2018高考江苏版(文)数学一轮复习讲义：第4章第20课函数建模问题(一)——函数、导数、不等

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(江苏版)2018年高考数学一轮复习(讲+练+测)：专题4.5 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及其应用(测)

专题4.5 函数y ＝Asin （ωx ＋φ）的图象及其应用一、填空题1．要得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π3的图象，只需将函数y ＝sin 4x 的图象向右平移_____个单位【解析】由y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π3＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤4⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12得，只需将y ＝sin 4x 的图象向右平移π12个单位即可 2. 已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)A >0，ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，则φ＝3．(2017·湖北八校联考)把函数y ＝sin x (x ∈R)的图象上所有点向左平移π6个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变)，得到图象的函数解析式为【解析】把函数y ＝sin x (x ∈R)的图象上所有点向左平移π6个单位长度，得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6(x ∈R)的图象；再把所得图象上所有点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变)，得到图象的函数解析式为y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π6(x ∈R)．4．(2016·长沙四校联考)将函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)ω>0，－π2≤φ<π2图象上每一点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平移π3个单位长度得到y ＝sin x 的图象，则函数f (x )的单调递增区间为【解析】将y ＝sin x 的图象向右平移π3个单位长度得到的函数为y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3，将函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3的图象上每一点的横坐标缩短为原来的12(纵坐标不变)，则函数变为y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＝f (x )，由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，可得k π－π12≤x ≤k π＋5π12，k ∈Z ， 5．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，则y ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6取得最小值时x 的集合为________．【答案】 ⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ＝k π－π3，k ∈Z【解析】根据所给图象，周期T ＝4×⎝⎛⎭⎪⎫7π12－π3＝π，故ω＝2ππ＝2，因此f (x )＝sin(2x ＋φ)，又图象经过点⎝⎛⎭⎪⎫7π12，0，所以有2×7π12＋φ＝k π(k ∈Z)，再由|φ|<π2，得φ＝－π6，所以f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝sin2x ＋π6，当2x ＋π6＝－π2＋2k π(k ∈Z)，即x ＝－π3＋k π(k ∈Z)时，y ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6取得最小值．6．将函数f (x )＝sin 2x 的图象向右平移φ⎝⎛⎭⎪⎫0<φ<π2个单位后得到函数g (x )的图象．若对满足|f (x 1)－g (x 2)|＝2的x 1，x 2，有|x 1－x 2|min ＝π3，则φ＝7.函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2的部分图象如图所示，若x 1，x 2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，π3，且f (x 1)＝f (x 2)，则f (x 1＋x 2)＝________.【答案】32【解析】观察图象可知，A ＝1，T ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝π， ∴ω＝2，∴f (x )＝sin(2x ＋φ)．将⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，0代入上式得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＋φ＝0，即－π3＋φ＝k π，k ∈Z ，由|φ|＜π2，得φ＝π3，则f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3. 函数图象的对称轴为x ＝－π6＋π32＝π12.又x 1，x 2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，π3，且f (x 1)＝f (x 2)，∴x 1＋x 22＝π12，即x 1＋x 2＝π6， ∴f (x 1＋x 2)＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2×π6＋π3＝32.8．(2017·山东师大附中模拟)设P 为函数f (x )＝sin π2x 的图象上的一个最高点，Q 为函数g (x )＝cos π2x的图象上的一个最低点，则|PQ |的最小值是________．【答案】 5【解析】由题意知两个函数的周期都为T ＝2ππ2＝4，由正、余弦函数的图象知，f (x )与g (x )的图象相差14个周期，设P ，Q 分别为函数f (x )，g (x )图象上的相邻的最高点和最低点，设P (x 0,1)，则Q (x 0＋1，－1)，则|PQ |min ＝x 0＋1－x 02＋－1－2＝ 5.9．将函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)ω>0，－π2≤φ<π2图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移π6个单位长度得到y ＝sin x 的图象，则f π6＝________.【答案】2210．已知f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3(ω>0)，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，且f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π3上有最小值，无最大值，则ω＝________. 【答案】143【解析】依题意，x ＝π6＋π32＝π4时，y 有最小值，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4ω＋π3＝－1，则π4ω＋π3＝2k π＋3π2(k ∈Z)．所以ω＝8k ＋143(k ∈Z)．因为f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π3上有最小值，无最大值，所以π3－π4≤πω，即ω≤12，令k ＝0，得ω＝143.二、解答题11.函数f (x )＝cos(πx ＋φ) 0<φ<π2的部分图象如图所示．(1)求φ及图中x 0的值；(2)设g (x )＝f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋13，求函数g (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，13上的最大值和最小值．12．(2017·洛阳质检)如图，摩天轮上一点P 在时刻t (单位：分钟)距离地面的高度y (单位：米)满足y ＝A sin(ωt ＋φ)＋b ，φ∈[－π，π]，已知该摩天轮的半径为50米，圆心O 距地面的高度为60米，摩天轮做匀速转动，每3分钟转一圈，点P 的起始位置在摩天轮的最低点处．(1)根据条件写出y 关于t 的解析式；(2)在摩天轮转动的一圈内，有多长时间点P 距离地面的高度超过85米？解：(1)由题设可知A ＝50，b ＝60，又T ＝2πω＝3，所以ω＝2π3，从而y ＝50sin ⎝⎛⎭⎪⎫2π3t ＋φ＋60.由题设知t ＝0时y ＝10，将t ＝0，y ＝10代入y ＝50sin ⎝⎛⎭⎪⎫2π3t ＋φ＋60，得sin φ＝－1，又φ∈[－π，π]，从而φ＝－π2，因此y ＝60－50cos 2π3t (t ≥0)．(2)要使点P 距离地面的高度超过85米，则有y ＝60－50cos 2π3t >85，即cos 2π3t <－12，解得2π3<2π3t <4π3，即1<t <2，所以在摩天轮转动的一圈内，点P 距离地面的高度超过85米的时间有1分钟.。

(江苏版)2018年高考数学一轮复习(讲、练、测)：_专题2.12_函数模型及其应用(测)(有解析)

专题2.12 函数模型及其应用班级__________ 姓名_____________ 学号___________ 得分__________(满分100分，测试时间50分钟)一、填空题：请把答案直接填写在答题卡相应的位置．．．．．．．．上(共10题，每小题6分，共计60分)． 1. 在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x 为________m. 【答案】202.如果在今后若干年内，我国国民经济生产总值都控制在平均每年增长9%的水平，那么要达到国民经济生产总值比1995年翻两番的年份大约是________．(lg2＝0.301 0，lg3＝0.477 1，lg109＝2.037 4，lg0.09＝－2.954 3) 【答案】2011年【解析】设1995年总值为a ，经过x 年翻两番，则a ·(1＋9%)x＝4a .∴x ＝2lg2lg1.09≈16.3. 给出下列函数模型：①一次函数模型；②幂函数模型；③指数函数模型；④对数函数模型.下表是函数值y 随自变量x 变化的一组数据，它最可能的函数模型是________(填序号).【答案】①【解析】根据已知数据可知，自变量每增加1函数值增加2，因此函数值的增量是均匀的，故为一次函数模型. 4.一个容器装有细沙a cm 3，细沙从容器底下一个细微的小孔慢慢地匀速漏出，t min 后剩余的细沙量为y ＝a e－bt(cm 3)，若经过8 min 后发现容器内还有一半的沙子，则再经过________min ，容器中的沙子只有开始时的八分之一．【答案】16【解析】当t ＝0时，y ＝a ；当t ＝8时，y ＝a e－8b＝12a ， ∴e－8b＝12，容器中的沙子只有开始时的八分之一时，即y ＝a e －bt＝18a . e－bt＝18＝(e －8b )3＝e －24b，则t ＝24，所以再经过16 min. 5.为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y (毫克)与时间t (小时)成正比；药物释放完毕后，y 与t 的函数关系式y ＝(116)t －a (a 为常数)，如图所示，根据图中提供的信息，回答下列问题：(1)从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y (毫克)与时间t (小时)之间的函数关系式为__________________________．(2)据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室，那么从药物释放开始，至少需要经过________小时后，学生才能回到教室．【答案】(1)y ＝⎩⎪⎨⎪⎧10t ，0≤t ≤0.1，116t －0.1，t >0.1 (2)0.66.某工厂产生的废气经过过滤后排放，排放时污染物的含量不得超过1%.已知在过滤过程中废气中的污染物数量P (单位：mg/L)与过滤时间t (单位：h)之间的函数关系为P ＝P 0e －kt (k ，P 0均为正的常数)．如果在前5个小时的过滤过程中污染物被排除了90%，那么至少还需过滤才可以排放．【答案】5 h【解析】设原污染物数量为a ，则P 0＝a .由题意有10%a ＝a e －5k，所以5k ＝ln10.设t h 后污染物的含量不得超过1%，则有1%a ≥a e－tk，所以tk ≥2ln10，t ≥10.因此至少还需过滤10－5＝5 h 才可以排放．7.某市出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为3 km(不超过3 km 按起步价付费)；超过3 km 但不超过8 km 时，超过部分按每千米2.15元收费；超过8 km 时，超过部分按每千米2.85元收费，另每次乘坐需付燃油附加费1元．现某人乘坐一次出租车付费22.6元，则此次出租车行驶了________ km. 【答案】9【解析】设出租车行驶x km 时，付费y 元，则y ＝⎩⎪⎨⎪⎧9，0<x ≤3，8＋x －＋1，3<x ≤8，8＋2.15×5＋x －＋1，x >8.由y ＝22.6，解得x ＝9.8.某杂志每本原定价2元，可发行5万本，若每本提价0.20元，则发行量减少4 000本，为使销售总收入不低于9万元，需要确定杂志的最高定价是【答案】3元9.某单位“五一”期间组团包机去上海旅游，其中旅行社的包机费为30 000元，旅游团中的每人的飞机票按以下方式与旅行社结算：若旅游团中的人数在30或30以下，飞机票每张收费1 800元.若旅游团的人数多于30人，则给以优惠，每多1人，机票费每张减少20元，但旅游团的人数最多有75人，那么旅游团的人数为_______人时，旅行社获得的利润最大. 【答案】60【解析】设旅游团的人数为x 人，飞机票为y 元，利润为Q 元，依题意，①当1≤x ≤30时，y =1 800元，此时利润Q=yx-30 000=1 800x-30 000，此时最大值是当x=30时，Q max =1 800×30-30 000=24 000(元);②当30＜x ≤75时，y=1 800-20(x-30)=-20x+2 400,此时利润Q=yx-30 000 =-20x 2+2 400x-30 000=-20(x-60)2+42 000,所以当x=60时，旅行社可获得的最大利润42 000元.综上，当旅游团的人数为60人时，旅行社获得的利润最大.10.某地西红柿从2 月1日起开始上市，通过市场调查，得到西红柿种植成本Q(单位：元/100 kg)与上市时间t(单位：天)的数据如下表：. Q=at+b,Q=at 2+bc+c,Q=a ·b t,Q=a ·log b t 利用你选取的函数，求得：(1)西红柿种植成本最低时的上市天数是________. (2)最低种植成本是________(元/100kg).【答案】(1)120 (2)80二、解答题：解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内．．．．．。

(江苏专用)2018版高考数学大一轮温习第四章节三角函数、解三角形 4.3 三角函数的图象与性质讲义文苏

(2)已知 ω＞0，函数 f(x)＝sinωx＋π4在π2，π上单调递减，则 ω 的取值范围是__12_，__45___.
答案解析
引申探究本例(2)中，若已知 ω>0，函数 f(x)＝cos(ωx＋π4)在(π2，π)上单调递增，则 ω 的取值范围是_[_32_，__74_]_.
跟踪训练2 (1)函数f(x)＝sin －2x＋π3 的单调减区间为__kπ_－__1_π2_，__k_π_＋__1_52_π__， _k_∈__Z__.
答案解析
由已知函数得 y＝－sin2x－π3，欲求函数的单调减区间，只需求 y＝sin2x－π3的单调增区间. 由 2kπ－π2≤2x－π3≤2kπ＋π2，k∈Z，得 kπ－1π2≤x≤kπ＋51π2，k∈Z. 故所给函数的单调减区间为kπ－1π2，kπ＋51π2(k∈Z).
跟踪训练 3 (1)(2016·常州模拟)已知函数 f(x)＝2sin(π2x＋π5)，若对任意的实数 x，总有 f(x1)≤f(x)≤f(x2)，则|x1－x2|的最小值是___2__.
答案解析
由题意可得|x1－x2|的最小值为半个周期，即T2＝ωπ ＝2.
(2)如果函数y＝3cos(2x＋φ)的图象关于点( 4π，0)中心对称，那么|φ|的最小 3
答案解析
题型分类深度剖析
题型一三角函数的定义域和值域例1 (1)函数f(x)＝－2tan(2x＋ π )的定义域是__{x_|_x_≠__k2_π_＋__π6_，__k∈__Z__}_.
6
答案解析
由 2x＋π6≠π2＋kπ，k∈Z，得 x≠k2π＋π6，k∈Z，所以 f(x)的定义域为{x|x≠k2π＋π6，k∈Z}.
2.奇偶性

