高考数学复习、高中数学 独立性检验附答案解析
新高考数学复习考点知识讲解11---列联表与独立性检验
新高考数学复习考点知识讲解列联表与独立性检验1、简单随机抽样得到了X 和Y 的抽样数据列联表2、基于小概率值α的检验规则是：当αχx ≥2时，我们就推断0H 不成立，即认为X 和Y 不独立，该推断犯错误的概率不超过α当αχx <2时，我们没有充分证据推断0H 不成立，可以认为X 和Y 独立这种利用2χ的取值推断分类变量X 和Y 是否独立的方法称为2χ独立性检验，读作“卡方独立性检验”，简称独立性检验3、应用独立性检验解决实际问题大致应包括以下几个主要环节： （1）提出零假设0H ：X 和Y 相互独立，并给出在问题中的解释； （2）根据抽样数据整理出2×2列联表，计算2χ的值，并与临界值αx 比较 （3）根据检验规则得出推断结论（4）在X 和Y 不独立的情况下，根据需要，通过比较相应的频率，分析X 和Y 间的影响规律题型一 变量关系例 1 为了判断两个分类变量X 、Y 是否有关系，应用独立性检验的方法算得2K 的观测值为5，则下列说法中正确的是( ) A ．有95%的把握认为“X 和Y 有关系” B ．有95%的把握认为“X 和Y 没有关系” C ．有99%的把握认为“X 和Y 有关系” D ．有99%的把握认为“X 和Y 没有关系” 【答案】A 【分析】利用2K 的观测值与临界值进行比较得解. 【详解】因为2( 3.841)0.050P K =≥，5 3.841>，所以有95%的把握认为“X 和Y 有关系”. 故选：A若由一个22⨯列联表中的数据计算得2 4.013K =，那么有（ ）把握认为两个变量有关系.知识典例巩固练习()20P K k ≥ 0.500.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.0010k0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828A ．95%B ．97.5%C ．99%D ．99.9%【答案】A 【分析】由2 3.841K >可对照临界值表得到结果. 【详解】2 4.013 3.841K =>，∴有()10.05100%95%-⨯=的把握认为两个变量有关系. 故选：A.题型二 列联表例 2 如表是一个2×2列联表：则表中a ，b 的值分别为（ ）y 1 y 2 合计x 1 a21 73x 2 22 25 47合计 b 46 120A ．94，72B ．52，50C ．52，74D ．74，52【答案】C 【分析】根据表中数据简单计算即可. 【详解】a =73-21=52，b =a +22=52+22=74. 故选：C.下面是一个22⨯列联表:1y 2y总计 1x35 a 70 2x15 1530 总计 50b100其中,a b 处填的值分别为_______． 【答案】35，50. 【分析】由列联表易得结果. 【详解】由3570a +=，得35a =，15a b +=，得50b =.巩固练习故答案为：35，50.题型三 独立性检验应用例 3 2016年3月9日至15日，谷歌人工智能系统“阿尔法”迎战围棋冠军李世石，最终结果“阿尔法”以总比分4比1战胜李世石.许多人认为这场比赛是人类智慧的胜利，也有许多人持反对意见，有网友为此在某大学进行了调查，参加调查的共80位学生，调查数据的22⨯列联表如下所示: 持反对意见 赟同 总计男40 女 5总计2580（1）①请将列联表补充完整;②请根据表中数据判断，能否有的99.9%把握认为是否持反对意见与性别有关; （2）若表中持反对意见的5个女学生中，3个是大三学生，2个是大四学生.现从这5个学生中随机选2个学生进行进一步调查，求这2个学生是同一年级的概率.附参考公式及数据:()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.()20P K k ≥ 0.40 0.25 0.10 0.010 0.005 0.001 0k7.879 1.3232.7066.6357.87910.828【答案】（1）①列联表见解析，②有99.9%的把握认为是否持反对意见与性别有关；（2）25.【分析】()1①由已知数据得出列联表；②由题可知，计算2K 的观测值013.09110.828k ≈>，可得出结论；()2记3个大三学生分别为，123,,,2A A A 个大四学生分别为12,B B 、运用列举法列出所有事件，由古典概率公式可得答案. 【详解】()1①②由题可知，2K 的观测值2080203552013.09110.828404055(25)k ⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯所以有99.9%的把握认为是否持反对意见与性别有关.()2记3个大三学生分别为，123,,,2A A A 个大四学生分别为12,B B 、则从中抽取2个的基本事件有:1213231213112223212,,,,,,,,,A A A A A A AB A B A B A B A B A B B B ，共10个，其中抽取的2人是同一年级的基本事件有12132312,,,A A A A A A B B 共4个， 则这2个学生是同一年级的概率为42105P ==.这一年来人类与新型冠状病毒的“战争”让人们逐渐明白一个道理，人类社会组织模式的差异只是小事情，病毒在地球上存在了三四十亿年，而人类的文明史不过只有几千年而已，人类无法消灭病毒，只能与之共存，或者病毒自然消亡，在病毒面前，个体自由要服从于集体或者群体生命的价值．在传染病学中，通常把从致病刺激物侵入机体内或者对机体发生作用起，到机体出现反应或开始呈现该疾病对应的相关症状时止的这一阶段称为潜伏期，因此我们应该注意做好良好的防护措施和隔离措施．某研究团队统计了某地区10000名患者的相关信息，得到如表表格： 潜伏期（天）(]0,2(]2,4(]4,6(]6,8(]8,10 (]10,12 (]12,14人数6001900300025001600250150（1）新冠肺炎的潜伏期受诸多因素的影响，为研究潜伏期与年龄的关系，通过分层抽样从10000名患者中抽取200人进行研究，完成下面的2×2列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为潜伏期与患者年龄有关？潜伏期8≤天潜伏期8>天总计 60岁以上（含60岁）150 60岁以下 30 总计200（2）依据上述数据，将频率作为概率，且每名患者的潜伏期是否超过8天相互独立．为了深入研究，该团队在这一地区抽取了20名患者，其中潜伏期不超过8天的人数最有巩固练习可能是多少？附：()()()()()22n ad bcKa b c d a c b d-=++++．【答案】（1）表格见解析，能；（2）16名.【分析】（1）由表中数据可知，求得潜伏期大于8天的人数，列出2×2列联表，利用公式求得2K的值，结合附表，即可得到结论；（2）求得该地区10000名患者中潜伏期不超过8天的人数，求得潜伏期不超过8天的概率，进而抽取的20名患者中潜伏期不超过8天的人数．【详解】（1）由表中数据可知，潜伏期大于8天的人数为16002501502004010000++⨯=人，补充完整的2×2列联表如下，所以()2220013*********.66710.8281505016040K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯， 故能在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为潜伏期与患者年龄有关．（2）该地区10000名患者中潜伏期不超过8天的人数为6001900300025008000+++=名，将频率视为概率，潜伏期不超过8天的概率为80004100005=， 所以抽取的20名患者中潜伏期不超过8天的人数最有可能是420165⨯=名．1、为了研究高中学生对乡村音乐的态度(喜欢和不喜欢两种态度)与性别的关系，运用2×2列联表进行独立性检验，经计算得x 2＝7.01，则认为“喜欢乡村音乐与性别有关系”的把握约为（ ）A ．0.1%B ．1%C ．99%D ．99.9%【答案】C 【分析】由x 2＝7.01>6.635，对照临界值表求解即可.巩固提升【详解】易知x2＝7.01>6.635，对照临界值表知，有99%的把握认为喜欢乡村音乐与性别有关系．故选：C2、某班主任对全班50名学生进行了作业量的评价调查，所得数据如表所示：则认为作业量的大小与学生的性别有关的犯错误的概率不超过（）A．0.01 B．0.05C．0.10 D．无充分证据【答案】B【分析】计算2K，再进行判断.【详解】因为2250(181598)5.059 3.84127232624K⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，又()2 3.8410.05P K≥=所以认为作业量的大小与学生的性别有关的犯错误的概率不超过0.05. 故选：B3、（多选）有关独立性检验的四个命题，其中正确的是（）A．两个变量的2×2列联表中，对角线上数据的乘积相差越大，说明两个变量有关系成立的可能性就越大B．对分类变量X与Y的随机变量2K的观测值k来说，k越小，“X与Y有关系”的可信程度越小C．从独立性检验可知：有95%的把握认为秃顶与患心脏病有关，我们说某人秃顶，那么他有95%的可能患有心脏病D．从独立性检验可知：有99%的把握认为吸烟与患肺癌有关，是指在犯错误的概率不超过1%的前提下认为吸烟与患肺癌有关【答案】ABD【分析】根据独立性检验的原理与知识，对选项中的命题判断正误即可．【详解】选项A，两个变量的2×2列联表中，对角线上数据的乘积相差越大，则2K观测值越大，两个变量有关系的可能性越大，所以选项A正确；选项B，根据2K的观测值k越小，原假设“X与Y没关系”成立的可能性越大，则“X与Y有关系”的可信度越小，所以选项B正确；选项C，从独立性检验可知：有95%的把握认为秃顶与患心脏病有关，不表示某人秃顶他有95%的可能患有心脏病，所以选项C不正确；选项D，从独立性检验可知：有99%的把握认为吸烟与患肺癌有关，是指在犯错误的概率不超过1%的前提下认为吸烟与患肺癌有关，是独立性检验的解释，所以选项D正确.故选：ABD.4、为了判断某高中学生是否选修文科与性别的关系，现随机抽取50名学生，得到如下2×2列联表：已知P (x 2≥3.841)≈0.05，P (x 2≥6.635)≈0.01.根据表中数据，得到x 2＝250(1320107)23272030⨯⨯-⨯⨯⨯⨯≈4.844，则认为选修文科与性别有关系出错的概率约为________．【答案】0.05 【分析】直接根据表中数据计算的x 2值与P (x 2≥3.841)≈0.05比较判断，即得结果. 【详解】因为x 2≈4.844>3.841，而P (x 2≥3.841)≈0.05，故认为选修文科与性别有关系出错的概率约为0.05. 故答案为：0.05.5、调查者通过询问72名男、女大学生在购买食品时是否看营养说明得到的数据如下表所示:大学生的性别和是否看营养说明之间___(填“有”或“没有”)关系.【答案】有【分析】由表中的数据直接计算卡方，从而可得结论【详解】解：因为22722820168)=8.4167.879 44283636χ⨯⨯-⨯≈>⨯⨯⨯（，所以有的把握认为大学生性别与购买食品时是否看营养说明之间有关，故答案为：有6、某高校《统计》课程的教师随机调查了选该课的一些学生情况，具体数据如下表: 为了判断主修统计专业是否与性别有关系，根据表中的数据，得到k=2 50(1320-107) 23272030⨯⨯⨯⨯⨯⨯＝4.844>3.841，所以有_____的把握判定主修统计专业与性别有关系.附：【答案】95%【分析】根据独立性检验的基本思想，因为2K的观测值k＝4.844>3.841，参考临界值表即可得出【详解】根据表格数据得2K的观测值k=250(1320-107)23272030⨯⨯⨯⨯⨯⨯≈4.844 3.841>，所以有95%的把握判定主修统计专业与性别有关系.故答案为:95%．7、某学生对其30名亲属的饮食习惯进行了一次调查，依据统计所得数据可得到如下的22⨯列联表：根据以上列联表中的数据，可得2K 的观测值k =__________，__________（填“有”或“没有”）99%的把握认为其亲属的饮食习惯与年龄有关．参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．参考数据：【答案】10 有 【分析】根据列联表，求得a b c d ,,,的值，利用公式，求得2K 的值，结合附表，即可得到结论. 【详解】由列联表可得20a =，10b =，12c =，4d =，可得2230(8128)10 6.63512182010K ⨯-==>⨯⨯⨯， 所以有99%的把握认为其亲属的饮食习惯与年龄有关． 故答案为：10；有.8、2017年3月27日，一则“清华大学要求从2017级学生开始，游泳达到一定标准才能毕业”的消息在体育界和教育界引起了巨大反响．游泳作为一项重要的求生技能和运动项目受到很多人的喜爱．其实，已有不少高校将游泳列为必修内容．某中学为了解2018届高三学生的性别和喜爱游泳是否有关，对100名高三学生进行了问卷调查，得到如下列联表：已知在这100人中随机抽取1人，抽到喜欢游泳的学生的概率为35.（1）请将上述列联表补充完整；（2）判断是否有99.9%的把握认为喜欢游泳与性别有关．附：x2＝2()()()()()n ad bca b c d a c b d-++++【答案】（1）表格见解析；（2）有. 【分析】（1）根据概率补全列联表即可；（2）计算2x，再进行判断即可.【详解】（1）因为在100人中随机抽取1人抽到喜欢游泳的学生的概率为3 5所以喜欢游泳的学生人数为3 100605⨯=.其中女生有20人，男生有40人，列联表补充如下：（2）因为22100(40302010)16.6710.82860405050x⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯所以有99.9%的把握认为喜欢游泳与性别有关．9、某班主任对全班50名学生的学习积极性和对待班级工作的态度进行了调查，得出以下22⨯列联表：如果随机抽查该班的一名学生，那么抽到积极参加班级工作的学生的概率是12 25．（1）求a，b，c，d的值．（2）试运用独立性检验的思想方法分析：能否有99.9%的把握认为学生的学习积极性与对待班级工作的态度有关系？并说明理由．参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．参考数据：【答案】（1）6a =，19b =，24c =，26d =；（2）有. 【分析】（1）由抽到积极参加班级工作的学生的概率是1225，可求出c 的值，然后根据表中的数据可求出,,a b d 的值；（2）直接利用22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++公式求解，然后根临界值表判断即可【详解】解：（1）积极参加班级工作的学生有c 人，总人数为50， 由抽到积极参加班级工作的学生的概率1125025c P ==， 解得24c =，所以6a =．所以2525619b a =-=-=，50502426d c =-=-=．（2）由列联表知，2250(181967)11.53825252426K ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯， 由11.53810.828>，可得有99.9%的把握认为学生的学习积极性与对待班级工作的态度有关系．。
独立性检验-高中数学知识点讲解(含答案)
独立性检验（北京习题集）（教师版）一．选择题（共5小题）1．（2017春•东城区校级期末）某人研究中学生的性别与成绩、视力、智商、阅读量这4个变量的关系，随机抽查了52名中学生，得到统计数据如表1至表4，则与性别有关联的可能性最大的变量是()表1表2表3表4A．成绩B．视力C．智商D．阅读量2．（2016春•海淀区校级期末）在检验吸烟与患肺炎是否有关的一次统计中，根据22⨯列联表中数据计算得2 6.234x≈，则下列说法正确的是()A ．有99%的把握认为吸烟与患肺炎有关B ．有99%的把握认为吸烟与患肺炎无关C ．有95%的把握认为吸烟与患肺炎有关D ．有95%的把握认为吸烟与患肺炎无关3．（2015秋•昌平区期末）某大学进行自主招生时，需要进行逻辑思维和阅读表达两项能力的测试．学校对参加测试的200名学生的逻辑思维成绩、阅读表达成绩以及这两项的总成绩进行了排名．其中甲、乙、丙三位同学的排名情况如图所示：下列叙述一定正确的是( )A ．甲同学的阅读表达成绩排名比他的逻辑思维成绩排名更靠前B ．乙同学的逻辑思维成绩排名比他的阅读表达成绩排名更靠前C ．甲、乙、丙三位同学的逻辑思维成绩排名中，甲同学更靠前D ．乙同学的总成绩排名比丙同学的总成绩排名更靠前4．（2014•海淀区校级模拟）在对吸烟与患肺病这两个分类变量的独立性检验中，下列说法正确的是( ) （参考数据：2( 6.635)0.01)P k =①若2k 的观测值满足2 6.635k ，我们有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系． ②若2k 的观测值满足2 6.635k ，那么在100个吸烟的人中约有99人患有肺病．③从独立性检验可知，如果有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系时，那么我们就认为：每个吸烟的人有99%的可能性会患肺病．④从统计量中得知有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系时，是指有1%的可能性使推断出现错误． A ．①B ．①④C ．②③D ．①②③④5．（2014•海淀区校级模拟）经过对2K 的统计量的研究，得到了若干个临界值，当2K 的观测值 3.841K >时，我们()2)k0.500.455A ．在错误的概率不超过0.05的前提下可认为A 与B 有关 B ．在错误的概率不超过0.05的前提下可认为A 与B 无关 C ．在错误的概率不超过0.01的前提下可认为A 与B 有关D ．没有充分理由说明事件A 与B 有关 二．填空题（共7小题）6．（2019春•东城区期末）吃零食是中学生中普遍存在的现象．长期吃零食对学生身体发育有诸多不利影响，影响学生的健康成长．下表给出性别与吃零食的列联表根据下面2K 的计算结果，试回答，有 的把握认为“吃零食与性别有关”．参考数据与参考公式：222()85(140480)9826000 4.722()()()()176845402080800n ad bc K a b c d a c b d --===≈++++⨯⨯⨯0)k7．（2013•西湖区校级模拟）给出下列说法：①从匀速传递的产品生产线上每隔20分钟抽取一件产品进行某种检测，这样的抽样为系统抽样； ②若随机变量若(1,4)N ξ-，(0)P m ξ=，则1(01)2P m ξ<<=-； ③在回归直线?0.22y x =+中，当变量x 每增加1个单位时，?y 平均增加2个单位； ④在22⨯列联表中，213.079K =，则有99.9%的把握认为两个变量有关系． 附表：0)k0.050k3.841其中正确说法的序号为 （把所有正确说法的序号都写上）8．（2010春•海淀区校级期中）在调查学生数学成绩与物理成绩之间的关系时，得到如下数据（人数）:物理成绩好物理成绩不好合计数学成绩好622385数学成绩不好282250合计9045135根据以上数据求得2X=；所以有（填百分数）以上的把握认为数学成绩与物理成绩有关．9．（2010春•怀柔区期末）为了了解某地母亲身高x与女儿身高Y的相关关系，随机测得10对母女的身高如下表所示：母亲身()x cm159160160163159154159158159157女儿身()Y cm158159160161161155162157162156计算x与Y的相关系数0.71r≈，通过查表得r的临界值0.050.632r=，从而有的把握认为x与Y之间具有线性相关关系，因而求回归直线方程是有意义的．通过计算得到回归直线方程为ˆ34.920.78y x==+，因此，当母亲的身高为161cm时，可以估计女儿的身高大致为．10．（2009春•北京校级期末）某校为提高教学质量进行教改实验，设有试验班和对照班．经过两个月的教学试验，进行了一次检测，试验班与对照班成绩统计如下的22⨯列联表所示（单位：人），则其中m=，n=．80及80分以下80分以上合计试验班321850对照班12m50合计4456n11．（2009春•北京校级期末）若由一个2*2列联表中的数据计算得2 4.013X=，那么有把握认为两个变量有关系．附：2X临界值表：12．（2009春•房山区期中）为了调查高中生的性别与是否喜欢足球之间有无关系，一般需要收集以下数据．三．解答题（共3小题）13．（2019•西城区校级模拟）已知某企业有职工5000人，其中男职工3500人，女职工1500人．该企业为了丰富职工的业余生活，决定新建职工活动中心，为此，该企业工会采用分层抽样的方法，随机抽取了300名职工每周的平均运动时间（单位：)h ，汇总得到频率分布表（如表所示），并据此来估计该企业职工每周的运动时间：（1）求抽取的女职工的人数；（2）①根据频率分布表，求出m 、n 、p 的值，完成如图所示的频率分布直方图，并估计该企业职工每周的平均运动时间不低于4h 的概率；②若在样本数据中，有60名女职工每周的平均运动时间不低于4h ，请完成以下22⨯列联表，并判断是否有95%以上的把握认为“该企业职工毎周的平均运动时间不低于4h 与性别有关”． 附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．0)k14．（2019•海淀区校级三模）手机厂商推出一款6寸大屏手机，现对500名该手机使用者(200名女性，300名男性）进行调查，对手机进行评分，评分的频数分布表如下： 女性用户 分值区间[50，60)[60，70)[70，80)[80，90)[90，100] 频数20 40 80 50 10男性用户 分值区间[50，60)[60，70)[70，80)[80，90)[90，100] 频数 45 75 90 60 30（Ⅰ）完成下列频率分布直方图，计算女性用户评分的平均值，并比较女性用户和男性用户评分的波动大小（不计算具体值，给出结论即可）；（Ⅱ）把评分不低于70分的用户称为“评分良好用户”，能否有90%的把握认为“评分良好用户”与性别有关？ 参考附表：20()P K k 0.100.050 0.010 0.0010k2.7063.841 6.635 10.828参考公式：2()2()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++15．（2019•西城区校级模拟）近年电子商务蓬勃发展，2017年某网购平台“双11”一天的销售业绩高达1682亿元人民币，平台对每次成功交易都有针对商品和快递是否满意的评价系统．从该评价系统中选出200次成功交易，并对其评价进行统计，网购者对商品的满意率为0.70，对快递的满意率为0.60，其中对商品和快递都满意的交易为80次．（1）根据已知条件完成下面的22⨯列联表，并回答能否有99%的把握认为“网购者对商品满意与对快递满意之间有关系”？（2）为进一步提高购物者的满意度，平台按分层抽样方法从中抽取10次交易进行问卷调查，详细了解满意与否的具体原因，并在这10次交易中再随机抽取2次进行电话回访，听取购物者意见．求电话回访的2次交易至少有一次对商品和快递都满意的概率．附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++（其中n a b c d =+++为样本容量）2)kk独立性检验（北京习题集）（教师版）参考答案与试题解析一．选择题（共5小题）1．（2017春•东城区校级期末）某人研究中学生的性别与成绩、视力、智商、阅读量这4个变量的关系，随机抽查了52名中学生，得到统计数据如表1至表4，则与性别有关联的可能性最大的变量是()表1表2表3表4A．成绩B．视力C．智商D．阅读量【分析】根据表中数据，利用公式，求出2K，即可得出结论．【解答】解：表2252(6221014)1:0.00916363220K⨯-⨯=≈⨯⨯⨯；表2252(4201216)2: 1.76916363220K⨯-⨯=≈⨯⨯⨯；表2252(824812)3: 1.316363220K⨯-⨯=≈⨯⨯⨯；表2252(143062)4:23.4816363220K⨯-⨯=≈⨯⨯⨯，∴阅读量与性别有关联的可能性最大，故选：D．【点评】本题考查独立性检验的应用，考查学生的计算能力，属于中档题．2．（2016春•海淀区校级期末）在检验吸烟与患肺炎是否有关的一次统计中，根据22⨯列联表中数据计算得2 6.234x≈，则下列说法正确的是()A．有99%的把握认为吸烟与患肺炎有关B．有99%的把握认为吸烟与患肺炎无关C．有95%的把握认为吸烟与患肺炎有关D．有95%的把握认为吸烟与患肺炎无关【分析】由2 6.234 3.841x≈>，对照表格，可知有95%的把握认为吸烟与患肺炎有关．【解答】解：由2 6.234 3.841x≈>，∴有95%的把握认为吸烟与患肺炎有关，故选：C．【点评】本题考查独立性检验的应用，考查学生的计算能力，属于基础题．3．（2015秋•昌平区期末）某大学进行自主招生时，需要进行逻辑思维和阅读表达两项能力的测试．学校对参加测试的200名学生的逻辑思维成绩、阅读表达成绩以及这两项的总成绩进行了排名．其中甲、乙、丙三位同学的排名情况如图所示：下列叙述一定正确的是( )A ．甲同学的阅读表达成绩排名比他的逻辑思维成绩排名更靠前B ．乙同学的逻辑思维成绩排名比他的阅读表达成绩排名更靠前C ．甲、乙、丙三位同学的逻辑思维成绩排名中，甲同学更靠前D ．乙同学的总成绩排名比丙同学的总成绩排名更靠前【分析】根据图示，可得甲、乙、丙三位同学的逻辑思维成绩排名中，甲同学更靠前． 【解答】解：根据图示，可得甲、乙、丙三位同学的逻辑思维成绩排名中，甲同学更靠前， 故选：C ．【点评】本题考查利用数学知识解决实际问题，考查数形结合的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．4．（2014•海淀区校级模拟）在对吸烟与患肺病这两个分类变量的独立性检验中，下列说法正确的是( ) （参考数据：2( 6.635)0.01)P k =①若2k 的观测值满足2 6.635k ，我们有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系． ②若2k 的观测值满足2 6.635k ，那么在100个吸烟的人中约有99人患有肺病．③从独立性检验可知，如果有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系时，那么我们就认为：每个吸烟的人有99%的可能性会患肺病．④从统计量中得知有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系时，是指有1%的可能性使推断出现错误． A ．①B ．①④C ．②③D ．①②③④【分析】若2 6.635k >，我们有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系，表示有1%的可能性使推断出现错误，不表示有99%的可能患有肺病，也不表示在100个吸烟的人中必有99人患有肺病，故可得结论．【解答】解：若2 6.635k >，我们有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系，不表示有99%的可能患有肺病，故①正确．不表示在100个吸烟的人中必有99人患有肺病，故②不正确． 不表示有每个吸烟的人有99%的可能性会患肺病，故③不正确．从统计量中得知有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系时，是指有1%的可能性使推断出现错误，④正确． 故选：B ．【点评】本题的考点是独立性检验的应用，根据独立性检测考查两个变量是否有关系的方法进行判断，准确的理解判断方法及2k 的含义是解决本题的关键．5．（2014•海淀区校级模拟）经过对2K 的统计量的研究，得到了若干个临界值，当2K 的观测值 3.841K >时，我们()2)k0.500.455A ．在错误的概率不超过0.05的前提下可认为A 与B 有关 B ．在错误的概率不超过0.05的前提下可认为A 与B 无关 C ．在错误的概率不超过0.01的前提下可认为A 与B 有关D ．没有充分理由说明事件A 与B 有关【分析】根据所给的观测值，同临界值表中的临界值进行比较，根据2( 3.841)0.05P K >=，得到我们有10.0595%-=的把握认为A 与B 有关系． 【解答】解：依据下表：2)k2 3.841K >，2( 3.841)0.05P K >=∴我们在错误的概率不超过0.05的前提下可认为A 与B 有关，故选：A ．【点评】本题考查独立性检验的应用，本题解题的关键是正确理解临界值对应的概率的意义，本题不用运算只要理解概率的意义即可． 二．填空题（共7小题）6．（2019春•东城区期末）吃零食是中学生中普遍存在的现象．长期吃零食对学生身体发育有诸多不利影响，影响学生的健康成长．下表给出性别与吃零食的列联表根据下面2K 的计算结果，试回答，有 95% 的把握认为“吃零食与性别有关”． 参考数据与参考公式：222()85(140480)9826000 4.722)176845402080800n ad bc K b d --===≈+⨯⨯⨯0)k【分析】根据题意得出观测值的大小，对照临界值得出结论． 【解答】解：根据题意知2 4.722 3.841K ≈>， 所以有95%的把握认为“吃零食与性别有关”． 故答案为：95%．【点评】本题考查了列联表与独立性检验的应用问题，是基础题． 7．（2013•西湖区校级模拟）给出下列说法：①从匀速传递的产品生产线上每隔20分钟抽取一件产品进行某种检测，这样的抽样为系统抽样； ②若随机变量若(1,4)N ξ-，(0)P m ξ=，则1(01)2P m ξ<<=-； ③在回归直线?0.22y x =+中，当变量x 每增加1个单位时，?y 平均增加2个单位； ④在22⨯列联表中，213.079K =，则有99.9%的把握认为两个变量有关系． 附表：0)k0.050k3.841其中正确说法的序号为 ①②④ （把所有正确说法的序号都写上）【分析】对于①，从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每20分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样系统抽样；对于②，根据随机变量~(1,4)x N ，得到正态曲线的对称轴是1x =，得到(0)(2)P x P x =，根据所给的条件(0)P x m =，得到(2)P x m =，又根据概率之和是1，得到要求的结果；对；对于③在回归直线方程 ?0.22y x =+中，当解释变量x 每增加一个单位时，预报变量 ?y 平均增加0.1个单位；不对；对于④，通过所给的观测值，同临界值表中的数据进行比较，发现13.07910.828>，得到结论． 