2018-2019年人教A版高中数学必修五练习：第二章章末总结 Word版含解析

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人教A版必修5：第二章章末复习课 Word版含解析

第二章章末复习课[整合·网络构建][警示·易错提醒]1．数列的概念及表示方法(1)定义：按照一定顺序排列的一列数．(2)表示方法：列表法、图象法、通项公式法和递推公式法．(3)分类：按项数有限还是无限分为有穷数列和无穷数列；按项与项之间的大小关系可分为递增数列、递减数列、摆动数列和常数列．2．求数列的通项(易错点)(1)数列前n 项和S n 与通项a n 的关系：a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2.(2)当已知数列{a n }中，满足a n ＋1－a n ＝f (n )，且f (1)＋f (2)＋…＋f (n )可求，则可用累加法求数列的通项a n ，常利用恒等式a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)．(3)当已知数列{a n}中，满足a n＋1a n＝f(n)，且f(1)·f(2)·…·f(n)可求，则可用累加法求数列的通项a n，常利用恒等式a n＝a1·a2a1·a3a2·…·a na n－1.(4)作新数列法：对由递推公式给出的数列，经过变形后化归成等差数列或等比数列来求通项．(5)归纳、猜想、证明法．3．等差数列、等比数列的判断方法(1)定义法：a n＋1－a n＝d(常数)⇔{a n}是等差数列；a n＋1 a n＝q(q为常数，q≠0)⇔{a n}是等比数列．(2)中项公式法：2a n＋1＝a n＋a n＋2⇔{a n}是等差数列；a2n＋1＝a n·a n＋2(a n≠0)⇔{a n}是等比数列．(3)通项公式法：a n＝an＋b(a，b是常数)⇔{a n}是等差数列；a n＝c·q n(c，q 为非零常数)⇔{a n}是等比数列．(4)前n项和公式法：S n＝an2＋bn(a，b为常数，n∈N*)⇔{a n}是等差数列；S n＝aq n－a(a，q为常数，且a≠0，q≠0，q≠1，n∈N*)⇔{a n}是等比数列．4．求数列的前n项和的基本方法(易错点)(1)裂项(相消)法：有时把一个数列的通项公式分成两项差的形式，相加过程消去中间项，只剩有限项再求和．(2)错位相减法：适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和．(3)倒序相加法：例如，等差数列前n项和公式的推导．(4)分组求和法：把一个数列分成几个可以直接求和的数列．(5)公式法：利用等差数列或等比数列前n项和S n公式．专题一等差、等比数列的判断判定一个数列是等差或等比数列有如下多种方法：[n n12n n a n＋1，其中n＝1，2，3，….(1)若{a n}是等比数列，试求数列{b n}的前n项和S n的公式．(2)当{b n}是等比数列时，甲同学说：{a n}一定是等比数列；乙同学说：{a n}一定不是等比数列．你认为他们的说法是否正确？为什么？解：(1)因为{a n}是等比数列，a1＝1，a2＝a，所以a≠0，a n＝a n－1.又b n＝a n·a n＋1，则b1＝a1·a2＝a，b n＋1b n＝a n＋1·a n＋2a n·a n＋1＝a n＋2a n＝a n＋1a n－1＝a2，即{b n}是以a为首项，a2为公比的等比数列．所以，S n＝⎩⎪⎨⎪⎧n ， a ＝1，－n ， a ＝－1，a （1－a 2n ）1－a 2， a ≠±1.(2)甲、乙两个同学说法都不正确，理由如下：法一：设{b n }的公式比为q ，则b n ＋1b n ＝a n ＋1·a n ＋2a n ·a n ＋1＝a n ＋2a n ＝q 且a ≠0，又a 1＝1，a 2＝a ，a 1，a 3，a 5…，a 2n －1，…是以1为首项，q 为公比的等比数列；a 2，a 4，a 6，…，a 2n ，…是以a 为首项， q 为公比的等比数列．即{a n }为：1，a ，q ，aq ，q 2，aq 2，…，当q ＝a 2时，{a n }是等比数列；当a ≠a 2时，{a n }不是等比数列．法二：{a n }可能是等比数列，也可能不是等比数列，举例说明如下：设{b n }的公式为q .①取a ＝q ＝1时，a n ＝1(n ∈N *)，此时b n ＝a n a n ＋1＝1，{a n }、{b n }都是等比数列． ②取a ＝2，q ＝1时，a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1 （n 为奇数），2 （n 为偶数）.b n ＝2(n ∈N *)．所以{b n }是等比数列，而{a n }不是等比数列．归纳升华判断一个数列是等比数列的常用方法(1)定义法：a n ＋1a n＝q (q 为常数且不为零)⇔{a n }为等比数列．(2)等比中项法：a 2n ＋1＝a n a n ＋2(n ∈N *且a n ≠0)⇔{a n }为等比数列．(3)通项公式法：a n ＝a 1q n －1(a 1≠0且q ≠0)⇔{a n }为等比数列．[变式训练] 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a n ＝5S n －3，求数列{a n }的通项公式．解：当n ＝1时，因为a 1＝5a 1－3，所以a 1＝34.当n ≥2时，因为a n ＝5S n －3，所以a n －1＝5S n －1－3，所以a n －a n －1＝5(S n －S n －1)．即a n －a n －1＝5a n ，a na n －1＝－14，所以{a n }是首项a 1＝34，公比q ＝－14的等比数列．所以a n ＝a 1qn －1＝34⎝ ⎛⎭⎪⎫－14n －1(n ∈N *)．专题二数列的通项公式的求法 (1)定义法：定义法是指直接利用等差数列或等比数列的定义求通项的方法，这种方法适用于已知数列类型的题目．(2)已知S n 求a n .若已知数列的前n 项和S n 与a n 的关系，求数列{a n }的通项a n 可用公式a n＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1（n ＝1），S n －S n －1（n ≥2）求解． (3)由递推公式求数列通项法．对于递推公式确定的数列的求解，通常可以通过递推公式的变换，转化为等差数列或等比数列问题，有时也用到一些特殊的转化方法与特殊数列．(4)待定系数法(构造法)．求数列通项公式的方法灵活多样，特别是由给定的递推关系求通项公式，对于观察、分析、推理能力要求较高．通常可对递推式变换，转化成特殊数列(等差或等比数列)来求解，这种方法体现了数学中化未知为已知的转化思想，而运用待定系数法变换递推公式中的常数就是一种重要的转化方法．[例2] (1)等差数列{a n }是递增数列，前n 项和为S n ，且a 1，a 3，a 9成等比数列，S 5＝a 25，则数列{a n }的通项公式为________________；(2)已知数列{a n }的前n 项和S n 满足S n ＝2a n ＋(－1)n ，n ≥1，则数列{a n }的通项公式为______________．解析：(1)设数列{a n }的公差为d (d ＞0)，因为a 1，a 3，a 9成等比数列，所以a 23＝a 1a 9，即(a 1＋2d )2＝a 1(a 1＋8d )⇒d 2＝a 1d ，因为d ≠0，所以a 1＝d .① 因为S 5＝a 25，所以5a 1＋5×42·d ＝(a 1＋4d )2.②由①②得：a 1＝35，d ＝35，所以a n ＝35＋(n －1)·35＝35n .(2)n ＝1时，a 1＝S 1，所以a 1＝2a 1－1，即a 1＝1，n ≥2时， a n ＝S n －S n －1＝2(a n －a n －1)＋2·(－1)n ，所以a n ＝2a n －1＋2·(－1)n －1，a n －1＝2a n －2＋2·(－1)n －2，a 2＝2a 1－2，所以a n ＝23[2n －2＋(－1)n －1]．又因为a 1＝1适合a n ＝23[2n －2＋(－1)n －1]，所以a n ＝23[2n －2＋(－1)n －1]．答案：(1)a n ＝35n(2)a n ＝23[2n －2＋(－1)n －1]归纳升华(1)已知数列的前n 项和，或前n 项和与通项的关系求通项，常用a n 与S n的关系求解．(2)由递推关系a n ＋1＝Aa n ＋B (A ，B 为常数，且A ≠0，A ≠1)求a n 时，由待定系数法设a n ＋1＋λ＝A (a n ＋λ)可得λ＝BA －1，这样就构造了等比数列{a n ＋λ}．[变式训练] 设数列{a n }是首项为1的正项数列，且a n ＋1－a n ＋a n ＋1·a n ＝0(n ∈N *)，求{a n }的通项．解：因为a n ＋1－a n ＋a n ＋1·a n ＝0. 所以1an ＋1－1a n ＝1.又1a 1＝1，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是首项为1，公差为1的等差数列．故1a n ＝n ，所以a n ＝1n (n ∈N *)．专题三数列求和数列求和问题一般转化为等差数列或等比数列的前n 项和问题或已知公式的数列求和，不能转化的再根据数列通项公式的特点选择恰当的方法求解．一般常见的求和方法有：(1)公式法(直接利用等差或等比数列的前n 项和公式)； (2)分组求和法； (3)错位相减法； (4)倒序相加法；(5)裂项相消法．把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互拆消，从而求得其和；(6)并项求和法．一个数列的前n 项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如a n ＝(－1)n f (n )类型，可采用两项合并求解．[例3] (1)已知等比数列{a n }中，a 1＝3，a 4＝81，若数列{b n }满足b n ＝log 3a n ，则数列{1b n b n ＋1}的前n 项和S n ＝________________.(2)设数列{a n}满足a1＝2，a n＋1－a n＝3·22n－1.①求数列{a n}的通项公式；②令b n＝na n，求数列{b n}的前n项S n.(1)解析：设等比数列{a n}的公比为q，则a4a1＝q3＝27，解得q＝3，所以a n＝a1q n－1＝3·3n－1＝3n，故b n＝log3a n＝n，所以1b n b n＋1＝1n（n＋1）＝1n－1n＋1.则S n＝1－12＋12－13＋…＋1n－1n＋1＝1－1n＋1＝nn＋1.答案：n n＋1(2)解：①由已知，当n≥1时，a n＋1＝[(a n＋1－a n)＋(a n－a n－1)＋…＋(a2－a1)]＋a1＝3(22n－1＋22n－3＋…＋2)＋2＝22(n＋1)－1.而a1＝2，符合上式，所以数列{a n}的通项公式为a n＝22n－1.②由b n＝na n＝n·22n－1知S n＝1×2＋2×23＋3×25＋…＋n·22n－1①从而22·S n＝1×23＋2×25＋3×27＋…＋n·22n＋1②①－②得(1－22)S n＝2＋23＋25＋…＋22n－1－n·22n＋1，即S n＝19[(3n－1)22n＋1＋2]．归纳升华用错位相减法求和时，应注意：(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形．(2)在写出“S n”与“qS n”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便下一步准确写出“S n－qS n”的表达式．若公比是个参数(字母)，则应先对参数加以讨论，一般情况下分等于1和不等于1两种情况分别求和．[变式训练]设数列{a n}满足a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－1a n＝n3(n∈N*)．(1)求数列{a n}的通项；(2)设b n＝na n，求数列{b n}的前n项和S n.解：(1)因为a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－1a n＝n3，①所以当n≥2时，a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－2a n－1＝n－13，②由①－②得3n－1a n＝13，所以a n＝13n，在①中，令n＝1，得a1＝13，所以数列{a n}的通项公式a n＝13n(n∈N*)．(2)因为b n＝na n＝n·3n，所以S n＝3＋2×32＋3×33＋…＋n·3n，③所以3S n＝32＋2×33＋3×34＋…＋n·3n＋1.④由④－③得2S n＝n·3n＋1－(3＋32＋33＋…＋3n)＝n·3n＋1－3（1－3n）1－3，所以S n＝（2n－1）·3n＋14＋34.专题四函数与方程思想(1)在等差(比)数列的通项公式和前n项和公式中共有5个量a1，d(或q)，n，a n及S n，已知这5个量中任意3个量的值，就可以运用方程思想，解方程(或方程组)求出另外2个量的值．(2)数列可以看作是定义域为正整数集(或其有限子集)的特殊函数．运用函数思想去研究数列，就是要借助于函数的单调性、图象和最值等知识解决与数列相关的问题．等差数列与一次函数、等比数列与指数函数有着密切的关系，等差数列前n 项和公式与二次函数也有密切关系，故可用函数的思想来解决数列问题．[例4] (1)已知数列{a n }的首项为a 1＝21，前n 项和为S n ＝an 2＋bn ，等比数列{b n }的前n 项和T n ＝2n ＋1＋a ，则S n 的最大值为________； (2)若等差数列{a n }中，a 1＋a 4＋a 7＝15，a 2·a 4·a 6＝45.则通项公式a n ＝__________________．解析：(1)由T n ＝2·2n ＋a ，可求得a ＝－2，所以S n ＝－2n 2＋bn ，所以数列{a n }为等差数列，又因为a 1＝21，S n ＝－2n 2＋bn ，故b ＝21－(－2)＝23，所以S n ＝－2n 2＋23n ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫n －2342＋5298，当n ＝6时，S n 取得最大值66. (2)因为a 1＋a 7＝2a 4＝a 2＋a 6，所以a 1＋a 4＋a 7＝3a 4＝15，所以a 4＝5，所以a 2＋a 6＝10且a 2·a 6＝9，所以a 2，a 6是方程x 2－10x ＋9＝0的两根，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝1，a 6＝9，或⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝9，a 6＝1.若a 2＝1，a 6＝9，则d ＝2，所以a n ＝2n －3；若a 2＝9，a 6＝1，则d ＝－2，所以a n ＝13－2n . 故a n ＝2n －3或a n ＝13－2n . 答案：(1)66 (2)2n －3或13－2n 归纳升华函数的思想：等比数列的通项a n ＝a 1q n －1＝a 1q·q n (q ＞0且q ≠1)常和指数函数相联系；等比数列前n 项和S n ＝a 1q －1·(q n －1)(q ≠1)．设A ＝a 1q －1，则S n ＝A (q n －1)也与指数函数相联系．[变式训练] 夏季高山上的温度从山脚起，每升高100 m ，降低0.7 ℃，已知山顶处的温度是14.8 ℃，山脚处的温度是26 ℃，问此山相对于山脚处的高度是多少？解：因为每升高100 m 温度降低0.7 ℃，所以该处温度的变化是一个等差数列问题．设山脚温度为首项a 1＝26，山顶温度为末项a n ＝14.8，所以26＋(n －1)(－0.7)＝14.8，解得n ＝17.此山的高度为(17－1)×100＝1 600(m)．故此山相对于山脚处的高度是1 600 m.。

2018-2019学年高中数学人教A版必修五练习：第二章数列2.5 Word版含答案

2.5 等比数列的前n 项和课时过关·能力提升基础巩固1已知数列{a n }是由正数组成的等比数列,S n 表示{a n }的前n 项和.若a 1=3,a 2a 4=144,则S 10的值是( ).A.511B.1 023C.1 533D.3 069 解析:设等比数列{a n }的公比为q ,则a 2a 4=a 12q4=144. ∵a 1=3,∴32q 4=144.∵q>0,∴q=2.∴S 10=a 1(1-q 10)1-q =3(1-210)1-2=3 069.答案:D2等比数列1,x ,x 2,x 3,…的前n 项和S n 等于( ).A .1-x n 1-x B.1-x n -11-xC .{1-x n1-x ,x ≠1n ,x =1 D.{1-x n-11-x ,x ≠1n ,x =1解析:当x=0时,S n =1;当x=1时,S n =n ;当x ≠0,且x ≠1时,S n =1-x n1-x .又当x=0时,该式也满足,所以S n ={n ,x =1,1-x n1-x ,x ≠1.答案:C3设S n 为等比数列{a n }的前n 项和,已知3S 3=a 4-2,3S 2=a 3-2,则公比q 等于( ).A.3B.4C.5D.6 解析:由题意,得3S 3-3S 2=(a 4-2)-(a 3-2),则3a 3=a 4-a 3,即a 4=4a 3,故q =a 4a 3=4. 答案:B 4已知等比数列{a n }的公比为q ,其前n 项和为S n ,若S 3,S 9,S 6成等差数列,则q 3等于( ). A.−12B.1C.−12或1D.−1或12解析:∵S 3,S 9,S 6成等差数列, ∴S 3+S 6=2S 9,∴q ≠1,∴a 1(1-q 3)1-q +a 1(1-q 6)1-q =2a 1(1-q 9)1-q, 整理得2q 9-q 6-q 3=0.又q ≠0,∴2q 6-q 3-1=0,解得q 3=1(舍去)或q 3=−12,∴q3=−12.答案:A 5已知数列{a n }是递增的等比数列,a 1+a 4=9,a 2a 3=8,则数列{a n }的前n 项和等于 .解析:设数列{a n }的公比为q ,由已知条件可得{a 1+a 1q 3=9,a 12q 3=8,解得{a 1=8,q =12或{a 1=1,q =2, 因为{a n }是递增的等比数列,所以{a 1=1,q =2.所以{a n }是以1为首项,2为公比的等比数列, 故S n =2n -1.答案:2n -1。

