2020届河北衡水金卷新高考原创考前信息试卷(十二)理科数学
2020届河北衡水金卷新高考押题信息考试(一)理科数学
2020届河北衡水金卷新高考押题信息考试（一）理科数学★祝你考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考考查范围。
2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
4、主观题的作答：用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非主观题答题区域的答案一律无效。
5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
6、保持卡面清洁，不折叠，不破损。
7、本科目考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1.已知i 为虚数单位，复数(2)i z i-=在复平面对应点Z 在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】C 【解析】 试题解析：()212i z i i-==--，对应点在第三象限，故选 C ．考点：复数与复平面内的点的对应关系．点评：本题考查了复数的运算，根据复数的实部和虚部确定复数对应点所在的象限． 2.11a<成立的充要条件是（ ） A. 1a > B. 0a <C. 0a ≠D. 1a >或0a <【答案】D 【解析】 【分析】解分式不等式即可得解； 【详解】解：因为11a <，110a ∴-<，10a a -∴<，即10a a->，解得1a >或0a <，即()(),01,a ∈-∞+∞U ， 故11a<成立的充要条件是“1a >或0a <”. 故选：D【点睛】本题考查分式不等式的解法及充要条件的理解，属于基础题. 3.已知圆柱的轴截面周长为12，体积为V ，则下列总成立的是（ ） A. 8V π≥ B. 8V π≤ C. V π≥ D. V π≤【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，圆柱的底面半径r 和高h 满足等式4212r h +=，即26r h +=．由此结合基本不等式，可得28V r h ππ=≤，即可得到本题答案．【详解】解：设圆柱的底面半径为r ，高为h ，由题意 得：4212r h +=，即26r h +=，∴体积为()33218633V r h r r h ππππ⎡⎤⎛⎫=++=⨯= ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭… 当且仅当r h =时取等号，由此可得8V π≤恒成立 故选：B ．【点睛】本题给出圆柱的轴截面周长为定值，讨论圆柱体积的最值．着重考查了圆柱的体积公式和运用基本不等式求最值等知识，属于中档题．4.设α，β为两个不同平面，a ，b 是两条不同的直线，则下列结论正确的是（ ）A. 若a b ⊥r r，b α⊥，则//a αB. 若a α⊂，b β⊂，则a 与b 是异面直线C. 若a α⊥，b β⊥，a b ⊥r r，则αβ⊥ D. 若b αβ=I ，//a b 则//a α且//a β 【答案】C 【解析】 【分析】利用空间中线线、线面、面面间的位置关系求解．【详解】解：对于A ：由a b ⊥r r，b α⊥，则//a α或a α⊂，故A 错误；对于B ：若a α⊂，b β⊂，则a 与b 可能是异面直线、平行或相交，故B 错误； 对于C ：若a α⊥，b β⊥，a b ⊥r r，则αβ⊥，故C 正确；对于D ：若b αβ=I ，//a b ，则//a α或a α⊂或a β⊂，故D 错误； 故选：C【点睛】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，属于中档题．5.曲线()ln f x x x =+在1x =处的切线方程是（ ） A. 1y x =- B. 2y x =- C. 21y x =- D. 22y x =-【答案】C 【解析】 【分析】求出函数的导数，可得切线的斜率，运用点斜式方程即可得到所求切线的方程． 【详解】解：()f x x lnx =+的导数为1()1f x x'=+， ()11121f ∴'=+=可得()f x x lnx =+在1x =处的切线斜率为2， 切点为(1,1)，即有()f x x lnx =+在1x =处的切线方程为12(1)y x -=-， 即为21y x =-． 故选：C ．【点睛】本题考查导数的运用：求切线的方程，考查导数的几何意义，正确求导和运用点斜式方程是解题的关键，属于基础题．6.把函数()sin y x x R =∈的图象上所有的点向左平移6π个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到图象的函数表达式为（ ） A. sin 2,3y x x R π⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭B. sin 2,3y x x R π⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭C. 1sin ,26y x x R π⎛⎫=-∈⎪⎝⎭D. 1sin ,26y x x R π⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭【答案】D 【解析】试题分析：由题意函数()sin y x x R =∈的图象上所有的点向左平移6π个单位长度得到，再把所得图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到1sin ,26y x x R π⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭考点：几何概型7.直线2y x =绕原点顺时针旋转45°得到直线l ，若直线l 的倾斜角为α，则cos2=α（ ） A. 35-B.35C. 45-D.45【答案】D 【解析】 【分析】由题意可得tan 1tan(45)21tan ααα++︒==-，求得tan α 的值，再根据二倍角公式、同角三角函数的基本关系求得cos2α的值．【详解】解：由题意可知tan 1tan(45)21tan ααα++︒==-，1tan 3α∴=，222222222211cos sin 1tan 43cos 2cos sin cos sin 1tan 5113ααααααααα⎛⎫- ⎪--⎝⎭∴=-====++⎛⎫+ ⎪⎝⎭， 故选：D ．【点睛】本题主要考查直线的倾斜角和斜率，一条直线到另一条直线的角的计算公式，及三角恒等变换的相关知识，属于基础题．8.《几何原本》卷 2 的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.现有如图所示图形，点F 在半圆O 上，点C 在直径AB 上，且OF AB ⊥，设AC a =，BC b =，则该图形可以完成的无字证明为（ ）A.(0,0)2a bab a b +≥>> B. 22(0,0)a b ab a b +≥>>C.2(0,0)abab a b a b≤>>+ D. 220,0)22a b a b a b ++≤>>【答案】D 【解析】令,AC a BC b ==，可得圆O 的半径2a b r +=，又22a b a bOC OB BC b +-=-=-=，则()2222222()442a b a b a b FC OC OF -++=+=+=，再根据题图知FO FC ≤，即2222a b a b ++≤本题答案选Ｄ．9.已知定义域为R 的奇函数()f x 满足3122f x f x ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且当01x ≤≤时，()3f x x =，则52f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ） A. 278-B. 18-C. 18D. 278【答案】B 【解析】 【分析】根据()f x 满足3122f x f x ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，从而得出5122f f ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，再根据()f x 是奇函数，且当01x 剟时，3()f x x =，从而得出12f ⎛⎫-⎪⎝⎭的值，即可得解． 【详解】解：依题意，()f x 满足3122f x f x ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭311122f f ⎛⎫⎛⎫∴+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即5122f f ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 又()f x 是定义域为R 的奇函数，()()f x f x -=-，即1122f f ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 因为当01x ≤≤时，()3f x x =，3111228f ⎛⎫⎛⎫∴== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故51112228f f f⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭故选：B【点睛】考查奇函数的应用，以及函数求值的方法，属于基础题． 10.若{},1,0,1,2a b ∈-，则函数2()2f x ax x b =++有零点的概率为( ) A.1316B.78C.34D.58【答案】A 【解析】【详解】试题分析：显然总的方法中数为：16种当0a =时：()2f x x b =+无论b 取{}1,0,1,2-中何值，原函数必有零点，所以有4种取法；当0a ≠时，函数2()2f x ax x b =++为二次函数，若有零点须使：0∆≥即440ab -≥即1ab ≤，所以,a b 取值组成的数对分别为：()()()()()()()()()1,0,1,0,2,0,1,1,1,1,1,1,1,1,1,2,2,1-------共9种， 综上符合条件的概率为：94131616+=，所以答案为：A. 解法二：（排除法）总的方法种数为16种，其中原函数若无零点须有0a ≠且∆<0即1ab >，所以此时,a b 取值组成的数对分别为：()()()1,2,2,1,2,2共3种，所以所求有零点的概率为：31311616-=，答案为A. 考点：1.分情况讨论思想；2.二次函数的零点.11.已知A ，B 是圆22:4O x y +=上的两个动点，且|2AB =u u u r ，2133OC OA OB =+u u u r u u u r u u u r．若M 是线段AB 的中点，则OC OM ⋅=u u u r u u u u r（ ）A. 3B.C. 2D. -3【答案】A 【解析】利用已知向量表示所求向量，利用向量的数量积化简求解即可．【详解】解：由2133OC OA OB =+u u u r u u u r u u u r ，()12OM OA OB +=u u u u u u r r u u u u r， 所以2211111332262213OC OM OA OB OA OB OA OB OA OB ⎛⎫⎛⎫=++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u rg g g， 又OAB ∆为等边三角形，所以22cos602OA OB =⨯⨯︒=u u u r u u u rg ．221111114423623623OC OM OA OB OA OB =++=⨯+⨯+⨯=u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r g g ，则OC OM u u u r u u u u r g 的值为：3．故选：A ．【点睛】本题考查向量的数量积的应用，向量在几何中的应用，考查计算能力，属于基础题．12.已知c 是椭圆()222210x ya b a b+=>>的半焦距，则b c a +取得最大值时椭圆的离心率为（ ）A.12B.13C.2【答案】C 【解析】 【分析】由b c b a a +=+，结合01b a <<，可设cos b a θ=，0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则4b c a πθ+⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．可知当4πθ=，即2b a =时，b c a +取最大值，由此求得椭圆的离心率．详解】解：b c b c b b a a a a a +=+==0a b >>Q ，01ba∴<<．设cos b a θ=，0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则cos sin cos 4b c a πθθθθ+⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭．∴当4πθ=，即b a =时，b c a +取最大值，此时2c e a ====．【点睛】本题考查椭圆的简单性质，考查三角函数知识，正确换元是关键，属于中档题．第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分．把答案填写在答题卡相应的题号后的横线上）13.在平面直角坐标系中，动点P 在椭圆22:1169x y C +=上运动，则点P 到直线50x y --=的距离的最大值为______．【答案】【解析】 【分析】求出与已知直线平行且与椭圆221169x y +=相切的直线方程，根据椭圆的性质可得两条切线中与已知直线距离较远的那条直线上的点P 到直线50x y --=的最大值．【详解】解：设直线0x y m -+=与椭圆221169x y +=相切联解消去y ，得222532161440x mx m ++-=∴()()2232425161440m m ∆=-⨯⨯-=，解得5m =或5-∴与直线50x y --=平行且与椭圆相切的直线方程为50x y -±=其中与直线50x y --=距离较远的是50x y -+=，且距离为d ==P ∴到直线50x y --=的最大距离为故答案为：【点睛】本题考查了点到直线的距离公式、椭圆的简单几何性质和直线与圆锥曲线的关系等知识，属于中档题．14.已知0a >，0b >，若a ，2，b 依次成等差数列，则14a b+的最小值为______． 【答案】94【分析】根据等差中项的性质可得4a b +=，则14a b+=，再利用乘“1”法及基本不等式计算可得； 【详解】解：因为0a >，0b >，且a ，2，b 依次成等差数列， 所以22a b +=⨯，14a b+∴= 所以1414141495524444a b b a b a a b a b a b a b ⎛⎫+⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+⋅=++≥+⋅= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 当且仅当4b a a b =，即43a =，83b =时取等号，故14a b+的最小值为94，故答案为：94【点睛】本题考查基本不等式的性质以及应用，涉及等差中项的定义，属于中档题. 15.已知三棱锥P ABC -中，PC ⊥平面ABC ，若6PC BC ==，2AB =，PA 与平面ABC 所成线面角的正弦值为6，则三棱锥P ABC -外接球的表面积为______．【答案】16π 【解析】 【分析】根据已知可得AB BC ⊥，可得三棱锥P ABC -的外接球，即为以PC ，AC ，AB 为长宽高的长方体的外接球，根据已知PC 、AC 、AB 的长，代入长方体外接球直径（长方体对角线）公式，易得球半径，即可求出三棱锥外接球的表面积．【详解】解：PC ⊥Q 平面ABC ，PA 与平面ABC 所成线面角的正弦值为64∴6PC PA =，4PA ∴=， 根据勾股定理可得2210AC PA PC =-=在ABC ∆中，=BC AC =，2AB =，则ABC ∆为直角三角形．三棱锥P ABC -外接球即为以PC ，AC ，AB 为长宽高的长方体的外接球，故24R ==，三棱锥外接球的表面积为2416S R ππ==． 故答案为：16π．【点睛】本题考查的知识点是球内接多面体，其中利用割补法，将三棱锥P ABC -的外接球，转化为一个长方体的外接球是解答的关键，属于中档题．16.已知函数()()320g x ax bx cx d a =+++≠的导函数为()f x ，0a b c ++=且()()010f f >，设1x ，2x 是方程()0f x =的两个根，则12x x -的取值范围为______．【答案】23⎫⎪⎣⎭【解析】 【分析】由题意得：2()32f x ax bx c =++，1x ，2x 是方程()0f x =的两个根，由韦达定理得，1223b x x a+=-，123c x x a =，于是求212||x x -224129b ac a -=，又0a b c ++=，从而有2212444||933b b x x a a ⎛⎫⎛⎫-=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭①，又()()010f f >，可求得21ba-<<-，代入①即可求得212||x x -的范围，从而得解． 【详解】解：()()320g x ax bx cx d a =+++≠Q()232g x ax bx c ∴=++由题意得：2()32f x ax bx c =++，1x Q ，2x 是方程()0f x =的两个根，故1223bx x a +=-，123c x x a=， ∴()222121212241249b acx x x x x x a --=+-=g ，又0a b c ++=，c a b ∴=--代入上式，∴222221222412()1241244499933b a a b a b ab b b x x a a a a ++++⎛⎫⎛⎫-===++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭①，又()()010f f ⋅>Q ，()(2)0a b a b ∴++<，即22230a ab b ++<，0a ≠Q ，两边同除以2a 得：2320b b a a ⎛⎫⎛⎫++< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； 21b a ∴-<<-，代入①得21214||,39x x ⎡⎫-∈⎪⎢⎣⎭， 1232||,3x x ⎡⎫∴-∈⎪⎢⎪⎣⎭． 故答案为：32,33⎡⎫⎪⎢⎣⎭． 【点睛】本题考查根与系数的关系，着重考查韦达定理的使用，难点在于对条件“()()010f f >”的挖掘，充分考察数学思维的深刻性与灵活性，属于难题．三、解答题（本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.已知函数()()2log 15f x x x a =-+-- （1）当2a =时，求函数()f x 的最小值；（2）当函数()f x 的定义域为R 时，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）1；（2）(),4-∞ 【解析】【详解】（1）当2a =时，函数的定义域满足：|150x x a -+--，即152x x a -+->=．设()15g x x x =-+-，则()26,515{4,1562,1x x g x x x x x x -≥=-+-=<<-≤，()()()2min min 42,log 421g x a f x =>==-=．（2）因为函数的定义域为，所以不等式恒成立，只要即可； 又（当且仅当时取等号），所以，即的取值范围是．考点：1．函数的定义域；2．绝对值不等式；3．恒成立问题．【方法点睛】处理绝对值不等式问题，主要从去掉绝对值符号入手，往往讨论变量的范围去掉绝对值符号，变成分段函数求解问题；证明问题还往往涉及的应用．18.已知A ，B ，C 是ABC V 的内角，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且满足22sin sin C A --2sin sin sin A B B =．（1）求角C 的大小； （2）若6A π=，ABC V 3，M 为BC 的中点，求AM ．【答案】（1）23C π=；（2）7AM =【解析】 【分析】（1）直接利用同角三角函数关系式的变换的应用，余弦定理的应用求出结果． （2）利用正弦定理余弦定理和三角形的面积公式的应用求出结果． 【详解】解：（1）因为222sin sin sin sin sin A A B B C --=， 利用正弦定理整理得：222c b a ab -=+，结合余弦定理：2221cos 22a b c C ab +-==-，由于：0C π<< 整理得：23C π=． （2）因为6A π=，ABC ∆3所以ABC ∆为等腰三角形， 且顶角23C π=． 因为13sin 324ABC S ab C ∆===， 所以：2a b ==．在MAC ∆中，2AC =，1CM =，23C π=， 所以2222cos AM AC CM AC CM C =+-g g g 1412212=++⨯⨯⨯， 7=解得7AM=．【点睛】本题考查的知识要点：同角三角函数的基本关系，正弦定理，余弦定理，求面积公式，综合性较强，考查学生分析推理，计算化简的能力，属于中档题．19.如图，三棱锥A BCD -中，AB ⊥平面BCD ，BC CD ⊥，3AB CD ==，2BC =，E 为AC 的中点，F 为AD 的中点．（1）证明：平面BEF ⊥平面ABC ； （2）求多面体BCDFE 的体积． 【答案】（1）证明见解析；（2）34BCDFE V = 【解析】 【分析】（1）利用线面垂直的判定与性质定理可证：CD ⊥平面ABC ，再利用三角形的中位线定理可得：//EF CD ．再利用线面垂直的判定、面面垂直的判定即可证明；（2）由（1）知//EF CD ，利用三角形相似的性质可得：14AEF ACD S S ∆∆=，得到14B AEF B ACD V V --=，求出B ACD V -即可得出．【详解】（1）证明：AB ⊥Q 平面BCD ，CD ⊂平面BCD ，AB CD ∴⊥，又BC CD ⊥，AB BC B ⋂=，AB Ì平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，CD \^平面ABC ，又E 、F 分别是AC 、AD 的中点，//EF CD ∴．EF ∴⊥平面ABC又EF ⊂平面BEF ，∴平面BEF ⊥平面ABC ．（2）由（1）知//EF CD ， ~AEF ACD ∴∆∆．12AE AF EF AC AD CD ∴=== ∴14AEF ACD S S ∆∆=， ∴14B AEF B ACD V V --=，∴3311132444424BCDFE B ACD A BCD BCD V V V S AB --∆====⨯⨯=g ． 【点睛】本题考查了线面面面垂直的判定与性质定理、三角形的中位线定理、三角形相似的性质三棱锥的体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，考查了空间想象能力，属于中档题．20.在平面直角坐标系xoy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为()4R πθρ=∈，曲线C的参数方程为sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数）．（1）写出直线l 及曲线C 的直角坐标方程；（2）过点M 且平行于直线l 的直线与曲线C 交于A ，B 两点，若83MA MB ⋅=，求点M 的轨迹及其直角坐标方程．【答案】（1）直线l 的直角坐标方程为y x =，曲线C 的直角坐标方程为2212xy +=．（2）点M 的轨迹是椭圆2226x y +=夹在平行直线y x =±之间的两段弧． 【解析】 【分析】（1）利用极坐标与直角坐标方程的互化，直接写出直线l 的普通方程，消去参数可得曲线C 的直角坐标方程；（2）设点0(M x ，0)y 以及平行于直线l 的直线参数方程，直线l 与曲线C 联立方程组，通过8||||3MA MB =g，即可求点M 轨迹的直角坐标方程．通过两个交点推出轨迹方程的范围．【详解】解：（1）Q 直线l 的极坐标方程为()4R πθρ=∈，∴直线l 的倾斜角为4π，且经过原点， 故直线的直角坐标方程为y x =，Q 曲线C的参数方程为(sin x y θθθ⎧=⎪⎨=⎪⎩为参数），∴曲线C 的直角坐标方程为2212x y +=．（2）设点0(M x ，0)y 及过点M的直线为0102:2x x l y y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩， 由直线1l 与曲线C相交可得：222000032202t x y +++-=， 8||||3MA MB =Q g ，2200228332x y +-∴=，即：220026x y +=，∴点M 轨迹的直角坐标方程2226x y +=，表示一椭圆．取y x m =+代入22x得：2234220x mx m ++-=由0∆…解得m故点M 的轨迹是椭圆2226x y +=夹在平行直线y x =±之间的两段弧．【点睛】本题以直线与椭圆的参数方程为载体，考查直线与椭圆的综合应用，轨迹方程的求法，注意轨迹的范围的求解，是易错点，属于中档题．21.已知抛物线()21:20C x py p =>和圆()222:12C x y ++=，倾斜角为45°直线1l 过抛物线1C 的焦点，且1l 与圆2C 相切． （1）求p 的值；（2）动点M 在抛物线1C 的准线上，动点A 在1C 上，若1C 在A 点处的切线2l 交y 轴于点B ，设MN MA MB =+u u u u r u u u r u u u r．求证点N 在定直线上，并求该定直线的方程．【答案】（1）6p =；（2）点N 在定直线3y =上． 【解析】 【分析】（1）设出直线1l 的方程为2py x =+，由直线和圆相切的条件：d r =，解得p ； （2）设出(,3)M m -，运用导数求得切线的斜率，求得A 为切点的切线方程，再由向量的坐标表示，可得N 在定直线上；【详解】解：（1）依题意设直线1l 的方程为2p y x =+， 由已知得：圆222:(1)2C x y ++=的圆心2(1,0)C -，半径r =因为直线1l 与圆2C 相切，所以圆心到直线1:2pl y x =+的距离d ===6p =或2p =-（舍去）．所以6p =；（2）依题意设(,3)M m -，由（1）知抛物线1C 方程为212x y =，所以212x y =，所以6x y '=，设11(,)A x y ，则以A 为切点的切线2l 的斜率为16x k =，所以切线2l 的方程为1111()6y x x x y =-+．令0x =，211111111266y x y y y y =-+=-⨯+=-，即2l 交y 轴于B 点坐标为1(0,)y -，所以11(,3)MA x m y =-+u u u r ， 1(,3)MB m y =--+u u u r，∴()12,6MN MA MB x m =+=-u u u u r u u u r u u u r，∴1(,3)ON OM MN x m =+=-u u u r u u u u r u u u u r．设N 点坐标为(,)x y ，则3y =， 所以点N 在定直线3y =上．【点睛】本题考查抛物线的方程和性质，直线与圆的位置关系的判断，考查直线方程和圆方程的运用，以及切线方程的求法，考查化简整理的运算能力，属于综合题． 22.已知函数()2ln f x x mx =-，()()212g x mx x m R =+∈，令()()()F x f x g x =+ （1）当12m =时，求函数()f x 的单调区间； （2）若关于x 的不等式()1F x mx ≤-恒成立，求整数m 的最小值． 【答案】（1）()f x 的单调递增区间为()0,1，单调递减区间为()1,+∞． （2）2 【解析】 【分析】（1）先求函数的定义域，然后求导，通过导数大于零得到增区间；（2）不等式恒成立问题转化为函数的最值问题，应先求导数，研究函数的单调性，然后求函数的最值； 【详解】解：（1）当12m =时，21(),02f x lnx x x =->211(),(0)x f x x x x x-∴'=-=>．令()0f x '>得210x ->又0x >，所以01x <<．所以()f x 的单调递增区间为(0,1)． 令()0f x '<得210x -<又0x >，所以1x >．所以()f x 的单调递减区间为()1,+∞． 综上可得：()f x 的单调递增区间为()0,1，单调递减区间为()1,+∞． （2）令21()()(1)(1)12G x F x mx lnx mx m x =--=-+-+．所以21(1)1()(1)mx m x G x mx m x x-+-+'=-+-=．当0m „时，因为0x >，所以()0G x '>所以()G x 在(0,)+∞上是递增函数， 又因为()31202G m =-+>． 所以关于x不等式()0G x „不能恒成立．当0m >时，1()(1)()m x x mG x x-+'=-． 令()0G x '=得1x m =，所以当1(0,)x m ∈时，()0G x '>；当,1()mx ∈+∞时，()0G x '<．因此函数()G x 在1(0,)x m ∈是增函数，在,1()mx ∈+∞是减函数．故函数()G x 的最大值为11()2G lnm m m=-． 令1()2h m lnm m =-，因为()1102h =>，()12204h ln =-<． 又因为()h m 在(0,)m ∈+∞上是减函数，所以当2m …时，()0h m <． 所以整数m 的最小值为2．【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性的基本思路，不等式恒成立问题转化为函数最值问题来解的方法．属于中档题．。
2020届河北省衡水金卷新高考原创精准仿真试卷(十二)理科数学
2020届河北省衡水金卷新高考原创精准仿真试卷（十二）理科数学本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共8页，23题（含选考题）。
全卷满分150分。
考试用时120分钟。
★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。
