§1-2 复变函数的积分 柯西定理
复变函数的积分及柯西公式
f z dz u iv dx idy
c c
udx vdy i vdx udy
c c
f x t iy t z t dt
2
三、复变函数积分的性质
(1) f ( z )dz
C Cdz;
( 2) kf ( z )dz k f ( z )dz; ( k为常数)
C
( 3) [ f ( z ) g( z )]dz f ( z )dz g( z )dz;
C C C
3
2.2 柯西定理
单连通区域的柯西定理：如果函数f(z)在闭单连通区域 中解析，则沿着中任何一个分段光滑的闭合围道c的积 分为：
2.1 复变函数的积分 一、积分的定义
y
C
f ( z )dz lim f ( k ) zk .
n k 1
n
A
1 2
z1 z2
k z k zk 1
C z n 1
B
o
x
1
二、复变函数积分公式
f z u x, y iv x, y z x iy , dz dx idy
复连通区域的柯西定理：如果函数f(z)是复连通区域中 的单值解析函数，则有：
4
2.3 不定积分
5
2.4 柯西公式
a,改记作z，积分变数用������表示，也可写作
推论： 1、模数原理：设f（z）在某闭区域上解析，则|f（z）|只 能在边界线 l 上取极大值。 2、刘维尔定理：如f（z）在全平面解析且有界，则f（z） 必为常数。
复变函数第3章
z 1 2 所以
z 1 2 2 2 f ( z) 2, z 1 2 由估值不等式有
z 1 C z 1 dz 8 .
3.1.3 复变函数的积分的计算问题
定理3.1 设C为光滑曲线， 若 f z ux, y ivx, y
沿曲线C连续,则 f ( z )沿C可积,且
1 1 f ( z) ＝ 1. Re z 1＋3t
而L之长为3，故
dz L Re z 3.
例4
计算积分
其中积分路径为
C
z dz
2
(1) 连接0到1+i的直线段 (2) 连接0到1的直线段及连接1到1+i的直 线段所成的折线. 解 方程为 (1) 连接0到1+i的直线段的参数
z (1 i)t (0 t 1).
y
B
那么B到A就是曲线L的负向,
记为 L .
o
A
x
关于曲线方向的说明: 在今后的讨论中,常把两个端点中的一个作 为起点, 另一个作为终点, 除特殊声明外, 正方 向总是指从起点到终点的方向. 简单闭曲线正向的定义: 简单闭曲线L的正向是 P 指当曲线上的点P顺此方向 前进时, 邻近P点的曲线的 o 内部始终位于P点的左方. 与之相反的方向就是曲线的负方向.
0 0 1 1
1
1
1 tdt i dt i. 0 0 2
(此例说明:积分路径不同, 积分结果可能不 同)
作业:P45.T1;T3.
1. 柯西积分定理 2. 复合闭路定理 3. 解析函数的原函数
由定理3.1,复积分可转化为实二元函数 的第二型曲线积分.那么,复积分在什么情况 下与路径无关? 1 2 比较 f ( z ) z , f ( z ) Re z , f ( z ) za 可能与被积函数的解析性及解析区域有关
复变函数积分中柯西定理的推广
复变函数积分中柯西定理的推广姓名：刘亚宁学号： 20161102541专业：物理学班级： 16级物理学院系：物理与电子信息学院内容摘要数学物理方法作为物理学专业普通物理与理论物理的纽带，其重要性不言而喻。
复变函数理论的相关知识是基础并且重要的。
其中，对于复变函数的积分，有一个重要的定理——单、复通区域的柯西定理，包括单、复通区域柯西定理的使用条件和最后结论。
并且，柯西定理还可以进行推广，将使用条件进一步简化，减少局限性，使得柯西定理的应用更加广泛。
本篇将阐述柯西定理的推广过程及结论。
关键词：连续解析柯西定理积分路径复变函数积分中柯西定理的推广单、复通区域的柯西定理的证明过程，在众多教材中已经给出。
而对于柯西定理的推广，只给出了相关结论。
现结合现有知识以及相关文献，以单通区域为例，对柯西定理的推广进行证明。
1.相关知识（1）单通区域柯西定理：如果函数f (z)在闭单连通区域B上解析，则沿B上任一分段光滑闭合曲线l（也可以是B的边界），有⎰f(z)dz=0l（2）单通区域柯西定理的推广：如果函数f (z)在单连通区域B上解析，在闭单连通区域B上连续，则沿B上任一分段光滑闭合曲线l（也可以是B的边界），有⎰f(z)dz=0l2.具体证明首先，我们可以将柯西定理的推广整理成以下形式:假如D是一个可求长度的曲线C的内部区域，函数f(z)是D内的解析函数，并且f(z)在闭区域B上连续，则⎰f(z)dz=0C假定c是一个无论怎样小的正数。
按照假设的条件，f(z)在D上一致连续。
因此存在这样一个数δ（0<δ<1）使得对于区域D上满足条件|z1-z2| < 2δ的任意两点z1与z2，不等式|f (z1)-f(z2)|<c都成立。
即|z1-z2|< 2δ⇒|f (z1)-f(z2)|<c①如图，可求长度的曲线C在复平面内，其内部区域为D。
选取常数α与相应的常数β，使得在每一条直线x=α+mδ与y=β+mδ(m=0,±1,±2,……)上都有曲线的有限多个点。
复变函数-柯西积分定理
显然, F(z)
z
f ( )d
是 f (z)的一个原函数。
z0
利用原函数的概念, 可以得出复积分的牛顿— 莱布 尼兹公式 :
定理 设 f (z) 在单连通区域D 内解析, F (z) 是 f (z) 的 一个原函数, 则对 a, b D, 有
b a
f
( z )dz
F(z)
b a
F(b)
F (a)
注:
(1) 本公式只用于计算与积分路径无关的积分;
(2) 在求原函数时, 实函数的换元积分法和分步 积分法仍成立。
例 计算积分 24i z 2dz 1 i
解:
z2
在 整 个 复 平 面 上 解 析, 且
1
z3
z2
3
24i z2dz 1 z3 24i 1 (86 18i)
1 i
3 1i
§3.2 柯西积分定理
问题 : f (z) 在什么条件下, C f (z)dz 仅与积分路径的起点
和终点有关, 而与积分路径无关呢?