2018-2019学年高中数学人教A版必修五练习：第二章数列2.2.1 Word版含答案

a4-a3=(11-λ)(6-λ)(2-λ)=-24.
这与{an}为等差数列矛盾.
所以不存在λ,使数列{an}是等差数列.
∴b15=6×15=90.
答案:C
4在等差数列{an}中,a1+3a8+a15=120,则2a9-a10的值为().
A.24B.22C.20D.-8
解析:设公差为d,∵a1+3a8+a15=120,
∴a1+3(a1+7d)+a1+14d=120,
∴5a8=120.∴a8=24.
∴2a9-a10=2(a1+8d)-(a1+9d)=a1+7d=a8=24.
(2)数列{an}不可能为等差数列.证明如下:
由a1=1,an+1=(n2+n-λ)an,
得a2=2-λ,a3=(6-λ)(2-λ),
a4=(12-λ)(6-λ)(2-λ).
若存在λ,使{an}为等差数列,则a3-a2=a2-a1,
即(5-λ)(2-λ)=1-λ.
解得λ=3.于是a2-a1=1-λ=-2,
分析转化为证明lgan+1-lgan是一个与n无关的常数.
证明设bn=lgan=lg7n+2=(n+2)lg7,
则bn+1=[(n+1)+2]lg7=(n+3)lg7,
则bn+1-bn=(n+3)lg7-(n+2)lg7=lg7为常数.
所以数列{bn}是等差数列,
即数列{lgan}是等差数列.
能力提升
1若log32,log3(2x-1),log3(2x+11)成等差数列,则x的值为().

2018-2019学年高中数学第二章数列专题2.4 等比数列试题新人教A版必修5

2.4 等比数列1．等比数列的定义一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于___________，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q 表示(0)q ≠．定义也可叙述为：在数列{}n a 中，若1(n na q q a +=为常数且0)q ≠，则{}n a 是等比数列． 2．等比中项如果在a 与b 中间插入一个数G ，使a ，G ，b 成等比数列，那么___________叫做a 与b 的等比中项．3．等比数列的通项公式设等比数列{}n a 的首项为1a ，公比为q ，则这个等比数列的通项公式是1______(,0)n a a q =≠．4．等比数列与指数函数（1）等比数列的图象等比数列{}n a 的通项公式11n n a a q -=还可以改写为1nn a a q q=⋅，当1q ≠且10a ≠时，x y q =是指数函数，1x a y q q =⋅是指数型函数，因此数列{}n a 的图象是函数1xa y q q=⋅的图象上一些孤立的点．例如，教材第50页【探究】（2），12n n a -=的图象如下图所示．（2）等比数列的单调性已知等比数列{}n a 的首项为1a ，公比为q ，则 ①当101a q >⎧⎨>⎩或1001a q <⎧⎨<<⎩时，{}n a 是___________数列；②当1001a q >⎧⎨<<⎩或101a q <⎧⎨>⎩时，{}n a 是___________数列；③当1q =时，{}n a 为常数列(0)n a ≠；④当0q <时，{}n a 为摆动数列，所有的奇数项（偶数项）同号，奇数项与偶数项异号． K 知识参考答案： 1．同一常数2．G3．11n a q- 4．递增递减等比数列的判定与证明判断数列{}n a 是否为等比数列的方法：（1）定义法：判断1n na a +是否为常数；（2）等比中项法：判断11(,2)n nn n a a n n a a +-=∈≥*N 是否成立；（3）通项公式法：若数列{}n a 的通项公式形如(0)nn a tq tq =≠，则数列{}n a 是等比数列．（1）若{}n a 的通项公式为212n n a -=，试判断数列{}n a 是否为等比数列．（2）若,,,a b c d 成等比数列，,,a b b c c d +++均不为零，求证：,,a b b c c d +++成等比数列．【答案】（1）{}n a 是等比数列，证明见解析；（2）,,a b b c c d +++成等比数列，证明见等比数列的通项公式及应用（1）在等比数列{}n a中，若474,32,a a==则na=____________；（2）在等比数列{}n a中，已知253636,72,a a a a+=+=若1024na=，则n=____________．与q ，即可写出数列{}n a 的通项公式；（2）当已知等比数列{}n a 中的某项，求出公比q 后，可绕过求1a 而直接写出其通项公式，即(,)n mn m a a qm n -=∈*N ．等比数列的性质的应用若数列{}n a 是公比为q 的等比数列，由等比数列的定义可得等比数列具有如下性质：（1）若m n p q +=+，则m n p q a a a a =；若2m n r +=，则2(,)m n r a a a m n,p,q,r =∈*N ．推广：1211;n n i n i a a a a a a -+-===L L ①②若m n t p q r++=++，则m n t p q r a a a a a a =．（2）若,,m n p 成等差数列，则,,m n p a a a 成等比数列．（3）数列{}(0)n a ≠λλ仍是公比为q 的等比数列；数列1{}n a 是公比为1q的等比数列；数列{}||n a 是公比为||q 的等比数列；若数列{}n b 是公比为q'的等比数列，则数列{}n n a b 是公比为qq'的等比数列．（4）23,,,,k k m k m k m a a a a +++L 成等比数列，公比为m q ．（5）连续相邻k 项的和（或积）构成公比为(k q 或2)k q 的等比数列．已知等比数列{}n a 满足0,n a >（1）若1237894,9,a a a a a a ==则456a a a =_____________；（2）若25253(3)n n a a n -⋅=≥，则当1n ≥时，3133321log log log n a a a -+++=L _____________．【答案】（1）6；（2）2n ．【解析】（1）方法1：因为31231322789798()4,()a a a a a a a a a a a a a ====389,a ==由递推公式构造等比数列求数列的通项公式（1）形如1(1,0)n n a pa q p pq +=+≠≠的递推关系式①利用待定系数法可化为1n a +-()11n q q p a p p =---，当101qa p-≠-时，数列{}1n qa p--是等比数列； ②由1n n a pa q +=+，1(2)n n a pa q n -=+≥，两式相减，得11()n n n n a a p a a +--=-，当210a a -≠时，数列1{}n n a a +-是公比为p 的等比数列．（2）形如+1(,0)nn n a ca d c d cd =+≠≠的递推关系式除利用待定系数法直接化归为等比数列外，也可以两边同时除以1n d +，进而化归为等比数列．（1）在数列{}n a 中，111,36,n n a a a +==+则数列{}n a 的通项公式为n a =_____________；（2）在数列{}n a 中，1111,63,n n n a a a ++==+则数列{}n a 的通项公式为n a =_____________．忽略等比数列中所有项不为零导致错误已知等比数列{}n a 的前三项分别为,22,33a a a ++，则a =_____________．【错解】因为22a +为a 与33a +的等比中项，所以2(22)(33)a a a +=+，解得1a =-或4-．【错因分析】若1a =-，则,22,33a a a ++这三项为1,0,0-，不符合等比数列的定义．【正解】因为22a +为a 与33a +的等比中项，所以2(22)(33)a a a +=+，解得1a =-或4-．由于1a =-时，220,330a a +=+=，所以1a =-应舍去，故4a =-．【名师点睛】因为等比数列中各项均不为零，所以解题时一定要注意将所求结果代入题中验证，若所求结果使等比数列中的某些项为零，则一定要舍去．忽略等比数列中项的符号导致错误在等比数列{}n a 中，246825a a a a =，则19a a =_____________．【错解】因为{}n a 为等比数列，所以192846a a a a a a ==，由246825a a a a =可得219()25a a =，故195a a =±．【错因分析】错解中忽略了在等比数列中，奇数项或偶数项的符号相同这一隐含条件．【正解】因为{}n a 为等比数列，所以192846a a a a a a ==，由246825a a a a =可得219()25a a =，故195a a =±．又在等比数列中，所有的奇数项的符号相同，所以190a a >，所以195a a =．【名师点睛】在等比数列中，奇数项或者偶数项的符号相同．因此，在求等比数列的某一项或者某些项时要注意这些项的正负问题，要充分挖掘题目中的隐含条件．1．已知1,,,,5a b c 五个数成等比数列，则b 的值为A ．3BC．D ．522．在等比数列{}n a 中，112a =，12q =，132n a =，则项数n 为 A ．3 B ．4 C ．5D ．63．已知等比数列{}n a 为递增数列，若10a >，且212()3n n n a a a ++-=，则数列{}n a 的公比q =A ．2或12B ．2C ．12D ．2-4．已知数列{}n b 是等比数列，9b 是1和3的等差中项，则216b b = A ．16 B ．8 C ．2D ．45．已知等比数列{}n a 中，3462,16a a a ==，则101268a a a a --的值为A ．2B ．4C ．8D ．166．在等比数列{}n a 中，若48,a a 是方程2430x x -+=的两根，则6a 的值是 A．BC．D ．3±7．已知三个数成等比数列，它们的积为27，它们的平方和为91，则这三个数的和为 A ．13B ．－7C ．－7或13D ．无法求解8．已知0a b c <<<，且,,a b c 是成等比数列的整数，n 为大于1的整数，则下列关于log a n ，log b n ，log c n 的说法正确的是A ．成等差数列B ．成等比数列C ．各项的倒数成等差数列D ．以上都不对9．已知数列{}n a 满足13n n a a +=，且2469a a a ++=，则15793log ()a a a ++=____________．10．在等比数列{}n a 中，21a =，公比1q ≠±．若135,4,7a a a 成等差数列，则6a 的值是_____________．11．在等比数列{}n a 中，572a a =，2103a a +=，则124a a =_____________． 12．已知单调递减的等比数列{}n a 满足23428a a a ++=，且32a +是2a ，4a 的等差中项，则公比q =_____________，通项公式为n a =_____________．13．已知等比数列{}n a 中，2766a a +=，36128a a =，求等比数列{}n a 的通项公式n a ．14．已知数列}{n a 满足递推式)2(121≥+=-n a a n n ，其中415a =．（1）求321,,a a a ；（2）求证：数列{1}n a +为等比数列．15．已知数列{}n a 与等比数列{}n b 满足3()n an b n =∈*N ．（1）试判断{}n a 是何种数列；（2）若813a a m +=，求1220b b b L ．16．已知{}n a 是等比数列，且263a a +=，61012a a +=，则812a a +=A ．B ．24C ．D ．4817．已知等差数列{}n a 和等比数列{}n b 的首项都是1，公差和公比都是2，则=++432b b b a a aA ．24B ．25C ．26D ．2718．若等比数列{}n a 的各项均为正数，且310119122e a a a a +=（e 为自然对数的底数），则12ln ln a a ++⋅⋅⋅+20ln a =A ．50B ．40C ．30D ．2019．各项均为正的等比数列{}n a 中，4a 与14a的等比中项为，则27211log log a a +的值为A ．4B ．3C ．2D ．120．已知等差数列{}n a 和等比数列{}n b 的首项都是1，公差和公比都是2，则234a a a b b b ++=A ．24B ．25C ．26D ．8421．在等比数列{}n a 中，27a =，公比1q ≠±．若135,4,7a a a 成等差数列，则21n a +=____________．22．已知数列{}n a 满足132(2)n n a a n -=+≥，且12a =，则n a =_____________． 23．已知1,,,4a b --成等差数列，1,,,,4m n t --成等比数列，则b an-=______________． 24．等差数列{}n a 的各项均为正数，13a =，前n 项和为n S ，{}n b 为等比数列，11b =，且2264,b S =33960b S =．（1）求n a 与n b ；（2）求和：12111nS S S +++．25．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，在数列{}n b 中，11b a =，1(2)n n n b a a n -=-≥，且n n a S n +=．（1）设1n n c a =-，求证：{}n c 是等比数列；（2）求数列{}n b 的通项公式．26．（2018北京文）“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献．十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于．若第一个单音的频率f ，则第八个单音频率为 ABC．fD．27．（2016四川理）某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入．若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是（参考数据：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg2≈0.30） A ．2018年 B ．2019年 C ．2020年D ．2021年28．（2017北京理）若等差数列{}n a 和等比数列{}n b 满足11–1a b ==，448a b ==，则22a b =______________． 29．（2017新课标全国Ⅲ理）设等比数列{}n a 满足a 1+a 2=–1,a 1–a 3=–3，则a 4=______________．30．（2018新课标全国Ⅰ文）已知数列{}n a 满足11a =，12(1)n n na n a +=+，设nn a b n=．（1）求1b ，2b ，3b ；（2）判断数列{}n b 是否为等比数列，并说明理由；（3）求{}n a 的通项公式．31．（2016新课标全国Ⅲ文）已知各项都为正数的数列{}n a 满足11a =，21(21)n n n a a a +---120n a +=．（1）求23,a a ；（2）求{}n a 的通项公式．1．【答案】B【解析】设等比数列的公比为q ．由题意得，215b b =⨯⇒=，又2210b q q =⨯=>，所以b =B ．2．【答案】C【解析】根据等比数列通项公式11n n a a q-=⋅有1111()3222n -=⋅，解得5n =，故选C ．5．【答案】B【解析】由题意得246516a a a ==，所以54a =±，因为32a =，所以54a =，所以2532a q a ==，所以91141012115768114a a a q a q q a a a q a q--===--，故选B ． 6．【答案】B【解析】由48,a a 是方程2430x x -+=的两根有484840,3a a a a +=>=，故48,a a 都为正数，而26483a a a ==，所以6a =，由于2640a a q =>，所以6a =，故选B ． 7．【答案】C【解析】由题意，可设这三个数分别为aq，a ，aq ，则22222222739999191aa aq a q q a a a q q q ⎧⋅⋅==⎧⎪⎪⎪⇒⎨⎨++=⎪⎪++=⎩⎪⎩239a q =⎧⇒⎨=⎩或2319a q =⎧⎪⎨=⎪⎩，所以3q =±或13q =±，故这三个数为1，3，9或－1，3，－9或9，3，1或－9，3，－1．故这三个数的和为13或－7．故选C ．9．【答案】−5【解析】因为13n n a a +=，所以数列{}n a 是以3为公比的等比数列，335579246()393a a a q a a a ∴++=++=⨯=，∴15793log ()5a a a ++=-．10．【答案】149【解析】由题意得342231511878778107=+⇒=+⇒-+=⇒=a a a q q q q q q 或21=q （舍去），从而461.49a q == 11．【答案】2或21【解析】由等比数列性质知57210=2a a a a =，又2103a a +=，所以21a =，102a =或22a =，101a =，所以1012422a a a a ==或21． 12．【答案】12 61()2n - 【解析】由题意得，3243332(2)2(2)288a a a a a a +=+⇒++=⇒=，所以2481208202a a q q q +=⇒+=⇒=或2（舍去），所以通项公式为3631()2n n n a a q --==．13．【答案】12n n a -=或82nn a -=．【解析】设等比数列的首项为1a ，公比为q ，由题意得272727362766,66,2,64128128a a a a a a a a a a +=+==⎧⎧⎧⇒⇒⎨⎨⎨===⎩⎩⎩或2764,2.a a =⎧⎨=⎩所以55722a q a ==或512，即2q =或12，所以2122n n n a a q--==或22812n n n a a q --==．故等比数列{}n a 的通项公式为12n n a -=或82nn a -=．14．【答案】（1）11a =，23a =，37a =；（2）见解析．【解析】（1）由121n n a a -=+及415a =知432115,a a =+= 解得,73=a 同理可得.1,312==a a（2）由121+=-n n a a 可得2211+=+-n n a a ，)1(211+=+-n n a a ，{1}n a +是以211=+a 为首项，2为公比的等比数列．（2）因为120813a a a a m +=+=，所以1220a a a +++=L ()120202a a +=10m ，所以2012201210122033333a a a a a am b b b +++===L L L ．16．【答案】B【解析】由题意知4446102626261243a a a q a q q a a a a ++====++，则22q =，所以222812610610()21224a a a q a q q a a +=+=+=⨯=，故选B ． 17．【答案】B【解析】等比数列}{n b 首项是1，公比是2，所以2342,4,8b b b ===，等差数列{}n a 的首项是1，公差是2，所以2342481311311225b b b a a a a a a a d ++=++=+=+⨯=，故选B ． 18．【答案】C【解析】在等比数列中，q p n m a a a a q p n m =⇒+=+，所以3310119121011101122e e a a a a a a a a +==⇒=，由对数的运算可知1220ln ln ln a a a ++⋅⋅⋅+12201202191011ln()ln[()()()]a a a a a a a a a =⋅⋅⋅=1031011ln()10ln e 30a a ===，故选C ．19．【答案】B【解析】由4a 与14a的等比中项为4148a a =，所以27211271124142log log log log log 83a a a a a a +====，故选B ． 20．【答案】D【解析】等差数列{}n a 首项是1，公差是2，所以2343,5,7a a a ===，等比数列{}n b 首项是1，公比是2，所以23424635722284a a a b b b b b b ++=++=++=，故选D ． 21．【解析】由题意得342231511878778107=+⇒=+⇒-+=⇒=a a a q q q q q q 或21=q （舍去），从而2211117777nn n n a q +-=⨯=⨯=． 22．【答案】31n -【解析】1132(2),2n n a a n a -=+≥=，1113(1),13n n a a a -∴+=++=，即数列{1}n a +是以3为首项、3为公比的等比数列，则nn a 31=+，即13-=nn a ． 23．【答案】12【解析】因为1,,,4a b --成等差数列，设公差为d ，所以4(1)141b a d ----===--，因为1,,,,4m n t --成等比数列，所以2(1)(4)4n =-⨯-=，即2n =±，由于n 与1,4--同号，所以0n <，所以2n =-，所以1122b a n --==-． 24．【答案】（1）21n a n =+，18n n b -=；（2）32342(1)(2)n n n +-++．【解析】（1）设{}n a 的公差为d ，{}n b 的公比为q ，则0d>，3(1)n a n d =+-，1n n b q -=，依题意有23322(93)960,(6)64,S b d q S b d q ⎧=+=⎨=+=⎩解得2,8d q =⎧⎨=⎩或6,5403d q ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(舍去)，故32(1)21n a n n =+-=+，18n n b -=．（2）35(21)(2)n S n n n =++++=+，所以121111111132435(2)n S S S n n +++=++++⨯⨯⨯+11111111(1)2324352n n =-+-+-++-+ 1111(1)2212n n =+--++ 323.42(1)(2)n n n +=-++ 25．【答案】（1）见解析；（2）1()2nn b =．【解析】（1）因为n n a S n += ①，所以111n n a S n +++=+ ②，②−①得111n n n a a a ++-+=，所以121n n a a +=+，所以12(1)1n n a a +-=-，所以11112n n a a +-=-，所以{1}n a -是等比数列．因为首项111c a =-，111a a +=，所以112a =，所以112c =-，所以{}n c 是以12-为首项，12为公比的等比数列．（2）由（1）可知1111()()()222n n n c -=-⋅=-，所以111()2n n n a c =+=-．故当2n ≥时，111111111()[1()]()()()22222n n n n nn n n b a a ---=-=---=-=．又1112b a ==代入上式也符合，所以1()2n nb =．26．【答案】D【解析】因为每一个单音与前一个单音频率比为，所以*1(2,)n n a n n -=≥∈N ，又1a f =，则7781a a q f ===，故选D ．【名师点睛】本题考查等比数列的实际应用，解决本题的关键是能够判断单音成等比数列．等比数列的判断方法主要有如下两种：（1）定义法，若1*(0,)n n a q q n a +=≠∈N 或1*(0,2,)n n aq q n a n -≠≥∈=N ，数列{}n a 是等比数列；（2）等比中项公式法，若数列{}n a 中，0n a ≠且*2123,()n n n a a a n n --≥∈=⋅N ，则数列{}n a 是等比数列．28．【答案】1【解析】设等差数列的公差和等比数列的公比分别为d 和q ，则3138d q -+=-=，求得2,3q d =-=，那么221312a b -+==． 29．【答案】8-【解析】设等比数列{}n a 的公比为q ，很明显1q ≠-，结合等比数列的通项公式和题意可得方程组：1212131(1)1(1)3a a a q a a a q +=+=-⎧⎨-=-=-⎩①②，由②①可得：2q =-，代入①可得11a =，由等比数列的通项公式可得3418a a q ==-．30．【答案】（1）11b =，22b =，34b =；（2）数列{}n b 是等比数列，理由见解析；（3）1·2n n a n -=．【解析】（1）由条件可得12(1)n n n a a n++=，将1n =代入得214a a =，而11a =，所以24a =．将2n =代入得323a a =，所以312a =．从而11b =，22b =，34b =．31．【答案】（1）41,2132==a a ；（2）121-=n n a ．【解析】（1）由题意得41,2132==a a ．（2）由02)12(112=---++n n n n a a a a ，得)1()1(21+=++n n n n a a a a ．因为{}n a 的各项都为正数，所以211=+n n a a ，故{}n a 是首项为1，公比为21的等比数列，因此121-=n n a ．。

