)已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x＋1＝lg x ，求f (x )的解析式；(3)已知f (x )是二次函数且f (0)＝2，f (x ＋1)－f (x )＝x －1，求f (x )的解析式；(4)已知f (x )＋2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝x (x ≠0)，求f (x )的解析式．[解] (1)由于f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＝x 2＋1x2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 2－2，令t ＝x ＋1x，当x ＞0时，t ≥2x ·1x＝2，当且仅当x ＝1时取等号；当x ＜0时，t ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫－x －1x ≤－2，当且仅当x ＝－1时取等号，∴f (t )＝t 2－2t ∈(－∞，－2]∪[2，＋∞)．综上所述．f (x )的解析式是f (x )＝x 2－2，x ∈(－∞，－2]∪[2，＋∞)．(2)令2x ＋1＝t ，由于x ＞0，∴t ＞1且x ＝2t －1，∴f (t )＝lg2t －1，即f (x )＝lg 2x －1(x ＞1)． (3)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，由f (0)＝2，得c ＝2，f (x ＋1)－f (x )＝a (x ＋1)2＋b (x ＋1)－ax 2－bx ＝x －1，即2ax ＋a ＋b ＝x －1，∴{ 2a ＝1，a ＋b ＝－1，即⎩⎨⎧a ＝12，b ＝－32，∴f (x )＝12x 2－32x ＋2.(4)∵f (x )＋2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝x ，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x＋2f (x )＝1x.联立方程组⎩⎨⎧fx ＋2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝x ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋2f x ＝1x ，解得f (x )＝23x －x3(x ≠0)．待定系数法：若已知函数的类型，可用待定系数法换元法：已知复合函数gx 的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围构造法：已知关于x 与f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 或f －x 的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式，通过解方程组求出x已知f x ＋1)＝，求f (x )的解析式；(2)设y ＝f (x )是二次函数，方程f (x )＝0有两个相等实根，且f ′(x )＝2x ＋2，求f (x )的解析式． [解] (1)法一：(换元法)设x ＋1＝t (t ≥1)，则x ＝t －1，所以f (t )＝(t －1)2＋2(t －1)＝t 2－1(t ≥1)，所以f (x )＝x 2－1(x ≥1)．法二：(配凑法)f (x ＋1)＝x ＋2x ＝(x ＋1)2－1，又x ＋1≥1，所以f (x )＝x 2－1(x ≥1)． (2)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，则f ′(x )＝2ax ＋b ＝2x ＋2，所以a ＝1，b ＝2，f (x )＝x 2＋2x ＋c . 又因为方程f (x )＝0有两个相等的实根，所以Δ＝4－4c ＝0，c ＝1，故f (x )＝x 2＋2x ＋1.◎角度1 求分段函数的函数值(2015·全国卷Ⅱ)设函数f (x )＝{ 1＋log 2－x ，x <1，x －1，x ≥1，则f (－2)＋f (log 212)＝( )A ．3B ．6C ．9D ．12C [∵－2<1，∴f (－2)＝1＋log 2(2＋2)＝1＋log 24＝1＋2＝3. ∵log 212>1，∴f (log 212)＝2log 212－1＝122＝6.∴f (－2)＋f (log 212)＝3＋6＝9.故选C.]。

2019届高考数学一轮复习选考部分不等式选讲第2课时不等式的证明与柯西不等式教案文

∴x＝ 1144，y＝21414，z＝31414.
∴x＋y＋z＝61414＝3
14 7.
6．(2016·江苏，理)设 a>0，|x－1|<3a，|y－2|<3a，求证：|2x ＋y－4|<a.
答案略证明因为|x－1|<3a，|y－2|<3a，所以|2x＋y－4|＝|2(x－1)＋(y－2)|≤2|x－1|＋|y－2|<2×3a＋3a＝ a.
4．(2014·陕西)设 a，b，m，n∈R，且 a2＋b2＝5，ma＋nb ＝5，则 m2＋n2的最小值为________．
答案 5 解析由柯西不等式，得(a2＋b2)(m2＋n2)≥(am＋bn)2，即 5(m2 ＋n2)≥25. ∴m2＋n2≥5，当且仅当 an＝bm 时，等号成立． ∴ m2＋n2的最小值为 5.
方法二：(分析法) ∵a>0，b>0， ∴要证 a＋b≥2ab，只需证(a＋b)2≥4a2b2，即证 a2＋b2＋2ab≥4a2b2， ∵a2＋b2＝M，∴只要证 2＋2ab≥4a2b2，即证 2(ab)2－ab－1≤0，即证(2ab＋1)(ab－1)≤0.
方法二：令 a＝(3，4)，b＝(x，y)，则 a·b＝3x＋4y，|a|＝ 32＋42＝5，|b|＝ x2＋y2. ∵|a·b|≤|a|·|b|(柯西不等式的向量形式)， ∴|3x＋4y|≤5 x2＋y2. ∴x2＋y2≥|3x＋254y|2＝245. 其他同方法一．【答案】最小值为245，最小值点为(265，285)
第2课时不等式的证明与柯西不等式
…2018 考纲下载… 1．了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、放缩法、数学归纳法． 2．了解柯西不等式、排序不等式以及贝努利不等式． 3．能利用均值不等式求一些特定函数的最值．请注意不等式的证明是中学数学的难点．柯西不等式只要求会简单应用．

