高一数学复习：函数和方程(1)

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函数的应用(知识梳理)-高一数学单元复习(人教A版必修1)

专题02函数的应用(知识梳理)第一节函数与方程1．函数的零点 (1)函数零点的定义对于函数y ＝f (x )，我们把使f (x )＝0的实数x 叫做函数y ＝f (x )的零点． (2)几个等价关系方程f (x )＝0有实数根⇔函数y ＝f (x )的图象与x 轴有交点⇔函数y ＝f (x )有零点． (3)函数零点的判定(零点存在性定理)如果函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f (a )·f (b )<0，那么，函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内有零点，即存在c ∈(a ，b )，使得f (c )＝0，这个c 也就是方程f (x )＝0的根．2．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a >0)的图象与零点的关系Δ>0Δ＝0Δ<0图象与x 轴的交点 (x 1,0)，(x 2,0)(x 1,0) 无交点零点个数 21[小题体验]1．函数f (x )＝2x ＋3x 的零点所在的一个区间是( ) A ．(－2，－1) B ．(－1,0) C ．(0,1) D ．(1,2)答案：B2．(教材习题改编)函数f (x )＝ln x ＋2x －6的零点个数是______．答案：13．函数f (x )＝kx ＋1在[1,2]上有零点，则k 的取值范围是________．答案：⎣⎡⎦⎤－1，－121．函数f (x )的零点是一个实数，是方程f (x )＝0的根，也是函数y ＝f (x )的图象与x 轴交点的横坐标．2．函数零点存在性定理是零点存在的一个充分条件，而不是必要条件；判断零点个数还要根据函数的单调性、对称性或结合函数图象．[小题纠偏]1．(2018·诸暨模拟)函数f(x)按照下述方法定义：当x≤2时，f(x)＝－x2＋2x；当x>2时，f(x)＝12(x－2)2，则方程f(x)＝12的所有实数根之和是()A．2 B．3 C．5 D．8解析：选C画出函数f(x)的图象，如图所示：结合图象x<2时，两根之和是2，x>2时，由12(x－2)2＝12，解得x＝3，故方程f(x)＝12的所有实数根之和是5，故选C.2．给出下列命题：①函数f(x)＝x2－1的零点是(－1,0)和(1,0)；②函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点(函数图象连续不断)，则一定有f(a)·f(b)<0；③二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在b2－4ac<0时没有零点；④若函数f(x)在(a，b)上单调且f(a)·f(b)<0，则函数f(x)在[a，b]上有且只有一个零点．其中正确的是________(填序号)．答案：③④考点一函数零点所在区间的判定基础送分型考点——自主练透[题组练透]1．已知实数a>1,0<b<1，则函数f(x)＝a x＋x－b的零点所在的区间是()A．(－2，－1)B．(－1,0)C．(0,1) D．(1,2)解析：选B∵a>1,0<b<1，f(x)＝a x＋x－b，∴f(－1)＝1a－1－b<0，f(0)＝1－b>0，由零点存在性定理可知f(x)在区间(－1,0)上存在零点．2．设f(x)＝ln x＋x－2，则函数f(x)的零点所在的区间为()A．(0,1) B．(1,2)C．(2,3) D．(3,4)解析：选B函数f(x)的零点所在的区间转化为函数g(x)＝ln x，h(x)＝－x ＋2图象交点的横坐标所在的范围．作出两函数大致图象如图所示，可知f(x)的零点所在的区间为(1,2)．故选B.3．函数f(x)＝x2－3x－18在区间[1,8]上______(填“存在”或“不存在”)零点．解析：法一：∵f(1)＝12－3×1－18＝－20<0，f(8)＝82－3×8－18＝22>0，∴f(1)·f(8)<0，又f(x)＝x2－3x－18在区间[1,8]的图象是连续的，故f(x)＝x2－3x－18在区间[1,8]上存在零点．法二：令f(x)＝0，得x2－3x－18＝0，∴(x－6)(x＋3)＝0.∵x＝6∈[1,8]，x＝－3∉[1,8]，∴f(x)＝x2－3x－18在区间[1,8]上存在零点．答案：存在[谨记通法]确定函数f(x)的零点所在区间的2种常用方法(1)定义法：使用零点存在性定理，函数y＝f(x)必须在区间[a，b]上是连续的，当f(a)·f(b)<0时，函数在区间(a，b)内至少有一个零点，如“题组练透”第1题．(2)图象法：若一个函数(或方程)由两个初等函数的和(或差)构成，则可考虑用图象法求解，如f(x)＝g(x)－h(x)，作出y＝g(x)和y＝h(x)的图象，其交点的横坐标即为函数f(x)的零点，如“题组练透”第2题．考点二判断函数零点个数重点保分型考点——师生共研[典例引领]1．函数f(x)＝|x－2|－ln x在定义域内的零点的个数为()A．0B．1C．2 D．3解析：选C 由题意可知f (x )的定义域为(0，＋∞)．在同一直角坐标系中画出函数y ＝|x －2|(x >0)，y ＝ln x (x >0)的图象，如图所示：由图可知函数f (x )在定义域内的零点个数为2.2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤0，log 2x ，x >0，则函数y ＝f (f (x ))＋1的零点的个数是( )A ．4B ．3C ．2D ．1解析：选A 由f (f (x ))＋1＝0得f (f (x ))＝－1，由f (－2)＝f ⎝⎛⎭⎫12＝－1 得f (x )＝－2或f (x )＝12.若f (x )＝－2，则x ＝－3或x ＝14；若f (x )＝12，则x ＝－12或x ＝ 2.综上可得函数y ＝f (f (x ))＋1的零点的个数是4，故选A.[由题悟法]判断函数零点个数的3种方法(1)方程法：令f (x )＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．(2)零点存在性定理法：利用定理不仅要求函数在区间[a ，b ]上是连续不断的曲线，且f (a )·f (b )<0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)才能确定函数有多少个零点或零点值所具有的性质．(3)数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题．先画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．[即时应用]1．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x，x ≤1，log 13x ，x >1，则函数y ＝f (x )＋x －4的零点个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选B 函数y ＝f (x )＋x －4的零点，即函数y ＝－x ＋4与y ＝f (x )的交点的横坐标．如图所示，函数y ＝－x ＋4与y ＝f (x )的图象有两个交点，故函数y ＝f (x )＋x －4的零点有2个．故选B.2．(2018·杭州模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，－1<x ≤1，f x －2＋1，1<x ≤3，则函数g (x )＝f (f (x ))－2在区间(－1,3]上的零点个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选C ∵函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，－1<x ≤1，f x －2＋1，1<x ≤3，∴当－1＜x ≤1时，12<f (x )≤2，当1<x ≤3时，－1<x －2≤1，f (x )＝f (x －2)＋1＝2x －2＋1∈⎝⎛⎦⎤32，3；设h (x )＝f (f (x ))，①当－1<x ≤0时，h (x )＝22x ，2<h (x )≤2， ∴g (x )＝h (x )－2有一个零点x ＝0； ②当0<x ≤1时，h (x )＝22x －2＋1，32<h (x )≤2，∴g (x )＝h (x )－2有一个零点x ＝1； ③当1<x ≤3时，h (x )＝22x －2＋1－2＋1， 22＋1<h (x )≤3，g (x )有一个零点；综上，函数g (x )在区间(－1,3]上有3个零点，故选C. 考点三函数零点的应用重点保分型考点——师生共研[典例引领]已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且当x ≥0时，f (x )＝a |x －2|－a ，其中a ＞0，且为常数．若函数y ＝f (f (x ))有10个零点，则a 的取值范围是________．解析：当x ≥0时，令f (x )＝0，得|x －2|＝1，即x ＝1或x ＝3.因为f (x )是定义在R 上的偶函数，所以f (x )的零点为x ＝±1或x ＝±3. 令f (f (x ))＝0，则f (x )＝±1或f (x )＝±3.因为函数y ＝f (f (x ))有10个零点，所以函数y ＝f (x )的图象与直线y ＝±1和y ＝±3共有10个交点．由图可知1＜a ＜3.答案：(1,3)[由题悟法]已知函数有零点(方程有根)求参数取值范围常用3方法直接法直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围分离参数法先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决数形结合法先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解[即时应用]1．若函数f (x )＝4x －2x －a ，x ∈[－1,1]有零点，则实数a 的取值范围是________．解析：∵函数f (x )＝4x －2x －a ，x ∈[－1,1]有零点， ∴方程4x －2x －a ＝0在[－1,1]上有解，即方程a ＝4x －2x 在[－1,1]上有解．方程a ＝4x －2x 可变形为a ＝⎝⎛⎭⎫2x －122－14， ∵x ∈[－1,1]，∴2x ∈⎣⎡⎦⎤12，2， ∴⎝⎛⎭⎫2x －122－14∈⎣⎡⎦⎤－14，2. ∴实数a 的取值范围是⎣⎡⎦⎤－14，2. 答案：⎣⎡⎦⎤－14，2 2．(2018·浙江名校高考研究联盟联考)方程x 2＋3x －2＝0的解可视为函数y ＝x ＋3的图象与函数y ＝2x的图象交点的横坐标．若方程x 4＋ax －4＝0的各个实根x 1，x 2，…，x k (k ≤4)所对应的点⎝⎛⎭⎫x i ，4x i (i ＝1,2，…，k )均在直线y ＝x 的同侧，则实数a 的取值范围是________．解析：由题意知，方程x 4＋ax －4＝0的实根是曲线y ＝x 3＋a 与曲线y ＝4x 的交点的横坐标，而曲线y ＝x 3＋a 是由函数y ＝x 3的图象向上或向下平移|a |个单位长度得到的．