4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、选择题1.已知集合{|10}A x x =+>，{1,0,1}B =-，则A B =（ ）A. {1}B. {}1-C. {0,1}D.{}1,0-【答案】C 【解析】 【分析】求得集合{|10}{|1}A x x x x =+>=>-，根据集合的交集运算，即可求解. 【详解】由题意，集合{|10}{|1}A x x x x =+>=>-，又由{1,0,1}B =-，所以{0,1}A B =，故选C .【点睛】本题主要考查了集合的交集运算，其中解答中正确求解集合A ，再利用集合的交集运算求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力.2.若复数21iz =+，其中i 为虚数单位，则下列结论正确的是（ ） A. z 的虚部为i - B. ||2z =C. 2z 为纯虚数D. z 的共轭复数为1i --【答案】C 【解析】 【分析】先得到复数z 的代数形式，然后根据复数的有关概念对给出的四个结论分别进行分析、判断后可得正确的结论． 【详解】由题意得22(1)11(1)(1)i z i i i i -===-++-． 对于A ，由1z i =-得复数z 的虚部为1-，所以A 不正确． 对于B ，1z i =-=，所以B 不正确．对于C ，由于22(1)2z i i =-=-，所以2z 为纯虚数，所以C 正确． 对于D ，1z i =-的共轭复数为1z i =+，所以D 不正确． 故选C ．【点睛】本题考查复数的有关概念，解题的关键是得到复数的代数形式和熟悉复数的相关概念，属于基础题．3.已知m ，n 为两条不重合直线，α，β为两个不重合平面，下列条件中，一定能推出αβ∥的是（ ）A. ,,m n m n αβ⊂⊂∥B. ,,m n m n αβ⊥⊥C. ,,m n m n αβ⊥D. ,,m n m n αβ⊥⊥⊥【答案】B【解析】 【分析】根据垂直于同一直线的两平面平行可知B 正确. 【详解】当//m n 时，若m α⊥，可得n α⊥ 又n β⊥，可知//αβ 本题正确选项：B【点睛】本题考查面面平行的判定，属于基础题.4.空气质量指数AQI 是反映空气质量状况的指数，AQI 指数值越小，表明空气质量越好，其对应关系如表：如图是某市10月1日-20日AQI 指数变化趋势：下列叙述错误的是（ ）A. 这20天中AQI 指数值的中位数略高于100B. 这20天中的中度污染及以上的天数占14C. 该市10月的前半个月的空气质量越来越好D. 总体来说，该市10月上旬的空气质量比中旬的空气质量好 【答案】C 【解析】 【分析】根据所给图象，结合中位数的定义、AQI 指数与污染程度的关系以及古典概型概率公式，对四个选项逐一判断即可.【详解】对A ，因为第10天与第11天AQI 指数值都略高100，所以中位数略高于100，正确；对B ，中度污染及以上的有第11，13，14，15，17天，共5天占14，正确； 对C ，由图知，前半个月中，前4天的空气质量越来越好，后11天该市的空气质量越来越差，错误；对D ，由图知，10月上旬大部分AQI 指数在100以下，10月中旬大部分AQI 指数在100以上，所以正确，故选C.【点睛】与实际应用相结合的题型也是高考命题的动向，这类问题的特点是通过现实生活的事例考查书本知识，解决这类问题的关键是耐心读题、仔细理解题，只有吃透题意，才能将实际问题转化为数学模型进行解答.5.已知向量a ，b 满足22a b ==，，且()2a a b ⊥+，则b 在a 方向上的投影为（ ）A. 1B.C.D. 1-【答案】D 【解析】 【分析】先根据向量垂直得a b ，再根据向量投影公式得结果. 【详解】因为()2a a b ⊥+，所以()204202a a b a b a b ，，，+=∴+==-因此b 在a 方向上的投影为1||a ba =-，选D. 【点睛】本题考查向量垂直以及向量投影，考查基本分析求解能力，属基础题.6.若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是（ ）A. 48π+B. 48π-C. 482π+D.482π-【答案】A 【解析】试题分析：由三视图还原原几何体，可得原几何体为底面边长是2，高是5的正四棱柱内部挖去一个半径为1的半球．然后利用正方体的表面积及球的表面积求解．详解：由三视图可知，原几何体为底面边长是2，高是5的正四棱柱内部挖去一个半径为1的半球．其表面积为221222+425-1+412ππ⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ =48+π． 故选：A ．点睛：思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽.由三视图画出直观图的步骤和思考方法：1、首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图；2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；3、画出整体，然后再根据三视图进行调整.7.十九世纪末，法国学者贝特朗在研究几何概型时提出了“贝特朗悖论”，即“在一个圆内任意选一条弦，这条弦的弦长长于这个圆的内接等边三角形边长的概率是多少？”贝特朗用“随机半径”、“随机端点”、“随机中点”三个合理的求解方法，但结果都不相同．该悖论的矛头直击概率概念本身，强烈地刺激了概率论基础的严格化．已知“随机端点”的方法如下：设A 为圆O 上一个定点，在圆周上随机取一点B ，连接AB ，所得弦长AB 大于圆O 的内接等边三角形边长的概率．则由“随机端点”求法所求得的概率为（ ） A.15B.14C.13D.12【答案】C 【解析】 【分析】由题意画出图形，求出满足条件的B 的位置，再由测度比是弧长比得答案． 【详解】解：设“弦AB 的长超过圆内接正三角形边长”为事件M ， 以点A 为一顶点，在圆中作一圆内接正三角形ACD ，则要满足题意点B 只能落在劣弧CD 上，又圆内接正三角形ACD 恰好将圆周3等分， 故1()3P M = 故选：C ．【点睛】本题考查几何概型的意义，关键是要找出满足条件弦AB 的长度超过圆内接正三角形边长的图形测度，再代入几何概型计算公式求解，是基础题．8.已知ξ服从正态分布()21,N σ，a∈R，则“P（ξ＞a ）=0.5”是“关于x 的二项式321()ax x+的展开式的常数项为3”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 既不充分又不必要条件D. 充要条件【答案】A 【解析】试题分析：由，知1a =．因为二项式321()ax x +展开式的通项公式为31321()()r r r r T C ax x-+=＝3333r r ra C x --，令330r -=，得1r =，所以其常数项为212333a C a ==，解得1a =±，所以“”是“关于x 的二项式321()ax x+的展开式的常数项为3”的充分不必要条件，故选A ．考点：1、正态分布；2、二项式定理；3、充分条件与必要条件．9.函数f （x ）=3344x x -的大数图象为（ ）A. B.C. D.【答案】A 【解析】 【分析】由函数()f x 是奇函数，图象关于原点对称，排除C 、D 项；再由当()0,1x ∈时，函数()f x 的值小于0，排除B ，即可得到答案.【详解】由题知，函数()f x 满足()333()3()4444xx x x f x f x ---==-=---，所以函数()f x 是奇函数，图象关于原点对称，排除C 、D 项；又由当()0,1x ∈时，函数()f x 的值小于0，排除B ，故选A.【点睛】本题主要考查了函数图象的识别，其中解答中熟练应用函数的奇偶性和函数的取值范围，利用排除法求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.10.已知双曲线()2222100x y a b a b-=＞，＞的左右两个焦点分别为12,F F ，A ，B 为其左、右两个顶点，以线段12F F 为直径的圆与双曲线的渐近线在第一象限的交点为M ，且∠AMB=30°，则该双曲线的离心率为（ ）A.2B.C. D.2【答案】B 【解析】 【分析】求出双曲线的渐近线方程和圆的方程，求出交点M ，再由两点的斜率公式，得到,a b 的关系，最后由离心率公式即可得到所求值．【详解】解：双曲线()2222100x y a b a b-=＞，＞的渐近线方程为b y x a =±，以12F F 为直径的圆的方程为222x y c +=，将直线by xa=代入圆的方程，可得x a == （负的舍去），y b =，即有(,)M a b ，又(,0)A a -，(,0)B a ， 由于AMB=30∠ ，BM x ⊥轴，则2tan 303a b ==，即有b =，则离心率c e a ===故选：B ．【点睛】本题考查双曲线的方程和性质，考查直线和圆的位置关系，考查离心率的求法，属于基础题．11.已知△ABC的边AB，AC的长分别为2，3，∠BAC=120°，则△ABC的角平分线AD的长为（）A. B. 35C. D.65【答案】D【解析】【分析】先由余弦定理求得BC和cos B，再由角平分线定理求得BD，然后在三角形ABD中由余弦定理可得AD．【详解】解：根据角平分线定理可得：23 BD AB DC AC==由余弦定理可得：BC==∴25=BD，5BC=，在三角形ABC中由余弦定理得222cos=2AB BC ACBAB BC+-==⋅在三角形ABD中由余弦定理得222cos=2AB BD ADBAB BD+-⋅，24194AD⨯+-=，解得：65AD=．故选：D．【点睛】本题考查了三角形中的几何计算，属中档题．12.已知函数()1ln ,111,122x x f x x x +≥⎧⎪=⎨+<⎪⎩，若12x x ≠，且()()122f x f x +=，则12x x +的取值范围是（ ） A. [)2,+∞ B. [)1,e -+∞ C. []32ln 2,-+∞ D. []32ln3,-+∞【答案】C 【解析】 【分析】经过讨论可知121x x <≤，利用()()122f x f x +=可得1212ln x x =-，从而将12x x +化为2212ln x x -+；通过求解函数()()12ln 1g x x x x =-+≥的值域求得12x x +的取值范围.【详解】设12x x <若211x x >≥，则()()1212121ln 1ln 2ln 2f x f x x x x x +=+++=+=121x x ∴=，不成立；若121x x <<，则()()()121212111111222222f x f x x x x x +=+++=++= 122x x ∴+=，不成立若121x x <≤，则()()12121211131ln ln 22222f x f x x x x x +=+++=++= 1212ln x x ∴=- 122212ln x x x x ∴+=-+设()()12ln 1g x x x x =-+≥，则()221x g x x x-'=-+= 当12x ≤<时，()0g x '<，则()g x 单调递减 当2x >时，()0g x '>，则()g x 单调递增()()min 212ln 2232ln 2g x g ∴==-+=- [)1232ln 2,x x ∴+∈-+∞本题正确选项：C【点睛】本题考查利用导数求解函数的最值问题，本题解题的关键是能够通过讨论得到12,x x 的范围，从而构造出新函数，再利用导数求得结果.二、填空题13.计算：23lg 252lg 28++=__________． 【答案】6 【解析】 【分析】根据对数、指数的运算性质求解即可得到结果． 【详解】原式223333lg25lg4(2)lg(254)2246⨯==++⨯+=+=．故答案为：6．【点睛】本题考查指数、对数的运算，解题时根据相应的运算性质求解即可，属于简单题．14.若实数x ，y 满足632y x x y y x ≥⎧⎪+≥⎨⎪≤-⎩，，，则z=-x+5y 的最小值为______．【答案】12 【解析】 【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用直线平移法进行求解即可． 【详解】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z=-x+5 y 得155z y x =+ ，平移直线155z y x =+ 由图像知当直线155zy x =+经过A 点时，直线截距最小此时z 最小，由6y x x y =⎧⎨+=⎩ 得33x y =⎧⎨=⎩，得A(3,3) ，则z 的最小值为-3+5×3=12， 故答案为：12．【点睛】本题主要考查线性规划的应用，作出不等式组对应的平面区域利用目标函数的几何意义，利用数形结合是解决本题的关键．15.已知sin α-3cos α=0，则22cos πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭=______． 【答案】35- 【解析】 【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求2219cos ,sin 1010αα==.可得3sin cos 10αα===，利用诱导公式，二倍角的正弦函数公式即可计算得解．【详解】解：∵sin 3cos 0αα-=， ∴sin =3cos αα， ∵22sin cos 1αα+= ，∴2219cos ,sin 1010αα== ，可得：3sin cos 10αα=== ∴332=sin22sin cos 22105cos παααα⎛⎫+-=-=-⨯=- ⎪⎝⎭． 故答案为：35-． 【点睛】本题主要考查了同角三角函数基本关系式，诱导公式，二倍角的正弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．16.已知点F 是抛物线2:4C y x =的焦点，点M 为抛物线C 上任意一点，过点M 向圆221(1)2x y -+=作切线，切点分别为,A B ，则四边形AFBM 面积的最小值为______． 【答案】12【解析】 【分析】画出满足题意的图象，可得M 与原点重合时，四边形AFBM 面积最小，进而得到答案． 【详解】如下图所示：圆的圆心与抛物线的焦点重合，若四边形AFBM 的面积最小，则MF 最小， 即M 距离准线最近，故满足条件时，M 与原点重合，此时1,2MF BF BM ===，此时四边形AFBM 面积112222BMF S S ∆==⨯=，故答案：12． 【点睛】本题考查抛物线的标准方程及简单几何性质。
2020届河北衡水中学新高考原创考前信息试卷(十二)理科数学
2020届河北衡水中学新高考原创考前信息试卷（十二）理科数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。
4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
8、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每个小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合M＝{x|x2－4x<0}，N＝{x|m<x<5}，若M∩N＝{x|3<x<n}，则m ＋n等于()A．9 B．8C．7 D．6解析M＝{x|0<x<4}，又N＝{x|m<x<5}，M∩N＝{x|3<x<n}，故m＝3，n ＝4，∴m＋n＝7，选C.答案 C2．(2018·唐山二模)若复数z＝1＋ia－i(i是虚数单位，a∈R)是纯虚数，则z的虚部为()A．1 B．iC ．2D ．2i解析 设z ＝1＋ia －i＝b i(b ∈R 且b ≠0)， 则1＋i ＝b ＋ab i ，∴b ＝1.选A. 答案 A3．(2018·南昌调研)已知m ，n 为两个非零向量，则“m 与n 共线”是“m ·n ＝|m ·n |”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析 当m 与n 反向时，m ·n <0，而|m ·n |>0，故充分性不成立．若m ·n ＝|m ·n |，则m ·n ＝|m |·|n |·cos 〈m ，n 〉＝|m |·|n ||cos 〈m ，n 〉|，则cos 〈m ，n 〉＝|cos 〈m ，n 〉|，故cos 〈m ，n 〉≥0，即0°≤〈m ，n 〉≤90°，此时m 与n 不一定共线，即必要性不成立．故“m 与n 共线”是“m ·n ＝|m ·n |”的既不充分也不必要条件，故选D.答案 D4．甲、乙、丙3人参加某项测试，每人通过该测试的概率都为13，测试结束后，已知甲、乙、丙3人中至少有1人通过该测试，则甲未通过该测试的概率是( )A.12 B ．920 C.1019D ．919解析 设事件A 为“甲、乙、丙3人中至少有1人通过该测试”，事件B 为“甲未通过该测试”．则P (A )＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－133＝1927，P (AB )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13×⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－132＝1027，所以P (B |A )＝P (AB )P (A )＝1019.答案 C5．在△ABC 中，角A ，B 的对边分别为a ，b ，若a ＝8，b ＝7，B ＝60°，则sin C ＝( )A.3314 B ．5314 C.3314或5314D ．1114解析 通解 8sin A ＝7sin60°⇒sin A ＝437⇒cos A ＝±17.因为sin B ＝32，cos B ＝12，sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ，所以当cos A ＝17时，sin C ＝5314；当cos A ＝－17时，sin C ＝3314.故sin C 的值为3314或5314.优解 设角C 的对边为c ，由余弦定理得，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ⇒49＝64＋c 2－8c ⇒c ＝3或c ＝5.当c ＝3时，sin C ＝c b ·sin B ＝3314；当c ＝5时，sin C ＝cb ·sin B ＝5314.故sin C 的值为3314或5314.答案 C6．函数f (x )＝e x ＋1x (e x －1)(其中e 为自然对数的底数)的图像大致为( )解析 由题意，f (－x )＝e －x ＋1－x (e －x －1)＝e x ＋1－x (1－e x )＝e x ＋1x (e x －1)＝f (x )，所以函数f (x )为偶函数，故f (x )的图像关于y 轴对称，排除B ，C ； 又x →0＋时，e x ＋1→2，x (e x －1)→0＋，所以e x＋1x(e x－1)→＋∞，排除D，故选A.答案 A7．执行如图所示的程序框图，若输入的a，b分别是2 020，1，则输出的i ＝()A．5 B．6C．7 D．8解析i＝1，a＝2 020＋1，b＝1＝1！；i＝2，a＝2 020＋3，b＝2×1＝2！；…i＝n，a＝2 020＋n(n＋1)2，b＝n！.当i＝6时，a＝2 020＋21＝2 041，b＝6！＝720<a；当i＝7时，a＝2 020＋28＝2 048，b＝7！＝5 040>a.故输出的i的值为7.答案 C8．我国南北朝时的数学著作《张邱建算经》有一道题为：“今有十等人，每等一人，官赐金依等次差降之．上三人先入，得金四斤，持出．下三人后入，得金三斤，持出．中间四人未到者，亦依等次更给．问各得金几何？”在该问题中，等级较高的二等人所得黄金比等级较低的九等人所得黄金() A．多1斤B．少1斤C ．多13斤D ．少13斤解析 等级由高到低的十等人所得黄金由多到少依次记为a 1，a 2，…，a 10，则a 1，a 2，…，a 10成等差数列．由题意得a 1＋a 2＋a 3＝3a 2＝4，a 2＝43，a 8＋a 9＋a 10＝3a 9＝3，a 9＝1.则a 2－a 9＝43－1＝13，即等级较高的二等人所得黄金比等级较低的九等人所得黄金多13斤．答案 C9．把正方形ABCD 沿对角线AC 折起，当以A ，B ，C ，D 四点为顶点棱锥体积最大时，直线BD 和平面ABC 所成角的大小为( )A ．90°B ．60°C ．45°D ．30°解析 如图，当DO ⊥平面ABC 时，三棱锥D -ABC 的体积最大．∴∠DBO 为直线BD 和平面ABC 所成的角， ∵在Rt △DOB 中，OD ＝OB ，∴直线BD 和平面ABC 所成角的大小为45°. 答案 C10．在区间[0,1]上随机取两个数x ，y ，记p 1为事件“x ＋y ≥12”的概率，p 2为事件“|x －y |≤12”的概率，p 3为事件“xy ≤12”的概率，则( )A ．p 1<p 2<p 3B ．p 2<p 3<p 1C ．p 3<p 1<p 2D ．p 3<p 2<p 1解析 如图所示，由几何概型得p 1＝1－12×12×121＝78；由几何概型得p 2＝1－12×121＝34；由几何概型得p 3＝1－∫112⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12x d x1＝1＋ln 22； 所以p 2<p 3<p 1. 答案 B11．已知函数f(x)＝2sin (ωx ＋φ)＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2，f(α)＝－1，f(β)＝1，若|α－β|的最小值为3π4，且f(x)的图像关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，1对称，则函数f(x)的单调递增区间是( )A .⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2＋2k π，π＋2k π，k ∈Z B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2＋3k π，π＋3k π，k ∈ZC.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π＋2k π，5π2＋2k π，k ∈Z D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π＋3k π，5π2＋3k π，k ∈Z 解析 由题设条件可知f (x )的周期T ＝4|α－β|min ＝3π，所以ω＝2πT ＝23，又f (x )的图像关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，1对称，从而f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝1，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫23×π4＋φ＝0.因为|φ|<π2，所以φ＝－π6，故f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫23x －π6＋1，再由－π2＋2k π≤23x －π6≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－π2＋3k π≤x ≤π＋3k π，k ∈Z .答案 B12．已知函数f (x )是奇函数，且f (x )＋f ′(x )＝ln(x ＋1)－ln(1－x )＋21－x 2，则|f (2x －1)|<⎪⎪⎪⎪⎪⎪f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12的解集是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫16，13 B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫16，14C.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，12 D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫16，12解析 ∵f (x )是奇函数，∴f (－x )＝－f (x )，两边同时求导数得，－f ′(－x )＝－f ′(x )，则f ′(－x )＝f ′(x )，即f ′(x )为偶函数．∴f (－x )＋f ′(－x )＝ln(－x ＋1)－ln(1＋x )＋21－x 2， 则－f (x )＋f ′(x )＝ln(－x ＋1)－ln(1＋x )＋21－x 2，与f (x )＋f ′(x )＝ln(x ＋1)－ln(1－x )＋21－x 2联立可得⎩⎪⎨⎪⎧f (x )＝ln (1＋x )－ln (1－x )，f ′(x )＝21－x 2.又f (x )的定义域为(－1,1)，∴f ′(x )＝21－x 2>0， ∴f (x )在(－1,1)上为单调递增函数．∴在(0,1)上，f (x )>f (0)＝0，∴|f (x )|为偶函数，且在(0,1)上单调递增．∴由|f (2x －1)|<⎪⎪⎪⎪⎪⎪f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12，可得⎩⎪⎨⎪⎧－1<2x －1<1，－1<x ＋12<1，|2x －1|<⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋12，∴16<x ＜12. 答案 D第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13～21题为必考题，每个试题考生必须作答．第22～23题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．若⎝⎛⎭⎪⎪⎫x ＋23x n 的展开式中所有项的系数和为81，则展开式的常数项为________．解析 令x ＝1，则3n ＝81⇒n ＝4，则⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋23x 4展开式的通项T r ＋1＝C r 4x 4－r ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫23x r＝2r C r 4x 4－43r ，令4－43r ＝0，得r ＝3，则展开式的常数项为23×C 34＝32. 答案 3214．如图，∠BAC ＝120°，圆M 与AB 、AC 分别切于点D 、E ，AD ＝1，点P 是圆M 及其内部任意一点，且AP →＝xAD →＋yAE →(x ，y ∈R )，则x ＋y 的取值范围为________．解析 如图，记平行于直线DE ，且与圆相切的直线分别为NQ 和BF ，则x ＋y 的最大值为AB AD ＝4＋23，x ＋y 的最小值为ANAD ＝4－2 3.答案 [4－23，4＋23]15．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝4，AD ＝2，E 为边AB 的中点．将△ADE 沿DE 翻折，得到四棱锥A 1-DEBC .设线段A 1C 的中点为M ，在翻折过程中，有下列三个命题：①总有BM ∥平面A 1DE ；②三棱锥C -A 1DE 体积的最大值为423； ③存在某个位置，使DE 与A 1C 所成的角为90°. 其中正确的命题是________．(写出所有正确命题的序号)解析 取DC 的中点为F ，连接FM ，FB ， 如图所示，可得MF ∥A 1D ，FB ∥DE ，可得平面MBF ∥平面A 1DE ， 所以BM ∥平面A 1DE ，所以①正确；当平面A 1DE 与底面ABCD 垂直时，三棱锥C -A 1DE 的体积取得最大值，最大值为13×12A 1D ×A 1E ×EC ＝13×12×2×2×22＝432，所以②正确；假设存在某个位置，使DE 与A 1C 所成的角为90°，因为DE ⊥EC ，所以DE ⊥平面A 1EC ，可得DE ⊥A 1E ，即AE ⊥DE ，与已知条件矛盾，所以③不正确．故答案为①②.答案 ①②16．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)上一点C ，过双曲线中心的直线交双曲线于A ，B 两点，记直线AC ，BC 的斜率分别为k 1，k 2，当2k 1k 2＋ln|k 1|＋ln|k 2|最小时，双曲线的离心率为________．解析 设A (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，由题意知，点A ，B 为过原点的直线与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的交点，∴由双曲线的对称性，得A ，B 关于原点对称，∴B (－x 1，－y 1)，∴k 1k 2＝y 2－y 1x 2－x 1·y 2＋y 1x 2＋x 1＝y 22－y 21x 22－x 21， ∵点A ，C 都在双曲线上，∴x 21a 2－y 21b 2＝1，x 22a 2－y 22b 2＝1， 两式相减，可得k 1k 2＝b 2a 2>0，对于2k 1k 2＋ln|k 1|＋ln|k 2|＝2k 1k 2＋ln|k 1k 2|，设函数y ＝2x ＋ln x ，x >0， 由y ′＝－2x 2＋1x ＝0，得x ＝2，当x >2时，y ′>0，当0<x <2时，y ′<0， ∴当x ＝2时，函数y ＝2x ＋ln x ，x >0取得最小值， ∴当2k 1k 2＋ln(k 1k 2)最小时，k 1k 2＝b 2a 2＝2，∴e ＝1＋b 2a 2＝ 3. 答案3三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．(一)必考题：共60分17．(12分)平面四边形ABCD中，AB⊥BC，∠A＝60°，AB＝3，AD＝2.(1)求sin∠ABD；(2)若cos∠BDC＝17，求△BCD的面积．解析(1)在△ABD中，∠A＝60°，AB＝3，AD＝2，由余弦定理，得BD2＝AB2＋AD2－2AB·AD·cos A＝9＋4－6＝7，所以BD＝7，(2分)由正弦定理，得BDsin A＝ADsin∠ABD，(4分)所以sin∠ABD＝AD·sin ABD＝2×327＝37＝217.(6分)(2)因为AB⊥BC，所以∠ABC＝90°，所以cos∠DBC＝sin∠ABD＝3 7，所以sin∠DBC＝27.因为cos∠BDC＝17，所以sin∠BDC＝437.(8分)所以sin C＝sin(π－∠BDC－∠DBC)＝sin(∠BDC＋∠DBC)＝sin∠BDC cos∠DBC＋cos∠BDC sin∠DBC＝437×37＋17×27＝27.(10分)所以sin∠DBC＝sin C，所以∠DBC＝∠C，所以DC ＝BD ＝7，所以S △BCD ＝12DC ·BD ·sin ∠BDC ＝12×7×7×437＝2 3.(12分)18．(12分)某省级示范高中高三年级对考试的评价指标中，有“难度系数”和“区分度”两个指标．其中，难度系数＝年级总平均分总分，区分度＝实验班的平均分－普通班的平均分总分.(1)在某次数学考试(满分150分)中，从实验班和普通班各随机抽取三人，实验班三人的成绩分别为147分，142分，137分，普通班三人的成绩分别为97分，102分，113分，通过样本估算本次考试的区分度(精确到0.01)．(2)以下表格是高三年级6次考试的统计数据：通过计算说明，能否利用线性回归模型拟合y 与x 的关系；②已知t ＝|x －0.74|，求出y 关于t 的线性回归方程，并预报x ＝0.75时y 的值(精确到0.01)．参考数据：∑i ＝16x i y i ＝0.9309，∑i ＝16(x i －x →)2∑i ＝16(y i －y →)2≈0.0112，∑i ＝16t i y i ＝0.0483，∑i ＝16(t i －t →)2≈0.0073.参考公式：相关系数r ＝∑i ＝1n(x i －x →)(y i －y →)∑i ＝1n(x i －x →)2∑i ＝1n(y i －y →)2＝∑i ＝1nx i y i －n x →y→∑i ＝1n(x i －x →)2∑i ＝1n(y i －y →)2，线性回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为b ^＝∑i ＝1n(x i －x →)(y i －y →)∑i ＝1n(x i －x →)2＝∑i ＝1nx i y i －n x →y→∑i ＝1n(x i －x →)2，a ^＝y →－b ^x →.解析 (1)易求得实验班三人成绩的平均分为147＋142＋1373＝142(分)，普通班三人成绩的平均分为97＋102＋1133＝104(分)，所以区分度为142－104150≈0.25.(3分) (2)①由表格数据知，x →＝0.64＋0.71＋0.74＋0.76＋0.77＋0.826＝0.74， y →＝0.18＋0.23＋0.24＋0.24＋0.22＋0.156＝0.21，r ＝∑i ＝16x i y i －n x →y→∑i ＝16(x i －x →)2∑i ＝16(y i －y →)2≈0.9309－6×0.74×0.210.0112≈－0.13，故|r |<0.75，相关性较弱．(6分)综上可知，不能利用线性回归模型拟合y 与x 的关系．(7分) ②y 与t 的值如下表：则b ^＝∑i ＝16t i y i －n t →y →∑i ＝16t i －t→2≈0.0483－6×0.266×0.210.0073≈－0.86，a ^＝y ^－b ^t →＝0.21＋0.86×0.266≈0.25.故所求回归方程为y ＝－0.86t ＋0.25，(11分) 当x ＝0.75时，t ＝0.01，所以y ≈0.24.(12分)19．(12分)在四棱锥P -ABCD 中，AB ∥CD ，CD ＝2AB .(1)设AC 与BD 相交于点M ，AN →＝mAP →(m >0)，且MN ∥平面PCD ，求实数m 的值；(2)若AB ＝AD ＝DP ，∠BAD ＝60°，PB ＝2AD ，且PD ⊥AD ，求二面角B -PC -D 的正弦值．解析 因为AB ∥CD ，所以AM MC ＝AB CD ＝12，即AM AC ＝13.(1分)因为MN ∥平面PCD ，MN ⊂平面P AC ，平面P AC ∩平面PCD ＝PC ， 所以MN ∥PC .(2分)所以AN AP ＝AM AC ＝13，即m ＝13.(3分)(2)因为AB ＝AD ，∠BAD ＝60°，可知△ABD 为等边三角形， 所以BD ＝AD ＝PD ，又BP ＝2AD ， 故BP 2＝PD 2＋DB 2，所以PD ⊥DB . 由已知PD ⊥AD ，AD ∩BD ＝D ， 所以PD ⊥平面ABCD .(5分)如图，以D 为坐标原点，DA →，DP →的方向为x ，y 轴的正方向建立空间直角坐标系，设AB ＝1，则AB ＝AD ＝DP ＝1，CD ＝2， 所以B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，32，P (0,1,0)，C (－1,0，3)则PB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－1，32，PC →＝(－1，－1，3)，(6分)设平面PBC 的一个法向量m ＝(x 1，y 1，z 1)，则有 ⎩⎪⎨⎪⎧m ·PB →＝0，m ·PC →＝0，即⎩⎨⎧x 1－2y 1＋3z 1＝0，x 1＋y 1－3z 1＝0.设x 1＝1，则y 1＝2，z 1＝3， 所以m ＝(1,2，3)，(8分)设平面PCD 的一个法向量为n ＝(x 2，y 2，z 2)， 由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧n ·DC →＝0，n ·DP →＝0，即⎩⎨⎧x 2－3z 2＝0，y 2＝0.令z 2＝1，则x 2＝3，所以n ＝(3，0,1)．(10分) 所以cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m |·|n |＝64.设二面角B -PC -D 的平面角为θ，则sin θ＝104.(12分)20．(12分)已知抛物线C ：y ＝－x 2，点A ，B 在抛物线上，且横坐标分别为－12，32，抛物线C 上的点P 在A ，B 之间(不包括点A ，点B )，过点B 作直线AP 的垂线，垂足为Q .(1)求直线AP 的斜率k 的取值范围； (2)求|P A |·|PQ |的最大值．解析 (1)由题意可知A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－14，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－94，设P (x P ，－x 2P)，－12<x P <32，所以k ＝－x 2P ＋14x P ＋12＝－x P ＋12∈(－1,1)， 故直线AP 的斜率k 的取值范围是(－1,1)．(4分) (2)直线AP ：y ＝kx ＋12k －14， 直线BQ ：x ＋ky ＋94k －32＝0， 联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋12k －14，x ＋ky ＋94k －32＝0，可知，点Q 的横坐标为x Q ＝3－4k －k 22k 2＋2，(5分)|PQ |＝1＋k 2(x Q －x P )＝1＋k 2⎝ ⎛⎭⎪⎫3－4k －k 22k 2＋2＋k －12 ＝(k －1)2(1＋k )1＋k 2(6分)|P A |＝1＋k 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x P ＋12＝1＋k 2(1－k )，(7分)所以|P A |·|PQ |＝(1－k )3(1＋k )，(8分) 令f (x )＝(1－x )3(1＋x )，－1<x <1，则f ′(x )＝(1－x )2(－2－4x )＝－2(1－x )2(2x ＋1)，当－1<x <－12时，f ′(x )>0， 当－12<x <1时，f ′(x )<0，故f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－12上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，1上单调递减．故f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝2716，即|P A |·|PQ |的最大值为2716.(12分)21．(12分)已知函数f (x )＝(mx 2－x ＋m )e －x (m ∈R )． (1)讨论f (x )的单调性；(2)当m >0时，证明：不等式f (x )≤m x 在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，1＋1m 上恒成立．解析 (1)由题意得f ′(x )＝－[mx －(m ＋1)](x －1)·e －x ，(1分) ①当m ＝0时，则f ′(x )＝(x －1)e －x ， 令f ′(x )>0时，则x >1；令f ′(x )<0，则x <1.∴f (x )在(－∞，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增．(2分)②当m <0时，令f ′(x )<0，则1＋1m <x <1；令f ′(x )>0，则x <1＋1m 或x >1. ∴f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，1＋1m 和(1，＋∞)上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1m ，1上单调递减．(3分)③当m >0时，令f ′(x )<0，则x <1或x >1＋1m ； 令f ′(x )>0，则1<x <1＋1m .∴f (x )在(－∞，1)和⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1m ，＋∞上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1，1＋1m 上单调递增．