2019高考数学一轮复习不等式选讲第2课时不等式的证明与柯西不等式练习理

第2课时不等式的证明与柯西不等式1．设a ，b ，c 是互不相等的正数，则下列不等式中不恒成立的是( ) A ．(a ＋3)2<2a 2＋6a ＋11 B ．a 2＋1a 2≥a ＋1aC ．|a －b|＋1a －b ≥2D.a ＋3－a ＋1<a ＋2－ a答案 C解析 (a ＋3)2－(2a 2＋6a ＋11)＝－a 2－2<0，故A 恒成立；在B 项中不等式的两侧同时乘以a 2，得a 4＋1≥a 3＋a ⇐(a 4－a 3)＋(1－a)≥0⇐a 3(a －1)－(a －1)≥0⇐(a －1)2(a 2＋a ＋1)≥0，所以B 项中的不等式恒成立；对C 项中的不等式，当a>b 时，恒成立，当a<b 时，不恒成立；由不等式2a ＋3＋a ＋1<2a ＋2＋a恒成立，知D 项中的不等式恒成立．故选C.2．已知a ，b ，m ，n 均为正数，且a ＋b ＝1，mn ＝2，则(am ＋bn)(bm ＋an)的最小值为________．答案 2解析 (am ＋bn)(bm ＋an)＝abm 2＋(a 2＋b 2)mn ＋abn 2＝ab(m 2＋n 2)＋2(a 2＋b 2)≥2abmn＋2(a 2＋b 2)＝4ab ＋2(a 2＋b 2)＝2(a 2＋2ab ＋b 2)＝2(a ＋b)2＝2(当且仅当m ＝m ＝2时等号成立)． 3．(2018·沧州七校联考)若log x y ＝－2，则x ＋y 的最小值为________．答案 3322解析由log x y ＝－2，得y ＝1x2.而x ＋y ＝x ＋1x 2＝x 2＋x 2＋1x 2≥33x 2·x 2·1x 2＝3314＝3322，当且仅当x 2＝1x 2即x ＝32时取等号．所以x ＋y 的最小值为3322.4．若a ，b ，c ∈R ＋，且a ＋b ＋c ＝1，则a ＋b ＋c 的最大值为________．答案3解析方法一：(a ＋b ＋c)2＝a ＋b ＋c ＋2ab ＋2bc ＋2ca ≤a ＋b ＋c ＋(a ＋b)＋(b ＋c)＋(c ＋a)＝3. 当且仅当a ＝b ＝c 时取等号成立．方法二：柯西不等式：(a ＋b ＋c)2＝(1×a ＋1×b ＋1×c)2≤(12＋12＋12)(a ＋b ＋c)＝3. 5．已知a ，b ，c ∈R ，a ＋2b ＋3c ＝6，则a 2＋4b 2＋9c 2的最小值为________．答案 12解析由柯西不等式，得(12＋12＋12)(a 2＋4b 2＋9c 2)≥(a＋2b ＋3c)2，即a 2＋4b 2＋9c 2≥12，当a ＝2b ＝3c ＝22好教育云平台——教育因你我而变2017年高考“最后三十天”专题透析时等号成立，所以a 2＋4b 2＋9c 2的最小值为12.6．(2018·江苏南通联考)已知x>0，y>0，a ∈R ，b ∈R .求证：(ax ＋by x ＋y )2≤a 2x ＋b 2yx ＋y .答案略证明因为x>0，y>0，所以x ＋y>0. 所以要证(ax ＋by x ＋y )2≤a 2x ＋b 2yx ＋y ，即证(ax ＋by)2≤(x ＋y)(a 2x ＋b 2y)，即证xy(a 2－2ab ＋b 2)≥0，即证(a －b)2≥0，而(a －b)2≥0显然成立．故(ax ＋by x ＋y )2≤a 2x ＋b 2yx ＋y.7．(2014·江苏)已知x>0，y>0，证明：(1＋x ＋y 2)(1＋x 2＋y )≥9xy. 答案略证明因为x>0，y>0，所以1＋x ＋y 2≥33xy 2>0，1＋x 2＋y≥33x 2y>0.故(1＋x ＋y 2)(1＋x 2＋y)≥33xy 2·33x 2y ＝9xy.8．(2018·福建质量检查)若a ，b ，c ∈R ＋，且满足a ＋b ＋c ＝2. (1)求abc 的最大值； (2)证明：1a ＋1b ＋1c ≥92.答案 (1)827(2)略解析 (1)因为a ，b ，c ∈R ＋，所以2＝a ＋b ＋c≥33abc ，故abc≤827.当且仅当a ＝b ＝c ＝23时等号成立．所以abc 的最大值为827.(2)证明：因为a ，b ，c ∈R ＋，且a ＋b ＋c ＝2，所以根据柯西不等式，可得1a ＋1b ＋1c ＝12(a ＋b ＋c)·(1a ＋1b ＋1c )＝12[(a)2＋(b)2＋(c)2]×[(1a)2＋(1b)2＋(1c )2]≥12(a ×1a＋b ×1b＋c ×1c )2＝92. 所以1a ＋1b ＋1c ≥92.9．(2016·课标全国Ⅱ，理)已知函数f(x)＝|x －12|＋|x ＋12|，M 为不等式f(x)<2的解集．(1)求M ；(2)证明：当a ，b ∈M 时，|a ＋b|<|1＋ab|. 答案 (1){x|－1<x<1} (2)略3解析 (1)f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ，x ≤－12，1，－12<x<12，2x ，x ≥12.当x≤－12时，由f(x)<2得－2x<2，解得x>－1；当－12<x<12时，f(x)<2；当x≥12时，由f(x)<2得2x<2，解得x<1.所以f(x)<2的解集M ＝{x|－1<x<1}．(2)由(1)知，当a ，b ∈M 时，－1<a<1，－1<b<1，从而(a ＋b)2－(1＋ab)2＝a 2＋b 2－a 2b 2－1＝(a 2－1)(1－b 2)<0. 因此|a ＋b|<|1＋ab|.10．(2015·湖南理)设a>0，b>0，且a ＋b ＝1a ＋1b .证明：(1)a ＋b≥2；(2)a 2＋a<2与b 2＋b<2不可能同时成立．答案 (1)略 (2)略解析由a ＋b ＝1a ＋1b ＝a ＋bab，a>0，b>0，得ab ＝1.(1)由基本不等式及ab ＝1，有a ＋b≥2ab ＝2，即a ＋b≥2.(2)假设a 2＋a<2与b 2＋b<2同时成立，则由a 2＋a<2及a>0得0<a<1；同理，0<b<1，从而ab<1，这与ab ＝1矛盾．故a 2＋a<2与b 2＋b<2不可能同时成立．11．(2018·广州综合测试)已知函数f(x)＝|x ＋a －1|＋|x －2a|. (1)若f(1)<3，求实数a 的取值范围； (2)若a≥1，x ∈R ，求证：f(x)≥2. 