若方程x 4＋ax －4＝0的各个实数根x 1，x 2，…，x k (k ≤4)所对应的点⎝⎛⎭⎫x i ，4x i(i ＝1,2，…，k )均在直线y ＝x 的同侧，如图，结合图象可得⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，－23＋a >－2或⎩⎪⎨⎪⎧a <0，23＋a <2，解得a <－6或a >6，所以实数a 的取值范围是(－∞，－6)∪(6，＋∞)．答案：(－∞，－6)∪(6，＋∞)第二节函数模型及其应用1．几类函数模型函数模型函数解析式一次函数模型 f (x )＝ax ＋b (a ，b 为常数，a ≠0) 反比例函数模型 f (x )＝kx ＋b (k ，b 为常数且k ≠0) 二次函数模型f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c 为常数，a ≠0) 指数函数模型f (x )＝ba x ＋c(a ，b ，c 为常数，b ≠0，a >0且a ≠1) 对数函数模型 f (x )＝b log a x ＋c(a ，b ，c 为常数，b ≠0，a >0且a ≠1) 幂函数模型 f (x )＝ax n ＋b (a ，b 为常数，a ≠0)函数性质 y ＝a x (a >1) y ＝log a x (a >1) y ＝x n (n >0) 在(0，＋∞) 上的增减性单调递增单调递增单调递增增长速度越来越快越来越慢相对平稳图象的变化随x 的增大逐渐表现为随x 的增大逐渐表现为随n 值变化而各有不同与y轴平行与x轴平行值的比较存在一个x0，当x>x0时，有log a x<x n<a x3.解函数应用问题的4步骤(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择函数模型；(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的函数模型；(3)解模：求解函数模型，得出数学结论；(4)还原：将数学结论还原为实际意义的问题．以上过程用框图表示如下：[小题体验]1．(教材习题改编)一根蜡烛长20 cm，点燃后每小时燃烧5 cm，燃烧时剩下的高度h(cm)与燃烧时间t(h)的函数关系用图象表示为图中的()答案：B2．已知某种动物繁殖量y(只)与时间x(年)的关系为y＝a log3(x＋1)，设这种动物第2年有100只，到第8年它们发展到________只．答案：2001．函数模型应用不当，是常见的解题错误．所以要正确理解题意，选择适当的函数模型．2．要特别关注实际问题的自变量的取值范围，合理确定函数的定义域．3．注意问题反馈．在解决函数模型后，必须验证这个数学结果对实际问题的合理性．[小题纠偏]1．甲、乙两人在一次赛跑中，从同一地点出发，路程S与时间t的函数关系如图所示，则下列说法正确的是()A．甲比乙先出发B．乙比甲跑的路程多C．甲、乙两人的速度相同D．甲比乙先到达终点答案：D2．据调查，某自行车存车处在某星期日的存车量为4 000辆次，其中变速车存车费是每辆一次0.3元，普通车存车费是每辆一次0.2元．若普通车存车量为x辆次，存车费总收入为y元，则y关于x的函数关系式是__________．答案：y＝－0.1x＋1 200(0≤x≤4 000)考点一二次函数模型重点保分型考点——师生共研[典例引领]某跳水运动员在一次跳水训练时的跳水曲线为如图所示抛物线的一段．已知跳水板AB长为2 m，跳水板距水面CD的高BC为3 m．为安全和空中姿态优美，训练时跳水曲线应在离起跳点A处水平距h m(h≥1)时达到距水面最大高度4 m，规定：以CD为横轴，BC为纵轴建立直角坐标系．(1)当h＝1时，求跳水曲线所在的抛物线方程；(2)若跳水运动员在区域EF内入水时才能达到比较好的训练效果，求此时h的取值范围．解：由题意，最高点为(2＋h,4)，(h≥1)．设抛物线方程为y＝a[x－(2＋h)]2＋4.(1)当h＝1时，最高点为(3,4)，方程为y＝a(x－3)2＋4.(*)将点A(2,3)代入(*)式得a＝－1.即所求抛物线的方程为y＝－x2＋6x－5.(2)将点A(2,3)代入y＝a[x－(2＋h)]2＋4，得ah2＝－1.由题意，方程a[x－(2＋h)]2＋4＝0在区间[5,6]内有一解．令f (x )＝a [x －(2＋h )]2＋4＝－1h2[x －(2＋h )]2＋4，则⎩⎨⎧f 5＝－1h 23－h 2＋4≥0，f6＝－1h24－h2＋4≤0.解得1≤h ≤43.故达到比较好的训练效果时的h 的取值范围是⎣⎡⎦⎤1，43. [由题悟法]二次函数模型问题的3个注意点(1)二次函数的最值一般利用配方法与函数的单调性解决，但一定要密切注意函数的定义域，否则极易出错；(2)确定一次函数模型时，一般是借助两个点来确定，常用待定系数法； (3)解决函数应用问题时，最后要还原到实际问题．[即时应用]A ，B 两城相距100 km ，在两城之间距A 城x (km)处建一核电站给A ，B 两城供电，为保证城市安全，核电站距城市距离不得小于10 km.已知供电费用等于供电距离(km)的平方与供电量(亿度)之积的0.25倍，若A 城供电量为每月20亿度，B 城供电量为每月10亿度．(1)求x 的取值范围；(2)把月供电总费用y 表示成x 的函数；(3)核电站建在距A 城多远，才能使供电总费用y 最少？解：(1)由题意知x 的取值范围为[10,90]． (2)y ＝5x 2＋52(100－x )2(10≤x ≤90)．(3)因为y ＝5x 2＋52(100－x )2＝152x 2－500x ＋25 000＝152⎝⎛⎭⎫x －10032＋50 0003，所以当x ＝1003时，y min ＝50 0003. 故核电站建在距A 城1003 km 处，能使供电总费用y 最少．考点二函数y ＝x ＋ax模型的应用重点保分型考点——师生共研[典例引领]为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C (单位：万元)与隔热层厚度x (单位：cm)满足关系C (x )＝k3x ＋5(0≤x ≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元，设f (x )为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．(1)求k 的值及f (x )的表达式；(2)隔热层修建多厚时，总费用f (x )达到最小，并求最小值．解：(1)由已知条件得C (0)＝8，则k ＝40，因此f (x )＝6x ＋20C (x )＝6x ＋8003x ＋5(0≤x ≤10)． (2)f (x )＝6x ＋10＋8003x ＋5－10≥2 6x ＋10·f(8003x ＋5)－10＝70(万元)，当且仅当6x ＋10＝8003x ＋5，即x ＝5时等号成立．所以当隔热层厚度为5 cm 时，总费用f (x )达到最小值，最小值为70万元．[由题悟法]应用函数y ＝x ＋a x模型的关键点 (1)明确对勾函数是正比例函数f (x )＝ax 与反比例函数f (x )＝b x叠加而成的． (2)解决实际问题时一般可以直接建立f (x )＝ax ＋b x的模型，有时可以将所列函数关系式转化为f (x )＝ax ＋b x的形式． (3)利用模型f (x )＝ax ＋b x求解最值时，要注意自变量的取值范围，及取得最值时等号成立的条件． [即时应用]“水资源与永恒发展”是2015年联合国世界水资源日主题，近年来，某企业每年需要向自来水厂所缴纳水费约4万元，为了缓解供水压力，决定安装一个可使用4年的自动污水净化设备，安装这种净水设备的成本费(单位：万元)与管线、主体装置的占地面积(单位：平方米)成正比，比例系数约为0.2.为了保证正常用水，安装后采用净水装置净水和自来水厂供水互补的用水模式．假设在此模式下，安装后该企业每年向自来水厂缴纳的水费C (单位：万元)与安装的这种净水设备的占地面积x (单位：平方米)之间的函数关系是C (x )＝k 50x ＋250(x ≥0，k 为常数)．记y 为该企业安装这种净水设备的费用与该企业4年共将消耗的水费之和．(1)试解释C (0)的实际意义，并建立y 关于x 的函数关系式并化简；(2)当x 为多少平方米时，y 取得最小值，最小值是多少万元？解：(1)C (0)表示不安装设备时每年缴纳的水费为4万元，∵C (0)＝k 250＝4， ∴k ＝1 000，∴y＝0.2x＋1 00050x＋250×4＝0.2x＋80x＋5(x≥0)．(2)y＝0.2(x＋5)＋80x＋5－1≥20.2×80－1＝7，当x＋5＝20，即x＝15时，y min＝7，∴当x为15平方米时，y取得最小值7万元．考点三指数函数与对数函数模型重点保分型考点——师生共研[典例引领](2016·四川高考)某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入．若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是()(参考数据：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11, lg 2≈0.30)A．2018年B．2019年C．2020年D．2021年解析：选B法一：设2015年后的第n年，该公司全年投入的研发资金开始超过200万元，由130(1＋12%)n＞200，得 1.12n＞2013，两边取常用对数，得n＞lg 2－lg 1.3lg 1.12≈0.30－0.110.05＝195，∴n≥4，∴从2019年开始，该公司全年投入的研发资金开始超过200万元．法二：根据题意，知每年投入的研发资金增长的百分率相同，所以从2015年起，每年投入的研发资金组成一个等比数列{a n}，其中，首项a1＝130，公比q＝1＋12%＝1.12，所以a n＝130×1.12n－1.由130×1.12n－1＞200，两边同时取常用对数，得n－1＞lg 2－lg 1.3lg 1.12，又lg 2－lg 1.3lg 1.12≈0.3－0.110.05＝3.8，则n＞4.8，即a5开始超过200，所以2019年投入的研发资金开始超过200万元，故选B.[由题悟法]指数函数与对数函数模型的应用技巧(1)与指数函数、对数函数两类函数模型有关的实际问题，在求解时，要先学会合理选择模型，在两类模型中，指数函数模型是增长速度越来越快(底数大于1)的一类函数模型，与增长率、银行利率有关的问题都属于指数函数模型．(2)在解决指数函数、对数函数模型问题时，一般先需要通过待定系数法确定函数解析式，再借助函数的图象求解最值问题．[即时应用]某医药研究所开发的一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测，服药后每毫升血液中的含药量y(微克)与时间t(小时)之间近似满足如图所示的曲线．(1)写出第一次服药后y 与t 之间的函数关系式y ＝f (t )；(2)据进一步测定，每毫升血液中含药量不少于0.25微克时治疗疾病有效，求服药一次后治疗疾病有效的时间．解：(1)由题图，设y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ kt ，0≤t ≤1，⎝⎛⎭⎫12t －a ，t >1，当t ＝1时，由y ＝4得k ＝4，由⎝⎛⎭⎫121－a ＝4得a ＝3.所以y ＝⎩⎪⎨⎪⎧4t ，0≤t ≤1，⎝⎛⎭⎫12t －3，t >1. (2)由y ≥0.25得⎩⎪⎨⎪⎧ 0≤t ≤1，4t ≥0.25或⎩⎪⎨⎪⎧ t >1，⎝⎛⎭⎫12t －3≥0.25，解得116≤t ≤5. 因此服药一次后治疗疾病有效的时间是5－116＝7916(小时)．。