定理(柯西积分定理) 若 f (z) 在单连通域 D 内处处解析, 那么 函数 f (z) 沿 D 内任意一条闭曲线C 的积分为零, 即
C f (z)dz 0
推论 如果 f (z) 在单连通域 D 内处处解析, 则 C f (z)dz
f (z0 ) 2i
dz or C z z0
1 f ( )
f (z)
d
2 i C z
称之为柯西积分公式。
说明: (1) 通过柯西积分公式, 可以把函数在C 内部任 一点z 的值用它在边界C 上的值通过积分来表示;
(2) 给出了解析函数的一个积分表达式:
C
不定积分及积分公式
0
z
D
z0.
C
在 D 内解析，且 F ( z) f ( z) ( z D).
Note.实际上该定理只需证得一个结论即可.
NUDT
定理2的证明
定理2 如果函数 f (z ) 在单连通 区域 D内解析，那么函数
F ( z) f ( z) ( z D).
C 定理 设函数 f (z ) 在区域 D 内处处解析， 为 D 内的任何 z 一条正向简单闭曲线，它的内部完全含于D 内， 0 为 C 内任何一点，那么 1 f ( z) f ( z0 ) C z z d z.—柯西积分公式 2i 0 C
z.r
0
显然f ( z)在C上以及C在的内部解析
C
f ( z ) d z f [ z (t )] z(t ) d t
什么是基本定理?
定理（Cauchy-Goursat基本定理）设函数 f (z ) 在单连 C 通区域 D 内解析， 为 D 内的闭曲线，则 f (z ) 在C上的 积分等于零，即
C f ( z ) d z 0.
该结果仍然成立.
2z 1 Example2. Ñ 2 dz 4i C z z (C : z 2正向圆周) 1 (C为包含单位圆周在内的任何一条正向简单闭曲线) (C : z 正向) 2 Note.利用待定系数法将被积函数分解成简单分式的和.
?
NUDT
练 习 题
Exercise1. dz ? dz 试问： 2 C1 3z 1 C2 3z 2 1 ? 其中：C1是 z （正向圆周）， 4
闭路变形原理:在区域内的一个解析函数沿
闭曲线的积分,不因闭曲线在该区域内作连续 变形而改变它的值,只要在变形过程中曲线不 经过函数的不解析点。
数学物理方法1-2复变函数的积分
莫雷拉定理
总结词
莫雷拉定理是复变函数中一个关于全 纯函数的积分性质的定理。
详细描述
莫雷拉定理说明，如果全纯函数f(z)在圆盘 |z| < R内有界，那么对于任意实数t，积分 ∫f(z)e^(it)dz在|z| = R的边界上非零。这个 定理在研究全纯函数的性质以及解决一些数 学物理问题时非常有用。
柯西定理
总结词
柯西定理是复变函数中的一个基本定理，它表明如果一个函数在某个区域内的点上满足某种条件，则 该函数在该区域内可积。
详细描述
柯西定理说明，如果函数f(z)在某个区域D内是解析的，并且存在常数C使得对于D内的任意点z，都有 |f(z)|≤C，那么函数f(z)在D内是可积的。这意味着满足一定条件的解析函数在一定区域内具有可积性。
幂级数展开的收敛性
幂级数展开的收敛性取决于函数的性质和级数的收敛条件。
幂级数展开的应用
幂级数展开在数学物理中广泛应用于求解微分方程和积分方程。
泰级数展开
泰勒级数展开定义
01
将一个复变函数表示为多项式的无穷级数。
泰勒级数展开的收敛性
02
泰勒级数展开的收敛性取决于函数的性质和级数的收敛条件。
泰勒级数展开的应用
个定理在解决一些数学物理问题时非常有用。
柯西不等式
总结词
柯西不等式是复变函数中一个基本的积分不等式，它反映了函数与其共轭函数之间的积分关系。
详细描述
柯西不等式表明，对于任意实数a和b，以及在全平面上的非负函数f和g，有∫f(z)g(z*)dz ≥ |∫f(z)dz * ∫g(z*)dz|， 其中z*是z的共轭复数。这个不等式在处理一些积分问题时非常有用。
积分路径
积分性质
复数函数的积分具有线性性质、可加 性、可交换性等基本性质。
复变函数柯西定理
复变函数柯西定理