答案 (1)(－23，43) (2)见解析解析 (1)因为f(1)<3，所以|a|＋|1－2a|<3.①当a≤0时，得－a ＋(1－2a)<3，解得a>－23，所以－23<a ≤0；②当0<a<12时，得a ＋(1－2a)<3，解得a>－2，所以0<a<12；③当a≥12时，得a －(1－2a)<3，解得a<43，所以12≤a<43.综上所述，实数a 的取值范围是(－23，43)．(2)f(x)＝|x ＋a －1|＋|x －2a|≥|(x＋a －1)－(x －2a)|＝|3a －1|，因为a≥1，所以f(x)≥3a －1≥2.4好教育云平台——教育因你我而变2017年高考“最后三十天”专题透析12．(2018·福州五校二次联考)已知函数f(x)＝|2x －1|＋|2x ＋1|. (1)若不等式f(x)≥a 2－2a －1恒成立，求实数a 的取值范围； (2)设m>0，n>0，且m ＋n ＝1，求证：2m ＋1＋2n ＋1≤2f （x ）. 答案 (1)[－1，3] (2)略解析 (1)方法一：依题意，f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧4x ，x>12，2，－12≤x≤12，－4x ，x<－12∴f(x)min ＝2.∵不等式f(x)≥a 2－2a －1恒成立， ∴a 2－2a －3≤0，解得－1≤a≤3， ∴实数a 的取值范围是[－1，3]．方法二：∵f(x)＝|2x －1|＋|2x ＋1|≥|(2x－1)－(2x ＋1)|＝2，∴f(x)min ＝2.∵不等式f(x)≥a 2－2a －1恒成立，∴a 2－2a －3≤0，解得－1≤a≤3，∴实数a 的取值范围是[－1，3]． (2)由(1)知f(x)≥2，∴2f （x ）≥2 2.∵(2m ＋1＋2n ＋1)2＝2(m ＋n)＋2＋2（2m ＋1）（2n ＋1）≤4＋(2m ＋1)＋(2n ＋1)＝8，当且仅当m ＝n ＝12时等号成立．∴2m ＋1＋2n ＋1≤22， ∴2m ＋1＋2n ＋1≤2f （x ）.1．(2017·武汉4月调研)(1)求不等式|x －5|－|2x ＋3|≥1的解集； (2)若正实数a ，b 满足a ＋b ＝12，求证：a ＋b ≤1.答案 (1){x|－7≤x≤13} (2)略解析 (1)当x≤－32时，－x ＋5＋2x ＋3≥1，解得x≥－7，∴－7≤x≤－32；当－32<x<5时，－x ＋5－2x －3≥1，解得x≤13，∴－32<x ≤13；当x≥5时，x －5－(2x ＋3)≥1，解得x≤－9，舍去．综上，－7≤x≤13.5故原不等式的解集为{x|－7≤x≤13}．(2)要证a ＋b ≤1，只需证a ＋b ＋2ab ≤1，即证2ab ≤12，即证ab ≤14.而a ＋b ＝12≥2ab ，∴ab ≤14成立，∴原不等式成立．2．已知函数f(x)＝m －|x －2|，m ∈R ，且f(x ＋2)≥0的解集为[－1，1]． (1)求m 的值；(2)若a ，b ，c ∈R ＋，且1a ＋12b ＋13c ＝m ，求证：a ＋2b ＋3c≥9.答案 (1)1 (2)略解析 (1)因为f(x ＋2)＝m －|x|，f(x ＋2)≥0等价于|x|≤m，由|x|≤m 有解，得m≥0，且其解集为{x|－m≤x≤m}．又f(x ＋2)≥0的解集为[－1，1]，故m ＝1. (2)证明：由(1)知1a ＋12b ＋13c ＝1，又a ，b ，c ∈R ＋，由柯西不等式，得a ＋2b ＋3c ＝(a ＋2b ＋3c)(1a ＋12b ＋13c )≥(a ·1a ＋2b ·12b ＋3c ·13c)2＝9.。

2019届高考数学一轮复习不等式选讲第2讲不等式的证明学案.docx

2019 版高考数学一轮复习全册学案第 2 讲不等式的证明板块一知识梳理·自主学习[ 必备知识 ]考点 1比较法比较法是证明不等式最基本的方法，可分为作差比较法和作商比较法两种．考点 2综合法一般地，从已知条件出发，利用定义、公理、定理、性质等，经过一系列的推理、论证而得出命题成立，这种证明方法叫做综合法．综合法又叫由因导果法．考点 3分析法证明命题时，从要证的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实( 定义、公理或已证明的定理、性质等) ，从而得出要证的命题成立，这种证明方法叫做分析法，这是一种执果索因的思考和证明方法．考点 4反证法证明命题时先假设要证的命题不成立，以此为出发点，结合已知条件，应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的推理，得到和命题的条件( 或已证明的定理、性质、明显成立的事实等 ) 矛盾的结论，以说明假设不正确，从而得出原命题成立，我们把这种证明方法称为反证法．2019 版高考数学一轮复习全册学案考点 5放缩法证明不等式时，通过把不等式中的某些部分的值放大或缩小，简化不等式，从而达到证明的目的，我们把这种方法称为放缩法．考点 6柯西不等式1．二维形式的柯西不等式定理 1若 a ，b ，c ，d 都是实数，则 ( a 2＋ b 2)( c 2＋ d 2) ≥(ac ＋ bd ) 2，当且仅当ad ＝ bc 时，等号成立．2．柯西不等式的向量形式定理 2设 α ，β 是两个向量，则 | α ·β | ≤|α | ·|β | ，当且仅当β 是零向量，或存在实数 k ，使 α ＝ k β 时，等号成立．[ 考点自测 ]1．判断下列结论的正误． ( 正确的打“√”，错误的打“×”)(1) 用反证法证明命题“a，， c 全为 0”时，假设为“，，c 全不为 0”． ()ba b(2) x ＋ 2y＋ 2 > －.()若>1，则x － yxy xy(3)|＋ | ＋ | a － | ≥|2 a |.()a bb(4) 若实数 x 、 y 适合不等式 xy >1， x ＋ y >－ 2，则 x >0， y >0.()答案(1) ×(2) × (3) √ (4) √2．[2018 ·温州模拟 ] 若 a ，b ， c ∈ R ， a >b ，则下列不等式成立的是()1 122 A. a <bB ． a >b C. 2 a> 2 bD ． | c |> | |c ＋1 c ＋ 1a b c答案 C解析应用排除法．取 a ＝ 1，b ＝－ 1，排除 A ；取 a ＝ 0，b ＝－ 1，排除 B ；取 c ＝0，排11ab除 D. 