江苏省南京市金陵中学2013-2014学年度高三第一学期期中考试数学试题(纯word版)有附加题
金陵中学高三期中
金陵中学2013－2014学年度第一学期高三期中试卷 数学（必做题）一、填空题:本大题共14小题，每小题5分，共70分.请把正确答案填写在答题卡相应的位置上．1． 设集合A ＝｛x ｜－12＜x ＜2｝，B ＝｛x ｜x 2≤1｝，则A ∪B ＝ ▲ ．【答】｛x ｜－1≤x ＜2｝2.复数i 2（1－2i ）的实部是 ▲ ． 【答】（－1）3.命题“∃x ∈R ，x 2+ax +1<0” 的否定是 ▲ ．【答】2,10x R x ax ∀∈++≥ 4.函数f （x ）＝1－log 3x 的定义域是 ▲ ． 【答】（0，3］5.在各项均为正数的等比数列{a n }中，已知a 1+ a 2+ a 3 =2, a 3+ a 4+ a 5 =8,则a 4+ a 5+ a 6 = ▲ . 【答】166．已知向量a ，b 满足｜a ｜＝1，｜b ｜＝2，a 与b 的夹角为60°，向量c ＝2a ＋b ．则向量c 的模为 ▲ ． 【答】2 3【解析】｜c ｜2＝（2a ＋b ）2＝4a 2＋4a ·b ＋b 2＝4＋4×1×2×cos 60°＋4＝12，即｜c ｜＝2 3 7．在平面直角坐标系xOy 中，已知y =3x 是双曲线x 2a 2－y 2b 2=1（a >0,b >0）的一条渐近线方程，则此双曲线的离心率为 ▲ ． 【答】2【解析】由题意ba=∴2c e a ===．8.已知直线l ⊥平面α，直线m ⊆平面β，则下列四个命题： ①若α∥β,则l ⊥m ； ②若α⊥β,则l ∥m ； ③若l ∥m ,则α⊥β； ④若l ⊥m ,则α∥β. 其中正确命题的序号是 ▲ ． 【答】 ①③9．若以连续掷两次骰子分别得到的点数m 、n 作为点P 的横、纵坐标，则点P 在直线x ＋y = 5下方的概率为 ▲ ． 【答】 16．【解析】点P 在直线x ＋y = 5下方的情况有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(3,1)六种可能，故其概率为66×6 = 16．10.已知f (x )=3sin(2x －π6)，若存在α∈(0,π)，使f (α+x )= f (α-x )对一切实数x 恒成立，则α=▲ ． 【答】65,3ππ 11.已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2＋2x ，若f (2－a 2)>f (a )，则实数a 的取值范围是 ▲ ． 【答】(－2,1)12.已知函数f (x )= |lg (x -1)| 若a≠b ,f (a )= f (b ) ,则a +2b 的取值范围是 ▲ ． 【答】322+13..定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＋f (x ＋5)＝16，当x ∈(－1，4]时，f (x )＝x 2－2x ，则函数f (x )在[0，2013]上的零点个数是_____ ▲ ． 【答】604【解析】由()(5)16f x f x ++=，可知(5)()16f x f x -+=，则(5)(5)0f x f x +--=，所以()f x 是以10为周期的周期函数. 在一个周期(1,9]-上，函数2()2x f x x =-在(1,4]x ∈-区间内有3个零点，在(4,9]x ∈区间内无零点，故()f x 在一个周期上仅有3个零点，由于区间(3,2013]中包含201个周期，又[0,3]x ∈时也存在一个零点2x =，故()f x 在[0,2013]上的零点个数为32011604⨯+=.14.已知函数f (x )=4x +k •2x +14x +2x +1，若对任意的实数x 1,x 2,x 3,不等式f (x 1)+ f (x 2) >f (x 3)恒成立，则实数k的取值范围是 ▲ ． 【答】1[,4]2-．【解析】42122()421221x x x x x x x xk k f x --+⋅+++==++++，令22x xt -+=，则(1)()1(2)11t k k f t t t t +-==+++≥． 原题等价为：对于2t ≥，min max [2()][()]f t f t ≥恒成立，求实数k 的取值范围． （1）当1k =时，显然成立； （2）当1k <时，2()13k f t +<≤，由22()13k +≥，得112k -<≤； （3）当1k >时，21()3k f t +<≤，由2213k +⨯≥，得14k <≤．综上，实数k 的取值范围为1[,4]2-．二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题纸指定区域内．．．．．．．．作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(本题满分14分)已知向量a =(2cos x , 2sin x ) ，b =(3cos x , cos x ),设函数f (x )=a •b -3, 求： (1) f (x )的最小正周期和单调递增区间；(2)若()()26212f f απαπ--+=且α∈(π2,π). 求α.解()3f x ab =-=22sin cos x x x +sin 22x x +=2sin(2)3x π+-3分(1)函数()f x 的最小正周期为22T ππ== ---------------5分 由222232k x k πππππ-≤+≤+，得51212k x k ππππ-≤≤+（k Z ∈） ∴函数()f x 的单调递增区间为5[,]()1212k k k Z ππππ-+∈ ---------------8分(2)∵()()26212f f απαπ--+=∴2sin 2cos αα-=∴)4πα-=11分∴sin()4πα-=，∵(,)2παπ∈，∴3(,)444πππα-∈， ∴43ππα-=或23π，∴712πα=或1112π---------------14分如图,四边形ABCD为平行四边形，四边形ADEF是正方形，且BD⊥平面CDE，H是BE的中点,G是AE,DF的交点.（1）求证:GH∥平面CDE；（2）求证:面ADEF⊥面ABCD.证明：⑴G是,AE DF的交点，∴G是AE中点，又H是BE的中点，∴EABGH//，---------------2分∆中，AB∵ABCD为平行四边形∴AB∥CD∴//GH CD，----------------------------------------------4分又∵,平面平面CD CDE GH CDE⊂⊄∴//GH平面CDE-------------------7分⊥平面，⑵BD CDE所以BD ED⊥，-------------------9分又因为四边形AFED为正方形，∴⊥，------------------10分ED AD=，AD BD D⊥面，- -----------------12分ED ABCD⊂面ED AFED面面. ----------------14分AFED ABCD⊥已知等差数列{a n }中，首项a 1＝1，公差d 为整数，且满足a 1+3<a 3, a 2+5> a 4，数列{b n }满足b n =1 a n a n +1，其前n 项和为S n ．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若S 2为S 1，S m (m ∈N ＊)的等比中项,求正整数m 的值．(3)对任意正整数k ,将等差数列{a n }中落入区间(2k ,22k )内项的个数记为c k ,求数列{c n }的前n 项 和T n解：（1）由题意，得111132,53,a a d a d a d +<+⎧⎨++>+⎩解得32< d <52． ……………………2分又d ∈Z ，∴d = 2．∴n a =1+(n －1)⋅2=2n －1． ………………………4分 （2）∵111(21)(21)n n n b a a n n +==⋅-+111()22121n n =--+………………………………..6分∴111111[(1)()()]23352121n S n n =-+-+⋅⋅⋅+--+11(1)22121n n n =-=++…………………7分 ∵113S =，225S =，21m m S m =+，2S 为1S ，m S (*∈N m )的等比中项， ∴221m S S S =，即2215321m m ⎛⎫=⋅ ⎪+⎝⎭，解得m =12． ……………………………………….9分 (3)对任意正整数k ，kkn 22122<-<，则212212121+<<+--k k n , 而*∈N k ，由题意可知 11222---=k k k c , …………………………………12分 于是 )222()222(110123121--+⋅⋅⋅⋅⋅⋅++-+⋅⋅⋅⋅⋅⋅++=+⋅⋅⋅⋅⋅⋅++=n n n n c c c T 31232)12(322212121221212212+⋅-=---=-----=+++n n nn n n ， 即3123212+⋅-=+n n n T . ………………14分18.（本小题满分16分）如图，某自来水公司要在公路两侧铺设水管，公路为东西方向，在路北侧沿直线铺设线路l 1，在路南侧沿直线铺设线路l 2，现要在矩形区域ABCD 内沿直线将l 1与l 2接通．已知AB = 60m ，BC = 80m ，公路两侧铺设水管的费用为每米1万元，穿过公路的EF 部分铺设水管的费用为每米2万元，设∠EFB =π2-α,矩形区域内的铺设水管的总费用为W ．（1）求W 关于α的函数关系式；（2）求W 的最小值及相应的角α．解：（1）如图，过E 作EM BC ⊥， 垂足为M ，由题意得∠MEF=α， 故有60tan MF α=，60cos EF α=，8060tan AE FC α+=-，……………….3分 所以60(8060tan )12cos W αα=-⨯+⨯=80+120cos α-60tanα（其中00π40,tan )23ααα<=≤≤……..……………8分 （2）W sin 18060120cos cos ααα=-+ sin 28060cos αα-=-．设sin 2()cos f ααα-=，则22cos cos (sin )(sin 2)12sin ()cos cos f αααααααα----'==． ………………11 分 令()0f α'=得12sin 0α-=，即1sin 2α=，得6πα=． 列表所以当6α=时有max ()f α=min 80W =+ …………… 14分答：铺设水管的最小费用为80+万元，相应的角6πα=． ………………… 16分l 2l 119．（本小题满分16分）已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率e ＝32，椭圆C 的上、下顶点分别为A 1，A 2，左、右顶点分别为B 1，B 2,左、右焦点分别为F 1，F 2．原点到直线A 2B 2的距离为255． （1）求椭圆C 的方程；（2）过原点且斜率为12的直线l ，与椭圆交于E ，F 点，试判断∠EF 2F 是锐角、直角还是钝角，并写出理由；（3）P 是椭圆上异于A 1，A 2的任一点,直线P A 1，P A 2，分别交x 轴于点N ，M ,若直线OT 与过点M ，N 的圆G 相切，切点为T .证明：线段OT 的长为定值,并求出该定值. 解：（1）因为椭圆C 的离心率e ＝32， 故设a ＝2m ，c ＝3m ，则b ＝m ． 直线A 2B 2方程为 bx －ay －ab ＝0， 即mx －2my －2m 2＝0． 所以2m 2m 2＋4m 2＝255，解得m ＝1．所以 a ＝2，b ＝1，椭圆方程为x 24＋y 2＝1． ………………… 5分（2）由⎩⎨⎧x 24＋y 2＝1，y ＝12x ，得E (2，22)，F (－2，－22)．……………………………….7分 又F 2(3，0)，所以F 2E →＝(2－3，22)，F 2F →＝(－2－3，－22)，所以F 2E →·F 2F →＝(2－3)×(－2－3)＋22×(－22)＝12＞0．所以∠EF 2F 是锐角． ………………… 10分 （3）由（1）可知A 1(0，1) A 2(0，－1),设P (x 0，y 0), 直线P A 1：y －1＝y 0－1x 0x ，令y ＝0,得x N ＝－x 0y 0－1；直线P A 2：y ＋1＝y 0＋1x 0x ，令y ＝0,得x M ＝x 0y 0＋1；……………………………………12分解法一:设圆G 的圆心为(12(x 0y 0＋1－x 0y 0－1)，h ),则r 2＝[12(x 0y 0＋1－x 0y 0－1)－x 0y 0＋1]2＋h 2＝14(x 0y 0＋1＋x 0y 0－1)2＋h 2．OG 2＝14(x 0y 0＋1－x 0y 0－1)2＋h 2．OT 2＝OG 2－r 2＝14(x 0y 0＋1－x 0y 0－1)2＋h 2－14(x 0y 0＋1＋x 0y 0－1)2－h 2＝x 021－y 02．………….14分而x 024＋y 02＝1，所以x 02＝4(1－y 02)，所以OT 2＝4， 所以OT ＝2,即线段OT 的长度为定值2. ………………… 16分 解法二:OM ·ON ＝|(－x 0y 0－1)·x 0y 0＋1|＝x 021－y 02,而x 024＋y 02＝1，所以x 02＝4(1－y 02)，所以OM ·ON ＝4． 由切割线定理得OT 2＝OM ·ON ＝4．所以OT ＝2,即线段OT 的长度为定值2. ………………… 16分 20．（本大题满分16分） 已知函数f (x )=a |x |+2ax (a >0,a ≠1)（1）若a >1，且关于x 的方程f (x )=m 有两个不同的正数解，求实数m 的取值范围； （2）设函数g (x )= f (-x )，x ∈[-2，+∞），()g x 满足如下性质：若存在最大（小）值，则最大（小）值与a 无关.试求a 的取值范围．解：(1)令xa t =，0x >，因为1a >，所以1t >，所以关于x 的方程()f x m =有两个不同的正数解等价于关于t 的方程2t m t+=有相异的且均大于1的两根，即 关于t 的方程220t mt -+=有相异的且均大于1的两根，…………………………………………2分所以2280,1,2120m m m ⎧∆=->⎪⎪>⎨⎪⎪-+>⎩，…………………………………………………………………4分解得3m <<，故实数m的取值范围为区间.……………………………6分 (2)||()2,[2,)x x g x a a x =+∈-+∞ ①当1a >时，a )0x ≥时，1x a ≥，()3x g x a =，所以 ()[3,)g x ∈+∞，b )20x -≤<时，211xa a ≤<()2x x g x a a -=+，所以()221'()ln 2ln ln x x x xa g x a a a a a a --=-+=……8分ⅰ)当21a >即1a <<(2,0)x ∀∈-，'()0g x >，所以 ()g x 在[2,0)-上递增， 所以 222()[,3)g x a a ∈+，综合a ) b )()g x 有最小值为222a a +与a 有关，不符合…10分ⅱ)当21a ≤a ≥时，由'()0g x =得1log 22ax =-，且当12log 22a x -<<-时，'()0g x <，当1log 202a x -<<时，'()0g x >，所以 ()g x 在1[2,log 2]2a --上递减，在1[log 2,0]2a -上递增，所以min 1()log 22a g x g ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭a ) b ) ()g x 有最小值为a 无关，符合要求．………12分②当01a <<时，a ) 0x ≥时，01x a <≤，()3x g x a =，所以 ()(0,3]g x ∈b ) 20x -≤<时，211x a a<≤，()2x x g x a a -=+， 所以 ()221'()ln 2ln ln x x x xa g x a a a a a a--=-+= 0<，()g x 在[2,0)-上递减，所以 222()(3,]g x a a ∈+，综合a ) b ) ()g x 有最大值为222a a +与a 有关，不符合……15分综上所述，实数a 的取值范围是a ≥………………………………………………16分金陵中学2013－2014学年度第一学期高三期中试卷数学（附加题）21【选做题】在下面A，B，C，D四个小题中只能选做两题，每小题10分，共20分．A．选修4—1：几何证明选讲（本小题满分10分）如图，设AB为⊙O的任一条不与直线l垂直的直径，P是⊙O与l的公共点，AC⊥l，BD⊥l，垂足分别为C，D，且PC=PD，求证：（1）l是⊙O的切线；（2）PB平分∠ABD.证明：（1）连结OP，因为AC⊥l，BD⊥l，所以AC//BD.又OA=OB，PC=PD，所以OP//BD，从而OP⊥l.因为P在⊙O上，所以l是⊙O的切线. ...........5分（2）连结AP，因为l是⊙O的切线，所以∠BPD=∠BAP.又∠BPD+∠PBD=90°，∠BAP+∠PBA=90°，所以∠PBA=∠PBD，即PB平分∠ABD. .........10分B ．选修4—2：矩阵与变换（本小题满分10分） 已知矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 23 4，N ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 3． （1）求矩阵MN ；（2）若点P 在矩阵MN 对应的变换作用下得到Q (0，1)，求点P 的坐标．解：（1）MN ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 23 4 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 3＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 54 9； …………5分（2）设P (x ，y )，则解法一：⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 54 9 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤01，即⎩⎨⎧2x ＋5y ＝0，4x ＋9y ＝1．解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝52，y ＝－1，即P (52，－1)． …………10分解法二：因为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 54 9－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－92 52 2 －1．所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－92 52 2 －1 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤01＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 52－1．即P (52，－1)． …………10分C ．