§5-8 一阶电路的三要素法
直流一阶电路分析计算的三要素法
直流一阶电路分析计算的三要素法
由于直流一附上电路换路后在过渡过程中的电压和电流，是从初始值按指数规律衰减到稳态值，或者是从初始值按指数规律上升到稳态值。
而指数规律的变化又决定于时间常数τ。
因此，过渡过程中的电压和电流是随时间的变化规律，由初始值、稳态值的时间常数所确定。
只要计算出初始值)0(+f 、稳态值)(∞f 和时间常数τ，则过渡过程中的电压和电流)(t f ，便可直接由如下三要素公式得出，即
[])()()0()(∞+∞-=-+f e
f f t f t τ 0≥t
上式中，[]τt e f f -+∞-)()0(是暂态响应，)(∞f 是稳态响应。
上式所示三要素公式化，适用于直流激励、有损耗一阶电路，0=t 时刻换路，0≥t 时电路的过渡过程分析。
有损耗一阶电路的戴维南等效电阻R 是正值，特征根S 是一个负数，暂态响应含负指数τt
e -，随时间作衰减变化。
三要素法是一阶电路过渡过程分析的实用计算法，不必列出和求解电路的微分方程，只要直接计算出待求响应变量的初始值、稳态值和电路的时间常数即可，具有简捷方便的优点。
因此，在工程实际中具有重要意义。
电路分析路基础一阶电路的三要素法
y(t ) y() [ y(0 ) y()] e
t
返回
X
2.三要素法解题步骤
1. 求初值 y(0 ) － － 求出 u (0 ) 或 i (0 )。 (1)画0 等效电路， C L
注意：此时电容开路，电感短路。 ＋ (2)画0＋等效电路， 求出y(0 )。 ＋ － 此时电容用电压值为 uC (0 ) uC (0 ) 的电压源替代， ＋ － 电感用电流值为iL (0 ) iL (0 ) 的电流源替代。
2
1
5i (0＋)
iL (0＋)
1Leabharlann ＋ ＋ ＋ 2i (0 ) 1 i (0 ) 5i (0 ) iL (0 ) 16 i (0＋) 3.5 A ＋
X
解（续）
(3)画 等效电路， 求iL ()、i ()。 i ( ) i () 5i () iL () iL () 2 iL () 3i () 2i () 1 iL () 16 16 V 1
16 V
i 2
1
5i
1
S( t 0)
iL ( t ) 5H
i (0 )
16 V
2
5i (0 )
1
iL (0 )
X
解（续）
(2)画0 等效电路， 求iL (0 )、i (0 )。
＋
＋
＋
i (0＋)
iL (0 ) iL (0 ) 12A
＋
16 V
稳态分量 暂态分量
戴维南等效电阻或诺顿等效电阻 Req 。
试谈电路教学中“一阶线性电路三要素法公式的表示方法”
试谈电路教学中“一阶线性电路三要素法公式的表示方法”
一阶线性电路三要素法公式的表示方法是指利用电路中的三要素R、L和C，采用特定的电路结构，将电路中所有电流及电压之间的关系以数学形式表示出来。
此公式的研究历史十分悠久，可以追溯到1745年威廉·马歇尔的“差分方程”，他是第一个研究了线性电路的人，他把电路中各部分之间的关系用极端简化的形式表示出来，这样就可以很方便的用数学推导的方法得出各部分之间的关系，这也是一阶线性电路三要素法公式的基础。
一般而言，用一阶线性电路三要素法公式表示电路中所有电流及电压之间的关系时，我们首先要确定电路结构、有几个极点，然后把电路中每一个极点都建模为一个电压源，并根据电路的结构分析，写出电路中电压源之间的关系。
然后我们要把电路中的三大要素R、L和C抽象为一个个电路元件，这样我们就可以将电路中电流及电压之间的关系表示出来，也就是一阶线性电路三要素法公式了。
在实际应用中，一阶线性电路三要素法公式有着广泛的应用，可以用来分析电路中各部分之间的电压及电流关系，从而更加清楚的了解电路的工作原理，从而对电路的设计有更深入的认识。
一阶动态电路的三要素法
感谢您的观看
THANKS
应，并了解电路的性能。
03 三要素法可以帮助我们更好地理解和设计一阶动 态电路。
04 三要素法在一阶动态电路 中的应用
电容电压的计算
总结词
通过三要素法，可以计算出电容电压 的初始值、稳态值和时间常数。
详细描述
