4.4.3不同函数增长的差异
4.4.3 不同函数增长的差异(课件)高一数学(人教A版2019必修第一册)
比的值大多少，在一定范围内， 可能会大于，但由于 的增长最终
会慢于的增长，因此总会存在一个0，当 > 0 时，恒有 < .
类比上述过程，
(1)画出一次函数 = 2��，对数函数 = 和指数函数 = 2 的图象，并
比较它们的增长差异；
位移比乙大；
③甲、乙运动的时间相同，乙的速度是 4 km/h；
④当甲、乙运动了 3 h 后，甲的位移比乙大 3 km，但乙在甲前方 2 km 处．
其中正确的说法是
(
)
A．③
B．①②③
C．①③④
D．②③④
解析：经图象分析③是对的，故①错；对于②，甲、乙运动的时间显
然都是 5 h，因为甲的速度为 5 km/h，乙的速度为 4 km/h，所以开始
170061120
y3
5
30
55
80
105
130
155
其中关于x呈指数增长的变量是
y2
解析：以爆炸式增长的变量呈指数函数变化．从表格中可以看出，三个变量 y1，y2，y3，
y4 均是从 5 开始变化，且都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量 y2 的增长速度
最快，画出它们的图象(图略)，可知变量 y2 关于 x 呈指数型函数变化．故填 y2.
3.如图，对数函数y=lgx与一次函数y=f(x)的图象有A，B两个
公共点, 求一次函数的解析式。
简析：设一次函数f ( x ) kx b
由函数图象得 A(1, 0)， B(2,lg 2)
f (1) 0, f (2) lg 2
k b 0
即
2k b lg 2
新课引入
我们学习过的一次函数、二次函数、反比例函数、
4.4.3 对数函数-不同函数增长的差异 课件 高一数学同步精讲(人教A版必修第一册)原创精品
2 数学模型选择
三种奖金方案的函数模型
x 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000
y=0.25x 增量y
25
50
25
75
25
100
25
125
25
150
25
175
25
200
25
225
25
250
25
y=log7x+1 3.37 3.72 3.93 4.08 4.19 4.29 4.37 4.44 4.5 4.55
增量y
0.35 0.21 0.15 0.11 0.1 0.08 0.07 0.06 0.05
y=1.002x 1.22 1.49 1.82 2.22 2.72 3.32 4.05 4.95 6.04 7.37
60
案
7 25.4760
40
8 5148.20
9 102490.4
20
10 2014400.08
0
从每天的回报量来看： 第__1_~__4_天，方案一最多： 第__4_~__8_天，方案二最多：
第____9__天以后，方案三最多；
•
“指数爆炸”
y=0.4·2x-1
•
•
• y=10x
•
•
•
•
•
•
•
•
•
2 数学模型选择
经过几年打拼王强创办的公司有了一定的规模，2022年 为了实现1000万元总利润的目标，他准备制定一个激励销售 部门的奖励方案：在销售利润达到10万元时，按销售利润进 行奖励，且奖金y (单位：万元)随销售利润x(单位：万元)的 增加而增加，但奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过利润 的25% .
4.4.3 不同函数增长的差异-(新教材人教版必修第一册)(新教材人教版必修第一册)(37张PPT)
(2)当函数为 y＝ax2＋bx＋c 时，将 A，B，C 三点的坐标代入函 数式，得
a＋b＋c＝1，
4a＋2b＋c＝1.2， 9a＋3b＋c＝1.3，
a＝－0.05，
解得b＝0.35， c＝0.7.
所以 y＝－0.05x2＋0.35x＋0.7.
由此函数计算 4 月份的产量为 1.3 万双，比实际产量少 700 双，
数学（人教版）
必修第一册
第四章 指数函数与对数函数
4.4 对数函数
4.4.3 不同函数增长的差异
第一 阶段
课前自学质疑
必备知识 深化预习
三种常见函数模型的增长差异
性质
函数 y＝ax(a>1)
y＝logax(a>1)来自y＝kx(k>0)
在(0，＋∞)上的 增减性
_增__函__数__
_增__函__数__
类型三：函数模型的选取
典例示范
探究题 1 某公司为了实现 100 万元的利润目标，准备制订一个 激励销售人员的奖励方案：在销售利润达到 5 万元时，按销售利润 进行奖励，且奖金 y 随销售利润 x 的增加而增加，但奖金总数不超 过 3 万元，同时奖金不超过利润的 20%.现有三个奖励模型：y＝0.2x，
2．三个变量 y1，y2，y3 随自变量 x 的变化情况如下表：
x 1.00 3.00 5.00 7.00
9.00
11.00
y1
5
135 625 1 715 3 645 6 655
y2
5
29 245 2 189 19 685 177 149
y3 5.00 6.10 6.61 6.95
7.20
7.40
2．函数模型的应用 (1)可推演原则：建立模型，一定要有意义，既能作理论分析， 又能计算、推理，且能得出正确结论． (2)反映性原则：建立模型，应与原型具有“相似性”，所得模 型的解应具有说明问题的功能，能回到具体问题中解决问题．
必修一4.4.3不同函数增长的差异
二、对数函数与一次函数的新增长知差探异 究
以
y
lg
x和
y
1 10
x为例，列新出对知应探值究表，画出图象．
完成的对应值表如下表，画出的函数图象如下图．
x
y lg x
y 1 x 10
0
不存在
0
10
Hale Waihona Puke 11201.301
2
30
1.477
3
40
1.602
4
50
1.699
5
60
1.778
4.4.3不同函数增长的 差异
整体感知
一次函数、指数函数、对数函数的增长，存在很大的差异．那么我们该 如何研究一次函数、指数函数和对数函数增长的差异呢？
