2格林公式及其应用
格林公式的讨论及其应用
格林公式的讨论及其应用目录一、引言 (2)二、牛顿-莱布尼兹（Newton-Leibniz）公式的应用 (3)（一）牛顿-莱布尼兹公式简介 (3)（二）牛顿-莱布尼兹公式的物理意义 (3)（三）牛顿-莱布尼兹公式在生活中应用 (3)三、格林（Green）公式的应用 (4)（一）格林公式的简介 (4)（二）格林公式的物理原型 (4)1、物理原型 (4)2、计算方法 (4)（三）格林公式在生活中的应用 (5)1.曲线积分计算平面区域面积 (5)2.GPS面积测量仪的数学原理 (6)四、高斯（Gauss）公式的应用 (7)（一）高斯公式的简介 (7)（二）保守场 (8)（三）高斯公式在电场中的运用 (8)（四）高斯定理在万有引力场中的应用 (11)五、斯托克斯（Stokes）公式的应用 (12)（一）斯托克斯公式简介 (12)（二）Stokes公式中P、Q、R的物理意义 (13)（四）旋度与环流量 (14)（五）旋度的应用 (14)六、结语 (16)参考文献............................................................................................................................... 错误!未定义书签。
致谢................................................................................................................................. 错误!未定义书签。
摘要牛顿-莱布尼兹（Newton-Leibniz)公式、格林（Green）公式、高斯(Gauss)公式和斯托克斯(Stokes)公式是积分学中的几个非常重要的公式，分别建立了原函数与定积分、曲线积分与二重积分、曲线积分与三重积分、曲线积分和曲面积分之间的联系，它们除了在数学上用来计算多元函数的积分有很大用处之外，在其他的领域也有很多重要的应用。
格林公式的讨论及其应用
格林公式的讨论及其应用目录一、引言 (2)二、牛顿-莱布尼兹（Newton-Leibniz）公式的应用 (3)（一）牛顿-莱布尼兹公式简介 (3)（二）牛顿-莱布尼兹公式的物理意义 (3)（三）牛顿-莱布尼兹公式在生活中应用 (3)三、格林（Green）公式的应用 (4)（一）格林公式的简介 (4)（二）格林公式的物理原型 (4)1、物理原型 (4)2、计算方法 (4)（三）格林公式在生活中的应用 (5)1.曲线积分计算平面区域面积 (5)2.GPS面积测量仪的数学原理 (6)四、高斯（Gauss）公式的应用 (7)（一）高斯公式的简介 (7)（二）保守场 (8)（三）高斯公式在电场中的运用 (8)（四）高斯定理在万有引力场中的应用 (11)五、斯托克斯（Stokes）公式的应用 (12)（一）斯托克斯公式简介 (12)（二）Stokes公式中P、Q、R的物理意义 (13)（四）旋度与环流量 (14)（五）旋度的应用 (14)六、结语 (16)参考文献............................................................................................................................... 错误!未定义书签。
致谢................................................................................................................................. 错误!未定义书签。
摘要牛顿-莱布尼兹（Newton-Leibniz)公式、格林（Green）公式、高斯(Gauss)公式和斯托克斯(Stokes)公式是积分学中的几个非常重要的公式，分别建立了原函数与定积分、曲线积分与二重积分、曲线积分与三重积分、曲线积分和曲面积分之间的联系，它们除了在数学上用来计算多元函数的积分有很大用处之外，在其他的领域也有很多重要的应用。
3.2格林公式及其应用
P Q R d ( Pnx Qny Rnz )dS . x y z
*格林第一公式
1 2 u u ( x , y , z ), v v ( x , y , z ) C ( ) C (), 设 ， v v v 记 P u , Q u , R u , 由高斯公式，可得 x y z
于是
1 u(M 0 ) 2 4 a
a
udS .