显然 c 2＋ 1>0，对不等式 a >b 的两边同时乘以 c 2＋ 1，立得 c 2＋ 1>c 2＋ 1成立．故选 C.222b a3．[ 课本改编 ] 不等式：① x ＋ 3>3x ；② a ＋b ≥2( a － b － 1) ；③ a ＋ b ≥2，其中恒成立的是 ()A ．①③B ．②③C ．①②③D ．①② 答案 D解析23 2 3222由①得 x ＋ 3－ 3x ＝ x － 2 ＋ >0，所以 x ＋3>3x ；对于②，因为a ＋b － 2( a － b4b a2－ 1) ＝( a －221) ＋( b ＋ 1) ≥0，所以不等式成立；对于③，因为当 ab <0 时，＋－ 2＝ a －b <0，a babb a即 a ＋b <2. 故选 D.4．[2018 ·南通模拟 ] 若 | a －c |<| b | ，则下列不等式中正确的是 ()A ． < ＋cB ． > －ba ba cC ． | a |>| b | － | c |D ． | a |<| b | ＋ | c |2019 版高考数学一轮复习全册学案答案 D解析 | a | － | c | ≤| － |<| b | ，即 | a |<| b | ＋ | c | ，故选 D.a c1 1 1 5．已知 a ， b ， c 是正实数，且 a ＋ b ＋ c ＝ 1，则 a ＋ b ＋ c 的最小值为 ________．答案 9 解析解法一：把＋＋1 1 1＝1 代入＋＋，得ab ca bca ＋b ＋c a ＋＋ c＋＋ ca＋b＋cb ac a c b＝ 3＋ a ＋b ＋ a ＋ c ＋ b ＋ c≥ 3＋ 2＋ 2＋ 2＝ 9，1当且仅当a ＝b ＝c ＝时，等号成立．3解法二：由柯西不等式得：1 1111 ＋ ·12( a ＋ b ＋ c ) a ＋＋≥ a· ＋ ·c ，b c a b b c 111即 a ＋ b ＋ c ≥9.6．[2017 ·全国卷Ⅱ ] 已知 a >0， b >0， a 3＋ b 3＝ 2. 证明：(1)( a ＋ b )( a 5＋ b 5) ≥4；(2) a ＋ b ≤2. 证明(1)( a ＋ b )( a 5＋ b 5) ＝ a 6＋ ab 5＋a 5b ＋ b 633 23 344＝ ( a ＋ b ) － 2a b ＋ab ( a ＋ b )22 2＝ 4＋ ab ( a － b ) ≥4.(2) 因为 ( a ＋ b ) 3＝ a 3＋ 3a 2 b ＋ 3ab 2＋ b 3＝ 2＋ 3ab ( a ＋ b )≤2＋ 3 a ＋ b 2 3 a ＋b 3( ＋ ) ＝ 2＋，4 a b 4所以 ( a ＋ b ) 3≤8，因此 a ＋ b ≤2.板块二典例探究·考向突破考向比较法证明不等式11例1 [2016 ·全国卷Ⅱ ] 已知函数 f ( x ) ＝ x －2 ＋ x ＋2 ，M 为不等式 f ( x )<2 的解集．(1) 求 M ；(2) 证明：当 a ， b ∈M 时， | a ＋ b |<|1 ＋ ab |.2019 版高考数学一轮复习全册学案1－ 2x，x≤－2，11解(1) f ( x) ＝1，－2<x<2，12x，x≥2.1当 x≤－2时，由 f ( x)<2，得－2x<2，1解得 x>－1，即－1<x≤－2；1111当－2<x<2时，f ( x)<2 ，即－2<x<2；11当x≥2时，由 f ( x)<2，得2x<2，解得 x<1，即2≤ x<1.所以 f ( x)<2的解集 M＝{ x|－1<x<1}．(2)证明：由 (1) 知，当a，b∈M时，－ 1<a<1，－ 1<b<1，从而 ( a＋b) 2－(1 ＋ab) 2＝a2＋b2－ a2b2－1＝( a2－1)(1－ b2)<0.因此| a＋ b|<|1＋ ab|.触类旁通比较法证明的一般步骤一般步骤：作差—变形—判断—结论．为了判断作差后的符号，有时要把这个差变形为一个常数，或者变形为一个常数与一个或几个平方和的形式，也可变形为几个因式的积的形式，以判断其正负．常用的变形技巧有因式分解、配方、拆项、拼项等方法．【变式训练1】[2018 ·福建模拟] 已知函数 f ( x)＝| x＋1|.(1)求不等式 f ( x)<|2 x＋1|－1的解集 M；(2)设 a， b∈ M，证明： f ( ab)> f ( a)－f (－ b)．解(1) 当x≤－ 1 时，原不等式可化为－x－1<－2x－2，解得 x<－1；1当－ 1<x<－2时，原不等式可化为x＋1<－2x－2，解得 x<－1，此时原不等式无解；1当 x≥－2时，原不等式可化为x＋1<2x，解得 x>1，综上， M＝{ x| x<－1或 x>1}．(2) 证明：证法一：因为f (ab) ＝ |ab＋ 1| ＝ |(ab＋b) ＋ (1 －)| ≥|＋ | － |1 － | ＝b ab b b| b|| a＋ 1| － |1 －b|.因为 a， b∈ M，所以| b|>1，| a＋1|>0，所以 f ( ab)>| a＋1|－|1－ b|，即f ( ab)> f ( a)－ f (－ b)．证法二：因为f ( ) －( －) ＝ |a＋ 1| － | －＋ 1| a f b b≤|a＋1－(－ b＋1)|＝| a＋ b|，所以要证 f ( ab)> f ( a)－ f (－b)，只需证 | ab＋ 1|>| a＋b| ，即证 | ab＋ 1| 2>| a＋b| 2，4即证 a2b2＋2ab＋1>a2＋2ab＋ b2，即证 a2b2－ a2－ b2＋1>0，即证( a2－1)( b2－1)>0.因为 a， b∈ M，所以 a2>1， b2>1，所以( a2－1)( b2－1)>0成立，所以原不等式成立．考向用综合法与分析法证明不等式例 2 (1)[2018 ·浙江金华模拟] 已知x，y∈ R.113①若 x， y 满足| x－3y|<2，| x＋2y|<6，求证：| x|<10；②求证： x4＋16y4≥2x3y＋8xy3.证明①利用绝对值不等式的性质得：| x1x－ 3 ) ＋3(x1x－ 3y)| ＋ |3(x＋2y1113 | ＝ [|2(＋ 2 )|] ≤ [|2()|]<2×＋3×＝ .5y y552610②因为 x4＋16y4－(2 x3y＋8xy3)＝x4－2x3y＋16y4－8xy 3＝x3( x－2y)＋8y3(2 y－ x)＝( x－ 2y)( x3－ 8y3)＝( x－ 2y)( x－ 2y)( x2＋ 2xy＋ 4y2)＝( x－ 2y) 2[( x＋y) 2＋ 3y2 ] ≥0，∴ x4＋16y4≥2x3y＋8xy 3.