高一数学上册第一章函数及其表示知识点及练习题(含答案)

函数及其表示（一）知识梳理1．映射的概念设B A 、是两个非空集合，如果按照某种对应法则f ，对A 中的任意一个元素x ，在集合B 中都有唯一确定的元素y 与之对应，则称f 是集合A 到集合B 的映射,记作f(x).2．函数的概念(1)函数的定义：设B A 、是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f ，对A 中的任意数 x ，在集合B 中都有唯一确定的数y 和它对应，则这样的对应关系叫做从A 到B 的一个函数，通常记为___y=f(x),x ∈A(2)函数的定义域、值域在函数A x x f y ∈=),(中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，对于的函数值的集合所有的集合构成值域。

(3)函数的三要素：定义域、值域和对应法则3．函数的三种表示法：图象法、列表法、解析法（1）．图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系；（2）．列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系；(3)．解析法：就是把两个变量的函数关系，用等式来表示。

4．分段函数在自变量的不同变化范围中，对应法则用不同式子来表示的函数称为分段函数。

（二）考点分析考点1：判断两函数是否为同一个函数如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，称这两个函数相等。

考点2：求函数解析式方法总结：（1）若已知函数的类型（如一次函数、二次函数），则用待定系数法；（2）若已知复合函数)]([x g f 的解析式，则可用换元法或配凑法；（3）若已知抽象函数的表达式，则常用解方程组消参的方法求出)(x f1.2函数及其表示练习题（2）一、选择题1. 判断下列各组中的两个函数是同一函数的为（） ⑴3)5)(3(1+-+=x x x y ，52-=x y ； ⑵111-+=x x y ，)1)(1(2-+=x x y ；⑶x x f =)(，2)(x x g =；⑷()f x =()F x = ⑸21)52()(-=x x f ，52)(2-=x x f .A. ⑴、⑵B. ⑵、⑶C. ⑷D. ⑶、⑸2. 函数()y f x =的图象与直线1x =的公共点数目是（）A. 1B. 0C. 0或1D. 1或23. 已知集合{}{}421,2,3,,4,7,,3A k B a a a ==+，且*,,a N x A y B ∈∈∈ 使B 中元素31y x =+和A 中的元素x 对应，则,a k 的值分别为（）A. 2,3B. 3,4C. 3,5D. 2,54. 已知22(1)()(12)2(2)x x f x x x x x +≤-⎧⎪=-<<⎨⎪≥⎩，若()3f x =，则x 的值是（）A. 1B. 1或32C. 1，32或 D.5. 为了得到函数(2)y f x =-的图象，可以把函数(12)y f x =-的图象适当平移，这个平移是（）A. 沿x 轴向右平移1个单位B. 沿x 轴向右平移12个单位 C. 沿x 轴向左平移1个单位 D. 沿x 轴向左平移12个单位 6. 设⎩⎨⎧<+≥-=)10()],6([)10(,2)(x x f f x x x f 则)5(f 的值为（） A. 10 B. 11 C. 12 D. 13二、填空题1. 设函数.)().0(1),0(121)(a a f x xx x x f >⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<≥-=若则实数a 的取值范围是 . 2. 函数422--=x x y 的定义域 . 3. 若二次函数2y ax bx c =++的图象与x 轴交于(2,0),(4,0)A B -，且函数的最大值为9，则这个二次函数的表达式是 .4.函数0y =_____________________. 5. 函数1)(2-+=x x x f 的最小值是_________________.三、解答题1.求函数()f x =.2. 求函数12++=x x y 的值域.3. 12,x x 是关于x 的一元二次方程22(1)10x m x m --++=的两个实根，又2212y x x =+，求()y f m =的解析式及此函数的定义域.4. 已知函数2()23(0)f x ax ax b a =-+->在[1,3]有最大值5和最小值2，求a 、b 的值.参考答案（2）一、选择题 1. C 2. C 3. D 4. D∴2()3,12,f x x x x ===-<<而∴ x =5. D 平移前的“1122()2x x -=--”，平移后的“2x -”，用“x ”代替了“12x -”，即1122x x -+→，左移 6. B [][](5)(11)(9)(15)(13)11f f f f f f f =====.二、 1.(),1-∞- 当10,()1,22a f a a a a ≥=-><-时，这是矛盾的；当10,(),1a f a a a a<=><-时； 2. {}|2,2x x x ≠-≠且 240x -≠3. (2)(4)y x x =-+- 设(2)(4)y a x x =+-，对称轴1x =，当1x =时，max 99,1y a a =-==-4. (),0-∞ 10,00x x x x -≠⎧⎪<⎨->⎪⎩ 5. 54- 22155()1()244f x x x x =+-=+-≥-. 三、 1. 解：∵10,10,1x x x +≠+≠≠-，∴定义域为{}|1x x ≠-2. 解： ∵221331(),244x x x ++=++≥∴y ≥，∴值域为)+∞ 3. 解：24(1)4(1)0,30m m m m ∆=--+≥≥≤得或，222121212()2y x x x x x x =+=+-224(1)2(1)4102m m m m =--+=-+∴2()4102,(03)f m m m m m =-+≤≥或.4. 解：对称轴1x =，[]1,3是()f x 的递增区间，max ()(3)5,335f x f a b ==-+=即min ()(1)2,32,f x f a b ==--+=即∴3231,.144a b a b a b -=⎧==⎨--=-⎩得。

高一上数学必修一第三章《3.1函数的概念与性质》知识点梳理

高一上必修一第三章《函数》知识点梳理3.1.1函数及其表示方法学习目标：（1）在初中用变量之间的依赖关系描述函数的基础上，用集合语言和对应关系刻画函数，建立完整的函数概念，体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用；（2）了解构成函数的要素，能求简单函数的定义域、值域；（3）通过具体问题情境总结共性，抽象出函数概念，积累从具体到抽象的活动经验，发展数学抽象的核心素养。

【重点】1.了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域.2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象法、列表法、解析法）表示函数.3.了解简单的分段函数，并能简单应用（函数分段不超过三段）.【难点】1、求函数的定义域和值域回顾初中所学的函数，在情境与问题中感受高中函数表达方式与初中的不同。

一、函数的概念我们已经学习过一些函数的知识，例如已经总结出：在一个变化过程中，数值发生变化的量称为变量；在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么就称y是x的函数.再例如，我们知道y=2x是正比例函数，y=-3x-1是一次函数，y=-2是反比例函数，y=x2+2x-3是二次函数，等等。

【情境与问题】（1）国家统计局的课题组公布，如果将2005年中国创新指数记为100，近些年来中国创新指数的情况如下表所示。

以y表示年度值，i表示中国创新指数的取值，则i是y的的函数吗？如果是，这个函数用数学符号可以怎样表示？（2）利用医疗仪器可以方便地测量出心脏在各时刻的指标值，据此可以描绘出心电图，如下图所示。