在三要素法中，电容电压的初始值可 以通过初始条件计算得出，稳态值则 根据换路定律确定，而时间常数是电 路中电容器充放电的时间。
研究不足与展望
虽然三要素法在分析一阶动态电路方面取得了显著成果，但仍存在一些局限性，例如对于高阶动态电 路的分析仍需进一步研究。
目前对于三要素法的理论研究相对成熟，但在实际应用方面仍需加强，特效率。
未来研究可以探索将三要素法与其他电路分析方法相结合，以拓展其应用范围和提高分析精度，同时也 可以研究如何将三要素法应用于其他领域，如控制系统、信号处理等。
实例二：简单RL电路的响应分析
总结词
RL电路的响应分析
详细描述
RL电路由一个电阻R和一个电感L组成，其 响应也可以通过三要素法进行计算。根据三 要素法，RL电路的响应由初始值、时间常数
和稳态值三个要素决定。初始值是电感在 t=0时的电流或电压值，时间常数是RL的乘 积，稳态值是当时间趋于无穷大时的电流或
背景
在电子工程和电路分析领域，一阶动态电路是常见的基本电路之一。了解一阶动态电路的响应特性对于电子设备 和系统的设计、分析和优化具有重要意义。三要素法作为一种有效的分析方法，广泛应用于一阶动态电路的分析 和设计中。
研究目的和意义
研究目的
通过研究一阶动态电路的三要素法，旨在深入理解一阶动态电路的响应特性，掌握三要 素法的应用技巧，提高分析和解决实际电路问题的能力。
03 电工电子技术 学习指南：一阶电路的三要素
任务名称
一阶电路的三要素法
任务描述
三要素分析一阶线性电路
任务条件
教材、教学课件、动画等
任 务 要求
知识目标
理解一阶电路及三要素法概念
掌握三要素法分析一阶电路。
技能目标
能运用三要素法分析一阶电路。
素质目标
能运用信息检索和资料整理帮助学习本节内容
能规范操作仪表
团队协作意识文案写作与总结能力 Nhomakorabea学习方法
三要素即：初始值、稳态值、时间常数。实际应用中要掌握这三者的求法，特别注意等效电阻求解，是从电感或电容元件两端看过去的等效电阻。
通过测试检验和巩固所学内容。
学习资源
本节课件、知识内容、相关教材、动画
测验
一阶电路
S闭合后， 闭合后， 闭合后 i2 (0 − ) = i2 (0 + ) = 4 A 由换路定律得： 由换路定律得： uC ( 0 + ) = uC ( 0 − ) = 8V
因此初始状态的等效电路为： 因此初始状态的等效电路为：
S i2 i1 i3 3Ω Ω 4Ω Ω 20V C 2Ω Ω L i1(0+) i3(0+) 20V + 8V 4Ω Ω i2(0+) 2Ω Ω 4A
1Ω Ω R3 L 1H
R1 R2
R3
uL
2A
uL
u L (0 ) = −iL (0 )[ R1 // R2 + R3 ] =−4V
+
+
t=0+时等 效电路
第二步:求稳态值 第二步 求稳态值
2Ω Ω R1 IS K R2 Ω t=0 2Ω 1Ω Ω R3
u L (∞)
R1 R3 L 1H R2
uL
求稳态值举例
t=0 t =0 + 10V 3k C 4k 4k 2Ω Ω 3Ω Ω
iL
3Ω Ω L
uc
4mA
3 uC (∞) = ×10 3 + 4 // 4 = 6V
3 iL (∞) = 4 × 3+3 = 2 mA
“三要素”的计算（之三) 三要素”的计算（之三)
时间常数 原则: 原则 的计算: τ 的计算 要由换路后的电路结构和参数计算。 换路后的电路结构和参数计算 τ 要由换路后的电路结构和参数计算。 (同一电路中各物理量的 τ 是一样的 是一样的) 同一电路中各物理量的
i2(0+) i1 (0+)
=
iL(0+)
一阶电路的三要素分析法
后如果使用智慧盒供电连线如图6-2-17所示，使用NEWLab底座供电连接如图6-2-18所示，将st-link仿
真器的20PIN的头与M3主控模块的J1脚相连。
图6-2- 16 ST-LINK仿真器
图6-2- 17 智慧盒供电
图6-2- 18 底座供电
步骤2 打开仿真器下载软件STM32 ST-LINK Utility如右图所示。 步骤3 打开软件后，点击界面中Program verify，如下图所示。
《电路分析与实践项目化教程》
简单低通滤波电路的设计
直流激励下的一阶动态电路分析