(2)[2018 ·徐州模拟 ] 已知，∈ R， > >e( 其中 e 是自然对数的底数) ，求证：a>b.( 提a b a b b a示：可考虑用分析法找思路 )a b证明∵ b >0， a>0，a b∴要证 b >a只要证 a ln b>b ln aln b ln a.( ∵> >e)只要证>b a a bln x1－ ln x取函数 f ( x)＝x，∵ f ′(x)＝x2令 f ′(x)＝0， x＝e∴当 x>e时， f ′(x)<0，∴函数 f ( x)在(e，＋∞)上单调递减．∴当 a>b>e时，有 f ( b)> f ( a)，ln b ln a即b > a，得证．触类旁通综合法与分析法的逻辑关系用综合法证明不等式是“由因导果”，分析法证明不等式是“执果索因”，它们是两种思路截然相反的证明方法．综合法往往是分析法的逆过程，表述简单、条理清楚，所以在实际应用时，往往用分析法找思路，用综合法写步骤，由此可见，分析法与综合法相互转化，互相渗透，互为前提．【变式训练2】(1) 设a，b，c均为正数，且a＋ b＋ c＝1，证明：1① ab＋ bc＋ca≤3；a2b2c2②b＋c＋a≥1.222222222证明①由 a ＋ b ≥2ab， b ＋ c ≥2bc， c ＋ a ≥2ca 得 a ＋ b ＋c ≥ ab＋ bc＋ca.即a2＋ b2＋ c2＋2ab＋2bc＋2ca＝1.所以 3( ab＋bc＋ca) ≤1，1即ab＋ bc＋ ca≤.3a2b2c2②证法一：因为b＋ b≥2a，c＋ c≥2b，a＋a≥2c，a2b2c2故b＋c＋a＋ ( a＋b＋c) ≥2( a＋b＋c) ，a2b2c2即b＋c＋a≥ a＋b＋ c.a2b2c2所以b＋c＋a≥1.证法二：由柯西不等式得：c2a2b22( a＋b＋c)a＋b＋c≥(c＋ a＋ b)，∵ a＋ b＋ c＝1，c2a2b2∴a＋b＋c≥1.(2)[2015 ·全国卷Ⅱ ] 设，，，d 均为正数，且＋＝＋，证明：a b c a b c d①若 ab>cd，则a＋b>c＋d；②a＋ b> c＋ d是| a－ b|<| c－ d|的充要条件．证明①因为 (a＋b)2＝a＋ b＋2ab，(c＋d)2＝ c＋ d＋2cd，由题设 a＋ b＝ c＋d， ab>cd，得 (a＋b)2>(c＋d)2.所以a＋b>c＋d.②( ⅰ ) 若 | a－b|<| c－d| ，则 ( a－b) 2<( c－d) 2，即 ( a＋b) 2－ 4ab<( c＋d) 2－4cd.因为 a＋ b＝ c＋ d，所以 ab>cd.由①得a＋b>c＋d.( ⅱ ) 若a＋b>c＋d，则(a＋b)2>(c＋d)2，即a＋ b＋2 ab>c＋d＋2 cd.因为 a＋ b＝ c＋ d，所以 ab>cd.2222于是 ( a－b) ＝ ( a＋b) －4ab<( c＋d) － 4cd＝ ( c－d) ，综上，a＋b>c＋d是| a－ b|<| c－ d|的充要条件．2019 版高考数学一轮复习全册学案考向反法明不等式1 1例3 [2015 ·湖南高考]a >0，b >0，且 a ＋b ＝ a ＋ b . 明：(1) a ＋ b ≥2；(2) a 2＋ a <2 与 b 2＋ b <2 不可能同成立．1 1 a ＋ b 明由＋＝＋＝， >0，>0，得＝ 1.a ba b ab abab(1) 由基本不等式及 ab ＝ 1，有 a ＋b ≥2 ab ＝ 2，即 a ＋ b ≥2，当且当 a ＝b ＝ 1 等号成立．(2) 假 a 2＋ a <2 与 b 2＋ b <2 同成立，由 a 2＋ a <2 及 a >0，得 0<a <1；同理， 0<b <1，从而 ab <1，与 ab ＝ 1 矛盾．故 a 2＋ a <2 与 b 2＋ b <2 不可能同成立．触旁通于某些中所若是“都是”“都不是”“至多”“至少”等，一般用反法．其一般步是反 →推理→得出矛盾→肯定原．【式 3】 [2018 ·达州校期末] 已知 a ，b ，c ∈ (0,1)．求：(1 － a ) b ，(1 － b ) c ，1(1 － c ) a 不能同大于 .41 11 1明假三式同大于4，即 (1 － a ) b >4， (1 － b ) c >4， (1 －c ) a >4.1三式同向相乘，得 (1 － a ) a (1 － b ) b (1 － c ) c >64(*)又 (1 － ) ≤ 1－＋ 1，aa 2＝a a 2 41 1 同理 (1 － b ) b ≤ 4， (1 － c ) c ≤ 4.1所以 (1 － a ) a (1 － b ) b (1 － c ) c ≤ 64，与 * 式矛盾，即假不成立，故正确．考向柯西不等式的用例4 柯西不等式是大数学家柯西在研究数学分析中的“流数” 得到的，柯西不等式是指：任意数a i， i ( i ＝1,2 ，⋯， ) ，有 ( 1 1＋ 2 2＋⋯＋222＋⋯＋ a 2 b 2nn ) ≤( 1＋ 2n )( 1b n a b a b a ba a22＋ b 2＋⋯＋ b n ) ，当且当 a i ＝kb i ( i ＝ 1,2 ，⋯， n ) ，等号成立．(1) 明：当 n ＝ 2 的柯西不等式；2222(2)a ， b ， m ， n ∈R ，且 a ＋ b ＝ 5， ma ＋ nb ＝ 5，求 m ＋ n 的最小．解 (1) 明：当＝ 2，柯西不等式的二形式： ( a12＋ 22)( b 12＋ 22) ≥( 11＋2 2)2，naba ba b222222 22 22≥0，当且当a 1b 2＝ a 2b 1( a 1＋ a 2 )( b 1＋ b 2) － ( a 1b 1 ＋ a 2 b 2) ＝ a 1b 2＋ a 2b 1－ 2a 1a 2b 1b 2＝( a 1b 2－ a 2b 1) 取得等号．(2) 由柯西不等式得2222 2222 22( a ＋ b )( m ＋n ) ≥(ma ＋ nb ) ，所以 5( m ＋ n ) ≥5 即 m ＋n ≥5，所以2 ＋ n2的最小 5.m2019 版高考数学一轮复习全册学案触类旁通利用柯西不等式解题时，要注意配凑成相应的形式，既可从左向右用，也可从右向左用．【变式训练】 ·皇姑区校级期末设2421 的最小值为4 [2018] xy >0 yx()A ．－ 9B ． 9C ． 10D ． 0 答案 B解析2421122＝ 9. 当且仅当 xy ＝ 2 即 xy ＝2时取等号．故选x ＋2y ＋2≥ x ·＋ · yyx x yxyB.