(4分)(2)由(1)知当m >0时，f (x )在(0,1]上单调递减，在⎝ ⎛⎦⎥⎤1，1＋1m 上单调递增，当x ∈(0,1]时，f (x )＝mx 2－x ＋m e x <mx 2＋m e x ≤m (x ＋1)e x ，(5分)记i (x )＝x ＋1e x ，则i ′(x )＝－xe x ，当x ∈(0,1]时，i ′(x )<0∴i (x )在(0,1]上单调递减，∴i (x )<i (0)＝1， ∴当x ∈(0,1]时，f (x )<m (x ＋1)e x <m ≤mx .当x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤1，1＋1m 时，f (x )≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1m ＝(2m ＋1)·e －⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1m ，⎝ ⎛⎭⎪⎫m x min ＝m 2m ＋1.(7分)下面证明(2m ＋1)e －⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1m ≤m 2m ＋1，即证e1＋1m ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1m ⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋1m ，(8分)令g (x )＝e x －x (x ＋1)，x >1， 则g ′(x )＝e x －(2x ＋1)，令h (x )＝e x －(2x ＋1)，x >1，则h ′(x )＝e x －2>0，∴h (x )＝g ′(x )在(1，＋∞)上单调递增，且g ′(1)＝e －3<0， g ′⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝e 32－4>0，∴存在x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，使得g ′(x 0)＝0，即e x 0－(2x 0＋1)＝0，∴当x ∈(1，x 0)时，g ′(x )<0，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0，32时，g ′(x )>0，∴g (x )在(1，x 0)上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0，32上单调递增， ∴g (x )min ＝g (x 0)＝e x 0－x 20－x 0＝－x 20＋x 0＋1＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0－122＋54>0， 当x >1时，g (x )＝e x －x (x ＋1)>0， 即e x >x (x ＋1)，∴e1＋1m ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1m ⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋1m ， ∴不等式f (x )≤m x 在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，1＋1m 上恒成立．(12分)(二)选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．(10分)选修4－4：坐标系与参数方程已知直线l 经过点P (1,2)，倾斜角α＝π6，圆C 的极坐标方程为ρ＝22cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4. (1)写出直线l 的参数方程的标准形式，并把圆C 的方程化为直角坐标方程； (2)若直线l 与圆C 相交于A ，B 两点，求线段AB 的中点M 到点P 的距离．解析(1)直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos π6，y ＝2＋t sin π6，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋32t ，y ＝2＋t2(t 为参数，t ∈R )．由ρ＝22cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4，得ρ＝2cos θ＋2sin θ， ∴ρ2＝2ρcos θ＋2ρsin θ， ∴x 2＋y 2＝2x ＋2y ，∴圆C 的直角坐标方程为(x －1)2＋(y －1)2＝2.(5分) (2)把⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋32t ，y ＝2＋t2代入(x －1)2＋(y －1)2＝2得，⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋32t －12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋t 2－12＝2，整理得t 2＋t －1＝0， Δ＝5>0，t 1＋t 2＝－1， ∴|MP |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪t 1＋t 22＝12.(10分) 23．(10分)选修4－5：不等式选讲 已知函数f (x )＝x 2－|x |＋3. (1)求不等式f (x )≥3x 的解集；(2)若关于x 的不等式f (x )－x 2≤⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 2＋a 恒成立，求实数a 的取值范围．解析 (1)当x ≥0时，f (x )＝x 2－x ＋3≥3x ，即x 2－4x ＋3≥0，解得x ≥3或x ≤1，所以x ≥3或0≤x ≤1； 当x <0时，f (x )＝x 2＋x ＋3≥3x ，此不等式x 2－2x ＋3≥0恒成立，所以x <0.综上所述，原不等式的解集为{x |x ≥3或x ≤1}．(5分) (2)f (x )－x 2≤⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 2＋a 恒成立，即－|x |＋3≤⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 2＋a 恒成立，即⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 2＋a ＋|x |≥3恒成立， ∵⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 2＋a ＋|x |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 2＋a ＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 2＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 2 ≥⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 2＋a －x 2＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 2＝|a |＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 2≥|a |， 当且仅当x ＝0时，等号成立， ∴|a |≥3，解得a ≥3或a ≤－3.故实数a 的取值范围是(－∞，－3]∪[3，＋∞)．(10分)。
2020届河北衡水金卷新高考原创考前信息试卷(五)理科数学
2020届河北衡水金卷新高考原创考前信息试卷（五）理科数学★祝考试顺利★ 注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。
4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
8、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、选择题（每小题5分，共60分．下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）1．集合}{220A x x x =--≤，{}10B x x =-<，则A B U = ( ).A.}{1x x <B.}{11x x -≤< C .{}2x x ≤ D .{}21x x -≤< 2．纯虚数z 满足()i zz 421-=⋅+，则z 的共轭复数为（ ）A. 2i -B. 2iC. 4i -D. 4i3．各项均为正数的等比数列{}n a 中，1a ={}n a 的前n 项和为3,2n S S =+.则7a =（ ）A ．B ．C ．8D ．144．在ABC ∆中，2CM MB =u u u u r u u u r ，0AN CN +=u u u r u u u r u r，则（ ）A. 2136MN AB AC =+u u u u r u u u r u u u rB. 2736MN AB AC =+u u u u r u u u r u u u rC. 1263MN AC AB -=u u u u r u u u r u u u r D. 7263MN AC AB-=u u u u r u u u r u u u r5．把不超过实数x 的最大整数记为[]x ，则函数[]()f x x =称作取整函数，又叫高斯函数，在[]1,4 上任取x ，则[]2x x ⎡⎤=⎣⎦的概率为（ ）A ．14B.13C.12D.236．函数11lg-=x y 的大致图象为( )7．设向量()()1,1,3,3-==b a ρρ，若()()b a b a ρρρρλλ-⊥+，则实数=λ（ ）A ．3B ．1C ．1±D ．3±8．已知实数a ，b 满足11122a b⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则（ ） A.11a b> B. 22log log a b > C. a b < D.sin sin a b >9．已知1cos 63πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin 26πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ） A. 89-B.89C.79D. 79-10．已知双曲线22221x y a b-=的左、右焦点分别为1F ，2F ，过右焦点2F 作垂直于x 轴的弦MN ，交双曲线于M 、N 两点，若1MF N ∠=2π，则双曲线的离心率e =（ ）A ．2B ．3C ．5 D ．21+11．世纪德国著名的天文学家开普勒曾经这样说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割.如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿.”黄金三角形有两种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是一个顶角为36︒的等腰三角形（另一种是顶角为108︒的等腰三角形）.例如，五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，如图所示，在其中一个黄金ABC ∆中，51BC AC -=.根据这些信息，可得sin 234︒=（ ） A.1254- B. 358+- C. 514+- D. 458+-12．⎪⎩⎪⎨⎧>-≤-=，，2,21log 2,2)(2x x x x x x f a 的值域为R ，则)22(f 的取值范围是（ ） A ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-21,B ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-45,C ．⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞-,45D ．⎪⎭⎫⎢⎣⎡--21,45 二、填空题（每小题5分，共20分）13．将函数()()0,0(),2f x Asin wx A w πϕϕ+>><=的图象向右平移12π个单位，再将所有点的横坐标扩大为原来的2倍，得到()2sin g x x =的图象，则A w ϕ++= ．14．已知数列{}n a ，若数列{}n n a 13-的前n 项和51651-⨯=n n T ，则5a 的值为 . 15．某网店统计了连续三天售出商品的种类情况：第一天售出19种商品，第二天售出13种商品，第三天售出18种商品；前两天都售出的商品有3种，后两天都售出的商品有4种，则该网店这三天售出的商品最少有 种．16．在三棱锥A BCD -中，,,4,AB AC DB DC AB DB AB BD ==+=⊥，则三棱锥A BCD -外接球的体积的最小值为 .三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（本小题满分12分）在公差不为0的等差数列{}n a 中，841,,a a a 成等比数列，数列{}n a 的前10项和为45.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若11+=n n n a a b ，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求n T .18．（本小题满分12分）如图，正三棱柱111ABC A B C -的所有棱长均2，D 为棱1BB （不包括端点）上一动点，E 是AB 的中点． （Ⅰ）若1AD A C ⊥，求BD 的长；（Ⅱ）当D 在棱1BB （不包括端点）上运动时，求平面1ADC 与平面ABC 的夹角的余弦值的取值范围．19．（本小题满分12分）某学校共有1000名学生，其中男生400人，为了解该校学生在学校的月消费情况，采取分层抽样随机抽取了100名学生进行调查，月消费金额分布在450~950之间．根据调查的结果绘制的学生在校月消费金额的频率分布直方图如图所示：将月消费金额不低于750元的学生称为“高消费群”．（1）求a 的值，并估计该校学生月消费金额的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）现采用分层抽样的方式从月消费金额落在[550,650)，[750,850)内的两组学生中抽取10人，再从这10人中随机抽取3人，记被抽取的3名学生中属于“高消费群”的学生人数为随机变量X ，求X 的分布列及数学期望；（3）若样本中属于“高消费群”的女生有10人，完成下列22⨯列联表，并判断是否有97.5%的把握认为该校学生属于“高消费群”与“性别”有关？（参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++）20．（本小题满分12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的两个焦点与短轴的一个端点连线构成等边三角形，且椭圆C 的短轴长为23． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）是否存在过点()0,2P 的直线l 与椭圆C 相交于不同的两点M ，N ，且满足2OM ON ⋅=u u u u v u u u v（O 为坐标原点）若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．21．（本小题满分12分）已知函数()()21ln f x a x x =-+，a ∈R ． （1）当2a =时，求函数()y f x =在点()()1,1P f 处的切线方程；（2）当1a =-时，令函数()()ln 21g x f x x x m =+-++，若函数()g x 有两个零点，求实数m 的取值范围． [选修4-4：极坐标与参数方程]22．（本小题满分10分）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos ,22sin x y αα=⎧⎨=+⎩（α为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线M 的极坐标方程为2sin 23202πρθθ⎛⎫=<<⎪⎝⎭. （1）求曲线C 的极坐标方程；（2）已知β为锐角，直线():l R θβρ=∈与曲线C 的交点为A （异于极点），l 与曲线M的交点为B ，若OA OB ⋅=，求l 的直角坐标方程. [选修4-5：不等式选讲]23．已知函数()()120f x x a x a a=+-->. （1）当1a =时，解不等式()1f x ≤-；（2）若不等式()3f x ≤恒成立，求实数a 的取值范围.高三理科数学参考答案一、选择题（共12小题，每小题5分）二、填空题（共4小题，每小题5分）13、46π+14、16 15、16，29 16、82π三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.解：设等差数列{}n a 的公差为d ，由841,,a a a 成等比数列可得，8124a a a ⋅=，即()()d a a d a 731121+=+，d a a d d a a 1212121796+=++∴，0≠d Θ，d a 91=∴． -------------------------3分 （1）由数列{}na 的前10项和为45，得454510110=+=d a S，即454590=+d d ，故3,311==a d ，--------------------------------5分 故数列{}na 的通项公式为38+=n a n ；----------------------------------6分（2）()()⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=++==+9181998911n n n n a a b n n n -------------------8分⎪⎭⎫⎝⎛+-+++-+-+-=9181121111111101101919n n T n Λ ---------10分 999191919+=+-=⎪⎭⎫⎝⎛+-=n n n n ---------------------------------12分 18.证明：（Ⅰ），由AC=BC ，AE=BE ，知CE ⊥AB ， 又平面ABC ⊥平面ABB 1A 1，所以CE ⊥平面ABB 1A 1而AD ⊂平面ABB 1A 1，∴AD ⊥CE ，又AD ⊥A 1C 所以AD ⊥平面A 1CE ，所以AD ⊥A 1E ．易知此时D 为BB 1的中点，故BD=1． --------------------------------5分（Ⅱ）以E 为原点，EB 为x 轴，EC 为y 轴，过E 作垂直于平面ABC 的垂线为z 轴，建立空间直角坐标系，设 BD=t ，则A （-1，0，0），D （1，0，t ），C 1（0，3，2），AD u u u v =（2，0，t ），1AC u u u u v =（1，3，2），设平面ADC 1的法向量n v=（x ，y ，z ）， 则1·20·320n AD x tz n AC x y z ⎧=+=⎪⎨=++=⎪⎩u u u v v u u u u vv ，取x=1，得21,,33n t t ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭v ， 平面ABC 的法向量m v=（0，0，1），--------------------------------9分设平面ADC 1与平面ABC 的夹角为θ，∴cos θ=··m nm nv vv v =222414133tt t⎛⎫+-+ ⎪⎝⎭=2327t t -+=()2316t -+由于t ∈（02）,故cos θ∈（21，2]． 即平面ADC 1与平面ABC 的夹角的余弦值的取值范围为（217，22]．----------12分19.（1）由题意知，100(0.00150.00250.00150.001)1a ++++=，解得0.0035a =， 样本的平均数为：5000.156000.357000.258000.159000.10670x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（元）， 所以估计该校学生月消费金额的平均数为670元．--------------------------------4分（2）由题意，从[550,650)中抽取7人，从[750,850)中抽取3人． 随机变量X 的所有可能取值有0，1，2，3，()337310k kC C P X k C -==（0,1,2,3k =）， 所以，随机变量X 的分布列为随机变量X的数学期望35632119()012312012012012010E X =⨯+⨯+⨯+⨯=．----------------------------8分（3）由题可知，样本中男生40人，女生60人，属于“高消费群”的25人，其中女生10人； 得出以下22⨯列联表：222()100(10251550)505.556 5.024()()()()406025759n ad bc K a b c d a c b d -⨯⨯-⨯===≈>++++⨯⨯⨯，所以有97.5%的把握认为该校学生属于“高消费群”与“性别”有关．--------------------12分20.【解析】（1）由题意得：2222232 b a c a b c ===+⎧⎪⎨⎪⎩，···········2分解得23a b ⎧==⎪⎨⎪⎩，∴椭圆C 的标准方程是22143x y +=···········4分（2）当直线l 的斜率不存在时，(3M ，(0,3N -3OM ON ⋅=-u u u u v u u u v，不符合题意···········5分当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为2y kx =+，()11,M x y ，()22,N x y由221 432x y y kx +==+⎧⎪⎨⎪⎩消y 整理得：()22341640k x kx +++=， ()()221616340k k ∆=-+>，解得12k <-或12k >，···········6分 1221634k x x k +=-+，122434x x k=+，···········7分 ∴1212OM ON x x y y ⋅=+=u u u u v u u u v()()21212124k x x k x x ++++()222222413216124343434k k k k k k +-=-+=+++，···········9分 ∵2OM ON ⋅=u u u u v u u u v ，∴221612234k k -=+，···········10分解得2k =±，满足0∆>，···········11分···········12分21.【答案】（1）切线方程为1y x =-；（2）实数m【解析】（1）当2a =时，()()221ln f x x x =-+224ln 2x x x =-++． 当1x =时，()10f =，所以点()()1,1P f 为()1,0P ，···········1分，因此()11k f '==．···········2分因此所求切线方程为()0111y x y x -=⨯-⇒=-．···········4分 （2）当1a =-时，()22ln g x x x m =-+，···········6分 ，所以当()0g x '=时，1x =，···········7分时，()0g x '>；当1e x <<时，()0g x '<；故()g x 在1x =处取得极大值也即最大值()11g m =-．···········8分，()2e 2e g m =+-，()g x 上的最小值为()e g ，······10分故()g x 在区间上有两个零点的条件是所以实数m ···········12分22.【详解】解：（1）由题意知曲线C 的直角坐标方程为()2224x y +-=， 即224x y y +=， 所以24sin ρρθ=，即4sin ρθ=，故曲线C 的极坐标方程为4sinρθ=.-----------------------------5分（2）因为曲线M 的极坐标方程为2sin 23202πρθθ⎛⎫=<<⎪⎝⎭， 所以ρ=将θβ=代入，得OB =因为曲线C 的极坐标方程为4sin ρθ=，所以4sin OA β=所以OA OB ⋅===则tan 2β=，故l 的直角坐标方程为2y x =--------------------------------10分 23.【详解】（1）Q ()()120f x x a x a a=+--> 当1a =，()1f x ≤-- 11 - 可得|2||1|1x x +--≤-若2x -≤则2(1)1x x ----≤-，即31-≤-，显然成立若21x -<<，2(1)1,x x +--≤-可得22x ≤-，故1x ≤-若1x ≥，2(1)1,x x +--≤-可得31≤-，显然不成立.综上所述，(,1]x ∈-∞-（2）Q ()3f x ≤ ∴111||2||||22x a x x a x a a a a +--≤+-+=+ 1112|2|2a x a x a a a a∴--≤+--≤+ 要保证不等式()3f x ≤恒成立，只需保证123a a +≤， 解得112a ≤≤ 综上所述，1,12a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦。
2020届河北衡水金卷新高考原创考前信息试卷(一)理科数学
2020届河北衡水金卷新高考原创考前信息试卷（一）理科数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。
4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
8、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A=，B=，则A B=A.[-1，)B.)C.(0，)D.R2.已知复数z的共轭复数为，且满足2z=32i，则=A. B. C.3 D.53.执行如图所示的程序框图，若输入的n=3，则输出的S=A.1B.5C.14D.304.已知等比数列的前n项和为S n，若a3 =，S3=，则的公比为A.或B.或C.3或2D.3或 25.的展开式中的系数为A.6B.24C.32D.486.我国古代著名数学家刘徽的杰作《九章算术注》是中国最宝贵的数学遗产之一，书中记载了他计算圆周率所用的方法。
先作一个半径为1的单位圆，然后做其内接正六边形，在此基础上做出内接正6×(n=1，2，…)边形，这样正多边形的边逐渐逼近圆周，从而得到圆周率，这种方法称为“刘徽割圆术”。
2020届河北省衡中同卷新高考原创精准模拟考试(二)理科数学试卷
2020届河北省衡中同卷新高考原创精准模拟考试（二）理科数学试卷本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共8页，23题（含选考题）。
全卷满分150分。
考试用时120分钟。
★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。
3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
4、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
6、保持卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
7、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，集合，则=( )A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由集合的交集运算得解【详解】，由此，故选B。
【点睛】本题考查集合的基本运算，属于基础题。
2.若复数满足 (是虚数单位),则( )A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】【详解】，故选A。
【点睛】本题考查复数的除法运算，属于基础题。
3.若向量, 且,则实数的值为( )A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据题意列出方程，求解即可得出结果.【详解】因为向量，，所以，又，所以，解得.故选A【点睛】本题主要考查向量数量积的坐标运算，熟记公式即可，属于基础题型.4.去年年底甲、乙、丙、丁四个县人口总数为万,各县人口占比如图.其中丙县人口为70万.则去年年底甲县的人口为( )A. 162万B. 176万C. 182万D. 186万【答案】C【解析】【分析】根据统计图得到丙县人口所占百分比，求出四个县的总人口，进而可求出结果.【详解】由统计图可得，丙县人口占四个县总人口的，又丙县人口为70万，所以四个县总人口为万，因甲县人口占四个县总人口的，所以甲县的人口为万.故选C【点睛】本题主要考查扇形统计图，会分析统计图即可，属于基础题型.5.已知双曲线的一个焦点为（2，0），则双曲线的渐近线方程为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先由双曲线的一个焦点坐标为（2，0），可求出双曲线的方程，进而可得其渐近线方程. 【详解】因为双曲线的一个焦点为（2，0），所以，故，因此双曲线的方程为，所以其渐近线方程为.故选C【点睛】本题主要考查双曲线的渐近线方程，熟记双曲线的性质即可，属于基础题型.6.已知数列満足: ,，则=( )A. 0B. 1C. 2D. 6【答案】B【分析】由，可得，以此类推，即可得出结果.【详解】因为，，所以，以此类推可得，，，.故选B【点睛】本题主要考查数列的递推公式，由题意逐步计算即可，属于基础题型.7.巳知将函数的图象向左平移个単位长度后.得到函数的图象.若是偶函数.则=( )A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先由题意写出，根据是偶函数求出，即可得出结果.【详解】由题意可得：，因为是偶函数，所以，即，又，所以，解得，所以，故；所以.故选A【点睛】本题主要考查三角函数的图像变换与三角函数的性质，熟记性质即可，属于常考题型.8.已知满足条件若的最小值为0,则=( )A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】根据约束条件作出可行域，将目标函数化为，结合图像以及的最小值，即可求出结果.【详解】由约束条件作出可行域，又目标函数表示直线在轴截距的二倍，因此截距越小，就越小；由图像可得，当直线过点时，在轴截距最小；由解得，所以，又的最小值为0，所以，解得.故选B【点睛】本题主要考查简单的线性规划，已知目标函数最值求参数的问题，属于常考题型.9.曲线与直线围成的平面图形的面积为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先作出直线与曲线围成的平面图形的简图，联立直线与曲线方程，求出交点横坐标，根据定积分即可求出结果.【详解】作出曲线与直线围成的平面图形如下：由解得：或，所以曲线与直线围成的平面图形的面积为.故选D【点睛】本题主要考查定积分的应用，求围成图形的面积只需转化为对应的定积分问题求解即可，属于常考题型.10.已知抛物线的准线方程为，的顶点在抛物线上，，两点在直线上，若，则面积的最小值为( )A. 5B. 4C.D. 1【答案】D【解析】【分析】准线方程为，得抛物线方程,根据弦长公式解得BC，将面积的最小值转化为A 点到直线的距离的最值问题。
2020届河北衡水金卷新高考原创押题考试(二)理科数学