医生在看心电图时，会根据图形的整体形态来给出诊断结果（如根据两个峰值的间距来得出心率等）.初中实际上是用变量的观点和解析式来描述函数的，但从情境与问题中的两个实例可知，初中的方法有一定的局限性：情境与问题中的i是y的函数，v是t的函数，但是这两个函数与初中的函数有所不同，比如都很难用一个解析式表示，而且每个变量的取值范围也有了限制，等等。

高一函数知识点总结归纳

高一函数知识点总结归纳高中数学的学习难度主要在于概念的深入和方法的抽象。

高一是数学学习的起步阶段，更是重中之重。

今天小编在这给大家整理了高一函数知识点总结，接下来随着小编一起来看看吧!高一函数知识点总结1高一数学函数知识点归纳1、函数：设A、B为非空集合，如果按照某个特定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，写作y=f(x)，x∈A，其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域，与x相对应的y的值叫做函数值，函数值的集合B={f(x)∣x∈A }叫做函数的值域。

2、函数定义域的解题思路：⑴ 若x处于分母位置，则分母x不能为0。

⑵ 偶次方根的被开方数不小于0。

⑶ 对数式的真数必须大于0。

⑷ 指数对数式的底，不得为1，且必须大于0。

⑸ 指数为0时，底数不得为0。

⑹ 如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的，那么，它的定义域是各个部分都有意义的x值组成的集合。

⑺ 实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义。

3、相同函数⑴ 表达式相同：与表示自变量和函数值的字母无关。

⑵ 定义域一致，对应法则一致。

4、函数值域的求法⑴ 观察法：适用于初等函数及一些简单的由初等函数通过四则运算得到的函数。

⑵ 图像法：适用于易于画出函数图像的函数已经分段函数。

⑶ 配方法：主要用于二次函数，配方成 y=(x-a)2+b 的形式。

⑷ 代换法：主要用于由已知值域的函数推测未知函数的值域。

5、函数图像的变换⑴ 平移变换：在x轴上的变换在x上就行加减，在y轴上的变换在y上进行加减。

⑵ 伸缩变换：在x前加上系数。

⑶ 对称变换：高中阶段不作要求。

6、映射：设A、B是两个非空集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于A中的任意仪的元素x，在集合B中都有唯一的确定的y 与之对应，那么就称对应f：A→B为从集合A到集合B的映射。

⑴ 集合A中的每一个元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的。

高一数学：函数知识点总结(全)

高一数学：函数知识点总结(全) 高一数学：函数知识点总结(全)?1. 函数的奇偶性(1)若f(x)是偶函数，那么f(x)=f(-x)= ;(2)若f(x)是奇函数，0在其定义域内，则 (可用于求参数);(3)判断函数奇偶性可用定义的等价形式：f(x)±f(-x)=0或(f(x)≠0);(4)若所给函数的解析式较为复杂，应先化简，再判断其奇偶性;(5)奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性;偶函数在对称的单调区间内有相反的单调性;2. 复合函数的有关问题(1)复合函数定义域求法：若已知的定义域为[a，b],其复合函数f[g(x)]的定义域由不等式a≤g(x)≤b解出即可;若已知f[g(x)]的定义域为[a,b],求 f(x)的定义域，相当于x∈[a,b]时，求g(x)的值域(即 f(x)的定义域);研究函数的问题一定要注意定义域优先的原则。

(2)复合函数的单调性由“同增异减”判定;3.函数图像(或方程曲线的对称性)(1)证明函数图像的对称性，即证明图像上任意点关于对称中心(对称轴)的对称点仍在图像上;(2)证明图像C1与C2的对称性,高中化学，即证明C1上任意点关于对称中心(对称轴)的对称点仍在C2上，反之亦然;(3)曲线C1：f(x,y)=0,关于y=x+a(y=-x+a)的对称曲线C2的方程为f(y-a,x+a)=0(或f(-y+a,-x+a)=0);(4)曲线C1:f(x,y)=0关于点(a,b)的对称曲线C2方程为：f(2a-x,2b-y)=0;(5)若函数y=f(x)对x∈R时，f(a+x)=f(a-x)恒成立，则y=f(x)图像关于直线x=a对称;(6)函数y=f(x-a)与y=f(b-x)的图像关于直线x= 对称;。

高一数学复习考点知识与题型专题讲解1---方程有解类问题

高一数学复习考点知识与题型专题讲解专题01 方程有解类问题【方法精讲】1. 求参数的取值范围问题是高中数学常见的基本问题,一般来说遇含参问题应“能分则分”，目的是避免参数参与运算，从而避免分类讨论.而分离参数，又可以进行“全分”、“半分”，即将参数完全分离和不完全分离，两种方法的选择应视具体题目而定，不好说那种方法更优. 2. 方程有解类应熟知的方法（分离函数）：函数()()()F x f x g x =-的零点就是函数()y f x =与函数()y g x =交点的横坐标，故常将方程有解、解的个数、根的分布问题，通过分离函数的方法，转化为两函数图象交点有交点、交点的个数、交点横坐标所在区间问题.3. 方程有解类应熟知的基本知识、方法：（1）若f (x )的值域为A ，则方程f (x )=a 有解⇔a A ∈. （2）若f (x )，g (x )的值域分别为A ，B ，则有：①∀x 1∈D ， ∃x 2∈E ② ∃x 1∈D ，∃x 2∈E .【典型例题】例1 （多选题）（2020x 的一元二次方程根12x x 、，且满足10x <的值是（ A ．－2； B ．－3【答案】BC【分析】分离参数得(m -B ≠∅()(+1)g x m =-有两个交点，其横坐标为12x x 、，且满足12013x x <<<<. 【解析】将方程21+(+1)02x m x +=分离参数得：1(+1)+2m x x-= 设1()+2f x x x =，如图，则319(+1)26m <-<，所以25562m -<<- 选BC.例2 关于x 的方程2213xm ⎛⎫=- ⎪⎝⎭有负根，则实数m 的取值范围是______________．【答案】()1,+∞【解析】如下图，方程2213xm ⎛⎫=- ⎪⎝⎭有负根，即23xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭与21y m =-两个函数图象交点的横坐标为负值，即交点在y 轴的左侧，此时必需且只需211m ->，解之得1m > 故实数m 的取值范围是()1,+∞．例3 讨论a 取不同值时，关于x 的方程2|log |1|2|x a -+=的解的个数.【答案】当0a <时，方程无解；当0a =时，方程有2个解；当0a >时，方程有4个解. 【解析】令2()|log |1|2|f x x =-+，作出函数()f x 的图象，如图所示，所求问题可转化为函数()f x 与直线y a =交点的个数问题. 当0a <时，()y f x =与y a =无交点，所以原方程无解；当0a =时，()y f x =与y a =有两个交点，原方程有2个解；22468510f x () =23()xx 0<0当0a >时，()y f x =与y a =有四个交点，原方程有4个解.例4 已知f (x )是定义在[－2，2]上的奇函数，且当x ∈(0，2]时，f (x )＝2x －1，函数g (x )＝x 2－2x ＋m ，且如果对于任意的x 1∈[－2，2]，都存在x 2∈[－2，2]，使得g (x 2)＝f (x 1)，则实数m 的取值范围是______________．【答案】 [－5，－2]【分析】易得()[]3,3f x ∈-，()[]1,8g x m m ∈-+，若对于[][]122,2,2,2x x ∀∈-∃∈-，使得()()21g x f x =，只需()f x 的值域包含于()g x 的值域即可，即m －1≤－3且m ＋8≥3，解得52m -≤≤-．【解析】x ∈(0，2]时，f (x )＝2x －1为增函数，值域为(0，3]，因为f (x )是定义在[－2，2]上的奇函数，所以f (x )在[－2，2]上的值域为[－3，3]，函数g (x )＝x 2－2x ＋m 在x ∈[－2，2]上的值域为[m －1，m ＋8]．因为对任意的x 1∈[－2，2]，都存在x 2∈[－2，2]，使得g (x 2)＝f (x 1)，所以f (x )在[－2，2]上的值域是g (x )＝x 2－2x ＋m 在x ∈[－2，2]上的值域的子集，所以8313m m +≥⎧⎨-≤-⎩，解得52m -≤≤-即实数m 的取值范围是[－5，－2]．点评：考查函数的单调性、奇偶性、最值、值域，以及恒成立，存在性问题，关键是理解题意，转化为值域之间的关系.【巩固训练】1. 若关于x 的方程220x mx -+=在区间()1,4内有两个解，则实数m 的取值范围是_________.2.已知函数f (x )＝2x ，x ∈⎣⎡⎦⎤0，12，函数g (x )＝kx －2k ＋2(k >0)，x ∈⎣⎡⎦⎤0，12，若存在x 1∈⎣⎡⎦⎤0，12及x 2∈⎣⎡⎦⎤0，12，使得f (x 1)＝g (x 2)成立，求实数k 的取值范围．3.已知函数f (x )＝12x 2＋x ，g (x )＝ln(x ＋1)－a ，若存在x 1，x 2∈[0，2]，使得f (x 1)＝g (x 2) ，求实数a 的取值范围.4.已知函数f (x )＝x 2－x ＋1x －1(x ≥2)，g (x )＝a x (a ＞1，x ≥2)．(1)若∃x 0∈[2，＋∞)，使f (x 0)＝m 成立，则实数m 的取值范围为__________；(2)若∀x 1∈[2，＋∞)，∃x 2∈[2，＋∞)，使得f (x 1)＝g (x 2)，则实数a 的取值范围为__________． 5.已知函数()372x f x x --=+，()22g x x x =-，若存在实数(),2a ∈-∞-，使得()()0f a g b += 成立，则实数b 的取值范围是。

高一数学考试重点知识点

高一数学考试重点知识点在高一的数学学习中，有一些重要的知识点是我们需要重点掌握和理解的。

下面，我将为大家总结一些高一数学考试的重点知识点。

一、函数与方程1. 函数的概念和性质：了解函数的自变量、因变量、定义域、值域等基本概念，并能运用函数的性质解决实际问题。

2. 一次函数：掌握一次函数的定义、性质和常见图像，能够求解一次函数的解析式和实际问题。

3. 二次函数：了解二次函数的定义、性质和常见图像，掌握二次函数解析式的确定方法以及解析式和图像之间的关系。

4. 方程的解法：能够利用代数方法和图像法解一元一次方程组和一元二次方程，掌握方程解存在性、唯一性和解的判定方法。

5. 不等式的解法：熟练掌握一元一次不等式和一元二次不等式的解法，能够解决涉及不等式的实际问题。

二、数列和数项1. 等差数列：了解等差数列的概念、性质和通项公式，并能够利用这些知识解决等差数列相关的问题。

2. 等比数列：掌握等比数列的概念、性质和通项公式，能够求解等比数列相关的问题。

3. 数列的前n项和：熟练掌握等差数列和等比数列的前n项和公式，并能运用它们解决实际问题。

三、平面向量1. 平面向量的定义和运算：了解平面向量的定义、加法、减法和数乘等运算法则，能够利用向量的性质解决问题。

2. 平面向量的模和方向：掌握向量的模和方向的计算方法，能够通过向量的坐标表示进行运算。

3. 平面向量共线与垂直的判定：能够判断两个向量的共线性和垂直性，并能应用到实际问题中。

四、三角函数1. 弧度制和角度制：掌握弧度制和角度制的相互转换方法，能够在不同制度中计算三角函数值。

2. 常用角的三角函数值：熟练记忆并理解0°、30°、45°、60°、90°等角的三角函数值，能够利用这些值解决问题。

3. 三角函数的性质和基本公式：了解三角函数的周期性、对称性和基本公式等性质，能够利用这些性质解决三角函数的计算问题。

五、平面几何1. 直线和角度：了解直线和角度的基本定义和性质，掌握同位角、对顶角、夹角和平行线之间的关系。

高一数学《函数》全章知识点整理

△情况 △ =b2-4ac
一元二次不等式解集
ax2+bx+c>0
ax2+bx+c<0
(a>0)
(a>0)
△ >0
x x x1或x x2
x x1 x x2
图
象
△ =0
x x x0
与
解
△ <0
R
1、已知函数 f ( x) 4x 2 mx 5 在区间 [ 2, ) 上是增函数，则 f (1) 的范围是（
）
、 1个
C 、 2个
D 、3个
（）
y
y
2
2
1
1
O 12 x
O 1 2x
y 3 2 1
O 1 x
y
2 1 O 12 x
二、函数的解析式与定义域
1、求函数定义域的主要依据：
（1）分式的分母不为零；
（2）偶次方根的被开方数不小于零，零取零次方没有意义；
（3）对数函数的真数必须大于零；
（4）指数函数和对数函数的底数必须大于零且不等于
与 g(x) 的单调性相同，则 y f g x 在 M 上是增函数。
1 判断函数 f ( x) x3 (x R) 的单调性。
2 例函数 f (x) 对任意的 m, n R ，都有 f (m n) f ( m) f (n) 1 ，并且当 x 0时， f ( x) 1，
⑴求证： f ( x) 在 R 上是增函数；
注意点：（1）对映射定义的理解。（ 2）判断一个对应是映射的方法。一对多不是映射，多对一是映射
2、函数构成函数概念的三要素
①定义域②对应法则③值域
两个函数是同一个函数的条件：三要素有两个相同