注 如果 u C() ，则定理可包含与边界相切的球面。
3.极值原理
*物理背景：稳定温度场在动态平衡下，温度分布在 内部不可能有最高点或最低点。
*数学角度证明 定理2.3（极值原理） 对不恒等于常数的调和函数 u ( x, y, z ) ，其在区域 的任何内点上的值不可能达到 它在 上的上界或下界。 证 用反证法证明。设调和函数 u ( x, y, z ) 不恒等于 常数，且在区域 上的上界为m （注：只需证明有上界 情况即可，相反情况，定理自然成立），而 u ( x, y, z ) 在 内某点 M 0 取值 m ，我们来引出矛盾。
y
x
其中 K 表示 中以 M 0 为球心，以 为半径的 小球，边界记 。
1 1 u F )dS dV . 令u F , 则 (u n r r n r \ K
1 1 1 1 1 2 2, 在球面 上，由于 n n r r r r r
4. 第一边值问题解的唯一性及稳定性
u 0, 定理2.4 狄利克雷内问题 的解如果存在， u f
必是唯一的，而且连续地依赖于所给的边界条件 f 。 证 假设有两个调和函数 u1 ( x, y, z) 和 u2 ( x, y, z)，它们
格林公式及其应用
Pdx Qdy Pdx Qdy
L2
Pdx Qdy Pdx Qdy 0，
L1 L1 ( L2 ) L2
Pdx Qdy 0
此时L1 ( L2 )为有向闭曲线，故结论成立, 反之也成立.
3、定理2
设区域G是一个单连通域，函数P( x, y )、Q( x, y ) 在G内具有一阶连续偏导数，则曲线积分 Pdx Qdy
Q y2 x2 P 2 2 2 x ( x y ) y 则
L
xdy ydx x y
2 2
0
(2) 原点在D内时
选取适当小的r 0， 作位于D内的圆周l x2 y2 r 2 记L与l所围的闭区域为D1;
即D1为复连通区域,
l的方向取逆时针方向 有 , xdy ydx x y
P 因 连续，故第一式左边 y 2 ( x ) P ( x, y ) P b dy dx y dxdy a 1 ( x ) y D a Px, 2 ( x) Px,1 ( x)dx
b
第一式右边 Pdx Pdx Pdx
第三节
格林公式及其应用
一、格林公式
二、平面上曲线积分与路径 无关的条件 三、二元函数的全微分求积
一、 格林公式
平面单连通区域: 设D为平面区域，如果D内任一闭曲线所围的部
分都属于D，则称D为平面单连通区域，否则称为复连
通区域.
通俗的说，平面单连通区域是不含有“洞”的区
域.
例如 圆形区域： x, y ) x 2 y 2 1} {(
Pdx Qdy
ABPA
Q P x y dxdy Pdx Qdy D3 BCNB
格林公式(公开教学用)
B
x
b
y
E
xd 1( y)
nD
c
C
o
m
x 2( y)
x
y 型区域
按照 y 型区域考虑
Q dxdy
d
[
2 ( y) Q(x, y)dx]dy
D x
c 1( y)
x
d
c Q( 2 ( y), y) Q(1( y), y)dy
Q(x, y)dy Q(x, y)dy Q(x, y)dy
3）平面曲线 L 的正向：当人（观
察者）沿L的方向行走时，D内在靠近人
Hale Waihona Puke 的一侧始终在人的左侧。L
L
D
D l洞
外圈是逆时针方向；内圈是顺时针方向。
2、格林(Green)公式(定理1)
（1）D 是由分段光滑 (或光滑)的有向
闭曲线 L 围成； （2）函数 P(x, y),Q(x, y) 在D上具有一
阶连续偏导数；
y2 x2 x2 y2
2
,
补充定理:
1) 设P，Q 在 D 内具有一阶连续偏导数
2)
在
D
内恒有
Q x
P y
3) L1, L2 为D内任意两条同向闭曲线;
4) L1,L2 各自所围的区域中有相同的不
属于D的点，则
D
Pdx Qdy Pdx Qdy
L1
L2
L1 L2
解：当 (0,0利) 用D格林公式，结论为0.