柯西定理(Cauchy's Theorem)是复变函数论里极为重要的定理，其联系的柯西积分(Cauchy's Integral)应用于复平面单连通和复连通区域分别导致复变函数在某点附近的泰勒展开(Taylor Expansion)和洛朗展开(Laurent Expansion)。
柯西定理说：解析函数在复平面解析区域里的积分是路径独立的。
另一种表达是解析函数在其解析区域里的环路积分为零。
(I) 柯西定理的证明一般是结合联系面积分与线积分的格林定理(Green's Theorem):
[注：格林定理可以直接证明，亦可由联系面-线积分的旋度(Curl)公式给出。
]
以及解析函数的柯西-黎曼方程(Cauchy-Riemann Equation):
具体而言：
现在：1. 利用(1),对于实部和虚部分别取(P,Q)=(u,-v)和(P,Q)=(v,u); 2. 利用（2），环路积分为零得证。
(II) 另一个角度，可证明如下：
对于解析函数，由柯西-黎曼方程可知：(3)中的实部：udx-vdy 和虚部：vdx+udy 分别是全微分形式，可写作某实函数的全微分:
而实函数全微分的环路积分为零。
复变函数-柯西积分定理
z
1
i
dz
C
1 z
dz
1 2
C
zБайду номын сангаас
1
i
dz
1 2
C
z
1
dz i
2i 0 0 2i
(2)
I
C
1 z
dz
1 2
C
z
1
i
dz
1 2
C
z
1
i
dz
0 0 2 i
2
i
| z | 1 2
| z i | 1 2
例 不经计算, 验证下列积分值为零, 其中, C 为| z | 1。
1
1
(1) C z2 5z 6 dz (2) C (z2 2)( z3 3) dz
i(12z
2 0
2)
2(6z
2 0
1)i
Morera 定理 : 若函数 f (z) 在单连通域 D 内连续，且对 D 内任意封闭
曲线 C 有 ÑC f (z)dz 0，则 f (z) 在区域 D 内解析。
Liouville 定理 : 若 f (z) 在复平面上解析且有界，则 f (z) 恒为常数。
当 f (z) 有奇点时，不能直接应用该定理。
例 计算
1 C z(z2 1) dz
(1) C 为| z | 1 ; (2) C 为| z i | 1
2
2
解
:
由于
1 z(z2
1)
1 z
1 2
z
1
i
1 2
z
1
i
所以
| z | 1 2
| z i | 1 2
复变函数第3节：柯西积分公式及高阶导数公式
第3节 柯西积分公式
柯西积分公式 高阶导数公式
一、柯西积分公式
设B为单连通域, f(z)在B内解析, z0∈B, 设C为B内
绕z0的任一正向简单闭曲线, 则
f (z) z z0
在z0不解析.
z0
在C内部作CR: |zz0|=R (取其正向)
C
f (z) d z
f
(z)
d
R
z
D
说明: 1) 解析函数具有任意阶导数；
2) f (n)(z0 ) 可用函数 f(z)在边界上的值通过积分唯一 确定。
说明:
3)
高阶导数公式的应用: 可求积分
C
f (z) (z z0 )n1 d z
要注意:a) f(z)在简单闭曲线C及其内部解析,
b) z0在C的内部.
高阶导数公式的作用: 不在于通过积分来求导,
若
C2
f((zz)2
1)2
dz.
n
f (z)dz
f (z)dz,
C
k 1 Ck
C
C1
C2 C3
• •
C1 i
o
C2 i
C
x
ez
C1
(
z
2
ez
1)2
dz
C1
( (
z z
i i
)2 )2
dz
y
C1 i
C
• •
2i (2 1)!
(
z
ez i
)2
(1 i)ei .
2
o
C2 i
z1 z1
sin z
dz
2i 4
2 i.
z1 2
复变函数第四章 1-2(2)
比值审敛法（达朗贝尔判别法） 设 n ∈ N, un ≥ 0, 且 lim n→∞
∞
∑v
n=1
∞
n
收敛 , 则
∞ n=1
∑u
n=1
n
也收敛 .
① 当 ρ <1 时 ,
∑u
n=1
∞
un +1 = ρ, un
则
n
收敛 ;
② 若 l > 0 或 l = +∞ , 且 极限审敛法
∑ vn 发散 , 则
∑ un 也发散 .