【解答】解：①从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每20分钟从中抽取一件 产品进行某项指标检测，这样的抽样是系统抽样，故①正确， ②：随机变量~(1,4)x N ，∴正态曲线的对称轴是1x =，(0)(2)P x P x ∴= (0)P x m =，(02)112P x m m m ∴<<=--=-，1(01)2P m ξ∴<<=-，故③正确， ③在回归直线方程 ?0.22y x =+中，当解释变量x 每增加一个单位时， 预报变量 ?y 平均增加0.2个单位，故④不正确， 对于④，一个2*2列联表中的数据计算得213.079K =，213.07910.828K =>，∴有999%的把握说这两个变量有关系，故答案为：①②④．【点评】本题考查独立性检验，考查系统抽样方法，考查线性回归方程，考查判断两个相关变量之间的关系等，是一个综合题目，这种题考查的知识点比较多，需要认真分析．8．（2010春•海淀区校级期中）在调查学生数学成绩与物理成绩之间的关系时，得到如下数据（人数）:根据以上数据求得2X = 4.066 ；所以有 （填百分数）以上的把握认为数学成绩与物理成绩有关．【分析】根据表中所给的数据，利用所给的求观测值的公式，代入公式22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，计算出k 值，把观测值同临界值进行比较，得到有95%的把握数学成绩与物理成绩有关． 【解答】解：提出假设0H ：学生数学成绩与物理成绩之间没有关系．根据列联表可以求得22135(62222823) 4.066 3.841904585110K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯当0H 成立时，2( 3.841)0.05P K >=．所以我们有10.0595%-=的把握认为：学生的数学成绩与物理成绩之间有关系， 故答案为：4.066；95%【点评】本题考查独立性检验的应用，考查数据处理能力、运算求解能力和应用意识，本题解题的关键是正确运算出观测值，理解临界值对应的概率的意义，本题是一个基础题．9．（2010春•怀柔区期末）为了了解某地母亲身高x 与女儿身高Y 的相关关系，随机测得10对母女的身高如下表所示：计算x 与Y 的相关系数0.71r ≈，通过查表得r 的临界值0.050.632r =，从而有 95% 的把握认为x 与Y 之间具有线性相关关系，因而求回归直线方程是有意义的．通过计算得到回归直线方程为ˆ34.920.78yx ==+，因此，当母亲的身高为161cm 时，可以估计女儿的身高大致为 ．【分析】查对临界值表，可得结论，利用回归直线方程，代入计算可估计女儿的身高．【解答】解：查对临界值表，由临界值0.050.632r =，可得有95%的把握认为x 与Y 之间具有线性相关关系，回归直线方程为ˆ34.920.78yx =+，因此，当161x cm =时，ˆ34.920.7834.920.78161161y x cm =+=+⨯= 故答案为：95%，161cm ．【点评】本题考查独立性检验的应用，考查学生的计算能力，属于基础题．10．（2009春•北京校级期末）某校为提高教学质量进行教改实验，设有试验班和对照班．经过两个月的教学试验，进行了一次检测，试验班与对照班成绩统计如下的22⨯列联表所示（单位：人），则其中m = 38 ，n = ．80及80分以下80分以上合计 试验班 32 1850 对照班 12 m50合计4456n【分析】根据22⨯列联表的规律对应的横行与竖行的和应该等于合计，故可求 【解答】解：由题意，1856m +=，5050n +=，38m ∴=．100n =， 故答案为38，010．【点评】利用随机变量 来确定在多大程度上可以认为“两个分类变量有关系”的方法称为两个分类变量的独立性检验．独立性检验的基本思想类似于反证法11．（2009春•北京校级期末）若由一个2*2列联表中的数据计算得2 4.013X =，那么有 95% 把握认为两个变量有关系． 附：2X 临界值表：【分析】通过所给的观测值，同临界值表中的数据进行比较，发现4.013 3.841>，得到结论有95%的把握说这两个变量有关系．【解答】解：一个2*2列联表中的数据计算得2 4.013X =， 4.013 3.841>，∴有95%的把握说这两个变量有关系，故答案为：95%【点评】本题考查独立性检验，考查判断两个变量之间有没有关系，一般题目需要自己做出观测值，再拿着观测值同临界值进行比较，得到结论，本题给出了观测值，只剩下一个比较过程．12．（2009春•房山区期中）为了调查高中生的性别与是否喜欢足球之间有无关系，一般需要收集以下数据 男女生中喜欢或不喜欢足球的人数 ．【分析】根据调查目的：为了调查高中生的性别与是否喜欢足球之间有无关系，一般需要收集男女生中喜欢或不喜欢足球的人数，通过计算得到结果，【解答】解：为了调查高中生的性别与是否喜欢足球之间有无关系，一般需要收集男女生中喜欢或不喜欢足球的人数，再得出22 列联表，最后代入随机变量的观测值公式，得出结果． 故答案为：男女生中喜欢或不喜欢足球的人数．【点评】本题考查独立性检验的应用，考查独立性检验的基本思想和应用意识， 三．解答题（共3小题）13．（2019•西城区校级模拟）已知某企业有职工5000人，其中男职工3500人，女职工1500人．该企业为了丰富职工的业余生活，决定新建职工活动中心，为此，该企业工会采用分层抽样的方法，随机抽取了300名职工每周的平均运动时间（单位：)h ，汇总得到频率分布表（如表所示），并据此来估计该企业职工每周的运动时间：（1）求抽取的女职工的人数；（2）①根据频率分布表，求出m 、n 、p 的值，完成如图所示的频率分布直方图，并估计该企业职工每周的平均运动时间不低于4h 的概率；②若在样本数据中，有60名女职工每周的平均运动时间不低于4h，请完成以下22⨯列联表，并判断是否有95%以上的把握认为“该企业职工毎周的平均运动时间不低于4h与性别有关”．附：22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++，其中n a b c d=+++．2()P K k0.250.150.100.050.025 0k 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024【分析】（1）直接由分层抽样中每层所占比例相等求得抽取的女职工的人数；（2）①由图表数据及频率和为1求得n，然后依次求p与m的值，并完成频率分布直方图；②填写22⨯列联表，再由公式求得2K，则结论可求．【解答】解：（1）抽取的女职工的人数为1500 300905000⨯=；（2）①10.050.20.150.250.30.05n=-----=，15p=，300154575901560m=-----=；直方图如图：估计该企业职工每周的平均运动时间不低于4h的概率为：30.150.250.30.050.754P =+++==； ②22⨯列联表如图：22()300(456030165) 4.762 3.841()()()()7522521090n ad bc K a b c d a c b d -⨯-⨯==≈>++++⨯⨯⨯．∴有95%以上的把握认为“该企业职工毎周的平均运动时间不低于4h 与性别有关”．【点评】本题考查独立性检验，考查由频率分布直方图求概率的估计值，考查计算能力，是中档题．14．（2019•海淀区校级三模）手机厂商推出一款6寸大屏手机，现对500名该手机使用者(200名女性，300名男性）进行调查，对手机进行评分，评分的频数分布表如下：（Ⅰ）完成下列频率分布直方图，计算女性用户评分的平均值，并比较女性用户和男性用户评分的波动大小（不计算具体值，给出结论即可）；（Ⅱ）把评分不低于70分的用户称为“评分良好用户”，能否有90%的把握认为“评分良好用户”与性别有关？ 参考附表：20()P K k 0.100.050 0.010 0.0010k2.7063.841 6.635 10.828参考公式：2()2()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++【分析】（Ⅰ）利用所给数据，可得频率分布直方图，并比较女性用户和男性用户评分的波动大小； （Ⅱ）求出2K ，与临界值比较，即可得出结论．【解答】解：（Ⅰ）女性用户和男性用户的频率分布表分别如下左、右图：由图可得女性用户的波动小，男性用户的波动大． ⋯（4分） （Ⅱ）22⨯列联表如下图：女性用户 男性用户 合计 “认可”手机 140 180 320 “不认可”手机60 120 180 合计200300500500(14012018060)2 5.208 2.706200300320180K ⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，所以有95%的把握认为性别和对手机的“认可”有关．【点评】本题考查频率分布直方图的作法及应用，考查独立检验的应用，考查频率分布直方图等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．15．（2019•西城区校级模拟）近年电子商务蓬勃发展，2017年某网购平台“双11”一天的销售业绩高达1682亿元人民币，平台对每次成功交易都有针对商品和快递是否满意的评价系统．从该评价系统中选出200次成功交易，并对其评价进行统计，网购者对商品的满意率为0.70，对快递的满意率为0.60，其中对商品和快递都满意的交易为80次．（1）根据已知条件完成下面的22⨯列联表，并回答能否有99%的把握认为“网购者对商品满意与对快递满意之间有关系”？（2）为进一步提高购物者的满意度，平台按分层抽样方法从中抽取10次交易进行问卷调查，详细了解满意与否的具体原因，并在这10次交易中再随机抽取2次进行电话回访，听取购物者意见．求电话回访的2次交易至少有一次对商品和快递都满意的概率．附：22()n ad bcK-=（其中n a b c d=+++为样本容量）2)kk【分析】（1）由题意填写列联表，计算观测值，对照临界值得出结论；（2）根据题意，用列举法求出基本事件数，计算所求的概率值．【解答】解：（1）由题意，填写22⨯列联表，如下：计算2200(80204060)1001.59140601208063K⨯⨯-⨯==≈⨯⨯⨯，由于1.59 6.635<，所以没有99%的把握认为“网购者对商品满意与对快递满意之间有关系”；（2）根据题意，抽取的10次交易中，对商品和快递都满意的交易有4次，记为A、B、C、D，其余6次不是都满意的交易记为1、2、3、4、5、6，那么抽取2次交易一共有45种可能：AB 、AC 、AD 、1A 、2A 、3A 、4A 、5A 、6A 、BC 、BD 、1B 、2B 、⋯⋯、56， 其中2次交易对商品和快递不是都满意的有15种： 12、13、14、15、16、⋯⋯、56；所以，在抽取的2次交易中，至少一次对商品和快递都满意的概率是 45152453P -==． 【点评】本题考查了列联表与独立性检验的应用问题，也考查了列举法求古典概型的概率问题．。
2023年高考数学一轮复习精讲精练(新高考专用)专题52：列联表独立性检验(讲解版)
专题52：列联表独立性检验精讲温故知新1. 数值变量与分类变量数值变量：数值变量的取值为实数，其大小和运算都有实际含义．分类变量：这里所说的变量和值不一定是具体的数值，例如：性别变量，其取值为男和女两种，我们经常会使用一种特殊的随机变量，以区别不同的现象或性质，这类随机变量称为分类变量，分类变量的取值可以用实数表示．注意点：分类变量的取值可以用实数来表示，例如男性，女性可以用1,0表示，学生的班级可以用1,2,3来表示．这些数值只作编号使用，并没有大小和运算意义．分类变量是相对于数值变量来说的．变量的不同“值”表示个体所属的不同类别，像这样的变量才是分类变量．2：列联表：列出两个分类变量的频数表，称为列联表．假设有两个分类变量X和Y，它们的可能取值分别为{x1，x2}和{y1，y2}，其样本频数列联表(称为2×2列联表)为2×2列联表构造一个随机变量K2＝n（ad－bc）（a＋b）（a＋c）（b＋d）（c＋d），其中n＝a＋b＋c＋d为样本容量．3. 分类变量与列联表的实际应用利用2×2列联表分析两个分类变量间的关系时，首先要根据题中数据获得2×2列联表，然后根据频率特征，即将aa＋b与cc＋d⎝⎛⎭⎪⎫ba＋b与dc＋d的值相比，直观地反映出两个分类变量间是否相互影响，但方法较粗劣．4. 独立性检验的理解1．独立性检验：利用χ2的取值推断分类变量X 和Y 是否独立的方法称为χ2独立性检验，读作“卡方独立性检验”，简称独立性检验． 2．χ2＝n ad －bc 2a ＋bc ＋d a ＋cb ＋d，其中n ＝a ＋b ＋c ＋d .注意点：(1)卡方越小，独立性越强，相关性越弱；卡方越大，独立性越弱，相关性越强．(2)当χ2≥x α时，我们就推断H 0不成立，即认为X 和Y 不独立，该推断犯错误的概率不超过α；当χ2＜x α时，我们没有充分证据推断H 0不成立 ，可以认为X 和Y 独立． 根据所给的观测值，与所给的临界值表中的数据进行比较，即可得出结论． 5. 有关“相关的检验” 用χ2进行“相关的检验”步骤 (1)零假设：即先假设两变量间没关系． (2)计算χ2：套用χ2的公式求得χ2值．(3)查临界值：结合所给小概率值α查得相应的临界值x α. (4)下结论：比较χ2与x α的大小，并作出结论． 6. 有关“无关的检验” 运用独立性检验的方法(1)列出2×2列联表，根据公式计算χ2. (2)比较χ2与x α的大小作出结论题型一：列联表例1：假设有两个变量X 和Y ，他们的取值分别为1x ，2x 和1y ，2y ，其列联表为：则表中a ，b 的值分别是（ ） A ．94，96 B ．54，52C ．52，50D ．52，60【答案】D【详解】根据列联表知，=732152a -=，又8a b +=，所以60b =， 故选：D举一反三下列是关于出生男婴与女婴调查的22⨯列联表那么D __________．【答案】82【详解】解：由题意，4598E +=，35A D +=，45A B +=，35E C +=，180B C +=47A ∴=，92B =，88C =，82D =，53E =故答案为： 82.题型二：等高条形图例2：为了解户籍性别对生育二胎选择倾向的影响，某地从育龄人群中随机抽取了容量为100的调查样本，其中城镇户籍与农村户籍各50人，男性40人，女性60人，绘制不同群体中倾向选择生育二胎与选择不生育二胎的人数比例图（如图所示），其中阴影部分表示倾向选择生育二胎的对应比例，则关于样本下列叙述中正确的是（ ）A ．是否倾向选择生育二胎与户籍无关B ．是否倾向选择生育二胎与性别有关C ．倾向选择生育二胎的人员中，男性人数与女性人数相同D ．倾向选择不生育二胎的人员中，农村户籍人数少于城镇户籍人数 【答案】D【详解】对于A ，城镇户籍中40%选择生育二胎，农村户籍中80%选择生育二胎，相差较大，则是否倾向选择生育二胎与户籍有关，A 错误；对于B ，男性和女性中均有60%选择生育二胎，则是否倾向选择生育二胎与性别无关，B 错误； 对于C ，由于男性和女性中均有60%选择生育二胎，但样本中男性40人，女性60人，则倾向选择生育二胎的人员中，男性人数与女性人数不同，C 错误；对于D ，倾向选择不生育二胎的人员中，农村户籍有5020%10⨯=人，城镇户籍有5060%30⨯=人，农村户籍人数少于城镇户籍人数，D 正确.故选：D.举一反三为了解某高校学生使用手机支付和现金支付的情况，抽取了部分学生作为样本，统计其喜欢的支付方式，并制作出如等高条形图：根据图中的信息，下列结论中不正确的是（）A．样本中多数男生喜欢手机支付B．样本中的女生数量少于男生数量C．样本中多数女生喜欢现金支付D．样本中喜欢现金支付的数量少于喜欢手机支付的数量【答案】C【详解】对于A，由右图可知，样本中多数男生喜欢手机支付，A对；对于B，由左图可知，样本中的男生数量多于女生数量，B对；对于C，由右图可知，样本中多数女生喜欢手机支付，C错；对于D，由右图可知，样本中喜欢现金支付的数量少于喜欢手机支付的数量，D对.故选：C.题型三：独立性检验的概念及计算例3：（2022·湖北武汉·模拟预测）通过随机询问某中学110名中学生是否爱好跳绳，得到如下列联表：跳绳性别合计男女爱好40 20 60 不爱好20 30 50已知()()()()()22n ad bcKa b c d a c b d-=++++，则以下结论正确的是（）A．根据小概率值0.001α=的独立性检验，爱好跳绳与性别无关B．根据小概率值0.001α=的独立性检验，爱好跳绳与性别无关，这个结论犯错误的概率不超过0.001 C．根据小概率值0.01α=的独立性检验，有99%以上的把握认为“爱好跳绳与性别无关”D．根据小概率值0.01α=的独立性检验，在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为“爱好跳绳与性别无关”【答案】A【详解】由题知()()()()()22 2110(40302020)7.82260506050n ad bcKa b c d a c b d-⨯-⨯==≈++++⨯⨯⨯因为7.82210.828<，所以爱好跳绳与性别无关且这个结论犯错误的概率超过0.001，故A正确，B错误，又因为7.822 6.635>，所以有99%以上的把握认为“爱好跳绳与性别有关，或在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为“爱好跳绳与性别有关.故C和D错误.故选：A.举一反三1．（2022·江西南昌·一模（理））根据分类变量x与y的观察数据，计算得到2 2.974K=，依据下表给出的2K 独立性检验中的小概率值和相应的临界值，作出下列判断，正确的是（）A．有95%的把握认为变量x与y独立B．有95%的把握认为变量x与y不独立C．变量x与y独立，这个结论犯错误的概率不超过10%D．变量x与y不独立，这个结论犯错误的概率不超过10%【答案】D【详解】因为2 2.974 2.706K=>，所以变量x与y不相互独立，这个结论犯错误的概率不超过10%.故选：D 2．（2022·四川雅安·三模（文））为考察一种新药预防疾病的效果，某科研小组进行动物实验，收集整理数据后将所得结果填入相应的22K≈.参照附表，下列结论正确⨯列联表中，由列联表中的数据计算得29.616的是（）附表：A．在犯错误的概率不超过0.1％的前提下，认为“药物有效”B．在犯错误的概率不超过0.1％的前提下，认为“药物无效”C．有99％以上的把握认为“药物有效”D．有99％以上的把握认为“药物无效”【答案】C解：因为29.616<<，所以有99%以上的把握认为“药物有效”．K7.87910.828K≈，即2故选：C．题型四：独立性检验的基本思想例4：（2022·江西·二模（文））千百年来，我国劳动人民在生产实践中根据云的形状、走向速度、厚度、颜色等的变化，总结了丰富的“看云识天气”的经验，并将这些经验编成谚语，如“天上钩销云，地上雨淋林”“日落云里走，雨在半夜后”……小明同学为了验证“日落云里走，雨在半夜后”，观察了所在地区A的100天日落和夜晚天气，得到如下22⨯列联表：并计算得到219.05K=，下列小明对地区天气判断正确的是（）A．夜晚下雨的概率约为1 5B．未出现“日落云里走”，但夜晚下雨的概率约为12C．出现“日落云里走”，有99.9%的把握认为夜晚会下雨D．有99.9%的把握认为“‘日落云里走’是否出现”与“当晚是否下雨”有关【答案】D【详解】根据表中数据可知,夜晚下雨的概率约为252511002P+==,所以A错.未出现“日落云里走”，但夜晚下雨的概率约为255254514P==+,故B错.219.0510.828K=>,对照临界值表可知,有99.9%的把握认为“‘日落云里走’是否出现”与“当晚是否下雨”有关,但不能说有99.9%的把握认为夜晚会下雨,故C错,D对.故选:D举一反三（2022·安徽省芜湖市教育局模拟预测（理））为了检验某种血清预防感冒的作用，把500名使用血清的人与另外500名未使用血清的人一年中的感冒记录作比较，提出假设0H ：“这种血清不能起到预防感冒的作用”，利用22⨯列联表计算的结果，认为0H 成立的可能性不足1%，那么2K 的一个可能取值为（ ）A ．7.879B ．6.635C ．5.024D ．3.841【答案】A【详解】若0H 成立的可能性不足1%，则2 6.635K >，由选项知：27.879K =. 故选：A.题型五：独立性检验解决实际问题例5：（2022·全国·高考真题）一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯（卫生习惯分为良好和不够良好两类）的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了100例（称为病例组），同时在未患该疾病的人群中随机调查了100人（称为对照组），得到如下数据：(1)能否有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异？(2)从该地的人群中任选一人，A 表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”，B 表示事件“选到的人患有该疾病”．(|)(|)P B A P B A 与(|)(|)P B A P B A 的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一项度量指标，记该指标为R ．（ⅰ）证明：(|)(|)(|)(|)P A B P A B R P A B P A B =⋅；（ⅱ）利用该调查数据，给出(|),(|)P A B P A B 的估计值，并利用（ⅰ）的结果给出R 的估计值．附22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，【解析】(1)由已知222()200(40906010)=24()()()()50150100100n ad bc K a b c d a c b d -⨯-⨯==++++⨯⨯⨯， 又2( 6.635)=0.01P K ≥，24 6.635>，所以有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异. (2)(i)因为(|)(|)()()()()=(|)(|)()()()()P B A P B A P AB P A P AB P A R P B A P B A P A P AB P A P AB =⋅⋅⋅⋅，所以()()()()()()()()P AB P B P AB P B R P B P AB P B P AB =⋅⋅⋅ 所以(|)(|)(|)(|)P A B P A B R P A B P A B =⋅，(ii) 由已知40(|)100P A B =，10(|)100P A B =，又60(|)100P A B =，90(|)100P A B =， 所以(|)(|)=6(|)(|)P A B P A B R P A B P A B =⋅举一反三（2021·全国·高考真题（文））甲、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两台机床产品的质量，分别用两台机床各生产了200件产品，产品的质量情况统计如下表：（1）甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少?（2）能否有99%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异?附：22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++【详解】（1）甲机床生产的产品中的一级品的频率为15075% 200=,乙机床生产的产品中的一级品的频率为12060% 200=.（2）()22400150801205040010 6.63527013020020039K⨯-⨯==>>⨯⨯⨯,故能有99%的把握认为甲机床的产品与乙机床的产品质量有差异.精练巩固提升一、单选题1．（2022·全国·模拟预测）某初级中学有700名学生，在2021年秋季运动会中，为响应全民健身运动的号召，要求每名学生都必须在“立定跳远”与“坐位体前屈”中选择一项参加比赛．根据报名结果知道，有12的男生选择“立定跳远”，有34的女生选择“坐位体前屈”，且选择“立定跳远”的学生中女生占25，则参照附表，下列结论正确的是（）附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，n ＝a ＋b ＋c ＋d ．A ．在犯错误的概率不超过2.5%的前提下，认为选择运动项目与性别无关B ．在犯错误的概率不超过5%的前提下，认为选择运动项目与性别无关C ．有97.5%的把握认为选择运动项目与性别有关D ．有95%的把握认为选择运动项目与性别有关【答案】C 【详解】解：由题意得：设该校男生人数为x ，女生人数为y ，则可得如下表格：由题意知12411524y x y =+，即43y x =，又x ＋y ＝700，解得300,400,x y =⎧⎨=⎩则()2270015030015010046.67 5.024300400250450K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，所以有97.5%的把握认为选择运动项目与性别有关.故选C ． 2．（2022·四川成都·三模（理））在某大学一食品超市，随机询问了70名不同性别的大学生在购买食物时是否查看营养说明，得到如下的列联表：附：()()()()()22n ad bcKa b c d a c b d-=++++，其中n a b c d=+++．根据列联表的独立性检验，则下列说法正确的是（）．A．在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为该校大学生在购买食物时要查看营养说明的人数中男生人数更多B．在犯错误的概率不超过0.010的前提下认为该校女大学生在购买食物时要查看营养说明的人数与不查看营养说明的人数比为3 4C．在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为性别与是否查看营养说明有关系D．在犯错误的概率不超过0.010的前提下认为性别与是否查看营养说明有关系【答案】C【详解】由题可得2270(15102025)= 5.83 5.02435353040K⨯⨯-⨯≈>⨯⨯⨯，∴在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为性别与是否查看营养说明有关系.故选：C.3．（2021·全国·模拟预测（理））为了丰富教职工业余文化生活，某校计划在假期组织70名老师外出旅游，并给出了两种方案(方案一和方案二)，每位老师均选择且只选择一种方案，其中有50%的男老师选择方案一，有75%的女老师选择方案二，且选择方案一的老师中女老师占40%，则参照附表，得到的正确结论是（ ）附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，n a b c d =+++.A ．在犯错误的概率不超过2.5%的前提下，认为“选择方案与性别有关”B ．在犯错误的概率不超过2.5%的前提下，认为“选择方案与性别无关”C ．有95%以上的把握认为“选择方案与性别有关”D ．有95%以上的把握认为“选择方案与性别无关”【答案】C【详解】设该校男老师的人数为x ，女老师的人数为y ，则可得如下表格：由题意0.40.50.25x y =+，可得43y x =，可得30x =，40y =， 则()227015301510 4.667 3.84125453040K ⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯， 但4.667 5.024<，所以无97.5%以上有95%以上的把握认为“选择方案与性别有关”.故选：C.4．（2021·安徽黄山·二模（理））下列命题：①在线性回归模型中，相关指数2R 表示解释变量x 对于预报变量y 的贡献率，2R 越接近于0，表示回归效果越好；②两个变量相关性越强，则相关系数的绝对值就越接近于1；③两个模型中残差平方和越小的模型拟合的效果越好；④对分类变量X 与Y ，它们的随机变量2K 的观测值k 来说，k 越大，“X 与Y 有关系”的把握程度越大． 其中正确命题的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C解：①在线性回归模型中，相关指数2R 表示解释变量x 对于预报变量y 的贡献率，2R 越接近于0，表示回归效果越不好，①错误；②两个变量相关性越强，则相关系数的绝对值就越接近于1，②正确；③两个模型中残差平方和越小的模型拟合的效果越好，③正确；④对分类变量X 与Y ，它们的随机变量2K 的观测值k 来说，k 越大，“X 与Y 有关系”的把握程度越大，④正确．故选：C ．5．（2022·河南·长葛市第一高级中学模拟预测（理））某校计划在课外活动中新增攀岩项目，为了解学生喜欢攀岩和性别是否有关，面向全体学生开展了一次随机调查，其中参加调查的男、女生人数相同，并绘制成等高条形图（如图所示），则下列说法正确的是（ ） ()20P K k ≥ 0.05 0.010k 3.841 6.635参考公式：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，n a b c d =+++．A ．参与调查的学生中喜欢攀岩的女生人数比喜欢攀岩的男生人数多B ．参与调查的女生中喜欢攀岩的人数比不喜欢攀岩的人数多C ．若参与调查的男、女生人数均为100人，则能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为喜欢攀岩和性别有关D ．无论参与调查的男、女生人数为多少，都能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为喜欢攀岩和性别有关【答案】C【详解】对于选项A ：因为参加调查的男、女生人数相同，而男生中喜欢攀岩的占80%，女生中喜欢攀岩的占30%，所以参与调查的学生中喜欢攀岩的男生人数比喜欢攀岩的女生人数多，所以选项A 错误；对于选项B ：参与调查的女生中喜欢攀岩的人数占30%，不喜欢攀岩的人数占70%，所以参与调查的女生中喜欢攀岩的人数比不喜欢攀岩的人数少，所以选项B 错误；对于选项C ：若参与调查的男、女生人数均为100人，根据图表，列出2×2列联表如下：所以()2220080702030500050.505 6.6351109010010099K ⨯⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯， 所以在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为喜欢攀岩和性别有关，C 正确；对于选项D ：如果不确定参与调查的男、女生人数，无法计算2K ，D 错误．