2020届河北衡水金卷新高考原创押题考试（二）理科数学一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合M={|ln(1)x y x =-}，集合N={|,x y y e x R =∈}，(e 为自然对数的底数)则M N ⋂=（ ） A. {|1x x <} B. {1x x }C. {|01x x <<}D. ∅【答案】C 【解析】 试题分析：{|ln(1)}{|1}x y x x x =-=<，，故＝．考点：集合的运算．2.已知直线,m n 分别在两个不同的平面,αβ内，则“m n ⊥”是“αβ⊥”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】D 【解析】 【分析】将直线,m n 放入正方体1111ABCD A B C D -中,进而判断即可.【详解】在正方体1111ABCD A B C D -中,设1m AD =,n AB =,若m n ⊥,即1AD AB ⊥, 但平面1ABD 和平面ABCD 不垂直,即α与β不垂直,故充分性不成立 ；设m BC =,11n A D =,若αβ⊥,则平面ABCD ⊥平面11A ADD ,但BC 和11A D 不垂直,即m 与n 不垂直,故必要性不成立. 故选:D.【点睛】本题考查两命题的充分性和必要性的判断,考查直线间,平面间的空间的位置关系.3.已知向量,a b r r不共线，若()()3//a b ka b +-r r r r ，则实数k =（ ）A. 13-B. 12-C.13D.12【分析】由向量共线的性质得()3ka b a b λ-=+r r r r，由此能求出实数k 的值．【详解】由于()()3//a b ka b +-r r r r ，所以存在实数λ，使得()3ka b a b λ-=+r r r r，因此k λ=且31λ=-，解得13k =-. 故选：A【点睛】本题考查实数值的求法，考查向量共线的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 4.一个简单几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A. 9636π+B. 7248π+C. 4896π+D. 2448π+【答案】D 【解析】 【分析】该几何体是由两部分组成的，左半部分是四分之一圆锥，右半部分是三棱锥，运用锥体体积公式可以求解.． 【详解】该几何体是由左右两部分组成的锥体，左半部分是四分之一圆锥，其体积V 左=211π6843⨯⨯n =24π，右半部分是三棱锥，其体积1166832V =⨯⨯⨯⨯右=48，所以该几何体的体积2448V 总π=+.故选D.【点睛】本题考查了组合体的三视图问题，以及锥体体积公式，需要平常多强化空间想象能力． 5.为了弘扬我国优秀传统文化，某中学广播站在中国传统节日：春节，元宵节，清明节，端午节，中秋节五个节日中随机选取两个节日来讲解其文化内涵，那么春节和端午节至少有一个被选中的概率是（ ） A. 0.3B. 0.4C. 0.6D. 0.7【分析】先求出从五个节日中随机选取两个节日的所有基本事件数，再求出春节和端午节至少有一个被选中的基本事件数，然后根据古典概型概率公式求解即可．【详解】由题意得，从五个节日中随机选取两个节日的所有情况有2510C =种，设“春节和端午节至少有一个被选中”为事件A ，则事件A 包含的基本事件的个数为123227C C +=．由古典概型概率公式可得12322527()0.710C C P A C +===． 故选D ．【点睛】解答本题的关键有两个：一是判断出所求概率的类型，本题中结合题意可得属于古典概型；二是正确求出所有的基本事件数和所求概率的事件包含的基本事件数．求事件的个数时可根据排列组合的知识求解，本题考查分析判断能力和计算能力，属于基础题． 6.对于函数()21x f x e =+的图象，下列说法正确的是（ ） A. 关于点()1,0对称 B. 关于点()0,1对称 C. 关于直线1x =对称 D. 关于直线y x =对称【答案】B 【解析】 【分析】整理()f x 为()111x x e f x e -=++,设()()11xx e g x x R e -=∈+,可判断()g x 是奇函数,进而利用图象变换得到()f x 的图象性质.【详解】∵()2111111xx x e f x e e -=-+=+++,令()()11xx e g x x R e -=∈+,则()()1111x x x xe e g x g x e e -----===-++,∴()g x 为奇函数,则其图象关于原点对称.将其图象向上平移1个单位长度可得()f x 图象,所以()f x 图象关于()0,1对称. 故选:B.【点睛】本题考查函数奇偶性的应用,考查判断函数的对称性.7.设F 为抛物线2:4C y x =的焦点，过F 的直线l 与C 相交于,A B 两点，AB 的中点在直线1y =上，则直线l 的方程为（ ） A. 22y x =- B. 1y x =- C. 22y x =-+ D. 1y x =-+【答案】A 【解析】 【分析】由,A B 在抛物线上可得2114y x =①,2224y x =②,由AB 的中点在直线1y =上,可得1212y y +=,利用①-②可得直线AB 的斜率为2,即可设:2AB y x b =+,将焦点坐标代入求解即可.【详解】由题,设()()1122,,,A x y B x y ,则2114y x =①,2224y x =②,且1212y y +=, ①-②得()()()1212124y y y y x x -+=-,即121212124222y y y y x x y y -===+-+, 即直线AB 的斜率为2,设:2AB y x b =+,把()1,0F 代入直线方程得2b =-, ∴直线:22l y x =- 故选:A.【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系的应用,考查求直线方程.8.已知函数()sin()(0)2f x x πωφωϕ=+><，图象相邻两条对称轴之间的距离为2π，将函数()y f x =的图象向左平移3π个单位后，得到的图象关于y 轴对称，那么函数()y f x =的图象（ ） A. 关于点,012π⎛⎫- ⎪⎝⎭对称B. 关于点,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称C. 关于直线12x π=-对称D. 关于直线12x π=对称【答案】B 【解析】 【分析】先根据相邻两条对称轴的距离可得周期为T π=，从而2ω=，再根据平移变换得到新图像对应的解析式，根据其对称性可计算φ，从而可确定()f x 图像的对称轴和对称中心，故可得正确答案．【详解】因为相邻两条对称轴的距离为2π，故22T π=，T π=，从而2ω=． 设将()f x 的图像向左平移3π单位后，所得图像对应的解析式为()g x ， 则()2sin 23g x x πφ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，因()g x 的图像关于y 轴对称，故()01g =±，所以2sin 13πφ⎛⎫+=± ⎪⎝⎭，2,32k k Z ππφπ+=+∈，所以,6k k Z πφπ=-∈， 因2πφ<，所以6πφ=-．又()sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，令2,62x k k Z πππ-=+∈，故对称轴为直线,23k x k Z ππ=+∈，所以C ，D 错误； 令2,6x k k π-=π∈Z ，故,212k x k Z ππ=+∈，所以对称中心为,0,212k k Z ππ⎛⎫+∈⎪⎝⎭，所以A 错误，D 正确． 综上，选D ．【点睛】一般地，我们研究()sin y A ωx φ=+的图像和性质时，通常用复合函数的方法来讨论，比如求函数的单调区间时，我们先确定u x ωϕ=+的单调性，再函数的单调性确定外函数sin y u =的单调区间后求出x 的范围即可，比如求函数的对称轴、对称中心时，可以由sin y u =的对称轴或对称中心得到相应的对称轴或对称中心.9.在ABC ∆中，BC 边上的中线AD 的长为2，点P 是ABC ∆所在平面上的任意一点，则PA PB PA PC ⋅+⋅u u u r u u u r u u u r u u u r的最小值为（ ）A. 1B. 2C. -2D. -1【答案】C 【解析】建立如图所示的平面直角坐标系，使得点D 在原点处，点A 在y 轴上，则(0,2)A ．设点P 的坐标为(,)x y ，则(,2),(,)PA x y PO x y =--=--u u u v u u u v， 故22()22(2)PA PB PA PC PA PB PC PA PO x y y ⋅+⋅=⋅+=⋅=+-u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v222[(1)]22x y =+--≥-，当且仅当0,1x y ==时等号成立．所以PA PB PA PC ⋅+⋅u u u v u u u v u u u v u u u v的最小值为2-．选C ．10.已知四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，其中ABCD 为正方形，PAD ∆为等腰直角三角形，2PA PD ==，则四棱锥P ABCD -外接球的表面积为（ ）A. 10πB. 4πC. 16πD. 8π【答案】D 【解析】【详解】因为PAD ∆为等腰直角三角形，2PA PD ==,故,则点到平面ABCD 的距离为,而底面正方形的中心到边的距离也为,则顶点正方形中心的距离,正方形的外接圆的半径为,故正方形ABCD 的中心是球心,则球的半径为,所以该几何体外接球的表面积,应选D ．11.设12,F F 分别为双曲线()2222:1,0x y E a b a b-=>左、右焦点，以坐标原点O 为圆心，1OF 为半径的圆与双曲线E 的右支相交于,P Q 两点，与E 的渐近线相交于,,,A B C D 四点，若四边形12PFQF 的面积与四边形,,,A B C D的面积相等，双曲线E的离心率为（）【答案】C【解析】【分析】由双曲线的定义和勾股定理可求得2122PF PF b⨯=，从而可得四边形12PFQF的面积，然后求出点圆O与E的渐近线在第一象限的交点为(),a b，可求出四边形ABCD的面积，然后可得答案.【详解】由双曲线的定义及平面几何知识可知122PF PF a-=，①222124PF PF c+=，②2-②①得2122PF PF b⨯=，∴四边形12PFQF的面积为21121222S PF PF b=⨯⨯=，由222x y cby xa⎧+=⎪⎨=⎪⎩，当0,0x y>>，解得,x a y b==，∴圆O与E的渐近线在第一象限的交点为(),a b.∴四边形ABCD的面积24S ab=，∵224b ab=，∴2ba=，即2224,c a cea a-===故选：C【点睛】本题考查双曲线定义渐进性的简单应用，属于中档题.12.对任意实数()222,,22a aa b e b e a a b-+++的最小值是（）A.14B.12C.34D. 1【答案】B【解析】【分析】整理条件可得()()()2222222a a a e b e a a b a b e b-+++=-+-,设()(),,,aM a eN b b ,则M 为函数x y e =图象上任意一点,N 为函数y x =图象上任意一点,则()22222a a e b e a a b -+++的最小值等价于2MN 的最小值,进而利用导函数的几何意义求解即可.【详解】由于()()()2222222a a a e b e a a b a b e b -+++=-+-,设()(),,,aM a e N b b ,则M 为函数xy e=图象上任意一点,N 为函数y x =图象上任意一点,则()22222aa eb e a a b -+++的最小值等价于2MN 的最小值,令1x y e '==,∴0x =,因此,点()0,1到直线y x =的距离最小,其值为2,故所求最小值为12.故选:B.【点睛】本题考查曲线上一点到直线上一点的距离最值问题,考查导函数的几何意义的应用,考查转化思想.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上.13.53)x的展开式的常数项为__________． 【答案】15- 【解析】 【分析】在53x ⎫⎪⎭展开式的通项公式中，令x 的幂指数等于零，求出r 的值，即可求出展开式的常数项．【详解】解：由于53x ⎫⎪⎭展开式的通项公式为55415·(1)?3?r r r r r T C x -+=-， 令550r -=，解得1r =，故展开式的常数项是15-， 故答案为15-．【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于基础题． 14.某次考试后，对全班同学数学成绩进行整理，得到表：将以上数据绘制成频率分布直方图后，可估计出本次考试成绩的中位数是__________． 【答案】115 【解析】 【分析】由表格中数据可知各分数段的学生数学成绩的频率,即直方图中每个矩形的面积,而中位数左侧的所有小矩形的面积之和应为0.5,进而求解即可.【详解】由题意可知,直方图每个矩形的面积表示对应的频率,直方图四个矩形的面积从左向右依次为0.1,0.3,0.4,0.2,由于中位数左侧的矩形面积之和为0.5,故中位数位于第3个矩形处,而前2个矩形面积之和为0.4,故第3个矩形在中位数左侧的面积为0.1, 故中位数为区间[)110,130的最靠左的四等分点处,故中位数为115.故答案为:115.【点睛】本题考查利用频率分布直方图求中位数,考查数据处理能力.15.已知直角三角形 ABC 两直角边长之和为3，将ABC ∆绕其中一条直角边旋转一周，所形成旋转体体积的最大值为__________，此时该旋转体外接球的表面积为___________. 【答案】 (1). 43π (2). 25π 【解析】 【分析】设直角三角形的两边分别为,a b ,则3a b +=,假设以长度为b 的直角边为轴旋转形成的旋转体,则体积为()2211333V a b a a ππ==-,利用导函数即可求得最值；设外接球的半径为R ,则满足()22212R R =-+,进而求解即可.【详解】设直角三角形的两边分别为,a b ,则3a b +=,以长度为b 的直角边为轴旋转形成的旋转体的体积为()2211333V a b a a ππ==-()03a <<, 则()21633V a a π'=-,令0V '=,解得0a =或2a =,所以当02a <<时,0V '>；当23a <<时,0V '<, 所以当2a =时,体积最大,最大值为43π,此时圆锥的底面半径为2,高为1, 设外接球的半径为R ,则()22212R R =-+,所以外接球的半径为52,其表面积为25π故答案为:43π；25π 【点睛】本题考查旋转体的体积,考查外接球的表面积,考查利用导函数求最值.16.已知变量m 的取值完全由变量a b c d ,,,的取值确定.某同学进行了四次试验，每次试验中他预先设定好a b c d ,,,四个变量的取值，然后记录相应的变量m 的值，得到表：则m 关于a b c d ,,,的表达式可能是______________. 【答案】()2a b m cd +=或()8m a b cd =+或223a b m cd+=或其他符合条件的解析式【解析】 【分析】本题为开放题,答案并不唯一,对比试验数据,进而求解即可.【详解】本题为开放题,答案并不唯一,例如,考生可对比试验①②推断m 与d 成反比, 对比试验②③推断m 与c 成反比,对比③④推断m 与+a b 成反比,由此可得a bm k cd+=, 代入试验①的数据,解得2k =,故()2a b m cd+=是一种可能的表达式， 此外,答案中列举的其他解析式均符合题意,故答案为:()2a b m cd+=或()8m a b cd =+或223a b m cd +=或其他符合条件的解析式. 【点睛】本题考查求解析式,考查数据处理能力.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分17.已知n S 是正项数列{}n a 的前n 项和，且对任意n ∈+N ，均有2423n n n S a a =+-.（1）求n a ； （2）求数列(){}1nn a -的前n 项和n T .【答案】（1）21n a n =+；（2）()()111nn T n =-+-【解析】 【分析】（1）由题,当2n ≥时,2111423n n n S a a ---=+-,与条件作差可得2211422n n n n n a a a a a --=-+-,即()()1120n n n n a a a a --+--=,由{}n a 为正项数列知10n n a a ->+,则120n n a a ---=,进而求解即可；（2）利用错位相减法求解即可.【详解】（1）由2423n n n S a a =+-①可知,当2n ≥时,2111423n n n S a a ---=+-②,①-②得,2211422n n n n n a a a a a --=-+-,整理得()()1120n n n n a a a a --+--=,由{}n a 为正项数列知10n n a a ->+,故120n n a a ---=, 故{}n a 是以2为公差的等差数列,又①中,当1n =时,可解得13a =或11a =-（舍）, 所以21n a n =+（2）根据题意,()()357121nn T n =-+-++-+L ③③⨯()1-,则()()()()135121121nn n T n n +-=-++--+-+L ④③-④,得()()()1232212121nn n T n +=-+-++---+L ()()()()1113212111n nn ---=-+⨯+-+-- ()()2122nn =-+-+则()()111nn T n =-+-【点睛】本题考查由n a 与n S 的关系求通项公式,考查错位相减法求数列的和,考查运算能力.18.已知12,A A 分别为椭圆222:12x y C b+=的左右顶点，P 为C 上异于12,A A 的点，且直线1PA 与2PA 的斜率乘积为12-. （1）求椭圆C 的方程；（2）若B 为椭圆C 的上顶点，F 为C 的右焦点，PBF ∆的面积为1，求直线PB 的方程.【答案】（1）2212x y +=；（2）0x =或220x y -+=【解析】 【分析】（1）由题可得左右顶点为())12,A A ,设()00,P x y ,则22222x y b -=⋅,利用斜率公式处理1212PA PA k k ⋅=-,可求得2b ,即可求得椭圆方程； （2）分别讨论直线PB 斜率不存在与存在的情况,利用弦长公式和点到直线距离求三角形面积,进而求解即可.【详解】（1）由题意知())12,A A ,设()00,P x y ,则22222x y b -=⋅,因为12220201222PA PA y b k k x ⋅===-=--,解得21b =，故椭圆方程为2212x y +=（2）由题,上顶点为()0,1B ,右焦点为()1,0F ,当直线BP 斜率不存在时,BP 方程为0x =,易知此时BPF ∆面积为1,符合题意； 当直线BP 斜率存在时,设BP 方程为1y kx =+,联立22121x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩,得()221240k x kx ++=,解得1224,012k x x k =-=+,∴122412k BP x k=-=+,点F 到直线BP,由24112BPF k S k ∆==+,解得12k =, 此时112y x =+,即220x y -+= 故直线BP 的方程为0x =或220x y -+=【点睛】本题考查由椭圆的几何性质求椭圆的方程,考查直线与椭圆的位置关系的应用,考查椭圆内的三角形面积的应用,考查运算能力.19.如图,在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，AD BC ∥，1AB BC PA ===，2AD =，90PAD DAB ABC ∠=∠=∠=︒，点E 在棱PC上，且CE CP λ=.（Ⅰ）求证：CD AE ⊥；（Ⅱ）是否存在实数λ，使得二面角C AE D --的余弦值为10？若存在，求出实数λ的值；若不存在，请说明理由.【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）10. 【解析】【详解】试题分析：(1)由边长和勾股定理得CD AC ⊥，又平面PAD ⊥平面ABCD ，由定理证得CD ⊥平面PAC CD AE ∴⊥ (2) 建立空间直角坐标系, 得出平面AEC 的一个法向量为()1,1,0n CD u u u v v ==-，设平面AED 的一个法向量为m v，由题意计算得出结果解析：（Ⅰ）过点C 作CF AB ∥交AD 于D ，1AB BC ==Q ，2AD =，90DAB ABC o ∠=∠=四边形ABCF 为正方形，且1AF FD ==，2AC =在Rt CFD △中，2CD =，在ACD V 中，2224CD AC AD +==CD AC ∴⊥ 90,PAD PA AD o Q ∠=∴⊥又平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD I 平面ABCD AD =PA ∴⊥平面ABCD PA CD ∴⊥ ,PA AC ⊂Q 平面PAC ，且PA AC A =ICD \^平面PAC CD AE ∴⊥（Ⅱ）90PAD PA AD ∠=∴⊥o Q又平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD I 平面ABCD AD =PA ∴⊥平面ABCD PA CD ∴⊥，PA AB ⊥以点A 为坐标原点，AB 、AD 、AP 所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系，()()()()()()0,0,0,0,0,1,1,1,0,0,2,0,1,1,0,0,2,0A P C D CD AD =-=u u u v u u u v假设存在实数λ使得二面角C AE D --的余弦值为10，令CE CP λ=u u u v u u u v Q 点E 在棱PC 上，[]0,1λ∴∈设()()(),,,1,1,1,1,1E x y z CE CP x y z λλ=∴--=--u u u v u u u vQ()1,1,E λλλ∴--则()1,1,AE u u u vλλλ=--，CD ⊥Q 平面PAC ，∴平面AEC 的一个法向量为()1,1,0n CD u u uv v ==-设平面AED 的一个法向量为()111,,m x y z =v由00m AE m AD ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v v u u u v v 得()()11111100x y z y λλλ⎧-+-+=⎨=⎩令1z =得()1,0,1,0,111m λλλλλ-⎛⎫==-- ⎪--⎝⎭v 取(),0,1m λλ=--v()2210cos ,12m n m n m n λλ⋅∴===+-⨯v vv vv v 化简得23840λλ-+=又[]0,1λ∈ 23λ∴= 存在实数23λ=使得二面角C AE D --的余弦值为10. 20.某人某天的工作是：驾车从A 地出发，到B C 、两地办事，最后返回A 地，,,A B C 三地之间各路段行驶时间及当天降水概率如表：若在某路段遇到降水，则在该路段行驶的时间需延长1小时，现有如下两个方案： 方案甲：上午从A 地出发到B 地办事，然后到达C 地，下午在C 地办事后返回A 地； 方案乙：上午从A 地出发到C 地办事，下午从C 地出发到达B 地， 办事后返回A 地.（1）设此人8点从A 地出发，在各地办事及午餐的累积时间为2小时.且采用方案甲，求他当日18点或18点之前能返回A 地的概率；（2）甲、乙两个方案中，哪个方案有利于办完事后能更早返回A 地？ 【答案】（1）0.598；（2）甲方案 【解析】 【分析】（1）若各路段均不会遇到降水,则返回A 地的时间为17点,则若18点或18点之前能返回A 地的充要条件是降水的路段数不超过1,进而求解即可；（2）设某路段正常行驶时间为x ,降水概率为p ,则()()11EX x p x p x p =-++=+,进而讨论每一路段行驶时间的期望,再得到方案甲、乙的总行驶时间的期望,比较即可.【详解】（1）由题意可知,若各路段均不会遇到降水,则返回A 地的时间为17点, 因此若18点或18点之前能返回A 地的充要条件是降水的路段数不超过1,记事件123,,M M M 分别表示在上午AB 路段降水,上午BC 降水,下午CA 路段降水,则所求概率()()()()123123123123P P M M M P M M M P M M M P M M M =+++0.70.80.10.30.80.10.70.20.10.70.80.90.598=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=（2）设某路段正常行驶时间为x ,降水概率为p ,则该路段行驶时间X 的分布列为:故()()11EX x p x p x p =-++=+设采用甲、乙两种方案所花费的总行驶时间分别为,Y Z ,则2.3 2.23.98.4EY =++=, 2.6 2.7 3.38.6EZ =++=,8.48.6<,因此采用甲方案更有利于办事之后能更早返回A 地.【点睛】本题考查互斥事件的概率加法公式的应用,考查两点分布的分别列和期望,考查数据处理能力.21.已知函数()()1,ln 1xx e f x g x x x +==-. （1）当1x >时，不等式()f x m >成立，求整数m 的最大值；（参考数据：ln20.693,ln3 1.099≈≈）； （2）证明：当1x >时，()()f x g x <. 【答案】（1）最大值为3；（2）见解析 【解析】 【分析】 （1）先求导可得()21ln 1ln x x f x x--'=,设()1ln 1F x x x=--,由()F x '可判断()F x 在()1,+∞上为增函数,由()()453ln 30,4ln 4034F F =-<=->可得()03,4x ∃∈使得()()000F x f x '==,则()()0min f x f x =,进而求解即可；（2）要证()()f x g x <,即证21ln 0xx x e-->,设()21ln x x h x x e -=-,利用导函数判断()h x 的单调性,由()10h =,进而求解即可.【详解】（1）当1x >时,()21ln 1ln x x f x x--'=,令()1ln 1F x x x =--,则()2110F x x x'=+>,因此()F x 在()1,+∞上为增函数, 又()()453ln 30,4ln 4034F F =-<=->, ∴()03,4x ∃∈使得()()000F x f x '==,即001ln 1x x =+, 当01x x <<时,()0f x '<,()f x 为减函数；当0x x >时,()0f x '>,()f x 为增函数；∴()()()0000min 00113,41ln 1x x f x f x x x x ++====∈+,所以整数m 的最大值为3（2）法一：要证()()f x g x <,即证21ln 0xx x e-->, 令()21ln xx h x x e -=-,则()2321212x x xx x e x x xh x x e xe -++--'=-=, 令()322xx e x x x ϕ=+--,则()2341xx e x x ϕ'=+--,()()64,6x xx e x x e ϕϕ'''''=+-=+,∵()0x ϕ'''>,∴()x ϕ''在()1,+∞上为增函数,又()12e ϕ''=-,∴()0x ϕ''>, ∴()x ϕ'在()1,+∞上为增函数,又()12e ϕ'=-,∴()0x ϕ'>,∴()x ϕ在()1,+∞上为增函数,又()12e ϕ=-,∴()0x ϕ>,即()0h x '>, ∴()h x 在()1,+∞上为增函数,∴()()10h x h >=,故()()f x g x <.【点睛】本题考查利用导函数处理函数恒成立问题,考查利用导函数证明不等式,考查利用导函数判断函数的单调性.（二）选考题：共10分22.在极坐标系Ox 中，直线,m n 的方程分别为cos 3,sin 2ρθρθ==，曲线2236:45sin C ρθ=+.以极点O 为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系. （1）将直线,m n 的方程与曲线C 的方程化成直角坐标方程；（2）过曲线C 上动点P 作直线,m n 的垂线，求由这四条直线围成的矩形面积的最大值.【答案】（1）224936x y +=；（2）max 9S =+【解析】 【分析】(1)由直角坐标方程与极坐标方程的互化的公式，直接得出答案.(2)由条件可设()3cos ,2sin P θθ，则矩形的两边长分别为33cos ,22sin θθ--，然后用换元法可求矩形面积的最大值.【详解】解：（1）由cos ,sin x y ρθρθ==得 直线,m n 的直角坐标方程分别为3,2x y ==， 曲线C 的方程为224936x y +=；（2）由（1）知曲线22:194x y C +=，故可设()3cos ,2sin P θθ，矩形的两边长分别为33cos ,22sin θθ--，∴矩形的面积()()()33cos 22sin 61sin cos sin cos S θθθθθθ=--=--+，令sin cos t θθ⎡+=∈⎣，则21sin cos 2t θθ-=，2363,S t t t ⎡=-+∈⎣，当t =max 9S =+.【点睛】本题考查直角坐标方程与极坐标方程的互化、椭圆的参数方程以及换元法求最值，属于中档题. 23.已知()215f x x ax =-+-(a 是常数，a R ∈)． (1)当1a =时，求不等式()0f x ≥的解集；(2)若函数()f x 恰有两个不同的零点，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）{x |4x ≤-或2x ≥}；（2）(2,2)-【解析】【分析】（1）当a=1时，f（x）14,21 36,2 x xx x⎧--<⎪⎪⎨⎪-≥⎪⎩，把1240xx⎧<⎪⎨⎪--≥⎩或12360xx⎧≤⎪⎨⎪-≥⎩的解集取并集，即得所求；②由f（x）=0得|2x﹣1|=﹣ax+5，作出y=|2x﹣1|和y=﹣ax+5 的图象，观察可以知道，当﹣2＜a＜2时，这两个函数的图象有两个不同的交点，由此得到a的取值范围．【详解】(1)当1a=时，()215f x x ax=-+-=14,2136,2x xx x⎧--<⎪⎪⎨⎪-≥⎪⎩，由()0f x≥，得1240xx⎧<⎪⎨⎪--≥⎩或12360xx⎧≤⎪⎨⎪-≥⎩，解得4x≤-或2x≥，故不等式()0f x≥的解集为{x|4x≤-或2x≥}．(2)令()f x=0，得215x ax-=-，则函数()f x恰有两个不同的零点转化为21y x=-与5y ax=-+的图象有两个不同的交点，在同一平面直角坐标系中作出两函数的图象如图所示，结合图象知当22a-<<时，这两个函数的图象有两个不同的交点，所以当22a-<<时，函数()f x恰有两个不同的零点，故实数a的取值范围为()2,2-．【点睛】含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解．法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向．。
2020届河北衡水金卷新高考原创考前信息试卷(二)理科数学
2020届河北衡水金卷新高考原创考前信息试卷（二）理科数学★祝考试顺利★ 注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。
4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
8、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑. 1. 已知集合{}{}2230,210A x x x B x x =+-<=->，则A I B= A 1)2(-3, B. (-3,1) C. 1(,1)2 D. 1(,3)22. 设复数z 满足1iz i =+， 则复数z 的共轭复数z 在复平面内对应的点位于 A.第一像限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3. 玫瑰花窗(如右图)是哥特式建筑的特色之一，镶嵌着彩色玻璃 的玫瑰花窗给人以瑰丽之感.构成花窗的图案有三叶形、四叶形、 五叶形、六叶形和八叶形等.右图是四个半圆构成的四叶形，半 圆的连接点构成正方形ABCD ，在整个图形中随机取一点，此 点取自正方形区域的概率为 A.22π+ B. 11π+ C. 42π+ D. 21π+ 4. 己知定义在R 上的奇函数f (x )， 当x >0时，2()log xf x =;且f (m )=2，则m = A.14 B.4 C.4或14 D.4或14-5. 已知平面向量a r 、b r 的夹角为135°， 且a r 为单位向量，(1,1)b =r，则a b +=r rA.5. B. 32+. C.1 D. 32-6. 已知F 1、F 2分别为椭圆C: 2222+1(0)x y a b a b=>>的左、右焦点，过F 1且垂直于x 轴的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，若∆AF 2B 是边长为4的等边三角形，则椭圆C 的方程为A. 22143x y +=B. 22196x y += C.221164x y += D. 221169x y += 7.定义运算a b *为执行如图所示的程序框图输出的S 值,则(cos)(sin)1212ππ*=A. 3-B. 3C.1D.-1 8。
2020届河北衡水密卷新高考原创考前信息试卷(十)理科数学
2020届河北衡水密卷新高考原创考前信息试卷（十）理科数学★祝考试顺利★ 注意事项：1、考试范围：高考范围。
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一．选择题（60分）1.已知集合{}=|10A x x -<，2{|20}B x x x =-<，则A B =I （） A. {}|0x x <B. {}|1x x <C. {}1|0x x <<D.{}|12x x <<【答案】C 【解析】 【分析】求得集合={|1}A x x <，{|02}B x x =<<，再根据集合的交集运算，即可求解.【详解】由题意，集合{}=|10{|1}A x x x x -<=<，2{|20}{|02}B x x x x x =-<=<<，所以{}|01A B x x ⋂=<<，故选C.【点睛】本题主要考查了集合的运算，其中解答中正确求解集合,A B 是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.2.已知p ，q ∈R ，1i +是关于x 的方程20x px q ++=的一个根，则p q ⋅=（） A. 4- B. 0C. 2D. 4【答案】A 【解析】 【分析】由1i +是关于x 的方程20x px q ++=的一个根，代入方程化简得(2)=0p q p i +++，根据复数相等的充要条件，列出方程组，即可求解.【详解】依题意，复数1i +是关于x 的方程20x px q ++=的一个根，可得21)(1)=0i p i q +++（＋，即：(2)=0p q p i +++， 所以020p q p +=⎧⎨+=⎩，解得22p q =-⎧⎨=⎩，所以4p q ⋅=-，故选A.【点睛】本题主要考查了复数方程的应用，以及复数相等的充要条件的应用，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.3.已知ln3a =，3log 10b =，lg 3c =，则a ，b ，c 的大小关系为（） A. c b a <<B. a c b <<C. b c a <<D.c a b <<【答案】D 【解析】 【分析】根据对数的单调性，分别求得,,a b c 的范围，即可求解，得到答案.【详解】由题意，根据对数的单调性，可得2ln ln 3ln e e <<，即12a <<，333log 9log 10log 27<<，即23b <<，lg3lg101c =<=，即1c <，所以c a b <<，故选D.【点睛】本题主要考查了对数函数的单调性的应用，其中解答中熟记对数函数的单调性，合理求解,,a b c 得范围是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.4.函数()21x f x x-=的图象大致为（）A. B.C. D.【答案】D 【解析】 【分析】根据函数的解析式，得到()()f x f x -=，所以函数()f x 为偶函数，图象关于y 对称，排除B 、C ；再由函数的单调性，排除A ，即可得到答案.【详解】由题意，函数()21x f x x -=，可得()()22()11x x f x f x x x----===-， 即()()f x f x -=，所以函数()f x 为偶函数，图象关于y 对称，排除B 、C ；当0x >时，()211x f x x x x-==-，则21'()1f x x =+＞0，所以函数在0∞（，＋）上递增，排除A ， 故选D .【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性与函数单调性的应用，其中解答中熟练应用函数的奇偶性和单调性，进行合理排除是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.5.下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由一个半圆和一个四分之一圆构成，两个阴影部分分别标记为A 和M .在此图内任取一点，此点取自A 区域的概率记为()P A ，取自M 区域的概率记为()P M ，则（）A. ()()P A P M >B. ()()P A P M <C. ()()P A P M =D. ()P A 与()P M 的大小关系与半径长度有关 【答案】C 【解析】 【分析】利用圆的面积公式和扇形的面积公式，分别求得阴影部分的面积，得到阴影部分A 的面积＝阴影部分M 的面积，即可求解.【详解】由题意，设四分之一圆的半径为R ，则半圆的半径为22R ， 阴影部分A 的面积为212R ，空白部分的面积为221142R R π-， 阴影部分M 的面积为：22221211122422R R R R ππ⎛⎫⎛⎫⨯⨯--= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 阴影部分A 的面积＝阴影部分M 的面积，所以P A P M （）＝（），故选C. 【点睛】本题主要考查了几何概型的应用，其中解答中认真审题，正确求解阴影部分的面积是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.6.下图是判断输入的年份x 是否是闰年的程序框图，若先后输入1900x =，2400x =，则输出的结果分别是（注：xMODy 表示x 除以y 的余数）（）A. 1900是闰年，2400是闰年 B. 1900是闰年，2400是平年 C. 1900平年，2400是闰年D. 1900是平年，2400是平年【答案】C 【解析】 【分析】由给定的条件分支结构的程序框图，根据判断条件，准确计算，即可求解，得到答案. 