∞
∑ c n z n 在 z = z0
z > z0 y
它在 D1 = { z
z1
}
Case 1： z ∈ C ,
内发散 .
D1
∑c z
n=0 n
∞
n
收敛 ;
Case 2： z ∈ C , z ≠ 0 ,
∑c z
n=0 n
∞
n
发散 ;
D z
z0
Case 3： 在 C 上既有收敛的点 , 也有发散的点 ,
u ( x , y ) , v ( x , y ) 在 D 内是调和函数 . ux = v y v x = uy
z0
柯西积分公式： 高阶导数公式： f 常用作：
f ( z0 ) =
(n)
1 2π i
∫
∫
C
f ( z) dz . z z0 f ( z) ( z z0 )
n +1
注：若 u , v 是调和函数, 且满足 C-R 条件：
复
D
C
习
f ( z ) 在区域 D 内解析 , C 是 D 内一条简单闭曲 线 , 内部含于 D , z0 ∈ C 的内部 .
第二章 柯西定理公式
§2.1 柯西定理 一、单连通区域上的柯西定理：
1、单连通区域：闭曲线可在其内收缩为一点的区域。 2、柯西定理：
证明：
一、单连通区域上的柯西定理：
一、单连通区域上的柯西定理：
推论： 在单连通区域内，解析函数的线积分值只与始、末位置有 关，与积分路径的形状无关。
一、单连通区域上的柯西定理：
证 明：
二、柯西公式的推论：
∵ 被积函数在封闭曲线|z|=5内有两个极点：z=0和z=i
∴ 根据复连通区域上的柯西定理，有：
二、柯西公式的推论：
作 业：
二、柯西公式的推论：
2、无界区域上的柯西公式：
证明：
二、柯西公式的推论：
3、刘维尔(Liouville)定理：
二、柯西公式的推论：
证 明：
二、柯西公式的推论：
§2.2 柯西公式及其推柯西公式：
注意：柯西公式把复变函数的积分问题简化为解 析函数在奇点处的值的问题
一、柯西公式：
例 题：
解：
一、柯西公式：
作业：试计算下列积分的值，其中C是正向单位圆周 |z|=1。
二、柯西公式的推论：
1、解析函数的高阶导数：
思考：
二、复连通区域上的柯西定理：
1、复连通区域：闭曲线不能在其内收缩为一点的区域。 割线 复连通区域 2、柯西定理： 单连通区域
二、复连通区域上的柯西定理：
~ 在复连通区域上，解析函数沿外境界线逆时针方向的线积 分等于沿所有内境界线的逆时针方向的线积分之和。
例 题：
解 ：
二、复连通区域上的柯西定理：
第三章复变函数的积分(余家荣2014)
ÑC
(
z
1
)n1
dz
2i
0
n0 n0
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【例1.4】设C为连接z0, z两点的简单曲线，求 c dz, c zdz
( x, y)
x
y
解: dz dx idy dx i dy
C
( x0 , y0 )
x0
y0
( x x0) i( y y0) z z0
xy
x0
y0
)
1 2
(z2
z02
)
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由例1.4 积分c dz, c zdz 与路径无关 zdz c (xdx ydy) i (xdy ydx) 积分与路径无关
2、说明
①. 计算方法 令 f (z) u(x, y) iv(x, y) , dz dx idy 则：
c f (z)dz c (u iv)(dx idy)
c (udx vdy) i(vdx udy)
c f (z)dz c udx c vdy i(c vdx c udy)
( x, y)
zdz (x iy)(dx idy)
C
( x0 , y0 )
( x, y)
(xdx ydy) i(xdy ydx) ( x0 , y0 )
x
y
( x, y)
xdx ydy i dxy
x0
y0
( x0 , y0 )
1 2
(
x2
x02
)
1 2
(
y2
y02
)
i(
1
1
Ñ Ñ dz ,
C z
C (z )n1 dz ,
3.3柯西积分公式和推论
对C内任一点z，有
f
(z)
1
2
i
C
f
(
) z
d
(z D)
其中，沿曲线C的积分是按逆时针方向取 的，我们称它为柯西积分公式.
几个注意之点：
f
(z)
1
2 i
Cf( )ຫໍສະໝຸດ zd(z D)
1. 某些有界闭区域上的解析函数，它
在区域内任一点所取的值可以用它在边界
上的值表示出来. 2. 柯西公式是解析函数的最基本的
它在圆即周函上数的f (值z)的在平圆均心值z0.的值等于
证：设C表圆周| z0 | R,则
z0 Rei , 0 2
即 z0 Rei
y
z0 Rei
z0
d iRei d ,
O
x
由柯西积分公式，得 f (
1
2 i
2 0
f (z0 Re Re i
z0 )
i )
1
2 i C
0， 0 ( r0 )，
使得当0 r , z Cr时，
| f (z) f (z0 ) | .
因此 f (z) f (z0) dz | f (z) f (z0)| ds
Cr z z0
Cr | z z0 |
2 r 2
r
又
f (z) dz C z z0
f (z0)
1
2
i
f (z) dz.