核心规律1. 证明不等式的方法灵活多样，但比较法、综合法、分析法和反证法仍是证明不等式的基本方法．要依据题设、题目的结构特点、内在联系，选择恰当的证明方法，要熟悉各种证法中的推理思维方法，并掌握相应的步骤，技巧和语言特点．2. 综合法往往是分析法的相反过程，其表述简单、条理清楚．当问题比较复杂时，通常把分析法和综合法结合起来使用，以分析法寻找证明的思路，而用综合法叙述、表达整个证明过程．3. 不等式证明中的裂项形式：1 1 1 1 1 1 1(1)＋ 1 ＝－ n ＋ 1 ，＋＝ k n － n ＋k .n nnn n k111 11(2) k 2<k 2－ 1＝ 2 k － 1 － k ＋ 1 .1 1 1 11 1 1 (3) k － k ＋ 1＝ k ＋ 1 k <k 2<k －1 k ＝ k － 1－ k.1 1 1 1(4)n n ＋ 1 n ＋ 2 ＝2 n n ＋ 1 － n ＋ 1 n ＋ 2.满分策略1. 作差比较法适用的主要题型是多项式、分式、对数式、三角式，作商比较法适用的主要题型是高次幂乘积结构．2. 如果已知条件与待证明的结论直接联系不明显，可考虑用分析法；如果待证的命题以“至少”“至多”等方式给出或否定性命题、唯一性命题，则考虑用反证法．3. 高考命题专家说：“放缩是一种能力．”如何把握放缩的“度”，使得放缩“恰到好处”，这正是放缩法的精髓和关键所在！板块三模拟演练·提能增分[ A 级基础达标 ]ab c d1．已知 a ，b ，c ，d 均为正数， S ＝ a ＋ b ＋ d ＋ b ＋ c ＋ a ＋c ＋ d ＋ b ＋ d ＋a ＋ c ，则一定有 ()A ． 0<S <1B ． 1<S <22019 版高考数学一轮复习全册学案C ． 2<S <3D ． 3<S <4答案Babcd解析S >a ＋b ＋c ＋d ＋a ＋b ＋c ＋d ＋a ＋b ＋c ＋ d＋a ＋b ＋c ＋d＝1，ab c d S <＋＋＋＝ 2，a ＋b a ＋ bc ＋d c ＋ d∴ 1<S <2. 故 B.x 1 x 2 x 32．[2018 · 店期末 ] 若 x 1，x 2， x 3∈ (0 ，＋∞ ) ， 3 个数 x 2 ，x 3 ，x 1 的 ()A ．至多有一个不大于 1B ．至少有一个不大于 1C ．都大于 1D ．都小于 1答案 B解析解法一： x 1≤ x 2≤ x 3，x 1 x 2 x 3≤1，≤1，≥1. 故 B.x 2x 3x 1解法二：x 1x 2x 3>1， >1， >1，x 2 x 3 x 1 ∴ x 1 x 2x 3 x 1 x 2 x 3· · >1 与· · ＝ 1 矛盾，x 2x 3 x 1x 2 x 3 x 1∴至少有一个不大于1.x ＋ y x y3． x >0， y >0， M ＝ 2＋ x ＋y ， N ＝ 2＋ x ＋ 2＋ y ， M 、 N 的大小关系 ________．答案M <Nxy xy解析 N ＝2＋ x ＋ 2＋ y >2＋ x ＋y ＋ 2＋ x ＋y ＝x ＋ y2＋ x ＋ y ＝M .4．已知 a ， b ∈ R ， a 2＋ b 2＝ 4， 3a ＋ 2b 的取范是 ________．答案[ － 2 13， 2 13] 解析根据柯西不等式( ac ＋ bd ) 2≤(a 2＋ b 2) ·(c 2＋d 2) ，可得 (3 a ＋ 2b ) 2≤(a 2＋ b 2) ·(3 2＋ 22)∴－ 2 13≤3a ＋ 2b ≤2 13.3a ＋ 2b ∈ [ － 2 13， 2 13] ．[ B 能力达 ]5．求： 1＋1 ＋ 1＋⋯＋ 1 < 1( n ∈ N * ) ．1×3 3×5 5×7 2n －1 2n ＋121 1 1 1明∵2n － 1 2n ＋ 1＝2 2n － 1－2n ＋ 11 1 1 11 1 111 ∴左＝ 1－ 3 ＋ 3－ 5＋⋯＋ 2 －1－2 ＋ 1 ＝21－2 ＋ 1< .2nnn26 ． [2018· 州模] 函数 f ( x ) ＝ x － 4＋| ＋a |(a >0) ．ax2019 版高考数学一轮复习全册学案(1) 证明： f ( x ) ≥4；(2) 若 f (2)<5 ，求 a 的取值范围．444解 (1) 证明： x －a ＋ | x ＋ a | ≥ x ＋ a ＋a － x ＝ a ＋ a ≥4；当且仅当 a ＝ 2 时取等号．(2) f (2) ＝ 2－ 4 ＋ | ＋ 2|.aa①当 a ＝ 2 时，4＋ |2 ＋ a |<5 2－a 显然满足；②当 0<a ≤2时，不等式变成a ＋ 4 <5，即a2－ 5 ＋ 4<0? 1< <4，联立求解得1< ≤2；aaaa21－ 17 1＋ 17 1＋ 17.③当 a >2 时，不等式变成 a － a －4<0，∴2 <a < 2 ，联立求解得 2<a < 21＋ 17综上， a 的取值范围为 1<a <.27．[2018 ·龙门县校级模拟] 已知函数 f ( x ) ＝ |2 x － 1|.(1) 若不等式 f x ＋ 1 ≤2 ＋ 1( m >0) 的解集为 [ － 2,2] ，求实数的值；2 mm4(2) 对任意 x ∈ R ， y >0，求证： f ( x ) ≤2y ＋ y ＋ |2 x ＋ 3|.2解(1)不等式 f x ＋ 1 ≤2 ＋≤2 ＋ 1( m >0) ，2m 1?|2 x |m11∴－ m － 2≤ x ≤ m ＋2，13由解集为 [ － 2,2] ，可得 m ＋2 ＝ 2，解得 m ＝ 2.4(2) 证明：原不等式即为 |2 x － 1| － |2 x ＋3| ≤2y ＋ 2y .令 g ( x ) ＝ |2 x － 1| －|2 x ＋3| ≤|(2 x －1) － (2 x ＋3)| ＝ 4，3当 2x ＋3≤0，即 x ≤－ 2时， g ( x ) 取得最大值 4，4 4 4又 2y ＋ 2y ≥22y ·2y ＝ 4，当且仅当 2y ＝ 2y ，即 y ＝ 1 时，取得最小值4.4则 |2 x － 1| － |2 x ＋3| ≤2y ＋ 2y .故原不等式成立．∈ R ，有 x 2228．