高斯小学奥数六年级上册含答案第07讲 不定方程

4.答案：3
简答：注意 是7的倍数．
5.答案：（1）有三组解： 、 、 ；（2）1；2；6
简答：（1）消去 可解；（2）求 的正整数解即可．
作业：
1.答案：（1）；（2）；
简答：（1）考虑方程两边除以3的余数；（2）消去未知数y，转化成二元一次不定方程．
2. 答案：12
简答：由，得：，所以参加活动的共有人．
张丘建所处的年代是中国古代的南北朝时期．尽管当时的中国战火连年，朝代更迭频繁，且一直处于分裂状态，但数学发展的脚步依然没有停下．与《张丘建算经》同时代的算经还有《孙子算经》和《夏侯阳算经》，而与张丘建本人同时代的数学家还有大名鼎鼎的祖冲之．
例6．卡莉娅到商店买糖，巧克力糖13元一包，奶糖17元一包，水果糖7.8元一包，酥糖10.4元一包，最后她共花了360元，且每种糖都买了．请问：卡莉娅买了多少包奶糖？
第七讲不定方程
不定方程，顾名思义就是“不确定”的方程，这里的不确定主要体现在方程的解上．之前我们学习的方程一般都有唯一解，比如方程 只有一个解 ，方程组 只有一组解 ．
什么样的方程，解不唯一呢？举个简单的例子，二元一次方程 的解就不唯一，因为每当y取定一个数值时，x就会有相应的取值和它对应，使方程成立，这样一来就会有无穷多组解．通常情况下，当未知数的个数大于方程个数时，这个方程（或方程组）就会有无穷多个解．
例题4.答案：8
详解：设已经截出了 根长36厘米的管子和 根长24厘米的管子，那么被截出的管子一共长 厘米．由 ，得： 一定是12的倍数．而380不是12的倍数，所以 是没有自然数解的！管子不可能刚好被用尽，那么最少会剩下多少厘米呢？
由于 一定是12的倍数，小于380且能被12整除的最大自然数是372，而 的自然数解是存在的，如 ，也就是截出1根长36厘米的管子和14根长24厘米的管子，能够使得截出的管子总长度达到最大值372厘米．所以剩余部分最少是 厘米．
、 、 、 、 、 、 、 、 ．
这就告诉我们，在求形如 （a、b、c为正整数）的不定方程的自然数解时，我们可以先找出一组解，之后其余的所有解都可由这一组解的 值每次变化 ， 值每次变化 得到（注意变化的方向相反，一个增加，另一个就得减少，才能保证 的大小不变）．
例2．采购员去超市买鸡蛋．每个大盒里有23个鸡蛋，每个小盒里有16个鸡蛋．采购员要恰好买500个鸡蛋，他一共要买多少盒？
可是方程的解那么多，究竟哪个才是正确的呢？应该说，如果不加任何额外的限制条件，这无穷多个解都是正确的．但在实际情况中，我们通常会限定方程的解必须是自然数，这样一来，往往就只有少数几个解能符合要求，甚至在某些情况下所有的解都不对．
练一练
求下列方程的自然数解：
Baidu Nhomakorabea（1） ；（2） ；
（3） ；（4） ．
本讲我们要学习的就是这样的一类方程（或方程组）：它们所含未知数的个数往往大于方程的个数，而未知数本身又有一定的取值范围，这个范围通常都是自然数——这类方程就是“不定方程”．
练习1、（1）求 的所有自然数解；（2）求 的所有自然数解．
一般地，如果 是 的一组解，那么 （当 时）也是 的一组解．这是因为 ．另外， （当 时）也是 的一组解，理由相同．
这条性质有什么用呢？我们以求 的自然数解为例，我们容易看出它有一组自然数解 ．应用上面的规律， 每次增加3， 每次减少2（只要 还是自然数），所得结果仍然是 的一组解，所以 、 、 、 、 都是 的自然数解．另外 每次减少3（只要 还是自然数）， 每次增加2，所得结果也是 的自然数解，所以 、 、 也都是 的自然数解．而且这样就已经求出了 的所有自然数解，它们是：
「分析」采购员要买多少个大盒，多少个小盒？大盒个数与小盒个数之间有什么联系？
练习2、点心店里卖大、小两种蛋糕．一个大蛋糕恰好够7个人吃，一个小蛋糕恰好够4个人吃，现在有100个人要吃蛋糕，应该准备大、小蛋糕各多少个才不浪费？如果每个大蛋糕10元，每个小蛋糕7元，那么至少要花多少钱？