选修4—4：坐标系与参数方程（本小题满分10分）在直角坐标系xoy 中,曲线C 的参数方程为2cos ,2sin ,x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数），若以直角坐标系xoy 的原点为极点，OX 为极轴，且长度单位相同，建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为 ρsin(θ+π4)=0, 求与直线l 垂直且与曲线C 相切的直线m 的极坐标方程.解：22:,:(4l y x C x y =-+=················3分设:m y x b =+,直线m 与C 2,b =∴=或b =-，··················7分 ∴直线m 的极坐标方程为cos sin 0ρθρθ-+=或cos sin 0ρθρθ--=···10分D ．[选修4 - 5：不等式选讲]（本小题满分10分）设f (x )=x 2-x +13，实数a 满足| x -a |<1，求证：| f (x )-f (a )|<2(|a |+1)． 证：13)(2+-=x x x f ，|||)()(|22a a x x a f x f +--=-∴1=-⋅+-x a x a 1<+-x a ，又1()21+-=-+-x a x a a 21≤-+-x a a 1212(1)<++=+a a ．…………10分［必做题］22．（本小题满分10分）口袋中有n (n ∈N ＊)个白球，3个红球.依次从口袋中任取一球，如果取到红球，那么继续取球，且取出的红球不放回；如果取到白球，就停止取球.记取球的次数为X , 若P (X =2)= 730求： （1）n 的值；（2）X 的概率分布与数学期望.解：（1）由题知,307)2)(3(3)2(23113=++=⨯==+n n n A A A X P n n 分所以因为即即5.7,.0)7)(67(,042557*2 =∈=--=+-n N n n n n n（2）由题知，X 的可能取值为1，2，3，4，所以,120112073071071)4(,1207)3(,307)2(,107)1(310172311017=---==========X P A A A X P X P A A X P所以，X 的概率分布表为所以.811120141207330721071)(=⨯+⨯+⨯+⨯=X E 答X 的数学期望是.811…………10分23．（本小题满分10分）设P1，P2，…，P j为集合P＝{1，2，…，i}的子集，其中i，j为正整数．记a ij为满足P1∩P2∩…∩P j＝∅的有序子集组(P1，P2，…，P j)的个数．（1）求a22的值；（2）求a ij的表达式．解：（1）由题意得P1，P2为集合P＝{1，2}的子集，因为P1∩P2＝∅，所以集合P＝{1，2}中的元素“1”共有如下3种情形：1∉P1，且1∉ P2；1∈P1，且1∉ P2；1∉P1，且1∈P2；同理可得集合P＝{1，2}中的元素“2”也有3种情形，根据分步乘法原理得，a22＝3×3＝9；…………4分（2）考虑P＝{1，2，…，i}中的元素“1”，有如下情形：1不属于P1，P2，…，P j中的任何一个，共C0j种；1只属于P1，P2，…，P j中的某一个，共C1j种；1只属于P1，P2，…，P j中的某两个，共C2j种；……1只属于P1，P2，…，P j中的某(j－1)个，共C j－1j种，根据分类加法原理得，元素“1”共有C0j＋C1j＋C2j＋…＋C j－1j＝2j－1种情形，…………8分同理可得，集合P＝{1，2，…，i}中其它任一元素均有(2j－1)种情形，根据分步乘法原理得，a ij＝(2j－1)i．…………10分。
江苏省金陵中学高三数学上学期期中
江苏省金陵中学高三数学上学期期中【会员独享】 2010—2011学年度高三数学第一学期期中考试试题注意事项：考生答题前请认真阅读注意事项及各题答案要求。
1．本试卷包含填空题（第1题—第4题）、解答题（第15题—第20题）两部分。
本试卷满分160分，考试时间为120分钟。
2．答题前，请务必将自己的姓名、考试证号用书写黑色字的0.5毫米签字笔填写在试卷及答题卡上。
3．作答时必须用斗5写黑色字迹的0.5毫米签字笔写在答题卡上的指定位置，在其它位 置作答一律无效。
4．如有作图需要，可用2B 铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚。
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．不需要写出解答过程，把答案直接填在答题卡相应位置上．1．设集合M={x|0≤x -≤1}，函数()1f x x =-的定义域为N ，则M∩N= 。
2．已知复数z 满足（1+2i ）z=4+3i ，则z= ．3．函数y=x 2—2x (x∈[0，3]的值域是4．已知5cos 3a =。
且a∈（一2π，0）， 则sin(a π-)= 。
5．在△ABC 中，3A=45°，B=75°，则BC 等于 。
6．已知直线12y x b =+是曲线y=lnx(x>0)的 一条切线，则实数b 的值是 。
7．一个算法的流程图如图所示？若输入的n 是100，则输出值S 是 。
8．已知集合A=(x ，y ）|x 一2y 一l=0},B={(x ，y)|ax-by+1=0}，其中a ，b ∈{1,2，3，4，5，6}，则A ∩B=φ的概率为 .9．函数()sin()f x A x ωϕ=+(其中A>0,0ω>,||2πϕ<)的图象如图所示，则，f(0)= 。
10．已知3()f x x ax =-在区间[1，+∞）上是单调增函数，则实数a 的最大值是 。
11．不等式1||40x a x+-+>对于一切非零实数x 均成立，则实数a 的取值范围是 。
江苏省11市县2014届高三上学期期中试题分类汇编：立体几何
江苏省11市县2014届高三上学期期中试题分类汇编立体几何一、填空题1、（无锡市2014届高三上学期期中）长方体1111ABCD A B C D -中，13,2AB BC AA ===，则四面体11A BC D 的体积为 。
答案：62、（南京市金陵中学2014届高三期中）已知直线l ⊥平面α，直线m ⊆平面β，则下列四个命题：①若α∥β,则l ⊥m ； ②若α⊥β,则l ∥m ；③若l ∥m,则α⊥β； ④若l ⊥m,则α∥β. 其中正确命题的序号是 ． 答案：①③3、（如东县掘港高级中学2014高三期中）设γβα,,是三个不重合的平面，l 是直线，给出下列四个命题：①若αββα//,,l l 则⊥⊥； ②若βαβα⊥⊥则,//,l l ； ③若l 上有两点到α的距离相等，则l //α； ④若βγγαβα⊥⊥则,//,．其中正确命题的序号是___ ___. 答案：②④二、解答题1、（淮安、宿迁市2014届高三11月诊断）如图，在三棱锥P ABC -中，平面ABC ⊥平面PAC ，AB BC =，,E F 分别是PA ，AC 的中点．求证：（1）EF ∥平面PBC ；（2）平面BEF ⊥平面PAC ．证明：⑴在APC ∆中，因为,E F 分别是,PA AC 的中点，所以EF ∥PC ， ………2分 又PC ⊂平面PAC ，EF ⊄平面PAC ，所以EF ∥平面PBC ； ……………5分 ⑵ 因为AB BC =，且点F 是AC 的中点，所以BF ⊥AC ，………………………7分 又平面ABC ⊥平面PAC ，平面ABC ∩平面PAC AC =，BF ⊂平面ABC ，E A B C PF (第15题图)因为BF ⊂平面BEF ，所以平面BEF ⊥平面PAC . …………………………14分2、（无锡市2014届高三上学期期中）在三棱锥P ABC -中，平面PAC ⊥平面,90,,ABC ACB PC AC H ∠=︒=为PA 的中点，M N 、分别为棱,PA PB 上的点，且3PN NB =。
江苏省11市县2014届高三上学期期中试题分类汇编：立体几何
江苏省11市县2014届高三上学期期中试题分类汇编立体几何一、填空题1、（无锡市2014届高三上学期期中）长方体1111ABCD A B C D -中，13,2AB BC AA ===，则四面体11A BC D 的体积为 。
答案：62、（南京市金陵中学2014届高三期中）已知直线l ⊥平面α，直线m ⊆平面β，则下列四个命题：①若α∥β,则l ⊥m ； ②若α⊥β,则l ∥m ；③若l ∥m,则α⊥β； ④若l ⊥m,则α∥β. 其中正确命题的序号是 ． 答案：①③3、（如东县掘港高级中学2014高三期中）设γβα,,是三个不重合的平面，l 是直线，给出下列四个命题：①若αββα//,,l l 则⊥⊥； ②若βαβα⊥⊥则,//,l l ； ③若l 上有两点到α的距离相等，则l //α； ④若βγγαβα⊥⊥则,//,．其中正确命题的序号是___ ___. 答案：②④二、解答题1、（淮安、宿迁市2014届高三11月诊断）如图，在三棱锥P ABC -中，平面ABC ⊥平面PAC ，AB BC =，,E F 分别是PA ，AC 的中点．求证：（1）EF ∥平面PBC ；（2）平面BEF ⊥平面PAC ．证明：⑴在APC ∆中，因为,E F 分别是,PA AC 的中点，所以EF ∥PC ， ………2分 又PC ⊂平面PAC ，EF ⊄平面PAC ，所以EF ∥平面PBC ； ……………5分 ⑵ 因为AB BC =，且点F 是AC 的中点，所以BF ⊥AC ，………………………7分 又平面ABC ⊥平面PAC ，平面ABC ∩平面PAC AC =，BF ⊂平面ABC ，E A B C PF (第15题图)因为BF ⊂平面BEF ，所以平面BEF ⊥平面PAC . …………………………14分2、（无锡市2014届高三上学期期中）在三棱锥P ABC -中，平面PAC ⊥平面,90,,ABC ACB PC AC H ∠=︒=为PA 的中点，M N 、分别为棱,PA PB 上的点，且3PN NB =。
江苏省南京市金陵中学2024-2025学年高一上学期数学期中模拟试卷(含答案)
2024/2025学年度第一学期高一期中模拟试卷数 学考生注意：1．本试卷满分150分，考试时间120分钟.2．考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色.墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，集合，则（ ）A. B. C.D. 2．若，则（ ）A ．3B ．4C ．9D ．163．设函数，其中，则是偶函数的充要条件是（ ）A ．B ．C ．D ．4设，，，则（ ）A ．B ．C ．D ．5.已知集合，则的非空真子集的个数为（ ）A.2B.3C.4D.66.已知，则（ ）A. B. C. D.2{}2450A x x x =--<∣{}2,0,2,4,10B =-A B = {}2,0,2,4-{}2,10-{}0,2,4{}2,424log log 2m n +=2m n =()()cos f x x ωϕ=+0ω>()f x ()01f =()00f =()01f '=()00f '=0.1e 1=-a 111b =ln1.1c =b c a <<c b a <<a b c <<a c b <<{}{}4,3,0,6,3A B x x =--=∈≤Z A B ⋂3212log 61a a +=+-a =39log 2323log 47.已知a ，b 为正数，若，有函数，则的最小值为（ ）A.B.C.9D.8设集合，若，则的取值范围为（ ）A B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知函数的两个零点分别为，且，则（ ）A. B. C. D.10. 设是非空的实数集，若，则（ ）A. 函数的定义域为B. 函数的值域为C. 函数值域为D. 函数无极值11. 若平面点集满足：任意点，存在，都有，则称该点集是阶聚合点集．下列命题为真命题的是（ ）A. 若，则是3阶聚合点集B. 存在对任意正数，使不是阶聚合点集C. 若，则不是阶聚合点集D. “”是“是阶聚合点集”的充要条件第二部分（非选择题 共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．.x b ∀>-()()1x a f x x b -=+≥18a b +9+9+{}{}25,(1)0A x x B x x a x a =>=-++<A B =∅ a (,5]-∞[5,)+∞(,5)-∞(5,)+∞()e x f x a bx c =++1,1-()00f <1e e 2c a -+=-⋅0a >2e 0b a +<0a b c ++<,A B :f A B →()f x A()f x B ()3f x ax bx =+R ()3233f x x x x =-+M (,)x y M ∈()0,t ∞∈+(,)tx ty M ∈M t {}(,)M x y x y =≥M M t M t 22(,)14x M x y y ⎧⎫⎪⎪=+=⎨⎬⎪⎪⎩⎭M 13[1,+t ∞∈）{}2(,)M x y y x =≥t12．已知集合A ，B ，C 均是集合的非空真子集，则以集合A ，B ，C 为元素所构成的集合的个数为 .13. 关于不等式的解集为，则实数的取值范围为_________．14．出入相补是指一个平面（或立体）图形被分割成若干部分后面积（或体积）的总和保持不变，我国汉代数学家构造弦图，利用出入相补原理证明了勾股定理，我国清代的梅文鼎、李锐、华蘅芳、何梦瑶等都通过出入相补原理创造了不同的面积证法证明了勾股定理.在下面两个图中，若AC =b ，BC =a (b ≥a )，AB =c ，图中两个阴影三角形的周长分别为l 1，l 2，则l 1+l 2a +b 的最小值为 .四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸．15.已知命题，命题.（1）若命题为真命题，求实数的取值范围；（2）若命题和均为真命题，求实数的取值范围.16.已知集合.（1）当时，求；（2）若“”是“”的充分不必要条件，求a 的取值范围.17. 已知函数.{}1,3,5,7,9{},,A B C x ()()222240a x a x -+--<R a 2: 12,0p x x a ∀≤≤-≥22:, 220q x x ax a a ∃∈+++=R p ⌝a p q ⌝a {}(){}21,lg 310A x a x aB x y x x =≤≤+==--1a =()B A ⋂R ðx A ∈x B ∈R ð()()211R y m x mx m m =+-+-∈(1)若不等式的解集为，求的取值范围；(2)当时，解不等式；(3)对任意的，不等式恒成立，求的取值范围.18（1）设命题：实数满足，其中；命题：实数满足，且是的必要不充分条件，求实数的取值范围．（2）已知不等式的解集是，求不等式的解集．19.高斯，著名的数学家、物理学家、天文学家、是近代数学奠基者之一，享有“数学王子”之称.函数成为高斯函数，其中表示不超过实数的最大整数，如，.（1）求的解集和的解集.（2）若，恒成立，求取值范围.（3）若的解集为，求的范围.0y <∅m 2m >-y m ≥[]1,1x ∈-21y x x ≥-+m p x 22430x ax a -+<0a <q x 23100x x +->q p a 210ax bx -->1123x x ⎧⎫-<<-⎨⎬⎩⎭20x bx a --≥[]y x =[]x x []1.21=[]1.22-=-[]5522x -≤≤[][]2211150x x -+≤712x ∀≤≤[][]240x m x -+>m [][]22210x x a --+≤{}|03x x ≤<a参考答案选择题答案1-5 C D DA A 6-8 A B A多项选择题答案9 ABD 10.AD 11 ACD填空题答案12.4060 13. 14. 1+2215. 解：(1)根据题意，知当时，.，为真命题，.实数的取值范围是.(2)由(1)知命题为真命题时，.命题为真命题时，，解得为真命题时，.，解得，即实数的取值范围为.16.解：（1）由题意，即，解得或，所以，或当时，，且，故.（2）“”是“”的充分不必要条件，故是的真子集.则满足两边等号不能同时成立，解得，综上所述，的取值范围为.17. （1）当时，由，得到，所以，不合题意，当时，由，得到，解得，{}22a a -<≤12x ≤≤214x ≤≤2: 12,0p x x a ⌝∃≤≤-<1a ∴>∴a {}|1a a >p 1a ≤q ()224420a a a ∆=-+≥0,a q ≤∴⌝0a >10a a ≤⎧∴⎨>⎩01a <≤a {}|01a a <≤23100x x -->()()250x x +->2x <-5x >{2B xx =<-∣5},x >1a ={}12A xx =∣……{}25B x x =-R ∣ð……(){}R 12B A xx ⋂=∣ð……x A ∈x B ∈R ðA B R ð2,15,a a -⎧⎨+⎩……24a -……a []2,4-1m =-0y <20x -<2x <1m ≠-0y <210Δ4(1)(1)0m m m m +>⎧⎨=-+-≤⎩m ≥所以实数的取值范围为.（2）当时，，即，可得，因为，①当时，即，不等式的解集为②当时，，因为，所以不等式的解集为③当时，．又，所以不等式的解集为,综上：，不等式的解集为，当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为．（3）由题对任意，不等式恒成立．即，因为时，恒成立．可得，设，则，所以，可得因为，当且仅当所以故得m 的取值范围18. 【解】（1）命题，m ∞⎫+⎪⎪⎭2m >-y m ≥2(1)1m x mx m m +-+-≥[(1)1](1)0m x x ++-≥2m >-10m +=1m =-{|1}x x ≥21m -<<-1(1)01x x m ⎛⎫+-≤ ⎪+⎝⎭111m ->+1|11x x m ⎧⎫-≥≥⎨⎬+⎩⎭1m >-1(1)01x x m ⎛⎫+-≥ ⎪+⎝⎭1011m -<<+1{|1}1x x x m ≤-≥+或1m =-{|1}x x ≥21m -<<-1|11x x m ⎧⎫-≥≥⎨⎬+⎩⎭1m >-1{|1}1x x x m ≤-≥+或[1,1]x ∈-22(1)11m x mx m x x +-+-≥-+()212m x x x -+≥-[1,1]x ∈-()210x x -+>221x m x x -≥-+2t x =-13t ≤≤2x t =-222131(2)(2)13x t x x t t tt -==-+---++-3t t+≥t =221x x x -≤=-+2x =∞⎫+⎪⎪⎭22:{|430,(0)}{|3,(0)}p A x x ax a a x a x a a =-+<<=<<<命题或，是的必要不充分条件，∴ ，或，又，故实数的取值范围是．（2）依题意有和是方程的两根，且，则有，解得，即，解得或，即不等式的解集为或.19. 【1】由题意得，且，由，即，所以，故的解集为；由，即，，则，所以.所以的解集为.【2】，[x ]2−m [x ]+4>0恒成立，即，恒成立，2:{|3100}{|5q B x x x x x =+->=<-2}x >q p A B 32a ∴≥5a ≤-0a <a (,5]-∞-12-13-210ax bx --=0a <0112311123a b a a ⎧⎪<⎪⎪⎛⎫-+-=⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫-⨯-=-⎪ ⎪⎝⎭⎩65a b =-⎧⎨=⎩20x bx a --≥2560x x -+≥2x ≤3x ≥{2x x ≤}3x ≥[][]1x x x ≤<+[]x ∈Z []5522x -≤≤[]22x -≤≤23x -≤<[]5522x -≤≤{}|23x x -≤<[][]2211150x x -+≤[]()[]()3250x x --≤[]532x ∴≤≤[]3x =34x ≤<[][]2211150x x -+≤{}|34x x ≤<712x ∀≤≤[]13x ≤≤此时712x ∀≤≤[][]4m x x <+又，当且仅当时，即时等号成立.故的最小值为，所以要使[x ]+4[x ]>m 恒成立，则.故的取值范围为.【3】不等式，即，由方程可得或.①若，不等式为，即，所以，显然不符合题意；②若，，由，解得，因为不等式的解集为，所以，解得③若，，由，解得，因为不等式解集为，所以，解得.综上所述， 或.故的范围为.[][]44x x +≥[]2x =23x ≤<[][]4x x +44m <m (),4∞-[][]22210x x a --+≤[]()[]()110x a x a +---≤[]()[]()110x a x a +---=[]1x a =-1a +0a =[][]2210x x -+≤[]1x =01x ≤<0a >11a a -<+[]()[]()110x a x a +---≤[]11a x a -≤≤+[]{}{}{}|11|03|1[]3x a x a x x x x -≤≤+=≤<=-<<110213a a -<-≤⎧⎨≤+<⎩12a ≤<0a <11a a +<-[]()[]()110x a x a +---≤[]11a x a +≤≤-{}{}{}|1[]1|03|1[]3x a x a x x x x +≤≤-=≤<=-<<110213a a -<+≤⎧⎨≤-<⎩21a -<≤-21a -<≤-12a ≤<a (][)2,11,2--⋃。