（3）L要求取正向.（若不是正向 ? )
（4）二重积分的被积函数必须是 Q P .
x y
同学们思考一下，说明的第（2） 条其实是可以修改的，应该改成什么？
格林公式及其应用格林公式
格林公式及其应用格林公式格林公式是向量分析中的一个重要定理，也被称为格林-斯托克斯定理。
它是由爱尔兰数学家乔治·格林在19世纪提出的，用于计算一个曲线或曲面上的环流和散度之间的关系。
格林公式的应用非常广泛，可以用来求解流体力学、电磁学和热力学等领域的问题。
下面将介绍格林公式的表达形式，以及它在常见问题中的具体应用。
1.格林公式的表达形式格林公式有两种常见的表达形式，一种是针对平面区域的格林公式，另一种是针对空间曲线的格林公式。
下面将分别介绍这两种格林公式的表达形式。
1.1平面区域的格林公式若D是一个紧致的平面区域，边界为C（C是一个简单、逐段光滑的曲线），向量函数F(x,y)=(P(x,y),Q(x,y))在区域D中具有二阶连续偏导数，则有如下格林公式：∬D（∂Q/∂x-∂P/∂y）dxdy=∮C(Pdx+Qdy)其中，∂P/∂y和∂Q/∂x分别表示P和Q对y和x的偏导数，dxdy表示在D中的面积元素，Pdx+Qdy表示沿着边界C的曲线元素。
1.2空间曲线的格林公式若S是一个有向光滑曲面，它的边界为C（C是一个简单、光滑的曲线），向量函数F(x,y,z)=(P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z))在曲面S内具有连续偏导数，则有如下格林公式：∯S（∂R/∂y-Q）dydz+（∂P/∂z-R）dzdx+（∂Q/∂x-P）dxdy=∮C(Pdx+Qdy+Rdz)其中，∂P/∂z、∂Q/∂x和∂R/∂y分别表示P、Q和R对z、x和y的偏导数，dydz、dzdx和dxdy表示在S内的面积元素，Pdx+Qdy+Rdz表示沿着边界C的曲线元素。
2.格林公式的应用格林公式具有广泛的应用，在流体力学、电磁学、热力学等领域都能够找到它的身影。
下面将以几个例子来说明格林公式的具体应用。
2.1流体力学中的应用格林公式在流体力学中常常用于计算流体的环流和散度。
例如，可以利用格林公式来推导速度势函数和流函数之间的关系，进而求解流场中的速度分布。
§11.2(2)格林公式
Q P ∫∫D( x y )dxdy = ∫L Pdx + Qdy
4
2) 若D不满足以上条件, 则可通过加辅助线将其分割 为有限个上述形式的区域 , 如图 Q P ∫∫D( x y ) dxdy
y
1 D2 D
L
= ∑∫∫
k =1 n
n
Dk
(
Q P ) dxdy x y
Dn
o
x
= ∑∫
k =1
du = xy2 dx + x2 ydy. (0,0)( Nhomakorabea, y) .
= ∫ x 0 dx + ∫
0
x
y 2 x y dy 0
(x,0)
=∫
y 2 x y dy 0
18
xd y y d x 在右半平面 ( x > 0 ) 内存在原函 例6. 验证 2 2 x +y y 数 , 并求出它. (x, y) y x , Q= 2 证: 令 P = 2 2 x +y x + y2 2 2 o (1,0) ( x,0) x P y x Q 则 = 2 = ( x > 0) 2 2 x (x + y ) y 由定理 2 可知存在原函数 定理
Q P ∫∫ x y dxdy = ∫ Pdx + Qdy ( 格林公式 ) D L
或
∫∫ P
D
x
y
Q
dxdy = ∫ Pdx + Qdy
L
2
证明: 证明 1) 若D 既是 X - 型区域 , 又是 Y - 型区域 , 且 1(x) ≤ y ≤ 2 (x) y E D: d a ≤ x ≤b
y0 x0 x0 y y0 x
格林公式及其应用 (2)45页PPT文档
D
(
Q x
P y
)dxdy
L
Pdx
Qdy
(1)
其中 L是 D的取正向的边界曲线,
公式(1)叫做格林公式.