前面的两道例题只要求方程的解是自然数即可，但有的问题除了要求“解必须是自然数”外，还会有一些其它的约束．下面我们就来看几道这样例题．
5. 答案：甲51；乙53；丙49
简答：设甲、乙、丙三个班分别有x人、y人、z人，则由已知可得：，即，所以可知x是除以10余1的数，y是除以9余8的数．又因为每班捐书册数在400与600之间，所以x只能取51，此时才同时满足y是除以9余8的数，即为53，则z为49．
例3．甲、乙两个小队去植树．甲小队有一人植树12棵，其余每人植树13棵；乙小队有一人植树8棵，其余每人植树10棵．已知两小队植树棵数相等，且每小队植树的棵数都是四百多棵．问：甲、乙两小队共有多少人？
「分析」不妨设甲小队有 人，乙小队有 人．由“两小队植树棵数相等”，你能列出一个关于 与 的不定方程吗？所列出来的不定方程又该如何求解？
第七讲 不定方程
例题：
例题1.答案：14或10
详解：由于方程两边除以3的余数相同， ， ，所以 除以3余2．又因为 ，所以 是不超过7的自然数，只能取2或5．当 时， ， ；当 时， ， ．所以张明共买了14支或10支铅笔．
例题2.答案：26
详解：设买了大盒鸡蛋 盒，小盒鸡蛋 盒，则 ．考虑方程两边除以16的余数，得： 除以16的余数是4．首先要求 是4的倍数，所以 是4的倍数，验证 4、8、12、……发现满足 除以16的余数是4的最小 值是12，相应的 的值是14，即 ．由于 且 ，所以方程没有其它自然数解，采购员一共买了 盒鸡蛋．
「分析」不妨设已经截出了 根长36厘米的管子和 根长24厘米的管子．合金铝管如果刚好能够被用完，方程应该怎么列？列出来的方程有自然数解吗？
练习4、酒店里有500升女儿红，李一白每次路过这里就打走35升，杜二甫每次路过这里就打走21升．那么若干天后，酒店剩余的女儿红最少是多少升？
二元一次不定方程只要找到一组自然数解，就能利用方程系数有规律地写出所有自然数解．而含有更多未知数的不定方程又当如何求解呢？
例5．我国古代数学家张丘建在《算经》一书中提出了“百鸡问题”：鸡翁一值钱五，鸡母一值钱三，鸡雏三值钱一．百钱买百鸡，问鸡翁、鸡母、鸡雏各几何？这个问题是说：每只公鸡价值5文钱，每只母鸡价值3文钱，每3只小鸡价值1文钱．要想用100文钱恰好买100只鸡，公鸡、母鸡和小鸡应该分别买多少只？
「分析」题中有几个未知量？由这些未知量你能列出几个方程？
练习6、求 的所有自然数解．
作业
1.（1）求的所有自然数解；（2）求的所有自然数解．
2.在一次植树节的活动中，参加活动的男生每个人种11棵树，女生每个人种7棵树，最后所有人一共种了100棵树，那么参加活动的一共有多少人？
3.一张纸上写有25个1.21和25个1.3．现在要划去其中的一些数，使留下来的数的总和为20.08，那么应划去多少个1.3？
4.樱木同学特别喜欢吃包子，每天早上都到学一食堂买包子吃．
（1）第一天早上，樱木同学花了6元买了一些冬菜包和豆香包，两种包子他都买了．已知冬菜包每个7角，豆香包每个5角，那么樱木同学一共买了多少个包子？
（2）第二天早上，樱木同学去学一食堂的路上遇到了晴子．于是樱木邀请晴子一起去吃包子．到学一食堂后，两人除了吃冬菜包和豆香包以外还点了几串羊肉串．已知羊肉串每串1.2元，最后一共花了18元，所点包子与羊肉串数量总和是25．那么两人最多吃了多少串羊肉串？
例题3.答案：76
详解：设甲、乙两小队分别有 人和 人．则两队植树棵数分别为 棵和 棵．由分析得： ．将 0、1、2、……代入方程验证 是否是自然数，可以求出方程的 值最小的一组自然数解 ，此时每队的植树棵数均为38棵．
方程的所有其他的自然数解都可以由进行若干次的“ 值增加13且同时 值增加10”得到（也就是方程的其他所有自然数解是 ， ， ，……），每次“ 值增加13且同时 值增加10”意味着每队植树棵数增加130棵，38棵要变为四百多棵，意味着要增加3次，符合要求的自然数解是 ．所以甲队有33人，乙队有43人，两队共有 人．