2018版高考数学理江苏专用大一轮复习讲义教师版文档第

1.仰角和俯角与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方叫仰角，目标视线在水平视线下方叫俯角(如图①).2.方向角相对于某正方向的水平角，如南偏东30°，北偏西45°等. 3.方位角指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B 点的方位角为α(如图②). 【知识拓展】 1.三角形的面积公式S ＝p (p －a )(p －b )(p －c ) (p ＝a ＋b ＋c 2)，S ＝abc4R ＝rp (R 为三角形外接圆半径，r 为三角形内切圆半径，p ＝a ＋b ＋c 2).2.坡度(又称坡比)：坡面的垂直高度与水平长度之比. 【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)从A 处望B 处的仰角为α，从B 处望A 处的俯角为β，则α，β的关系为α＋β＝180°.( × ) (2)俯角是铅垂线与视线所成的角，其范围为[0，π2].( × )(3)方位角与方向角其实质是一样的，均是确定观察点与目标点之间的位置关系.( √ )(4)方位角大小的范围是[0，2π)，方向角大小的范围一般是[0，π2).( √ )1.(教材改编)如图所示，设A ，B 两点在河的两岸，一测量者在A 所在的同侧河岸边选定一点C ，测出AC 的距离为50 m ，∠ACB ＝45°，∠CAB ＝105°后，就可以计算出A ，B 两点的距离为________ m. 答案 50 2解析由正弦定理得AB sin ∠ACB ＝AC sin B ，又∵B ＝30°，∴AB ＝AC sin ∠ACBsin B ＝50×2212＝502(m).2.轮船A 和轮船B 在中午12时同时离开海港C ，两船航行方向的夹角为120°，两船的航行速度分别为25 n mile /h ，15 n mile/h ，则下午2时两船之间的距离是________n mile. 答案 70解析设两船之间的距离为d ，则d 2＝502＋302－2×50×30×cos 120°＝4 900， ∴d ＝70，即两船相距70 n mile.3.(教材改编)海面上有A ，B ，C 三个灯塔，AB ＝10 n mile ，从A 望C 和B 成60°视角，从B 望C 和A 成75°视角，则BC ＝________ n mile. 答案 5 6解析如图，在△ABC 中，AB ＝10，A ＝60°，B ＝75°， ∴BC sin 60°＝10sin 45°， ∴BC ＝5 6.4.如图所示，D ，C ，B 三点在地面的同一直线上，DC ＝a ，从C ，D 两点测得A 点的仰角分别为60°，30°，则A 点离地面的高度AB ＝________.答案32a 解析由已知得∠DAC ＝30°，△ADC 为等腰三角形，AD ＝3a ，又在Rt △ADB 中，AB ＝12AD＝32a . 5.在一次抗洪抢险中，某救生艇发动机突然发生故障停止转动，失去动力的救生艇在洪水中漂行，此时，风向是北偏东30°，风速是20 km /h ；水的流向是正东，流速是20 km/h ，若不考虑其他因素，救生艇在洪水中漂行的方向为北偏东________，速度的大小为________ km/h. 答案 60° 20 3解析如图，∠AOB ＝60°，由余弦定理知OC 2＝202＋202－800cos 120°＝1 200，故OC ＝203，∠COY ＝30°＋30°＝60°.题型一求距离、高度问题例1 (1)如图，从气球A 上测得正前方的河流的两岸B ，C 的俯角分别为75°，30°，此时气球的高AD 是60 m ，则河流的宽度BC ＝________ m.(2)如图，A ，B 是海平面上的两个点，相距800 m ，在A 点测得山顶C 的仰角为45°，∠BAD ＝120°，又在B 点测得∠ABD ＝45°，其中D 是点C 到水平面的射影，则山高CD ＝________ m. 答案 (1)120(3－1) (2)800(3＋1)解析 (1)如图，在△ACD 中，∠CAD ＝90°－30°＝60°，AD ＝60 m ，所以CD ＝AD ·tan 60°＝603(m).在△ABD 中，∠BAD ＝90°－75°＝15°，所以BD ＝AD ·tan 15°＝60(2－3)(m). 所以BC ＝CD －BD ＝603－60(2－3) ＝120(3－1) (m).(2)在△ABD 中，∠BDA ＝180°－45°－120°＝15°. 由AB sin 15°＝AD sin 45°，得AD ＝AB ·sin 45°sin 15°＝800×226－24＝800(3＋1)(m).∵CD ⊥平面ABD ，∠CAD ＝45°， ∴CD ＝AD ＝800(3＋1) m.思维升华求距离、高度问题应注意(1)理解俯角、仰角的概念，它们都是视线与水平线的夹角；理解方向角的概念.(2)选定或确定要创建的三角形，要首先确定所求量所在的三角形，若其他量已知则直接解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解.(3)确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理.(1)一船以每小时15 km 的速度向东航行，船在A 处看到一个灯塔B 在北偏东60°，行驶4 h 后，船到达C 处，看到这个灯塔在北偏东15°，这时船与灯塔的距离为________ km. (2)如图所示，为测一树的高度，在地面上选取A ，B两点，从A ，B 两点分别测得树尖的仰角为30°，45°，且A ，B 两点间的距离为60 m ，则树的高度为________m.答案 (1)302 (2)30＋30 3解析 (1)如图，由题意，∠BAC ＝30°，∠ACB ＝105°，∴B ＝45°，AC ＝60 km ，由正弦定理BC sin 30°＝ACsin 45°，∴BC ＝30 2 km.(2)在△P AB 中，∠P AB ＝30°，∠APB ＝15°，AB ＝60， sin 15°＝sin(45°－30°)＝sin 45°cos 30°－cos 45°sin 30°＝22×32－22×12＝6－24，由正弦定理得PB sin 30°＝AB sin 15°，∴PB ＝12×606－24＝30(6＋2)，∴树的高度为PB ·sin 45°＝30(6＋2)×22＝(30＋303)(m). 题型二求角度问题例2 甲船在A 处，乙船在A 处的南偏东45°方向，距A 有9海里的B 处，并以20海里每小时的速度沿南偏西15°方向行驶，若甲船沿南偏东θ的方向，并以28海里每小时的速度行驶，恰能在C 处追上乙船.问用多少小时追上乙船，并求sin θ的值.(结果保留根号，无需求近似值) 解设用t 小时，甲船追上乙船，且在C 处相遇，那么在△ABC 中，AC ＝28t ，BC ＝20t ，AB ＝9，∠ABC ＝180°－15°－45°＝120°，由余弦定理，得(28t )2＝81＋(20t )2－2×9×20t ×(－12)，128t 2－60t －27＝0，解得t ＝34或t ＝－932(舍去)，所以AC ＝21(海里)，BC ＝15(海里)，根据正弦定理，得sin ∠BAC ＝BC sin ∠ABC AC ＝5314，cos ∠BAC ＝1－75142＝1114. 又∠ABC ＝120°，∠BAC 为锐角，所以θ＝45°－∠BAC ， sin θ＝sin(45°－∠BAC )＝sin 45°cos ∠BAC －cos 45°sin ∠BAC＝112－5628. 思维升华解决测量角度问题的注意事项 (1)首先应明确方位角或方向角的含义；(2)分析题意，分清已知与所求，再根据题意画出正确的示意图，这是最关键、最重要的一步； (3)将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后，注意正弦、余弦定理的“联袂”使用.(1)(2016·苏州模拟)如图所示，位于A 处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B 处有一艘渔船遇险，在原地等待营救.信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距20海里的C 处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向沿直线CB 前往B 处救援，则cos θ的值为________. 答案2114解析在△ABC 中，AB ＝40，AC ＝20，∠BAC ＝120°，由余弦定理得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos 120°＝2 800⇒BC ＝207. 由正弦定理，得AB sin ∠ACB ＝BC sin ∠BAC⇒sin ∠ACB ＝AB BC ·sin ∠BAC ＝217.由∠BAC ＝120°，知∠ACB 为锐角，则cos ∠ACB ＝277.由θ＝∠ACB ＋30°，得cos θ＝cos(∠ACB ＋30°) ＝cos ∠ACB cos 30°－sin ∠ACB sin 30°＝2114. 题型三三角形与三角函数的综合问题例3 (2016·扬州调研)在斜三角形ABC 中，tan A ＋tan B ＋tan A tan B ＝1. (1)求C 的值；(2)若A ＝15°，AB ＝2，求△ABC 的周长.解 (1)方法一因为tan A ＋tan B ＋tan A tan B ＝1，即tan A ＋tan B ＝1－tan A tan B ，因为在斜三角形ABC 中，1－tan A tan B ≠0，所以tan(A ＋B )＝tan A ＋tan B 1－tan A tan B ＝1，即tan(180°－C )＝1，即tan C ＝－1，因为0°<C <180°，所以C ＝135°.方法二由tan A ＋tan B ＋tan A tan B ＝1，得sin A cos A ＋sin B cos B ＋sin A sin Bcos A cos B＝1，化简得sin A cos B ＋sin B cos A ＋sin A sin B ＝cos A cos B ，即sin(A ＋B )＝cos(A ＋B )，所以sin C ＝－cos C ，因为斜三角形ABC ，所以C ＝135°.(2)在△ABC 中，A ＝15°，C ＝135°，则B ＝180°－A －C ＝30°. 由正弦定理BC sin A ＝CA sin B ＝AB sin C 得BC sin 15°＝CA sin 30°＝2sin 135°＝2，故BC ＝2sin 15°＝2sin(45°－30°) ＝2(sin 45°cos 30°－cos 45°sin 30°)＝6－22， CA ＝2sin 30°＝1.所以△ABC 的周长为AB ＋BC ＋CA ＝2＋6－22＋1 ＝2＋6＋22. 思维升华三角形与三角函数的综合问题，要借助三角函数性质的整体代换思想，数形结合思想，还要结合三角形中角的范围，充分利用正弦定理、余弦定理解题.(2016·南京学情调研)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a cosB ＝b cos A . (1)求ba的值；(2)若sin A ＝13，求sin(C －π4)的值.解 (1)方法一由a cos B ＝b cos A ，结合正弦定理得sin A cos B ＝sin B cos A ，即sin(A －B )＝0.因为A ，B ∈(0，π)，所以A －B ∈(－π，π)，所以A －B ＝0，即A ＝B ，所以a ＝b ，即ba ＝1.方法二由a cos B ＝b cos A ，结合余弦定理得a ·a 2＋c 2－b 22ac ＝b ·b 2＋c 2－a 22bc，即2a 2＝2b 2，即ba＝1.(2) 因为sin A ＝13，由(1)知A ＝B ，因此A 为锐角，所以cos A ＝223. 所以sin C ＝sin(π－2A )＝sin 2A ＝2sin A cos A ＝429，cos C ＝cos(π－2A )＝－cos 2A ＝－1＋2sin 2A ＝－79.所以sin(C －π4)＝sin C cos π4－cos C sin π4＝429×22＋79×22＝8＋7218.10.函数思想在解三角形中的应用典例 (14分)某港口O 要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上.在小艇出发时，轮船位于港口O 北偏西30°且与该港口相距20海里的A 处，并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶.假设该小艇沿直线方向以v 海里/小时的航行速度匀速行驶，经过t 小时与轮船相遇.(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？(2)假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时，试设计航行方案(即确定航行方向和航行速度的大小)，使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由.思想方法指导已知两边和其中一边的对角解三角形时，可以设出第三边，利用余弦定理列方程求解；对于三角形中的最值问题，可建立函数模型，转化为函数最值问题解决. 规范解答解 (1)设相遇时小艇航行的距离为S 海里，[1分]则S ＝900t 2＋400－2·30t ·20·cos (90°－30°) ＝900t 2－600t ＋400＝900(t －13)2＋300.[3分] 故当t ＝13时，S min ＝103，v ＝10313＝30 3.[6分]即小艇以303海里/小时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小. [7分](2)设小艇与轮船在B 处相遇.则v 2t 2＝400＋900t 2－2·20·30t ·cos(90°－30°)，故v 2＝900－600t ＋400t 2.[10分]∵0<v ≤30，∴900－600t ＋400t 2≤900，即2t 2－3t ≤0，解得t ≥23.又t ＝23时，v ＝30，故v ＝30时，t 取得最小值，且最小值等于23.此时，在△OAB 中，有OA ＝OB ＝AB ＝20.[13分]故可设计航行方案如下：航行方向为北偏东30°，航行速度为30海里/小时.[14分]1.(2017·苏北四市联考)一艘海轮从A 处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B 处，在C 处有一座灯塔，海轮在A 处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B 处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B ，C 两点间的距离是________海里. 答案 10 2解析如图所示，易知，在△ABC 中，AB ＝20海里，∠CAB ＝30°，∠ACB ＝45°，根据正弦定理得BC sin 30°＝AB sin 45°，解得BC ＝102(海里).2.在高出海平面200 m 的小岛顶上A 处，测得位于正西和正东方向的两船的俯角分别是45°与30°，此时两船间的距离为________ m. 答案 200(3＋1)解析过点A 作AH ⊥BC 于点H ，由图易知∠BAH ＝45°，∠CAH ＝60°，AH ＝200 m ，则BH ＝AH ＝200 m ，CH ＝AH ·tan 60°＝200 3 (m). 故两船距离BC ＝BH ＋CH ＝200(3＋1) (m).3.江岸边有一炮台高30 m ，江中有两条船，船与炮台底部在同一水平面上，由炮台顶部测得俯角分别为45°和60°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船相距____m. 答案 10 3解析如图，OM ＝AO tan 45°＝30 (m)，ON ＝AO tan 30°＝30×33＝10 3 (m)，在△MON 中，由余弦定理得， MN ＝900＋300－2×30×103×32＝300＝10 3 (m).4.(2016·南京模拟)如图，两座相距60 m 的建筑物AB ，CD 的高度分别为20 m ，50 m ，BD 为水平面，则从建筑物AB 的顶端A 看建筑物CD 的张角为________.答案 45°解析依题意可得AD ＝2010(m)，AC ＝305(m)，又CD ＝50(m)，所以在△ACD 中，由余弦定理得cos ∠CAD ＝AC 2＋AD 2－CD 22AC ·AD＝(305)2＋(2010)2－5022×305×2010＝ 6 0006 0002＝22，又0°<∠CAD <180°，所以∠CAD ＝45°，所以从顶端A 看建筑物CD 的张角为45°.5.如图所示，测量河对岸的塔高AB 时可以选与塔底B 在同一水平面内的两个测点C 与D ，测得∠BCD ＝15°，∠BDC ＝30°，CD ＝30，并在点C 测得塔顶A 的仰角为60°，则塔高AB ＝________.答案 15 6解析在△BCD 中，∠CBD ＝180°－15°－30°＝135°. 由正弦定理得BC sin 30°＝30sin 135°，所以BC ＝15 2.在Rt △ABC 中，AB ＝BC tan ∠ACB ＝152×3＝15 6.6.某校运动会开幕式上举行升旗仪式，旗杆正好处在坡度为15°的看台的某一列的正前方，从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60°和30°，第一排和最后一排的距离为106米(如图所示)，旗杆底部与第一排在一个水平面上.若国歌长度约为50秒，升旗手应以________(米/秒)的速度匀速升旗.答案 0.6解析在△BCD 中，∠BDC ＝45°，∠CBD ＝30°，CD ＝106(米). 由正弦定理，得BC ＝CD sin 45°sin 30°＝203(米).在Rt △ABC 中，AB ＝BC sin 60°＝203×32＝30(米). 所以升旗速度v ＝AB t ＝3050＝0.6(米/秒).7.如图，CD 是京九铁路线上的一条穿山隧道，开凿前，在CD 所在水平面上的山体外取点A ，B ，并测得四边形ABCD 中，∠ABC ＝π3，∠BAD ＝23π，AB＝BC ＝400米，AD ＝250米，则应开凿的隧道CD 的长为________米. 答案 350解析在△ABC 中，AB ＝BC ＝400米，∠ABC ＝π3，∴AC ＝AB ＝400米，∠BAC ＝π3.∴∠CAD ＝∠BAD －∠BAC ＝2π3－π3＝π3.∴在△CAD 中，由余弦定理，得 CD 2＝AC 2＋AD 2－2AC ·AD ·cos ∠CAD ＝4002＋2502－2·400·250·cos π3＝122 500.∴CD ＝350米.8.如图，一艘船上午9∶30在A 处测得灯塔S 在它的北偏东30°处，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午10∶00到达B 处，此时又测得灯塔S 在它的北偏东75°处，且与它相距8 2 n mile.此船的航速是______ n mile/h.答案 32解析设航速为v n mile/h ，在△ABS 中，AB ＝12v ，BS ＝82，∠BSA ＝45°，由正弦定理得82sin 30°＝12v sin 45°，∴v ＝32.9.如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120°的扇形AOB ，C 是该小区的一个出入口，且小区里有一条平行于AO 的小路CD .已知某人从O 沿OD 走到D 用了2分钟，从D 沿DC 走到C 用了3分钟.若此人步行的速度为每分钟50米，则该扇形的半径为________米.答案 507解析如图，连结OC ，在△OCD 中，OD ＝100，CD ＝150，∠CDO ＝60°.由余弦定理得OC 2＝1002＋1502－2×100×150×cos 60°＝17 500，解得OC ＝507.*10.在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别为a 、b 、c ，且满足a ＋b ＝cx ，则实数x 的取值范围是________. 答案 (1，2]解析 x ＝a ＋b c ＝sin A ＋sin B sin C ＝sin A ＋cos A＝2sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π4.又A ∈⎝⎛⎭⎫0，π2， ∴sin π4＜sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π4≤sin π2，即x ∈(1，2]. 11.要测量电视塔AB 的高度，在C 点测得塔顶A 的仰角是45°，在D 点测得塔顶A 的仰角是30°，并测得水平面上的∠BCD ＝120°，CD ＝40 m ，求电视塔的高度.解如图，设电视塔AB 高为x m ，则在Rt △ABC 中，由∠ACB ＝45°，得BC ＝x . 在Rt △ADB 中，∠ADB ＝30°，则BD ＝3x .在△BDC 中，由余弦定理得， BD 2＝BC 2＋CD 2－2BC ·CD ·cos 120°，即(3x )2＝x 2＋402－2·x ·40·cos 120°，解得x ＝40，所以电视塔高为40 m.12.(2015·天津)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知△ABC 的面积为315，b －c ＝2，cos A ＝－14.(1)求a 和sin C 的值； (2)求cos ⎝⎛⎭⎫2A ＋π6的值. 解 (1)在△ABC 中，由cos A ＝－14，可得sin A ＝154. 由S △ABC ＝12bc sin A ＝315，得bc ＝24，又由b －c ＝2，解得b ＝6，c ＝4. 由a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，可得a ＝8. 由a sin A ＝c sin C ，得sin C ＝158. (2)cos ⎝⎛⎭⎫2A ＋π6＝cos 2A ·cos π6－sin 2A ·sin π6＝32(2cos 2A －1)－12×2sin A ·cos A ＝15－7316. *13.在海岸A 处发现北偏东45°方向，距A 处(3－1)海里的B 处有一艘走私船.在A 处北偏西75°方向，距A 处2海里的C 处的我方缉私船奉命以103海里/小时的速度追截走私船，此时走私船正以10海里/小时的速度从B 处向北偏东30°方向逃窜.问：缉私船沿什么方向行驶才能最快截获走私船？并求出所需时间.解如图，设缉私船应沿CD 方向行驶t 小时，才能最快截获走私船(在D 点)，则CD ＝103t 海里，BD ＝10t 海里，在△ABC 中，由余弦定理，得 BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos A ＝(3－1)2＋22－2·(3－1)·2·cos 120° ＝6，解得BC ＝ 6. 又BC sin ∠BAC ＝ACsin ∠ABC，∴sin ∠ABC ＝AC ·sin ∠BAC BC ＝2·sin 120°6＝22，∴∠ABC ＝45°，故B 点在C 点的正东方向上， ∴∠CBD ＝90°＋30°＝120°，在△BCD 中，由正弦定理，得BD sin ∠BCD ＝CDsin ∠CBD ，∴sin ∠BCD ＝BD ·sin ∠CBDCD＝10t ·sin 120°103t＝12. ∴∠BCD ＝30°，∴缉私船沿北偏东60°的方向行驶.又在△BCD 中，∠CBD ＝120°，∠BCD ＝30°， ∴∠D ＝30°，∴BD ＝BC ，即10t ＝6，解得t ＝610小时≈15分钟. ∴缉私船应沿北偏东60°的方向行驶，才能最快截获走私船，大约需要15分钟.14.(教材改编)如图，有两条相交成60°角的直路X ′X ，Y ′Y ，交点是O ，甲、乙两人分别在OX 、OY 上，甲的起始位置离点O 3 km ，乙的起始位置离点O 1 km.后来甲沿XX ′的方向，乙沿YY ′的方向，同时以4 km/h 的速度步行.(1) 求甲、乙在起始位置时两人之间的距离；(2) 设t h 后甲、乙两人的距离为d (t )，写出d (t )的表达式.当t 为何值时，甲、乙两人之间的距离最短？并求出两人之间的最短距离. 解 (1) 由余弦定理，得起初两人的距离为 12＋32－2×1×3×cos 60°＝7(km). (2)设t h 后两人的距离为d (t )，则当0≤t ≤14时，d (t )＝(1－4t )2＋(3－4t )2－2×(1－4t )×(3－4t )×cos 60° ＝16t 2－16t ＋7；当t >34时，d (t )＝(4t －1)2＋(4t －3)2－2×(4t －1)×(4t －3)×cos 60° ＝16t 2－16t ＋7；当14<t ≤34时， d (t )＝(4t －1)2＋(3－4t )2－2×(4t －1)×(3－4t )×cos 120° ＝16t 2－16t ＋7. 所以d (t )＝16t 2－16t ＋7 ＝16(t －12)2＋3 (t ≥0)，当t ＝12时，两人的距离最短.答当t ＝12时，两人的最短距离为 3 km.。