L1
D
L2
L1
D
L2
L由 L1与 L2连成 L由 L1与 L2组成
边界曲线L的正向 当观察者沿边界行走时, 区域D总在他的左边。
y
证明 (1)
d
E y2(x)
若区域 D既是 X 型 x1(y)
L L l lD ( Q x P y)dx d l y
要求右端的二重积分及曲线l积分易于计算。l 选用直线段、折线、圆、半圆、椭圆、抛物线等。
（3）如在D上P、Q一阶偏导连续，且处处有
Q P , x y
则 L 0;
如
D
内除点
M 0(x0,y0)外均有
Q x
P y
,
则
Ll
其中 l 是包围点(x0,y0)的与 L同向的光滑的简 单闭曲线，特别地 l 是以(x0,y0)为中心的圆、椭圆 等（半径或长短半轴大小不限，只要内部没有别的
Dx
c 1(y) x
d
d
cQ (2 (y )y ) ,d y cQ (1 (y )y ) ,dy
y
Q (x ,y )d yQ (x ,y )dy
CBE
CAE
d
x1(y)
Q (x ,y )d yQ (x ,y )dy
CBE
EAC
c
LQ(x,y)dy
o
E D
C
x2(y)
x
同理可证 D P ydx dL yP(x,y)dx
由 O x 于 A d 0 ,y Bx O d 0 ,y
格林公式及其应用
P dxdy
b
dx
2 ( x) P dy
D y
a
1( x) y
y
b
a{P[ x,2( x)] P[ x,1( x)]}dx.
L2 : y 2( x)
D
Pdx Pdx Pdx
L
L1
L2
L1 : y 1( x)
Oa
bx
b
a
a P[ x,1( x)]dx b P[ x,2( x)]dx
L l
xdy ydx 4x2 y2
0,
于是I
L
xdy ydx 4x2 y2
l
xdy ydx 4x2 y2
1 a2
xdy ydx
l
2 a2
(l所围的椭圆区域的面积)
2 a2
a2π 2
π.
感谢下 载
I1 I2
由格林公式
I1
D
Q x
P y
dxdy
D
(b
a)dxdy
(b
a)
πa 2 2
由于OA在x轴上, y 0, dy 0,
故I2
2a
(bx)dx
2a 2b,
0
于是
I
I1
I2
π 2
2 a 2b
πa3. 2
(2)简化二重积分
例4 计算 e y2dxdy, D :以O(0,0), A(1,1), B(0,1)
线y 2ax x2到点O(0,0)的有向弧段.
解 Q e x cos y a, x P ex cos y b, y
y
D
O
Ax
Q x
P y
b
a,
添加辅助线OA,
格林公式及其应用
格林公式及其应用格林公式是微积分中的一个重要工具，用于计算其中一区域内的面积和体积。
它是由德国数学家格林（Carl Friedrich Gauss）在19世纪初提出的，被广泛应用于物理、工程、经济等领域的计算中。
格林公式的一般形式如下：$$\oint_C (Pdx + Qdy) = \iint_D ( \frac{{\partialQ}}{{\partial x}} - \frac{{\partial P}}{{\partial y}} ) dA $$其中，$C$表示封闭曲线，$D$表示被封闭曲线围成的区域，$P$和$Q$是$D$内的函数，$\frac{{\partial P}}{{\partial y}}$表示$P$对$y$求偏导数，$\frac{{\partial Q}}{{\partial x}}$表示$Q$对$x$求偏导数，$dA$表示面积元素。
格林公式的应用有以下几个方面：1.计算曲线积分：格林公式将曲线积分转化为了面积积分，使得计算曲线积分更加简便。
通过计算封闭曲线上其中一函数和微分形式 $Pdx + Qdy$ 的积分，可以得到围成该区域的面积。
2.计算平面区域的面积：通过格林公式可以计算出封闭曲线围成的平面区域的面积。
将面积元素 $dA$ 替换为 $1$，$Pdx + Qdy$ 替换为$dx$，然后对曲线积分进行计算，即可得到该区域的面积。
3.计算体积：对于封闭曲线$C$，通过格林公式可以计算出围成该曲线的曲面的面积。
再通过计算该曲面旁切平面上函数的面积积分，就可以得到该曲面的体积。
4.计算电场：格林公式在物理学中应用广泛，特别是在电场计算中。
当电场满足一些条件时，可以通过格林公式计算出电场的其中一参数。
例如，在静电学中，可以通过格林公式计算电场的电势差，从而得到电场的分布。
5.计算流体的流量：格林公式在流体力学中也有重要应用。
通过格林公式，可以计算流体从一个闭合曲面流出的流量，从而得到流体的流速和流量。
§2格林公式及其应用
u(v)
v(u)d
u
v n
v
nudS
其中n是 的单位外法向量。
上页 下页 返回
2)调和函数的积分表达式
考察函数
1
1
v(x, y,z)
rM 0 M
( x x0 )2 ( y y0 )2 (z z0 )2
容易验证，当 M ( x, y, z) M0 ( x0 , y0 , z0 ) 时，
上界，即M0
,
s.t .