【详解】由题意，输入1900x =时，190040a MOD == ，19001000b MOD == 1900400c MOD == 3输出1900是平年，输入2400x =时，240040a MOD == 24001000b MOD == 24004000c MOD == 输出2400是润年， 故选C【点睛】本题主要考查了条件分支结构的程序框图的计算结果的输出，其中解答中根据条件分支结构的程序框图，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.7.若sin 78m =o ，则sin 6=o （）A.B.C.D.2【答案】B 【解析】 【分析】由三角函数的诱导公式，求得12sin 78cos m ==o o ，再由余弦的倍角公式，即可求解，得到答案.【详解】由三角函数的诱导公式，可得12sin(9012)sin 78cos m =-==oooo， 又由余弦的倍角公式，可得2126sin m -=o ，所以sin 6=o B. 【点睛】本题主要考查了三角函数的诱导公式和余弦的倍角公式的化简求值，其中解答中熟练应用三角函数的基本公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.8.已知等差数列{}n a 的公差不为零，其前n 项和为n S ，若3S ，9S ，27S 成等比数列，则93S S =（） A. 3 B. 6 C. 9 D. 12【答案】C 【解析】 【分析】由题意，得29327S S S =⨯，利用等差数列的求和公式，列出方程求得12d a =，即可求解93S S 的值，得到答案.【详解】由题意，知3S ，9S ，27S 成等比数列，所以29327S S S =⨯，即219131279()3()27()222a a a a a a +++⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭， 整理得2521437821a a a =⨯，所以2111(4)()(13)a d a d a d +=++，解得12d a =，所以919135329()3()9223S a a a a a S a ++=÷=＝11113(4)2793a d a a d a +==+， 故选C.【点睛】本题主要考查了等比中项公式，以及等差数列的通项公式和前n 项和公式的应用，其中解答中熟练应用等差数列的通项公式和前n 项和公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.9.双曲线222:1(0)x C y a a-=>的右焦点为F ，点P 为C 的一条渐近线上的点，O 为坐标原点，若PO PF =，则OPF S ∆的最小值为（） A.14B.12C. 1D. 2【答案】B 【解析】 【分析】求得双曲线222:1(0)x C y a a-=>的一条渐近线为1y x a =，由PO PF =，得到点P 的坐标为,22c c a ⎛⎫⎪⎝⎭，利用三角形的面积公式和基本不等式，即可求解. 【详解】由题意，双曲线222:1(0)x C y a a-=>的一条渐近线为1y x a =，设0F c （，）， 因为PO PF =，可得点P 的横坐标为2x c=， 代入渐近线1y x a =，可得2y c a =，所以点P 的坐标为,22c c a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以22112244OPFc c a S c a a a+=⨯⨯===V 11442a a +≥=，当且仅当144a a =时，即1a =时，等号成立，即OPF S ∆的最小值为12. 故选B.【点睛】本题主要考查了双曲线的标准方程及简单的几何性质的应用，其中解答中熟记双曲线的几何性质，利用基本不等式准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.10.在5()()x y x y +-的展开式中，33x y 的系数是（） A. 10 B. 0 C. 10 D. 20【答案】B 【解析】 【分析】由二项的展开式的通项为515(1)k k k k k T C x y -+=-，进而可求得展开式的33x y 的系数，得到答案.【详解】由题意，二项式5()x y -的展开式的通项为515(1)k k k k k T C x y -+=-，所以5()()x y x y +-的展开式中，33x y 的系数为：332255101(0)(1)01C C =-++--=,故选B.【点睛】本题主要考查了二项式定理的应用，其中解答中熟记二项展开式的通项，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.11.直线330x +=经过椭圆()222210x y a b a b+=>>的左焦点F ，交椭圆于,A B 两点，交y 轴于C 点，若2FC CA =u u u r u u u r，则该椭圆的离心率是（） A.31B.31- C. 222D.21【解析】 【分析】由直线0x +=过椭圆的左焦点F，得到左焦点为(F ，且223a b -=，再由2FC CA =u u u r u u u r，求得3,22A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，代入椭圆的方程，求得2a =，进而利用椭圆的离心率的计算公式，即可求解.【详解】由题意，直线0x +=经过椭圆的左焦点F ，令0y =，解得x =所以c =，即椭圆的左焦点为(F ，且223a b -= ①直线交y 轴于(0,1)C，所以，1,2OF OC FC ===，因为2FC CA =u u u r u u u r，所以3FA =，所以32A ⎫⎪⎪⎝⎭，又由点A 在椭圆上，得22394a b += ② 由①②，可得2242490a a -+=，解得2a =， 所以)222241c e a ===-=，所以椭圆的离心率为1e =. 故选A.【点睛】本题考查了椭圆的几何性质——离心率的求解，其中求椭圆的离心率(或范围)，常见有两种方法：①求出,a c ，代入公式ce a=；②只需要根据一个条件得到关于,,a b c 的齐次式，转化为,a c 的齐次式，然后转化为关于e 的方程，即可得e 的值(范围)．12.设函数()()(ln )x m f x e ax x ax -=--，若存在实数a 使得()0f x <恒成立，则m 的取值范围是（） A. (],0-∞B. [)0,2C. ()2+∞，D.(),2-∞【解析】 【分析】由存在实数a 使得()0f x <恒成立，转化为ln ()()0,0x m e xa a x x x---<>恒成立，得到ln ln min{,}max{,}x m x m e x e xa x x x x--<<，构造新函数，利用导数求得函数的最值，得出关于m 的不等式，即可求解. 【详解】由题意，函数()()(ln )x mf x eax x ax -=--的定义域为(0,)x ∈+∞，要使得存在实数a 使得()0f x <恒成立，即()(ln )0x meax x ax ---<恒成立， 只需ln ()()0x m e x a a x x ---<恒成立，即ln ()()0x m e xa a x x ---<恒成立，即ln ln min{,}max{,}x m x m e x e x a x x x x--<<设()ln x g x x =，则()21ln xg x x-'=， 当(0,)x e ∈时，()0g x '>，函数()g x 单调递增， 当(,)x e ∈+∞时，()0g x '<，函数()g x 单调递减， 所以当x e =时，函数()g x 取得最大值，最大值为1e，即ln 1x x e ≤， 设(),0x m e h x x x -=>，则()22(1)x m x m x m e x e e x h x x x---⋅-⋅-'== 当(0,1)x ∈时，()0h x '<，函数()h x 单调递减， 当(1,)x ∈+∞时，()0h x '>，函数()h x 单调递增， 所以当1x =时，函数()g x 取得最小值，最小值为1me -，即1x mm e e x--≥，所以只需11me e->，解得2m <，即实数m 的取值范围是(),2-∞， 故选D.【点睛】本题主要考查了导数的综合应用，其中解答中把存在实数a使得()0f x<恒成立，转化为ln()()0x me xa ax x---<恒成立，进而得得到ln lnmin{,}max{,}x m x me x e xax x x x--<<是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.二、填空题（共20分）13.若,x y满足约束条件20210220x yx yx y-+≥⎧⎪-+≤⎨⎪-+≤⎩，则3z x y=-的最大值为______.【答案】0【解析】【分析】作出约束条件表示的平面区域，结合图象，确定目标函数的最优解，代入目标函数，即可求解，得到答案.【详解】由题意，作出约束条件20210220x yx yx y-+≥⎧⎪-+≤⎨⎪-+≤⎩所表示的平面区域，如图所示，目标函数3z x y=-可化为直线3y x z=-，当直线3y x z=-过点C时，此时目标函数取得最大值，又由20210x yx y-+=⎧⎨-+=⎩，解得1,3x y==，即1,3C（），所以目标函数的最大值为3130z=⨯-=.【点睛】本题主要考查简单线性规划求解目标函数的最值问题．其中解答中正确画出不等式组表示的可行域，利用“一画、二移、三求”，确定目标函数的最优解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，及推理与计算能力，属于基础题．14.已知12,e e u r u u r 是夹角为60︒的两个单位向量，1212,2a e e b e e =-=-r u r u u r r u r u u r ，则a b ⋅=r r_____.【答案】32【解析】 【分析】根据平面向量的数量积的运算公式，准确运算，即可求解，得到答案. 【详解】由向量的数量积的运算公式，可得2212121212()(2)23e e e b e e e a e e -⋅-=+-⋅=u r u u r u r u u r u r u u r u r r r g u u r 123123||||cos602e e +-⨯︒=u r u u r ＝. 【点睛】本题主要考查了向量的数量积的运算，其中解答中熟记向量的数量积的运算公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 15.已知函数()()sin 04f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，若()f x 在[]0,2π上恰有3个极值点，则ω的取值范围是______. 【答案】91388⎡⎫⎪⎢⎣⎭, 【解析】 【分析】根据三角函数的图象与性质，求得函数的极值点为()14x k k Z πω⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭，再由()f x 在[]0,2π上恰有3个极值点，得到1122344πππωω⎛⎫⎛⎫+<≤+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即可求解. 【详解】由题意，令()sin 14f x x πω⎛⎫=+=± ⎪⎝⎭，即()42x k k Z ππωπ+=+∈，解得()14x k k Z πω⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭， 所以函数()f x 的极值点为()14x k k Z πω⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭，又()f x 在[]0,2π上恰有3个极值点， 所以这三个极值点只能是在0,1,2k k k ===，所以有1122344πππωω⎛⎫⎛⎫+≤<+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得98138ω<≤. 所以实数ω的取值范围是91388⎡⎫⎪⎢⎣⎭,.故答案91388⎡⎫⎪⎢⎣⎭,. 【点睛】本题主要考查了三角还函数的图象与性质的应用，以及函数极值点的定义的应用，其中解答熟练应用三角函数的图象与性质，得到关于实数ω的不等式是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.16.在三棱锥P ABC -中，60ABC ∠=o ，90PBA PCA ∠=∠=o ，PB PC ==P到底面ABC ，则三棱锥P ABC -的外接球的表面积为________. 【答案】6π 【解析】 【分析】由90PBA PCA ∠=∠=o ，可知PA 为三棱锥P ABC -的外接球的一条直径，过点P 作PE ⊥平面ABC ，可知AE 为ABC ∆外接圆的一条直径，计算出AE 的长度，再利用勾股定理计算出PA 的长度，即可得出该球的直径，再利用球体表面积公式可得出结果.【详解】设PA 的中点为点O ，90PBA PCA ∠=∠=o Q ，12OA OB OC OP PA ∴====， PA ∴为三棱锥P ABC -的外接球O 的一条直径，过点P 作PE ⊥平面ABC ，垂足为点E ，BE Q 、CE 、AE ⊂平面ABC ，PE BE ∴⊥，PE CE ⊥，PE AE ⊥，3PB PC ==Q ，2PE =1BE CE ==，同理可知AC BC =， 60ABC ∠=o Q ，ABC ∆∴为等边三角形，设ABC ∆的外接圆圆心为点F ，连接OF ，则//OF PE ，且1222OF PE ==， 由中位线的性质可知点F 为AE 的中点，AE ∴为圆F 的一条直径，所以，90ABE ACE ∠=∠=o ，由圆的内接四边形的性质可知，120BEC ∠=o ，30BCE CBE ∴∠=∠=o ，由正弦定理可得12sin sin 30BE AE BCE ===∠o，226PA PE AE ∴+=O 的表面积为26PA ππ⨯=，故答案为6π.【点睛】本题考查多面体的外接球表面积的计算，解题时要充分分析多边形的形状，找出球心的位置，考查推理能力与计算能力，属于中等题.三．（解答题，共70分）17.ABC △的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知ABC △的面积为21tan 6S b A =. ()1证明：3cos b c A =； ()2若tan 2,22,A a ==求S .【答案】（1）证明见解析（2）3【解析】 【分析】（1）由三角形的面积公式化简得3csinA btanA =，进而得到sin 3cos b AcsinA A=，即可作出证明；（2）因为2tanA =，求得5cosA =，由（1）得2252,3b bbccosA c ==理求得29b =，再由面积公式，即可求解. 【详解】（1）由三角形的面积公式，可得21126S bcsinA b tanA ==，即3csinA btanA =， 又因为sin cos A tanA A =，所以sin 3cos b AcsinA A=， 又因为0A π<<，所以0sinA ≠，所以3b ccosA =. （2）因为2tanA =，由三角函数的基本关系式，可得55cosA =， 由（1）得2252,3b bbccosA c ==， 由余弦定理得222225282()3b b bc bccosA b =+-=++，解得29b =， 所以2111sin tan 923266S bc A b A ===⨯⨯=. 【点睛】本题主要考查了余弦定理和三角形的面积公式的应用，其中在解有关三角形的题目时，要抓住题设条件和利用某个定理的信息，合理应用正弦定理和余弦定理求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.18.某音乐院校举行“校园之星”评选活动，评委由本校全体学生组成，对,A B 两位选手，随机调查了20个学生的评分，得到下面的茎叶图：()1通过茎叶图比较,A B 两位选手所得分数的平均值及分散程度（不要求计算出具体值，得出结论即可）；()2校方将会根据评分记过对参赛选手进行三向分流：所得分数 低于60分 60分到79分不低于80分 分流方向淘汰出局复赛待选直接晋级记事件C “A 获得的分流等级高于B ”，根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求事件C 发生的概率. 【答案】（1）详见解析（2）137400【解析】 【分析】（1）通过茎叶图可以看出，A 得分数的平均值高于B 得分数的平均值，A 得分数比较集中，B 得分数比较分散；（2）记1A C 表示事件:“A 选手直接晋级”2A C 表示事件:“A 选手复赛待选”1B C 表示事件:“B 选手复赛待选”2B C 表示事件:“B 选手淘汰出局利用独立事件的概率乘法公式，即可求解.【详解】（1）通过茎叶图可以看出，A 选手所得分数的平均值高于B 选手所得分数的平均值；A 选手所得分数比较集中，B 选手所得分数比较分散.（2）记1A C 表示事件:“A 选手直接晋级”2A C 表示事件:“A 选手复赛待选”1B C 表示事件:“B 选手复赛待选”2B C 表示事件:“B 选手淘汰出局则1A C 与1B C 独立，2A C 与2B C 独立，1A C 与2A C 互斥， 则()()()111222A B A B A B C C C C C C C =⋃⋃，()()()()111222A B A B A B P C C P C C P C C P C C ==++ ()()()()()()111222A B A B A B P C P C P C P C P C P C =++由所给数据得1A C ，2A C ，1B C ，2B C 发生的频率分别为811103,,,20202020. 故()1820A P C =，()21120A P C =，()11020B P C =，()2320B P C =，所以()81083113137202020202020400P C ⨯+⨯+⨯==. 【点睛】本题主要考查了茎叶图的应用，以及相互独立事件的概率的计算，其中解答中正确理解题意，准确利用独立事件的概率乘法公式计算是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.19.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，PD DC =，点E 是PC 的中点.()1求证：//PA 平面BDE ；()2若直线BD 与平面PBC 所成角为30°，求二面角C PB D --的大小.【答案】（1）证明见解析（2）60︒ 【解析】 【分析】（1）连接AC 交BD 于O ，连接OE ，利用线面平行的判定定理，即可证得//PA 平面BED ；()2以D 为坐标原点，,,DA DC DP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，设1PD CD ==，AD a =，分别求得平面PBC 和平面PBD 的一个法向量n r 和m u r，利用向量的夹角公式，即可求解.【详解】（1）连接AC 交BD 于O ，连接OE ， 由题意可知，,PE EC AO OC ==，//PA EO ∴，又PA 在平面BED 外，EO ⊂平面BED ，所以//PA 平面BED .()2以D 为坐标原点，,,DA DC DP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系D xyz -，设1PD CD ==，AD a =，则(,0,0)A a ，(,1,0)(0,1,0)B a C ，，1(0)0,P ，，(,1,0)DB a =u u u v，(,)1,1PB a =-u u u r ，()0,1,1PC =-u u u r ，设平面PBC 的法向量(,)n x y z =v，，由·0·0PB n PC n ⎧=⎨=⎩u u u v vu u u v v，得00ax y z y z +-=⎧⎨-=⎩，取(0,1,1)n =r ， 又由直线BD 与平面PBC 所成的角为30o ，得21cos ,212DB n DB n DB n a ===+⨯u u u r r g u u u r r u u ur r ，解得1a =， 同理可得平面PBD 的法向量1,)0(1,m =-u r，由向量的夹角公式，可得1cos ,222n m n m n m===⨯r u rr u r g r u r ，又因为二面角C PB D --为锐二面角，所以二面角C PB D --的大小为60︒.【点睛】本题考查了线面平行的判定与证明，以及空间角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力，解答中熟记线面位置关系的判定定理和性质定理，通过严密推理是线面位置关系判定的关键，同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.20.已知F 为抛物线2:4T x y =的焦点，直线:2l y kx =+与T 相交于,A B 两点.()1若1k =，求FA FB +的值；()2点(3,2)C --，若CFA CFB ∠=∠，求直线l 的方程.【答案】（1）10（2）3240x y +-= 【解析】 【分析】（1）联立方程组224y kx x y =+⎧⎨=⎩，利用根与系数的关系和抛物线的定义，即可求解.()2由CFA CFB ∠=∠，可得cos ,cos ,FA FC FB FC =u u u r u u u r u u u r u u u r，利用向量的夹角公式，联立方程组，求得32k =-，即可求得直线的方程. 【详解】（1）由题意，可得()0,1F ，设221212,,,44x x A x B x ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，联立方程组224y kx x y=+⎧⎨=⎩，整理得2480x kx --=，则124x x k +=，128x x =-，又由22121144x x FA FB +++=+()2121222104x x x x +-=+=.（2）由题意，知211,14x FA x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭u u u r ，222,14x FB x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭u u u r ，()3.3FC =--u u u r ， 由CFA CFB ∠=∠，可得cos ,cos ,FA FC FB FC =u u u r u u u r u u u r u u u r又2114x FA =+，2214x FB =+，则FA FC FB FC FA FC FB FC =u u u r u u u r u u u r u u u r g g u u u r u u u r u u u r u u u r ， 整理得()1212420x x x x ++-=，解得32k =-， 所以直线l 的方程为3240x y +-=.【点睛】本题主要考查了直线与抛物线的位置关系的综合应用,解答此类题目，通常联立直线方程与抛物线方程，应用一元二次方程根与系数的关系进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错解，能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等.21.已知函数()sin f x x x =，(0,)x π∈，()f x '为()f x 的导数，且()()g x f x '=.证明：()1()g x 在22,3π⎛⎫⎪⎝⎭内有唯一零点；()2()2f x <.（参考数据：sin 20.9903≈，cos20.4161≈-，tan 2 2.1850≈-1.4142≈，3.14π≈）【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】 【分析】（1）由题意，得()()'g x f x xcosx sinx ==+，分别求得在区间0,2π⎛⎤⎥⎝⎦和,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上的单调性，利用零点的存在定理，即可求解；（2）由（1）得，求得函数的单调性，得到()f x 的最大值为()f t tsint =，再由()0f t '=得t tant =-，得到()tan f t t sint =-g，利用作差比较，即可求解. 【详解】（1）由题意，函数()sin f x x x =，则()sin cos f x x x x '=+所以()()'g x f x xcosx sinx ==+， 当0,2x π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，可得()0g x >，即()g x 在0,2x π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦内没有零点，当,2x ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，()2sin g x cosx x x '=-， 因为cos 0,sin 0x x x <>，所以()'0g x <，所以()g x 在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，又()()22tan 220g cos =+>，且20332g ππ⎛⎫=-+<⎪⎝⎭， 所以()g x 在22,3π⎛⎫⎪⎝⎭内有唯一零点t .（2）由（1）得，当,()0x t ∈时，()0g x >，所以()'0f x >，即()f x 单调递增； 当,()x t π∈时，()0g x <，所以()0f x <，即()f x 单调递减， 即()f x 的最大值为()f t tsint =，由()cos 0f t t t sint '=+=得t tant =-，所以()f t tant sint =-g， 因此()2sin 2cos 2cos t t f t t ---=2cos 2cos 1cos t t t --=()2cos 12cos t t--=， 因为22,3t π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以1,cos 22cost ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭从而()222212 1.4160(1)cos --=-->，即()2cos 120cos t t --<，所以()20f t -<，故()2f x <.【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及不等式的证明，着重考查了转化与化归思想、分类讨论、及逻辑推理能力与计算能力，对于此类问题，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．（二）选考题：共10分.请考生在第（22），（23）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.22.在极坐标系中，圆:4cos C ρθ=.以极点O 为原点，极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系xOy ，直线l经过点(1,M --且倾斜角为α. ()1求圆C 的直角坐标方程和直线l 的参数方程；()2已知直线l 与圆C 交与A ，B ，满足A 为MB 的中点，求α.【答案】（1）()2224x y -+=，1 x tcos y tsin αα=-+⎧⎪⎨=-⎪⎩，(t 为参数，0a π≤<).（2）3πα= 【解析】【分析】（1）利用极坐标方程与直角坐标方程的互化公式，可求解圆C 的直角坐标方程，根据直线参数方程的形式，即可求得直线的参数方程；()2将直线l 的方程代入圆C 的方程，利用根与系数的关系，求得A B t t +，A B t t g ，由A 为MB的中点，得到2B A t t =，求得,A B t t ，即可求得A B t t g的表达式，利用三角函数的性质，即可求解.【详解】（1）由题意，圆:4C cos ρθ=，可得24cos ρρθ=，因为222x y ρ=+，cos x ρθ=，所以224x y x +=，即()2224x y -+=， 根据直线的参数方程的形式，可得直线l:1x tcos y tsin αα=-+⎧⎪⎨=-⎪⎩，(t 为参数，0a π≤<).()2设, A B 对应的参数分别为, A B t t ，将直线l 的方程代入C ，整理得26320()3t t sin cos αα-++=， 所以63()A B t t sin cos αα+=+，32A B t t =g， 又A 为MB 的中点，所以2B A t t =，因此(3)246A t sin cos sin πααα⎛⎫ ⎪⎝=++⎭=， 8sin 6B t πα⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 所以232sin 326A B t t πα⎛⎫=+= ⎪⎝⎭g，即2sin 16πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 因为0a π≤<，所以7666πππα≤+<， 从而=62ππα+，即3πα=.【点睛】本题主要考查了极坐标方程与直角坐标方程，直线参数方程的求解，以及直线参数方程的应用，其中解答中合理利用直线参数中参数的几何意义求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.23.设函数()211f x x x =-++.()1画出()y f x =的图像；()2若()f x m x n ≤+，求m n +的最小值.【答案】（1）画图见解析（2）5【解析】【分析】（1）根据绝对值的定义，可得分段函数()f x 的解析式，进而作出函数的图象；（2）由不等式()f x m x n ≤+，可得()0f n ≤，解得2n ≥，再由绝对值的三角不等式，求得当且仅当3m ≥，且2n ≥时，()f x m x n ≤+成立，即可求解m n +的最小值. 【详解】（1）由题意，根据绝对值的定义，可得分段函数()3,112,1213,2x x f x x x x x ⎧⎪-<-⎪⎪=-+-≤≤⎨⎪⎪>⎪⎩， 所以()y f x =的图象如图所示：（2）由()f x m x n ≤+，可得()0f n ≤，解得2n ≥， 又因为()()21|()31f x x x x ≥++=-，所以3m x n x +≥.(※)若3m ≥，(※)式明显成立；若3m <，则当3n x m>-时，(※)式不成立， 由图可知，当3m ≥，且2n ≥时，可得()f x m x n ≤+， 所以当且仅当3m ≥，且2n ≥时，()f x m x n ≤+成立， 因此m n +的最小值为5.【点睛】本题主要考查了绝对值的定义及应用，以及绝对值三角不等式的应用，其中解答中利用绝对值的定义去掉绝对值号，以及合理利用绝对值不等式是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及推理与计算能力，属于基础题.。
2020届河北省衡水金卷新高考第一次摸底考试数学(理)试题
2020届河北省衡水金卷新高考第一次摸底考试数学试题（理）★祝考试顺利★ 注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。
4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
8、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
第Ⅰ卷 选择题部分一、选择题（每小题只有一个选项正确，每小题5分，共60分。
） 1．已知集合，，则( )A ．B ．C ．D ．2．与函数相同的函数是( )A B ．)10(log ≠>=a a a y x a 且 C ．D ．3.原命题：“设a ，b ，c ∈R ，若a ＞b ，则ac 2＞bc 2”，在原命题以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为（ ） A. 0 B. 1 C. 2D. 44．幂函数在上单调递增，则的值为( )A ． 2B ． 3C ． 4D ． 2或45. 已知97log c ,)97(b ,)97(a ,22)x (f 23121xx===-=--则()()(),,f a f b f c 的大小顺序为( )A ．()()()f b f a f c <<B ．()()()f c f b f a <<C ．()()()f c f a f b <<D ．()()()f b f c f a <<6.已知函数1x )(23=++=在bx ax x x f 处有极值10，则等于( )A. 1B. 2C.D.7.函数)32(log )(221--=x x x f 的单调递减区间是（ ）A.B.C.D.8．下列四个命题中真命题的个数是( ) ①若是奇函数，则的图像关于轴对称；②若，则；③若函数对任意满足，则是函数的一个周期；④命题“存在”的否定是“任意”A ．B ．C ．D ． 9.函数xx x y 2)(3-=的图象大致是( )10.已知定义域为R 的奇函数()f x 满足()()30f x f x -+=,且当3,02x ⎛⎫∈-⎪⎝⎭时, ()()2log 27f x x =+,则()2017f =( )A. 2log 5-B. 2C. 2-D. 2log 511．设定义域为R 的函数f(x)=.1,01||,1|lg |⎩⎨⎧=≠-x x x ，则关于x 的方程f 2(x)+bf(x)+c=0有7个不同实数解的充要条件是 ( )A ．b<0且c>0B ．b>0且c<0C ．b<0且c=0D ．b ≥0且c=0 12．已知()(),ln xf x eg x x ==，若()()f t g s =，则当s t -取得最小值时， ()f t 所在区间是（ ）A.()ln2,1 B ． 1,ln22⎛⎫⎪⎝⎭C ． 11,3e ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ． 11,2e ⎛⎫⎪⎝⎭第Ⅱ卷二、填空(每小题5分,共20分)13.设函数，则f [f （2）]=______．14.若函数y =f （x ）的定义域是⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,21，则函数y =f （log 2x ）的定义域为______． 15．已知⎩⎨⎧≥<--=)1(log )1()3()(x x x a x a x f a 是(-∞,+∞)上的增函数，那么实数a 的取值范围是___________．16．已知函数()()4log 3(0),{130,4xx x x f x x x +->=⎛⎫-+≤ ⎪⎝⎭若()f x 的两个零点分别为12,x x ，则12x x -=__________．三、解答题(17题10分,其它各题每题12分,共70分.) 17.已知函数（1）当x ∈[2,4]，求该函数的值域； （2）若对于恒成立，求m 的取值范围．18.已知a R ∈，命题:p “[0,2],240x x x a ∀∈-+≤均成立”， 命题:q “函数2()ln(2)f x x ax =++定义域为R ”．（1）若命题p 为真命题，求实数a 的取值范围；（2）若命题""p q ∨为真命题，命题""p q ∧为假命题，求实数a 的取值范围．()()()()()()(].2,02.213.1923的范围上是减函数，求在若函数的值的极值点，求实数是函数若函数a x f e x g a x f y x x ax x f x ⋅===-=20.已知函数y =a x （a ＞0且a ≠1）在[1，2]上的最大值与最小值之和为20，记．（1）求a 的值；（2）证明f （x ）+f （1-x ）=1；（3）求)20192018()20193()20192(20191f f f f ++++ ）（的值．21、已知函数)(ln 2)12(21)(2R a x x a ax x f ∈++-=（1）若曲线)(x f y =在1=x 和3=x 处的切线互相平行，求a 的值； （2）求)(x f 的单调区间；22.已知函数()2ln f x x ax =+， ()1g x x b x =++，且直线12y =-是函数()f x 的一条切线． （Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）对任意的1x ⎡∈⎣，都存在[]21,4x ∈,使得()()12f x g x =，求b 的取值范围；（Ⅲ）已知方程()f x cx =有两个根12,x x （12x x <），若()1220g x x c ++=，求证： 0b <．数学试题（理）答案第Ⅰ卷选择题部分一、选择题（每小题只有一个选项正确，每小题5分，共60分。