C z z0
事实上，当r趋近于0时，有
f (z) dz f (z) f (z0 ) f (z0 ) dz
C z z0
Cr
f (z0)
z
1
z0
dz
Cr z z0
复变函数的柯西积分定理
复变函数的柯西积分定理
柯西积分定理是复变函数理论中的重要定理之一，它表明一个函数在一条围线内的曲线积分等于围线内的区域上的函数值相关的积分。
具体而言，柯西积分定理可以表示为：
设函数f(z)在区域D上解析，围线C完全位于D内，如果z0是D内部的一个点，那么对于围线C上的点z，有以下等式成立：
∮C f(z)dz = 0
这意味着如果一个解析函数在区域D内除去有限个孤立奇点外是解析的，那么沿着围线C的曲线积分等于零。
柯西积分定理的一个重要的推论是柯西公式，它可以表示为：
设函数f(z)在区域D上解析，围线C完全位于D内，如果z0是D内部的一个点，那么对于围线C上的点z，有以下等式成立：
f(z0) = \frac{1}{2\pi i}\oint_C \frac{f(z)}{z-z0}dz
这个公式表明，解析函数在围线C上的积分值完全由函数在围线内部点z0附近的取值决定。
柯西积分定理和柯西公式在复变函数理论中具有重要的应用，可以用来计算复变函数的曲线积分、求解边值问题等。
第三章 复变函数的积分
0 ≤ θ ≤ 2π
y
z − z0 = reiθ
θ
2π dz ireiθ ∴∫ = ∫ n+1 i (n+1)θ dθ C ( z − z )n+1 0 r e 0
z
o
z0
r C x
=∫
2π
0
i r ne inθ
i 2π dθ = 2π i , n = 0, ∫0 dθ = i 2π n ∫0 (cos nθ − i sin nθ )dθ = 0, n ≠ 0. r 15
20
§2 柯西-古萨积分定理 柯西1、 引言
复变函数的积分的实际上等同于对坐标的曲线积分， 复变函数的积分的实际上等同于对坐标的曲线积分，这 就很自然地引出积分与路径无关的问题. 就很自然地引出积分与路径无关的问题
事实上，从上一节中， 我们知道：有的积分与 积分路径 事实上，从上一节中， 我们知道： 无关； 另外， 无关；有的积分与积分 路径有关 . 另外，我们还知道
18
|dz | (3) ∫ ; |z |= 1 z
练习
计算 I =
∫
C
| z | dz的值 , 其中
(1) C 是单位圆 z = 1的上半圆周 , 顺时针方向 ; ( 2 ) C 是单位圆 z = 1的下半圆周，逆时针方 向; 的下半圆周， ( 3 ) C 是从 − 1到 1 的直线段 .
思考题：下列式子成立吗？ 思考题：下列式子成立吗？
容易验证，上式中积分与路径无关 容易验证，上式中积分与路径无关.
12
例 2 计算 I =
∫ z dz ，其中积分路径
c
C为
( i ) C 为从 O ( 0 ,0 )到 A ( 3，)的直线段； 4 的直线段；
第02章_复变函数的积分
Re zdz
l
y
i
A
O
l
(2) (1)
B (1, i)
1
分别沿路径(1)和(2)，如图 解：
1 (1) I1 xdx ixdy i 0 0 2
1 1
1 1
Re zdz xd(x iy) xdx ixdy
l l
x
1 (2) I 2 0 id y x d x 0 0 2
k 1
n
k
x
当 n 而且每一个 z k 0时， 若该和的极限存在，并且其值与 各 k的选取无关，则该和的极限 称为 f ( z )沿曲线 l从 A到 B的路积分
z0
O
记作 l f ( z )dz ，即：
l
f ( z )d z
max z k 0
lim
f (
k 1
l l
复变函数的路积分可以归结为两个实变函数的线积分, 它 们分别是路积分的实部和虚部。 因此, 实变函数线积分的许多性质对复变函数的路积分也 成立。复变函数的路积分满足如下6条性质： 1. 常数因子可以移到积分号之外； 2. 函数的和的积分等于各个函数的积分之和； 3. 反转积分路径，积分变号； 4. 全路径上的积分等于各段上积分之和； 5. 积分不等式1：
l1
B' A'
f (z)dz f (z)dz
CD
l2
f ( z)dz
l1
D 'C '
f ( z)dz 0
其中沿同一割线两边缘上的积分值相互抵消，于是有
f (z)dz
l
l
f ( z )dz f ( z )dz 0
大学物理-柯西定理
例：计算 解：外边界线为 L： z = 2
在 L 内，第一个积分有奇点 z = 0，第二个积分有奇 点 z = 1，由上例可知
四、解析函数的定积分公式 在单通区域内，解析函数的积分值只与端点有关而与
路径无关，可定义一个以终点 z 为自变量的单值函数：
定理：设 f (z) 是单通区域 D 内的解析函数，z0 是 D 的内点，
分与路径无关。
证明：
由 f (z) 解析可知 件。
存在且连续，并且满足 C–R 条
z2 D
说明：这里的区域指区域 的边界线是由简单闭合曲 线所包围的区域。