高一高二数学知识点大总结

高一高二数学知识点大总结在高中的数学学习中，高一高二阶段是数学基础知识的重要积累阶段。

下面将为大家总结高一高二数学的主要知识点，帮助大家复习和巩固自己的数学基础。

一、函数与方程1. 函数的概念与性质- 定义：函数是一种具有特定输入输出关系的规则或映射。

- 基本性质：定义域、值域、单调性、奇偶性等。

2. 一次函数与二次函数- 一次函数：y=ax+b，其中a和b为常数。

- 二次函数：y=ax^2+bx+c，其中a、b、c为常数，a≠0。

3. 指数与对数函数- 指数函数：y=a^x，其中a为常数，且a>0且a≠1。

- 对数函数：y=loga⁡x，其中a为常数，且a>0且a≠1，x>0。

4. 解方程- 一元一次方程：ax+b=0，其中a和b为常数，且a≠0。

- 一元二次方程：ax^2+bx+c=0，其中a、b、c为常数，且a≠0。

二、数列与数列的求和1. 数列的概念与性质- 定义：按照一定规律排列的一组数。

- 等差数列：数列中任意两个相邻项的差都相等。

- 等比数列：数列中任意两个相邻项的比都相等。

2. 数列的通项与前n项和- 通项公式：确定数列中各项与项数之间的关系。

- 前n项和公式：计算数列前n项的和。

3. 等差数列与等差数列的求和- 等差数列通项：an=a1+(n-1)d，其中a1为首项，d为公差，n为项数。

- 等差数列前n项和：Sn=n/2×(a1+an)。

4. 等比数列与等比数列的求和- 等比数列通项：an=a1×r^(n-1)，其中a1为首项，r为公比，n为项数。

- 等比数列前n项和：Sn=a1×(1-r^n)/(1-r)。

三、平面几何1. 三角形- 三角形的性质：角的性质、边的性质、面积公式等。

- 相似与全等三角形：相似三角形的判定条件和性质、全等三角形的判定条件和性质。

2. 四边形- 平行四边形：定义、性质、周长和面积计算。

- 矩形、正方形、菱形：定义、性质、周长和面积计算。

完整版)高一数学必修一函数知识点总结

完整版)高一数学必修一函数知识点总结二、函数的概念和相关概念函数是从一个非空数集A到另一个非空数集B的一个确定的对应关系f，使得集合A中的每个数x都有唯一的数f(x)与之对应。

我们把f：A→B称为从集合A到集合B的一个函数，记作y=f(x)，其中x是自变量，A是函数的定义域，而与x对应的y值是函数值，其集合{f(x)| x∈A }是函数的值域。

需要注意的是，在求函数的定义域时，我们需要注意分式的分母不等于零，偶次方根的被开方数不小于零，对数式的真数必须大于零，指数、对数式的底必须大于零且不等于1，以及函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的。

同时，指数为零底不可以等于零，实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义。

相同函数的判断方法有两种：表达式相同（与表示自变量和函数值的字母无关）和定义域一致。

在考虑函数的值域时，我们可以使用观察法、配方法或代换法。

函数图象是指在平面直角坐标系中，以函数y=f(x)。

(x∈A)中的x为横坐标，函数值y为纵坐标的点P(x，y)的集合C。

C上每一点的坐标(x，y)均满足函数关系y=f(x)，反过来，以满足y=f(x)的每一组有序实数对x、y为坐标的点(x，y)，均在C上。

我们可以使用描点法或图象变换法来画函数图象，其中常用的变换方法有平移变换、伸缩变换和对称变换。

区间是指数轴上的一段连续的区域，可以分为开区间、闭区间和半开半闭区间。

同时，还有无穷区间。

我们可以使用数轴来表示区间。

映射是指两个非空集合A和B之间的确定对应关系f，使得集合A中的每个元素x都有唯一的元素y与之对应。

我们把对应f：A→B称为从集合A到集合B的一个映射，记作“f （对应关系）：A（原象）→B（象）”。

对于映射f：A→B来说，应该满足集合A中的每一个元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的；集合A中不同的元素，在集合B中对应的象可以是同一个。

3.分段函数分段函数是指在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。

高一数学复习考点题型专题讲解与练习8 二次函数与一元二次方程、不等式(1)(解析版)

高一数学复习考点题型专题讲解与练习专题8 二次函数与一元二次方程、不等式（1）题型一解含有参数的一元二次不等式1．已知不等式ax 2﹣3x +2＞0的解集为{x |x ＜1或x ＞b } （1）求a 、b ；（2）解关于x 的不等式ax 2+（ac +b ）x +bc ＜0．【答案】（1）2，（2）见解析【解析】（1）由题意知0a >且1，b 是方程2320ax x -+=的根，所以312b a b a ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得1a =，2b =.（2）不等式可化为2(2)20x c x c +++>，即()(2)0x c x ++>. 当2c -<-，即2>c 时，不等式的解集为{|2}x c x -<<-，当2c -=-，即2c =时，不等式的解集为{|2}x x ≠-，当2c ->-，即2c <时，不等式的解集为{|2}x x c -<<-. 2．已知函数22()56()f x x ax a a R =-+∈. （1）解关于x 的不等式()0f x <；（2）若关于x 的不等式()2f x a ≥的解集为{|41}x x x ≥≤或，求实数a 的值. 【答案】（1）①当0a =时，不等式的解集为∅； ②当0a >时，由32a a >，则不等式的解集为(2,3)a a ；③当0a <时，由32a a <，则不等式的解集为(3,2)a a ；（2）1a =【解析】（1）不等式()0f x <，可化为：()()230x a x a --<. ①当0a =时，不等式的解集为∅；②当0a >时，由32a a >，则不等式的解集为()2,3a a ； ③当0a <时，由32a a <，则不等式的解集为()3,2a a ；（2）不等()2f x a ≥可化为：225620x ax a a -+-≥.由不等式()2f x a ≥的解集为{|41}x x x ≥≤或可知，1和4是方程225620x ax a a -+-=的两根. 故有25146214a a a =+⎧⎨-=⨯⎩，解得1a =.由1a =时方程为2540x x -+=的根为1或4，则实数a 的值为1. 3．已知2(1)10ax a x -++<，求不等式的解集. 【答案】见解析【解析】当0a =时，不等式化为10x -+<，则不等式的解集为{|1}x x >；当0a ≠时，不等式可因式分解为()1()10a x x a--<当0a <时，不等式可化为()1()10x x a -->，则不等式的解集为{|1x x >或1}x a<；当1a =时，不等式可化为()210x -<，则不等式的解集为φ；当1a >时，不等式可化为()1()10x x a--<，则不等式的解集为1{|1}x x a<<；当01a <<时，不等式可化为()1()10x x a--<，则不等式的解集为1{|1}x x a<<；题型二由一元二次不等式的解确定参数1．不等式20ax bx c -+>的解集为{}|21x x -<<，则函数2y ax bx c =++的图像大致为（）A ．B ．C ．D ．【答案】 C【解析】∵不等式20ax bx c ++>的解集为{}|21x x -<<，∴21210b ac a a ⎧-+=⎪⎪⎪-⨯=⎨⎪<⎪⎪⎩，∴20b a c a a =-⎧⎪=-⎨⎪<⎩，2222(2)y ax bx c ax ax a a x x =++=--=--，图象开口向下，两个零点为2,1-．故选：C ．2．若不等式组22202(52)50x x x k x k ⎧-->⎨+++<⎩的整数解只有－2，则k 的取值范围是________．【答案】32k -≤<【解析】不等式220x x -->的解集为()(),12,-∞-+∞，不等式()222550x k x k +++<可转化为：()()250x k x ++<，根据已知条件不等式组的整数解只有2-，不等式()222550x k x k +++<的解集为5|2x x k ⎧⎫-<<-⎨⎬⎩⎭，再借助数轴可得k 的取值范围为23k -<-≤，解得32k -≤<，3．设函数()()()2230f x ax b x a =+-+≠．（1）若不等式()0f x >的解集()1,1-，求a ，b 的值；（2）若()12f =，①0a >，0b >，求14ab+的最小值；②若()1f x >在R 上恒成立，求实数a 的取值范围．【答案】（1）32a b =-⎧⎨=⎩；（2）①9；②322322a -<<+．【解析】（1）由已知可得，()2230ax b x +-+=的两根是1-，1所以()21103111b a a-⎧-=-+=⎪⎪⎨⎪=-⨯=-⎪⎩，解得32a b =-⎧⎨=⎩．（2）①()12321f a b a b =+-+=⇒+=()1414445259b a b a a b a b a b a b a b⎛⎫+=++=++≥⨯+= ⎪⎝⎭，当4b aa b=时等号成立，因为1a b +=，0a >，0b >，解得13a =，23b =时等号成立，此时14ab+的最小值是9．②()()22231220ax b x ax b x +-+>⇒+-+>在R 上恒成立，∴()202800a b a >⎧⇒--<⎨∆<⎩，又因为1a b +=代入上式可得()22180610a a a a +-<⇒-+< 解得：322322a -<<+．4．若关于x 的不等式（1－a ）x 2－4x ＋6<0的解集是{x| x<－3或x> 1}．（1）求实数a 的值；（2）解关于x 的不等式2x 2＋（2－a ）x －a>0．【答案】（1）3 （2）3|12x x x⎧⎫-⎨⎬⎩⎭或【解析】（1）由题意，知1－a<0且－3和1是方程（1－a ）x 2－4x ＋6＝0的两根，∴104{21631a a a-<=--=--，解得a ＝3．（2）由（1）得不等式2x 2＋（2－a ）x －a>0即为2x 2－x －3>0，解得x<－1或x>32．∴所求不等式的解集为3|12x x x⎧⎫-⎨⎬⎩⎭或． 5．关于x 的不等式220mx x m -+<，其中m 为大于0的常数．（1）若不等式的解集为∅，求实数m 的取值范围；（2）若不等式的解集为A ，且A 中恰好含有三个整数，求实数m 的取值范围. 【答案】（1）m 1≥；（2）83175m ≤< 【解析】（1）由题意得一元二次不等式对应方程的判别式2440m ∆=-≤，结合0m >，解得m 1≥.（2）由题意得一元二次不等式对应方程的判别式2440m ∆=->，解得11m -<<. 又0m >，所以01m <<.设2()2f x mx x m =-+，其对称轴为1x m=. 注意到(1)220f m =-<，(0)0f m =>，对称轴11x m=>，所以不等式220mx x m -+<解集A 中恰好有三个整数只能是1、2、3，此时A 中恰好含有三个整数等价于：(2)540(3)1060(4)1780f m f m f m =-<⎧⎪=-<⎨⎪=-≥⎩，解得83175m ≤<.题型三一元二次方程根的分布问题1．若实数,αβ为方程2260x mx m -++=的两根，则22(1)(1)a β-+-的最小值为（） A ．8 B ．14 C ．14- D ．494-【答案】A【解析】2(2)4(6)0m m ∆=--+，260m m ∴--，3m ∴或2m -.222222(1)(1)2()2()22()2(2)a m βαβαβαβαβαβ-+-=+-++=+--++=223492(6)2(2)24610444m m m m m ⎛⎫-+-+=--=-- ⎪⎝⎭.3m 或2m -，且3离对称轴更近，∴当3m =时，22(1)(1)a β-+-取得最小值8. 故选：A.2．若关于x 的方程()22120x m x m +-+-=的一个实根小于1-，另一个实根大于1，则实数m 的取值范围是（） A ．{}22m m -<< B ．{}20m m -<< C ．{}21m m -<< D ．{}01m m <<【答案】D【解析】令()2212y x m x m =+-+-，作出函数大致的图象如图所示，.由图象知，当1x =-时；20y m m =-<，解得01m <<；当1x =时，220y m m =+-<，解得21m -<<. 综上可得，01m <<，故选 D.3．已知关于x 的方程()230x m x m +-+=,下列结论正确的是( ) A ．方程()230x m x m +-+=有实数根的充要条件是{1m m m ∈<，或}9m > B ．方程()230x m x m +-+=有一正一负根的充要条件是{}0m m m ∈< C ．方程()230x m x m +-+=有两正实数根的充要条件是{}01m m m ∈<≤ D ．方程()230x m x m +-+=无实数根的必要条件是{}1m m m ∈> E.当3m =时,方程的两实数根之和为0 【答案】BCD【解析】在A 中,由()2340m m ∆=--≥得1m或9m ≥,故A 错误；在B 中,当0x =时,函数()23y x m x m =+-+的值为m ,由二次函数的图象知,方程有一正一负根的充要条件是{}0m m m ∈<,故B 正确；在C 中,由题意得()2340,30,0,m m m m ⎧∆=--≥⎪->⎨⎪>⎩解得01m <≤,故C 正确；在D 中,由()2340m m ∆=--<得19m <<,又{}{}191m m m m <<⊆>,故D 正确；在E 中,当3m =时,方程为230x +=,无实数根,故E 错误.故选：BCD .4．若方程2(23)420k x k x k -+++=的根满足下列条件，分别求出实数k 的取值范围. （1）方程两实根均大于1；（2）方程有一根比1大，一根比1小. 【答案】（1）112736k +<≤；（2）103k <<.【解析】设1x t =+，原方程可化为23310k t t k -+-=，（1）由题意，关于t 的方程的两根均为正数，得1212000t t t t ∆≥⎧⎪+>⎨⎪>⎩，即234(31)030310k k k k k⎧⎪--≥⎪⎪>⎨⎪-⎪>⎪⎩，解得112736k +<≤，故当112736k +<≤时，原方程两实根均大于1；（2）因为关于t 的方程的两根为一正根和一负根，所以1200t t ∆>⎧⎨<⎩，即234(31)0310k k k k⎧-->⎪⎨-<⎪⎩，解得103k <<，故当103k <<时，原方程有一根比1大，一根比1小.5．已知关于x 的一元二次方程22(21)30x m x m +-+-=有实数根. （1）求实数m 的取值范围；（2）当m =2时，方程的根为12,x x ，求代数式221122(2)(42)x x x x +++的值.【答案】（1）134m ≤；（2）1.【解析】（1）△=2222(21)41(3)441412413m m m m m m --⨯⨯-=-+-+=-+ ∵原方程有实根，∴△=4130m -+≥ 解得134m ≤（2）当m =2时，方程为x 2+3x +1=0， ∴x 1+x 2=-3，x 1x 2=1， ∵方程的根为x 1，x 2， ∴x 12+3x 1+1=0，x 22+3x 2+1=0， ∴（x 12+2x 1）（x 22+4x 2+2） =（x 12+2x 1+x 1-x 1）（x 22+3x 2+x 2+2） =（-1-x 1）（-1+x 2+2） =（-1-x 1）（x 2+1） =-x 2-x 1x 2-1-x 1 =-x 2-x 1-2 =3-2 =1．题型四一元二次不等式与二次函数、一元二次方程的关系 1．若关于x 的不等式210x mx -+-有解，则实数m 的取值范围是 A ．{|2m m -或}2m B ．{}22m m - C ．{|2m m <-或}2m > D ．{}22m m -<<【答案】A【解析】因为关于x 的不等式210x mx -+-有解，所以240m ∆=-，解得2m 或2m -. 故选A ．2．已知函数2y x ax b =++（0a >）有且只有一个零点，则（） A ．224a b -≤ B ．214a b+≥C ．若不等式20x ax b +-<的解集为{}12x x x x <<（12x x <），则120x x >D ．若不等式2x ax b c 的解集为{}12x x x x <<（12x x <），且124x x -=，则4c = 【答案】ABD【解析】因为2y x ax b =++（0a >）有且只有一个零点，故可得240a b ∆=-=，即240a b =>，对A ：224a b -≤等价于2440b b -+≥，显然()220b -≥，故A 正确；对B ：21114244a b b b b b+=+≥⨯=，故B 正确；对C ：因为不等式20x ax b +-<的解集为()12,x x ，故可得120x x b =-<，故C 错误；对D ：因为不等式2x ax b c 的解集为()12,x x ，且124x x -=，则方程20x ax b c ++-=的两根为1x ，2x ，故可得()()22121244424x x x x a b c c c +-=--===，故可得4c =，故D 正确. 故选：ABD .3．已知函数()()22111y a x a x =-+++(1)若对任意x ，有0y >，求实数a 的取值范围； (2)若y 能取到不小于0的任意值，求实数a 的取值范围．【答案】（1）{|1x a ≤-或53a ⎫>⎬⎭；（2）513a a ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭. 【解析】(1) 当210a -=时，得1a =±若1a =，210y x =+>不恒成立，不合题意；若1a =-，10y =>恒成立，符合题意当210a -≠时，()()222101410a a a ⎧->⎪⎨∆=+--<⎪⎩，解得：1a <-或53a > 综上所述：a 的取值范围为{1a a ≤-或53a ⎫>⎬⎭(2) 当210a -=时，得1a =±若1a =，21y x R =+∈，符合题意；若1a =-，1y =，不合题意当210a -≠时，()()222101410a a a ⎧->⎪⎨∆=+--≥⎪⎩，解得：513a <≤ 综上所述：a 的取值范围为513a a ⎧⎫≤≤⎨⎬⎩⎭4．若关于x 的不等式20ax bx c ++>的解集为{}34x x -<<，求关于x 的不等式2230bx ax c b +--<的解集.【答案】{}35x x -<<【解析】∵20ax bx c ++>的解集为{}34x x -<<，∴0a <且-3和4是一元二次方程20ax bx c ++=的两根，∴3434b a c a ⎧-+=-⎪⎪⎨⎪-⨯=⎪⎩，解得12b a c a =-⎧⎨=-⎩， ∴不等式2230bx ax c b +--<可化为22150ax ax a -++<，即22150x x --<， ∴35x -<<，∴所求不等式的解集为{}35x x -<<.5．已知三个不等式：①245x x -<-；②22132x x x +≥-+；③2210x mx +-<．（1）若同时满足①、②的x 值也满足③，求m 的取值范围；（2）若满足③的x 值至少满足①和②中的一个，求m 的取值范围．【答案】（1）173m ≤-（2）1713m -≤≤ 【解析】解不等式①245x x -<-即-5245x x x <-<-，解得()1,3x ∈-，解不等式②22132x x x +≥-+ ()()()4021x x x x -≤--，解得[)(]0,12,4x ∈（1）同时满足①、②的x 值，即不等式①、②的解集取交集，得[)()0,12,3x ∈若③的解集为C ，则[)()0,12,3是C 的子集，设()221f x x mx =+-，则有()()0030f f ⎧<⎪⎨≤⎪⎩，即1029310m -<⎧⎨⨯+-≤⎩ 解得173m ≤-（2）满足③的x 值满足①时即()1,3C ⊆-()()10300134f f m ⎧-≥⎪≥⎪⎪⎨∆≥⎪⎪-<-<⎪⎩即22102931080134m m m m --≥⎧⎪⨯+-≥⎪⎪⎨+≥⎪⎪-<-<⎪⎩，解得1713m -≤≤ 因为()221f x x mx =+-，当0x =时，()010f =-<所以()0f x <的解集一定存在负数，所以满足满足③的x 值不可能满足② 综上所述，满足要求的m 的范围为1713m -≤≤。