2020届河北省衡水金卷新高考原创精准仿真试卷(二)理科数学
2020届河北省衡水金卷新高考原创精准仿真试卷（二）理科数学本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共8页，23题（含选考题）。
全卷满分150分。
考试用时120分钟。
★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。
4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、选择题: 本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：根据一元二次不等式的解法求得集合B，之后根据子集的定义可以判断出，根据交集中元素的特征求得，根据并集中元素的特征，可以求得，从而求得结果.详解：由可以求得，从而求得，所以，，故选B.点睛：该题以集合为载体，考查了一元二次不等式的解法，并考查了集合间的关系以及集合的交并运算，属于简单题目.2.已知，为虚数单位，若为实数，则的值为（）A. 4B. 3C. 2D. 1【答案】A【解析】分析：首先利用复数的运算法则，求得，再结合复数对应实部和虚部满足什么样的条件，从而对其进行分类的标准，得到a所满足的等量关系式，求得结果. 详解：，若该复数是实数，只需，解得，故选A.点睛：该题考查的是复数的有关问题，在解题的过程中，需要先将题中所给的复数利用其运算法则将其化简，之后利用复数的分类对实虚部的要求找出其满足的等量关系式，之后求解即可.3.《孙子算经》是我国古代的数学名著，书中有如下问题:“今有五等诸侯，共分橘子六十颗，人别加三颗.问: 五人各得几何?”其意思为: 有5个人分60个橘子，他们分得的橘子数成公差为3的等差数列，问5人各得多少个橘子.这个问题中，得到橘子最多的人所得的橘子个数是（）A. 15B. 16C. 18D. 21【答案】C【解析】分析：首先根据题意，先确定其为一个等差数列的问题，已知公差、项数与和，求某项的问题，在求解的过程中，经分析，先确定首项，之后根据其和建立等量关系式，最后再利用通项公式求得第五项，从而求得结果.详解：设第一个人分到的橘子个数为，由题意得，解得，则，故选C.点睛：该题所考查的是有关等差数列的有关问题，在求解的过程中，注意分析题的条件，已知的量为公差、项数与和、而对于等差数列中，这五个量是知三求二的，所以应用相应的公式求得对应的量即可.4.已知，，，则A. B.C. D.【答案】B【解析】∵，，∴，，∴故选B.点睛：这个题目考查的是比较指数和对数值的大小；一般比较大小的题目，常用的方法有：先估算一下每个数值，看能否根据估算值直接比大小；估算不行的话再找中间量，经常和，，比较；还可以构造函数，利用函数的单调性来比较大小.5.一个棱锥的三视图如图所示，则这个棱锥的外接球的表面积为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：首先根据题中所给的三视图，将几何体还原，得到该几何体是由一个长方体切割而成的，从而能够确定该几何体的各个顶点都在同一个长方体的顶点处，所以该几何体的外接球即为其对应的长方体的外接球，借助于长方体的对角线就是其外接球的直径，利用公式求得结果.详解：根据题中所给的三视图可以断定该几何体应该是由长、宽、高分别是长方体所截成的四棱锥，所以该棱锥的外接球相当于对应的长方体的外接球，所以长方体的对角线就是其外接球的直径，所以有，从而求得其表面积为，故选A.点睛：该题考查的是有关几何体的外接球的的问题，关键是需要利用三视图还原几何体，再者就是应用长方体的对角线就是其外接球的直径，之后利用相应的公式求得结果即可.6.按照如图的程序框图执行，若输出结果为15，则M处条件为A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：首先根据题中所给框图，分析可知其任务是对等比数列求和的问题，发现数列是以1为首项，以2为公比的等比数列，从而很容易发现其前4项和等于15，而对于k的值为数列的项，结合题中的条件，分析各选项，可以求得正确结果.详解：根据题中所给的程序框图，可以确定该题要求的是，对应的正好是以1为首项，以2为公比的等比数列，该数列的前4项和正好是15，结合题中所给的条件，一一试过，可知选A.点睛：该题考查的是有关程序框图的问题，该题属于补充条件的问题，在求解的过程中，注意数列的项的大小，以及项之间的关系，从而求得正确结果.7.某商场一年中各月份的收入、支出情况的统计如图所示，下列说法中错误．．的是A. 至月份的收入的变化率与至月份的收入的变化率相同B. 支出最高值与支出最低值的比是C. 第三季度平均收入为万元D. 利润最高的月份是月份【答案】D【解析】由图可知至月份的收入的变化率与至月份的收入的变化率相同，故正确；由图可知，支出最高值是，支出最低值是，则支出最高值与支出最低值的比是，故正确；由图可知，第三季度平均收入为，故正确；由图可知，利润最高的月份是月份和月份，故错误.故选D.8.学校艺术节对同一类的四项参赛作品，只评一项一等奖，在评奖揭晓前，甲、乙、丙、丁四位同学对这四项参赛作品预测如下:甲说:“或作品获得一等奖”；乙说:“作品获得一等奖”；丙说:“,两项作品未获得一等奖”；丁说:“作品获得一等奖”.若这四位同学只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品是（）A. 作品B. 作品C. 作品D. 作品【答案】B【解析】分析：首先假设每一项作品若获得一等奖，看看下边对应的预测，分析分别有几个同学说的是对的，如果有两位同学说的是对的，那就是该问题对应的那个结果，如果不是两位同学说的是对的，那就说明不是该作品获一等奖，从而完成任务.详解：若B作品获得一等奖，则根据题中所给的条件，可以判断乙和丙两位说的话是对的，而甲和丁说的都是错的，满足只有两位说的话是对的，而若A作品获一等奖，则没有一个同学说的是正确的，若C作品获得一等奖，则甲、丙、丁三人说的话正确，若D作品获一等奖，则只有甲说的话是对的，故只能选B.点睛：该题考查的是有关推理的问题，解决该题的关键是对每一项作品获一等奖时分析说话正确的同学的人数，如果不是两人，就说明不对，如果正好两人，那就是该题要的结果，注意只能一一验证.9.设抛物线的焦点为，过点且倾斜角为的直线与抛物线交于两点，若,则抛物线的准线方程为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：首先利用题的条件，写出直线的方程，涉及到直线与抛物线相交，需要联立方程组，消元化成关于x的方程，利用韦达定理求得两根和，之后结合抛物线的定义，得到过于p的等量关系式，进而求得抛物线的准线方程.详解：根据题意，设直线的方程为，与抛物线联立，可得，整理可得，从而有，根据，结合抛物线的定义可知，所以，所以抛物线的准线方程为，即，故选A.点睛：该题考查的是有关直线与抛物线的问题，在解题的过程中，利用直线过的点以及直线的倾斜角，利用点斜式写出直线的方程，之后与抛物线联立，求得两根和，之后借助于抛物线的定义，转化得出p所满足的等量关系式，最后求得题中所要的结果.10.若函数满足且的最小值为，则函数的单调递增区间为（）A.B.C. D.【答案】D【解析】分析：首先根据诱导公式和辅助角公式化简函数解析式，之后应用题的条件求得函数的最小正周期，求得的值，从而求得函数解析式，之后利用整体思维，借助于正弦型函数的解题思路，求得函数的单调增区间.详解：，根据题中条件满足且的最小值为，所以有，所以，从而有，令，整理得，从而求得函数的单调递增区间为，故选D.点睛：该题考查是有关三角函数的综合问题，涉及到的知识点有诱导公式、辅助角公式、函数的周期以及正弦型函数的单调区间的求法，在结题的过程中，需要对各个知识点要熟记，解题方法要明确.11.已知双曲线在左，右焦点分别为，，以为圆心，以为半径的圆与该双曲线的两条渐近线在轴左侧交于，两点，且是等边三角形，则双曲线的离心率为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：首先将双曲线的焦距设出，之后借助于正三角形的特征，求得对应线段的长，从而进一步求得点A的坐标，利用点在双曲线的渐近线上，得到点的坐标所满足的关系式，从而确定的关系，结合双曲线中的关系，进一步求得离心率的大小.详解：设，设与x轴相较于M点，根据正三角形的性质，可以求得，从而求得，所以有，故选A.点睛：该题考查的是有关双曲线的性质的问题，在解题的过程中，注意找渐近线上的点的坐标，也可以利用等边三角形的性质，可以确定出渐近线的倾斜角，从而求得的关系，结合双曲线中的关系，进一步求得离心率的大小，这样更省时间.12.已知函数，若对区间内的任意实数，，，都有则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：首先对题中的条件进行分析，任意实数，，，都有，让不等号的左边尽量小，右边尽量大，相当于，之后的任务就是求函数在区间内的最大最小值，利用导数分析函数的单调性，从而求得函数的最值，代入求得参数的取值范围.详解：根据题意，题中条件可以转化为，，当时，恒成立，所以在区间上是增函数，即，即，解得，当时，恒成立，所以在区间上是减函数，即，即，解得，当时，函数在上单调增，在上单调减，所以有，即，解得，综上，故选C.点睛：该题考查的是有关利用导数研究函数的综合题，最关键的一步就是对题中条件的转化，归纳出结论至关重要，之后就是利用导数研究函数的单调性，从而求得相应的最值，从而求得结果.二、填空题: 本题共4 小题，每小题5分，共20 分.13.二项式展开式中的常数项为__________．【答案】【解析】由题额意得，二项式的展开式的通项为，令，所以，所以展开式的常数项为。
2020届河北衡水金卷新高考原创考前信息试卷(三)理科数学
2020届河北衡水金卷新高考原创考前信息试卷（三）理科数学★祝考试顺利★ 注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。
4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
8、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合P={65|<<-x x }，Q={065|2≤--x x x }，则P ⋂Q=____（桃源县第四中学）A 、{61|<<-x x }B 、{61|≤≤-x x }C 、{61|<≤-x x } D 、{61|≤<-x x }答案：由已知得Q=[-1，6] P=（-5，6）故P ⋂Q=[-1，6]故选C 2.设复数z 满足3(1)z i z +=- ，则下列说法正确的是 ( ) A. z 的虚部为2i B.z 为纯虚数C. z =D. 在复平面内，z 对应的点位于第二象限答案：C 由3(1)z i z +=-得3(3)(1)1212i i i z i i -+-+-===-++，z =3.设等差数列{}n a 的前n 项的和为n S ，若5347S a =+，11a =，则6a = ( ) (桃源一中)A. 37B.16C. 13D. -9答案：B 设等差数列{}n a 的公差为d ，由5347S a =+得：115(51)54(2)72a d a d ?+=++，将11a =代入上式解得3d =，故61511516a a d =+=+=（法二：5347S a =+，又535S a =，所以37a =，由11a =得3d =， 故61511516a a d =+=+=4.如图是某市连续16日的空气质量指数趋势统计图，空气质量指数(AQI)小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染．则下列说法不正确的是 ( ) (桃源一中) A ．这16日空气重度污染的频率为0.5 B ．该市出现过连续4天空气重度污染C ．这16日的空气质量指数的中位数为203D ． 这16日的空气质量指数的平均值大于200答案：D 这16日空气重度污染的频率为80.516=故A 正确；12日，13日，14日，15日连续4天空气重度污染，故B 正确；中位数为1(192214)2032+=，故C正确；1200[(147543(43)6x =++++-+(120)(48)60(117)(40)-+-++-+-+(21)(62)14216323(8)]200-+-+++++-<，（也可根据图形判断，8个数据大于200，8个数据小于200，小于200的8个数据整体与200相差较大），故D 不正确.5.已知P 为抛物线C ：24y x =上一点，F 为C 的焦点，若4PF =，则ΔOPF 的面积为 ( ) (桃源一中)A.3 B. 3 C. 23 D.4答案：A 设00()P x y ，，抛物线的焦点(10)F ，，准线为1x =-，由抛物线的定义可知：0(1)4PF x =--=03x \=代入C 的方程得023y =?，Δ011||||123322OPF S OF y =?创=6.函数()sin()f x A x ωϕ=+的图象如图所示，将函数()f x 的图象向右平移12π个单位长度，得到)(x g y =的图像，则下列说法不正确的是 ( ) (桃源一中)A ．函数()g x 的最大值为3B ．函数()g x 关于点(0)12π，对称 C ．函数()g x 在(0)2π，上单调递增 D ．函数()g x 的最小正周期为πππ答案：B 由图可知3A =，353()41234T πππ=--=，2T πω\==，，将点5(3)12π，代入3sin(2)y x ϕ=+，得2()3πφk πk Z =-+?，故()3sin(2)3f x x π=-，右平移12π个单位长度得：()3sin[2()]3sin(2)3cos 21232πππy g x x x x ==--=-=-，故A ，C ，D 正确 ，选B7.已知向量a 与a+b 的夹角为60°，| a |=1，| b |=，则ab= ( ) (桃源一中)A.0B.2-32- D.0或32-答案：A 如图，AB a BC b AC a b ===+uu u r r uu u r r uu u r r r，，，由余弦定理：2222sin BC AB AC AB AC A =+-鬃，已知601A AB BC =?=，，，代入上式得2AC =，222AB BC AC \+=，故90B =?，即a b ^r r ，\0a b ?r r法二：设a r 与b r 的夹角为θ，由题设 ()1||cos60a a b a b ?=??r r r r r，即21||2a a b a b +?+r r r r r ，所以11||2θa b +=+r r，224(1)()4(1)θa b θ\+=+=+r r即22cos cos 0θθ+=，所以cos 0θ=或--(1)式，舍去，故0a b ?r r8.随机设置某交通路口亮红绿灯的时间，通过对路口交通情况的调查，确定相邻两次亮红灯与亮绿灯的时间之和为100秒，且一次亮红灯的时间不超过70秒，一次亮绿灯的时间不超过60秒，则亮绿灯的时间不小于亮红灯的时间的概率为 ( ) (桃源一中)A.67 B.35 C. 13 D.110答案：C 设亮绿灯的时间随机设置为t 秒，则60t £，亮红灯的时间10070t -?，所以3060t ＃，亮绿灯的时间不小于亮红灯的时间即为50t ³，由几何概型的概率公式知：6050160303P -==-9.362()x x-的展开式中的常数项为 ( ) (桃源一中)A. 240B. 180C. 60-D.80-答案：B 62)x 的通项为63262rr rC x -，所以362()x x -的展开式中的常数项为612344262x C x-和662226(1)2C x --?，又4422662224060180C C -=-=，所以362()x x-的展开式中的常数项为18010.设函数121()(1)x f x ex -=--，则不等式()(21)f x f x >+的解集为 ( ) (桃源一中)A. (10)-， B.(1)-?，- C.1(1)3-， D.1(10)(0)3-U ， 答案：D ()f x 的定义域为{|1}x x ¹，考虑函数21()xg x e x =-为偶函数，在(0,)+∞上单调递增，在(,0)-∞上单调递减，g(x)的图像向右平移1个单位得到()f x 的图像，所以函数()f x 关于x =1对称，在(,1)-∞上单调递减，在(1,)+∞上单调递增.由()(21)f x f x >+，可得1211|1||(21)1|x x x x ì¹ïïï+?íïï->+-ïïî，解得：113x -<<且0x ¹11.几何体甲与乙的三视图如右图，几何体甲的正视图和侧视图为两个全等的等腰三角形，且等腰三角形的高与几何体乙的三视图中的圆的直径相等，若几何体甲与乙的体积相等，则几何体甲的外接球的表面积与几何体乙的表面积之比为 ( ) (桃源一中) A.32 B.94 C. 49D.132+答案：B 由三视图可知甲为圆锥，乙为球，设球的半径为R ，设圆锥底面半径为r ，则圆锥高2h R =，因为甲与乙的体积相等，所以324133πR πr h =，即222R r =，2r R ∴=；设圆锥的外接球半径为1R ，则22211()R r h R =+-即222112(2)R R R R =+-，132R R ∴=，故几何体甲的外接球与几何体乙的表面积之比为2124944R R ππ=.12.已知函数2106()0x x x f x lnx x x ìïï+?ïï=íïï>ïïïî，，，()()g x f x ax =-（其中a 为常数），则下列说法中正确的个数为 ( ) (桃源一中)①函数()f x 恰有4个零点； ②对任意实数a ，函数()g x 至多有3个零点； ③若a ≤0，则函数()g x 有且仅有3个零点；④若函数()g x 有且仅有3个零点，则a 的取值范围为11( 0][ )62e-∞U ，，(桃源一中) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4答案：B 当0x £时，()f x 的图像为抛物线216y x x =+的一部分当0x >时，当0x >时，21ln ()xf x x-¢=，所以(0,)x e Î时，()0f x ¢>，()f x 单调递增，(,)x e ??时，()0f x ¢<，()f x 单调递减，画出()f x 的图像如图所示，由图可知()f x 恰有3个零点，故①不正确； 设()f x 的过原点的切线的斜率为1k ，切点为000ln (,)x P x x ，2ln 1ln ()x x x x -¢=，由022000201ln ln x k x x x k x ì-ïï=ïïïïïíïïïï=ïïïî，解得011,2x e k e == ()f x 在0x =处的切线2l 的斜率为22001111()|(2)|6662x x k x x x e==¢=+=+=<，因为()()g x f x ax =-零点个数，即函数()y f x =与y ax =的交点个数，由图可知：12a e >时，有1个交点；12a e =时，有2个交点；11[ )62a e∈，时，有3个交点；1(0 )6a ∈，时，有4个交点；(,0]a ∈-∞时，有3个交点.所以 ②不正确；③④正确.（说明：显然0x =是()g x 的零点，x ≠0时，也可转化为()f x a x=零点的个数问题，也可以画图得出答案）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡．．．中对应题号后的横线上）13.已知函数()ln(1)xf x xe x =++，则曲线()y f x =在0x =处的切线方程为__2y x =__.(桃源一中)14已知实数,x y 满足约束条件10330,10x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪+-≥⎩则=32z x y -的最小值为 -215.已知数列{}n a 的各项为正，记n S 为{}n a 的前n 项和，若2113()2nn n na a n N a a *++=?-，11a =，则5S =___121________.(桃源一中)16. 已知双曲线C:22221(0,0)x y a b a b -=>>，O 是坐标原点，F 是C 的右焦点，过F的直线与C 的两条渐近线的交点分别为,,A B 且OAB ∠为直角，记OAF ∆和OAB∆的面积分别为OAF S ∆和OAB S ∆，若13OAF OAB S S ∆∆=，则双曲线C 的离心率为答案：.3或三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（本小题12分）已知向量m (sin x =-，，n =(1cos )x ，，且函数()f x =mn .(Ⅰ)若5(0 )6πx Î，，且2()3f x =，求sin x 的值； (Ⅱ)在锐角ΔABC 中，角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，若a ，=4ΔABC的面积为 且1()sin 32πf A c B +=，求ΔABC 的周长. (桃源一中)解：(Ⅰ)()f x =mn (sin x =-，(1cos )x ×，sin x x =-2sin()3πx =-………………(2分）Q 2()3f x =，\1sin()33πx -=又5(0 )6πx Î，，( )332πππx \-?，，cos()33πx -=……………………(4分）所以111sin sin[()]3332326ππx x +=-+=??……………………(6分） (Ⅱ)因为1()sin 32πf A c B +=，所以12sin sin 2A cB =，即4sin sin A c B =由正弦定理可知4a bc =，又a =4所以bc =16 ……………………(8分）由已知ΔABC的面积1sin 2bc A =sin A =，又(0)2πA Î，\3πA =……………………(10分） 由余弦定理得222cos 1b c bc A +-=，故2232b c +=，从而2()64b c += 所以ΔABC 的周长为12……………………(12分） 18．（本小题12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是直角梯形，AD BC ∥，AB AD ⊥，22AD BC AB ==，O 是AD 的中点． (Ⅰ)在线段PA 上找一点E ，使得BE ∥平面PCD ，并证明；(Ⅱ)在(1)的条件下，若2PA PD AD ===，求平面OBE 与平面POC 所成的锐二面角的余弦值．(桃源一中)解：(Ⅰ)E 是线段PA 的中点，……………………(1分） 证明：连接BE ，OE ，OB ，∵O 是AD 的中点，∴OE PD ∥，又OE ⊄平面PCD ，PD ⊂平面PCD ，∴OE ∥平面PCD ，……………………(3分）又∵底面ABCD 是直角梯形，22AD BC AB ==，∴OB CD ∥，又OB ⊄平面PCD ，CD ⊂平面PCD ，∴OB ∥平面PCD ，……………………(4分）∵OE ⊂平面OBE ，OB ⊂平面OBE ，OE OB O =I ， ∴平面OBE ∥平面PCD ，又BE ⊂平面OBE ，∴BE ∥平面PCD ．……………………(6分） （也可通过线线平行来证明线面平行）(Ⅱ)∵平面PAD ⊥平面ABCD ，2PA PD AD ===，∴PO AD ⊥，∴PO ⊥平面ABCD ，且1OC =，3PO =，以O 为原点，如图建立空间直角坐标系O xyz -，……………………(8分）得()0,0,0O ，()1,1,0B -，()0,0,3P ，()1,0,0C ，130,,22E ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，得130,,22OE ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭u u u r ，()1,1,0OB =-u u u r ，设(),,m x y z =u r是平面OBE 的一个法向量，则m OE m OB⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩u r u u u r u r u u u r ，得300y z x y ⎧-+=⎪⎨-=⎪⎩，取3x =，得()3,3,1m =u r，……………………(10分）又易知()0,1,0n =r是平面POC 的一个法向量，设平面OBE 与平面POC 所成的锐二面角为θ，则cos cos ,7m n m n m nθ⋅====⋅u r r u r r u r r ， 即平面OBE 与平面POC所成的锐二面角的余弦值为7．……………………(12分）19．（本小题12分）随着快递行业的崛起，中国快递业务量惊人，2018年中国快递量世界第一，已连续五年突破五百亿件，完全超越美日欧的总和，稳居世界第一名．某快递公司收取费的标准是：不超过1kg 的包裹收费8元；超过1kg 的包裹，在8元的基础上，每超过1kg(不足1kg ，按1kg 计算)需再收4元．该公司将最近承揽(接收并发送)的100件包裹的质量及件数统计如下(表1)：表1：公司对近50天每天承揽包裹的件数(在表2中的“件数范围”内取的一个近似数据)、件数范围及天数，列表如下(表2)：(Ⅰ)将频率视为概率，计算该公司未来3天内恰有1天揽件数在(100，300]内的概率； (Ⅱ) ①根据表1中最近100件包裹的质量统计，估计该公司对承揽的每件包裹收取快递费的平均值：②根据以上统计数据，公司将快递费的三分之一作为前台工作人员的工资和公司利润，其余用作其他费用．目前，前台有工作人员5人，每人每天揽件数不超过100件，日工资80元．公司正在考虑是否将前台人员裁减1人，试计算裁员前、后公司每天揽件数的数学期望；若你是公司决策者，根据公司每天所获利润的期望值，决定是否裁减前台工作人员1人? (桃源一中)解：(Ⅰ)将频率视为概率，样本中包裹件数在(100，300]内的天数为102535+=，频率为3575010f ==，故该公司1天揽件数在(100，300]内的概率为710………(2分）未来3天包裹件数在(100，300]内的天数X 服从二项分布，即7(3 )10X B :， 所以未来3天内恰有1天揽件数在[100，299]内的概率为：12373189()()10101000P C ==………(5分）(Ⅱ) ①由题 可知，样本中包裹质量（kg)、快递费（元）、包裹件数如下表所示：所以每件包裹收取快递费的平均值为 ()14383012151682042412100⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=………(7分） ②根据题意及①，揽件数每增加1，公司快递收入增加12（元）若不裁员，则每天可揽件的上限为500件，公司每日揽件数情况如下：E(Y)=50×0.1+150×0.2+250×0.5+350×0.1+450×0.1=240∴公司每日利润的期望值为1240125805603⨯⨯-⨯=元………(9分） 若裁员1人，则每天可揽件的上限为400件，公司每日揽件数情况如下： E(Y)=50×0.1+150×0.2+250×0.5+350×0.1+400×0.1=235∴公司每日利润的期望值为1235124806203⨯⨯-⨯=元………(11分） 因为560<620 ，所以公司应将前台工作人员裁员1人．………(12分）20.有一种曲线画图工具如图1所示．是滑槽的中点，短杆ON 可绕O 转动，长杆MN 通过N 处铰链与ON 连接，MN 上的栓子D 可沿滑槽AB 滑动，且21==ON DN ，1=DM ．当栓子D 在滑槽AB 内作往复运动时，带动N 绕转动，M 处的笔尖画出的曲线记为C ．以为原点，所在的直线为轴建立如图2所示的平面直角坐标系．快递费（元）8 12 16 20 24 包裹件数43301584件数范围 (0，100] (100,200] (200,300] (300，400] (400，500] 天数 5 10 25 5 5 每天承揽包裹的 件数Y50 150 250 350 450 概率P 0.1 0.2 0.5 0.1 0.1 件数范围 (0，100] (100，200] (200，300] (300，400] (400，500] 天数 5 10 25 5 5 每天承揽包裹 的件数Y50 150 250 350 400 概率P 0.1 0.2 0.5 0.1 0.1（Ⅰ）求曲线C 的轨迹方程；（2)设2F 为曲线C 的右焦点，P 为曲线C 上一动点，直线2PF 斜率为)0(≠k k ，且2PF 与曲线C 的另一个交点为Q ，是否存在点),0(t T ，使得TQP TPQ ∠=∠,若存在，求t 的取值范围；若不存在，请说明理由.（芷兰实验学校谌兴明供题）解（1）设),(y x M 则）（0,2x D ，则1)2(22=+-y x x 及1422=+y x 5'Λ（2）设直线PQ 的方程为(3)y k x =，将(3)y k x =代入2214x y +=，得()222214831240k x k x k +-+-=；设()()1122,,,P x y Q x y ，线段PQ 的中点为()00,N x y ，(2121200022433,3214214x x y y k kx y k x k k ++-=====++， 即2433k k N -⎝⎭8'Λ因为TQP TPQ ∠=∠所以直线TN 为线段PQ 的垂直平分线，所以TN PQ ⊥，则·1TN PQ k k =-， 所以33334k t k k==+01'Λ2341143ktk k k --+=-当0k >时，因为144k k +≥，所以0,4t ⎛∈ ⎝⎦，当k 0<时，因为144k k +≤-，所以,04t ⎡⎫∈-⎪⎢⎪⎣⎭.综上，存在点T ，使得||TP TQ =，且t 的取值范围为⎡⎫⎛⋃⎪ ⎢⎪ ⎣⎭⎝⎦21'Λ21．（本小题12分）已知函数()(ln )x f x xe a x x =-+，其中 2.71828e =L 为自然对数的底数.（1）若()1f x ≥，求实数a 的值； （2）证明：2(2ln )2(1sin )x x e x x x >+--.（常德市一中） 解：（1）法一：当0a ≤时，111()(ln )1222h a a =-+=-<与()1f x ≥恒成立矛盾，不合题意；当0a >时，(1)()'()x x xe a f x x+-=，令()x x a h e x =-，则'()(1)0x h x x e =+>，所以()h x 在(0,)+∞上递增，又(0)0h a =-<，()(1)0a a h a ae a a e =-=-> 故存在0(0,)x ∈+∞，使0()0h x =，且00x x e a =，00l n n l x x a =+当0(0,)x x ∈时，()0h x <，'()0f x <，()f x 递减， 当0(,)x x ∈+∞时，()0h x >，'()0f x >，()f x 递增 所以0min 0000()())n n l (l x e a a a f x f x x a x x ==-=-+故()1f x ≥，即ln 10a a a --≥，令()ln 1a a a a ϕ=--， 则'()ln a a ϕ=-，知()a ϕ在(0,1)上递增，在(1,)+∞上递减， 所以max ()(1)0a ϕϕ==，要使()ln 10a a a a ϕ=--≥，当且仅当1a = 综上，实数a 的值为1法二：ln ()(ln )(ln )x x x f x xe a x x e a x x +=-+=-+，令ln ,t x x t R =+∈ 则()1f x ≥等价于10t e at --≥，对任意t R ∈恒成立，令()1t h t e at =--， 当0a <时，10()220ah t e e =-<-<与()0h t ≥恒成立矛盾，不合题意；当0a =时，()1t h t e =-，11(1)110h e e--=-=-<与()0h t ≥恒成立矛盾，不合题意； 当0a >时，'()t a h t e =-，()h t 在(,ln )a -∞上递减，在(ln ,)a +∞上递增，所以()h t 的最小值为(ln )ln 1h a a a a =--令()ln 1a a a a ϕ=--，则'()ln a a ϕ=-，知()a ϕ在(0,1)上递增，在(1,)+∞上递减， 所以max ()(1)0a ϕϕ==，要使()ln 10a a a a ϕ=--≥，当且仅当1a = （2）由（1）知，当1a =时，ln 1x xe x x --≥，即ln 1x xe x x ≥++， 所以22ln x x e x x x x ≥++，下面证明2ln (2ln )2(1sin )x x x x x x x ++>+--，即证：222sin 0x x x -+-> 令2()22sin g x x x x =-+-，'()212cos g x x x =--当01x <≤时，显然'()g x 单调递增，'()'(1)12cos112cos 03g x g π≤=-<-=，所以()g x 在(0,1]上单调递减，()(1)22sin10g x g ≥=->， 当1x >时，显然2,22sin 0x x x ->-≥，即()0g x >故对一切(0,)x ∈+∞，都有()0g x >，即2ln (2ln )2(1sin )x x x x x x x ++>+-- 故原不等式2(2ln )2(1sin )x x e x x x >+--成立22．(本小题满分10分)在平面直角坐标系xOy 中，直线1C ：10x y +-=，曲线 2C ：⎩⎨⎧+==ϕϕsin 1cos a y a x (ϕ为参数,0>a )，以坐标原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系.(Ⅰ)说明2C 是哪一种曲线，并将2C 的方程化为极坐标方程.(Ⅱ)曲线3C 的极坐标方程为0θα=(0>ρ)，其中0tan 2α=，0(0)2παÎ，，且曲线 3C 分别交1C ，2C 于点A ，B两点，若3OB OA =，求a 的值. (桃源一中)解：(Ⅰ) 由⎩⎨⎧+==ϕϕsin 1cos a y a x 消去参数ϕ得：2C 的普通方程为222)1(a y x =-+，……………………（2分）则2C 是以)10(，为圆心，a 为半径的圆. ……………………（3分）∵θρθρsin ,cos ==y x ，∴2C 的极坐标方程为222)1sin ()cos (a =-+θρθρ，即2C 的极坐标方程为01sin 222=-+-a θρρ，……………………（5分）(Ⅱ)曲线3C 极坐标方程为0θα=(0>ρ)，0tan 2α=，且0sin α=所以曲线3C 的直角坐标方程为2y x =)0(>x由102x y y x ì+-=ïïíï=ïî解得：1323x y ìïï=ïïíïï=ïïïî，12()33A \，……………………（7分）OA \=，OB \=8分）故点B的极坐标为0)α，代入01sin 222=-+-a θρρ得a =10分）23．(本小题满分10分) [选修4-5：不等式选讲] 设函数()|||1|f x x a x =+++.(I)若1a =-，求不等式()3f x ≤的解集;(II)已知关于x 的不等式()|2|6f x x x ++≤+在[]1,1x ∈-上恒成立，求实数a 的取值范围.解：( I) 1a =-时，21()|1||1|21121x x f x x x x x x -<-⎧⎪=-++=-≤≤⎨⎪>⎩，由()3f x ≤得不等式的解集为3322x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭. …………(5分)(II)由题知|||1||2|6x a x x x +++++≤+在[]1,1x ∈-上恒成立，且当[]1,1x ∈-时，|1|1,|2|2x x x x +=++=+，||3x a x ∴+≤-，33x a x x ∴-≤+≤-，332a x ∴-≤≤-， …………(7分)又函数32y x =-在[]1,1x ∈-上的最小值为1，31a ∴-≤≤，即a 的取值范围是[]3,1-. …………(10分)。