江苏省南京市金陵中学2014届高三数学第四次模拟考试试题(含解析)
江苏省南京市金陵中学2014届高三第四次模拟考试数学试题一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1.函数)42cos(3π-=x y 的最小正周期为 . 【知识点】三角函数的周期性及其求法.【答案解析】π解析 ：解：函数)42cos(3π-=x y 的最小正周期为2==2T ππ.【思路点拨】根据sin x y A （）ωϕ=+的周期等于2=T πω，求得结果．2.已知复数z 满足(2)1z i i -=+（i 为虚数单位），则z 的模为 . 【知识点】复数相等的充要条件．【答案解析】解析 ：解：∵复数z 满足(2)1z i i -=+（i 为虚数单位），∴()()211223i i iz i i i -++=+=+=--，∴z ==．【思路点拨】先解出复数z 的式子，再利用两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i 的幂运算性质，进行运算．【典型总结】本题考查复数的模的定义，两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i 的幂运算性质，两个复数相除，分子和分母同时除以分母的共轭复数．3.抛物线241xy =的准线方程是 ．【知识点】抛物线的简单性质．【答案解析】1y =-解析 ：解：由题得24x y =，所以：2 4.2p p ==所以12p =，故准线方程为：1y =-．故答案为1y =-.【思路点拨】先把其转化为标准形式，求出p 即可得到其准线方程．4．集合{3,2},{,},{2},aA B a b A B A B ====若则 ．【知识点】集合的交集与并集. 【答案解析】{}1,2,3解析 ：解：因为{}2AB =,所以22a=，1a =，则2b =.所以{}1,2,3A B =,故答案为{}1,2,3.【思路点拨】由已知可确定两个集合中必有2这个元素，所以由22a=可确定a ，然后就可以确定b 的值.5.根据如图所示的伪代码,当输入a 的值为3时,最后输出的S 的值 为 ▲ .【知识点】根据伪代码求输出结果.【答案解析】21解析 ：解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加，当不满足条件i ≤3时推出循环．此时S=3+6+12=21，故输出的S 值为21．故答案为：21．【思路点拨】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加，当不满足条件i ≤3时推出循环，得到S 的值即可．6.为了分析某篮球运动员在比赛中发挥的稳定程度，统计了该运动员在6场比赛中的得分，用茎叶图表示如图所示，则该组数据的方差为 .【知识点】数据的方差;茎叶图.【答案解析】5解析 ：解：∵根据茎叶图可知这组数据的平均数是141718182021186+++++=，∴这组数据的方差是()()()()()()22222211418171818181818201821186⎡⎤-+-+-+-+-+-+⎣⎦ ()1161004956=+++++=，故答案为：5【思路点拨】根据茎叶图所给的数据，做出这组数据的平均数，把所给的数据和平均数代入求方差的个数，求出六个数据与平均数的差的平方的平均数就是这组数据的方差．7．某单位从甲、乙、丙、丁4名应聘者中招聘2人，如果这4名应聘者被录用的机会均等，则甲、乙两人中至少有1人被录用的概率是 . 【知识点】古典概型及其计算公式的应用.【答案解析】56解析 ：解：某单位从甲、乙、丙、丁4名应聘者中招聘2人，Read aS ←0I ←1While I ≤3S ←S ＋aa ←a ×2I ←I ＋1End WhilePrint S第5题∵这4名应聘者被录用的机会均等，∴A ，B 两人都不被录用的概率为222416C C =，∴A ，B 两人中至少有1人被录用的概率2224151166C P C =-=-=．故答案为：56．【思路点拨】先利用排列组织知识求出甲、乙两人都不被录用的概率，再用间接法求出甲、乙两人中至少有1人被录用的概率．8．已知点P (x ，y) 满足条件3),(02,,0+=⎪⎩⎪⎨⎧≤++≤≥x z k k y x x y x 若为常数y 的最大值为8，则k = .【知识点】简单线性规划．【答案解析】-6解析 ：解：画出可行域将3z x y 变形为133z yx ，画出直线133zyx 平移至点A 时，纵截距最大，z 最大，联立方程20y xx y k 得33kxk y，代入− 3k +3×(−3k)＝8，∴6k．故答案为6.【思路点拨】画出可行域，将目标函数变形，画出相应的直线，将其平移，数学结合当直线移至点A 时，纵截距最大，z 最大．9.在平行四边形ABCD 中, AD = 1, 60BAD ︒∠=, E 为CD 的中点.若·1AC BE =, 则AB 的长为 .【知识点】向量的运算法则;数量积运算法;一元二次方程的解法.【答案解析】12解析 ：解：∵1,,2ACAB AD BEBC CE ADAB∴221111222AC BEAB AD ADAB ADAD AB AB ，∴2ABAD AB ，AB＞0，解得AB ＝12．故答案为：12．【思路点拨】利用向量的运算法则和数量积运算法则即可得出．10.已知正四面体的棱长为2，则它的外接球的表面积的值为． 【知识点】球内接多面体．【答案解析】3解析 ：解：正四面体扩展为正方体，它们的外接球是同一个球， 正方体的对角线长就是球的直径，正方体的棱长为：1的正四面体的外接球半径为．所以外接球的表面积为23432，故答案为3.【思路点拨】正四面体扩展为正方体，它们的外接球是同一个球，正方体的对角线长就是球的直径，求出直径即可求出外接球半径,可求外接球的表面积． 11．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()12,xf x -=-则不等式()12f x <-的解集是__________．【知识点】函数奇偶性的性质．【答案解析】(),1-∞-解析 ：解：当x ＞0时，11212xx与题意不符，当0x 时，012x x f x，，又∵()f x 是定义在R 上的奇函数，∴1221x x fx f x f xf x ，，，∴1121<222x x f x，＜， ∴1x ，∴不等式()12f x <-的解集是,1．故答案为,1．【思路点拨】f x是指定义在R 上的函数，而题目中只给出了0x 的表达式，故先求出当0x 时，f x 的解析式，后再可解此不等式．12．如图，在平面直角坐标系x O y 中，点A 为椭圆E ：22221(0)x y a b a b +=>>的左顶点，B 、C 在椭圆E 上，若四边形OABC 为平行四边形，且∠OAB ＝30°，则椭圆E 的离心率等于．【知识点】椭圆的对称性以及简单性质.【答案解析】解析 ：解：∵AO 是与X 轴重合的，且四边形OABC为平行四边形,∴BC ∥OA ，B 、C 两点的纵坐标相等，B 、C 的横坐标互为相反数 ∴B 、C 两点是关于Y 轴对称的．由题知：OA=a 四边形OABC 为平行四边形，所以BC=OA=a可设B,2a y ,C ,2a y 代入椭圆方程解得：32y b,设D 为椭圆的右顶点，因为∠OAB＝30°，四边形OABC 为平行四边形所以∠COD=30°,对C 点：tan30°=3232b a解得：a=3b根据：a2=c2+b2得：a2=c2+29a ,e2=89,e=3.故答案为：3．【思路点拨】首先利用椭圆的对称性和OABC 为平行四边形，可以得出B 、C 两点是关于Y轴对称，进而得到BC=OA=a ；设B,2a y ,C ,2a y ，从而求出|y|，然后由∠OAB=∠（第12题）COD=30°，利用tan30°=3232a，求得a=3b ，最后根据a2=c2+b2得出离心率． 13．已知实数,xy满足x y-=，则x y +的最大值为 ．【知识点】基本不等式的应用. 【答案解析】4解析：解：∵x y，∴1322x y x yx y 则224x y x y解得：24x y∴x y 的最大值为4,故答案为：4【思路点拨】先对等式进行变形化简，然后利用2222x yx y x y 的范围，即可求出所求．14．数列{}n a 满足()112,2n n n a a pa n +==+∈*N ,其中p 为常数．若实数p 使得数列{}n a 为等差数列或等比数列，数列{}n a 的前n 项和为n s ，则满足的值为的最小正整数n s n 2014> ．【知识点】数列的判定；等比数列的前n 项和. 【答案解析】10解析 ：解：21232a 2a 22a a 4224p p p p ，，①若数列{}n a 为等差数列，则得210p p 由△=12-4=-3＜0知方程无实根，故不存在实数p ，（3分）②若数列{}n a 为等比数列得22222224p p p （）（），解得p =1则nn1n a a 2,由累加法得：2n1nn 1a a 22222解得n na 2n2（）,显然，当n=1时也适合，故nna 2nN *（）． 故存在实数p =1，使得数列{}n a 为等比数列，其通项公式为nna 2,故121222201412n n nS ，解得9n ，则满足的值为的最小正整数n s n 2014>10，故答案为10.【思路点拨】21232a 2a 22a a 4224p p p p ，，进行分类考虑：①若数列{}n a 为等差数列，则得210p p 由△=12-4=-3＜0知方程无实根，故不存在实数p ，（3分）②若数列{}n a 为等比数列得22222224p p p （）（），解得p =1则其通项公式为nna 2,再由故2014nS ，解得9n ，可得结论.二、解答题：（本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15．(本题满分14分)如图所示,已知α的终边所在直线上的一点P 的坐标为(3,4)-,β的终边在第一象限且与单位圆的交点Q的纵坐标为10. ⑴求tan(2)αβ-的值；⑵若2παπ<<,20πβ<<,求αβ+.【知识点】任意角的三角函数的定义；两角和与差的余弦函数；两角和与差的正弦函数．【答案解析】⑴16173 ⑵34解析 ：解：⑴由三角函数的定义知43tan α=-∴242()24341()73tan 2α⨯--==.又由三角函数线知10sin β=,为第一象限角，1tan7，24116177tan 224173177.(2) cos ＝35，∵20＜＜，＜＜2，APBCFE D∴2＜＜32．∵sin sin coscos sin ＝＝4723225105102．又∵2＜＜32，∴＝34．【思路点拨】（Ⅰ）直接根据三角函数的定义，求出sin ，然后再求tan；（Ⅱ）由cos ，求出的正弦值，根据20＜＜，＜＜2，求出．16. （本题满分14分）如图， ABCD 为矩形，CF⊥平面ABCD ，DE⊥平面ABCD ， AB=4a ，BC= CF=2a ， P 为AB 的中点. （1）求证：平面PCF⊥平面PDE ； （2）求四面体PCEF 的体积.【知识点】平面与平面垂直的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积.【答案解析】（1）见解析（2）83a3解析 ：解：（1）因为ABCD 为矩形，AB=2BC, P 为AB 的中点，所以三角形PBC 为等腰直角三角形，∠BPC=45°. …………………………2分 同理可证∠AP D=45°.所以∠DPC=90°，即PC⊥PD . …………………………3分 又DE⊥平面ABCD ，PC 在平面ABCD 内，所以PC⊥DE . ………………………4分 因为DE∩PD=D ，所以PC ⊥PDE . …………………………5分 又因为PC 在平面PCF 内，所以平面PCF⊥平面PDE. …………………………7分 （2）因为CF ⊥平面ABCD ，DE ⊥平面ABCD ， 所以DE ∥CF ．又DC ⊥CF ，所以S△CEF＝12DC•CF＝12×4a×2a＝4a2．在平面ABCD 内，过P 作PQ ⊥CD 于Q ，则 PQ ∥BC ，PQ=BC=2a ． 因为BC ⊥CD ，BC ⊥CF ，所以BC ⊥平面CEF ，即PQ ⊥平面CEF ， 亦即P 到平面CEF 的距离为PQ=2aVPCEF ＝VP −CEF ＝13PQ•S△CEF＝13•4a2•2a＝83a3．（注：本题亦可利用VP −CEF ＝VB −CEF ＝VE −BCF ＝VD −BCF ＝16DC•BC•CF＝83a3求得）【思路点拨】（1）证明平面PCF 内的直线PC ，垂直平面PDE 内的两条相交直线DE ，PD ，就证明了平面PCF ⊥平面PDE ；（2）说明P 到平面PCEF 的距离为PQ=2a ，求出S△CEF＝12DC•CF的面积，然后求四面体PCEF 的体积．17．(本题满分14分)已知直线(14)(23)(312)0()k x k y k k R +---+=∈所经过的定点F 恰好是椭圆C 的一个焦点,且椭圆C 上的点到点F 的最大距离为8. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知圆22:1O x y +=,直线:1l mx ny +=.试证明当点(,)P m n 在椭圆C 上运动时,直线l 与圆O 恒相交；并求直线l 被圆O 所截得的弦长的取值范围.【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题；恒过定点的直线；椭圆的标准方程．【答案解析】（1）2212516x y +=（2）,25L ∈解析 ：解：解: （1）由(14)(23)(312)0()k x k y k k R +---+=∈,得(23)(4312)0x y k x y --++-=,则由23043120x y x y --=⎧⎨+-=⎩, 解得F （3,0） (2)分设椭圆C 的方程为22221(0)x ya b a b +=>>, 则22238c a c a b c =⎧⎪+=⎨⎪=+⎩,解得543a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩ 所以椭圆C 的方程为2212516x y +=.…………… 6分（2）因为点(,)P m n 在椭圆C 上运动,所以222212516m n m n =+<+,…………… 8分从而圆心O 到直线:1l mx ny +=的距离1d r=<=.所以直线l 与圆O 恒相交, …………… 10分AB又直线l 被圆O 截得的弦长为L ===分由于2025m ≤≤,所以2916162525m ≤+≤,则25L ∈,即直线l 被圆O 截得的弦长的取值范围是[25L ∈…………… 14分【思路点拨】（1）可将直线(14)(23)(312)0()k x k y k k R +---+=∈改写为(23)(4312)0x y k x y --++-=由于k ∈R 故23043120x y x y --=⎧⎨+-=⎩即F （3，0）然后再根据题中条件即可求出椭圆C 的标准方程．（2）要证明当点(,)P m n 在椭圆C 上运动时，直线l 与圆O 恒相交只需证明圆心O 到直线:1l mx ny +=的距离1d r=<=.而要求直线l 被圆O 所截得的弦长的取值范围,可利用圆中的弦长公式求出弦长的表达式,再结合参数的取值范围即可得解． 18．（本题满分16分）如图，直角三角形ABC 中，∠B ＝90，AB ＝1，BC M,N 分别在边AB 和AC 上(M 点和B 点不重合)，将△AMN 沿MN 翻折，△AMN 变为△A 'MN ，使顶点A '落 在边BC 上(A '点和B 点不重合).设∠AMN ＝θ． (1) 用θ表示线段AM 的长度，并写出θ的取值范围； (2) 求线段A N '长度的最小值．【知识点】解三角形的实际应用．【答案解析】(1)212sin MA, 4590<θ< (2) 23解析 ：解：解：（1）设MA MA x '==，则1MB x =-．…………2分在Rt △MB A '中，1cos(1802)xx --θ=，…………4分∴2111cos22sin MA x ===-θθ．…………5分∵点M 在线段AB 上，M 点和B 点不重合，A '点和B 点不重合，∴4590<θ<…7分(2) 在△AMN 中，由∠AMN=θ，可得∠ANM= 23,∴根据正弦定理得：2sinsin3AN MA，∴122sin sin3AN令2132sin sin2sinsin cos 322t1sin 2302，459060230150＜＜，＜＜，当且仅当2309060，时，t 有最大值32,则θ=60°时，AN 有最小值为23，即线段A N '长度的最小值为23．【思路点拨】（1）设MA MA x '==，则1MB x =-，在Rt △MBA'中，利用三角函数可求；（2）求线段A'N 长度的最小值，即求线段AN 长度的最小值，再利用三角恒等变换化简，从而求最值．19．设函数22()f x a x =（0a >），()ln g x b x =．(1) 若函数()y fx =图象上的点到直线30x y --=距离的最小值为，求a 的值；(2) 关于x 的不等式2(1)()x f x ->的解集中的整数恰有3个，求实数a 的取值范围； (3) 对于函数()f x 与()g x 定义域上的任意实数x ，若存在常数,k m ，使得()f x kx m ≥+和()g x kx m ≤+都成立，则称直线y kx m =+为函数()f x 与()g x 的“分界线”．设2a =，b e =，试探究()f x 与()g x 是否存在 “分界线”？若存在，求出“分界线”的方程；若不存在，请说明理由．【知识点】导数在最大值、最小值问题中的应用；根的存在性及根的个数判断．