2018版高考数学(理)(苏教版江苏专用)大一轮复习讲义(课件)第十四章选修 14.4 第1课时

(2)对于实数x，y，若|x－1|≤1，|y－2|≤1，求|x－2y＋1|的最大值.
解答
|x － 2y ＋ 1| ＝ |(x － 1) － 2(y － 1)|≤|x － 1| ＋ |2(y － 2) ＋ 2|≤1 ＋ 2|y － 2| ＋ 2≤5，即|x－2y＋1|的最大值为5.
思维升华
求含绝对值的函数最值时，常用的方法有三种 (1)利用绝对值的几何意义. (2)利用绝对值三角不等式，即|a|＋|b|≥|a±b|≥|a|－|b|. (3)利用零点分区间法.
解答
①当x≤1时，原不等式可化为1－x－(5－x)<2， ∴－4<2，不等式恒成立，∴x≤1. ②当1<x<5时，原不等式可化为x－1－(5－x)<2， ∴x<4，∴1<x<4， ③当x≥5时，原不等式可化为x－1－(x－5)<2，该不等式不成立. 综上，原不等式的解集为(－∞，4).
2.若存在实数x使|x－a|＋|x－1|≤3成立，求实数a的取值范围.
通不等式；
(2)当不等式两端均为正号时，可通过两边平方的方法，转化为解不
含绝对值符号的普通不等式；
(3)利用绝对值的几何意义，数形结合求解.
跟踪训练1
(1)(2016· 全国乙卷)已知函数f(x)＝|x＋1|－|2x－3|.
(1)在图中画出y＝f(x)的图象；解答
(2)求不等式|f(x)|>1的解集.
2.含有绝对值的不等式的性质 (1)如果a，b是实数，则|a|－|b| ≤|a±b|≤ |a|＋|b| ，当且仅当 ab≥0 时，等号成立. (2)如果a，b，c是实数，那么 |a－c|≤|a－b|＋|b－c| ，当且仅当 (a－b)
(b－c)≥0 时，等号成立.

2018版高考数学江苏专用文科大一轮复习讲义：第二章

第4讲幂函数与二次函数基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、填空题1．(2017·苏州期末)已知α∈{－1,1,2,3}，则使函数y ＝x α的值域为R ，且为奇函数的所有α的值为________．解析因为函数y ＝x α为奇函数，故α的可能值为－1,1,3.又y ＝x－1的值域为{y |y ≠0}，函数y ＝x ，y ＝x 3的值域都为R .所以符合要求的α的值为1,3. 答案 1,3 2．已知P ＝，Q ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫253，R ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫123，则P ，Q ，R 的大小关系是________．解析 P ＝＝⎝⎛⎭⎪⎫223，根据函数y ＝x 3是R 上的增函数，且22>12>25，得⎝ ⎛⎭⎪⎫223>⎝ ⎛⎭⎪⎫123>⎝ ⎛⎭⎪⎫253，即P >R >Q .答案 P >R >Q3．已知a ，b ，c ∈R ，函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c .若f (0)＝f (4)>f (1)，则下列结论：①a >0,4a ＋b ＝0；②a <0,4a ＋b ＝0；③a >0,2a ＋b ＝0； ④a <0,2a ＋b ＝0其中正确的是________(填序号)．解析因为f (0)＝f (4)>f (1)，所以函数图象应开口向上，即a >0，且其对称轴为x ＝2，即－b2a ＝2，所以4a ＋b ＝0.答案 ①4．在同一坐标系内，函数y ＝x a(a ≠0)和y ＝ax ＋1a的图象可能是________(填序号)．解析若a <0，由y ＝x a的图象知排除③，④，由y ＝ax ＋1a的图象知应为②；若a >0，由y ＝x a的图象知排除①，②，但y ＝ax ＋1a的图象均不适合，综上应为②.答案 ②5．若函数f (x )＝x 2－ax －a 在区间上的最大值为1，则实数a ＝________.解析 ∵函数f (x )＝x 2－ax －a 的图象为开口向上的抛物线， ∴函数的最大值在区间的端点取得， ∵f (0)＝－a ，f (2)＝4－3a ，∴⎩⎪⎨⎪⎧－a ≥4－3a ，－a ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧－a ≤4－3a ，4－3a ＝1，解得a ＝1.答案 16．若关于x 的不等式x 2－4x －2－a >0在区间(1,4)内有解，则实数a 的取值范围是________．解析不等式x 2－4x －2－a >0在区间(1,4)内有解等价于a <(x 2－4x －2)max ，令f (x )＝x 2－4x －2，x ∈(1,4)，所以f (x )<f (4)＝－2，所以a <－2. 答案 (－∞，－2) 7．若f (x )＝－x 2＋2ax 与g (x )＝ax ＋1在区间上都是减函数，则a 的取值范围是________．解析由f (x )＝－x 2＋2ax 在上是减函数可得⊆上是减函数可得a >0，故0<a ≤1. 答案 (0,1]8．已知函数y ＝f (x )是偶函数，当x >0时，f (x )＝(x －1)2，若当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2，－12时，n ≤f (x )≤m恒成立，则m －n 的最小值为________．解析当x <0时，－x >0，f (x )＝f (－x )＝(x ＋1)2， ∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2，－12， ∴f (x )min ＝f (－1)＝0，f (x )max ＝f (－2)＝1， ∴m ≥1，n ≤0，m －n ≥1.∴m －n 的最小值是1. 答案 1 二、解答题9．已知幂函数f (x )＝x(m 2＋m )－1(m ∈N *)的图象经过点(2，2)，试确定m 的值，并求满足条件f (2－a )>f (a －1)的实数a 的取值范围．解幂函数f (x )的图象经过点(2，2)， ∴2＝2(m 2＋m )－1，即2＝2(m 2＋m )－1.∴m 2＋m ＝2.解得m ＝1或m ＝－2. 又∵m ∈N *，∴m ＝1.∴f (x )＝x ，则函数的定义域为时，求函数f (x )的值域； (2)若函数f (x )在上的最大值为1，求实数a 的值．解 (1)当a ＝2时，f (x )＝x 2＋3x －3，x ∈，对称轴x ＝－32∈，∴f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝94－92－3＝－214，f (x )max ＝f (3)＝15，∴值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－214，15. (2)对称轴为x ＝－2a －12.①当－2a －12≤1，即a ≥－12时，f (x )max ＝f (3)＝6a ＋3，∴6a ＋3＝1，即a ＝－13满足题意；②当－2a －12>1，即a <－12时，f (x )max ＝f (－1)＝－2a －1，∴－2a －1＝1，即a ＝－1满足题意．综上可知，a ＝－13或－1.能力提升题组(建议用时：20分钟)11．(2016·浙江卷改编)已知函数f (x )＝x 2＋bx ，则“b <0”是“f (f (x ))的最小值与f (x )的最小值相等”的________条件(从“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”中选填一个)．解析 ∵f (x )＝x 2＋bx ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋b 22－b24，当x ＝－b 2时，f (x )min ＝－b 24.又f (f (x ))＝(f (x ))2＋bf (x )＝⎝⎛⎭⎪⎫f x ＋b 22－b 24，当f (x )＝－b 2时，f (f (x ))min ＝－b 24，当－b 2≥－b 24时，f (f (x ))可以取到最小值－b 24，即b 2－2b ≥0，解得b ≤0或b ≥2，故“b <0”是“f (f (x ))的最小值与f (x )的最小值相等”的充分不必要条件．答案充分不必要12．(2017·常州期末测试)函数f (x )＝(m 2－m －1)x4m 9－m 5－1是幂函数，对任意的x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1≠x 2，满足f x 1 －f x 2x 1－x 2>0，若a ，b ∈R ，且a ＋b >0，则f (a )＋f (b )的值：①恒大于0；②恒小于0；③等于0；④无法判断．上述结论正确的是________(填序号)．解析依题意，幂函数f (x )在(0，＋∞)上是增函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧m 2－m －1＝1，4m 9－m 5－1>0，解得m ＝2，则f (x )＝x2 015.∴函数f (x )＝x2 015在R 上是奇函数，且为增函数．由a ＋b >0，得a >－b ，∴f (a )>f (－b )，则f (a )＋f (b )>0. 答案 ①13．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x ≥2，x －1 3，x <2，若关于x 的方程f (x )＝k 有两个不同的实根，则实数k 的取值范围是______．解析作出函数y ＝f (x )的图象如图．则当0<k <1时，关于x 的方程f (x )＝k 有两个不同的实根．答案 (0,1)14．已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a >0，b ∈R ，c ∈R )．(1)若函数f (x )的最小值是f (－1)＝0，且c ＝1，F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f x ，x >0，－f x ，x <0，求F (2)＋F (－2)的值；(2)若a ＝1，c ＝0，且|f (x )|≤1在区间(0,1]上恒成立，试求b 的取值范围．解 (1)由已知c ＝1，a －b ＋c ＝0，且－b2a ＝－1，解得a ＝1，b ＝2， ∴f (x )＝(x ＋1)2.∴F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1 2，x >0，－ x ＋1 2，x <0.∴F (2)＋F (－2)＝(2＋1)2＋＝8. (2)由a ＝1，c ＝0，得f (x )＝x 2＋bx ，从而|f (x )|≤1在区间(0,1]上恒成立等价于－1≤x 2＋bx ≤1在区间(0,1]上恒成立，即b ≤1x －x 且b ≥－1x－x 在(0,1]上恒成立．又1x －x 的最小值为0，－1x－x 的最大值为－2.∴－2≤b ≤0. 故b 的取值范围是.。

2018版高考数学文江苏专用大一轮复习讲义文档第四章三角函数、解三角形 4.5 第2课时含答案精品

大学生思想品德个人总结这段时间以来，我在党组织的关心和帮助下不断进步和成长。

同时，我也努力改正和弥补自己的不足和缺点。

在工作、学习和生活中严格按照党员的标准来要求自己，认真履行党员的义务。

通过老师及同学的帮助以及自己的努力不断充实自己和完善自己。

经过这段时间，我感到自己在思想和行为举止上都得到了较大的提高，各方面表现的也更加成熟，为了进一步接受____教育，提高自己的思想，现将我____月份的情况向党组织汇报：一、思想上我主动加强政治学习，利用业余时间认真学习-和____，了解我们____光辉奋斗史，从而更加珍惜现在的生活，坚定正确的政治信仰;此外，我还经常看电视新闻、看报纸、浏览相关网页以及学习____颁布的决策和决议，使自己在思想上和党组织____保持一致。