2020届河北衡水金卷新高考原创考前信息试卷(二十)理科数学
2020届河北衡水金卷新高考原创考前信息试卷（二十）理科数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
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用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
6、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
7、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
8、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、选择题:本大题共12小题，每小题5分,共60分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.在复平面内,复数1i i +对应的点位于( ) A.第一象限 B.第二象限C.第三象限D.第四象限 2.已知集合A=2{1,2,3},{|40},B x x x m =++=若A∩B={1} ,则B=( )A.{1,3}B. {1,-3}C. {1,5}D. {1,-5}3.已知某地区初中水平及以上的学生人数如图所示.为了解该地区学生对新型冠状病毒的了解程度，拟采用分层抽样的方法来进行调查。
若高中生需抽取的20名学生，则抽取的学生总人数为（ ）A.40B.60C.120D.3604.在△ABC 中,AB c AC b ==u u u r u u u r ,若点D 满足1,2BD DC =u u u r u u u r 则AD =u u u r () 12.33A b c + 21.33B b c + 41.33C b c - 11.22D b c + 5.圆2266x y x y +=+上到直线x +y-2 =0的距离为1的点的个数为( )A.1B.2C.3D.4 6.已知函数f(x)是定义在R 上的偶函数,在区间(0, +∞)上单调递增,且f( -1) =0,则(21)()0x f x -⋅>的解集为( )A.(-∞，-1) ∪(1, +∞)B.( -1,0)∪(0,1)C.( -∞,-1)∪(0,1)D.( -1,0)∪(1, +∞)7.已知关于x 的方程sinx + cosx = a 在区间[0,2π]恰有两个根α ,β,则sin(α +β) +cos(α +β)=()A.1B. -1C.1或-1D.2a8.某几何体的三视图如图所示(单位:cm)，则该几何体的体积(单位:cm³ )是( )1.6A 31.B 1.2C 5.6D 9.一个球从h 米高处自由落下，每次着地后又跳回到原高度的一半再落下,当它第10次着地时,全程共经过( )米8.2h A 9.2h B 8.32h C h - 9.32h D h - 2510.(2)x x y ++的展开式中,25x y 的系数为( )A.30B.40C.60D.12011.已知双曲线2222:1(30)x y C b a a b-=>>的左右焦点分别为12,F F ,3的直线过点2F 且交C 于A,B 两点.若212||2||BF F F =,则C 的离心率为( )32.2A 27B + .25C + .23D +12.已知三次函数322()3(3x f x ax a x b a =+-+>0)有两个零点,若方程)0[(]f x f '=有四个实数根,则实数a 的范围为( )AB)C +∞D 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分。
2020年衡水中学高三冲刺联考理科数学试题(含答案和解析)
2020 届高三冲刺联考理数试卷本试卷共4页忆3题（含选考题）。
全卷满分150分α考试用时120分钟。
注章事项：1.答题前，先将自己的姓名、考号等填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.选择题的作答：每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑A写在试题卷、草鵠纸和答題卡上的非答题区域均无效。
3.填空题和解答題的作答：用签字笔直按写在答题卡上对应的答题区域内。
写柱试翹卷、草犒维和咎题卡上的非答题区域均无效。
4.选考题的作答;先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。
答案写在答题卡上对应的答题区域内•写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
5.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交©第I卷一•选择题；本题共12小题■每小题5分■在毎小题给出的四个选项中■只有一项是符合题目要求的O1∙设集合A={^∣r x-62r-7<0）,B=⅛∣∣Λ~l∣>2）,ra⅛合AnB=A. {工13VGV7} E —7VzV — 1} C. {玄| —IVHV3} D. {□r∣—3V工V1}2.设复数上满足^ = i（L为虚数单位），则∕z =A. i B< —i C. 1 D e-L3.平行四边形ABCD中，E是AE的中点tBF=2FC,若E?=M AB+nAD，则w + n=A∙⅜κτc⅜D-I4.法国数学家加斯帕尔•蒙日发现占椭圆≤÷^ = 1G>6>O）相切的两条垂直切线的交点轨迹为r2+√ = d z÷6≡,这个阿亦被称为蒙日@1.现将质点F随机投人椭RC≡y + y= 1所对应的蒙日岡内’则质点落在椭圆外部的概率为（附:椭圆£+石=1的面积公式为S=如A嫗 B — C 1 —呃 D 1 —嫗A. §比3 J 丄9 U'1 35・已知斜三角形AliC中，角A、F、C所对的边分别为a、b、_若α = 4,C=60°,6GN∙,且b满足e fi+ δ-10<0（e=2,7L828-）,Irl C=A. 2√3B. √13C.2√2 或庾D.√56•如图，已⅛ΘO^z÷y=2与工轴的正半轴交于点A,与曲线CQ=辰交于第一象限的点B, 则阴影部分的面积为离三大联考•理数第1页（共4页）D∙τ÷τS 1 已知一5CGS (X +^9) = 3Sin Λ*+4COS Jr ■对 xζ R 恒成立'则 SinA 4 + 3^3" r > 3^3—4八 4—3T -I _ 4 + 3^3"A ∙F ~,B ・F -Cp-D• ~10.过双曲线y-√ = 1的右焦点F,作倾斜角为砒的直线Z,交双曲线的渐近线于点A 、B(其 中A 在第一象限)，0为坐标原点，则笑竺=-5ΔΛΛftA 丄B 逕C 丄D 丄入 4 D 3 J 2 U3 11■.如图•正方体ABCD- A l B l C l D I 中，E 是棱AAJ 的中点，若三棱锥⅛E-BBlD 外按球的半径R 等于晋，则正方体ABCD-A l B I C I D l 勺的棱长为A,l C. 2√21/定义矩阵的运算如下：R ,总存在非零常数T ■使得OQ+Q=卩③若存在直线V=M 与力Q)的图象无公共 点,且使的图象位于直线两側，此直线即称为函数力⑺〉的分界编则八工)的分界线的 斜率的取值范围是(e z ,+oo)5④函数ra)=fCr) — SinM 的零点有无数个• A.①③④ B ①②④ C∙②③ D.①④第］!卷本卷包括必考题和选考題两部分。
2020届河北衡水金卷新高考押题仿真模拟(二)理科数学
2020届河北衡水金卷新高考押题仿真模拟（二）理科数学★祝你考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考考查范围。
2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
4、主观题的作答：用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非主观题答题区域的答案一律无效。
5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
6、保持卡面清洁，不折叠，不破损。
7、本科目考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.设全集U =R ，集合{}1,0,1,2A =-，{}2|log 1B x x =<，则()U A B ⋂=ð（ ） A. {}1,2 B. {}1,0,2-C. {}2D. {}1,0-【答案】B 【解析】由题意得{}{}2|log 1|02B x x x x =<=<<， ∴{}|02U B x x x =≤≥或ð， ∴()={1,0,2}U A B ⋂-ð．选B ． 2.设复数()21,11iz f x x x i-==-++，则()(f z = ) A. i B. i -C. 1i -+D. 1i +【答案】A 【解析】【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，代入函数解析式求解． 【详解】解：21(1)1(1)(1)i i z i i i i --===-++-Q ， 2()()()1f i i i i ∴-=---+=． 故选A ．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，属于基础题． 3.“∀x ∈R ，x 2﹣bx +1＞0成立”是“b ∈[0，1]”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数的性质求出“∀x ∈R ，x 2﹣bx +1＞0成立”的等价条件，再根据集合的包含关系判断即可. 【详解】解：若“∀x ∈R ，x 2﹣bx +1＞0成立”， 则240b ∆=-<，解得：22b -<<，故“∀x ∈R ，x 2﹣bx +1＞0成立”是“b ∈[0，1]”的必要不充分条件， 故选：B.【点睛】本题考查了充分性和必要性的判断以及二次不等式恒成立问题，是一道基础题. 4.已知函数()sin()(0)6f x x πωω=+>最小正周期为4π，则（ ）A. 函数f （x ）的图象关于原点对称B. 函数f （x ）的图象关于直线3x π=对称C. 函数f （x ）图象上的所有点向右平移3π个单位长度后，所得的图象关于原点对称 D. 函数f （x ）在区间（0，π）上单调递增 【答案】C 【解析】分析：函数()sin (0)6f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的最小正周期为4π，求出ω，可得()f x 的解析式，对各选项进行判断即可.详解：函数()sin (0)6f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的最小正周期为4π， 24ππω∴=， 12ω∴=， ()1sin 26f x x π⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭，由对称中心横坐标方程：1,26x k k Z ππ+=∈， 可得23x k ππ=-，∴A 不正确；由对称轴方程：1,262x k k Z πππ+=+∈， 可得22,3x k k Z ππ=+∈， ∴B 不正确；函数f （x ）图象上的所有点向右平移3π个单位，可得：1sin sin 2236x x ππ⎡⎤⎛⎫-+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，图象关于原点对称， ∴C 正确；令122,2262k x k k Z πππππ-+≤+≤+∈，可得：4244,33k x k k Z ππππ-+≤≤+∈， ∴函数f （x ）在区间（0，π）上不是单调递增，∴D 不正确；故选C.点睛：本题主要考查对三角函数的化简能力和三角函数的图象和性质的运用，注意图象变换时的伸缩、平移总是针对自变量x 而言，而不是看角ωx ＋φ的变化．5.当实数x 、y 满足不等式组0022x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩时，恒有ax +y ≤3成立，则实数a 的取值范围为（ ）A. a ≤0B. a ≥0C. 0≤a ≤2D. a ≤3【答案】D 【解析】 【分析】画出满足约束条件 0022x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩的平面区域，求出各个角点的坐标，根据对任意的实数,x y ，不等式ax +y ≤3恒成立，构造关于a 的不等式组，即可得到a 的取值范围.【详解】解：满足约束条件0022x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩的平面区域如下图所示，由于对任意的实数,x y ，不等式ax +y ≤3恒成立， 数形结合，可得斜率0a -≥或30301AB a k --≥==--， 解得3a ≤. 故选：D.【点睛】本题考查的知识点是简单线性规划，其中根据约束条件，画出满足约束条件的可行域，是解答此类问题的关键.6.函数f （x ）＝a 21x -（a ＞1）的部分图象大致是（ ）A. B. C. D.【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，分析可得()f x 为偶函数，据此排除AB ，设21t x =-，利用换元法分析可得0()f x a <≤，据此排除D ，即可得答案.【详解】解：根据题意，f （x ）＝a 21x -，有()()f x f x =-，即函数为偶函数，据此排除AB ，设21t x =-，有1t ≤，又由1a >，则有0()f x a <≤，当0x =时，取得最大值，排除D ， 故选：C.【点睛】本题考查函数的图象分析，涉及指数函数的性质，属于基础题.7.中国古代儒家要求学生掌握六种基本才艺：礼、乐、射、御、书、数，简称“六艺”,某高中学校为弘扬“六艺”的传统文化，分别进行了主题为“礼、乐、射、御、书、数”六场传统文化知识竞赛，现有甲、乙、丙三位选手进入了前三名的最后角逐,规定：每场知识竞赛前三名的得分都分别为,,a b c ()a b c >>且,,a b c N *∈；选手最后得分为各场得分之和，在六场比赛后，已知甲最后得分为26分，乙和丙最后得分都是11分，且乙在其中一场比赛中获得第一名，下列说法正确的是( ) A. 乙有四场比赛获得第三名 B. 每场比赛第一名得分a 为4 C. 甲可能有一场比赛获得第二名 D. 丙可能有一场比赛获得第一名 【答案】A 【解析】 【分析】先计算总分，推断出5a =，再根据正整数把,,a b c 计算出来，最后推断出每个人的得分情况，得到答案.【详解】由题可知()626111148a b c ++⨯=++=,且,,a b c 都是正整数=8a b c ++当4a ≤时，甲最多可以得到24分，不符合题意 当6a ≥时，2b c +≤，不满足 推断出，a=5, b=2, c=1 最后得出结论:甲5个项目得第一,1个项目得第三乙1个项目得第一,1个项目得第二，4个项目得第三 丙5个项目得第二,1个项目得第三, 所以A 选项是正确的.【点睛】本题考查了逻辑推理,通过大小关系首先确定a 的值是解题的关键,意在考查学生的逻辑推断能力. 8.如图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积是( )A. 8B. 4C.83D.163【答案】C 【解析】 【分析】画出几何体的直观图，利用正方体的棱长，转化求解几何体的体积即可． 【详解】由题意可知几何体的直观图如图： 是正方体的一部分，正方体的棱长为2， 几何体的体积为：23﹣4118222323⨯⨯⨯⨯⨯=． 故选C ．【点睛】本题考查由三视图求解几何体的体积，考查空间想象能力以及计算能力．9.在C ∆AB 中，三个内角A ，B ，C 所对的边为a ，b ，c ，若C 23S ∆AB =，6a b +=，cos cos 2cosC a b cB +A=，则c =（ ）A. 27B. 23C. 4D. 33【答案】B 【解析】试题分析：运用正弦定理和两角和的正弦公式和诱导公式，化简可得角C ，再由面积公式和余弦定理，计算即可得到c 的值．()()12160sin A B acosB bcosA sinAcosB sinBcosA cosC C c sinC sin A B +++===∴=∴=︒+Q，，，若C 23S ∆AB =，则222212386222absinC ab a b c a b abcosC a b ab ab =∴=+=∴=+-=+--Q ，，，（） 2236381223a b ab c =+-=-⨯=∴=（），B ．考点：正弦定理、余弦定理和面积公式的运用10.双曲线C ：2242x y -=1的右焦点为F ，点P 在C 的一条渐近线上，O 为坐标原点，若=PO PF ，则△PFO的面积为 A.324B.322C. 2D. 32【答案】A 【解析】 【分析】本题考查以双曲线为载体的三角形面积的求法，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养．采取公式法，利用数形结合、转化与化归和方程思想解题．【详解】由2,,,a b c====．,2PPO PF x=∴=Q，又P在C的一条渐近线上，不妨设为在2y x=上，112224PFO PS OF y∴=⋅==△，故选A．【点睛】忽视圆锥曲线方程和两点间的距离公式的联系导致求解不畅，采取列方程组的方式解出三角形的高，便可求三角形面积．11.若1(1)nxx++的展开式中各项的系数之和为81，则分别在区间[0,]π和[0,]4n内任取两个实数x，y，满足siny x>的概率为（）A.11π- B.21π- C.31π- D.12【答案】B【解析】令1x=，可得381,4n n==，则[][]0,,0,1x yπ∈∈，点(),x y所在区域为矩形，面积为Sπ=，满足siny x<的区域面积'sin cos|2S x xππ==-=⎰，所以满足siny x>的区域面积12Sπ=-，满足siny x>的概率为221πππ-=-，故选B.12.定义：如果函数()y f x=在区间[],a b上存在()1212,x x a x x b<<<，满足()()()'1f b f af xb a-=-，()()()'2f b f af xb a-=-，则称函数()y f x=是在区间[],a b上的一个双中值函数，已知函数()3265f x x x=-是区间[]0,t上的双中值函数，则实数t的取值范围是（）A. 36,55⎛⎫⎪⎝⎭B.26,55⎛⎫⎪⎝⎭C. 23,55⎛⎫⎪⎝⎭D. 61,5⎛⎫⎪⎝⎭【答案】A 【解析】【详解】()()322612,355f x x x f x x x =-∴=-'Q ， ∵函数()3265f x x x =-是区间[]0,t 上的双中值函数，∴区间[]0,t 上存在12120x x x x t ，（＜＜＜）， 满足()()21206()()5f t f f x f x t t t''--＝＝＝， ∴方程22126355x x t t -=-在区间[]0,t 有两个不相等的解， 令221263055g x x x t t x t =--+≤Q （），（＜），则()()222212612()05520560056205t t t g t t g t t t ⎧⎛⎫∆---+⎪ ⎪⎝⎭⎪⎪<<⎪⎪⎪-+⎨⎪⎪-⎪⎪⎪⎪⎩＝＞＝＞＝＞，解得63 55t ＜＜，∴实数t 的取值范围是36,55⎛⎫ ⎪⎝⎭.故选:A ．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13.已知向量a =r （3，4），则与a r反向的单位向量为_____【答案】3455⎛⎫-- ⎪⎝⎭，【解析】 【分析】根据向量共线的定义进行求解即可.【详解】解：设与a r 反向的单位向量为,0b xa x =<rr， 则||||||b x a =rr， 即15||x =，则1||5x =， 则15x =-，即1134(3,4),5555b a ⎛⎫=-=-=-- ⎪⎝⎭r r ；故答案为：3455⎛⎫-- ⎪⎝⎭，. 【点睛】本题主要考查向量坐标的计算，根据向量共线的条件，利用共线定理建立方程关系是解决本题的关键.14.设△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若△ABC222C ＝_____．【答案】6π 【解析】 【分析】利用面积公式，余弦定理即可求解.【详解】解：2221sin 2S ab C ==，222cos 2a b c C ab +-=，cos ,tan C C C ∴==0,6C C ππ<<∴=Q ，故答案为：6π. 【点睛】本题考查余弦定理，三角形的面积公式，属于基础题.15.已知曲线32()3f x x =在点()1,(1)f 处的切线的倾斜角为α，则222sin cos 2sin cos cos ααααα-+的值为__________．【答案】35【解析】 【分析】根据导数的几何意义求出tan 2α=，然后将所给齐次式转化为只含有tan α的形式后求解即可． 【详解】由()323f x x =得()22f x x '=， ∴()12f '=，故tan 2α=．∴2222212132212215sin cos tan sin cos cos tan ααααααα---===++⨯+． 故答案为35． 【点睛】本题以对数的几何意义为载体考查三角求值，对于含有sin ,cos αα的齐次式的求值问题，一般利用同角三角函数关系式转化为关于tan α的形式后再求解，这是解答此类问题时的常用方法，属于基础题． 16.已知两个集合A ，B ，满足B ⊆A ．若对任意的x ∈A ，存在a i ，a j ∈B （i≠j ）， 使得x=λ1a i +λ2a j （λ1，λ2∈{﹣1，0，1}），则称B 为A 的一个基集．若A={1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}，则其基集B 元素个数的最小值是__ 【答案】4 【解析】设B 中元素a 1<a 2<…<a n ,且a i ≤a j ,则1·a i +0·a j 有n 种,1·a i +1·a j 有n 种,1·a i -1·a j 有2C n 种,-1·a i +1·a j 有2C n 种, ∴n+n+2C n +2C n ≥10,∴n 2+n≥10,∴n≥3, n=3时,共12种,最多不符合题意两种, 设B={a 1,a 2,a 3},a 1<a 2<a 3,则2a 3≥10,2a 2≤10, ∴a 3≥5,a 2≤5. a 3=5时,a 3+a 2=9,∴a 2=4,a 3+a 1=7或a 2+a 1=7,∴a 1=2或3,∴B={5,4,3}(舍),B={5,4,2}(舍); a 3=6时,若a 2=5,则a 3+a 1=7或a 2+a 1=7, ∴a 1=1或2,B={6,5,2}(舍),B={6,5,1}(舍), 若a 2=4,则a 1+a 3=9,∴B={6,4,3}(舍);a 3=7时,a 1+a 3≤10,a 1≤3,a 1=3时,3<a 2≤5无法构成9,a 1=2时,a 2+a 3=10或2a 2=10, ∴a 2=3或5,B={7,5,2}(舍),B={7,3,2}(舍).a 1=1时,a 2+a 3=10或2a 2=10,a 2=3或5,B={7,5,1}(舍),B={7,3,1}(舍); a 3=8时,a 1+a 8≤10,∴a 1=1或2,a 1=1时,a 2+a 3=10或2a 2=10, ∴a 2=2或5,B={8,5,1}(舍),B={8,2,1}(舍),a 1=2时,2<a 1<5,无法构成9;a 3=9时,a 1=1,1<a 2≤5,无法构成7; a 3=10时,2a 3>10,a 3+a 2>10,a 3+a 1>10,不是10个数.∴n=3时不成立.n=4时,B={9,6,4,1}或B={9,7,4,1}或B={8,5,2,1},合理即可.三、解答題：本大题共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（一）必考题：共60分17.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 4＝9，S 3＝15. （1）求S n ；（2）设数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为T n ，证明：34n T ＜.【答案】（1）()2n S n n =+；（2）见解析 【解析】 【分析】（1）利用等差数列的通项公式与求和公式即可得出. （2）利用裂项求和方法即可得出.【详解】（1）解：S 3＝3a 2＝15⇒a 2＝5，∴4222a a d -==， ∴a n ＝2n +1，()32122n n S n n n ++=⋅=+； （2）证明：()111111111111132422324352n T n n n n ⎛⎫=+++=-+-+-++- ⎪⨯⨯++⎝⎭L L 1111311131221242124n n n n ⎛⎫⎛⎫=+--=-+ ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭＜. 【点睛】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式、裂项求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.18.如图，在平行六面体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝A 1D ，AB ＝BC ，∠ABC ＝120°.（1）证明：AD⊥BA1；（2）若平面ADD1A1⊥平面ABCD，且A1D＝AB，求直线BA1与平面A1B1CD所成角的正弦值.【答案】（1）见解析（2）10 5【解析】【分析】（1）取AD中点O，连接OB，OA1，BD，推导出AD⊥OA1，△ABD是等边三角形，从而AD⊥OB，进而AD⊥平面A1OB，由此能证明AD⊥BA1.（2）推导出OA、OA1、OB两两垂直，以O为坐标原点，分别以OA、OB、OA1所在射线为x、y、z轴建立空间直角坐标系O−xyz，利用向量法能求出直线BA1与平面A1B1CD所成角的正弦值.【详解】证明：（1）取AD中点O，连接OB，OA1，BD，∵AA1＝A1D，∴AD⊥OA1，又∠ABC＝120°，AD＝AB，∴△ABD是等边三角形，∴AD⊥OB，∴AD⊥平面A1OB，∵A1B⊂平面A1OB，∴AD⊥A1B.（2）∵平面ADD1A1⊥平面ABCD，平面ADD1A1∩平面ABCD＝AD，又A 1O ⊥AD ，∴A 1O ⊥平面ABCD ，∴OA 、OA 1、OB 两两垂直，以O 为坐标原点，分别以OA 、OB 、OA 1所在射线为x 、y 、z 轴建立如图空间直角坐标系O ﹣xyz ，设AB ＝AD ＝A 1D ＝2，则A （1，0，0），()1003A ，，，()030B ，，，D （﹣1，0，0），.则()1103DA =u u u u r ，，，()130DC AB ==-u u u r u u u r ，，，()1033BA =-u u u r，，， 设平面A 1B 1CD 的法向量()n x y z r，，=则13030n CD x y n DA x z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=+=⎪⎩u u u v r u u u u v r ，令3x =，则y ＝1，z ＝﹣1，可取()311n =-r ，，，设直线BA 1与平面A 1B 1CD 所成角为θ，则1113310sin cos 56n BA n BA n BA θ--⋅====⋅u u u r r u u u r ru u u r r ＜，＞.∴直线BA 1与平面A 1B 1CD 所成角的正弦值为105. 【点睛】本题考查线线垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题.19.改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变．近年来，移动支付已成为主要支付方式之一．为了解某校学生上个月A ，B 两种移动支付方式的使用情况，从全校学生中随机抽取了100人，发现样本中A ，B 两种支付方式都不使用的有5人，样本中仅使用A 和仅使用B 的学生的支付金额分布情况如下：交付金额（元） 支付方式（0,1000]（1000,2000]大于2000（Ⅰ）从全校学生中随机抽取1人，估计该学生上个月A ，B 两种支付方式都使用的概率；（Ⅱ）从样本仅使用A 和仅使用B 的学生中各随机抽取1人，以X 表示这2人中上个月支付金额大于1000元的人数，求X 的分布列和数学期望；（Ⅲ）已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化．现从样本仅使用A 的学生中，随机抽查3人，发现他们本月的支付金额都大于2000元．根据抽查结果，能否认为样本仅使用A 的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化？说明理由． 【答案】(Ⅰ) 25； (Ⅱ)见解析； (Ⅲ)见解析. 【解析】 【分析】(Ⅰ)由题意利用古典概型计算公式可得满足题意的概率值；(Ⅱ)首先确定X 可能的取值，然后求得相应的概率值可得分布列，最后求解数学期望即可. (Ⅲ)由题意结合概率的定义给出结论即可.【详解】(Ⅰ)由题意可知，两种支付方式都是用的人数为：1003025540---=人，则： 该学生上个月A ，B 两种支付方式都使用的概率4021005p ==. (Ⅱ)由题意可知，仅使用A 支付方法的学生中，金额不大于1000的人数占35，金额大于1000的人数占25， 仅使用B 支付方法的学生中，金额不大于1000的人数占25，金额大于1000的人数占35，且X 可能的取值为0,1,2.()32605525p X ==⨯=，()22321315525p X ⎛⎫⎛⎫==+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()32625525p X ==⨯=，X 的分布列为：其数学期望：()61360121252525E X =⨯+⨯+⨯=. (Ⅲ)我们不认为样本仅使用A 的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化.理由如下：随机事件在一次随机实验中是否发生是随机的，是不能预知的，随着试验次数的增多，频率越来越稳定于概率．学校是一个相对消费稳定的地方，每个学生根据自己的实际情况每个月的消费应该相对固定，出现题中这种现象可能是发生了“小概率事件”.【点睛】本题以支付方式相关调查来设置问题，考查概率统计在生活中的应用，考查概率的定义和分布列的应用，使学生体会到数学与现实生活息息相关.20.已知直线x ＝﹣2上有一动点Q ，过点Q 作直线l ，垂直于y 轴，动点P 在l 1上，且满足OP OQ 0⋅=u u u r u u u r(O为坐标原点)，记点P 的轨迹为C ． （1）求曲线C 的方程； （2）已知定点M(12-，0)，N (12，0)，点A 为曲线C 上一点，直线AM 交曲线C 于另一点B ，且点A 在线段MB 上，直线AN 交曲线C 于另一点D ，求△MBD 的内切圆半径r 的取值范围．【答案】（1）22y x =；（2）1,)+∞ 【解析】 【分析】（1）设点P 的坐标为（x ，y ），结合题意得出点Q 的坐标，再利用向量数量积的运算可得出点P 的轨迹方程；（2）设A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2）、D （x 3，y 3），设直线AM 的方程为12y k x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，将该直线方程与曲线C的方程联立，结合韦达定理进行计算得出点B 和点D 的横坐标相等，于是得出BD ⊥x 轴，根据几何性质得出△MBD 的内切圆圆心H 在x 轴上，且该点与切点的连线与AB 垂直．方法一是计算出△MBD 面积和周长，利用等面积法可得出其内切圆的半径的表达式；方法二是设H （x 2﹣r ，0），直线BD 的方程为x ＝x 2，写出直线AM 的方程，利用点H 到直线AB 和AM 的距离相等得出r 的表达式；方法三是利用△MTH ∽△MEB ，得出MH HTMB BE=，然后通过计算得出△MBD 内切圆半径r 的表达式． 通过化简得到r 关于x 2的函数表达式，并换元2112t x =+＞，将函数关系式转化为r 关于t 的函数关系式，然后利用单调性可求出r 的取值范围．【详解】（1）设点(),P x y ，则()2,Q y - ∴(),OP x y u u u v =，()2,OQ y =-u u u v∵0OP OQ ⋅=u u u v u u u v ∴220OP OQ x y u u u v u u u v⋅=-+=，即22y x =（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，()33,D x y ，直线BD 与x 轴交点为E ，内切圆与AB 的切点为T ．设直线AM 的方程为：12y k x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则联立方程2122y k x y x⎧⎛⎫=+⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪=⎩，得：()2222204k k x k x +-+= ∴1214x x =且120x x << ∴1212x x << ∴直线AN 的方程为：111122y y x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭-， 与方程22y x =联立得：22222111111122024y x y x x x y ⎛⎫-+-++= ⎪⎝⎭，化简得：221111122022x x x x x ⎛⎫-++= ⎪⎝⎭解得：114x x =或1x x = ∵32114x x x == ∴BD x ⊥轴 设MBD ∆的内切圆圆心为H ，则H 在x 轴上且HT AB ⊥ 方法（一）∴2211222MBDS x y ∆⎛⎫=⋅+⋅ ⎪⎝⎭，且MBD ∆的周长为：22y∴22211122222MBDS y r x y ⎡⎤⎛⎫⎢⎥=⋅=⋅+⋅ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦V∴221x y r ⎛⎫+ ⎪===.