立体几何证明练习及答案

立体几何证明
2018.12.12
一、解答题（本大题共8小题，共96.0分）
1.如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，点O是对角线
AC与BD的交点，AB=2，∠BAD=60°，M是PD的中点．
（Ⅰ）求证：OM∥平面PAB；
（Ⅱ）平面PBD⊥平面PAC；
（Ⅲ）当三棱锥C-PBD的体积等于时，求PA的长．
2.如图，已知正方形ABCD和矩形BDFE所在的平面互相垂直，AC交BD于O点，
M为EF的中点，BC=，BF=1
（Ⅰ）求证：BC⊥AF：
（Ⅱ）求证：BM∥平面ACE；
（Ⅲ）求二面角B-AF-C的大小．
3.如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥AC，PC⊥BC，M为PB的中点，D为AB的中点，
且△AMB为正三角形
（1）求证：BC⊥平面PAC
（2）若PA=2BC，三棱锥P-ABC的体积为1，求点B到平面DCM的距离．
4.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，平面PAD⊥平面ABCD，AP=AD，
M，N分别为棱PD，PC的中点．求证：
（1）MN∥平面PAB；
（2）AM⊥平面PCD．
5.如图，在四棱锥P-ABCD中，PC⊥平面ABCD，AB∥DC，DC⊥AC．
（1）求证：DC⊥平面PAC；（2）求证：平面PAB⊥平面PAC；
（3）设点E为AB的中点，在棱PB上是否存在点F，使得PA∥平面CEF？说明理由．
6.如图，在四面体ABCD中，AD=BD，∠ABC=90°，
点E，F分别为棱AB，AC上的点，点G为棱AD
的中点，且平面EFG∥平面BCD．求证：
（1）EF=BC；
（2）平面EFD⊥平面ABC．
7.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，∠ADC=60°，，
PA⊥面ABCD，E为PD的中点．
（Ⅰ）求证：AB⊥PC
（Ⅱ）若PA=AB=，求三棱锥P-AEC的体积．
8.如图，PC⊥平面ABC，DA∥PC，∠ACB=90°，E为PB的
中点，AC=AD=BC=1，PC=2．
（I）求证：DE∥平面ABC：
（II）求证：PD⊥平面BCD；
（III）设Q为PB上一点，=λ，试确定λ的值使得
二面角Q-CD-B为45°．
答案
1.【答案】（Ⅰ）证明：在△PBD中，因为O，M分别
是BD，PD的中点
所以OM∥PB．又OM⊄平面PAB，PB⊂平面PAB，
所以OM∥平面PAB．
（Ⅱ）证明：因为底面ABCD是菱形，
所以BD⊥AC．
因为PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，
所以PA⊥BD．又AC∩PA=A，
所以BD⊥平面PAC．
又BD⊂平面PBD，
所以平面PBD⊥平面PAC.
（Ⅲ）解：因为底面ABCD是菱形，且AB=2，∠BAD=60°，
所以S△BCD=．
又V C-PBD=V P-BCD，三棱锥P-BCD的高为PA，
所以，
解得．
2.【答案】（Ⅰ）证明：∵正方形
ABCD和矩形BDFE所在的平面互
相垂直，
∴FB⊥平面ABCD，∵BC⊂平面ABCD，
∴FB⊥BC，
∵ABCD是正方形，∴BC⊥AB，
∵AB∩FB=B，∴BC⊥面ABF，
∵AF⊂平面ABF，∴BC⊥AF．
（Ⅱ）证明：连结EO，
∵AC交BD于O点，M为EF的中
点，
∴BM BO，∴BMEO是平行四边形，
∴OE∥BM，
又BM不包含于平面ACE，OE⊂平面ACE，
∴BM∥平面ACE．
（Ⅲ）解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DE为z轴，
建立空间直角坐标系，
B（，，0），A（，，），F（，，），C（0，，0），，，，，，，=（，，），
设平面CAF的法向量，，，
则，取x=，得，，，
又平面ABF的法向量，，，
∴cos＜，＞==，∴＜，＞=60°，
∴二面角B-AF-C的平面角为60°．
3.【答案】解：（1）证明：在正△AMB中，D是AB的中点，所以MD⊥AB. 因为M是PB的中点，D是AB的中点，所以MD∥PA，故PA⊥AB.