通过对理论知识的学习，使我树立了正确牢固的世界观、人生观，在社会不断发展的过程中的价值观，加强了自己的责任感和使命感，提高了自己的工作动力以及学习和生活的动力。

通过这一系列的学习，我提高了自己的政治思想水平，更加坚定了对____的信念，并且懂得了理论上的成熟是政治上成熟的基础，政治上的清醒来源于稳固的理论基石。

我明白，要想成为一名合格的____，不仅是组织上入党，更重要的是思想上入党。

二、学习上我明白自己现在仍是一名大学生，最重要的事情便是学习，所以，我从未在学习上放松自己。

所以我更加努力地去学习，课堂上我认真听讲，课下按时独立完成作业，遇到不懂的地方就向老师同学请教，临近考试，我每天上自习都上到很晚。

三、工作生活中我保持着积极向上的生活态度，用微笑来面对和打动身边的每个人，并且争取做好每一件事，努力做到乐于助人。

周围同学如果有什么困难，只要是我力所能及，我就会挺身而出，热心帮助他人，努力做好一名党员的模范带头作用。

另外，我时刻提醒自己，“不以善小而不为，不以恶小而为之”。

注意身边一点一滴的小事，努力培养自己良好的生活习惯和道德修养。

总之，在这段时间里，我在党组织及老师同学的帮助下，我在很多方面有了明显的提高，但我深知自己还存在一些缺点和不足。

(江苏专用)高考数学总复习 (基础达标演练+综合创新备选)第四篇三角函数、解三角形《第20讲函数

2023高考总复习江苏专用（理科）：第四篇三角函数、解三角形《第20讲函数y ＝Asin(ωx ＋φ)的图象与性质》（根底达标演练+综合创新备选，含解析）A 级根底达标演练(时间：45分钟总分值：80分)一、填空题(每题5分，共35分)1．(2023·苏州调研)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，φ∈[0,2π))的图象如下图，那么φ＝________.解析 T ＝2×(7－3)＝8，所以2πω＝8，ω＝π4，f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x ＋φ.又由sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4＋φ＝0，φ∈[0,2π)，得φ＝π4.答案π42．(2023·盐城调研)函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －3π4－22·sin 2x 的最小正周期为________．解析 y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －3π4－2(1－cos 2x )＝cos 2x cos 3π4＋sin 2x sin 3π4＋2cos 2x－2＝22 sin 2x ＋22cos 2x －2＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4－2，所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π. 答案 π3．(2023·苏北四市调研)函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的最大值为________．解析法一由题意可知y ＝sin 2x cos π6＋cos 2x sin π6＋cos 2x cos π3＋sin 2x sin π3＝3sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，所以最大值为2.法二 y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－π2＝ 2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，所以最大值为2.答案 24．(2023·泰州学情调查)要使sin α－3cos α＝4m －64－m 有意义，那么应有________．解析4m －64－m ＝sin α－3cos α＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π3∈[－2,2]，所以－2≤4m －64－m ≤2，解得－1≤m ≤73.答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，73 5．(2023·镇江调研)函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＋2sin x cos x 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2上的最大值是________．解析 f (x )＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x cos π4＋cos x sin π4＋2sin x cos x ＝sin x ＋cos x ＋2sin x cos x .设t ＝sin x ＋cos x ，那么t 2＝1＋2sin x cos x ，∴2sin x cos x ＝t 2－1，且由π4≤x ≤π2，得t ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4∈[1，2]，所以y ＝t ＋t 2－1＝t 2＋t －1，当t ＝2时，y max ＝2＋1.答案2＋16．(2023·江苏)设定义在区间⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上的函数y ＝6cos x 的图象与y ＝5tan x 的图象交于点P ，过点P 作x 轴的垂线，垂足为P 1，直线PP 1与函数y ＝sin x 的图象交于点P 2，那么线段P 1P 2的长为________．解析由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝6cos x ，y ＝5tan x 消去y 得6cos x ＝5tan x .整理得6cos 2x ＝5sin x,6sin 2x ＋5sin x －6＝0，(3sin x －2)·(2sin x ＋3)＝0，所以sin x ＝23或sin x ＝－32(舍去)．所以P 1P 2＝sin x ＝23.答案 237．给出以下命题：①函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫23x ＋π2是奇函数；②存在实数α，使得sin α＋cos α＝32；③假设α，β是第一象限角且α＜β，那么tan α＜tan β； ④x ＝π8是函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋5π4的一条对称轴； ⑤函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，0成中心对称图形．其中正确命题的序号为________．(填所有正确命题的序号) 解析 ①y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x 3＋π2⇒y ＝－sin 23x 是奇函数； ②由sin α＋cos α＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4的最大值为2，2＜32，所以不存在实数α，使得sin α＋cos α＝32.③α＝60°，β＝390°，显然有α＜β，且α，β都是第一象限角，但tan α＝3，tanβ＝tan 390°＝33，tan α＞tan β，所以③不成立． ④∵2×π8＋54π＝π4＋54π＝32π，而sin 32π＝－1，∴④成立．⑤∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π12＋π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋π3＝1≠0，∴⑤不成立．答案 ①④二、解答题(每题15分，共45分) 8．已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＞0，|φ|＜π2，ω＞0的图象的一局部如下图． (1)求f (x )的表达式； (2)试写出f (x )的对称轴方程．解 (1)观察图象可知：A ＝2且点(0,1)在图象上，所以1＝2sin(ω·0＋φ)，即sin φ＝12，因为|φ|＜π2，所以φ＝π6.又因为1112π是函数的一个零点，且是图象上升穿过x 轴形成的零点，所以11π12ω＋π6＝2π，所以ω＝2.故f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.(2)设2x ＋π6＝B ，那么函数y ＝2sin B 的对称轴方程为B ＝π2＋k π，k ∈Z ，即2x ＋π6＝π2＋k π(k ∈Z )，解上式得x ＝k π2＋π6(k ∈Z )，所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的对称轴方程为x ＝k π2＋π6(k ∈Z )．9．(2023·华东师大附中模拟)已知函数f (x )＝A sin ωx ＋B cos ωx (A 、B 、ω是常数，ω＞0)的最小正周期为2，并且当x ＝13时，f (x )max ＝2.(1)求f (x )的解析式；(2)在闭区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤214，234上是否存在f (x )的对称轴？如果存在，求出其对称轴方程；如果不存在，请说明理由．解 (1)因为f (x )＝A 2＋B 2sin(ωx ＋φ)，由它的最小正周期为2，知2πω＝2，ω＝π，又因为当x ＝13时，f (x )max ＝2，知13π＋φ＝2k π＋π2(k ∈Z )，φ＝2k π＋π6(k ∈Z )，所以f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx ＋2k π＋π6＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx ＋π6(k ∈Z )．故f (x )的解析式为f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫πx ＋π6.(2)当垂直于x 轴的直线过正弦曲线的最高点或最低点时，该直线就是正弦曲线的对称轴，令πx ＋π6＝k π＋π2(k ∈Z )，解得x ＝k ＋13(k ∈Z )，由214≤k ＋13≤234，解得5912≤k ≤6512，又k ∈Z ，知k ＝5，由此可知在闭区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤214，234上存在f (x )的对称轴，其方程为x ＝163.10．(★)(2023·深圳一调)已知函数f (x )＝23·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π4－sin(x ＋π)．(1)求f (x )的最小正周期；(2)假设将f (x )的图象向右平移π6个单位，得到函数g (x )的图象，求函数g (x )在区间[0，π]上的最大值和最小值．解 (1)因为f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＋sin x ＝3cos x ＋sin x ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos x ＋12sin x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3，所以f (x )的最小正周期为2π. (2)∵将f (x )的图象向右平移π6个单位，得到函数g (x )的图象，∴g (x )＝f ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＋π3＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6.∵x ∈[0，π]，∴x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π6， ∴当x ＋π6＝π2，即x ＝π3时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝1，g (x )取得最大值2.当x ＋π6＝7π6，即x ＝π时，sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝－12，g (x )取得最小值－1. 【点评】解决三角函数的单调性及最值值域问题主要步骤有：,第一步：三角函数式的化简，一般化成y ＝A sin ωx ＋φ＋h 或y ＝A cos ωx ＋φ＋h 的形式.,第二步：根据sin x 、cos x 的单调性解决问题，将“ωx ＋φ”看作一个整体，转化为不等式问题.,第三步：根据已知x 的范围，确定“ωx ＋φ”的范围.,第四步：确定最大值或最小值.,第五步：明确标准表述结论B 级综合创新备选(时间：30分钟总分值：60分)一、填空题(每题5分，共30分)1．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A 、ω、φ为常数，A ＞0，ω＞0)在闭区间[－π，0]上的图象如下图，那么ω＝________.解析由函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象可知．T 2＝⎝⎛⎭⎪⎫－π3－⎝ ⎛⎭⎪⎫－23π＝π3，所以T ＝23π.因为T ＝2πω＝23π，所以ω＝3.答案 32．(2023·连云港模拟)设函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象关于点P (x 0,0)成中心对称，假设x 0∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0，那么x 0＝________.解析因为函数图象的对称中心是其与x 轴的交点，所以y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x 0＋π3＝0，x 0∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0，解得x 0＝－π6. 答案－π63．(2023·四川改编)将函数y ＝sin x 的图象上所有的点向右平行移动π10个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象的函数解析式是________．解析将函数y ＝sin x 的图象上所有点向右平移π10个单位得y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π10，再把所得各点横坐标伸长到原来的2倍得y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π10.答案 y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π10 4．(2023·福建)已知函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx －π6(ω>0)和g (x )＝2cos(2x ＋φ)＋1的图象的对称轴完全相同．假设x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，那么f (x )的取值范围是________．解析由f (x )与g (x )的图象对称轴完全相同知两函数的周期相同，∴ω＝2. 所以f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，56π，f (x )的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3.答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3 5．(2023·南通调研)函数f (x )＝sin ωx ＋3cos ωx (x ∈R )，又f (α)＝－2，f (β)＝0，且|α－β|的最小值等于π2，那么正数ω的值为________．解析 f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3，由题意得f (x )的最小正周期T ＝4×π2＝2π，所以2πω＝2π，即ω＝1. 答案 16．(2023·菏泽模拟)函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3的图象为C ，以下结论：①图象C 关于直线x ＝π6对称；②图象C 关于点⎝⎛⎭⎪⎫－π6，0对称；③f (x )在区间⎝⎛⎭⎪⎫－π12，5π12上是增函数；④函数g (x )＝3sin 2x 的图象向右平移π3个单位长度可以得到f (x )的图象，其中正确的命题序号是________．解析 ①当x ＝π6时，2x －π3＝2×π6－π3＝0，所以C 关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0对称，所以①不正确．②当x ＝－π6时，3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2π3≠0，所以②不正确．③当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12，5π12时，2x －π3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，y ＝f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2上单调增，所以③正确．④g ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3＝3sin2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －2π3≠f (x )，所以④不正确，故正确的题号是③.答案 ③二、解答题(每题15分，共30分)7．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2)的一段图象如下图．(1)求函数y ＝f (x )的解析式；(2)将函数y ＝f (x )的图象向右平移π4个单位，得到y ＝g (x )的图象，求直线y ＝6与函数y＝f (x )＋g (x )的图象在(0，π)内所有交点的坐标．解 (1)由题图知A ＝2，T ＝π，于是ω＝2πT＝2，将y ＝2sin 2x 的图象向左平移π12个单位长度，得y ＝2sin(2x ＋φ)的图象．于是φ＝2×π12＝π6，所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6. (2)依题意得g (x )＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x －π4＋π6＝－2cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.故y ＝f (x )＋g (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π12.由22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π12＝6，得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π12＝32.因为0＜x ＜π，所以－π12＜2x －π12＜2π－π12.所以2x －π12＝π3或2x －π12＝2π3，所以x ＝524π或x ＝38π，故所求交点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫5π24，6或⎝ ⎛⎭⎪⎫3π8，6.8．(2023·南通调研)已知函数f (x )＝2cos x 2⎝⎛⎭⎪⎫3cos x 2－sin x 2.(1)设θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2，且f (θ)＝3＋1，求θ的值；(2)在△ABC 中，AB ＝1，f (C )＝3＋1，且△ABC 的面积为32，求sin A ＋sin B 的值．解 (1)f (x )＝23cos 2 x 2－2sin x 2cos x 2＝3(1＋cos x )－sin x ＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋ 3.由2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6＋3＝3＋1，得cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝12.于是θ＋π6＝2kπ±π3(k ∈Z )．因为θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2，所以θ＝－π2或π6.(2)因为C ∈(0，π)，由(1)知C ＝π6.因为△ABC 的面积为32，所以32＝12ab sin π6.于是ab ＝2 3.① 在△ABC 中，设内角A ，B 的对边分别是a ，b . 由余弦定理，得1＝a 2＋b 2－2ab cos π6＝a 2＋b 2－6.所以a 2＋b 2＝7.② 由①②，可得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝3，或⎩⎨⎧a ＝3，b ＝2.于是a ＋b ＝2＋ 3.由正弦定理，得sin A a ＝sin B b ＝sin C 1＝12.所以sin A ＋sin B ＝12(a ＋b )＝1＋32.。

2018届江苏高考数学一轮复习课件函数的图象

易错警示：注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响．
[ 变式训练 1] 分别画出下列函数的图象： (1)y＝|lg x|；(2)y＝sin|x|. lg x，x≥1， [ 解] (1)∵y＝|lg x|＝－lg x，0＜x＜1.
∴函数 y＝|lg x|的图象，如图①. (2)当 x≥0 时，y＝sin|x|与 y＝sin x 的图象完全相同，又 y＝ sin|x|为偶函数，图象关于 y 轴对称，其图象如图②.
1 ＝2x 的图象中
x＞0 部分关于 y 轴的对称部分，即得
1 y＝2|x|的图象，如图①实
线部分．
①
②
(2)将函数 y＝log2x 的图象向左平移一个单位，再将 x 轴下方的部分沿 x 轴翻折上去，即可得到函数 y＝|log2(x＋1)|的图象，如图②.
1 1 (3)∵y＝2＋，故函数图象可由 y＝x图象向右平移 1 个单位，再向上平 x－1 移 2 个单位得到，如图③.
e
－x－1
[依题意，与曲线 y＝ex 关于 y 轴对称的曲线是 y＝e x，于是 f(x)相当
－
于 y＝e－x 向左平移 1 个单位的结果，∴f(x)＝e－(x＋1)＝e－x－1.]
4．(2016· 浙江高考改编)函数 y＝sin x2 的图象是________．(填序号)
图 102
④ [∵y＝sin(－x)2＝sin x2，
第二章函数概念与基本初等函数(Ⅰ)
第 10 课函数的图象
1．利用描点法作函数的图象方法步骤：(1)确定函数的定义域； (2)化简函数的解析式； (3)讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、最值等)； (4)描点连线．
2．利用图象变换法作函数的图象 (1)平移变换

(江苏专用)2018高考数学一轮复习第四章导数及其应用第20课函数建模问题(一)——函数、导数、不等式

9 [因为 y′＝－x2＋81，所以当 x>9 时，y′<0；当 x∈(0,9)时，y′>0.所以函数 y＝－13x3＋81x－234 在(9，＋∞)上单调递减，在(0,9)上单调递增．所以 x ＝9 是函数的极大值点．又因为函数在(0，＋∞)上只有一个极大值点，所以函数在 x＝9 处取得最大值．]
获得最大利润 90 000×6112＝457 500(元)．
因此甲厂应以 6 千克/时的速度生产，可获得最大利润 457 500 元．
利用导数解决生活中的优化问题
(2015·江苏高考)某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连结两条公路和山区边界的直线型公路，记两条相互垂直的公路为 l1，l2，山区边界曲线为 C，计划修建的公路为 l.如图 20-2 所示，M，N 为 C 的两个端点，测得点 M 到 l1，l2 的距离分别为 5 千米和 40 千米，点 N 到 l1，l2 的距离分别为 20 千米和 2.5 千米．以 l2，l1 所在的直线分别为 x，y 轴，建立平面直角坐标系 xOy，假设曲线 C 符合函数 y＝x2＋a b(其中 a，b 为常数)模型．
则 y＝14(18－x)＋2 x，0≤x≤18. 令 x＝t，t∈[0,3 2]，则 y＝14(－t2＋8t＋18)＝－14(t－4)2＋127. 所以当 t＝4 时，ymax＝127＝8.5，此时 x＝16,18－x＝2. 所以当 A，B 两种产品分别投入 2 万元、16 万元时，可使该企业获得最大利润，约为 8.5 万元．
①y＝2x；②y＝log2x；③y＝12(x2－1)；④y＝2.61cos x. ② [由表格知当 x＝3 时，y＝1.59，而①中 y＝23＝8，不合要求，②中 y＝ log23∈(1,2)，③中 y＝12(32－1)＝4，不合要求，④中 y＝2.61cos 3＜0，不合要求．]

(江苏版)2018年高考数学一轮复习(讲、练、测)：_专题4.5_函数y=Asin(ωx+φ)的图象及其应用(练)(有解析)

专题4.5 函数y ＝Asin （ωx ＋φ）的图象及其应用【基础巩固】一、填空题1．(2016·全国Ⅱ卷改编)若将函数y ＝2sin 2x 的图象向左平移π12个单位长度，则平移后图象的对称轴为________．【答案】x ＝k π2＋π6(k ∈Z )2．(2017·衡水中学金卷)若函数y ＝sin(ωx －φ)(ω>0，|φ|<π2)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π上的图象如图所示，则ω，φ的值分别是________．【答案】2，π3【解析】由题图可知，T ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝π，所以ω＝2πT ＝2，又sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π6－φ＝0，所以π3－φ＝k π(k∈Z )，即φ＝π3－k π(k ∈Z )，而|φ|<π2，所以φ＝π3.3．(2017·苏北四市调研)如图，已知A ，B 分别是函数f (x )＝3sin ωx (ω>0)在y 轴右侧图象上的第一个最高点和第一个最低点，且∠AOB ＝π2，则该函数的周期是________．【答案】4【解析】设函数的周期为T ，由图象可得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫T 4，3，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3T 4，－3，则OA →·OB →＝3T 216－3＝0，解得T ＝4.4．(2017·南京师大附中、淮阴中学、海门中学、天一中学四校联考)将函数y ＝sin(2x ＋φ)(0<φ<π)的图象沿x 轴向左平移π8个单位后，得到函数y ＝f (x )的图象，若函数f (x )的图象过原点，则φ＝________.【答案】3π4【解析】将函数y ＝sin(2x ＋φ)(0<φ<π)的图象沿x 轴向左平移π8个单位后，得到函数f (x )＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π8＋φ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋φ的图象，若函数f (x )的图象过原点，则f (0)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋φ＝0，π4＋φ＝k π，k ∈Z ，φ＝k π－π4，k ∈Z ，又0<φ<π，则φ＝3π4.5．(2017·南京调研)如图，它是函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，φ∈[0,2π))图象的一部分，则f (0)的值为________．【答案】3226．(2017·龙岩模拟)某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用函数y ＝a ＋A cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6x －(x ＝1,2,3，…，12)来表示，已知6月份的月平均气温最高为28 ℃，12月份的月平均气温最低为18 ℃，则10月份的平均气温为________℃. 【答案】20.5【解析】因为当x ＝6时，y ＝a ＋A ＝28；当x ＝12时，y ＝a －A ＝18，所以a ＝23，A ＝5，所以y ＝f (x )＝23＋5cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6x －，所以当x ＝10时，f (10)＝23＋5cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6×4 ＝23－5×12＝20.5.7．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω＞0，－π2≤φ≤π2的图象上的两个相邻的最高点和最低点的距离为22，且过点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－12，则函数f (x )的解析式为________．【答案】f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫πx 2＋π68．函数f (x )＝3sin π2x －log 12x 的零点的个数是________．【答案】5【解析】函数y ＝3sin π2x 的周期T ＝2ππ2＝4，由log 12x ＝3，可得x ＝18.由log 12x ＝－3，可得x ＝8.在同一平面直角坐标系中，作出函数y ＝3sin π2x 和y ＝log 12x 的图象(如图所示)，易知有5个交点，故函数f (x )有5个零点．二、解答题9．已知函数f (x )＝sin ωx ＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6，其中x ∈R ，ω＞0.(1)当ω＝1时，求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3的值；(2)当f (x )的最小正周期为π时，求f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上取得最大值时x 的值．10．(2017·苏、锡、常、镇四市调研)已知函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω＞0，－π2≤φ＜π2的图象关于直线x ＝π3对称，且图象上相邻最高点的距离为π.(1)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4的值； (2)将函数y ＝f (x )的图象向右平移π12个单位后，得到y ＝g (x )的图象，求g (x )的单调递减区间．解 (1)因为f (x )的图象上相邻最高点的距离为π，所以f (x )的最小正周期T ＝π，从而ω＝2πT＝2.又f (x )的图象关于直线x ＝π3对称，所以2×π3＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )，因为－π2≤φ＜π2，所以k ＝0，所以φ＝π2－2π3＝－π6，所以f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π4－π6＝3sin π3＝32.(2)将f (x )的图象向右平移π12个单位后，得到f ⎝⎛⎭⎪⎫x －π12的图象，所以g (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12＝3sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12－π6＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3. 当2k π＋π2≤2x －π3≤2k π＋3π2(k ∈Z )，即k π＋5π12≤x ≤k π＋11π12(k ∈Z )时，g (x )单调递减．因此g (x )的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋5π12，k π＋11π12(k ∈Z )．【能力提升】11．(2017·南京模拟)设函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，给出下列结论：①f (x )的图象关于直线x ＝π3对称；②f (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎪⎫π6，0对称；③f (x )的最小正周期为π，且在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π12上为增函数；④把f (x )的图象向右平移π12个单位，得到一个偶函数的图象．其中正确的是________(填序号)．【答案】③12．(2017·泰州一模)已知函数f (x )＝2sin ωx 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4上的最小值为－2，则ω的取值范围是________．【答案】(－∞，－2]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞ 【解析】当ω>0时，－π3ω≤ωx ≤π4ω，由题意知－π3ω≤－π2，即ω≥32；当ω<0时，π4ω≤ωx ≤－π3ω，由题意知π4ω≤－π2，∴ω≤－2.综上可知，ω的取值范围是(－∞，－2]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞.13．(2015·湖南卷)已知ω>0，在函数y ＝2sin ωx 与y ＝2cos ωx 的图象的交点中，距离最短的两个交点的距离为23，则ω＝________. 【答案】π214．(2017·扬州中学质检)如图，函数y ＝2cos(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，0≤φ≤π2的部分图象与y 轴交于点(0，3)，最小正周期是π.(1)求ω，φ的值；(2)已知点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0，点P 是该函数图象上一点，点Q (x 0，y 0)是PA 的中点，当y 0＝32，x 0∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π时，求x 0的值．解 (1)将点(0，3)代入y ＝2cos(ωx ＋φ)，得cos φ＝32， ∵0≤φ≤π2，∴φ＝π6.∵最小正周期T ＝π，且ω>0，∴ω＝2πT＝2.(2)由(1)知y ＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.∵A ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0，Q (x 0，y 0)是PA 中点，y 0＝32， ∴P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 0－π2，3.。