由于我们对线性函数已经有了一定的认识，其变化规律非常直观：它在 整个定义域上的变化率恒定，即 y 为定值．所以线性函数可以作为一
x
把尺子，用来“度量”指数函数和对数函数的增长差异．基于以上分析， 我们可以分别比较指数函数与一次函数、对数函数与一次函数．
3
1
2
1.602 0.0125
4
10
2.5
1.699 0.0097
5
3
1.778 0.0079
6
…
…
…
…
…
追问2 对数函数y lgx和一次函数y 1 x, 是否存在一个x0，当x＞x0
时，恒有 lg x 1 x ？
10
10
随着x的增大，y＝ 1 x的增长速度会
10
超过并远远大于y＝lgx的增长速
新知探究
追问 一次函数y＝kx(k＞0)，指数函数y＝ax(a＞1)和对数函数y＝ logbx(b＞1)的增长有何差异？
课件3：4.4.3 不同函数增长的差异
跟踪训练 四个物体同时从某一点出发向前运动，其路
程 fi(x)(i＝1，2，3，4)关于时间 x(x>1)的函数关系是 f1(x) ＝x2，f2(x)＝2x，f3(x)＝log2x，f4(x)＝2x，如果它们一直 运动下去，最终在最前面的物体具有的函数关系是
() A．f1(x)＝x2 C．f3(x)＝log2x
本课结束
4.4.3 不同函数增长的差异
考点
学习目标
核心素养
了解常用的描述现实世界中
函数模型的增 不同增长规律的函数模型，了 数学抽象、
长差异 解直线上升、指数爆炸、对数 数学建模
增长等增长含义
函数模型 的选取
能根据具体问题选择函数模 型，构建函数模型求解问题
数学建模
新知初探
三种函数模型的性质
y＝kx(k＞0)
断它最可能的函数模型是( )
x4
5
6
7
8
9 10
y 15 17 19 21 23 25 27
A.一次函数模型
B．二次函数模型
C．指数函数模型
D．对数函数模型
【解析】随着自变量每增加 1 函数值增加 2，函数值的增 量是均匀的，故为线性函数即一次函数模型． 【答案】A
3．某学校开展研究性学习活动，一组同学得到下面的试验数据：
解：建立生产量 y 与年份 x 的函数， 可知函数必过点(1，8)，(2，18)，(3，30)． (1)构造二次函数模型 f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)， 将点坐标代入，
可得a4＋a＋b2＋bc＋＝c8＝，18， 9a＋3b＋c＝30，
解得 a＝1，b＝7，c＝0， 则 f(x)＝x2＋7x， 故 f(4)＝44， 与计划误差为 1.
4.4.3不同函数增长的差异
[基础测试] 2.当 x 越来越大时,下列函数中,增长速度最快的是( )
A.y=100x C.y=lg x
B.y=log5x D.y=log4x
解析:一次函数的增长速度大于对数函数的增长速度, 所以函数y=100x的增长速度最快.
答案:A
3.当 x 越来越大时,下列函数中,增长速度最慢的是 ( )
解:(1)C1对应的函数为g(x)=0.3x-1,C2对应的函数为f(x)=lg x.
(2)当0<x<x1时,g(x)>f(x);当x1<x<x2时,f(x)>g(x);
当x>x2时,g(x)>f(x);当x=x1或x=x2时,f(x)=g(x).
探索点三 根据函数模型增长特点选择方案
【例 3】 某企业常年生产一种出口产品,根据预测可
长,因此,总会存在一个 x0,当 x>x0 时,恒有 ax>kx .
【思考】
怎样理解“指数爆炸”? 提示:“指数爆炸”是比喻指数函数当自变量越 来越大时,函数值的增长速度越来越快,像爆炸一样.
[基础测试]
1.下列函数中,增长速度越来越快的是 ( )
A.y=20 000x C.y=1.01x
B.y=2x D.y=1.001x
(2)指数函数模型:指数函数模型 y=ax(a>1)的增长特 点是随着自变量的增大,函数值增大的速度越来越快,即速 度急剧增长,被形象地称为“指数爆炸”.
(3)对数函数模型:对数函数模型 y=logax(a>1)的增长 特点是随着自变量的增大,函数值增大的速度越来越慢,即 增长速度越来越慢.
(4)幂函数模型:幂函数 y=xn(n>0)的增长速度介于指 数增长和对数增长之间.
4.4.3不同函数增长的差异(答案版)
1.函数模型 一般地，设自变量为x ，函数为y ，并用x 表示各相关量，然后根据问题的已知条件，运用已掌握的数学知识、物理知识及其他相关知识建立函数关系式，将实际问题转化为数学问题，实现问题的数学化，即所谓的数学建模。
2.三种常见函数模型的增长差异2.1三种函数模型的增长规律 (1)对于幂函数nn x y n x x y =>>=时，当0,0,才是增函数，当n 越大时，增长速度越快。
(2)指数函数与对数函数的递增前提是a>1，又它们的图象关于x y =对称，从而可知，当a 越大，xa y =增长越快；当a 越小，x y a log =增长越快，一般来说，)1,0(log >>>a x x a a x 。
(3)指数函数与幂函数，当时，10,0>>>a n x ，可能开始有xn a x >，但因指数函数是爆炸型函数，当x 大于某一确定值0x 后，就一定有n x x a >。
2.2不同函数模型的选取标准(1) 线性函数增长模型适合于描述增长速度不变的变化规律。
(2) 指数函数增长模型适合于描述增长速度急剧的变化规律。
(3) 对数函数增长模型适合于描述增长速度平缓的变化规律。
(4) 幂函数增长模型适合于描述增长速度一般的变化规律。
不同函数增长的差异知识讲解类型一 几类函数模型的责罚那张差异例1：下列函数中，随x 的增大，增长速度最快的是（ ）A.x y 50=B.50x y =C.x y 50=D.)(log 50*∈=N x x y【答案】C 【解析】四个函数中，增长速度由慢到快依次是)(log 50*∈=N x x y ，x y 50=，50x y =，x y 50=。