2018-2019学年高中数学人教A版必修五练习：第二章数列2.4.1 Word版含答案

2.4等比数列第1课时等比数列课时过关·能力提升基础巩固1若等比数列的首项为4,末项为128,公比为2,则这个数列的项数为().A.4B.8C.6D.32解析:由等比数列的通项公式,得128=4×2n-1,2n-1=32,所以n=6.答案:C2已知等比数列{a n}满足a1+a2=3,a2+a3=6,则a7等于().A.64B.81C.128D.243解析:∵数列{a n}为等比数列,设其公比为q,∴a2+a3a1+a2=q=2.又a1+a2=3,∴a1=1.故a7=a1q6=1×26=64.答案:A3设a1=2,数列{1+2a n}是公比为2的等比数列,则a6等于().A.31.5B.160C.79.5D.159.5解析:∵1+2a n=(1+2a1)·2n-1=5·2n-1,∴1+2a6=5×25,∴a6=5×32-12=79.5.答案:C4在等比数列{a n}中,已知a1a2a12=64,则a4a6的值为().A.16B.24C.48D.128解析:设公比为q,则a1a2a12=a13q12=64,所以a1q4=4.所以a4a6=(a1q4)2=16.答案:A5若三个正数a,b,c成等比数列,其中a=5+2√6,c=5−2√6,则b=.解析:因为a,b,c成等比数列,所以b2=ac,即b2=(5+2√6)(5−2√6)=1.又b是正数,所以b=1.答案:16在等比数列{a n}中,a1=98,an=13,公比q=23,则n=.解析:a n=98×(23)n-1.由a n=13,得98×(23)n-1=13,故(23)n-1=(23)3,n=4.答案:47在各项均为正数的等比数列{a n}中,若a2=1,a8=a6+2a4,则a6的值是.。

2018-2019学年高中数学人教A版必修五练习：第二章数列2.3.1 Word版含答案

2.3等差数列的前n项和第1课时等差数列的前n项和课时过关·能力提升基础巩固1等差数列{a n}的前n项和为S n,若a1=2,S3=12,则a6等于().A.8B.10C.12D.14答案:C2数列{a n}的前n项和为S n,若S n=2n2-18n,则当S n取得最小值时,n的值为().A.4或5B.5或6C.4D.5答案:A3设数列{a n}的前n项和S n=n2,则a8的值为().A.15B.16C.49D.64解析:a8=S8-S7=64-49=15.答案:A4已知等差数列{a n}的前n项和为S n,若a4=18-a5,则S8等于().A.18B.36C.54D.72解析:∵a4=18-a5,∴a4+a5=18.∴S 8=8(a 1+a 8)2=4(a4+a5)=4×18=72.答案:D 5在等差数列{a n }中,首项a 1=0,公差d ≠0,若a k =a 1+a 2+a 3+…+a 7,则k 等于( ).A.21B.22C.23D.24 解析:由题意得a k =a 1+(k-1)d=(k-1)d ,a 1+a 2+a 3+…+a 7=21d ,所以(k-1)d=21d.又d ≠0,所以k-1=21,所以k=22.答案:B6已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若a 2=1,S 5=10,则S 7= . 解析:由S 5=5(a 1+a 5)2=5(a 3+a 3)2=5a3=10,得a 3=2,故a 4=3,S 7=7(a 1+a 7)2=7a4=21.答案:217已知数列{a n }的前n 项和S n =2n -3,则数列{a n }的通项公式为 . 解析:当n=1时,a 1=S 1=21-3=-1;当n ≥2时,a n =S n -S n-1=2n -3-2n-1+3=2n-1.又a 1=-1不满足上式,故a n ={-1,n =1,2n -1,n ≥2.答案:a n ={-1,n =1,2n -1,n ≥2。

人教版高中数学必修5第二章单元测试(一)-Word版含答案

2018-2019学年必修五第二章训练卷数列（一）注意事项：1 •答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2 •选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3 •非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4 •考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1 .在数列'a n*中，a1=2 ,A• 8 B• -8C. _8 D .以上都不对7.若;.aj是等比数列，其公比是q，且- 35 , a4,成等差数列，则q等于（）A• 1 或2 B • 1 或—2 C. -1 或2 D • -1 或—2&设等比数列的前n项和为S n，若00於5=1：2，则务：寻等于（）A• 3: 4 B • 2:3 C. 1:2 D • 1:39.已知等差数列：的公差d = 0且a1, a3, a9成等比数列，则-31_33_39等于a? + 34 * 3丄01514B .工13C.兰16D .兰1610 .已知：a^1为等差数列，q • a3• a5 = 105 , a2a4 a^ 99，以S n表示7 a^/ 的前n项和，则使得S n达到最大值的n是（A. 21 B . 20 C. 19 D . 18号证考准名姓级班A.49 B .50 C . 51 D .52 Z ,则下列等式中恒成立的是（)2.已知等差数列:a n ［中,a7 *9=16 ,% =1，贝Ua12的值是（) A .X Z = 2Y B.Y(Y - X) = Z(Z - X)A.15 B .30 C . 31 D.64 C .Y=XZ D.Y(Y- X) = X(Z- X)3.等比数列江？中,a2 -9 , a5 二243,则'a n f的前4项和为（)12.1已知数列1,2 1 23 1 23 4 5,3, 4，…，贝y 5是数列中的2 13 2 14 3 2 1 6A.81 B .120 C . 168 D.192()4.等差数列"Gn 冲，a1 a2a3 ^-24 ,a18 a19 ' a20 -78，则此数列前20项和第50项 D .第51项A .第48项B .第49项C.等于（A.160 B .180 C . 200 D.220_、填空题（本大题共4个小题,每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横5 .数列Sn f中a n=3 n—7n N .），数列b*满足 1b1飞，线上）设订/是任意等比数列，它的前前2n项和与前3n项和分别为X，丫 ,n项和,11.，若a n log k b n为常数，则满足条件的b n—1=27b n(n _2且n N .)k值（)13. 72-1与J2+1的等比中项是_____________ .2an +1 =2a n +1，则a101 的值为( )1A .唯一存在，且为§B.唯一存在，且为14•已知在等差数列中，首项为23,公差是整数，从第七项开始为负项,则公差为C.存在且不唯一6 .等比数列“Gn '中,a?,D .不一定存在2a6是方程x -34x '64=0的两根，则a4等于（15.嫦娥奔月，举国欢庆”，据科学计算，运载神六”的长征二号”系列火箭，在点火第一秒钟通过的路程为 2 km，以后每秒钟通过的路程都增加 2 km,在达到离地面240 km的高度时，火箭与飞船分离，则这一过程大约需要的时间是秒.116 •等比数列:a n /的公比为q，其前n项的积为T n ,并且满足条件a! 1 ,a gg aw o -1 0 , a" <0 •给出下列结论：① 0 ：：：q ：：：1 :② a99a,01—1 ：：：0 :③ T100a ioo —1的值是T n中最大的；④使T n 1成立的最大自然数n等于198.其中正确的结论是_______ .（填写所有正确的序号）三、解答题（本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17. （10分）已知^n /为等差数列，且a3- -6 ,氏=0 .（1 ）求入1的通项公式；（2）若等比数列：b n f满足t h - -8 , b^ a1a2a3，求1b n』的前n项和公式.18. （12分）已知等差数列：a nf中，玄3玄7 = -16 , a4 = 0，求的前n项和S n •219. (12分)已知数列Jog2(a n-1p (N )为等差数列，且a^3 , a? =9 .(1)求数列(a n /的通项公式;(2)证明:1a? - a〔1a3 - a2+111+：：：1 .20. (12 分)在数列临？中，印=1 , a*+1 二2a n - 2n.(〔)设bn% •证明：数列b n ?是等差数列；2(2)求数列的前n项和.321. (12分)已知数列厲？的前n项和为S.，且印=1 , a n.i r】S n( n=1,2,3,H|).2(1 )求数列江!的通项公式；(2)当b n=log33a” 时，求证：数列—的前n项和T n—.2 JbA*”1+n22 .( 12分)已知数列订話的各项均为正数，对任意n N，它的前n项和S n满足15 (a n- 1)(a n2)，并且a2，，比成等比数列.6(1)求数列的通项公式；(2)设b n =(-1)n1a n a n.1，T 为数列的前n 项和，求T2n .46. 【答案】A【解析】T a 2 a 6 = 34 , a 2 a 6 = 64 , • a 42 = 64 ,T a 2>0, a 6>0, • a 4= a 2q >0, • a 4= 8 .故选 A .7. ［答案】C【解析】依题意有2印=比- a 5，即2a 4 = a 4q 2 - a 4q ，而a 4 = 0 , • q -q - 2=0 , (q -2)(q 1) = 0 . • q - -1 或 q = 2 .故选 C . & ［答案】A［解析】显然等比数列：a n !的公比q = 1，则由=丄= 1 q 5=」=q 5= -」,S 5 1 —q 52 2故鱼二上笛二上g 二——23.故选A .S 5 1-q 5 1-q 5. _J 4一厂丿9. ［答案】C［解析】因为 a 32 = a 1 ・a 9,所以(a< 2d)2 = a 1 (a 1 8d).所以a-^ = d .所以 a 1 a 3 % 二 3a 1 10d / .故选 C . a 2 + a 4+a 10 3^+134 1610. ［答案】B【解析】•(a 2 - aj ■ @4 - a 3) ■ (a 6 - a 5)= 3d ,• 99-105 = 3d . • d = -2 .又 T a 1 a 3 a 5 =3a 1 6d =105 , • a^ = 39 . • S n = na^i +_= -n 2 + 40n = 一( n 一 20)2 + 400 .•当n=20时，S n 有最大值.故选B . 11. ［答案】D［解析】由题意知S n = X , S 2n 二丫 , &n = Z .又T :an/ 是等比数列，• S n , S 2n — S n , S sn " S ?n 为等比数列，即X , Y-X , Z-Y 为等比数列， • (Y - X)2 =X (Z - Y),2018-2019学年必修五第二章训练卷数列（一）答案一、选择题 1. 【答案】D1【解析】由2a! d =2a n 1得a n +勺-a n =,2Sn f 是等差数列首项a 1 = 2，公差d =,2••• a n =2 -（n 一1）3 ,••• q°1=52 .故选 D .2 2 2 2. 【答案】A【解析】在等差数列:a n ［中，a 7 a 9 = *4+812 , • q 2 -16 -1 =15 .故选 A . 3.【答案】B【解析】由a 5 =a 2q 3得q =3 .44• a-^ = —2 - 3 , S 4= a 11 q 3 1—3120 .故选 B .q 1_q 1 _3 4 .【答案】B【解析】••• （a 1 a 2 a 3）（弧• - a ?。