故选：C ．6．（2022·山东聊城·一模）根据分类变量x 与y 的成对样本数据，计算得到2 6.147χ=.依据0.01α=的独立性检验()0.01 6.635x =，结论为（ ）A ．变量x 与y 不独立B ．变量x 与y 不独立，这个结论犯错误的概率不超过0.01C ．变量x 与y 独立D ．变量x 与y 独立，这个结论犯错误的概率不超过0.01【答案】C【详解】按照独立性检验的知识及比对的参数值，当2 6.147χ=，我们可以下结论变量x 与y 独立.故排除选项A,B;依据0.01α=的独立性检验()0.01 6.635x =，6.147<6.635,所以我们不能得到“变量x 与y 独立，这个结论犯错误的概率不超过0.01”这个结论.故C 正确，D 错误.故选：C7．（2022·天津·模拟预测）下列说法错误的是（ ）A ．线性相关系数0r >时，两变量正相关 B ．两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数r 的值就越接近于1C ．在回归直线方程ˆ0.20.8yx =+中，当解释变量x 每增加1个单位时，预报变量ˆy 平增加0.2个单位 D ．对分类变量X 与Y ，随机变量2χ的观测值越大，则判断“X 与Y 有关系”的把握程度越大【答案】B【详解】A ：线性相关系数0r >时，变量为正相关，正确；B ：两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数||r 的值就越接近于1，错误；C ：在回归直线方程ˆ0.20.8yx =+中，当1x ∆=时，ˆ0.2y ∆=，正确； D ：对分类变量X 与Y ，随机变量2χ的观测值越大，变量间的关系把握程度越大，正确.故选：B8．（2020·河南·模拟预测（文））2020年2月，全国掀起了“停课不停学”的热潮，各地教师通过网络直播､微课推送等多种方式来指导学生线上学习.为了调查学生对网络课程的热爱程度，研究人员随机调查了相同数量的男､女学生，发现有80%的男生喜欢网络课程，有40%的女生不喜欢网络课程，且有99%的把握但没有99.9%的把握认为是否喜欢网络课程与性别有关，则被调查的男､女学生总数量可能为（ ）附：()()()()()2n ad bc a b c d a c b d -++++，其中n a b c d =+++.A ．130B ．190C ．240D ．250【答案】B 【解析】【分析】设男、女学生的人数都为5x ，则男、女学生的总人数为10x ，建立22⨯列联表，由独立性检验算出2K ，结合观测值和选项可得答案.【详解】依题意，设男、女学生的人数都为5x ，则男、女学生的总人数为10x ，建立22⨯列联表如下，故()2222108310553721⋅-==⋅⋅⋅x x x x K x x x x ，由题意可得106.63510.82821x <<， 所以139.33510227.388x <<，结合选项可知，只有B 符合题意.故选：B.二、多选题9．（2021·福建福州·一模）“一粥一饭，当思来之不易”，道理虽简单，但每年我国还是有2000多亿元的餐桌浪费，被倒掉的食物相当于2亿多人一年的口粮．为营造“节约光荣，浪费可耻”的氛围，某市发起了“光盘行动”．某机构为调研民众对“光盘行动”的认可情况，在某大型餐厅中随机调查了90位来店就餐的客人，制成如下所示的列联表，通过计算得到K 2的观测值为已知()2 6.6350.010P K =，()210.8280.001P K =，则下列判断正确的是（ ）A ．在该餐厅用餐的客人中大约有66.7%的客人认可“光盘行动”B ．在该餐厅用餐的客人中大约有99%的客人认可“光盘行动”C ．有99%的把握认为“光盘行动”的认可情况与年龄有关D ．在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为“光盘行动”的认可情况与年龄有关【答案】AC【详解】∵K 2的观测值为9，且P （K 2≥6.635）＝0.010，P （K 2≥10.828）＝0.001，又∵9＞6.635，但9＜10.828，∴有99%的把握认为“光盘行动”的认可情况与年龄有关，或者说，在犯错误的概率不超过0.010的前提下，认为“光盘行动”的认可情况与年龄有关，所以选项C 正确，选项D 错误，由表可知认可“光盘行动”的人数为60人，所以在该餐厅用餐的客人中认可“光盘行动”的比例为6010090⨯%≈66.7%， 故选项A 正确，选项B 错误.故选：AC.10．（2022·湖南岳阳·三模）下列说法正确的是（ ）A ．线性回归方程y bx a =+必过(,)x yB ．设具有线性相关关系的两个变量x ，y 的相关系数为r ，则r 越接近于0，x 和y 之间的线性相关程度越强C ．在一个22⨯列联表中，由计算得2K 的值，则2K 的值越小，判断两个变量有关的把握越大D ．若()2~1,X N σ，()20.2P X >=，则()010.3P X <<= 【答案】AD【详解】因为线性回归方程y bx a =+必过样本中心点(,)x y ，所以选项A 正确； 因为r 越接近于0，x 和y 之间的线性相关程度越弱，所以选项B 不正确；因为2K 的值越小，确定两个变量有关的把握的程度越小，所以选项C 不正确；因为()2~1,X N σ，所以()()()1011220.32P X P X P X <<=<<=->=，因此选项D 正确，故选：AD 三、填空题11．（2020·宁夏·固原一中模拟预测（文））在独立性检验中，统计量K 2有两个临界值：3.841和6.635.当K 2＞3.841时，有95%的把握说明两个事件有关，当K 2＞6.635时，有99%的把握说明两个事件有关，当K 2≤3.841时，认为两个事件无关.在一项打鼾与患心脏病的调查中，共调查了2000人，经计算K 2＝20.87.根据这一数据分析，我们有理由认为打鼾与患心脏病之间是________的(有关、无关).【答案】有关【详解】K 2＝20.87＞6.635时，有99%的把握说明打鼾与患心脏病有关.故答案为：有关12．（2022·全国·模拟预测）某大学为了解喜欢看篮球赛是否与性别有关，随机调查了部分学生，在被调查的学生中，男生人数是女生人数的2倍，男生喜欢看篮球赛的人数占男生人数的56，女生喜欢看篮球赛的人数占女生人数的13.若被调查的男生人数为n ，且有95%的把握认为喜欢看篮球赛与性别有关，则n 的最小值为______.【答案】12【详解】由题意得到如下列联表：所以2235263663822n n n n n n n n n n χ⎛⎫⋅-⋅⎪ ⎭⎝==⋅⋅⋅. 因为有95%的把握认为喜欢看篮球赛与性别有关，所以2 3.841χ≥，即3 3.8418n ≥， 3.841810.243n ⨯≥≈. 又2n ，3n ，6n 为整数，所以n 的最小值为12.故答案为：12 13．（2020·山西·大同一中模拟预测（理））某班主任对全班30名男生进行了作业量多少的调查，数据如下表：该班主任据此推断男生认为作业多与喜欢玩电脑游戏有关系，则这种推断犯错误的概率不超过________． 附表及公式：参考公式：K 2＝2()()()()()n ad bc a b c d a c b d -++++. 【答案】0.05【详解】计算得K 2的观测值k ＝230(12828)14162010⨯⨯-⨯⨯⨯⨯≈4.286＞3.841，则推断犯错误的概率不超过0.05.故答案为：0.05．14．（2022·辽宁葫芦岛·二模（理））下列说法：①线性回归方程y bx a =+必过(),x y ；②命题“21,34x x ∀≥+≥”的否定是“21,34x x ∃<+<”③相关系数r 越小，表明两个变量相关性越弱；④在一个22⨯列联表中，由计算得28.079K =，则有99%的把握认为这两个变量间有关系；其中正确．．的说法是__________．(把你认为正确的结论都写在横线上） 本题可参考独立性检验临界值表： 【答案】①④详解：线性回归方程ˆˆˆybx a =+必过样本中心点(),x y ，故①正确． 命题“21,34x x ∀≥+≥”的否定是“21,34x x ∃≥+<” 故②错误③相关系数r 绝对值越小，表明两个变量相关性越弱，故不正确；④在一个22⨯列联表中，由计算得28.079K =，则有99%的把握认为这两个变量间有关系，正确.故答案为①④.四、解答题15．（2022·全国·高考真题（文））甲、乙两城之间的长途客车均由A 和B 两家公司运营，为了解这两家公司长途客车的运行情况，随机调查了甲、乙两城之间的500个班次，得到下面列联表：(1)根据上表，分别估计这两家公司甲、乙两城之间的长途客车准点的概率；(2)能否有90%的把握认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司有关？附：22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++，()2P K k0.100 0.050 0.010k 2.706 3.841 6.635【解析】(1)根据表中数据，A共有班次260次，准点班次有240次，设A家公司长途客车准点事件为M，则24012 ()26013==P M；B共有班次240次，准点班次有210次，设B家公司长途客车准点事件为N，则210()27840==P N.A家公司长途客车准点的概率为12 13；B家公司长途客车准点的概率为7 8 .(2)列联表22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++=2500(2403021020) 3.205 2.70626024045050⨯⨯-⨯≈>⨯⨯⨯， 根据临界值表可知，有90%的把握认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司有关. 16．（2020·全国·高考真题（文））某学生兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次，整理数据得到下表（单位：天）：（1）分别估计该市一天的空气质量等级为1，2，3，4的概率；（2）求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；（3）若某天的空气质量等级为1或2，则称这天“空气质量好”；若某天的空气质量等级为3或4，则称这天“空气质量不好”．根据所给数据，完成下面的2×2列联表，并根据列联表，判断是否有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关？附：22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++，【详解】（1）由频数分布表可知，该市一天的空气质量等级为1的概率为216250.43100++=，等级为2的概率为510120.27100++=，等级为3的概率为6780.21100++=，等级为4的概率为7200.09100++=；（2）由频数分布表可知，一天中到该公园锻炼的人次的平均数为100203003550045350100⨯+⨯+⨯=（3）22⨯列联表如下：()221003383722 5.820 3.84155457030K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯， 因此，有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关.。
独立性检验高考真题(2017年-2018年))
2017年全国卷2文科数学19.（12分）海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量(单位：kg), 其频率分布直方图如下：(1)记A表示事件“旧养殖法的箱产量低于50kg”，估计A的概率；(2)填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：箱产量(1)根据箱产量的频率分布直方图，对两种养殖方法的优劣进行较。
附：【解析】(1)旧养殖法的箱产量低于的频率为因此，事件A的概率估计值为0.62.(2)根据箱产量的频率分布直方图得列联表K2=由于15.705＞6.635,故有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关.(3)箱产量的频率分布直方图平均值(或中位数)在45kg到50kg之间,且新养殖法的箱产量分布集中程度较旧养殖法的箱产量分布集中程度高,因此,可以认为新养殖法的箱产量较高且稳定,从而新养殖法优于旧养殖法.2018全国卷318.某工厂为提高生产效率,开展技术创新活动,提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式,为比较两种生产方式的效率,选取40名工人,将他们随机分成两组,每组20人第一组工人用第一种生产方式,第二组工人用第二种生产方式,根据工人完成生产任务的工作时同(单位:min)绘制了如下茎叶图:(1)根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高?并说明理由:(2)求40名工人完成生产任务所需时间的中位数m,并将完成生产任务所需时间超过m和不?解：（1）第二种生产方式的效率更高.理由如下：（i）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人中，有75%的工人完成生产任务所需时间至少80分钟，用第二种生产方式的工人中，有75%的工人完成生产任务所需时间至多79分钟.因此第二种生产方式的效率更高.（ii）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为85.5分钟，用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为73.5分钟.因此第二种生产方式的效率更高.（iii）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间高于80分钟；用第二种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间低于80分钟，因此第二种生产方式的效率更高.（iv）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎8上的最多，关于茎8大致呈对称分布；用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎7上的最多，关于茎7大致呈对称分布，又用两种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布的区间相同，故可以认为用第二种生产方式完成生产任务所需的时间比用第一种生产方式完成生产任务所需的时间更少，因此第二种生产方式的效率更高.以上给出了4种理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分.（2）由茎叶图知.列联表如下：超过不超过（3）由于，所以有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异.。
高考数学一轮复习专题04 独立性检验(解析版)
概率与统计 专题四：独立性检验一、知识储备 1．22⨯列联表设X ，Y 为两个变量，它们的取值分别为12{}x x ,和12{}y y ,，其样本频数列联表(22⨯列联表)如下：2．独立性检验利用随机变量2K (也可表示为2χ)2()()()()()n ad bc a b c d a c b d -=++++(其中n a b c d =+++为样本容量)来判断“两个变量有关系”的方法称为独立性检验． 3．独立性检验的一般步骤(1)根据样本数据列出22⨯列联表；(2)计算随机变量2K 的观测值k ，查下表确定临界值k 0：(3)如果0k k ≥，就推断“X 与Y 有关系”，这种推断犯错误的概率不超过()20P K k ≥；否则，就认为在犯错误的概率不超过()20P K k ≥的前提下不能推断“X 与Y 有关系”．【注意】(1)通常认为 2.706k ≤时，样本数据就没有充分的证据显示“X 与Y 有关系”．(2)独立性检验得出的结论是带有概率性质的，只能说结论成立的概率有多大，而不能完全肯定一个结论，因此才出现了临界值表，在分析问题时一定要注意这点，不可对某个问题下确定性结论，否则就可能对统计计算的结果作出错误的解释．(3)独立性检验是对两个变量有关系的可信程度的判断，而不是对其是否有关系的判断．二、例题讲解1．（2022·榆林市第十中学高三月考（文））随着经济的发展，人们的生活水平显著提高，健康意识不断增强，健康管理理念深入人心，人们参加体育锻炼的次数与时间在逐渐增加.某校一个课外学习小组为研究居民参加体育锻炼的时长（时长不超过60分钟）是否与性别有关，对某小区居民进行调查，并随机抽取了100名居民的调查结果，其中男性有55人，根据调查结果绘制了居民日均锻炼时间的频率分布直方图如下：(1)求样本中居民日均锻炼时间的中位数；(2)将日均锻炼时间不低于40分钟的居民称为“健生达人”（健康生活达人），已知样本中“健生达人”中有10名女性，根据已知条件完成下面22⨯列联表，并据此资料判断是否有95%的把握认为“健生达人”与性别有关.附：()()()()()22n ad bcKa b c d a c b d-=++++，n a b c d=+++.【答案】(1)32.8分钟；(2)表格见解析，没有95%的把握认为“健生达人”与性别有关. 【分析】(1)根据中位数的定义求样本中居民日均锻炼时间的中位数；(2)分析数据，完成列联表，计算2K ，通过比较其与临界值的大小，确定是否接受假设. 【详解】解：本题考查独立性检验.(1)由频率分布直方图知日均锻炼时间在[)0,30对应的频率为0.050.180.20.43++=，则中位数位于[)30,40，且中位数为0.500.43301032.80.25-+⨯=（分钟）(2)由频率分布直方图可知在抽取的100人中，“健生达人”有32人，从而22⨯列联表如下：得()210033103522 3.595 3.84155456832K ⨯-⨯=≈<⨯⨯⨯，所以没有95%的把握认为“健生达人”与性别有关2．（2022·江苏南京市·高三开学考试）科研小组为提高某种水果的果径，设计了一套实验方案，并在两片果园中进行对比实验.其中实验园采用实验方案，对照园未采用.实验周期结束后，分别在两片果园中各随机选取100个果实，按果径分成5组进行统计：[)21,26，[)26,31，[)31,36，[)36,41，[]41,46（单位：mm ）.统计后分别制成如下的频率分布直方图，并规定果径达到36mm 及以上的为“大果”.（1）请根据题中信息完成下面的列联表，并判断是否有99.9%的把握认为“大果”与“采用实验方案”有关；（2）根据长期种植经验，可以认为对照园中的果径X 服从正态分布()2,N μσ，其中μ近似为样本平均数x ，5.5σ≈，请估计对照园中果径落在区间()39,50内的概率.（同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表）附：①()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++；②若X 服从正态分布()2,N μσ，则()0.683P X μσμσ-<<+=，()220.954P X μσμσ-<<+=，()330.997P X μσμσ-<<+=.【答案】（1）列联表见解析，有99.9%的把握认为两者有关；（2）0.157. 【分析】（1）根据频率分布直方图分别求出采用实验方案大果和非大果数量及未采用实验方案大果和非大果数量，从而可得出列联表，再根据公式求出2K ，对照临界值表即可得出结论；（2）求出样本平均数x ，再根据正态分布的性质即可得出答案. 【详解】解：（1）由频率分布直方图可得：采用实验方案大果的数量为()50.1100.01010060⨯+⨯=个， 则非大果数量为1006040-=个，未采用实验方案大果的数量为()50.0400.02010030⨯+⨯=个， 则非大果数量为1003070-=个， 列联表如下：22006070304020010.8281001009011011K ⨯-⨯==⨯⨯⨯＞，所以有99.9%的把握认为两者有关； （2）由题中数据，23.50.128.50.233.50.438.50.243.50.133.5x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=， 则33.5μ=，则()()0.9970.683395030.157P X P X μσμσ-=++==＜＜＜＜.三、实战练习1．（2022·定远县育才学校高三开学考试（文））微信是腾讯公司推出的一种手机通信软件，它支持发送语音短信､视频､图片和文字，一经推出便风靡全国，甚至涌现出一批在微信的朋友圈内销售商品的人.为了调查微信用户每天使用微信的时间，某经销化妆品的店家在一广场随机采访男性､女性用户各50名，将男性､女性平均每天使用微信的时间（单位：h ）分成5组：(0,2],(2,4],(4,6],(6,8],(8,10]分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图.（1）根据频率分布直方图估计女性平均每天使用微信的时间；（2）若每天玩微信超过4h 的用户称为“微信控”，否则称为“非微信控”，判断是否有90%的把握认为“微信控”与性别有关. 附表：（参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++）【答案】（1）4.76()h ；（2）有90%的把握认为“微信控”与性别有关. 【分析】（1）用每个小矩形的面积乘以对应小矩形底边的中点，然后求和即可得到答案；（2）先通过频率分布直方图面积为1求出a ，进而根据参考公式求出K 2，然后将数据进行对比即可得到答案. 【详解】（1）由女性的频率分布直方图，可知女性用户平均每天使用微信的时间为0.1610.2430.2850.2070.129 4.76()h ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.（2）由男性的频率分布直方图，可得2(0.040.1420.12)1a +++⨯=，解得0.08a =.由两个频率分布直方图，可得22⨯列联表如下：2K的观测值2100(38203012)2.941 2.70650506832k⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，所以有90%的把握认为“微信控”与性别有关.2．（2022·河北唐山·高三开学考试）数字人民币是由央行发行的法定数字货币，它由指定运营机构参与运营并向公众兑换，与纸钞和硬币等价.截至2022年6月30日，数字人民币试点场景已超132万个，覆盖生活缴费､餐饮服务､交通出行､购物消费､政务服务等领域.为了进一步了解普通大众对数字人民币的感知以及接受情况，某机构进行了-次问卷调查，部分结果如下：（1）如果将高中及高中以下的学历称为“低学历”，大学专科及以上学历称为“高学历”，根据所给数据，完成下面的22⨯列联表；（2）若从低学历的被调查者中，按对数字人民币的了解程度用分层抽样的方法抽取8人，然后从这8人中抽取2人进行进一步调查，求被选中的2人中至少有1人对数字人民币不了解的概率；（3）根据列联表，判断是否有95%的把握认为“是否了解数字人民币”与“学历高低”有关？ 附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++【答案】（1）列联表答案见解析；（2）914；（3）没有95%的把握认为“是否了解数字人民币”与“学历高低”有关. 【分析】（1）根据题中所给数据完成22⨯列联表即可；（2）根据分层抽样分别求出不了解数字人民币和了解数字人民币的人数，再根据古典概型公式即可得解； （3）根据公式求出2K ，在参照临界值表即可得出结论. 【详解】解：（1）22⨯列联表如下：（2）从低学历被调查者中按对数字人民币的了解程度用分层抽样的方法抽取8人，抽取的8人中，不了解数字人民币的有81503400⨯=人， 了解数字人民币的有82505400⨯=人， 从这8人中抽取2人进行进一步调查，求被选中的2人中至少有1人对数字人民币不了解的概率2528C 91C 14P =-=.（3）根据列联表得()22800125250150275800 3.463 3.841275525400400231K ⨯⨯-⨯==≈<⨯⨯⨯.故没有95%的把握认为“是否了解数字人民币”与“学历高低”有关.3．（2022·广东实验中学高三月考）在传染病学中，通常把从致病刺激物侵入机体或者对机体发生作用起，到机体出现反应或开始呈现该疾病对应的相关症状时止的这一阶段称为潜伏期．一研究团队统计了某地区1000名患者的相关信息，得到如下表格：（1）求这1000名患者的潜伏期的样本平均值x （同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； （2）该传染病的潜伏期受诸多因素的影响，为研究潜伏期与患者年龄的关系，以潜伏期是否超过6天为标准进行分层抽样，从上述1000名患者中抽取200人，得到如下列联表请将列联表补充完整，并根据列联表判断是否有95%的把捏认为潜伏期与息者年龄有关；（3）以这1000名患者的潜伏期超过6天的频率，代替该地区1名患者潜伏期超过6天发生的概率，每名患者的潜伏期是否超过6天相互独立．为了深入研究，该研究团队随机调查了20名患者，其中潜伏期超过6天的人数最有可能（即概率最大）．．．．．．．．．．．是多少？ 附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．【答案】（1）5.4天；（2）列联表见解析，没有95%的把捏认为潜伏期与息者年龄有关.（3）潜伏期超过6天最有可能．．．．是8人.【分析】（1）根据频率直方表求平均值即可.（2）由题设写出列联表，根据卡方检验公式计算卡方值，比照参考值即可知是否有95%的把捏认为潜伏期与息者年龄有关；（3）由题意知潜伏期超过6天的人数2(20,)5X B ，则202032()()()55k k kP X k C -==，应用不等法求最大概率时的k 值即可. 【详解】（1）10.08530.20550.3170.2590.13110.015130.005x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯ 5.4=天.（2）由题设知：[0,6]的频率为0.6，(6,14]的频率为0.4，故200人中潜伏期在[0,6]上有120人，在(6,14]上有80人. 列联表如下：∴22200(65453555) 2.083 3.84110010012080K ⨯⨯-⨯=≈<⨯⨯⨯，故没有95%的把捏认为潜伏期与息者年龄有关.（3）由患者潜伏期超过6天发生的概率400210005=， 设潜伏期超过6天的人数为X ，则2(20,)5XB ，∴202032()()()55k k kP X k C -==且020k ≤≤，*k N ∈，由题意，()(1)()(1)P X k P X k P X k P X k =≥=+⎧⎨=≥=-⎩，即2019112020202111202032325555{32325555k k k k k k k k k k k k C C C C --++----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫≥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫≥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，化简得3(1)2(20)2(21)3k k k k +≥-⎧⎨-≥⎩，解得374255k ≤≤， ∴8k ，即潜伏期超过6天最有可能．．．．是8人. 4．（2022·黑龙江高三其他模拟（文））据有关部门统计，2021年本科生的平均签约薪酬为每月4300元.2021年某高校毕业生就业指导中心为了分析本校本科毕业生的专业课成绩优秀与否与本科毕业生就业后获得薪酬的关系，随机调查了从学校毕业的200名本科毕业学进行研究.研究结果表明：在专业课成绩优秀的120名本科毕业生中有90人每月工资超过人民币4300元，另30人每月工资低于人民币4300元；在专业课成绩不优秀的80名本科毕业生中有20人每月工资超过人民币4300元，另60人每月工资低于人民币4300元. （1）试根据上述数据完成22⨯列联表；（2）能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为“该高校本科毕业生的专业课成绩优秀”与“每月工资超过当年本科生的平均签约薪酬”有关系？参考公式：()()()()()22n ad bcKa b c d a c b d-=++++，其中n a b c d=+++.【答案】（1）列联表见解析；（2）能. 【分析】（1）根据题目已知数据完成22⨯列联表；（2）计算2K，根据临界值表判断即可【详解】（1）22⨯列联表如下：（2）因为()22009060302016004810.828 120801109033K⨯⨯-⨯==>>⨯⨯⨯.所以能在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为“该校毕业生的专业课成绩优秀”与“每月工资超过当年本科生的平均签约薪酬”有关系.【点睛】方法点睛：本题考查22⨯联表判断相关性，独立性检验的一般步骤：第一步，提出假设0H：两个分类变量A和B没有关系；第二步，根据22⨯列联表和公式计算2K统计量；第三步，查对课本中临界值表，作出判断。
高中高考考点难点常见题型(带答案解析) 独立性检验(解析版)
D.有以上的把握认为“爱好该项运动与性别⽆关”
考点：利⽤k2进⾏独⽴性检验
知识点：2*2列联表、两分类变量之间关联的定性分析的⽅法答案：C 解析：,在犯错误的概率不超过的前提下,认为“爱好该项运动与性别有关”
即有以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”故选：．
⼀般已测：4499次正确率：71.9 %
9.现⾏普通⾼中学⽣在⾼⼀升⾼⼆时⾯临着选⽂理科的问题，学校抽取了部分男、⼥学⽣意愿的⼀份样本，制作出如下两个等⾼堆积条形图：根据这两幅图中的信息，下列哪个统计结论是不正确的是（ ）.