简单闭合曲线：曲线自身 不相交的曲线。
积分与路径无关要求：
(1)
连续 (已满足)
(2) 第一个积分要求：
第二个积分要求：
此两等式正是 C–R 条件 两个实变线积分与路径无关，这样
则
是 D 内的解析函数，且 F' (z) = f (z)
即 F (z) 是 f (z) 的原函数：F' (z) = f (z)
证明：如图，解析函数 f (z) 由点 z0 经 L1 到 z ，再经 L2 到 z + z 的积分等于从 z0 经 L3 到 z + z 的积分，即
则
由于解析函数的积分与路径无关，可取 L2 为直线，设 为 直线上任意一点，考虑到解析函数必连续，所以任给 > 0， 必存在 > 0，使得当 – z < 时，有 f ( ) – f (z) < 。
则 于是
讨论：如果积分回路是以 a 点为圆心的圆弧
那么
Cr (z a rei ,1 2 )
I
Cr
dz za
i
2 d
复变函数3.1
C
ζ1 ζ2
(2)取介点集 取介点集
a = a0 z
z1 z2
ζk z k zk1
zn1
b b = zn
在每个弧段 zk 1 z k ( k = 1, 2, , n)上任意取一点 ζ k ,
o
x
(3)作(Rinmann)和 作 和
Sn =
∑
n
这里 zk = zk zk 1 , sk = zk 1 zk的长度,
ζ1 ζ2
∫
C
f ( z )dz
即:
∫
C
f ( z )dz = lim ∑ f (ζ k ) zk .
δ →0
n →∞ k =1
n
①如果C为闭曲线，那末沿此闭曲线的积分记 作 f (z)dz.
∫
c
这个积分 ② C : t ∈[a, b], f (z) = u(t), 则C f (z)dz = ∫a u(t)dt, ∫ 定义就是一元实函数定积分的定义. ③ 如果∫ f (z)dz存在 一般不能写成∫ f (z)dz.因为 , C a
c c c
容易验证，右边两个线积分都与路线C无 关，所以 ∫ zdz 的值无论C是怎样的曲线都等于
c
1 2 (3 + 4i ) 2
1 dz 例4.计算积分 ∫ z 1 | z 1| =1
解 由积分路径：z 1|= 1 得： 1 = e (0 ≤ θ ≤ 2π ) | z
iθ
故积分路径方程为：z = z(θ ) = 1+ e ,(0 ≤ θ ≤ 2π )
C2
z1
C1
∫
C
f (z)dz = ∫ f (z)dz
z0
z1
复变函数-柯西定理
数学物理方法（I）高飞2014-2015年秋季大连理工大学物理与光电工程学院sxwlff_gf@Password：sxwlff2014§1.4 解析函数解析函数的定义解析函数与函数可导、C-R条件之间的关系；以及解析函数的充分必要条件调和函数-满足二维拉普拉斯方程已知解析函数的实部（或虚部）求解析函数；§1.5 几种简单的解析函数幂函数 指数函数 三角函数()nf z z=()zf z e= 双曲函数§1.6 多值函数第二章复变函数的积分§2.1 复变函数的积分§2.2 柯西定理§2.3 柯西公式§2.4 泊松积分公式一般：曲线C 的正方向总是指从起点到终点的方向。
那么终点到起点的方向就是曲线C 的负向，写为C -曲线方向的说明闭曲线：正方向和边界线的正方向一致——左侧A(起点)B(终点)CC1.定义设l 为复平面上的一条分段光滑的曲线c （A →B ），复变函数f(z)在该曲线上有定义。
()111()()nnkkk k kk k f zz f z ττ-==-=∆∑∑a)任意分割n 段b) 求和曲线积分012111,,,...,,,...,k k k n nz z z z z z z z -+-τkAB1lim ()()nk k cn k S f z f z dzτ→∞==∆≡∑⎰由于[][]()(,)(,)(,)(,)cccS f z dz u x y dx v x y dy i v x y dx u x y dy ==-++⎰⎰⎰c) 取极限,0n z →∞∆→,()(,)(,)dz dx idy f z u x y iv x y =+=+极限值S 为函数f(z)沿曲线c 的积分1lim ()nk kn k S f z τ→∞==∆∑则τkAB被积函数积分路径()CS f z dz=⎰复变积分存在的条件： c 是分段光滑曲线 若曲线C 是闭曲线，记为 如果存在，一般不能写成。