方法（二）设()2,0H x r -，直线BD的方程为：2x x =，其中2222y x =直线AM 的方程为：221122y y x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭+，即22211022y x x y y ⎛⎫-++= ⎪⎝⎭，且点H 与点O 在直线AB 的同侧，∴()2221x r y y r-+==，解得：2221x y y r+==方法（三）∵MTH MEB ∆~∆ ∴MH HT MB BE=221x r r y +-=，解得： 22211x y x r ⎛⎫++⎪==21x +==令212t x =+，则1t > ∴r =()1,+∞上单调增，则r >，即r 的取值范围为)1,+∞．【点睛】本题考查轨迹方程以及直线与抛物线的综合问题，考查计算能力与化简变形能力，属于难题． 21.已知函数()(1)(1)x f x kx e k x =---．（1）若()f x 在0x x =处的切线斜率与k 无关，求0x ； （2）若x R ∃∈，使得()f x ＜0成立，求整数k 的最大值． 【答案】（1）00x =（2）1【解析】 【分析】（1）对函数()f x 求导()()'11x x f x k x e e ⎡⎤=+--⎣⎦，则()00110x x e +-=，令()()11xx x e ϕ=+-，由()x ϕ的单调性求0x（2）由()0f x <，即()1xxk xe x e -+<得1x x e k xe x <-+，()1x x e h x xe x =-+，利用导函数求()h x 的最大值，可得整数k 的最大值是1.【详解】解：（1）()()'1xf x kx k e k =+--，即()()'11xxf x k x e e ⎡⎤=+--⎣⎦，由已知得()00110xx e +-=.令()()11xx x e ϕ=+-，则()()'2xx x e ϕ=+，当(),2x ∈-∞-时，()'0x ϕ<，()x ϕ递减，∵2x <-，∴11x +<-，∴()10xx e +⋅<，∴()110xx e +-<，因此()0x ϕ<；当()2,x ∈-+∞时，()'0x ϕ>，()x ϕ递增. 又()00ϕ=，所以()x ϕ只有唯一零点，故00x =. （2）()0f x <，即()1xxk xe x e -+<.当0x ≥时，∵10x e -≥，∴()10xx e -≥，∴()110xx e -+>； 当0x <时，∵10x e -<，∴()10x x e ->，∴()110xx e -+>. ∴()110xx e -+>.∴()1xxk xe x e -+<可等价转化为1xx e k xe x <-+.设()1xx e g x xe x =-+，由题意()max k g x <.又()()()22'1x x xe e xg x xex --=-+，令()2xh x e x =--，则()'10xh x e =--<，∵()'0h x <，∴()h x 在R 上单调递减，又∵()00h >，()10h <，∴()00,1x ∃∈，使得()00h x =，即002x e x =-.当()0,x x ∈-∞时，()0h x >即()'0g x >，()g x 递增； 当()0,x x ∈+∞时，()0h x <即()'0g x <，()g x 递减.∴()()()0000max000002121x x x e g x g x x e x x x x -===-+--+0011232x x =-++-.令()022,1t x t ⎡⎤=-∈--⎣⎦，则113,12y t t⎛⎫=++∈ ⎪⎝⎭， ∴()()max 1,2g x ∈，故整数k 的最大值为1.【点睛】恒成立问题或存在性问题常利用分离参数法转化为最值求解,属于难题.（二）选做题：共10分请考生在第（22）题和第（23）题中任选一题作答，作答时请在答题卡的对应答题区写上題号，并用2B 铅笔把所选题目对应的题号涂黑22.在平面直角坐标系中，曲线1C 的参数方程为2cos 22sin x y θθ=⎧⎨=+⎩（θ为参数），以坐标原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为4cos ρθ=. （1）求曲线1C 的极坐标方程； （2）射线(0)3πθρ=≥与曲线12,C C 分别交于,A B 两点（异于原点O ），定点(2,0)M ，求MAB ∆的面积.【答案】（1）4sin ρθ=；（2）3. 【解析】 【分析】（1）将曲线C 1化成直角坐标方程，再化成极坐标方程；（2）先求出定点M 到射线的距离 为三角形的高，再由极坐标方程求出弦长|AB |为三角形的底，根据面积公式求解即可． 【详解】（1）解：曲线C 1直角坐标方程为：x 2+y 2﹣4y=0， 由ρ2=x 2+y 2，ρsinθ=y 得：曲线C 1极坐标方程为ρ=4sinθ，（2）法一:M 到射线θ=3π的距离为d=2sin 3π|AB |=ρB ﹣ρA =4（sin 3π﹣cos 3π）=21） 则S △MAB =12|AB |×d=3． 法二：解：将θ=3π（ρ≥0）化为普通方程为x （x ≥0）， ∵曲线C 2的极坐标方程为ρ=4cosθ，即ρ2=4ρcosθ，由ρ2=x 2+y 2，ρcosθ=x 得：曲线C 2的直角坐标方程为x 2+y 2﹣4x=0，由2240y x y y ⎧=⎪⎨+-=⎪⎩得003x x y y ⎧=⎧=⎪⎨⎨==⎪⎩⎩或A，3）2240y x y x ⎧=⎪⎨+-=⎪⎩得100x x y y 或=⎧=⎧⎪⎨⎨==⎪⎩⎩∴B （1），)21AB ==，点M到直线y y 0d 的距离为=-===∴132MAB S AB ==V ． 【点睛】本题考查参数方程和普通方程，极坐标方程和普通方程的互化，以及弦长公式，属于中档题． 23.设函数()23f x x x =--+.（1）求不等式()3f x <的解集；（2）若不等式()3f x a <+对任意x ∈R 恒成立，求实数a 的取值范围.【答案】（1）()2,-+∞（2）+∞（2，）【解析】【分析】（1）利用绝对值表达式，通过x 的范围，去掉绝对值符号，然后求解不等式的解集；（2）利用绝对值三角不等式，转化求解最大值，然后求解即可．【详解】（1）由已知得|x﹣2|﹣|x+3|＜3，当x≤﹣3时2﹣x+x+3＜3解集为空集；当﹣3＜x＜2时2﹣x﹣（x+3）＜3解得﹣2＜x＜2；当x≥2时x﹣2﹣（x+3）＜3解得x≥2；故所求不等式的解集为（﹣2，+∞）．（2）不等式f（x）＜3+a等价于|x﹣2|﹣|x+3|＜a+3，∵|x﹣2|﹣|x+3|≤|x﹣2﹣（x+3）|＝5，∴a+3＞5，∴a＞2．【点睛】本题考查绝对值不等式的解法，函数恒成立的应用，考查分类讨论思想以及转化的应用．。
2020届河北省衡水金卷新高考预测模拟考试(二)理科数学
绝密★启用前2020届河北省衡水金卷新高考预测模拟考试（二)理科数学★祝你考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考考查范围。
2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
4、主观题的作答：用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非主观题答题区域的答案一律无效。
5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
6、保持卡面清洁，不折叠，不破损。
7、本科目考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
第I 卷（选择题)一、单选题1．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）A ．2B ．4C ．D ． 2．42x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中的常数项为（ ） A ．6 B ．8 C ．12 D ．243．在一次抽奖活动中，一个箱子里有编号为1至10的十个号码球(球的大小、质地完全相同，但编号不同)，里面有n 个号码为中奖号码，若从中任意取出4个小球，其中恰83209有1个中奖号码的概率为821，那么这10个小球中，中奖号码小球的个数n 为 A ．2 B ．3C ．4D ．5 4．以A(-1,1), B(2,-1), C(1,4)为顶点的三角形是( )A ．以A 点为直角顶点的直角三角形B ．以B 点为直角顶点的直角三角形C ．锐角三角形D ．钝角三角形5．下列几何体中，正视图、侧视图、俯视图都相同的几何体的序号是（ ）A ．（1）（2）B ．（2）（3）C ．(3)(4)D ．(1)(4)6．给出下列函数：①2log y x =；②2y x =；③||2x y =；④arcsin y x =.其中图像关于y 轴对称的函数的序号是（ ）A ．①②B ．②③C ．①③D ．②④7．若1,0a b ><，则函数x y a b =+的图象有可能是（ ）A ．B ．C ．D ．8． 已知点P (x ，y )满足x 2＋y 2－2y ＝0，则u ＝1y x+的取值范围是( )A ．[B ．(－∞∪，＋∞)C ．[D ．3(,[,)-∞+∞ 9．连续抛掷两次骰子，先后得到的点数m ，n 为点(,)P m n 的坐标，那么点(,)P m n 满足||||4m n +≤的概率为（ ）A ．16B ．14C ．13D ．2536 10．等比数列 中， ，，则公比q 等于 A ． B ．2 C ． D ．11．已知函数111log )(2++-+-=x x x x f ，则)21()21(-+f f 的值为 （ ） A ．2 B ．2- C ．0 D ．212log 3 12．在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为11A B 的中点，则异面直线1D E 与1BC 所成角的余弦值是（ ）A B C D ．25第II 卷（非选择题)二、填空题13．阅读下边的程序框图,若输入的n 是100,则输出的变量S 和T 的值依次是_____.14．=÷--21100)41lg 25(lg 。
2020届河北衡水金卷新高考原创考前信息试卷(四)理科数学
2020届河北衡水金卷新高考原创考前信息试卷（四）理科数学★祝考试顺利★ 注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。
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写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
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8、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一.选择题（本大题共12小题，共60分）1. 设集合{}290A x x =-＜，{}B x x N =∈，则A B =I ( )A ．{}0,1,2,3B ．{}1,2C ．{}0,1,2D ．{}2,1,0,1,2--2. 已知命题:sin 1P x R x ∀∈≤，，则p ⌝为( ) A. 00sin 1x R x ∃∈≥，B ．sin 1x R x ∀∈≥，C ．00sin 1x R x ∃∈>，D ．sin 1x R x ∀∈>， 3.已知(,)a bi a b +∈R 是11ii-+的共轭复数，则a b +=( )A.1-B.12-C.12D.14. 已知双曲线22220,0():1x y C a a b b -=＞＞的一条渐近线与直线350x y -+=垂直，则双曲线C 的离心率等于( )A. 2 B ．103 C.10 D ．2 25. 下列函数中，既是奇函数，又是R上的单调函数的是()A．()()ln1f x x=+B．()1f x x-=C．()()()222,02,0x x xf xx x x⎧+≥⎪=⎨-+<⎪⎩D．()()()()200,012,,xxxf x xx⎧<⎪⎪⎪==⎨⎪⎛⎫⎪->⎪⎪⎝⎭⎩6.若(cos)cos2f x x=，则(sin)12fπ=()A．12-B．32-C．12D．327. 某调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄分布饼状图、90后从事互联网行业者岗位分布条形图，则下列结论中不一定正确的是()注：90后指1990年及以后出生，80后指1980—1989年之间出生，80前指1979年及以前出生．A．互联网行业从业人员中90后占一半以上B．互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的20％C．互联网行业中从事运营岗位的人数90后比80前多D．互联网行业中从事技术岗位的人数90后比80后多8. 将4名大学生分配到3个乡镇去当村官，每个乡镇至少一名，则不同的分配方案种数是()A．18种B．36种C．54种D．72种9. 赵爽是我国古代数学家、天文学家，大约在公元222年，赵爽为《周碑算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形是由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成的）.类比“赵爽弦图”，可类似地构造如图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，设，若在大等边三角形中随机取一点，则此点取自小等边三角形的概率是( )A ．BC ．D ．10.如图，已知椭圆C 的中心为原点O ，为C 的左焦点，P 为C 上一点，满足，且，则椭圆C 的方程为A.221255x y += B.2214525x y += C.2213010x y += D.2213616x y += 11. 在ABC △中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，D 是AB 的中点，若1CD =，且()()1sin sin sin 2a b A c b C B ⎛⎫-=+- ⎪⎝⎭，则ABC △面积的最大值是( )A ．15 B ．15C ．15D ．215 12. 已知函数()||xe f x x =，关于x 的方程2()(1)()40f x m f x m ++++=（m ∈R ）有四个相异的实数根，则m 的取值范围是( )A ．44,1e e ⎛⎫--- ⎪+⎝⎭B.()4,3-- C.4,31e e ⎛⎫--- ⎪+⎝⎭D.4,1e e ⎛⎫--+∞ ⎪+⎝⎭第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13.已知2a =r ，3b =r ，,a b r r 的夹角为30o，//(2)(2)a b a b λ++r r r r ，则()()a b a b λ+•-=r rr r _________．14. 我国古代数学专著《九章算术》对立体几何有深入的研究，从其中的一些数学用语可见，譬如“鳖臑”意指四个面都是直角三角形的三棱锥．某“鳖臑”的三视图(图中网格纸上每个小正方形的边长为1)如图所示，已知该几何体的高为22，则该几何体外接球的体积为________．15. 设O 为坐标原点，)1,2(A ，若点),(y x B 满足⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤≤≤≤+10121122y x y x ，则OB OA ⋅的最大值是_________．16. 已知函数()sin cos f x x x =+，则下列结论中正确的是_______ __． ①()f x 是周期函数； ②()f x 的对称轴方程为,4k x k Z π=∈； ③()f x 在区间3,44ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上为增函数； ④方程6()5f x =在区间3,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦有6个根.三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答．侧 俯主（一）必考题：共60分．17.（本小题满分12分）如图，在三棱锥中，，，，，，分别为，中点．（1）求证：；（2）求二面角的大小．18.（本小题满分12分）某中学准备组建“文科”兴趣特长社团，由课外活动小组对高一学生文科、理科进行了问卷调查，问卷共100道题，每题1分，总分100分，该课外活动小组随机抽取了200名学生的问卷成绩(单位：分)进行统计，将数据按照[0,20)，[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100]分成5组，绘制的频率分布直方图如图所示，若将不低于60分的称为“文科方向”学生，低于60分的称为“理科方向”学生．理科方向文科方向总计男110女50总计(1)根据已知条件完成下面2×2列联表，并据此判断是否有99%的把握认为是否为“文科方向”与性别有关？(2)将频率视为概率，现在从该校高一学生中用随机抽样的方法每次抽取1人，共抽取3次，记被抽取的3人中“文科方向”的人数为ξ，若每次抽取的结果是相互独立的，求ξ的分布列、期望E(ξ)和方差D(ξ)．参考公式和参考临界值见后：参考公式：K 2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )，其中n ＝a ＋b ＋c ＋d . 参考临界值：19. （本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且n 、n a 、n S 成等差数列，22log (1)1n n b a =+-. （1）证明数列{}1n a +是等比数列，并求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 中去掉数列{}n a 的项后余下的项按原顺序组成数列{}n c ，求12100c c c ++⋅⋅⋅+的值.20. （本小题满分12分）从抛物线C ：22(0)x py p =>外一点P 作该抛物线的两条切线PA PB 、（切点分别为A B 、），分别与x 轴相交于C D 、，若AB 与y 轴相交于点Q ，点()0,2M x 在抛物线C 上，且3MF =（F 为抛物线的焦点）.（1）求抛物线C 的方程；（2）①求证：四边形PCQD 是平行四边形.②四边形PCQD 能否为矩形？若能，求出点Q 的坐标；若不能，请说明理由.21. （本小题满分12分）已知函数2()2ln f x x x x =-，函数2()(ln )a g x x x x=+-，其中a R ∈，0x 是()g x 的一个极值点，且0()2g x =. （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）求实数0x 和a 的值； （3）证明：11ln(2n 1).(n )2nk N +=>+∈（二）选考题：共10分．请考生在第22，23题中任选一题作答．如果多做，那么按所做的第一题计分．22．（本小题满分10分）【选修4—4：坐标系与参数方程】在平面直角坐标系xoy 中，曲线1C ：2cos 2sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数），在以平面直角坐标系的原点为极点、x 轴的正半轴为极轴，且与平面直角坐标系xoy 取相同单位长度的极坐标系中，曲线2C ：πsin 16ρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭．（1）求曲线1C 的普通方程以及曲线2C 的平面直角坐标方程；（2）若曲线1C 上恰好存在三个不同的点到曲线2C 的距离相等，求这三个点的极坐标．23．（本小题满分10分）【选修4—5：不等式选讲】已知()()()(),0,,11,212a b a b b a f x x x ∈+∞-=-=++-. （1）求22a b +的最小值；（2）若对任意(),0,a b ∈+∞，都有()()224f x a b ≤+，求实数x 的取值范围.理科数学答案一.选择题1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12C CD B C B D B A D A A二.填空题13. 1 14. 43 15. 516. ①②④三.解答题17. （1）连接．因为，所以．因为，，所以．又，所以．而，所以．（2）因为且交于，，所以，则以为原点建立空间直角坐标系，如图：所以，，，所以，．设平面的法向量，所以令，得．，所以平面的法向量为．由图知，由图知，所以，即二面角的大小为．18.解：(1)由频率分布直方图可得分数在[60,80)之间的学生人数为0.012 5×20×200＝50，在[80,100]之间的学生人数为0.007 5×20×200＝30，所以低于60分的学生人数为120.因此列联表为又K 2＝200×(80×50－30×40)120×80×110×90≈16.498＞6.635，所以有99%的把握认为是否为“文科方向”与性别有关．(2)易知从该校高一学生中随机抽取1人，则该人为“文科方向”的概率为p ＝80200＝25. 依题意知ξ～B ⎝⎛⎭⎫3，25，所以P (ξ＝i )＝C i 3⎝⎛⎭⎫25i ⎝⎛⎭⎫1－253－i (i ＝0,1,2,3)，所以ξ的分布列为所以期望E (ξ)＝np ＝65，方差D (ξ)＝np (1－p )＝1825.19. 解析：（1）因为n ，n a ，n S 成等差数列，所以2n n S n a +=，① 所以()()11122n n S n a n --+-=≥．②① －②，得1122n n n a a a -+=-，所以()()11212n n a a n -+=+≥． 又当1n =时，1112S a +=，所以11a =，所以112a +=， 故数列{}1n a +是首项为2，公比为2的等比数列，所以11222n n n a -+=⋅=，即21nn a =-．（2）根据（1）求解知，()22log 121121n n b n =+--=-，11b =，所以12n n b b +-=， 所以数列{}n b 是以1为首项，2为公差的等差数列．又因为11a =，23a =，37a =，415a =，531a =，663a =，7127a =，8255a =， 64127b =，106211b =，107213b =，所以()()1210012107127c c c b b b a a a +++=+++-+++L L L ()()127107121322272⨯+⎡⎤=-+++-⎣⎦L()72121072147212-⨯=-+-2810729=-+11202=．20. 解：（1）因为232pMF =+=,所以2p =，即抛物线C 的方程是24x y = （2）由24x y =得24x y =，'2x y =.设221212,,,44x x A x B x ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则直线PA 的方程为()211142x x y x x -=-， ① 则直线PB 的方程为()222242x xy x x -=-，② 由①和②解得：1212,24x x x x x y +==，所以1212,24x x x x P +⎛⎫ ⎪⎝⎭设点()0,Q t ，则直线AB 的方程为y kx t =+由24x yy kx t⎧=⎨=+⎩得2440x kx t --= ,则12124,4x x k x x t +==- 所以()2,P k t -，所以线段PQ 被x 轴平分，即被线段CD 平分， 在①中，令0y =解得12x x =，所以1,02x C ⎛⎫ ⎪⎝⎭，同理得2,02x D ⎛⎫⎪⎝⎭，所以线段CD 的中点， 坐标为12,04x x +⎛⎫⎪⎝⎭，即(),0k ， 又因为直线PQ 的方程为ty x t k=-+，所以线段CD 的中点(),0k 在直线PQ 上， 即线段CD 被线段PQ 平分,因此，四边形PCQD 是平行四边形。
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2020届河北衡水金卷新高考原创考前信息试卷（十二）理科数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
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4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。
5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
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6、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
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第I卷（选择题共60分）一、选择题(共12小题,每小题5分,共60分)1.已知全集，集合，集合，则A. B. C.D.2.已知i是虚数单位，，则A. 10B.C. 5D.3.2018年元旦期间，某高速公路收费站的三个高速收费口每天通过的小汽车数（单位：辆）均服从正态分布，若，假设三个收费口均能正常工作，则这个收费口每天至少有一个超过700辆的概率为A. B.C. D.4.已知等差数列中，，则的值为A. 8B. 6C. 4D. 25.如图所示的一个算法的程序框图，则输出的最大值为A. B.2 C.D.6.我国古代数学名著《九章算术》中有如下问题：“今有羡除，下广六尺，上广一丈，深三尺，末广八尺，无深，袤七尺．问积几何”，羡除是一个五面体，其中三个面是梯形，另两个面是三角形，已知一个羡除的三视图如图粗线所示，其中小正方形网格的边长为1，则该羡除的表面中，三个梯形的面积之和为A. 40B. 43C. 46D. 477.空气质量指数AQI是反映空气质量状况的指数，AQI指数值越小，表明空气质量越好，其对应关系如下表：AQI指数0～50 51～100 101～150 151～200 201～300 ＞300值空气质量优良轻度污染中度污染重度污染严重污染下图是某市10月1日—20日AQI指数变化趋势：下列叙述错误的是A. 这20天中AQI指数值的中位数略高于100B. 这20天中的中度污染及以上的天数占C. 该市10月的前半个月的空气质量越来越好D. 总体来说，该市10月上旬的空气质量比中旬的空气质量好8.的展开式中含的项的系数为A. 30B. 60C. 90D. 1209.已知满足约束条件若目标函数的最大值是6，则A. B.C. D.10.函数的图像大致为11.已知是定义在上的奇函数，满足，且当时，，则函数在区间上的所有零点之和为A. B.C.D.12.已知双曲线C ：的左、右焦点分别为、，且双曲线C 与圆在第一象限相交于点A ，且，则双曲线C 的离心率是 A. B.C.D.第II 卷（非选择题 90分）二、填空题(共4小题,每小题5分,共20分)14.无穷等比数列的通项公式，前项的和为，若，则________15.将一个半径为2的圆分成圆心角之比为1:2的两个扇形，且将这两个扇形分别围成圆锥的侧面，则所得体积较小的圆锥与较大圆锥的体积之比为____． 16.已知函数，若对于任意的正整数，在区间上存在个实数、、、、，使得成立，则的最大值为________三、解答题(共6小题 ,共70分)17. （本小题满分12分）如图，在ABC ∆ 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,()cosC a b sinC =+ .（1）求角B 的大小； （2）若,2A D π= 为ABC ∆外一点， 2,1DB DC == ，求四边形ABCD 面积的最大值.18. （本小题满分12分）某花圃为提高某品种花苗质量，开展技术创新活动，在实验地分别用甲、乙方法培训该品种花苗.为观测其生长情况，分别在实验地随机抽取各株，对每株进行综合评分，将每株所得的综合评分制成如图所示的频率分布直方图.记综合评分为及以上的花苗为优质花苗.求图中的值，并求综合评分的中位数. 用样本估计总体，以频率作为概率，若在两块试验地随机抽取棵花苗，求所抽取的花苗中的优质花苗数的分布列和数学期望； 填写下面的列联表，并判断是否有的把握认为优质花苗与培育方法有关.附：下面的临界值表仅供参考.（参考公式：，其中.）19. （本小题满分12分）如图，已知三棱柱111ABC A B C -，平面11A AC C ⊥平面ABC ,90ABC ∠=︒，1130,,,BAC A A AC AC E F ∠=︒==分别是11,AC A B 的中点.（1）证明：EF BC ⊥；（2）求直线EF 与平面1A BC 所成角的余弦值. 20. （本小题满分12分）已知点，过点D 作抛物线的切线l ，切点A 在第二象限． 求切点A 的纵坐标； 有一离心率为的椭圆恰好经过切点A ，设切线l 与椭圆的另一交点为点B ，记切线l ，OA ，OB 的斜率分别为k ，，，若，求椭圆的方程．21. （本小题满分12分）已知函数()()21ln ,2f x x xg x mx ==． （1）若函数()f x 与()g x 的图象上存在关于原点对称的点，求实数m 的取值范围；（2）设()()()F x f x g x =-，已知()F x 在()0,∞+上存在两个极值点12,x x ，且12x x <，求证：2122x x e >（其中e 为自然对数的底数）．22. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数()24f x x m x m =--+（0m >）． （1）当2m =时，求不等式()0f x ≤的解集；（2）若关于x 不等式()()21f x t t t R ≤-++∈的解集为R ，求m 的取值范围．参考答案题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答案 A B C C C C C B C A C A13.4514.或15.16.617.（1）4B π=（2）524+ 解：（1）在ABC ∆ 中， ()cosC a b sinC =+. 有()()()sin cos ,cos sinA B sinC C sin B C sinB sinC C =++=+ ，cos ,0BsinC sinBsinC sinC ∴=> ，则cos B sinB = ，即()tan 1,0,B B π=∈ ，则4B π=.（2）在BCD ∆ 中， 2222,1,12212cos 54cos BD DC BC D D ==∴=+-⨯⨯⨯=- ，又2A π=，则ABC ∆为等腰直角三角形， 21115cos 2244ABC S BC BC BC D ∆=⨯⨯⨯==- ，又12BDC S BD DCsinD sinD ∆=⨯⨯= ，55cos 2444ABCD S D sinD sin D π⎛⎫∴=-+=+- ⎪⎝⎭， 当34D π=时，四边形ABCD 的面积最大值，最大值为524+ . 18. 解：由，解得令得分中位数为，由解得故综合评分的中位数为由与频率分布直，优质花苗的频率为，即概率为，设所抽取的花苗为优质花苗的颗数为，则，于是，其分布列为：所以，所抽取的花苗为优质花苗的数学期望结合与频率分布直方图，优质花苗的频率为，则样本种，优质花苗的颗数为棵，列联表如下表所示：可得所以，有的把握认为优质花苗与培育方法有关系.19. 解：(1)如图所示，连结11,A E B E ，等边1AAC △中，AE EC =，则3sin 0sin 2B A Q ，≠∴=， 平面ABC ⊥平面11A ACC ，且平面ABC ∩平面11A ACC AC =，由面面垂直的性质定理可得：1A E ⊥平面ABC ，故1A E BC ⊥，由三棱柱的性质可知11A B AB ∥，而AB BC ⊥，故11A B BC ⊥，且1111A B A E A =I ， 由线面垂直的判定定理可得：BC ⊥平面11A B E ， 结合EF ⊆平面11A B E ，故EF BC ⊥.(2)在底面ABC 内作EH ⊥AC ，以点E 为坐标原点，EH ,EC ,1EA 方向分别为x ,y ,z 轴正方向建立空间直角坐标系E xyz -.设1EH =，则3AE EC ==1123AA CA ==3,3BC AB ==，据此可得：()()()1330,3,0,,0,0,3,3,02A B A C ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，20.（1）（2）解：设切点则有，由切线l的斜率为，得l的方程为，又点在l上所以即所以点A的纵坐标．由得，切线斜率，设，切线方程为，由得又，所以．所以椭圆方程为且过，所以． 由得， 所以， 又因为， 即， 解得，所以 所以椭圆方程为：21. 解：（1）函数()f x 与()g x 的图像上存在关于原点对称的点， 即21()()2g x m x --=--的图像与函数()ln f x x x =的图像有交点， 即21()ln 2m x x x --=在(0,)+∞上有解. 即1ln 2x m x=-在(0,)+∞上有解. 设ln ()x x x ϕ=-，（0x >），则2ln 1()x x xϕ'-= 当(0,)x e ∈时，()x ϕ为减函数；当(,)x e ∈+∞时，()x ϕ为增函数， 所以min 1()()x e e ϕϕ==-，即2m e≥-. （2）21()()()ln 2F x f x g x x x mx =-=-，()ln 1F x x mx '=-+ ()F x 在(0,)+∞上存在两个极值点1x ，2x ，且12x x <，所以1122ln 10ln 10x mx x mx -+=⎧⎨-+=⎩ 因为1212ln ln 2x x m x x ++=+且1212ln ln x x m x x -=-，所以12121212ln ln 2ln ln x x x x x x x x ++-=+-， 即112212112112221ln ln ln 2ln 1x x x x x x x x x x x x x x ⎛⎫+ ⎪+⎝⎭++==--设12(0,1)x t x =∈，则12(1)ln ln ln 21t t x x t +++=- 要证2122x x e >，即证12ln ln 22x x ++>， 只需证(1)ln 21t t t +>-，即证2(1)ln 01t t t --<+ 设2(1)()ln 1t h t t t -=-+，22214(1)()0(1)(1)t h t t t t t '-=-=>++， 则2(1)()ln 1t h t t t -=-+在(0,1)上单调递增，()(1)0h t h <=， 即2(1)()ln 01t h t t t -=-<+ 所以，12ln ln 2x x +>即2122x x e >.22.（1）[)2,-+∞（2）102m <≤ 解：（1）当2m =时， ()48f x x x =--+． 所以()0f x ≤，即为480x x --+≤， 所以48x x -≤+，所以2x ≥-，即所求不等式解集为[)2,-+∞．（2）“关于x 不等式()21f x t t ≤-++（t R ∈）的解集为R ”等价于“对任意实数x 和t ， ()()max min 21f x t t ≤-++”， 因为246x m x m m --+≤， 213t t -++≥， 所以63m ≤，即12m ≤，又0m >，所以102m <≤．。