高一数学上期知识点归纳总结

高一数学上期知识点归纳总结高一数学学习是我们建立数学基础的关键一年。

在上学期，我们接触了许多基础的数学知识点，这些知识点为我们打好了数学学习的基础。

下面是高一数学上期的知识点归纳总结。

1. 代数与函数- 一次函数：一次函数是指 f(x) = ax + b 的形式，其中 a 和 b 是实数，并且a ≠ 0。

我们学习了一次函数的图像、性质以及如何求解一次方程和不等式。

- 二次函数：二次函数是指 f(x) = ax^2 + bx + c 的形式，其中 a、b、c 是实数，并且a ≠ 0。

我们学习了二次函数的图像、顶点、轴对称、对称轴以及如何求解二次方程和不等式。

- 复合函数：复合函数是指一个函数的输出是另一个函数的输入。

我们学习了复合函数的表示、求解和应用。

2. 平面几何- 平面图形的基本性质：我们学习了点、线、面的基本定义和性质，以及平面几何中常见的图形，如三角形、四边形、多边形等的性质和分类。

- 相似与全等：我们学习了相似和全等三角形的判定条件和性质，以及相似三角形的比例关系和应用。

- 圆与圆相关性质：我们学习了圆的性质、切线的性质、切线与半径的关系等，以及如何求解圆的参数方程和方程。

3. 数据与统计- 统计学基本概念：我们学习了统计学中的基本概念，如总体、样本、调查方法等，并了解了数据的收集、整理和展示的方法。

- 统计图表的应用：我们学习了常见的统计图表，如折线图、柱状图、饼图等，并学会了如何根据统计图表进行数据分析和判断。

4. 概率与统计- 基本概率：我们学习了概率的基本概念、计算方法和性质，以及事件之间的关系和计算。

- 条件概率与独立性：我们学习了条件概率的概念和计算方法，以及独立事件的判断和计算。

- 排列与组合：我们学习了排列和组合的概念、计算方法和应用。

5. 数列与数列的应用- 等差数列：我们学习了等差数列的概念和常用的性质，如通项公式、前 n 项和等，并了解了等差数列的应用。

- 等比数列：我们学习了等比数列的概念和常用的性质，如通项公式、前 n 项和等，并了解了等比数列的应用。

高一年级数学期中考复习《函数》练习

高一年级数学期中考复习（1）1．设函数1121f x x ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，则()f x 的表达式为（）A ．()111x x x +-≠ B ．()111x x x +-≠ C ．()111x x x +≠-- D ．()211xx x ≠-+ 2．下列每组函数是同一函数的是（）A ．0()1,()f x g x x == B ．24(),()22x f x g x x x -==+-C ．2()|3|,()(3)f x x g x x =-=-D ．()(1)(3),()13f x x x g x x x ----3．设函数f (x )=()()212,1315,1x a x x a x x ⎧--+≥⎪⎨+-<⎪⎩在R 上是增函数，则a 的取值范围是（）A ．(-13，3］B ．( -13，2)C ．(-13，2］D ．［2，3］4．已知函数211,0()22,0xx f x x x x ⎧⎛⎫-≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪-+>⎩，若(())30f f t +≥，则实数t 的取值范围是（） A ．[3,)+∞ B ．(,2]-∞-C ．(,3]-∞D ．[2,)-+∞5．已知函数22(),(1)1xf x x x -=>+，则它的值域为（）A ．()0∞，+B ．)0,(-∞C ．()-10，D ．()2,0- 6．设定义在R 上的函数()y f x =，对于任一给定的正数p ，定义函数()()()(),,p f x f x p f x p f x p ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩，则称函数()p f x 为()f x 的“p 界函数”.关于函数()221f x x x =--的2界函数，结论不成立的是（）A ．()()()()2200f f f f = B ．()()()()22 11f f f f =C ．()()()()22 22f f f f = D ．()()()()22 33f f f f = 7．（多选题）设函数()f x 的定义域为R ，满足()()12f x f x +=，且当(]0,1x ∈时，()()1f x x x =-.若对任意(],x m ∈-∞，都有()89f x ≥-，则实数m 的值可以是（）A ．94 B ．73C ．52D ．838．（多选题）函数2()xf x x a=+的图像可能是（） A ．B ．C ．D ．9．设1,()2(1),1,x f x x x <<=-≥⎪⎩若()(1)f a f a =+，则()f a =________． 10．函数22(1)22()1x xx f x x -++-=+在区间[2021,2021]-上的最大值为M ，最小值为m ，则M m +=___________. 11．已知函数2,2()1,3x x x cf x c x x⎧+-≤≤⎪=⎨<≤⎪⎩，若()f x 的值域是1[,2]4-，则实数c 的取值范围是__________．12．已知存在[1,)x ∈+∞，不等式2212a x x x ≥-+成立，则实数a 的取值范围是__________.13．已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且在[0,)+∞上单调递减，则不等式()()221f x f x ->+的解集是__ __ 14．已知定义域为R 的函数()f x 是奇函数，当0x >时，()1213xx f x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭．（1）求()f x 的解析式；（2）若对任意的t R ∈，不等式()()22220f t t f t k -+-<恒成立，求实数k 的取值范围．15．已知函数()213f x x ax =-++(a R ∈).（1）若2a =，求()f x 的最小值；（2）若不等式()0f x ≥对[]0,2x ∈上恒成立，求实数a 的取值范围.16．已知()f x 是定义在[]1, 1-上的奇函数，且()11f =，若任意的[]1,1,-∈b a ，当0a b +≠时，总有()()0f a f b a b+>+.（1）判断函数()f x 在[]1,1-上的单调性，并证明你的结论；（2）解不等式1(1)1f x f x ⎛⎫+<⎪-⎝⎭；（3）若2()21f x m pm ≤-+对所有的[]1,1x ∈-恒成立，其中[]1,1p ∈-(p 是常数)，试用常数p 表示实数m 的取值范围.参考答案1．B 【分析】令()111t t x=+≠，则可得11x t ，然后可得答案.【详解】令()111t t x=+≠，则可得11x t 1t所以()()211111t f t t t t +=+=-≠-，所以()()111x f x x x +-≠= 故选：B 【点睛】易错点睛：本题主要考查函数解析式的求法，主要涉及了用换元法，要注意换元后的取值范围，考查学生的转化与化归能力，属于基础题. 2．C 【分析】依次判断每组函数的定义域和对应法则是否相同，可得选项. 【详解】A ．()f x 的定义域为R ，()g x 的定义城为{|0}x x ≠，定义域不同，故A 错误；B ．()f x 的定义域为{|2}x x ≠，()g x 的定义域为R ，定义域不同，故B 错误；C ．()f x 与()g x 的定义域都为R ，()3()g x x f x =-=，对应法则相同，故C 正确；D ．()f x 的定义域为(][),13,-∞+∞，()g x 的定义域为[)3,+∞，定义域不同，故D 错误；故选：C ．【点睛】易错点睛：本题考查判断两个函数是否是同一函数，判断时，注意考虑函数的定义域和对应法则是否完全相同，属于基础题. 3．C 【分析】利用分段函数是增函数，两段函数都递增列出不等式组，求解即可．【详解】函数2(1)2,1()(31)5,1x a x x f x a x x ⎧--+=⎨+-<⎩在R 上是增函数，可得：112310315112a a a a -⎧⎪⎪+>⎨⎪+--++⎪⎩，解得123a -<故实数a 的取值范围是1(3-，2]．故选：C ．【点睛】本题考查分段函数的单调性、二次函数的单调性，注意各段函数单调性的应用，属于易错题． 4．D 【分析】画出函数f (x)的图象，将不等式(())30f f t +≥转化，令f (t )=a ，则f (a )>-3，得a <3，即f (t )≤3，从而求得t 的范围. 【详解】作出函数211,0()22,0xx f x x x x ⎧⎛⎫-≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪-+>⎩的图象如图，由图可知，当()3f x =-,仅有一解3x =，当()3f x =时，仅有一解2x =-，令()f t a =，则(())30f f t +≥，即()3f a ≥-，3a ∴≤，即()3f t ≤，则2t ≥-，所以实数t 的取值范围为[2,)-+∞，【点睛】本题主要考查分段函数的应用，考查数学转化思想方法与数形结合的解题思想方法，属于中档题. 5．D 【分析】化简函数()421f x x =-++，结合1x >，求得41x +的取值范围，即可求解. 【详解】由题意，函数()()2142242,(1)111x x f x x x x x -++-===-+>+++ 设1t x =+，则2t >，可得()402t∈，故()42(1)1f x x x =-+>+的值域为()20-，. 故选：D. 【点睛】本题主要考查了函数值域的求解，其中解答中化简函数的解析式为 ()421f x x =-++是解答的关键，着重考查推理与运算能力. 6．B 【分析】先求得函数()f x 的“2界函数”，然后对四个选项逐一进行排除，由此得到正确选项. 【详解】令2212x x --=，解得1x =-或3x =，根据“p 界函数”的定义，有()222,321,132,1x f x x x x x >⎧⎪=---≤≤⎨⎪<-⎩，所以()()()22012f f f =-=，()()()2012f f f =-=，故A 选项成立；()()()22122f f f =-=，()()()2127f f f =-=，故B 选项不成立；()[]22212f f f ⎡⎤=-=⎣⎦，()()()2212f f f =-=，故C 选项成立； ()()()22231f f f ==-，()()()2321f f f ==-，故D 选项成立.【点睛】本小题主要考查新定义函数的概念及应用，考查分段函数求值，考查分析问题和解决问题的能力.属于中档题.解题的突破口在于理解新定义的函数：新定义的函数关键是函数值大于p ，或者函数值小于或等于p ，也就是先要求得函数值等于p 时对应x 的值，由此写出分段函数“p 界函数”. 7．AB 【分析】因为(1)2()f x f x +=，可得()2(1)f x f x =-，分段求解析式，结合图象可得．【详解】解：因为(1)2()f x f x +=，()2(1)f x f x ∴=-，函数图象如下所示：(0x ∈，1]时，1()(1)[4f x x x =-∈-，0]， (1x ∴∈，2]时，1(0x -∈，1]，1()2(1)2(1)(2)[2f x f x x x =-=--∈-，0]；(2x ∴∈，3]时，1(1x -∈，2]，()2(1)4(2)(3)[1f x f x x x =-=--∈-，0]，当(2x ∈，3]时，由84(2)(3)9x x --=-解得73x =或83x =，若对任意(x ∈-∞，]m ，都有8()9f x -，则73m ．故选：AB ．【点睛】本题考查分段函数的性质的应用，解答的关键是根据函数的性质画出函数图象，数形结合即可得解； 8．ABC 【分析】本题可对函数2()xf x x a=+进行分类讨论，分为0a =、0a >、0a <三种情况，然后确定每一种情况下所对应的函数图像，即可得出结果. 【详解】由题可知，函数2()xf x x a=+，若0a =，则21()x f x x x==，选项C 可能；若0a >，则函数定义域为R ，且(0)0f =，选项B 可能；若0a <，则x ≠A 可能，故不可能是选项D ，故选：ABC. 【点睛】本题考查函数的图像的判断，可通过函数的定义域、值域、特殊值等特征来判断，考查分类讨论思想，考查推理能力，是中档题. 9．12 【分析】分01a <<和1a ≥两种情况讨论，结合函数()y f x =的解析式解方程()()1f a f a =+，可求得实数a 的值，进而求得结果. 【详解】若01a <<，则112a <+<，由()()1f a f a =+()211a =+-，即24a a =，解得：0a =（舍去）或14a =；若1a ≥，由()()1f a f a =+，得()()21211a a -=+-，该方程无解.综上可知，14a =，11()42f a f ⎛⎫∴==⎪⎝⎭故答案为：12.【点睛】方法点睛：本题考查分段函数方程的求解，注意分类讨论a 的取值范围，根据分段函数的解析式代入解方程即可，考查计算能力，属于基础题. 10．2 【分析】把已知的函数式变形，得到222(1)22222()111x x x x x x f x x x --++-+-==+++．令2222()1x xx g x x -+-=+，可知该函数为奇函数，然后由奇函数的图象的对称性求得函数()f x 的最值，由此求得M m +的值．【详解】解：222(1)22222()111x x x xx x f x x x --++-+-==+++ 设2222()1x x x g x x -+-=+，则()2222()1x xx g x g x x ---++-==-+，则()g x 为奇函数， ∴函数()f x 的最大值为1T +，最小值为1T -+，则1M T =+，1m T =-+．2M m ∴+=．故答案为：2． 11．112c ≤≤ 【分析】作出2y x x =+和1y x=的图象，由图象得解. 【详解】作出2y x x =+和1y x =的图象，当1()4f x =-时，12x =-，当22x x +=时1x =或2x =-；当12x=时，12x =，由图象可知当()f x 的值域为1[,2]4-时，需满足112c ≤≤故答案为：112c ≤≤ 【点睛】数形结合是解分段函数的利器，作出分段函数图象，直接简化运算，提高解题速度.属于基础题.12．1[,)2+∞【分析】问题转化为22()2min x a x x -+即可，[1,)x ∈+∞，由22211221x x x x x=-+-+，令221()1f x x x =-+，[1,)x ∈+∞，问题转化为求()f x 的最大值，根据二次函数的性质求出()f x 的最大值，从而求出a 的范围即可．【详解】若存在[1,)x ∈+∞，不等式2212a x x x -+成立，即22()2min x a x x -+即可，[1,)x ∈+∞，由22211221x x x x x=-+-+，令221()1f x x x=-+，[1,)x ∈+∞，问题转化为求()f x 的最大值，而2117()2()48f x x =-+，[1,)x ∈+∞的最大值是2，故221()22min x x x =-+，故12a，故答案为：1[,)2+∞【点睛】方法点睛：本题考查函数的有解问题，一般通过变量分离，将不等式有解问题转化为求函数的最值问题：1.()f x m >有解max ()f x m ⇔>；2.()f x m <有解min ()f x m ⇔<. 13．133x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭∣ 【分析】利用偶函数关于y 轴对称，又由()f x 在[0,)+∞上单调递减，将不等式()()221f x f x ->+转化为22+1x x -< ，即可解得()()221f x f x ->+的解集．【详解】函数()y f x =是定义域为R 的偶函数，∴()()221f x f x ->+可转化为(22)(+1)f x f x ->，又()f x 在[0,)+∞上单调递减，∴ (22)(1)221f x f x x x ->+⇔-<+，两边平方得：231030x x -+< 解得133x << ，故()()221f x f x ->+的解集为133x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭∣．故答案为：133x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭∣ 【点睛】关键点点睛：本题主要考查函数奇偶性与单调性的综合运用，根据函数奇偶性和单调之间的关系将不等式进行转化是解决本题的关键，即()()221f x f x ->+可转化为(22)(+1)f x f x ->，属于中档题．14．（1）()()()()121,030,0131,02xx x x x f x x x ⎧⎛⎫-->⎪ ⎪⎝⎭⎪⎪==⎨⎪⎛⎫⎪-++< ⎪⎪⎝⎭⎩（2）（﹣∞，﹣13）．【分析】（1）定义域为R 的奇函数f （x ），则f （0）＝0，当x ＞0时，()1213xx f x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，根据奇函数的性质即可求解x ＜0的解析式，可得f （x ）的解析式；（2）从条件可知()f x 单调递减，由单调性和奇偶性脱去“f ”，转化为求解二次不等式恒成立的问题，从而求解实数k 的取值范围．【详解】解：（1）定义域为R 的奇函数f （x ），则f （0）＝0，当x ＞0时，()1213xx f x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，当x ＜0时，﹣x ＞0，则()11213132x x x x f x --⎛⎫⎛⎫-=--=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∵f （x ）是奇函数， ∴()1312x x f x ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，即()1312x x f x ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭． ∴f （x ）的解析式为： ()()()()121,030,0131,02xx x x x f x x x ⎧⎛⎫-->⎪ ⎪⎝⎭⎪⎪==⎨⎪⎛⎫⎪-++< ⎪⎪⎝⎭⎩．（2）当x ＞0时，()1213xx f x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭单调递减，且()()100f x f <-<=，则()f x 在R 上单调递减，若不等式f （t 2﹣2t ）+f （2t 2﹣k ）＜0恒成立，即f （t 2﹣2t ）＜﹣f （2t 2﹣k ）∴t 2﹣2t ＞k ﹣2t 2，即3t 2﹣2t ＞k ，可得3（t ﹣13）2﹣13＞k 对任意的t ∈R ．∴k ＜﹣13．故得实数k 的取值范围是（﹣∞，﹣13）．【点睛】思路点睛：对于已知函数大小关系解不等式的问题，常应用函数的奇偶性和单调性去掉外层函数，构造内层函数的不等关系，解不等式即可.15．（1）1.（2）a ≥-【分析】（1）去掉绝对值转化为分段函数求解.（2）求解不等式恒成立，分离变量后，构造函数，利用函数最值求参数范围.【详解】（1）当2a =时，2222222,(1)()123=24,(1)x x x f x x x x x x ⎧++≥=-++⎨-++<⎩ 当21x ≥即1≥x 或1x ≤-时，222=++y x x 在1≥x 递增，在1x ≤-上递减，此时()min ()11f x f =-=；当21x <，即11x -<<时，224y x x =-++在11x -<<递增，此时()15f x <<综上()min ()11f x f =-=（2）当0x =时，0(3)f x =≥恒成立；当2(]0,x ∈时，2130()f x x x a =-++≥⇔ 213x a x -+-≤，设2222,(1,2]13()4,[0,1]x x x x g x x x x x⎧+∈⎪-+⎪==⎨-⎪∈⎪⎩恒成立 (]1,2x ∈时，222()x g x x x x+==+在递减，在2]递增min ()g x g ∴==[]0,1x ∈时，244()x g x x x x-==-递减，()()min 13g x g ==. []0,2x ∴∈，()min g x g ==a ∴-≤a ≥-【点睛】解绝对值不等式的常用方法：(1)基本性质法：对a R x a a x a ＋，－， x a x a －或.x a(2)平方法：两边平方去掉绝对值符号．(3)零点分区间法：含有两个或两个以上绝对值符号的不等式，可用零点分区间法去掉绝对值符号，将其转化为与之等价的不含绝对值符号的不等式(组)求解．解决不等式在某区间恒成立问题：常转化为求函数的最值问题或用分离参数法求最值问题．16．（1）增函数，证明见解析；（2）{|2x x -≤<；（3）答案见解析.【分析】（1）()f x 在[1,1]-上为单调递增函数,根据函数的单调性定义即可求证结论正确；（2）根据（1）中的单调性和定义域列不等式组即可求解；（3）不等式对[1,1]x ∈-恒成立，转化为()f x 的最大值使不等式成立，可得()20m m p -≥成立，根据p 的值进行分类讨论，即可求解.【详解】（1）()f x 在[]1,1-上是增函数，证明如下.任取[]12,1,1x x ∈-，且12x x <，则120x x -<，于是有12121212()()()()0()f x f x f x f x x x x x -+-=>-+-，故12()()f x f x <，故()f x 在[]1,1-上是增函数.（2）由()f x 在[]1,1-上是增函数知：1111111111x x x x ⎧⎪-≤+≤⎪⎪-≤≤⎨-⎪⎪+<⎪-⎩，即20201x x x x x ⎧-≤≤⎪≥≤⎨⎪<<<⎩或，解得：2x -≤<故不等式的解集为{|2x x -≤<.（3）由（1）知()f x 最大值为()11f =，所以要使2()21f x m pm ≤-+对所有的[]1,1x ∈-恒成立，只需2121m pm ≤-+成立，即()20m m p -≥.①当[)1,0p ∈-时，m 的取值范围为(][),20,p -∞+∞； ②当(]0,1p ∈时，m 的取值范围为(][),02,p -∞⋃+∞； ③当0p =时，m 的取值范围为R .。