2018-2019学年高中数学人教A版必修五练习：第二章数列检测A(含答案)

第二章检测(A)(时间:90分钟满分:120分)一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1下列四个数列中,既是无穷数列又是递增数列的是().A.1B.-1,2,-3,4,…C.-1,D.1解析:A项中数列是递减的无穷数列,B项中数列是摆动数列,D项中数列是递增的有穷数列.答案:C2若数列{a n}的前n项和S n=2n2-3n(n∈N*),则a4等于().A.11B.15C.17D.20解析:a4=S4-S3=20-9=11.答案:A3600是数列1×2,2×3,3×4,4×5,…的().A.第20项B.第24项C.第25项D.第30项解析:a1=1×2=1×(1+1),a2=2×3=2×(2+1),a3=3×4=3×(3+1),a4=4×5=4×(4+1),…,a n=n(n+1),令n(n+1)=600,解得a=24或a=-25(舍去),即600是数列{a n}的第24项.答案:B4在等比数列{a n}中,若a2a3a6a9a10=32,A.4B.2C.-2D.-4解析:设公比为q,由a2a3a6a9a10=32,a6=2,所答案:B5若{a n}为等差数列,S n是其前n项和,且S11A解析:S11则a6a6=答案:B6若数列{a n}是等差数列,其前n项和为S n,若a6=2,且S5=30,则S8等于().A.31B.32C.33D.34解析:设等差数列{a n}的公差为d,则解所以S8=8a1=8答案:B7若等比数列{a n}各项均为正,a3,a5,-a4成等差数列,S n为{a n}的前n项和,A.2 B解析:设等比数列{a n}的公比为q,则有q>0.∵a3,a5,-a4成等差数列,∴a3-a4=2a5,∴a1q2-a1q3=2a1q4,即1-q=2q2,解得q=-1(舍去)或q答案:C8已知等差数列{a n}的前n项和为S n,A.1 006B.1 008C.2 006D.2 008解析:∵A,B,C三点共线,∴a1+a2 016=1.∴S2 016008.答案:B9已知在数列{a n}中,a1=1,a n=a n-1≥2),则数列{a n}的前9项和等于().A.20B.27C.36D.45答案:B10设数列{a n}满足a1=1,且a n+1-a n=n+1(n∈N*),则数A答案:B二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在题中的横线上)11在等差数列{a n}中,若a3+a4+a5+a6+a7=25,则a2+a8=.答案:1012若等比数列{a n}满足a2+a4=20,a3+a5=40,则公比q=,前n项和S n=.解析:由题意知q∵a2+a4=a2(1+q2)=a1q(1+q2)=20,∴a1=2.∴S n答案:22n+1-213若数列{a n}的前20项由如图所示的程序框图依次输出的a值构成,则数列{a n}的一个通项公式a n=.解析:由题中程序框图知a1=0+1=1,a2=a1+2=1+2,a3=a2+3=1+2+3,…,a n=a n-1+n,即a n=1+2+3+…+(n-1)+n答案:14已知数列{a n}的前n项和S n=n2+2n-1,则a1+a3+a5+…+a25=.解析:当n=1时,a1=S1=12+2×1-1=2;当n≥2时,S n-1=(n-1)2+2(n-1)-1=n2-2,所以a n=S n-S n-1=(n2+2n-1)-(n2-2)=2n+1.此时若n=1,则a n=2n+1=3≠a1,所以a n故a1+a3+a5+...+a25=2+(7+11+15+ (51)=2答案:35015中位数为1 010的一组数构成等差数列,其末项为2 015,则该数列的首项为.解析:由题意知,1 010为数列首项a1与2 015的等差中项,010,解得a1=5.答案:5三、解答题(本大题共5小题,共45分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16(8分)在等差数列{a n}中,a1+a3=8,且a4为a2和a9的等比中项,求数列{a n}的首项、公差及前n项和.解设该数列公差为d,前n项和为S n.由已知,可得2a1+2d=8,(a1+3d)2=(a1+d)(a1+8d),所以,a1+d=4,d(d-3a1)=0,解得a1=4,d=0或a1=1,d=3,即数列{a n}的首项为4,公差为0,或首项为1,公差为3.所以,数列{a n}的前n项和S n=4n或S n17(8分)已知数列{a n}是等差数列,a2=6,a5=18;数列{b n}的前n项和是T n,且T n(1)求数列{a n}的通项公式;(2)求数列{b n}的前n项和T n.解(1)设数列{a n}的公差为d,由题意,解得a1=2,d=4.故a n=2+4(n-1)=4n-2.(2)当n=1时,b1=T1,由T1b1当n≥2时,∵T n∴T n=1∴T n-T n-1∴b n∴数列{b n}是.∴T n18(9分)已知首项∈N*),且S3+a3,S5+a5,S4+a4成等差数列.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)设T n=S n∈N*),求数列{T n}的最大项的值与最小项的值.解(1)设等比数列{a n}的公比为q.因为S3+a3,S5+a5,S4+a4成等差数列,所以S5+a5-S3-a3=S4+a4-S5-a5,即4a5=a3,于是q2又数列{a n}不是递减数列且a1q=故等比数列{a n}的通项公式为a n(2)由(1)得S n=1当n为奇数时,S n随n的增大而减小,所以1<S n≤S1故0<S n≤S1当n为偶数时,S n随n的增大而增大,所≤S n<1,故0>S n≥S2综上,对于n∈N*,总≤S n所以数列{T n}最大项的值19(10分)已知{a n}是首项为19,公差为-2的等差数列,S n为{a n}的前n项和.(1)求通项公式a n及S n;(2)设{b n-a n}是首项为1,公比为3的等比数列,求数列{b n}的通项公式及其前n项和T n.解(1)因为{a n}是首项为19,公差为-2的等差数列,所以a n=19-2(n-1)=-2n+21,即a n=-2n+21,S n=19n即S n=-n2+20n.(2)因为{b n-a n}是首项为1,公比为3的等比数列,所以b n-a n=3n-1,即b n=3n-1+a n=3n-1-2n+21,所以T n=b1+b2+…+b n=(30+a1)+(3+a2)+…+(3n-1+a n)=(30+3+…+3n-1)+(a1+a2+…+a n)20(10分)已知{a n}是等比数列,前n项和为S n(n∈N*),(1)求{a n}的通项公式;(2)若对任意的n∈N*,b n是log2a n和log2a n+1的等差中项,求数列{(-1)解(1)设数列{a n}的公比为q.由已知,q=2,或q=-1.又由S6=a1·q≠-1,所以a1·a1=1.所以a n=2n-1.(2)由题意,得b n即{b n}是首项1的等差数列.设数列{(-1)n项和为T n,则T2n=(+( =b1+b2+b3+b4+…+b2n-1+b2n。

高中数学必修5(人教A版)第二章数列2.4知识点总结含同步练习及答案

高中数学必修5(人教A版)知识点总结含同步练习题及答案
第二章数列 2.4 等比数列
一、学习任务理解等比数列的概念；掌握等比数列的通项公式，能运用公式解决一些简单的问题．能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系．了解等比数列与指数函数的关系．二、知识清单
等比数列的概念与性质
三、知识讲解
1.等比数列的概念与性质描述：等比数列一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数，那么这个数列叫做等比数列（geometric sequence），这个常数叫做等比数列的公比（common ratio），公比通常用字母 q 表示 (q ≠ 0) ．如果在 a 与 b 中间插入一个数 G，使 a ，G，b 成等比数列，那么 G 叫做 a 与 b 的等比中项．等比数列的通项公式：an = a1 q n−1 ．等比数列的性质 an ，am 为等比数列中任意两项，则 an = am q n−m (n, m ∈ N + ) ．若 n，m ，p ，r ∈ N ∗ 且 n + m = p + r ，则 an ⋅ am = ap ⋅ ar ．下标（即项的序号）成等差数列的项，仍然成等比数列．等比数列前 n 项和
27 是否为这个数列中的一项？如 2
a(3a + 3) = (2a + 2)2 ,
解得 a = −1 或 a = −4 ．当 a = −1 时，数列的前三项依次为 −1，0 ，0 ，与等比数列的定义相矛盾，故舍去．当 a = −4 时，数列的前三项依次为 −4，−6，−9，则公比为 q =
3 ．所以 2
q = 1, ⎧ na1 , n 等比数列的前 n 项和 S n = ⎨ a1 (1 − q ) a − an q ⎩ = 1 , q ≠ 1. 1−q 1−q 等比数列的前 n 项和的性质当 S n ，S 2n − S n ，S 3n − S 2n 均不为零时，数列 S n ，S 2n − S n ，S 3n − S 2n 构成等比数列；

2018-2019学年高中数学人教A版必修五练习：第二章数列检测B(含答案)

第二章检测(B)(时间:90分钟满分:120分)一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1数列1,3,6,10,15,…的递推公式是().A.a n+1=a n+n,n∈N*B.a n=a n-1+n,n∈N*,n≥2C.a n+1=a n+(n+1),n∈N*,n≥2D.a n=a n-1+(n-1),n∈N*,n≥2解析:a2=a1+2,a3=a2+3,a4=a3+4,a5=a4+5,所以a n=a n-1+n,n∈N*,n≥2.答案:B2若公比为2的等比数列{a n}的各项都是正数,且a3a11=16,则a5等于().A.1B.2C.4D.8解析:∵a3a11a n>0,∴a7=4.∴a5答案:A3已知数列{a n}是等比数列,a2=2,a5A.16(1-4-n)B.16(1-2-n)C解析:由题意可{a n a n+1}是以q2为公比的等比数列.由a2=2,a5q所以a1=4,a1a2=8.所以T n答案:C4设等比数列{a n}的前n项和为S n,若8a2+a5=0,则下列式子中数值不能确定的是(). AC解析:由8a2+a5=0设数列{a n}的公比为q,则q3=-8,所以q=-2.所.答案:D5已知{a n},{b n}都是等差数列,若a1+b10=9,a3+b8=15,则a5+b6等于().A.18B.20C.21D.32解析:因为{a n},{b n}都是等差数列,所以2a3=a1+a5,2b8=b10+b6,所以2(a3+b8)=(a1+b10)+(a5+b6),即a5+b6=2(a3+b8)-(a1+b10)=2×15-9=21.答案:C6已知等比数列{a n}的前n项和为S n,若S2n=4(a1+a3+a5+…+a2n-1),a1a2a3=27,则数列{a n}的通项公式是().A.a n=3n+1B.a n=2·3n-1C.a n=3n-1D.a n=3n解析:由a1a2a3=27a2=3.因为S2n=4(a1+a3+a5+…+a2n-1),所以当n=1时,有S2=a1+a2=4a1,得a1=1,从而公比q=3,所以a n=a1q n-1=3n-1.答案:C7若某工厂月生产总值的平均增长率为q,则该工厂的年平均增长率为().A.qB.12qC.(1+q)12D.(1+q)12-1解析:设年初的生产总值为a,则年末的生产总值为a(1+q)12,所以年增长率答案:D8等比数列{a n}的前n项和为S n,若S3=a2+10a1,a5=9,则a1等于().A解析:设数列{a n}的公比为q,若q=1,则由a5=9,得a1=9,此时S3=27,而a2+10a1=99,不满足题意,因此q≠1.∵当q≠1时,S3·q+10a1,q2=9.∵a5=a1·q4=9,即81a1=9,∴a1答案:C9设S n为等差数列{a n}的前n项和,(n+1)S n<nS n+1(n∈N*).A.S n的最大值是S8B.S n的最小值是S8C.S n的最大值是S7D.S n的最小值是S7解析:由(n+1)S n<nS n+1,得(n+1)·a n<a n+1,所以等差数列{a n}是递增数列.a8>0,a7<0,所以数列{a n}的前7项为负值,即S n的最小值是S7.答案:D10已知函数y=(n2+n)x2-(2n+1)x+1与x轴的交点为A n,B n(n∈N*),若以|A n B n|表示A n,B n间的距离,则|A1B1|+|A2B2|+…+|A2 015B2 015|等于().AC解析:设交点A n,B n的横坐标分别为x1,x2,则x1+x2因此|A n B n|=|x2-x1|故|A1B1|+|A2B2|+…+|A n B n|+|A2 015B2 015|答案:D二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在题中的横线上)11在数列{a n}中,若a1=1,a n a n-1=a n-1+(-1)n(n≥2,n∈N*),解析:当n=2时,a2a1=a1+(-1)2,得a2=2;当n=3时,a3a2=a2+(-1)3,得a3当n=4时,a4a3=a3+(-1)4,得a4=3;当n=5时,a5a4=a4+(-1)5,得a5所答案:12在数列{a n}中,若a2=4,a3=15,且数列{a n+n}是等比数列,则a n=.解析:设数列{a n+n}的公比为q,则q所以a n+n=(a2+2)·3n-2=6·3n-2=2·3n-1,所以a n=2·3n-1-n.答案:2·3n-1-n13已知三角形的三边构成等比数列,若它们的公比为q,则q的取值范围是.解析:由题意可设三角形的三边分别因为三角形两边之和大于第三边,所以又a>0,q>0,解答案:14数列{a n}满足a n a n+1=2,且a2=1,若S n是数列{a n}的前n项和,则S31=.解析:∵a2=1,a n a n+1=2,∴a1=2,a3=2,a4=1,…,∴a n答案:4715若在下表所示的3×3正方形的9个空格中填入正整数,使得每一行都成等差数列,每一列都成等比数列,则标有*号的空格应填的数是.13*12解析:设标有*号的空格应填a,由于每一行都成等差数列,则第一行第二个数.又每一列都成等比数列,则第一列第二个数,则应6.根据每一行成等差数列,则第二行第二个数,且空格中的数都是正整数,则第二列第二个数a=4.1236a12答案:4三、解答题(本大题共5小题,共45分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16(8分)在等差数列{a n}中,a3+a4=4,a5+a7=6.(1)求{a n}的通项公式;(2)设b n=[a n],求数列{b n}的前10项和,其中[x]表示不超过x的最大整数,如[0.9]=0,[2.6]=2.解(1)设数列{a n}的公差为d,由题意有2a1+5d=4,a1+5d=3,解得a1=1,d所以{a n}的通项公式为a n(2)由(1)知,b n当n=1,2,3时,1≤当n=4,5时,2≤当n=6,7,8时,3≤当n=9,10时,4≤所以数列{b n}的前10项和为1×3+2×2+3×3+4×2=24.17(8分)已知数列{a n}是等差数列,其前n项和为S n,且a1=-1,S12=186.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)若数列{b n}满足b n∈N*恒成立.(1)解设等差数列{a n}的公差为d,∵a1=-1,∴S12=-1×12解得d=3.∴a n=-1+3(n-1)=3n-4,∴数列{a n}的通项公式为a n=3n-4.(2)证明b n当n≥2∴数列{b n}是等比数列,首项b1q∴T n n∈N*恒成立.18(9分)在公差为d的等差数列{a n}中,已知a1=10,且a1,2a2+2,5a3成等比数列.(1)求d,a n;(2)若d<0,求|a1|+|a2|+|a3|+…+|a n|.解(1)由题意得5a3·a1=(2a2+2)2,即d2-3d-4=0.故d=-1或d=4.所以a n=-n+11,n∈N*或a n=4n+6,n∈N*.(2)设数列{a n}的前n项和为S n,因为d<0,由(1)得d=-1,a n=-n+11.则当n≤11时,|a1|+|a2|+|a3|+…+|a n|=S n=当n≥12时,|a1|+|a2|+|a3|+…+|a n|=-S n+2S11综上所述,|a1|+|a2|+|a3|+…+|a n|19(10分)已知数列{a n}是首项为正数的等差数列,数(1)求数列{a n}的通项公式;(2)设b n=(a n+1)·解(1)设数列{a n}的公差为d.令n=1,a1a2=3.令n=2,所以a2a3=15.解得a1=1,d=2,所以a n=2n-1.(2)由(1)知b n=(a n+1)··22n-1=n·4n,所以T n=1·41+2·42+…+n·4n,所以4T n=1·42+2·43+…+n·4n+1,两式相减,得-3T n=41+42+…+4n-n·4n+1·4n+1所以T n20(10分)正项数列{a n}的前n项和S n满足(1)求数列{a n}的通项公式a n;(2)令b n∈N*,都有T n (1)解得[S n-(n2+n)](S n+1)=0.由于数列{a n}是正项数列,所以S n>0,S n=n2+n.于是a1=S1=2,当n≥2时,a n=S n-S n-1=n2+n-(n-1)2-(n-1)=2n.综上可知,数列{a n}的通项a n=2n.(2)证明由于a n=2n,b n则b nT n。