【答案解析】（1）a =（2）4332a ＜（3）yex2e解析 ：解：（1）因为22()f x a x =，所以2'()2f x a x =，令2'()21f x a x == 得：212x a =，此时214y a =，…………2分则点2211(,)24a a 到直线30x y --=的距离为，即=a =．…………4分 (2)解法一 不等式（x-1）2＞f （x ）的解集中的整数恰有3个，等价于（1-a2）x2-2x+1＞0恰有三个整数解，故1-a2＜0，令h （x ）=（1-a2）x2-2x+1，由h （0）=1＞0且h （1）=-a2＜0（a ＞0）， 所以函数h （x ）=（1-a2）x2-2x+1的一个零点在区间（0，1）， 则另一个零点一定在区间（-3，-2），这是因为此时不等式解集中有-2，-2，0恰好三个整数解，故h （-2）＞0，h （-3）≤0，解之得4332a ＜．解法二不等式（x-1）2＞f （x ）的解集中的整数恰有3个，等价于（1-a2） x2-2x+1＞0 恰有三个整数解，故 1-a2＜0，即 a ＞1， ∴（1-a2） x2-2x+1=[（（1-a ）x-1][（1+a ）x-1]＞0，所以 1111x aa ＜＜，又因为 0＜11a ＜1， 所以 −3≤11a ＜−2，解之得4332a ＜．（3）设21()()()ln 2F x f x g x x e x=-=-，则2'(()e x e x x F x x x x x -+=-==．所以当0x <<时，'()0F x >；当x >'()0F x <．因此x =()F x 取得最小值0，则()f x 与()g x的图象在x =)2e． …………12分 设()f x 与()g x 存在 “分界线”，方程为(2ey k x -=，由ef x kx k e2（），对x∈R恒成立，则2x2kx e2k e0在x∈R恒成立．所以24(k e)0成立，因此10分）下面证明2g x ex e x0（）（＞）恒成立．设G x elnx ex2e（），则e(e x)G xx（）．所以当时，G′（x）＞0；当 x时，G′（x）＜0．因此时，G（x）取得最大值0，则2g x ex e x0（）（＞）成立．故所求“分界线”方程为：y ex2e．【思路点拨】（1）利用点到直线的距离公式解决即可（2）关于由不等式解集整数的个数，然后求未知量取值范围的题目，可利用恒等变换，把它转化为求函数零点的问题，即可求解；（3）设F(x)＝f(x)−g(x)＝12x2−elnx ，利用导数知识判断单调性，求出x e时，F（x）取得最小值0．设f（x）与g （x）存在“分界线”，方程为ekx k e2y，由ef(x)kx k e2，对x∈R恒成立，求得k=．再利用导数证明2g x ex e x0（）（＞）成立，从而得到所求“分界线”方程．20．（本小题满分16分）设等比数列{}na的首项为12a=，公比为q（q为正整数），且满足33a是18a与5a的等差中项；数列{}nb满足232()02n nn t b n b-++=（*,t R n N∈∈）. （1）求数列{}na的通项公式；（2）试确定t的值，使得数列{}nb为等差数列；（3）当{}n b 为等差数列时，对每个正整数k ，在k a 与1k a +之间插入k b 个2，得到一个新数列{}n c . 设n T 是数列{}n c 的前n 项和，试求满足12m m T c +=的所有正整数m .【知识点】等比数列的通项公式；数列的应用． 【答案解析】（1）nn a 2=（2）3=t (3) 满足题意的正整数仅有2=m . 解析 ：解：（1）nn a 2=………………………………………………………4分（2）023)(22=++-n n b n b t n得2322--=n tnn b n ，所以,212,416,42321t b t b t b -=-=-= 则由2312b b b =+，得3=t ……………………………………………………7分当3=t 时，n b n 2=，由21=--n n b b ，所以数列{}n b 为等差数列………9分（3）因为2321===c c c ，可得1=m 不合题意，2=m 合题意…………11分当3≥m 时，若后添入的数12+=m c ，则一定不符合题意，从而1+m c 必是数列{}n a 中的一项1+k a ，则（2+22+…………+2k ）+(++21b b …………n b )=122+⨯k即02221=+--+k k k ………………………………………………………………13分记22)(21+--=+k k k f k 则k k f k 212)2(ln 2)('--=，1+2+22+…………+21-k =)3(1212≥--k k ，所以当3≥k 时，k 2=1+2+22+…………+21-k +1>1+2k ,又,14ln 2ln 2>=.3)(,0)('）递增，在（故∞+>k f k f则由都不合题意无解，即在知3),3[0)(06)3([≥+∞=>=m k f f …………15分 综上可知，满足题意的正整数仅有2=m .…………………………………………16分 【思路点拨】（1）由33a 是18a 与5a 的等差中项得到6a3=8a1+a5，根据首项2和公比q ，利用等比数列的通项公式化简这个式子即可求出q 的值，利用首项和公比即可得到通项公式；（2）由23)(22=++-nnbnbtn解出bn，列举出b1，b2和b3，要使数列{bn}为等差数列，根据等差数列的性质可知b1+b3=2b2，把b1，b2和b3的值代入即可求出t的值；（3）显然2321===ccc，可得1=m不合题意，2=m合题意，然后说明即可.。
江苏省南京市金陵中学2013-2014学年度高一第一学期期中考试数学试卷
y … 14 7 5.33 5.11 5.01 5 5.01 5.04 5.08 5.67 7 8.6 12.14 …
8 (1)观察表中 y 值随 x 值变化趋势的特点，请你直接写出函数 f(x)＝2x＋ －3 在区间(0，＋
x ∞)上的单调区间，并指出 f(x)的最小值及此时 x 的值．
8 (2)用单调性的定义证明函数 f(x)＝2x＋ －3 在区间(0，2]上的单调性；
E
100m
G
60m
A M
B 70m
D
80m N
C
3
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19．(本题满分 12 分) 8
探究函数 f(x)＝2x＋ －3 在区间(0，＋∞)上的最小值，并确定取得最小值时 x 的值．列 x
表如下： x … 0.5 1 1.5 1.7 1.9 2 2.1 2.2 2.3 3 4 5 7 … y … 14 7 5.33 5.11 5.01 5 5.01 5.04 5.08 5.67 7 8.6 12.14 … 8 (1)观察表中 y 值随 x 值变化趋势的特点，请你直接写出函数 f(x)＝2x＋ －3 在区间(0，＋ x
4x＋1
4
4
即方程
2x
＝a·2x－ a 3
在(log23，＋∞)上只有一解．
8分
4 令 2x＝t，则 t＞ ，因而等价于关于 t 的方程
3
4 (a－1)t2－ at－1＝0
3
4 (*)在( ，＋∞)上只有一解．
3
①当 a＝1 时，解得 t＝－3／∈ (4，＋∞)，不合题意； 43
4
2a
②当 0＜a＜1 时，记 h(t)＝(a－1)t2－ at－1，其图象的对称轴 t＝
＜0．
南京市金陵中学2014届高三第四次模拟考试数学试题
南京市金陵中学2014届高三第四次模拟数学试题2014.5.28一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上） 1.函数)42cos(3π-=x y 的最小正周期为 . 2==2T ππ 2.已知复数z 满足(2)1z i i -=+（i 为虚数单位），则z 的模为 .3.抛物线241x y =的准线方程是 ▲ ．y =-1 4．集合{3,2},{,},{2},a A B a b AB A B ====若则 ▲ ．{1，2，3}5.根据如图所示的伪代码,当输入a 的值为3时,最后输出的S 的值 为 ▲ .216.为了分析某篮球运动员在比赛中发挥的稳定程度，统计了该运动员在6场比赛中的得分，用茎叶图表示如图所示，则该组数据的方差为 . 57．某单位从甲、乙、丙、丁4名应聘者中招聘2人，如果这4名应聘者被录用的机会均等，则甲、乙两人中至少有1人被录用的概率是 . 568．已知点P (x ，y ) 满足条件3),(02,,0+=⎪⎩⎪⎨⎧≤++≤≥x z k k y x x y x 若为常数y 的最大值为8，则k = .-69.在平行四边形ABCD 中, AD = 1, 60BAD ︒∠=, E 为CD 的中点. 若·1AC BE =, 则AB 的长为 .1210.已知正四面体的棱长为2，则它的外接球的表面积的值为 ▲ ．3π11．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()12,xf x -=-则不等式()12f x <-的解集是__________．(),1-∞-12．如图，在平面直角坐标系x O y 中，点A 为椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>的左顶点，B 、C 在椭圆E 上，若四边形OABC 为平行四边形，且∠OAB ＝30°，则椭圆E 的离心率等于 ▲．第5题（第12题）ABCFED13．已知实数,x y满足x y =，则x y +的最大值为 ▲ ．4 14．数列{}n a 满足()112,2n n n a a pa n +==+∈*N ,其中p 为常数．若实数p 使得数列{}n a 为等差数列或等比数列，数列{}n a 的前n 项和为n s ，则满足的值为的最小正整数n s n 2014> ▲ ．10二、解答题：（本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．(本题满分14分)如图所示,已知α的终边所在直线上的一点P 的坐标为(3,4)-,β的终边在第一象限且与单位圆的交点Q 的纵坐标为10.⑴求tan(2)αβ-的值； ⑵若2παπ<<,20πβ<<,求αβ+.解：⑴由三角函数的定义知43tan α=- ∴42()24341(73tan 2α⨯--==.又由三角函数线知10sin β=,16. （本题满分14分）如图， ABCD 为矩形，CF ⊥平面ABCD ，DE ⊥平面ABCD ， AB =4a ，BC = CF =2a ， P 为AB 的中点. （1）求证：平面PCF ⊥平面PDE ； （2）求四面体PCEF 的体积.【证明】（1）因为ABCD 为矩形，AB =2BC , P 为AB 的中点，所以三角形PBC 为等腰直角三角形，∠BPC =45°. …………………………2分同理可证∠APD =45°.所以∠DPC =90°，即PC ⊥PD . …………………………3分 又DE ⊥平面ABC D ，PC 在平面ABCD 内，所以PC ⊥DE. ………………………4分 因为DE ∩PD =D ，所以PC ⊥PDE . …………………………5分 又因为PC 在平面PCF 内，所以平面PCF ⊥平面PDE . …………………………7分17．(本题满分14分)已知直线(14)(23)(312)0()k x k y k k R +---+=∈所经过的定点F 恰好是椭圆C 的一个焦点,且椭圆C 上的点到点F 的最大距离为8. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知圆22:1O x y +=,直线:1l mx ny +=.试证明当点(,)P m n 在椭圆C 上运动时,直线l 与圆O 恒相交；并求直线l 被圆O 所截得的弦长的取值范围. 解: （1）由(14)(23)(312)0()k x k y k k R +---+=∈,得(23)(4312)0x y k x y --++-=,则由23043120x y x y --=⎧⎨+-=⎩, 解得F （3,0） (2)分设椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b +=>>, 则22238c a c a b c =⎧⎪+=⎨⎪=+⎩,解得543a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩所以椭圆C 的方程为2212516x y +=.…………… 6分 （2）因为点(,)P m n 在椭圆C 上运动,所以222212516m n m n =+<+,…………… 8分 从而圆心O 到直线:1l mx ny +=的距离221d r m n=<=+. 所以直线l 与圆O 恒相交, …………… 10分又直线l 被圆O 截得的弦长为22221221L r d m n =-=-+212191625m =-+………M B 12分由于2025m ≤≤,所以2916162525m ≤+≤,则L ∈, 即直线l 被圆O 截得的弦长的取值范围是[25L ∈…………… 14分18．（本题满分16分）如图，直角三角形ABC 中，∠B ＝90，AB ＝1，BC M ,N 分别在边AB 和AC 上(M 点和B 点不重合)，将△AMN 沿MN 翻折，△AMN 变为△A 'MN ，使顶点A '落在边BC 上(A '点和B 点不重合).设∠AMN ＝θ．(1) 用θ表示线段AM 的长度，并写出θ的取值范围；(2) 求线段A N '长度的最小值．解：（1）设MA MA x '==，则1MB x =-．…………2分 在Rt △MB A '中，1cos(1802)xx--θ=，…………4分∴2111cos22sin MA x ===-θθ．…………5分 ∵点M 在线段AB 上，M 点和B 点不重合，A'点和B 点不重合，∴4590<θ<． …7分19．设函数22()f x a x =（0a >），()ln g x b x =．(1) 若函数()y f x =图象上的点到直线30x y --=距离的最小值为a 的值； (2) 关于x 的不等式2(1)()x f x ->的解集中的整数恰有3个，求实数a 的取值范围； (3) 对于函数()f x 与()g x 定义域上的任意实数x ，若存在常数,k m ，使得()f x kx m ≥+和()g x kx m ≤+都成立，则称直线y kx m =+为函数()f x 与()g x 的“分界线”．设2a =，b e =，试探究()f x 与()g x 是否存在“分界线”？若存在，求出“分界线”的方程；若不存在，请说明理由．解：（1）因为22()f x a x =，所以2'()2f x a x =，令2'()21f x a x ==得：212x a =，此时214y a =， …………2分则点2211(,)24a a到直线30x y --=的距离为即=，解之得a =． …………4分（3）设21()()()ln 2F x f x g x x e x =-=-，则2'(()e x e x x F x x x x x-=-==．所以当0x <<'()0F x >；当x >'()0F x <．因此x =()F x 取得最小值0，则()f x 与()g x的图象在x =)2e． …………12分设()f x 与()g x 存在“分界线”，方程为(2ey k x -=，20．（本小题满分16分）设等比数列{}n a 的首项为12a =，公比为q （q 为正整数），且满足33a 是18a 与5a 的等差中项；数列{}n b 满足232()02n n n t b n b -++=（*,t R n N ∈∈）.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）试确定t 的值，使得数列{}n b 为等差数列；（3）当{}n b 为等差数列时，对每个正整数k ，在k a 与1k a +之间插入k b 个2，得到一个新数列{}n c . 设n T 是数列{}n c 的前n 项和，试求满足12m m T c +=的所有正整数m . 20解：（1）n n a 2=………………………………………………………4分（2）023)(22=++-n n b n b t n 得2322--=n tnn b n ，所以,212,416,42321t b t b t b -=-=-=则由2312b b b =+，得3=t ……………………………………………………7分当3=t 时，n b n 2=，由21=--n n b b ，所以数列{}n b 为等差数列………9分 （3）因为2321===c c c ，可得1=m 不合题意，2=m 合题意…………11分 当3≥m 时，若后添入的数12+=m c ，则一定不符合题意，从而1+m c 必是数列{}n a 中的一项1+k a ，则（2+22+…………+2k ）+(++21b b …………n b )=122+⨯k即02221=+--+k k k ………………………………………………………………13分记22)(21+--=+k k k f k则k k f k212)2(ln 2)('--=，1+2+22+…………+21-k =)3(1212≥--k k ， 所以当3≥k 时，k 2=1+2+22+…………+21-k +1>1+2k ,又,14ln 2ln 2>=.3)(,0)('）递增，在（故∞+>k f k f则由都不合题意无解，即在知3),3[0)(06)3([≥+∞=>=m k f f …………15分 综上可知，满足题意的正整数仅有2=m .…………………………………………16分。
2014金陵中学四模卷(附加答案)