高一数学1至6章知识点

高一数学1至6章知识点一、整式与分式整式：只包含有限个项的代数式。

包括多项式和单项式。

分式：形如$\frac{a}{b}$的式子，其中a和b都是整式，而b 不为零。

1.1 多项式多项式是整式的一种，是由若干个单项式相加（减）而得到的式子。

每一项之间通过+和-链接。

1.2 单项式单项式是多项式的一种，在单项式中，将不重复的字母的指数相加即可合并同类项。

1.3 分式的概念分式由分子和分母组成，分式可以化简为最简形式，即分子与分母没有公约数。

二、函数与方程函数：对应关系的一种特殊关系。

通常用x来表示自变量，y 来表示因变量。

方程：用等号连接的式子，其中包含未知数。

2.1 一次函数一次函数是一个自变量的一次多项式，通常表示为y=ax+b，其中a和b都是常数。

2.2 二次函数二次函数是一个自变量的二次多项式，通常表示为y=ax^2+bx+c，其中a、b和c都是常数，且a不为零。

2.3 解方程解方程就是确定方程中的未知数的值，使得方程两边相等。

三、集合与不等式集合：由若干确定的对象组成的整体。

不等式：数之间的大小关系的表示式。

3.1 集合的概念集合可以通过列举法、描述法和图形法来表示，常用符号有"∈"表示属于，"∉"表示不属于。

3.2 不等式的概念不等式是表示两个数之间的大小关系的式子，常用的符号有"<"表示小于，">"表示大于，"≤"表示小于等于，"≥"表示大于等于。

四、平面向量平面向量：有大小和方向的量。

4.1 平面向量的概念平面向量用有向线段表示，有大小和方向，可以平移和运算。

4.2 平面向量的基本性质平面向量的模、方向角、坐标等是其基本性质，向量的坐标是指定向量所在的点的坐标。

五、三角函数三角函数：一类以角度或弧度为自变量，以比值为函数值的函数。

5.1 弧度制与角度制角度制是用度来表示角度大小，弧度制是用弧长比半径来表示角度大小。

函数与方程-2018-2019学年高一数学人教版必修1必刷题

函数与方程-2018-2019学年高一数学人教版必修1必刷题1．以下每个图象表示的函数都有零点，但不能用二分法求函数零点的是【答案】C2．函数f （x ）＝lg x －9x的零点所在的大致区间是A ．（6，7）B ．（7，8）C ．（8，9）D ．（9，10）【答案】D【解析】∵f （6）＝lg6－96＝lg6－32<0，f （7）＝lg7－97<0，f （8）＝lg8－98<0，f （9）＝lg9－1<0，f （10）＝lg10－910>0，∴f （9）·f （10）<0．∴f （x ）＝lg x －9x的零点的大致区间为（9，10）．3．二次函数f （x ）＝ax 2＋bx ＋c （x ∈R ）的部分对应值如下表：不求a ，b ，c 的值，判断方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根所在的区间是 A ．（－3，－1）和（2，4） B ．（－3，－1）和（－1，1） C ．（－1，1）和（1，2） D ．（－∞，－3）和（4，＋∞）【答案】A【解析】利用f （a ）f （b ）<0，则f （x ）＝0在（a ，b ）内有根来判定．∵f （－3）＝6>0，f （－1）＝－4<0，∴在（－3，－1）内必有根，又由f （2）＝－4<0，f （4）＝6>0， ∴在（2，4）内必有根．故选A ． 4．下列图象表示的函数中没有零点的是【答案】A【解析】观察图象可知A 中图象表示的函数没有零点． 5．函数f （x ）＝e x＋x －2的零点所在的一个区间是 A ．（－2，－1） B ．（－1，0）C ．（0，1）D ．（1，2）【答案】C6．函数f （x ）＝x ＋1x的零点个数为A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】A【解析】函数f （x ）的定义域为{x |x ≠0}，当x >0时，f （x ）>0；当x <0时，f （x ）<0，所以函数没有零点，故选A ．7．下列关于函数f （x ），x ∈[a ，b ]的命题中，正确的是A ．若x 0∈[a ，b ]且满足f （x 0）＝0，则x 0是f （x ）的一个零点B ．若x 0是f （x ）在[a ，b ]上的零点，则可以用二分法求x 0的近似值C ．函数f （x ）的零点是方程f （x ）＝0的根，但f （x ）＝0的根不一定是函数f （x ）的零点D ．用二分法求方程的根时，得到的都是近似解【答案】A【解析】使用“二分法”必须满足“二分法”的使用条件B 不正确；f （x ）＝0的根也一定是函数f （x ）的零点，C 不正确；用二分法求方程的根时，得到的也可能是精确解，D 不正确，只有A 正确． 8．用二分法求图象是连续不断的函数f （x ）在x ∈（1，2）内零点近似值的过程中得到f （1）<0，f （1.5）>0，f （1.25）<0，则函数的零点落在区间A ．（1，1.25）B ．（1.25，1.5）C ．（1.5，2）D ．不能确定【解析】因为f （1.5）>0，f （1.25）<0，所以f （1.5）·f （1.25）<0，则函数的零点落在区间（1.25，1.5）．9．下列函数不宜用二分法求零点的是 A ．f （x ）＝x 3－1 B ．f （x ）＝ln x ＋3 C ．f （x ）＝x 2＋22x ＋2 D ．f （x ）＝－x 2＋4x －1【答案】C【解析】因为f （x ）＝x 2＋22x ＋2＝（x ＋2）2≥0，不存在小于0的函数值，所以不能用二分法求零点．10．用二分法求函数f （x ）＝x 3＋5的零点可以取的初始区间是A ．[－2，1]B ．[－1，0]C ．[0，1]D ．[1，2]【答案】A11．用二分法研究函数f （x ）＝x 3＋3x －1的零点时，第一次经计算得f （0）<0，f （0.5）>0，可得其中一个零点x 0∈________，第二次应计算________．以上横线上应填的内容分别为 A ．（0，0.5），f （0.25） B ．（0.1），f （0.25） C ．（0.5，1），f （0.25） D ．（0，0.5），f （0.125）【答案】A【解析】∵f （0）<0，f （0.5）>0，∴f （0）·f （0.5）<0，故f （x ）的一个零点x 0∈（0，0.5），利用二分法，则第二次应计算f ⎝⎛⎭⎪⎫0＋0.52＝f （0.25）．12．若函数f （x ）＝x 3＋x 2－2x －2的一个零点（正数）附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下表：那么方程x 3＋x 2－2x －2＝0的一个近似解（精确度0.04）为 A ．1.5 B ．1.25 C ．1.375D ．1.437513．已知二次函数f （x ）＝x 2－x －6在区间[1，4]上的图象是一条连续的曲线，且f （1）＝－6<0，f （4）＝6>0，由零点存在性定理可知函数在[1，4]内有零点，用二分法求解时，取（1，4）的中点a ，则f （a ）＝________．【答案】－2.25【解析】显然（1，4）的中点为2.5，则f （a ）＝f （2.5）＝2.52－2.5－6＝－2.25．14．用二分法求方程x 3－2x －5＝0在区间[2，3]内的实数根时，取区间中点x 0＝2.5，那么下一个有根区间是________．【答案】（2，2.5）【解析】∵f （2）<0，f （2.5）>0，∴下一个有根区间是（2，2.5）． 15．函数f （x ）＝ln x －x 2＋2x ＋5的零点个数为________．【答案】2【解析】令ln x －x 2＋2x ＋5＝0得ln x ＝x 2－2x －5，画图可得函数y ＝ln x 与函数y ＝x 2－2x －5的图象有2个交点，即函数f （x ）的零点个数为2．16．函数f （x ）＝ln x －1x －1的零点的个数是 A ．0 B ．1 C ．2 D ．3【答案】C【解析】在同一坐标系中画出y ＝ln x 与y ＝1x －1的图象，如图所示，函数y ＝ln x 与y ＝1x －1的图象有两个交点，所以函数f （x ）＝ln x －1x －1的零点个数为2．17．函数f （x ）＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x －3，x ≤0－2＋ln x ，x >0的零点个数为A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】C18．方程0.9x－221x ＝0的实数解的个数是A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个【答案】B【解析】设f （x ）＝0.9x－221x ，则f （x ）为减函数，值域为R ，故有1个． 19．已知曲线y ＝（110）x与y ＝x 的交点的横坐标是x 0，则x 0的取值范围是A ．（0，12）B ．12 C ．（12，1）D ．（1，2）【答案】A【解析】设f （x ）＝（110）x －x ，则f （0）＝1>0，f （12）＝（110）12－12＝0.1－0.25<0，f （1）＝110－1<0，f （2）＝（110）2－2<0，显然有f （0）·f （12）<0． 20．函数y ＝x 2＋a 存在零点，则a 的取值范围是A ．a >0B ．a ≤0C ．a ≥0D ．a <0【答案】B【解析】函数y ＝x 2＋a 存在零点，则x 2＝－a 有解，所以a ≤0．21．已知f （x ）＝（x －a ）（x －b ）－2，并且α，β是函数f （x ）的两个零点，则实数a ，b ，α，β的大小关系可能是 A ．a <α<b <β B ．a <α<β<b C ．α<a <b <β D ．α<a <β<b【答案】C22．已知x 0是函数f （x ）＝2x＋11－x的一个零点．若x 1∈（1，x 0），x 2∈（x 0，＋∞），则 A ．f （x 1）<0，f （x 2）<0 B ．f （x 1）<0，f （x 2）>0 C ．f （x 1）>0，f （x 2）<0 D ．f （x 1）>0，f （x 2）>0【答案】B【解析】在同一平面直角坐标系中画出函数y ＝2x和函数y ＝1x －1的图象，如图所示，由图可知函数y ＝2x和函数y ＝1x －1的图象只有一个交点，即函数f （x ）＝2x＋11－x只有一个零点x 0，且x 0>1．因为x 1∈（1，x 0），x 2∈（x 0，＋∞），所以由函数图象可知，f （x 1）<0，f （x 2）>0．23．已知()f x 是以2为周期的偶函数，当[]0,1x ∈时，()f x x =，那么在区间[]13-，内，关于x 的方程()1(f x kx k k =++∈R 且1k ≠-）有4个不同的根，则k 的取值范围是A ．1,04⎛⎫-⎪⎝⎭B ．1,03⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．1,02⎛⎫-⎪⎝⎭D ．()1,0-【答案】B【解析】利用函数的周期性及偶函数的性质画出函数()f x 的图象，如图所示．又函数()()111g x kx k k x =++=++恒过定点()1,1A -，()1f x kx k =++的零点个数可看作函数()f x 与()g x 的图象的交点个数，根据图象可得103k -<<．故选B ．24．已知0x 是函数()121xf x x=+-的一个零点，若()()10201,,,x x x x ∈∈+∞，则 A ．()()120,0f x f x << B ．()()120,0f x f x <> C ．()()120,0f x f x >< D ．()()120,0f x f x >>【答案】B25．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时()23f x x x =-，则函数()()3g x f x x =-+的零点的集合为 A ．{1，3}B ．{–3，–1，1，3}C ．{21，3}D ．{–21，3}【答案】D26．已知定义在R 上的奇函数)(x f y =，对于x ∀∈R 都有)1()1(x f x f -=+，当01<≤-x 时，)(log )(2x x f -=，则函数2)()(-=x f x g 在)8,0(内所有的零点之和为A ．6B ．8C ．10D ．12【答案】D【解析】函数2)()(-=x f x g 在)8,0(内所有的零点之和，就是()2f x =在)8,0(内所有的根之和，也就是(),2y f x y ==的图象交点的横坐标之和．画出()y f x =的部分图象，2y =的图象，如图所示，从左到右，依次设交点的横坐标为1234,,,x x x x ，由图知12342,10x x x x +=+=，所以，123412x x x x +++=，故选D ．27．若f （x ）＝x ＋b 的零点在区间（0，1）内，则b 的取值范围为________．【答案】（－1，0）【解析】∵f （x ）＝x ＋b 是增函数，又f （x ）＝x ＋b 的零点在区间（0，1）内，∴(0)0(1)0f f <⎧⎨>⎩，∴⎩⎪⎨⎪⎧b <0，1＋b >0.∴－1<b <0．28．若函数f （x ）＝a x－x －a （a >0，且a ≠1）有两个零点，则实数a 的取值范围是________．【答案】（1，＋∞）29．某方程有一无理根在区间D ＝（1，3）内，若用二分法求此根的近似值，将D 等分________次后，所得近似值可精确到0.1．【答案】5【解析】由3－12n <0.1，得2n －1>10，∴n －1≥4，即n ≥5．30．方程ln x ＝8－2x 的实数根x ∈（k ，k ＋1），k ∈Z ，则k ＝________．【答案】3【解析】令f （x ）＝ln x ＋2x －8，则f （x ）在（0，＋∞）上单调递增．∵f （3）＝ln3－2<0，f （4）＝ln4>0，∴零点在（3，4）上，∴k ＝3．31．（2018•浙江）已知λ∈R ，函数f （x ）=2443x x x x x λλ-≥⎧⎨-+<⎩，，，当λ=2时，不等式f （x ）<0的解集是__________．若函数f （x ）恰有2个零点，则λ的取值范围是__________．【答案】{x |1<x <4}；（1，3]∪（4，+∞）函数f （x ）恰有2个零点，函数f （x ）=2443x x x x x λλ-≥⎧⎨-+<⎩，，的草图如图：函数f （x ）恰有2个零点，则1<λ≤3或λ>4．故答案为：{x |1<x <4}；（1，3]∪（4，+∞）．32．（2016•天津）已知函数2(43)3,0()(01)log (1)1,0且a x a x a x f x a a x x ⎧+-+<=>≠⎨++≥⎩在R 上单调递减，且关于x的方程|()|23xf x =-恰有两个不相等的实数解，则a 的取值范围是__________．【答案】12[,)33【解析】由函数()f x 在R 上单调递减得43130,01,31234a a a a --≥<<≥⇒≤≤，又方程|()|23x f x =-恰有两个不相等的实数解，所以232,3解得a a <<，因此a 的取值范围是12[,)33．。