2018-2019学年高中数学人教A版必修五练习：第二章数列2.1.2 Word版含答案

由a3=a2+l 3,排除B.
(方法二)∵an+1-an=ln
∴an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a3-a2)+(a2-a1)+a1
=ln +ln 2+2
=l
=2+lnn.
答案:A
★ 5数列a1=1,a2,a3,…,an(n∈N*)的法则如下:若an为自然数,则an+1=an-2,否则an+1=an+3,则a6=.
a4
(2)猜想:an
能力提升
1数
A.an ∈N*)
B.an ∈N*)
C.an+1 ∈N*)
D.an+1=2an(n∈N*)
解析:数列从第二项起,后一项是前一项 an+1 ∈N*).
答案:C
2由1,3,5,…,2n-1,…构成数列{an},数列{bn}满足b1=2,当n≥2时,bn
A.9B.17
C.33D.65
解析:∵a1=1是自然数,
∴a2=a1-2=1-2=-1.
∵a2=-1不是自然数,
∴a3=a2+3=-1+3=2.
∵a3=2是自然数,
∴a4=a3-2=2-2=0.
∵a4=0是自然数,
∴a5=a4-2=0-2=-2.
∵a5=-2不是自然数,
∴a6=a5+3=-2+3=1.
答案:1
6已知数列{an}满足:a4n-3=1,a4n-1=0,a2n=an,n∈N*,则a2 016=,a2 025=.
答案:B
5在正项数列{an}中,a1=1,a2=2, ≥2),则a6等于().
A.16B.8

高中数学人教版必修5课后习题答案[电子档]