A.样本中的⼥⽣数量多于男⽣数量
B.样本中有理科意愿的学⽣数量多于有⽂科意愿的学⽣数量
C.样本中的男⽣偏爱理科
D.样本中的⼥⽣偏爱⽂科
考点：列联表与等⾼条形图的应⽤知识点：等⾼条形图答案：D
解析：由图可知，男、⼥⽣均偏爱理科，故错误．故选.
简单已测：4267次正确率：96.0 %
10.如图的等⾼条形图可以说明的问题是( )
99%∵K = ≈7.8>6.6352
60×50×60×50
110×(40×30−20×20)2
∴0.01=1%99%C D D。
高考数学专题复习：独立性检验
高考数学专题复习：独立性检验一、单选题1．某学校食堂对高三学生偏爱蔬菜还是肉类与性别的关系进行了一次调查，根据独立性检验原理，处理所得数据之后发现，有97.5%的把握但没有99%的把握认为偏爱蔬菜还是肉类与性别有关，则2K 的观测值可能为（ ） k 2.706 A ．2 3.206K =B ．2 6.625K =C ．27.869K =D ．211.208K =2．某校为了解学生“玩手机游戏”和“学习成绩”是否有关，随机抽取了100名学生，运用2×2列联表进行独立性检验，经计算得到2 3.936K =，所以判定玩手机游戏与学习成绩有关系，那么这种判断出错的可能性为（ ）A ．1%B ．5%C ．95%D ．99%3．某校为了调查喜欢语文与性别的关系，随机调查了一些学生，数据如下表，由此判断喜欢语文与性别有关系，那么这种判断出错的可能性为（ ）()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．A ．99.5%B ．5%C ．0.5%D ．95%4．以下四个命题，其中正确的个数有（ ）①在独立性检验中，随机变量2K 的观测值越大，“认为两个分类变量有关”，这种判断犯错误的概率越小.②在线性回归方程ˆ0.80.35yx =-时，变量x 与y 具有负的线性相关关系； ③随机变量X 服从正态分布2(3,)N σ，若(4)0.64P X ≤=，则(23)0.07P X ≤≤=； ④两个随机变量相关性越强，则相关系数r 的值越接近于1. A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个5．两个分类变量X 和Y ，它们的取值分别为{}12,x x 和{}12,y y ，其样本频数列联表如下表所示：则下列四组数据中，分类变量X 和Y 之间关系最强的是（ ） A ．4a =，2b =，3c =，6d = B ．2a =，1b =，3c =，5d = C ．4a =，5b =，6c =，8d =D ．2a =，3b =，4c =，6d =6．为了丰富教职工业余文化生活，某校计划在假期组织70名老师外出旅游，并给出了两种方案(方案一和方案二)，每位老师均选择且只选择一种方案，其中有50%的男老师选择方案一，有75%的女老师选择方案二，且选择方案一的老师中女老师占40%，则参照附表，得到的正确结论是（ ）附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，n a b c d =+++.A ．在犯错误的概率不超过2.5%的前提下，认为“选择方案与性别有关”B ．在犯错误的概率不超过2.5%的前提下，认为“选择方案与性别无关”C ．有95%以上的把握认为“选择方案与性别有关”D ．有95%以上的把握认为“选择方案与性别无关”7．利用独立性检验的方法调查高中生性别与爱好某项运动是否有关，通过随机调查200名高中生是否爱好某项运动，利用22⨯列联表，由计算可得27.236K =，参照下表：得到的正确结论是（ ）A ．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”B ．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”C ．在犯错误的概率不超过0.5%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关"D ．在犯错误的概率不超过0.5%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”8．如果根据性别与是否爱好运动的列联表得到2 3.852 3.841x ≈>，所以判断性别与运动有关，那么这种判断犯错的可能性不超过（ ） A ．2.5%B ．0.5%C ．1%D ．5%9．某校为了研究学生的性别和对待某一活动的态度(支持与不支持)的关系，运用22⨯列联表进行独立性检验.经计算2 6.058K =，则所得到的统计学结论是：有（ ）的把握认为“学生性别与支持该活动有关系”A ．0.025%B ．97.5%C ．99%D ．99.9%10．根据分类变量x 与y 的观测数据，计算得到2 2.974χ=.依据0.05α=的独立性检验，结论为（ ）A ．变量x 与y 不独立B．变量x与y不独立，这个结论犯错误的概率不超过0.05C．变量x与y独立D．变量x与y独立，这个结论犯错误的概率不超过0.05二、填空题11．为了调查高中学生参加课外兴趣活动选篮球和舞蹈是否与性别有关，现随机调查了30名学生，得到如下22⨯列联表：根据表中的数据，及观测值2K（其中22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++），参考数据：则在犯错误的概率不超过__________前提下，认为选择舞蹈与性别有关.12．某工厂为了调查工人文化程度与月收入的关系，随机抽取了部分工人，得到如下列联表：(单位：人)由上表中数据计算得2K的观测值22105(10302045)6.10955503075K⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯，请估计在犯错误的概率不超过__________的前提下认为“文化程度与月收入有关系”．13．利用独立性检验的方法调查高中性别与爱好某项运动是否有关，通过随机调查200名高中生是否爱好某项运动，利用22⨯列联表，由计算可得27.245K≈，参照下表2.706 至少有__________以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”．14．为了判断高中三年级学生是否选修文科与性别的关系，现随机抽取50名学生，得到如下2×2列联表：已知P (K 2≥3.841)≈0.05，P (K 2≥5.024)≈0.025.根据表中数据，得到K 2的观测值k ＝250(1320107)23272030⨯⨯-⨯⨯⨯⨯≈4.844.则认为选修文科与性别有关系出错的可能性为__________.三、解答题15．为了解某市市民对政府出台楼市限购令的态度，在该市随机抽取了50名市民进行调查，他们月收入（单位：百元）的频率分布直方图如下：（1）求该市市民平均月收入的估计值（每组数据以区间中点值为代表）．（2）将月收入不低于7500元称为“高收入”，否则称为“非高收入”，根据已知条件完成下面的22⨯列联表，并判断能否有99%的把握认为市民对楼市限购令的态度与收入有关．参考公式：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.16．为了调查某大学学生在某天上网的时间，随机对100名男生和100名女生进行了不记名的问卷调查，得到了如下的统计结果： 表1：男生上网时间与频数分布表表2：女生上网时间与频数分布表（1）若该大学共有女生750人，试估计其中上网时间不少于60分钟的人数； （2）完成联表，并回答能否有90%的把握认为“大学生上网时间与性别有关”.附：()()()()22()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++为样本容量.0.45517．某大学为鼓励学生进行体育锻炼，购买了一批健身器材供学生使用，并从该校大一学生中随机抽取了100名学生调查使用健身器材的情况，得到数据如表所示：（1）设每周使用健身器材的次数不低于3次为“爱好健身”，根据上表数据，填写22⨯列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为“男生和女生在使用健身器材的爱好方面有差异”；（2）从上述每周使用健身器材3次的学生中，利用分层抽样的方法抽取5名学生，再从抽取的5名学生中随机抽取3人，求3人中至多有一名女生的概率.18．在对人们休闲方式的一次调查中，仅就看电视与运动这两种休闲方式比较喜欢哪一种进行了调查．调查结果：接受调查总人数110人，其中男、女各55人；受调查者中，女性有30人比较喜欢看电视，男性有35人比较喜欢运动．（1）请根据题目所提供的调查结果填写下列22⨯列联表：（2）能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“性别与休闲方式有关系”？注：22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++，（其中n a b c d=+++为样本容量）参考答案1．B【分析】根据把握率确定2K的观测值区间范围即可选择.【详解】∵有97.5%的把握但没有99%的把握，∴2K的观测值区间范围为[5.024,6.635)，结合选项可知，2K的观测值可能为6.625．故选:B2．B【分析】根据2K的值，对照附表即可得解.【详解】由题得2 3.936 3.841K=>，所以判定玩手机游戏与学习成绩有关系，这种判断出错的可能性为5%. 故选：B3．C【分析】计算出2K的值可得答案.【详解】因为()22501520510258.33320307.89225753K⨯⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯，所有这种判断出错的可能性0.5%.故选：C.4．A【分析】利用随机变量2K的观测值越大，说明两个变量有关系的可能性越大判断①；根据回归方程一次项系数的正负判断②；根据正态分布的性质判断③； 利用线性相关的概念判断④. 【详解】①：在独立性检验中，因为随机变量2K 的观测值越大，说明两个变量有关系的可能性越大，即犯错误的概率越大，故①错误；②：回归方程ˆ0.80.35yx =-的一次项系数为-0.35<0，故变量x 与y 具有负的线性相关关系，故②正确；③：随机变量X 服从正态分布2(3)N σ，，则(34)(4)(3)0.640.50.14P X P X P X <≤=≤-<=-=， 由对称性可知，(23)0.14P X ≤≤=，故③错误；④：两个随机变量的线性相关关系越强，则相关系数r 的绝对值越接近于1，故④错误. 正确的选项有1个. 故选：A 5．A 【分析】逐项求出ad bc -的值并加以对比，最大值对应的分类变量之间关系最强. 【详解】我们可以用ad bc -的大小近似的判断两个分类变量之间关系的强弱，ad bc -的值越小，关系越弱，越大，关系越强.这四组数据中ad bc -的值分别为18､7､2､0， 所以A 组数据的ad bc -的值最大，相比较而言这组数据反应的X 和Y 的关系最强. 故选：A. 6．C 【分析】设该校男老师的人数为x ，女老师的人数为y ，根据条件，得到22⨯列联表，求出x ，y 的值，利用公式计算2K 的值，再与表中临界值比较可得结果. 【详解】设该校男老师的人数为x ，女老师的人数为y ，则可得如下表格：由题意0.40.50.25x y =+，可得43y x =，可得30x =，40y =，则()227015301510 4.667 3.84125453040K ⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯， 但4.667 5.024<，所以无97.5%以上有95%以上的把握认为“选择方案与性别有关”. 故选：C. 7．B 【分析】由已知的27.236K =，对比临界值表可得答案 【详解】解：因为27.236 6.635K =>，所以有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”. 故选：B. 8．D 【分析】根据临界值附表比较，即得结论. 【详解】根据以下临界值附表可知这种判断犯错的可能性不超过5%. 故选：D 9．B【分析】将2K 的值与表中数据比较大小可知5.024 6.058 6.635<<，由此确定出相应的把握有多少.【详解】因为2 6.058K =，对照表格：5.024 6.058 6.635<<，所以有10.0250.97597.5%-==的把握认为“学生性别与是否支持该活动有关系”. 故选：B.10．C【分析】由表中数据以及独立性检验的思想即可得出结果.【详解】0.05α=时，2 3.841 2.974χ=>，所以在犯错概率不超过0.1时变量x 与y 有关.故选：C11．0.025【分析】由列联表中的数据，根据公式计算出2K 的值，再对照临界表即可得答案．【详解】 解：由列联表中的数据可得，2230(13827)27 5.4 5.024*********K ⨯⨯-⨯===>⨯⨯⨯， 所以在犯错误的概率不超过0.025的前提下，认为选择舞蹈与性别有关．故答案为：0.025．12．0.025【分析】根据2K ，对比临界值即可得出结论.【详解】∵6.109 5.024>，故能在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为“文化程度与月收入有关系”．故答案为：0.025.13．99%【分析】根据卡方的值与参考数据比较即可判断；【详解】解：因为27.245K ≈，6.6357.2457.879<<，所以10.0199%-=故至少有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”，故答案为：99%14．5%【分析】根据观测值k ≈4.844以及独立性检验的基本思想即可得出结果.【详解】K 2的观测值k ≈4.844，这表明小概率事件发生.根据假设检验的基本原理，应该断定“是否选修文科与性别之间有关系”成立，并且这种判断出错的可能性约为5%.故答案为：5%15．（1）63；（2）表格见解析，有.【分析】（1）每组数据区间中点值乘以该组的频率求和可得答案；（2）根据每组频率乘以50可得每组的人数可完成列联表，计算2K 可得答案.【详解】（1）该市市民平均月收入的估计值为400.1500.2600.3700.2800.1900.163⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．（2）根据频率分布直方图知每组的人数分别为5，10，15，10，5，5．可得22⨯列联表如下：所以()22502882128.33340103020K ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯，因为8.333 6.635>，所以有99%的把握认为市民对楼市限购令的态度与收入有关．16．（1）225；（2）列联表答案见解析，没有90%的把握认为“大学生上网时间与性别有关”.【分析】（1）设上网时间不少于60分钟的人数为x ，依题意有30750100x =，计算即可； （2）填写列联表，计算2K ，对照临界值得出结论.【详解】（1）设上网时间不少于60分钟的人数为x ，依题意有30750100x =，解得225x =，所以估计其中上网时间不少于60分钟的人数是225.（2）塻22⨯列联表如下：由表中数据可得到22200(60304070) 2.20 2.70610010013070K ⨯-⨯=≈<⨯⨯⨯， 故没有90%的把握认为“大学生上网时间与性别有关”.17．（1）表格见解析，不能；（2）710. 【分析】（1）根据已知数据统计列联表中的各项的人数，填写列联表，进而计算2K 并与0.1的临界值进行比较，得到论断；（2）利用分层抽样的等比例原则求得抽取的5人中男女生的人数，利用符号表示每个学生，利用列举法计数，得到所求概率.【详解】解：（1）填写的列联表如下所示：()2210222422320.506 2.70644565446K ⨯⨯-⨯=≈<⨯⨯⨯.所以不能在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为“男生和女生在使用健身器材的爱好方面有差异”.（2）从每周使用健身器材3次的学生中，利用分层抽样的方法抽取5名学生，则抽取男生3名，抽取女生2名.将抽取的3名男生分别记为a ，b ，c ，2名女生分别记为m ，n ，则从5人中随机抽取3人的不同情况有abc ，abm ，abn ，acm ，acn ，amn ，bcm ，bcn ，bmn ，cmn ，共10种， 其中至多有一名女生的情况有abc ，abm ，abn ，acm ，acn ，bcm ，bcn ，共7种. 所以从抽取的5名学生中随机抽取3人，至多有一名女生的概率为710. 18．（1）答案见解析；（2）不能．【分析】（1）由题意填写列联表即可；（2）代入数据计算2K 的观测值，比较观测值与3.841的大小，判断能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“性别与休闲方式有关系” ．【详解】解．（1）根据题目所提供的调查结果，可得下列22⨯列联表：（2）根据列联表中的数据，可计算()2211030352025 3.66750605555K ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯，因为03.667 3.841k k ≈<=，所以不能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“性别与休闲方式有关系”．。
【高考数学总复习】：回归性分析与独立性检验(知识点讲解+真题演练+详细解答)
量，例如某同学的数学成绩与化学成绩。
2.线性回归分析 (1) 散点图：将样本中的各对数据在直角坐标系中描点而得到的图形叫做散点图，它直观地 描述了两个变量之间是否有相关关系，是判断两个变量相关性的重要依据。 (2) 回归直线：散点图中点的整体分布在一条直线左右，则称这两个变量之间具有线性相关
(a b)(c d)(a c)(b d )
通过对统计量 K2 的研究，一般情况下认为：
①当 K 2 ≤3.841 时，认为变量 X 与 Y 是无关的。
②当 K 2 ＞3.841 时，有 95%的把握说变量 X 与 Y 有关；
④ 当 K 2 ＞6.635 时，有 99%的把握说变量 X 与 Y 有关；
定在多大程度上可以认为“两个分类变量有关系”的方法称为两个分类变量的独立性检验。
2.分类变量的理解： 分类变量是说明事物类别的一个名称，其取值是分类数据。如“性别”就是一个分类变 量，其变量值为“男”或“女”；“行业”也是一个分类变量，其变量值可以为“零售 业”，说明 X 与 Y 无关的把握越小
6. 右表是对与喜欢足球与否的统计列联表依据表中的数据，得到（ ）
A. K 2 9.564 B. K 2 3.564 C. K 2 2.706 D. K 2 3.841
7. 对两个分类变量 A、B 的下列说法中正确的个数为（ ）． ①A 与 B 无关，即 A 与 B 互不影响；②A 与 B 关系越密切，则 K2 的值就越大；③K2
x yw
46.6 563 6.8
8
(xi x )2
i 1
高中数学独立性检验精选题目(附解析)
高中数学独立性检验精选题目（附解析）(1)分类变量和列联表①分类变量变量的不同“值”表示个体所属的不同类别，像这样的变量称为分类变量．②列联表(ⅰ)定义：列出的两个分类变量的频数表，称为列联表．(ⅱ)2×2列联表．一般地，假设有两个分类变量X和Y，它们的取值分别为{x1，x2}和{y1，y2}，其样本频数列联表(称为2×2列联表)为(2)等高条形图①等高条形图和表格相比，更能直观地反映出两个分类变量间是否相互影响，常用等高条形图展示列联表数据的频率特征．②观察等高条形图发现aa＋b和cc＋d相差很大，就判断两个分类变量之间有关系．(3)独立性检验一、用2×2列联表分析两分类变量间的关系1．在对人们饮食习惯的一次调查中，共调查了124人，其中六十岁以上的70人，六十岁以下的54人．六十岁以上的人中有43人的饮食以蔬菜为主，另外27人则以肉类为主；六十岁以下的人中有21人饮食以蔬菜为主，另外33人则以肉类为主．请根据以上数据作出饮食习惯与年龄的列联表，并利用aa＋b与cc＋d判断二者是否有关系．解：2×2列联表如下：a a＋b ＝4364＝0.671 875.cc＋d＝2760＝0.45.显然二者数据具有较为明显的差距，据此可以在某种程度上认为饮食习惯与年龄有关系．注：(1)作2×2列联表时，关键是对涉及的变量分清类别．计算时要准确无误．(2)利用2×2列联表分析两个分类变量间的关系时，首先要根据题中数据获得2×2列联表，然后根据频率特征，即将aa＋b与cc＋d⎝⎛⎭⎪⎫ba＋b与dc＋d的值相比，直观地反映出两个分类变量间是否相互影响，但方法较粗劣．2．假设有两个分类变量X与Y，它们的可能取值分别为{x1，x2}和{y1，y2}，其2×2列联表为：则当m取下面何值时，X)A．8B．9C．14D．19解析：选C由10×26≈18m，解得m≈14.4，所以当m＝14时，X与Y的关系最弱.3．分类变量X和Y的列联表如下：则下列说法正确的是()A．ad－bc越小，说明X与Y关系越弱B．ad－bc越大，说明X与Y关系越强C．(ad－bc)2越大，说明X与Y关系越强D．(ad－bc)2越接近于0，说明X与Y关系越强解析：选C|ad－bc|越小，说明X与Y关系越弱，|ad－bc|越大，说明X与Y关系越强．4．假设有两个变量X与Y，它们的取值分别为x1，x2和y1，y2，其列联表为：为()A．a＝50，b＝40，c＝30，d＝20B．a＝50，b＝30，c＝40，d＝20C．a＝20，b＝30，c＝40，d＝50 D．a＝20，b＝30，c＝50，d＝40解析：选D当(ad－bc)2的值越大，随机变量K2＝n(ad－bc)2(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)的值越大，可知X与Y有关系的可能性就越大．显然选项D中，(ad－bc)2的值最大．5．某电视台在一次对收看文艺节目和新闻节目观众的抽样调查中，随机抽取了100名电视观众，相关的数据如下表所示：________(填“是”或“否”)．解析：因为在20至40岁的58名观众中有18名观众收看新闻节目，而大于40岁的42名观众中有27名观众收看新闻节目，即ba＋b＝1858，dc＋d＝2742，两者相差较大，所以经直观分析，收看新闻节目的观众与年龄是有关的．答案：是二、用等高条形图分析两分类变量间的关系1．某学校对高三学生作了一项调查发现：在平时的模拟考试中，性格内向的学生426人中有332人在考前心情紧张，性格外向的学生594人中有213人在考前心情紧张，作出等高条形图，利用图形判断考前心情紧张与性格类型是否有关系．解：作列联表如下：续表考前心情不紧94381475张总计426594 1 020相应的等高条形图如图所示：图中阴影部分表示考前心情紧张与考前心情不紧张中性格内向的人数的比例，从图中可以看出考前心情紧张的样本中性格内向的人数占的比例比考前心情不紧张样本中性格内向的人数占的比例高，可以认为考前紧张与性格类型有关．注：利用等高条形图判断两个分类变量是否相关的步骤：2．在调查的480名男人中有38人患色盲，520名女人中有6名患色盲，试利用图形来判断色盲与性别是否有关？解：根据题目给出的数据作出如下的列联表：色盲不色盲总计男38442480女6514520总计449561000根据列联表作出相应的等高条形图：从等高条形图来看，在男人中患色盲的比例要比在女人中患色盲的比例大得多，因此，我们认为患色盲与性别是有关系的．3．观察下列各图，其中两个分类变量x，y之间关系最强的是()解析：选D在四幅图中，D图中两个深色条的高相差最明显，说明两个分类变量之间关系最强．4．在独立性检验中，可以粗略地判断两个分类变量是否有关系的是() A．散点图B．等高条形图C．假设检验的思想D．以上都不对解析：选B用等高条形图可以粗略地判断两个分类变量是否有关系，体现了数形结合思想，但是无法给出结论的可信程度，故选B.5．为了研究子女吸烟与父母吸烟的关系，调查了一千多名青少年及其家长，数据如下：父母吸烟父母不吸烟总计子女吸烟23783320子女不吸烟678522 1 200总计915605 1 520利用等高条形图判断父母吸烟对子女吸烟是否有影响？解：等高条形图如图所示：由图形观察可以看出父母吸烟者中子女吸烟的比例要比父母不吸烟者中子女吸烟的比例高，因此可以在某种程度上认为“子女吸烟与父母吸烟有关系”．三、独立性检验1．研究人员选取170名青年男女大学生为样本，对他们进行一种心理测验．发现有60名女生对该心理测验中的最后一个题目的反应是：作肯定的有22名，否定的有38名；110名男生在相同的项目上作肯定的有22名，否定的有88名．问：性别与态度之间是否存在某种关系？用独立性检验的方法判断．(链接教材P95－例1)附：解：根据2×2k＝170×(22×38－22×88)2110×60×44×126≈5.622>5.024.所以在犯错误的概率不超过0.025的前提下，认为“性别与态度有关系”．注：根据题意列出2×2列联表，计算K2的观测值，如果K2的观测值很大，说明两个分类变量有关系的可能性很大；如果K2的观测值比较小，则认为没有充分的证据显示两个分类变量有关系．2．“开门大吉”是某电视台推出的游戏节目．选手面对1～8号8扇大门，依次按响门上的门铃，门铃会播放一段音乐(将一首经典流行歌曲以单音色旋律的方式演绎)，选手需正确回答出这首歌的名字，方可获得该扇门对应的家庭梦想基金．在一次场外调查中，发现参赛选手多数分为两个年龄段：20～30；30～40(单位：岁)，其猜对歌曲名称与否的人数如图所示．(1)写出2×2列联表；判断能否在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为猜对歌曲名称与年龄有关系；说明你的理由；(下面的临界值表供参考)P(K2≥k0)0.100.050.0100.005k0 2.706 3.841 6.6357.879(2)6名选手，并抽取3名幸运选手，求3名幸运选手中至少有一人在20～30岁之间的概率．解：(1)根据所给的二维条形图得到列联表：正确错误总计20～30岁10304030～40岁107080总计20100120k＝120×(10×70－10×30)220×100×40×80＝3.∵3>2.706，∴在犯错误的概率不超过0.10的前提下认为猜对歌曲名称与年龄有关系．(2)按照分层抽样方法可知，20～30(岁)抽取：6×40120＝2(人)；30～40(岁)抽取：6×80120＝4(人)．在上述抽取的6名选手中，年龄在20～30(岁)有2人，年龄在30～40(岁)有4人．记至少有一人年龄在20～30岁为事件A，则P(A)＝1－C34C36＝1－420＝45.故至少有一人年龄在20～30岁之间的概率为4 5.3．在一项中学生近视情况的调查中，某校男生150名中有80名近视，女生140名中有70名近视，在检验这些中学生眼睛近视是否与性别有关时用什么方法最有说服力()A．平均数与方差B．回归分析C．独立性检验D．概率解析：选C判断两个分类变量是否有关的最有效方法是进行独立性检验．4．对于分类变量X与Y的随机变量K2的观测值k，下列说法正确的是() A．k越大，“X与Y有关系”的可信程度越小B．k越小，“X与Y有关系”的可信程度越小C．k越接近于0，“X与Y没有关系”的可信程度越小D．k越大，“X与Y没有关系”的可信程度越大解析：选B k越大，“X与Y没有关系”的可信程度越小，则“X与Y有关系”的可信程度越大，即k越小，“X与Y有关系”的可信程度越小．5．某班主任对全班50名学生进行了作业量的调查，数据如下表，则学生的性别与认为作业量的大小有关的把握大约为()A.99%C．90% D．无充分证据解析：选B由2×2列联表得K2的观测值k＝50×(18×15－8×9)2 27×23×26×24≈5.059>5.024，故有97.5%的把握认为学生性别与认为作业量大小有关，故选B.6．为了解决高二年级统计案例入门难的问题，某校在高一年级的数学教学中设有试验班，着重加强统计思想的渗透，下面是高二年级统计案例的测验成绩统计表(单位：分)的一部分，试分析试验效果.附：解：k＝n(ad－bc)2(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)＝100(32×38－18×12)250×50×44×56≈16.234.因为16.234>6.635，所以，在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为高二年级统计案例的测试成绩与高一年级数学教学中增加统计思想的渗透有联系．巩固练习:1．下列关于K2的说法不正确的是()A．根据2×2列联表中的数据计算得出K2的观测值k≥6.635，而P(K2≥6.635)≈0,01，则有99%的把握认为两个分类变量有关系B．K2的观测值k越大，两个分类变量的相关性就越大C．K2是用来判断两个分类变量是否有关系的随机变量D．K2＝n(ad－bc)(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)，其中n＝a＋b＋c＋d为样本容量解析：选D D选项的公式中分子应该是n(ad－bc)2.故选D.2．某人研究中学生的性别与成绩、视力、智商、阅读量这4个变量的关系，随机抽查了52名中学生，得到统计数据如表1至表4，则与性别有关联的可能性最大的变量是()表1表2A．成绩B．视力C．智商D．阅读量解析：选D因为K21＝52×(6×22－14×10)2 16×36×32×20＝52×8216×36×32×20，K22＝52×(4×20－16×12)216×36×32×20＝52×112216×36×32×20，K23＝52×(8×24－12×8)216×36×32×20＝52×96216×36×32×20，K24＝52×(14×30－6×2)216×36×32×20＝52×408216×36×32×20，则有K24>K22>K23>K21，所以阅读量与性别有关联的可能性最大．2．在某次独立性检验中，得到如下列联表：最后发现，两个分类变量没有任何关系，则a的值可能是() A．200 B．720C．100 D．180解析：选B由于A和B没有任何关系，根据列联表可知2001 000和180180＋a基本相等，检验可知，B满足条件，故选B.3．两个分类变量X，Y，它们的取值分别为{x1，x2}和{y1，y2}，其列联表为：若两个分类变量X，Y没有关系，则下列结论正确的是________(填序号)．①ad≈bc；②aa＋b≈cc＋d；③c＋da＋b＋c＋d≈b＋da＋b＋c＋d；④c＋aa＋b＋c＋d≈b＋da＋b＋c＋d；⑤(a＋b＋c＋d)(ad－bc)2(a＋b)(b＋d)(a＋c)(c＋d)≈0.解析：因为分类变量X，Y独立，所以aa＋b ≈cc＋d，化简得ad≈bc，所以①②⑤正确，③④显然不正确．答案：①②⑤4．随着生活水平的提高，人们患肝病的越来越多，为了解中年人患肝病与经常饮酒是否有关，现对30名中年人进行了问卷调查得到如下列联表：已知在全部30人中随机抽取1人，抽到肝病患者的概率为4 15.(1)请将上面的列联表补充完整，并判断是否有99.5%的把握认为患肝病与常饮酒有关？说明你的理由；(2)现从常饮酒且患肝病的中年人(恰有2名女性)中，抽取2人参加电视节目，则正好抽到一男一女的概率是多少？解：(1)设患肝病中常饮酒的人有x人，x＋230＝415，x＝6.常饮酒不常饮酒总计患肝病628 不患肝病41822 总计102030由已知数据可求得K2＝30×(6×18－2×4)210×20×8×22≈8.523>7.879，因此有99.5%的把握认为患肝病与常饮酒有关．(2)设常饮酒且患肝病的男性为A，B，C，D，女性为E，F，则任取两人有AB，AC，AD，AE，AF，BC，BD，BE，BF，CD，CE，CF，DE，DF，EF，共15种．其中一男一女有AE，AF，BE，BF，CE，CF，DE，DF，共8种．故抽出一男一女的概率是P＝8 15.5．某食品厂为了检查甲乙两条自动包装流水线的生产情况，随机在这两条流水线上各抽取40件产品作为样本称出它们的质量(单位：克)，质量值落在(495,510]的产品为合格品，否则为不合格品．表1是甲流水线样本频数分布表，图1是乙流水线样本频率分布直方图．表1甲流水线样本频数分布表产品质量/克频数(490,495] 6(495,500]8(500,505]14(505,510]8(510,515] 4(1)根据上表数据作出甲流水线样本频率分布直方图；(2)若以频率作为概率，试估计从两条流水线分别任取1件产品，该产品恰好是合格品的概率分别是多少；(3)由以上统计数据作出2×2列联表，并回答在犯错误的概率不超过多少的前提下认为“产品的包装质量与两条要自动包装流水线的选择有关”．解：(1)甲流水线样本频率分布直方图如下：(2)由表1知甲样本合格品数为8＋14＋8＝30，由图1知乙样本中合格品数为(0.06＋0.09＋0.03)×5×40＝36，故甲样本合格品的频率为3040＝0.75，乙样本合格品的频率为3640＝0.9，据此可估计从甲流水线任取1件产品，该产品恰好是合格品的概率为0.75. 从乙流水线任取1件产品，该产品恰好是合格品的概率为0.9. (3)2×2列联表如下：甲流水线 乙流水线 总计 合格品 a ＝30 b ＝36 66 不合格品 c ＝10 d ＝4 14 总计4040n ＝80因为K 2k ＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )＝80×(120－360)266×14×40×40≈3.117>2.706， 所以在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为产品的包装质量与两条自动包装流水线的选择有关．。