江苏省海安高级中学、南京外国语学校、金陵中学2014届高三联合考试数学Ⅱ参考答案及评分建议说明：1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．2．对于解答题，当考生的解答在某一步出现错误时，该逻辑链的后续部分就不再给分，但与该步所属的逻辑段并列的逻辑段则仍按相应逻辑段的评分细则给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．21．【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的．．．．．．．．．．．．答题区域内作．．．．．．答．．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A．选修4—1：几何证明选讲（本小题满分10分）如图，已知△ABC的内角A的平分线交BC于点D，交其外接圆于点E．求证：AB⋅AC=AD⋅AE．证明：连结EC，易得∠B=∠E，……2分由题意，∠BAD=∠CAE，所以△ABD∽△AEC，……6分从而AB ADAE AC=，所以AB⋅AC=AD⋅AE．……10分B．选修4—2：矩阵与变换（本小题满分10分）已知点P(a，b)，先对它作矩阵M1212⎡⎢=⎥⎥⎥⎦对应的变换，再作N2002⎡⎤=⎢⎥⎣⎦对应的变换，得到的点的坐标为 (8，)，求实数a，b的值．AB CDE(第21—A题)解：依题意，NM 2002⎡⎤=⎢⎥⎣⎦1212⎡⎢⎥⎥⎥⎦11⎡=⎥⎦， …… 4分 由逆矩阵公式得， (NM )1-114⎡⎢=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦， …… 8分所以185414⎡⎢⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎢⎢⎥⎣⎣⎢⎥⎣⎦，即有5a =，b =． …… 10分C ．选修4—4：坐标系与参数方程 （本小题满分10分） 在极坐标系中，设直线l 过点)Aπ6，，()3 B 0，，且直线l 与曲线C ：cos (0)a a ρθ=> 有且只有一个公共点，求实数a 的值． 解：依题意，)Aπ，，()3 B 0，的直角坐标为(32A ，，()3 B 0，， 从而直线l的普通方程为30x -=， …… 4分 曲线C ：cos (0)a a ρθ=>的普通方程为()22224aa x y -+=(0)a >， …… 8分因为直线l 与曲线C 有且只有一个公共点，所以3222a a -=(0)a >，解得2a =(负值已舍)． …… 10分D ．选修4—4：不等式证明选讲 （本小题满分10分）已知a ，b ＞0，且a +b =1证明：因为2≤(2a +1+2b +1)(12+12)=8， …… 8分…… 10分【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）设ξ为随机变量，从侧面均是等边三角形的正四棱锥的8条棱中任选两条，ξ为这两条 棱所成的角．（1）求概率()P ξπ=2；（2）求ξ的分布列，并求其数学期望E (ξ)．解：（1）从正四棱锥的8条棱中任选两条，共有28C 种不同方法，其中“ξπ=2”包含了两类情形：①从底面正方形的4条棱中任选两条相邻的棱，共有4种不同方法; ②从4条侧棱中选两条，共有2种不同方法，所以()2842314C P ξπ+===2； …… 4分（2）依题意，ξ的所有可能取值为0，π3，π2，“ξ=0”包含了从底面正方形的4条棱中任选两条对棱，共2种不同方法； 所以()282114C P ξ=0==； …… 6分从而()()()51P P P ξξξππ==-=0-==， …… 8分所以ξ的分布列为：数学期望E (ξ)153290π1471484ππ=⨯+⨯+⨯=32． …… 10分23．（本小题满分10分）设整数n ≥3，集合P ={1，2，3，…，n }，A ，B 是P 的两个非空子集．记a n 为所有满 足A 中的最大数小于B 中的最小数的集合对(A ，B )的个数． （1）求a 3； （2）求a n ．解：（1）当n =3时，P ={1，2，3 }，其非空子集为：{1}，{2}，{3}，{1，2}，{1，3}，{2，3}，{1，2，3}， 则所有满足题意的集合对(A ，B )为：({1}，{2})，({1}，{3})，({2}，{3})， ({1}，{2，3}），（{1，2}，{3})共5对，所以a 35=； …… 3分 （2）设A 中的最大数为k ，其中11k n -≤≤,整数n ≥3，则A 中必含元素k ，另元素1，2，…，k 1-可在A 中，故A 的个数为：0111111C C C 2k k k k k -----++⋅⋅⋅+=， …… 5分 B 中必不含元素1，2，…，k ，另元素k +1，k +2，…，k 可在B 中，但不能都不在B 中，故B 的个数为：12C C C 21n k n k n k n k n k -----++⋅⋅⋅+=-， …… 7分 从而集合对(A ，B )的个数为()1221k n k --⋅-=1122n k ---， 所以a n ()11111111222(1)2(2)2112n n n k n n k n n ------=-=-=-⋅-=-⋅+-∑． …… 10分。
金陵中学2013-2014学年度第一学期期中考试高三地理答案
南京市金陵中学2013—2014学年度上学期期中考试
高三地理试题
37.（18分）
（2）（7分）
（3）（4分）
38. （6分）
（1）城市用地规模扩大城镇数量减少（2分）
（2）交通运输（1分）
（3）AC （1分）
（4）耕地减少、用地紧张（2分）
39．（13分）(1)降水冰川融水(或冰雪融水)冲积扇(洪积扇)
(2)光照强、日照时间长、夏季热量充足、昼夜温差大。
(答对三点即可)
(3)接近原料(番茄)产地；交通较便利；土地租金低；劳动力廉价；水源丰富。
(4)分布特点：城镇分布在山麓地带、沿铁路线(交通线)分布、沿河谷分布。
40．（13分）(1)沿河、沿海、沿铁路分布交通便利
(2)钢铁。
煤铁资源丰富；水源充足；水陆交通便利；接近消费市场。
(答对三点即可)
(3)位于河口位置、东部沿海地区，可河海联运；有城市为依托，腹地经济比较发达；临近海湾(海岸线曲折)。
(4)第一产业比重大幅度下降；第二产业比重变化不明显，一直占主导地位；第三产业比重大幅度上升。
(5)充分利用当地的自然资源和社会经济条件发展技术密集型产业；依托沿海的仗势发展贸易、航运、金融及海洋化学，依托丰富的自然资源发展钢铁工业；形成支柱产业，使一、二、三产业趋于合理，促进趋于自然环境、社会经济环境和生产力的协调发展。
江苏省金陵中学2014届高三第一次仿真测试2014.5含答案
（第3题）江苏省金陵中学2014届高三第一次仿真测试数学Ⅰ 2014.5参考公式：（1）样本数据1x ，2x ，…，n x 的方差2211()ni i s x x n ==-∑，其中11ni i x x n ==∑.（2）函数()()sin f x x ωϕ=+的导函数()()cos f x x ωωϕ'=⋅+，其中ωϕ，都是常数.一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位．．．．．．置上．．． 1． 在平面直角坐标系xOy 中，双曲线221y x -=的离心率为 ▲ . 2． 若复数z 满足()12i 34i z +=-+（i 是虚数单位），则z = ▲ .3． 在右图的算法中，最后输出的a ，b 的值依次是 ▲ .4． 一组数据9.8， 9.9， 10，a ， 10.2的平均数为10，则该组数据的方差为 ▲ .5． 设全集U =Z ，集合{}220A x x x x =--∈Z ≥，，则U A =ð ▲ .（用列举法表示）6． 在平面直角坐标系xOy 中，已知向量a = (1，2)，12-a b =(3，1)，则⋅=a b ▲ .7． 将甲、乙两个球随机放入编号为1，2，3的3个盒子中，每个盒子的放球数量不限，则在1，2号盒子中各有1个球的概率为 ▲ .8. 设P是函数)1y x +图象上异于原点的动点，且该图象在点P 处的切线的倾斜角为θ，则θ的取值范围是 ▲ .9． 如图，矩形ABCD 的三个顶点A 、B 、C分别在函数y x =，12y x =，xy =的图象上，且矩形的边分别平行于两坐标轴. 若点A 的纵坐标为2，则点D 的坐标为 ▲.DD 1C1 B 1A 1（第9题）(第13题) 10．观察下列等式： 311=，33129+=，33312336++=，33331234100+++=， ……猜想：3333123n +++⋅⋅⋅+= ▲ （n ∈*N ）.11．在棱长为4的正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别为棱1AA 、11D C 上的动点，点G 为正方形11B BCC 的中心. 则空间四边形AEFG 在该正方体各个面上的正投影构成的图形中，面积的最大值为 ▲ .12．若12sin a x x a x ≤≤对任意的π02x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，都成立，则21a a -的最小值为 ▲ .13．如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 1，F 2分别为椭圆22221y x a b +=(0a b >>)的左、右焦点，B ，C 分别为椭圆的上、下顶点，直线BF 2与椭圆的另一交点为D .若127cos F BF ∠=，则直线CD 的斜率为 ▲ .14．各项均为正偶数的数列a 1，a 2，a 3，a 4中，前三项依次成公差为d （d > 0）的等差数列，后三项依次成公比为q 的等比数列. 若4188a a -=，则q 的所有可能的值构成的集合为 ▲ .二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(本小题满分14分)在斜三角形ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c .（1）若2sin cos sin A C B =，求a c 的值；（2）若sin(2)3sin A B B +=，求tan tan A C 的值.16．(本小题满分14分)如图，在六面体1111ABCD A B C D -中，11//AA CC ，11A B A D =，AB AD =.求证：（1）1AA BD ⊥；（2）11//BB DD .（第18题）17．(本小题满分14分)将52名志愿者分成A ，B 两组参加义务植树活动，A 组种植150捆白杨树苗，B 组种植200捆沙棘树苗．假定A ，B 两组同时开始种植.（1）根据历年统计，每名志愿者种植一捆白杨树苗用时25小时，种植一捆沙棘树苗用时12小时.应如何分配A ，B 两组的人数，使植树活动持续时间最短？ （2）在按（1）分配的人数种植1小时后发现，每名志愿者种植一捆白杨树苗用时仍为25小时，而每名志愿者种植一捆沙棘树苗实际用时23小时，于是从A 组抽调6名志愿者加入B组继续种植，求植树活动所持续的时间.18．(本小题满分16分)如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知圆1C ：22(1)1x y ++=，圆2C ：22(3)(4)1x y -+-=． （1）若过点1(1 0)C -，的直线l 被圆2C 截得的弦长为 6，求直线l 的方程；（2）设动圆C 同时平分圆1C 的周长、圆2C 的周长．①证明：动圆圆心C 在一条定直线上运动；②动圆C 是否经过定点？若经过，求出定点的坐标；若不经过，请说明理由．19．(本小题满分16分)已知函数()sin f x x x =+．（1）设P ，Q 是函数()f x 图象上相异的两点，证明：直线PQ 的斜率大于0；（2）求实数a 的取值范围，使不等式()cos f x ax x ≥在π02⎡⎤⎣⎦，上恒成立．20. (本小题满分16分)设数列{n a }的各项均为正数.若对任意的n ∈*N ，存在k ∈*N ，使得22n k n n k a a a ++=⋅成立，则称数列{n a }为“J k 型”数列.（1）若数列{n a }是“J 2型”数列，且28a =，81a =，求2n a ；（2）若数列{n a }既是“J 3型”数列，又是“J 4型”数列，证明：数列{n a }是等比数列.数学Ⅱ（附加题）21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．选修4—1：几何证明选讲 （本小题满分10分）如图，AB 是半圆O 的直径，延长AB 到C ，使BC =，CD 切半圆O 于点D ， DE ⊥AB ，垂足为E ．若AE ∶EB =3∶1，求DE 的长．B ．选修4—2：矩阵与变换 （本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，直线y kx =在矩阵0110⎡⎤⎢⎥⎣⎦(41)P , ，求实数k 的值．C ．选修4—4：坐标系与参数方程 （本小题满分10分）在极坐标系中，已知圆sin a ρθ=（0a >）与直线()cos 1ρθπ+=4相切，求实数a 的值．D ．选修4—5：不等式选讲 （本小题满分10分）已知正数a ，b ，c 满足1abc =，求证：(2)(2)(2)27a b c +++≥．【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）已知数列{n a }满足：112a =，*12 ()1nn n a a n a +=∈+N ．（1）求2a ，3a 的值；（2）证明：不等式10n n a a +<<对于任意*n ∈N 都成立．23．（本小题满分10分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线的顶点在原点，焦点为F （1，0）．过抛物线在x（第23题）（第3题） （第9题）轴上方的不同两点A 、B 作抛物线的切线AC 、BD ，与x 轴分别交于C 、D 两点，且AC 与BD 交于点M ，直线AD 与直线BC 交于点N ．（1）求抛物线的标准方程；（2）求证：MN ⊥x 轴；（3）若直线MN 与x 轴的交点恰为F （1，0） 求证：直线AB 过定点．数学Ⅰ参考答案及评分建议一、填空题：本题考查基础知识、基本运算和基本思想方法．每小题5分，共70分． 1． 在平面直角坐标系xOy 中，双曲线221y x -=的离心率为 ▲ . 2． 若复数z 满足()12i 34i z +=-+（i 是虚数单位），则z = ▲ .答案：1 + 2i3． 在右图的算法中，最后输出的a ，b 的值依次是 ▲ . 答案：2，14． 一组数据9.8， 9.9， 10，a ， 10.2的平均数为10，则该组数据的方差为 ▲ .答案：0.025． 设全集U =Z ，集合{}220A x x x x =--∈Z ≥，，则U A =ð ▲ （用列举法表示）.答案：{0，1}6． 在平面直角坐标系xOy 中，已知向量a = (1，2)，12-a b =(3，1)，则⋅=a b ▲ .答案：07． 将甲、乙两个球随机放入编号为1，2，3的3个盒子中，每个盒子的放球数量不限，则在1，2号盒子中各有1个球的概率为▲ . 答案：298. 设P 是函数1)y x +图象上异于原点的动点，且该图象在点P 处的切线的倾斜角为θ，则θ的取值范围是 ▲ . 答案：)ππ32⎡⎢⎣，9． 如图，矩形ABCD 的三个顶点A 、B 、C 分别在函数y x =，12y x =，xy =的图象上，且矩形的边分别平行于两坐标轴. 若点A 的纵坐标为2，则 点D 的坐标为 ▲ .(第13题)答案：()1124，10．观察下列等式： 311=，33129+=，33312336++=，33331234100+++=， ……猜想：3333123n +++⋅⋅⋅+= ▲ （n ∈*N ）. 答案：2(1)2n n +⎡⎤⎢⎥⎣⎦11．在棱长为4的正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别为棱1AA 、11D C 上的动点，点G 为正方形11B BCC 的中心. 则空间四边形AEFG 在该正方体各个面上的正投影所构成的图形中，面积的最大值为 ▲ .答案：1212．若12sin a x x a x ≤≤对任意的π02x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，都成立，则21a a -的最小值为 ▲ .答案：21-13．如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 1，F 2分别为椭圆22221y x a b +=(0a b >>)的左、右焦点，B ，C 分别为椭圆 的上、下顶点，直线BF 2与椭圆的另一交点为D . 若127cos 25F BF ∠=，则直线CD 的斜率为 ▲ .答案：122514．各项均为正偶数的数列a 1，a 2，a 3，a 4中，前三项依次成公差为d （d > 0）的等差数列，后三项依次成公比为q 的等比数列. 若4188a a -=，则q 的所有可能的值构成的集合为 ▲ .答案： {}58 37，二、解答题15．本题主要考查正、余弦定理、两角和与差的正弦公式、三角函数的基本关系式等基础知识，考查运算求解能力．满分14分．在斜三角形ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c .（1）若2sin cos sin A C B =，求a 的值；（2）若sin(2)3sin A B B +=，求tan tan A C的值.A （第16题）B C D D 1 C 1B 1A 1M 解：（1）由正弦定理，得sin sin A a B b=．从而2sin cos sin A C B =可化为2cos a C b =．……………………………3分由余弦定理，得22222a b c a b ab+-⨯=．整理得a c =，即1a c =. …………………………………………………………7分（2）在斜三角形ABC 中，A B C ++=π，所以sin(2)3sin A B B +=可化为()()sin 3sin A C A C π+-=π-+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦， 即()()sin 3sin A C A C --=+．…………………………………………10分 故sin cos cos sin 3(sin cos cos sin )A C A C A C A C -+=+．整理，得4sin cos 2cos sin A C A C =-， …………………………………12分 因为△ABC 是斜三角形，所以sin A cos A cos C 0≠，所以tan 1tan 2A C =-．…………………………………………………………14分16．本题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系，考查空间想象能力和推理论证能力．满分14分．如图，在六面体1111ABCD A B C D -中，11//AA CC ，11A B A D =，AB AD =.求证：（1）1AA BD ⊥； （2）11//BB DD .证明：（1）取线段BD 的中点M ，连结AM 、1A M ，因为11A D A B =，AD AB =，所以BD AM ⊥，1BD A M ⊥．…………………3分又1AM A M M =，1AM A M ⊂、平面1A AM ，所以BD ⊥平面1A AM ． 而1AA ⊂平面1A AM ，所以1AA BD ⊥.………………………………7分 （2）因为11//AA CC ，1AA ⊄平面11D DCC ，1CC ⊂平面11D DCC ， 所以1//AA 平面11D DCC ．………………………9分 又1AA ⊂平面11A ADD ，平面11A ADD 平面111D DCC DD =………11分所以11//AA DD ．同理得11//AA BB ，所以11//BB DD ．……………………………………14分17．本题主要考查函数的概念、最值等基础知识，考查数学建模、数学阅读、运算求解及解决实际问题的能力．满分14分．将52名志愿者分成A ，B 两组参加义务植树活动，A 组种植150捆白杨树苗， B 组种植200捆沙棘树苗．假定A ，B 两组同时开始种植．（第18题）（1）根据历年统计，每名志愿者种植一捆白杨树苗用时25小时，种植一捆沙棘树苗用时12小时.应如何分配A ，B 两组的人数，使植树活动持续时间最短？ （2）在按（1）分配的人数种植1小时后发现，每名志愿者种植一捆白杨树苗用时仍为25小时，而每名志愿者种植一捆沙棘树苗实际用时23小时，于是从A 组抽调6名志愿者加入B组继续种植，求植树活动所持续的时间. 解：（1）设A 组人数为x ，且052x <<，x ∈*N ，则A 组活动所需时间2150605()f x x x ⨯==；…………………2分 B 组活动所需时间12001002()g x ⨯==．…………………4分 令()()f x g x =，即60100=，解得392x =．所以两组同时开始的植树活动所需时间**6019()10020.52x x F x x x x ⎧∈⎪=⎨⎪∈-⎩N N ≤， ，，≥， ……………………………………6分 而60(19)19F =，25(20)8F =，故(19)(20)F F >． 所以当A 、B 两组人数分别为20 32，时，使植树活动持续时间最短．……8分 （2）A 组所需时间为1+21502016532067⨯-⨯=-（小时），……………10分 B 组所需时间为220032123133263⨯-⨯+=+（小时）， ……………12分 所以植树活动所持续的时间为637小时． …………………………14分18．