(人教版)高一数学必修一知识点总结

(人教版)高一数学必修一知识点总结
一、函数与方程
1. 函数的概念：函数是一种特殊的关系，它将一个元素与另一个唯一确定的元素相对应。

2. 函数的表示方式：函数可以通过图像、表格、公式等方式来表示。

3. 方程的概念：方程是含有未知数的等式，通过求解方程可以确定未知数的值。

4. 一次函数：一次函数的形式为y = kx + b，其中k和b为常数。

二、三角函数
1. 弧度制与角度制：弧度制是一种角度的度量单位，角度制是另一种度量单位。

2. 正弦、余弦和正切：正弦函数表示一个角的对边与斜边之间的比值，余弦函数表示一个角的邻边与斜边之间的比值，正切函数表示一个角的对边与邻边之间的比值。

三、平面向量
1. 平面向量的表示：平面向量可以用坐标表示，如向量AB可以表示为AB = (x₁, y₁)。

2. 向量的运算：向量可以进行加法和数乘运算，如两个向量的和可以表示为R = A + B。

3. 向量的模长：向量的模长表示向量的长度，可以通过坐标计算得到。

四、三角形与三角比
1. 三角形的分类：根据边长和角度的不同，三角形可以分为等边三角形、等腰三角形和普通三角形。

2. 三角比的定义：三角比是指在特定角度下，三角函数值的比例关系，如正弦比、余弦比和正切比。

以上是(人教版)高一数学必修一的知识点总结，希望对你的学习有所帮助。

高一上册数学全册知识点

高一上册数学全册知识点一、函数与方程在高一上册数学中，函数与方程是一个重要的知识点。

函数是自变量与因变量之间的关系，可以用来描述各种变化规律。

方程则是关系等式，可以通过求解得到未知数的值。

1. 函数的定义与性质函数的定义：对于集合A和B，如果双射关系f使得对于A中的每个元素x，都存在一个唯一的元素y使得（x，y）∈f，则称f 为A到B的函数。

函数的性质：- 定义域、值域和原像：函数的定义域是指所有可能输入的值的集合，在函数中有相应输出的这些值构成了函数的值域。

原像则是指函数输出对应的输入值。

- 单调性：函数的单调性可以分为递增和递减两种，根据函数图像的上升或下降趋势来判断。

- 奇偶性：函数的奇偶性可以通过函数的定义式来判断，奇函数满足f(-x)=-f(x)，偶函数满足f(-x)=f(x)。

- 周期性：如果存在常数T使得对于函数f任意x有f(x+T)=f(x)，则函数具有周期性。

2. 方程的解法方程是数学中的等式，可以通过解方程得到未知数的值。

解方程的方法有很多，包括：- 直接解法：将方程两边进行运算，将未知数的项移至一边，最后得到未知数的值。

- 因式分解法：将方程进行因式分解，然后设置每个因式为零，解得未知数的值。

- 二次方程的解法：对于二次方程ax^2+bx+c=0，可以使用求根公式(-b±√(b^2-4ac))/2a求得解。

- 分式方程的解法：对于含有分式的方程，可以通过通分、约分等方法将方程化为一般形式，然后进行解法。

二、数列与数学归纳法数列是数学中一组有序的数的集合，数列中的每一项都有特定的位置。

数学归纳法是一种证明方法，用于证明数列或命题在自然数中的全体成立。

1. 等差数列与等差数列求和公式等差数列是每一项与前一项之差相等的数列，可以用通项公式an=a1+(n-1)d来表示，其中a1为首项，d为公差，n为项数。

等差数列求和公式：对于等差数列an=a1+(n-1)d，其前n项和Sn=n/2[a1+an]，其中a1为首项，an为末项，n为项数。

湖南高一数学知识点归纳总结

湖南高一数学知识点归纳总结湖南高一数学课程是学生高中阶段的重要组成部分。

数学作为一门学科，旨在培养学生的逻辑思维和问题解决能力。

在高一，数学教学的重点是为学生打下坚实的基础，使他们能够应对后续的更高难度数学知识。

以下是对湖南高一数学知识点的归纳总结。

一、函数与方程1. 一次函数：函数定义，斜率和截距，函数图像2. 二次函数：函数定义，顶点和对称轴，函数图像，二次函数的变形3. 指数与对数函数：指数函数的定义和性质，对数函数的定义和性质，换底公式4. 三角函数：正弦函数，余弦函数，正切函数，函数图像和性质，三角函数的基本关系与恒等式二、平面几何1. 直线与圆：直线的斜截式和一般式方程，圆的标准式方程和一般式方程，直线和圆的位置关系2. 相交线与平行线：平行线的性质与判定，相交线的性质与判定3. 三角形：三角形的定义和性质，重要的三角形定理（如等腰三角形定理、直角三角形定理等）三、立体几何1. 空间直线与平面：直线与平面的位置关系，直线与平面的夹角2. 立体图形：长方体、正方体、棱柱、棱锥、圆锥、圆柱的定义和性质，体积和表面积的计算公式3. 球体：球的定义和性质，球的体积和表面积的计算四、概率与统计1. 概率：事件与概率的关系，基本概率公式，条件概率，独立事件2. 统计：数据的收集与整理，频数分布表，统计图表的制作与分析五、导数与微分1. 函数的导数：导数的概念和定义，求导法则，高阶导数，导数的应用（如最值、变化率等）2. 微分：微分的概念和定义，微分的应用（如近似计算、极值判定等）六、数列与数学归纳法1. 等差数列：数列的定义，等差数列的通项公式，等差数列的性质和应用2. 等比数列：数列的定义，等比数列的通项公式，等比数列的性质和应用3. 数学归纳法：数学归纳法的基本思想和步骤，应用数学归纳法证明数学命题以上是对湖南高一数学知识点的归纳总结。

了解并掌握这些知识点，对学生在高一数学学习中起着重要的指导作用。

高一数学必修1 二次函数与一元二次方程

高一数学必修1 二次函数与一元二次方程【学习导航】知识网络学习要求12．了解函数的零点与方程根的联系及判断函数的零点所在的大致区间； 3．体验并理解函数与方程相互转化的数学思想和数形结合的数学思想．自学评价1.二次函数的零点的概念一元二次方程20ax bx c ++=()0a ≠的根也称为二次函数2y ax bx c =++（a ≠0）的零点．2. 二次函数的零点与对应一元二次方程根的关系（1）一元二次方程20ax bx c ++=（a ≠0）有两个不相等的实数根1x ，2x ⇔判别式0∆>⇔对应的二次函数2y ax bx c =++（a ≠0）的图象与x 轴有两个交点为()1,0x ，()2,0x ⇔对应的二次函数2y ax bx c =++（a ≠0）有两个不同的零点1x ，2x ；（2）一元二次方程20ax bx c ++=（a ≠0）有两个相等的实数根1x =2x ⇔判别式0∆=⇔对应的二次函数2y ax bx c =++（a ≠0）的图象与x 轴有唯一的交点为（1x ，0）⇔对应的二次函数2y ax bx c =++（a ≠0）有两个相同零点1x =2x ；（3）一元二次方程20ax bx c ++=（a ≠0）没有实数根⇔判别式0∆<⇔对应的二次函数2y ax bx c =++（a ≠0）的图象与x 轴没有交点⇔对应的二次函数2y ax bx c =++（a≠0）没有零点． 3. 推广⑴函数的零点的概念一般地，对于函数()y f x =()x D ∈，我们把使()0f x =的实数x 叫做函数()y f x =()x D ∈的零点． ⑵函数的零点与对应方程的关系方程()0f x =有实数根⇔函数()y f x =的图象与x 轴有交点⇔函数()y f x =有零点．【精典X 例】例1：求证：一元二次方程22370x x +-=有两个不相等的实数根．【解】证法1∵∆=()23427650-⨯⨯-=>∴一元二次方程22370x x +-=有两个不相等的实数根．证法2 设2()237f x x x =+-，∵函数的图象是一条开口向上的抛物线，且2(0)2030770f =⨯+⨯-=-<∴函数()f x 的图象与x 轴有两个不同的交点，即一元二次方程22370x x +-=有两个不相等的实数根．方程化为2365()416x +=再证明．也可仿照证法点评:例1还可用配方法将(1)23720f =+-=-<来推证． 2，由抛物线开口向上及例2：右图是一个二次函数()y f x =的图象．（1）写出这个二次函数的零点；（2）写出这个二次函数的解析式；（3）试比较(4)(1)f f --，(0)(2)f f 与0的大小关系．【解】（1）由图象可知此函数的零点是：13x =-，21x =．（2）由（1）可设()f x =(3)(1)a x x +- ∵(1)4f -=∴1a = ∴()(3)(1)f x x x =-+-．即这个二次函数的解析式为2()23f x x x =--+．（3）∵(4)5f -=-，(1)4f -=， (0)3f =，(2)5f =-， ∴(4)(1)200f f --=-<，(0)(2)150f f =-<．点评:例2进一步体现了利用函数图象研究函数性质的思想．例3：当关于x 的方程的根满足下列条件时，某某数a 的取值X 围：（1）方程2270x ax a -+-=的两个根一个大于2，另一个小于2；（2）方程2340ax x a ++=的两根都小于1；（3）方程22(4)2530x a x a a -+-++=的两根都在区间[1,3]-上；（4）方程227(13)20x a x a a -++--=的一个根在区间(0,1)上，另一根在区间(1,2)上；（5）方程022=++ax x 至少有一个实根小于1-．分析：可将方程的左端设为函数，结合二次函数图象，确定a 的不等式（组）．【解】⑴ 设22()70f x x ax a =-+-=，其图象为开口向上的抛物线．若要其与x 轴的两个交点在点(2,0)的两侧，只需(2)0f <，即24270a a -+-<，∴13a -<<． ⑵ 当0a =时，0x =满足题意．当0a ≠时，设2()34f x ax x a =++. 若要方程两根都小于1，只要 2339160443310223(1)005a a a a a af a a ⎧-≤≤⎪⎧∆=-≥⎪⎪⎪⎪-<⇒><-⎨⎨⎪⎪>⎪⎪⎩><-⎪⎩或或word304a ⇒<≤综上，方程的根都小于1时，304a ≤≤ ⑶ 设22()(4)253f x x a x a a =-+-++则方程两个根都在[1,3]-上等价于：222(1)0340(3)004136224(32)0()02f a a f a a a a a a f -≥⎧⎪⎧--≤≥⎪⎪-≤⎪⎪+⇒⎨⎨-≤≤-≤≤⎪⎪⎪⎪+-≥⎩≤⎪⎩ ∴01a ≤≤．（4）设22()7(13)f x x a x a a =-++--，则方程一个根在(0,1)上，另一根在(1,2)上等价于22220(0)0(1)0280(2)030a a f f a a f a a ⎧-->>⎧⎪⎪<⇒--<⎨⎨⎪⎪>->⎩⎩ 122403a a a a a <->⎧⎪⇒-<<⎨⎪<>⎩或或 21a -<<- 或34a <<．（5）设2()2f x x ax =++，若方程的两个实根都小于1-，则有听课随笔2801223(1)0a a a aa a f ⎧-≥⎧≤-≥⎪⎪⎪-<-⇒>⎨⎨⎪⎪<⎩->⎪⎩3a ⇒< 若方程的两个根一个大于1-，另一个小于-1，则有(1)30f a -=-<, ∴3a >．若方程的两个根中有一个等于1-，由根与系数关系知另一根必为2-， ∴12a -=--， ∴3a =．综上，方程至少有一实根小于1-时，a ≥点评：二次函数是高中知识与大学知识的主要纽带，函数综合题往往以二次函数为载体，考查函数的值域、奇偶性、单调性及二次方程实根分布问题、二次不等式的解集问题等，考查形式灵活多样，考查思想涉及到数形结合思想、函数与方程思想、分类讨论思想等，高考在此设计的难度远远高于课本要求，在学习中一方面要加强训练，一方面要提高分析问题、解决问题的能力．追踪训练一1.函数2()2f x x ax =--(01)x ≤≤的最大值是2a ，则（ D ） A ．01a ≤≤B ．02a ≤≤C ．20a -≤≤D ．10a -≤≤2. 设2()f x x bx c =-+，(0)4f =, (1)(1)f x f x +=-，则（ B ）A ．()()x x f b f c ≥B ．()()x x f b f c ≤C ．()()x x f b f c >D ．()()x xf b f c <3.若关于x 的方程2(2)210x m x m +-+-=有一根在(0,1)内，则m ∈__1223m <<___．4.若二次函数2()(1)5f x x a x =--+在区间1(,1)2上是增函数，则(2)f 的取值X 围是_______[)7,+∞__________．【选修延伸】一、二次函数与一元二次方程根的关系例4:已知m ，n 是方程22(2)x k x k +-++350k +=(k R ∈)的两个实根，求22m n +的最大值和最小值．分析:一元二次方程与二次函数有很多内在联系．要求22m n +的最值，首先要考虑根与系数的关系，并由此得到以k 为自变量的22m n +的函数解析式．【解】因为方程22(2)350x k x k k +-+++=(k R ∈)有两个实根，所以22(2)4(35)k k k ∆=--++2316160k k =---≥，解得443k -≤≤-又(2)m n k +=--，235m n k k ⋅=++，所以222()2m n m n mn +=+- 22(2)2(35)k k k =--++22106(5)19k k k =---=-++．而()()2451943f k k k ⎛⎫=-++-≤≤- ⎪⎝⎭是减函数，因此当4k =-时，22m n +取最大值18，当43k =-时，22m n +取最小值509．点评：这是一个与一元二次方程根有关的问题，必须先确定k 的取值X 围，否则无法确定函数()f k 的单调性．．追踪训练二1．若方程2210ax x --=在()0,1内恰有一解，则a 的取值X 围是（ B ） A ．1a <-B ．1a >C ．11a -<<D ．01a ≤<2．已知()()()2f x x a x b =---()a b <，并且α、β是方程()0f x =的两个根()αβ<，则实数a 、b 、α、β的大小关系可能是（ A ） A ．a b αβ<<< B ．a b αβ<<<C ．a b αβ<<<D ．a b αβ<<<3．不等式223222x kx kx x >＋＋＋＋对一切实数x 都立，则k 的取值X 围是210k <<. 4．已知二次函数2()f x ax bx c =++和一次函数()g x ax b =+，其中a b c >>，且(1)0f =，（1）求证：两函数()f x 、()g x 的图象交于不同两点A 、B ；（2）求线段AB 在x 轴上投影11A B 长度的取值X 围．答案：（1）∵(1)0f a b c =++=，a b c >>，∴0a >,0c <．由2y ax bx cy ax b⎧⎨⎩＝＋＋＝＋得2()0ax b a x c b +-+-=，因为2()40b a ac ∆=+->．所以两函数()f x 、()g x （2）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则211||A B =1(x -a b c >>，∴122c a -<<-． ∴11||A B ∈（23，32）．。