第3节 第2课时 列联表与独立性检验--2025年高考数学复习讲义及练习解析
第2课时列联表与独立性检验课标解读考向预测1.通过实例，理解2×2列联表的统计意义.2.通过实例，了解2×2列联表独立性检验及其应用.预计2025年高考列联表、独立性检验可能会以实际问题为背景，与概率、随机变量的分布列及数字特征相结合命题，难度适中.必备知识——强基础1．分类变量：变量的不同“值”表示个体所属的不同类别，像这样的变量称为分类变量．2．2×2列联表一般地，假设有两个分类变量X和Y，它们的取值均为0，1，其2×2列联表为XY合计Y＝0Y＝1X＝0a b a＋bX＝1c d c＋d合计a＋c b＋d a＋b＋c＋d3．独立性检验(1)零假设：以Ω为样本空间的古典概型，设X和Y为定义在Ω上，取值于{0，1}的成对分类变量，H0：01P(Y＝1|X＝0)＝P(Y＝1|X＝1)．通常称H0为零假设或原假设．(2)χ2的计算公式：记n＝a＋b＋c＋d，则χ2＝n（ad－bc）2（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）.(3)临界值：对于任何小概率值α，可以找到相应的正实数xα，使得后面关系成立：P(χ2≥xα)＝α.我们称xα为α的临界值，这个临界值就可以作为判断χ2大小的标准，概率值α02越小，临界值xα越大．(4)基于小概率值α的检验规则是：当χ2≥xα时，我们就推断H0不成立，即认为X和Y不独立，该推断犯错误的概率不超过α；当χ2＜xα时，我们没有充分证据推断H0不成立，可以认为X和Y独立．(5)应用独立性检验解决实际问题的主要环节①提出零假设H0：X和Y相互独立，并给出在问题中的解释；②根据抽样数据整理出2×2列联表，计算χ2的值，并与临界值xα比较；③根据检验规则得出推断结论；④在X和Y不独立的情况下，根据需要，通过比较相应的频率，分析X和Y间的影响规律．根据χ2的值可以判断两个分类变量有关的可信程度，若χ2越大，则认为两分类变量有关的把握越大．1．概念辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)分类变量中的变量与函数中的变量是同一概念．()(2)2×2列联表是借助两个分类变量之间频率大小差异说明两个变量之间是否有关联．()(3)应用独立性检验的基本思想对两个变量间的关系作出的推断一定是正确的．()(4)若分类变量X，Y关系越密切，则由观测数据计算得到的χ2的观测值越小．()答案(1)×(2)√(3)×(4)×2．小题热身(1)(人教B选择性必修第二册4.3.2练习A T2改编)为了解某大学的学生是否爱好体育锻炼，用简单随机抽样方法在校园内调查了120位学生，得到如下2×2列联表：男女合计爱好a b73不爱好c25合计74则a－b－c＝()A．7B．8C．9D．10答案C解析根据题意，可得c ＝120－73－25＝22，a ＝74－22＝52，b ＝73－52＝21，∴a －b －c＝52－21－22＝9.(2)在下列两个分类变量X ，Y 的样本频数列联表中，可以判断X ，Y 之间有无关系的是()y 1y 2合计x 1a b a ＋b x 2c d c ＋d 合计a ＋cb ＋da ＋b ＋c ＋dA ．|a a ＋b －b c ＋d |B ．|c a ＋b －d c ＋d|C ．|b a ＋b －c c ＋d |D ．|a a ＋b －c c ＋d |答案D解析∵χ2＝n （ad －bc ）2（a ＋b ）（c ＋d ）（a ＋c ）（b ＋d ），则分类变量X 和Y 有关系时，ad 与bc 差距会比较大，由a a ＋b －c c ＋d ＝ac ＋ad －ac －bc （a ＋b ）（c ＋d ）＝ad －bc （a ＋b ）（c ＋d ），故a a ＋b 与cc ＋d 的值相差应该大，即|a a ＋b －c c ＋d |的大小可以判断X ，Y 之间有无关系．(3)已知P (χ2≥6.635)＝0.01，P (χ2≥10.828)＝0.001.在检验喜欢某项体育运动与性别是否有关的过程中，某研究员搜集数据并计算得到χ2＝7.235，则根据小概率值α＝________的χ2独立性检验，分析喜欢该项体育运动与性别有关．答案0.01解析因为6.635<7.235<10.828，所以根据小概率值α＝0.01的χ2独立性检验，分析喜欢该项体育运动与性别有关．考点探究——提素养考点一分类变量的两种统计表示形式(多考向探究)考向1等高堆积条形图例1(2023·四川南充三诊)为考查A ，B 两种药物预防某疾病的效果，进行动物实验，分别得到如下等高堆积条形图，根据图中信息，下列说法最佳的是()A ．药物B 的预防效果优于药物A 的预防效果B ．药物A 的预防效果优于药物B 的预防效果C ．药物A ，B 对该疾病均有显著的预防效果D ．药物A ，B 对该疾病均没有预防效果答案B解析根据题干中两个等高堆积条形图知，药物A 实验显示不服药与服药时患病差异较药物B 实验显示明显，所以药物A 的预防效果优于药物B 的预防效果．【通性通法】在等高堆积条形图中，a a ＋b 与cc ＋d 相差越大，我们认为两个分类变量之间关系越强．【巩固迁移】1．(多选)现行普通高中学生在高一时面临着选科的问题，学校抽取了部分男、女学生意愿的一份样本，制作出如下两个等高堆积条形图：根据这两幅图中的信息，下列统计结论正确的是()A ．样本中的女生数量多于男生数量B ．样本中有两理一文意愿的学生数量多于有两文一理意愿的学生数量C ．样本中的男生偏爱两理一文D ．样本中的女生偏爱两文一理答案ABC解析由等高堆积条形图知，女生数量多于男生数量，故A 正确；有两理一文意愿的学生数量多于有两文一理意愿的学生数量，故B 正确；男生偏爱两理一文，故C 正确；女生中有两理一文意愿的学生数量多于有两文一理意愿的学生数量，故D 错误．故选ABC.考向22×2列联表例2(1)下面是一个2×2列联表，则表中a ，c 处的值分别为()X Y 合计y 1y 2x 1a 2573x 221b c合计d 49A ．98，28B ．28，98C ．48，45D ．45，48答案C解析由2×2列联表知a ＋25＝73，b ＋25＝49，b ＋21＝c ，解得a ＝48，b ＝24，c ＝45.故选C.(2)假设两个分类变量X 和Y 的2×2列联表如下：X Y 合计y 1y 2x 1a 10a ＋10x 2c 30c ＋30合计a ＋c40100对于同一样本，以下数据能说明X 和Y 有关系的可能性最大的一组是()A ．a ＝40，c ＝20B ．a ＝45，c ＝15C ．a ＝35，c ＝25D ．a ＝30，c ＝30答案B解析χ2＝n （ad －bc ）2（a ＋b ）（c ＋d ）（a ＋c ）（b ＋d ）＝根据2×2列联表和独立性检验的相关知识，知当b ，d 一定时，a ，c 相差越大，a a ＋10与cc ＋30相差就越大，χ2就越大，即X和Y有关系的可能性越大，结合选项，知B中a－c＝30与其他选项相比相差最大．【通性通法】在2×2列联表中，如果两个变量没有关系，则应满足ad－bc≈0.|ad－bc|越小，说明两个变量之间关系越弱；|ad－bc|越大，说明两个变量之间关系越强．【巩固迁移】2．(多选)有甲、乙两个班级进行数学考试，按照大于等于85分为优秀，85分以下为非优秀，得到列联表如下：班级数学成绩优秀非优秀合计甲班10b乙班c30合计105已知在全部105人中随机抽取1人，成绩优秀的概率为27，则下列说法正确的是()A．c＝30，b＝35B．c＝15，b＝50C．c＝20，b＝45D．由列联表可看出数学成绩与班级有关系答案CD解析依题意10＋c105＝27，解得c＝20，由10＋20＋b＋30＝105，解得b＝45.补全2×2列联表如下：班级数学成绩合计优秀非优秀甲班104555乙班203050合计3075105甲班学生数学成绩的优秀率为1055≈0.182，乙班学生数学成绩的优秀率为2050＝0.4，乙班学生数学成绩的优秀率明显高于甲班学生数学成绩的优秀率，可以认为两班学生的数学成绩优秀率存在差异，所以数学成绩与班级有关．故选CD.考点二独立性检验的应用例3(2024·山西太原模拟)为进一步保护环境，加强治理空气污染，某市环保监测部门对市区空气质量进行调研，随机抽查了市区100天的空气质量等级与当天空气中SO2的浓度(单位：μg/m3)，整理数据得到下表：SO2的浓度空气质量等级[0，50](50，150](150，475]1(优)28622(良)5783(轻度污染)3894(中度污染)11211若某天的空气质量等级为1或2，则称这天“空气质量好”；若某天的空气质量等级为3或4，则称这天“空气质量不好”，根据上述数据，回答以下问题：(1)估计事件“该市一天的空气质量好，且SO2的浓度不超过150”的概率；(2)完成下面的2×2列联表；SO2的浓度空气质量[0，150](150，475]合计空气质量好空气质量不好合计(3)根据(2)中的列联表，依据小概率值α＝0.01的独立性检验，能否据此推断该市一天的空气质量与当天SO2的浓度有关？解(1)由表格可知，该市一天的空气质量好，且SO2的浓度不超过150的天数为28＋6＋5＋7＝46，则“该市一天的空气质量好，且SO2的浓度不超过150”的概率P＝46100＝0.46.(2)由表格数据可得列联表如下，SO2的浓度空气质量[0，150](150，475]合计空气质量好461056空气质量不好242044合计7030100(3)零假设为H 0：该市一天的空气质量与当天SO 2的浓度无关．由(2)知χ2＝100×（46×20－10×24）256×44×70×30≈8.936>6.635＝x 0.01，根据小概率值α＝0.01的独立性检验，我们推断H 0不成立，即认为该市一天的空气质量与当天SO 2的浓度有关，此推断犯错误的概率不超过0.01.【通性通法】独立性检验的一般步骤(1)根据样本数据制成2×2列联表；(2)根据公式χ2＝n （ad －bc ）2（a ＋b ）（c ＋d ）（a ＋c ）（b ＋d ）计算；(3)比较χ2与临界值的大小关系，作统计推断．【巩固迁移】3．(2022·全国甲卷)甲、乙两城之间的长途客车均由A 和B 两家公司运营，为了解这两家公司长途客车的运行情况，随机调查了甲、乙两城之间的500个班次，得到下面列联表：准点班次数未准点班次数A 24020B21030(1)根据上表，分别估计这两家公司甲、乙两城之间的长途客车准点的概率；(2)能否有90%的把握认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司有关？附：χ2＝n （ad －bc ）2（a ＋b ）（c ＋d ）（a ＋c ）（b ＋d ），α0.1000.0500.010x α2.7063.8416.635解(1)根据表中数据，A 家公司共有班次260次，其中准点班次有240次，设A 家公司长途客车准点事件为M ，则P (M )＝240260＝1213；B 家公司共有班次240次，其中准点班次有210次，设B 家公司长途客车准点事件为N ，则P (N )＝210240＝78.故A 家公司长途客车准点的概率为1213，B 家公司长途客车准点的概率为78.(2)由题可得χ2＝500×（240×30－20×210）2（240＋20）×（210＋30）×（240＋210）×（20＋30）≈3.205＞2.706，根据临界值表可知，有90%的把握认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司有关．课时作业一、单项选择题1．如表是2×2列联表，则表中a ，b 的值分别为()y 1y 2合计x 1a 835x 2113445合计b4280A ．27，38B ．28，38C ．27，37D ．28，37答案A解析a ＝35－8＝27，b ＝a ＋11＝27＋11＝38.2．某课外兴趣小组通过随机调查，利用2×2列联表和χ2统计量研究数学成绩优秀是否与性别有关．计算得χ2＝6.748，经查阅临界值表知P (χ2≥6.635)＝0.010，则下列判断正确的是()A ．每100名数学成绩优秀的人中就会有1名是女生B ．若某人数学成绩优秀，那么他为男生的概率是0.010C ．有99%的把握认为“数学成绩优秀与性别无关”D ．在犯错误的概率不超过1%的前提下认为“数学成绩优秀与性别有关”答案D解析∵χ2＝6.748>6.635，∴有99%的把握认为“数学成绩优秀与性别有关”，即在犯错误的概率不超过1%的前提下认为“数学成绩优秀与性别有关”．故选D.3．假设有两个分类变量X与Y，它们的可能取值分别为{x1，x2}和{y1，y2}，其2×2列联表为y1y2合计x1101828x2m26m＋26合计m＋1044m＋54则当整数m取________时，X与Y的关系最弱．()A．8B．9C．14D．19答案C解析在两个分类变量的列联表中，当|ad－bc|的值越小时，认为两个分类变量有关的可能性越小．令|ad－bc|＝0，得10×26＝18m，解得m≈14.4，又m为整数，所以当m＝14时，X与Y的关系最弱．4．(2024·海南华侨中学模拟)某同学寒假期间对其30位亲属的饮食习惯进行了一次调查，列出了如下2×2列联表：偏爱蔬菜偏爱肉类合计50岁以下481250岁以上16218合计201030则可以说其亲属的饮食习惯与年龄有关的把握为()附：χ2＝n（ad－bc）2（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d），其中n＝a＋b＋c＋d.α0.0500.0100.001xα 3.841 6.63510.828A．90%B．95% C．99%D．99.9%答案C解析根据列联表中数据，计算χ2＝30×（4×2－8×16）212×18×20×10＝10＞6.635，可以说其亲属的饮食习惯与年龄有关的把握为99%.故选C.5．为了考查某种病毒疫苗的效果，现随机抽取100只小白鼠进行试验，得到如下2×2列联表：感染未感染合计服用104050未服用203050合计3070100附：χ2＝n（ad－bc）2（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d），其中n＝a＋b＋c＋d.α0.100.050.0250.0100.0050.001xα 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828根据以上数据，得到的结论正确的是()A．在犯错误的概率不超过2.5%的前提下，认为“小白鼠是否被感染与有没有服用疫苗有关”B．在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为“小白鼠是否被感染与有没有服用疫苗有关”C．有95%的把握认为“小白鼠是否被感染与有没有服用疫苗有关”D．有95%的把握认为“小白鼠是否被感染与有没有服用疫苗无关”答案C解析依题意，χ2＝100×（10×30－40×20）250×50×30×70＝10021≈4.762，显然有3.841<4.762<5.024<6.635，所以有95%的把握认为“小白鼠是否被感染与有没有服用疫苗有关”，A，B，D不正确，C正确．6．假设有两个变量x与y的2×2列联表如下：y1y2x1a bx2c d对于以下数据，对同一样本能说明x与y有关系的可能性最大的一组为()A．a＝20，b＝30，c＝40，d＝50B．a＝50，b＝30，c＝30，d＝40C．a＝30，b＝60，c＝20，d＝50D．a＝50，b＝30，c＝40，d＝30答案B解析对于A，|ad－bc|＝200；对于B，|ad－bc|＝1100；对于C，|ad－bc|＝300；对于D，|ad －bc|＝300，显然B中|ad－bc|最大，该组数据能说明x与y有关系的可能性最大．7．为了解某社区60岁以上老年人使用手机支付和现金支付的情况，抽取了部分居民作为样本，统计其喜欢的支付方式，并制作出如下等高堆积条形图：根据图中的信息，下列结论中不正确的是()A．样本中多数男性喜欢手机支付B．样本中的女性数量少于男性数量C．样本中多数女性喜欢现金支付D．样本中喜欢现金支付的数量少于喜欢手机支付的数量答案C解析对于A，由题中右图可知，样本中多数男性喜欢手机支付，A正确；对于B，由题中左图可知，样本中的男性数量多于女性数量，B正确；对于C，由题中右图可知，样本中多数女性喜欢手机支付，C不正确；对于D，由题中右图可知，样本中喜欢现金支付的数量少于喜欢手机支付的数量，D正确．故选C.8．针对短视频热，某高校团委对学生性别和喜欢短视频是否有关联进行了一次调查，其中被调查的男生、女生人数均为5m(m∈N*)，男生中喜欢短视频的人数占男生人数的45，女生中喜欢短视频的人数占女生人数的35.零假设为H0：喜欢短视频和性别相互独立．若依据α＝0.05的独立性检验认为喜欢短视频和性别不独立，则m的最小值为()附：χ2＝n （ad －bc ）2（a ＋b ）（c ＋d ）（a ＋c ）（b ＋d ）.α0.050.01x α3.8416.635A ．7B ．8C ．9D ．10答案C解析根据题意，不妨设a ＝4m ，b ＝m ，c ＝3m ，d ＝2m ，于是χ2＝n （ad －bc ）2（a ＋b ）（c ＋d ）（a ＋c ）（b ＋d ）＝10m ·（5m 2）25m ·5m ·7m ·3m ＝10m21，由于依据α＝0.05的独立性检验认为喜欢短视频和性别不独立，根据表格可知10m 21≥3.841，解得m ≥8.0661，于是m 的最小值为9.二、多项选择题9．(2024·福建福州一中模拟)“一粥一饭，当思来之不易”，道理虽简单，但每年我国还是有2000多亿元的餐桌浪费，被倒掉的食物相当于2亿多人一年的口粮．为营造“节约光荣，浪费可耻”的氛围，某市发起了“光盘行动”．某机构为调研民众对“光盘行动”的认可情况，在某大型餐厅中随机调查了90位来店就餐的客人，制成如下所示的列联表，通过计算得到χ2的观测值为9.认可不认可40岁以下202040岁以上(含40岁)4010已知P (χ2≥6.635)＝0.010，P (χ2≥10.828)＝0.001，则下列判断正确的是()A ．在该餐厅用餐的客人中大约有66.7%的客人认可“光盘行动”B ．在该餐厅用餐的客人中大约有99%的客人认可“光盘行动”C ．有99%的把握认为对“光盘行动”的认可情况与年龄有关D ．在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为对“光盘行动”的认可情况与年龄有关答案AC解析∵χ2的观测值为9，且P (χ2≥6.635)＝0.010，P (χ2≥10.828)＝0.001，又9＞6.635，但9＜10.828，∴有99%的把握认为对“光盘行动”的认可情况与年龄有关，或者说，在犯错误的概率不超过0.010的前提下，认为对“光盘行动”的认可情况与年龄有关，故C正确，D错误；由表可知，认可“光盘行动”的人数为60，∴在该餐厅用餐的客人中认可“光盘行动”的比例为60×100%≈66.7%，故A正确，B错误．故选AC.9010．为了解阅读量多少与幸福感强弱之间的关系，一个调查机构根据所得到的数据，绘制了如下所示的2×2列联表(个别数据暂用字母表示)：幸福感强幸福感弱合计阅读量多m1872阅读量少36n78合计9060150计算得χ2≈12.981，参照下表：α0.100.050.0250.0100.0050.001xα 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828下列说法正确的是()A．根据小概率值α＝0.010的独立性检验，可以认为“阅读量多少与幸福感强弱无关”B．m＝54C．根据小概率值α＝0.005的独立性检验，可以在犯错误的概率不超过0.5%的前提下认为“阅读量多少与幸福感强弱有关”D．n＝52答案BC解析∵χ2≈12.981>7.879>6.635，∴根据小概率值α＝0.010的独立性检验，可以在犯错误的概率不超过1%的前提下认为“阅读量多少与幸福感强弱有关”，根据小概率值α＝0.005的独立性检验，可以在犯错误的概率不超过0.5%的前提下认为“阅读量多少与幸福感强弱有关”，∴A错误，C正确；∵m＋36＝90，18＋n＝60，∴m＝54，n＝42，∴B正确，D错误．故选BC.三、填空题11．某校为研究该校学生性别与体育锻炼的经常性之间的联系，随机抽取100名学生(其中男生60名，女生40名)，并绘制得到如图所示的等高堆积条形图，则这100名学生中经常锻炼的人数为________．答案68解析这100名学生中经常锻炼的人数为60×0.8＋40×0.5＝68.12．长绒棉是世界上纤维品质最优的棉花，也是全球高端纺织品及特种纺织品的重要原料．新疆具有独特的自然资源优势，是我国最大的长绒棉生产基地，产量占全国长绒棉总产量的95%以上．新疆某农科所为了研究不同土壤环境下棉花的品质，选取甲、乙两地实验田进行种植．在棉花成熟后采摘，分别从甲、乙两地采摘的棉花中各随机抽取50份样本，测定其马克隆值，整理测量数据得到如下2×2列联表(单位：份)，其中40≤a≤50且a∈N*.注：棉花的马克隆值是反映棉花纤维细度与成熟度的综合指标，是棉纤维重要的内在质量指标之一．根据现行国家标准规定，马克隆值可分为A，B，C三个级别，A级品质最好，B级为标准级，C级品质最差．A级或B级C级合计甲地a50－a50乙地80－a a－3050合计8020100当a＝a0时，有99%的把握认为该品种棉花的马克隆值级别与土壤环境有关，则a0的最小值为________．附：χ2＝n（ad－bc）2（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d），其中n＝a＋b＋c＋d.α0.0500.0100.001xα 3.841 6.63510.828答案46解析依题意，χ2≥6.635，即100×[a（a－30）－（50－a）（80－a）]250×50×80×20≥6.635，(10a－400)2≥2654，由于40≤a≤50且a∈N*，所以10a－400≥2654，a≥40＋265410，因为45<40＋265410<46，所以a0的最小值为46.四、解答题13．某城市地铁将于2024年6月开始运营，为此召开了一个价格听证会，拟定价格后又进行了一次调查，随机抽查了50人，他们的收入与态度如下：月收入(单位：百元)[15，25)[25，35)[35，45)赞成定价者人数123认为价格偏高者人数4812月收入(单位：百元)[45，55)[55，65)[65，75]赞成定价者人数534认为价格偏高者人数521(1)若以区间的中点值作为该区间内的人均月收入，求参与调查的人员中“赞成定价者”与“认为价格偏高者”的月平均收入的差距(结果保留两位小数)；(2)由以上统计数据列出2×2列联表，依据小概率值α＝0.01的独立性检验，可否认为“月收入以55百元为分界点对地铁定价的态度有差异”？附：χ2＝n（ad－bc）2（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d），其中n＝a＋b＋c＋d.α0.10.050.010.005xα 2.706 3.841 6.6357.879解(1)“赞成定价者”的月平均收入为x1＝20×1＋30×2＋40×3＋50×5＋60×3＋70×41＋2＋3＋5＋3＋4≈50.56.“认为价格偏高者”的月平均收入为x2＝20×4＋30×8＋40×12＋50×5＋60×2＋70×14＋8＋12＋5＋2＋1＝38.75，∴“赞成定价者”与“认为价格偏高者”的月平均收入的差距是x1－x2≈50.56－38.75＝11.81(百元)．(2)根据条件可得2×2列联表如下：对地铁定价的态度月收入合计不低于55百元的人数低于55百元的人数认为价格偏高者32932赞成定价者71118合计104050零假设为H0：月收入以55百元为分界点对地铁定价的态度无差异．χ2＝50×（3×11－29×7）232×18×10×40≈6.27＜6.635＝x0.01，∴根据小概率值α＝0.01的独立性检验，没有充分证据推断H0不成立，因此可以认为“月收入以55百元为分界点对地铁定价的态度无差异”．14．(2023·全国甲卷)一项试验旨在研究臭氧效应，试验方案如下：选40只小白鼠，随机地将其中20只分配到试验组，另外20只分配到对照组，试验组的小白鼠饲养在高浓度臭氧环境，对照组的小白鼠饲养在正常环境，一段时间后统计每只小白鼠体重的增加量(单位：g)．试验结果如下：对照组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为15.218.820.221.322.523.225.826.527.530.132.634.334.835.635.635.836.237.340.543.2试验组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为7.89.211.412.413.215.516.518.018.819.219.820.221.622.823.623.925.128.232.336.5(1)计算试验组的样本平均数；(2)(ⅰ)求40只小白鼠体重的增加量的中位数m，再分别统计两样本中小于m与不小于m的数据的个数，完成如下列联表；＜m≥m对照组试验组(ⅱ)根据(ⅰ)中的列联表，能否有95%的把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与在正常环境中体重的增加量有差异？附：χ2＝n（ad－bc）2（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d），α0.1000.0500.010xα 2.706 3.841 6.635解(1)试验组的样本平均数为120×(7.8＋9.2＋11.4＋12.4＋13.2＋15.5＋16.5＋18.0＋18.8＋19.2＋19.8＋20.2＋21.6＋22.8＋23.6＋23.9＋25.1＋28.2＋32.3＋36.5)＝39620＝19.8.(2)(ⅰ)依题意，可知这40只小白鼠体重的增加量的中位数是将两组数据合在一起，从小到大排序后第20位与第21位数据的平均数，第20位数据为23.2，第21位数据为23.6，所以m＝23.2＋23.62＝23.4，故列联表为＜m≥m对照组614试验组146(ⅱ)由(ⅰ)可得，χ2＝40×（6×6－14×14）220×20×20×20＝6.4＞3.841，所以能有95%的把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与在正常环境中体重的增加量有差异．。
列联表与独立性检验-高考数学复习
目录
高中总复习·数学
5. （2024·南通模拟）已知变量 X ， Y ，由它们的样本数据计算得到
χ2≈4.328，χ2的部分临界值表如下：
α
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
xα
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
则最大有
95% 的把握说变量 X ， Y 有关系（填百分数）.