2018版高考数学文江苏专用大一轮复习讲义课件第二章函数概念与基本初等函数I 2.9 精品

§2.9 函数模型及其应用
内容索引
基础知识
自主学习
题型分类
课时作业
深度剖析
基础知识
自主学习
知识梳理
1.几类函数模型函数模型一次函数模型反比例函数模型二次函数模型函数解析式 f(x)＝ax＋b(a，b为常数且a≠0) f(x)＝ k ＋b(k，b为常数且k≠0) x f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)
指数函数模型
f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1)
对数函数模型
f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1)
幂函数模型
f(x)＝axn＋b(a，b为常数，a≠0)
2.三种函数模型的性质函数 y＝ax(a>1) y＝logax(a>1) y＝xn(n>0) 单调递增相对平稳
解答
题型二已知函数模型的实际问题例2 我们知道：人们对声音有不同的感觉，这与它的强度有关系.声音的
强度用瓦 / 米 2(W/m2) 表示，但在实际测量时，声音的强度水平常用 L1 表 I 示，它们满足以下公式： L1 ＝ 10 lg ( 单位为分贝， L1≥0 ，其中 I0 ＝ I0 1×10－12，是人们平均能听到的最小强度，是听觉的开端).回答下列问题：
∴当x＝3时，y最大.
5.(教材改编)有两个相同的桶，由甲桶向乙桶输水，开始时，甲桶有a L水，
t min后，剩余水y L满足函数关系y＝ae－nt，那么乙桶的水就是y＝a－ae－nt，
10 假设经过5 min，甲桶和乙桶的水相等，则再过________ min，甲桶中的水 a 只有 L. 8
答案解析
a 形如 f(x)＝x＋x (a>0)的函数模型称为“对勾”函数模型： (1)该函数在(－∞，－ a]和[ a，＋∞)上单调递增，在[－ a，0)和(0， a]上单调递减. (2)当 x>0 时，x＝ a时取最小值 2 a，当 x<0 时，x＝－ a时取最大值－2 a.

2018江苏高考数学总复习要点——知识篇(全套)

2
2
x2 y 2
2
2
⑸ 数量积的运算律
①交换律：
a b b a
②对数乘的结合律： ( a) b (a b) a (b)
③分配律： (a b) c a c b c
注意：数量积不满足结合律，即：
coS(-α)=cos α ，偶
tan(-α)=—tan α ，奇
Sin(2π-α)=—sin α ，奇，周期函数
coS(2π-α)=cos α ，偶，周期函数
tan(2π-α)=—tan α ，奇，周期函数
三、基本初等函数（2）三角恒等变
换
•
•
•
•
•
3正余弦正切的诱导公式
公式三（仅正弦不变号）
1)概念
一般地，我们规定实数λ与向量的积是一个向量，
这种运算叫做向量的数乘，记作，它的长度和方向
规定如下：
• ① ՜ = ՜

• ②当>0时， ՜的方向与 ՜的方向相同；

• 当 <0时， ՜的方向与 ՜的方向相反；

• 特别地，当 =0时， ՜=՜

0
五、平面向量
• b=2RsinB
• c=2RsinC
• 注：∆ =
1
absinC
2
= 2 外接圆半径
四、解三角形
•
•
•
•
2余弦定理及其应用
2 = 2 + 2 − 2
2 = 2 + 2 − 2
2 = 2 + 2 − 2
• =
2 + 2 −2
（1）概念

2018届江苏高考数学一轮复习课件函数的图象与性质

利用函数图象研究方程的解、不等式的解集等是高考的热点，多以填空题的形式出现，属中档题目，主要考查学生的数形结合意识以及用图象解答问题的能力．
1 0，2， cos πx，x∈ 已知 f(x)为偶函数，当 x≥0 时，f(x)＝则 1 2x－1，x∈ ，＋∞， 2
象恰有两个交点，借助函数图象(图略)可知 k≥2 或 k＝0，即实数 k 的取值范围为 k＝0 或 k≥2.
[ 规律方法] 1.利用函数的图象研究函数的性质，一定要注意其对应关系，如：图象的左右范围对应定义域，上下范围对应值域，上升、下降趋势对应单调性，对称性对应奇偶性． 2．有关方程解的个数问题常常转化为两个熟悉的函数图象的交点个数；利用此法也可由解的个数求参数值或范围． 3．有关不等式的问题常常转化为两个函数图象的上、下关系来解．
|a－1|
1 1 3 ＜ 2，即|a－1|＜2，所以2＜a＜2.]
☞角度 2
奇偶性与周期性结合
(2017· 南通二模)已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数，且对于任意的 x ∈[0，＋∞)，满足 f(x＋2)＝f(x)，若当 x∈[0,2)时，f(x)＝|x2－x－1|，则函数 y ＝f(x)－1 在区间[ －2,4] 上的零点个数为________．
7 [由 f(x＋2)＝f(x)可知，f(x)在[0，＋∞)上是周期为 2 的函数，又 x∈[0,2)时，f(x)＝|x2－x－1|，且 f(x)为偶函数，故 f(x)在[ －2,4] 上的图象如图所示．由图可知 y＝f(x)与 y＝1 有 7 个交点，故函数 y＝f(x)－1 在区间[ －2,4] 上有 7 个零点． ]
－ ∞，0)上单调递增．若实数 a 满足 f(2|a 1|)>f(－ 2)，则 a 的取值范围是________．