一阶电路的三要素分析法
《电路分析与实践项目化教程》
目录
CONTENTS
1 什么是一阶电路的三要素 2 一阶电路三要素法的解题步骤 3 一阶电路三要素法的实例
一、什么是一阶电路的三要素
电路变量由初始值向新的稳态值过渡，并且按照指数规律逐渐趋向 新的稳态值，而过渡的快慢取决于时间常数。因此我们把初始值、稳 态值、时间常数称为一阶动态电路的三要素。一阶电路的全响应为：
f (t) = f (∞) + [f (0+)－f (∞) ] e -t/τ 式中f (t) -----电路中任意处的电压或电流
f (∞) -----电压或电流的稳态值 f (0+) ----换路后一瞬间电压或电流的初始值
τ-------电路的时间常数
一 二、一过阶渡电过路程三要素法的解题步骤
三要素法解题步骤如下： （1）确定电压或电流初始值f (0+)
步骤6 点击下一步
步骤7 选择STM32F1_High-density_512K，点击下一步
步 骤 8 选择download to device选项，选择需要下载的固件地址，并选择Erase necessary
一阶电路的全响应——三要素公式【PPT课件】
路 与
iL(0+) =iL(0-)=12/(2+1)=12/3=4(A)
系 统
uC (0+)= uC(0-)=1×iL(0-)=4(V)
(a)
2Ω i1 i2 2Ω
2Ω
2H
1F
iL
12V
1Ω
多
媒 体
τC=RCC=2×1=2s,τL=L/RL =2/(2//2+1) =1s
(b)
(c)
2Ω
2Ω 2Ω
室 制
路
与 系
对于一阶电路,只要设法求得初始值y(0+) 、时常数τ和微分方程
统 多
的特解yp(t),就可直接写出电路的响应y(t) 。
媒 体
若激励f(t)为直流时, yp(t) = A代入上式,有y(t) = A + [y(0+) - A]e- t/τ
室 制
通常τ> 0(称电路为正τ电路),当t→∞时,电路稳态,A = y(∞)稳态值。
此时电路的稳态值 uC(∞) = (R2//R3)Is = 2×2 = 4(V) ,
时常数τ2= (R2//R3)C =1s
uC(t) = 4 - 2.53e-(t-2) (V) ,t ≥2s
第 5-10 页
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例4 如图 (a)所示电路,在t<0时开关S是断开的,
i1 2Ω i2 2Ω 2Ω
dy(t)1y(t)bf(t)
dt
西 安
y(t) = Ke- t/τ + yp(t)
电 子
设全响应y(t)的初始值为y(0+),代入上式得
科 技 大
y(0+) = K + yp(0+) , K = y(0+) - yp(0+)
一阶电路的三要素法
一阶电路的三要素法
上式可写成：
在直流激励下，电路的任意一个全响应可用f(t)表示，则：
一阶电路暂态分析的三要素法
式中f(t)分代表一阶电路中任一电压、电流函数。
结论
依据三要素，可直接写出一阶电路在直流激励下的全响应，这种方法称为三要素法。
适用范围：激励为直流和正弦沟通。
三要素法求解暂态过程要点：
（1）分别求初始值、稳态值、时间常数；
（2）将以上结果代入暂态过程通用表达式；
（3）画出暂态过程曲线（由初始值→稳态值）。
（电压、电流随时间变化的关系）
1.初始值的计算
步骤: （1）求换路前的
（2）依据换路定则得出：
（3）依据换路后的等效电路，求其它的或
2.稳态值的计算
步骤:（1）画出换路后的等效电路（留意：在直流激励的状况下，稳态时令C开路，L短路）；
（2）依据电路的解题规律，求换路后所求未知数的稳态值。
注: 在沟通电源激励的状况下，要用相量法来求解。
求稳态值举例
3.时间常数的计算
原则:要由换路后的电路结构和参数计算。
(同一电路中各物理量的是一样的)
步骤:（1）对于只含一个R和C的简洁电路，对于较简单的一阶RC电路，将C以外的电路，视为有源二端网络，然后求其等效内阻R'。
则:
（2）对于只含一个L 的电路，将L 以外的电路，视为有源二端网络,然后求其等效内阻R'。
则:
RC 电路τ的计算举例
例9.