高中数学必修5课后习题答案[人教版]高中数学必修5课后习题答案第1页共34页第二章数列2.1数列的概念与简单表示法练习（P31）1、2、前5项分别是：1,0,1,0,1--.3、例1（1）1(2,)1(21,)n n m m N na n m m N n⎧-=∈⎪⎪=⎨⎪=-∈⎪⎩**；（2）2(2,)0(21,)n n m m N a n m m N ⎧=∈⎪=⎨=-∈⎪⎩**说明：此题是通项公式不唯一的题目，鼓励学生说出各种可能的表达形式，并举出其他可能的通项公式表达形式不唯一的例子.4、（1）1()21n a n Z n +=∈-；（2）(1)()2n n a n Z n+-=∈；（3）121()2n n a n Z +-=∈习题2.1A 组（P33）1、（1）2,3,5,7,11,13,17,19；（2）；（3）1,1.7,1.73,1.732,…1.732050；2,1.8,1.74,1.733,…,1.732051.2、（1）11111,,,,491625；（2）2,5,10,17,26--.3、（1）（1），4-，9，（16-），25，（36-），49；12(1)n n a n +=-；（2）1，），2，；n a =.4、（1）1,3,13,53,2132；（2）141,5,,,5454--.5、对应的答案分别是：（1）16,21；54n a n =-；（2）10,13；32n a n =-；（3）24,35；22n a n n =+.6、15,21,28；1n n a a n -=+.习题2.1B 组（P34）1、前5项是1,9,73,585,4681.n12…5…12…n na 2133…69…153…3(34)n +该数列的递推公式是：1118,1n n a a a +=+=.通项公式是：817n n a -=.2、110(10.72)10.072a =⨯+=﹪；2210(10.72)10.144518a =⨯+=﹪；3310(10.72)10.217559a =⨯+=﹪；10(10.72)n n a =⨯+﹪.3、（1）1,2,3,5,8；（2）358132,,,,2358.2.2等差数列练习（P39）1、表格第一行依次应填：0.5，15.5，3.75；表格第二行依次应填：15，11-，24-.2、152(1)213n a n n =+-=+，1033a =.3、4n c n=4、（1）是，首项是11m a a md +=+，公差不变，仍为d ；（2）是，首项是1a ，公差2d ；（3）仍然是等差数列；首项是716a a d =+；公差为7d .5、（1）因为5375a a a a -=-，所以5372a a a =+.同理有5192a a a =+也成立；（2）112(1)n n n a a a n -+=+>成立；2(0)n n k n k a a a n k -+=+>>也成立.习题2.2A 组（P40）1、（1）29n a =；（2）10n =；（3）3d =；（4）110a =.2、略.3、60︒.4、2℃；11-℃；37-℃.5、（1）9.8s t =；（2）588cm ，5s.习题2.2B 组（P40）1、（1）从表中的数据看，基本上是一个等差数列，公差约为2000，52010200280.2610a a d =+=⨯再加上原有的沙化面积5910⨯，答案为59.2610⨯；（2）2021年底，沙化面积开始小于52810 hm ⨯.2、略.2.3等差数列的前n 项和练习（P45）1、（1）88-；（2）604.5.2、59,11265,112n n a n n ⎧=⎪⎪=⎨+⎪>⎪⎩3、元素个数是30，元素和为900.习题2.3A 组（P46）1、（1）(1)n n +；（2）2n ；（3）180个，和为98550；（4）900个，和为494550.2、（1）将120,54,999n n a a S ===代入1()2n n n a a S +=，并解得27n =；将120,54,27n a a n ===代入1(1)n a a n d =+-，并解得1713d =.（2）将1,37,6293n d n S ===代入1(1)n a a n d =+-，1()2n n n a a S +=，得111237()6292n n a a a a =+⎧⎪⎨+=⎪⎩；解这个方程组，得111,23n a a ==.（3）将151,,566n a d S ==-=-代入1(1)2n n n S na d -=+，并解得15n =；将151,,1566a d n ==-=代入1(1)n a a n d =+-，得32n a =-.（4）将2,15,10n d n a ===-代入1(1)n a a n d =+-，并解得138a =-；将138,10,15n a a n =-=-=代入1()2n n n a a S +=，得360n S =-.3、44.5510⨯m.4、4.5、这些数的通项公式：7(1)2n -+，项数是14，和为665.6、1472.习题2.3B 组（P46）1、每个月的维修费实际上是呈等差数列的.代入等差数列前n 项和公式，求出5年内的总共的维修费，即再加上购买费，除以天数即可.答案：292元.2、本题的解法有很多，可以直接代入公式化简，但是这种比较繁琐.现提供2个证明方法供参考.（1）由61615S a d =+，1211266S a d =+，18118153S a d=+可得61812126()2()S S S S S +-=-.（2）1261212126()()S S a a a a a a -=+++-+++ 7812a a a =+++ 126(6)(6)(6)a d a d a d =++++++ 126()36a a a d=++++636S d=+同样可得：1812672S S S d -=+，因此61812126()2()S S S S S +-=-.3、（1）首先求出最后一辆车出发的时间4时20分；所以到下午6时，最后一辆车行驶了1小时40分.（2）先求出15辆车总共的行驶时间，第一辆车共行驶4小时，以后车辆行驶时间依次递减，最后一辆行驶1小时40分.各辆车的行驶时间呈等差数列分布，代入前n 项和公式，这个车队所有车的行驶时间为2418531522S +=⨯=h.乘以车速60km/h ，得行驶总路程为2550km.4、数列1(1)n n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的通项公式为111(1)1na n n n n ==-++所以111111111(()()()1122334111n nS n n n n =-+-+-++-=-=+++ 类似地，我们可以求出通项公式为1111()()n a n n k k n n k==-++的数列的前n 项和.2.4等比数列练习（P52）1、2、由题意可知，每一轮被感染的计算机台数构成一个首项为180a =，公比为20q =的等比数列，则第5轮被感染的计算机台数5a 为447518020 1.2810a a q ==⨯=⨯.3、（1）将数列{}n a 中的前k 项去掉，剩余的数列为12,,k k a a ++ .令,1,2,k i b a i +== ，则数列12,,k k a a ++ 可视为12,,b b .因为11(1)i k i i k ib a q i b a ++++==≥，所以，{}n b 是等比数列，即12,,k k a a ++ 是等比数列.（2）{}n a 中的所有奇数列是135,,,a a a ，则235211321(1)k k a a aq k a a a +-===== ≥.所以，数列135,,,a a a 是以1a 为首项，2q 为公比的等比数列.（3）{}n a 中每隔10项取出一项组成的数列是11223,,,a a a ，则1112231111121110(1)k k a a a q k a a a +-===== ≥所以，数列11223,,,a a a 是以1a 为首项，11q 为公比的等比数列.猜想：在数列{}n a 中每隔m （m 是一个正整数）取出一项，组成一个新的数列，这个数列是以1a 为首项，1m q +为公比的等比数列.4、（1）设{}n a 的公比为q ，则24228511()a a q a q ==，而262837111a a a q a q a q ⋅=⋅=所以2537a a a =⋅，同理2519a a a =⋅（2）用上面的方法不难证明211(1)n n n a a a n -+=⋅>.由此得出，n a 是1n a -和1n a +的等比中项.同理：可证明，2(0)n n k n k a a a n k -+=⋅>>.由此得出，n a 是n k a -和n k a +的等比中项(0)n k >>.5、（1）设n 年后这辆车的价值为n a ，则13.5(110)n n a =-﹪.（2）4413.5(110)88573a =-≈﹪（元）.用满4年后卖掉这辆车，能得到约88573元.习题2.4A 组（P53）1、（1）可由341a a q =，得11a =-，6671(1)(3)729a a q ==-⨯-=-.也可由671a a q =，341a a q =，得337427(3)729a a q ==⨯-=-（2）由131188a q a q =⎧⎪⎨=⎪⎩，解得12723a q =⎧⎪⎨=⎪⎩，或12723a q =-⎧⎪⎨=-⎪⎩（3）由416146a q a q ⎧=⎪⎨=⎪⎩，解得232q =，862291173692a a q a q q a q ==⋅==⨯=还可由579,,a a a 也成等比数列，即2759a a a =，得22795694a a a ===.（4）由411311156a q a a q a q ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩ ①②①的两边分别除以②的两边，得2152q q +=，由此解得12q =或2q =.当12q =时，116a =-.此时2314a a q ==-.当2q =时，11a =.此时2314a a q ==.2、设n 年后，需退耕n a ，则{}n a 是一个等比数列，其中18(110),0.1a q =+=﹪.那么2005年需退耕5551(1)8(110)13a a q =+=+≈﹪（万公顷）3、若{}n a 是各项均为正数的等比数列，则首项1a 和公比q 都是正数.由11n n a a q-=11(1)22)n n qq --===.那么数列{}n a为首项，12q 为公比的等比数列.4、这张报纸的厚度为0.05mm ，对折一次后厚度为0.05×2mm ，再对折后厚度为0.05×22mm ，再对折后厚度为0.05×32mm.设00.05a =，对折n 次后报纸的厚度为n a ，则{}n a 是一个等比数列，公比2q =.对折50次后，报纸的厚度为505050131000.052 5.6310 mm 5.6310 ma a q ==⨯≈⨯=⨯这时报纸的厚度已经超出了地球和月球的平均距离（约83.8410 m ⨯），所以能够在地球和月球之间建一座桥.5、设年平均增长率为1,105q a =，n 年后空气质量为良的天数为n a ，则{}n a 是一个等比数列.由3240a =，得2231(1)105(1)240a a q q =+=+=，解得10.51q =≈6、由已知条件知，,2a b A G +==，且2222a b a b A G ++--===≥所以有A G ≥，等号成立的条件是a b =.而,a b 是互异正数，所以一定有A G >.7、（1）2±；（2）22()ab a b ±+.8、（1）27，81；（2）80，40，20，10.习题2.4B 组（P54）1、证明：由等比数列通项公式，得11m m a a q -=，11n n a a q -=，其中1,0a q ≠所以1111m m nm n n a a q q a a q---==2、（1）设生物体死亡时，体内每克组织中的碳14的原子核数为1个单位，年衰变率为q ，n 年后的残留量为n a ，则{}n a 是一个等比数列.由碳14的半衰期为5730则57305730112n a a qq===，解得157301()0.9998792q =≈（2）设动物约在距今n 年前死亡，由0.6n a =，得10.9998790.6n n a a q ===.解得4221n ≈，所以动物约在距今42213、在等差数列1，2，3，…中，有7108917a a a a +==+，1040203050a a a a +==+由此可以猜想，在等差数列{}n a 中若*(,,,)k s p q k s p q N +=+∈，则k s p q a a a a +=+.从等差数列与函数之间的联系的角度来分析这个问题：由等差数列{}n a 的图象，可以看出k p a k a p =，s q a sa q=根据等式的性质，有k s p q a a k sa a p q++=++，所以k s p q a a a a +=+.猜想对于等比数列{}n a ，类似的性质为：若*(,,,)k s p q k s p q N +=+∈，则k s p q a a a a ⋅=⋅.2.5等比数列的前n 项和练习（P58）1、（1）6616(1)3(12)189112a q S q --===--.（2）1112.7()9190311451()3n n a a qS q----===----.2、设这个等比数列的公比为q所以101256710()()S a a a a a a =+++++++ 555S q S =+55(1)q S =+50=同理1015105S S q S =+.因为510S =，所以由①得5101051416S q q S =-=⇒=代入②，得1015105501610210S S q S =+=+⨯=.3、该市近10年每年的国内生产总值构成一个等比数列，首项12000a =，公比 1.1q =设近10年的国内生产总值是10S ，则10102000(1 1.1)31874.81 1.1S -=≈-（亿元）习题2.5A 组（P61）（第3题）1、（1）由34164641a q a ===--，解得4q =-，所以144164(4)5111(4)a a q S q ---⨯-===---.（2）因为2131233(1)S a a a a q q --=++=++，所以2113q q --++=，即2210q q --=解这个方程，得1q =或12q =-.当1q =时，132a =；当12q =-时，16a =.2、这5年的产值是一个以1138 1.1151.8a =⨯=为首项， 1.1q =为公比的等比数列所以5515(1)151.8(1 1.1)926.75411 1.1a q S q -⨯-==≈--（万元）3、（1）第1个正方形的面积为42cm ，第2个正方形的面积为22cm ，…，这是一个以14a =为首项，12q =为公比的等比数列所以第10个正方形的面积为99710114()22a a q -==⨯=（2cm ）（2）这10个正方形的面积和为77110101422821112a a qS q---⨯-===---（2cm ）4、（1）当1a =时，2(1)(1)(2)()12(1)2n n na a a n n --+-++-=-----=-当1a ≠时，22(1)(2)()()(12)n n a a a n a a a n -+-++-=+++-+++ (1)(1)12n a a n n a -+=--（2）1212(235)(435)(35)2(12)3(555)n n n n -------⨯+-⨯+-⨯=+++-+++ 11(1)5(15)323(1)(15)2154n n n n n n ----+-⨯-⨯=+---（3）设21123n n S x x nx -=++++ ……①则212(1)n n n xS x x n x nx -=+++-+ ……②①－②得，21(1)1n n n x S x x x nx --=++++- ……③当1x =时，(1)1232n n n S n +=++++= ；当1x ≠时，由③得，21(1)1n nn x nx S x x-=---5、（1）第10次着地时，经过的路程为91002(50251002)-++++⨯ 1291911002100(222)2(12)100200299.61 (m)12------=+⨯+++-=+⨯≈-（2）设第n 次着地时，经过的路程为293.75m ，则1(1)12(1)12(12)1002100(222)100200293.7512n n ---------+⨯+++=+⨯=- 所以130********.75n --⨯=，解得120.03125n -=，所以15n -=-，则6n =6、证明：因为396,,S S S 成等差数列，所以公比1q ≠，且9362S S S =+即，936111(1)(1)(1)2111a q a q a q q q q---⨯=+---于是，9362q q q =+，即6321q q =+上式两边同乘以1a q ，得741112a q a q a q =+即，8252a a a =+，故285,,a a a 成等差数列习题2.5B 组（P62）1、证明：11111()(1())1n n n n n n n n n bb b a b a a a b b a a b a a a b a+++---+++=+++==-- 2、证明：因为7714789141277()S S a a a q a a a q S -=+++=+++= 141421141516211277()S S a a a q a a a q S -=+++=+++= 所以71472114,,S S S --成等比数列3、（1）环保部门每年对废旧物资的回收量构成一个等比数列，首项为1100a =，公比为 1.2q =.所以，2010年能回收的废旧物资为89100 1.2430a =⨯≈（t ）（2）从2002年到2010年底，能回收的废旧物资为9919(1)100(1 1.2)208011 1.2a q S q --==≈--（t ）可节约的土地为165048320⨯=（2m ）4、（1）依教育储蓄的方式，应按照整存争取定期储蓄存款利率计息，免征利息税，且若每月固定存入a 元，连续存n 个月，计算利息的公式为()2a na n+⨯月利率.因为整存整取定期储蓄存款年利率为2.52﹪，月利率为0.21﹪故到期3年时一次可支取本息共(505036)360.2118001869.932+⨯⨯⨯+=﹪（元）若连续存6年，应按五年期整存整取定期储蓄存款利率计息，具体计算略.（2）略.（3）每月存50元，连续存3年按照“零存整取”的方式，年利率为1.89﹪，且需支付20﹪的利息税所以到期3年时一次可支取本息共1841.96元，比教育储蓄的方式少收益27.97元.（4）设每月应存入x 元，由教育储蓄的计算公式得36(36)0.2136100002x x x +⨯+=﹪解得267.39x ≈（元），即每月应存入267.39（元）（5）（6）（7）（8）略5、设每年应存入x 万元，则2004年初存入的钱到2010年底利和为7(12)x +﹪，2005年初存入的钱到2010年底利和为6(12)x +﹪，……，2010年初存入的钱到2010年底利和为(12)x +﹪.根据题意，76(12)(12)(12)40x x x ++++++= ﹪﹪﹪根据等比数列前n 项和公式，得7(12)(1 1.02)401 1.02x +-=-﹪，解得52498x ≈（元）故，每年大约应存入52498元第二章复习参考题A 组（P67）1、（1）B ；（2）B ；（3）B ；（4）A .2、（1）212n n n a -=；（2）12(1)(21)1(2)n n n a n +--=+；（3）7(101)9n n a =-；（4）n a =n a =.3、4、如果,,a b c 成等差数列，则5b =；如果,,a b c 成等比数列，则1b =，或1-.5、n a 按顺序输出的值为：12，36，108，324，972.86093436sum =.6、81381.9(10.13)1396.3⨯+≈﹪（万）7、从12月20日到次年的1月1日，共13天.每天领取的奖品价值呈等差数列分布.110,100d a ==.由1(1)2n n n S a n d -=+得：1313121001310208020002S ⨯=⨯+⨯=>.所以第二种领奖方式获奖者受益更多.8、因为28374652a a a a a a a +=+=+=所以34567285450()2a a a a a a a +++++==+，则28180a a +=.9、容易得到101010,1012002n n na n S +==⨯=，得15n =.10、212212()()()n n n n S a a a a nd a nd a nd ++=+++=++++++2121()n a a a n nd S n d=++++⨯=+ 32122312(2)(2)(2)n n n n S a a a a nd a nd a nd ++=+++=++++++ 2121()22n a a a n nd S n d=++++⨯=+ 容易验证2132S S S =+.所以，123,,S S S 也是等差数列，公差为2n d .11、221(1)(1)4(1)221a f x x x x x =+=+-++=--223(1)(1)4(1)267a f x x x x x =-=---+=-+因为{}n a 是等差数列，所以123,,a a a 也是等差数列.所以，2132a a a =+.即，20286x x =-+.解得1x =或3x =.当1x =时，1232,0,2a a a =-==.由此可求出24n a n =-.当3x =时，1232,0,2a a a ===-.由此可求出42n a n =-.第二章复习参考题B 组（P68）1、（1）B ；（2）D .2、（1）不成等差数列.可以从图象上解释.,,a b c 成等差，则通项公式为y pn q =+的形式，且,,a b c 位于同一直线上，而111,,a b c 的通项公式却是1y pn q=+的形式，111,,a b c 不可能在同一直线上，因此肯定不是等差数列.（2）成等比数列.因为,,a b c 成等比，有2b ac =.又由于,,a b c 非零，两边同时取倒数，则有21111b ac a c==⨯.所以，111,,a b c也成等比数列.3、体积分数：60.033(125)0.126⨯+≈﹪，质量分数：60.05(125)0.191⨯+≈﹪.4、设工作时间为n ，三种付费方式的前n 项和分别为,,n n n A B C .第一种付费方式为常数列；第二种付费方式为首项是4，公差也为4的等差数列；第三种付费方式为首项是0.4，公比为2的等比数列.则38n A n =，2(1)44222n n n B n n n -=+⨯=+，0.4(12)0.4(21)12n n n C -==--.下面考察,,n n n A B C 看出10n <时，380.4(21)n n >-.因此，当工作时间小于10天时，选用第一种付费方式.10n ≥时，,n n n nA CBC ≤≤因此，当工作时间大于10天时，选用第三种付费方式.5、第一星期选择A 种菜的人数为n ，即1a n =，选择B 种菜的人数为500a -.所以有以下关系式：2118030a a b =⨯+⨯﹪﹪3228030a a b =⨯+⨯﹪﹪……118030n n b a a b --=⨯+⨯﹪﹪500n n a b +=所以111502n n a a -=+，115003502n n n b a a -=-=-如果1300a =，则2300a =，3300a =，…，10300a =6、解：由1223n n n a a a --=+得1123()n n n n a a a a ---+=+以及1123(3)n n n n a a a a ----=--所以221213()37n n n n a a a a ---+=+=⨯，221213(1)(3)(1)13n n n n a a a a ----=--=-⨯.由以上两式得，11437(1)13n n n a --=⨯+-⨯所以，数列的通项公式是11137(1)134n n n a --⎡⎤=⨯+-⨯⎣⎦7、设这家牛奶厂每年应扣除x 万元消费基金2002年底剩余资金是1000(150)x+-﹪2003年底剩余资金是2[1000(150)](150)1000(150)(150)x x x x+-+-=+-+-﹪﹪﹪﹪……5年后达到资金54321000(150)(150)(150)(150)(150)2000x x x x +-+-+-+-+=﹪﹪﹪﹪﹪解得459x ≈（万元）第三章不等式3.1不等关系与不等式练习（P74）1、（1）0a b +≥；（2）4h ≤；（3）(10)(10)3504L W L W ++=⎧⎨>⎩.2、这给两位数是57.3、（1）>；（2）<；（3）>；（4）<；习题3.1A 组（P75）1、略.2、（1）24<；（2>3、证明：因为20,04x x >>，所以21104x x x ++>+>因为22(102x +>>，所以12x+>4、设A 型号帐篷有x 个，则B 型号帐篷有(5)x +个，050448054853(5)484(4)48x x x x x x >⎧⎪+>⎪⎪<⎪⎨<-<⎪⎪+<⎪+⎪⎩≥5、设方案的期限为n 年时，方案B 的投入不少于方案A 的投入.所以，(1)5105002n n n -+⨯≥即，2100n ≥.习题3.1B 组（P75）1、（1）因为222259(56)30x x x x x ++-++=+>，所以2225956x x x x ++>++（2）因为222(3)(2)(4)(69)(68)10x x x x x x x ----=-+--+=>所以2(3)(2)(4)x x x ->--（3）因为322(1)(1)(1)0x x x x x --+=-+>，所以321x x x >-+（4）因为22222212(1)1222(1)(1)10x y x y x y x y x y ++-+-=++-+-=-+-+>所以2212(1)x y x y ++>+-2、证明：因为0,0a b c d >>>>，所以0ac bd >>又因为0cd >，所以10cd>于是0a b d c >>>3、设安排甲种货箱x 节，乙种货箱y 节，总运费为z .所以352515301535115050x y x y x y +⎧⎪+⎨⎪+=⎩≥≥所以28x ≥，且30x ≤所以2822x y =⎧⎨=⎩，或2921x y =⎧⎨=⎩，或3020x y =⎧⎨=⎩所以共有三种方案，方案一安排甲种货箱28节，乙种货箱22节；方案二安排甲种货箱29节，乙种货箱21节；方案三安排甲种货箱30节，乙种货箱20节.当3020x y =⎧⎨=⎩时，总运费0.5300.82031z =⨯+⨯=（万元），此时运费较少.3.2一元二次不等式及其解法练习（P80）1、（1）1013x x ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭≤≤；（2）R ；（3）{}2x x ≠；（4）12x x ⎧⎫≠⎨⎬⎩⎭；（5）31,2x x x ⎧⎫<->⎨⎬⎩⎭或；（6）54,43x x x ⎧⎫<>⎨⎬⎩⎭或；（7）503x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭.2、（1）使2362y x x =-+的值等于0的x的集合是1⎧⎪⎨⎪⎪⎩⎭；使2362y x x =-+的值大于0的x的集合为1,133x x x ⎧⎪<->+⎨⎪⎪⎩⎭或；使2362y x x =-+的值小于0的x的集合是11x x ⎧⎪<<+⎨⎪⎪⎩⎭.（2）使225y x =-的值等于0的x 的集合{}5,5-；使225y x =-的值大于0的x 的集合为{}55x x -<<；使225y x =-的值小于0的x 的集合是{}5,5x x x <->或.（3）因为抛物线2+610y x x =+的开口方向向上，且与x 轴无交点所以使2+610y x x =+的等于0的集合为∅；使2+610y x x =+的小于0的集合为∅；使2+610y x x =+的大于0的集合为R.（4）使231212y x x =-+-的值等于0的x 的集合为{}2；使231212y x x =-+-的值大于0的x 的集合为∅；使231212y x x =-+-的值小于0的x 的集合为{}2x x ≠.习题3.2A 组（P80）1、（1）35,22x x x ⎧⎫<->⎨⎬⎩⎭或；（2）x x ⎧⎪<<⎨⎪⎪⎩⎭；（3）{}2,5x x x <->或；（4）{}09x x <<.2、（1）解2490x x -+≥，因为200∆=-<，方程2490x x -+=无实数根所以不等式的解集是R ，所以y =的定义域是R.（2）解2212180x x -+-≥，即2(3)0x -≤，所以3x =所以y ={}3x x =3、{33m m m <-->-+或；4、R.5、设能够在抛出点2m 以上的位置最多停留t 秒.依题意，20122v t gt ->，即212 4.92t t ->.这里0t >.所以t 最大为2（精确到秒）答：能够在抛出点2m 以上的位置最多停留2秒.6、设每盏台灯售价x 元，则15[302(15)]400x x x ⎧⎨-->⎩≥.即1520x <≤.所以售价{}1520x x x ∈<≤习题3.2B 组（P81）1、（1）52x ⎧+⎪<<⎨⎪⎪⎩⎭；（2）{}37x x <<；（3）∅；（4）113x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭.2、由22(1)40m m ∆=--<，整理，得23210m m +->，因为方程23210m m +-=有两个实数根1-和13，所以11m <-，或213m >，m 的取值范围是11,3m m m ⎧⎫<->⎨⎬⎩⎭或.3、使函数213()324f x x x =--的值大于0的解集为3322x x x ⎧⎪<-<+⎨⎪⎪⎩⎭或.4、设风暴中心坐标为(,)a b，则a =22450b +<，即150150b -<<151)13.72=≈（h ），3001520=.所以，经过约13.7小时码头将受到风暴的影响，影响时间为15小时.3.3二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题练习（P86）1、B .2、D .3、B .4、分析：把已知条件用下表表示：工序所需时间/分钟收益/元打磨着色上漆桌子A 106640桌子B 512930工作最长时间450480450解：设家具厂每天生产A 类桌子x 张，B 类桌子y 张.对于A 类桌子，x 张桌子需要打磨10x min ，着色6x min ，上漆6x min 对于B 类桌子，y 张桌子需要打磨5y min ，着色12y min ，上漆9y min 而打磨工人每天最长工作时间是450min ，所以有105450x y +≤.类似地，612480x y +≤，69450x y +≤在实际问题中，0,0x y ≥≥；所以，题目中包含的限制条件为1054506124806945000x y x y x y x y +⎧⎪+⎪⎪+⎨⎪⎪⎪⎩≤≤≤≥≥练习（P91）1、（1）目标函数为2z x y =+，可行域如图所示，作出直线2y x z =-+，可知z 要取最大值，即直线经过点C 时，解方程组11x y y +=⎧⎨=-⎩得(2,1)C -，所以，max 222(1)3z x y =+=⨯+-=.（2）目标函数为35z x y=+，可行域如图所示，作出直线35z x y=+可知，直线经过点B时，Z取得最大值.直线经过点A时，Z取得最小值.解方程组153y xx y=+⎧⎨-=⎩，和15315y xx y=+⎧⎨+=⎩可得点(2,1)A--和点(1.5,2.5)B.所以max3 1.55 2.517z=⨯+⨯=，min3(2)5(1)11z=⨯-+⨯-=-2、设每月生产甲产品x件，生产乙产品y件，每月收入为z元，目标函数为30002000z x y=+，需要满足的条件是24002500x yx yxy+⎧⎪+⎪⎨⎪⎪⎩≤≤≥≥，作直线30002000z x y=+当直线经过点A时，z取得最大值.解方程组24002500x yx y+=⎧⎨+=⎩可得点(200,100)A，z的最大值为800000元.习题3.3A组（P93）1、画图求解二元一次不等式：（1）2x y+≤；（2）22x y->；（3）2y-≤；（4）3x≥（第1题）2、3、分析：将所给信息下表表示：每次播放时间/分广告时间/分收视观众/万连续剧甲80160连续剧乙40120播放最长时间320最少广告时间6解：设每周播放连续剧甲x 次，播放连续剧乙y目标函数为6020z x y =+，所以，题目中包含的限制条件为8040320600x y x y x y +⎧⎪+⎪⎨⎪⎪⎩≤≥≥≥可行域如图.解方程组80403206x y xy +⎧⎨+⎩==得点M 的坐标为(2,4)，所以max 6020200z x y =+=答：电视台每周应播放连续剧甲2次，播放连续剧乙4次，才能获得最高的收视率.4、设每周生产空调器x 台，彩电y 台，则生产冰箱120x y --台，产值为z .则，目标函数为432(120)2240z x y x y x y =++--=++所以，题目中包含的限制条件为111(120)402341202000x y x y x y x y ⎧++--⎪⎪⎪--⎨⎪⎪⎪⎩≤≥≥≥即，312010000x y x y x y +⎧⎪+⎪⎨⎪⎪⎩≤≤≥≥可行域如图，解方程组3120100x y x y +⎧⎨+⎩==（第2题）（第3题）得点M 的坐标为(10,90)，所以max 2240350z x y =++=（千元）答：每周应生产空调器10台，彩电90台，冰箱20台，才能使产值最高，最高产值是350千元.习题3.3B 组（P93）1、画出二元一次不等式组231223600x y x y x y +⎧⎪+>-⎪⎨⎪⎪⎩≤≥≥，所表示的区域如右图2、画出(21)(3)0x y x y +--+>表示的区域.3、设甲粮库要向A 镇运送大米x 吨、向B 镇运送大米y 吨，总运费为z .则乙粮库要向A 镇运送大米(70)x -吨、向B 镇运送大米(110)y -吨，目标函数（总运费）为122025101512(70)208(110)609030200z x y x y x y =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯-+⨯⨯-=++.所以，题目中包含的限制条件为100(70)(110)800700x y x y x y +⎧⎪-+-⎪⎨⎪⎪⎩≤≤≤≤≥.所以当70,30x y ==时，总运费最省min 37100z =（元）（第2题）所以当0,100x y ==时，总运费最不合理max 39200z =（元）使国家造成不该有的损失2100元.答：甲粮库要向A 镇运送大米70吨，向B 镇运送大米30吨，乙粮库要向A 镇运送大米0吨，向B 镇运送大米80吨，此时总运费最省，为37100元.最不合理的调运方案是要向A 镇运送大米0吨，向B 镇运送大米100吨，乙粮库要向A 镇运送大米70吨，向B 镇运送大米10吨，此时总运费为39200元，使国家造成损失2100元.3.42a b +练习（P100）1、因为0x >，所以12x x +=≥当且仅当1x x =时，即1x =时取等号，所以当1x =时，即1x x+的值最小，最小值是2.2、设两条直角边的长分别为,a b ，0,a >且0b >，因为直角三角形的面积等于50.即1502ab =，所以20a b +==≥，当且仅当10a b ==时取等号.答：当两条直角边的长均为10时，两条直角边的和最小，最小值是20.3、设矩形的长与宽分别为a cm ，b cm.0a >，0b >因为周长等于20，所以10a b +=所以2210()()2522a b S ab +===≤，当且仅当5a b ==时取等号.答：当矩形的长与宽均为5时，面积最大.4、设底面的长与宽分别为a m ，b m.0a >，0b >因为体积等于323m ，高2m ，所以底面积为162m ，即16ab =所以用纸面积是222324()32323264S ab bc ac a b =++=+++=+=≥当且仅当4a b ==时取等号答：当底面的长与宽均为4米时，用纸最少.习题3.4A 组（P100）1、（1）设两个正数为,a b ，则0,0a b >>，且36ab =所以12a b +==≥，当且仅当6a b ==时取等号.答：当这两个正数均为6时，它们的和最小.（2）设两个正数为,a b ，依题意0,0a b >>，且18a b +=所以2218()(8122a b ab +==≤，当且仅当9a b ==时取等号.答：当这两个正数均为9时，它们的积最大.2、设矩形的长为x m ，宽为y m ，菜园的面积为S 2m .则230x y +=，S x y=⨯由基本不等式与不等式的性质，可得211219002252()222242x y S x y +=⨯⨯=⨯=≤.当2x y =，即1515,2x y ==时，菜园的面积最大，最大面积是22522m .3、设矩形的长和宽分别为x 和y ，圆柱的侧面积为z ，因为2()36x y +=，即18x y +=.所以222(1622x y z x y πππ+=⨯⨯⨯=≤，当x y =时，即长和宽均为9时，圆柱的侧面积最大.4、设房屋底面长为x m ，宽为y m ，总造价为z 元，则12xy =，12y x=123600312006800580048005800580034600z y x x x⨯=⨯+⨯+=++=≥当且仅当1236004800x x⨯=时，即3x =时，z 有最小值，最低总造价为34600元.习题3.4B 组（P101）1、设矩形的长AB 为x ，由矩形()ABCD AB AD >的周长为24，可知，宽12AB x =-.设PC a =，则DP x a=-所以222(12)()x x a a -+-=，可得21272x x a x -+=，1272x DP x a x-=-=.所以ADP ∆的面积211272187272(12)66[(18]2x x x S x x x x x--+-=-=⨯=⨯-++由基本不等式与不等式的性质6[18]6(18108S ⨯-+=⨯-=-≤当72x x=，即x =m 时，ADP ∆的面积最大，最大面积是(108-2m .2、过点C 作CD AB ⊥，交AB 延长线于点D .设BCD α∠=，ACB β∠=，CD x =.在BCD ∆中，tan b cxα-=.在ACD ∆中，tan()a c xαβ-+=则tan()tan tan tan[()]1tan()tan αβαβαβααβα+-=+-=++⋅()()1a c b ca b x x a c b ca cbc x x x x----==----+⋅+=≤当且仅当()()a cbc x x--=，即x =时，tan β取得最大，从而视角也最大.第三章复习参考题A 组（P103）1<.2、化简得{}23A x x =-<<，{}4,2B x x x =<->或，所以{}23A B x x =<< 3、当0k <时，一元二次不等式23208kx kx +-<对一切实数x 都成立，即二次函数2328y kx kx =+-在x 轴下方，234(2)()08k k ∆=--<，解之得：30k -<<.当0k >时，二次函数2328y kx kx =+-开口朝上一元二次不等式23208kx kx +-<不可能对一切实数x 都成立，所以，30k -<<.4、不等式组438000x y x y ++>⎧⎪<⎨⎪<⎩表示的平面区域的整点坐标是(1,1)--.5、设每天派出A 型车x 辆，B 型车y 辆，成本为z .所以070494860360x y x y x y ⎧⎪⎪⎨+⎪⎪+⎩≤≤≤≤≤≥，目标函数为160252z x y=+把160252z x y =+变形为40163252y x z =-+，得到斜率为4063-，在y 轴上的截距为1252z ，随z 变化的一族平行直线.在可行域的整点中，点(5,2)M 使得z 取得最小值.所以每天派出A 型车5辆，B 型车2辆，成本最小，最低成本为1304元.6、设扇形的半径是x ，扇形的弧长为y ，因为12S xy =扇形的周长为2Z x y =+=≥当2x y =，即x =，y =时，Z可以取得最小值，最小值为.7、设扇形的半径是x ，扇形的弧长为y ，因为2P x y=+扇形的面积为221112(2)()244216x y P Z xy x y +===≤当2x y =，即4P x =，2P y =时，Z 可以取得最大值，半径为4P 时扇形面积最大值为216P .8、设汽车的运输成本为y ，2()s say bv a sbv v v=+⨯=+当sa sbv v=时，即v =c 时，y 有最小值.2sa y sbv v =+=≥，最小值为2c >时，由函数sa y sbv v =+的单调性可知，v c =时y 有最小值，最小值为sa sbc c+.第三章复习参考题B 组（P103）1、D2、（1）32264x x x x ⎧⎫<--<<>⎨⎬⎩⎭或或（2）⎧⎨⎩3、1m =4、设生产裤子x 条，裙子y 条，收益为z .则目标函数为2040z x y =+，所以约束条件为10210600x y x y x y x y +⎧⎪+⎪⎪+⎨⎪⎪⎪⎩≤≤≤≥≥5、因为22x y +是区域内的点到原点的距离的平方所以，当240330x y x y -+=⎧⎨--=⎩即2,3A A x y ==时，22x y +的最大值为13.当4525x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时，22x y +最小，最小值是45.6、按第一种策略购物，设第一次购物时的价格为1p ，购n kg ，第二次购物时的价格为2p ，仍购n kg ，按这种策略购物时两次购物的平均价格为121222p n p n p p n ++=.若按第二种策略购物，第一次花m 元钱，能购1m p kg 物品，第二次仍花m 元钱，能购2m p kg 物品，两次购物的平均价格为12122211m m mp p p p =++比较两次购物的平均价格：221212121212121212121222()4()011222()2()p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p +++---=-==++++≥所以，第一种策略的平均价格高于第二种策略的平均价格，因而，用第二种策略比较经济.一般地，如果是n 次购买同一种物品，用第二种策略购买比较经济.。