u( M 0
)
m
max u( M
M
)，下面
将证明，u在内恒为m 从而引出矛盾。
以M0为球心，任意R为半径作球K ，使 得K 。记K SR。
上页 下页 返回
若SR上有函数值小于m 的点，则在此点的某领域内函 数值均小于m ，由平均值定理，
1
m u(M0 ) 4a2 SR udS m
u( M n
)
dS
0
当u是内的调和函数，M0 ，类似基本积分公 式的推导，记 ， \ K ，则有
u
n
1 r
1 r
nudS
1 2
udS
1
nudS
上页 下页 返回
记u
1 ()
udS ，
u n
1
()
nudS ，其中
()表
示
的面积，即
u和
u n
分别为
u和
上页 下页 返回
定理 2.5 调和方程狄利克雷外问题 u 0 (out of ) u f (on )
的解如果存在，必是唯一的。
（2）
证明：
设 u1 ,
u2
都是
(2) 的解，且
高数格林公式
2
通过格林公式，可以将二重积分转化为曲线积分 来计算，这在某些情况下可以大大简化计算过程。
3
此外，格林公式还揭示了平面区域内向量场与标 量场之间的关系，为多元函数微积分中的场论问 题提供了有力工具。
与场论初步知识联系
01
场论是研究向量场和标量场的数学分支，而格林公式正是场论 中的一个基本定理。
02
04
培养抽象思维能力和逻辑推理能力，为进一步学习高等数学打下坚实 的基础。
02 格林公式基本概念
曲线积分与路径无关条件
曲线积分与路径无关的定义
若在所有以A、B为端点的光滑曲线族上，曲线积分∫L P(x,y)dx+Q(x,y)dy 的值都是相同的，则称此曲线积分与 路径无关。
曲线积分与路径无关的条件
径为平面区域D的边界曲线。
格林公式的证明需要运用到微积分基本定理和斯托克 斯定理等相关知识。
学习目标与要求
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
01
掌握格林公式的基本形式和证明方法，理解其几何意义和物理应用。
02
能够熟练运用格林公式解决平面区域上的二重积分和曲线积分问题。
03
了解格林公式在电磁学、流体力学、热力学等领域的应用实例，提高 解决实际问题的能力。
高数格林公式
目 录
• 引言 • 格林公式基本概念 • 格林公式证明方法 • 格林公式应用举例 • 格林公式与相关知识点联系 • 拓展与延伸
01 引言
背景与意义
格林公式是高等数学中的一个 重要概念，它揭示了平面区域 上二元函数与其偏导数之间的
关系。
在实际应用中，格林公式被 广泛应用于电磁学、流体力 学、热力学等领域，是解决 复杂物理问题的有力工具。
格林公式及其应用
一、格林公式
第八章
二、平面上曲线积分与路径无关的 等价条件
（一）、区域连通性的分类
设D为平面区域, 如果D内任一闭曲线所围 成的部分都属于D, 则称D为平面单连通区域, 否则称为复连通区域. D
D
单连通区域
复连通区域
（二）、格林公式
定理1
设闭区域 D 由分段光滑的曲线 L 围
0 e sin xdx
ex (sin x cos x ) |0 2 1 1 e . 2 2
x
xdy ydx 例 4 计算 ,其中 L为一条无重点, 2 2 L x y 分段光滑且不经过原点的连续闭曲线, L的方
向为逆时针方向.