[2018 ·黄山期末 ](1) 已知， ∈ (0 ，＋∞ ) ，求证：，＋ y ≥ x ＋ y ；a bx y a b a ＋ b(2) 若 0< <2,0<b <2,0<c <2，求证： (2 － ) b ， (2 － )c ，(2 － ) a 不能同时大于 1.aa bcx 2 y 22 bx 2 ay 222 2 2证明 (1) 证法一：a ＋b ( a ＋ b ) ＝ x ＋ a ＋ b ＋ y ≥ x ＋ 2xy ＋ y ＝( x ＋ y ) ，2 2当且仅当 bx＝ ay ，即 | bx | ＝ | | 时取等号，abay2019 版高考数学一轮复习全册学案由于 a ， b ∈ (0 ，＋∞ ) ，所以有x 2 y 2 x ＋ y 2＋ ≥＋.a bab证法二：由柯西不等式得x 2 y 2a ·xy2( a ＋ b ) a ＋ b≥＋ b ·b，ax 2y 22即 ( a ＋ b ) a ＋ b ≥(x ＋y ) ，x 2 y 2 x ＋ y 2＋ ≥＋ .ab a b(2) 假设结论不成立，即 (2 －a ) b ， (2 － b ) c ， (2 － c ) a 同时大于 1.2－ a b >12－ b c >1 ? (2 － a ) b · (2 －b ) c · (2 －c ) a >1，2－ c a >12－ a ＋ a 2 2－ b ＋b而 (2 － a ) b ·(2 － b ) c · (2 － c ) a ＝ (2 － a ) a ·(2 － b ) b ·(2 － c ) c ≤2222－c ＋c2＝ 1，2这与 (2 － a ) b ·(2 － b ) c ·(2 － c ) a >1 矛盾．所以假设错误，即 (2 － a ) b ，(2 － b ) c ， (2 － c ) a 不能同时大于 1.9．[2018 ·天津期末 ] 已知> y >0， >0.xm(1)y y ＋ m试比较与的大小；x x ＋ m(2) 用分析法证明： xy (2 － xy ) ≤1.解(1) 因为 y y ＋ m my － x ， x >y >0， m >0.x －＝x x ＋ mx ＋ m 所以 m ( y －x )<0 ， x ( x ＋ m )>0 ，所以 my － xy y ＋ m<0，即－<0，x x ＋ mxx ＋ m所以 y y ＋ m<.x x ＋ m(2) 证明： ( 用分析法证明 ) 要证 xy (2 － xy ) ≤1，只需证 2 xy － (xy ) 2≤1，只需证 ( xy ) 2－ 2 xy ＋1≥0，即证 ( xy － 1) 2≥0，因为 x ， y >0，且 (xy － 1) 2≥0成立，所以 xy (2 － xy ) ≤1.10．[2018 ·江阴市期末 ] 已知实数 a >0，b >0.(1) 若 a ＋ b >2，求证： 1＋ b 1＋ a2； a ，b 中至少有一个小于 (2) 若 a － b ＝ 2，求证： a 3＋ b >8.2019 版高考数学一轮复习全册学案1＋b1＋a1＋b1＋a证明(1) 假设 a ，b 都不小于2，则a≥2，b≥2，因为a>0，b>0，所以 1＋b≥2a, 1＋ a≥2b，1＋1＋a＋ b≥2( a＋ b)，即 2≥a＋b，这与已知a＋ b>2相矛盾，故假设不成立．1＋b1＋a综上，a， b 中至少有一个小于 2.(2)∵ a－ b＝2，∴ b＝ a－2，∵b>0，∴ a>2，∴a3＋ b－8＝ a3－8＋ a－2＝( a－2)( a2＋2a＋5)，∴( a－ 2)[( a＋ 1) 2＋ 4]>0 ，∴a3＋ b>8.。

近年高考数学一轮总复习不等式选讲题组训练92不等式的证明与柯西不等式理(2021年整理)

2019版高考数学一轮总复习不等式选讲题组训练92 不等式的证明与柯西不等式理编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2019版高考数学一轮总复习不等式选讲题组训练92 不等式的证明与柯西不等式理）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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题组训练92 不等式的证明与柯西不等式1．设a，b，c是互不相等的正数，则下列不等式中不恒成立的是( ) A．（a＋3)2<2a2＋6a＋11 B．a2＋错误!≥a＋错误!C．|a－b|＋错误!≥2 D。

错误!－错误!<错误!－错误!答案C解析（a＋3）2－(2a2＋6a＋11）＝－a2－2<0，故A恒成立；在B项中不等式的两侧同时乘以a2，得a4＋1≥a3＋a⇐(a4－a3）＋（1－a）≥0⇐a3(a－1)－（a－1）≥0⇐（a－1）2（a2＋a＋1)≥0，所以B项中的不等式恒成立;对C项中的不等式，当a>b时，恒成立，当a〈b时，不恒成立；由不等式错误!〈错误!恒成立，知D项中的不等式恒成立．故选C。

2．已知a，b，m，n均为正数，且a＋b＝1,mn＝2，则(am＋bn)(bm＋an)的最小值为________．答案2解析(am＋bn)（bm＋an)＝abm2＋(a2＋b2）mn＋abn2＝ab(m2＋n2)＋2（a2＋b2）≥2abmn＋2(a2＋b2）＝4ab＋2（a2＋b2)＝2（a2＋2ab＋b2)＝2（a＋b）2＝2(当且仅当m＝m＝错误!时等号成立）．3．(2018·沧州七校联考)若log x y＝－2,则x＋y的最小值为________．答案错误!解析由log x y＝－2，得y＝错误!.而x＋y＝x＋1x2＝错误!＋错误!＋错误!≥3错误!＝3错误!＝错误!，当且仅当错误!＝错误!即x＝错误!时取等号．所以x＋y的最小值为错误!.4．若a，b,c∈R＋，且a＋b＋c＝1，则错误!＋错误!＋错误!的最大值为________．答案错误!解析方法一：(错误!＋错误!＋错误!)2＝a＋b＋c＋2错误!＋2错误!＋2错误!≤a ＋b＋c＋(a＋b)＋（b＋c)＋（c＋a)＝3.当且仅当a＝b＝c时取等号成立．方法二：柯西不等式:(错误!＋错误!＋错误!)2＝（1×错误!＋1×错误!＋1×错误!)2≤(12＋12＋12)（a＋b＋c）＝3。

2019高考数学考点突破__鸭系列：不等式的证明学案.docx