2018-2019学年高中数学人教A版必修五：第二章数列2.5

��1��2 = + ��1��5
10,
=
5 4
,
��1(1 + ��2) = 10,①
即
��1
��3
(1
+
��2
)
=
5 4
.②
∵a1≠0,1+q2≠0,
②÷①,得
q3=
1 8
,
即q=
1 2
,
∴
��1
=
8.
∴a4=a1q3=8×
二”是常见题型,常用解方程组的方法求得,解方程组消元的策略是
2将019所年4得月2方9日程相除.
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6
题型一题型二题型三题型四
【变式训练1】在等比数列{an}中,
(1)若q=2,S4=1,求S8;
(2)若
a1+a3=10,a4+a6=
5 4
,
求��4
和��5.
解(1)设首项为 a1,∵q=2,S4=1,
(1
−
��
+ ��) = ��
+ +
�� .
−
��
+
��)
此性质还可推导如下:
Sm+n=a1+a2+…+an+an+1+…+an+m-1+an+m =Sn+a1·qn+a2·qn+a3·qn+…+am·qn =Sn+qn(a1+a2+…+am) =Sn+qnSm. (6)数列{an}为等比数列⇔Sn=Aqn+B(A=-B≠0).

2018-2019学年高中数学人教A版必修五练习：第二章数列2.4.2 Word版含答案

第2课时等比数列的性质课时过关·能力提升基础巩固1在等比数列{a n }中,a 2=8,a 5=64,则公比q 为( ).A.2B.3C.4D.8答案:A2对任意等比数列{a n },下列说法一定正确的是( ).A.a 1,a 3,a 9成等比数列B.a 2,a 3,a 6成等比数列C.a 2,a 4,a 8成等比数列D.a 3,a 6,a 9成等比数列答案:D3已知等差数列a ,b ,c 三项之和为12,且a ,b ,c+2成等比数列,则a 等于(). A.2或8 B.2C.8D.-2或-8解析:由已知得{a +c =2b ,a +b +c =12,a (c +2)=b 2,解得{a =2,b =4,c =6或{a =8,b =4,c =0.故a=2或a=8.答案:A4等比数列{a n }的公比q=−14,a1=√2,则数列{an}是( ).A.递增数列B.递减数列C.常数数列D.摆动数列解析:由于公比q=−14<0,所以数列{a n }是摆动数列.答案:D5已知{a n }是等差数列,公差d 不为零.若a 2,a 3,a 7成等比数列,且2a 1+a 2=1,则a 1= ,d= .解析:由题意得{a 32=a 2·a 7,2a 1+a 2=1,即{(a 1+2d )2=(a 1+d )·(a 1+6d ),2a 1+a 1+d =1,解得{a 1=23,d =-1.答案:23 −1 6若等比数列{a n }的各项均为正数,且a 10a 11+a 9a 12=2e 5,则ln a 1+ln a 2+…+ln a 20= . 答案:507在83和272之间插入三个数,使这五个数成等比数列,则插入的三个数的积为 .解析:设此三个数为x ,y ,z ,即数列83,x,y,z,272构成等比数列.。

2018-2019学年高中数学人教A版必修五：第二章数列2.3.2

= −110.
故此数列的前 110 项之和为-110.
2019年4月29日
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7
题型一题型二题型三
解法二设此等差数列的前n项和为Sn=an2+bn.
∵S10=100,S100=10,
11
∴
102�� + 10�� = 1002�� + 100��
100, = 10,
5 3
C.
−2D.
3
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3
等差数列前n项和的性质剖析数列{an}是公差为d的等差数列,其前n项和具有下列性质: (1)Sn=a1+a2+…+an, S2n-Sn=an+1+an+2+…+a2n=(a1+a2+…+an)+n2d, S3n-S2n=a2n+1+a2n+2+…+a3n=(a1+a2+…+an)+2n2d, 则Sn,S2n-Sn,S3n-S2n是公差为n2d的等差数列,且有Sn+S3n-S2n=2(S2nSn).
分析本题的基本解法是求a1,d或令Sn=an2+bn,先求Sn,再求S110,或利用性质求解.
解法一设该等差数列为{an},其公差为d,前n项和为Sn,
则
Sn=na1+
��(��-1) 2
��.
①
由已知,得
10��1
+
10×9 2
��
=
100,
100��1
差都等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列.这个常数叫