2018版高考数学文江苏专用大一轮复习讲义文档第四章

1.y ＝A sin(ωx ＋φ)的有关概念2.用五点法画y ＝A sin(ωx ＋φ)一个周期内的简图时，要找五个特征点如下表所示：3.函数y ＝sin x 的图象经变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ) (A >0，ω>0)的图象的步骤如下【知识拓展】1.由y ＝sin ωx 到y ＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，φ>0)的变换：向左平移φω个单位长度而非φ个单位长度.2.函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的对称轴由ωx ＋φ＝k π＋π2，k ∈Z 确定；对称中心由ωx ＋φ＝k π，k ∈Z确定其横坐标. 【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4的图象是由y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4的图象向右平移π2个单位得到的.( √ ) (2)将函数y ＝sin ωx 的图象向右平移φ(φ>0)个单位长度，得到函数y ＝sin(ωx －φ)的图象.( × )(3)利用图象变换作图时“先平移，后伸缩”与“先伸缩，后平移”中平移的长度一致.( × ) (4)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的最小正周期为T ＝2πω.( × )(5)把y ＝sin x 的图象上各点纵坐标不变，横坐标缩短为原来的12，所得图象对应的函数解析式为y ＝sin 12x .( × )(6)若函数y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期为T ，则函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为T2.( √ )1.(教材改编)y ＝2sin(12x －π3)的振幅，频率和初相分别为______________.答案 2，14π，－π3解析由题意知A ＝2，f ＝1T ＝ω2π＝14π，初相为－π3.2.(教材改编)将y ＝12sin x 的图象上所有点的纵坐标伸长为原来的2倍，横坐标不变，便得到函数f (x )的图象，则f (x )＝________. 答案 sin x解析将函数y ＝12sin x 的图象上所有点的纵坐标伸长为原来的2倍，横坐标不变，便得到函数f (x )＝2×12sin x ＝sin x 的图象.3.(2016·全国甲卷改编)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的部分图象如图所示，则函数的表达式为______________.答案 y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6 解析由图可知，T ＝2⎣⎡⎦⎤π3－⎝⎛⎭⎫－π6＝π，所以ω＝2，由五点作图法可知2×π3＋φ＝π2，所以φ＝－π6，所以函数的解析式为y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6. 4.若函数y ＝sin(ωx ＋φ) (ω>0)的部分图象如图所示，则ω＝________.答案 4解析由函数图象知T ＝π4×2＝π2，ω＝2πT ＝2ππ2＝4.5.(教材改编) 在同一平面直角坐标系中，画出三个函数f (x )＝2sin(2x ＋π4)，g (x )＝sin(2x ＋π3)，h (x )＝cos(x －π6)的部分图象(如图)，则a ，b ，c 对应的函数依次是______________.答案 h (x )，f (x )，g (x )解析由于函数f (x )，g (x )，h (x )的最大值分别是2，1,1，因此结合图形可知，曲线b 为f (x )的图象；又g (x )，h (x )的最小正周期分别是π、2π，因此结合图形可知，曲线a ，c 分别是h (x )，g (x )的图象.题型一函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象及变换例1 (2015·湖北)某同学用“五点法”画函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，|φ|<π2在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：(1)请将上表数据补充完整，并直接写出函数f (x )的解析式；(2)将y ＝f (x )图象上所有点向左平行移动θ(θ>0)个单位长度，得到y ＝g (x )的图象.若y ＝g (x )图象的一个对称中心为⎝⎛⎭⎫5π12，0，求θ的最小值.解 (1)根据表中已知数据，解得A ＝5，ω＝2，φ＝－π6.数据补全如下表：且函数解析式为f (x )＝5sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6. (2)由(1)知f (x )＝5sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6，得g (x )＝5sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2θ－π6. 因为函数y ＝sin x 图象的对称中心为(k π，0)，k ∈Z . 令2x ＋2θ－π6＝k π，解得x ＝k π2＋π12－θ，k ∈Z .由于函数y ＝g (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎫5π12，0成中心对称，所以令k π2＋π12－θ＝5π12，解得θ＝k π2－π3，k ∈Z .由θ>0可知，当k ＝1时，θ取得最小值π6.引申探究在本例(2)中，将f (x )图象上所有点向左平移π6个单位长度，得到g (x )的图象，求g (x )的解析式，并写出g (x )图象的对称中心.解由(1)知f (x )＝5sin(2x －π6)，因此g (x )＝5sin[2(x ＋π6)－π6]＝5sin(2x ＋π6).因为y ＝sin x 的对称中心为(k π，0)，k ∈Z . 令2x ＋π6＝k π，k ∈Z ，解得x ＝k π2－π12，k ∈Z .即y ＝g (x )图象的对称中心为(k π2－π12，0)，k ∈Z .思维升华 (1)五点法作简图：用“五点法”作y ＝A sin(ωx ＋φ)的简图，主要是通过变量代换，设z ＝ωx ＋φ，由z 取0，π2，π，32π，2π来求出相应的x ，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象.(2)图象变换：由函数y ＝sin x 的图象通过变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象，有两种主要途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”.把函数y ＝sin x 的图象上所有点的横坐标缩小到原来的一半，纵坐标保持不变，再把所得函数图象向左平移π4个单位，得到的函数图象的解析式是________________.答案 y ＝cos 2x解析由y ＝sin x 图象上所有点的横坐标缩小到原来的一半，纵坐标保持不变，所得图象的解析式为y ＝sin 2x ，再向左平移π4个单位得y ＝sin 2(x ＋π4)，即y ＝cos 2x .题型二由图象确定y ＝A sin(ωx ＋φ)的解析式例2 如图是函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π2)的图象，求A 、ω、φ的值，并确定其函数解析式.解方法一 (逐一定参法) 由图象知振幅A ＝3，又T ＝5π6－(－π6)＝π，∴ω＝2πT＝2.由点(－π6，0)在图象上，令－π6×2＋φ＝0，得φ＝π3，∴y ＝3sin(2x ＋π3).方法二 (待定系数法)由图象知A ＝3，又图象过点(π3，0)和(5π6，0)，根据五点作图法原理(以上两点可判为“五点法”中的第三点和第五点)，有⎩⎨⎧π3ω＋φ＝π，5π6ω＋φ＝2π，解得⎩⎪⎨⎪⎧ω＝2，φ＝π3. ∴y ＝3sin(2x ＋π3).方法三 (图象变换法)由T ＝π，点(－π6，0)，A ＝3可知图象由y ＝3sin 2x 向左平移π6个单位长度而得，∴y ＝3sin 2(x ＋π6)，即y ＝3sin(2x ＋π3)，且ω＝2，φ＝π3.思维升华求y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B (A >0，ω>0)解析式的步骤 (1)求A ，B ，确定函数的最大值M 和最小值m ，则A ＝M －m 2，B ＝M ＋m2. (2)求ω，确定函数的周期T ，则ω＝2πT .(3)求φ，常用方法如下：①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图象的最高点或最低点代入.②五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口.具体如下：“第一点”(即图象上升时与x 轴的交点)为ωx ＋φ＝0；“第二点”(即图象的“峰点”)为ωx ＋φ＝π2；“第三点”(即图象下降时与x 轴的交点)为ωx ＋φ＝π；“第四点”(即图象的“谷点”)为ωx ＋φ＝3π2；“第五点”为ωx ＋φ＝2π.(2016·徐州模拟)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ) (ω>0，|φ|<π2)的部分图象如图所示，则y ＝f (x ＋π6)取得最小值时x 的集合为__________________.答案 {x |x ＝k π－π3，k ∈Z }解析根据所给图象，周期T ＝4×(7π12－π3)＝π，故π＝2πω，∴ω＝2，因此f (x )＝sin(2x ＋φ)，另外图象经过点(7π12，0)，代入有2×7π12＋φ＝k π(k ∈Z )，再由|φ|<π2，得φ＝－π6，∴f (x ＋π6)＝sin(2x＋π6)，当2x ＋π6＝－π2＋2k π (k ∈Z )，即x ＝－π3＋k π(k ∈Z )时，y ＝f (x ＋π6)取得最小值. 题型三三角函数图象性质的应用命题点1 三角函数模型的应用例3 (2015·陕西改编)如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫π6x ＋φ＋k ，据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为________.答案 8解析由题干图易得y min ＝k －3＝2，则k ＝5. ∴y max ＝k ＋3＝8.命题点2 函数零点(方程根)问题例4 已知关于x 的方程2sin 2x －3sin 2x ＋m －1＝0在⎝⎛⎭⎫π2，π上有两个不同的实数根，则m 的取值范围是________. 答案 (－2，－1)解析方程2sin 2x －3sin 2x ＋m －1＝0可转化为 m ＝1－2sin 2x ＋3sin 2x ＝cos 2x ＋3sin 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，x ∈⎝⎛⎭⎫π2，π. 设2x ＋π6＝t ，则t ∈⎝⎛⎭⎫76π，136π， ∴题目条件可转化为m2＝sin t ，t ∈⎝⎛⎭⎫76π，136π有两个不同的实数根. ∴y ＝m2和y ＝sin t ，t ∈⎝⎛⎭⎫76π，136π的图象有两个不同交点，如图：由图象观察知，m 2的范围为(－1，－12)，故m 的取值范围是(－2，－1). 引申探究例4中，若将“有两个不同的实数根”改成“有实根”，则m 的取值范围是__________. 答案 [－2,1)解析由例4知，m2的范围是⎣⎡⎭⎫－1，12， ∴－2≤m <1，∴m 的取值范围是[－2,1). 命题点3 图象与性质的综合应用例5 已知函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)(ω>0，－π2≤φ<π2)的图象关于直线x ＝π3对称，且图象上相邻两个最高点的距离为π. (1)求ω和φ的值；(2)当x ∈[0，π2]时，求函数y ＝f (x )的最大值和最小值.解 (1)因为f (x )的图象上相邻两个最高点的距离为π，所以f (x )的最小正周期T ＝π，从而ω＝2πT ＝2.又因为f (x )的图象关于直线x ＝π3对称，所以2·π3＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，由－π2≤φ<π2，得k ＝0，所以φ＝π2－2π3＝－π6.综上，ω＝2，φ＝－π6.(2)由(1)知f (x )＝3sin(2x －π6)，当x ∈[0，π2]时，－π6≤2x －π6≤5π6，∴当2x －π6＝π2，即x ＝π3时，f (x )最大值＝3；当2x －π6＝－π6，即x ＝0时，f (x )最小值＝－32.思维升华 (1)三角函数模型的应用体现在两方面：一是已知函数模型求解数学问题；二是把实际问题抽象转化成数学问题，建立数学模型，再利用三角函数的有关知识解决问题. (2)方程根的个数可转化为两个函数图象的交点个数.(3)研究y ＝A sin(ωx ＋φ)的性质时可将ωx ＋φ视为一个整体，利用换元法和数形结合思想进行解题.已知函数f (x )＝cos(3x ＋π3)，其中x ∈[π6，m ]，若f (x )的值域是[－1，－32]，则m的取值范围是__________. 答案 [2π9，5π18]解析画出函数的图象.由x ∈[π6，m ]，可知5π6≤3x ＋π3≤3m ＋π3，因为f (π6)＝cos 5π6＝－32且f (2π9)＝cos π＝－1，要使f (x )的值域是[－1，－32]，只要2π9≤m ≤5π18，即m ∈[2π9，5π18].4.三角函数图象与性质的综合问题典例 (14分)已知函数f (x )＝23sin(x 2＋π4)·cos(x 2＋π4)－sin(x ＋π).(1)求f (x )的最小正周期；(2)若将f (x )的图象向右平移π6个单位长度，得到函数g (x )的图象，求函数g (x )在区间[0，π]上的最大值和最小值.思维点拨 (1)先将f (x )化成y ＝A sin(ωx ＋φ)的形式再求周期； (2)将f (x )解析式中的x 换成x －π6，得g (x )，然后利用整体思想求最值.规范解答解 (1)f (x )＝23sin(x 2＋π4)·cos(x 2＋π4)－sin(x ＋π)＝3cos x ＋sin x[4分] ＝2sin(x ＋π3)，[6分] 于是T ＝2π1＝2π.[7分] (2)由已知得g (x )＝f (x －π6)＝2sin(x ＋π6)，[9分]∵x ∈[0，π]，∴x ＋π6∈[π6，7π6]，∴sin(x ＋π6)∈[－12，1]，[12分] ∴g (x )＝2sin(x ＋π6)∈[－1,2].[13分] 故函数g (x )在区间[0，π]上的最大值为2，最小值为－1.[14分]解决三角函数图象与性质的综合问题的一般步骤第一步：(化简)将f (x )化为a sin x ＋b cos x 的形式；第二步：(用辅助角公式)构造f (x )＝a 2＋b 2·(sin x ·a a 2＋b 2＋cos x ·ba 2＋b 2)；第三步：(求性质)利用f (x )＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)研究三角函数的性质；第四步：(反思)反思回顾，查看关键点、易错点和答题规范.1.(教材改编)函数y ＝2sin(x 2＋π5)的最小正周期是________.答案 4π解析最小正周期T ＝2π12＝4π.2.(2016·无锡期末)将函数f (x )＝2sin 2x 的图象上每一点向右平移π6个单位长度，得函数y ＝g (x )的图象，则g (x )＝__________. 答案 2sin(2x －π3)解析函数f (x )＝2sin 2x 的图象上每一点向右平移π6个单位长度，可得函数g (x )＝2sin 2(x －π6)＝2sin(2x －π3)的图象，故g (x )＝2sin(2x －π3).3.已知函数f (x )＝3sin ωx ＋cos ωx (ω>0)，x ∈R .在曲线y ＝f (x )与直线y ＝1的交点中，若相邻交点距离的最小值为π3，则f (x )的最小正周期为________.答案 π解析 f (x )＝3sin ωx ＋cos ωx ＝2sin(ωx ＋π6)(ω>0).由2sin(ωx ＋π6)＝1，得sin(ωx ＋π6)＝12，∴ωx ＋π6＝2k π＋π6或ωx ＋π6＝2k π＋56π(k ∈Z ).令k ＝0，得ωx 1＋π6＝π6，ωx 2＋π6＝56π，∴x 1＝0，x 2＝2π3ω.由|x 1－x 2|＝π3，得2π3ω＝π3，∴ω＝2.故f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.4.(2017·江苏通州中学月考)函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0，－π2<φ<π2)的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是________.答案 2，－π3解析由题中图象可知34T ＝5π12－(－π3)⇒34T ＝3π4⇒T ＝π，则ω＝2πT ＝2ππ＝2.又图象过点(5π12，2)，∴f (5π12)＝2⇒2sin(5π6＋φ)＝2⇒sin(5π6＋φ)＝1.∵－π2<φ<π2，∴π3<φ＋5π6<4π3，∴5π6＋φ＝π2，∴φ＝－π3. 5.函数f (x )＝sin(2x ＋φ)⎝⎛⎭⎫|φ|＜π2的图象向左平移π6个单位后所得函数图象的解析式是奇函数，则函数f (x )在⎣⎡⎦⎤0，π2上的最小值为________. 答案－32解析由函数f (x )的图象向左平移π6个单位得g (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋φ＋π3的图象，因为是奇函数，所以φ＋π3＝k π，k ∈Z ，又因为|φ|＜π2，所以φ＝－π3，所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3. 又x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，所以2x －π3∈⎣⎡⎦⎤－π3，2π3，所以当x ＝0时，f (x )取得最小值为－32. 6.(2016·连云港模拟)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω＞0，|φ|＜π2的最小正周期是π，若将f (x )的图象向右平移π3个单位后得到的图象关于原点对称，则下列关于函数f (x )的图象说法正确的是________.①关于直线x ＝π12对称②关于直线x ＝5π12对称③关于点⎝⎛⎭⎫π12，0对称 ④关于点⎝⎛⎭⎫5π12，0对称答案 ②解析由题意知2π＝π，∴ω＝2；又由f (x )的图象向右平移π3个单位后得到y ＝sin[2⎝⎛⎭⎫x －π3＋φ]＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋φ－23π，此时关于原点对称，∴－2π3＋φ＝k π，k ∈Z ，∴φ＝2π3＋k π，k ∈Z ，又|φ|＜π2，∴φ＝－π3，∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3. 当x ＝π12时，2x －π3＝－π6，∴①、③错误；当x ＝5π12时，2x －π3＝π2，∴②正确，④错误.7.(2016·苏北四市期末)函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0)的部分图象如图所示，若AB ＝5，则ω的值为________.答案 π3解析如图，过点A 作垂直于x 轴的直线AM ，过点B 作垂直于y 轴的直线BM ，直线AM 和直线BM 相交于点M ，在Rt △AMB 中，AM ＝4，BM ＝12·2πω＝πω，AB ＝5，由勾股定理得AM 2＋BM 2＝AB 2，所以16＋(πω)2＝25，πω＝3，ω＝π3.8.(2016·南通质检)设函数y ＝sin(ωx ＋π3)(0<x <π)，当且仅当x ＝π12时，y 取得最大值，则正数ω的值为________. 答案 2解析因为0<x <π，ω>0，所以ωx ＋π3∈(π3，ωπ＋π3)，又函数当且仅当x ＝π12时取得最大值，所以⎩⎨⎧ωπ＋π3≤5π2，πω12＋π3＝π2，解得ω＝2.9.(2016·扬州期末)已知函数f (x )＝sin(2x ＋π3)(0≤x <π)，且f (α)＝f (β)＝12(α≠β)，则α＋β＝________. 答案7π6解析因为0≤x <π，所以2x ＋π3∈[π3，7π3)，所以由f (x )＝12，得2x ＋π3＝5π6或13π6，解得x ＝π4或11π12，由于f (α)＝f (β)＝12(α≠β)，所以α＋β＝π4＋11π12＝7π6. 10.先把函数f (x )＝sin(x －π6)的图象上各点的横坐标变为原来的12(纵坐标不变)，再把新得到的图象向右平移π3个单位，得到y ＝g (x )的图象.当x ∈(π4，3π4)时，函数g (x )的值域为________.答案 (－32，1] 解析依题意得g (x )＝sin[2(x －π3)－π6]＝sin(2x －5π6)，当x ∈(π4，3π4)时，2x －5π6∈(－π3，2π3)，此时sin(2x －5π6)∈(－32，1]，故g (x )的值域是(－32，1]. 11.(2016·江苏海安中学调研)若函数f (x )＝sin(ωx ＋π6)(ω>0)图象的两条相邻的对称轴之间的距离为π2，且该函数图象关于点(x 0,0)成中心对称，x 0∈[0，π2]，则x 0＝________.答案512π 解析两条相邻的对称轴之间的距离为T 2＝π2，所以T ＝π.而T ＝2πω，得ω＝2.因为f (x )的图象关于点(x 0,0)成中心对称，所以sin(2x 0＋π6)＝0.又因为x 0∈[0，π2]，所以2x 0＋π6∈[π6，76π]，所以2x 0＋π6＝π，即x 0＝512π. 12.(2016·江苏扬州中学月考)将y ＝sin 2x 的图象向右平移φ个单位(φ>0)，使得平移后的图象仍过点(π3，32)，则φ的最小值为________.答案 π6解析由题意得sin(2π3－2φ)＝32，∴－2φ＋2π3＝2k π＋π3(k ∈Z )或－2φ＋2π3＝2k π＋2π3(k ∈Z )，∴φ＝－k π＋π6(k ∈Z )或φ＝－k π (k ∈Z )，又φ>0，∴φ的最小值为π6.13.设函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ) (A ，ω，φ是常数，A >0，ω>0).若f (x )在区间[π6，π2]上具有单调性，且f (π2)＝f (2π3)＝－f (π6)，则f (x )的最小正周期为________.答案 π解析记f (x )的最小正周期为T . 由题意知T 2≥π2－π6＝π3，由f (π2)＝f (2π3)＝－f (π6)，且2π3－π2＝π6，可作出示意图如图所示(一种情况)：∴x 1＝(π2＋π6)×12＝π3，x 2＝(π2＋2π3)×12＝7π12，∴T 4＝x 2－x 1＝7π12－π3＝π4，∴T ＝π. 14.函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ) (A >0，ω>0,0<φ<π2)的部分图象如图所示.(1)求f (x )的解析式；(2)设g (x )＝[f (x －π12)]2，求函数g (x )在x ∈[－π6，π3]上的最大值，并确定此时x 的值.解 (1)由题图知A ＝2，T 4＝π3，则2πω＝4×π3，∴ω＝32. 又f (－π6)＝2sin[32×(－π6)＋φ]＝2sin(－π4＋φ)＝0，∴sin(φ－π4)＝0，∵0<φ<π2，∴－π4<φ－π4<π4，∴φ－π4＝0，即φ＝π4，∴f (x )的解析式为f (x )＝2sin(32x ＋π4).(2)由(1)可得f (x －π12)＝2sin[32(x －π12)＋π4]＝2sin(32x ＋π8)，∴g (x )＝[f (x －π12)]2＝4×1－cos (3x ＋π4)2＝2－2cos(3x ＋π4)，∵x ∈[－π6，π3]，∴－π4≤3x ＋π4≤5π4，∴当3x ＋π4＝π，即x ＝π4时，g (x )max ＝4.。