例2：函数y ＝2x －x 2的大致图象为( )【答案】A 【解析】在同一平面直角坐标系内作出y 1＝2x ，y 2＝x 2的图象(图略)．易知在区间(0，＋∞)上，当x ∈(0,2)时，2x ＞x 2，即此时y ＞0；当x ∈(2,4)时，2x ＜x 2，即y ＜0；当x ∈(4，＋∞)时，2x ＞x 2，即y ＞0；当x ＝－1时，y ＝2－1－1＜0.据此可知只有选项A 中的图象符合条件．类型二 函数模型的增长差异在函数图象上的体现例3：高为H ，满缸水量为V 的鱼缸的轴截面如图所示，其底部破了一个小洞，满缸水从洞中流出，若鱼缸水深为h 时水的体积为v ，则函数v ＝f (h )的大致图象是( )【答案】B 【解析】v ＝f (h )是增函数，且曲线的斜率应该是先变大后变小，故选B.类型三 函数模型的应用命题角度1 选择函数模型例4：某大型超市为了满足顾客对商品的购物需求，对超市的商品种类做了一定的调整，结果调整初期利润增长迅速，随着时间的推移，增长速度越来越慢，如果建立恰当的函数模型来反映该超市调整后利润y 与售出商品的数量x 的关系，则可选用( )A ．一次函数B ．二次函数C ．指数型函数D ．对数型函数【答案】D 【解析】四个函数中，A 的增长速度不变，B ，C 增长速度越来越快，其中C 增长速度比B 更快，D 增长速度越来越慢，故只有D 能反映y 与x 的关系．命题角度2 用函数模型决策典型例题例5：一家庭(父亲、母亲和孩子们)去某地旅游，甲旅行社说：“如果父亲买全票一张，其余人可享受半票优惠．”乙旅行社说：“家庭旅行为集体票，按原价23优惠．”这两家旅行社的原价是一样的．试就家庭里不同的孩子数，分别建立表达式，计算两家旅行社的收费，并讨论哪家旅行社更优惠．【解析】设家庭中孩子数为x (x ≥1，x ∈N *)，旅游收费为y ，旅游原价为a .甲旅行社收费：y ＝a ＋a 2(x ＋1)＝a 2(x ＋3)； 乙旅行社收费：y ＝2a 3(x ＋2)． ∈2a 3(x ＋2)－a 2(x ＋3)＝a 6(x －1)， ∈当x ＝1时，两家旅行社收费相等．当x ＞1时，甲旅行社更优惠.一、选择题 1.下列函数中，增长速度越来越慢的是( )A ．y ＝6xB ．y ＝log 6xC ．y ＝x 6D ．y ＝6x【答案】B 【解析】D 增长速度不变，A ，C 增长速度越来越快，只有B 符合题意．2.能使不等式log 2x <x 2<2x 一定成立的x 的取值区间是( )A ．(0，＋∞)B ．(2，＋∞)C ．(－∞，2)D ．(4，＋∞)【答案】D 【解析】作出三个函数的图象如下：由图象可知，当xx x x 2log 422<<>时，3.有一组实验数据如下表所示：下列所给的函数模型较合适的是（ ）A.)1(log >=a x y aB.)1(>+=a b ax yC.)0(2>+=a b ax yD.)1(log >+=a b x y a【答案】C 【解析】通过给出的数据可知y 随x 增大而增大，其增长速度越来越快，而A 、D 中的函数增长速度越来越慢，B 中的函数增长速度保持不变，故选C 。
第四章 4.4.3 不同函数增长的差异
4．4.3不同函数增长的差异学习目标 1.了解常用的描述现实世界中不同增长规律的函数模型.2.了解直线上升、指数爆炸、对数增长等增长含义.3.能根据具体问题选择合适函数模型．知识点三种常见函数模型的增长差异函数性质y＝ax(a>1)y＝log a x(a>1)y＝kx(k>0) 在(0，＋∞)上的增减性单调递增单调递增单调递增图象的变化随x的增大逐渐变“陡”随x的增大逐渐趋于稳定随x的增大匀速上升增长速度y＝a x的增长快于y＝kx的增长，y＝kx的增长快于y＝log a x的增长增长后果会存在一个x0，当x>x0时，有a x>kx>log a x思考在区间(0，＋∞)上，当a>1，n>0时，是否总有log a x<x n<a x成立？答案不是，但总存在x0，使得当a>1，n>0，x>x0时，log a x<x n<a x成立．1．当x每增加一个单位时，y增加或减少的量为定值(不为0)，则y是x的一次函数．(√) 2．函数y＝log2x增长的速度越来越慢．(√)3．不存在一个实数m，使得当x>m时，1.1x>x100.(×)4．由于指数函数模型增长速度最快，所以对于任意x∈R恒有a x>2x(a>1)．(×)一、几个函数模型增长差异的比较例1(1)下列函数中，增长速度最快的是()A．y＝2 020x B．y＝x2 020C．y＝log2 020x D．y＝2 020x答案 A解析比较一次函数、幂函数、指数函数与对数函数可知，指数函数增长速度最快．(2)四个变量y1，y2，y3，y4随变量x变化的数据如下表：则关于x呈指数型函数变化的变量是________．答案y2解析以爆炸式增长的变量呈指数函数变化．从表格中可以看出，四个变量y1，y2，y3，y4均是从2开始变化，且都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量y2的增长速度最快，画出它们的图象(图略)，可知变量y2关于x呈指数型函数变化．反思感悟常见的函数模型及增长特点(1)线性函数模型线性函数模型y＝kx＋b(k>0)的增长特点是“直线上升”，其增长速度不变．(2)指数函数模型指数函数模型y＝a x(a>1)的增长特点是随着变量的增大，函数值增大的速度越来越快，即增长速度急剧，形象地称为“指数爆炸”．(3)对数函数模型对数函数模型y＝log a x(a>1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越慢，即增长速度平缓．可称为“对数增长”．跟踪训练1下列函数中，增长速度越来越慢的是()A．y＝6x B．y＝log6xC．y＝x2D．y＝6x答案 B解析D中一次函数的增长速度不变，A，C中函数的增长速度越来越快，只有B中对数函数的增长速度越来越慢，符合题意．二、函数模型的选择问题例2某化工厂开发研制了一种新产品，在前三个月的月生产量依次为100 t,120 t,130 t．为了预测今后各个月的生产量，需要以这三个月的月产量为依据，用一个函数来模拟月产量y与月序数x 之间的关系．