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第三章 复变函数的积分§3-1复变函数的积分【刘连寿、王正清编著《数学物理方法》P 29-31】复变函数积分的定义：设C 为复平面上以0z 为起点，而以z 为终点的一段路径（即一根曲线），在C 上取一系列分点011,,,,n n z z z z z -=把C 分为n 段，在每一小段[1k k z z -]上任取一点k ξ作和数：()()()111nnn k k k k k k k S f z z f z ξξ-===-=∆∑∑, 其中1k k k z z z -∆=-如果当n →∞且每一小段的长度（1||||k k k z z z -∆=-）趋于零时， 和式()1nk kk f z ξ=∆∑的极限存在，并且其值与k z 及k ξ的选取方式无关，则称这一极限为()f z 沿路径C 由0z 到z 的积分:()()1limlim nn k k Cn n k fz dz S f z ξ→∞→∞===∆∑⎰，C 称为积分路径（()f z 在C 上取值，即z 在C 上变化）。
若C 为围线（闭的曲线），则积分记为： ()Cf z dz ⎰. (围道积分)几点说明：1. 复变函数的积分不仅与积分端点有关，还与积分路径有关。
(与我们以前在高等数学中学过的实变函数的线积分类似。
)2．因为 z x iy =+，dz dx idy =+，()()(),,f z u x y iv x y =+，于是()()()(),,CCf z dz u x y iv x y dx idy =++⎡⎤⎣⎦⎰⎰()()()(),,,,C C u x y dx v x y dy i v x y dx u x y dy ⎡⎤⎡⎤=-++⎣⎦⎣⎦⎰⎰，所以复变函数的积分可以归结为两个实变函数的线积分，它们分别是复变函数积分的实部和虚部。
3．从复变函数积分的定义出发，可以直接得出复变函数的积分具有如下简单性质：（1）0C dz z z =-⎰，z 、0z 分别为C 之起点、终点。
（2）()()()()11221122C C C a f z a f z dz a f z dz a f z dz ±=±⎡⎤⎣⎦⎰⎰⎰，1a 、2a 为复常数。
（3）()()()12C C C f z dz f z dz f z dz =+⎰⎰⎰, 其中积分路径C 由路径1C 、2C 连接而成。
（4）()()C C f z dz f z dz -=-⎰⎰, C - 表示与C 方向相反的同一条曲线。
4．围道积分的环绕方向： 若积分路径C 的两端点重合（即C 为自身不相交的封闭曲线），则计算积分()C f z dz ⎰时必须先规定积分路径的环绕方向（因为：()()CCfz dz fz dz -=-⎰⎰ ）。
以后凡遇围道积分，如不加特别说明，都假定积分路径的环绕方向为沿逆时钟方向。
( C 为逆时钟方向，C -代表顺时钟方向)例： 试证()20nldzz a π⎧=⎨-⎩⎰l 为以z a =为圆心，ρ为半径的圆周（积分的环绕方向为沿逆时钟方向）。
证：l 的参数方程为i z a e θρ-= ()πθπ-≤≤，在l 上，i dz i e d θρθ=。
当1n =时，2i i ldzi e d i d i z ae θππθππρθθπρ--===-⎰⎰⎰。
当n 为1n ≠的整数时，()()11i i n nn in n ldzi e d i e d e z a θππθθππρθθρρ-----==-⎰⎰⎰ ()()1111i n n e n πθπρ----=--()()()11111101n n n n ρ---⎡⎤=----=⎣⎦-。
§3-2 柯西定理及其推广【刘连寿、王正清编著《数学物理方法》P 31-36】柯西定理讨论的是积分值与积分路径之间的关系，与涉及的区域有关。
单连通区域内任一闭曲线可连续收缩为一点，简而言之区域内没“空洞”。
复连通区域（或称多连通区域）内至少有一闭曲线不能连续收缩为一点，简而言之区域内有“空洞”。
(一) 单连通区域中的柯西定理若()f z 在单连通区域D 内解析，l 是D 内的任一围线（闭合曲线），则:()0lf z d z =⎰。
证明： 由于()f z 在D 上解析， 意味着()f z '在D 上各点均存在，实部u 、虚部v 有连续偏导数（即u x ∂∂、vx∂∂、u y ∂∂、v y ∂∂在D 上连续）并满足C-R 条件。
()()(),,f z u x y iv x y =+，dz dx idy =+，()()()lllf z dz udx vdy i vdx udy =-++⎰⎰⎰。
由于实部u 、虚部v 满足C-R 条件，u v x y∂∂=∂∂， u vy x ∂∂=-∂∂, 而由实变函数线积分的格林定理：()0l D v u udx vdy dxdy x y '⎛⎫∂∂-=-+= ⎪∂∂⎝⎭⎰⎰⎰， D '为l 所围单连通区域（C －R 条件） ()0l D u v vdx udy dxdy x y '⎛⎫∂∂+=-=⎪∂∂⎝⎭⎰⎰⎰， D '为l 所围单连通区域（C －R 条件） ()0lf z dz ∴=⎰。
定义：函数()f z 在闭区域-D 内解析, 是指()f z 在区域D 内以及它的边界l上的每一点都是解析的. ( 闭区域-D : D D l -=+) 。
一种等价的说法： 如果函数()f z 在包括区域D 和它的边界在内的更大一些 的区域内解析，就称它为在闭区域-D 内解析。
