最新八年级数学专题训练：分式的运算技巧

分式的运算技巧

一、条件求值的三种技巧

条件求值与常规的化简求值这两类问题的相同点：都是求某个式子的值．不同点：(1)前者给出的是字母满足的条件，后者给出的是字母的值，因此前者不能直接代入计算；(2)前者中待求式子通常不需要化简，而后者则侧重于化简．

►　技巧一　整体法

为了把已知条件和待求的式子联系起来，我们常把a ＋b ，a －b ，ab ，a 2＋b 2等当作整体，因为根据题目的条件有时不能求出a ，b 的值，即使能求出a 或b 的值，也没必要求出，那样会“走弯路”或把问题复杂化．选择某个式子作为整体不是固定不变的，应视具体条件而定，只要它能把已知和未知“沟通”起来，就可把它当作整体．

1．已知实数x 满足x ＋＝3，则x 2＋的值为( )1x 1x 2A ．6 B ．7 C ．8 D ．9

2．已知a 2＋3ab ＋b 2＝0(a≠0，b≠0)，则＋的值等于________．b a a b

3．已知x ＋y ＝xy ，求＋－(1－x)(1－y)的值．1x 1y

4．已知x 2－4x ＋1＝0，求－的值．2（x －1）x －4x ＋6x

►　技巧二　倒数法

的倒数是，而可拆成与的和，即＝＋.这种先取倒数后拆项的方法可使某些束手无策的ab a ＋b a ＋b ab a ＋b ab 1a 1b a ＋b ab 1b 1a

问题迎刃而解．

5．若x 2－5x ＋1＝0，则的值为________．x 2

x 4＋1

6．已知三个数x ，y ，z 满足＝－2，＝，＝－，求的值．xy x ＋y yz y ＋z 43zx z ＋x 43xyz xy ＋yz ＋zx

►　技巧三　转化法

利用分式的基本性质和已知条件，把异分母的加减法转化为同分母的加减法．

7．已知a ，b 为实数，且ab ＝2，则＋的值为( )a a ＋1b b ＋2

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

8．若ab ＝1，则＋＝________．31＋a 231＋b 2

9．已知a ，b ，c 为实数，且abc ＝1，求＋＋的值．a ab ＋a ＋1b bc ＋b ＋1c ca ＋c ＋1

二、异分母分式的加减法的两种技巧

异分母分式的加减法的常规做法：先确定各分式的最简公分母，再通分，这样即可把异分母分式的加减转化为同分母分式的加减．但是对于某些特殊的异分母分式的加减运算，可以采取约分或运用分配律等方法转化为同

分母分式的加减运算或整式的运算，从而达到异曲同工的效果．

►　技巧一　约分

10．计算＋的结果是( )x 2－1x 2＋2x ＋12x ＋1

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

11．计算：＋＝________．x 2＋9x x 2＋3x x 2－9x 2＋6x ＋9

12．计算：－.x 2－y 2x ＋y 4x （x －y ）＋y 2

2x －y

13．先化简，再求值：(－)÷，其中a 满足a 2＋3a ＋1＝0.a 2－4a 2－4a ＋412－a 2a 2－2a

►　技巧二　运用分配律

含有括号的分式混合运算，通常先算括号里面的，但对有些算式运用分配律，既可以达到去括号的目的，又

可以把异分母分式的加减运算转化为整式运算．

14．计算(－)÷的结果是( )a a －2a a ＋2a 4－a 2

A ．－4

B ．4

C ．2a

D ．－2a

15．先化简，再求值：·(－)，其中a ＝2.a 2－1a 3a a －1a a ＋1

16．先化简，再求值：(＋)÷，其中x ＝3.x 2－16x 2＋8x ＋16x x －41x 2－16

17．化简并求值：－·(－a 2＋b 2)，其中a ＝10，b ＝5.12a 1a －b a －b 2a

详解详析

1．[解析] B 原式＝(x ＋)2－2＝32－2＝7.故选B.1x

2．[答案] －3

[解析] ＋＝，又a 2＋b 2＝－3ab ，故原式＝＝－3.b a a b b 2＋a 2ab －3ab ab

3．解：∵x ＋y ＝xy ，∴原式＝－(1－x －y ＋xy )＝－1＋x ＋y －xy ＝1－1＋0＝0.y ＋x xy x ＋y xy

4．解： －＝＝.2（x －1）x －4x ＋6x 2x （x －1）－（x －4）（x ＋6）x （x －4）x 2－4x ＋24x 2－4x

∵x 2－4x ＋1＝0，∴x 2－4x ＝－1.

∴原式＝＝＝－23.x 2－4x ＋24x 2－4x

－1＋24－15．[答案] 123

[解析] 显然x ＝0不是方程x 2－5x ＋1＝0的解，由此可将方程x 2－5x ＋1＝0的两边同时除以x ，得x 2－5x ＋1x ＝0，左边拆开得x －5＋＝0，即x ＋＝5，两边同时平方，得x 2＋2＋()2＝25，∴x 2＋＝23，即＝23，∴1x 1x 1x 1x 2x 4＋1x 2＝.x 2x 4＋1123

6．解：依题意，得＋＝－，＋＝，＋＝－，1x 1y 121y 1z 341z 1x 34

以上三个方程相加，得2(＋＋)＝－.1x 1y 1z 12

即＝－，∴＝－4.xy ＋yz ＋zx xyz 14xyz xy ＋yz ＋zx

7．[解析] A 将第一个分式的分子和分母同时乘b ，得原式＝

＋.ab ab ＋b b b ＋2∵ab ＝2，∴原式＝＋＝＝1.故选A.2b ＋2b b ＋2b ＋2b ＋2

8．[答案] 3

[解析] 将第二个分式的分子和分母同时乘a 2，得原式＝＋.31＋a 23a 2

a 2＋（a

b ）2

∵ab ＝1，∴原式＝＋＝＝3.31＋a 23a 21＋a 23（1＋a 2）1＋a 2

9．解：将第二个、第三个分式的分子和分母分别乘a ，ab ，得原式＝

＋＋.a ab ＋a ＋1ab abc ＋ab ＋a abc a 2bc ＋abc ＋ab ∵abc ＝1，

∴原式＝＋＋＝＝1.a ab ＋a ＋1ab 1＋ab ＋a 1a ＋1＋ab ab ＋a ＋1ab ＋a ＋1

10．[解析] A 原式＝

＋＝＋＝＝1.故选A.（x －1）（x ＋1）（x ＋1）22x ＋1x －1x ＋12x ＋1x ＋1x ＋111．[答案] 2

[解析] 原式＝＋＝＋＝＝2.x （x ＋9）x （x ＋3）（x －3）（x ＋3）（x ＋3）2x ＋9x ＋3x －3x ＋32（x ＋3）x ＋3

12．解：原式＝－＝x －y －(2x －y )＝－x .（x ＋y ）（x －y ）x ＋y （2x －y ）2

2x －y

13．解：原式＝[－]÷＝(＋)·＝(a 2＋3a )．（a －2）（a ＋2）（a －2）212－a 2a 2－2a a ＋2a －21a －2a （a －2）212∵a 2＋3a ＋1＝0，∴a 2＋3a ＝－1，

∴原式＝×(－1)＝－.1212

14．[解析] A 原式＝·－·＝－(a ＋2)＋(a －2)＝－4.故选A.a a －24－a 2a a a ＋24－a 2a

15．解：原式＝·－·＝3(a ＋1)－(a －1)＝2(a ＋2)．a 2－1a 3a a －1a 2－1a a a ＋1

当a ＝2时，原式＝2×(2＋2)＝8.