知识，考查运算求解、分析探究及推理论证的能力．满分16如图，在平面直角坐标系xOy 中， 已知圆1C ：22(1)1x y ++=，圆2C ：22(3)(4)x y -+-（1）若过点1(1 0)C -，的直线l 被圆2C 截得的弦长为 65，求直线l 的方程；（2）设动圆C 同时平分圆1C 的周长、圆2C 的周长． ①证明：动圆圆心C 在一条定直线上运动；②动圆C 是否经过定点？若经过，求出定点的 坐标；若不经过，请说明理由．解：（1）设直线l 的方程为(1)y k x =+，即0kx y k -+=．因为直线l 被圆2C 截得的弦长为65，而圆2C 的半径为1，所以圆心2(3 4)C ，到l ：0kx y k -+=45=．…………3分化简，得21225120k k -+=，解得43k =或34k =．所以直线l 的方程为4340x y -+=或3430x y -+=．……………………6分 （2）①证明：设圆心( )C x y ，，由题意，得12CC CC =，化简得30x y +-=，即动圆圆心C 在定直线30x y +-=上运动．…………………10分②圆C 过定点，设(3)C m m -，， 则动圆C于是动圆C 的方程为2222()(3)1(1)(3)x m y m m m -+-+=+++-． 整理，得22622(1)0x y y m x y +----+=………………………14分 由2210 620x y x y y -+=⎧⎨+--=⎩，，得1 2x y ⎧=+⎪⎨⎪=⎩或1 2x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩所以定点的坐标为(1，(1++…………16分19．本题主要考查函数的概念、性质及导数等基础知识，考查灵活运算数形结合、分类讨论的思想方法进行探究、分析与解决问题的能力．满分16分．已知函数()sin f x x x =+．（1）设P ，Q 是函数()f x 图象上相异的两点，证明：直线PQ 的斜率大于0；（2）求实数a 的取值范围，使不等式()cos f x ax x ≥在π0⎡⎤⎣⎦，上恒成立．解：（1）由题意，得()1cos 0f x x '=+≥．所以函数()sin f x x x =+在R 上单调递增．设11( )P x y ，，22( )Q x y ，，则有12120y y x x ->-，即0PQ k >． ……………6分 （2）当0a ≤时，()sin 0cos f x x x ax x =+≥≥恒成立．………………8分 当0a >时，令()()cos sin cos g x f x ax x x x ax x =-=+-， ()1cos (cos sin )g'x x a x x x =+-- 1(1)cos sin a x ax x =+-+．①当10a -≥，即01a <≤时，()()11cos sin 0g'x a x ax x =+-+>， 所以()g x 在π02⎡⎤⎣⎦，上为单调增函数．所以()(0)0sin 00cos00g x g a =+-⨯⨯=≥，符合题意． …………10分 ②当10a -<，即1a >时，令()()1(1)cos sin h x g'x a x ax x ==+-+， 于是()(21)sin cos h'x a x ax x =-+．因为1a >，所以210a ->，从而()0h'x ≥． 所以()h x 在π0⎡⎤⎣⎦，上为单调增函数．所以()π(0)()2h h x h ≤≤，即π2()12a h x a -+≤≤，亦即π2()12a g'x a -+≤≤．……………………………………12分（i ）当20a -≥，即12a <≤时，()0g'x ≥，所以()g x 在π02⎡⎤⎣⎦，上为单调增函数．于是()(0)0g x g =≥，符合题意．…14分（ii ）当20a -<，即2a >时，存在()0π02x ∈，，使得当0(0 )x x ∈，时，有()0g'x <，此时()g x 在0(0)x ，上为单调减函数， 从而()(0)0g x g <=，不能使()0g x >恒成立．综上所述，实数a 的取值范围为2a ≤．……………………16分20．本题主要考查数列的通项公式、等比数列的基本性质等基础知识，考查考生分析探究及推理论证的能力．满分16分．设数列{n a }的各项均为正数.若对任意的n ∈*N ，存在k ∈*N ，使得22n k n n k a a a ++=⋅成立，则称数列{n a }为“J k 型”数列．（1）若数列{n a }是“J 2型”数列，且28a =，81a =，求2n a ；（2）若数列{n a }既是“J 3型”数列，又是“J 4型”数列，证明：数列{n a }是等比数列. 解：（1）由题意，得2a ，4a ，6a ，8a ，…成等比数列，且公比()18212aq a ==，所以()412212n n n a a q--==． ……………………………4分（2）证明：由{n a }是“4J 型”数列，得1a ，5a ，9a ，13a ，17a ，21a ，…成等比数列，设公比为t . ……………6分由{n a }是“3J 型”数列，得1a ，4a ，7a ，10a ，13a ，…成等比数列，设公比为1α； 2a ，5a ，8a ，11a ，14a ，…成等比数列，设公比为2α； 3a ，6a ，9a ，12a ，15a ，…成等比数列，设公比为3α； 则431311a t a α==，431725a t a α==，432139at a α==． 所以123ααα==，不妨记123αααα===，且4t α=．……………12分 于是(32)113211k k k a a a α----==，2(31)122315111k k k k k a a a t a a ααα------====，13132339111k k k k k a a a t a a ααα----====，所以11n n a a -=，故{n a }为等比数列．………………………16分数学Ⅱ附加题参考答案及评分建议21．【选做题】A ．选修4—1：几何证明选讲本小题主要考查圆的几何性质等基础知识，考查推理论证能力．满分10分．如图，AB 是半圆O 的直径，延长AB 到C ，使BC =CD 切半圆O 于点D ， DE ⊥AB ，垂足为E ．若AE ∶EB =3∶1，求DE 的长． 解：连接AD 、DO 、DB ．由AE ∶EB =3∶1，得DO ∶OE =2∶1．又DE ⊥AB ，所以60DOE ∠=．故△ODB 为正三角形．……………………………5分 于是30DAC BDC ∠==∠．而60ABD ∠=，故30C BDC ∠==∠． 所以DB BC ==在△OBD中，32DE ==．…………………………………10分B ．选修4—2：矩阵与变换本小题主要考查二阶矩阵的变换等基础知识，考查运算求解能力．满分10分．在平面直角坐标系xOy 中，直线y kx =在矩阵0110⎡⎤⎢⎥⎣⎦对应的变换下得到的直线过点(41)P , ，求实数k 的值．解：设变换T ：x x y y '⎡⎤⎡⎤→⎢⎥⎢⎥'⎣⎦⎣⎦，则0110x x y y y x '⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即 . x y y x '=⎧⎨'=⎩，……………5分 代入直线y kx =，得x ky ''=．将点(4 1)P ，代入上式，得k =4．…………………………10分 C ．选修4—4：坐标系与参数方程本小题主要考查直线与圆的极坐标方程等基础知识，考查运算求解能力．满分10分． 在极坐标系中，已知圆sin a ρθ=（0a >）与直线()cos 1ρθπ+=4相切，求实数a 的值．解：将圆sin a ρθ=化成普通方程为22x y ay +=，整理，得()22224aa x y +-=． 将直线()cos 1ρθπ+=4化成普通方程为0x y -=． ……………………6分2a =．解得4a =+…………………………… 10分D ．选修4—5：不等式选讲本小题主要考查均值不等式等基础知识，考查推理论证能力．满分10分． 已知正数a ，b ，c 满足1abc =，求证：(2)(2)(2)27a b c +++≥．证明：(2)(2)(2)a b c +++(11)(11)(11)a b c =++++++ …………………………………………4分333≥27= 27=（当且仅当1a b c ===时等号成立）． …………………………10分 22．【必做题】本题主要考查数学归纳法等基础知识，考查运算求解、分析探究及推理论证的能力．满分10分．已知数列{n a }满足：112a =，*12 ()1nn n a a n a +=∈+N ．（1）求2a ，3a 的值；（第23题） （2）证明：不等式10n n a a +<<对于任意*n ∈N 都成立．（1）解：由题意，得2324 35a a ==，． …………………………………2分（2）证明：①当1n =时，由（1），知120a a <<，不等式成立．………………4分 ②设当*()n k k =∈N 时，10k k a a +<<成立，………………………6分 则当1n k =+时，由归纳假设，知10k a +>．而()()1111211112121222()011(1)(1)(1)(1)k k k k k k k k k k k k k k k k a a a a a a a a a a a a a a a a ++++++++++-+--=-==>++++++，所以120k k a a ++<<，即当1n k =+时，不等式成立．由①②，得不等式10n n a a +<<对于任意*n ∈N 成立．………………10分23．【必做题】本题主要考查抛物线的标准方程、简单的几何性质等基础知识，考查运算求解、推理论证的能力．满分10分．如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线的顶点在原点，焦点为F （1，0）．过抛物线在x 轴上方的不同两点A 、B 作抛物线的切线AC 、BD ，与x 轴分别交于C 、D 两点，且AC 与BD交于点M ，直线AD 与直线BC 交于点N ．（1）求抛物线的标准方程；（2）求证：MN ⊥x 轴； （3）若直线MN 与x 轴的交点恰为F （1，0）， 求证：直线AB 过定点．解：（1）设抛物线的标准方程为22(0)y px p =>， 由题意，得1p=，即2p =． 所以抛物线的标准方程为24y x =． （2）设11( )A x y ，，22( )B x y ，，且10y >，20y >．由24yx =（0y >），得y =y'=．所以切线AC 的方程为11)y y x x -=-，即1112()y y x x y -=-．整理，得112()yy x x =+， ① 且C 点坐标为1( 0)x -，．同理得切线BD 的方程为222()yy x x =+，② 且D 点坐标为2( 0)x -，． 由①②消去y ，得122112M x y x y x y y -=-．………………………………5分又直线AD 的方程为1212()y y x x x x =++，③ 直线BC 的方程为2112()y y x x =+． ④ 由③④消去y ，得122112N x y x y x y y -=-．所以M N x x =，即MN ⊥x 轴． …………………………………7分（3）由题意，设0(1 )M y ，，代入（1）中的①②，得0112(1)y y x =+，0222(1)y y x =+．所以1122( ) ( )A x y B x y ，，，都满足方程02(1)y y x =+． 所以直线AB 的方程为02(1)y y x =+．故直线AB 过定点(1 0)-，．………………………………………10分。
江苏省南京市2013届高三数学上学期期中联考试题苏教版
2012-2013学年度第一学期期中考试高三数学试卷注意事项：1．本试卷由填空题和解答题两部分组成．满分160分，考试时间为120分钟． 2．答题前请您务必将自己的学校，姓名，考试号用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔填写在答题卡上规定的地方． 3．答题时必须用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔写在答题卡上的规定位置，在其他位置做大一律无效．第I 卷（填空题）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．1. 已知i 是虚数单位，复数z =12i34i+-，则 | z | = ．2. 若函数()f x =a 的值为 ________．3. 已知集合{}m P ,1-=，⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-=431x x Q ，若∅≠Q P ，则整数=m ．4. 已知向量a 的模为2，向量e 为单位向量，)(e a e -⊥，则向量a 与e 的夹角大小为 ．5. 若命题“R x ∈∀，02≥+-a ax x ”为真命题，则实数a 的取值范围是 ． 6. 已知三角形的一边长为5，所对角为60，则另两边长之和的取值范围是________．7. 已知数列{a n }为等差数列，若561a a <-，则数列{|a n |}的最小项是第_____项． 8. 已知θ是第二象限角，且4sin 5θ=，则tan()24θπ-的值为________． 9. 已知函数()y f x =在点(2,(2))f 处的切线为由y =2x -1，则函数2()()g x x f x =+在点(2,(2))g 处的切线方程为 ．10. 等差数列{}n a 中，已知158≥a ，139≤a ，则12a 的取值范围是 .11. 在锐角△ABC 中，tan A = t + 1，tan B = t - 1，则t 的取值范围是 ． 12. 在平面直角坐标系xOy 中，点P 是第一象限内曲线y =x 3 1上的一个动点，以点P 为切点作切线与两个坐标轴交于A ，B 两点，则△AOB 的面积的最小值为 ．13. 已知等差数列{},{}n n a b 的前n 项和分别为n S 和n T ，若7453n n S n T n +=+，且2n nab 是整数，则n 的值为 ．14. 若关于x 的方程3x e x kx -=有四个实数根，则实数k 的取值范围是 ．第II 卷（解答题）二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定的区域内作答，解答时应写出文字说明、求证过程或演算步骤． 15. （本小题满分14分）已知π2sin()410A +=，ππ(,)42A ∈． （Ⅰ）求cos A 的值；（Ⅱ）求函数5()cos 2sin sin 2f x x A x =+的值域．16. （本小题满分14分）设(,1)a x =，(2,1)b =-，(,1)c x m m =--（,x m ∈∈R R ）． （Ⅰ）若a 与b 的夹角为钝角，求x 的取值范围； （Ⅱ）解关于x 的不等式a c a c +<-．17. （本小题满分15分）随着机构改革开作的深入进行，各单位要减员增效，有一家公司现有职员2a 人（140＜2a ＜420，且a 为偶数)，每人每年可创利b 万元. 据评估，在经营条件不变的前提下，每裁员．．．1人，则留岗职员每人每年．．．．多创利0.01b 万元，但公司需付下岗职员每人每年0.4b 万元的生活费，并且该公司正常运转所需人数不得小于现有职员的43，为获得最大的经济效益，该公司应裁员多少人？18. （本小题满分15分） 已知函数()ln f x x x =．（I ）求函数()f x 的单调递减区间；（II ）若2()6f x x ax ≥-+-在(0,)+∞上恒成立，求实数a 的取值范围； （III ）过点2(,0)A e --作函数()y f x =图像的切线，求切线方程．19. （本小题满分16分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差,50,053=+≠S S d 且1341,,a a a 成等比数列．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设⎭⎬⎫⎩⎨⎧n n a b 是首项为1，公比为3的等比数列，求数列{}n b 的前n 项和n T .20. （本小题满分16分）已知函数2()(1)xf x e x ax =++．（Ⅰ）若曲线()y f x =在点(2(2))f ，处的切线与x 轴平行，求a 的值； （Ⅱ）求函数()f x 的极值．2012-2013学年度第一学期期中考试高三数学附加卷21. （本小题满分10分）已知a 为整数，a 2是偶数，求证：a 也是偶数．22. （本小题满分10分）已知曲线()21ln 2222x y x x =++++在点A 处的切线与曲线()sin 2,22y x ππϕϕ⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭在点B 处的切线相同,求ϕ的值.23. （本小题满分10分）数列{}n a 的前n 项和为n S ，存在常数A ，B ，C ，使得2n n a S An Bn C +=++对任意正整数n 都成立．若数列{}n a 为等差数列，求证：3A －B ＋C ＝０．24. （本小题满分10分）已知函数x x x x x f 2)1ln()1(2)(2--++=，[)+∞∈,0x ，求)(x f 的最大值.2012-2013学年度第一学期期中考试 高三数学附加答题纸(理科类)21、 22、学校： 班级 姓名 考试号 座位号23．24、参考答案1. 5 ；2.2 ；3. 0 ；4.3π； 5.[0,4]； 6.(]10,5 ； 7.6 ； 8.31； 9. 6x -y -5=0 ； 10.(]7,∞- ； 11.()+∞,2 ； 12.4233 ；13. 15 ； 14．()0,3e - ；15. 解：（Ⅰ）因为ππ42A <<，且πsin()410A +=，所以ππ3π244A <+<，πcos()410A +=-．因为ππππππcos cos[()]cos()cos sin()sin 444444A A A A =+-=+++31021025=-⋅+⋅=．所以3cos 5A =． …………6 （Ⅱ）由（Ⅰ）可得4sin 5A =． 所以5()cos 2sin sin 2f x x A x =+212sin 2sin x x =-+2132(sin )22x =--+，x ∈R ． 因为sin [1,1]x ∈-，所以，当1sin 2x =时，()f x 取最大值32；当sin 1x =-时，()f x 取最小值3-．所以函数()f x 的值域为3[3,]2-． ……………………14分16. （1）由题知：210a b x ⋅=-<，解得12x <；又当2x =-时，a 与b 的夹角为π，所以当a 与b 的夹角为钝角时， x的取值范围为1(,2)(2,)2-∞-⋃-．…………………6分（2）由a c a c +<-知，0a c ⋅<，即(1)[(1)]0x x m ---<；……………………8分当2m <时，解集为{11}x m x -<<；………………………………10分 当2m =时，解集为空集；………………………………12分当2m >时，解集为{11}x x m <<-．………………………………14分17. 