解
记 L所围成的闭区域为 D ,
3 3
D
L
1
Q P Q P ( x y )dxdy D D ( x y )dxdy D D
1 2 3
Q P Q P Q P ( x y )dxdy ( x y )dxdy ( x y )dxdy D D D
D {( x , y ) 1 ( x ) y 2 ( x ), a x b} D {( x , y ) 1 ( y ) x 2 ( y ), c y d }
d ( y ) Q Q x dxdy c dy ( y ) x dx D
,C : x 2 y 2 1, 逆时针 例 5 计算 I C 4 x2 y2 方向。 y x ,Q 2 , 解： P 2 4 x y2 4 x y2
Q ( 4 x 2 y 2 ) x 8 x 4 x 2 y 2 , 2 2 2 2 2 2 x ( 4x y ) ( 4x y )
格林(Green)公式及其应用
• 格林公式简介 • 格林公式的基本性质 • 格林公式的应用 • 格林公式的扩展 • 格林公式的实际例子 • 总结与展望
01
格林公式简介
格林公式的定义
格林公式是一个数学定理，用于描述二维平面上的向量场和路径之间的关系。它 指出，在一个封闭的区域内，沿任意路径的积分等于该区域内散度的体积分。
在实变函数中的应用
证明定理
格林公式在证明实变函数中的一些定 理中发挥了重要作用，如黎曼定理和 克雷洛夫定理等。
求解积分方程
利用格林公式，可以将积分方程转化 为边界积分方程，从而简化求解过程。
04
格林公式的扩展
高维格林公式
总结词
高维格林公式是格林公式在高维空间中 的推广，它描述了高维空间中向量场和 标量场之间的关系。
THANKS
感谢观看
格林公式的变种
总结词
格林公式的变种是原始格林公式的不同形式 或应用，它们在特定情况下可能更加方便或 有效。
详细描述
随着数学和物理学的发展，人们发现了许多 格林公式的变种。这些变种可能在某些特定 情况下更加适用，例如在处理非线性问题或 复杂边界条件时。了解这些变种有助于我们
更好地理解和应用格林公式。
03
格林公式在数学分析中占有重要的地位，是微积分学中的基本定理之一。它为 解决许多复杂的积分问题提供了一种有效的方法，使得许多难以计算的问题变 得简单明了。
对未来研究的展望
随着数学和其他学科的发展，格 林公式在各个领域的应用越来越 广泛。未来，我们可以进一步探 索格林公式的各种应用，如数值 计算、物理模拟、图像处理等。
解决偏微分方程的实例
总结词
格林公式还可以用于解决偏微分方程的问题，通过将 偏微分方程转化为等价的积分方程，可以简化求解过 程。
连续变形原理格林公式
连续变形原理格林公式摘要：一、连续变形原理简介1.连续变形原理的定义2.连续变形原理在数学和物理中的应用二、格林公式介绍1.格林公式的定义2.格林公式的推导过程3.格林公式的意义和应用三、连续变形原理与格林公式的关系1.连续变形原理是格林公式的理论基础2.格林公式是连续变形原理的一个具体应用四、总结1.连续变形原理和格林公式的重要性2.对未来研究的展望正文：一、连续变形原理简介连续变形原理，是微分几何中一个描述曲线在连续变形下保持某些性质不变的原理。
更具体地说，它表明在微小范围内，曲线上的每一点都可以通过微小的平滑变形到达另一点，而保持其切线方向不变。
连续变形原理广泛应用于数学和物理领域，例如在计算机图形学中，通过对模型进行连续变形来达到动画效果。
二、格林公式介绍格林公式，是解析几何中的一个重要公式，它给出了一个关于圆的面积与圆的半径的关系。
具体来说，格林公式表明圆的面积等于其半径的四倍乘以圆周率。
这个公式可以通过对圆进行分割，然后计算每个小三角形的面积来得到。
格林公式在数学和物理学中有广泛的应用。
例如，在电磁学中，格林公式可以用来描述电场和磁场的变化，而在流体力学中，格林公式可以用来描述流体的运动。
三、连续变形原理与格林公式的关系连续变形原理是格林公式的理论基础。
格林公式实际上就是连续变形原理在二维空间中的一个具体应用。
具体来说，格林公式就是通过连续变形，将一个圆变形为一个由无数个小三角形组成的图形，然后通过计算每个小三角形的面积来得到圆的面积。
同时，格林公式也是连续变形原理的一个具体应用。
通过格林公式，我们可以理解连续变形原理在二维空间中的具体表现，也可以通过格林公式来更好地理解和应用连续变形原理。