高中数学人教A版必修五优化练习：第二章章末优化总结 Word版含解析

章末检测(二) 数列时间：120分钟满分：150分一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．在等差数列{a n }中，a 3＝－6，a 7＝a 5＋4，则a 1等于( )A ．－10B ．－2C ．2D ．10解析：设公差为d ，∴a 7－a 5＝2d ＝4，∴d ＝2，又a 3＝a 1＋2d ，∴－6＝a 1＋4，∴a 1＝－10. 答案：A2．在等比数列{a n }中，a 4，a 12是方程x 2＋3x ＋1＝0的两根，则a 8等于( )A ．1B ．－1C ．±1D ．不能确定解析：由题意得，a 4＋a 12＝－3<0，a 4·a 12＝1>0，∴a 4<0，a 12<0，∴a 8<0，又∵a 28＝a 4·a 12＝1，∴a 8＝－1. 答案：B3．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋n ，那么它的通项公式a n ＝( )A ．nB ．2nC ．2n ＋1D ．n ＋1解析：当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2＋n －[(n －1)2＋(n －1)]＝2n ，当n ＝1时，a 1＝S 1＝2，也满足上式，故数列{a n }的通项公式为a n ＝2n .答案：B4．若数列{a n }满足a n ＝q n (q >0，n ∈N *)，则以下命题正确的是( )①{a 2n }是等比数列；②⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是等比数列； ③{lg a n }是等差数列；④{lg a 2n }是等差数列．A ．①③B ．③④C ．②③④D ．①②③④解析：因为a n ＝q n (q >0，n ∈N *)，所以{a n }是等比数列，因此{a 2n }，⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是等比数列，{lg a n }，{lg a 2n }是等差数列．答案：D5．已知数列2，x ，y,3为等差数列，数列2，m ，n,3为等比数列，则x ＋y ＋mn 的值为( )A ．16B ．11C ．－11D ．±11解析：根据等差中项和等比中项知x ＋y ＝5，mn ＝6，所以x ＋y ＋mn ＝11，故选B. 答案：B6．已知S n ＝1－2＋3－4＋5－6＋…＋(－1)n ＋1·n ，则S 6＋S 10＋S 15等于( )A ．－5B ．－1C ．0D ．6 解析：由题意可得S 6＝－3，S 10＝－5，S 15＝－7＋15＝8，所以S 6＋S 10＋S 15＝0.答案：C7．已知等比数列{a n }的公比为正数，且a 3·a 7＝4a 24，a 2＝2，则a 1＝( )A ．1 B. 2 C ．2 D.22解析：设{a n }的公比为q ，则有a 1q 2·a 1q 6＝4a 21q 6，解得q ＝2(舍去q ＝－2)，所以由a 2＝a 1q＝2，得a 1＝1.故选A.答案：A8．设等差数列{a n }的公差d 不为0，a 1＝9d .若a k 是a 1与a 2k 的等比中项，则k 等于( )A ．2B ．4C ．6D ．8解析：∵a 2k ＝a 1a 2k ，∴(8＋k )2d 2＝9d (8＋2k )d ，∴k ＝4(舍去k ＝－2)．答案：B9．计算机的成本不断降低，若每隔3年计算机价格降低13，现在价格为8 100元的计算机，9年后的价格可降为( )A ．900元B ．1 800元C ．2 400元D ．3 600元解析：把每次降价后的价格看做一个等比数列，首项为a 1，公比为1－13＝23，则a 4＝8 100×⎝⎛⎭⎫232＝2 400.答案：C10．一个凸多边形的内角成等差数列，其中最小的内角为120°，公差为5°，那么这个多边形的边数n 等于( )A ．12B ．16C ．9D ．16或9解析：由题意得，120°n ＋12n (n －1)×5°＝180°(n －2)，化简整理，得n 2－25n ＋144＝0，解得n ＝9或n ＝16.当n ＝16时，最大角为120°＋(16－1)×5°＝195°>180°，不合题意．∴n ≠16.故选C.答案：C11．设{a n }是公差为－2的等差数列，若a 1＋a 4＋a 7＋…＋a 97＝50，则a 3＋a 6＋a 9＋…＋a 99的值为( )A ．－78B ．－82C ．－148D ．－182解析：∵a 1＋a 4＋a 7＋…＋a 97＝50，d ＝－2，∴a 3＋a 6＋a 9＋…＋a 99＝(a 1＋2d )＋(a 4＋2d )＋(a 7＋2d )＋…＋(a 97＋2d )＝(a 1＋a 4＋a 7＋…＋a 97)＋33×2d ＝50＋33×(－4)＝－82. 答案：B12．定义：称n p 1＋p 2＋…＋p n为n 个正数p 1，p 2，…，p n 的“均倒数”，若数列{a n }的前n 项的“均倒数”为12n －1，则数列{a n }的通项公式为( ) A ．2n －1B ．4n －1C ．4n －3D ．4n －5解析：设数列{a n }的前n 项和为S n ，由已知得n a 1＋a 2＋…＋a n ＝n S n ＝12n －1，∴S n ＝n (2n －1)＝2n 2－n .当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n 2－n －[2(n －1)2－(n －1)]＝4n －3，当n ＝1时，a 1＝S 1＝2×12－1＝1适合上式，∴a n ＝4n －3.答案：C二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中的横线上)13．已知S n 是等比数列{a n }的前n 项和，a 5＝－2，a 8＝16，则S 6等于________．解析：∵{a n }为等比数列，∴a 8＝a 5q 3，∴q 3＝16－2＝－8，∴q ＝－2.又a 5＝a 1q 4，∴a 1＝－216＝－18，∴S 6＝a 1(1－q 6)1－q ＝－18[1－(－2)6]1＋2＝218. 答案：21814．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若S 3＝3，S 6＝24，则a 9＝________.解析：设等差数列公差为d ，则S 3＝3a 1＋3×22×d ＝3a 1＋3d ＝3，a 1＋d ＝1，① 又S 6＝6a 1＋6×52×d ＝6a 1＋15d ＝24，即2a 1＋5d ＝8.② 联立①②两式得a 1＝－1，d ＝2，故a 9＝a 1＋8d ＝－1＋8×2＝15.答案：1515．在等差数列{a n }中，S n 为它的前n 项和，若a 1>0，S 16>0，S 17<0，则当n ＝________时，S n 最大．解析：∵⎩⎨⎧ S16＝16(a 1＋a 16)2＝8(a 8＋a 9)>0S 17＝17(a 1＋a 17)2＝17a 9<0，∴a 8>0，而a 1>0，∴数列{a n }是一个前8项均为正，从第9项起为负值的等差数列，从而n ＝8时，S n 最大．答案：816．已知函数f (x )＝x a 的图象过点(4,2)，令a n ＝1f (n ＋1)＋f (n )，n ∈N *.记数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 2 016＝________.解析：由f (4)＝2可得4α＝2，解得α＝12，则f (x )＝x 12. ∴a n ＝1f (n ＋1)＋f (n )＝1n ＋1＋n＝n ＋1－n ， S 2 016＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 2 016＝(2－1)＋(3－2)＋(4－3)＋…＋( 2 017－ 2 016)＝ 2 017－1.答案： 2 017－1三、解答题(本大题共有6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(12分)在等比数列{a n }中，a 2＝3，a 5＝81.(1)求a n ；(2)设b n ＝log 3a n ，求数列{b n }的前n 项和S n .解析：(1)设{a n }的公比为q ，依题意得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1q ＝3，a 1q 4＝81，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，q ＝3. 因此a n ＝3n －1.(2)因为b n ＝log 3a n ＝n －1，且为等差数列，所以数列{b n }的前n 项和S n ＝n (b 1＋b n )2＝n 2－n 2. 18．(12分)已知等差数列{a n }，a 6＝5，a 3＋a 8＝5.(1)求{a n }的通项公式a n ；(2)若数列{b n }满足b n ＝a 2n －1，求{b n }的通项公式b n .解析：(1)设{a n }的首项是a 1，公差为d ，依题意得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋5d ＝5，2a 1＋9d ＝5，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝－20，d ＝5.∴a n ＝5n －25(n ∈N *)．(2)∵a n ＝5n －25，∴b n ＝a 2n －1＝5(2n －1)－25＝10n －30，∴b n ＝10n －30(n ∈N *)．19．(12分)已知等差数列{a n }满足a 1＋a 2＝10，a 4－a 3＝2.(1)求{a n }的通项公式；(2)设等比数列{b n }满足b 2＝a 3，b 3＝a 7.问：b 6与数列{a n }的第几项相等？解析：(1)设等差数列{a n }的公差为d .因为a 4－a 3＝2，所以d ＝2.又因为a 1＋a 2＝10，所以2a 1＋d ＝10，故a 1＝4.所以a n ＝4＋2(n －1)＝2n ＋2(n ∈N *)．(2)设等比数列{b n }的公比为q .因为b 2＝a 3＝8，b 3＝a 7＝16，所以q ＝2，b 1＝4.所以b 6＝4×26－1＝128.由128＝2n ＋2，得n ＝63.所以b 6与数列{a n }的第63项相等．20．(12分)已知等差数列{a n }满足：a 3＝7，a 5＋a 7＝26，{a n }的前n 项和为S n .(1)求a n 及S n ；(2)令b n ＝1a 2n －1(n ∈N *)，求数列{b n }的前n 项和T n .解析：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋2d ＝72a 1＋10d ＝26，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3d ＝2.∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝3＋2(n －1)＝2n ＋1.S n ＝na 1＋12n (n －1)d ＝3n ＋12n (n －1)×2＝n 2＋2n .(2)由(1)知a n ＝2n ＋1，∴b n ＝1a 2n －1＝1(2n ＋1)2－1＝14·1n (n ＋1)＝14⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1， ∴T n ＝14⎝⎛⎭⎫1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1 ＝14⎝⎛⎭⎫1－1n ＋1＝n 4(n ＋1).21．(13分)设数列{a n }的前n 项和为S n ，其中a n ≠0，a 1为常数，且－a 1，S n ，a n ＋1成等差数列．(1)求{a n }的通项公式；(2)设b n ＝1－S n ，问：是否存在a 1，使数列{b n }为等比数列？若存在，求出a 1的值；若不存在，请说明理由．解析：(1)依题意，得2S n ＝a n ＋1－a 1，当n ≥2时，有⎩⎪⎨⎪⎧2S n ＝a n ＋1－a 1，2S n －1＝a n －a 1. 两式相减，得a n ＋1＝3a n (n ≥2)．又因为a 2＝2S 1＋a 1＝3a 1，a n ≠0，所以数列{a n }是首项为a 1，公比为3的等比数列．因此，a n ＝a 1·3n －1(n ∈N *)．(2)因为S n ＝a 1(1－3n )1－3＝12a 1·3n －12a 1， b n ＝1－S n ＝1＋12a 1－12a 1·3n . 要使{b n }为等比数列，当且仅当1＋12a 1＝0，即a 1＝－2，所以存在a 1＝－2，使数列{b n }为等比数列．22．(13分)求和：x ＋3x 2＋5x 3＋…＋(2n －1)x n (x ≠0)．解析：设S n ＝x ＋3x 2＋5x 3＋…＋(2n －1)x n ，∴xS n ＝x 2＋3x 3＋5x 4＋…＋(2n －3)x n ＋(2n －1)x n ＋1.∴(1－x )S n ＝x ＋2x 2＋2x 3＋…＋2x n －(2n －1)x n ＋1＝2(x ＋x 2＋x 3＋…＋x n )－x －(2n －1)x n ＋1＝2x (1－x n )1－x－x －(2n －1)x n ＋1(x ≠1)，当x ≠1时，1－x ≠0，S n ＝2x (1－x n )(1－x )2－x ＋(2n －1)x n ＋11－x. 当x ＝1时，S n ＝1＋3＋5＋…＋(2n －1)＝n (1＋2n －1)2＝n 2.所以S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x (1－x n )(1－x )2－x ＋(2n －1)x n ＋11－x ，x ≠1，n 2，x ＝1.。

人教A版高中数学必修五单元知识小结练习.doc

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★ 单元知识小结
1．数列的通项公式描述的是数列{}n a 的第n 项n a 与n 之间的函数关系，可以用一个公式()n f a n =表示 .数列的图像是一系列孤立的点()()n f n ,所组成的图形.等差数列与等比数列的通项公式分别反映了一次函数与指数函数关系.
2．数列{}n a 通项公式与递推公式、及n a 与它的前n 项和n S 之间的关系，是给出数列的主要方法.
3．注意类比的思想方法在数列的学习中的应用.
★ 高考热点体验
1．已知{}n a 是首项为1等比数列，n s 是{}n a 的前n 项和，且369s s =，则数列1n a ⎧⎫⎨
⎬⎩⎭的前5项和为
A ．158或5
B ．3116或5
C ．3116
D ．158
2．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若111a =-,466a a +=-,则当n S 取最小值时, n 等
于
A ．6
B ．7
C ．8
D ．9
3．设数列{}n a 满足121123,2-+⋅=-=n n n a a a
（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）令n n b na =，求数列的前n 项和n S
．。

人教版高中数学必修5练习第二章《数列》归纳总结

章末归纳整合一、选择题1．已知数列{a n }的首项a 1＝2，且a n ＝4a n －1＋1(n ≥2)，则a 4为( )A ．148B ．149C ．150D ．151 [答案] B[解析] ∵a 1＝2，a n ＝4a n －1＋1(n ≥2)，∴a 2＝4a 1＋1＝4×2＋1＝9，a 3＝4a 2＋1＝4×9＋1＝37，a 4＝4a 3＋1＝4×37＋1＝149.2．(2013河南禹州高二期中测试)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋n ，那么它的通项公式a n ( )A ．nB ．2nC ．2n ＋1D ．n ＋1 [答案] B[解析] 当n ＝1时，a 1＝S 1＝2，排除A ，C ；当n ＝2时，a 2＝S 2－S 1＝6－2＝4，排除D ，故选B ．3．已知数列{a n }的通项公式a n ＝3n －50，则前n 项和S n 的最小值为( )A ．－784B ．－392C ．－389D ．－368 [答案] B[解析] 由3n －50≥0及n ∈N *知n ≥17，∴n ≤16时，a n <0，a 17>0，∴S 16最小，S 16＝16a 1＋16×152d ＝16×(－47)＋120×3＝－392.4．等比数列{a n }的首项a 1＝1，公比q ≠1，如果a 1，a 2，a 3依次是等差数列的第1、2、5项，则q 为( )A ．2B ．3C ．－3D ．3或－3[答案] B[解析] 设等差数列为{b n }，则b 1＝a 1＝1，b 2＝1＋d ，b 5＝1＋4d ，由题设(1＋d )2＝1×(1＋4d )，∴d ＝2或d ＝0(与q ≠1矛盾舍去)，∴b 2＝3，公比q ＝a 2a 1＝b 2b 1＝3. 5．等比数列{a n }共有2n ＋1项，奇数项之积为100，偶数项之积为120，则a n ＋1等于( )A ．65B ．56C ．20D ．110[答案] B[解析] 由题意知：S 奇＝a 1·a 3·…·a 2n ＋1＝100，S 偶＝a 2·a 4·…·a 2n ＝120，∴S 奇S 偶＝a 3·a 5·…·a 2n ＋1a 2·a 4·…·a 2n ·a 1＝a 1·q n ＝a n ＋1， ∴a n ＋1＝100120＝56. 6．等差数列{a n }中，a 1>0，a 10·a 11<0，若此数列前10项和S 10＝36，前18项和S 18＝12，则数列{|a n |}的前18项和T 18的值是( )A ．24B ．48C ．60D ．84[答案] C[解析] 由a 1>0，a 10·a 11<0知d <0，且a 10>0，a 11<0，∴T 18＝a 1＋a 2＋…＋a 10－a 11－a 12－…－a 18＝2S 10－S 18＝60.二、填空题7．等差数列{a n }前n 项和S n ，若S 10＝S 20，则S 30＝__________.[答案] 0[解析] ∵S 10＝S 20，∴10a 1＋10×92d ＝20a 1＋20×192d ，∴2a 1＝－29D ． ∴S 30＝30a 1＋10×292d ＝15×(－29d )＋15×29d ＝0. 8．(2014·江苏，7)在各项均为正数的等比数列{a n }中，a 2＝1，a 8＝a 6＋2a 4，则a 6的值是________．[答案] 4[解析] 本题考查等比数列的通项及性质．设公比为q ，因为a 2＝1，则由a 8＝a 6＋2a 4得q 6＝q 4＋2q 2，所以q 4－q 2－2＝0，解得q 2＝2，所以a 6＝a 2q 4＝4.三、解答题9．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝10n －n 2(n ∈N *)，又b n ＝|a n |(n ∈N *)，求{b n }的前n 项和T n .[解析] 由S n ＝10n －n 2可得，a n ＝11－2n ，故b n ＝|11－2n |.显然n ≤5时，b n ＝a n ＝11－2n ，T n ＝10n －n 2.n ≥6时，b n ＝－a n ＝2n －11，T n ＝(a 1＋a 2＋…＋a 5)－(a 6＋a 7＋…＋a n )＝2S 5－S n ＝50－10n ＋n 2故T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧10n －n 2 (n ≤5)，50－10n ＋n 2 (n ≥6). 10．已知数列{b n }前n 项和为S n ，且b 1＝1，b n ＋1＝13S n . (1)求b 2，b 3，b 4的值；(2)求{b n }的通项公式；(3)求b 2＋b 4＋b 6＋…＋b 2n 的值．[解析] (1)b 2＝13S 1＝13b 1＝13，b 3＝13S 2＝13(b 1＋b 2)＝49，b 4＝13S 3＝13(b 1＋b 2＋b 3)＝1627. (2)⎩⎨⎧ b n ＋1＝13S n ①b n ＝13S n －1 ②①－②解b n ＋1－b n ＝13b n ，∴b n ＋1＝43b n ， ∵b 2＝13，∴b n ＝13·⎝⎛⎭⎫43n －2 (n ≥2) ∴b n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1 (n ＝1)13·⎝⎛⎭⎫43n －2(n ≥2). (3)b 2，b 4，b 6，…，b 2n 是首项为13，公比⎝⎛⎭⎫432的等比数列， ∴b 2＋b 4＋b 6＋…＋b 2n ＝13[1－(43)2n ]1－⎝⎛⎭⎫432 ＝37[(43)2n －1]．。

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