解答：设裁员x 人，可获得的经济效益为y 万元，则ab x a x bbx bx b x a y 2])70(2[1004.0)01.0)(2(2+---=-+-= ……7分 依题意 .21070,4202140.202432<<<<≤<∴⋅≥-a a ax a x a 又 （1）当y a x a aa ,70,14070,2700-=≤<≤-<时即取到最大值； （2）当y ax a a a ,2,210140,270=<<>-时即取到最大值；……………13分答：当70<a<140，公司应裁员为a 70,经济效益取到最大值当140a 210,公司应裁员为a,2经济效益取到最大值……………14分18. 解答：（Ⅰ）'()ln 1f x x =+'()0f x ∴<得ln 1x <-2分10x e ∴<<∴函数()f x 的单调递减区间是1(0,)e；4分（Ⅱ）2()6f x x ax ≥-+-即6ln a x x x≤++设6()ln g x x x x=++则2226(3)(2)'()x x x x g x x x +-+-==7分当(0,2)x ∈时'()0g x <，函数()g x 单调递减； 当(2,)x ∈+∞时'()0g x >，函数()g x 单调递增；∴()g x 最小值(2)5ln 2g =+∴实数a 的取值范围是(,5ln 2]-∞+；10分（Ⅲ）设切点00(,)T x y 则0'()AT k f x =∴00002ln ln 11x x x x e=++即200ln 10e x x ++= 设2()ln 1h x e x x =++，当0x >时'()0h x >∴()h x 是单调递增函数13分∴()0h x =最多只有一个根，又2222111()ln 10h e e e e =⨯++=∴021x e = 由0'()1f x =-得切线方程是210x y e++=. 15分19. 解：（Ⅰ）依题意得⎪⎩⎪⎨⎧+=+=⨯++⨯+)12()3(5025452233112111d a a d a d a d a …………………………………………3分解得⎩⎨⎧==231d a ， …………………………………………5分1212)1(23)1(1+=+=-+=-+=∴n a n n d n a a n n 即，．……………………………7分 （Ⅱ）13-=n nna b ，113)12(3--⋅+=⋅=n n n n n a b …………………………………………8分 123)12(37353-⋅+++⋅+⋅+=n n n T n n n n n T 3)12(3)12(3735333132⋅++⋅-++⋅+⋅+⋅=- ……………………10分n n n n T 3)12(3232323212+-⋅++⋅+⋅+=--nnn n n 323)12(31)31(3231⋅-=+---⋅+=- ∴nn n T 3⋅= . ……………………………16分20. 解析：（1）22()(12)[(2)1]xxf x e x ax x a e x a x a '=++++=++++．因为曲线()y f x =在点(2,(2))f 处的切线与x 轴平行，所以 (2)0f '=，即2(2)[42(2)1]0f e a a '=++++= 所以 3a =-． ……………4分（2）()(1)(1)xf x e x a x '=+++,令()0f x '=,则1--=a x 或1-=x ……5分①当11a +=，即0a =时，2()(1)0x f x e x '=+≥，函数()y f x =在()-∞+∞，上为增函数，函数无极值点； …………7分②当(1)1a -+<-，即0a >时．所以 当1x a =--时，函数有极大值是1(2)a e a --+，当1x =-时，函数有极小值是2ae-； ………11分 ③当(1)1a -+>-，即0a <时．所以 当1x =-时，函数有极大值是e，当1x a =--时，函数有极小值是1(2)a ea --+． ………15分综上所述，当0a =时函数无极值；当0a >时，当1x a =--时，函数有极大值是1(2)a e a --+，当1x =-时，函数有极小值是2a e -；当0a <时，当1x =-时，函数有极大值是2ae-，当1x a =--时，函数有极小值是1(2)a e a --+． ………16分21.假设a 是奇数，设a=2k+1(k ∈Z),则a 2=4k 2+4k+1,………………6分∵k ∈Z ，∴4k 2为偶数，4k 为偶数，∴4k 2+4k+1为奇数， ……8分从而a 2为奇数，这与a 2为偶数矛盾，∴假设不成立． ……………10分22.k 切=y ’=2221≥+++x x ,当且仅当x+2=1x+2,即x+2=1,x=-1时，取等号…2分 又k 切=y ’=2)2cos(2≤+ϕx ，∴k 切=2，此时切点A(-1,-1),切线l ：y=2x+1…5分由)2cos(2ϕ+x =2得)2cos(ϕ+x =1，∴)2sin(ϕ+x =0，从而B(21-,0) …7分∴)1sin(ϕ+-=0, ϕ+-1=k π,Z k ∈,∴ϕ=k π+1,Z k ∈ …………………9分 又22πϕπ<<-，∴ϕ= 123. 因为{}n a 为等差数列，设公差为d ，由2n n a S An Bn C +=++，得2111(1)(1)2a n d na n n d An Bn C +-++-=++，…………2分即2111()()()022dd A n a B n a d C -++-+--=对任意正整数n 都成立．…4分所以1110,210,20,d A a d B a d C ⎧-=⎪⎪⎪+-=⎨⎪--=⎪⎪⎩所以30A B C -+=． …………10分24. 证明：由2()2(1)ln(1)2f x x x x x =++--得()2ln(1)2f x x x '=+-，………2分 令()2ln(1)2g x x x =+-，则22()211x g x x x -'=-=++， 当10x -<<时，()0g x '>，()g x 在(1 0)-，上为增函数； 当x ＞0时，()0g x '<，()g x 在(0)+∞，上为减函数， 所以()g x 在x=0处取得极大值，且(0)0g =， ………6分 故()0f x '≤（当且仅当0x =时取等号），所以函数()f x 为[)0+∞，上的减函数， ………8分则()(0)0f x f =≤，即()f x 的最大值为0． ………10分。
江苏省金陵中学2014届高三第一次仿真测试(含答案)
-4南京清江花苑严老师
数学Ⅱ（附加题）
21． 【选做题】本题包括 A、B、C、D 四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答 ． ．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A．选修 4—1：几何证明选讲 （本小题满分 10 分） 如图， AB 是半圆 O 的直径， 延长 AB 到 C， 使 BC 3 ， CD 切半圆 O 于点 D， DE⊥AB， 垂足为 E．若 AE∶EB 3∶1，求 DE 的长． D
（第 23 题）
-7南京清江花苑严老师
参考答案及评分
一、填空题：本题考查基础知识、基本运算和基本思想方法．每小题 5 分，共 70 分． 1． 在平面直角坐标系 xOy 中，双曲线 y 2 x2 1 的离心率为 答案： 2 2． 若复数 z 满足 1 2i z 3 4i （ i 是虚数单位） ，则 z = ▲ . a1 b2 c3 ca ab bc Print a，b
y log
2 2
x，yx ，y
1 2
的图象上，且矩形
2 2
x
1 O D 1
（第 9 题）
的边分别平行于两坐标轴. 若点 A 的纵坐标为 2，则 点 D 的坐标为 ▲ . 答案： 1 ，1 2 4 10．观察下列等式：
C
x
13 1 ，
13 23 9 ， 13 23 33 3， 6 3 3 3 3 1 2 3 4 1， 00 …… 猜想： 13 23 33 n3
12．若 a1 x≤sin x≤a2 x 对任意的 x 0，π 都成立，则 a2 a1 的最小值为 2 答案： 1 2 π 13．如图，在平面直角坐标系 xOy 中，F1，F2 分别为椭圆
江苏省南京金陵中学届高三第一学期期中考试数学试卷+Word版含解析
2019届江苏省南京金陵中学 高三第一学期期中考试数学试题数学注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、填空题1．设集合A ＝{x |log 2x <2 }，B ＝{﹣1，0，1，2，4}，则A ∩B ＝_____________． 2．已知复数z =(1+i )(1+3i )，其中i 是虚数单位，则|z |的值是_____________． 3．已知一组数据2，4，5，6，8，那么这组数据的方差是_____________．4．从2男3女共5名同学中任选2名（每名同学被选中的机会均等）作为代表，则这2名代表都是女同学的概率为_____________．5．如图是一个算法的流程图，则输出a 的值是_____________．6．在平面直角坐标系xOy 中，若抛物线y 2=2px 的焦点与椭圆x 24+y 23=1的右焦点重合，则实数p 的值为_____________．7．已知sin(x +π4)=35，则sin2x ＝_____________．8．设a ＞0，若a n ＝63377n a n n a n ≤⎧⎨⎩－（－）－，，，＞，且数列{a n }是递增数列，则实数a 的范围是__________．9．在平面直角坐标系xOy 中，若曲线y =ax 2+bx (a ，b 为常数)过点P(2，﹣5)，且该曲线在点P 处的切线与直线2x −7y +3=0垂直，则2a ＋3b 的值是_______．10．若函数f(x)=−12x 2+4x −3lnx 在[t,t +1]上不单调，则t 的取值范围是____． 11．如下图，在ABC ∆中，1,2,,2AB AC BC AD DC AE EB ====u u u v u u u v u u u vu u u v ．若12BD AC ⋅=-u u u v u u u v ，则CE AB ⋅=u u u v u u u v__________．12．已知函数f(x)={2x +1，x ≤0|lnx |，x >0，则关于x 的方程f[f(x)]=3的解的个数为_____________．13．已知正数a ，b ，c 满足b 2+2(a +c)b −ac =0，则ba+c 的最大值为_____________． 14．若存在正数x ，y ，使得(y −2ex)(lny −lnx)s +x =0，其中e 为自然对数的底数，则实数s 的取值范围是_____________．二、解答题15．如图，在四棱锥P —ABCD 中，四边形ABCD 是矩形，平面PCD ⊥平面ABCD ，M 为PC 中点．求证：（1）PA ∥平面MDB ； （2）PD ⊥BC ．16．已知α∈(0，π2)，β∈(π2，π)，cosβ=−13，sin(α+β)=4−√26．此卷只装订不密封班级姓名准考证号考场号座位号（1）求tan2β的值； （2）求α的值．17．如图，某污水处理厂要在一个矩形污水处理池(ABCD)的池底水平铺设污水净化管道(管道构成Rt △FHE ，H 是直角项点)来处理污水．管道越长，污水净化效果越好．设计要求管道的接口H 是AB 的中点，E ，F 分别落在线段BC ，AD 上．已知AB ＝20米，AD ＝10√3米，记∠BHE ＝θ．（1）试将污水净化管道的长度L 表示为θ的函数，并写出定义域； （2）当θ取何值时，污水净化效果最好？并求出此时管道的长度L ．18．在平面直角坐标系xOy 中，圆O ：x 2+y 2=4与坐标轴分别交于A 1，A 2，B 1，B 2(如图)． （1）点Q 是圆O 上除A 1，A 2外的任意点(如图1)，直线A 1Q ，A 2Q 与直线y +3=0交于不同的两点M ，N ，求线段MN 长的最小值；（2）点P 是圆O 上除A 1，A 2，B 1，B 2外的任意点(如图2)，直线B 2P 交x 轴于点F ，直线A 1B 2交A 2P 于点E ．设A 2P 的斜率为k ，EF 的斜率为m ，求证：2m ﹣k 为定值．（图1）（图2）19．设函数f(x)=e xx 3−3k x−klnx ，其中x ＞0，k 为常数，e 为自然对数的底数．（1）当k ≤0时，求f(x)的单调区间；（2）若函数f(x)在区间(1，3)上存在两个极值点，求实数k 的取值范围；（3）证明：对任意给定的实数k ，存在x 0(x 0>0)，使得f(x)在区间(x 0，+∞)上单调递增． 20．若数列{a n }同时满足：①对于任意的正整数n ，a n+1≥a n 恒成立；②若对于给定的正整数k ，a n−k +a n+k =2a n 对于任意的正整数n (n ＞k )恒成立，则称数列{a n }是“R(k )数列”．（1）已知a n ={2n −1，n 为奇数2n ，n 为偶数，判断数列{a n }是否为“R(2)数列”，并说明理由；（2）已知数列{b n }是“R(3)数列”，且存在整数p (p ＞1)，使得b 3p−3，b 3p−1，b 3p+1，b 3p+3成等差数列，证明：{b n }是等差数列．21．二阶矩阵M 对应的变换将点(1，﹣1)与(﹣2，1)分别变换成点(﹣1，﹣1)与(0，﹣2)． （1）求矩阵M 的逆矩阵M −1；（2）设直线l 在变换M 作用下得到了直线m ：2x −y =4，求l 的方程．22．在极坐标系中，设圆ρ=3上的点到直线ρ(cosθ+√3sinθ)=2的距离为d ，求d 的最大值． 23．如图，已知三棱锥O —ABC 的侧棱OA ，OB ，OC 两两垂直，且OA ＝1，OB ＝OC ＝2，E 是OC 的中点．（1）求异面直线BE 与AC 所成角的余弦值；（2）求二面角A —BE —C 的余弦值．24．已知f n (x)=(1+√x)n ，n ∈N ∗．（1）若g(x)=f 4(x)+2f 5(x)+3f 6(x)，求g(x)中含x 2项的系数；（2）若p n 是f n (x)展开式中所有无理项的系数和，数列{a n }是由各项都大于1的数组成的数列，试用数学归纳法证明：p n (a 1a 2⋯a n +1)≥(1+a 1)(1+a 2)⋯(1+a n )．2019届江苏省南京金陵中学高三第一学期期中考试数学试题数学答案参考答案1．{1，2}【解析】【分析】先化简集合A，然后求交集即可.【详解】集合A＝{x|log2x<2}={x|0＜x<4}，又B＝{﹣1，0，1，2，4}∴A∩B＝{1，2}【点睛】本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查对数函数的单调性，是基础题．2．2√5【解析】【分析】利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．【详解】复数z=（1+i）（1+3i）=1﹣3+4i=﹣2+4i，∴|z|=√(−2)2+42=2√5．故答案为：2√5．【点睛】本题考查了复数的运算法则、模的计算公式，考查了计算能力，属于基础题．3．4【解析】【分析】先求出这组数据的平均数，再求这组数据的方差．【详解】一组数据2，4，5，6，8，这组数据的平均数x=15(2+4+5+6+8)=5，这组数据的方差S2=15[（2﹣5）2+（4﹣5）2+（5﹣5）2+（6﹣5）2+（8﹣5）2]=4．故答案为：4．【点睛】本题考查方差的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意方差公式的合理运用．4．310【解析】【分析】计算从2男3女共5名同学中任选2名学生和选出的2名都是女同学的选法种数，利用古典概型概率公式计算可得答案．【详解】从2男3女共5名同学中任选2名学生有C52=10种选法；其中选出的2名都是女同学的有C32=3种选法，∴2名都是女同学的概率为310．故答案为：310．【点睛】本题考查了古典概型的概率计算，解题的关键是求得符合条件的基本事件个数．5．10【解析】【分析】根据已知的程序框图可得，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量a的值，模拟程序的运行过程，可得答案．【详解】当a=1，b=12时，不满足a＞b，故a=4，b=10，当a=4，b=10时，不满足a＞b，故a=7，b=8，当a=7，b=8时，不满足a＞b，故a=10，b=6，当a=10，b=6时，满足a＞b，故输出的a值为10，故答案为：10【点睛】本题考查的知识点是程序框图，当循环次数不多，或有规律可循时，可采用模拟程序法进行解答．6．2【解析】【分析】先根据椭圆方程求出椭圆的右焦点坐标，因为抛物线y2=2px的焦点与椭圆x24+y23=1的右焦点重合，所以抛物线的焦点坐标可知，再根据抛物线中焦点坐标为（p2，0），即可求出p值．【详解】∵x 24+y23=1中a2=4，b2=3，∴c2=1，c=1∴右焦点坐标为（1，0）∵抛物线y2=2px的焦点与椭圆x24+y23=1的右焦点重合，根据抛物线中焦点坐标为（p2，0），∴p2=1，则p=2．故答案为：2【点睛】本题主要考查了椭圆焦点与抛物线焦点的求法，属于圆锥曲线的基础题．7．﹣725【解析】【分析】利用sin2x=−cos（2x+π2）=2sin2（x+π4）−1即可得到结果.【详解】∵sin(x+π4)=35，∴sin2x=−cos（2x+π2）=2sin2（x+π4）−1=1825﹣1=−725，故答案为：﹣725【点睛】此题考查了二倍角的余弦函数公式，以及诱导公式的作用，熟练掌握公式是解本题的关键．8．2＜a＜3【解析】由{a n}是递增数列，得87301aaa a⎧⎪⎨⎪⎩－＞，＞，＞，解得1?392aa a⎧⎨⎩＜＜，＜－或＞，∴2＜a＜3 9．﹣8【解析】【分析】由曲线y=ax2+bx（a，b为常数）过点P（2，﹣5），且该曲线在点P处的切线与直线2x﹣7y+3=0垂直，可得y|x=2=﹣5，且y′|x=2=﹣72，解方程可得答案．【详解】∵直线2x﹣7y+3=0的斜率k=27，∴切线的斜率为﹣72，曲线y=ax2+bx（a，b为常数）过点P（2，﹣5），且该曲线在点P处的切线与直线2x﹣7y+3=0垂直，∴y′=2ax﹣bx2，∴{4a+b2=−54a−b4=−72，解得：a=﹣1，b=﹣2，故2a＋3b =﹣8，故答案为：﹣8【点睛】本题考查的知识点是利用导数研究曲线上某点切线方程，其中根据已知得到y|x=2=﹣5，且y′|x=2=﹣72，是解答的关键．10．0<t<1或2<t<3【解析】此题考查导数的应用；f′(x)=−x+4−3x=−x2−4x+3x=−(x−1)(x−3)x，所以当x∈(0,1),(3,+∞)时，原函数递增，当x∈(1,3)原函数递减；因为在[t,t+1]上不单调，所以在[t,t+1]上即有减又有增，所以{0<t<11<t+1<3或{1<t<33<t+1∴0<t<1或2<t<311点睛：本题综合考查向量的几何运算法则、数量积公式、余弦定理等许多重要基础知识和基本方法，同时也考查了等价转化与化归、函数方程等重要数学思想的综合运用。
江苏省南京市金陵中学河西分校高三上学期期中考试数学
一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．．）1．命题“R，”的否定是▲ ．2．若集合A=，B=满足A∪B=R，A∩B=，则实数m= ▲ ．3．若是纯虚数，则实数a的值是▲ ．4．已知，，则= ▲ ．5．若函数（k为常数）在定义域上为奇函数，则k= ▲ ．6．若直线和圆O：没有公共点，则过点的直线与椭圆的交点个数为▲ ．7．曲线C：在x=0处的切线方程为▲ ．8. 计算：▲9. 函数的值域为▲10．将函数的图像向左平移个单位后, 所得到的图像对应的函数为奇函数, 则的最小值为▲ .11．已知椭圆22221(0)x ya ba b+=>>的中心、右焦点、右顶点分别为O、F、A，右准线与x轴的交点为H，则的最大值为▲ .12．已知函数的定义在上的奇函数，当时，，则不等式的解集是▲.13．数列{a n}中,a1=1,a2=2,且，则S100= ▲ .14．设集合A={x|x2—[x]=2}和B={x||x|<2},其中符号[x]表示不大于x的最大整数,则= ▲二、解答题：(本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤)15.（本小题满分14分）已知：在中，.(1)求的值；（2）如果的面积为4，，求的长。