四、总结连续变形原理和格林公式都是数学和物理学中的重要概念，它们在许多领域都有广泛的应用。
连续变形原理是格林公式的理论基础，而格林公式则是连续变形原理的一个具体应用。
格林公式积分方向
格林公式积分方向【实用版】目录1.引言2.格林公式的概述3.积分方向的概念4.积分方向的性质和应用5.结论正文1.引言在数学领域，格林公式是一种用于计算空间曲线表面积分的公式，其对于多个变量的函数积分有着重要的应用价值。
然而，在实际应用中，我们常常需要对格林公式的积分方向进行探讨，以便更好地理解和使用这一公式。
2.格林公式的概述格林公式，又称为高斯公式，是一种计算空间曲线表面积分的公式，由英国数学家格林于 1828 年首次提出。
其基本形式为：(F·dS) = F dS其中，F 表示空间曲线表面的法向分量，dS 表示曲线表面微小面积的法向分量。
3.积分方向的概念在应用格林公式进行积分计算时，我们需要确定积分的方向。
积分方向通常分为内积分和外积分两种。
内积分是指将曲线表面看作是一个闭曲面，我们将法向分量 F 指向曲面内部，即从曲面外部指向曲面内部。
这种积分方向适用于大多数情况。
外积分则是将曲线表面看作是一个开放曲面，我们将法向分量 F 指向曲面外部，即从曲面内部指向曲面外部。
这种积分方向在一些特殊情况下会使用。
4.积分方向的性质和应用在实际应用中，积分方向的选择会对积分结果产生重要影响。
不同的积分方向可能会导致不同的积分结果，因此在选择积分方向时需要根据实际情况进行判断。
在应用格林公式进行积分计算时，我们需要注意以下几点：- 当曲线表面为闭曲面时，我们通常选择内积分方向；- 当曲线表面为开放曲面时，我们通常选择外积分方向；- 在一些特殊情况下，我们需要根据实际情况选择积分方向，例如当曲线表面存在多个开口时，我们需要分别计算每个开口的积分，然后将结果进行叠加。
5.结论在应用格林公式进行积分计算时，积分方向的选择至关重要。
正确的积分方向可以得到准确的积分结果，而错误的积分方向可能会导致错误的结果。
格林公式二维
格林公式二维
格林公式是微积分中的一个重要定理，它描述了一个曲线围成的区域的面积和曲线的形状之间的关系。
在二维平面上，格林公式可以用来计算一个曲线围成的区域的面积，同时也可以用来计算一个曲线的长度。
格林公式的表述如下：设曲线C是一个简单闭合曲线，它围成的区域为D。
如果f(x,y)和g(x,y)在D上有连续的一阶偏导数，那么有：∬D(∂g/∂x - ∂f/∂y)dxdy = ∮C(fdx + gdy)
其中，∬D表示对D上的面积进行积分，∮C表示对C上的曲线进行积分，fdx和gdy分别表示f(x,y)和g(x,y)在曲线C上的切向量的x和y分量。
这个公式的意义是，曲线C围成的区域D的面积等于曲线C上的积分。
这个积分的值可以通过计算曲线C上的切向量的x和y分量来得到。
这个公式的应用非常广泛，例如在物理学中，可以用它来计算电场的环路积分和磁场的面积积分。
在实际应用中，格林公式可以用来计算各种曲线围成的区域的面积和曲线的长度。
例如，在计算机图形学中，可以用它来计算一个多边形的面积和周长。
在地理学中，可以用它来计算一个地区的面积和周长。
在工程学中，可以用它来计算一个机械零件的面积和周长。
格林公式是微积分中的一个重要定理，它可以用来计算曲线围成的区域的面积和曲线的长度。
它的应用非常广泛，可以用来解决各种实际问题。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
1
4
F rM (M 0M)dM
作为 M 0的函数，记
上页 下页 返回
R (M 0 ) 4 1 u (M ) n r M 1 0 M r M 1 0 M u (n M ) dM S
V(M 0)41F rM (M 0M)dM
因为 1 rM 0 M
是
基
本
解
，
则对M 0 ，有
u(M0)21u(M)n lnrM 10MlnrM 10Mu(n M )dM s
1
1
2lnrM0Mu dM
当u是内的调和函数时，即u 0时，若M0 ，则
有 u (M 0 ) 2 1 u (M ) n lr n M 1 0 M lr n M 1 0 M u (n M ) d M s通区域\ NhomakorabeaK 中，v
r
1
M0M
0。
K
在复连通区域 \ K中对上述函数u和
v 应用 Green 第二公式，得