RL 电路τ 的计算举例
例10.
例11.
已知t = 0时合开关S，求换路后的uC(t)。
解：。
电工电子技术基础知识点详解5-一阶电路的三要素法
三要素法主要内容：一阶暂态电路中三要素的求解方法；利用三要素公式求解暂态电路的响应。
重点难点：三要素中初始值以及时间常数的求解。
一阶线性电路暂态分析的三要素法U u C =∞)(稳态值初始值)0()0(U u u C C ==-+τt C U U U u --+=e)(0 一阶线性电路: 仅含一个储能元件或可等效为一个储能元件的线性电路，且由一阶常系数线性微分方程描述。
据经典法推导结果 全响应 τtC C C C u u u u -+∞-+∞=e)]()0([)(u C (0 -) = U 0SR U + _ C +_ i 0=t u C + _ u R)(t f ：代表一阶电路中任一电压、电流函数式中,初始值 -- （三要素）)(∞f 稳态值 -- )0(+f 时间常数τ -- τtf f f t f -+∞-+∞=e)]()0([)()( 在直流电源激励的情况下，一阶线性电路微分方程解的通用表达式：利用求三要素的方法求解暂态过程，称为三要素法。
一阶电路都可以应用三要素法求解，在求得 、 和τ 的基础上,可直接写出电路的响应(电压或电流)。
)0(+f )(∞f一阶电路的三要素法三要素法求解暂态过程的步骤起点 )(+f (1) 求初始值、稳态值、时间常数；(3) 画出暂态电路电压、电流随时间变化的曲线。
(2) 将求得的三要素结果代入暂态过程通用表达式； tf (t )O终点 )(∞f一阶电路的三要素法求换路后电路中的电压和电流 , 其中电容 C 视为开路, 电感L 视为短路, 即求解直流电阻性电路中的电压和电流。
V555510)(=⨯+=∞C u 6666)(+⨯=∞L i mA3=(1) 稳态值 的计算)(∞f 响应中“三要素”的确定例： u C + -t =0 C 10V5k Ω 1μ FS 5k Ω+-L i t =03Ω 6Ω6Ω6mAS 1H1) 由t =0- 电路求 )0()0(--L C i u 、2) 根据换路定则求出)0()0()0()0(-+-+==L L C C i i uu 3) 由t =0+时的电路，求所需其它各量的 )0(+i )0(+u 或 在换路瞬间 t =(0+) 的等效电路中 (1) 电容元件用理想电压源代替；注意：)0(+f (2) 初始值的计算 (2) 电感元件用理想电流源代替 。
电路分析路基础一阶电路的三要素法
t
t
i (t ) i ( t0 )e
( t t0 )
t 0 t /s 2(1 e )e A, t t i (t ) / A i (t0 )是第一段在 t 0 时刻的值， 2 t 1 e 此即为第二段的初始值。
t0 ) ( t t0 )
0
O
2
1
5i
I
1
U
2i
X
解（续）
(5) 写出 iL ( t )和i ( t ) 的函数表达式 t
iL ( t ) 9.6 12 9.6 e
稳态
t 4
t 4
12e
4
暂态
z.i.r
t 9.6 1 e 4 A
z.s.r
2.4e 9.6 A, t t 0 t t 4 4 i ( t ) 3.2 3.5 3.2 e 4 1.5e 3.2 1.2e A z.s.r 稳态 暂态 z.i.r 0.3e
§5-8 一阶电路的三要素法
北京邮电大学电子工程学院
退出
开始
1.三要素法
uC (t ) uCz.i.r (t ) uCz.s.r (t ) 零输入、零状态法： UC (0 )e
1 t
Us (1 e
1 t
), t 0
经典法： uC (t ) uCh (t ) uCp (t ) Us [UC (0 ) Us ]e , t 0 uCp ( t ) U s uC ( ) ——稳态值
R2 t L
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2.求稳态值 y( )
画 等效电路， 求出 y()。 注意：此时电容开路，电感短路。