例题5.答案：有四种符合要求的买鸡方案：公鸡0只，母鸡25只，小鸡75只；公鸡4只，母鸡18只，小鸡78只；公鸡8只，母鸡11只，小鸡81只；公鸡12只，母鸡4只，小鸡84只
详解：设公鸡、母鸡和小鸡分别买了 只、 只和 只．依题意，得： ．要求这个方程的自然数解，我们用“消元”的想法把它转化成二元一次不定方程求自然数解的问题．我们选择“消去” ：将第二个方程乘以3，然后减去第一个方程，得： ，即 ，它的所有自然数解是 、 、 、 ．它们对应的 值分别为75、78、81、84都是自然数，于是原不定方程的所有自然数解是： 、 、 和 ．所以我们有四种符合要求的买鸡方案：公鸡0只，母鸡25只，小鸡75只；公鸡4只，母鸡18只，小鸡78只；公鸡8只，母鸡11只，小鸡81只；公鸡12只，母鸡4只，小鸡84只．
5.甲、乙、丙三个班向希望工程捐赠图书．已知甲班有1人捐6册，有2人各捐7册，其余都各捐11册；乙班有1人捐6册，3人各捐8册，其余各捐10册；丙班有2人各捐4册，6人各捐7册，其余各捐9册．已知甲班捐书总数比乙班多28册，乙班比丙班多101册，且每个班捐赠的册数都在400与600之间．各班各有多少人？48，49，41
「分析」题目中出现了四种糖果，我们不妨设巧克力糖、奶糖、水果糖和酥糖分别有 包、 包、 包和 包，再由已知的单价、总价可以列出方程 ．这是一个四元一次方程，如果按通常的解法枚举出所有解，势必会有太多可能性需要讨论，过于繁琐．而且题目也没要我们求出所有解，只要我们求出奶糖的数量即可．那有没有办法不求其它糖果，只求奶糖的数量呢？
3.答案：17
简答：设留下来的数中有x个1.21和y个1.3，则．由于总和的百分位是8，说明8或18．仅当相应的y是整数，求得，所以应该划去个1.3．
4. 答案：（1）10；（2）7
简答：（1）设买了冬菜包x个，豆香包y个．由，得：，所以樱木同学一共买了个包子；（2）由，得：、、或 ，所以羊肉串最多有7串．
形如 （a、b、c为正整数）的方程是二元一次不定方程的标准形式．解这样的方程，最基本的方法就是枚举．那怎样才能枚举出方程的全部自然数解呢？我们下面结合例题来进行讲解．
例1．甲级铅笔7角一支，乙级铅笔3角一支，张明用5元钱买这两种铅笔，钱恰好花完．请问：张明共买了多少支铅笔？
「分析」设张明买了甲级铅笔 支，乙级铅笔 支，可以列出不定方程： ，其中 和 都是自然数．怎么求解呢？
例题6.答案：12
详解：不妨设巧克力糖、奶糖、水果糖和酥糖分别有 包、 包、 包和 包，则 ．把系数都化成整数，得： ．由于我们只关心奶糖的数量，我们将未知数 分为一组，其余未知数分为另一组： ．也就是 ．令 ，则 ．它的自然数解只有 ，所以阿奇共买了12包奶糖．
练习：
1.答案：（1）有三组解： ； ； ；（2）有一组解：
《张丘建算经》
张丘建，北魏清河（今山东邢台市清河县）人，中国古代数学家，著有《张丘建算经》．该书的体例为问答式，条理精密、文辞古雅，是中国古代数学史上少有的杰作．
《张丘建算经》现传本有92问，比较突出的成就有最大公约数与最小公倍数的计算，各种等差数列问题的解决，某些不定方程问题的求解．百鸡问题就是其中一个著名的不定方程问题．
简答：（1）考虑方程两边除以3的余数；（2）考虑方程两边除以11的余数．
2.答案：有四种购买方案：12个大蛋糕，4个小蛋糕；8个大蛋糕，11个小蛋糕；4个大蛋糕，18个小蛋糕；0个大蛋糕，25个小蛋糕；第一个方案最省钱，只要花 元
简答：求不定方程 的自然数解即可．
3.答案：4台
简答： 的最小自然数解为 ，最少需要大空调1台，小空调3台．
练习3、天气炎热，高思学校购置了大、小空调若干．每台大空调每天耗电38度，每台小空调每天耗电13度．已知所有大空调日耗电量之和恰好比所有小空调日耗电量之和少1度．请问：单位里最少购进了多少台空调？
例4．将一根长为380厘米的合金铝管截成若干根长为36厘米和24厘米两种型号的短管，加工损耗忽略不计．问：剩余部分最少是多少厘米？