又PA⊥AC，AB∩AC=A，AB，AC⊂平面ABC，
所以PA⊥平面ABC．
因为BC⊂平面ABC，所以PA⊥BC．
又PC⊥BC，PA∩PC=P，PA，PC⊂平面PAC，
所以BC⊥平面PAC．
（2）设AB=x，则，，
三棱锥P-ABC的体积为，得x=2，
设点B到平面DCM的距离为h．因为△AMB为正三角形，所以AB=MB=2．因为，⊥，所以AC=1．
所以△ △ ．
因为，由（1）知MD∥PA，所以MD⊥DC．
在△ABC中，，所以△ ．因为V M-BCD=V B-MCD，
所以△ △ ℎ，即ℎ．
所以ℎ．故点B到平面DCM的距离为．
4.【答案】证明：（1）因为M、N分别为PD、PC
的中点，
所以MN∥DC，又因为底面ABCD是矩形，
所以AB∥DC．所以MN∥AB，
又AB⊂平面PAB，MN⊄平面PAB，
所以MN∥平面PAB．
（2）因为AP=AD，P为PD的中点，所以AM⊥PD．
因为平面PAD⊥平面ABCD，
又平面PAD∩平面ABCD=AD，CD⊥AD，CD⊂平面ABCD，
所以CD⊥平面PAD，
又AM⊂平面PAD，所以CD⊥AM．
因为CD、PD⊂平面PCD，CD∩PD=D，
∴AM⊥平面PCD．
5.【答案】（1）证明：∵PC⊥平面ABCD，DC⊂平面ABCD，
∴PC⊥DC，
∵DC⊥AC，PC∩AC=C，
∴DC⊥平面PAC；
（2）证明：∵AB∥DC，DC⊥AC，
∴AB⊥AC，
∵PC⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，
∴PC⊥AB，
∵PC∩AC=C，
∴AB⊥平面PAC，
∵AB⊂平面PAB，
∴平面PAB⊥平面PAC；
（3）解：在棱PB上存在中点F，使得PA∥平面CEF．
∵点E为AB的中点，
∴EF∥PA，
∵PA⊄平面CEF，EF⊂平面CEF，
∴PA∥平面CEF．
6.【答案】证明：（1）因为平面EFG∥平面BCD，
平面ABD∩平面EFG=EG，平面ABD∩平面BCD=BD，
所以EG∥BD，…（4分）
又G为AD的中点，
故E为AB的中点，
同理可得，F为AC的中点，
所以EF=BC．…（7分）
（2）因为AD=BD，
由（1）知，E为AB的中点，
所以AB⊥DE，
又∠ABC=90°，即AB⊥BC，
由（1）知，EF∥BC，所以AB⊥EF，
又DE∩EF=E，DE，EF⊂平面EFD，
所以AB⊥平面EFD，…（12分）
又AB⊂平面ABC，
故平面EFD⊥平面ABC．…（14分）
7.【答案】证明：（1）因为PA⊥面ABCD，
又AB⊂平面ABCD，
所以AB⊥PA，
又因为∠ABC=∠ADC=60°，
，
在△ABC中，由余弦定理有：
AC2=AB2+BC2-2AB•BC•cos60°=BC2-AB2
所以AB2+AC2=BC2，
即：AB⊥AC，
又因为PA∩AC=A，又PA⊂平面PAC，AC⊂平面PAC，
所以AB⊥平面PAC，
又PC⊂平面PAC，所以AB⊥PC．
解：（2）由已知有：，
所以PA=AB=2，AD=4，因为PA⊥面ABCD
且E为PD的中点，所以E点到平面ADC的距离为，所以三棱锥P-AEC的体积：
V P-AEC=V D-AEC=V E-ADC=△
=×．
8.【答案】（I）证明：建立如图所示的空间直角坐标系，则B（0，1，0），D（1，0，
1），P（0，0，2），E，，，
，，．
可知，，为平面ABC的一个法向量，
∵，∴⊥．
∵DE⊄平面ABC，∴DE∥平面ABC．
（II）证明：∵，，，=（0，1，0），
=（1，0，1）．
∴=0，．
∴PD⊥BC，PD⊥CD．∵BC∩DC=C，
∴PD⊥平面BCD．
（III）解：由（II）可知：=（1，0，-1）为平面BCD的法向量，∵，，，，，，λ∈（0，1）．
∴Q（0，λ，-2λ+2）．
设平面QCD的法向量为，，，由，得，令z=1，则x=-1，，∴，，，λ∈（0，1）．
∴cos45°===，
解得．。