对此模拟函数可选用二次函数y ＝f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c 均为待定系数，x ∈N *)或函数y ＝g (x )＝pq x ＋r (p ，q ，r 均为待定系数，x ∈N *)，现在已知该厂这种新产品在第四个月的月产量为137 t ，则选用这两个函数中的哪一个作为模拟函数较好？ 解 根据题意可列方程组⎩⎪⎨⎪⎧f (1)＝a ＋b ＋c ＝100，f (2)＝4a ＋2b ＋c ＝120，f (3)＝9a ＋3b ＋c ＝130.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－5，b ＝35，c ＝70.所以y ＝f (x )＝－5x 2＋35x ＋70.① 同理y ＝g (x )＝－80×0.5x ＋140.② 再将x ＝4分别代入①式与②式得 f (4)＝－5×42＋35×4＋70＝130(t)， g (4)＝－80×0.54＋140＝135(t)．与f (4)相比，g (4)在数值上更为接近第四个月的实际月产量，所以②式作为模拟函数比①式更好，故选用函数y ＝g (x )＝pq x ＋r 作为模拟函数较好． 反思感悟 建立函数模型应遵循的三个原则(1)简化原则：建立函数模型，原型一定要简化，抓主要因素、主要变量，尽量建立较低阶、较简便的模型．(2)可推演原则：建立模型，一定要有意义，既能作理论分析，又能计算、推理，且能得出正确结论．(3)反映性原则：建立模型，应与原型具有“相似性”，所得模型的解应具有说明问题的功能，能回到具体问题中解决问题．跟踪训练2 某地区植被被破坏，土地沙漠化越来越严重，测得最近三年沙漠增加值分别为0.2万公顷、0.4万公顷和0.76万公顷，则沙漠增加值y 万公顷关于年数x 的函数关系式大致可以是( ) A ．y ＝0.2xB ．y ＝110(x 2＋2x )C．y＝2x10D．y＝0.2＋log16x答案 C解析对于A，x＝1,2时，符合题意，x＝3时，y＝0.6，与0.76相差0.16；对于B，x＝1时，y＝0.3；x＝2时，y＝0.8；x＝3时，y＝1.5，相差较大，不符合题意；对于C，x＝1,2时，符合题意，x＝3时，y＝0.8，与0.76相差0.04，与A比较，更符合题意；对于D，x＝1时，y＝0.2；x＝2时，y＝0.45；x＝3时，y≈0.6<0.7，相差较大，不符合题意．三、指数函数、对数函数与幂函数模型的比较例3函数f(x)＝2x和g(x)＝x3的图象如图所示．设两函数的图象交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1<x2.(1)请指出图中曲线C1，C2分别对应的函数；(2)结合函数图象，判断f(6)，g(6)，f(2 020)，g(2 020)的大小．解(1)C1对应的函数为g(x)＝x3，C2对应的函数为f(x)＝2x.(2)因为f(1)>g(1)，f(2)<g(2)，f(9)<g(9)，f(10)>g(10)，所以1<x1<2,9<x2<10，所以x1<6<x2,2 020>x2，从图象上可以看出，当x1<x<x2时，f(x)<g(x)，所以f(6)<g(6)．当x>x2时，f(x)>g(x)，所以f(2 020)>g(2 020)．又因为g(2 020)>g(6)，所以f(2 020)>g(2 020)>g(6)>f(6)．反思感悟指数函数、对数函数和二次函数增长差异的判断方法(1)根据函数的变化量的情况对函数增长模型进行判断．(2)根据图象判断增长型的指数函数、对数函数和二次函数时，通常是观察函数图象上升的快慢，即随着自变量的增大，图象最“陡”的函数是指数函数；图象趋于平缓的函数是对数函数．跟踪训练3甲、乙、丙、丁四个物体同时从某一点出发向同一方向运动，其路程f i(x)(i＝1,2,3,4)关于时间x(x≥0)的函数关系式分别为f1(x)＝2x－1，f2(x)＝x2，f3(x)＝x，f4(x)＝log2(x＋1)．有以下结论：①当x>1时，甲走在最前面；②当x>1时，乙走在最前面；③当0<x<1时，丁走在最前面，当x>1时，丁走在最后面；④丙不可能走在最前面，也不可能走在最后面；⑤如果它们一直运动下去，最终走在最前面的是甲．其中，正确结论的序号为________．答案③④⑤解析四个函数的大致图象如图所示，根据图象易知，③④⑤正确．1．下列函数中，在(0，＋∞)上增长速度最快的是()A．y＝x2B．y＝log2xC．y＝2x D．y＝2x答案 D2．在一次数学试验中，采集到如下一组数据：x －2.0－1.00 1.00 2.00 3.00y 0.240.511 2.02 3.988.02则x，y的函数关系与下列哪类函数最接近？(其中a，b为待定系数)()A ．y ＝a ＋bxB ．y ＝a ＋b xC ．y ＝ax 2＋bD ．y ＝a ＋bx答案 B解析 在坐标系中描出各点，知模拟函数为y ＝a ＋b x .3．甲从A 地到B 地，途中前一半路程的行驶速度是v 1，后一半路程的行驶速度是v 2(v 1<v 2)，则下图中能正确反映甲从A 地到B 地走过的路程s 与时间t 的关系的是( )答案 B4．现测得(x ，y )的两组对应值分别为(1,2)，(2,5)，现有两个待选模型：甲：y ＝x 2＋1，乙：y ＝3x －1，若又测得(x ，y )的一组对应值为(3,10.2)，则应选用________作为函数模型． 答案 甲解析 把x ＝1,2,3分别代入甲、乙两个函数模型，经比较发现模型甲较好．5．随着我国经济的不断发展，2014年年底某偏远地区农民人均年收入为3 000元，预计该地区今后农民的人均年收入将以每年6%的年平均增长率增长，那么2021年年底该地区的农民人均年收入约为________元．(精确到个位) (附：1.066≈1.42,1.067≈1.50,1.068≈1.59) 答案 4 500解析 根据题意，逐年归纳，总结规律建立关于年份的指数型函数模型，设经过x 年，该地区的农民人均年收入为y 元，依题意有y ＝3 000×1.06x ，因为2014年年底到2021年年底经过了7年，故把x ＝7代入，即可求得y ＝3 000×1.067≈4 500.1．知识清单：三种函数模型：线性函数增长模型、指数型函数增长模型、对数型函数增长模型． 