2018版高考数学理江苏专用大一轮复习讲义教师版文档第四章三角函数、解三角形 4.2 含答案精品

1.同角三角函数的基本关系(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1.(2)商数关系：sin αcos α＝tan α.2.各角的终边与角α的终边的关系3.六组诱导公式【知识拓展】1.诱导公式的记忆口诀：奇变偶不变，符号看象限.2.同角三角函数基本关系式的常用变形 (sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α； (sin α＋cos α)2＋(sin α－cos α)2＝2； (sin α＋cos α)2－(sin α－cos α)2＝4sin αcos α. 【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若α，β为锐角，则sin 2α＋cos 2β＝1.( × ) (2)若α∈R ，则tan α＝sin αcos α恒成立.( × )(3)sin(π＋α)＝－sin α成立的条件是α为锐角.( × )(4)诱导公式的记忆口诀中“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指π2的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称的变化.( √ )1.(2015·福建改编)若sin α＝－513，且α为第四象限角，则tan α的值为 .答案－512解析 ∵sin α＝－513，且α为第四象限角，∴cos α＝1213，∴tan α＝sin αcos α＝－512.2.(教材改编)已知cos θ＝35，且3π2＜θ＜2π，那么tan θ的值为 .答案－43解析因为θ为第四象限角，所以tan θ＜0，sin θ＜0， sin θ＝－1－cos 2θ＝－45，所以tan θ＝sin θcos θ＝－43.3.(2016·连云港模拟)计算：sin116π＋cos 103π＝ .答案－1 解析 ∵sin 116π＝sin(π＋56π)＝－sin 5π6＝－12， cos103π＝cos(2π＋4π3)＝cos 4π3＝－12， ∴sin116π＋cos 103π＝－1. 4.(教材改编)已知tan α＝1，则2sin α－cos αsin α＋cos α＝ .答案 12解析原式＝2tan α－1tan α＋1＝2－11＋1＝12.5.(教材改编)化简：tan (3π－α)sin (π－α)sin (3π2－α)＋sin (2π－α)cos (α－7π2)sin (3π2＋α)cos (2π＋α)＝ .答案 1解析因为tan(3π－α)＝－tan α，sin(π－α)＝sin α， sin(3π2－α)＝－cos α，sin(2π－α)＝－sin α，cos(α－7π2)＝cos(α＋π2)＝－sin α，sin(3π2＋α)＝－cos α，cos(2π＋α)＝cos α，所以原式＝－tan αsin α(－cos α)＋－sin α(－sin α)－cos αcos α＝1cos 2α－sin 2αcos 2α ＝1－sin 2αcos 2α＝cos 2αcos 2α＝1.题型一同角三角函数关系式的应用例1 (1)已知sin αcos α＝18，且5π4<α<3π2，则cos α－sin α的值为 .(2)(2016·苏州期末)已知θ是第三象限角，且sin θ－2cos θ＝－25，则sin θ＋cos θ＝ .答案 (1)32 (2)－3125解析 (1)∵5π4＜α＜3π2，∴cos α＜0，sin α＜0且cos α>sin α， ∴cos α－sin α＞0.又(cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α＝1－2×18＝34，∴cos α－sin α＝32. (2)由⎩⎪⎨⎪⎧sin θ－2cos θ＝－25，sin 2θ＋cos 2θ＝1，得5cos 2θ－85cos θ－2125＝0，解得cos θ＝35或－725.因为θ是第三象限角，所以cos θ＝－725，从而sin θ＝－2425，所以sin θ＋cos θ＝－3125.思维升华 (1)利用sin 2α＋cos 2α＝1可以实现角α的正弦、余弦的互化，利用sin αcos α＝tan α可以实现角α的弦切互化.(2)应用公式时注意方程思想的应用：对于sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α这三个式子，利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，可以知一求二.(3)注意公式逆用及变形应用：1＝sin 2α＋cos 2α，sin 2α＝1－cos 2α，cos 2α＝1－sin 2α.已知sin α－cos α＝2，α∈(0，π)，则tan α＝ .答案－1解析由⎩⎨⎧sin α－cos α＝2，sin 2α＋cos 2α＝1，消去sin α得2cos 2α＋22cos α＋1＝0，即(2cos α＋1)2＝0， ∴cos α＝－22. 又α∈(0，π)，∴α＝3π4，∴tan α＝tan 3π4＝－1.题型二诱导公式的应用例2 (1)(2016·宿迁模拟)已知f (x )＝sin (2π－x )·cos (32π＋x )cos (3π－x )·sin (112π－x )，则f (－21π4)＝ .(2)已知A ＝sin (k π＋α)sin α＋cos (k π＋α)cos α(k ∈Z )，则A 的值构成的集合是 .答案 (1)－1 (2){2，－2}解析 (1)f (x )＝－sin x ·sin x－cos x ·(－cos x )＝－tan 2x ，f (－21π4)＝－tan 2(－21π4)＝－tan 234π＝－1.(2)当k 为偶数时，A ＝sin αsin α＋cos αcos α＝2；当k 为奇数时，A ＝－sin αsin α－cos αcos α＝－2.∴A 的值构成的集合是{2，－2}. 思维升华 (1)诱导公式的两个应用①求值：负化正，大化小，化到锐角为终了. ②化简：统一角，统一名，同角名少为终了. (2)含2π整数倍的诱导公式的应用由终边相同的角的关系可知，在计算含有2π的整数倍的三角函数式中可直接将2π的整数倍去掉后再进行运算，如cos(5π－α)＝cos(π－α)＝－cos α.(1)化简：tan (π＋α)cos (2π＋α)sin (α－3π2)cos (－α－3π)sin (－3π－α)＝ .(2)(2016·南京模拟)已知角α终边上一点P (－4,3)，则 cos (π2＋α)·sin (－π－α)cos (11π2－α)·sin (9π2＋α)的值为 .答案 (1)－1 (2)－34解析 (1)原式＝tan αcos αsin[－2π＋(α＋π2)]cos (3π＋α)[－sin (3π＋α)]＝tan αcos αsin (π2＋α)(－cos α)sin α＝tan αcos αcos α(－cos α)sin α＝－tan αcos αsin α＝－sin αcos α·cos αsin α＝－1.(2)原式＝(－sin α)sin α(－sin α)cos α＝tan α，根据三角函数的定义得tan α＝－34.题型三同角三角函数关系式、诱导公式的综合应用例3 (1)已知α为锐角，且有2tan(π－α)－3cos(π2＋β)＋5＝0，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)－1＝0，则sin α的值是 . 答案31010解析 2tan(π－α)－3cos(π2＋β)＋5＝0化简为－2tan α＋3sin β＋5＝0，①tan(π＋α)＋6sin(π＋β)－1＝0化简为 tan α－6sin β－1＝0.②由①②消去sin β，解得tan α＝3. 又α为锐角，根据sin 2α＋cos 2α＝1，解得sin α＝31010.(2)已知－π<x <0，sin(π＋x )－cos x ＝－15.①求sin x －cos x 的值； ②求sin 2x ＋2sin 2x 1－tan x的值.解 ①由已知，得sin x ＋cos x ＝15，sin 2x ＋2sin x cos x ＋cos 2x ＝125，整理得2sin x cos x ＝－2425.∵(sin x －cos x )2＝1－2sin x cos x ＝4925.由－π<x <0，知sin x <0，又sin x ＋cos x >0， ∴cos x >0，sin x －cos x <0，故sin x －cos x ＝－75.②sin 2x ＋2sin 2x 1－tan x＝2sin x (cos x ＋sin x )1－sin x cos x＝2sin x cos x (cos x ＋sin x )cos x －sin x＝－2425×1575＝－24175.引申探究本题(2)中，若将条件“－π<x <0”改为“0<x <π”，求sin x －cos x 的值. 解若0<x <π，又2sin x cos x ＝－2425，∴sin x >0，cos x <0，∴sin x －cos x >0，又(sin x －cos x )2＝1－2sin x cos x ＝4925，故sin x －cos x ＝75.思维升华 (1)利用同角三角函数关系式和诱导公式求值或化简时，关键是寻求条件、结论间的联系，灵活使用公式进行变形. (2)注意角的范围对三角函数符号的影响.已知sin α是方程5x 2－7x －6＝0的根，求sin (α＋3π2)sin (3π2－α)tan 2(2π－α)tan (π－α)cos (π2－α)cos (π2＋α)的值.解由于方程5x 2－7x －6＝0的两根为2和－35，所以sin α＝－35，再由sin 2α＋cos 2α＝1，得cos α＝±1－sin 2α＝±45，所以tan α＝±34，所以原式＝－cos α(－cos α)·tan 2α(－tan α)sin α·(－sin α)＝tan α＝±34.7.分类讨论思想在三角函数中的应用典例 (1)已知sin α＝255，则tan(α＋π)＋sin ⎝⎛⎭⎫5π2＋αcos ⎝⎛⎭⎫5π2－α＝ .(2)已知k ∈Z ，化简：sin (k π－α)cos[(k －1)π－α]sin[(k ＋1)π＋α]cos (k π＋α)＝ .思想方法指导 (1)在利用同角三角函数基本关系式中的平方关系时，要根据角的范围对开方结果进行讨论.(2)利用诱导公式化简时要对题中整数k 是奇数或偶数进行讨论. 解析 (1)∵sin α＝255＞0，∴α为第一或第二象限角.tan(α＋π)＋sin ⎝⎛⎭⎫5π2＋αcos ⎝⎛⎭⎫5π2－α＝tan α＋cos αsin α＝sin αcos α＋cos αsin α＝1sin αcos α. ①当α是第一象限角时，cos α＝1－sin 2 α＝55，原式＝1sin αcos α＝52.②当α是第二象限角时，cos α＝－1－sin 2α＝－55，原式＝1sin αcos α＝－52.综合①②知，原式＝52或－52.(2)当k ＝2n (n ∈Z )时，原式＝sin (2n π－α)cos[(2n －1)π－α]sin[(2n ＋1)π＋α]cos (2n π＋α)＝sin (－α)·cos (－π－α)sin (π＋α)·cos α＝－sin α(－cos α)－sin α·cos α＝－1；当k ＝2n ＋1(n ∈Z )时，原式＝sin[(2n ＋1)π－α]·cos[(2n ＋1－1)π－α]sin[(2n ＋1＋1)π＋α]·cos[(2n ＋1)π＋α]＝sin (π－α)·cos αsin α·cos (π＋α)＝sin α·cos αsin α(－cos α)＝－1.综上，原式＝－1. 答案 (1)52或－52(2)－11.(2016·盐城模拟)已知cos α＝45，α∈(0，π)，则tan α的值为 .答案 34解析 ∵α∈(0，π)， ∴sin α＝ 1－cos 2α＝1－(45)2＝35，由tan α＝sin αcos α，得tan α＝34. 2.已知cos α＝13，且－π2＜α＜0，则cos (－α－π)sin (2π＋α)tan (2π－α)sin (3π2－α)cos (π2＋α)＝ .答案－2 2解析原式＝(－cos α)·sin α·(－tan α)(－cos α)·(－sin α)＝tan α，∵cos α＝13，－π2<α<0，∴sin α＝－1－cos 2α＝－223，∴tan α＝sin αcos α＝－2 2.3.若角α的终边落在第三象限，则cos α1－sin 2α＋2sin α1－cos 2α的值为 .答案－3解析由角α的终边落在第三象限，得sin α＜0，cos α＜0，故原式＝cos α|cos α|＋2sin α|sin α|＝cos α－cos α＋2sin α－sin α＝－1－2＝－3.4.若sin(π－α)＝－2sin(π2＋α)，则sin α·cos α的值为 .答案－25解析由sin(π－α)＝－2sin(π2＋α)，可得sin α＝－2cos α，则tan α＝－2，sin α·cos α＝sin α·cos αsin 2α＋cos 2α＝tan α1＋tan 2α＝－25. 5.已知函数f (x )＝a sin(πx ＋α)＋b cos(πx ＋β)，且f (4)＝3，则f (2 017)的值为 . 答案－3解析 ∵f (4)＝a sin(4π＋α)＋b cos(4π＋β) ＝a sin α＋b cos β＝3，∴f (2 017)＝a sin(2 017π＋α)＋b cos(2 017π＋β) ＝a sin(π＋α)＋b cos(π＋β) ＝－a sin α－b cos β ＝－3.*6.(2016·扬州模拟)若sin θ，cos θ是方程4x 2＋2mx ＋m ＝0的两根，则m 的值为 . 答案 1－ 5解析由题意知sin θ＋cos θ＝－m 2，sin θcos θ＝m 4，又(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ， ∴m 24＝1＋m2，解得m ＝1±5，又Δ＝4m 2－16m ≥0， ∴m ≤0或m ≥4，∴m ＝1－ 5.7.已知α为钝角，sin(π4＋α)＝34，则sin(π4－α)＝ .答案－74解析因为α为钝角，所以cos(π4＋α)＝－74，所以sin(π4－α)＝cos[π2－(π4－α)]＝cos(π4＋α)＝－74.8.(2016·江苏如东高级中学期中)若sin α＝2cos α，则sin 2α＋2cos 2α的值为 . 答案 65解析由sin α＝2cos α，得tan α＝2，因此sin 2α＋2cos 2α＝sin 2α＋2cos 2αsin 2α＋cos 2α ＝tan 2α＋2tan 2α＋1＝4＋24＋1＝65. 9.已知角θ的顶点在坐标原点，始边与x 轴正半轴重合，终边在直线2x －y ＝0上，则sin (3π2＋θ)＋cos (π－θ)sin (π2－θ)－sin (π－θ)＝ . 答案 2解析由题意可得tan θ＝2，原式＝－cos θ－cos θcos θ－sin θ＝－21－tan θ＝2. 10.(2016·无锡模拟)已知α为第二象限角，则cos α1＋tan 2α＋sin α 1＋1tan 2α＝ . 答案 0解析原式＝cos α sin 2α＋cos 2αcos 2α＋sin α sin 2α＋cos 2αsin 2α ＝cos α1|cos α|＋sin α1|sin α|，因为α是第二象限角，所以sin α>0，cos α<0，所以cos α1|cos α|＋sin α1|sin α|＝－1＋1＝0，即原式等于0. 11.已知sin(3π＋α)＝2sin ⎝⎛⎭⎫3π2＋α，求下列各式的值： (1)sin α－4cos α5sin α＋2cos α； (2)sin 2α＋sin 2α.解由已知得sin α＝2cos α.(1)原式＝2cos α－4cos α5×2cos α＋2cos α＝－16. (2)原式＝sin 2α＋2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝sin 2α＋sin 2αsin 2α＋14sin 2α＝85. 12.已知在△ABC 中，sin A ＋cos A ＝15.(1)求sin A cos A 的值；(2)判断△ABC 是锐角三角形还是钝角三角形；(3)求tan A 的值.解 (1)∵(sin A ＋cos A )2＝125， ∴1＋2sin A cos A ＝125， ∴sin A cos A ＝－1225. (2)∵sin A cos A <0，又0<A <π，∴cos A <0，∴A 为钝角，∴△ABC 为钝角三角形.(3)(sin A －cos A )2＝1－2sin A cos A ＝4925. 又sin A －cos A >0，∴sin A －cos A ＝75， ∴sin A ＝45，cos A ＝－35，故tan A ＝－43. *13.已知关于x 的方程2x 2－(3＋1)x ＋m ＝0的两根为sin θ和cos θ，θ∈(0,2π).求：(1)sin 2θsin θ－cos θ＋cos θ1－tan θ的值； (2)m 的值；(3)方程的两根及此时θ的值.解 (1)原式＝sin 2θsin θ－cos θ＋cos θ1－sin θcos θ＝sin 2θsin θ－cos θ＋cos 2θcos θ－sin θ＝sin 2θ－cos 2θsin θ－cos θ＝sin θ＋cos θ. 由条件知sin θ＋cos θ＝3＋12，故sin 2θsin θ－cos θ＋cos θ1－tan θ＝3＋12. (2)由sin 2θ＋2sin θcos θ＋cos 2θ＝1＋2sin θcos θ＝(sin θ＋cos θ)2，得m ＝32. (3)由⎩⎪⎨⎪⎧ sin θ＋cos θ＝3＋12，sin θ·cos θ＝34，知⎩⎨⎧sin θ＝32，cos θ＝12或⎩⎨⎧ sin θ＝12，cos θ＝32.又θ∈(0,2π)，故θ＝π3或θ＝π6.。

2018版高考数学文江苏专用大一轮复习讲义课件高考专

答案解析
5.如图，在三棱锥P－ABC中，D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点. 若PA⊥AC，PA＝6，BC＝8 ，DF＝5.则直线PA与平面DEF的位置关系平行；平面 BDE与平面ABC的位置关系是 _______.( 垂直填 “平行” 或是______ “垂直”)
答案解析
题型分类
(1)证明：CD⊥平面A1OC；
证明
(2)当平面A1BE⊥平面BCDE时，四棱锥A1-BCDE的体积为 36 2，求a的值.
解答
思维升华
平面图形的翻折问题，关键是搞清翻折前后图形中线面位置关系和度量关系的变化情况.一般地，翻折后还在同一个平面上的性质不发生变化，不在同一个平面上的性质发生变化.
3.(2016· 无锡模拟)如图，在棱长为6的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F 分别在C1D1与C1B1上，且C1E＝4，C1F＝3，连结EF，FB，DE，BD，则
几何体EFC1－DBC的体积为_____. 66
答案解析
4.如图，在四棱锥V－ABCD中，底面ABCD为正方形，E、F分别为侧棱 VB 2 VC、VB上的点，且满足VC＝3EC，AF∥平面BDE，则＝_____. FB
AB⊥BC，AA1＝AC＝2，BC＝1，E，F分别是A1C1，BC的中点.
(1)求证：平面ABE⊥平面B1BCC1；
在三棱柱ABC－A1B1C1中，BB1⊥底面ABC. 因为AB⊂平面ABC，所以BB1⊥AB.
证明
又因为AB⊥BC，BC∩BB1＝B，
所以AB⊥平面B1BCC1.
又AB⊂平面ABE，所以平面ABE⊥平面B1BCC1.
割或补形转化为规出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直
观图，然后根据条件求解.