\K u 1 r 1 r u d u n 1 r 1 r n u dS(2.5)
其中 1 1 。 r rM0M
上页 下页 返回
(2 .5 )式 左 u 边 1 1 u d 1 u d
若u F (M )，则当M0 时：
(2.7)
u(M0)41u(M)nrM 10MrM 10Mu(n M )dSM
1
4
F rM (M 0M)dM
(2.8)
上页 下页 返回
补：二维空间上的基本积分公式以及调和函数的 基本积分公式
设是 R2中的有界开集， ，u C 2 () C1()，
上页 下页 返回
记u
1 ()
udS ，
u n
1
()
nudS ，其中
()表
示
的面积，即
u和
u n
分别为
u和
nu在
上的
平均值，则
u n 1 r 1 r n u d S (2 )u ( ) n u
因为lim u 0
u(
格林第二公式：u ( v) v( u )d u n v v n u dS
其中n是 的单位外法向量。
上页 下页 返回
2)调和函数的积分表达式
考察函数
1
1
v(x, y,z)
rM 0 M
( x x0 )2 ( y y0 )2 (z z0 )2
容易验证，当 M ( x, y, z) M0 ( x0 , y0 , z0 ) 时，
\K r r
r \K
(2.5)式右 边 un 1 r1 r n u dS
K
un 1 r1 r n u dSun 1 r1 r n u dS
注意到在
上，
1 r
1
，n
1 r
r
1 r
1 r2
1 2
\K 1 r u d u n 1 r 1 r n u d S 1 2 u d 1 S n u dS
调和函数基本积分公式 上页 下页 返回
当u是内的调和函数，M 0 ，则由格林第二公式 有：
u (M ) n rM 1 0M rM 1 0M u (n M ) d S0
当u是内的调和函数，M0 ，类似基本积分公 式的推导，记 ， \ K ，则有
u n 1 r 1 r n u d S 1 2 u d1 S n u dS
上页 下页 返回
记u
1 42
udS
，
nu
1 42
nudS
，即 u 和
nu
分别为u
和
nu在
上的平均值，则
\K 1 r u d u n 1 r 1 r n u d 4 S u 4 n u
令 0，则
1 r u d u n 1 r 1 r n u d S 4 u (M 0 )
M
0
)
，lim 0
( 4
)
2
1 ，上式两边令 2
0，
得
u n 1 r 1 r n u d S 2 u (M 0)
上页 下页 返回
综上所述，设 是以足够光滑的曲面 为边界的有界 区域，u u( x, y, z) C 2 () C1()，若u 0，则：
u n rM 1 0M rM 1 0M n u dM S 4 0 2 u u ((M M 0 0) )( ((M M M 0 0 0 )))
上页 下页 返回
从而有：
u(M0)41u(M)nrM 10MrM 10Mu(nM )dS
11
ud
4 rM0M
基本积分公式
当u是内的调和函数时，即u 0时，若M0 ，则
u (M 0) 4 1 u (M ) n rM 1 0 M rM 1 0 M u (n M ) dS
上页 下页 返回
3) 泊松方程
利用基本积分公式(2.8)很容易导得泊松方程的一个
特解表达式。
事 实 上 ， 设 有 函 数 u(M ) C 2 () C1() ， 满 足
u F ，其中F C 0 ()，由(2.8)，对M0
u(M0)41u(M)nrM 10MrM 10Mu(n M )dSM
所
以
M0
1 rM 0 M
v 0。（见P73 习题 1）称 v 1 为三维拉普拉斯 rM 0 M
方程的基本解。
设 u u( x, y, z) C 2 () C1() ， M0 ( x0 , y0 , z0 ) 是 内一定点。
上页 下页 返回
为利用
Green
第二公式，取
充分小，使得以
M
为球心，
0
半径为的球 K 的球面与的边界不相交，则在复连
§2 格林公式及其应用
1. 格林(Green)公式 2. 平均值定理 3. 极值原理 4. 第一边值问题解的唯一性及稳定性
1.格林公式
1) 格林公式的推导
高斯公式： A d A d S (A n )dS
由于 uv uv u v，则由高斯公式可得
格林第一公式： u ( v)d u n v d S u v d