16. （本小题满分14分）如图所示，在直三棱柱中，平面为的中点．（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求证：平面；17.（本小题满分14分）工厂生产某种零件，每天需要固定成本100元，每生产1件，还需再投入资金2元，若每天生产的零件能全部售出，每件的销售收入（元）与当天生产的件数之间有以下关系：()23183,010********,10x x P x x xx ⎧-<≤⎪⎪=⎨⎪->⎪⎩ ，设当天利润为元. ⑴写出关于的函数关系式；⑵要使当天利润最大，当天应生产多少零件？（注：利润等于销售收入减去总成本）18．（本小题满分16分）已知：以点为圆心的圆与轴交于点，与轴交于点、，其中为原点。
江苏省南京市2013届高三数学上学期期中考试试题苏教版
江宁高级中学2013届高三上学期期中考试数学试题2012.11.22班级 学号 姓名一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1. 已知i 是虚数单位，复数2(1)1i z i+=-，则z 等于 i --1 ．2.“2ac b =”是“a b c 、、成等比数列”的__必要不充分 _条件.（填“充分不必要，必要不充分，充要，既不充分也不必要”之一） 。
3. 已知12321,21,21,,21n x x x x ++++的方差是3，则123,,,,n x x x x 的标准差为32． 4. 从集合}2,1,1{-=A 中随机选取一个数记为k ，从集合}2,1,2{-=B 中随机选取一个数记为b ，则直线b kx y +=不经过第三象限的概率为 92．5. 右图程序运行结果是 21 ．6. 等差数列{}n a 的公差0d ≠，且358a a a 、、依次成等比数列，则59S a =___2____. 7. 已知1:210l x my ++=与2:31l y x =-，若两直线平行，则m 的值为32-8.在ABC ∆中，内角A B C 、、所对的边分别是a b c 、、，若4,7c b ==，BC 边上的中线AD 的长为72，则a =__9_____. 9.已知数列{}n a 是等差数列，O 为坐标原点，平面内三点A B C 、、共线，且10061007OA a OB a OC =+，则数列{}n a 的前2012项的和2012S =__1006_____.10. 一块边长为10cm 的正方形铁片按如图所示的阴影部分裁下，然后用余下的四个全等的等腰三角形作侧面，以它们的公共顶点P 为顶点，加工成一个如图所示的正四棱锥容器，当x=6cm 时，该容器的容积为__48___3cm . 11. ABC ∆外接圆的半径为1，圆心为O ，且02=++AC AB OA ，||||AB OA =，则CA CB ⋅= 3 ．12. 设点12,F F 分别为椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左，右两焦点，直线l 为右准线．若在椭圆上a ←1b ←1 i ←4WHILE i ≤6 a ←a +b b ←a +b i ←i +1 END WHILE PRINT bABC C 1B 1A 1 FD E（第16题） OM存在点M ，使1MF ，2MF ，点M 到直线l 的距离d 成等比数列，则此椭圆离心率e 的取值范围是_____)1,1 _．13.设曲线()x e ax y 1-=在点()10,y x A 处的切线为1l ,曲线()x e x y --=1在点()20,y x B 处的切线为2l .若存在⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈23,00x ,使得21l l ⊥,则实数a 的取值范围为 312a ∴≤≤． 14. 若实数,,a b c 成等差数列，点(1,0)P -在动直线0ax by c ++=上的射影为M ，点(3,3)N ，则线段MN 长度的最大值是 5+ 二.解答题（本大题共6小题，共90分）15. （本小题满分14分）如图，直三棱柱111ABC A B C -中，D 、E 分别是棱BC 、AB 的中点，点F 在棱1CC 上，已知AB AC =，13AA =，2BC CF ==． （1）求证：1//C E 平面ADF ；（2）设点M 在棱1BB 上，当BM 为何值时，平面CAM ⊥平面ADF ？解：（1）连接CE 交AD 于O ，连接OF ． 因为CE ，AD 为△ABC 中线，所以O 为△ABC 的重心，123CF CO CC CE ==． 从而OF//C 1E ．OF ⊂面ADF ，1C E ⊄平面ADF ，所以1//C E 平面ADF ． （2）当BM=1时，平面CAM ⊥平面ADF ．在直三棱柱111ABC A B C -中，由于1B B ⊥平面ABC ，BB 1⊂平面B 1BCC 1，所以平面B 1BCC 1⊥平面ABC ．由于AB =AC ，D 是BC 中点，所以AD BC ⊥．又平面B 1BCC 1∩平面ABC =BC ， 所以AD ⊥平面B 1BCC 1．而CM ⊂平面B 1BCC 1，于是AD ⊥CM ．因为BM =CD =1，BC = CF =2，所以Rt CBM ∆≌Rt FCD ∆，所以CM ⊥DF ． DF 与AD 相交，所以CM ⊥平面ADF ．CM ⊂平面CAM ，所以平面CAM ⊥平面ADF ．当BM=1时，平面CAM ⊥平面ADF ．16. （本小题满分14分） 在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知1,sin 23C A B π-==.（1）求sin A 的值；（2）设AC =求ABC ∆的面积．（1）3；（2） 17. （本小题满分14分）已知{n a }是等差数列,其前n 项和为n S ,{n b }是等比数列,且1a =1=2b ,44+=27a b ,44=10S b -.(Ⅰ)求数列{n a }与{n b }的通项公式;(Ⅱ)记n n n n n b a b a b a b a T 112211++++=-- ,+n N ∈,证明+12=2+10n n n T a b -+()n N ∈. (1)设等差数列{}n a 的公差为d ,等比数列{}n b 的公比为q ,由112a b ==,得344423,2,86a d b q S d =+==+,由条件得方程组33232273286210d q d q d q ⎧++==⎧⎪⎪⇒⎨⎨=⎪⎪+-=⎩⎩,故*31,2()n n n a n b n N =-=∈（2）1211223112112222()22n n n n n n n n n n n a a T a b a b a b a b a a a a ----=++++=+++=+++ 111213132352222n n n n n n n a n n n c c +-----++==-=- 12231112[()()()]2()n n n n n n T c c c c c c c c ++=-+-++-=-1022(35)1021212102n n n n n n n b a T b a =⨯-+=--⇔+=-18. (本小题满分16分)已知三条直线)0(02:1>=+-a a y x l ，0124:2=++-y x l 和01:3=-+y x l ，且1l 与2l 的距离是1057；（1）求：a 的值；（2）能否找到一点P 同时满足下列三个条件：① P 是第一象限的点；②点P 到1l 的距离是点P 到2l 的距离的21；③点P 到1l 的距离与点P 到3l 的距离之比是5:2？若能，求点P 的坐标；若不能，请说明理由。
江苏省南京金陵中学2013-2014学年度高三第一学期期中考试
江苏省南京金陵中学2013-2014学年度高三第一学期期中考试语文试题一、语言文字运用（15分）1．下列各组词语中加点字的读音全都正确的一项是（）（3分）A．衣袂．（mèi）症．结（zhēng）茅塞．顿开（sè）弄巧成拙．（zhuō）B．讣．告（bǔ）缄．默（jiān）炙．手可热（zhì）岿．然不动（kuī）C．装帧．(zhēn) 供．(gòng)应鞭辟．(pì)入里怙恶不悛．(quān)D．剽．(piáo)窃掮．(qián)客莞．(wǎn)尔而笑捷报频．(pín)传2. 下列各句中，加点的成语使用恰当的一句是（）（3分）A．当然我们不能来要求心智不高内力不坚的所有芸芸众生．．．．，但我仍然很高兴看到在中国古代文人中有这样一个拒绝权势媒聘、坚决不合作的例子。
B．许多旅行家在描写极光时往往语焉不详．．．．，只说些“无法以语言形容”之类的词。
C．据经营者透露，近年来新兴的书吧，以其丰富的藏书、优雅的音乐和良好的服务吸引了越来越多的消费者慷慨解囊．．．．。
D．80后作家毕竟在很多方面与传统观念有冲突，我们不能求全责备．．．．他们的某些过激言论。
3.从下面材料中提取有用信息，给“肥皂剧”下一个定义，不超过60个字。
（5分）肥皂剧是从英语传至中文的外来词，本来是适应家庭妇女一边做家务、一边心不在焉地收看的罗里罗嗦讲述家长里短的长篇连续剧。
因最初常在播放过程中插播肥皂等生活用品广告，故称“肥皂剧”。
一度非常流行的韩剧就是典型的肥皂剧。
严格说来，肥皂剧在我国的电视媒体市场还是个空缺。
尽管国内许多情景剧的姿态和形式都酷似肥皂剧, 但是多数都因为没有像西方肥皂剧那样饶有女权主义的深刻意义，以致失去了大批的女性观众。
当然，这与东西方文化和欣赏水平的差异有着不可分割的联系。
但是，当国内的观众与电视剧制作人都沉迷于大量的公安题材和古装连续剧的时候，是否应该找到女性观众的市场与卖点？答：____________________________________▲________ 4．请仿照下面句子的结构和修辞，再写两个句子，与前面的句子构成排比句式。
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金陵中学2013－2014学年度第一学期高三期中数学试卷
一、填空题:本大题共14小题，每小题5分，共70分.
1．设集合A＝｛x｜－＜x＜2｝，B＝｛x｜x2≤1｝，则A∪B＝．2.复数i2（1－2i）的实部是．
3.命题“ x∈R，x2+ax+1<0”的否定是．4.函数f（x）＝的定义域是．
5.在各项均为正数的等比数列{an}中，已知a1+a2+a3=2,a3+a4+a5=8,则a4+a5+a6=.
【答】
11.已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x2＋2x，若f(2－a2)>f(a)，则实数a的取值范围是▲．
【答】(－2,1)
13.已知函数f(x)=|lg(x-1)|若a≠b,f(a)=f(b),则a+2b的取值范围是▲．
【答】
13..定义在R上的函数f(x)满足f(x)＋f(x＋5)＝16，当x∈(－1，4]时，f(x)＝x2－2x，则函数f(x)在[0，2013]上的零点个数是_____▲．
1．设集合A＝｛x｜－＜x＜2｝，B＝｛x｜x2≤1｝，则A∪B＝▲．
【答】｛x｜－1≤x＜2｝
2.复数i2（1－2i）的实部是▲．
【答】（－1）
3.命题“ x∈R，x2+ax+1<0”的否定是▲．
【答】
4.函数f（x）＝的定义域是▲．
【答】（0，3］
5.在各项均为正数的等比数列{an}中，已知a1+a2+a3=2,a3+a4+a5=8,则a4+a5+a6=▲.
（1）求W关于α的函数关系式；
（2）求W的最小值及相应的角α．
解：（1）如图，过E作 ，
垂足为M，由题意得∠MEF=α，
故有 ， ， ，……………….3分
所以
=80+-60tanα（其中 ……..……………8分
（2）W
．
设 ，
则 ．………………11分
令 得 ，即 ，得 ．
列表
+
0
-
单调递增
极大值
单调递减
，------------------10分
，
，- -----------------12分
. ----------------14分
17．（本题满分14分）
已知等差数列{an}中，首项a1＝1，公差d为整数，且满足a1+3<a3,a2+5>a4，数列{bn}满足bn=，其前n项和为Sn．
(1)求数列{an}的通项公式；
数学（附加题）
21【选做题】在下面A，B，C，D四个小题中只能选做两题，每小题10分，共20分．
B．选修4—2：矩阵与变换（本小题满分10分）已知矩阵M＝，N＝．（1）求矩阵MN；（2）若点P在矩阵MN对应的变换作用下得到Q(0，1)，求点P的坐标．
C．选修4—4：坐标系与参数方程（本小题满分10分）
（1）求W关于α的函数关系式；
（2）求W的最小值及相应的角α．
19．（本小题满分16分）已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率e＝，椭圆C的上、下顶点分别为A1，A2，左、右顶点分别为B1，B2,左、右焦点分别为F1，F2．原点到直线A2B2的距离为．
（1）求椭圆C的方程；（2）过原点且斜率为的直线l，与椭圆交于E，F点，试判断∠EF2F是锐角、直角还是钝角，并写出理由；（3）P是椭圆上异于A1，A2的任一点,直线PA1，PA2，分别交 轴于点N，M,若直线OT与过点M，N的圆G相切，切点为T.证明：线段OT的长为定值,并求出该定值.
（1）求椭圆C的方程；
（2）过原点且斜率为的直线l，与椭圆交于E，F点，试判断∠EF2F是锐角、直角还是钝角，并写出理由；
（3）P是椭圆上异于A1，A2的任一点,直线PA1，PA2，分别交 轴于点N，M,若直线OT与过点M，N的圆G相切，切点为T.证明：线段OT的长为定值,并求出该定值.
解：（1）因为椭圆C的离心率e＝，
故设a＝2m，c＝m，则b＝m．
直线A2B2方程为bx－ay－ab＝0，
即mx－2my－2m2＝0．
所以＝，解得m＝1．
所以a＝2，b＝1，椭圆方程为＋y2＝1．………………… 5分
【答】2
8.已知直线l⊥平面α，直线m平面β，则下列四个命题：
①若α∥β,则l⊥m；②若α⊥β,则l∥m；
③若l∥m,则α⊥β；④若l⊥m,则α∥β.
其中正确命题的序号是▲．
【答】①③
9．若以连续掷两次骰子分别得到的点数m、n作为点P的横、纵坐标，则点P在直线x＋y= 5下方的概率为▲．
【答】．
11.已知f(x)=3sin(2x－)，若存在α∈(0,π)，使f(α+x)=f(α-x)对一切实数x恒成立，则α=▲．
【答】16
6．已知向量a，b满足｜a｜＝1，｜b｜＝2，a与b的夹角为60°，向量c＝2a＋b．则向量c的模为▲．
【答】2
【解析】｜c｜2＝（2a＋b）2＝4a2＋4a·b＋b2＝4＋4×1×2×cos60°＋4＝12，即｜c｜＝2
7．在平面直角坐标系xOy中，已知y=x是双曲线－=1（a>0,b>0）的一条渐近线方程，则此双曲线的离心率为▲．
∴ 中， ，---------------2分
∵ABCD为平行四边形
∴AB∥CD
∴ ，----------------------------------------------4分
又∵
∴ 平面 -------------------7分
⑵ ，
所以 ，-------------------9分
又因为四边形 为正方形，
18.（本小题满分16分） 如图，某自来水公司要在公路两侧铺设水管，公路为东西方向，在路北侧沿直线铺设线路l1，在路南侧沿直线铺设线路l2，现要在矩形区域ABCD内沿直线将l1与l2接通．已知AB= 60m，BC= 80m，公路两侧铺设水管的费用为每米1万元，穿过公路的EF部分铺设水管的费用为每米2万元，设∠EFB=-α,矩形区域内的铺设水管的总费用为W．
(2)若S2为S1，Sm(m∈N＊)的等比中项,求正整数m的值．
(3)对任意正整数k,将等差数列{an}中落入区间(2k,22k)内项的个数记为ck,求数列{cn}的前n项
和Tn
解：（1）由题意，得 解得 <d< ．……………………2分
又d∈Z，∴d= 2．
∴ =1+(n－1) 2=2n－1．………………………4分
所以当 时有 ，此时有 ．…………… 14分
答：铺设水管的最小费用为 万元，相应的角 ．………………… 16分
19．（本小题满分16分）
已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率e＝，椭圆C的上、下顶点分别为A1，A2，左、右顶点分别为B1，B2,左、右焦点分别为F1，F2．原点到直线A2B2的距离为．
(1)f(x)的最小正周期和单调递增区间；
(2)若 ,且α∈(,π).求α.
解 = = = -3分
(1)函数 的最小正周期为 ---------------5分
由 ，得 （ ）
∴函数 的单调递增区间为 ---------------8分
(2)∵ ，
∴ ，
∴ …………………………………………………………11分
（2）求证:面ADEF⊥面ABCD.
17．（本题满分14分）已知等差数列{an}中，首项a1＝1，公差d为整数，且满足a1+3<a3,a2+5>a4，数列{bn}满足bn=，其前n项和为Sn．(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若S2为S1，Sm(m∈N＊)的等比中项,求正整数m的值．(3)对任意正整数k,将等差数列{an}中落入区间(2k,22k)内项的个数记为ck,求数列{cn}的前n项和Tn
6．已知向量a，b满足｜a｜＝1，｜b｜＝2，a与b的夹角为60°，向量c＝2a＋b．则向量c的模为．
7．在平面直角坐标系xOy中，已知y=x是双曲线－=1（a>0,b>0）的一条渐近线方程，则此双曲线的离心率为．
8.已知直线l⊥平面α，直线m平面β，则下列四个命题：其中正确命题的序号是．
①若α∥β,则l⊥m；②若α⊥β,则l∥m；③若l∥m,则α⊥β；④若l⊥m,则α∥β.
的取值范围是．
二、解答题：本大题共6小题，共计90分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(本题满分14分)已知向量a=(2cosx, 2sinx)，b=(cosx,cosx),设函数f(x)=a•b-,求：
(1)f(x)的最小正周期和单调递增区间；(2)若 ,且α∈(,π).求α.
16．(本题满分14分)如图,四边形ABCD为平行四边形，四边形ADEF是正方形，且BD⊥平面CDE，H是BE的中点,G是AE,DF的交点.（1）求证:GH∥平面CDE；
在直角坐标系 中,曲线 的参数方程为 （ 为参数），
若以直角坐标系xoy的原点为极点，OX为极轴，且长度单位相同，建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρsin(θ+)=0,求与直线l垂直且与曲线C相切的直线m的极坐标方程.
［必做题］
22．（本小题满分10分）口袋中有n(n∈N＊)个白球，3个红球.依次从口袋中任取一球，如果取到红球，那么继续取球，且取出的红球不放回；如果取到白球，就停止取球.记取球的次数为X,若P(X=2)=求：（1）n的值；（2）X的概率分布与数学期望.