2．方法归纳：转化法．3．常见误区：不理解三种函数增长的差异．1．(多选)当a>1时，下列结论正确的有()A．指数函数y＝a x，当a越大时，其函数值增长越快B．指数函数y＝a x，当a越小时，其函数值增长越快C．对数函数y＝log a x，当a越大时，其函数值增长越快D．对数函数y＝log a x，当a越小时，其函数值增长越快答案AD解析结合指数函数及对数函数的图象可知AD正确．2．三个变量y1，y2，y3随着变量x的变化情况如下表：x 1357911y1525456585105y2529245 2 18919 685177 149y35 6.10 6.61 6.957.27.4则关于x分别呈对数型函数、指数型函数、直线型函数变化的变量依次为()A．y1，y2，y3B．y2，y1，y3C．y3，y2，y1D．y1，y3，y2答案 C解析通过指数型函数、对数型函数、直线型函数的增长规律比较可知，对数型函数的增长速度越来越慢，变量y3随x的变化符合此规律；指数型函数的增长是爆炸式增长，y2随x的变化符合此规律；直线型函数的增长速度稳定不变，y1随x的变化符合此规律．3．小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间后，为了赶时间加快速度行驶．与以上事件吻合得最好的图象是()答案 C解析小明匀速运动时，所得图象为一条直线，且距离学校越来越近，故排除A.因交通堵塞停留了一段时间，与学校的距离不变，故排除D.后来为了赶时间加快速度行驶，故排除B. 4.如图所示，向放在水槽底部的烧杯注水(流量一定)，注满烧杯后，继续注水，直至注满水槽，水槽中水面上升高度h 与注水时间t 之间的函数关系大致是( )答案 B解析 开始的一段时间，水槽底部没有水，烧杯满了之后水槽中水面上升速度先快后慢，与B 图象相吻合．5．渔民出海打鱼，为了保证获得的鱼新鲜，鱼被打上岸后，要在最短的时间内将其分拣、冷藏，若不及时处理，打上来的鱼很快地失去新鲜度(以鱼肉内的三甲胺量的多少来确定鱼的新鲜度．三甲胺是一种挥发性碱性氨，是氨的衍生物，它是由细菌分解产生的．三甲胺量积聚就表明鱼的新鲜度下降，鱼体开始变质进而腐败)．已知某种鱼失去的新鲜度h 与其出海后时间t (分)满足的函数关系式为h (t )＝m ·a t .若出海后10分钟，这种鱼失去的新鲜度为10%，出海后20分钟，这种鱼失去的新鲜度为20%，那么若不及时处理，打上来的这种鱼在多长时间后开始失去全部新鲜度(已知lg 2≈0.3，结果取整数)( ) A ．33分钟 B ．40分钟 C ．43分钟 D ．50分钟答案 C解析 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧h (10)＝ma 10＝0.1，h (20)＝ma 20＝0.2，解得a ＝1102，m ＝0.05，故h (t )＝0.05×1102t⎛⎫⎪⎝⎭，令h (t )＝0.05×1102t⎛⎫ ⎪⎝⎭＝1，得1102t⎛⎫⎪⎝⎭＝20，故t＝110lg 20lg 2＝1＋lg 2110lg 2≈10(1＋0.3)0.3≈43(分钟)．6．函数y ＝x 2与函数y ＝x ln x 在区间(0，＋∞)上增长较快的一个是________． 答案y＝x 2解析 当x 增加时，x 比ln x 增长要快， ∴x 2要比x ln x 增长的要快．7．已知函数f (x )＝3x ，g (x )＝x ，当x ∈R 时，f (x )与g (x )的大小关系为________． 答案 f (x )>g (x )解析 在同一直角坐标系中画出函数f (x )＝3x ，g (x )＝x 的图象，如图所示，由于函数f (x )＝3x 的图象在函数g (x )＝x 图象的上方，则f (x )>g (x )．8．生活经验告诉我们，当水注入容器(设单位时间内进水量相同)时，水的高度随着时间的变化而变化，在图中请选择与容器相匹配的图象，A 对应________；B 对应________；C 对应________；D 对应________．答案 (4) (1) (3) (2)解析 A 容器下粗上细，水高度的变化先慢后快，故与(4)对应；B 容器为球形，水高度变化为快—慢—快，应与(1)对应；C ，D 容器都是柱形的，水高度的变化速度都应是直线型，但C 容器细，D 容器粗，故水高度的变化为：C 容器快，与(3)对应，D 容器慢，与(2)对应． 9．同一坐标系中，画出函数y ＝x ＋5(x ≥0)和y ＝2x (x ≥0)的图象，并比较当x ≥0时，x ＋5与2x 的大小．解 函数图象如图所示，根据函数y ＝x ＋5与y ＝2x 的图象增长差异得： 当0≤x <3时，x ＋5>2x ， 当x ＝3时，x ＋5＝2x ， 当x >3时，x ＋5<2x .10．某债券市场发行三种债券，A 种面值为100元，一年到期本息和为103元；B 种面值为50元，半年到期本息和为51.4元；C 种面值为100元，但买入价为97元，一年到期本息和为100元．作为购买者，分析这三种债券的收益，如果只能购买一种债券，你认为应购买哪种？解 A 种债券的收益是每100元一年到期收益3元；B 种债券的半年利率为51.4－5050，所以100元一年到期的本息和为100⎝⎛⎭⎪⎫1＋51.4－50502≈105.68(元)，收益为5.68元；C 种债券的利率为100－9797，100元一年到期的本息和为100⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋100－9797≈103.09(元)，收益为3.09元．通过以上分析，应购买B 种债券．11．函数y ＝2x －x 2的图象大致是( )答案 A解析 分别画出y ＝2x ，y ＝x 2的图象， 由图象可知(图略)，有3个交点，∴函数y ＝2x －x 2的图象与x 轴有3个交点，故排除B ，C ； 当x <－1时，y <0，故排除D.12．