工作，会务组选聘了50名记者担任对外翻译工作，下表为“性别与
会俄语”的2×2列联表，则 a － b ＋ d ＝
性别
28 .
是否会俄语
会俄语
不会俄语
男
a
b
女
6
d
合计
18
合计
20
50
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高中总复习·数学
解析：由2×2列联表得 a ＋6＝18，所以 a ＝12，因为 a ＋ b ＝20，所
以 b ＝8，因为6＋ d ＝30，所以 d ＝24，所以 a － b ＋ d ＝12－8＋24
饮用水
是否得病
合计
得病
不得病
干净水
52
466
518
不干净水
94
218
312
合计
146
684
830
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高中总复习·数学
（1）这种传染病是否与饮用水的卫生程度有关？请说明理由；
解：零假设为 H 0：这种传染病与饮用水的卫生程度无关.
2
830×
（
52×218−466×94
）
12 ＝
≈54.21＞10.828＝ x 0.001，
一元线性回归模型与独立性检验-高考数学复习
3.下表是降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x(单位:吨)与相应
的生产能耗y(单位:吨标准煤)的几组对应数据,根据表中提供的数据,求出y
^
关于x的回归直线方程为 y =0.7x+0.35,则表中m的值为(
)
x/吨
3
4
5
6
y/吨标准煤
2.5
m
4
4.5
A.3
B.3.5 C.4
D.4.5
答案 A
(2)事件X,Y关系越密切,则由观测数据计算得到的χ2的值越大.( √ )
^
^
^
(3) 经验回归直线 = bx+至少经过点(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn)中的一个
点.( × )
(4)两个变量的相关系数的绝对值越接近于1,它们的相关性越强.( √ )
2.(多选)下列说法不正确的有(
次函数y=bx+a,对每一个已知的xi,由直线方程可以得到一个估计值
^
i =bxi+a,
^
^
^
如果一次函数y = x+能使残差平方和
^
即
^
^
(y1-1 ) +(y2-y2 ) +…+(yn- ) = ∑
2
2
2
=1
^ 2
(yi- )
^
^
^
取得最小值,则 = x+称为 y
关于 x 的回归直线方程(对应的直线称为回归直线).因为是使得
平方和 最小,所以其中涉及的方法称为 最小二乘法
.
∑ ( -)( -)
=1
^
其中,回归系数=
2025高考数学一轮复习-9.4-列联表与独立性检验-专项训练【含解析】
9.4-列联表与独立性检验-专项训练【原卷版】1．想要检验是否喜欢参加体育活动与性别有关，应该检验()A．零假设H0：男性喜欢参加体育活动B．零假设H0：女性不喜欢参加体育活动C．零假设H0：喜欢参加体育活动与性别有关D．零假设H0：喜欢参加体育活动与性别无关2．为了研究高中学生对乡村音乐的态度(喜欢和不喜欢两种态度)与性别的关系，运用2×2列联表进行独立性检验，经计算得χ2＝7．01，则认为“喜欢乡村音乐与性别有关系”的把握约为()A．0．1%B．1%C．99%D．99．9%3．两个分类变量X和Y，值域分别为{x1，x2}和{y1，y2}，其样本频数分别是a＝10，b ＝21，c＋d＝35．若X与Y有关系的可信程度不小于97．5%，则c等于() A．3B．4C．5D．6附：α0．050．025xα3．8415．0244．针对“中学生追星问题”，某校团委对“学生性别和中学生追星是否有关”作了一次调查，调查样本中女生人数是男生人数的12，男生追星的人数占男生人数的16，女生追星的人数占女生人数的23，若在犯错误的概率不超过5%的前提下认为是否追星和性别有关，则调查样本中男生至少有()参考数据及公式如下：χ2＝n(ad－bc)2(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)，α0．0500．0100．001xα3．8416．63510．828 A．12人B．11人C．10人D．18人5．(多选)有两个分类变量X，Y，其列联表如下所示，Y1Y2X1a20－aX215－a30＋a其中a,15－a均为大于5的整数，根据小概率值α＝0．05的χ2独立性检验，认为X，Y 有关，则a的值可能为()A．8B．9C．7D．66．(多选)下列关于χ2的说法正确的是()A．根据2×2列联表中的数据计算得出χ2＝6．735＞6．635＝x0．01，则有99%的把握认为两个分类变量有关系B．χ2越大，认为两个分类变量有关系的把握性就越大C．χ2是用来判断两个分类变量有关系的可信程度的随机变量D．χ2＝n(ad－bc)(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)，其中n＝a＋b＋c＋d为样本容量7．世界杯期间，某一电视台对年龄高于40岁和不高于40岁的人是否喜欢西班牙队进行调查，对高于40岁的调查了50人，不高于40岁的调查了50人，所得数据制成如下列联表：单位：人年龄是否喜欢西班牙队合计不喜欢西班牙队喜欢西班牙队高于40岁p q50不高于40岁153550合计a b100若工作人员从所有统计结果中任取一个，取到喜欢西班牙队的人的概率为35，则在犯错误的概率不超过________下认为年龄与西班牙队的被喜欢程度有关．附：χ2＝n(ad－bc)2(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)．α0．150．100．050．0250．0100．0050．001xα2．0722．7063．8415．0246．6357．87910．828 8．研究人员选取170名青年男女大学生的样本，对他们进行一种心理测验，发现有60名女生对该心理测验中的最后一个题目的反应是：作肯定的有22名，否定的有38名；男生110名在相同的项目上作肯定的有22名，否定的有88名．问：性别与态度之间是否存在某种关系？分别用下面两种方法进行检验：(1)用等高堆积条形图；(2)根据小概率值α＝0．025的独立性检验．9．某校对学生进行心理障碍测试，得到的数据如下表：焦虑说谎懒惰总计女生5101530男生20105080总计252065110根据以上数据可判断在这三种心理障碍中，与性别关系最大的是()A．焦虑B．说谎C．懒惰D．以上都不对10．某旅行社为调查市民喜欢“人文景观”景点是否与年龄有关，随机抽取了55名市民，得到数据如下表所示：喜欢不喜欢合计大于40岁2052520岁至40岁102030合计302555根据小概率值α＝0．005的独立性检验，________推断出在犯错误的概率不大于0．005的情况下认为喜欢“人文景观”景点与年龄有关(填“能”或“不能”)．11．为调查某社区居民的业余生活状况，研究这一社区居民在20：00～22：00时间段的休闲方式与性别的关系，随机调查了该社区80人，得到下面的数据表：单位：人性别休闲方式合计看电视看书男105060女101020合计206080(1)根据小概率值α＝0．01的独立性检验，能否认为“在20：00～22：00时间段居民的休闲方式与性别有关系”？(2)将此样本的频率估计为总体的概率，在该社区的所有男性中随机调查3人，设调查的3人在这一时间段以看书为休闲方式的人数为随机变量X，求X的数学期望和方差．12．国家创新指数是反映一个国家科学技术和创新竞争力的综合指数．对国家创新指数得分排名前40的国家的有关数据进行收集、整理、描述和分析．下面给出了部分信息：①国家创新指数得分的频率分布直方图(数据分成7组：30≤x<40,40≤x<50,50≤x<60,60≤x<70，70≤x<80,80≤x<90,90≤x≤100)．②国家创新指数得分在60≤x <70这一组的是：61．7,62．4,63．6,65．9,66．4,68．5,69．1,69．3,69．5．③40个国家的人均国内生产总值(万美元)和国家创新指数得分情况统计图：④中国的国家创新指数得分为69．5，人均国内生产总值9960美元．(以上数据来源于《国家创新指数报告(2018)》)根据以上信息，解答下列问题：(1)中国的国家创新指数得分排名世界第几？(2)是否有99．9%的把握认为“人均国内生产总值影响国家创新指数得分”？(3)用(1)(2)得到的结论，结合所学知识，合理解释④中客观存在的数据．附：χ2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )．α0．0500．0100．001x α3．8416．63510．8289.4-列联表与独立性检验-专项训练【解析版】1．想要检验是否喜欢参加体育活动与性别有关，应该检验()A．零假设H0：男性喜欢参加体育活动B．零假设H0：女性不喜欢参加体育活动C．零假设H0：喜欢参加体育活动与性别有关D．零假设H0：喜欢参加体育活动与性别无关解析：D独立性检验假设有反证法的意味，应假设两类变量(而非变量的属性)无关，这时的χ2应该很小，如果χ2很大，则可以否定假设，如果χ2很小，则不能够肯定或者否定假设．2．为了研究高中学生对乡村音乐的态度(喜欢和不喜欢两种态度)与性别的关系，运用2×2列联表进行独立性检验，经计算得χ2＝7．01，则认为“喜欢乡村音乐与性别有关系”的把握约为()A．0．1%B．1%C．99%D．99．9%解析：C易知χ2＝7．01>6．635＝x0．01，对照临界值表知，有99%的把握认为喜欢乡村音乐与性别有关系．3．两个分类变量X和Y，值域分别为{x1，x2}和{y1，y2}，其样本频数分别是a＝10，b ＝21，c＋d＝35．若X与Y有关系的可信程度不小于97．5%，则c等于() A．3B．4C．5D．6附：α0．050．025xα3．8415．024解析：A列2×2列联表如下：XY合计y1y2x1102131 x2c d35合计10＋c21＋d66故χ2＝66×[10(35－c)－21c]231×35×(10＋c)(56－c)≥5．024．把选项A、B、C、D代入验证可知选A．4．针对“中学生追星问题”，某校团委对“学生性别和中学生追星是否有关”作了一次调查，调查样本中女生人数是男生人数的12，男生追星的人数占男生人数的16，女生追星的人数占女生人数的23，若在犯错误的概率不超过5%的前提下认为是否追星和性别有关，则调查样本中男生至少有()参考数据及公式如下：χ2＝n(ad－bc)2(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)，α0．0500．0100．001xα3．8416．63510．828 A．12人B．11人C．10人D．18人解析：A设男生人数为x，依题意可得列联表如下：单位：人性别追星合计喜欢追星不喜欢追星男生x65x6x女生x3x6x2合计x2x3x2若在犯错误的概率不超过5%的前提下认为是否喜欢追星和性别有关，则χ2>3．841，由χ2＝2x2·x·x·x2＝38x>3．841，解得x>10．24，因为x2，x6为整数，所以若在犯错误的概率不超过5%的前提下认为是否喜欢追星和性别有关，则男生至少有12人．故选A．5．(多选)有两个分类变量X，Y，其列联表如下所示，Y1Y2X1a20－aX215－a30＋a其中a,15－a均为大于5的整数，根据小概率值α＝0．05的χ2独立性检验，认为X，Y 有关，则a的值可能为()A．8B．9C．7D．6解析：AB根据公式，得χ2＝65×[a(30＋a)－(15－a)(20－a)]220×45×15×50＝13×(13a－60)220×45×3×2>3．841＝x0．05，根据a>5且15－a>5，a∈Z，求得当a＝8或9时满足题意．6．(多选)下列关于χ2的说法正确的是()A．根据2×2列联表中的数据计算得出χ2＝6．735＞6．635＝x0．01，则有99%的把握认为两个分类变量有关系B．χ2越大，认为两个分类变量有关系的把握性就越大C．χ2是用来判断两个分类变量有关系的可信程度的随机变量D．χ2＝n(ad－bc)(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)，其中n＝a＋b＋c＋d为样本容量解析：ABC D选项的公式中分子应该是n(ad－bc)2．故选A、B、C．7．世界杯期间，某一电视台对年龄高于40岁和不高于40岁的人是否喜欢西班牙队进行调查，对高于40岁的调查了50人，不高于40岁的调查了50人，所得数据制成如下列联表：单位：人年龄是否喜欢西班牙队合计不喜欢西班牙队喜欢西班牙队高于40岁p q50不高于40岁153550合计a b100若工作人员从所有统计结果中任取一个，取到喜欢西班牙队的人的概率为35，则在犯错误的概率不超过________下认为年龄与西班牙队的被喜欢程度有关．附：χ2＝n(ad－bc)2(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)．α0．150．100．050．0250．0100．0050．001xα2．0722．7063．8415．0246．6357．87910．828解析：设“从所有人中任意抽取一个，取到喜欢西班牙队的人”为事件A，由已知得P(A)＝q＋35100＝35，所以q＝25，p＝25，a＝40，b＝60．χ2＝100×(25×35－25×15)240×60×50×50＝256≈4．167>3．841＝x0．05．根据小概率值α＝0．05的χ2独立性检验，在犯错的概率不超过5%下认为年龄与西班牙队的被喜欢程度有关．答案：5%8．研究人员选取170名青年男女大学生的样本，对他们进行一种心理测验，发现有60名女生对该心理测验中的最后一个题目的反应是：作肯定的有22名，否定的有38名；男生110名在相同的项目上作肯定的有22名，否定的有88名．问：性别与态度之间是否存在某种关系？分别用下面两种方法进行检验：(1)用等高堆积条形图；(2)根据小概率值α＝0．025的独立性检验．解：建立性别与态度的2×2列联表如下：单位：人性别态度合计肯定否定男生2288110女生223860合计44126170根据列联表中所给的数据，可求出男生中作肯定态度的频率为22110＝0．2，女生中作肯定态度的频率为2260≈0．37．作等高条形图如图，其中两个深色条形的高分别表示男生和女生中作肯定态度的频率，比较图中深色条形的高可以发现，女生中作肯定态度的频率明显高于男生中作肯定态度的频率，因此可以认为性别与态度有关系．零假设为H 0：性别和态度没有关系．根据列联表中的数据得到χ2＝170×(22×38－22×88)2110×60×44×126≈5．622>5．024＝x 0．025．根据小概率值α＝0．025的χ2独立性检验，我们推断H 0不成立，即认为性别和态度有关系，此推断认为犯错误的概率不大于0．025．9．某校对学生进行心理障碍测试，得到的数据如下表：焦虑说谎懒惰总计女生5101530男生20105080总计252065110根据以上数据可判断在这三种心理障碍中，与性别关系最大的是()A ．焦虑B ．说谎C ．懒惰D ．以上都不对解析：B 对于焦虑，说谎，懒惰三种心理障碍，设它们观测值分别为χ21，χ22，χ23，由表中数据可得：χ21＝110×(5×60－25×20)230×80×25×85≈0．863，χ22＝110×(10×70－20×10)230×80×20×90≈6．366，χ23＝110×(15×30－15×50)230×80×65×45≈1．410，因为χ22的值最大，所以说谎与性别关系最大．故选B．10．某旅行社为调查市民喜欢“人文景观”景点是否与年龄有关，随机抽取了55名市民，得到数据如下表所示：喜欢不喜欢合计大于40岁2052520岁至40岁102030合计302555根据小概率值α＝0．005的独立性检验，________推断出在犯错误的概率不大于0．005的情况下认为喜欢“人文景观”景点与年龄有关(填“能”或“不能”)．解析：零假设为H0：喜欢“人文景观”景点与年龄无关．由公式χ2＝n(ad－bc)2(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)得，χ2≈11．978>7．879＝x0．005，根据小概率值α＝0．005的χ2独立性检验，我们推断H0不成立，即认为喜欢“人文景观”景点与年龄有关，此推断认为犯错误的概率不大于0．005．答案：能11．为调查某社区居民的业余生活状况，研究这一社区居民在20：00～22：00时间段的休闲方式与性别的关系，随机调查了该社区80人，得到下面的数据表：单位：人性别休闲方式合计看电视看书男105060女101020合计206080(1)根据小概率值α＝0．01的独立性检验，能否认为“在20：00～22：00时间段居民的休闲方式与性别有关系”？(2)将此样本的频率估计为总体的概率，在该社区的所有男性中随机调查3人，设调查的3人在这一时间段以看书为休闲方式的人数为随机变量X，求X的数学期望和方差．解：(1)零假设为H0：在20：00～22：00时间段居民的休闲方式与性别无关系，根据2×2列联表得，χ2＝80×(10×10－10×50)260×20×20×60＝809≈8．889>6．635＝x 0．01，根据小概率值α＝0．01的χ2独立性检验，我们推断H 0不成立，即认为“在20：00～22：00时间段居民的休闲方式与性别有关系”，此推断认为犯错误的概率不超过0．01．(2)由题意得，X ～且P (X ＝k )＝C －k，k ＝0,1,2,3，故E (X )＝np ＝3×56＝52，D (X )＝np (1－p )＝3×56×16＝512．12．国家创新指数是反映一个国家科学技术和创新竞争力的综合指数．对国家创新指数得分排名前40的国家的有关数据进行收集、整理、描述和分析．下面给出了部分信息：①国家创新指数得分的频率分布直方图(数据分成7组：30≤x <40,40≤x <50,50≤x <60,60≤x <70，70≤x <80,80≤x <90,90≤x ≤100)．②国家创新指数得分在60≤x <70这一组的是：61．7,62．4,63．6,65．9,66．4,68．5,69．1,69．3,69．5．③40个国家的人均国内生产总值(万美元)和国家创新指数得分情况统计图：④中国的国家创新指数得分为69．5，人均国内生产总值9960美元．(以上数据来源于《国家创新指数报告(2018)》)根据以上信息，解答下列问题：(1)中国的国家创新指数得分排名世界第几？(2)是否有99．9%的把握认为“人均国内生产总值影响国家创新指数得分”？(3)用(1)(2)得到的结论，结合所学知识，合理解释④中客观存在的数据．附：χ2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )．α0．0500．0100．001xα3．8416．63510．828解：(1)由国家创新指数得分的频率分布直方图可得，“国家创新指数得分”在70≤x≤100的频率为(0．03＋0．005＋0．005)×10＝0．4．因此，中国的国家创新指数得分排名为0．4×40＋1＝17．(2)由40个国家的人均国内生产总值和国家创新指数得分情况统计图可得2×2列联表如下：国家创新指数得分人均国内生产总值合计人均国内生产总值≤2人均国内生产总值>2国家创新指数得分≥6522022国家创新指数得分<6512618合计142640由2×2列联表可得χ2＝40×(2×6－12×20)214×26×18×22≈14．43，由于14．43>10．828，所以有99．9%的把握认为“人均国内生产总值影响国家创新指数得分”．(3)由(2)的结论说明：“人均国内生产总值与国家创新指数得分成线性相关关系”；事实上，我国的人均国内生产总值并不高，但是我国的国家创新指数相对比较高，恰恰说明了“中国特色社会主义制度的优越性，能够集中社会力量办大事”．。
高二数学独立性检验的基本思想及其初步应用试题答案及解析
高二数学独立性检验的基本思想及其初步应用试题答案及解析1.为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对该班50名学生进行了问卷调查，得到了如下列联表喜爱打篮球不喜爱打篮球合计则至少有的把握认为喜爱打篮球与性别有关（请用百分数表示）.附【答案】99.5%【解析】解：根据所给的列联表，得到k2=50(20×15-10×5)2（30×20×25×25） =8.333＞7.879，∴至少有99.5%的把握说明喜爱打篮球与性别有关．故答案为：99.5%2.下面是一个22列联表，则表中a、b处的值分别为( )y y总计A. 94、96B. 52、54C. 52、50D. 54、52【答案】B【解析】解：因为根据表格中的数据可知，2+a=b,b+46=100,b=54,a=52,选B3.(本小题满分12分)为考察某种药物预防疾病的效果，进行动物试验，调查了105个样本，统计结果为：服用药的共有55个样本，服用药但患病的仍有10个样本，没有服用药且未患病的有30个样本.（1）根据所给样本数据画出2×2列联表；（2）请问能有多大把握认为药物有效？【答案】 (1)(2)这种判断出错的可能性不超过5%【解析】根据题意，列出服用药的共有55个样本，则未服药的50个样本，服用药但未患病的有20个样本，没有服用药且未患病的有30个样本，列出2×2列联表；求出，记忆卡方范围，得出判断。
解:(1)根据所给样本数据可画出2×2列联表如下:服药未服药合计.。
6分(2)将表中数据代入公式,得到。
10分因为，所以有95%以上的把握认为药物有效，即这种判断出错的可能性不超过5%.。
12分4.统计中有一个非常有用的统计量，用它的大小可以确定在多大程度上可以认为“两个分类变量有关系”，下表是反映甲、乙两个平行班(甲班A老师教, 乙班B老师教)进行某次数学考试，按学生考试及格与不及格统计成绩后的2×2列联表.根据的值,你认为不及格人数的多少与不同老师执教有关系的把握大约为A．99.5% B．99.9% C．95% D．无充分依据.【答案】A【解析】解：k2= =80(4×24-16×36) 2/ 20×60×40×40 =9.6＞7.879 ∴不及格人数的多少与不同老师执教有关系的把握大约为99.5%故选A．5.统计中有一个非常有用的统计量，用它的大小可以确定在多大程度上可以认为“两个分类变量有关系”，下表是反映甲、乙两个平行班(甲班A老师教, 乙班B老师教)进行某学科测试，按学生考试及格与不及格统计成绩后的2×2列联表.不及格及格总计甲班(A教)43640乙班(B教)162440总计206080经计算＝9.6,你认为不及格人数的多少与不同老师执教有关系的把握大约为( )下面的临界值表供参考：A．99.5% B．99.9% C．95% D．无充分依据.【答案】A【解析】因为＝9.6 大于7.879，所以选A.6.随着生活水平的提高，越来越多的人参与了潜水这项活动。
备战高考数学复习考点知识与题型讲解86---独立性检验
备战高考数学复习考点知识与题型讲解第86讲独立性检验考向预测核心素养利用2×2列联表和卡方独立性检验判断两个变量的相关关系是高考考查的热点，各种题型均会出现.数据分析、数学运算一、知识梳理1．分类变量与列联表(1)分类变量在讨论问题时，为了表述方便，我们经常会使用一种特殊的随机变量，以区别不同的现象或性质，这类随机变量称为分类变量．分类变量的取值可以用实数表示．(2)2×2列联表列联表：列出的两个分类变量的频数表，称为列联表．假设有两个分类变量X和Y，它们的可能取值分别为{x1，x2}和{y1，y2}，其2×2列联表为y 1y2合计x1a b a＋bx2c d c＋d合计a＋c b＋d a＋b＋c＋d2.独立性检验(1)零假设以Ω为样本空间的古典概型．设X和Y为定义在Ω上，取值于{0，1}的成对分类变量．H：分类变量X和Y独立．通常称H0为零假设或原假设．(2)χ2公式假设我们通过简单随机抽样得到了X和Y的抽样数据列联表，如下表所示：χ2＝n（ad－bc）2（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）.对于任何小概率值α，可以找到相应的正实数xα，使得下面关系成立：P(χ2≥xα)＝α.我们称xα为α的临界值，这个临界值就可作为判断χ2大小的标准．概率值α越小，临界值xα越大．(3)独立性检验基于小概率值α的检验规则是：当χ2≥xα时，我们就推断H0不成立，即认为X和Y不独立，该推断犯错误的概率不超过α；当χ2＜xα时，我们没有充分证据推断H0不成立，可以认为X和Y独立．这种利用χ2的取值推断分类变量X和Y是否独立的方法称为χ2独立性检验，读作“卡方独立性检验”，简称独立性检验．二、教材衍化1．(人A选择性必修第三册P134练习T1改编) 为调查中学生近视情况，测得某校男生150名中有80名近视，140名女生中有70名近视．在检验这些学生眼睛近视是否与性别有关时，用下列哪种方法最有说服力( )A．回归分析 B.均值与方差C．独立性检验 D.概率答案：C2．(人A选择性必修第三册P134练习T4改编)为了判断高三年级学生是否选修文科与性别的关系，现随机抽取50名学生，得到如下2×2列联表：根据表中数据，得到χ2＝50×（13×20－10×7）223×27×20×30≈4.844.则认为选修文科与性别有关系出错的可能性不大于________．解析：χ2≈4.844>3.841＝x0.05，这表明小概率事件发生．根据假设检验的基本原理，应该断定“是否选修文科与性别之间有关系”成立，并且这种判断出错的可能性不大于0.05.答案：0.053．(人A选择性必修第三册P132例3改编)随着国家三孩政策的放开，为了调查一线城市和非一线城市的三孩生育意愿，某机构用简单随机抽样的方法从不同地区调查了100位育龄妇女，结果如下表．由χ2＝n（ad－bc）2（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d），得χ2＝100×（45×22－20×13）265×35×58×42≈9.616.参照下表：α根据小概率值α＝0.010的独立性检验，可以得到的结论是____________．答案：生育意愿与城市级别有关一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)独立性检验是检验两个分类变量是否有关的一种统计方法．( )(2)独立性检验得到的结论一定是正确的．( )(3)独立性检验的样本不同，其结论可能不同．( )(4)若事件X，Y关系越密切，则由观测数据计算得到的χ2越小．( ) 答案：(1)√(2)×(3)√(4)×二、易错纠偏1．(列联表意义不明致误)下面是2×2列联表：y 1y2合计x1a 2173x2222547合计 b 46120则表中a，b的值分别为( )A．94，72 B.52，50C．52，74 D.74，52解析：选C.因为a＋21＝73，所以a＝52.又a＋22＝b，所以b＝74.2．(独立性检验理解不当致误)(2022·揭阳模拟)随机询问50名大学生调查爱好某项运动是否和性别有关．利用2×2列联表计算得χ2＝8.333，则下列结论正确的是( )附：α0.0100.0050.001αA.在犯错误的概率不大于0.005的前提下认为“是否爱好该项运动与性别有关”B．在犯错误的概率不大于0.005的前提下认为“是否爱好该项运动与性别无关”C．在犯错误的概率不大于0.001的前提下，认为“是否爱好该项运动与性别有关”D．在犯错误的概率不大于0.001的前提下，认为“是否爱好该项运动与性别无关”解析：选 A.因为8.333>7.879，由附表知，在犯错误的概率不大于0.005的前提下，认为“是否爱好该项运动与性别有关”．故选A.考点一分类变量与列联表(自主练透)复习指导：掌握分类变量的含义；通过实例，理解2×2列联表的统计意义．1．(多选)根据如图所示的等高堆积条形图，下列叙述正确的是( )A．吸烟患肺病的频率约为0.2B．吸烟不患肺病的频率约为0.8C．不吸烟患肺病的频率小于0.05D．不能判断吸烟与患肺病之间的关系解析：选ABC.从等高堆积条形图上可以明显地看出，吸烟患肺病的频率远远大于不吸烟患肺病的频率．A，B，C都正确，D不正确．2．(2022·湖南省永州市高三适应性考试)“直播电商”已经成为当前经济发展的新增长点，某电商平台的直播间经营化妆品和服装两大类商品，2021年前三个季度，该直播间每个季度的收入都比上一季度的收入翻了一番，其前三季度的收入情况如图所示，则( )A．该直播间第三季度总收入是第一季度总收入的3倍B．该直播间第二季度化妆品收入是第三季度化妆品收入的1 3C．该直播间第一季度化妆品收入是第三季度化妆品收入的1 6D．该直播间第三季度服装收入低于前两个季度的服装收入之和解析：选B.对于选项A，因为该直播间每个季度的收入都比上一季度的收入翻了一番，所以第三季度的总收入是第一季度的2×2＝4倍，故A错误；对于选项B，设第一季度的总收入为a，则第二季度、第三季度的总收入分别为2a，4a，第二季度的化妆品收入为2a×20%＝0.4a，第三季度的化妆品收入为4a×30%＝1.2a，所以第二季度化妆品收入是第三季度化妆品收入的0.4a1.2a＝13，故B正确；对于选项C，第一季度的化妆品收入为a×10%＝0.1a，所以第一季度化妆品收入是第三季度化妆品收入的0.1a1.2a＝112，故C错误；对于选项D，第一、二季度服装收入和为a＋2a－0.1a－0.4a＝2.5a，第三季度服装收入为4a－1.2a＝2.8a，故D错误．