单连通区域中柯西定理的另外一种表述：如果函数()f z 在闭曲线l 所围的闭单连通区域内解析，则函数()f z 沿 闭曲线l 的积分等于零: ()0lf z dz =⎰。
柯西定理的几个推论：（1） 在()f z 解析的单连通区域内，()f z 沿任一曲线l 的积分，只依赖于l 的起点和终点，而与l 的具体形状无关。
即若()f z 在单连通区域D 内解析，1l 、2l 是D 内有相同端点的任意两条曲线，则:()()12l l f z dz f z dz =⎰⎰。
证明：因为1l 、2l 的端点相同，所以1l 与2l -组成一围线。
由柯西定理：()120l l f z dz -+=⇒⎰()()()122l l l f z dz f z dz f z dz -=-=⎰⎰⎰。
（2）当积分的端点不动，而积分路线在()f z 解析的区域内连续地变形时，积分之值不变；（3）沿闭合回路的积分，当积分回路在()f z 解析的区域内连续地变形时，积分之值不变。
（ 连续变形 — 闭合回路变形时不能跨过()f z 不解析的区域。
）(二) 复连通区域中的柯西定理对于复连通区域， 可以作一条或多条辅助线（割线）使之变成一个单连通区域， 然后再应用单连通区域中的柯西定理， 就可以得到复连通区域中的柯西定理。
复连通区域中的柯西定理两种表述：(1) 在闭复连通区域中解析的函数， 沿所有边界线的正方向的积分之和为零：()01...0n C C C fz dz--+++=⎰(2) 在闭复连通区域中解析的函数，按逆时钟方向沿外边界线的积分等于按逆时钟方向沿所有内边界线的积分之和：()()01inC C i f z dz fz dz ==∑⎰⎰说明：当沿某一方向沿边界线环行时，如果所包围的区域始终在边界线的左边，则该方向称为边界线的正方向；相反的方向则称为边界线的逆方向。
例1： 计算()nldzz a -⎰ ，l 为不通过z a =点的围线。
解：z a =是()()1nf z z a =-的一个奇点，(1) 若l 没有包围点z a =，则()()1nf z z a =-在l 所包围的区域上是解析的,从而()0nldzz a =-⎰（l 不包围z a =）。
(2) 若l 包围z a = 【z a =是()1nz a -的奇点】，作以z a =为圆心的圆周1l 包围a ，则由上述的公式得：()()1nnll dzdzz a z a =--⎰⎰。
由前面的例子可得:()12101nl i n dzn n z a π=⎧=⎨≠-⎩⎰，，为的整数， ()20,nldzz a π⎧∴=⎨-⎩⎰例2 ：计算()2dzz z Γ-⎰的值，Γ为包含圆周1z =在内的任何一条正向简单闭曲线。
解：在圆周1z =内分别以=0z 和=1z 为圆心、画出半径充分小的两个辅助小园，它们完全包含于圆周1z =内. 这两个小圆记作1c 和2c .根据复连通区域的柯西定理，有：()()()12222c c dz dzdz z z z z z z Γ=+---⎰⎰⎰11221111102200c c c c dzdz dz dz dz z zz zi i ππ=-+---=-+-=⎰⎰⎰⎰例3．设C 为单位圆周1z =，计算下列积分：（1）2Cdz z +⎰； （2）cos C dz z ⎰； （3）12C dz z +⎰； （4）2252C dzz z ++⎰。
解： （1）20,z += 奇点2z =-在C 外，积分 = 0； （2）cos 0, 2, 12z z k z ππ==±>， 奇点在C 外，积分 = 0；（3）110, 122z z +==<，奇点在C 内，积分 = 2i π； （4）被积函数有两个奇点：2252(21)(2)0z z z z ++=++=，1210, 1, 20, 212z z z z +==<+==>， 一个奇点在C 内，另一个奇点在C 外2252(21)(1)CCdzdzz z z z =++++⎰⎰111()1322C dz z z =-++⎰ 123i π=(三) 原函数的概念若'()()F z f z =，则称F (z )是f (z )的原函数，其中z ∈B ，B 是单连通区域。
设 f (z )是单连通区域B 内的解析函数，由Cauchy 定理知：沿B 内任一路径的积分()lf z dz ⎰只与起点、终点有关，而与积分路径无关，因此当起点0z B ∈固定时，该积分就定义了一个关于终点z 的单值函数：0()()zz F z f d ξξ=⎰. 则F (z )就是 f (z )的原函数: '()()F z f z =。
由于()F z 是f (z )的一个原函数，所以()F z C +（C 是任意常数）构成原函数族，则有：()()zz f d F z C ξξ=+⎰在上公式中令0z z =，则有0()0F z C +=，0()C F z =-，从而：0()()()zz f d F z F z ξξ=-⎰（ 解析函数的定积分公式，形式上与牛顿—莱布尼兹公式相似。