近几年由于北京房价的上涨，引起二手房市场交易火爆，房子几乎没有变化，但价格却上涨了，小张在2013年以180万的价格购得一套新房子，假设这10年来价格年膨胀率不变，那么到2023年，这套房子的价格y (万元)与价格年膨胀率x 之间的函数关系式是______________．答案 y ＝180(1＋x )10解析 1年后的价格为180＋180·x ＝180(1＋x )(万元)，2年后的价格为180(1＋x )＋180(1＋x )·x ＝180(1＋x )·(1＋x )＝180(1＋x )2(万元)，由此可推得10年后的价格为180(1＋x )10万元．13．若已知16<x <20，利用图象可判断出12x 和log 2x 的大小关系为________．答案 12x >log 2x解析 作出f (x )＝12x 和g (x )＝log 2x 的图象，如图所示：由图象可知，在(0,4)内，12x >log 2x ；x ＝4或x ＝16时，12x ＝log 2x ；在(4,16)内，12x <log 2x ；在(16,20)内，12x >log 2x .14．将甲桶中的a 升水缓慢注入空桶乙中，t 秒后甲桶剩余的水量符合指数衰减曲线y ＝a e nt ，假设5秒后甲桶和乙桶的水量相等，则n ＝________；若再过m 秒甲桶中的水量只有a 4升，则m ＝________.答案 －15ln 2 5 解析 ∵5秒后两桶的水量相等，则a e 5n ＝a 2⇒e 5n ＝12⇒n ＝15ln 12＝－15ln 2， 若k 秒后甲桶水量为a 4， 则a e nk ＝a 4，e nk ＝14⇒nk ＝ln 14⇒－15ln 2·k ＝－2ln 2， ∴k ＝10，∴m ＝10－5＝5.15．函数f(x)＝lg x，g(x)＝0.3x－1的图象如图所示．(1)指出曲线C1，C2分别对应哪一个函数；(2)比较两函数的增长差异(以两图象交点为分界点，对f(x)，g(x)的大小进行比较)．解(1)由题图知，C1对应的函数为g(x)＝0.3x－1，C2对应的函数为f(x)＝lg x.(2)当x∈(0，x1)时，g(x)>f(x)；当x∈(x1，x2)时，g(x)<f(x)；当x∈(x2，＋∞)时，g(x)>f(x)．16．已知函数y＝f(x)是函数y＝log2x的反函数．(1)求y＝f(x)的解析式；(2)若x∈(0，＋∞)，试分别写出使不等式成立的自变量x的取值范围：①log2x<2x<x2；②log2x<x2<2x.解(1)∵函数y＝f(x)是函数y＝log2x的反函数，∴f(x)＝2x.(2)作出函数y＝2x，y＝x2，y＝log2x在同一直角坐标系中的图象，可得：22＝4,24＝42＝16，下面借助图象解决问题．①∵log2x<2x<x2，∴2<x<4，即x的取值范围为(2,4)；②∵log2x<x2<2x，∴0<x<2或x>4，即x的取值范围为(0,2)∪(4，＋∞)．。
4.4 第3课时 不同函数增长的差异
x>4时,log2x<x2<2x,故选D.
答案:D
4.某化工厂开发研制了一种新产品,前三个月的月生产量依次
为100 t,120 t,130 t.为了预测今后各月的生产量,需要以这三
个月的月产量为依据,用一个函数来模拟月产量y(单位:t)与月
2
5.58
3
7.00
若 f(x)近似符合以下三种函数模型之一:
f(x)=ax+b,f(x)=2x+a,f(x)=lo x+a.
4
8.44
(1)找出你认为最适合的函数模型,并说明理由,然后选取表中
你认为最适合的数据并求出相应的解析式;
(2)因企业经营不善,2023年的实际年产量比预计减少了30%,
)
x
y
4
15
5
17
6
19
7
21
8
23
9
25
10
27
A.一次函数 B.二次函数
C.指数函数 D.对数函数
解析:自变量每增加1,函数值增加2,函数值的增量不变,故为
一次函数模型.
答案:A
3.能使不等式log2x<x2<2x一定成立的x的取值范围是(
)
A.(0,+∞) B.(2,+∞) C.(-∞,2) D.(4,+∞)
探究一 不同函数的增长特点及其应用
【例1】 下列函数中,增长速度最快的是(
)
A.y=1 021x
B.y=1 021x
C.y=log1 021x
D.y=1 020x
4.4.3 不同函数增长的差异(课件)
数学 必修 第一册 A
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谢谢观看！
增长速 度固定
随x增大逐渐与 _____x_轴__平__行____
增长速度
①y＝ax(a>1)：随着x的增大，y增长速度__越__来__越__快______，会远远大于y
＝kx(k>0)的增长速度，y＝logax(a>1)的增长速度__越__来__越__慢______； ②存在一个x0，当x>x0时，有_a_x_>_x_n_>_lo_g_a_x_____
返回导航Βιβλιοθήκη 第四章 指数函数与对数函数探究二 函数模型的增长差异在函数图象上的体现
高为H，满缸水量为V的鱼缸的轴截面如图所示，其底部破了一个小 洞，满缸水从洞中流出，若鱼缸水深为h时水的体积为v，则函数v＝f(h)的大致图象 是( )
答案 B 解析 由图得水深h越大，水 的 体 积 v 就 越 大 ， 故 v ＝ f(h) 是 增 函 数，且曲线的斜率应该是先变大后 变小．
(3)对数函数模型
对数函数模型y＝logax(a>1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速 度越来越慢，即增长速度平缓．
数学 必修 第一册 A
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第四章 指数函数与对数函数
[跟踪训练 1] 四个变量 y1，y2，y3，y4 随变量 x 变化的数据如表：
x1
5
10
15
20
25
30
y1 2 26
课件4：4.4.3 不同函数增长的差异
[答案] (1)函数 f(x)，g(x)，h(x)随着 x 的增大，函数 值增大. (2)各函数增长的速度不同，其中 f(x)＝2x 增长得最快， 其次是 g(x)＝2x，最慢的是 h(x)＝log2x.