故选B.3．(2022·上海华师大二附中高二月考)假设有两个分类变量X和Y，它们的值域分别为{x1，x2}和{y1，y2}，其2×2列联表为XY合计y1y2x1a b a＋bx2c d c＋d合计a＋c b＋d a＋b＋c＋d对同一样本，以下数据能说明X与Y有关的可能性最大的一组为( )A．a＝5，b＝4，c＝3，d＝2B．a＝5，b＝3，c＝4，d＝2C．a＝2，b＝3，c＝4，d＝5D．a＝3，b＝2，c＝4，d＝5解析：选D.对于同一样本，|ad－bc|越小，说明X与Y相关性越弱，而|ad－bc|越大，说明X与Y相关性越强，通过计算知，对于A、B、C都有|ad－bc|＝|10－12|＝2；对于选项D，有|ad－bc|＝|15－8|＝7，显然7＞2.4．为了搞好对外宣传工作，会务组选聘了30名记者担任对外翻译工作，在下面“性别与会俄语”的2×2列联表中，a－b＋d＝________．性别俄语合计会俄语不会俄语男 a b 20女6 d合计1830解析：由2×2列联表的性质，可得：a＝18－6＝12，b＝20－12＝8，6＋d＝30－20，可得d＝4，所以a－b＋d＝8.答案：8求解参数的方法(1)根据等高堆积条形图的高度差直接判断．(2)直接利用2×2列联表的性质，建立方程即可求参数．考点二独立性检验(多维探究)复习指导：通过对典型案例(如“肺癌与吸烟有关吗”等)的探究，了解独立性检验的基本思想、方法及初步应用．角度1 简单的独立性检验问题某校推广新课改，在两个程度接近的班进行试验，一班为新课改班级，二班为非课改班级，经过一个学期的教学后对期末考试进行分析评价，规定：总分超过550(或等于550分)为优秀，550以下为非优秀，得到以下列联表：优秀非优秀合计一班3513二班1725合计(1)请完成列联表；(2)依据小概率值α＝0.01的独立性检验，能否认为推广新课改与总成绩是否优秀有关系？参考数据：α0.10.050.010.005xα2.7063.841 6.6357.879χ2＝n（ad－bc）2（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）.【解】(1)优秀非优秀合计一班351348二班172542合计523890 (2)零假设为H0：推广新课改与总成绩是否优秀无关．根据列联表中的数据，得到χ2＝90×（35×25－13×17）248×42×52×38≈9.663>6.635＝x0.01，故根据小概率值α＝0.01的独立性检验，我们推断H0不成立，即认为推广新课改与总成绩是否优秀有关系，此推断犯错误的概率不大于0.01.角度2 独立性检验与统计、概率的综合问题(2022·四川雅安5月三模改编)高铁在出行方式中越来越受欢迎，某部门利用大数据随机抽取了出行人群中的100名旅客进行调查统计，得知在40岁及以下的旅客中乘坐高铁出行的占23.(1)请完成下面的2×2列联表，并依据小概率值α＝0.001 的独立性检验，分析能否认为乘坐高铁出行与年龄有关；(2)为提升服务质量，该部门从这100名旅客中按年龄采用分层随机抽样的方法选取5人参加座谈会，会后再进行抽奖活动，奖品共三份，由于年龄差异，规定40岁及以下的旅客若中奖，则每人得800元，40岁以上的旅客若中奖，则每人得1 000元，设三份奖品总金额为X 元，求X 的分布列与数学期望．参考公式：χ2＝n （ad －bc ）2（a ＋b ）（c ＋d ）（a ＋c ）（b ＋d ），其中n ＝a ＋b ＋c ＋d .参考数据：【解】 (1)由已知可得，样本中40岁及以下乘坐高铁出行的有60×23＝40(人)．2×2列联表如下：零假设为H 0：乘坐高铁出行与年龄无关．由列联表中的数据计算可得χ2＝100×（40×30－20×10）260×40×50×50≈16.667>10.828＝x0.001.根据小概率值α＝0.001的独立性检验，我们推断H0不成立，即认为乘坐高铁出行与年龄有关，此推断犯错误的概率不大于0.001.(2)采用分层随机抽样的方法，则从40岁及以下的人中抽取3人，从40岁以上的人中抽取2人．X的所有可能取值为2 400，2 600，2 800.P(X＝2 400)＝C33C02C35＝110，P(X＝2 600)＝C23C12C35＝35，P(X＝2 800)＝C13C22C35＝310.故分布列如下：X 2 400 2 600 2 800P11035310E(X)＝2 400×110＋2 600×35＋2 800×310＝2 640.(1)在2×2列联表中，如果两个变量没有关系，则应满足ad－bc≈0.|ad－bc|越小，说明两个变量之间关系越弱；|ad－bc|越大，说明两个变量之间关系越强．(2)解决独立性检验的应用问题，一定要按照独立性检验的步骤得到结论．独立性检验的一般步骤：①根据样本数据制成2×2列联表；②根据公式χ2＝n（ad－bc）2（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）计算得到χ2的值；③比较χ2的值与临界值的大小关系，作统计推断．|跟踪训练|(2022·西藏拉萨那曲第二高级中学高三月考)某中学随机抽查了50名同学的每天课外阅读时间，得到如下统计表：(1)求这50名同学的平均阅读时长(用区间中点值代表每个人的阅读时长)；(2)在阅读时长位于(40，50]的4人中任选2人，求甲同学被选中的概率；(3)进一步调查发现，语文成绩和每天的课外阅读时间有很大关系，每天的课外阅读时间多于半小时称为“阅读迷”，语文成绩达到120分视为优秀，根据每天的课外阅读时间和语文成绩是否优秀，制成一个2×2列联表：依据小概率值α＝0.01的独立性检验，能否认为语文成绩是否优秀与课外阅读时间有关？参考公式：χ2＝n（ad－bc）2（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）. 参考数据：解：(1)设这50名同学的平均阅读时长为x－min，则x－＝5×4＋15×10＋25×14＋35×18＋45×450＝26.6，故这50名同学的平均阅读时长为26.6 min.(2)设这4名学生中分别为甲、乙、丙、丁，从这4名学生中任取2名学生，所有的样本点有：(甲，乙)，(甲，丙)，(甲，丁)，(乙，丙)，(乙，丁)，(丙，丁)，共6个，其中，事件“甲同学被选中”所包含的样本点有：(甲，乙)，(甲，丙)，(甲，丁)，因此，所求概率为P＝36＝12.(3)零假设为H0：语文成绩是否优秀与课外阅读时间无关．由列联表中的数据计算得χ2＝50×（20×25－2×3）222×28×23×27≈31.897>6.635＝x0.01，因此，根据小概率值α＝0.01的独立性检验，我们推断H0不成立，即认为语文成绩是否优秀与课外阅读时间有关，此推断犯错误的概率不大于0.01.[A 基础达标]1．下面的等高条形图可以说明的问题是( )A．“心脏搭桥”手术和“血管清障”手术对“诱发心脏病”的影响是绝对不同的B．“心脏搭桥”手术和“血管清障”手术对“诱发心脏病”的影响没有什么不同C．此等高条形图看不出两种手术有什么不同的地方D．“心脏搭桥”手术和“血管清障”手术对“诱发心脏病”的影响在某种程度上是不同的，但是没有100%的把握解析：选D.由等高条形图可知“心脏搭桥”手术和“血管清障”手术对“诱发心脏病”的频率不同，所以“心脏搭桥”手术和“血管清障”手术对“诱发心脏病”的影响在某种程度上是不同的，但是没有100%的把握，所以选项D正确，故选D.2．某学校食堂对高三学生偏爱蔬菜还是肉类与性别的关系进行了一次调查，根据独立性检验原理，处理所得数据之后发现，得到“偏爱蔬菜还是肉类与性别有关”这个结论犯错误的概率大于0.001，而不大于0.01，则χ2的值可能为( ) 附表：A.3.206B.6.561C.7.879D.11.028解析：选 C.根据题意得χ2的取值范围为[6.635，10.828)，因此χ2的值可能为7.879.故选C.3．(多选)假设有两个分类变量X和Y，其2×2列联表如下表所示：在犯错误的概率不超过0.05的前提下，下面哪个选项可以认为变量X，Y有关( )A．a＝10 B.a＝12C．a＝8 D.a＝9解析：选ACD.根据列联表知，aa＋40与30－a60－a的差距越小，则越无法认为变量X，Y有关联，分析四个选项，B选项中，a＝12时，aa＋40与30－a60－a的差距最小，且不满足犯错误的概率不超过0.05的条件，而其他选项均满足．4．小波同学为了验证谚语“日落云里走，雨在半夜后”，观察了所在地区A的100天日落和夜晚天气，得到如下2×2列联表，并计算得到χ2≈19.05，下列小波对地区A 天气判断不正确的是( )附表：A.夜晚下雨的概率约为1 2B．未出现“日落云里走”夜晚下雨的概率约为5 14C．做出“‘日落云里走’是否出现与当晚是否下雨有关”这一推断犯错误的概率不大于0.001D．出现“日落云里走”，有99.9%的把握认为夜晚会下雨解析：选D.据列联表，100天中有50天下雨，50天未下雨，因此下雨的概率约为50 100＝12，A正确；同样，未出现“日落云里走”夜晚下雨的概率约为2525＋45＝514，B正确；因为χ2≈19.05＞10.828＝x0.001，所以做出“‘日落云里走’是否出现与当晚是否下雨有关”这一推断犯错误的概率不大于0.001，C正确；有关只是说可能性，不代表一定下雨，D错误．故选D.5．(多选)某俱乐部为了解会员对运动场所的满意程度，随机调查了50名会员，每位会员对俱乐部提供的场所给出满意或不满意的评价，得到如图所示的列联表，经计算χ2≈5.059，则可以推断出( )附：A.该俱乐部的男性会员对运动场所满意的概率的估计值为2 3B．调查结果显示，该俱乐部的男性会员比女性会员对俱乐部的场所更满意C．做出“男性会员、女性会员对运动场所的评价有差异”这一推断犯错误的概率不大于0.05D．做出“男性会员、女性会员对运动场所的评价有差异”这一推断犯错误的概率不大于0.01解析：选ABC.对于选项A，该俱乐部男性会员对运动场所满意的概率的估计值为18 27＝23，故A正确；对于选项B，该俱乐部女性会员对运动场所满意的概率的估计值为823，而23＝4669>823＝2469，故B正确；因为χ2≈5.059＞3.841＝x0.05，所以依据小概率值α＝0.05的独立性检验，我们认为男性会员、女性会员对运动场所的评价有差异，此推断犯错误的概率不大于0.05，故C正确，D错误．6．(多选)某机构在研究性别与是否爱好拳击运动的关系中，通过收集数据得到如下2×2列联表．经计算得χ2＝100×（35×28－15×22）250×50×57×43≈6.895.之后又对被研究者的身高进行了统计，得到男、女身高分别近似服从正态分布N(175，16)和N(164，9)，则下列选项中正确的是( )A.“爱好拳击运动与性别有关”，这个结论犯错误的概率不超过0.01B．在100个男生中，至少有一个人爱好打拳击C．男生身高的平均数为175，男生身高的标准差为16D．女生身高的平均数为164，女生身高的标准差为3解析：选AD.χ2≈6.895＞6.635＝x0.01，A对；显然B错；男生身高的标准差为4，C 错；显然D对，故选AD.7．(2022·赣中南五校联考)心理学家分析发现视觉和空间想象能力与性别有关，某数学兴趣小组为了验证这个结论，从所在学校中按分层随机抽样的方法抽取50名同学(男30，女20)，给所有同学几何题和代数题各一题，让各位同学自由选择一道题进行解答．选题情况如下表：(单位：人)根据上述数据，推断视觉和空间想象能力与性别有关系，则这种推断犯错误的概率不超过________．附表：解析：由列联表计算得χ2＝50×（22×12－8×8）2≈5.556>3.841＝x0.05，所以推断犯错误的概率不超过0.05.30×20×20×30答案：0.058．(2022·黑龙江模拟)为研究某新药的疗效，给100名患者服用此药，跟踪调查后得下表中的数据：性别疗效合计无效有效男性患者153550女性患者64450合计2179100设H0：服用此药的效果与患者的性别无关，则χ2≈________(小数点后保留3位有效数字)，从而得出结论；服用此药的效果与患者的性别有关，这种判断出错的概率不大于________．解析：由公式计算得χ2＝100×（15×44－6×35）221×79×50×50≈4.882，因为χ2>3.841＝x0.05根据α＝0.05的独立性检验，分析服用此药的效果与患者的性别有关，判断出错的概率不大于0.05.答案：4.882 0.059．(2022·山东省济南市高二期末)为了研究某种疾病的治愈率，某医院对100名患者中的一部分患者采用了外科疗法，另一部分患者采用了化学疗法，并根据两种治疗方法的治愈情况绘制了等高堆积条形图，如下：(1)根据图表完善以下关于治疗方法和治愈情况的2×2列联表；疗法疗效合计未治愈治愈外科疗法化学疗法18合计100(2)依据小概率值α＝0.05的独立性检验，分析此种疾病治愈率是否与治疗方法有关．附：χ2＝n（ad－bc）2（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）.(如需计算χ2，结果精确到0.001)α0.10.050.010.0050.001xα2.7063.841 6.6357.87910.828解：(1)根据等高条形图，采用化学疗法的治愈率为30%，由列联表得化学疗法治愈的人数为18人，故采用化学疗法的人共有18÷30%＝60人，采用外科疗法的有40人，其中治愈的有40×50%＝20人．所以列联表如下表：疗法疗效合计未治愈治愈外科疗法202040化学疗法421860合计6238100 (2)零假设为H0：设此种疾病治愈率与治疗方法无关．则根据列联表中的数据计算χ2＝100×（20×18－42×20）262×38×60×40＝2 400589≈4.075>3.841＝x0.05，所以依据小概率值α＝0.05的独立性检验，我们推断H0不成立，即认为此种疾病治愈率与治疗方法有关，此推断犯错误的概率不大于0.05.10.(2022·福州市质量检测)某部门研究成果认为，房租支出超过月收入13的租户“幸福指数”低，房租支出不超过月收入13的租户“幸福指数”高．为了了解甲、乙两小区租户的幸福指数高低，随机抽取甲、乙两小区的租户各100户进行调查．甲小区租户的月收入以[0，3)，[3，6)，[6，9)，[9，12)，[12，15](单位：千元)分组的频率分布直方图如图所示．乙小区租户的月收入(单位：千元)的频数分布表如下：(1)设甲、乙两小区租户的月收入相互独立，记M表示事件“甲小区租户的月收入低于6千元，乙小区租户的月收入不低于6千元”，把频率视为概率，求M的概率；(2)利用频率分布直方图，求所抽取的甲小区100户租户的月收入的中位数；(3)若甲、乙两小区每户的月租费分别为2千元、1千元．请根据条件完成下面的2×2列联表，并依据小概率值α＝0.001的独立性检验，分析幸福指数与租住的小区是否有关．附：临界值表参考公式：χ2＝n（ad－bc）2（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）.解：(1)记A表示事件“甲小区租户的月收入低于6千元”，记B表示事件“乙小区租户的月收入不低于6千元”，甲小区租户的月收入低于6千元的频率为(0.060＋0.160)×3＝0.66，故P(A)的估计值为0.66；乙小区租户的月收入不低于6千元的频率为24＋9＋2100＝0.35，故P(B)的估计值为0.35.因为甲、乙两小区租户的月收入相互独立，所以事件M的概率的估计值为P(M)＝P(A)P(B)＝0.66×0.35＝0.231.(2)设甲小区所抽取的100户租户的月收入的中位数为t，则0.060×3＋(t－3)×0.160＝0.5，解得t＝5.(3)零假设为H0：幸福指数与租住的小区无关．根据2×2列联表中的数据，得到χ2＝200×（66×62－34×38）2100×100×104×96≈15.705>10.828＝x0.001，依据小概率值α＝0.001的独立性检验，我们认为H0不成立，即认为幸福指数与租住的小区有关，此推断犯错误的概率不大于0.001.[B 综合应用]11．(多选)(2022·梅州高二模拟)针对时下的“抖音热”，某校团委对“学生性别和喜欢抖音是否有关”作了一次调查，其中被调查的男女生人数相同，男生喜欢抖音的人数占男生人数的45，女生喜欢抖音的人数占女生人数35，若做出“是否喜欢抖音和性别有关”这一推断犯错误的概率不大于0.05，则调查人数中男生的人数可能为( )附表：附：χ2＝n（ad－bc）2（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）.A．25 B.35C.45D.60解析：选CD.设男生可能有x人，依题意得女生有x人，可得2×2列联表如下：若做出“是否喜欢抖音和性别有关”这一推断犯错误的概率不大于0.05，则χ2≥3.841＝x0.05，即χ2＝2x·⎝⎛⎭⎪⎫45x·25x－35x·15x275x·35x·x·x＝221x≥3.841，解得x≥40.330 5，由题意知x＞0，且x是5的整数倍，所以45和60都满足题意．故选CD.12．(2022·青岛市统一质量检测)某驾驶员培训学校为对比了解“科目二”的培训过程采用大密度集中培训与周末分散培训两种方式的效果，调查了105名学员，统计结果为：接受大密度集中培训的55名学员中有45名学员一次考试通过，接受周末分散培训的学员一次考试通过的有30名．根据统计结果，认为“能否一次考试通过与是否集中培训有关”犯错误的概率不超过________．附：χ2＝n（ad－bc）2（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）.解析：由题意作出2×2列联表：则χ2＝105×（45×20－10×30）2 55×50×75×30≈6.109＞5.024＝x0.025，所以认为“能否一次考试通过与是否集中培训有关”犯错误的概率不超过0.025.答案：0.025[C 素养提升]13．(2020·新高考卷Ⅱ改编)为加强环境保护，治理空气污染，环境监测部门对某市空气质量进行调研，随机抽查了100天空气中的PM2.5和SO2浓度(单位：μg/m3)，得下表：(1)估计事件“该市一天空气中PM2.5浓度不超过75，且SO2浓度不超过150”的概率；(2)根据所给数据，完成下面的2×2列联表：(3)根据(2)中的列联表，并依据小概率值α＝0.01的独立性检验，能否认为该市一天空气中PM2.5浓度与SO2浓度有关？附：χ2＝n（ad－bc）2（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d），解：(1)根据抽查数据，该市100天空气中的PM2.5浓度不超过75，且SO2浓度不超过150的天数为32＋18＋6＋8 ＝64，因此，该市一天空气中PM2.5浓度不超过75，且SO2浓度不超过150的概率的估计值为64100＝0.64.(2)根据抽查数据，可得2×2列联表：(3)零假设为H0：该市一天空气中PM2.5浓度与SO2浓度无关．根据(2)的列联表得χ2＝100×（64×10－16×10）280×20×74×26≈7.484>6.635＝x0.01.依据小概率值α＝0.01的独立性检验，我们推断H0不成立，即认为该市一天空气中PM2.5浓度与SO2浓度有关，此推断犯错误的概率不大于0.01.。
历年高考数学真题精选49 独立性检验
历年高考数学真题精选（按考点分类）专题49 独立性检验（学生版）1．（2019•新课标Ⅰ）某商场为提高服务质量，随机调查了50名男顾客和50名女顾客，每位顾客对该商场的服务给出满意或不满意的评价，得到下面列联表：满意不满意男顾客4010女顾客3020（1）分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率；（2）能否有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异？附：22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++．2()P K k0.0500.0100.001 k 3.841 6.63510.8282．（2018•新课标Ⅲ）某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式．为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人．第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式．根据工人完成生产任务的工作时间（单位：)min绘制了如下茎叶图：（1）根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由；（2）求40名工人完成生产任务所需时间的中位数m，并将完成生产任务所需时间超过m和不超过m的工人数填入下面的列联表：超过m不超过m 第一种生产方式第二种生产方式（3）根据（2）中的列联表，能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异？附：22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++，2()P K k0.0500.0100.001 k 3.841 6.63510.8283．（2017•新课标Ⅱ）海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：)kg，其频率分布直方图如图：（1）设两种养殖方法的箱产量相互独立，记A表示事件“旧养殖法的箱产量低于50kg，新养殖法的箱产量不低于50kg”，估计A的概率；（2）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：箱产量50kg<箱产量50kg 旧养殖法（3）根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值（精确到0.01)． 附：2(()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++． 4．（2014•安徽）某高校共有学生15000人，其中男生10500人，女生4500人．为调查该校学生每周平均体育运动时间的情况，采用分层抽样的方法，收集300位学生每周平均体育运动时间的样本数据（单位：小时）． （1）应收集多少位女生的样本数据？（2）根据这300个样本数据，得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图（如图所示），其中样本数据的分组区间为：[0，2]，(2，4]，(4，6]，(6，8]，(8，10]，(10，12]．估计该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率．（3）在样本数据中，有60位女生的每周平均体育运动时间超过4小时，请完成每周平均体育运动时间与性别列联表，并判断是否有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”．附：2()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++．5．（2014•辽宁）某大学餐饮中心为了解新生的饮食习惯，在全校一年级学生中进行了抽样调查，调查结果如表所示：喜欢甜品不喜欢甜品合计南方学生602080北方学生101020合计7030100（Ⅰ）根据表中数据，问是否有95%的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”；（Ⅱ）已知在被调查的北方学生中有5名数学系的学生，其中2名喜欢甜品，现在从这5名学生中随机抽取3人，求至多有1人喜欢甜品的概率．附：22111222211212()n n n n nXn n n n++++-=2()P x k>0.1000.0500.010 k 2.706 3.841 6.6356．（2013•福建）某工厂有25周岁以上（含25周岁）工人300名，25周岁以下工人200名．为研究工人的日平均生产量是否与年龄有关，现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名工人，先统计了他们某月的日平均生产件数，然后按工人年龄在“25周岁以上（含25周岁）”和“25周岁以下”分为两组，再将两组工人的日平均生产件数分为5组：[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100)分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．2()P x k0.1000.0500.0100.001 k 2.706 3.841 6.63510.828（Ⅰ）从样本中日平均生产件数不足60件的工人中随机抽取2人，求至少抽到一名“25周岁以下组”工人的概率；（Ⅱ）规定日平均生产件数不少于80件者为“生产能手”，请你根据已知条件完成列联表，并判断是否有90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”？附：2112212211*2**1*2()n n n n nxn n n n-=（注：此公式也可以写成22())()()()()n ad bcka b c d a c b d-=++++ 7．（2012•辽宁）电视传媒公司为了了解某地区电视观众对某体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查，下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图：将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”．（Ⅰ）根据已知条件完成下面22⨯列联表，并据此资料你是否认为“体育迷”与性别有关？非体育迷体育迷合计男女1055合计（Ⅱ）将上述调查所得到的频率视为概率．现在从该地区大量电视观众中，采用随机抽样方法每次抽取1名观众，抽取3次，记被抽取的3名观众中的“体育迷”人数为X，若每次抽取的结果是相互独立的，求X的分布列，期望()D XE X和方差()K k0.050.01(P2)k 3.841 6.635．8．（2012•辽宁）电视传媒公司为了了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查，其中女性有55名．如图是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图；将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”，已知“体育迷”中有10名女性．（Ⅰ）根据已知条件完成下面的22⨯列联表，并据此资料你是否认为“体育迷”与性别有关？（Ⅱ）将日均收看该体育项目不低于50分钟的观众称为“超级体育迷”，已知“超级体育迷”中有2名女性，若从“超级体育迷”中任意选取2人，求至少有1名女性观众的概率．附22112212211212()n n n n n n n n n ++++-X =．9．（2010•全国新课标）为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老年人，结果如表：（1）估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的比例；（2）能否有99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？ （3）根据（2）的结论，能否提出更好的调查方法来估计该地区的老年人中需要志愿者提供帮助的老年人比例？说明理由．2()P K k0.050 0.010 0.001k3.841 6.635 10.828附：2(()()()()n ad K a b c d a c b d =++++．10．（2010•辽宁）为了比较注射A ，B 两种药物后产生的皮肤疱疹的面积，选200只家兔做试验，将这200只家兔随机地分成两组，每组100只，其中一组注射药物A ，另一组注射药物B ．（Ⅰ）甲、乙是200只家兔中的2只，求甲、乙分在不同组的概率；（Ⅱ）下表1和表2分别是注射药物A 和B 后的试验结果．（疱疹面积单位：2)mm 表1：注射药物A 后皮肤疱疹面积的频数分布表疱疹面积 [60，65)[65，70)[70，75)[75，80)频数30 40 20 10表2：注射药物B 后皮肤疱疹面积的频数分布表疱疹面积 [60，65)[65，70)[70，75)[75，80)[80，85)频数10 25 20 30 15（ⅰ）完成下面频率分布直方图，并比较注射两种药物后疱疹面积的中位数大小；完成下面22⨯列联表，并回答能否有99.9%的把握认为“注射药物A 后的疱疹面积与注射药物B 后的疱疹面积有差异”． 表3:附：2()()()()K a b c d a c b d =++++．历年高考数学真题精选（按考点分类）专题49 独立性检验（教师版）1．