不等式的证明【考点梳理】1.基本不等式定理1：设日，方GR,则a +l)^2ab,当且仅当a=b时，等号成立.定理2：如果日，力为正数，则当且仅当a=b时，等号成立.定理3：如果自，b, c为正数，则"+?+、眾嬴,当且仅当2=Z?=c时，等号成立.定理4：(一般形式的算术一儿何平均不等式)如果务创,…，缶为门个正数，则"+型+…+弘n2冷&血…当且仅当级=业=••• = &“吋，等号成立.2.不等式证明的方法(1)比较法是证明不等式最基本的方法，可分为作差比较法和作商比较法两种.名称作差比较法作商比较法理论依据日＞/心日一Z?＞0日＜/x二＞臼一方＜08= b=0/?>0, 7>1=>^>Z? bb<0, 7>1=>^<Z? b(2)①综合法：利用某些己经证明过的不等式和不等式的性质，推导出所要证明的不等式，这种方法叫综合法.即“市因导果”的方法.②分析法：从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的充分条件,把证明不等式转化为判定这些充分条件是否具备的问题，如果能够肯定这些充分条件都已经具备，那么就可以判定原不等式成立，这种方法叫作分析法.即“执果索因”的方法.【考点突破】考点一、比较法证明不等式【例1】设臼，〃是非负实数，求证：才+FNp矗(日+力).[解析]因为a+b~—y[ab(a+ 6)=(a—cr\[ab) += cr^a + lr^~b (y[b—y[a)=（込—边）cj —Z T \^）（1/ 33\/ -b 2a 2 -h 2\7 \ 丿2 12 因为曰20,力20,所以不论日2力NO,还是0WaWb,都有a 2-b 2与/所以 a +1）^y[ab （ci+ b ）. 【类题通法】作差比较法证明不等式的步骤（1）作差；（2）变形；（3）判断差的符号；（4）下结论.其中“变形”是关键,成因式连乘积的形式或平方和的形式，再结合不等式的性质判断出差的正负.【对点训练】已知$>o, z?>o,求证：击込+寸2. [解析]法一因为玄+±一（&+血（V^） '+ （y/1））（込+V^）（y[2+y{7））'又$>0,方〉0,寸乔>0,所以玄+#2寸寸厶考点二、综合法证明不等式【例2】已知函数f\x) =| + x+^，〃为不等式f(x) <2的解集.(1) 求鳳(2) 证明：当日，b^M Bt, \a+b\<\l+ab\.( 1（\_/ 3 3 A-b 2a 2 -b 2 \ /\ /30,5同号，所以通常将差变形V c?>0, Z?>0, >0.因此亡+卓 yfbJL +A法二由于（込+V^）（自—b ）（士+yp?）_2x,点一㊁，［解析］(l)f(x)=V 1, —|<x|,2x,心当—*时，由f(0 <2 得一2*2,解得x> —1,所以-1<穴_*；当—时，f(力<2恒成立.当吋，由f{x) <2 得2X2,解得*1,所以所以t\x) <2 的解集M= {x\— 1<X1}.(2)由⑴知,当a, b^M时,-l<a<l, -KZK1,从而(臼+b)‘一{\+ab)~ = a+Ij—aIj—\=&一1) (1_旳<0,所以(匂+b)2<(l + $m 因此 | a+b\< | \ + ab\.【类题通法】1.综合法证明的实质是由因导果，其证明的逻辑关系是：A=B戶B戸・・0BnnB(A为已知条件或数学定义、定理、公理，〃为要证结论)，它的常见书面表达式是“・・・，・・・”或“=>”.2.综合法证明不等式，要着力分析己知与求证之间，不等式的左右两端之间的差异与联系.合理进行转换，恰当选择已知不等式，这是证明的关键.【对点训练】已知函数f{x)=2\x+l\ + \x-2\.(1)求fd)的最小值/〃；// 店 /(2)若日，b, c均为正实数，且满足a+b+c=m,求证：一+丁+—M3.a b c[解析](1)当x< —1 时，f(x) =—2(^+1) — (x—2) = —3%>3；当一1 WxV2 时，f(x) =2(x+l) — (x—2) =x+4E [3, 6):当xM2时，f(x) =2(x+l) + (x-2) =3心6.综上，fd)的最小值仍=3.(2)臼，b, c 均为正实数，且满足自+方+c=3,A 2 //因为一+〒+—+@+方+c)a D c =&+臼丿+厅+方丿+u+c三2（七•十挣 b+弋• cj=2（a+b+c ）. （当且仅当日=b=c =1时取“=”）考点三、分析法证明不等式【例3】设日，方，c, 〃均为正数，且a+b= c+d,证明： ⑴若自b> cd,则y[a+y[b>y[c+^~ck ⑵y[a+y[b>y[c+y[d7^. \ a — b\< \ c —d\ 的充要条件.[解析](1)丁日，b, c, 〃为正数，且a+ b= c+ d, 欲证£+卫>迄+甫, 只需证明(y[a+y[l))~> (y[c+y[d)2f也就是证明臼 + 方 +c~\~ d~\~2yl~cc/f只需证明y[晶即证ab> cd.由于ab> cd,因 ^y[a+yp)>y[c+y[c/.(2)①若 | a —b\< I c~d\ ,则(a —Z>)2<(c —dD 2,即(&+b)'—4臼Z?<(c+ d)~—4cd. 因为 $+ b= c+ d,所以 ab> cd. 由(1)，得&+讥>讥+*\/^②若士+卫>\[^+甫,则(&+边)2> (y[c+y[d) \ 即 a+ b+ 2y[ab> c+ r/+ 2y[cd.23.因为 a+b= c+ d,所以 ab>cd.于是(日一方)'=(^+Z?)2—4a/X (c+ d)z—4cd= (c~ d)2. 因此\a~b\<\ c —d\.综上，寸讥「日一方|| Q — d 的充要条件. 【类题通法】1. 本题将不等式证明与充要条件的判定滲透命题，考查推理论证能力和转化与化归的思想方法，由于两个不等式两边都是正数，可通过两边平方來证明.2. 当要证的不等式较难发现条件和结论之间的关系时，可用分析法來寻找证明途径，使用分析法证明的关键是推理的每一步必须可逆.3. 分析法证明的思路是“执果索因”，其框图表示为：【对点训练】己知函数f(x) = | 11.(1) 解不等式 f(0+/U+4)M8；(2) 若 |c?|<l, |/?|<1,且日 H0,求证：f(cib) >\a\f・［解析］ ⑴依题意,原不等式等价于| l 11 + |卄31 N8. 当* — 3 时，则一2x —2N8,解得 xW —5.当一3冬虑1时，则4M8不成立，不等式解集为0. 当Q1时，则2/+2M8,解得/N3.所以不等式f(x) +尸匕+4) $8的解集为{” 或xW —5}.(2)要证 f (“) >| 日(勺,只需证I ab —\\>\b —a\,只需证(ab —l)2>(b —a)2.V |a|<l, |Z?|<1,知 a<l,方幻,(ab — 1)' — (b — a)2= a I)—a —tt+1= (/-l)(方'一l)>0.故(必一I)%—»成立.从而原不等式成立.|铁川一［7両一|雄u/羽得到一个明显成立的条件。