2．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数 y＝3x 比 y＝2x 增长的速度更快些．( ) (2)当 x>100 时，函数 y＝10x－1 比 y＝lgx 增长的速 度快．( ) (3)能用指数型函数 f(x)＝abx＋c(a，b，c 为常数，a>0， b>1)表达的函数模型，称为指数型函数模型，也常 称为“爆炸型”函数．( )
本课结束
名师提醒 由图象判断指数函数、对数函数和幂函数的方法
根据图象判断增长型的指数函数、对数函数和幂函数时， 通常是观察函数图象上升得快慢，即随着自变量的增大， 图象最“陡”的函数是指数函数；图象趋于平缓的函数是 对数函数．
[针对训练]
4．当 2<x<4 时，2x，x2，log2x 的大小关系是( )
名师提醒 不同函数模型的选取标准
(1)线性函数增长模型适合于描述增长速度不变的变化规律． (2)指数函数增长模型适合于描述增长速度急剧的变化规律． (3)对数函数增长模型适合于描述增长速度平缓的变化规律． (4)幂函数增长模型适合于描述增长速度一般的变化规律．
[针对训练] 3．某学校为了实现 60 万元的生源利润目标，准备制定一 个激励招生人员的奖励方案：在生源利润达到 5 万元 时， 按生源利润进行奖励，且奖金 y(单位：万元)随生源 利润 x(单位：万元)的增加而增加，但奖金总数不超过 3 万元， 同时奖金不超过利润的 20%.现有三个奖励模型：y＝0.2x， y＝log5x，y＝1.02x，其中哪个模型符合该校的要求？
4.4.3 不同函数增长的差异(课件)
当堂达标
2.下图反映的是下列哪类函数的增长趋势( )
A．一次函数
B．幂函数
C．对数函数
D．指数函数
C 解析：从图象可以看出这个函数的增长速率越来越慢，反映的 是对数函数的增长趋势．
当堂达标
3.下列函数中随 x 的增长而增长最快的是(
A.y＝ex
B.y＝ln x
C.y＝x10
) D.y＝2x
A 解析：指数函数增长最快。
当堂达标
1.（多选）已知函数 y1 x2, y2 2x , y3 x ，则下列关于这三个函数的描述中，正确的是（ ） A.随着 x 的逐渐增大， y1 增长速度越来越快于 y2 B.随着 x 的逐渐增大， y2 增长速度越来越快于 y1
C.当 x0, 时， y1 增长速度一直快于 y3 D.当 x0, 时， y2 增长速度有时快于 y1
例 2 四个变量 y1，y2，y3，y4 随变量 x 变化的数据如下表：
x1 5
10
15
20
25
30
y1 2 26 101 226
401
626
901
y2 2 32 1 024 32 768 1.05×106 3.36×107 1.07×109
y3 2 10
20
30
40
50
60
y4 2 4.322 5.322 5.907 6.322
问题的已知条件，运用已掌握的数学知识、物理知识及其他相关知识建立 函数关系式，将实际问题转化为数学问题，实现问题的数学化，即所谓建 立数学模型.
自主学习
二. 三种常见函数模型的增长差异
函数类型
指数函数
对数函数
一元一次函数
解析式 单调性
4.4.3 不同函数增长的差异
C．y＝120x
D．y＝0.2＋log16x
解析：用排除法，当 x＝1 时，排除 B 项；当 x＝2 时，排除 D 项；
当 x＝3 时，排除 A 项．故选 C.
由于本节课是在学习了一次函数、指数函数和对数函数后来讨论函数 的增长差异，所以在教学中首先对这三种基本初等函数进行复习，了解三 种基本初等函数的一些基本知识．研究函数的有关性质，一般都是通过图 象，所以本节课要多利用多媒体教学平台，先画出一些特殊类函数的图象， 让学生直观观察不同类函数的图象上升或下降情况，再将问题推广到一 般，得出不同函数增长的差异．
4．4 对数函数
4．4.3 不同函数增长的差异
本节课是在学习了一次函数、指数函数和对数函数之后对函数学习的 一次梳理和总结．本节课提出了函数增长快慢的问题，通过函数图象及三 个函数的性质，完成函数增长快慢的认知．既是对三种函数学习的复习， 也是后续学习的基础，对培养和发展学生直观想象、数学抽象、数学建模 和数学推理的核心素养有很大的帮助．
一、导入新课 一张纸对折一次，厚度变成原来的 2 倍．再对折第二次，变为原来的 2 的 2 次方倍即 4 倍．以此类推，假设纸的厚度为 0.1 mm，则对折 24 次 以后，长度超过 1 千米；对折 39 次达 55 球的距离；对折 51 次达 2.25 亿千 米，超过地球至太阳的距离；对折 82 次为 51 113 光年，超过银河系半径 的长度．不过，以上只是一些不符合实际的数学理论推理数字．为什么会 出现这样的现象呢？带着问题进入我们今天的学习．
g(x)的图象在区间(0，＋∞)上，递减较慢，且递减速度越来越慢．函数
h(x)的图象在区间(0,1)上递减较快，但递减速度逐渐变慢；在区间(1，＋
∞)上，递减较慢，且越来越慢．
新教材人教A版4.4.3不同函数增长的差异课件(14张)
ab c 1,①
得 ab2 c 1.2,②
ab3 c 1.3,③
由①得ab=1-c,代入②③,
得
b(1-c) c 1.2, b2 (1-c) c 1.3,
则
c c
1.2-b , 1-b 1.3-b2
,
解得
b c
0.5, 1.4.