（2019•新课标Ⅰ）某商场为提高服务质量，随机调查了50名男顾客和50名女顾客，每位顾客对该商场的服务给出满意或不满意的评价，得到下面列联表：（1）分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率；（2）能否有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异？附：22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++．解：（1）由题中数据可知，男顾客对该商场服务满意的概率404505P==，女顾客对该商场服务满意的概率303505P==；（2）由题意可知，22100(40203010)1004.762 3.8417030505021K⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯，故有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异．2．（2018•新课标Ⅲ）某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式．为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人．第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式．根据工人完成生产任务的工作时间（单位：)min绘制了如下茎叶图：（1）根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由；（2）求40名工人完成生产任务所需时间的中位数m，并将完成生产任务所需时间超过m和不超过m的工人数填入下面的列联表：超过m不超过m 第一种生产方式第二种生产方式（3）根据（2）中的列联表，能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异？附：22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++，2()P K k0.0500.0100.001 k 3.841 6.63510.828解：（1）根据茎叶图中的数据知，第一种生产方式的工作时间主要集中在72~92之间，第二种生产方式的工作时间主要集中在65~85之间，所以第二种生产方式的工作时间较少些，效率更高；（2）这40名工人完成生产任务所需时间按从小到大的顺序排列后，排在中间的两个数据是79和81，计算它们的中位数为7981802m+==；由此填写列联表如下；超过m 不超过m总计 第一种生产方式 15 5 20 第二种生产方式5 15 20 总计202040（3）根据（2）中的列联表，计算222()40(151555)10 6.635()()()()20202020n ad bc K a b c d a c b d -⨯⨯-⨯===>++++⨯⨯⨯，∴能有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异．3．（2017•新课标Ⅱ）海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：)kg ，其频率分布直方图如图：（1）设两种养殖方法的箱产量相互独立，记A 表示事件“旧养殖法的箱产量低于50kg ，新养殖法的箱产量不低于50kg ”，估计A 的概率；（2）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：箱产量50kg <箱产量50kg旧养殖法（3）根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值（精确到0.01)． 附：2(()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++． 解：（1）记B 表示事件“旧养殖法的箱产量低于50kg ”， C 表示事件“新养殖法的箱产量不低于50kg ”，由P （A ）()P BC P ==（B ）P （C ），则旧养殖法的箱产量低于50:(0.0120.0140.0240.0340.040)50.62kg ++++⨯=， 故P （B ）的估计值0.62，新养殖法的箱产量不低于50:(0.0680.0460.0100.008)50.66kg +++⨯=， 故P （C ）的估计值为，则事件A 的概率估计值为P （A ）P =（B ）P （C ）0.620.660.4092=⨯=；A ∴发生的概率为0.4092；（2）22⨯列联表：38 66则22200(62663834)15.70510010096104K⨯-⨯=≈⨯⨯⨯，由15.705 6.635>，∴有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关；（3）由新养殖法的箱产量频率分布直方图中，箱产量低于50kg的直方图的面积：(0.0040.0200.044)50.34++⨯=，箱产量低于55kg的直方图面积为：(0.0040.0200.0440.068)50.680.5+++⨯=>，故新养殖法产量的中位数的估计值为：0.50.345052.35()0.068kg-+≈，新养殖法箱产量的中位数的估计值52.35()kg．4．（2014•安徽）某高校共有学生15000人，其中男生10500人，女生4500人．为调查该校学生每周平均体育运动时间的情况，采用分层抽样的方法，收集300位学生每周平均体育运动时间的样本数据（单位：小时）．（1）应收集多少位女生的样本数据？（2）根据这300个样本数据，得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图（如图所示），其中样本数据的分组区间为：[0，2]，(2，4]，(4，6]，(6，8]，(8，10]，(10，12]．估计该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率．（3）在样本数据中，有60位女生的每周平均体育运动时间超过4小时，请完成每周平均体育运动时间与性别列联表，并判断是否有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”．附：2 2()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++．解：（1）45003009015000⨯=，所以应收集90位女生的样本数据．（2）由频率分布直方图得12(0.1000.025)0.75-⨯+=，所以该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率的估计值为0.75．（3）由（2）知，300位学生中有3000.75225⨯=人的每周平均体育运动时间超过4小时，75人的每周平均体育运动时间不超过4小时，又因为样本数据中有210份是关于男生的，90份是关于女生的，所以每周平均体育运动时间与性别列联表如下：每周平均体育运动时间与性别列联表男生女生总计每周平均体育运动时间不超过4小时453075每周平均体育运动时间超过4小时16560225总计21090300结合列联表可算得2300(456016530)1004.762 3.841210907522521K⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯所以，有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”．5．（2014•辽宁）某大学餐饮中心为了解新生的饮食习惯，在全校一年级学生中进行了抽样调查，调查结果如表所示：（Ⅰ）根据表中数据，问是否有95%的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”；（Ⅱ）已知在被调查的北方学生中有5名数学系的学生，其中2名喜欢甜品，现在从这5名学生中随机抽取3人，求至多有1人喜欢甜品的概率．附：2 2111222211212()n n n n nXn n n n++++-=解：（Ⅰ）由题意，2100(60102010)4.762 3.84170308020X⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，∴有95%的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”；（Ⅱ）从这5名学生中随机抽取3人，共有3510C=种情况，有2名喜欢甜品，有133C=种情况，∴至多有1人喜欢甜品的概率710．6．（2013•福建）某工厂有25周岁以上（含25周岁）工人300名，25周岁以下工人200名．为研究工人的日平均生产量是否与年龄有关，现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名工人，先统计了他们某月的日平均生产件数，然后按工人年龄在“25周岁以上（含25周岁）”和“25周岁以下”分为两组，再将两组工人的日平均生产件数分为5组：[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100)分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．2()P x k0.1000.0500.0100.001k 2.706 3.841 6.635 10.828（Ⅰ）从样本中日平均生产件数不足60件的工人中随机抽取2人，求至少抽到一名“25周岁以下组”工人的概率；（Ⅱ）规定日平均生产件数不少于80件者为“生产能手”，请你根据已知条件完成列联表，并判断是否有90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”？附：2112212211*2**1*2()n n n n n x n n n n -=（注：此公式也可以写成22())()()()()n ad bc k a b c d a c b d -=++++解：()I 由已知可得，样本中有25周岁以上组工人30010060300200⨯=+名，25周岁以下组工人20010040300200⨯=+名，所以样本中日平均生产件数不足60件的工人中，25周岁以上组工人有600.053⨯=（人)， 25周岁以下组工人有400.052⨯=（人)，故从中随机抽取2名工人所有可能的结果共2510C =种，其中至少1名“25周岁以下组”工人的结果共1123227C C C +=种， 故所求的概率为：710； ()II 由频率分布直方图可知：在抽取的100名工人中，“25周岁以上组”中的生产能手有600.2515⨯=（人)，“25周岁以下组”中的生产能手有400.37515⨯=（人)，据此可得22⨯列联表如下：生产能手 非生产能手合计 25周岁以上组 15 45 60 25周岁以下组15 25 40 合计3070100所以可得2()100(15251545)251.79()()()()6040307014n ad bc k a b c d a c b d -⨯⨯-⨯===≈++++⨯⨯⨯，因为1.79 2.706<，所以没有90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”． 7．（2012•辽宁）电视传媒公司为了了解某地区电视观众对某体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查，下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图：将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”．（Ⅰ）根据已知条件完成下面22⨯列联表，并据此资料你是否认为“体育迷”与性别有关？（Ⅱ）将上述调查所得到的频率视为概率．现在从该地区大量电视观众中，采用随机抽样方法每次抽取1名观众，抽取3次，记被抽取的3名观众中的“体育迷”人数为X ，若每次抽取的结果是相互独立的，求X 的分布列，期望()E X 和方差()D X解：()I 由频率分布直方图可知，在抽取的100人中，“体育迷”有25人，从而22⨯列联表如下：将22⨯列联表中的数据代入公式计算，得：22100(30104515)100 3.0375********K ⨯⨯-⨯==≈⨯⨯⨯，因为3.03 3.841<，所以没有理由认为“体育迷”与性别有关．()II由频率分布直方图知抽到“体育迷”的频率是0.25，将频率视为概率，即从观众中抽取到一名“体育迷”的概率是14，由题意1(3,)4X B∽，从而分布列为X0123P27642764964164所以13()344E X np==⨯=．139()34416D X npq==⨯⨯=．8．（2012•辽宁）电视传媒公司为了了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查，其中女性有55名．如图是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图；将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”，已知“体育迷”中有10名女性．（Ⅰ）根据已知条件完成下面的22⨯列联表，并据此资料你是否认为“体育迷”与性别有关？非体育迷体育迷合计男女（Ⅱ）将日均收看该体育项目不低于50分钟的观众称为“超级体育迷”，已知“超级体育迷”中有2名女性，若从“超级体育迷”中任意选取2人，求至少有1名女性观众的概率．附22112212211212()n n n n n n n n n ++++-X =．解：()I 由频率分布直方图可知，在抽取的100人中，“体育迷”有25人，从而22⨯列联表如下：3⋯分将22⨯列联表中的数据代入公式计算，得222112212211212()100(30104515)1003.037525455533n n n n n K n n n n ++++-⨯⨯-⨯===≈⨯⨯⨯ 因为3.03 3.841<，所以没有理由认为“体育迷”与性别有关6⋯分()II 由频率分布直方图知，“超级体育迷”为5人，从而一切可能结果所的基本事件空间为 1{(a Ω=，2)a ，1(a ，3)a ，2(a ，3)a ，1(a ，1)b ，1(a ，2)b ，2(a ，1)b ，2(a ，2)b ，3(a ，1)b ，3(a ，2)b ，1(b ，2)}b其中i a 表示男性，1i =，2，3，i b 表示女性，1i =，29⋯分Ω由10个基本事件组成，而且这些基本事件的出现是等可能的．用A 表示事件“任选2人，至少有1人是女性”．则1{(A a =，1)b ，1(a ，2)b ，2(a ，1)b ，2(a ，2)b ，3(a ，1)b ，3(a ，2)b ，1(b ，2)}b事件A 有7个基本事件组成，因而P （A ）71210=⋯分 9．（2010•全国新课标）为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老年人，结果如表：（1）估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的比例；（2）能否有99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？ （3）根据（2）的结论，能否提出更好的调查方法来估计该地区的老年人中需要志愿者提供帮助的老年人比例？说明理由．附：2(()()()()n ad K a b c d a c b d =++++．解：（1）调查的500位老年人中有70位需要志愿者提供帮助，因此在该地区老年人中，需要帮助的老年人的比例的估计值为7014%500=（2）2K 的观测值 2500(4027030160)9.96720030070430k ⨯-⨯=≈⨯⨯⨯因为9.967 6.635>，且2( 6.635)0.01P K =，所以有99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关．（3）根据（2）的结论可知，该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关，并且从样本数据能够看出该地区男性老年人与女性老年人中需要帮助的比例有明显差异，因此在调查时，先确定该地区老年人中男、女的比例，再把老年人分成男女两层，并采取分层抽样方法比简单随机抽样方法更好．10．（2010•辽宁）为了比较注射A ，B 两种药物后产生的皮肤疱疹的面积，选200只家兔做试验，将这200只家兔随机地分成两组，每组100只，其中一组注射药物A ，另一组注射药物B ．（Ⅰ）甲、乙是200只家兔中的2只，求甲、乙分在不同组的概率；（Ⅱ）下表1和表2分别是注射药物A 和B 后的试验结果．（疱疹面积单位：2)mm 表1：注射药物A 后皮肤疱疹面积的频数分布表表2：注射药物B 后皮肤疱疹面积的频数分布表（ⅰ）完成下面频率分布直方图，并比较注射两种药物后疱疹面积的中位数大小；完成下面22⨯列联表，并回答能否有99.9%的把握认为“注射药物A 后的疱疹面积与注射药物B 后的疱疹面积有差异”． 表3:疱疹面积小于270mm疱疹面积不小于270mm合计 注射药物A a =b = 注射药物Bc =d =合计n =附：2()()()()K a b c d a c b d =++++．解：（Ⅰ）从200选100的组合数200100C ，记：“甲、乙两只家兔分在不同组”为事件A ，则事件A 包含的情况有198198200299100299()100199C C p A C ∴==（4分） （Ⅱ）()i图Ⅰ注射药物A 后皮肤疱疹面积的频率分布直方图图Ⅱ注射药物B 后皮肤疱疹面积的频率分布直方图可以看出注射药物A 后的疱疹面积的中位数在65至70之间，而注射药物B 后的疱疹面积的中位数在70至75之间，所以注射药物A 后疱疹面积的中位数小于注射药物B 后疱疹面积的中位数．（8分） ()ii 表3:疱疹面积小于270mm疱疹面积不小于270mm合计 注射药物A 70a =30b =100 注射药物B35c = 65d =100 合计105 95200n =2200(70653530)24.5610010010595K ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯由于210.828K >，所以有99.9%的把握认为“注射药物A 后的疱疹面积与注射药物B 后的疱疹面积有差异”．（12分）。
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第4节 独立性检验基础巩固题组（建议用时：40分钟）一、单项选择题1．在一次独立性检验中，其把握性超过但不超过，则的可能值为 99%99.5%2χ 参考数据：独立性检验临界值表20()≥P k χ0．10 0．05 0．025 0．010 0．005 0．0010k 2．706 3．841 5．024 6．635 7．87910．828A ．5．424B ．6．765C ．7．897D ．11．8972．独立性检验显示：在犯错误的概率不超过0．1的前提下认为性别与是否喜爱喝酒有关，那么下列说法中正确的是A ．在100个男性中约有90人喜爱喝酒B ．若某人喜爱喝酒，那么此人为女性的可能性为10%C ．认为性别与是否喜爱喝酒有关判断出错的可能性至少为10%D ．认为性別与是否喜爱喝酒有关判断正确的可能性至少为90%3．为了判定两个分类变量和是否有关系，应用独立性检验法算得的观测值为5，X Y 2χ又已知，，则下列说法正确的是 2( 3.841)0.05P χ=≥2( 6.635)0.01P χ=≥A ．有以上的把握认为“和有关系” 99%X Y B ．有99%以上的把握认为“和没有关系” X Y C ．有95%以上的把握认为“和有关系” X Y D ．有95%以上的把握认为“和没有关系”X Y 4．利用独立性检验的方法调查大学生的性别与爱好某项运动是否有关，通过随机询问110名不同的大学生是否爱好某项运动，利用列联表，由计算可得，22⨯28.806χ≈20()P k χ≥0．15 0．10 0．05 0．025 0．010 0．005 0．0010k 2．0722．7063．8415．024 6．635 7．87910．828参照附表，得到的正确结论是A ．有99．5%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”B ．有99．5%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”C ．在犯错误的概率不超过0．05%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”D ．在犯错误的概率不超过0．05%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关” 5．某市政府调查市民收入与旅游欲望时，采用独立性检验法抽取3000人，计算发现k 2＝6．023，则根据这一数据查阅下表，市政府断言市民收入增减与旅游欲望有关系的把握是20()P k ≥0．15 0．10 0．05 0．025 0．010 0．0050k 2．072 2．7063．841 5．024 6．635 7．879 A ．90% B ．95% C ．97．5%D ．99．5%6．假设两个分类变量X 与Y ，它们的可能取值分别为{x 1，x 2}和{y 1，y 2}，其列联表为y 1 y 2 总计 x 1 a b a ＋b x 2 c d c ＋d 总计a ＋cb ＋da ＋b ＋c ＋d对于同一样本的以下各组数据，能说明X 与Y 有关的可能性最大的一组为( ) A ．a ＝5，b ＝4，c ＝3，d ＝2 B ．a ＝5，b ＝3，c ＝4，d ＝2 C ．a ＝2，b ＝3，c ＝4，d ＝5 D ．a ＝2，b ＝3，c ＝5，d ＝4 二、多项选择题7． 下列说法正确的是____________．（填序号） A ． 对事件A 与B 的检验无关，即两个事件的相关性较小； B ． 对事件A 与B 关系越密切，就越大；2χC ． 的大小是判断事件A 与B 是否相关的唯一数据；2χD ． 若判断两事件A 与B 有关，则A 发生B 一定发生．8． 在调查中发现480名男人中有38名患有色盲,520名女人中有6名患有色盲，则下列说法正确的是A ． 男人、女人中患色盲的频率分别为0．038,0．006;B ． 男、女患色盲的概率分别为;193240260，C ． 男人中患色盲的比例比女人中患色盲的比例大，患色盲与性别有关； D ． 能说明患色盲与性别是否有关． 三、填空题9．在公式中，若则22()()()()()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++87935，，，，a b d n ====c =______________．10．博鳌亚洲论坛2018年年会于4月8日至11日在海南博鳌举行，为了搞好对外宣传工作，会务组选聘了50名记者担任对外翻译工作，在下面“性别与会俄语”的列联22⨯表中，______________．a b d ++= 会俄语 不会俄语总计 男 a b 20 女 6 d 总计185011．某高校“统计初步”课程的教师随机调查了该选修课的一些学生情况，具体数据如下表：非统计专业统计专业男 13 10 女720为了检验主修专业是否与性别有关系，根据表中的数据，得到2χ．因为，所以断定主修统计专业与性别有关250(1320107)= 4.8423272030⨯⨯-⨯≈⨯⨯⨯2 3.841≥χ系．这种判断出错的可能性为______________．20()P k χ≥0．15 0．10 0．05 0．025 0．010 0．005 0.0010k 2．0722．7063．8415．024 6．635 7．87910.82812．某校学生会为研究该校学生的性别与语文、数学、英语成绩这3个变量之间的关系，随机抽查了100名学生，得到某次期末考试的成绩数据如表1至表3，根据表中数据可知该校学生语文、数学、英语这三门学科中表1（语文）表2（数学）表3（英语）不及格及格总计不及格及格总计不及格及格总计男14 36 50 男10 40 50 男25 25 50 女16 34 50 女20 30 50 女 5 45 50 总计30 70 100总计30 70 100总计30 70 100A．语文成绩与性别有关联性的可能性最大，数学成绩与性别有关联性的可能性最小B．数学成绩与性别有关联性的可能性最大，语文成绩与性别有关联性的可能性最小C．英语成绩与性别有关联性的可能性最大，语文成绩与性别有关联性的可能性最小D．英语成绩与性别有关联性的可能性最大，数学成绩与性别有关联性的可能性最小能力提升题组（建议用时：20分钟）13．某县对在职的71名高中数学教师就支持新的数学教材还是支持旧的数学教材做了调查，结果如下表所示：支持新教材支持旧教材合计具有15年以上教龄的教师122537教龄在15以下的教师102434合计224971 根据此资料，你是否认为教龄的长短与支持新的数学教材有关？14．某工厂有工人1 000名，其中250名工人参加过短期培训(称为A类工人)，另外750名工人参加过长期培训(称为B类工人)．现用分层抽样的方法(按A类、B类分两层)从该工厂的工人中抽取100名工人，调查他们的生产能力(此处生产能力指一天加工的零件数)，结果如表．表1：A 类工人生产能力的频数分布表生产能力分组[110,120)[120,130)[130,140)[140,150)人数8x32表2：B 类工人生产能力的频数分布表生产能力分组[110,120)[120,130)[130,140) [140,150) 人数6y2718（1）确定x ，y 的值；（2）完成2×2列联表，并回答能否在犯错误的概率不超过0．001的前提下认为工人的生产能力与工人的类别有关系？ 生产能力分组 工人类别[110,130)[130,150)总计 A 类工人 B 类工人 总计附：22()()()()()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++20()P k χ≥0．050 0．010 0．001k 03．841 6．635 10．82815．为更好地落实农民工工资保证金制度，南方某市劳动保障部门调查了2018年下半年该市100名农民工(其中技术工、非技术工各50名)的月工资，得到这100名农民工的月工资均在(百元)内，且月工资收入在(百元)内的人数为，并根据调查[2555]，[4550)，15结果画出如图所示的频率分布直方图：（1）求n 的值；（2）已知这100名农民工中月工资高于平均数的技术工有31名，非技术工有19名．①完成如下所示列联表22⨯技术工 非技术工总计 月工资不高于平均数 50 月工资高于平均数50 总计5050100②则能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为是不是技术工与月工资是否高于平均数有关系?参考公式及数据：，其中．22()()()()()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++n a b c d =+++20()P k χ≥0．15 0．10 0．05 0．025 0．010 0．005 0.0010k 2．0722．7063．8415．024 6．635 7．87910.828第4节 独立性检验1．B 2．D 3．C 4．B 5．C 6． D 7．A B对于A ，事件A 与B 检验无关，只是说两事件的相关性较小，故 A 对．B 是正确的．对于C ，判断A 与B 是否相关的方式很多，可以用列联表，也可以借助于概率运算，故C 错．对于D ，两事件A 与B 有关，说明两者同时发生的可能性相对来说较大，但并不是A 发生B 定发生，故D 错． 8．C D男人中患色盲的比例为≈0．079，女人中患色盲的比例,故3848060.012520≈，又38×(520-6)-6×(480-38)=16880，相差较大，说明患色盲与性别有关，故选386480520>C ，D 9．11若则故答案为11． 87935，，，，a b d n ====11c n a b d =---=10．44由于总人数为50，可得出，解得． 650a b d +++=44a b d ++=11．5%（或0．05）根据临界值表： ，223.841( 3.841)0.050≥≥，P χχ=所以断定主修统计专业与性别有关系．这种判断出错的可能性为0．05． 故答案为5%（或0．05） 12． C因为，222100(14341636)100(10302040)100(2545525)307050503070505030705050⨯⨯-⨯⨯⨯-⨯⨯⨯-⨯<<⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯所以英语成绩与性别有关联性的可能性最大，。