X
2.三要素法解题步骤
3. 求时间常数 求 t 0时除去动态元件后的含源单口网络的
L ReqC 或 Req 4. 写出所求变量的函数表达式 t y(t ) y() [ y(0 ) y()] e
2
1
5i (0＋)
iL (0＋)
1
＋ ＋ ＋ 2i (0 ) 1 i (0 ) 5i (0 ) iL (0 ) 16 i (0＋) 3.5 A ＋
X
解（续）
(3)画 等效电路， 求iL ()、i ()。 i ( ) i () 5i () iL () iL () 2 iL () 3i () 2i () 1 iL () 16 16 V 1
X
例题4 图(a)所示RL电路中的电压源电压如图(b)所示，
i (0 且 L ) 0 。试求 t 0时的 i ( t ) 并绘出变化曲线。 i(t) us (t)/ V （c） 1 + 2
us (t )
1H
-
O
(a) (b) i (0 ) 0 , 所以在 0 t t0 区间 i ( t ) 为零状 由于 解: L 态响应；当 t t0 时，因为没有了外加激励，而且 由于前一段的充电，电感中已有储能，所以 i ( t ) 为零输入响应。
i(t)
R2
C
V
L
u (t )
i2
i1
R1
X
解: 开关闭合后 R2 、 L串联支路与 R1 、C串联支路具
有相同的电压，他们各自与电压源构成充电回路。
Us uC () Us 1 ） i2 ( ) R2 R t 2t Us i2 ( t ) (1 e L ), t 0 uC (t ) Us (1 e R1C ), t 0 R2
5i ( )
1
2i () 3i () 16 16 i ( ) 3.2 A 5 iL () 3 3.2 9.6 A
iL ( )
X
解（续）
(4) 等效电阻 Req和时间常数 I 5i i 2i 8i I U 1 I 2i I 2 i 8 I 5 UI I 4 4 U 5 Req I 4 L 5 4s Req 5 4
打开开关S，求ux ( t ) , i x ( t ) , t 0 。
1
12V S
2
4F
R
ux
3
ix
X
例题3 已知下图桥型电路中的电容电压和电感电流的
2L t 0 时合上开关，设 R1 R2 初始值都为零， , 电压 C
表的内阻无限大，求开关闭合后： 1）流过开关的电流 i ( t ); 2）电压表读数达到最大 值的时间； t 0 3）电压表的最大读数。 Us
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内容提要
三要素法 三要素法解题步骤
X
1.三要素法
uC (t ) uCz.i.r (t ) uCz.s.r (t ) 零输入、零状态法： UC (0 )e
1 t
Us (1 e
1 t
), t 0
经典法： uC (t ) uCh (t ) uCp (t ) Us [UC (0 ) Us ]e , t 0 uCp ( t ) U s uC ( ) ——稳态值
duC ( t ) U s i1 ( t ) C e , t 0 dt R1 t R 2t U s R1C U s i ( t ) i1 ( t ) i2 ( t ) e (1 e L ), t 0 R1 R2
t R1C
X
解（续）
R 2t di2 e L ), t 0 2） u(t ) R1i1 L Us (e dt t R2 du R 1 当 0 时，u(t )达到最大值，此时： e R1C 2 e L t dt R1C L t R t R1C
y(t ) y() [ y(0 ) y()] e
t
返回
X
2.三要素法解题步骤
1. 求初值 y(0 ) － － 求出 u (0 ) 或 i (0 )。 (1)画0 等效电路， C L
注意：此时电容开路，电感短路。 ＋ (2)画0＋等效电路， 求出y(0 )。 ＋ － 此时电容用电压值为 uC (0 ) uC (0 ) 的电压源替代， ＋ － 电感用电流值为iL (0 ) iL (0 ) 的电流源替代。