(苏教版)高考数学一轮复习第四章教案文(解析版)

1．正弦定理和余弦定理2．三角形中常用的面积公式 (1)S ＝12ah (h 表示边a 上的高)；(2)S ＝12bc sin A ＝12ac sin B ＝12ab sin C ；(3)S ＝12r (a ＋b ＋c )(r 为三角形的内切圆半径)．[小题体验]1．(2019·启东中学检测)在△ABC 中，A ＝30°，AC ＝23，BC ＝2，则AB ＝________. 答案：2或42．在△ABC 中，A ＝45°，C ＝30°，c ＝6，则a ＝________. 答案：6 23．(2019·淮安调研)在△ABC 中，若A ＝60°，AC ＝22，BC ＝23，则△ABC 的面积为________．解析：在△ABC 中，A ＝60°，AC ＝22，BC ＝23，由余弦定理，得cos A ＝AB 2＋AC 2－BC 22AB ·AC ＝12，代入数据化简得AB 2－22AB －4＝0，解得AB ＝6＋2(负值舍去)．故△ABC 的面积S ＝12AB ·AC ·sin A ＝3＋ 3.答案：3＋ 31．由正弦定理解已知三角形的两边和其中一边的对角求另一边的对角时易忽视解的判断． 2．在判断三角形形状时，等式两边一般不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解． 3．利用正、余弦定理解三角形时，要注意三角形内角和定理对角的范围的限制． [小题纠偏]1．在△ABC 中，若a ＝18，b ＝24，A ＝45°，则此三角形解的情况为________．解析：因为a sin A ＝bsin B，所以sin B ＝b a sin A ＝2418sin 45°＝223.又因为a ＜b ，所以B 有两个解，即此三角形有两解．答案：两解2．设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a ＝3，sin B ＝12，C ＝π6，则b ＝________.解析：在△ABC 中，因为sin B ＝12，0＜B ＜π，所以B ＝π6或B ＝5π6.又因为B ＋C ＜π，C ＝π6，所以B ＝π6，所以A ＝2π3.因为a sin A ＝b sin B ，所以b ＝a sin B sin A ＝1.答案：1考点一利用正、余弦定理解三角形重点保分型考点——师生共研[典例引领](2018·南京高三年级学情调研)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，cos B ＝45.(1)若c ＝2a ，求sin Bsin C 的值；(2)若C －B ＝π4，求sin A 的值．解：(1)法一：在△ABC 中，由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝45.因为c ＝2a ，所以⎝⎛⎭⎫c 22＋c 2－b 22c ×c 2＝45，即b 2c 2＝920，所以b c ＝3510.又由正弦定理得sin B sin C ＝bc ，所以sin B sin C ＝3510.法二：因为cos B ＝45，B ∈(0，π)，所以sin B ＝1－cos 2B ＝35.因为c ＝2a ，由正弦定理得sin C ＝2sin A ，所以sin C ＝2sin(B ＋C )＝65cos C ＋85sin C ，即－sin C ＝2cos C .又因为sin 2C ＋cos 2C ＝1，sin C ＞0，解得sin C ＝255，所以sin B sin C ＝3510.(2)因为cos B ＝45，所以cos 2B ＝2cos 2B －1＝725.又0＜B ＜π，所以sin B ＝1－cos 2B ＝35，所以sin 2B ＝2sin B cos B ＝2×35×45＝2425.因为C －B ＝π4，即C ＝B ＋π4，所以A ＝π－(B ＋C )＝3π4－2B ，所以sin A ＝sin ⎝⎛⎭⎫3π4－2B ＝sin 3π4cos 2B －cos 3π4sin 2B ＝22×725－⎝⎛⎭⎫－22×2425＝31250. [由题悟法]1．正、余弦定理适用类型解三角形时，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．2．判断三角形解的个数的注意点已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断．[即时应用]1．在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若sin A ＝223，a ＝3， S △ABC ＝22，则b 的值为________．解析：因为S △ABC ＝12bc sin A ＝22，所以bc ＝6，又因为sin A ＝223，所以cos A ＝13，又a ＝3，由余弦定理得9＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝b 2＋c 2－4，b 2＋c 2＝13，可得b ＝2或b ＝3. 答案：2或32．(2018·苏州高三期中调研)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知sin B ＋sin C ＝m sin A (m ∈R)，且a 2－4bc ＝0.(1)当a ＝2，m ＝54时，求b ，c 的值；(2)若角A 为锐角，求m 的取值范围．解：由题意得b ＋c ＝ma ，a 2－4bc ＝0. (1)当a ＝2，m ＝54时，b ＋c ＝52，bc ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧ b ＝2，c ＝12或⎩⎪⎨⎪⎧b ＝12，c ＝2.(2)cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝b ＋c 2－2bc －a 22bc＝ma 2－a 22－a2a 22＝2m 2－3，因为A 为锐角，所以cos A ＝2m 2－3∈(0,1)，所以32＜m 2＜2，又由b ＋c ＝ma ，可得m ＞0，所以62＜m ＜2，即m 的取值范围为⎝⎛⎭⎫62，2. 考点二利用正、余弦定理判定三角形的形状重点保分型考点——师生共研[典例引领]在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对边分别是a ，b ，c ，若sin 2 B 2＝c －a2c，则△ABC 的形状一定是________．解析：由题意，得1－cos B 2＝c －a 2c ，即cos B ＝a c ，又由余弦定理，得a c ＝a 2＋c 2－b22ac，整理得a 2＋b 2＝c 2，所以△ABC 为直角三角形．答案：直角三角形[类题通法]判定三角形形状的2种常用途径[提醒] 在判断三角形形状时一定要注意解是否唯一，并注重挖掘隐含条件．另外，在变形过程中要注意角A ，B ，C 的范围对三角函数值的影响．[即时应用]1．(2019·宿迁期中)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若c ＝2a cos B ，则△ABC 的形状为______________．解析：∵c ＝2a cos B ，∴由正弦定理，得sin C ＝sin(A ＋B )＝2sin A cos B ，即sin A cos B ＋cos A sin B ＝2sin A cos B ， ∴sin A cos B ＝cos A sin B ，可得tan A ＝tan B ，又0＜A ＜π，0＜B ＜π，∴A ＝B ，故△ABC 的形状为等腰三角形．答案：等腰三角形2．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若sin A sin B ＝ac ，(b ＋c ＋a )(b ＋c －a )＝3bc ，则△ABC的形状为________．解析：因为sin A sin B ＝a c ，所以a b ＝ac ，所以b ＝c .又(b ＋c ＋a )(b ＋c －a )＝3bc ，所以b 2＋c 2－a 2＝bc ，所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝bc 2bc ＝12.因为A ∈(0，π)，所以A ＝π3，所以△ABC 是等边三角形．答案：等边三角形考点三与三角形面积有关的问题重点保分型考点——师生共研[典例引领](2018·徐州高三年级期中考试)已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ＋2c ＝2b cos A .(1)求角B 的大小；(2)若b ＝23，a ＋c ＝4，求△ABC 的面积．解：(1)因为a ＋2c ＝2b cos A ，由正弦定理，得sin A ＋2sin C ＝2sin B cos A . 因为C ＝π－(A ＋B )，所以sin A ＋2sin(A ＋B )＝2sin B cos A .即sin A ＋2sin A cos B ＋2cos A sin B ＝2sin B cos A ，所以sin A (1＋2cos B )＝0. 因为sin A ≠0，所以cos B ＝－12.又因为0＜B ＜π，所以B ＝2π3. (2)由余弦定理a 2＋c 2－2ac cos B ＝b 2及b ＝23，得a 2＋c 2＋ac ＝12，即(a ＋c )2－ac ＝12. 又因为a ＋c ＝4，所以ac ＝4，所以S △ABC ＝12ac sin B ＝12×4×32＝ 3.[由题悟法]三角形面积公式的应用原则(1)对于面积公式S ＝12ab sin C ＝12ac sin B ＝12bc sin A ，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式．(2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化．[即时应用](2018·镇江高三期末)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos A ＋a cos B ＝－2c cos C .(1)求C 的大小；(2)若b ＝2a ，且△ABC 的面积为23，求c 的值．解：(1)由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝csin C 及b cos A ＋a cos B ＝－2c cos C ，得sin B cos A ＋sin A cos B ＝－2sin C cos C ，所以sin(B ＋A )＝－2sin C cos C ，所以sin C ＝－2sin C cos C . 因为C ∈(0，π)，所以sin C ＞0，所以cos C ＝－12，所以C ＝2π3.(2)因为△ABC 的面积为23，所以12ab sin C ＝23，所以ab ＝8.又b ＝2a ，所以a ＝2，b ＝4，由余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝22＋42－2×2×4×⎝⎛⎭⎫－12＝28，所以c ＝27.一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．(2019·泰州模拟)在△ABC 中，BC ＝3，B －A ＝π2，且cos B ＝－35，则AC ＝________.解析：∵B －A ＝π2，∴cos B ＝cos ⎝⎛⎭⎫A ＋π2＝－sin A ＝－35，∴sin A ＝35，sin B ＝45.∴由正弦定理，得AC ＝BC ·sin Bsin A ＝3×4535＝4.答案：42．(2018·姜堰中学测试)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a 2＝b 2＋ 14c 2，则a cos Bc ＝________.解析：由已知及余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋c 2－⎝⎛⎭⎫a 2－14c 22ac ＝5c 8a ，所以a cos B c ＝58.答案：583．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 的对边．若b sin A ＝3c sin B ，a ＝3， cos B ＝23，则b＝________.解析：b sin A ＝3c sin B ⇒ab ＝3bc ⇒a ＝3c ⇒c ＝1，所以b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝9＋1－2×3×1×23＝6，b ＝ 6.答案： 64．在△ABC 中，AB ＝3，BC ＝13，AC ＝4，则边AC 上的高为________．解析：由题意得cos A ＝AB 2＋AC 2－BC 22AB ·AC ＝12，所以sin A ＝1－⎝⎛⎭⎫122＝32，所以边AC 上的高h ＝AB sin A ＝332.答案：3325．(2019·如东调研)设△ABC 中的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ＋b ＝23，c ＝3，C ＝2π3，则△ABC 的面积为________．解析：由余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝(a ＋b )2－ab ，即9＝12－ab ，故ab ＝3，则S △ABC ＝12ab sin C ＝334.答案：3346．(2018·苏锡常镇一调)若一个钝角三角形的三内角成等差数列，且最大边与最小边之比为m ，则实数m 的取值范围是________．解析：由三角形的三个内角成等差数列，得中间角为60°.设最小角为α，则最大角为120°－α，其中0°＜α＜30°.由正弦定理得m ＝sin120°－αsin α＝32·1tan α＋12＞32×3＋12＝2. 答案：(2，＋∞)二保高考，全练题型做到高考达标1．在△ABC 中，2a cos A ＋b cos C ＋c cos B ＝0，则角A 的大小为________．解析：由余弦定理得2a cos A ＋b ·a 2＋b 2－c 22ab ＋c ·a 2＋c 2－b 22ac ＝0，即2a cos A ＋a ＝0，所以cos A ＝－12，A ＝120°.答案：120°2．(2018·海门中学检测)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a 2＋b 2－c 2＝ab ＝3，则△ABC 的面积为________．解析：依题意得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝12，即C ＝60°，因此△ABC 的面积等于12ab sin C ＝ 12×3×32＝34. 答案：343．(2019·镇江调研)已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，A ＝60°，a ＝13，c ＝4，则b ＝________.解析：∵A ＝60°，a ＝13，c ＝4， ∴由余弦定理，得13＝b 2＋16－8b cos 60°，即b 2－4b ＋3＝0，解得b ＝1或3.答案：1或34．已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，且(b －c )(sin B ＋sin C )＝(a －3c )sin A ，则角B 的大小为____．解析：由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝csin C 及(b －c )·(sin B ＋sin C )＝(a －3c )sin A 得(b －c )(b ＋c )＝(a －3c )a ，即b 2－c 2＝a 2－3ac ，所以a 2＋c 2－b 2＝3ac ，又因为cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，所以cos B ＝32，所以B＝30°.答案：30°5．已知△ABC 中，内角A ，B ，C 所对边长分别为a ，b ，c ，若A ＝π3，b ＝2a cos B ，c ＝1，则△ABC的面积等于________．解析：由正弦定理得sin B ＝2sin A cos B ，故tan B ＝2sin A ＝2sin π3＝3，又B ∈(0，π)，所以B ＝π3.故A ＝B ＝π3，则△ABC 是正三角形，所以S △ABC ＝12bc sin A ＝12×1×1×32＝34.答案：346．(2019·无锡调研)在△ABC 中，C ＝π3，BC ＝a ，AC ＝b ，且a ，b 是方程x 2－13x ＋40＝0的两根，则AB ＝________.解析：∵a ，b 是方程x 2－13x ＋40＝0的两根， ∴a ＋b ＝13，ab ＝40，由余弦定理，得AB 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝(a ＋b )2－3ab ＝132－3×40＝49，则AB ＝7. 答案：77．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a sin A sin B ＋b cos 2A ＝2a ，则ba ＝________.解析：因为a sin A sin B ＋b cos 2A ＝2a ，由正弦定理得sin A sin A sin B ＋sin B cos 2A ＝ 2sin A ，所以sin B ＝2sin A ，所以b a ＝sin Bsin A＝ 2.答案： 28．(2019·苏州一模)已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且A ，B ，C 成等差数列，则a b ＋c ＋ca ＋b的值为________．解析：∵A ，B ，C 成等差数列，∴2B ＝A ＋C ，又A ＋B ＋C ＝π，∴B ＝π3，由余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋c 2－ac ，故a b ＋c ＋ca ＋b＝a a ＋b ＋c b ＋c b ＋c a ＋b ＝a 2＋ab ＋bc ＋c 2b 2＋ac ＋bc ＋ab＝a 2＋ab ＋bc ＋c 2a 2＋c 2－ac ＋ac ＋bc ＋ab ＝a 2＋ab ＋bc ＋c 2a 2＋c 2＋bc ＋ab ＝1. 答案：19．(2018·苏锡常镇调研)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知a cos B ＝3，b cos A ＝1，且A －B ＝π6.(1)求c 的长； (2)求B 的大小．解：(1) 法一：在△ABC 中，a cos B ＝3，由余弦定理，得a ·a 2＋c 2－b 22ac ＝3，即a 2＋c 2－b 2＝6c . ①由b cos A ＝1，得b ·b 2＋c 2－a 22bc ＝1，即b 2＋c 2－a 2＝2c . ②①＋②得2c 2＝8c ，所以c ＝4.法二：因为在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π，则sin A cos B ＋sin B cos A ＝sin(A ＋B )＝sin C ，由正弦定理，得sin A ＝a sin C c ，sin B ＝b sin Cc ，代入上式得，c ＝a cos B ＋b cos A ＝3＋1＝4. (2)由正弦定理得a cos B b cos A ＝sin A cos B sin B cos A ＝tan Atan B ＝3.又tan(A －B )＝tan A －tan B 1＋tan A tan B ＝2tan B 1＋3tan 2B ＝33，解得tan B ＝33，又B ∈(0，π)，所以B ＝π6.10．(2019·盐城期中)在△ABC 中，设内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .且sin ⎝⎛⎭⎫π4－C ＋sin ⎝⎛⎭⎫π4＋C ＝22. (1)求角C 的大小；(2)若c ＝33且sin A ＝2sin B ，求△ABC 的面积．解：(1)由sin ⎝⎛⎭⎫π4－C ＋sin ⎝⎛⎭⎫π4＋C ＝22，得22(cos C －sin C )＋22(cos C ＋sin C )＝22， ∴cos C ＝12，又0＜C ＜π，∴C ＝π3. (2)由c ＝33且sin A ＝2sin B ，可得a ＝2b ，由余弦定理可得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C＝4b 2＋b 2－4b 2×12＝3b 2＝27， ∴b ＝3，a ＝6，则△ABC 的面积为S ＝12ab sin C ＝12×6×3×32＝932. 三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．已知在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若sin(B －A )＋sin(B ＋A )＝3sin 2A ，且c ＝7，C ＝π3，则△ABC 的面积是________．解析：由sin(B －A )＋sin(B ＋A )＝3sin 2A ，得2sin B cos A ＝6sin A cos A ，所以cos A ＝0或sin B ＝3sin A .若cos A ＝0，则A ＝π2，在Rt △ABC 中，C ＝π3，所以b ＝c tan C ＝213，此时△ABC 的面积S ＝12bc ＝12×213×7＝736；若sin B ＝3sin A ，即b ＝3a ，由余弦定理得7＝a 2＋9a 2－2·a ·3a ·12，得a ＝1，所以b ＝3，此时△ABC 的面积S ＝12ab sin C ＝12×1×3×32＝334. 答案：334或7362．(2019·苏州高三期中调研)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，D 为AB 的中点，若b ＝a cos C ＋c sin A 且CD ＝2，则△ABC 面积的最大值是________．解析：由b ＝a cos C ＋c sin A 及正弦定理可得sin B ＝sin A cos C ＋sin C sin A ，所以sin(A ＋C )＝sin A cos C＋sin C sin A ，化简可得sin A ＝cos A ，所以A ＝π4.在△ACD 中，由余弦定理可得CD 2＝2＝b 2＋c 24－2b ·c 2·cos A ≥bc －22bc ，当且仅当b ＝c 2时取“＝”，所以bc ≤4＋22，所以△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝24bc ≤2＋1，所以△ABC 面积的最大值是2＋1.答案：2＋13．(2018·苏州模拟)如图所示，在四边形ABCD 中，∠D ＝2∠B ，且AD ＝1，CD ＝3，cos ∠B ＝33. (1)求△ACD 的面积；(2)若BC ＝23，求AB 的长．解：(1)因为∠D ＝2∠B ，cos ∠B ＝33，所以cos ∠D ＝cos 2∠B ＝2cos 2B －1＝－13.因为∠D ∈(0，π)，所以sin ∠D ＝1－cos 2D ＝223.因为AD ＝1，CD ＝3，所以△ACD 的面积S ＝12AD ·CD ·sin ∠D ＝12×1×3×223＝ 2.(2)在△ACD 中，AC 2＝AD 2＋DC 2－2AD ·DC ·cos ∠D ＝12，所以AC ＝2 3.因为BC ＝23，AC sin ∠B ＝ABsin ∠ACB ，所以23sin ∠B ＝AB sin π－2∠B ＝AB sin 2∠B ＝AB 2sin ∠B cos ∠B ＝AB233sin ∠B，所以AB ＝4.。

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