1-b2
则a=1-c =-0.8,源自b第四章 指数函数与对数函数
第四章 指数函数与对数函数
常见的函数模型及增长特点 y=kx+b(k>0)的增长特点是直线上升,其增长速度不变. y=ax(a>1)的增长特点是随着自变量的增大,函数值增大的速度越来 越快,即增长速度急剧,形象地称为“指数爆炸”. 3.对数函数模型y=logax(a>1)的增长特点是随着自变量的增大,函数值增大的速度 越来越慢,即增长速度平缓.
a b c 1,
a -0.05,
得 4a 2b c 1.2,解得b 0.35,
9a 3b c 1.3,
c 0.7,
第四章 指数函数与对数函数
∴yx2x+0.7. 由此得出结论:由此式计算得4月份的产量为1.3万双,比实际产量少700双,而且由 二次函数的性质可知,产量自4月份开始每月下降(图象开口向下,对称轴为x=3.5), 不符合实际. (3)令模拟函数为y=abx+c, 将A,B,C三点的坐标代入函数解析式,
∴y×x+1.4. 由此得出结论:把x=4代入,得y×4+1.4=1.35. 比较上述三个模拟函数的优劣时,既要考虑误差最小,又要考虑生产的实际,如:增 产的趋势和可能性.经过筛选,以y×x+1.4模拟为最佳,一是误差小,二是由于 厂房新建,随着工人技术和管理效益逐渐提高,一段时间内产量会明显上升,但经过 一段时间之后,如果不增加设备和工人,产量必然趋于稳定,而y×x 反映了这种趋势. 因此选用指数型函数y×x+1.4模拟比较接近客观实际.
4.4.3不同函数增长的差异课件(人教版)(1)
的人具有的函数关系是( D )
A.f1(x)＝x2 B.f2(x)＝4x C.f3(x)＝log2x
f4(x)＝2x
解：由函数的增长趋势可知，指数函数增长最快，所以最终 最前面的具有的函数关系为f4(x)＝2x，故选D
4.4.3 不同函数增长的差异
随堂练习
5.每年的3月12日是植树节，全国各地在这一天都会开展各种情势的植树 活动，某市现有树木面积10万平方米，计划今后5年内扩大树木面积，现 有两种方案如下： 方案一：每年植树1万平方米； 方案二：每年树木面积比上一年增加9%. 哪个方案较好？
4.4.3 不同函数增长的差异
研探新知
知识点一 常见函数模型的比较
性质函数
y=ax (a>1)
y=logax (a>1)
y=kx (k>0)
在(0,+∞)
增
增
上的增减性
图象的变化 随x的增大逐渐变“陡” 随x的增大逐渐趋于稳定
增 增长速度固定
增长特点
随着自变量的增大,函数 随着自变量的增大,函数
值增大的速度越来越快, 值增大的速度越来越慢,
x1 2 3 4 5
y 1.5 5.9 13.4 24.1 37
解：通过所给数据可知y随x增大，其增长速度越来越快，而 A，D中的函数增长速度越来越慢，而B中的函数增长速度保 持不变，故选C.
4.4.3 不同函数增长的差异
随堂练习
2.若 x 0,1，则下列结论正确的是( A )
1
A． 2x x2 lg x
解：根据题意，. 函数解析式为 y=1.104x（x＞0）函数为指数函数， 底数1.104＞1递增，选B
4.4.3 不同函数增长的差异
4.4.3不同函数的增长差异
②在x的一定范围内，logbx可能大于kx.
③存在x0 ,当x>x0时，恒有logbx<kx.
39000
40000
41000
42000
43000
44000
45000
46000
47000
48000
49000
结论 常见的函数模型及增长特点
3.对数函数模型y=logax(a>1)的增长特点是随着自变量 的增大,函数值增大的速度越来越慢,即增长速度平缓. 对数函数比较适合于描述增长速度平缓的变化规律.
40 1.602 4
1
50 1.699 5 60 1.778 6
o 10 20 30 40 50 60 x
…… …… ……
将lgx扩大1000倍,再对函 数y=1000lgx和y=0.1x的 增长情况进行比较，那 么仍然有上述规律吗？
A
A: (46692.47，4669.25)
结论：①y=logbx(b>1)增长速度越来越慢.
2.指数爆炸反映了指数函数(底数大于1)的增 长趋势，其增长速度急剧(越来越快)；
3.对数增长反映了对数函数(底数大于1)的增 长趋势，其增长速度平缓(越来越慢)。
③存在x0 ,当x>x0时,恒有2x>2x. 几何画板动画演绎：
结论 常见的函数模型及增长特点
1.线性函数模型y=kx(k>0)的增长特点是直线上升,其 增长速度不变. 2.指数函数模型y=ax(a>1)的增长特点是随着自变量的 增大,函数值增大的速度越来越快,即增长速度急剧,形 象地称为“指数爆炸”. 在x的一定范围内，ax可能小于kx. 存在x0 ,当x>x0时，恒有ax>kx.
4.4.3 不同函数增长的差异
学霸笔记：(1)准确作图是解题的关键，一是区别函数不同的增长速
度；二是注意两个函数的交点，无法求出的可以用字母代替．
(2)利用图象高低，可以求出满足不等式的做不了的范围，或者直观
比较一些无法计算的函数值的大小．
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跟踪训练2
已知函数f(x)＝ln x，g(x)＝0.5x－1的图象如图所示．
y＝logax(a＞1)
y＝kx(k＞0)
单调递增
____________
单调递增
____________
单调递增
____________
随x的增大逐渐
随x的增大逐渐
增长速度不变
变“陡”“指数 趋于稳定 “对“直线上爆炸”．升”．
数增长”．
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y＝ax(a＞1)的增长速度最终都会大大超过
增长速度
B．y＝2024x2
C．y＝log2024x
D．y＝2024x
)
答案：A
解析：由函数y＝1.1x为单调递增的指数函数，函数y＝2024x2为二次函数，y＝
log2024x为单调递增的对数函数，y＝2024x为单调递增的一次函数，根据一次函数、
指数函数与对数函数、二次函数的图象与性质，可得指数函数增长速度最快．
所以1<x1<2，9<x2<10，所以x1<8<x2<2 024，
由图象知，当x1<x<x2时，f(x)<g(x)，所以f(8)<g(8)．
当x>x2时，f(x)>g(x)，且g(x)在(0，＋∞)上单调递增，
所以g(8)<g(2 024)<f(2 024)．
所以f(2 024)>g(2 024)>g(8)>f(8)．