稳态分量 暂态分量
戴维南等效电阻或诺顿等效电阻 Req 。
X
例题1 求t 0 时的iL ( t )和i ( t ) 。
0 (1) 画 等效电路， 解: 求iL (0－) 。
iL (0 ) 2 iL (0 ) 16 6 iL (0 ) 12 A
iL (0 ) i (0 ) 5i (0 ) 6i (0 ) 2i (0 ) 1 iL (0 ) 16
+ 60V 24k - 0.5μF
+
uR
uC
-
ReqC 20 103 0.5 106 0.01s
12 24 Req 12 12 8 20k 12 24
X
解（续）
uC ( t ) uC ( ) [uC (0 ) uC ( )]e
t
t
i (t ) i ( t0 )e
( t t0 )
t 0 t /s 2(1 e )e A, t t i (t ) / A i (t0 )是第一段在 t 0 时刻的值， 2 t 1 e 此即为第二段的初始值。
t0 ) ( t t0 )
0
O
稳态值
0
O
t0
t /s
X
例题5 已知图示电路中， uC (0 ) 6V ，求开关闭合后：
1）电容电压的全响应、稳态响应、暂态响应、零 输入响应、零状态响应并画其波形。 12k 2）24k 电阻上的电压 uR (t )。S(t = 0) 12k
解：
u (0 ) u (0 ) 6V 1） C C 24 uC ( ) 60 40V 12 24
t 4
3.2 A, t 0
i t
3 .5 3 .2
o
t
X
例题2 电路在 t 0 时已达到稳态，于 t 0 时突然
解: uC (0 ) 8V ux (0 ) 11V i x (0 ) 1A ux () 12V i x () 0A RC 16s
L 整理得： e C
R1C
R1 R2e
2
L
t
e R2 t ln 2 ( t) 上式两边取自然对数： L R1C R1 R2C L ln 2 t 整理得： LR1C 由 R1 R2 2 L 可得： R1 R2C 2 L C
X
2L R R 因为 1 2 C
，所以： 2e
返回
X
12k +
60V
24k
uR (0 )
-
6V
X
解（续）
24 uR ( ) 60 40V 稳态值： 12 24
t
uR ( t ) uR ( ) [uR (0 ) uR ( )]e
40 (26.4 40)e100 t 40 13.6e100 t V, t 0
R2 t L
t R1C
解（续）
t R1C ln 2时电压表读数达到最大值。
3） umax Us (e
Us (e
R1C ln2 R1C
1 ln 2 t R1C
e
R2 R C ln2 L 1
)
ln 2
e
2ln 2
1 1 1 ) Us ( ) Us 2 4 4
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
16 V
i 2
1
5i
1
S( t 0)
iL ( t ) 5H
i (0 )
16 V
2
5i (0 )
1
iL (0 )
X
解（续）
(2)画0 等效电路， 求iL (0 )、i (0 )。
＋
＋
＋
i (0＋)
iL (0 ) iL (0 ) 12A
＋
16 V
uC ( t ) uC ( ) [uC (0 ) uC ()] e , t 0 ——三要素公式 稳 初 时 态 始 间 值 值 常 数
X
1 t
A uC (0 ) U s uC (0 )t uC ()
1.三要素法
三要素法可用于求解在直流激励下，一阶动态电路 中任一支路的电压和电流。
t
40 (6 40)e100 t 40 34e100 t V, t 0 uC (t)/ V 稳态响应：40V
100 t 暂态响应： 34e V 零输入响应： 6e100 t V 零状态响应： 40(1 e100t )V
40 6
稳态 全响应
零状态 零输入 O 暂态
20.4e 100 t 40 34e 100 t 40 13.6e 100 t V, t 0